MODELE OPERATOROWEstud.eti.elektr.polsl.pl/download/Stany nieustalone... · 2015-03-14 · MODELE...
Transcript of MODELE OPERATOROWEstud.eti.elektr.polsl.pl/download/Stany nieustalone... · 2015-03-14 · MODELE...
MODELE OPERATOROWE
Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się
wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R,
L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
transformatami napięć na elementach R, L, C i prądów płynących przez
te elementy.
Przyjmuje się umowę, że:
− wielkości (przebiegi) czasowe oznacza się małymi literami, np.
przebiegi czasowe prądu, napięcia: i(t), u(t) itp.,
− wszystkie wielkości (przebiegi) czasowe są określane dla czasu t ≥ 0 i
mają transformaty Laplace’a.
Przyjęta metodyka postępowania jest podobna do stosowanej w anali-
zie stanów ustalonych w obwodach liniowych z wymuszeniami sinusoi-
dalnymi metodą symboliczną, gdzie elementom R, L, C przyporządko-
wuje się impedancje (admitancje) zespolone wiążące wartości zespolo-
ne skuteczne napięć i prądów tych elementów.
Prowadzone rozważania dotyczyć będą kolejno elementów R, L, C oraz
źródeł autonomicznych.
Rezystor R
Opis rezystora liniowego w dziedzinie czasu określa prawo Ohma:
u(t) = R i(t),
Po obustronnej transformacji Laplace’a powyższych wzorów oraz
wykorzystaniu twierdzenia o liniowości uzyskujemy:
U(s) = L[u(t)] = L[R i(t)] = R L[i(t)] = R I(s),
R
u(t)
i(t) R
U(s)
I(s)
a) b)
Wzory powyższe określają opis rezystora w dziedzinie transformat. Należy podkreślić, że ponieważ rezystor nie magazynuje energii pola elektrycznego, to jego opis zarówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie transformat nie zależy od warunków początkowych, których dla rezystora się nie określa.
Induktor L (Cewka indukcyjna)
Opis induktora L przedstawiony na rys. z warunkiem początkowym
== +
t 0i(t) i(0 ) stanowią w dziedzinie czasu równania:
=di(t)
u(t) Ldt
, + = 0i(0 ) i ,
= +∫t
0
0
1i(t) u(t)dt i
L.
Po obustronnej transformacie Laplace’a wzoru z wykorzystaniem twier-
dzeń o liniowości i o pochodnej transformaty uzyskujemy:
= = = = −
0
di(t) di(t)U(s) u(t) L L sL I(s) L i
dt dtL L L .
Wyznaczając z równania prąd I(s) w funkcji napięcia U(s):
= + 0i1I(s) U(s)
sL s
u(t)
i(t) L
0i)0(i ====++++
I(s)sL
0iL
U(s)
I(s) sL
s
i0
U(s)
a) b)
sL
U(s)
I(s)
d)c)
Model dla zerowego
warunku początkowego
=i(0) 0
Modele przedstawione na powyższych rys. są równoważne. W
szczególnym przypadku, gdy + = =0i(0 ) i 0 obowiązują równania:
= = LU(s) sL I(s) Z (s) I(s),
= = L
1I(s) U(s) Y (s)U(s)
sL,
gdzie:
LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa induktora:
=LZ (s) sL,
=L
1Y (s)
sL.
Kondensator C
Dla kondensatora C z warunkiem początkowym =
= + = 0t 0u(t) u(0 ) u
obowiązują równania w dziedzinie czasu:
=du(t)
i(t) Cdt
, + = 0u(0 ) u ,
= +∫t
0
0
1u(t) i(t)dt u
C.
Po obustronnej transformacie Laplace’a i wykorzystaniu twierdzeń o
liniowości i transformacie całki uzyskujemy:
= = + = + = +
∫ ∫t t
00 0
0 0
u1 1 1U(s) u(t) i(t)dt u i(t)dt u I(s)
C C sC sL L L L .
Przekształcenie wzoru prowadzi do zależności:
= − 0I(s) sCU(s) u C
i(t)
u(t)
u(0+)
C I(s) sC
1 s
u0
U(s)
sC
1
I(s)
U(s)
sC
1
I(s)
U(s)
a) b)
d)c)
C u0 Model dla zerowego
warunku początkowego
=u(0) 0
W szczególności gdy + = =0u(0 ) u 0, a zatem dla zerowego napięcia na
kondensatorze w chwili komutacji obowiązują równania:
= = C
1U(s) I(s) Z (s)I(s)
sC,
= = CI(s) sCU(s) Y (s)U(s),
gdzie:
LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa kondensatora:
=C
1Z (s)
sC,
=LY (s) sC.
Podsumowując, należy stwierdzić, że:
− jeżeli elementy L, C mają niezerowe warunki początkowe, to ich
modele operatorowe stanowią połączenia impedancji (admi-
tancji) operatorowych tych elementów i źródeł autonomicz-
nych napięciowych lub prądowych reprezentujących warunki po-
czątkowe,
− jeżeli warunki początkowe elementów L, C są zerowe, to ich mode-
le operatorowe stanowią impedancje (admitancje) operato-
rowe.
Źródła autonomiczne
Idealne źródła autonomiczne są opisane poprzez zależności czasowe
określające przebiegi napięć źródeł napięciowych (SEM) i prądów
źródeł prądowych (SPM). W dziedzinie transformat źródła te są
opisane poprzez transformaty Laplace’a przebiegów czasowych prądów
i napięć źródeł.
e(t)
j(t)
[e(t)]E(s) L=
[j(t)]J(s) L=
a)
c)
b)
d)
Impedancje i admitancje operatorowe układów SLS
Rozpatrzmy pojedynczą gałąź obwodu elektrycznego złożoną z
szeregowego połączenia elementów R, L, C z niezerowymi warunkami
początkowymi i źródła autonomicznego napięciowego e(t). W postaci
czasowej napięcie u(t) na gałęzi określa wzór:
= + + + +∫t
0
0
di(t) 1u(t) R i(t) L i(t)dt u e(t)
dt C,
oraz:
+ =C 0u (0 ) u , + = 0i(0 ) i .
Po transformacji Laplace’a równania z uwzględnieniem warunków po-
czątkowych uzyskujemy wzór:
= + − + + + =
= + + − + + =
= − + +
00
00
00
u1U(s) R I(s) sL I(s) Li I(s) E(s)
sC s
u1R sL I(s) Li E(s)
sC s
uZ(s) I(s) Li E(s).
s
Występujące we wzorze wielkości U(s), I(s), E(s) stanowią transforma-
ty Laplace’a przebiegów czasowych u(t), i(t), e(t). Wielkość Z(s):
= + +1
Z(s) R sLsC
,
nazywamy impedancją operatorową gałęzi szeregowej RLC
nazywanej także gałęzią szeregową normalną. Jeżeli źródło
napięcia e(t) w gałęzi szeregowej nie występuje, a warunki początkowe
są zerowe, to dwójnik pasywny jest opisany impedancją Z(s) oraz
równaniem:
=U(s) Z(s)I(s),
lub też:
=I(s) Y(s)U(s),
gdzie:
Y(s) − admitancja operatorowa gałęzi RLC:
=1
Y(s)Z(s)
.
W obwodach, zawierających gałęzie szeregowe RLC z zerowymi
warunkami początkowymi bez źródeł autonomicznych lub też dowolne
dwójniki pasywne, występują podobne jak dla metody symbolicznej
zasady tworzenia impedancji i admitancji zastępczych.
Dla połączenia szeregowego dowolnych (niekoniecznie złożonych z
gałęzi szeregowych) dwójników pasywnych zachodzą zależności:
= + +1 2 nU(s) U (s) U (s) ... U (s),
= + +1 1 2 2 n nZ(s)I(s) Z (s)I (s) Z (s)I (s) ... Z (s) I (s),
= + +1 2 nZ(s) Z (s) Z (s) ... Z (s).
Podobnie dla połączenia równoległego:
= + +1 2 nI(s) I (s) I (s) ... I (s),
= + +1 1 2 2 n nY(s)U(s) Y (s)U (s) Y (s)U (s) ... Y (s)U (s),
= + +1 2 nY(s) Y (s) Y (s) ... Y (s).
⋅⋅⋅Z
1(s) Z
2(s) Z
n(s)
I(s)
U1(s) U
2(s) U
n(s)
U(s)
U(s)
I(s)
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
I(s)
I1(s) I
2(s) I
n(s)
Y1(s) Y
2(s) Y
n(s)U(s) U(s)
I(s)
Z(s)
Y(s)
a)
b)
Przykład
sL
RsC
1
Z1(s),Y
1(s)
a)
Z2(s),Y
2(s)
b)
RsC
1
sL1
sL2
Impedancja zastępcza Z1(s) układu przedstawionego na rys. a) stanowi
sumę impedancji operatorowej cewki L i impedancji dwójnika będącego
równoległym połączeniem rezystora i kondensatora. Stąd:
−+ +
= + + = + = + +
1 2
1
1 1 RCLs sL RZ (s) sL sC sL
1R 1 RCssC
R
.
+= =
+ +1 2
1
1 1 RCsY (s)
Z (s) RCLs sL R.
Admitancja zastępcza Y2(s) układu przedstawionego na rys. b) jest
sumą admitancji dwóch dwójników. Pierwszy z nich stanowi połączenie
szeregowe elementów R, L1, drugi natomiast połączenie szeregowe
elementów L2, C. Zatem:
+ + += + =
+ + ++
21 2
2 21 1 2
2
s (L L )C sCR 11 1Y (s) ,
1R sL (R sL )(s L C 1)sLsC
+ += =
+ + +
21 2
2 22 1 2
(R sL )(s L C 1)1Z (s) .
Y (s) s (L L )C sCR 1
Przykład
Dla obwodu z rys. należy wyznaczyć przebieg czasowy prądu po
zamknięciu wyłącznika w, w chwili t = 0.
e(t)
w
t = 0
i(t)R L C
i(0+)u(0+)
Równanie różniczkowe obwodu ma postać:
= + + +∫t
0
0
di(t) 1e(t) R i(t) L i(t)dt u
dt C, dla t ≥ 0,
przy warunkach:
+ =C 0u (0 ) u , + = 0i(0 ) i .
W wyniku obustronnej transformacji Laplace’a równania uzyskujemy
wzór:
= + − + + 00
u1E(s) R I(s) sL I(s) L i I(s)
sC s
i stąd:
= + + − + = − +
0 00 0
u u1E(s) R sL I(s) L i Z(s) I(s) L i
sC s s.
Transformatę Laplace’a prądu w obwodzie określa zatem wzór:
= + −0 0L i uE(s)I(s)
Z(s) Z(s) s Z(s).
W tym momencie należałoby obliczyć transformatę odwrotną prądu
I(s), co jednak wymaga konkretnego wzoru na napięcie e(t) źródła.
W zależności od tego napięcia (stałe, sinusoidalne, okresowe itp.)
stosuje się różne metody obliczenia transformaty odwrotnej
( )−=
1i(t) I(s)L .
Przykład
Dla obwodu z powyższego przykładu należy wyznaczyć przebieg prądu
i(t).
Obwodowi z powyższego rys. odpowiada schemat wynikły z opisu
elementów obwodu w dziedzinie transformat.
E(s)
I(s)R sL
sC
1Li
0 s
u0
uR(s)
uL(s)
uC
(s)
Na podstawie II prawa Kirchhoffa w dziedzinie operatorowej i równań
elementów mamy:
= + +R L CE(s) U (s) U (s) U (s),
=RU (s) R I(s),
= −L 0U (s) sL I(s) L i ,
= + 0C
u1U (s) I(s)
sC s,
stąd:
= + − + + =
= − +
00
00
u1E(s) R I(s) sL I(s) L i I(s)
sC s
uZ(s)I(s) L i .
s
Transformatę Laplace’a prądu w obwodzie określa zatem wzór:
= + −0 0L i uE(s)I(s)
Z(s) Z(s) s Z(s).
Także i tutaj należałoby obliczyć transformatę odwrotną prądu I(s), co
jednak wymaga konkretnego wzoru na napięcie e(t) źródła. Najła-
twiejszym przypadkiem będzie napięcie stałe, a przypadkiem szczegól-
nie istotnym napięcie sinusoidalnie zmienne.