Modelare 2013-2014 - Curs 1
description
Transcript of Modelare 2013-2014 - Curs 1
-
Modelarea deciziei financiare i monetare
Curs I
Alexandru Leonte
Departamentul de Moned i Bnci
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCURETI FACULTATEA DE FINANE, ASIGURRI, BNCI I BURSE DE VALORI
-
Structura cursului
1. Teoria consumatorului discuie general
2. Funcii de utilitate
-
1. Teoria consumatorului discuie general
Avem n centrul preocuprilor o persoan pe care o vom numi agent consumator
Agentul dispune de venituri i are cheltuieli legate de procurarea unor bunuri de consum
Consumul bunurilor i aduce satisfacie agentului; obiectivul su este resimirea unei stri de satisfacie ct mai intense
Vor exista situaii n care satisfacia resimit va depinde i de alte elemente (timpul liber, cantitatea de bani deinut etc.)
Ne intereseaz s studiem modul n care agentul adopt decizii n vederea ndeplinirii obiectivului su.
-
Modelul static al consumatorului
Modelul dinamic al consumatorului
Modelul cu 2 perioade (generalizare: m perioade) Modelul cu o infinitate de perioade
Decizia de consum n condiii de risc i incertitudine
Teoria consumatorului aspecte abordate
-
2. Funcia de utilitate
De citit: Varian (1992), cap. 7, Utility maximization , pag. 94-98 Mankiw (2008), cap. 21, The Theory of Consumer Choice, pag. 441-445
Funcia de utilitate este folosit pentru cuantificarea strii de satisfacie resimit de agent, forma ei depinde de modelul teoretic utilizat
Presupunem c pe pia sunt disponibile n bunuri, i vom nota:
0iq cantitatea consumat din bunul i, i=1,2,,n
',...,, 21 nqqqq vector de consum
Q mulimea tuturor vectorilor de consum
Q = orinde __
),0[...),0[
-
Pe mulimea vectorilor de consum definim relaia preferat sau indiferent
Dac agentul resimte o satisfacie mai mare sau egal consumnd vectorul q comparativ cu vectorul r , vom spune c vectorul q este preferat sau indiferent lui r, notnd
Similar putem defini relaia strict preferat i respectiv relaia de indiferen
Cu ajutorul funciei de utilitate, noi realizm o coresponden ntre relaia de preferat sau indiferent i relaia mai mare sau egal, definit pe mulimea numerelor reale
rq
~
:U Q rUqUrq
Exemplu: pe pia, consumatorul are disponibile un numr de 3 bunuri, anume ap (mbuteliat), sandviuri i mere. Vectorul de consum (2 3 1) semnific faptul c agentul consum 2 sticle cu ap, 3 sandviuri i un mr.
-
Exemplu: Agentul prefer s consume 1 sticl de ap, 3 sandviuri i 1 mr, dect o jumtate de sticl de ap, 2 sandviuri i 3,3 mere
3,325,01313,3
2
5,0
1
3
1
UU
Dac lucrm cu utiliti cardinale, putem avea, de exemplu 3,325,01,24,2131 UU
Exemple de funcii de utilitate: Funcia de tip Cobb-Douglas: Funcia de tip CES (Constant Elasticity of Substitution)
nnn qqqqqqU ...,..., 22
1
121
n
i
i
i
1
1
1,0
1
2121 1, qqqqU
-
Utilitatea marginal arat raportul dintre surplusul de utilitate dobndit i surplusul de cantitate consumat dintr-un anumit bun, celelalte cantiti fiind constante
Utilitatea marginal calculat ntr-un punct pentru calculul ei, se presupune c modificarea cantitii consumate este infinitezimal
i
imgq
UU
,
0 iq
qi
i
img Udq
dUU ',
De obicei, vom utiliza ipotezele conform crora bunuri sunt bune iar consumatorul este nesios, prin urmare, utilitatea marginal va fi mereu pozitiv
0, i
imgdq
dUU
-
Totui, surplusul de utilitate generat de consumul adiional dintr-un anumit bun va fi mai redus comparativ cu surplusul generat de o cretere similar realizat anterior utilitatea marginal va fi o funcie descresctoare.
Exemplu: Pe pia exist un singur bun, iar
qqU 2
01
q
qUmg
02
12
3
2
2
qqdq
Udq
dq
dUmg
Umg este descresctoare i pozitiv U este cresctoare i concav
-
Dac agentul poate consuma doar cantiti discrete (spre exemplu ntregi) din bunul disponibil, profilul funciei de utilitate este asemntor.
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U 0.00 2.00 2.83 3.46 4.00 4.47 4.90 5.29 5.66 6.00 6.32
U mg - 2.00 0.83 0.64 0.54 0.47 0.43 0.39 0.37 0.34 0.32
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U
q
De obicei, vom presupune c agentul poate consuma cantiti infinit divizibile, astfel nct U s fie definit pe o mulime de puterea continuului. Putem astfel vorbi despre continuitate, derivabilitate etc.
-
Proprietile funciei de utilitate
U: continu, de 2 ori derivabil, cu a doua derivat continu
U: cresctoare n fiecare argument (Umg este pozitiv pentru fiecare bun)
U: concav ( negativ definit este negativ definit)
n unele cazuri, sunt utilizate n aplicaii funciile de utilitate cvasiconcave (q-concave), care alctuiesc o clas mai larg De asemenea, mai pot fi ataate proprieti suplimentare, aparinnd aa-numitului grup de condiii Inada.
0,..,,.., 11,
n
i
nimg qqq
UqqU
Ud 2 UH
i
qiimg
qi q
UU
0,
0limlim 0limlim ,
i
qiimg
qi q
UU
-
4,024,0
121, qqqqU Exemplu: graficul funciei
-
Reprezint locul geometric al vectorilor de consum care furnizeaz acelai nivel de utilitate
Vom fixa utilitatea la un anumit nivel
(*)
De asemenea, relaia poate fi privit ca o reprezentare (implicit) a unei funcii care indic ct trebuie consumat dintr-un anumit bun pentru obinerea unei anumite utiliti , celelalte cantiti fiind cunoscute.
(**)
Soluiile ecuaiei (*), sau echivalent, funcia (**) formeaz o curb (suprafa) de indiferen, care are reprezentare n planul n-dimensional n care pe fiecare ax este reprezentat consumul dintr-un bun.
Curbe (suprafee) de indiferen (de izoutilitate)
uqqU n ,...,1
uqqquqqU nnn ,,...,,..., 111
-
Exemplu: n=2, utilitate de tip Cobb-Douglas 4,024,0
121, qqqqU
1
2
5
2
4,0
2
4,0
121,q
uquqquqqU
Exemplu: n=3, utilitate de tip Cobb-Douglas 3,033,0
2
3,0
1321 ,, qqqqqqU
21
3
10
3
3,0
3
3,0
2
3,0
1321 ,,qq
uquqqquqqqU
(figura din stnga)
(figura din dreapta)
-
Consumatorul prefer curbele de indiferen superioare celor inferioare
Curbele de indiferen sunt descresctoare
Curbele de indiferen nu se intersecteaz
Curbele de indiferen sunt convexe
Rata marginal de substituie a bunului i cu bunul j arat cu ct se va modifica cantitatea consumat din bunul j la o modificare a cantitii consumate din bunul i, astfel nct utilitatea resimit s rmn aceeai
RMS msurat ntr-un punct pornete de la presupunerea c modificrile sunt infinitezimale
Proprietile curbelor de indiferen
0
.
constUi
j
ijq
qRMS
.constUi
j
ijdq
dqRMS
are interpretarea derivatei curbei de indiferen
-
Exemplu (discuie privind caracterul convex)
Considerm curba de indiferen
Calculm RMS a bunului 2 cu bunul 1 n
urmtoarele puncte situate pe curb:
(4,512), (64,128) i (256,64) i obinem:
4,022,0
121, qqqqU
1111161
212
5121024
qqqdq
d
dq
dqRMS
U
1
221
102416,
qqqqU
Punct 4,512 64,128 256,64
RMS1,2 -64 -1 -0.125
(4,512)
(64,128)
(256,64)
-
Discuie
n primul punct, agentul beneficiaz de o cantitate mic de bun 1, echilibrat de o cantitate mare de bun 2. Rata de schimb dintre cele dou bunuri , adic rata marginal de substituie, prevede c o scdere foarte mic din cantitatea consumat din bunul 1 va trebui s fie compensat de o cretere de 64 de ori mai mare a consumului din bunul 2.
n al doilea punct, cele dou bunuri sunt consumate n cantiti mai apropiate, iar rata marginal de substituie a bunului 1 cu bun 2 a sczut (n modul).
n cel de-al treilea punct, cantitatea din bunul 1 este mult mai mare dect cea consumat din bunul 2, o scdere din prima va fi compensat la un raport mai mic
Rata marginal de substituie (1 cu 2) este descresctoare n modul dar cresctoare n valori (deoarece este negativ).
02
1
2
2
1
2
dq
qd
dq
dqcurba de indiferen este convex
-
Exemplul anterior sugereaz c bunurile consumate n cantiti mari se substituie mai uor...
...un motiv ar putea fi legat de faptul c aceste bunuri au n punctul respectiv o utilitate marginal redus, ceea ce nseamn c dac vom consuma ceva mai puin din ele, nu pierdem cine tie ce utilitate...spre deosebire de bunul alternativ, de care se beneficiaz ntr-o cantitate mai mic i care are o utilitate marginal mai mare...un surplus mic de consum din acest bun aduce un surplus mai consistent de utilitate...
Este intuitiv prin urmare s legm RMS de utilitile marginale ale celor dou bunuri calculate n punctul respectiv, mai precis, de raportul utilitilor marginale
Demonstraia pe baza dezvoltrii n serie Taylor de ordin I
jmg
img
j
i
constUi
j
ijU
U
q
U
q
U
dq
dqRMS
,
,
.
-
Am vzut anterior c RMS msoar panta curbei de indiferen
Elasticitatea de substituie msoar gradul de curbur al acesteia
Elasticitatea de substituie reprezint raportul dintre modificarea procentual a raportului cantitilor consumate din dou bunuri i modificarea procentual a RMS. Pentru modificri infinitezimale:
iji
j
constU
ij
ij
i
j
i
j
ijRMSd
q
qd
RMS
dRMS
q
q
q
qd
ln
ln
...
.
-
Exemplu: Considerm funcia de utilitate CES
...i curba de indiferen
Elasticitatea de substituie va fi:
Obs: Pe grafic NU avem 3 curbe care fac parte
din aceeai familie! Lucrm cu 3 funcii CES
diferite!
Cu ct elasticitatea de substituie va fi mai mare, cu att bunurile vor fi mai substituibile, iar curba de indiferen se va apropia mai mult de o dreapt
Pentru bunuri perfect substituibile, curba de indiferen este o dreapt iar
(studiai exemplul funciei de utilitate liniare )
Cu ct elasticitatea de substituie va fi mai mic, cu att bunurile sunt mai complementare (bunuri perfect complementare, )
(studiai exemplul funciei de utilitate de tip Leontieff )
1
2121 5,05,0, qqqqU
10, 21 qqU
12
1
112
2121 2, qqqqU
012
2121 ,min, qqqqU
-
Tem
Demonstrai c, pentru funcia de tip CES, elasticitatea de substituie ia forma indicat n slide-ul anterior.
Calculai acelai indicator pentru o funcie Cobb-Douglas de 2 argumente,
Ce observaie putei face legat de cele dou tipuri de funcii de utilitate?
12121, qqqqU