Modele wzrostu gospodarczegomproch/Z_teoria_wzrostu/modele...modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz...
Transcript of Modele wzrostu gospodarczegomproch/Z_teoria_wzrostu/modele...modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz...
1
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II
Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
E-mail: [email protected]
Modele wzrostu gospodarczego
Materiał do zajęć z przedmiotu „Teoria wzrostu”
2
1. Wprowadzenie
Poniższe opracowanie zawiera przegląd modeli wzrostu gospodarczego. Struktura tego
opracowania jest zgodna z ogólnie przyjętą konwencją podziału modeli wzrostu na modele
neoklasyczne i endogeniczne, zaliczane do tzw. nowej teorii wzrostu. O ile ustalenie ogólnej
struktury opracowania nie było problemem, o tyle trudności pojawiły się przy wyznaczaniu
dokładnego kształtu niniejszego tekstu. Wynikały one z obszerności literatury dotyczącej
omawianego tematu i z braku jednej powszechnie stosowanej klasyfikacji modeli wzrostu w
ramach każdej z obu grup.1
W opracowaniu zdecydowaliśmy się przedstawić modele uznane za kluczowe w ramach
każdej z grup. I tak, w grupie ujęć neoklasycznych zostały przedstawione – w swojej
najbardziej typowej formie – modele Solowa, Ramseya i Diamonda, tj. trzy powszechnie
powoływane modele neoklasyczne. W grupie koncepcji endogenicznych omówione zostały
modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz Aghiona i Howitta, stanowiące podstawę nowej teorii
wzrostu. Na końcu zaprezentowany został model Mankiwa-Romera-Weila, którego nie można
zaliczyć do ujęć endogenicznych, gdyż opiera się na modelu Solowa, lecz z racji
uwzględnienia kapitału ludzkiego zaliczany jest do nowej teorii wzrostu. Mimo że w
literaturze pojawia się wiele innych modeli z obu grup, to jednak w większości opierają się
one lub rozszerzają przedstawione tutaj najważniejsze podejścia i m. in. dlatego nie
uwzględniamy ich w niniejszym opracowaniu.
Opracowanie zawiera ogólne spojrzenie na kierunki rozwoju teorii wzrostu oraz
szczegółową analizę najważniejszych modeli. Opis poszczególnych modeli jest dokonywany
według podobnego schematu: począwszy od założeń, poprzez metodę rozwiązania, a
skończywszy na analizie stanu równowagi długookresowej oraz ewentualnie dynamiki okresu
przejściowego. W szczególności nacisk został położony na pokazanie, jaką odpowiedź dają
modele wzrostu na następujące pytania: a) od czego zależy długookresowy wzrost
gospodarczy i różnice w poziomie dochodów między krajami; b) czy model potwierdza
występowanie zjawiska konwergencji, a jeśli tak, to jaki jest współczynnik zbieżności do
stanu równowagi długookresowej; c) czy model dopuszcza występowanie zjawiska
dynamicznej nieefektywności.
Tekst ten jest dość sformalizowany. Wynika to stąd, że każdy model staraliśmy się opisać
bardzo szczegółowo: począwszy od założeń, a skończywszy na analizie stanu równowagi
1 Najważniejszymi publikacjami zawierającymi przegląd modeli wzrostu gospodarczego są: Barro, Sala-i-Martin (1995, 2003), Aghion, Durlauf (2005), Aghion, Howitt (1998) oraz Grossman, Helpman (1993). Struktura tego opracowania jest najbliższa pierwszej z wyżej wymienionych pozycji.
3
długookresowej i dynamiki okresu przejściowego. Jednak biorąc pod uwagę to, że niektóre
wzory matematyczne mogą być mało przejrzyste, w przypadku ważniejszych równań
podajemy też słowne wyjaśnienie ich znaczenia.
Przedstawione w tym opracowaniu modele wzrostu gospodarczego są przede wszystkim
dziełem ekonomistów brytyjskich i amerykańskich. Nie oznacza to jednak, że wkład polskich
ekonomistów w teorię wzrostu gospodarczego był znikomy. Najbardziej znanym modelem
wzrostu gospodarczego opracowanym przez polskiego ekonomistę był model Kaleckiego
(1962), rozwinięty następnie przez Gomułkę, Ostaszewskiego i Daviesa (1990). Z modelu
tego wynika, że w krajach o niskich stopach innowacji (a do takich można zaliczyć kraje
postsocjalistyczne) faktyczne tempo wzrostu gospodarczego może być trwale niższe od
potencjalnego, ponieważ produkcja jest ograniczana przez popyt. W takich warunkach
głównymi determinantami wzrostu PKB są czynniki popytowe. Zgodnie z rozszerzoną wersją
modelu Kaleckiego gospodarka napotka ograniczenia podażowe dopiero wtedy, gdy stopa
innowacji przekroczy pewną wartość graniczną. Podejście Kaleckiego nie zyskało jednak tak
szerokiej akceptacji jak np. model Solowa.2
Opracowanie składa się z 4 punktów. Po wprowadzeniu, w punkcie 2 zostały omówione
neoklasyczne modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Punkt 3 przedstawia modele zaliczane
do nowej teorii wzrostu: model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo,
model Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr, model Aghiona-Howitta z poprawiającą się
jakością dóbr oraz model Mankiwa-Romera-Weila. Punkt 4 zawiera najważniejsze wnioski.
2 Współczesnym wkładem polskich ekonomistów do modelowania wzrostu gospodarczego są m. in. następujące teoretyczne opracowania: Tokarski (1996, 1998, 2002, 2003, 2007ab), Liberda (1996), Domański (2000), Welfe (2000), Panek (2005), Kruszewski (2006), Stanek (2006), Zajączkowska-Jakimiak (2006).
4
2. Modele neoklasyczne
Pierwsze prace obejmujące swoją tematyką zagadnienia związane ze wzrostem
gospodarczym pochodzą z XVIII i XIX wieku. W tym okresie Adam Smith (1776 r.), Thomas
Malthus (1798 r.), David Ricardo (1817 r.) oraz wiele lat później Frank Ramsey, Allyn Young
(oboje 1928 r.), Joseph Schumpeter (1934 r.) i Frank Knight (1944 r.) dostarczyli wiele
elementów wykorzystywanych we współczesnych modelach wzrostu. W swoich pracach
analizują oni m. in. doskonale konkurencyjne zachowania przedsiębiorstw oraz równowagę
całej gospodarki w ujęciu dynamicznym. Omawiają rolę prawa malejących przychodów w
procesie akumulacji kapitału fizycznego i ludzkiego. Przedstawiają wzajemne zależności
między dochodem na 1 mieszkańca a stopą wzrostu liczby ludności. Uwzględniają efekty
postępu technicznego w postaci wzrostu specjalizacji pracy oraz odkrywania nowych dóbr i
technologii. Wskazują, że monopolizacja może być bodźcem do rozwoju technologicznego
(Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 9).
W niniejszym opracowaniu nie będziemy zapuszczać się jednak w odległą historię i
skupimy się na współczesnych modelach wzrostu. Pierwszym ekonomistą, który
sformalizował analizę zjawiska wzrostu gospodarczego, był Robert Solow (Solow, 1956).
Przedstawiony przez niego model, wprowadzający do teorii wzrostu neoklasyczną funkcję
produkcji, zapoczątkował erę neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego. Neoklasyczna
postać funkcji produkcji zakładała stałe przychody ze skali oraz malejącą krańcową
produkcyjność kapitału. Model Solowa aż po dzień dzisiejszy stanowi podstawę teorii
wzrostu. Trzeba jednak pamiętać, że już wcześniej pojawiły się istotne prace z zakresu
współczesnej teorii wzrostu.
W latach 1939 i 1946 zostały opublikowane prace Roya Harroda (Harrod, 1939) oraz
Evseya Domara (Domar, 1946). Ekonomiści ci próbowali połączyć keynesowską analizę
gospodarki z elementami wzrostu gospodarczego. Zgodnie z modelem Harroda-Domara,
tempo wzrostu gospodarczego jest wprost proporcjonalne do stopy inwestycji (równej stopie
oszczędności) i odwrotnie zależne od krańcowej kapitałochłonności produkcji. Opisuje to
następujące równanie:
ysgk
= ,
gdzie: gy – tempo wzrostu realnego PKB, s – stopa inwestycji (stopa oszczędności), k –
współczynnik kapitałochłonności produkcji (nakład inwestycji na jednostkę przyrostu
dochodu narodowego).
5
W 1928 r. został opublikowany artykuł Franka Ramseya o optymalnym poziomie
oszczędności narodów. Obecnie model Ramseya jest powszechnie zaliczany do ujęć
neoklasycznych. Jednak model ten uzyskał znaczącą akceptację wśród ekonomistów dopiero
na początku lat sześćdziesiątych, po pojawieniu się modelu Solowa, a więc około 30 lat po
swym powstaniu. Do grupy neoklasycznej zaliczamy również model Diamonda (Diamond,
1965).
Modele neoklasyczne mają jedną wspólną wadę. Otóż nie wyjaśniają one dobrze
długookresowego wzrostu gospodarczego. Ten bowiem zależy od szeroko rozumianego
postępu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Pożądaną własnością modelu
wzrostu byłaby natomiast endogenizacja postępu technicznego, tak aby wzrost gospodarczy
można było wyjaśniać w ramach modelu, a nie żeby pochodził on z zewnątrz. Koncepcje
neoklasyczne (w swojej podstawowej postaci) nienajlepiej radzą sobie także z wyjaśnianiem
różnic w poziomie dochodów między krajami. Różnice w poziomach kapitału są w
rzeczywistości o wiele za małe, żeby można było mówić o wielkości kapitału fizycznego jako
o przyczynie występowania różnic w dochodach. Na przykład, z modelu Solowa wynika, że
jeżeli produkt na 1 pracownika w Stanach Zjednoczonych jest 10-krotnie wyższy niż w
Indiach, to odpowiadać temu powinna 1000-krotna różnica w wielkości kapitału (przy
założeniu, że część dochodu przypadająca kapitałowi wynosi 1/3). Tak duże różnice w
poziomach kapitału jednak nie występują. Modele Ramseya (o nieskończonym horyzoncie
czasowym) i Diamonda (dwupokoleniowy, o skończonym horyzoncie czasowym) różnią się
od modelu Solowa tym, że stopa oszczędności nie jest egzogeniczna, lecz kształtuje się
endogenicznie w ramach modelu i zależy od decyzji gospodarstw domowych co do
optymalnego podziału swoich dochodów między konsumpcję i oszczędności w
poszczególnych okresach. Dzięki uwzględnieniu problemu maksymalizacji użyteczności
podejścia te pozwalają lepiej analizować kwestie dobrobytu niż model Solowa, jednak w
zasadniczych kwestiach, takich jak m. in. określenie determinant długookresowego wzrostu
gospodarczego, nie różnią się istotnie od niego.
Przedstawimy teraz szczegółowo trzy podstawowe modele neoklasyczne: model Solowa,
model Ramseya oraz model Diamonda.
6
2.1. Model Solowa
Model Solowa, nazywany również modelem Solowa-Swana, został stworzony przez
Roberta Solowa (Solow, 1956) i Trevora Swana (Swan, 1956). W niniejszym opracowaniu
przedstawiamy model Solowa z postępem technicznym zasilającym pracę.
Oznaczmy symbolem F funkcję produkcji. Czynnikami produkcji są: kapitał fizyczny K(t)
oraz efektywny zasób pracy A(t)L(t), będący iloczynem techniki (poziomu wiedzy) A(t) i
liczby ludności (siły roboczej) L(t):3
( ) ( ) ( )( ),F K t A t L t . [1a.1]
Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obydwu czynników produkcji
(kapitału i efektywnego zasobu pracy) oraz malejącą krańcową produkcyjność kapitału. Jedną
z funkcji spełniających te założenia jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1,F K t A t L t K t A t L t
αα − = , [1a.2]
gdzie 0 < α < 1. Technika oraz liczba ludności rosną w stałych tempach, równych
odpowiednio a i n, kształtujących się egzogenicznie:4
( )( )
A ta
A t=
& oraz ( )
( )L t
nL t
=&
. [1a.3]
Przyrost kapitału jest równy inwestycjom (oszczędnościom) pomniejszonym o amortyzację:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),K t sF K t A t L t K tδ= −& , [1a.4]
gdzie s to egzogeniczna stopa oszczędności, a δ jest stopą amortyzacji kapitału.
Analizę dynamiki gospodarki przeprowadzamy dla wielkości kapitału i produkcji na
jednostkę efektywnej pracy, oznaczonych odpowiednio k(t) i f(k(t)):5
KkAL
≡ oraz ( ) ( ) ( ) ( ),, ,1
F K AL K ALf k F F k f kAL AL AL
≡ = = =
. [1a.5]
W celu znalezienia równania opisującego dynamikę gospodarki różniczkujemy względem
czasu definicję k (równanie [1a.5]) i następnie wykorzystujemy równania [1a.3], [1a.4] i
[1a.5]. W efekcie otrzymujemy: 3 W swoim podstawowym modelu Robert Solow zakładał brak postępu technicznego – produkcja zależała tylko od wielkości kapitału i pracy. Solow wprowadził postęp techniczny do funkcji produkcji w rozszerzonej wersji swojego modelu. Postęp ten miał jednak charakter neutralny (według Hicksa), tzn. zmienna reprezentująca poziom techniki występowała w iloczynie z funkcją produkcji: A(t)·F(K(t),L(t)). W niniejszym opracowaniu analizujemy funkcję produkcji z postępem zasilającym pracę (neutralnym w sensie Harroda), gdyż taka specyfikacja funkcji produkcji charakteryzuje się lepszymi własnościami w analizie dynamiki modelu. Można także uwzględniać funkcję produkcji z postępem technicznym zasilającym kapitał: F(A(t)K(t),L(t)). 4 Kropka nad daną zmienną oznacza jej pochodną po czasie. 5 W dalszej części opracowania pomijamy indeksy czasowe t przy zmiennych zależnych od czasu w celu zachowania przejrzystości przedstawianych obliczeń.
7
( ) ( )k sf k n a kδ= − + +& . [1a.6]
Powyższe równanie jest podstawową formułą opisującą dynamikę gospodarki w modelu
Solowa. Przyrost kapitału na jednostkę efektywnej pracy jest równy faktycznym inwestycjom
sf(k) pomniejszonym o inwestycje restytucyjne (n + a + δ)k.
Uwzględniając to, że krańcowy produkt kapitału jest dodatni i maleje (f’(k) > 0 i f”(k) < 0),
oraz fakt, że brak nakładów skutkuje brakiem produkcji (f(0) = 0), jak również wprowadzając
dodatkowe założenia co do pożądanego kształtu funkcji produkcji, tzw. warunki Inady (Inada,
1963) (limk→∞f’(k) = 0; limk→0f’(k) = ∞), dynamikę gospodarki oraz stan równowagi
długookresowej możemy wyznaczyć w postaci graficznej. Ilustruje to rysunek 1.1.
Rysunek 1.1 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Solowa
Równowaga długookresowa (stan ustalony)6 występuje w punkcie przecięcia się krzywych
sf(k) i (n + a + δ)k. W punkcie tym kapitał i produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie
zmieniają się w czasie (z [1a.6] wynika bowiem, że jeśli sf(k) = (n + a + δ)k, to dk/dt = 0).
Jak zatem w stanie ustalonym zmieniają się PKB ogółem (Y = F(K,AL)) i PKB na 1
mieszkańca (Y/L)? W celu odpowiedzi na to pytanie należy zróżniczkować względem czasu
równania definicyjne Y ≡ f(k)AL i Y/L ≡ f(k)A (zob. [1a.5]). W efekcie otrzymujemy:
( )( )
f kY A LY f k A L
= + +& && &
oraz ( )( )
//
f kY L AY L f k A
= +&& &
. [1a.7]
W stanie ustalonym produkcja na jednostkę efektywnej pracy nie zmienia się (df/dt/f = 0), zaś
technika i siła robocza rosną w stałych tempach równych odpowiednio a i n. Doszliśmy tym 6 Ang. steady-state, tłumaczony także jako stan stacjonarny lub stan równowagi dynamicznej.
k&
( )( )0f k
( )f k
( )sf k
( )n a kδ+ +
( )0k *k k
( )*sf k
*c
( )1k ( )2k
k& k&
( )*f k
8
samym do dwóch ważnych wniosków wynikających z modelu Solowa. W stanie równowagi
długookresowej:
1) tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby
ludności,
2) tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi technicznemu.
Powyższe wnioski wskazują jednocześnie na główną, wspomnianą wcześniej, słabość modeli
neoklasycznych, a mianowicie, że wzrost gospodarczy zależy od zmiennych egzogenicznych,
kształtujących się poza modelem.
Stan ustalony w modelu Solowa jest stabilny. Oznacza to, że niezależnie od początkowego
poziomu kapitału (pomijając k(0) = 0) gospodarka zawsze będzie dochodziła do stanu
ustalonego. Jeśli bowiem k(0) < k*, to sf(k) > (n + a + δ)k (zob. rysunek 1.1), k będzie rosło w
czasie i w końcu osiągnie poziom k*. W trakcie okresu przejściowego tempo wzrostu PKB
(ogółem i na 1 mieszkańca) jest wyższe niż w stanie równowagi długookresowej, gdyż kapitał
i produkcja na jednostkę efektywnej pracy rosną, a zatem df/dt/f > 0 we wzorach [1a.7].
Powyższa własność modelu Solowa, wskazująca na szybsze tempo wzrostu gospodarczego
w trakcie okresu przejściowego, ma bardzo ważne znaczenie ekonomiczne. Mianowicie,
model Solowa potwierdza występowanie zjawiska konwergencji (zbieżności) warunkowej
(typu β). Konwergencja (typu β) oznacza, że kraje słabiej rozwinięte (o niższym poziomie
PKB per capita) wykazują szybsze tempo wzrostu gospodarczego niż kraje wyżej rozwinięte.
Zbieżność potwierdzona przez model Solowa jest warunkowa, gdyż występuje tylko wtedy,
gdy gospodarki dążą do tego samego stanu równowagi długookresowej.
W celu wykazania występowania zjawiska zbieżności dzielimy równanie [1a.6] przez k i
następnie różniczkujemy względem k:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
/ ' / ( ) 0d k k f k f k k f kd dF d ALs n a s s
dk dk k k kδ
⋅ −= − + + = = − <
&. [1a.8]
Równanie [1a.8] informuje, że tempo wzrostu kapitału na jednostkę efektywnej pracy maleje
wraz ze wzrostem k (ujemna pochodna względem k). Oznacza to, że im wyższy jest poziom
kapitału i produkcji, tym niższe jest tempo wzrostu tych zmiennych, co wskazuje na
występowanie zjawiska konwergencji.
Występowanie zjawiska konwergencji można także wykazać za pomocą log-linearyzacji
równania ruchu [1a.6], opisującego dynamikę gospodarki. Metoda ta pozwala obliczyć
współczynnik szybkości zbieżności, informujący, jaki procent odległości w kierunku stanu
ustalonego gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu. Przy założeniu, że funkcja
9
produkcji jest typu Cobba-Douglasa o postaci f(k) = Bkα (B > 0), równanie [1a.6] można
zapisać jako:
( ) ( ) ( )1 1 lnlnln kkk sBe n a sBe n aα αδ δ
− −= − + + = − + +& . [1a.9]
Następnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego w celu
znalezienia przybliżonej ścieżki czasowej dla lnk:
( ) ( )( )( )dla stanu ustalonego
lnln ln * ln ln * 1 ln ln *ln
d kk k k k n a k kd k
α δ≈ + × − = − + + −&
& & . [1a.10]
Rozwiązanie równania różniczkowego [1a.10] jest następujące:
( )( ) ( )( )1ln ln * ln 0 ln * n a tk k k k e α δ− − + += + − , [1a.11]
co w kategoriach produkcji na jednostkę efektywnej pracy można zapisać jako:
( )( ) ( )( )1ln ln * ln 0 ln * n a ty y y y e α δ− − + += + − . [1a.12]
Definiując:
( )( )1 0n aβ α δ= − + + > [1a.13]
oraz różniczkując [1a.12] względem czasu, uzyskujemy:
( )ln * lny y yy
β= −&
. [1a.14]
Równanie [1a.14] informuje, że tempo wzrostu gospodarczego zależy od odległości
dzielącej gospodarkę od jej stanu ustalonego. Parametr β mierzy szybkość zbieżności. β
określa bowiem, jaki procent odległości w kierunku stanu równowagi długookresowej
gospodarka pokonuje w ciągu jednego okresu.
Przedstawimy teraz wpływ stopy oszczędności na dynamikę gospodarki. Otóż zgodnie z
modelem Solowa egzogeniczna stopa oszczędności nie wpływa na tempo wzrostu
gospodarczego w stanie równowagi długookresowej, lecz jedynie na poziom dochodu w
równowadze (wyższa stopa oszczędności oznacza wyższe położenie funkcji sf(k) i w efekcie
wyższy poziom k*). Wpływ zmian stopy oszczędności na wzrost gospodarczy jest jedynie
przejściowy – podwyższenie stopy oszczędności prowadzi do wyższego tempa wzrostu w
trakcie okresu przejściowego (kiedy gospodarka dąży do nowego stanu ustalonego).
Model Solowa dopuszcza występowanie zjawiska dynamicznej nieefektywności, a zatem
gospodarka nie musi znaleźć się w punkcie optymalnym w sensie Pareta. Przyczyną tego jest
egzogenicznie kształtowana stopa oszczędności, której zbyt wysoki poziom prowadzi do
nadmiernej akumulacji kapitału w gospodarce. W celu znalezienia stopy oszczędności
maksymalizującej wielkość konsumpcji w warunkach równowagi długookresowej,
10
różniczkujemy c ≡ (1 – s)f(k) względem s, wykorzystując fakt, że w stanie ustalonym
sf(k*) = (n + a + δ)k*:
( ) ( )( )* *' *dc dkf k n ads ds
δ= − + + . [1a.15]
Ponieważ dk*/ds > 0 (wzrost stopy oszczędności zwiększa poziom k*), znak dc*/ds zależy
od wzajemnej relacji między f’(k*) i (n + a + δ). Jeżeli f’(k*) < (n + a + δ), to w gospodarce
występuje zjawisko dynamicznej nieefektywności, gdyż wzrost konsumpcji może nastąpić w
efekcie obniżki stopy oszczędności. Z [1a.15] wynika, że stopa oszczędności powinna
obniżyć się do poziomu, przy którym f’(k*) = (n + a + δ). Wówczas konsumpcja jest
maksymalna, a odpowiadający jej poziom kapitału nazywamy poziomem kapitału zgodnym
ze złotą regułą.7
Podsumowując, analiza modeli wzrostu gospodarczego obejmuje zarówno stan ustalony,
który oznacza równowagę długookresową, jak i etap przejściowy (tj. okres dochodzenia
gospodarki do stanu ustalonego), który ma charakter krótkookresowy. Na przykład, z
przedstawionego tutaj modelu Solowa wynika, że w stanie ustalonym tempo wzrostu
gospodarczego jest równe sumie tempa postępu technicznego i tempa wzrostu liczby
ludności, co implikuje, że te dwie zmienne są determinantami długookresowego wzrostu
gospodarczego. Niemniej jednak, model Solowa można także zastosować do analizy
czynników wzrostu w krótkim okresie. Wzrost stopy oszczędności (równej stopie inwestycji)
powoduje wprowadzenie gospodarki na trajektorię okresu przejściowego i skutkuje
tymczasowym przyspieszeniem tempa wzrostu gospodarczego. Oznacza to, że zgodnie z
modelem Solowa zmiany stopy inwestycji są czynnikiem krótkookresowego wzrostu
gospodarczego. W podobnych kategoriach można analizować większość pozostałych modeli
wzrostu gospodarczego.
7 Ang. golden rule: f’(kGOLD) = n + a + δ. Jak widać, zgodnie ze złotą regułą krańcowy produkt kapitału musi się równać sumie tempa wzrostu liczby ludności, postępu technicznego i stopy amortyzacji. Wówczas styczna do funkcji produkcji f(k) na rysunku 1.1 jest równoległa do linii (n + a + δ)k i w efekcie wielkość konsumpcji jest maksymalna.
11
2.2. Model Ramseya8
Model Ramseya zawdzięcza swą nazwę Frankowi Ramseyowi, brytyjskiemu ekonomiście,
który w 1928 r. opublikował artykuł o optymalnym poziomie oszczędności (Ramsey, 1928).
Ujęcie Ramseya zostało rozwinięte przez Davida Cassa i Tjallinga Koopmansa (Cass, 1965;
Koopmans, 1965) i dlatego nosi również nazwę modelu Ramseya-Cassa-Koopmansa.
Główna różnica między modelem Ramseya a modelem Solowa dotyczy kształtowania się
stopy oszczędności. Stopa oszczędności, która w teorii Solowa była egzogeniczna, w
podejściu Ramseya kształtuje się endogenicznie na podstawie decyzji optymalizacyjnych
podejmowanych przez maksymalizujące użyteczność gospodarstwa domowe.
W niniejszej pracy przedstawimy analizę modelu Ramseya dla gospodarki doskonale
konkurencyjnej. Zakładamy – podobnie jak w modelu Solowa – że technika i siła robocza
rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n (tzn. A(t) = A(0)eat; L(t) = L(0)ent).
Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody względem obu czynników produkcji (kapitału
fizycznego i efektywnej pracy), charakteryzuje się malejącą produkcyjnością każdego
czynnika i spełnia warunki Inady.
Przedsiębiorstwa wytwarzają homogeniczny produkt zgodnie z funkcją produkcji
F(K, AL). Czynniki produkcji (praca i kapitał) są nabywane od gospodarstw domowych po
cenach równych odpowiednio r + δ i w (r – stopa procentowa, w – stawka płacy).
Przedsiębiorstwa dążą do maksymalizacji zysku:
( ) ( ), max.F K AL r K wLπ δ= − + − → [1b.1]
Warunki pierwszego rzędu dπ/dK = 0 i dπ/dL = 0 prowadzą do standardowych równań
zrównujących krańcowy produkt danego czynnika z jego ceną, co w przeliczeniu na jednostkę
efektywnej pracy można zapisać:
( )'r f k δ= − oraz ( ) ( )'w A f k kf k = − . [1b.2]
Analiza zachowań gospodarstw domowych jest bardziej skomplikowana. Ludzie żyją
nieskończenie długo. Każda dorosła osoba dostarcza na rynek jedną jednostkę pracy
niezależnie od wysokości płac. W gospodarce jest N gospodarstw domowych (N = const.),
które rozrastają się (tzn. zwiększają liczbę swoich członków) w tempie n. Celem
konsumentów jest maksymalizacja użyteczności z konsumpcji w ciągu całego życia. Funkcję
użyteczności gospodarstwa domowego można zapisać następująco:
8 Analiza modelu Ramseya i większości następnych modeli wzrostu wymaga znajomości rachunku różniczkowego, rachunku wariacyjnego i teorii sterowania. Opis tych procedur matematycznych znajduje się m. in. w: Chiang (1992, 1994), Klein (1998).
12
( )0
tpc
LU e u c dtN
ρ∞
−= ∫ , [1b.3]
gdzie u(cpc) to użyteczność z konsumpcji osiągana przez jedną osobę9, L/N to liczba członków
jednego gospodarstwa domowego, a ρ jest stopą preferencji czasowych (ρ > 0). Im wyższe ρ,
tym wyższą wartość gospodarstwa domowe przywiązują do bieżącej konsumpcji. Zakładamy,
że krańcowa użyteczność jest dodatnia i maleje (u’(c) > 0; u”(c) < 0) oraz że funkcja
użyteczności spełnia warunki Inady (limc→∞u’(c) = 0; limc→0u’(c) = ∞). Podstawiając
L(t) = L(0)ent, dzieląc użyteczność przez L(0)/N = const. i przyjmując, iż funkcja użyteczności
jest typu CRRA10, problem optymalizacyjny konsumenta możemy sformułować następująco:
( )1
0
1max.
1n t pcc
U e dtσ
ρ
σ
−∞− −
= →−∫
[1b.4]
p.w. (a) pc pc pc pck w rk c nk= + − −& ; (b) ( )0 0k > dane.
Warunek ograniczający w równaniu [1b.4] to ograniczenie budżetowe11, zgodnie z którym
przyrost kapitału na 1 mieszkańca jest równy dochodom (z pracy i kapitału) pomniejszonym o
konsumpcję i o składnik wynikający z ogólnego wzrostu liczby ludności kraju. Aby całka
była zbieżna, zakładamy dodatkowo ρ > n.
W celu rozwiązania [1b.4] należy skonstruować hamiltonian wartości zaktualizowanej:
( )1 11pc
pc pc pc
cH w rk c nk
σ
θσ
− −= + + − −
− [1b.5]
i następujące warunki pierwszego rzędu:
0pc
Hc
∂=
∂; ( )
pc
Hnk
θ θ ρ ∂= − −
∂& ; pc
Hkθ
∂=
∂& ; ( )lim 0n t
pcte kρ θ−
→∞= , [1b.6]
gdzie ostatni warunek to tzw. warunek transwersalności. Zmienna θ, która pojawiła się w 9 Należy rozróżnić zmienne na 1 mieszkańca (per capita) od zmiennych na jednostkę efektywnej pracy. Te pierwsze są oznaczone indeksem dolnym „cp” i powstają po podzieleniu wielkości całkowitych przez liczbę ludności L. Natomiast zmienne na jednostkę efektywnej pracy uzyskujemy dzieląc wielkości całkowite przez zasób efektywnej pracy AL. 10 W modelach optymalizacyjnych stosuje się najczęściej dwa typy funkcji użyteczności: CRRA (constant relative risk aversion) i CARA (constant absolute risk aversion). Funkcje te mają następującą postać:
CRRA: ( )1 1 dla 0, 11
cu cσ
σ σσ
− −= > ≠
− oraz ( ) ln dla 1u c c σ= = ; CARA: ( ) 1 dla 0cu c e γ γ
γ−= − > .
Dla funkcji CRRA elastyczność substytucji (–u’(c)/u”(c)c) wynosi 1/σ, zaś elastyczność krańcowej użyteczności względem konsumpcji (u”(c)c/u’(c)) jest równa –σ. Dla funkcji CARA wielkości te wynoszą (γc)–1 i –γc. Nazwy obu funkcji wynikają z faktu, iż w przypadku funkcji CRRA miara Arrowa-Pratta względnej awersji do ryzyka (–u”(c)c/u’(c)) jest stała i równa σ, zaś w przypadku funkcji CARA miara Arrowa-Pratta absolutnej awersji do ryzyka (–u”(c)/u’(c)) jest stała i równa γ. 11 W celu znalezienia ograniczenia budżetowego wykorzystujemy równanie PKB: Y = C + dK/dt + δK oraz fakt, że w gospodarce doskonale konkurencyjnej brak jest zysków w długim okresie: Y = (r + δ)K + wL. Dzieląc oba równania przez L i przyrównując do siebie, uzyskujemy ograniczenie budżetowe.
13
[1b.5], to zmienna sprzężona z równaniem ruchu na kapitał. Wycenia ona oszczędności
gospodarstw domowych, tzn. wskazuje, jak oszczędności w danym okresie przyczyniają się
do wzrostu użyteczności w kolejnych okresach (poprzez wpływ na przyszły wzrost
konsumpcji). Warunek transwersalności informuje, że na koniec okresu (gdy t → ∞)
postępujące optymalnie gospodarstwo domowe powinno pozbyć się całego kapitału albo też
pozostawiony kapitał nie powinien posiadać żadnej wartości. Rozwiązując [1b.6],
uzyskujemy następujące równania charakteryzujące dynamikę zachowań gospodarstw
domowych:
pc
pc
c rc
ρσ−
=&
; pc pc pc pck w rk c nk= + − −& ; ( ) ( )lim 0 0n r tpct
k eθ −
→∞= . [1b.7]
Pierwsze z równań [1b.7] to równanie Eulera informujące, że konsumpcja rośnie w czasie,
jeżeli stopa procentowa jest wyższa niż stopa preferencji czasowych, tzn. jeżeli przychód z
oszczędności netto przewyższa spadek użyteczności związany z przeniesieniem konsumpcji
na następny okres. O sile tego oddziaływania decyduje elastyczność substytucji 1/σ.
Łącząc wyniki optymalizacji przedsiębiorstw ([1b.2]) i gospodarstw domowych ([1b.7]),
otrzymujemy ostateczne równania opisujące dynamikę gospodarki w modelu Ramseya:
( )'f k acc
δ ρ σσ
− − −=
&; ( ) ( )k f k c n a kδ= − − + +& ; ( ) ( ) ( )( )'lim 0 0 0n f k a t
tA ke δθ − + +
→∞= . [1b.8]
Dwa pierwsze równania to równania ruchu dla konsumpcji i kapitału na jednostkę efektywnej
pracy, trzecie zaś równanie jest warunkiem transwersalności.
Stan równowagi długookresowej, otrzymany przez przyrównanie równań ruchu dla c i k do
zera, charakteryzują następujące warunki:
( )' *f k aδ ρ σ= + + oraz ( ) ( )* * *c f k n a kδ= − + + , [1b.9]
powiększone o warunek transwersalności, z którego wynika, że ρ > n + a(1 – σ). Graficzną
postać otrzymanych wyników przedstawia rysunek 1.2.
Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia krzywych dc/dt = 0 i dk/dt = 0. Jest on
punktem siodłowym, położonym na jednej trajektorii stabilnej i jednej niestabilnej.
Gospodarka startująca z początkowego poziomu kapitału k(0) zawsze może osiągnąć stan
ustalony pod warunkiem, że w okresie początkowym zostanie wybrany poziom konsumpcji
c(0)S, który wprowadzi gospodarkę na trajektorię stabilną T2T2. Jeżeli poziom konsumpcji
będzie za niski (np. c(0)M), to gospodarka będzie zmierzała do punktu na osi odciętych, zaś
gdy poziom konsumpcji będzie za wysoki (np. c(0)D), gospodarka dojdzie do punktu na osi
rzędnych i skokowo wróci do początku układu współrzędnych. Oba te przypadki
14
wykluczamy, gdyż nie spełniają albo warunku transwersalności, albo równania ruchu
zmiennej c.
Rysunek 1.2 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Ramseya
W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej
pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego
oraz tempa wzrostu liczby ludności (czyli zmiennych kształtowanych egzogenicznie), a tempo
wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi technicznemu. Model Ramseya daje
zatem taką samą odpowiedź jak model Solowa na pytanie o przyczyny długookresowego
wzrostu gospodarczego.
Model Ramseya – w przeciwieństwie do modelu Solowa – jest optymalny w sensie Pareta.
Endogeniczna stopa oszczędności uniemożliwia nadmierną akumulację kapitału i tym samym
zapobiega pojawieniu się zjawiska dynamicznej nieefektywności. Formalny dowód
występowania optymalności w sensie Pareta wymaga rozwiązania problemu
optymalizacyjnego centralnego planisty, który maksymalizuje użyteczność wszystkich osób
przy ograniczeniu w postaci równania ruchu na kapitał:
( )1
0
10 max.
1pct ntc
U e L e dtσ
ρ
σ
−∞− −
= →−∫ [1b.10]
p.w. (a) ( ) ( )k f k c n a kδ= − − + +& ; (b) ( )0 0k > dane.
Rozwiązując [1b.10] przy użyciu hamiltonianu i odpowiednich warunków pierwszego rzędu,
dochodzimy do równań, które są identyczne jak równania [1b.8] opisujące dynamikę
gospodarki doskonale konkurencyjnej.
0c =&
k *k ( )0k
c
( )0 Dc
*c
0k =&
B
A T2
T2
( )0 Mc ( )0 Sc
GOLDk
15
Dynamiczną efektywność modelu Ramseya można odczytać z analizy wykresu fazowego.
Na rysunku 1.2 kGOLD jest poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję, czyli zgodnym
ze złotą regułą: f’(kGOLD) = n + a + δ. Zasób kapitału w stanie ustalonym w modelu Ramseya
jest natomiast wyznaczony na podstawie równania: f’(k*) = δ + ρ + aσ. Ponieważ z warunku
transwersalności wynika, że ρ + aσ > n + a, poziom kapitału w stanie równowagi
długookresowej w modelu Ramseya jest zawsze niższy od poziomu zgodnego ze złotą regułą.
Ten niższy poziom kapitału nosi nazwę zmodyfikowanej złotej reguły. Im wyższe ρ, tym
większa jest różnica między poziomem kapitału maksymalizującym konsumpcję a poziomem
kapitału w zmodyfikowanej złotej regule.
Model Ramseya – podobnie jak model Solowa – potwierdza występowanie zjawiska
konwergencji warunkowej. W celu określenia szybkości zbieżności log-linearyzujemy
równanie [1b.8] przy upraszczającym założeniu, że funkcja produkcji jest typu Cobba-
Douglasa, f(k) = kα. Równania ruchu dla kapitału i konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy
będą miały zatem następującą postać:
( ) ( )1 ln ln lnln k c kk e e e n aα δ− −= − − + +& ; ( )( )1 ln1ln kc e aαα δ ρ σσ
−= − − −& . [1b.11]
Stosując dla powyższego układu równań różniczkowych rozszerzenie Taylora pierwszego
rzędu wokół stanu ustalonego, uzyskujemy wartości własne macierzy charakterystycznej o
różnych znakach (λ1 > 0, λ2 < 0), co oznacza, iż stan ustalony ma charakter ścieżki siodłowej:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1
1,2
11 1 40
2
n a n a a n a aαρ σ ρ σ α δ ρ σ δ δ ρ σσλ
− − − − − ± − − − − + + − + + + + >=
<. [1b.12]
Żeby wyznaczyć siłę efektu zbieżności, rozwiązanie ogólne układu równań [1b.11] dla lnk:
lnk = lnk* + A1eλ1t + A2eλ2t przekształcamy do postaci określonej, podstawiając A1 = 0
(ponieważ w przeciwnym przypadku warunek transwersalności albo równanie ruchu zmiennej
c nie są spełnione) i wyliczając A2 z warunku początkowego. Wykorzystując następnie fakt,
że y = kα, otrzymujemy:
( )( )ln * ln ln * ln 0 ty y y y e β−− = − , [1b.13]
gdzie β ≡ –λ2 > 0 jest parametrem decydującym o szybkości zbieżności do stanu ustalonego:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 11 1 11 4 12 2
n a a n a a n aαβ ρ σ α δ ρ σ δ δ ρ σ ρ σσ
− − = − − − − + + − + + + + − − − − . [1b.14]
Po zróżniczkowaniu [1b.13] względem czasu tempo wzrostu gospodarczego można zapisać
następująco:
16
( )ln * lny y yy
β= −&
. [1b.15]
Równania [1b.14] i [1b.15] są analogiczne do równań [1a.13] i [1a.14], charakteryzujących
zjawisko konwergencji wyjaśniane przez model Solowa. Równanie [1b.15] wskazuje, że
tempo wzrostu gospodarczego maleje wraz ze zbliżaniem się gospodarki do stanu ustalonego,
a parametr β, określony wzorem [1b.14], decyduje o szybkości zbieżności.
17
2.3. Model Diamonda
Model Diamonda – w przeciwieństwie do prac Solowa i Ramseya – charakteryzuje się
skończonym horyzontem czasowym i uwzględnia zmiany demograficzne. Modele takie,
określane także jako OLG (ang. overlapping-generations models), powstały dzięki pracom
Paula Samuelsona (Samuelson, 1958) i Petera Diamonda (Diamond, 1965). Podejście
Samuelsona różni się od przedstawionej tutaj koncepcji Diamonda tym, że nie obejmuje
akumulacji kapitału.12
Model Diamonda uwzględnia zmiany demograficzne: rodzą się wciąż młode pokolenia
(jednostki), a stare ciągle odchodzą. Gospodarstwa domowe żyją przez dwa okresy. W
pierwszym okresie ich członkowie są młodzi, pracują, osiągają dochód, który dzielą między
bieżącą konsumpcję i oszczędności. Oszczędności powiększone o odsetki służą do
finansowania konsumpcji w drugim okresie, kiedy ludzie są starzy i nie pracują. Pomimo
powyższych modyfikacji, model Diamonda podobnie jak modele Solowa i Ramseya wyjaśnia
długookresowy wzrost gospodarczy i dlatego jest zaliczany do modeli neoklasycznych.
Scharakteryzujemy teraz model Diamonda dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.
Poziom techniki i siła robocza rosną w stałym tempie, równym odpowiednio a i n:13
At = At–1(1 + a) oraz Lt = Lt–1(1 + n). Funkcja produkcji F(Kt,AtLt) wykazuje stałe przychody
względem kapitału i efektywnego zasobu pracy, charakteryzuje się malejącą krańcową
produkcyjnością każdego czynnika oraz spełnia warunki Inady.
Analiza zachowań przedsiębiorstw w modelu Diamonda jest identyczna jak w modelu
Ramseya. Warunkiem maksymalizacji zysku jest zrównanie krańcowego produktu danego
czynnika z jego ceną (por. [1b.2]):
( )'t tr f k δ= − oraz ( ) ( )'t t t t tw A f k k f k = ⋅ − . [1c.1]
Przejdziemy teraz do analizy zachowań gospodarstw domowych. Oznaczmy przez c1t
konsumpcję młodej osoby, a przez c2t konsumpcję osoby starej w okresie t. Niech ρ > 0
będzie stopą preferencji czasowych. Funkcja użyteczności poszczególnych osób jest sumą
użyteczności z konsumpcji dóbr w obu okresach życia (młodości i starości):14
( ) ( )1 11 2 1
1 2 11 11 1
1 1 1 1t t
t t tc cU u c u c
σ σ
ρ σ ρ σ
− −+
+
− −= + = +
+ − + −. [1c.2]
12 Nieco innym modelem o skończonym horyzoncie czasowym jest model Blancharda (Blanchard, 1985). 13 Ponieważ w modelu Diamonda jednostki żyją przez dwa okresy, do jego analizy używa się czasu dyskretnego, a nie – jak we wcześniejszych modelach – czasu ciągłego. Wszystkie zmienne muszą być zatem oznaczone indeksem dolnym, wskazującym na odpowiedni okres. Trzeba pamiętać, aby nie utożsamiać jednego okresu z jednym rokiem. Jeden okres w modelu Diamonda odpowiada długości życia jednego pokolenia, tj. ok. 30 lat. 14 Konsumpcja ludzi młodych urodzonych w okresie t to c1t. Osoby urodzone w okresie t są jednak stare w następnym okresie, t + 1, toteż ich konsumpcja w okresie starości jest zapisywana jako c2t+1.
18
Użyteczność z okresu starości jest dyskontowana stopą preferencji czasowych, co oznacza, że
jednostki preferują konsumpcję w okresie młodości. Każda młoda osoba pracuje, dostarczając
na rynek jedną jednostkę pracy. Uzyskany dochód wt przeznacza na konsumpcję w okresie
młodości c1t i na oszczędności stwt (st – stopa oszczędności). Oszczędności powiększone o
odsetki służą do finansowania konsumpcji w okresie starości: c2t+1 = (1 + rt+1)stwt. A zatem
ograniczeniem budżetowym gospodarstwa domowego jest:
1 2 11
11t t t
t
c c wr +
+
+ =+
. [1c.3]
Gospodarstwa domowe maksymalizują użyteczność z konsumpcji w obu okresach życia
([1c.2]) przy ograniczeniu budżetowym ([1c.3]). W celu rozwiązania tego problemu
optymalizacyjnego należy skonstruować funkcję Lagrange’a: 1 11 2 1
1 2 11
1 11 11 1 1 1
t tt t t
t
c c c c wr
σ σ
λσ ρ σ
− −+
++
− −= + + + − − + − +
l [1c.4]
i odpowiednie warunki pierwszego rzędu:
1/ 0tc∂ ∂ =l ; 2 1/ 0tc +∂ ∂ =l ; / 0λ∂ ∂ =l . [1c.5]
Rozwiązując dwa pierwsze z powyższych warunków i dzieląc je przez siebie uzyskujemy
równanie wskazujące na optymalny podział konsumpcji w obu okresach życia jednostek: 1
2 1 1
1
11
t t
t
c rc
σ
ρ+ + +
= + . [1c.6]
Równanie [1c.6] jest bardzo podobne do pierwszego z równań [1b.7] w modelu Ramseya.
Obie formuły wskazują, że kierunek zmian konsumpcji w czasie zależy od wzajemnej relacji
między stopą procentową a stopą preferencji czasowych. Jeżeli stopa procentowa jest wyższa
niż stopa preferencji czasowych, to konsumpcja rośnie w czasie; jeżeli niższa – konsumpcja
maleje w czasie; zaś jeśli rt+1 = ρ, wówczas konsumpcja w czasie jest stała. Elastyczność
substytucji funkcji użyteczności 1/σ informuje o sile oddziaływania różnicy między stopą
procentową a stopą preferencji czasowych na zmiany konsumpcji w czasie.
Podstawiając c2t+1, uzyskane z równania [1c.6], do ograniczenia budżetowego [1c.3] i
wykorzystując następnie fakt, że c1t = (1 – st)wt, uzyskujemy stopę oszczędności:
( ) ( )( ) ( ) σ
σσ
σσ
ρ−
+
−
++
+++
+= 1
1
1
1
11
11
1
t
tt
r
rrs . [1c.7]
Stopa oszczędności należy do przedziału (0;1). Żeby określić, jak się ona zmienia pod
wpływem zmian stopy procentowej, różniczkujemy [1c.7] względem rt+1:
19
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1 1
11 1
1
1 1 1 / 1 1tt t
t
ds rr r
dr
σ σσ σ σ σ
σ ρ ρσ
− −+
+ ++
− = + + + + +
. [1c.8]
Powyższe równanie wskazuje, że wpływ stopy procentowej na oszczędności zależy od
tego, czy σ jest większa czy mniejsza od jedności. Jeżeli σ < 1, stopa oszczędności rośnie pod
wpływem wzrostu stopy procentowej; jeżeli σ > 1, stopa oszczędności maleje wraz ze
wzrostem stopy procentowej; jeżeli σ = 1, stopa oszczędności nie zależy od r. Jak zatem
widać, wzrost stopy procentowej wywołuje potencjalnie dwa efekty: substytucyjny i
dochodowy.
Przejdziemy teraz do analizy dynamiki całej gospodarki. Oznaczmy przez Ct łączną
konsumpcję wszystkich osób żyjących w okresie t. Ponieważ w okresie t żyje Lt młodych
jednostek i Lt–1 starych jednostek, Ct = c1tLt + c2tLt–1. Przyrost kapitału Kt+1 – Kt to inwestycje
It pomniejszone o amortyzację kapitału δKt. Przedsiębiorstwa w długim okresie nie osiągają
zysków, a zatem produkcja jest równa sumie wynagrodzeń czynników wytwórczych:
Yt = wtLt + (rt + δ)Kt. Wykorzystując powyższe zależności, tożsamość dochodu Yt = Ct + It
można zapisać jako:
1 2 1 1t t t t t t t t t t t tw L r K K c L c L K K Kδ δ− ++ + = + + − + . [1c.9]
Konsumpcja osób starych musi się równać ich oszczędnościom, czyli kapitałowi w danym
okresie powiększonym o odsetki: c2tLt–1 = Kt(1 + rt). A zatem, równanie [1c.9] przekształca
się do postaci:
1t t t tK s w L+ = . [1c.10]
Powyższy wzór wskazuje, że łączna wielkość oszczędności społeczeństwa w okresie t jest
równa wielkości kapitału w następnym okresie. Równanie [1c.10] przeliczone na jednostkę
efektywnej pracy jest następujące:
( ) ( )( )1 / 1 1t t t t t tk s w L A L a n+ = + + . [1c.11]
Wykorzystując [1c.7] i [1c.1], z [1c.11] uzyskujemy ostateczne równanie ruchu opisujące
dynamikę gospodarki w modelu Diamonda:
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )1
11 11
1
1 '1 1 '1 1 1 1 '
tt t t t
t
f kk f k k f k
a n f k
σσ
σσσ
δ
ρ δ
−
++ −
+
+ − = − + + + + + −
. [1c.12]
Powyższe równanie jest nieliniowym równaniem różnicowym opisującym dynamikę
kapitału na jednostkę efektywnej pracy. Dla każdej wielkości k w okresie t równanie to
określa w sposób uwikłany wartość k w okresie t + 1. Ponieważ równanie [1c.12] określa
20
zależność między kt a kt+1 w sposób uwikłany, w celu znalezienia równowagi długookresowej
i dynamiki okresu przejściowego należy rozpatrywać konkretne postacie funkcji produkcji i
funkcji użyteczności.
Załóżmy, że funkcja produkcji jest typu Cobba-Douglasa f(kt) = Bktα (B > 0), a funkcja
użyteczności jest logarytmiczna (σ = 1). W takim przypadku [1c.12] upraszcza się do postaci:
( )11 1 1 1
1 1 2t t tk B k ka n
α ααρ+ = − ≡ Θ
+ + +, 0Θ > . [1c.13]
W stanie równowagi długookresowej kapitał na jednostkę efektywnej pracy jest stały, a
zatem: kt = kt+1 = k*. Wykorzystując ten fakt, z równania [1c.13] otrzymujemy wielkość
kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym:
( )1
11 1 1* 11 1 2
k Ba n
αα
ρ
− = − + + +
. [1c.14]
Rysunek 1.3 ilustruje rozwiązanie równania [1c.13] w postaci graficznej.
Rysunek 1.3 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Diamonda
kt
kt+1
k*
k*
k0 k1
k1
k2
k2
kt+1 = Θktα
45°
Rysunek 1.3 przedstawia kt+1 jako funkcję kt. Stan ustalony znajduje się w punkcie
przecięcia tej funkcji z linią 45°. Ponieważ funkcja kt+1 jest rosnąca, wypukła ku górze i
spełnia warunki Inady, przecina ona linię 45° od góry i tylko raz. Oznacza to, że występuje
jeden stabilny stan równowagi długookresowej (pomijając k* = 0). A zatem, z każdego
początkowego poziomu kapitału (wyłączając k0 = 0) gospodarka zbiega do stanu ustalonego.
W równowadze długookresowej kapitał, konsumpcja i produkcja na jednostkę efektywnej
pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest równe sumie postępu technicznego
oraz tempa wzrostu liczby ludności, a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe
postępowi technicznemu. A zatem, model Diamonda w taki sam sposób jak modele Solowa i
21
Ramseya określa determinanty długookresowego wzrostu gospodarczego.15
Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Diamonda jest dynamicznie
nieefektywna, mimo występowania endogenicznej stopy oszczędności. Dynamiczna
nieefektywność wynika z dwóch powodów. Po pierwsze, w modelu występują zmiany
demograficzne: gospodarstwa domowe żyją przez dwa okresy, podczas gdy gospodarka
rozwija się w nieskończoność. Po drugie, stawka płacy zmienia się wraz z wiekiem – osoby
młode otrzymują wynagrodzenie równe w, zaś wynagrodzenie osób starych, którzy nie
pracują, wynosi zero. Te dwa czynniki powodują, że w gospodarce możliwa staje się
nadmierna akumulacja kapitału.
W celu wykazania dynamicznej nieefektywności rozważmy problem optymalizacyjny
centralnego planisty, który maksymalizuje konsumpcję na 1 mieszkańca Ct/(Lt + Lt–1).
Ponieważ konsumpcja na 1 mieszkańca jest liniowo zależna od konsumpcji na 1 pracownika:
Ct/(Lt + Lt–1) = (Ct/Lt)(1 + n)/(2 + n), zadanie centralnego planisty upraszcza się do
maksymalizacji konsumpcji na 1 pracownika i – tym samym – konsumpcji na jednostkę
efektywnej pracy. W celu znalezienia poziomu konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w
stanie ustalonym (c*) dzielimy równanie PKB: Yt = Ct + It = Ct + Kt+1 – Kt + δKt przez AtLt i
wykorzystujemy fakt, że w stanie ustalonym kt = kt+1 = k*:
( ) ( )* * *c f k n a na kδ= − + + + . [1c.15]
Maksymalizacja [1c.15], określająca poziom kapitału w złotej regule, prowadzi do
warunku zrównującego krańcowy produkt kapitału z wyrażeniem (n + a + na + δ):
( )' GOLDf k n a na δ= + + + . [1c.16]
Przy założeniu na ≈ 0, warunek złotej reguły [1c.16] jest identyczny jak warunek złotej reguły
w poprzednich modelach. Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa o postaci f(kt) = Bktα poziom
kapitału w złotej regule wynosi: 1
1
GOLDBk
n a naαα
δ− = + + +
. [1c.17]
Porównując [1c.14] z [1c.17], czyli wielkość kapitału w warunkach równowagi
długookresowej w modelu Diamonda z wielkością kapitału w złotej regule, widzimy, że w
15 Tempo wzrostu PKB ogółem w modelu z czasem dyskretnym to (Yt+1 – Yt)/Yt. Po przekształceniach powyższe wyrażenie jest równe n + a + na (w stanie równowagi długookresowej), co w przybliżeniu jest równe n + a (na ≈ 0). W modelu Diamonda liczba pracowników w okresie t (Lt) nie jest równa liczbie ludności (Lt + Lt–1). Jednak tempo wzrostu PKB na jednego pracownika (Yt+1/Lt+1 – Yt/Lt)/(Yt/Lt) jest takie samo jak tempo wzrostu PKB na jednego mieszkańca [Yt+1/(Lt+1 + Lt) – Yt/(Lt + Lt–1)]/[Yt/(Lt + Lt–1)] i jest równe a w stanie równowagi długookresowej.
22
modelu Diamonda jest możliwa zbyt duża akumulacja kapitału w gospodarce, co oznacza
dynamiczną nieefektywność. Zjawisko to jest tym bardziej prawdopodobne, im niższe są:
stopa preferencji czasowych ρ, tempo wzrostu liczby ludności n, udział wynagrodzenia
kapitału fizycznego w dochodzie α, oraz im wyższa jest stopa amortyzacji δ.
Model Diamonda – podobnie jak modele Solowa i Ramseya – potwierdza występowanie
konwergencji warunkowej. W celu wykazania zjawiska zbieżności i obliczenia
współczynnika informującego o szybkości zbieżności, linearyzujemy równanie dynamiki
gospodarki [1c.13] wokół stanu ustalonego. Rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wynosi:
( ) ( )1
11
*
* * * *t t
tt t t
t k k k
dkk k k k k k kdk
α+
++
= =
≈ + − = + − . [1c.18]
Równanie [1c.18] jest liniowym równaniem różnicowym pierwszego rzędu, którego
rozwiązaniem jest ścieżka ruchu dla kt:
( )0 * *ttk k k kα= − + . [1c.19]
Z [1c.19] można obliczyć tempo wzrostu gospodarczego w trakcie okresu przejściowego:
( )1 *1t t t
t t
k k k kk k
α+ − −= − . [1c.20]
Równanie [1c.20] informuje, że tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do
odległości dzielącej gospodarkę od jej stanu równowagi długookresowej. Współczynnik
informujący o szybkości zbieżności wynosi 1 – α. Na pierwszy rzut oka zbieżność w modelu
Diamonda jest znacznie szybsza niż w modelu Solowa. Przy rozsądnych wartościach
parametrów, np. α = 1/3 i n + a + δ = 0,06, współczynnik szybkości zbieżności wynosi 4% dla
modelu Solowa i 67% dla modelu Diamonda. Trzeba jednak pamiętać, że wielkości te nie
mogą być bezpośrednio ze sobą porównywalne, gdyż w modelu Diamonda długość okresu
jest równa długości życia jednego pokolenia ludności.
23
3. Modele endogeniczne
Wraz z nadejściem na początku lat siedemdziesiątych XX w. kryzysu związanego z
podwyżkami cen ropy naftowej i wywołaną tym zmianą dotychczasowych trendów
rozwojowych wielu gospodarek zachodnich, teoria wzrostu zeszła na drugi plan obszarów
zainteresowań ekonomistów. Przełom nastąpił dopiero w 1986 r. wraz z artykułem Paula
Romera (Romer, 1986), inicjującym erę endogenicznych modeli wzrostu gospodarczego.16
Modele endogeniczne – jak sama nazwa wskazuje – wyjaśniają wzrost gospodarczy w
sposób endogeniczny, tj. w ramach modelu. Cecha ta stanowi przeciwieństwo neoklasycznej
teorii wzrostu, gdzie długookresowy wzrost zależał od egzogenicznego postępu technicznego,
wprowadzonego do modelu wraz z innymi założeniami. Osiągnięcie endogenicznego wzrostu
gospodarczego jest możliwe dzięki odejściu od neoklasycznej funkcji produkcji, zakładającej
malejące przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. W grupie modeli endogenicznych
występują co najmniej stałe przychody z takich czynników.
Podstawą nowej teorii wzrostu jest wprowadzenie w struktury modelu Solowa funkcji
produkcji o postaci:
( ) ( )Y t AK t= , [1d.1]
charakteryzującej się stałymi przychodami względem kapitału, jedynego odtwarzalnego
czynnika produkcji. Wykorzystując tożsamość dochodu Y = C + I = C + dK/dt oraz równość
inwestycji i oszczędności I = sY (gdzie s jest egzogeniczną stopą oszczędności), tempo
wzrostu gospodarczego w tak opisanym modelu jest równe:
Y sAY
=&
. [1d.2]
Powyższe równanie pokazuje, iż endogeniczny wzrost gospodarczy jest możliwy bez
wprowadzania do modelu egzogenicznego postępu technicznego. Z równania [1d.2] wynika
bowiem, że gospodarka cały czas rozwija się w tempie równym sA. Równanie [1d.2]
informuje także, iż wzrost stopy oszczędności wystarczy do trwałego przyspieszenia
długookresowego wzrostu gospodarczego. Ponieważ funkcja produkcji ma postać Y = AK, to
proste ujęcie wzrostu jest znane pod nazwą „modelu AK”.
Osiągnięcie endogenicznego wzrostu następuje – ogólnie biorąc – dzięki wyeliminowaniu
założenia o malejących przychodach z odtwarzalnych czynników produkcji. W konkretnych
modelach wprowadzenie stałych przychodów przybiera różną postać. 16 Pierwsze prace zawierające elementy współczesnych modeli endogenicznych powstały jednak znacznie wcześniej, bo już w latach sześćdziesiątych XX w. (zob. np. Arrow, 1962; Kaldor, Mirrlees, 1962; Uzawa, 1964, 1965; Shell, 1966; Sheshinski, 1967).
24
Model learning-by-doing Romera jest ujęciem jednosektorowym, w którym
długookresowy wzrost jest osiągany dzięki istnieniu w skali całej gospodarki rosnących
przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. W podejściach Lucasa i Rebelo
endogeniczny wzrost jest możliwy dzięki istnieniu dwóch sektorów gospodarki i
występowaniu stałych przychodów w obu sektorach. Modele ze zwiększającą się liczbą dóbr
oraz z poprawiającą się jakością dóbr określane są mianem modeli B+R. W modelach takich
długookresowy wzrost jest uzyskiwany dzięki endogenizacji postępu technicznego, będącego
efektem prac badawczo-rozwojowych.
Przejdziemy teraz do szczegółowej analizy kilku podstawowych teorii wzrostu
endogenicznego: modelu learning-by-doing Romera, modelu Lucasa, modelu Rebelo, modelu
Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr, modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się
jakością dóbr oraz dodatkowo modelu Mankiwa-Romera-Weila, będącego rozszerzonym
modelem Solowa.
25
3.1. Model learning-by-doing Romera
Model Romera różni się od modeli neoklasycznych tym, że nie zakłada występowania
malejących przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. Wprost przeciwnie, wiedza,
jako jedyny odtwarzalny czynnik wytwórczy, wykazuje rosnące przychody na poziomie całej
gospodarki. Uzasadnieniem przyjęcia tego założenia jest to, że wiedza, która powstaje dzięki
inwestycjom pojedynczych przedsiębiorstw, może rozprzestrzeniać się nieograniczenie w
całej gospodarce i tym samym może być wykorzystywana przez wszystkie przedsiębiorstwa
bez konieczności ponoszenia dodatkowych kosztów. Powyższy mechanizm
rozprzestrzeniania się wiedzy jest określany angielskim terminem learning-by-doing, co
oznacza naukę (czyli nabywanie wiedzy) przez praktykę. Koncepcja learning-by-doing i
założenie o występowaniu rosnących przychodów nawiązują do pracy Arrowa z 1962 r.
(Arrow, 1962). Dzięki rosnącym przychodom model Romera pozwala osiągnąć
nieograniczony, coraz szybszy wzrost gospodarczy, bez uwzględniania zmiennych rosnących
w egzogenicznym tempie.
Oznaczmy przez fi funkcję produkcji pojedynczego przedsiębiorstwa:
( ), ,i i if a k A , [1e.1]
gdzie ai to poziom wiedzy danej firmy, ki to nakłady pozostałych czynników produkcji
(kapitału, pracy, itp.), zaś A to ogólny poziom wiedzy w gospodarce (suma wiedzy posiadanej
przez N firm): A = Σi=1Nai. Dla uproszczenia analizy zakładamy, że nakłady pozostałych
czynników są stałe (ki = const.), co oznacza, że wiedza jest jedynym odtwarzalnym
czynnikiem produkcji. Ponieważ wszystkie przedsiębiorstwa są identyczne, mamy:
fi(ai,ki,A) = f(a,k,A) oraz A = Na. Funkcja produkcji wykazuje rosnące przychody względem
wszystkich czynników wytwórczych: a, k, A, oraz stałe przychody względem a i k:
( ) ( ), , , ,f a k A f a k Aλ λ λ λ> oraz ( ) ( ), , , ,f a k A f a k Aλ λ λ= . [1e.2]
Ponieważ wszystkie inne czynniki produkcji poza wiedzą są stałe (k = const.), funkcje
produkcji można zapisać w postaci:
− na poziomie przedsiębiorstwa: ( ) ( ), , ,f a k A f a A= , [1e.3]
− na poziomie całej gospodarki: ( ) ( ) ( ), , , ,f a k A f a k Na F a= = . [1e.4]
Różnice w funkcjach produkcji prowadzą do różnic w krańcowych produkcyjnościach
wiedzy. Zakładamy, że krańcowa produkcyjność wiedzy na poziomie całej gospodarki rośnie,
zaś z punktu widzenia przedsiębiorstwa jest ona malejąca lub stała:
26
( )2
2
,0
d f a Ada
≤ oraz ( )2
2 0d F a
da> . [1e.5]
Produkcja jest przeznaczana na konsumpcję (c) lub na inwestycje (i) służące tworzeniu
nowej wiedzy: f = c + i. Liczba konsumentów jest równa liczbie przedsiębiorstw, co oznacza,
że odpowiednie wielkości w przeliczeniu na 1 przedsiębiorstwo są równe wielkościom na 1
mieszkańca. Akumulacja wiedzy następuje według funkcji g(i/a), wykazującej malejące
przychody i ograniczonej z góry stałą γ:
a iga a
γ = <
&. [1e.6]
Górne ograniczenie tempa wzrostu wiedzy jest konieczne, aby konsumpcja i użyteczność nie
rosły w nieskończoność. Ponieważ wiedza nie amortyzuje się, da/dt ≥ 0.
Założenia dotyczące sektora gospodarstw domowych są analogiczne do modelu Ramseya.
Funkcja użyteczności ma postać:
( )0
tU u c e dtρ∞
−= ∫ , [1e.7]
gdzie ρ > 0 jest stopą preferencji czasowych.
Przejdziemy teraz do wyznaczenia równowagi dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.
W tym celu maksymalizujemy funkcję użyteczności [1e.7] przy ograniczeniu [1e.6] i
uwzględnieniu faktu, że i = f(a,A) – c oraz da/dt ≥ 0:
( )0
max.tU u c e dtρ∞
−= →∫ [1e.8]
p.w. (a) ( ),f a A ca ag
a −
=
& ; (b) 0a ≥& ; (c) ( )0a dane.
Powyższy problem optymalizacyjny jest analogiczny do problemu optymalizacyjnego [1b.4]
w neoklasycznym modelu Ramseya. Różnica polega na tym, że w modelu Romera
ograniczeniem jest równanie ruchu wiedzy, gdyż wiedza jest jedynym odtwarzalnym
czynnikiem produkcji. Gospodarstwa domowe, rezygnując z bieżącej konsumpcji, zwiększają
inwestycje i tym samym akumulację wiedzy w gospodarce, która – w przeciwieństwie do
kapitału – wykazuje rosnące przychody i dlatego pozwala na szybszy wzrost produkcji z
danej wielkości oszczędności. Dodatkowo, ponieważ wiedza nie amortyzuje się, da/dt ≥ 0.
Rozwiązanie [1e.8] wymaga zastosowania teorii sterowania. Konstruujemy hamiltonian
wartości zaktualizowanej i warunki pierwszego rzędu:
27
( ) ( ),f a A cH u c ag
aθ
−= +
, [1e.9]
0Hc
∂=
∂; Ha
θ∂
=∂
& ; Ha
θ ρθ ∂= −
∂& ; lim 0t
te aρ θ−
→∞= . [1e.10]
Z [1e.10] otrzymujemy następujące równania charakteryzujące dynamikę gospodarki:
'u gc
θ∂=
∂; a ag=& ; ' f f cg g
a a aθ ρθ
∂ = − − − + ∂
&; lim 0t
te aρ θ−
→∞= . [1e.11]
W celu uproszczenia obliczeń, w dalszej części analizy uwzględniamy konkretne postacie
funkcji produkcji dóbr f, funkcji produkcji wiedzy g i funkcji użyteczności u:17
( ) ( ),f a A a A a Na βα β α= = ; /f c f cga a
γ γ− − = +
; ( )u c c= . [1e.12]
Dla powyższych funkcji trzy pierwsze równania [1e.11] upraszczają się do:
( )0,5 1c f aγ θ= − − ; ( )0,51a aγ θ −= −& ; ( ) ( )2
12 1
ica a Nai ai
a a
βαγθ γρ α
θ γ γ
− = − − − + + +
&.
Powyższe równania, powiększone o warunek transwersalności, opisują dynamikę
gospodarki na optymalnej ścieżce wzrostu w modelu Romera. Na ich podstawie konstruujemy
wykres fazowy w przestrzeni (a,θ), przedstawiający graficzną postać otrzymanych wyników i
wskazujący na optymalną trajektorię rozwoju gospodarki doskonale konkurencyjnej. Diagram
fazowy został pokazany na rysunku 1.4.18
Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera różni się od dynamiki
gospodarki w modelach neoklasycznych przede wszystkim tym, że w modelu Romera brak
jest stanu ustalonego. Jeśli dla początkowego poziomu wiedzy a(0) zostanie wybrana taka
wielkość konsumpcji, że θ(0) = θ(0)S, to gospodarka znajdzie się na optymalnej trajektorii
T2T2 i będzie wykazywała nieograniczony wzrost gospodarczy. Można wykazać (zob. Romer,
1986), że na trajektorii tej jest spełniony warunek transwersalności. Jeżeli wybrana
początkowa wartość zmiennej θ będzie inna, to gospodarka będzie rozwijać się
nieoptymalnie: zbyt niski poziom konsumpcji (i odpowiadająca temu wartość θ(0)D)
przesuwa gospodarkę na trajektorię T3T3, na której nie jest spełniony warunek
17 Zakładamy dodatkowo: (a) 0 < α ≤ 1; (b) α + β > 1; (c) γ(α + β) < ρ. Pierwsze dwa założenia wynikają stąd, że krańcowy produkt wiedzy na poziomie całej gospodarki rośnie, zaś z punktu widzenia przedsiębiorstwa może być co najwyżej stały. Warunek (c) jest niezbędny do istnienia optimum społecznego (zob. Romer, 1986). 18 Konstrukcja diagramu fazowego jest dość skomplikowana, zwłaszcza jeśli chodzi o wyznaczenie krzywej dθ/dt = 0. Osoby zainteresowane sposobem wyprowadzenia obu krzywych prosimy o kontakt z autorem.
28
transwersalności (zob. Romer, 1986), natomiast zbyt duża konsumpcja (przy θ równym
θ(0)M) wprowadzi gospodarkę na trajektorię T1T1, co doprowadzi do zaniku akumulacji
wiedzy i niespełnienia warunków pierwszego rzędu.
Rysunek 1.4 Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera
θ(0)D
a
θ
0a =&
0θ =&
a(0)
θ(0)S T1
T1
T2 T3
T3
T2 Trajektoria optymalna
θ(0)M
0a =&
Na trajektorii optymalnej gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje trwały i coraz
szybszy wzrost gospodarczy. Tempo powiększania wiedzy rośnie, zbliżając się
asymptotycznie do swojej górnej granicy wzrostu γ. W związku z tym tempo wzrostu
produkcji oraz konsumpcji także rośnie, osiągając asymptotycznie górną granicę γ(α + β).
Model Romera nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji między krajami. Co
więcej, model ten wskazuje na istnienie tendencji dywergencyjnych. W koncepcji Romera
tempo wzrostu gospodarczego zwiększa się wraz ze wzrostem poziomu dochodu, co oznacza,
że kraje wysoko rozwinięte rozwijają się szybciej niż kraje słabo rozwinięte. Mimo że tempo
wzrostu gospodarczego dąży asymptotycznie do tej samej górnej granicy, to jednak kraje
biedne będą rozwijać się wolniej, gdyż w danym momencie będą dysponowały mniejszym
zasobem wiedzy. A zatem, różnice w poziomie dochodów między krajami będą się trwale
zwiększać.
Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Romera nie jest optymalna w sensie
Pareta. Wynika to stąd, że inwestycje w wiedzę dokonywane przez jedno przedsiębiorstwo
przyczyniają się do wzrostu ogólnego poziomu wiedzy w gospodarce, będącego wspólnym
czynnikiem produkcji. Jednak pojedyncze przedsiębiorstwo w swoich decyzjach
inwestycyjnych nie uwzględnia tych dodatnich efektów zewnętrznych. Krańcowy produkt
wiedzy z punktu widzenia pojedynczego przedsiębiorstwa (MPaKD) jest mniejszy niż
29
krańcowy produkt wiedzy na poziomie całej gospodarki (MPaCP):
( ) 1,KD
df a AMPa a A
daα βα −≡ = ; ( ) ( ) ( ) 11,
CP KD
df a NaMPa a Na a Na N MPa
daβ βα αα β −−≡ = + > .
A zatem, krzywa dθ/dt = 0 z diagramu fazowego dla gospodarki centralnie planowanej
będzie położona wyżej niż analogiczna krzywa dla gospodarki doskonale konkurencyjnej.
Oznacza to, że gospodarka doskonale konkurencyjna akumuluje zbyt mało wiedzy i wykazuje
niższe tempo wzrostu niż gospodarka kierowana przez centralnego planistę.
Ten ostatni wniosek jest na pierwszy rzut oka nieco szokujący. Ma on związek z tym, że
model Romera uwzględnia dodatnie efekty zewnętrzne. Przedstawiona koncepcja learning-
by-doing wskazuje na potrzebę interwencji państwa w celu zapewnienia takiego poziomu
akumulacji wiedzy, który będzie optymalny z punktu widzenia całej gospodarki. Bez
zaangażowania państwa przedsiębiorstwa będą brały pod uwagę jedynie koszty i korzyści
prywatne. W efekcie w gospodarce doskonale konkurencyjnej poziom wiedzy oraz tempo
wzrostu PKB okażą się niższe niż w gospodarce z państwem.
30
3.2. Model Lucasa
Model Lucasa należy do grupy dwusektorowych modeli wzrostu gospodarczego, w
których uwzględnia się – oprócz kapitału fizycznego – również kapitał ludzki. Koncepcja
gospodarki składającej się z dwóch sektorów nawiązuje do prac Uzawy (Uzawa, 1964, 1965),
dlatego też model Lucasa nazywany jest również modelem Uzawy-Lucasa.19 Przedstawiony
w niniejszym opracowaniu model jest oryginalną wersją pochodzącą z artykułu Roberta
Lucasa (Lucas, 1988). Oryginalna wersja modelu nawiązuje ponadto do koncepcji learning-
by-doing i związanych z tym rosnących przychodów, a więc do teorii Romera, z tą tylko
różnicą, że teraz źródłem efektów zewnętrznych jest akumulacja kapitału ludzkiego. Rosnące
przychody w modelu Lucasa nie są jednak konieczne do osiągnięcia długookresowego
wzrostu gospodarczego. Endogeniczny wzrost jest osiągany dzięki istnieniu dwóch sektorów
gospodarki i występowaniu stałych przychodów w każdym z nich.
Oznaczmy przez H ∈ (0;∞) zasób kapitału ludzkiego posiadany przez daną osobę, a przez
N(H) liczbę osób z kapitałem ludzkim w wysokości H. Każda z takich osób przeznacza u(H)
swojego czasu pracy na akumulację kapitału fizycznego oraz 1 – u(H) na akumulację kapitału
ludzkiego. Ogólna liczba ludności (N), efektywna siła robocza w produkcji dóbr (L) i
przeciętny poziom kapitału ludzkiego w gospodarce (Ha) są zatem równe:
( )0
N N H dH∞
= ∫ ; ( ) ( )0
L u H N H HdH∞
= ∫ ; ( )
0a
N H HdHH
N
∞
=∫
. [1f.1]
Dla uproszczenia analizy przyjmujemy, że wszystkie osoby są identyczne, toteż równania
[1f.1] upraszczają się do postaci: L = uNH oraz Ha = H.
Zakładamy, że liczba ludności rośnie w stałym tempie n (dN/dt/N = n) i jest to jedyna
zmienna w modelu rosnąca egzogenicznie. Technika, której zmiany określały długookresowy
wzrost gospodarczy w modelach neoklasycznych, jest teraz stała (A = const.). Rozpatrujemy
model bez amortyzacji (δ = 0).
Produkcja dóbr jest funkcją trzech czynników: kapitału fizycznego K, efektywnego zasobu
siły roboczej L i przeciętnego poziomu kapitału ludzkiego w gospodarce Ha:
( )11a aY AK L H AK uNH Hαα α γ α γ−−= = . [1f.2]
Wprowadzenie zmiennej Ha do funkcji produkcji pozwala uwzględnić efekty zewnętrzne
towarzyszące akumulacji kapitału ludzkiego: indywidualne zwiększanie kapitału ludzkiego
19 Na przykład, w modelu Uzawy z 1964 r. (Uzawa, 1964) nie występował kapitał ludzki: w jednym sektorze były wytwarzane dobra konsumpcyjne, zaś w drugim – dobra kapitałowe (inwestycyjne).
31
wpływa na wzrost jego ogólnej wielkości w gospodarce i przez to na wzrost produkcyjności.
Jak już wspomnieliśmy, efekty zewnętrzne nie są w modelu Lucasa niezbędne do osiągnięcia
endogenicznego wzrostu gospodarczego. Funkcja produkcji wykazuje stałe przychody na
poziomie przedsiębiorstwa (względem K i L) oraz rosnące przychody na poziomie całej
gospodarki (względem K, L i Ha). Wykorzystując tożsamość dochodu Y = C + I, przyrost
kapitału fizycznego można zapisać w postaci:
( )1aK AK uNH H Ncαα γ−= −& . [1f.3]
Akumulacja kapitału ludzkiego zależy od dotychczasowego poziomu kapitału ludzkiego w
gospodarce oraz od podziału czasu pracy między produkcję w obu sektorach gospodarki:
( )1H H G uζ= −& , [1f.4]
gdzie G’ > 0 i G(0) = 0. Dla uzyskania endogenicznego wzrostu gospodarczego akumulacja
kapitału ludzkiego nie może wykazywać malejących przychodów. Zakładamy zatem, że ζ = 1
oraz dodatkowo, że funkcja G jest liniowa: G = µ(1 – u). Równanie [1f.4] upraszcza się tym
samym do postaci:
( )1H H uµ= −& . [1f.5]
Gospodarstwa domowe maksymalizują funkcję użyteczności w okresie całego życia: 1
0
11
t ce Ndtσ
ρ
σ
∞ −− −
−∫ . [1f.6]
Przejdziemy teraz do analizy modelu dla gospodarki centralnie planowanej. Celem
centralnego planisty jest maksymalizacja użyteczności [1f.6] przy ograniczeniach w postaci
równań ruchu dla obu rodzajów kapitału ([1f.3] i [1f.5]) oraz Ha = H: 1
0
1 max.1
t ce Ndtσ
ρ
σ
∞ −− −
→−∫ [1f.7]
p.w. (a) ( )1aK AK uNH H Ncαα γ−
= −& ; (b) ( )1H H uµ= −& ; (c) aH H= ; (d) ( ) ( )0 i 0K H dane.
Aby rozwiązać powyższy problem optymalizacyjny, w którym występują dwie zmienne
sterujące: c i u oraz dwie zmienne stanu: K i H, konstruujemy hamiltonian wartości
zaktualizowanej:
( ){ } ( ){ }1
11 2
1 11
c N AK uHN H Nc H uσ
αα γθ θ µσ
−−−
ℵ = + − + −−
[1f.8]
i warunki pierwszego rzędu:
(I) 0c
∂ℵ=
∂; (II) 0
u∂ℵ
=∂
; (III) 1
Kθ
∂ℵ=
∂& ; (IV)
2
Hθ
∂ℵ=
∂& ; (V) 1 1 K
θ ρθ ∂ℵ= −
∂& ;
32
(VI) 2 2 Hθ ρθ ∂ℵ
= −∂
& ; (VII) 1lim 0t
te Kρ θ−
→∞= ; (VIII) 2lim 0t
te Hρ θ−
→∞= . [1f.9]
Analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej jest w zasadzie taka sama, z tą tylko
różnicą, że nie uwzględnia się ograniczenia Ha = H podczas maksymalizacji. Pojedyncze
jednostki w swoich decyzjach optymalizacyjnych nie biorą pod uwagę faktu, że wzrost
akumulacji ich kapitału ludzkiego wpływa również na wzrost przeciętnej wielkości kapitału
ludzkiego w gospodarce. A zatem, spośród warunków pierwszego rzędu jedynie rozwiązanie
warunku (VI) będzie inne w obu typach gospodarek.
Z warunków (I) i (II) otrzymujemy:
1 c σθ −= oraz ( ) 1 11 21 AK u N H Hα α α α γα θ θ µ− − − +− = . [1f.10]
Pierwsze z równań [1f.10] wskazuje, że dobra muszą być jednakowo wyceniane w obu
zastosowaniach: konsumpcji i akumulacji kapitału. Drugie z równań [1f.10] informuje, że
czas pracy musi być jednakowo wyceniany w produkcji i akumulacji kapitału ludzkiego.
Warunki (III) i (IV) to początkowe równania ruchu dla kapitału fizycznego i ludzkiego
([1f.3] i [1f.5]). Z warunku (V) otrzymujemy:
( )111 1 1 AK uHN Hαα γθ ρθ θ α −−= −& . [1f.11]
Warunek (VI) przyjmuje inną postać dla gospodarki centralnie planowanej i doskonale
konkurencyjnej:
− gospodarka centralnie planowana:
( ) ( ) ( )12 2 1 21 1AK H uN uαα γ αθ ρθ θ α γ θ µ−−= − − + − −& , [1f.12]
− gospodarka doskonale konkurencyjna:
( ) ( ) ( )12 2 1 21 1AK H uN uαα γ αθ ρθ θ α θ µ−−= − − − −& . [1f.13]
Jeżeli γ = 0, tzn. gdy nie ma efektów zewnętrznych, równania [1f.12] i [1f.13] są identyczne.
Występowanie efektów zewnętrznych powoduje, że krańcowa produkcyjność kapitału na
poziomie całej gospodarki jest większa niż na poziomie prywatnym. A zatem, gospodarka
doskonale konkurencyjna nie będzie optymalna w sensie Pareta.
Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10] – [1f.12], powiększone o dwa warunki transwersalności,
opisują dynamikę gospodarki centralnie planowanej na optymalnej ścieżce wzrostu.
Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10], [1f.11] i [1f.13] wraz z dwoma warunkami transwersalności
opisują dynamikę gospodarki doskonale konkurencyjnej na optymalnej ścieżce.
W celu rozwiązania układu czterech równań różniczkowych szukamy stanu ustalonego, w
którym konsumpcja na 1 mieszkańca (c), kapitał fizyczny (K), kapitał ludzki (H) oraz
33
zmienne sprzężone θ1 i θ2 wykazują stałe tempo wzrostu, zaś podział czasu pracy między
akumulację obydwu rodzajów kapitału (u) jest stały:
const.cc gc
≡ =&
; const.KK gK
≡ =&
; const.HH gH
≡ =&
; 1
1
const.θθ
=&
; 2
2
const.θθ
=&
[1f.14]
Aby obliczyć gc, gK i gH w stanie równowagi długookresowej w modelu Lucasa, należy
dokonać szeregu przekształceń równań charakteryzujących dynamikę gospodarki. W tym
opracowaniu ograniczymy się tylko do przedstawienia wyników.20
W stanie równowagi długookresowej krańcowy produkt kapitału fizycznego jest stały:
( )11cMPK AK uHN H gαα γα ρ σ−−≡ = + . [1f.15]
Tempo wzrostu kapitału fizycznego ogółem oraz na 1 mieszkańca zależy od tempa wzrostu
konsumpcji na 1 mieszkańca:
K cg n g= + oraz /K N cg g= . [1f.16]
W stanie równowagi długookresowej stopa oszczędności jest stała i wynosi:
( )c
c
n gI KsY Nc K g
αρ σ
+≡ = =
+ +
&
&. [1f.17]
Zależność między gc i gH jest następująca:
( )11
Hc
gg
α γα
− +=
−. [1f.18]
W tym miejscu kończy się jednoczesna analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej i
centralnie planowanej. Tempo wzrostu kapitału ludzkiego gH jest bowiem inne w obydwu
typach gospodarek:21
− gospodarka centralnie planowana: ( )1 11
CPHg nαµ ρ
σ α γ −
= − − − + , [1f.19]
− gospodarka doskonale konkurencyjna: ( ) ( ) ( )( )1 11
KDHg nα µ ρ
σ α γ γ= − − −
− + −. [1f.20]
Podstawiając [1f.19] i [1f.20] do [1f.18] uzyskujemy równania określające tempo wzrostu
konsumpcji i kapitału fizycznego na 1 mieszkańca w stanie ustalonym:
20 Osoby zainteresowane dokładną metodą przekształceń równań prosimy o kontakt z autorem. 21 Tempo wzrostu kapitału ludzkiego gH nie może przekroczyć górnej granicy µ, określonej założeniami modelu. Zatem musi być spełnione:
111
nα ρσα γ µ− −
≥ −− +
.
Powyższy warunek oznacza, że model nie ma zastosowania w przypadkach, gdy względna awersja do ryzyka jest bardzo niska (małe σ).
34
− gospodarka centralnie planowana: ( )( ) ( )/
1 11 1
CP CPc K Ng g n
α γ αµ ρσ α α γ
− + −= = − − − − +
, [1f.21]
− gospodarka doskonale konkurencyjna: ( ) ( )( )/
11
KD KDc K Ng g nα γ µ ρ
σ α γ γ− +
= = − −− + −
. [1f.22]
Równania [1f.19] – [1f.22] opisują tempo wzrostu gospodarki zachowującej się zgodnie z
modelem Lucasa. Jak widać, w modelu uzyskaliśmy endogeniczne tempo wzrostu
gospodarczego, które zwiększa się wraz ze wzrostem efektywności akumulacji kapitału
ludzkiego µ oraz maleje wraz ze wzrostem stopy dyskontowej ρ. Gospodarka doskonale
konkurencyjna wykazuje niższe tempo wzrostu niż gospodarka centralnie planowana:
dla σ = 1: ( ) 01
CP KDH Hg g nγ ρ
α γ− = − >
− +. [1f.23]
Na podstawie [1f.18] – [1f.23] widać, że występowanie efektów zewnętrznych (γ > 0) ma
dwojakie skutki dla dynamiki modelu. Po pierwsze, im większe są efekty zewnętrzne, tym
wyższe jest tempo wzrostu gospodarki centralnie planowanej w porównaniu z gospodarką
doskonale konkurencyjną. Po drugie, im większe są efekty zewnętrzne, tym wyższe jest
tempo wzrostu konsumpcji na 1 mieszkańca w porównaniu z tempem wzrostu kapitału
ludzkiego. W przypadku gdy γ = 0, gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje takie
samo tempo wzrostu jak gospodarka centralnie planowana, a wzrost konsumpcji per capita
jest równy wzrostowi kapitału ludzkiego.
Przejdziemy teraz do wyznaczenia poziomu kapitału w warunkach równowagi
długookresowej. W modelach neoklasycznych dla określonych parametrów modelu
występował jeden stan ustalony. Natomiast w modelu Lucasa występuje nieskończenie wiele
stanów ustalonych, różniących się zasobami kapitału fizycznego i ludzkiego. Gospodarka
dąży do jednego z nich, w zależności od położenia początkowego.
Aby to wykazać, zdefiniujemy zmienne k i h jako znormalizowane zasoby kapitału
fizycznego i ludzkiego, określające jednoznacznie poziomy zmiennych K i H w każdym
okresie:22
( ) ( ) ( )cg n tk t e K t− += oraz ( ) ( )Hg th t e H t−= . [1f.24]
Podstawiając [1f.24] do [1f.15] otrzymujemy:
22 Normalizacja jest konieczna, gdyż poziom kapitału fizycznego i ludzkiego wykazuje wzrost w stanie ustalonym (zgodnie z równaniami [1f.19] – [1f.22]). Zmienne znormalizowane k i h są natomiast stałe, gdy odpowiadające im zmienne K i H rosną w tempie równym odpowiednio gc + n i gH.
35
( ) ( )1 1 1 11
1 1 1 11 0ck g A uN h hα γ α γ
α α α ααρ σ α− + − +
− − − −−
= + ≡ Θ
. [1f.25]
Równanie [1f.25] wskazuje, że znormalizowane zasoby kapitału fizycznego i ludzkiego w
stanie równowagi długookresowej są ze sobą powiązane według ściśle określonej funkcji,
której graficzną postać przedstawia rysunek 1.5.
Krzywa zilustrowana na rysunku 1.5 przedstawia kombinacje wielkości kapitału
fizycznego i ludzkiego odpowiadające stanom równowagi długookresowej. W każdym
punkcie na tej krzywej tempo wzrostu K i H jest takie samo, określone równaniami [1f.19] –
[1f.22]. Natomiast poziomy obu zmiennych rosną w miarę przesuwania się po krzywej od
początku układu współrzędnych. W zależności od położenia początkowego, gospodarka
zmierza do pewnego punktu na krzywej k = Θh(1 – α + γ)/(1 – α), co pokazują zamieszczone
strzałki.
Rysunek 1.5 Równowaga długookresowa gospodarki w modelu Lucasa
h
k 1
1k hα γ
α− +
−= Θ
A
B
C
D
E
F
Model Lucasa bardzo dobrze nadaje się do wyjaśnienia różnic w poziomie dochodów
między krajami. Gospodarki, które startują z początkowego punktu o niskim zasobie kapitału
(np. A), osiągają równowagę długookresową w punkcie z niskim poziomem kapitału (D).
Gospodarki początkowo bogatsze, startujące np. z punktów B lub C, dążą do stanów
ustalonych F i E, charakteryzujących się wyższym poziomem kapitałów niż stan ustalony D.
W każdym ze stanów ustalonych tempo wzrostu jest jednak takie samo. A zatem, różnice w
poziomach dochodów między krajami nie znikają: kraje biedne pozostają biedne, zaś kraje
bogate są cały czas bogate.
Analiza dynamiki okresu przejściowego jest skomplikowana i wymaga zastosowania
metod numerycznych (zob. Mulligan, Sala-i-Martin, 1993). Przedstawimy tutaj najważniejsze
wnioski dotyczące dynamiki okresu przejściowego w modelu Uzawy-Lucasa.
36
Mulligan i Sala-i-Martin rozpatrują model Lucasa bez efektów zewnętrznych (γ = 0), ale z
uwzględnieniem amortyzacji kapitałów (δK > 0 i δH > 0). Ponieważ spośród dwóch
zmiennych sterujących: C i u oraz dwóch zmiennych stanu: K i H, jedynie zmienna u nie
wykazuje wzrostu w stanie ustalonym, w celu uzyskania stacjonarnego stanu ustalonego
pozostałe trzy zmienne zostały zredukowane do dwóch:
/ /C Kz C K≡ / /K Hz K H≡ . [1f.26]
Uwzględniając [1f.26], układ czterech nieliniowych równań różniczkowych (dla zmiennych
C, u, K i H) zredukował się do układu trzech równań różniczkowych (dla zmiennych u, zC/K i
zK/H, które są stałe w warunkach równowagi długookresowej).
W celu określenia stabilności równowagi, dokonana została linearyzacja trzech równań
różniczkowych wokół stanu ustalonego. Dla różnych parametrów modelu (nawet z
uwzględnieniem niewielkich efektów zewnętrznych) uzyskiwano zawsze dwie dodatnie i
jedną ujemną wartość własną macierzy charakterystycznej. Oznacza to, że stan ustalony w
modelu Lucasa jest ścieżką siodłową. Dla każdej początkowej wartości zmiennej stanu zK/H
można znaleźć takie wartości zmiennych sterujących u i zC/K, które sprawią, że gospodarka
znajdzie się na stabilnej trajektorii i będzie podążała do punktu równowagi długookresowej.
Rysunek 1.6 Dynamika okresu przejściowego w modelu Uzawy-Lucasa
a Pełna produkcja (full output) obejmuje produkcję finalną (Y) i akumulację kapitału ludzkiego. b Rejestrowany PKB obejmuje produkcję finalną (Y) i 25% produkcji sektora kapitału ludzkiego.
Źródło: Mulligan, Sala-i-Martin, 1993.
u C/K Wzrost konsumpcji Wzrost produkcji finalnej (Y)
Wzrost kapit. fizycznego Wzrost kapit. ludzkiego Wzrost rejestr. PKBb Wzrost pełnej produkcjia
Rysunek 1.6 ilustruje dynamikę okresu przejściowego dla przypadku: σ = 2, ρ – n = 0,04,
α = 0,5, δK = δH = 0,05, A = 1, µ = 0,12. Oś odciętych przedstawia procentowe odchylenie
zmiennej zK/H od jej wartości w stanie równowagi długookresowej. W punkcie 0 na tej osi
stosunek kapitału fizycznego do ludzkiego odpowiada stanowi ustalonemu. Na lewo od tego
37
punktu zK/H jest mniejsze niż z*K/H, co oznacza, że w gospodarce występuje niedobór kapitału
fizycznego. Na prawo od punktu 0 na osi odciętych zK/H jest większe niż z*K/H, co wskazuje na
względny niedobór kapitału ludzkiego.
Poszczególne części rysunku 1.6 pokazują dynamikę różnych zmiennych w trakcie okresu
przejściowego w zależności od tego, czy w punkcie wyjścia gospodarka charakteryzuje się
względnym niedoborem kapitału fizycznego czy kapitału ludzkiego. Wykresy z rysunku 1.6
nie są symetryczne, co oznacza, że gospodarka inaczej reaguje na wstrząsy takie jak wojny,
które niszczą głównie kapitał fizyczny, a inaczej na wstrząsy takie jak epidemie, niszczące
głównie kapitał ludzki. Części VI – VIII rysunku 1.6 przedstawiają tempo wzrostu różnych
miar produkcji w trakcie okresu przejściowego. Jak widać, gospodarka wykazuje szybsze
tempo wzrostu gospodarczego i szybciej osiąga stan ustalony w przypadku początkowego
niedoboru kapitału fizycznego niż w przypadku początkowego niedoboru kapitału ludzkiego.
Model Lucasa nie wyjaśnia zatem zjawiska konwergencji – zarówno na podstawie
porównania stanów równowag długookresowych różnych gospodarek, jak i na podstawie
własności okresu przejściowego gospodarek dążących do tego samego stanu ustalonego. W
pierwszym przypadku okazuje się, że w stanie równowagi długookresowej tempo wzrostu
gospodarczego nie zależy od poziomu kapitałów i produkcji. Oznacza to, że kraje rozwijają
się tak samo, niezależnie od osiągniętego poziomu dochodu. W drugim przypadku, gdy
rozpatrujemy okres przejściowy gospodarek dążących do tego samego stanu równowagi
długookresowej, okazuje się, że kraje słabiej rozwinięte mogą rozwijać się szybciej lub
wolniej niż kraje wysoko rozwinięte. Zależy to od tego, czy niski poziom rozwoju wynika z
braku kapitału fizycznego (wówczas kraje słabo rozwinięte będą rozwijać się szybciej) czy
ludzkiego (wówczas kraje słabo rozwinięte będą wykazywać wolniejszy wzrost).
38
3.3. Model Rebelo
Model Rebelo – podobnie jak ujęcie Lucasa – zaliczany jest do dwusektorowych modeli
wzrostu gospodarczego, które uwzględniają kapitał w podziale na kapitał fizyczny i kapitał
ludzki. Omawiany w niniejszym opracowaniu model został przedstawiony w artykule Sergio
Rebelo (Rebelo, 1991), w którym autor wykorzystał endogeniczne teorie wzrostu do
pokazania, że działania państwa w dużym stopniu wyjaśniają różnice w tempie wzrostu
gospodarczego między krajami. Podejście Rebelo jest bardzo podobne do wcześniej
omówionego modelu Lucasa. Różni się od swojego poprzednika w dwóch aspektach. Po
pierwsze, w modelu Rebelo nie występują efekty zewnętrzne i związane z tym rosnące
przychody na poziomie całej gospodarki. Po drugie, w akumulacji kapitału ludzkiego jest
również wykorzystywany kapitał fizyczny, a nie – jak w modelu Lucasa – tylko kapitał
ludzki.
Załóżmy, że wszystkie osoby dysponują w każdym okresie jedną jednostką czasu. Każda
osoba posiada pewną ilość czasu wolnego R (R kształtuje się egzogenicznie i jest stałe). Jeżeli
przez u oznaczymy czas pracy w produkcji dóbr, wówczas 1 – R – u będzie czasem pracy
przeznaczonym na akumulację kapitału ludzkiego. Liczba ludności jest stała i wynosi 1.
Każda osoba dysponuje kapitałem ludzkim równym H. A zatem uH to efektywna siła robocza
w produkcji dóbr, zaś (1 – R – u)H to efektywna siła robocza w akumulacji kapitału
ludzkiego. Oznaczmy przez vK zasób kapitału fizycznego wykorzystywany w produkcji dóbr,
zaś przez (1 – v)K zasób kapitału fizycznego wykorzystywany w akumulacji kapitału
ludzkiego. W obu sektorach gospodarki występują stałe przychody ze skali.
Funkcje produkcji są następujące:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11Y t A v t K t u t H t
α α−= , [1g.1]
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
2 1 1H t A v t K t R u t H t H tβ β
δ−
= − − − − & , [1g.2]
gdzie A1 i A2 to parametry określające poziom techniki, zaś δ jest stopą amortyzacji obu
rodzajów kapitału.
Produkcja dóbr finalnych jest przeznaczana na konsumpcję oraz na inwestycje w kapitał
fizyczny:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t C t I t C t K t K tδ= + = + +& . [1g.3]
Funkcja użyteczności gospodarstw domowych jest następująca:
( )1
0
11
t C tU e dt
σρ
σ
−∞− −
=−∫ . [1g.4]
39
W modelu brak jest efektów zewnętrznych, nie występują zmiany demograficzne, stopa
oszczędności kształtuje się endogenicznie, zaś rynki nie są zmonopolizowane. Oznacza to, że
model jest optymalny w sensie Pareta: gospodarka doskonale konkurencyjna rozwija się tak
samo jak gospodarka centralnie planowana.
Problem optymalizacyjny jest następujący: 1
0
1 max.1
t CU e dtσ
ρ
σ
∞ −− −
= →−∫ [1g.5]
p.w. (a) ( ) ( )11K A vK uH C Kα α δ−= − −& ; (b) ( ) ( ) 1
2 1 1H A v K R u H Hβ β
δ−
= − − − − & ;
(c) ( ) ( )0 i 0K H dane.
W celu rozwiązania [1g.5] konstruujemy hamiltonian wartości zaktualizowanej:
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1
111 1 2 2
1 1 11
C A vK uH C K A v K R u H Hσ
β βα αθ δ θ δσ
−−−−
ℵ = + − − + − − − − −
oraz odpowiednie warunki pierwszego rzędu:
(I) 0C
∂ℵ=
∂; (II) 0
v∂ℵ
=∂
; (III) 0u
∂ℵ=
∂; (IV)
1
Kθ
∂ℵ=
∂& ; (V)
2
Hθ
∂ℵ=
∂& ; (VI) 1 1 K
θ ρθ ∂ℵ= −
∂& ;
(VII) 2 2 Hθ ρθ ∂ℵ
= −∂
& ; (VIII) 1lim 0t
te Kρ θ−
→∞= ; (IX) 2lim 0t
te Hρ θ−
→∞= . [1g.6]
W powyższym zadaniu optymalizacyjnym występują trzy zmienne sterujące: C, v i u, oraz
dwie zmienne stanu: K i H. Zmienne θ1 i θ2 to zmienne sprzężone związane z równaniami
ruchu odpowiednich zmiennych stanu.23
Z warunków pierwszego rzędu [1g.6] uzyskujemy cztery równania różniczkowe opisujące
dynamikę gospodarki: ścieżkę ruchu dla kapitału fizycznego K, kapitału ludzkiego H,
konsumpcji C oraz jednej ze zmiennych v lub u.24 Ponieważ funkcje produkcji w obu
sektorach wykazują stałe przychody ze skali, możliwe jest osiągnięcie w modelu stanu
ustalonego, w którym zmienne K, H, C, I będą rosły w stałym tempie równym g*.
Dodatkowo, w tempie tym będzie zwiększała się również wielkość produkcji dóbr (Y) oraz
szersza miara wielkości produkcji (Q), uwzględniająca również akumulację kapitału
ludzkiego (wycenianego w kategoriach kapitału fizycznego zmienną sprzężoną θ ≡ θ2/θ1):
( ) ( ) ( ) ( ) 111 2 1 1Q A vK uH A v K R u H
β βα α θ−− = + − − − . [1g.7]
23 Model Rebelo jest bardziej złożony niż model Lucasa, w którym występowały dwie zmienne sterujące. Trzecia zmienna sterująca v w modelu Rebelo jest związana z koniecznością dokonania odpowiedniego podziału zasobu kapitału pomiędzy oba sektory gospodarki. 24 Zmienne v i u są ze sobą ściśle powiązane (zob. [1g.10]), a zatem jedną z nich można pominąć.
40
Aby uzyskać tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi długookresowej g*,
należy wykonać wiele przekształceń warunków pierwszego rzędu. W niniejszym
opracowaniu ograniczymy się tylko do przedstawienia wyników modelu.
Efektywna alokacja zasobów powoduje, że wartości krańcowych produktów kapitału
fizycznego w obu sektorach gospodarki oraz wartości krańcowych produktów kapitału
ludzkiego w obu sektorach muszą być równe:25
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 11 1
1 2 1 1Y HMPK A vK uH A v K R u H MPKβ βα αα θ β θ
− −− −= = − − − = [1g.8]
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 21 1 1 1Y HMPH A vK uH A v K R u H MPHβ βα αα θ β θ
−−= − = − − − − = [1g.9]
Dzieląc [1g.8] przez [1g.9] uzyskujemy:
1 1 1 1u vR u v
α βα β
=− − − − −
. [1g.10]
Równanie [1g.10] informuje, że krańcowe stopy transformacji w obu sektorach gospodarki
muszą być sobie równe. Dodatkowo, na podstawie [1g.10] widać, że wzrost produkcji w
każdym sektorze następuje w wyniku równomiernego wzrostu zatrudnienia obu czynników
wytwórczych (przy danych wartościach parametrów α, β i R, wzrost u implikuje wzrost v i
odwrotnie, spadek u może nastąpić tylko wraz ze spadkiem v).
Tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi długookresowej w modelu Rebelo
dane jest wzorem:26
( ){ }111 2
1* 1Y Q K H C I g A A RY Q K H C I
γγ γ δ ρσ
−−= = = = = = = Θ − − −& && & & &
, [1g.11]
gdzie:
( )( ) ( ) ( )( )( )1 1 111 1 0α γ β γα γαγα α β β− − −−Θ ≡ − − > ; (0;1)1
βγβ α
≡ ∈+ −
.
Równanie [1g.11] pokazuje, że w modelu Rebelo wzrost gospodarczy jest kształtowany
endogenicznie za pomocą parametrów modelu. Na przykład, wzrost zależy ujemnie od R oraz
dodatnio od A1 i A2. Ujemna zależność względem R oznacza, że zwiększenie ilości czasu
wolnego przez poszczególne osoby spowalnia wzrost gospodarczy. Przyspieszenie wzrostu
może nastąpić zatem w wyniku zwiększenia czasu pracy jednostek. Dodatnia zależność g* od
25 Wartość krańcowego produktu czynnika jest iloczynem produktu krańcowego wyrażonego w jednostkach fizycznych oraz ceny, po której produkt ten jest sprzedawany. W modelu miarą takiej ceny jest zmienna sprzężona związania z równaniem ruchu danego czynnika. A zatem, krańcowy produkt z sektora dóbr należy pomnożyć przez θ1, zaś krańcowy produkt z sektora kapitału ludzkiego – przez θ2. W równaniach [1g.8] i [1g.9] wykorzystaliśmy jedną zmienną θ, będącą ilorazem cen θ2 i θ1. 26 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokładnej kolejności obliczeń prowadzących do otrzymania równania [1g.11] prosimy o kontakt z autorem.
41
A1 i A2 implikuje, że postęp techniczny w dowolnym z sektorów gospodarki przyczynia się do
przyspieszenia tempa wzrostu PKB.
Wzrost gospodarczy w modelu może być ujemny. Sytuacja taka ma miejsce, jeżeli
ΘA1γA2
1–γ(1 – R)1–γ < δ + ρ. Tempo wzrostu nie może być jednak mniejsze niż –δ, co wynika
z założenia o nieujemności inwestycji.
Jeśli chodzi o dynamikę okresu przejściowego, to gospodarki, w których początkowy
stosunek kapitału fizycznego do ludzkiego nie jest równy wartości K/H odpowiadającej
stanowi równowagi długookresowej, będą wykazywać inne tempo wzrostu gospodarczego niż
w stanie równowagi długookresowej.27 Pomijamy jednak szczegółową analizę okresu
przejściowego, gdyż nie ma ona bezpośredniego związku z celem niniejszej pracy.
27 Zbieżność K/H do poziomu (K/H)*, odpowiadającego stanowi ustalonemu, występuje, gdy α > β. W sytuacji, gdy β > α, stan równowagi długookresowej nie jest stabilny i gospodarka o początkowej relacji kapitału fizycznego do ludzkiego nie odpowiadającej stanowi ustalonemu nigdy nie osiągnie równowagi długookresowej. Jednak przypadek β > α wykluczamy, gdyż nie jest zgodny z rzeczywistością. W produkcji kapitału ludzkiego wykorzystuje się głównie kapitał ludzki, zaś kapitał fizyczny ma przede wszystkim zastosowanie w produkcji kapitału fizycznego. Naturalne zatem jest założenie α > β (zob. Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 182).
42
3.4. Model Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr
W punktach 3.4 i 3.5 przedstawione są modele, w których wzrost gospodarczy jest
osiągany w wyniku endogenizacji postępu technicznego. Postęp techniczny, który w
neoklasycznej teorii wzrostu miał charakter egzogeniczny, w tym i w następnym modelu jest
efektem działalności sektora badawczo-rozwojowego. W modelu ze zwiększającą się liczbą
dóbr innowacje sektora B+R polegają na tworzeniu nowych dóbr pośrednich,
wykorzystywanych w procesie produkcji dóbr finalnych. Zakładamy, że nowe dobra
pośrednie nie powodują zaniechania wykorzystywania dotychczasowych czynników
wytwórczych, co oznacza, że liczba dóbr pośrednich w gospodarce zwiększa się wraz z każdą
innowacją. A zatem, w modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr innowacje mają charakter
„poziomy”, w przeciwieństwie do „pionowych” innowacji, polegających na poprawie jakości
dóbr już istniejących. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z artykułu
Paula Romera (Romer, 1990). Wykorzystywana przez Romera funkcja produkcji (zob. [1h.1])
nawiązuje do funkcji użyteczności występującej w mikroekonomicznych modelach Dixita i
Stiglitza (Dixit, Stiglitz, 1977).
Gospodarka w modelu Romera ze zwiększającą się liczbą dóbr składa się z trzech
sektorów: sektora dóbr finalnych, sektora dóbr pośrednich oraz sektora B+R. Do produkcji
wykorzystywane są – w zależności od sektora – kapitał fizyczny (K), kapitał ludzki (H), praca
(L), technika (A) oraz dobra pośrednie (x). Zakładamy, że zasób kapitału ludzkiego i pracy
jest stały (H = const., L = const.).
Zmienna oznaczona symbolem A określa poziom techniki w gospodarce; jej zmiany
obrazują wielkość postępu technicznego. Formalnie, zmienna A jest równa liczbie dóbr
pośrednich dostępnych w gospodarce.
Nowe dobra pośrednie powstają w wyniku prac badawczych prowadzonych w doskonale
konkurencyjnym sektorze B+R. Każde dobro pośrednie produkowane jest przez monopolistę,
który kupuje od sektora B+R licencję na produkcję danego dobra i sprzedaje wytwarzane
dobro pośrednie przedsiębiorstwom działającym w sektorze dóbr finalnych. Dobra finalne
mogą być przeznaczane na konsumpcję lub na akumulację kapitału fizycznego.
W sektorze dóbr finalnych czynnikami produkcji są kapitał ludzki, praca oraz dobra
pośrednie. Funkcja produkcji ma następującą postać:
( ) ( )11 1
1 1 0
, ,A
Y Y i Y i Yi i
Y H L x H L x H L x H L x i diα βα β α β α β α β α β∞∞
− −− − − −
= =
= = =∑ ∑ ∫ , [1h.1]
gdzie: HY – część kapitału ludzkiego wykorzystywanego w produkcji dóbr finalnych, xi lub
x(i) – nakłady i-tego dobra pośredniego, A – liczba dóbr pośrednich. Pierwsze przekształcenie
43
funkcji produkcji [1h.1] wynika z założenia xi = 0 dla i > A, zaś drugie – z przyjęcia
kontinuum dóbr pośrednich. Produkcja jest przeznaczana na konsumpcję lub na inwestycje,
równe przyrostowi kapitału fizycznego (przy założeniu braku amortyzacji):
Y C I C K= + = + & . [1h.2]
W produkcji dóbr pośrednich wykorzystuje się jedynie kapitał fizyczny. Funkcja produkcji
i-tego dobra pośredniego jest następująca:
( ) ( )k ix i
η= , [1h.3]
gdzie k(i) jest nakładem kapitału fizycznego (η > 0). Uwzględniając zależność [1h.3],
wielkość kapitału fizycznego w całej gospodarce (K) można zapisać jako:
( )1 1 0
A
i ii i
K x x x i diη η η∞∞
= =
= = =∑ ∑ ∫ . [1h.4]
Innowacje, powstające w sektorze B+R, polegają na wzroście liczby dóbr pośrednich.
Efektywność prac badawczo-rozwojowych zależy od nakładów kapitału ludzkiego i od liczby
dotychczasowych innowacji. Wzrost liczby dóbr pośrednich jest określony równaniem:
AA H Aµ=& , [1h.5]
gdzie HA to część kapitału ludzkiego wykorzystywanego przez sektor B+R (HY + HA = H). Jak
widać, w sektorze B+R występują stałe przychody względem odtwarzalnego czynnika
produkcji A (oraz rosnące przychody względem A i HA). Brak malejących przychodów jest
warunkiem umożliwiającym osiągnięcie endogenicznego wzrostu gospodarczego.28
Analizę dynamiki modelu rozpoczniemy od przypadku gospodarki rynkowej (nie
używamy pojęcia „gospodarka doskonale konkurencyjna”, ponieważ niektóre rynki są
zmonopolizowane). W celu znalezienia równania opisującego tempo wzrostu gospodarczego
rozpatrujemy oddzielnie zachowania przedsiębiorstw działających w każdym z trzech
sektorów gospodarki.
Zysk przedsiębiorstwa działającego w sektorze dóbr finalnych jest równy wielkości
produkcji pomniejszonej o koszty zakupu jedynego zmiennego czynnika produkcji x po cenie
p. Ponieważ występują stałe przychody ze skali, problem optymalizacyjny firm przekłada się
na następujący problem optymalizacyjny całej gałęzi:
( ) ( )( ) ( )1
0
max.YH L x i p x i x i diα βα β∞
− − − → ∫ [1h.6]
28 Jest to pewne podobieństwo do modeli Lucasa i Rebelo, w których długookresowy wzrost był możliwy dzięki występowaniu stałych przychodów.
44
Maksymalizując [1h.6] względem x(i) uzyskujemy zależność między optymalną wielkością
zatrudnienia i-tego dobra pośredniego a jego ceną:
( )( ) ( ) ( )1 Yp x i H L x i α βα βα β − −= − − . [1h.7]
Równanie [1h.7] określa funkcję popytu sektora dóbr finalnych na i-te dobro pośrednie w
zależności od ceny tego dobra. Ponieważ każde dobro pośrednie jest produkowane przez
monopolistę, równanie [1h.7] jest funkcją popytu na produkt takiego monopolisty.
Monopolista działający w sektorze dóbr pośrednich sprzedaje produkt napotykając ujemnie
nachyloną funkcję popytu daną wzorem [1h.7]. Ponosi on koszty zmienne, równe kosztom
zakupu k(i) jednostek kapitału fizycznego po cenie r, oraz koszty stałe, związane z zakupem
licencji od sektora B+R na produkcję i-tego dobra pośredniego. Licencje są nabywane po
cenie PA, wyznaczonej przez sektor B+R. Problem optymalizacyjny każdego monopolisty jest
zatem następujący:
( ) ( ) max.A Ap x x rk P p x x r x PηΠ = − − = − − → [1h.8]
Po uwzględnieniu funkcji popytu [1h.7], formuła maksymalizacji zysku [1h.8] pozwala
obliczyć cenę dobra pośredniego x, jaką wyznaczy monopolista:
rp ηα β
=1− −
. [1h.9]
Równania [1h.9] i [1h.7] określają optymalną wielkość produkcji i cenę ustalane przez
monopolistę. Wysokość zysku tego monopolisty zależy także od ceny PA, jaką musi on
zapłacić za licencję na produkcję danego dobra pośredniego.
Cena PA jest wyznaczana przez przedsiębiorstwa działające w doskonale konkurencyjnym
sektorze B+R. Cena ta jest równa zaktualizowanej wartości nadwyżki monopolu
π (π ≡ px – rk):29
( )( )
( )t
r s ds
At
P t e d
τ
π τ τ∞ −∫
= ∫ . [1h.10]
Ponieważ w stanie równowagi cena PA jest stała, ∂PA/∂t = 0. Różniczkując [1h.10] względem
t, otrzymujemy:
( ) ( )At P r tπ = lub ( ) ( )/AP t r tπ= . [1h.11]
29 Symbolem Π oznaczamy rzeczywisty zysk monopolu, równy różnicy utargu i wszystkich kosztów (łącznie ze stałymi kosztami zakupu licencji). Natomiast π jest równe różnicy utargu i zmiennych kosztów produkcji, co formalnie oznacza nadwyżkę producenta. Jednak z punktu widzenia przedsiębiorstw działających w sektorze B+R zysk monopolu uzyskiwany z produkcji dóbr pośrednich wynosi właśnie π. Cena za licencję PA jest wyznaczona w taki sposób, żeby była równa wartości zaktualizowanej strumienia potencjalnych zysków monopolu π.
45
Równania [1h.10] lub [1h.11] pokazują, że cena płacona za licencję przez monopolistę jest
równa zaktualizowanej wartości strumienia przyszłych zysków czerpanych z produkcji
danego dobra pośredniego.30 A zatem, przedsiębiorstwa produkujące dobra pośrednie nie
osiągają zysków nadzwyczajnych: nadwyżka utargu nad zmiennymi kosztami produkcji w
poszczególnych okresach dokładnie kompensuje (wraz z odpowiednimi odsetkami)
początkowy wydatek na zakup licencji. Wykorzystując m. in. wzory [1h.7] i [1h.9], cenę za
licencję PA można zapisać jako:
( )( )1A YP H L x
rα β α βα β α β 1− −= + 1− − . [1h.12]
W warunkach równowagi wielkość produkcji każdego dobra pośredniego jest taka sama. A
zatem:
( )1 1
0
x i di Axα β α β∞
− − − −=∫ oraz K Axη= ⇒ KxAη
= . [1h.13]
Wykorzystując zależność [1h.13], funkcję produkcji [1h.1] można zapisać w postaci:
( ) ( )1 1Y YY H L Ax H A LA Kα βα β α β α β α βη− − − − + −1= = . [1h.14]
Powyższy wzór pokazuje, że opisywany tu model ma właściwości podobne do modelu
neoklasycznego z postępem technicznym zasilającym pracę i kapitał ludzki. Funkcja
produkcji wykazuje stałe przychody względem wszystkich czynników i malejące przychody z
kapitału.
Efektywna alokacja zasobów wymusza zrównanie wartości krańcowego produktu kapitału
ludzkiego w sektorze dóbr finalnych i sektorze B+R, a zatem: 1
Y AH L Ax P Aα β α βα µ− 1− − = . [1h.15]
Ponieważ kapitał ludzki w sektorze B+R jest jedynym opłacanym czynnikiem produkcji, jego
wynagrodzeniem jest wartość całej produkcji tego sektora. Wykorzystując równania [1h.12] i
[1h.15], otrzymujemy:
( )( )YH rαµ α β α β
=+ 1− −
. [1h.16]
Funkcja użyteczności gospodarstw domowych ma typową postać: 1
0
11
tC e dtσ
ρ
σ
∞ −−−
−∫ . [1h.17]
Rozwiązaniem problemu optymalizacyjnego gospodarstw domowych jest standardowe
30 Drugie z równań [1h.11] jest typowym równaniem przedstawiającym wartość aktywów bezterminowych, które przynoszą w każdym okresie π(t) czystego zysku.
46
równanie przedstawiające tempo wzrostu konsumpcji w zależności od stopy procentowej,
stopy preferencji czasowych i elastyczności substytucji:31
C rC
ρσ−
=&
. [1h.18]
Przejdziemy teraz do analizy równowagi długookresowej. W stanie ustalonym r, x, HY, HA,
K/A, K/Y i C/Y są stałe, zaś Y, A, K i C rosną według stałej stopy gKD:
0KDA
Y K C Ag HY K C A
µ= = = = = ≥& && &
. [1h.19]
Tempo wzrostu gospodarczego gKD obliczamy z układu równań, gdzie jednym równaniem
jest tempo wzrostu uzyskane z maksymalizacji użyteczności gospodarstw domowych
([1h.18]), zaś drugim – tempo wzrostu gospodarczego otrzymane z maksymalizacji zysku
przedsiębiorstw ([1h.19]). Wykorzystując formułę [1h.16] oraz eliminując r między [1h.18] i
[1h.19], uzyskujemy:
1KD Hg µ ρ
σ− Λ
=Λ +
, gdzie ( )( )
0αα β α β
Λ ≡ >+ 1− −
. [1h.20]
Równanie [1h.20] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w
modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr dla przypadku gospodarki rynkowej. Najważniejszy
wniosek płynący z analizy równania [1h.20] dotyczy występowania efektów skali.
Mianowicie, kraje z większym zasobem kapitału ludzkiego rozwijają się szybciej. Jeśli zasób
kapitału ludzkiego jest zbyt mały, to warunek nieujemności tempa wzrostu gospodarczego z
[1h.19] jest wiążący i w gospodarce może występować stagnacja. A zatem, opisany tutaj
model ze zwiększającą się liczbą dóbr daje dobre wyjaśnienie, dlaczego tempo wzrostu
gospodarczego na świecie jest zróżnicowane i dlaczego niektóre kraje prawie w ogóle się nie
rozwijają. Za wszelkie różnice w tempach wzrostu odpowiedzialny jest kapitał ludzki.
Gospodarka rynkowa w opisanym modelu nie jest optymalna w sensie Pareta i wykazuje
niższe tempo wzrostu gospodarczego niż gospodarka centralnie planowana. W równowadze
rynkowej zbyt mały zasób kapitału ludzkiego jest przeznaczany na badania, gdyż – po
pierwsze – sektor B+R wywołuje dodatnie efekty zewnętrzne (każda innowacja zwiększa
produkcyjność następnych prac w sektorze B+R), zaś po drugie – produkcja sektora B+R
przechodzi przez monopolistę, który – stosując ceny monopolowe – wytwarza zbyt mało dóbr
pośrednich.
Aby to wykazać, rozpatrujemy problem centralnego planisty:
31 Wyprowadzenie zależności [1h.18] z [1h.17] jest analogiczne do wyprowadzenia pierwszego z równań [1b.7] z [1b.4].
47
1
0
1 max.1
tC e dtσ
ρ
σ
∞ −−−
→−∫ [1h.21]
p.w. (a) ( ) ( ) 1YK H A LA K Cα β α β α βη− − + −1= −& ; (b) AA H Aµ=& ; (c) Y AH H H+ = .
W celu rozwiązania powyższego problemu optymalizacyjnego konstruujemy hamiltonian
wartości zaktualizowanej:
( )( ) ( ){ } { }1
11 2
11 A A
C H H A LA K C H Aσ
α β α β α βθ η θ µσ
−− − + −1−
ℵ = + − − +−
[1h.22]
i odpowiednie warunki pierwszego rzędu:
(I) 0C
∂ℵ=
∂; (II) 0
AH∂ℵ
=∂
; (III) 1
Kθ
∂ℵ=
∂& ; (IV)
2
Aθ
∂ℵ=
∂& ; (V) 1 1 K
θ ρθ ∂ℵ= −
∂& ;
(VI) 2 2 Aθ ρθ ∂ℵ
= −∂
& ; (VII) 1lim 0t
te Kρ θ−
→∞= ; (VIII) 2lim 0t
te Hρ θ−
→∞= . [1h.23]
Przekształcenia warunków pierwszego rzędu [1h.23] (z pominięciem dwóch warunków
transwersalności) pozwalają uzyskać wzór na tempo wzrostu gospodarczego:32
( )1CP Hg µ ρ
σ− Θ
=Θ + − Θ
, gdzie 0αα β
Θ ≡ >+
. [1h.24]
Równanie [1h.24] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w
modelu ze zwiększającą się liczbą dóbr dla przypadku gospodarki centralnie planowanej. Z
porównania formuł [1h.20] z [1h.24] wynika, że gospodarka rynkowa będzie przeznaczała
zbyt mały zasób kapitału ludzkiego na badania i rozwój i dlatego będzie rozwijała się wolniej.
Równania [1h.20] i [1h.24] różnią się bowiem pod dwoma względami.
Po pierwsze, we wzorze na gKD występuje stała Λ, podczas gdy we wzorze na gCP
występuje stała Θ, mniejsza niż Λ:
( )( )1
1α
α β α β α βΛ ≡ = Θ
+ 1− − − −. [1h.25]
Obie stałe Λ i Θ różnią się między sobą wielkością 1/(1 – α – β), równą ilorazowi ceny oraz
kosztu krańcowego monopolisty produkującego dobro pośrednie (zob. [1h.9]). Zamiana Λ na
Θ wynika z faktu, iż w gospodarce rynkowej dobra pośrednie są wytwarzane przez
monopolistę, który wyznacza cenę wyższą od kosztu krańcowego produkcji. Im większa jest
siła monopolu, tzn. im wyższa jest wartość 1/(1 – α – β), tym większa różnica w tempach
wzrostu gospodarki rynkowej i centralnie planowanej.
Po drugie, w mianowniku równania [1h.20] występuje stała 1, zaś w mianowniku [1h.24] – 32 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokładnej kolejności wykonywania obliczeń prosimy o kontakt z autorem.
48
mniejsza wartość 1 – Θ. Różnica ta związana jest z uwzględnieniem przez centralnego
planistę efektów zewnętrznych i również prowadzi do szybszego tempa wzrostu gospodarki
centralnie planowanej.
Opisany tu model nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji. Kraje bogate, z
dużym zasobem kapitału ludzkiego, wykazują bowiem wyższe tempo wzrostu gospodarczego
niż kraje słabo rozwinięte, w których zasób kapitału ludzkiego jest mały.
49
3.5. Model Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr
Charakterystyczną cechą modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr jest
to, że postęp techniczny polega na poprawie jakości dóbr już istniejących. Innowacje, które
powstają w sektorze B+R, mają charakter pionowy, tzn. prowadzą do poprawy jakości dóbr
pośrednich. W przeciwieństwie do wcześniejszego modelu, nowe dobra pośrednie są
substytucyjne w stosunku do starych, a zatem ich wprowadzanie powoduje natychmiastową
rezygnację z dotychczasowych czynników produkcji. Występujący w tym modelu mechanizm
wypierania starych dóbr przez nowe jest dokładnie tym, co Schumpeter w 1942 r. nazwał
„twórczą destrukcją”. Schumpeter twierdził, że „twórcza destrukcja” jest nieodłącznym
elementem rozwoju kapitalizmu. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z
artykułu Philippe’a Aghiona i Petera Howitta (Aghion, Howitt, 1992).33
Gospodarka w modelu Aghiona-Howitta składa się z trzech sektorów: sektora dóbr
finalnych, sektora dóbr pośrednich oraz sektora B+R. W sektorze B+R nieskończenie wiele
doskonale konkurencyjnych przedsiębiorstw prowadzi prace badawcze, które kończą się
sukcesem z pewnym prawdopodobieństwem. Sukcesem jest innowacja polegająca na
opracowaniu nowego dobra pośredniego, charakteryzującego się lepszą produkcyjnością.
Każdemu kolejnemu dobru pośredniemu odpowiada wyższa wartość zmiennej A,
reprezentującej poziom techniki:
0t
tA A γ= ( )1γ > . [1i.1]
Przedsiębiorstwo dokonujące innowacji uzyskuje monopol na produkcję nowego dobra
pośredniego, wypierając tym samym z rynku dotychczasowego producenta. Monopol trwa aż
do momentu pojawienia się następnej innowacji. Dobra pośrednie są sprzedawane
przedsiębiorstwom działającym w sektorze dóbr finalnych.
Liczba ludności jest stała. Poszczególne osoby różnią się między sobą poziomem
wykształcenia. W gospodarce jest L1 osób niewykształconych, L2 osób wykształconych i L3
specjalistów (L1 = const., L2 = const., L3 = const.). Osoby niewykształcone pracują tylko w
sektorze dóbr finalnych, zaś specjaliści – tylko w sektorze B+R. Osoby wykształcone pracują
w dwóch sektorach gospodarki: Lt osób pracuje w sektorze wytwarzającym dobra pośrednie,
zaś Nt – w sektorze B+R (Lt + Nt = L2).
Indeks t, który pojawił się m. in. w równaniu [1i.1], nie jest indeksem czasu: t określa
33 Istnieją także inne modele z poprawiającą się jakością dóbr (zob. np. Segerstrom, Anant, Dinopoulos, 1990; Grossman, Helpman, 1991), które różnią się od przedstawionego tutaj modelu Aghiona-Howitta. Na przykład, w modelu Grossmana-Helpmana procesom innowacji podlega wiele dóbr, natomiast w modelu Aghiona-Howitta innowacje obejmują jedno dobro pośrednie występujące w gospodarce.
50
numery kolejnych innowacji, które powstają z różnym prawdopodobieństwem. Rzeczywisty
czas ma charakter ciągły i będzie oznaczany symbolem τ. O ile τ = 0 jest równoważne t = 0, o
tyle dla następnych okresów równość ta nie zachodzi, gdyż innowacje powstają w zmiennych
odstępach czasowych. Charakter powiązań między τ i t jest widoczny na rysunku 1.7. Każda
kolejna innowacja rozpoczyna nowy okres t i powoduje wzrost wartości zmiennej lnA o lnγ.
Dobra finalne (konsumpcyjne) są wytwarzane przy wykorzystaniu dobra pośredniego x
oraz niewykształconej siły roboczej L1. Postęp techniczny ma charakter neutralny w ujęciu
Hicksa.34 Występują stałe przychody względem obu czynników: x i L1. Ponieważ L1 = const.,
zmienną tę można pominąć. Funkcja produkcji ma zatem postać:
( )t t tY A F x= ⋅ , [1i.2]
gdzie F’(x) > 0 i F”(x) < 0.
Rysunek 1.7 Czas i innowacje w modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr
τ =
14
τ =
13
τ =
0 τ
= 1
τ =
2 τ
= 3
τ =
4 τ
= 5
τ =
6 τ
= 7
τ =
8 τ
= 9
τ =
10
τ =
11
τ =
12
Czas (τ)a
lnAt
lnA0
τ =
15
Kolejne innowacje (t)
lnA1 lnA2 lnA3 lnA4 lnA5 lnA6
t = 0
t = 1
t =
2
t = 3
t = 4
t = 5
t =
6
a Czas τ jest zmienną ciągłą. Do celów graficznych został on przedstawiony jako zmienna dyskretna.
lnγ lnγ
lnγ lnγ
lnγlnγ
Dobro pośrednie jest produkowane zgodnie z funkcją produkcji:
t tx L= . [1i.3]
Produkcja sektora B+R polega na tworzeniu innowacji. Innowacje są losowe i powstają
według procesu Poissona, który ma rozkład wykładniczy z parametrem λφ(Nt,L3).35 Funkcja φ
34 Oznacza to, że zmienna reprezentująca poziom techniki występuje w iloczynie z funkcją produkcji. 35 λφ(Nt,L3) jest współczynnikiem pojawiania się innowacji (arrival rate of innovations).
51
wykazuje stałe przychody ze skali. Jak widać, efektywność prac badawczo-rozwojowych
zależy m. in. od liczby osób wykształconych pracujących w sektorze B+R (Nt). Zakładamy,
że osoby te są niezbędne do pojawiania się innowacji: φ(0,L3) = 0.
Analizę modelu przeprowadzimy dla przypadku gospodarki rynkowej. W celu znalezienia
równania opisującego tempo wzrostu gospodarczego rozpatrujemy oddzielnie zachowania
przedsiębiorstw działających w każdym z trzech sektorów gospodarki.
Zysk firmy działającej w sektorze dóbr finalnych jest równy wielkości produkcji
pomniejszonej o koszty zakupu dobra pośredniego x po cenie p. Ponieważ występują stałe
przychody ze skali, problem optymalizacyjny przedsiębiorstw przekłada się na następujący
problem optymalizacyjny gałęzi:
( ) max.t t t tA F x p x− → [1i.4]
Maksymalizując [1i.4] względem xt, uzyskujemy funkcję popytu sektora dóbr finalnych na
dobro pośrednie:
( )'t t tp A F x= . [1i.5]
Dobro pośrednie jest wytwarzane przez monopolistę, który produkuje zgodnie z funkcją
produkcji [1i.3], napotyka funkcję popytu daną wzorem [1i.5] i dąży do maksymalizacji
zysku π :
( )' max .t t t t t t t t t t t t tp x w L p x w x A F x w xπ = − = − = − → , [1i.6]
gdzie wt jest stawką płacy. Oznaczmy przez ω ≡ d(px)/dx = A(F’(x) + F”(x)x) utarg krańcowy
monopolu. Niech falka nad daną zmienną oznacza podzielenie właściwej zmiennej przez
poziom techniki At:
tt
t
wwA
≡% ; ( ) ( ) ( )' "t t t tx F x F x xω = +% ;36 tt
tAππ =% . [1i.7]
Monopolista wyznacza optymalną wielkość produkcji zrównując utarg krańcowy ω z kosztem
krańcowym równym stawce płacy w, co prowadzi do następującego warunku:
( )t tx wω =% % . [1i.8]
Z [1i.8] wyznaczamy optymalną wielkość produkcji przedsiębiorstwa jako odwrotną funkcję
utargu krańcowego:
( )1t tx wω−= % % . [1i.9]
W doskonale konkurencyjnym sektorze B+R prace nad nowymi innowacjami prowadzi
36 ( )' 0xω <% ; ( )lim 0
xxω
→∞=% ; ( )
0limx
xω→
= ∞% .
52
nieskończenie wiele przedsiębiorstw. Celem każdego z nich jest maksymalizacja zysku:
( )3 1 3, max.St t t t tn l V w n w lλφ + − − → , [1i.10]
gdzie n i l3 to liczba osób wykształconych oraz liczba specjalistów zatrudnianych przez
pojedyncze przedsiębiorstwo, Vt+1 jest wartością (t + 1)-ej innowacji, zaś wtS jest stawką płacy
dla specjalistów. Ponieważ φ to funkcja o stałych przychodach, maksymalizacja [1i.10]
przekłada się na następujący problem optymalizacyjny całej gałęzi:
( ) 1 3 max.St t t t tN V w N w Lλϕ + − − → , [1i.11]
gdzie ϕ(N) ≡ φ(N,L3).37 Maksymalizacja [1i.11] względem Nt prowadzi do warunku:
( ) 1' t t tN V wλϕ + = . [1i.12]
Wartość (t + 1)-ej innowacji wyznaczamy z równania:
( )1 1 1 1t t t trV N Vπ λϕ+ + + += − . [1i.13]
Powyższe równanie informuje, że oczekiwany dochód z posiadania licencji na produkcję
(t + 1)-ej innowacji, czyli iloczyn stopy procentowej r i wartości (t + 1)-ej innowacji, jest
równy wielkości zysków monopolowych uzyskiwanych z produkcji (t + 1)-ego dobra
pośredniego pomniejszonych o oczekiwaną stratę kapitałową zaistniałą w sytuacji, kiedy
powstanie kolejna innowacja. Współczynnik pojawienia się (t + 2)-ej innowacji wynosi
λϕ(Nt+1). Jak widać, λϕ(Nt+1) rośnie wraz ze wzrostem Nt+1, co oznacza, że większe zasoby
siły roboczej przeznaczane na badania nad (t + 2)-gą innowacją zmniejszają wartość (t + 1)-ej
innowacji (Vt+1).
Rozwiązaniem modelu jest wyznaczenie optymalnego podziału zasobu wykształconych
pracowników L2 między produkcję w sektorze dóbr pośrednich (Lt) i w sektorze B+R (Nt).
Podstawiając [1i.13] do [1i.12], wykorzystując wzory [1i.1] i [1i.6] – [1i.9] oraz
Lt + Nt = L2, uzyskujemy równanie opisujące dynamikę gospodarki w modelu Aghiona-
Howitta:
( )( )
( )( )( )
2 12
1'tt
t t
L NL NN r N
γπ ωωλϕ λϕ
+
+
−−=
+
%%%. [1i.14]
Powyższa formuła jest nieliniowym równaniem różnicowym opisującym dynamikę
zatrudnienia przez sektor B+R osób wykształconych. Dla każdej wielkości Nt wzór ten
określa w sposób uwikłany wartość Nt+1. Lewą stronę [1i.14] można traktować jako krańcowy
koszt badań C(Nt), zaś prawą stronę – jako krańcową korzyść z badań B(Nt+1). Koszt
37 ( )0 0ϕ = ; ( )' 0Nϕ > ; ( )" 0Nϕ < .
53
krańcowy rośnie wraz ze zwiększaniem zasobów pracy przeznaczanych na badania w
bieżącym okresie, zaś krańcowa korzyść z prowadzenia prac badawczych maleje wraz ze
wzrostem zasobów pracy przeznaczanych na badania w okresie t + 1.
W stanie równowagi długookresowej liczba osób wykształconych pracujących w sektorze
B+R jest stała: Nt = Nt+1 = N*KD. Wykorzystując ten fakt, z warunku [1i.14] możemy obliczyć
wielkość zatrudnienia osób wykształconych w sektorze B+R:
( )( )
( )( )( )
**22
* *'
KDKD
KD KD
L NL N
N r N
γπ ωω
λϕ λϕ
−−=
+
%%%. [1i.15]
Rysunek 1.8 przedstawia rozwiązanie równania [1i.14] w formie graficznej (dla przypadku
C(0) < B(0)).38
Rysunek 1.8 Okres przejściowy i stan ustalony w modelu Aghiona-Howitta z poprawiającą się
jakością dóbr
N’ N”
( ) ( )( )
2
't
tt
L NC N
Nω
λϕ−
=%
( )( )( )
( )2 1
11
tt
t
L NB N
r N
γπ ω
λϕ+
++
−=
+
%%
N0 N1 N2 N3
N*KD
L2
( ) ( )( )
20' 0L
Cωλϕ
=%
( )( )( )2
0L
Br
γπ ω=
%%
Osoby wykształcone pracujące w sektorze B+R
Na rysunku zaznaczono krańcowy koszt i krańcową korzyść z prowadzenia prac
badawczych. Dla każdej wielkości N w bieżącym okresie można odczytać wartość N w
następnym okresie. Jak widać, istnieje ujemna zależność między bieżącą i przyszłą wielkością
zatrudnienia w sektorze B+R. Wynika to z dwóch przyczyn. Większe nakłady na badania w
przyszłości prowadzą, po pierwsze, do wzrostu płac w przyszłym okresie wt+1, zaś po drugie,
do wzrostu współczynnika pojawiania się innowacji λϕ(Nt+1) i przez to do szybszego
38 W przypadku, gdy C(0) ≥ B(0), równanie [1i.14] nie będzie miało dodatniego rozwiązania. W takiej sytuacji N*KD będzie wynosiło zero i gospodarka nie będzie wykazywała wzrostu.
54
powstania następnej innowacji. Oba te czynniki powodują spadek przyszłych zysków
monopolistycznych, co prowadzi do zmniejszenia bieżących nakładów w sektorze B+R.
Stacjonarna równowaga długookresowa występuje w punkcie przecięcia się krzywych
C(Nt) oraz B(Nt+1). W punkcie tym liczba osób wykształconych pracujących w sektorze B+R
jest stała i równa N*KD. W stanie ustalonym współczynnik pojawiania się innowacji wynosi
λϕ(N*KD) > 0.39
Liczba osób pracujących w sektorze B+R w punkcie równowagi długookresowej (N*KD)
zwiększa się wraz z: a) spadkiem stopy procentowej r, b) wzrostem jakości innowacji γ, c)
wzrostem zasobu wykształconej siły roboczej L2, d) wzrostem współczynnika pojawiania się
innowacji λ. Spadek stopy procentowej i wzrost jakości innowacji zwiększają krańcową
korzyść z badań poprzez wyższą zaktualizowaną wartość zysków monopolowych. Wzrost
zasobu siły roboczej zwiększa krańcową korzyść oraz zmniejsza krańcowy koszt badań, gdyż
przyczynia się do spadku stawek płac. Wzrost współczynnika pojawiania się innowacji
zmniejsza zarówno krańcowy koszt, jak i krańcową korzyść z badań, ponieważ – z jednej
strony – oznacza większą efektywność zatrudnianych osób w pracach nad daną innowacją,
lecz z drugiej – prowadzi do szybszego pojawienia się następnej innowacji i tym samym do
skrócenia okresu istnienia danego monopolu. Ten pierwszy efekt jednak dominuje.
Przejdziemy teraz do wyznaczenia tempa wzrostu gospodarczego w stanie równowagi
długookresowej: lny(τ + 1) – lny(τ).40 W stanie ustalonym liczba osób wykształconych
pracujących w sektorze B+R jest stała, określona równaniem [1i.15]. Oznacza to, że w
punkcie równowagi stała jest także wielkość zatrudnienia w sektorze dóbr pośrednich (L) oraz
produkcja każdego dobra pośredniego (x). A zatem, z warunków [1i.2] i [1i.1] wynika, że
każda innowacja powoduje wzrost produkcji γ razy:
1ln ln lnt ty y γ+ − = . [1i.16]
Tempo wzrostu gospodarczego między okresem τ i τ + 1 będzie zatem równe lnγ razy liczba
innowacji między okresem τ i τ + 1. Ponieważ w stanie ustalonym innowacje pojawiają się
według rozkładu wykładniczego z parametrem λϕ(N*KD), oczekiwana liczba innowacji w
jednostce czasu jest równa λϕ(N*KD). Stąd, oczekiwane tempo wzrostu gospodarczego
wynosi: 39 W sytuacji przedstawionej na rysunku gospodarka, która początkowo nie znajduje się w stanie ustalonym, zbiega do tego punktu. Takie rozwiązanie nie jest jedynym możliwym. Na przykład, może wystąpić dwuokresowa równowaga cykliczna, w której nakłady pracy w sektorze B+R będą wysokie w okresach parzystych i niskie w okresach nieparzystych (lub na odwrót). 40 Tempo wzrostu gospodarczego wynosi lny(τ + 1) – lny(τ), a nie lny(t + 1) – lny(t), gdyż szukamy zmian wielkości produkcji w czasie rzeczywistym τ.
55
( ) ( )( ) ( )*ln 1 ln lnKDE y y Nτ τ λϕ γ+ − = . [1i.17]
Równanie [1i.17] przedstawia tempo wzrostu gospodarczego w stanie ustalonym w modelu
Aghiona-Howitta z poprawiającą się jakością dóbr.
Na podstawie równania [1i.17] oraz wcześniejszych wniosków można określić
najważniejsze determinanty wzrostu gospodarczego. Tempo wzrostu zwiększa się wraz ze
spadkiem stopy procentowej, wzrostem zasobu wykształconej siły roboczej, wzrostem jakości
innowacji γ oraz wzrostem wartości współczynnika pojawiania się innowacji λ. Te dwie
ostatnie zmiany wpływają na stopę wzrostu zarówno bezpośrednio, jak i pośrednio – poprzez
dodatnie oddziaływanie na N*KD.
Charakterystyczną cechą omawianego modelu jest to, że gospodarka rynkowa może
rozwijać się szybciej lub wolniej niż gospodarka centralnie planowana. Centralny planista
wyznacza optymalną wielkość zatrudnienia w sektorze B+R (N*CP) z następującego
warunku:41
( )( )
( ) ( )( )( )
* *2 2
* *
' 1
' 1
CP CP
CP CP
F L N F L N
N r N
γ
λϕ λϕ γ
− − −=
− −. [1i.18]
Zatrudnieniu N*CP odpowiada średnie tempo wzrostu gospodarczego równe:
( ) ( )( ) ( )*ln 1 ln lnCPE y y Nτ τ λϕ γ+ − = . [1i.19]
Analogicznymi równaniami dla gospodarki rynkowej są [1i.15] i [1i.17].
Porównując [1i.17] z [1i.19] widzimy, że gospodarka centralnie planowana rozwija się
szybciej (wolniej) niż gospodarka rynkowa, jeżeli N*CP > N*KD (N*CP < N*KD). Wielkości
N*KD i N*CP są wyznaczane z równań [1i.15] i [1i.18]. Jak widać, równania te różnią się
między sobą pod czteroma względami. Po pierwsze, w [1i.15] występuje „prywatna stopa
dyskontowa” r + λϕ(N*KD), podczas gdy w [1i.18] – „stopa dyskontowa na poziomie całej
gospodarki” r – λϕ(N*CP)(γ – 1). Stopa dyskontowa na poziomie całej gospodarki jest niższa
niż prywatna, gdyż dla centralnego planisty korzyść z innowacji trwa wiecznie, podczas gdy
pojedyncze przedsiębiorstwo czerpie z niej korzyści tylko do momentu pojawienia się
następnej innowacji. Po drugie, w równaniu [1i.15] występuje nadwyżka producenta π/A, zaś
w [1i.18] pojawia się wielkość produkcji F. Po trzecie, współczynnik γ z licznika formuły
[1i.15] zostaje zastąpiony przez współczynnik γ – 1 w równaniu [1i.18]. Wynika to stąd, że
prywatne przedsiębiorstwo nie uwzględnia faktu, iż nowa innowacja oznacza pojawienie się
41 Wyprowadzenie równania [1i.18] znajduje się w: Aghion, Howitt (1992) lub – w nieco zmienionej formie – Aghion, Howitt (1998).
56
straty dla dotychczasowego monopolisty. Po czwarte, utarg krańcowy ω/A występujący we
wzorze [1i.15], równy stawce płacy, staje się w równaniu [1i.18] produktem krańcowym F’.
Pierwsze dwie z powyższych różnic sprawiają, że gospodarka rynkowa rozwija się
wolniej niż gospodarka centralnie planowana. Dwie kolejne różnice skutkują szybszym
wzrostem gospodarki rynkowej w porównaniu z centralnie planowaną. Ponieważ efekty te
działają w przeciwnych kierunkach, gospodarka rynkowa może rozwijać się szybciej lub
wolniej od gospodarki centralnie planowanej.
Model Aghiona-Howitta nie potwierdza występowania zjawiska konwergencji między
krajami. Kraje wysoko rozwinięte (o wysokim poziomie techniki, mierzonej zmienną A) będą
rozwijać się tak samo jak kraje słabo rozwinięte, które nie są zaawansowane technologicznie.
Prawdopodobieństwo powstania kolejnej innowacji oraz tempo wzrostu gospodarczego nie
zależą bowiem od zmiennej A, określającej dotychczasowy poziom rozwoju. A zatem, nawet
jeśli poszczególne kraje charakteryzują się takimi samymi wartościami parametrów
określających stan równowagi długookresowej, lecz różnią się poziomem rozwoju,
zróżnicowanie dochodów między nimi będzie rosnąć w czasie.
57
3.6. Rozszerzony model Solowa (model Mankiwa-Romera-Weila)
Przedstawimy teraz rozszerzony model Solowa (the augmented Solow model), autorstwa
N.G. Mankiwa, D. Romera i D.N. Weila (Mankiw, Romer, Weil, 1992; Romer, 2000). Mimo
że rozszerzony model Solowa stanowi kontynuację neoklasycznej teorii wzrostu i nie jest
ujęciem endogenicznym, zalicza się go do nowej teorii wzrostu głównie z dwóch powodów.
Po pierwsze, powstał on w latach dziewięćdziesiątych, a więc w okresie nowej teorii wzrostu.
Po drugie, uwzględnienie kapitału ludzkiego jest pewną cechą zbliżającą ten model do grupy
koncepcji endogenicznych. Model Mankiwa-Romera-Weila powstał m. in. w celu pokazania,
że neoklasyczna teoria wzrostu dobrze wyjaśnia różnice w poziomie dochodów między
krajami i zjawisko konwergencji warunkowej. Dlatego też pod koniec przedstawimy wyniki
badań empirycznych weryfikujących prawdziwość wniosków płynących z modeli Solowa
(podstawowego i rozszerzonego).
Główna różnica między podstawowym i rozszerzonym modelem Solowa polega na tym, że
model w wersji rozszerzonej uwzględnia kapitał ludzki. Kapitał ludzki (H) jest trzecim
czynnikiem produkcji, poza kapitałem fizycznym (K) i efektywnym zasobem pracy (AL).
Funkcja produkcji ma następującą postać:
( )Y K H AL α βα β 1− −= , [1j.1]
gdzie α > 0, β > 0, α + β < 1. Jak widać, wprowadzenie kapitału ludzkiego nie zmieniło faktu,
iż funkcja produkcji charakteryzuje się wszystkimi neoklasycznymi własnościami, a
mianowicie malejącą krańcową produkcyjnością każdego z czynników, stałymi przychodami
ze skali oraz spełnia warunki Inady. Produkcja w tym modelu może być przeznaczana na
konsumpcję, na akumulację kapitału fizycznego lub na akumulację kapitału ludzkiego.
Poziom techniki oraz siła robocza rosną w stałych tempach, równych odpowiednio a i n,
kształtowanych egzogenicznie (zob. [1a.3]). Oba rodzaje kapitałów amortyzują się według tej
samej stopy, równej δ. Niech sK oznacza odsetek dochodu przeznaczany na akumulację
kapitału fizycznego (czyli stopę oszczędności), zaś sH – odsetek dochodu przeznaczany na
akumulację kapitału ludzkiego. Równania ruchu dla kapitału fizycznego i kapitału ludzkiego
mają zatem postać:
KK s Y Kδ= −& , [1j.2]
HH s Y Hδ= −& . [1j.3]
Analizę dynamiki modelu przeprowadzimy dla wielkości kapitałów i produkcji na
jednostkę efektywnej pracy, oznaczonych jako k, h i y:
58
KkAL
≡ ; HhAL
≡ ; ( )K H ALYy k hAL AL
α βα βα β
1− −
≡ = = . [1j.4]
W celu znalezienia równań opisujących dynamikę gospodarki różniczkujemy względem
czasu definicje k i h. W efekcie otrzymujemy:
( ) ( )K Kk s y n a k s k h n a kα βδ δ= − + + = − + +& , [1j.5]
( ) ( )H Hh s y n a h s k h n a hα βδ δ= − + + = − + +& . [1j.6]
Powyższe równania opisują dynamikę gospodarki w modelu Mankiwa-Romera-Weila. Są one
analogiczne do równania [1a.6], przedstawiającego dynamikę w podstawowym modelu
Solowa. Przyrost kapitału ludzkiego i fizycznego na jednostkę efektywnej pracy jest równy
faktycznym inwestycjom w dany rodzaj kapitału pomniejszonym o inwestycje restytucyjne.
W stanie ustalonym wielkość kapitału na jednostkę efektywnej pracy jest stała. A zatem,
przyrównując [1j.5] i [1j.6] do zera uzyskujemy zasób kapitału fizycznego i ludzkiego w
stanie równowagi długookresowej: 1
1 1* K Hs sk
n a
β β α β
δ
− − − = + +
, [1j.7]
11 1
* K Hs shn a
α α α β
δ
− − − = + +
. [1j.8]
Graficzną postać stanu ustalonego oraz okresu przejściowego przedstawia rysunek 1.9.
Dynamikę rozszerzonego modelu Solowa rozpatrujemy w dwuwymiarowej przestrzeni
(k,h). Krzywe dk/dt = 0 i dh/dt = 0 na rysunku 1.9 zostały wyznaczone poprzez przyrównanie
równań [1j.5] i [1j.6] do zera. Krzywe te mają następującą postać funkcyjną:
• krzywa 0k =& : 1
11Ksk h
n a
βαα
δ−
− = + + , [1j.9]
• krzywa 0h =& :
11
H
n ak hs
βααδ − + +
=
. [1j.10]
Ponieważ β < 1 – α i 1 – β > α, krzywa dk/dt = 0 jest wklęsła, zaś krzywa dh/dt = 0 –
wypukła. Stan ustalony znajduje się w punkcie przecięcia krzywych dk/dt = 0 i dh/dt = 0
(punkt E). Podobnie jak w podstawowym modelu Solowa, stan równowagi długookresowej
jest tu stabilny. Z każdego początkowego punktu (np. A, B, C lub D), określonego
początkowym zasobem kapitału fizycznego i ludzkiego, gospodarka podąża w kierunku stanu
równowagi długookresowej, zachowując się zgodnie z równaniami [1j.5] i [1j.6].
59
Rysunek 1.9 Okres przejściowy i stan ustalony w rozszerzonym modelu Solowa
0h =&
0k =&
h
k
k*
h*
E
B
A
C
D
W stanie równowagi długookresowej kapitał fizyczny, kapitał ludzki, konsumpcja i
produkcja na jednostkę efektywnej pracy są stałe. Oznacza to, że tempo wzrostu PKB jest
równe sumie postępu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludności (czyli zmiennych
kształtowanych egzogenicznie), a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkańca jest równe postępowi
technicznemu. A zatem, rozszerzony model Solowa daje taką samą odpowiedź jak model
podstawowy i inne modele neoklasyczne na pytanie o przyczyny długookresowego wzrostu
gospodarczego.
W modelu Mankiwa-Romera-Weila stopy inwestycji w kapitał fizyczny i kapitał ludzki
kształtują się egzogenicznie. Tokarski (2000) pokazuje, że maksymalizacja konsumpcji per
capita wymaga, aby stopy te były równe udziałom wynagrodzeń poszczególnych czynników
produkcji w dochodzie. Jednak w rzeczywistości stopy inwestycji będą niższe od poziomu
maksymalizującego konsumpcję, ponieważ jednostki bardziej cenią konsumpcję bieżącą od
przyszłej i dlatego nie zdecydują się na wybór wysokich stóp inwestycji. Oznacza to, że
model Mankiwa-Romera-Weila charakteryzuje się dynamiczną nieefektywnością.
Model Mankiwa-Romera-Weila, podobnie jak inne modele neoklasyczne, potwierdza
występowanie zjawiska konwergencji warunkowej. W celu formalnego wykazania zbieżności
i obliczenia jej szybkości, należy dokonać log-linearyzacji równania opisującego dynamikę
gospodarki. Logarytmując i różniczkując względem czasu funkcję produkcji y = kαhβ i
wykorzystując zależności [1j.5] – [1j.6], uzyskujemy równanie opisujące tempo wzrostu
produkcji na jednostkę efektywnej pracy w rozszerzonym modelu Solowa:
60
( )( )1 1ln K Hy s k h s k h n aα β α βα β α β δ− −= + − + + +& . [1j.11]
Następnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego w celu
znalezienia przybliżonej ścieżki czasowej dla lny:
( ) ( )dla stanu ustalonego dla stanu ustalonego
ln lnln ln * ln ln * ln ln *ln ln
d y d yy y k k h hd k d h
≈ + × − + × −& &
& & . [1j.12]
Obliczając odpowiednie pochodne i wykorzystując fakt, że w stanie ustalonym k i h określone
są wzorami [1j.7] – [1j.8], z [1j.12] otrzymujemy:
( )( )( ) ( )( )( )ln 1 ln ln * 1 ln ln *y n a k k n a h hα α β δ β α β δ= − − − + + − − − − + + −& . [1j.13]
Definiując:
( )( )1 0n aλ α β δ= − − + + > , [1j.14]
[1j.13] można zapisać w postaci:
( )ln * lny y yy
λ= −&
. [1j.15]
Równanie [1j.15] jest identyczne jak równania [1a.14] i [1b.15], właściwe dla modeli Solowa
i Ramseya, oraz podobne do równania [1c.20] w modelu Diamonda.42 Wszystkie te równania
informują, że tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do odległości dzielącej
gospodarkę od jej stanu równowagi długookresowej. Im odległość ta jest większa, tzn. im
bardziej lny jest mniejszy od lny*, tym szybsze jest tempo wzrostu gospodarczego. Oznacza
to występowanie zjawiska zbieżności.
Równanie [1j.14] przedstawia wartość współczynnika określającego szybkość zbieżności
w modelu Mankiwa-Romera-Weila. Analogiczne współczynniki dla modeli Solowa i
Ramseya dane są wzorami [1a.13] i [1b.14] (modelu Diamonda nie porównujemy, gdyż jeden
okres w modelu Diamonda nie odpowiada jednemu okresowi w modelach z czasem ciągłym).
Na podstawie [1j.14] i [1a.13] widać, że w modelu Mankiwa-Romera-Weila zbieżność jest
wolniejsza niż w zwykłym modelu Solowa.
Model Solowa (w wersji podstawowej i rozszerzonej) nie tłumaczy różnic w tempach
wzrostu gospodarczego między krajami, jednak można go wykorzystać do wyjaśnienia różnic
w poziomach dochodu. Zgodnie z modelem Solowa stopa oszczędności (w przypadku wersji
rozszerzonej – także odsetek dochodu przeznaczany na akumulację kapitału ludzkiego) oraz
tempo wzrostu liczby ludności to podstawowe czynniki określające poziom dochodu na 1
mieszkańca. Wzrost stóp oszczędności i/lub zmniejszenie się tempa wzrostu liczby ludności
42 W rozszerzonym modelu Solowa współczynnik zbieżności, oznaczany wcześniej symbolem β, jest oznaczony symbolem λ, gdyż β zostało już wykorzystane w opisie funkcji produkcji.
61
prowadzą do wyższego poziomu dochodu w stanie równowagi długookresowej (i przejściowo
wyższego tempa wzrostu gospodarczego).
Aby formalnie wykazać wpływ sK, sH i n na poziom PKB per capita w stanie ustalonym,
należy zlogarytmować funkcję produkcji: y* ≡ (Y/AL)* = k*αh*β, wykorzystując [1j.7] – [1j.8].
W efekcie otrzymujemy:
( ) ( )*ln ln 0 ln ln ln* 1 1 1K H
Y A at s s n aL
α β α β δα β α β α β
+= + + + − + + − − − − − −
. [1j.16]
Powyższe równanie pokazuje, że wzrost sK i sH, jak również spadek n przyczyniają się do
wzrostu wielkości PKB per capita w stanie równowagi długookresowej w rozszerzonym
modelu Solowa, zaś α/(1 – α – β) i β/(1 – α – β) to elastyczności dochodu względem sK i sH.
Analogiczne równanie dla standardowego modelu Solowa ma postać (β = 0):
( ) ( )*ln ln 0 ln ln* 1 1
Y A at s n aL
α α δα α
= + + − + + − −
. [1j.17]
Równania [1j.16] i [1j.17] – uzyskane z rozszerzonego i podstawowego modelu Solowa –
pokazują najważniejsze czynniki określające poziom dochodów w poszczególnych krajach.
W tym miejscu nasuwa się pytanie, czy rzeczywiście stopa oszczędności, inwestycje w
kapitał ludzki i tempo wzrostu liczby ludności to zmienne odpowiedzialne za różnice w
poziomach dochodów między krajami.
Mankiw, Romer i Weil dokonują estymacji równań [1j.16] i [1j.17] dla trzech różnych
grup krajów dla okresu 1960 – 1985. Wyniki ich analizy wskazują, że podstawowy model
Solowa dobrze wyjaśnia kierunek wpływu stopy oszczędności i tempa wzrostu liczby
ludności na poziom PKB, jednak błędnie wskazuje siłę tego oddziaływania. Siłę tę o wiele
lepiej określa model w wersji rozszerzonej.
Estymując równanie [1j.17] dla 98 krajów, Mankiw, Romer i Weil uzyskali ocenę
parametru przy zmiennej (lns – ln(n + a + δ)) równą 1,48. Jeśli zatem równanie [1j.17] byłoby
prawdziwe, to udział wynagrodzenia kapitału fizycznego w dochodzie (α) musiałby wynosić
0,60. Jednak w rzeczywistości wynagrodzenie kapitału fizycznego jest o wiele mniejsze i
stanowi ok. 1/3 dochodu, a to oznacza, że α/(1 – α) uzyskane na podstawie badań
empirycznych powinno być równe 0,5. Jak zatem widać, wpływ stopy oszczędności i tempa
wzrostu liczby ludności na poziom dochodu jest o wiele większy, niż wynikałoby to z
podstawowego modelu Solowa. A zatem model ten dobrze wyjaśnia kierunek powiązań
między stopą oszczędności, tempem wzrostu liczby ludności i poziomem dochodu oraz
prawidłowo wskazuje, że stopa oszczędności i tempo wzrostu liczby ludności to podstawowe
62
determinanty poziomu PKB (R2 = 0,59). Jednak podstawowy model Solowa błędnie tłumaczy
siłę oddziaływania stopy oszczędności i zmian w liczbie ludności na poziom dochodu.
Ponieważ uzyskane z modelu Solowa α = 0,60 może odzwierciedlać wynagrodzenie
szerszego zasobu kapitału, Mankiw, Romer i Weil rozbudowują model Solowa,
wprowadzając doń kapitał ludzki. Na podstawie tak rozbudowanego modelu dokonują
estymacji równania [1j.16], gdzie sH, czyli stopa akumulacji kapitału ludzkiego, to stosunek
osób uczących się w szkołach średnich do ogółu osób w wieku produkcyjnym. Szacując
równanie [1j.16] dla 98 krajów autorzy uzyskują współczynnik przy zmiennej
(lnsK – ln(n + a + δ)) równy 0,73, zaś współczynnik przy zmiennej (lnsH – ln(n + a + δ)) na
poziomie 0,67. Powyższe wartości implikują, że udział wynagrodzenia kapitału fizycznego w
dochodzie (α) wynosi 0,31, zaś udział wynagrodzenia kapitału ludzkiego w dochodzie (β) jest
równy 0,28. Takie wartości parametrów α i β uzyskane z rozszerzonego modelu Solowa są
mniej więcej zgodne z rzeczywistością. R2 dla oszacowanego równania regresji wynosi 0,78.
Powyższe wyniki oznaczają, że rozszerzony model Solowa dobrze tłumaczy (zarówno jeśli
chodzi o kierunek, jak i o siłę oddziaływania) różnice w poziomie dochodów między krajami,
wynikające z różnic w stopie oszczędności, stopie akumulacji kapitału ludzkiego i tempie
wzrostu liczby ludności.
Rozszerzony model Solowa wykazuje także lepsze własności w zakresie predykcji
szybkości zbieżności do stanu równowagi długookresowej, co potwierdzają przeprowadzone
przez Mankiwa, Romera i Weila badania empiryczne. Współczynnik β-zbieżności uzyskany z
badań empirycznych opartych na zwykłym modelu Solowa wynosi 0,6%, podczas gdy z
teoretycznej analizy modelu wynika, że – dla rozsądnych wartości parametrów – powinien on
wynosić ok. 4% (por. [1a.13]). Natomiast z badań empirycznych opartych na rozszerzonym
modelu Solowa uzyskujemy współczynnik β-zbieżności równy 1,4%, podczas gdy z
teoretycznych własności tego modelu powinien on wynosić ok. 2% (por. [1j.14]). Jak widać
zatem, rozszerzony model Solowa lepiej niż wariant podstawowy wyjaśnia szybkość
zbieżności gospodarek. Mimo że oba podejścia wskazują na występowanie konwergencji
warunkowej (co potwierdzają także wyniki badań empirycznych), to jednak faktyczna
szybkość zbieżności jest o wiele mniejsza, niż wynika to ze standardowego modelu Solowa,
który informuje o zbieżności w tempie 4% rocznie.43
43 Rozszerzenie modelu Solowa, przedstawione przez Mankiwa, Romera i Weila, nie musi ograniczać się tylko do uwzględnienia kapitału ludzkiego. Na przykład, W. Nonneman i P. Vanhoudt (Nonneman, Vanhoudt, 1996) przedstawiają jeszcze bardziej rozszerzony model Solowa, uwzględniający dowolną liczbę czynników produkcji:
63
Badanie Mankiwa, Romera i Weila było jednym z kilku, które zostały przeprowadzone w
latach dziewięćdziesiątych XX w. i potwierdziły prawdziwość teorii neoklasycznej. W innych
analizach z lat 1994 i 1995 Alwyn Young dowiódł, że szybki wzrost gospodarczy krajów Azji
Wschodniej był przede wszystkim stymulowany akumulacją pracy i kapitału, a nie
produktywnością. Z kolei Barro i Sala-i-Martin (1995) pokazali, że rozszerzony model
Solowa poprawnie wyjaśnia szybkość zbieżności krajów oraz regionów USA, Japonii i
niektórych państw Europy Zachodniej. Klenow i Rodríguez-Clare (1997) nazwali ten powrót
do teorii neoklasycznej „neoklasycznym odrodzeniem” (neoclassical revival). Przytoczone
badania sugerują bowiem, że poziom i zmiany produktywności są zbliżone w poszczególnych
krajach, a zatem różnice w poziomie dochodu i tempie wzrostu gospodarczego są w dużym
stopniu spowodowane różnicami w zasobach kapitału fizycznego i ludzkiego.44
( )1 21
11 2
m
imimY K K K AL ααα α=
−∑= K . W modelu tym m jest liczbą dóbr kapitałowych będących czynnikami produkcji (w standardowym modelu Solowa m jest równe 1, zaś w modelu Mankiwa-Romera-Weila, uwzględniającym kapitał fizyczny i ludzki, m jest równe 2). Analiza dynamiki modelu uwzględniającego m czynników wytwórczych jest analogiczna do przedstawionej w tej pracy analizy modelu Mankiwa-Romera-Weila.
Stosując model Mankiwa-Romera-Weila, nie da się przekonująco wyjaśnić różnic w poziomie dochodów wśród krajów OECD. Dlatego też Nonneman i Vanhoudt stosują dla tej grupy krajów model Solowa z trzema czynnikami produkcji: kapitałem fizycznym, kapitałem ludzkim oraz technologicznym know-how (m = 3). Okazuje się, że tak rozszerzony model o wiele lepiej wyjaśnia różnice w poziomach dochodów między krajami OECD (R2 dla m = 3 wynosi 0,7, podczas gdy dla m = 2 R2 jest równe 0,2-0,3, zaś dla m = 1 R2 – 0,0-0,1).
Tokarski (2007b) rozszerza model Nonnemana-Vanhoudta o elementy teorii optymalnego sterowania i oblicza optymalne stopy inwestycji w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego. Pokazuje on, że optymalne stopy inwestycji (maksymalizujące sumę zdyskontowanej użyteczności konsumpcji konsumenta w nieskończonym horyzoncie czasowym) zależą m. in. od stopy dyskontowej typowego konsumenta oraz od odwrotności międzyokresowej substytucji konsumpcji. 44 Ten ostatni wniosek jest jednak dyskusyjny. Na przykład, Easterly i Levine (2002) wskazują, że akumulacja czynników wytwórczych (pracy i kapitału) nie jest najważniejszym czynnikiem wyjaśniającym zróżnicowanie poziomów dochodu i temp wzrostu gospodarczego na świecie.
64
4. Podsumowanie
1. Modele wzrostu gospodarczego można podzielić na dwie grupy: modele neoklasyczne i
modele endogeniczne. Pierwsze z nich charakteryzują się neoklasyczną funkcją produkcji,
zakładającą występowanie malejących przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji
oraz stałych przychodów ze skali. Natomiast w modelach endogenicznych występują co
najmniej stałe przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. Najważniejsze modele
neoklasyczne to modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Podstawowe modele
endogeniczne to model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo, modele
ze zwiększającą się liczbą dóbr oraz modele z poprawiającą się jakością dóbr. Do nowej
teorii wzrostu zaliczamy także model Mankiwa-Romera-Weila, stanowiący rozszerzoną
wersję modelu Solowa.
2. Neoklasyczna teoria wzrostu nie tłumaczy dobrze determinant długookresowego wzrostu
gospodarczego. Zgodnie z tymi modelami, długookresowy wzrost gospodarczy zależy od
szeroko rozumianego postępu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Modele
neoklasyczne można natomiast wykorzystać do wyjaśnienia różnic w poziomach dochodu
między krajami. Na przykład, model Solowa w wersji rozszerzonej wskazuje, że różnice
w stopie oszczędności, stopie akumulacji kapitału ludzkiego oraz tempie wzrostu liczby
ludności w dużej mierze wyjaśniają różnice w poziomach dochodu per capita między
krajami.
3. Modele endogeniczne – w przeciwieństwie do neoklasycznych – dobrze objaśniają
determinanty długookresowego wzrostu gospodarczego. Wzrost ten jednak w
poszczególnych modelach tej grupy zależy od różnych czynników. Wyższe inwestycje w
kapitał ludzki, większy zasób kapitału ludzkiego, zwiększenie czasu pracy, większe
nakłady na B+R oraz wyższa efektywność prac badawczo-rozwojowych to tylko niektóre
czynniki zapewniające – zgodnie z teorią endogeniczną – szybszy wzrost gospodarczy.
4. Zjawisko konwergencji warunkowej typu β, definiowanej jako sytuacja, w której
gospodarki słabiej rozwinięte wykazują szybsze tempo wzrostu gospodarczego niż
gospodarki wyżej rozwinięte pod warunkiem, że dążą one do tego samego stanu
równowagi długookresowej, jest potwierdzone przez wszystkie modele neoklasyczne.
Modele te różnią się jednak między sobą szacunkami wysokości współczynnika
informującego o szybkości zbieżności. Natomiast endogeniczne modele wzrostu nie
wskazują na występowanie zjawiska konwergencji. Wprost przeciwnie, z niektórych ujęć
65
endogenicznych wynika, że tempo wzrostu gospodarczego rośnie wraz ze wzrostem
poziomu dochodu, co oznacza występowanie tendencji dywergencyjnych.
5. Przedstawione w niniejszym opracowaniu podstawowe modele można rozbudowywać w
celu wyjaśnienia wpływu wielu innych czynników na wzrost gospodarczy. Możliwe
kierunki rozszerzeń obejmują wprowadzenie do modelu państwa (zarówno w zakresie
wydatków, jak i podatków), uwzględnienie endogenicznego przyrostu naturalnego czy też
otwarcie gospodarek i uwzględnienie wymiany z zagranicą.
66
Najważniejsze pozycje bibliograficzne (w celu uzyskania pełnej bibliografii, prosimy o kontakt z autorem)
Podręczniki
Barro Robert, Xavier Sala-i-Martin, Economic Growth, The MIT Press, Cambridge – London 2003.
Chiang Alpha C., Elements of Dynamic Optimization, McGraw-Hill, New York – St. Louis – San Francisco 1992.
Chiang Alpha C., Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994.
Romer David, Makroekonomia dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 2000.
Artykuły
Aghion Philippe, Peter Howitt, A Model of Growth through Creative Destruction, "Econometrica", 60, 1992, s. 323 - 351.
Cass David, Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, „Review of Economic Studies”, 32, 1965, s. 233 – 240.
Diamond Peter A., National Debt in a Neoclassical Growth Model, "American Economic Review", 55, 1965, s. 1126 - 1150.
Domar Evsey D., Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment, "Econometrica", 14, 1946, s. 137 - 147.
Harrod Roy, An Essay in Dynamic Theory, "Economic Journal", 49, 1939, s. 14 - 33.
Koopmans Tjalling C., On the Concept of Optimal Economic Growth, w: The Econometric Approach to Development Planning, North Holland, Amsterdam 1965.
Lucas Robert E., On the Mechanics of Economic Development, “Journal of Monetary Economics”, 22, 1988, s. 3 – 42.
Mankiw N. Gregory, David Romer, David N. Weil, A Contribution to the Empirics of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 107, 1992, s. 407 - 437.
Ramsey Frank, A Mathematical Theory of Saving, „Economic Journal”, 38, 1928, s. 543 – 559.
Rebelo Sergio, Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth, “Journal of Political Economy”, 99, 1991, s. 500 – 521.
Romer Paul M., Increasing Returns and Long-Run Growth, “Journal of Political Economy”, 94, 1986, s. 1002 – 1037.
Romer Paul M., Endogenous Technological Change, “Journal of Political Economy”, 98, 1990, s. S71 – S102.
Solow Robert M., A Contribution to the Theory of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 70, 1956, s. 65 - 94.
Swan Trevor W., Economic Growth and Capital Accumulation, „Economic Record”, 32, 1956, s. 334 – 361.