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MODELACIÓN POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF), MEDIANTE EL

SOFTWARE ANSYS DEL ELEMENTO PLACA

EDWARD ESTID RUIZ GALEANO

CHRISTIAN CAMILO ARIAS GIRÓN

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C

2019

2

MODELACIÓN POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF), MEDIANTE EL

SOFTWARE ANSYS DEL ELEMENTO PLACA

EDWARD ESTID RUIZ GALEANO

CHRISTIAN CAMILO ARIAS GIRÓN

MONOGRAFÍA PARA OPTAR POR EL TITULO DE INGENIERO CIVIL

DIRECTOR DEL PROYECTO DE GRADO

PAULO MARCELO LÓPEZ PALOMINO

INGENIERO CIVIL- MAGISTER EN INGENIERÍA CIVIL ÉNFASIS ESTRUCTURAS DOCENTE DE TIEMPO COMPLETO OCASIONAL

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD TECNOLÓGICA

INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C

2019

3

Nota de aceptación

Firma del Jurado

Firma del Jurado

BOGOTÁ D.C ,2019

4

DEDICATORIA

En las palabras de Sr. Isaac Newton “Si he podido ver un poco más allá que algunos

otros, ha sido por estar parado en hombros de gigantes”. Esta monografía esta

dedica a todas aquellas personas que han hecho de la ingeniería la mejor herramienta

de discernimiento y desarrollo de la sociedad.

5

AGRADECIMIENTOS

Un proyecto sin importar su finalidad u orientación es un conjunto de conocimientos

compartidos por distintas partes, donde se requiere acompañamiento, constancia, y un

gran desempeño de los involucrados; para así generar un producto educativo de

excelente calidad con miras al fortalecimiento de los saberes de la humanidad.

Agradecemos la colaboración de familiares y amigos que nos brindan su cariño e

incondicional compañía durante no solo el camino académico sino también de la vida

misma. De la misma manera a la Universidad Distrital por los años que nos otorgaron

en nuestra formación profesional y personal.

Agradecemos la revisión, seguimiento y conocimiento continúo entregado por nuestro

tutor, El Ingeniero Paulo Marcelo López Palomino, Docente de tiempo completo

ocasional del área de estructuras de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas

– Facultad Tecnológica del Proyecto Curricular de Ingeniería Civil.

Por ultimo a todas aquellas personas e instituciones que de una u otra manera

contribuyeron en la creación y conocimiento requerido para el desarrollo y finalización

de esta producción intelectual.

6

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

1 OBJETIVOS .......................................................................................................... 18

1.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................... 18

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................... 18

2 MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 19

2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL ............................................................................ 19

2.2 HISTORIA ...................................................................................................... 19

2.3 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO ................................................. 22

2.3.1 Tipos de Elementos de modelación ......................................................... 23

3 DESARROLLO DEL ELEMENTO VIGA ............................................................... 27

3.1 RIGIDEZ DE LA VIGA .................................................................................... 27

3.1.1 Ejemplo comparativo ............................................................................... 30

4 DESARROLLO DEL ELEMENTO PLACA ............................................................ 34

4.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PLACA A FLEXIÓN .................................... 35

4.1.1 Suposiciones básicas de geometría y deformación ................................. 35

4.1.2 Suposiciones de Kirchhoff ....................................................................... 36

4.1.3 Rotaciones Esfuerzos/Deformaciones ..................................................... 38

4.2 DEDUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y ECUACIONES DEL

ELEMENTO PLACA A FLEXIÓN ............................................................................. 39

4.3 ALGUNAS COMPARACIONES NUMÉRICAS DEL ELEMENTO PLACA ...... 44

4.4 SOLUCIÓN POR COMPUTADORA A UN PROBLEMA DE PLACA A

FLEXIÓN .................................................................................................................. 46

4.4.1 Ejemplo .................................................................................................... 47

5 DESARROLLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIÓN PLANA

(ECUACIÓN DE RIGIDEZ) .......................................................................................... 50

5.1 EJEMPLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIONES PLANAS ....... 51

6 MALLAS APLICADAS A MODELACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS .................. 58

7

6.1 OBTENCIÓN DE LA MALLA. ......................................................................... 59

7 MODELACIÓN DEL ELEMENTO PLACA ............................................................ 61

7.1 MODELO A .................................................................................................... 64

7.1.1 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN SAP 2000 (MANUAL DE USO) 64

7.1.2 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN ANSYS (MANUAL DE USO) .... 77

Introducción. ....................................................................................................... 77

Consideraciones: ................................................................................................ 77

7.2 MODELO B .................................................................................................... 99

7.2.1 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN SAP 2000 ........................... 99

7.3 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN ANSYS .................................... 103

8 ANÁLISIS DE RESULTADOS ............................................................................ 109

9 CONCLUSIONES ............................................................................................... 112

10 RECOMENDACIONES ................................................................................... 114

11 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 115

8

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1.Cigüeñal montado en el bloque motor ..................................................... 21

Figura 2. Modelación del cigüeñal ......................................................................... 22

Figura 3. Discretización del cigüeñal ..................................................................... 22

Figura 4. Elemento tipo barra ................................................................................ 23

Figura 5. Forma alternativa del elemento viga. Orientación del Nodo K ............... 24

Figura 6. Elementos Membrana. Triangulares ...................................................... 25

Figura 7. Elementos Membrana. Cuadrados ......................................................... 25

Figura 8. Elementos tipo ladrillo o bloque.............................................................. 26

Figura 9. Elemento viga con desplazamientos nodales positivos, rotaciones, fuerzas y

momentos .............................................................................................................. 28

Figura 10.Sentido de orientación de los momentos flectores y fuerzas cortantes . 28

Figura 11.Curva flexionada de la viga ................................................................... 29

Figura 12. Sección de una chimenea modelada como Elemento Finito (Vista rotada de

45º) (584 vigas y 252 placas planas son los elementos) ....................................... 35

Figura 13.Placa delgada básica que muestra carga transversal y dimensiones ... 36

Figura 14.Corte diferencial de placa de espesor t (a) Antes de ser cargada y (b)

Desplazamientos del punto P después de ser cargada, basada en la teoría de

Kirchhoff ................................................................................................................ 37

Figura 15.Elemento diferencial de una placa con (a) Esfuerzos mostrados en los

bordes de una placa y (b) Diferenciales de momentos y fuerzas .......................... 39

Figura 16.Elemento rectangular placa básico con nodos y grados de libertad...... 40

Figura 17. Comparaciones Numéricas: Formulaciones del Elemento placa cuadrada

.............................................................................................................................. 45

Figura 18.Comparaciones numéricas para una placa cuadrada simplemente

soportada sujeta a la carga central. Formulaciones de elementos triangulares .... 46

Figura 19. Placa de evaluación ............................................................................. 47

Figura 20.Desplazamientos de la placa de ejemplo .............................................. 48

Figura 21. Modelo de elementos viga y placa combinados en el centro de línea de los

elementos .............................................................................................................. 49

Figura 22. Deflexión vertical para una parte del modelo ....................................... 49

Figura 23. Modelo que muestra elementos de viga desplazada para el elemento placa

.............................................................................................................................. 50

Figura 24. Esfuerzos en el plano (a) Placa perforada (b) placa extendida ............ 51

9

Figura 25.Plano de esfuerzos (a) carga horizontal en una presa (b) carga vertical en

un tubo .................................................................................................................. 51

Figura 26. Elemento placa, sujeta a esfuerzos de tensión .................................... 52

Figura 27. Discretización de la placa ..................................................................... 52

Figura 28. Elemento 1 de la placa discretizada ..................................................... 53

Figura 29. Elemento 2 de la placa discretizada ..................................................... 55

Figura 30. Elemento área tipo Shell ...................................................................... 64

Figura 31. Selección del Elemento y sistema de unidades ................................... 65

Figura 32. Asignación de propiedades geométricas .............................................. 66

Figura 33. Definición del material .......................................................................... 67

Figura 34. Definición del material, Concreto 3000Psi ............................................ 67

Figura 35. Definición de las áreas ......................................................................... 68

Figura 36. Elemento área Tipo Shell Thin ............................................................. 68

Figura 37. Elemento área Tipo Shell Thin, característica ...................................... 69

Figura 38. Elemento placa, SAP 2000................................................................... 70

Figura 39. Selección de tipos de apoyos ............................................................... 70

Figura 40. Apoyos Empotrados ............................................................................. 71

Figura 41. Patrón de carga .................................................................................... 72

Figura 42. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo) ............................................ 73

Figura 43. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo) ............................................ 74

Figura 44. División de la placa en elementos finitos .............................................. 74

Figura 45.Analisis de carga ................................................................................... 75

Figura 46. Deformación en función del número de elementos finitos .................... 75

Figura 47. Deformación de una placa de 400 elementos finitos ............................ 76

Figura 48. Análisis de resultados, tabulación de SAP 2000 .................................. 76

Figura 49. Interfase de modelación de ANSYS ..................................................... 78

Figura 50. Interfase Estructural de ANSYS ........................................................... 79

Figura 51. Interfase de requerimientos generales de ANSYS ............................... 80

Figura 52. Interfase de geometría de ANSYS ....................................................... 80

Figura 53.Contorno del elemento .......................................................................... 81

Figura 54.Dimensionamiento del elemento ........................................................... 82

Figura 55.Atributos geométricos ............................................................................ 82

Figura 56.Generación del solido .................................................................... 83

Figura 57.Evaluación de la geometría ................................................................... 83

Figura 58.Aceptación de la geometría ................................................................... 84

Figura 59.Interfase del mallado ............................................................................. 84

Figura 60.Resolución del mallado ......................................................................... 85

Figura 61.Controles de tamaño ............................................................................. 85

Figura 62.Tamaño del elemento ............................................................................ 86

Figura 63.Verificación del mallado ........................................................................ 87

Figura 64.Generación del mallado ........................................................................ 87

10

Figura 65.Visualización del mallado ...................................................................... 88

Figura 66.Verificación del mallado ........................................................................ 88

Figura 67.Interfase de parámetros físicos ............................................................. 89

Figura 68.Vinculación de atributos ........................................................................ 89

Figura 69.Asignación y creación de materiales ..................................................... 90

Figura 70.Validación de materiales ....................................................................... 90

Figura 71.Condiciones de borde o de contorno ..................................................... 91

Figura 72.Designación de apoyos ......................................................................... 91

Figura 73.Asignación de la carga .......................................................................... 92

Figura 74.Punto de origen de la carga .................................................................. 92

Figura 75.Aceptación de la carga .......................................................................... 93

Figura 76.Fijación de los apoyos ........................................................................... 93

Figura 77.Apoyos de tercer grado; empotrados .................................................... 94

Figura 78.Visualización de los apoyos .................................................................. 95

Figura 79.Opciones de solución ............................................................................ 95

Figura 80.Resolver Física...................................................................................... 96

Figura 81.Verificación de los parámetros físicas ................................................... 96

Figura 82.Evaluación estructural ........................................................................... 97

Figura 83.Evaluación estructural ........................................................................... 98

Figura 84.Esfuerzos equivalentes ......................................................................... 98

Figura 85.Esfuerzos equivalentes ......................................................................... 99

Figura 86. Patrón de carga distribuida, SAP 2000 .............................................. 100

Figura 87. Carga de área, uniforme Shell, SAP 2000 ......................................... 100

Figura 88. Configuración de la carga por área, SAP 2000 .................................. 101

Figura 89. Elementos finitos, carga distribuida, SAP 2000 .................................. 101

Figura 90.Deformaciones debido a la carga distribuida, SAP 2000 .................... 102

Figura 91.Esfuerzos debido a la carga distribuida, SAP 2000............................. 102

Figura 92.Definición de carga Distribuida, ANSYS .............................................. 103

Figura 93.Condiciones de borde, carga Distribuida, ANSYS............................... 103

Figura 94.Opciones de solución, ANSYS ............................................................ 104

Figura 95 .Atributos físicos, ANSYS .................................................................... 105

Figura 96 .Fuerzas de reacción, ANSYS ............................................................. 105

Figura 97 .Reacción en los apoyos, ANSYS ....................................................... 106

Figura 98 .Esfuerzos equivalentes, ANSYS ........................................................ 107

Figura 99 .Esfuerzos en los apoyos, ANSYS ...................................................... 107

Figura 100 .Deformación de elemento, ANSYS .................................................. 108

11

LISTA DE ILUSTRACIONES

Pág.

Ilustración 1.Esquema general del Elemento Finito .................................................... 23

Ilustración 2. Viga de ejemplo comparativo ................................................................. 30

Ilustración 3. Viga compuesta de un solo elemento .................................................... 31

Ilustración 4. Reacciones de la viga, método matricial ................................................ 32

Ilustración 5. Elementos de la viga, Método MEF ....................................................... 32

Ilustración 6. Convergencia de los desplazamientos ................................................... 34

Ilustración 7.Discretización adecuada ......................................................................... 59

Ilustración 8.Triangulación del dominio de una superficie ........................................... 60

Ilustración 9.Mallado de elemento solido (3D) ............................................................. 60

Ilustración 10.Placa bajo carga Puntual, Modelo A .................................................... 62

Ilustración 11.Placa bajo carga Distribuida, Modelo B................................................ 63

Ilustración 12. Convergencia de la carga Puntual ..................................................... 111

Ilustración 13. Convergencia de la carga distribuida ................................................. 111

12

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Desplazamientos nodales de la viga ............................................................. 33

Tabla 2. Momentos flectores de la viga en los nodos .................................................. 34

Tabla 3. Comparativo de análisis .............................................................................. 110

13

GLOSARIO

ANSYS: (Swanson Analysis System) Es utilizada en la experiencia de elemento finito y

dinámica de fluido computacional. El software se enfoca en la simulación, bajo la teoría

de elemento finito para estructuras y volúmenes para fluidos. (Cubo Perez, 2010)

ASIMETRÍA: Es la carencia de simetría de un elemento u objeto. No existe

correspondencia en cuanto a las dimensiones, las formas y las ubicaciones de diversos

componentes que conforman un todo. (Beltrán, 1998-99)

CONTORNO - CONDICIONES DE FRONTERA: También denominadas en

matemáticas como problemas de valor o condición, de borde o contorno, indican las

soluciones de una ecuación diferencial. Son los parámetros mínimos que se deben

cumplir describir y obtener las soluciones deseadas a un comportamiento. (Logan,

2007)

DEFORMACIÓN: Indica la inconsistencia de un material, objeto o elemento frente a la

imposición de cargas externas, donde dejan su forma natural o habitual. En resistencia

de materiales las deformaciones son desviaciones de un punto con respecto a su

posición original, indicando trasformaciones permanentes o reversibles en cuanto a su

forma. (Vargaz Felix, 2010)

DOMINIO: Es el conjunto de existencia de la función, en términos generales son los

valores para los cuales la función está definida. Además, considera el conjunto de todos

los objetos que puede transformar. (Logan, 2007)

ELEMENTO: Parte del dominio del problema, se define como un segmento de la

geometría que está sujeta al estudio, sus formas típicas se definen como, triangulo o

rectángulo, en 2D o un tetraedro o solido rectangular, en 3D. (Frias Valero, 2004)

14

ENERGÍA POTENCIAL: Es la energía mecánica asociada a la localización de un

cuerpo dentro de un campo de fuerzas o a la existencia de un campo de fuerzas en el

interior de un cuerpo. Esta es una consecuencia de que el sistema de fuerzas que actúa

sobre el mismo sea conservativo. (Periago Esparza, 2011)

ESFUERZO: Aplicación de una fuerza por unidad de área. En análisis estructural nos

referimos a las deformaciones unitarias debido a las cargas que actúan sobre ellos, los

esfuerzos normales son perpendiculares a la cara de análisis. (Periago Esparza, 2011)

GRADO DE LIBERTAD: Número mínimo de coordenadas independientes necesarias

para definir completamente el estado deformado de la estructura en cualquier instante.

(Otero Pereiro, Novo Soto, & Fernandez Salgado, Junio 1997)

MALLA: Se define como la unión de elementos y nodos que se convierte en la

estructura central para el Análisis por Elementos Finitos. (Frias Valero, 2004)

MATRIZ DE RIGIDEZ: El significado físico de la matriz de rigidez indica las fuerzas

unitarias necesarias para producir un desplazamiento unitario. Desde el punto de vista

operativo relaciona los desplazamientos incógnita de una estructura con las fuerzas

conocidas, lo cual permite encontrar las reacciones, esfuerzos internos y tensiones en

cualquier punto de la estructura. (Logan, 2007)

MEF: Acrónimo del término Método de Elementos Finitos, método numérico

ampliamente utilizado para la solución de problemas de Ingeniería y física, dado que

permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales se dificultan

analíticamente o con modelos matemáticos simples. (Beltrán, 1998-99)

MODELACIÓN: Es el proceso mediante el cual se crea una representación o modelo

para investigar la realidad. El modelo científico es un instrumento de la investigación de

carácter material o teórico, creado para reproducir el objeto que se está estudiando.

(Frias Valero, 2004)

15

MODULO DE ELASTICIDAD: También conocido como módulo de Young es un

parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección

en la que se aplica la fuerza axial. Para un material elástico lineal e isotrópico, el módulo

tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión. (Beltrán, 1998-99)

NODO: Es un punto determinado del dominio, posee características de lo localización,

dentro de un plano cartesiano, a menudo, el vértice de muchos elementos, llamado

también como punto nodal. (Beltrán, 1998-99)

TRABAJO VIRTUAL: Es un método utilizado en resistencia de materiales para el

cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el

cálculo de incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en estructuras

hiperestáticas. Es un método energético, que indica el trabajo realizado por todas las

fuerzas externas en trabajo interno o energía de deformación. (Logan, 2007)

TEOREMA DE GREEN: Es la relación entre una integral de línea alrededor de una

curva cerrada simple y una doble integral sobre la región plana limitada por la curva.

Este es un caso especial del más general teorema de Stokes. (Beltrán, 1998-99)

16

RESUMEN

El Método de Elementos Finitos (MEF) es un método numérico ampliamente utilizado

para la solución de problemas de Ingeniería y física, dado que permite resolver sistemas

de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales se dificultan analíticamente o con

modelos matemáticos simples. Este método se fundamenta en la discretización de un

medio continuo, es decir dividir la estructura de estudio en una serie de subdominios

“Elementos Finitos” con determinadas condiciones de vínculo entre los mismos, con

el fin de generar sistemas lineales, que permitan la evaluación del medio, con la ayuda

de herramientas computacionales, debido a que el número de incógnitas es

directamente proporcional al número de nodos generados en la discretizacion.

En el campo de la Ingeniería Civil es indispensable la determinación de

desplazamientos, deformaciones y esfuerzos que se generan en los distintos elementos

estructurales cuando interactúan con cualquier tipo de excitación externa. Métodos de

análisis como el matricial poseen limitaciones de solución debida a su naturaleza

puramente discreta.

Esta propuesta tiene como fin la generación de bases teóricas y computacionales del

MEF, permitiendo la simulación del Elemento Placa y generación de datos relevantes

en un análisis estructural como son las deformaciones, y esfuerzos producidos en este,

al aplicarle una carga externa. Cabe anotar que la modelación se comparará con el

comportamiento real de tal elemento, tratando de predecir el comportamiento de dicho

elemento.

17

INTRODUCCIÓN

La determinación de las características de resistencia frente a solicitaciones externas de una estructura es de suma importancia, en campos como la Ingeniería Civil, la Aeronáutica, la Mecánica de sólidos, la Mecánica de fluidos y los relacionados con la transferencia de calor entre otros. Mediante las simulaciones se logra una agilización continua en el proceso de ingeniería básica de un proyecto, al reducir la cantidad de prototipos, permitiendo la predicción de las concentraciones de esfuerzos, deformaciones, frecuencias naturales y modos de vibración de las partes específicas de la estructura analizada. La articulación del MEF y del software de modelación permitirá realizar un análisis estructural del Elemento Placa, determinando las características anteriormente mencionadas, teniendo en cuenta que los programas de modelación estructural actuales concentran su desarrollo en los conceptos del MEF es de gran relevancia desarrollar el concepto, su justificación y su adecuada utilización en el campo de estudio para posteriores proyecciones. Debido a que gran parte de los métodos clásicos de análisis estructural se basan en el estudio de elementos propiamente discretos como el caso del análisis matricial, dejando a un lado estructuras de carácter continúo es necesario hondar en las bases teóricas del Método de Elementos Finitos, empleando los conceptos de elasticidad bidimensional desarrollo para tal fin en la primera mitad del siglo XX. Para el desarrollo de la simulación de elemento de estudio es imperante abordar los conceptos fundamentales del MEF, dada la naturaleza del mismo se estimará los errores asociados a los resultados obtenidos en el estudio. Esta modelación y sus fundamentos teóricos brindarán soporte a construcciones futuras en el mismo campo de ejecución estructural, además de ser una guía de conocimiento para aquellos interesados en el área de estructuras en la UD. ¿Con la modelación del Elemento Placa en el software ANSYS, bajo los conceptos del Método de Elementos Finitos (MEF) se logra una predicción adecuada del comportamiento del elemento frente a solicitaciones externas?

18

1 OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GENERAL

Simular el comportamiento del Elemento Placa en el software ANSYS bajo el fundamento del Método de Elementos Finitos (MEF)

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Establecer el tipo de mallado a utilizar en la modelación en ANSYS 17.0

Modelar el elemento placa en SAP 2000

Determinar las deformaciones y esfuerzos que sufre la placa bajo las cargas impuesta en ambos modeladores

Generar un manual de uso e instrucciones para modelación de futuros elementos estructurales en el ambiente de ANSYS 17.0

Comparar resultados entre la modelación por ANSYS y SAP 200 para las dos situaciones del elemento placa.

19

2 MARCO TEÓRICO

2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL

El método de Elementos Finitos (MEF) o por sus siglas en ingles FEM, es un método

de carácter numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales e integrales,

utilizados en diversos problemas de Ingeniería y física. Se basa en la división de un

cuerpo, estructura u objeto en una serie de subdominios (Elementos Finitos); donde

se cuenta con ecuaciones integrales de cada uno. El conjunto de estos elementos se

llama discretización. Dicha discretización genera (n) elementos; los cuales adquieren

nodos o puntos de interés de adyacencia con los otros elementos, las agrupaciones de

nodos forman elementos, y estos a su vez adquieren un subdominio del campo original.

Finalmente se genera un proceso de mallado para la unión de los elementos generados.

(Vargaz Felix, 2010)

Los cálculos se realizan sobre el mallado; involucrando relaciones de adyacencia entre

los nodos, siendo estos últimos puntos representativos que conforman cada elemento.

Cada nodo cuenta con grados de libertad “Conjunto de Variables o incógnitas definidas

“Dada la complejidad de solución analítica de las ecuaciones generadas es

indispensable del uso de ordenadores para calcular inicialmente los desplazamientos,

luego las deformaciones y tensiones mediante relaciones cinemáticas o constitutivas

de cada elemento y globalmente. El error asociado a este método difiere de la

convergencia generada, es decir; entre mayor sea el número de elementos finitos

generados, mayor será el número de incógnitas desarrolladas pero mayor proximidad

para la solución numérica.

En conclusión, el MEF se basa en la discretización de un continuo con infinitos grados

de libertad transformándolo en un problema discreto con un número de grados de

libertad finitos. Las ventajas de este método con respecto a otros “Diferencias Finitas”,

radica en el tratamiento de geométricas de alta complejidad, la generación de

condiciones generales de borde o contorno, fundamentos teóricos sólidos y la

posibilidad de estimación del error; lo cual genera alta confiabilidad en el mismo.

2.2 HISTORIA

Inicialmente las armaduras se solucionaban por el método de equilibrio en los nodos,

posteriormente Maxwell (1881) desarrollo el método de las secciones “Diagrama de

Maxwell “(Pereiro, 1997), dada la expansión de la construcción con nuevos materiales

como el acero estructural fue necesario la implementación de un método más profundo

para efectos de cálculo. Mohr propuso la aplicación del principio de los

20

desplazamientos virtuales para tales sistemas, uno de los principales problemas

radicaba en el cálculo de los puentes sometidos a cargas en movimiento “Líneas de

influencia”, dado el efecto del movimiento de la carga sobre los esfuerzos. En el diseño

de estructuras es necesario conocer las deflexiones o los desplazamientos en solo

algunas uniones de tal manera se desarrolló el “Teorema de Castigliano”, u otros

métodos para la solución de armaduras o estructuras estáticamente indeterminadas.

De lo anterior se deduce que el MEF no constituye un descubrimiento dentro del campo

de Resistencia de materiales y de la teoría de la elasticidad, si no que sienta sus bases

sobre estos.

Arquímedes utilizo un método similar para determinar el área y volumen de algunos

sólidos, por ejemplo, dividió los objetos en elementos geométricos más sencillos. Esta

fue un aproximación vana al concepto actual del método donde se premisa que “la

energía del sistema, es igual a la suma de la energía de cada elemento”, y para tal

afirmación él necesitaba la definición de derivadas, no concebidas en ese entonces,

sino siglos después (Gallagher, 1975, pág. 78). La primera aparición del método o

concepto del mismo en la Ingeniería Estructural data entre los años 50 al 60; para la

solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en el campo elástico;

durante el año de 1941 se desarrollaron las bases del método con la solución de

problemas bajo el método de trabajo del marco [Hrenikoff], años más tarde Courant

contribuyó con la interpolación polinomial por partes, para subregiones de carácter

triangular en problemas de torsión.

Las ideas básicas del MEF se originaron en el análisis estructural de las Aeronaves.

Para la primera mitad del siglo XX se involucra el método por rigidez directo formulado

y perfeccionado por Turner, dichas matrices aplicadas para armaduras, vigas y otros

elementos. No fue sino hasta 1960 que el término de Elemento Finito fue incorporado

por Clough, utilizado en ese entonces para el análisis de esfuerzos, flujo de fluidos y

transferencia de calor. El primer libro de elementos finitos fue publicado por

Zienkiewicz y Cheng en 1967, donde se abordan temas del campo elástico, plástico y

elásto-plástico en solidos continuos, homogéneos, isotrópicos y aniso trópicos.

Las aplicaciones del MEF son variadas; concentradas en campos como la ingeniería

estructural, resistencia de materiales, mecánica de fluidos, ingeniería nuclear,

electromagnetismo, campos eléctricos, propagación de ondas y conducción de calor

entre muchos más Actualmente existe una infinidad de software de modelación, entre

los más representativos se encuentran: Msc NASTRAN, Msc PATRAN, ANSYS, DYNA

3D Y ABAQUS. Existen instituciones dedicadas plenamente al desarrollo e

implementación del MEF como el Colegio de Aeronáutica, el centro de impacto y la

escuela de Ingeniería Mecánica en Crandfield Inglaterra. Además de organizaciones

del más alto nivel como la NASA, que incorporó dicho método en programas espaciales

21

como “Cosmos” para el análisis de las estructuras de los trasbordadores. (Vargaz Felix,

2010)

En la actualidad existen métodos más avanzados que el MEF como lo es el Método de

Elementos de Contorno (MEC) desarrollado en la década de los 60 con la misma

finalidad, pero cuya principal ventaja radica en la reducción de la magnitud de los datos

a manipular, lo que ocasiona una reducción en la capacidad de almacenamiento y

operación de los ordenadores. La solución por este método se realiza a partir de una

ecuación integral que relacione las variables del contorno.

Un ejemplo claro de la importancia del MEF y su relación con la simulación de un medio

continuo se puede evidenciar en la Ingeniería Naval. Consideremos el estudio y diseño

del cigüeñal (Figura 1), donde se aprecia la complejidad y robustez de la estructura,

casi imposible de solucionar analíticamente. El estudio sobre este elemento permite

predecir las concentraciones de tensiones, deformaciones, frecuencias y los modos de

vibración en puntos específicos de la estructura, además de lograr una agilización en

el proceso de ingeniería básica del proyecto.

Figura 1.Cigüeñal montado en el bloque motor

Fuente: UCA, Universidad de Cádiz

En conclusión, permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más

fácil y económico de modificar que un prototipo de este; no obstante, no deja de ser un

método aproximado dado de las hipótesis de las que parte.

22

Figura 2. Modelación del cigüeñal

Figura 3. Discretización del cigüeñal

Fuente: (Cubo Perez, 2010)

La figura 2 muestra el proceso de modelamiento que se debe realizar en cual sea el

tipo de software empleado, en este caso se uso el CATIA , para posteriormente

discretizar dicho elemento continuo como se representa en la figura 3. Lo anterior

expuesto es una idea basica del estudio a realizar del Elemento Placa mediante el

sftware ANSYS.

2.3 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO

La idea general del MEF como se ha expuesto en los apartados anteriores es la división

de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie

de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el continuo también lo hacen en

23

el elemento, por ende, generar grados de libertad finitos a partir de infinitos; en cualquier

elemento que se desee analizar por este método podemos distinguir lo siguiente

(Ilustración 1)

Ilustración 1.Esquema general del Elemento Finito

Fuente: (Logan, 2007)

2.3.1 Tipos de Elementos de modelación

Los elementos dependen de las restricciones de frontera, tipo de carga y de la

geometría del elemento original.

2.3.1.1 Barra tipo armazón: Se utilizan para modelar torres, puentes y edificios.

Generan tres grados de libertad (𝑢, 𝑣,𝑤) con respecto a los desplazamientos,

y poseen dos nodos. Pueden emplearse en las siguientes situaciones:

La longitud del elemento con respecto a su ancho esta entre 8 y 10 veces

Las uniones del elemento no transmiten momentos

Las fuerzas externas son aplicadas únicamente en los nodos o en las

articulaciones.

Figura 4. Elemento tipo barra

Fuente: (Olmedo Salazar, 2015)

24

2.3.1.2 Elementos de Viga: Este tipo de elemento ofrece resistencia a fuerzas y

momentos, usados para modelar torres de transmisión, puentes y pórticos.

Además, soportan momentos flectores y de torsión.

Los elementos básicos de las vigas son las fuerzas de inercia, los

empotramientos y las cargas intermedia o en los vanos. Poseen 3 nodos

(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el campo tridimensional, el nodo con respecto al eje “z” específica

los ejes fuertes o débiles (inercia); la implementación de vigas se hace cuando:

La longitud del elemento es mayor a su ancho.

La sección transversal y sus propiedades son constantes

Poseen la capacidad de transferir momentos

Tiene la capacidad de distribuir de cargas en su longitud

Figura 5. Forma alternativa del elemento viga. Orientación del Nodo K


2.3.1.3 Elemento de membrana: Simulan solidos de poco grosor que no tiene

afectación de esfuerzos normales. Las membranas no tienen grados de libertad

de rotación, pero si los necesarios de traslación. Formado por tres o cuatro

nodos, permitiendo la modelación de redes y tejidos; y son empleados cuando:

El espesor del elemento es muy pequeño comparado con la longitud o

su ancho.

El elemento no tiene ningún esfuerzo normal al grosor.

25

Figura 6. Elementos Membrana. Triangulares


Figura 7. Elementos Membrana. Cuadrados


26

2.3.1.4 Elementos elásticos de dos dimensiones: Se utilizan para analizar objetos

como rodamientos y empaques o estructuras como presas. Poseen grados de

libertad en traslación, mas no en rotación; además de estar formados por tres

o cuatro nodos paralelos al eje YZ. Se emplean cuando. (Se utilizan los mismos

elementos de la figura 6 y 7)

Para modelar la sección transversal de un componente

Dibujar el modelo en el plano YZ

Cuando no existe deformación en el sentido del eje X, pero pueden

existir esfuerzos en dicha dirección, por ejemplo, en el caso de las

presas.

2.3.1.5 Elementos tipo ladrillo o bloque: Empleados para modelar ruedas y aspas de

turbinas (en el caso de los bloques básicos), poseen seis u ocho nodos para

formar caras en 3D. Dichos bloques generan tres grados de libertad de

traslación, pero ninguno de rotación, y se emplean cuando:

Se desea conocer el resultado de esfuerzos alineados al grosor del

elemento

Solo hay fuerzas aplicadas y no momentos

El modelo tiene una fuerza hidrostática aplicada

Figura 8. Elementos tipo ladrillo o bloque

27


2.3.1.6 Elemento tipo placa: Permiten modelar placas automotrices y contenedores de

pared delgada, poseen tres o cuatro nodos. Se pueden emplear grados de

libertad de rotación, desplazamiento, fuerzas nodales, momentos, presión

normal, gravedad, fuerzas centrifugas entre otros, y se emplean cuando:

Relación entre ancho y largo es de 1 a 10

Desplazamientos relativamente pequeños

El elemento permanece plano

Distribución de esfuerzos es lineal

No hay rotación en la dirección normal del elemento

La selección adecuada del tipo de elemento y el método empleado de resolución

incrementan o simplifican generación de resultados claros y confiables.

3 DESARROLLO DEL ELEMENTO VIGA

Se ejemplifica el elemento viga debido a que el comportamiento a nivel estructural, en

comparación con un elemento placa, difiere en sus principios en el análisis

bidimensional que se desarrolla, para ser más claros; un elemento viga se analiza

estructuralmente desde una dimensión, generando reacciones, giros y momentos

torsores, por el contrario una placa se analiza en toda su extensión de área, por lo tanto

el número de fuerzas resultantes será mayor al del análisis de la viga pero con

condiciones estructurales similares. Es por esta razón que se desarrolla inicialmente el

análisis MEF de la viga, para posteriormente extrapolar el mencionado análisis al

elemento placa.

En este capítulo se desarrolla la matriz de rigidez para el elemento viga, esta es la más

común de todos los elementos estructurales como se evidencia en las edificaciones,

puentes, torres, y en muchas otras estructuras. El elemento viga se considera recto y

con una sección transversal constante. Primero deduciremos la matriz de rigidez

usando los principios para la teoría de la una viga simple bajo la determinación de las

funciones de forma y los coeficientes asociados.

Se presenta un ejemplo simple que ilustra el ensamblaje de la matriz de rigidez del

elemento viga con la deducción de la ecuación de la curvatura.

3.1 RIGIDEZ DE LA VIGA

Considerar el elemento viga mostrado en la figura 9. La viga es de longitud L con una

coordenada local axial en el eje 𝑥 y transversal ala coordenada 𝑦. Los desplazamientos

28

transversales a los nodos locales están dados por 𝑑1�̂� y las rotaciones por ∅1̂. Las

fuerzas del nudo local están dadas por 𝑓1�̂� y los momentos flectores por 𝑚1̂ como se

muestra. Inicialmente despreciamos todos los efectos axiales.

Para todos los nodos se debe seguir la siguiente convención de signos:

1. Los momentos son positivos en sentido opuesto a las manecillas del reloj

2. Las rotaciones son positivas en el sentido opuesto de las manecillas del reloj

3. Las fuerzas son positivas en la dirección positiva de 𝑦

4. Los desplazamientos son positivos en el sentido positivo de 𝑦

Figura 9. Elemento viga con desplazamientos nodales positivos, rotaciones, fuerzas y momentos

Fuente: The First Course in the Finite Element-Logan

La figura 10 indica la convención de los signos usada en la teoría simple de una viga

para las fuerzas cortantes positivas 𝑣 y los momentos flectores �̂�.

Figura 10.Sentido de orientación de los momentos flectores y fuerzas cortantes


29

Cuando la viga se deforma a causa de una carga, dicha deformación puede ser descrita

de forma analítica, como se muestra en la siguiente figura

Figura 11.Curva flexionada de la viga


La ecuación de la curvatura permite relacionar el momento con el radio de curvatura

mediante:

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2=𝑀

𝐸𝐼

Resolviendo la ecuación para 𝑀 y sustituyendo el resultado se obtiene

𝑑2

𝑑𝑥2(𝐸𝐼

𝑑2𝑣

𝑑𝑥2) = −𝑤(𝑥)

Para la constante 𝐸𝐼 y solo una fuerza nodal y momentos, llegamos a

(𝐸𝐼𝑑4𝑣

𝑑𝑥4) = 0

A continuación, se presenta la matriz de rigidez general del elemento viga (sin

deformación debida al corte transversal)

{

𝑓1𝑦𝑚1

𝑓2𝑦𝑚2

} =𝐸𝐼

𝐿3[

12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2

−126𝐿

−6𝐿2𝐿2

−12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2

12−6𝐿

−6𝐿4𝐿2

]

{

𝑑1𝑦∅1𝑑2𝑦∅2 }

Donde la matriz de rigidez es entonces:

30

𝑘 =

|

|

|

12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

6𝐸𝐼

𝐿24𝐸𝐼

𝐿−12𝐸𝐼

𝐿3

6𝐸𝐼

𝐿2

−6𝐸𝐼

𝐿2

2𝐸𝐼

𝐿

−12𝐸𝐼

𝐿36𝐸𝐼

𝐿2

−6𝐸𝐼

𝐿22𝐸𝐼

𝐿12𝐸𝐼

𝐿3

−6𝐸𝐼

𝐿2

−6𝐸𝐼

𝐿2

4𝐸𝐼

𝐿

|

|

|

La forma matricial indica que 𝑘 relaciona las fuerzas transversales y los momentos

flectores con los desplazamientos transversales y rotaciones, sin embrago los efectos

axiales son despreciables.

3.1.1 Ejemplo comparativo

El siguiente ejemplo busca comparar el método matricial, tradicionalmente utilizado

para el cálculo estructural y el MEF, para la solución de la viga en voladizo propuesta,

para denotar además la convergencia entre ambos en cuanto a la estimación de las

reacciones.

Ilustración 2. Viga de ejemplo comparativo

Fuente: Propia

Inicialmente lo desarrollaremos mediante el método matricial o método directo de matriz

de rigidez, suponemos una inercia constante al igual que el módulo de elasticidad de la

viga. Recordando que en análisis matricial los nodos de cada elemento se presentan

en los apoyos existentes y bajo la teoría de las pequeñas deformaciones con unas de

las hipótesis básicas.

31

Ilustración 3. Viga compuesta de un solo elemento

Fuente: Propia

Se evidencia que existe dos grados de libertad, y se debe al desplazamiento y a la

rotación en el nudo 2 por consiguiente, puesto que el nodo 1 está totalmente restringido,

𝑣1 = ∅1 = 0

Además 𝐸𝐼 es

𝐸𝐼 = 20 ∗ 106 ∗0.3 ∗ 0.43

12= 32000𝑘𝑁 ∗ 𝑚2

El elemento 1-2 matricialmente estaría dado por

{

𝑓12𝑚12

𝑓21𝑚21

} =𝐸𝐼

𝐿3[

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮⋮

⋮⋮

−12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2

12−6𝐿

−6𝐿4𝐿2

] {

𝑣1∅1𝑣2∅2

}

Reorganizando la matriz ensamblada se tiene

{

−300𝑦1𝑀1

} = [

6000 −12000−12000 320006000−12000

1200016000

] {

𝑣2∅2

𝑣1 = 0∅1 = 0

}

La rotación en el nudo 2 es

[𝑣2∅2] = [

−6000 −12000−12000 32000

]−1

[−300] = [

−0.02−7.5 ∗ 10−3

]𝑚𝑟𝑎𝑑

Finalmente, el vector de fuerzas está dado por

[𝑦1𝑀1] = [

−6000 12000−12000 16000

] [ −0.02−7.5 ∗ 10−3

] = [30120

] 𝑘𝑁𝑘𝑁 ∗ 𝑚

La siguiente ilustración muestra las reacciones del elemento determinadas mediante el

método directo.

32

Ilustración 4. Reacciones de la viga, método matricial

Fuente: Propia

Ahora analizaremos la misma viga, pero desde el punto de vista del Método de

Elemento Finitos. En la ilustración 5 se evidencia la cantidad de elementos que

dispondremos para analizar en comparación con el método anterior, entonces la gran

diferencia entre los mismos, dado que a mayor cantidad de elementos en que se

descomponga la estructura la convergencia del análisis es mayor. En el ejemplo actual

mediante el método directo solo analizamos un elemento, mientras que por MEF

analizamos 4, cabe aclarar que podemos generar muchos más elementos con el fin de

establecer una mayor proximidad a datos más idóneos frente a las solicitaciones, pero

se hace con base a una simple comparación de los métodos.

Ilustración 5. Elementos de la viga, Método MEF

Fuente: Propia

Suponemos inicialmente un elemento finito de un solo elemento, es decir nodo 1 y nodo

5. Partiendo de la afirmación que 𝑑1𝑦 = ∅1 = 0, determinamos los desplazamientos y

rotaciones en el nodo 5, mediante el uso de la función cubica de desplazamiento que

se ha asumido

𝑣 = [2

𝐿3(𝑑1𝑦 − 𝑑2𝑦) +

1

𝐿2(∅1 − ∅2)] 𝑥

3 + [−3

𝐿2(𝑑1𝑦 − 𝑑2𝑦) +

1

𝐿(∅1 − ∅2)] 𝑥

2 + ∅1𝑥 + 𝑑1𝑦

33

𝑣(𝑥) =1

𝐿3(−2𝑥3 + 3𝑥2𝐿)𝑑2𝑦 +

1

𝐿3(𝑥3𝐿 − 𝑥2𝐿2)∅2

Evaluando en 𝑥 = 1𝑚 obtenemos una función de desplazamientos y rotaciones en el

nodo 2, resaltando que los valores de 𝑑5𝑦 y ∅5 , son los obtenidos por el método

matricial por que suponen una solución exacta en el extremo libre de la viga, de igual

manera se alcanza dichos valores por el método de doble integración.

𝑣(1𝑚) =1

43(−2(1)3 + 3(1)2(4))(−0.02) +

1

43((1)3(4) − (1)2(4)2)(−7.5 ∗ 10−3)

𝑣(1𝑚) = 1.718 × 10−3𝑚

De la misma manera se determina los desplazamientos para los nodos restantes. La

siguiente tabla

Tabla 1. Desplazamientos nodales de la viga

Fuente: Propia

El método de elementos finitos permite establecer los momentos en los puntos nodales

a partir de los desplazamientos de dicho elemento.

𝑀 = 𝐸𝐼𝑣𝑛 = 𝐸𝐼𝑑2(𝑁 𝑑)

𝑑𝑥2= 𝐸𝐼

𝑑2(𝑁)

𝑑𝑥2𝑑

Donde 𝑑 nos es una función de 𝑥. En términos de la matriz gradiente 𝑩 tenemos

𝑀 = 𝐸𝐼𝐵𝑑

Donde

𝐵 =𝑑2𝑁

𝑑𝑥2= [(

−6

𝐿2+12𝑥

𝐿3) (−4

𝐿+6𝑥

𝐿2) (6

𝐿2−12𝑥

𝐿3)(−2

𝐿+6𝑥

𝐿2)]

Para una solución simple de un elemento, el momento flector está dado por

𝑀(𝑥) = 𝐸𝐼 [(−6

𝐿2+12𝑥

𝐿3)𝑑1𝑦 + (

−4

𝐿+6𝑥

𝐿2)∅1 + (

6

𝐿2−12𝑥

𝐿3)𝑑5𝑦 + (

−2

𝐿+6𝑥

𝐿2)∅5]

Evaluando el momento en 𝑥 = 0, donde 𝑑1𝑦 = ∅1 = 0 , y con los valores del nodo en el

extremo libre determinamos los momentos de cada nodo

34

𝑀(0) = 32000 [(6

42−12(0)

43) (−0.02) + (

−2

4+6(0)

42) (−7.5 × 10−3)]

𝑀(0) = −120 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

La siguiente tabla muestra los momentos en función de 𝑥 = 0, para cada nodo

Tabla 2. Momentos flectores de la viga en los nodos

Fuente: Propia

La siguiente ilustración muestra la convergencia en la curvatura del elemento, se

evidencia que a mayor número de elementos finitos se disponga la proximidad de los

valores de los desplazamientos será mayor entre los métodos utilizados.

Ilustración 6. Convergencia de los desplazamientos

Fuente: Propia

4 DESARROLLO DEL ELEMENTO PLACA

El elemento placa es uno de los elementos estructurales más importantes y es usado

para modelar y analizar estructuras como entrepisos, losas de cimentación, recipientes

de presión, (Figura 12), y partes de automóviles. Esta descripción de placa es seguida

por una discusión de algunos elementos finitos comúnmente usados como placas.

NODO X (m) M(x)

1 0 -120

2 1 -90

3 2 -60

4 3 -30

5 4 0

35

Figura 12. Sección de una chimenea modelada como Elemento Finito (Vista rotada de 45º) (584 vigas y 252 placas planas son los elementos)


4.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PLACA A FLEXIÓN

Una placa puede ser considerada como una extensión de una viga en dos dimensiones.

Vigas y placas ambas soportan cargas transversales o perpendiculares a sus planos a

través de la acción de la flexión. Una placa es delgada (Si esta es curva, esta podría

ser un cascaron). Una viga tiene un momento de resistencia simple a la flexión; mientras

una placa resiste flexión sobre dos ejes y tiene un momento de torsión.

Nosotros podríamos considerar la teoría clásica de placa delgada o teoría de placa de

Kirchhoff. Muchos de las suposiciones de esta teoría son analogías con la teoría clásica

para vigas o teorías de Euler- Bernoulli para vigas.

4.1.1 Suposiciones básicas de geometría y deformación

Empezaremos con la deducción de las ecuaciones básicas de la placa delgada,

considerando la placa en el plano x-y y de espesor t en la dirección del eje z, mostrado

en la figura 17

36

Figura 13.Placa delgada básica que muestra carga transversal y dimensiones


Las superficies de la placa son 𝑧 = ±𝑡/2 , y su punto medio esta en 𝑧 = 0. La geometría

básica de la placa asumida es la siguiente: (1) El espesor de la placa es mucho más

pequeña que sus dimensiones b y c (es decir 𝑡 ≪ 𝑏 𝑜 𝑐 ). (Si t es mayor que un décimo

de la extensión dela losa, entonces la deformación transversal de la sección podría

ocurrir para la placa y entonces decimos que es el espesor). (2) La deflexión w es

mucho menor que el espesor t (es decir, 𝑤/𝑡 ≪ 1 ).

4.1.2 Suposiciones de Kirchhoff

Considerar un diferencial de un corte de una franja de la placa, al plano perpendicular

al eje x como se muestra en la figura 14 (a). La deformación lateral causada por la carga

q hacia arriba en la dirección de z, y la deflexión w en el punto P es asumida solamente

en función de X y Y, es decir 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦) y la placa no se deforma en la dirección z. se

dibuja una línea a-b perpendicular a la superficie antes de la carga permanente (Figura

14 (b)) Esta es consistente con las siguientes suposiciones de Kirchhoff:

1. Las normales permanecen normales. Esto implica que los esfuerzos cortantes

transversales ϒ𝑦𝑧 = 0 de la misma manera ϒ𝑥𝑧 = 0. Sin embargo ϒ𝑥𝑦 no es igual

a cero, ángulos rectos en el plano de la placa no podrían permanecer restos

después de la carga. La placa puede doblarse en el plano.

2. El cambio del espesor podría despreciarse y no someterse a extensiones

normales. Esto significa deformación normal Ɛ𝑧 = 0.

3. El esfuerzo normal 𝜎𝑧 no tiene efecto sobre las deformaciones Ɛ𝑥 y Ɛ𝑦 en las

ecuaciones de esfuerzo cortante y es considerado despreciable.

37

4. Las fuerzas de membrana o en el plano son despreciables aquí, y la resistencia

a los esfuerzos puede ser superpuesta después (es decir, las deformaciones

permanentes del comportamiento del triángulo del Capítulo 6 pueden ser súper

puestas con la resistencia básica del elemento placa a flexión). Es decir, las

deformaciones en las direcciones x y y son asumidas como cero en la mitad de

la superficie: 𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 0 y 𝑣(𝑥, 𝑦, 0) = 0.

Figura 14.Corte diferencial de placa de espesor t (a) Antes de ser cargada y (b) Desplazamientos del punto P después de ser cargada, basada en la teoría de Kirchhoff


Basados en las suposiciones de Kirchhoff, ningún punto P en la figura 18 tiene

desplazamiento en la dirección x debido a una pequeña rotación α

𝒖 = −𝒛𝜶 = −𝒛(𝜹𝒘

𝜹𝒙)

Sucede lo mismo con el punto que tiene desplazamiento en la dirección y

𝒗 = −𝒛(𝜹𝒘

𝜹𝒚)

Las curvaturas de la placa están dadas como la razón de cambio del desplazamiento

angular de las normales y estas están definidas como:

𝑲𝒙 =𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒙𝟐 𝑲𝒚 =

𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒚𝟐 𝑲𝒙𝒚 =

𝟐𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒙𝝏𝒚

38

La primera de las ecuaciones es usada en la teoría de vigas. Usando las definiciones

para las deformaciones en el plano, y las ecuaciones de desplazamiento se obtiene

que:

𝜺𝒙 = −𝒛𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒙𝟐 𝜺𝒚 =

𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒚𝟐 𝜸𝒙𝒚 = −𝟐𝒛

𝝏𝟐𝒘

𝝏𝒙𝝏𝒚

O usando las ecuaciones de razón de cambio tenemos:

𝜺𝒙 = −𝒛𝑲𝒙 𝜺𝒚 = −𝒛𝑲𝒚 𝜸𝒙𝒚 = −𝒛𝑲𝒙𝒚

La primera de las ecuaciones es usa en la teoría de vigas, las otras son nuevas en la

teoría de placas.

4.1.3 Rotaciones Esfuerzos/Deformaciones

Basados en la tercera suposición anteriormente mencionada, las ecuaciones de

esfuerzos planos pueden ser usadas para relacionar las deformaciones planas para un

material isotrópico así

𝝈𝒙 =𝑬

𝟏 − 𝒗𝟐(𝜺𝒙 + 𝒗𝜺𝒚)

𝝈𝒚 =𝑬

𝟏 − 𝒗𝟐(𝜺𝒚 + 𝒗𝜺𝒙)

𝝉𝒙𝒚 = 𝑮𝜸𝒙𝒚

Los esfuerzos normales y los esfuerzos cortantes en el plano son mostrados en los

bordes de la placa en la figura 15 (a). Similar con la variación en una viga, estos

esfuerzos varían linealmente en la dirección z en la mitad de la superficie de la placa.

Los esfuerzos cortantes transversales 𝜏𝑦𝑧 y 𝜏𝑥𝑧 también están presentes, aunque la

deformación transversal cortante es despreciable. Como en la teoría de vigas, estos

esfuerzos transversales varían cuadráticamente a través del espesor de la placa. Los

esfuerzos de las ecuaciones anteriores pueden ser relacionados con los momentos

flectores 𝑀𝑥 y 𝑀𝑦 y los momentos torsores 𝑀𝑥𝑦 actuando a lo largo de los bordes de la

placa como se muestra en la figura 15(b).

39

Figura 15.Elemento diferencial de una placa con (a) Esfuerzos mostrados en los bordes de una placa y (b) Diferenciales de momentos y fuerzas


Los momentos actuantes están en función de 𝑥 y 𝑦 son estimados por unidad de

longitud en el plano de la placa. Por lo tanto, los momentos son:

𝑴𝒙 = ∫ 𝒛𝝈𝒙𝒅𝒛 𝒕/𝟐

−𝒕/𝟐

𝑴𝒚 = ∫ 𝒛𝝈𝒚𝒅𝒛 𝒕/𝟐

−𝒕/𝟐

𝑴𝒙𝒚 = ∫ 𝒛𝝉𝒙𝒚𝒅𝒛 𝒕/𝟐

−𝒕/𝟐

Los momentos pueden ser relacionados con las curvaturas sustituyendo las

deformaciones en las ecuaciones de momentos se obtiene

𝑴𝒙 = 𝑫(𝒌𝒙 + 𝒗𝒌𝒚) 𝑴𝒚 = 𝑫(𝒌𝒚 + 𝒗𝒌𝒙) 𝑴𝒙𝒚 =𝑫(𝟏 − 𝒗)

𝟐𝒌𝒙𝒚

Donde 𝑫 =𝑬𝒕𝟑

[𝟏𝟐(𝟏−𝒗𝟐)] es llamada la rigidez debida a la flexión de la placa.

4.2 DEDUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Y ECUACIONES DEL ELEMENTO

PLACA A FLEXIÓN

La deducción de la matriz de rigidez se realiza basado en lo desarrollado por Daryl

Logan en su libro sobre el “Primer curso sobre elementos finitos”. En esta sección

introduciremos solo una formulación de elemento, un elemento rectangular básico con

12 grados de libertad, como se muestra en la figura 16.

40

Figura 16.Elemento rectangular placa básico con nodos y grados de libertad


La formulación puede desarrollarse consecuentemente con la matriz de rigidez y las

ecuaciones del elemento barra, viga, esfuerzos/ deformaciones planas, asimétricos, y

otros elementos sólidos.

Paso 1. Seleccionar el tipo de elemento

Consideraremos el elemento placa-plana de 12 grados de libertad mostrada en la figura

anterior. Cada nodo tiene tres grados de libertad, un desplazamiento transversal en la

dirección z, una rotación 𝜃𝑥 alrededor del eje 𝑥, y una rotación 𝜃𝑦 sobre el eje 𝑦.

La matriz de desplazamiento nodal, en el nodo i está dado por

{𝑑𝑖} = {

𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖

}

Donde las rotaciones se relacionan con el desplazamiento transversal por

𝜽𝒙 = +𝜹𝒘

𝜹𝒚 𝜽𝒚 = −

𝜹𝒘

𝜹𝒙

El signo negativo de 𝜃𝑦 se debe al hecho de un desplazamiento negativo w necesario

para producir una rotación positiva sobre el eje y.

La matriz total desplazamientos está dada por

{𝒅} = {𝒅𝒊 𝒅𝒋 𝒅𝒎 𝒅𝒏}𝑻

Paso 2. Seleccionar la función de desplazamiento

41

Porque hay 12 grados de libertad, para el elemento, seleccionaremos 12 términos

polinomiales en 𝑥 y 𝑦 cómo se presenta:

𝒘 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐𝒙 + 𝒂𝟑𝒚 + 𝒂𝟒𝒙𝟐 + 𝒂𝟓𝒙𝒚 + 𝒂𝟔𝒚

𝟐 + 𝒂𝟕𝒙𝟑 + 𝒂𝟖𝒙

𝟐𝒚 + 𝒂𝟗𝒙𝒚𝟐 + 𝒂𝟏𝟎𝒚

𝟑 + 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟑𝒚

+ 𝒂𝟏𝟐𝒙𝒚𝟑

La ecuación anterior es una función incompleta en el contexto del triángulo de Pascal.

La función está completa hasta el tercer orden (diez términos), y una elección de dos

términos más para los cinco términos restantes para completar la función que debemos

hacer. La mejor elección de términos es 𝒙𝟑𝒚 y 𝒙𝒚𝟑 dado que ellos aseguran que habrá

continuidad en los desplazamientos entre los límites. (Los términos 𝒙𝟒 y 𝒚𝟒 producen

discontinuidad en los desplazamientos a lo largo de los límites de los elementos

interconectados, y deben ser rechazados). La función planteada anteriormente solo

satisface la ecuación básica diferencial del comportamiento a flexión de la placa

delgada, sobre la parte descargada de la misma, aunque no es un requerimiento

mínimo en la aproximación de la energía potencial.

Además, la función permite el movimiento para cuerpos rígidos y esfuerzo constante,

están presentes como términos a tener en cuenta para este fenómeno en una

estructura. Sin embargo, es común que en los límites existan las discontinuidades a lo

largo de las pendientes de los elementos relacionados no se puedan asegurar.

Se puede observar dicha discontinuidad en la esquina, evaluaremos el polinomio en

estas esquinas a lo largo de un lado (es decir, al lado de i-j, del eje 𝑥 de la figura 16),

obtenemos

𝑤 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4𝑥2 + 𝑎7𝑥

3

𝛿𝑤

𝛿𝑥= 𝑎2 + 2𝑎4𝑥 + 3𝑎7𝑥

2

𝛿𝑤

𝛿𝑦= 𝑎3 + 𝑎5𝑥 + 𝑎8𝑥

2 + 𝑎12𝑥3

Los desplazamientos w son cúbicos usados para el elemento viga, mientras la

pendiente 𝛿𝑤/𝛿𝑥 es el mismo en la flexión de viga, basados en el elemento viga,

sustituiremos las cuatro constantes 𝑎1, 𝑎2, 𝑎4 y 𝑎7 podemos definirlas recurriendo a las

condiciones de los puntos terminales (𝑤𝑖, 𝑤𝑗, 𝛳𝑦𝑖, 𝛳𝑦𝑗). Entonces, 𝑤 y 𝛿𝑤/𝛿𝑥

Son completamente definidas a lo largo del borde. La pendiente normal 𝛿𝑤/𝛿𝑦 es una

cubica en 𝑥. Sin embargo, solo dos grados de libertad permanecen por definición en

dicha pendiente, mientras cuatro constantes (𝑎3, 𝑎5, 𝑎8 y 𝑎12) existen. Está pendiente

no tiene una definición únicamente, y una pendiente discontinua ocurre. Así, la función

para 𝑤 se dice que no está conformada. La solución obtenida para el elemento finito de

42

análisis podría no ser una solución mínima de potencial de energía. Sin embargo, estos

elementos proveen resultados aceptables, y la prueba de esta convergencia podría ser

mostrada.

Las constantes 𝑎1 hasta 𝑎12 pueden determinarse por las 12 ecuaciones simultáneas

enlazando los valores de 𝑤 y estas pendientes de los nodos cuando las coordenadas

toman los valores apropiados. Primero escribimos

{

+

𝑤𝛿𝑤

𝛿𝑥

−𝛿𝑤

𝛿𝑦}

= [1 𝑥 𝑦0 0 +10 −1 0

𝑥2 𝑥𝑦 𝑦2

0 +𝑥 +2𝑦−2𝑥 −𝑦 0

𝑥3 𝑥2𝑦 𝑥𝑦2

0 +𝑥2 +2𝑥𝑦

−3𝑥2 −2𝑥𝑦 −𝑦2

𝑦3 𝑥3𝑦 𝑥𝑦3

+3𝑦2 +𝑥3 +3𝑥𝑦2

0 −3𝑥2𝑦 −𝑦3]

× {

𝑎1𝑎2⋮𝑎12

}

O en una matriz simple de los grados de libertad matricialmente

{𝝍} = [𝑷]{𝒂}

Donde P es la primera matriz de la derecha de la ecuación matricial anterior con una

dimensión de 3 x 12. Luego, evaluamos cada punto nodal como sigue

{𝑑} =

{

𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖𝑤𝑗⋮ }

=

[ 1 𝑥𝑖 𝑦𝑖0 0 +1⋮⋮

…

…

𝑥𝑖2 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑦𝑖2

0 +𝑥 +2𝑦𝑖 …

…

…

𝑥𝑖3 𝑥𝑖2𝑦𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖2

0 +𝑥𝑖2 +2𝑥𝑖𝑦𝑖 …

…

…

𝑦𝑖3 𝑥𝑖3𝑦𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖3

+3𝑦𝑖2 +𝑥𝑖3 +3𝑥𝑖𝑦𝑖2 …

…

∙∙… ]

× {

𝑎1𝑎2⋮𝑎12

}

La matriz compacta, la expresamos como

{𝒅} = [𝑪]{𝒂}

Donde C es la matriz de la derecha de 12 x 12 de la ecuación matricial anterior. Por lo

tanto, las constantes de a pueden ser resueltas así

{𝒂} = [𝑪]−𝟏{𝒅}

La matriz simple de los grados de libertad puede ser expresada como

43

{𝝍} = [𝑷][𝑪]−𝟏{𝒅}

{𝝍} = [𝑵]{𝒅}

Donde [𝑵] = [𝑷][𝑪]−𝟏 es la matriz de función de forma. Una manera específica de la

función de forma está dada 𝑁𝑖, 𝑁𝑗, 𝑁𝑚 y 𝑁𝑛.

Paso 3. Definir la función de esfuerzos/ Deformaciones y la relación de momentos de

fuerza y curvatura

La matriz de curvatura está dada por

{𝐾} = {

𝐾𝑥𝐾𝑦𝐾𝑥𝑦

} = {

−2𝑎4 − 6𝑎7𝑥 − 2𝑎8𝑦 − 6𝑎11𝑥𝑦−2𝑎6 − 2𝑎9𝑥 − 6𝑎10𝑦 − 6𝑎12𝑥𝑦

−2𝑎5 − 4𝑎8𝑥 − 4𝑎9𝑦 − 6𝑎11𝑥2 − 6𝑎12𝑦

2

}

O expresada en forma matricial, tenemos

{𝒌} = [𝑸]{𝒂}

Donde [𝑄]es la matriz de coeficientes multiplicada por las variables 𝑎, la matriz de

curvatura se puede expresar como

{𝒌} = [𝑩]{𝒅}

Donde

[𝑩] = [𝑸][𝑪]−𝟏

Es la matriz gradiente.

La matriz de momento/ curvatura para una placa está dada por

{𝑴} = {

𝑴𝒙

𝑴𝒚

𝑴𝒙𝒚

} = [𝑫]{

𝒌𝒙𝒌𝒚𝒌𝒙𝒚

} = [𝑫][𝑩]{𝒅}

Donde [𝐷] es la matriz constitutiva dada para materiales isotrópicos

[𝑫] =𝑬𝒕𝟑

𝟏𝟐(𝟏 − 𝒗𝟐)[

𝟏 𝒗 𝟎𝒗 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎𝟏 − 𝒗

𝟐

]

Paso 4. Deducción de la matriz de rigidez y ecuaciones

44

La matriz de rigidez está dada por la forma común

[𝑘] = ∬[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑥𝑑𝑦

Donde [𝐵] y [𝐷] se definieron anteriormente. La matriz de rigidez de un elemento

rectangular de cuatro nodos es de orden 12 x 12. Debido a la matriz de fuerzas de la

carga distribuida 𝑞 sobre la superficie por unidad de área en la dirección de 𝑧 se obtiene

una ecuación estándar.

[𝐹𝑠] = ∬[𝑁𝑠]𝑇𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦

Para una carga uniforme 𝑞 actuando sobre la superficie de un elemento de dimensiones

2𝑏 × 2𝑐 producen momentos y fuerzas en un nodo 𝑖 asi

{

𝒇𝒘𝒊𝒇𝜽𝒙𝒊𝒇𝜽𝒚𝒊

} = 𝟒𝒒𝒄𝒃 {𝟏/𝟒−𝒄/𝟏𝟐𝒃/𝟏𝟐

}

Con una expresión similar los nodos 𝑗,𝑚 y 𝑛. Podemos observar que para una carga

uniforme producen pares aplicados a los nodos como parte del trabajo equivalente

reemplazado, tal como era para el caso del elemento viga. Las ecuaciones del elemento

están dadas por

{

𝑓𝑤𝑖𝑓𝜃𝑥𝑖𝑓𝜃𝑦𝑖⋮

𝑓𝜃𝑦𝑛}

=

[ 𝑘11 𝑘12 … 𝑘1,12𝑘21 𝑘22 … 𝑘2,12𝑘31⋮

𝑘12,1

𝑘32……

… 𝑘3,12… …

… 𝑘12,12]

{

𝑤𝑖𝜃𝑥𝑖𝜃𝑦𝑖⋮𝜃𝑦𝑛}

El resto de los pasos, incluyendo el ensamblaje total de las ecuaciones, incluyendo las

condiciones de frontera (ahora las condiciones de frontera en 𝑤, 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 ) y resolviendo

las ecuaciones para los desplazamientos nodales y pendientes (observar tres grados

de libertad por nodo).

4.3 ALGUNAS COMPARACIONES NUMÉRICAS DEL ELEMENTO PLACA

Ahora presentamos algunas comparaciones numéricas de cuadriláteros en las

formulaciones del elemento placa. Recordando que hay numerosas formulaciones del

elemento placa en la literatura. La figura 17 muestra un número de resultados para

formulaciones de elementos placa como una placa cuadrada simulando soportar una

carga concéntrica aplicada en el centro de la misma.

Los resultados mostrados ilustran el límite superior e inferior del comportamiento de las

soluciones y demostrando la convergencia de estas para varias formulaciones del

45

elemento placa. Estos resultados incluyen 12 términos polinomiales descritos en la

sección anterior. Observemos que los 12 términos polinomiales convergen a la solución

exacta desde arriba. Esto produce una solución de límite superior. Porque la

continuidad entre elementos de las pendientes no se garantiza para los 12 términos

polinomiales, no se obtiene abajo las características clásicas de una formulación de la

mínima energía potencial. Sin embargo, como más elementos se usan, la solución

converge en una solución exacta.

Figura 17. Comparaciones Numéricas: Formulaciones del Elemento placa cuadrada

Fuente: (Gallagher, R. H., Finite Element Analysis Fundamentals, 1975, p. 345. Reprinted by

Permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.)

La figure 18 muestra la comparación de una formulación triangular para la misma carga

simple centrada que soporta la placa comparada con la formulación cuadrilátera de la

figura anterior. Observamos un número de diferentes formulaciones con resultados que

convergen desde arriba y abajo en las dos figuras. Algunos de estos elementos

producen mejores resultados que otros.

El programa de algoritmos usa 16 grados de libertad “Sub dominios”, los cuales

convergen por abajo, basados en la formulación de compatibilidad de desplazamientos.

46

Figura 18.Comparaciones numéricas para una placa cuadrada simplemente soportada sujeta a la carga central. Formulaciones de elementos triangulares

Fuente: (Gallagher, R. H., Finite Element Analysis Fundamentals, 1975, p. 345. Reprinted by

Permission of Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ.)

4.4 SOLUCIÓN POR COMPUTADORA A UN PROBLEMA DE PLACA A FLEXIÓN

Ahora se ilustra la solución a un problema para una placa a flexión mediante un

programa de computadora. El problema radica en una placa de acero fija a lo largo de

47

cuatro bordes y sujeta a una carga en el centro de esta, como se muestra en la figura

19.

Figura 19. Placa de evaluación


El elemento placa es un elemento de tres o cuatro nodos formulado en un espacio

tridimensional. El elemento permite grados de libertad permitidas en las tres

traslaciones (𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤) y rotaciones en el plano (𝜃𝑥 𝑦 𝜃𝑦 ). Los grados de libertad

rotacionales normales en la placa no son definidos y deben ser limitados.

El elemento formulado en el programa de computadora es de 16 términos polinomiales.

La formulación de los 16 nodos converge por debajo del análisis de los

desplazamientos, y es basada en la formulación de la compatibilidad de

desplazamientos. Este también es mostrado en la figura 16 para la placa restringida y

sometida a una carga concentrada.

4.4.1 Ejemplo

Una malla de 2 x 2 fue creada para modelar la placa. Los resultados de los

desplazamientos son mostrados en la figura 20.

La solución exacta para los máximos desplazamientos (los cuales ocurren debajo de la

carga concentrada) dan como:

𝑤 =0,056𝑃𝐿2

𝐷= 0,056

(−445𝑁)(0.50 𝑚)2

576.45𝑁 ∗ 𝑚

𝑤 = −0.002𝑚

48

Donde D es la matriz constitutiva para materiales isotrópicos que relaciona los

esfuerzos y deformaciones

𝐷 =(206843𝑀𝑃𝑎 )(2.54×10−3𝑚)3

[12 (1−0,32)]= 576.45𝑁 ∗ 𝑚

Figura 20.Desplazamientos de la placa de ejemplo


Las figuras 21 a 22 muestran los modelos de placa y viga combinados. Las vigas

pueden ser combinadas con las placas al hacerse que coincidan las vigas con la línea

central de las placas como se muestra en la figura 21.

49

Figura 21. Modelo de elementos viga y placa combinados en el centro de línea de los

elementos


Esto asegura la compatibilidad entre la placa y los elementos viga. La placa es la misma

que se usó en la figura 21. Los elementos viga refuerzan la placa reduciendo su máxima

deflexión como se muestra en la figura 22.

Figura 22. Deflexión vertical para una parte del modelo


Los elementos viga usados en este modelo fueron de 5𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚. Secciones

transversales rectangulares utilizadas para rigidizar la placa a través del centro, como

se indica, por las líneas que dividen la placa en cuatro partes.

50

Otra manera de conectar elementos viga y placa se muestra en la figura 23, donde los

elementos viga están compuestos de elementos placa y pequeños elementos viga

usados para conectar los elementos viga y placa a los nodos. En este modelo de 5𝑐𝑚 ×

5𝑐𝑚 por 1

4𝑐𝑚.

Figura 23. Modelo que muestra elementos de viga desplazada para el elemento placa


5 DESARROLLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIÓN PLANA

(ECUACIÓN DE RIGIDEZ)

El análisis de esfuerzos y deformaciones para elementos bidimensionales (áreas) es

necesario en cuanto a la existencia de irregularidades o cambios en la geometría de los

mismos, tal como agujeros, capas entre otros. Estas arbitrariedades generan

concentraciones de esfuerzos en los elementos y distribución no homogénea de los

mismos.

51

Figura 24. Esfuerzos en el plano (a) Placa perforada (b) placa extendida


Los esfuerzos y deformaciones de dichos elementos se pueden predecir mediante la

matriz de rigidez, bajo la hipótesis de tensión constante sobre estos.

Figura 25.Plano de esfuerzos (a) carga horizontal en una presa (b) carga vertical en un tubo


En la figura anterior se evidencia que para que las tensiones y esfuerzos normales no

sean nulos debe existir un espesor unitario en el eje 𝒁 (Principio de discretización del

elemento).

A continuación, se presenta un ejemplo detallado utilizando el Método de Elementos

Finitos para la obtención de esfuerzos sobre una superficie plana (área).

5.1 EJEMPLO DE ESFUERZOS PLANOS Y DEFORMACIONES PLANAS

Para una placa delgada empotrada, como se ilustra. Determinar los desplazamientos

nodales y los esfuerzos en el elemento, el espesor de la placa es de 10 cm, Modulo

elástico de 200 GPa, y coeficiente de Poisson de 0.3

52

Figura 26. Elemento placa, sujeta a esfuerzos de tensión

Fuente: Propia

El primer paso consiste en discretizar la placa, en este caso manejamos dos elementos,

y a partir de la tensión que sufre la placa en uno de sus extremos determinamos la

resultante de la fuerza a la cual está expuesta.

𝐹 =1

2𝑇𝐴

𝐹 =1

2 (1 𝑀𝑃𝑎)(0.50𝑚 × 0.10𝑚 )

𝑭 = 𝟐𝟓 𝒌𝑵

Figura 27. Discretizacion de la placa

Fuente: Propia

En general podemos convertir en fuerzas nodales los esfuerzos en la superficie,

posteriormente identificamos los grados de libertad y numeramos los nodos y

elementos (se evidencia la generación de superficies planas tipo triangular). La matriz

global de los elementos está dada por:

53

[𝐹] = [𝐾][𝛿]

Expandiendo las matrices, obtenemos

|

|

|

𝐹1𝑋𝐹1𝑦𝐹2𝑋𝐹2𝑦𝐹3𝑋𝐹3𝑦𝐹4𝑋𝐹4𝑦

|

|

|

=

|

|

|

𝑅1𝑋𝑅1𝑦𝑅2𝑋𝑅2𝑦250250

|

|

|

= [𝐾]

|

|

|

𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿2𝑋𝛿2𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦

|

|

|

= [𝐾]

|

|

|

0000𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦

|

|

|

Donde la matriz de rigidez tiene una dimensión de 8 x 8(Dos grados de libertad por

nodo), antes interpretando que los nodos 1 y 2 no tienen grados de libertad. El tercer

paso consiste en ensamblar la matriz general, que consiste en la superposición de las

matrices individuales de cada elemento.

[𝑘] = 𝑡𝐴[𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]

De la figura 28 (Discretización) podemos establecer las coordenadas para el elemento

1 ( 𝑥𝑖 = 0 , 𝑦𝑖 = 0, 𝑥𝑗 = 1.00 , 𝑦𝑗 = 0.50,𝑚𝑖 = 0,𝑚𝑗 = 0.50). En general el área del

elemento 1 (A) se obtiene:

𝐴 =1

2𝑏ℎ

𝐴 =1

2× 1 × 0.50 = 0.25𝑚2

Figura 28. Elemento 1 de la placa discretizada

Fuente: Propia

Siendo [𝑩] la matriz de desplazamientos nodales tenemos:

[𝐵] =1

2𝐴[𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗

0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚

]

Pasando de forma matricial a ecuación homogénea, se tiene:

54

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0.50 − 0.50 = 0

𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 0.50 − 0 = 0.50

𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 0.50 = −0.50

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 0 − 1.00 = −1.00

𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 0 = 0

𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 1.00 − 0 = 1.00

Entonces, reemplazando en la forma matricial de [𝑩]

[𝐵] =1

2 × 0.25[0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00

0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50

]1

𝑚

Para esfuerzos planos, la matriz [𝐷] se puede expresar

[𝐷] =𝐸

(1 − 𝑣2)[

1 𝑣 0𝑣 1 0

0 01 − 𝑣

2

]

Sabemos que 𝑣 = 0.3 y 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎

[𝐷] =200 × 106

(1 − 0.32)[

1 0.3 00.3 1 0

0 01 − 0.3

2

] 𝑘𝑃𝑎

Entonces

[𝐵]𝑇[𝐷] =200 × 106

0.50 (1 − 0.32) |

|

0.00 0.00 −1.000.00 −1.00 0.000.500.00−0.500.00

0.000.000.001.00

0.000.501.00−0.50

|

|[

1 0.3 00.3 1 0

0 01 − 0.3

2

]

Simplificando

[𝐵]𝑇[𝐷] =400 × 106

0.91 |

|

0.00 0.00 −0.35−0.30 −1.00 0.000.500.00−0.500.30

0.150.00−0.151.00

0.000.180.35−0.18

|

|

Recordando que la matriz del elemento está dada por:

[𝒌] = 𝒕𝑨[𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]

55

[𝑘] = (0.10)(0.25)400 × 106

0.91 |

|

0.00 0.00 −0.35−0.30 −1.00 0.000.500.00−0.500.30

0.150.00−0.151.00

0.000.180.35−.18

|

|

×1

0.50[0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00

0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50

]

Finalmente, la matriz de rigidez está dada por:

[𝑘1] =20 × 106

0.91 |

|

𝑢10.35

𝑣10.00

𝑢30.00

0.00 1.00 −0.150.00−.018−0.350.18

−0.150.000.15−1.00

0.250.00−0.250.15

𝑣3−0.18

𝑢2−0.35

𝑣20.18

0.00 0.15 −1.000.000.090.18−0.09

−0.250.180.60−0.33

0.15−0.09−0.331.09

|

|

𝑘𝑁/𝑚

Cada columna de la matriz de rigidez del elemento 1, indica el grado de libertad

asociado en 𝑢 y 𝑣. De la misma manera se procede a generar la matriz del elemento 2.

Figura 29. Elemento 2 de la placa discretizada

Fuente: Propia

De la figura 29 (Discretización) podemos establecer las coordenadas para el elemento

2 ( 𝑥𝑖 = 0 , 𝑦𝑖 = 0, 𝑥𝑗 = 1.00 , 𝑦𝑗 = 0,𝑚𝑖 = 1.00,𝑚𝑗 = 0.50). Resaltando que el área es la

misma que el elemento anterior.

𝛽𝑖 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑚 = 0 − 0.50 = −0.50

𝛽𝑗 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑖 = 0.50 − 0 = 0.50

𝛽𝑚 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 = 0 − 0 = 0

𝛾𝑖 = 𝑥𝑚 − 𝑥𝑗 = 1.00 − 1.00 = 0

𝛾𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑚 = 0 − 1.00 = −1.00

𝛾𝑚 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 = 1.00 − 0 = 1.00

56

Entonces, reemplazando en la forma matricial de [𝑩]

[𝐵] =1

2𝐴[𝛽𝑖 0 𝛽𝑗0 𝛾𝑖 0𝛾𝑖 𝛽𝑖 𝛾𝑗

0 𝛽𝑚 0𝛾𝑗 0 𝛾𝑚𝛽𝑗 𝛾𝑚 𝛽𝑚

]

[𝐵] =1

2 × 0.25[−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00

0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00

]1

𝑚

Recordando que la matriz [𝑫] es constante, luego [𝑩]𝑻[𝑫]:

[𝐵]𝑇[𝐷] =200 × 106

0.50 (1 − 0.32) |

|

−0.50 0.00 0.000.00 0.00 −0.500.500.000.000.00

0.00−1.000.001.00

−1.000.501.000.00

|

|[

1 0.3 00.3 1 0

0 01 − 0.3

2

]

Simplificando

[𝐵]𝑇[𝐷] =400 × 106

0.91 |

|

−0.50 −0.15 0.000.00 0.00 −0.180.50−0.300.000.30

0.15−1.000.001.00

−0.350.180.350.00

|

|

Recordando que la matriz del elemento está dada por:

[𝒌] = 𝒕𝑨[𝑩]𝑻[𝑫][𝑩]

[𝑘2] = (0.10)(0.25)400 × 106

0.91×

1

0.50[−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00

0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00

]

Finalmente, la matriz de rigidez está dada por:

[𝑘] =20 × 106

0.91 |

|

𝑢10.25

𝑣10.00

𝑢4−0.25

0.00 0.09 0.18−0.250.150.00−0.15

0.18−0.09−0.180.00

0.60−0.33−0.350.15

𝑣40.15

𝑢30.00

𝑣3−0.15

−0.09 −0.18 0.00−0.331.090.18−1.00

−0.350.180.350.00

0.15−1.000.001.00

|

|

𝑘𝑁/𝑚

57

De acuerdo a los grados de libertad y ensamblando la matriz general, se tiene:

|

|

250250𝐹1𝑥𝐹1𝑦𝐹2𝑥𝐹2𝑦

|

|

=20 × 106

0.91

|

|

|

𝑢3 𝑣3 𝑢40.60 0.00 −0.350.00 1.09 0.15

𝑣40.18−1.00

𝑢1 𝑣1 𝑢20.00 −0.33 −0.25−0.33 0.00 0.18

−0.35 0.15 0.60 −0.33 −0.25 0.18 0.000.180.00−0.33−0.250.15

−1.00−0.330.000.18−0.09

−0.33−0.250.180.000.00

1.090.15−0.090.000.00

0.150.600.00−0.350.18

−0.090.001.090.15−1.00

0.00−0.350.150.60−0.33

𝑣20.15−0.090.000.000.18−1.00−0.331.09

|

|

|

|

|

|

𝛿3𝑥𝛿3𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦0000

|

|

|

Resolviendo matricialmente, se obtiene que los desplazamientos (grados de libertad)

son:

|

𝛿3𝑥𝛿3𝑦𝛿4𝑥𝛿4𝑦

| = |

4.560.044.980.07

| × 10−6𝑚

Lo que establece que las reacciones en los apoyos son:

|

𝐹1𝑥

𝐹1𝑦𝐹2𝑥

𝐹2𝑦

| = |

−25.00−15.00−25.0015.00

| 𝑘𝑁

Se determinan los esfuerzos en cada elemento mediante

|𝝈| = |𝑫||𝑩||𝜹|

En general para el primer elemento tenemos

[𝜎] =𝐸

(1 − 𝑣2)[

1 𝑣 0𝑣 1 0

0 01 − 𝑣

2

] ×1

2𝐴[𝛽1 0 𝛽30 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾3

0 𝛽2 0𝛾3 0 𝛾2𝛽3 𝛾2 𝛽2

]

|

|

𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦𝛿2𝑋𝛿2𝑦

|

|

Sustituyendo los valores numéricos anteriormente determinados

[𝜎] =200 × 106

0.50 (0.91)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35

] [0.00 0.00 0.500.00 −1.00 0.00−1.00 0.00 0.00

0.00 −0.50 0.000.00 0.00 1.000.50 1.00 −0.50

]|

|

004.560.0400

|

|× 10−6

Simplificando

|

𝝈𝒙𝝈𝒚𝝉𝒙𝒚

| = |𝟏𝟎𝟎𝟐. 𝟐𝟑𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟑. 𝟎𝟖

| 𝒌𝑵/𝒎𝟐

58

De la misma manera para el segundo elemento los esfuerzos están dados por

[𝜎] =𝐸

(1 − 𝑣2)[

1 𝑣 0𝑣 1 0

0 01 − 𝑣

2

] ×1

2𝐴[𝛽1 0 𝛽40 𝛾1 0𝛾1 𝛽1 𝛾4

0 𝛽3 0𝛾4 0 𝛾3𝛽4 𝛾3 𝛽3

]

|

|

𝛿1𝑋𝛿1𝑦𝛿4𝑋𝛿4𝑦𝛿3𝑋𝛿3𝑦

|

|

[𝜎] =200 × 106

0.50 (0.91)[1 0.3 00.3 1 00 0 0.35

] [−0.50 0.00 0.500.00 0.00 0.000.00 −0.50 −1.00

0.00 0.00 0.00−1.00 0.00 1.000.50 1.00 0.00

]|

|

004.980.074.560.04

|

|× 10−6

Simplificando

|

𝝈𝒙𝝈𝒚𝝉𝒙𝒚

| = |𝟏𝟎𝟗𝟎. 𝟓𝟓𝟑𝟏𝟓. 𝟏𝟔−𝟓𝟗. 𝟐𝟑

| 𝒌𝑵/𝒎𝟐

Ahora los esfuerzos principales se pueden determinar, y el ángulo para uno de estos

con base al ángulo principal, el cual está definido en la dirección normal que es

perpendicular al plano sobre el cual actúan los esfuerzos máximos o mínimos mediante:

𝑇𝑎𝑛 2𝜃 =2𝜏𝑥𝑦𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

𝜎1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦2

+ [(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2

)2

+ 𝜏𝑥𝑦2]1/2

Se determina los esfuerzos principales para el elemento 2 (Indicando que para el

elemento 1, es de forma similar)

𝜎2 =1090.55 + 315.16

2+ [(

1090.55 − 315.16

2)2

+ (−59.23)2]

1/2

𝜎2 = 702.85 + 392.19

𝜎2 = 1095.04𝑘𝑁/𝑚2

Se evidencia que el esfuerzo máximo que sufre la placa se genera en el mismo sentido

de aplicación del esfuerzo inicial de tensión de 1MPa (Sentido 𝑥).

6 MALLAS APLICADAS A MODELACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS

La malla se define como el grado de aproximación que tendrá el modelo con la realidad,

de esta forma, cuanto más densa sea la malla, mayor será la aproximación al análisis

real del modelo y así mismo, el error será mínimo (Ilustración 7). El mallado se debe

definir con respecto a la geometría de la figura que será modelada por elementos finitos,

por las propiedades geométricas, algunos elementos presentan mayor adaptabilidad a

59

la forma de los elementos en estudio, sin embargo, la densidad de la malla afectará

directamente el tiempo de modelación en el software; a mayor densidad mayor

consumo de capacidad del procesador.

Otro aspecto que deberá ser tenido en cuenta es el grado del polinomio que modela la

geometría del elemento en estudio. Si se tiene un polinomio de grado lineal, la malla

presentará alta rigidez y no se adaptará de forma adecuada a los movimientos de

flexión, sin embargo, los polinomios de mayor grado se adaptarán mejor a cualquier

tipo de requerimiento en la modelación.

Las mallas pueden o no tener la tendencia de la geometría del elemento expuesto a

análisis, en términos matemáticos, las fronteras de la malla pueden no coincidir con las

fronteras del cuerpo en estudio

Ilustración 7.Discretización adecuada

Fuente: http://www.geociencias.unam.mx/~ramon/mecsol/Tema7.pdf

6.1 OBTENCIÓN DE LA MALLA.

La mayoría del software utilizado para Modelación por Elementos Finitos genera de

forma predeterminada la malla para alcanzar mayor exactitud en los resultados que

arrojan. Para el análisis complejo de Elementos Finitos o problemas de gran escala, es

esencial que automáticamente los programas de tipo CAD generen de forma

predeterminada mallas de elementos finitos, esto facilita el análisis y brinda mayor

exactitud en los resultados, disminuyendo el porcentaje de error al que se ve expuesto

el análisis.

Es importante mencionar que los elementos se pueden configurar para generar un

análisis completo, es decir; se pueden usar en conjunto, generando combinaciones.

http://www.geociencias.unam.mx/~ramon/mecsol/Tema7.pdf

60

De forma ilustrativa, se muestra a continuación la discretización de dos elementos; uno

de naturaleza plana y otro volumétrico.

Ilustración 8.Triangulación del dominio de una superficie

Fuente: cuchillas centrales: su optimización, 2002

En este caso puntual la ilustración 9 muestra una región plana, delimitada por los nodos

N1, N2, N3, N5 Y N5 que a su vez conforman los triángulos E1, E2, E3, E4, E5 Y E6

junto con elementos adicionales que conforman la malla de Modelación por Elementos

Finitos.

Como es de esperarse, el contorno delimitado entre los nodos N1 y N5 no se ajusta a

la geometría exacta del elemento sometido a estudio, es allí en donde es de gran

importancia, ajustar la malla en su tamaño y número de elementos para lograr la mayor

precisión en la obtención de datos.

Ilustración 9.Mallado de elemento solido (3D)

Fuente: cuchillas centrales: su optimización, 2002

61

La ilustración 9 muestra la precisión y exactitud de una malla de naturaleza

tridimensional, en este caso puntual para la cuchilla central de un molino azucarero,

haciendo uso de una malla con elementos de tipo tetraedro.

Esta información puede incluir la posición, coordenada, de los nodos, la forma en que

se interconectan, las condiciones de frontera, las cargas y fuerzas aplicadas al

elemento en estudio, las restricciones y el tipo de análisis a realizar, de esta forma el

sistema CAD puede generar las ecuaciones necesarias para resolver el problema y

ejecutar el análisis.

7 MODELACIÓN DEL ELEMENTO PLACA

Se propone la modelación de una placa geométricamente definida (Cuadrada) con

espesor determinado. Tal modelación se realizará inicialmente mediante el programa

SAP 2000 y luego por ANSYS, asumiendo dicho material como concreto de peso

normal y con un esfuerzo máximo a la compresión de 3000 Psi (21 MPa), además se

pretende comparar dicha placa bajo la solicitación de una carga puntual en el centro

(Modelo A) de la misma, y en una segunda situación con una carga distribuida (Modelo

B).

62

Ilustración 10.Placa bajo carga Puntual, Modelo A

Fuente: Propia

63

Ilustración 11.Placa bajo carga Distribuida, Modelo B

Fuente: Propia

La finalidad de la comparación de dichos modelos en los dos programas radica en

mostrar que la interfase de ANSYS, dado que incorpora el método de elementos finitos

implícito en la generación de mallas de contorno con funciones de forma establecida

dependientes de la contextura de la misma, genera mayor convergencia en los

resultados de deformaciones, esfuerzos y otros solicitantes con las soluciones exactas

a diferencia de SAP 2000, que aunque simula de manera manual la malla carece de la

formulación de polinomios de alto grado para las funciones de frontera o de contorno.

64

7.1 MODELO A

7.1.1 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN SAP 2000 (MANUAL DE USO)

Inicialmente definimos que tipo de elemento se desea modelar, ya sean elementos

áreas tipos Plate, Shell o Membrana. Los elementos tipos Plate se utilizan para

analizar y modelar placas macizas bajo cargas perpendiculares a su plano, a través del

método de elementos finitos.

Lo elementos Shell permiten la modelación, análisis y diseño de placas, muros o losas

sometidas a flexión, cortante o fuerza axial. Estas pueden ser de dos tipos: Shell finos

o gruesos, la diferencia radica en la relación espesor/longitud de la estructura, si dicha

relación es menor al 5% (La longitud es 20 veces el espesor) se dice que el elemento

es tipo Shell Fino, de lo contrario será Grueso. Cabe resaltar que en el empleo de este

tipo de elementos se desprecia la deformación a cortante, debido a que la magnitud de

estos es mínima por lo que es más relevante la debida a la flexión.

Figura 30. Elemento área tipo Shell

Fuente: Diferencia Elementos Membrana, Plate y Shell, PDF

El último tipo de elemento área se puede utilizar para modelar placas simplemente

apoyadas sobre vigas bajo cargas perpendiculares a su plano. Las cargas se transmiten

por área aferente a los apoyos. Además, se pueden emplear para analizar muros

estructurales o placas metálicas sometidas a cargas arbitrarias.

Paso 1. Definición de tipo de elemento y sistema de unidades

El tipo de elemento a utilizar en la modelación será el elemento área tipo Shell en este

caso fino (Thin), dado que es estable de forma independiente ante cargas

perpendiculares y en el plano del elemento. Representan la suma de una membrana

65

con un Plate y en esta se tiene en cuenta la rigidez del elemento; como el caso de las

losas macizas.

Figura 31. Selección del Elemento y sistema de unidades

Fuente: Propia, SAP 2000

Se selecciona las unidades por defecto en Sistema Internacional; Fuerza en Kilo

Newton, Longitud en metros y Temperatura en centígrados. Para la creación de la placa

implementaremos el modelo Grid Only (para diseñar el elemento Shell)

Paso 2. Asignación de características geométricas

Se debe seleccionar el número de líneas de la grilla, en este caso dos por cada eje X,

Y y Z. Además de adicionar el espaciamiento entre los mismos que definirá el

dimensionamiento de la placa, resaltando que se hace bajo un sistema de coordenadas

cartesianas.

66

Figura 32. Asignación de propiedades geométricas


Paso 3. Definición de los materiales

Inicialmente se debe definir el tipo de material, donde podemos modificar un material

existente o por el contrario adicionar un nuevo material. En este caso dado que el

programa tiene por defecto precargado un material con fc de 4000 Psi se debe adicionar

un nuevo material.

67

Figura 33. Definición del material


Anteriormente se definió que el tipo de material de la losa seria Concreto de 3000 Psi

(21 MPa), esta será la característica de dicho material.

Figura 34. Definición del material, Concreto 3000Psi


Se selecciona el tipo de material “Concreto”, la región por defecto y el grado o

esfuerzo máximo a la compresión del material.

Paso 4. Definición de las secciones de área

Una vez establecido lo anterior debemos definir las secciones de área que permitirán

vincular las solicitaciones externas al elemento Shell. Nos dirigimos a la barra de

68

herramientas en la opción definir “Define” en la pestaña de propiedades de sección-

Secciones de área.

Figura 35. Definición de las áreas


Se despliega un cuadro de atributos (Figura 36), donde se precarga el tipo de sección.

Con base a la relación de espesor/ Longitud de la placa tenemos que se comporta

como un elemento Shell Thin, por tal razón no consideramos las deformaciones por

cortante, porque el elemento se comporta como un cascarón

Figura 36. Elemento área Tipo Shell Thin


Debemos seleccionar la opción - “Adicionar nueva sección”

69

Paso 5. Propiedades de la sección tipo Shell

Se debe establecer el espesor de la placa maciza, en este caso de 10 cm “opción-

Espesor”, vinculando la resistencia del concreto deseado (Material anteriormente

creado). De igual manera se puede establecer la visualización del elemento en cuanto

al color- Display Color

Figura 37. Elemento área Tipo Shell Thin, característica


Paso 6. Delimitación de contorno del elemento

Se define la geometría de la sección antes de incorporar las cargas o solicitaciones

externas, a las que está expuesta el elemento con el objeto de establecer el tipo de

apoyos de la misma.

En la barra de dibujo de la parte derecha del área de trabajo seleccionamos “Punto

interno de área “y damos clic en la parte interna del elemento, y por defecto el

programa asocia el tipo de sección anteriormente cargada – Shell thin con sus

respectivos atributos.

70

Figura 38. Elemento placa, SAP 2000


Paso 7. Definición de tipos de apoyos

Se establece apoyos de tercer grado, es decir empotrados para restringir

desplazamientos en los tres sentidos al igual que las rotaciones en las esquinas de la

placa. Por lo cual en la barra superior de herramientas seleccionamos “Asignar “>>

“Apoyos”>> “Restringidos”

Figura 39. Selección de tipos de apoyos


71

Cuando se genera el cuadro de asignación de apoyos restringidos seleccionamos la

restricción rápida como se observa en la figura 40, para cargar dicho atributo al

elemento.

Figura 40. Apoyos Empotrados


Paso 8. Patrones de Carga

Una vez definidos los apoyos, se debe crear el patrón de carga, para este ejemplo es

indiferente el tipo de carga; podemos asumirla como muerta, viva, sismica u otra. Para

tal caso en la barra superior de herrramientas >> “Difinir “>> “Patrones de cargas” ,

una vez establecido el nuevo nombre de la carga y el tipo de carga debemos seleccionar

“ Adicionar nuevo patrón de carga” con el cual las solicitaciones externas que se

establescan quedan vinculadas.

72

Figura 41. Patrón de carga


Paso 9. Establecer la carga puntual

Debemos asignar la carga puntual al elemento placa, en este caso 10 kN en el centro

de la misma en dirección del eje Z (Gravitacional). Por consiguiente “Barra de

herramientas” >> “Cargas puntuales”>> “Fuerzas “. En el cuadro emergente de

asignación de fuerzas puntuales en las opciones generales debemos vincular el patrón

73

de carga y el sistema de coordenadas que se desean establecer “Globales”, de la

misma manera adicionar la magnitud de la carga en sentido gravitacional.

Figura 42. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo)


Cuando se ha establecido las cargas que afectarán la estructura para hacer el análisis,

solamente seleccionamos el patrón de carga anteriormente establecido y desde un

análisis lineal estático

Paso 10. Segmentación del área de contacto en Sub áreas

Para que la carga puntual se distribuya conforme al área de la placa, se debe dividir en

sub áreas, dada la naturalidad de perpendicularidad de la carga aplicada, por lo cual

“Seleccionar el área “>> “Barra de herramientas “>> “Editar “>> “Edición de áreas

“>>” Dividir áreas”.

74

Figura 43. Carga Puntual (Dirección eje Z, negativo)


El objeto de dividir la placa original en finitas placas con las mismas características y

propiedades es visualizar el método de elementos finitos, además permite evaluar la

deformación que sufre la placa en puntos más específicos. Dado los pasos anteriores

el cuadro emergente (Figura 44) permite establecer las dimensiones de los elementos

finitos.

Figura 44. División de la placa en elementos finitos


75

Paso 11. Análisis de carga

Establecida la división o número de elementos finitos deseados se realiza el análisis

del programa para el patrón de carga establecido, para así observar los esfuerzos,

deformaciones y reacciones del elemento.

Figura 45.Analisis de carga


Paso 12. Evaluación de las deformaciones

Realizando una comparación de la deformación que sufre la placa debido a la carga

puntual en un análisis simplificado y mediante un análisis de elementos finitos, se

muestra a continuación. En la figura 46, la imagen izquierda muestra una placa sin

divisiones de área, por lo que no se genera deformaciones, dado la imposibilidad de

interacción de la carga con el contorno, Mientras la otra muestra una división de área

de 100 elementos, evidenciando deformaciones graduales en el elemento.

Figura 46. Deformación en función del número de elementos finitos


76

Para demostrar la importancia del método de elementos finitos se genera una placa con

400 elementos finitos, donde se observa que la mayor deformación sufrida es en punto

de aplicación de la carga gravitacional.

Figura 47. Deformación de una placa de 400 elementos finitos


El programa evalúa más eficazmente los resultados de desplazamientos,

deformaciones, esfuerzos y deformaciones mediante la presentación de tablas.

Gráficamente se puede evidenciar que los mayores desplazamientos se generan

alrededor de la carga puntual, y se van disipando a medida que se alejan de esta.

Además, el programa permite la obtención de resultados de manera organizada

mediante tablas dinámicas, que en el caso de las deformaciones muestra los

desplazamientos y los giros respectivos en cada coordenada del llano tridimensional.

Figura 48. Análisis de resultados, tabulación de SAP 2000


77

7.1.2 CARGA PUNTUAL, MODELACIÓN EN ANSYS (MANUAL DE USO)

Introducción.

En un ambiente de crecimiento tecnológico como el de la actualidad se hace necesario

para la ingeniería, específicamente la ingeniería civil, hacer uso de herramientas

tecnológicas que permitan dar luces de alta precisión a los futuros profesionales, con el

fin de ser asertivos en la interpretación de datos para una buena toma de decisiones a

nivel estructural de proyectos futuros.

El presente manual de uso tiene como fin orientar a la comunidad estudiantil en

ingeniería civil y áreas afines en el uso del programa modelador de estructuras ANSYS

en su versión 17.0.

Para efectos académicos se desarrolla el presente manual para un elemento estructural

de las siguientes características.

Elemento: Placa

Dimensiones: 2.5x2.5 m

Material: Concreto – 3000Psi

Carga puntual: 10kN

Tipo de apoyo: 4 apoyos fijos en las esquinas (tercer grado).

Consideraciones:

El modelador ANSYS 17.0 trabaja sobre geometrías definidas en tres

dimensiones 3D, por lo tanto, el primer paso será definir la geometría que se

desea analizar.

Dado que, el modelador hace uso de elementos finitos para realizar el análisis

de los elementos en estudio, se hace necesario para el segundo ítem definir un

mallado, o red, sobre la geometría que se desea simular.

El tercer ítem consiste en asignar a la geometría todos los atributos físicos

necesarios para realizar la modelación; en este punto se debe definir el material,

las condiciones de frontera, el tipo y la magnitud de carga que se aplica al

elemento.

Para concluir y como paso final se seleccionan los tipos de análisis deseados y

el programa arrojara los datos para interpretación.

Se debe tener en cuenta que el programa presenta cuadros en los que indica mediante

símbolos y colores si los datos cargados satisfacen la modelación o no, en caso de no

hacerlo el programa no permitirá avanzar en ninguna de sus etapas.

78

Paso 1. Generalidades.

Como primer paso, el ambiente de ANSYS muestra las opciones de proceso que se

desea realizar, para este caso puntual será un análisis estructural.

Figura 49. Interfase de modelación de ANSYS

Fuente: Propia, ANSYS

Paso seguido y para este caso puntual, en el que no se ha definido una geometría en

ningún otro programa de tipo CAD, se debe escoger “definir nueva geometría”, como

tipo de cálculo estático, en opciones se selecciona detectar contacto automático con

el fin de que los bordes o zonas de cambio brusco en la superficie de la geometría

queden totalmente definidos, y finalmente se selecciona crear proceso de simulación.

79

Figura 50. Interfase Estructural de ANSYS


Una vez creado el proceso de simulación aparece el menú de tareas que deberán ser

diligenciadas en su totalidad. Nótese que al iniciar las tareas viene acompañadas de

símbolos de alerta, esto se debe a que aún no están cargados los datos necesarios

para correr la simulación

En la parte inferior aparecerá el cuadro de tareas, mensajes y transcripciones, en ese

cuadro aparecerán mensajes en caso de que el programa encuentra alguna

inconsistencia en los datos que se introducen en cada una de las tareas. Para iniciar a

definir cada una de las tareas se debe hacer clic sobre el atributo específico y este lo

llevara a un ambiente determinado para cada uno de ellas.

80

Figura 51. Interfase de requerimientos generales de ANSYS


Paso 2. Definición de la geometría

Una vez dentro del ambiente el segundo paso será crear la geometría, aunque ANSYS

ofrece la opción de importarla de programas tipo CAD, para este manual y con el fin de

ser minuciosos, se dibujará dentro del ambiente grafico del modelador.

Figura 52. Interfase de geometría de ANSYS


81

Una vez seleccionada la opción de crear nueva geometría >> “Barra de herramientas

“>> “Designar”>> “Rectángulo” con el fin de dibujar el contorno de placa que se desea

analizar.

Figura 53.Contorno del elemento


Una vez seleccionada la herramienta se procede a dibujar el contorno del elemento, las

dimensiones son dadas de forma manual para cada uno de los extremos. Se debe tener

en cuenta que las unidades del dibujo esta autodefinidas en milímetros (mm).

82

Figura 54.Dimensionamiento del elemento


Posteriormente se usará la opción Pull para generar el sólido al cual se le atribuirán el

mallado, las condiciones físicas y sobre el cual se calcularán los resultados.

Figura 55.Atributos geométricos


Paso seguido se hace clic sobre el área definida e introduciendo manualmente el

espesor de la placa, se genera el sólido sujeto a estudio.

83

Figura 56.Generación del solido


Una vez definido el sólido, se debe hacer clic sobre el botón azul en la parte superior

del ambiente de dibujo “Edición de geometría”

Figura 57.Evaluación de la geometría


Inmediatamente ANSYS dirigirá el proceso a la barra de tareas y mostrará la geometría

cargada de forma satisfactoria, de esa forma finaliza la tarea de definición de la

geometría.

84

Figura 58.Aceptación de la geometría


Paso 3. Definición del mallado

Finalizada la definición de la geometría se inicia la tarea de definir el mallado sobre el

cual se quiere trabajar para la obtención de resultados. Se debe entrar en la opción

“Mesh” y se entrará al ambiente de definición de la malla aplicada.

Figura 59.Interfase del mallado


85

El primer paso, y para ayuda visual, es aumentar la resolución del mallado, esto con el

fin de evidenciar a la perfección de manera gráfica la cuadricula que se generará.

Figura 60.Resolución del mallado


Paso seguido se debe seleccionar la opción de “controles de tamaño”>>” tamaño de

cara”, lo anterior debido a que se deben realizar varias simulaciones con mallados de

diferentes tamaños para efectuar comparaciones con otros modelos, ya sean teóricos

o experimentales.

Figura 61.Controles de tamaño


86

A continuación, usando la herramienta selección de cara y haciendo clic sobre el

símbolo más (+) del recuadro de localización se cargará la cara sobre la cual se definirá

el mallado, paso seguido se introduce el tamaño, en metros, de las subdivisiones del

mallado en el recuadro de tamaño del elemento.

Figura 62.Tamaño del elemento


Para ejercicio del ejemplo, se selecciona la cara superior de la geometría definida y se

especifica un tamaño de separación de 5cm entre cada división de la malla. Como se

puede ver en la Figura 63, los datos insertados no presentan ningún error y

automáticamente se cargan los criterios definidos.

En el recuadro inferior de tareas se debe volver a la opción de mallado para terminar

con el proceso y poder verificar los datos cargados

87

Figura 63.Verificación del mallado


Una vez en el menú del mallado se debe hacer clic sobre la opción generar malla, allí

el programa mostrará de manera gráfica el mallado generado sobre la geometría.

Figura 64.Generación del mallado


Para finalizar se muestra la tarea de mallado cargada satisfactoriamente y de manera

gráfica la malla cargada sobre la superficie.

88

Figura 65.Visualización del mallado


Paso 4. Definición de atributos físicos

Finalizada la aplicación del mallado sobre la geometría se da inicio a la definición de

las características físicas que tendrá el modelo en estudio. Se debe seleccionar en la

tabla de tareas Physics.

Figura 66.Verificación del mallado


89

Dentro de los atributos físicos se debe definir: Región física, se debe asignar el material,

las condiciones de borde y revisar las opciones de solución.

Figura 67.Interfase de parámetros físicos


Dentro de la región física el programa automáticamente carga el volumen sobre el

cual se está trabajando, se debe activar la opción en tipo físico como estructural.

Figura 68.Vinculación de atributos


90

Dentro de la asignación de material se encontrará acero estructural precargado, sin

embargo, si se desea crear un material, se debe ingresar a la opción crear nuevo. En

este caso se usará un material precargado del programa que presenta descripción

como concreto el cual tiene asignado todas las características que se ajustan al

presente manual.

Figura 69.Asignación y creación de materiales


Una vez seleccionado el material se carga a la geometría definida de manera gráfica

ANSYS muestra que el proceso ha culminado de forma satisfactoria.

Figura 70.Validación de materiales


91

A continuación, se definirán las condiciones de borde y se asignará la carga a la cual

se expondrá la placa.

Figura 71.Condiciones de borde o de contorno


En el recuadro azul se agrega el tipo de carga y las condiciones de borde como los

apoyos, en este caso se agregan apoyos fijos en los cuatro extremos de la placa.

Figura 72.Designación de apoyos


92

Como primera medida se agregará la carga puntual con una magnitud de 10kN en el

centro del elemento. Nuevamente usando la herramienta de seleccionar cara y

haciendo clic en el botón de mas (+) en localización, se agrega la cara en donde se

aplicará la fuerza.

Figura 73.Asignación de la carga


Se selecciona la opción de aplicar remotamente en el origen del punto

Figura 74.Punto de origen de la carga


93

Se indica la magnitud, en Newton, de la carga aplicada y se activa la opción de

dirección contraria debido a que inicialmente indica la dirección de la carga saliendo de

la superficie. De esta forma se define la carga aplicada y se debe volver al menú de

condiciones de frontera para indicar los apoyos de la carga.

Figura 75.Aceptación de la carga


Para agregar los apoyos se ingresa a condiciones de frontera y se selecciona la opción

de soporte, se deben agregar cada uno de los soportes necesarios.

Figura 76.Fijación de los apoyos

94


Para agregar los soportes, dentro de las opciones de la geometría se debe seleccionar

la herramienta mostrar vértices y para seleccionarlos se activa la opción seleccionar

borde, y en la opción de localización. Se deben seleccionar para cada uno de los

soportes una localización en el signo más (+), en este caso puntual en las cuatro

esquinas de la placa.

Figura 77.Apoyos de tercer grado; empotrados


Una vez ubicada la totalidad de soportes y carga que serán objeto de estudio, la tabla

de menú de condiciones de frontera muestra si están cargadas correctamente y el

ambiente grafico muestra el sentido y la posición de cada una de las características

agregadas.

95

Figura 78.Visualización de los apoyos


Una vez cargadas y aceptadas las condiciones de frontera se procede a revisar las

opciones de solución, el programa deberá mostrar todo con simbología verde y sin

mensajes de advertencia, así se sabrá que todos los datos hasta ahora definidos están

correctamente cargados.

Figura 79.Opciones de solución


96

Una vez cargados todos los datos de descripción física del modelo en estudio, se debe

volver al menú principal y hacer clic en el botón azul resolver física de esta forma el

programa revisa todas las condiciones y las carga al modelo propuesto.

Figura 80.Resolver Física


Una vez terminado el proceso de revisión ANSYS muestra cargado de forma

satisfactoria la tarea de atributos físicos del modelo.

Figura 81.Verificación de los parámetros físicas


97

Paso 5. Solución del proceso

Volviendo al menú principal, y como tarea final, se entrarán a evaluar los criterios más

relevantes del modelo estructural.

Figura 82.Evaluación estructural


Dentro del menú principal de resultado se encuentra precargados la magnitud de

desplazamientos y los esfuerzos equivalentes, sin embargo, es posible agregar más

análisis que se deseen. Para efectos del ejercicio se realizará el análisis de los dos

atributos anteriormente nombrados.

98

Figura 83.Evaluación estructural


ANSYS muestra gráficamente los esfuerzos que sufre la placa en los apoyos y en la

parte inferior del menú muestra las magnitudes de los mismos.

Figura 84.Esfuerzos equivalentes


99

De igual forma que para los esfuerzos, ANSYS genera una gráfica de zonas de

influencia de esfuerzos por colorimetría y en la parte inferior del menú los datos

máximos y mínimos obtenidos.

Figura 85.Esfuerzos equivalentes


7.2 MODELO B

7.2.1 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN SAP 2000

Para la modelación de la carga distribuida se repiten los pasos del 1 al 7 propuestos en

el numeral 7.1.1

Paso 8. Patrón de carga

La diferencia en modelación con el Modelo A, radica principalmente en la selección del

patrón de carga, que en este caso será una carga distribuida sobre el área de 10 kN/m2

en sentido gravitacional; y las propiedades del material se mantendrán. Se establece

de igual manera que con la carga puntual.

100

Figura 86. Patrón de carga distribuida, SAP 2000


Paso 9. Establecer la carga distribuida

De la misma manera debemos establecer la carga uniforme sobre el área de afectación

del elemento y su magnitud por metro cuadrado mediante “Barra de herramientas “>>

“Asignar” >> “Cargas de área” >> “Uniforme (Shell)”

Figura 87. Carga de área, uniforme Shell, SAP 2000


101

Figura 88. Configuración de la carga por área, SAP 2000


Para generar una mayor aproximación en la evaluación de la respuesta del elemento

frente a la carga, debemos subdividir el área en sub dominios de la misma forma que

el caso del modelo A.

Figura 89. Elementos finitos, carga distribuida, SAP 2000


102

Se genera el análisis del elemento bajo una carga distribuida en sentido gravitacional

(Dirección del eje z). Dicho análisis muestra que las deformaciones se distribuyen de

manera gradual y en comparación a la carga distribuida es de menor magnitud en el

centro de la placa.

Figura 90.Deformaciones debido a la carga distribuida, SAP 2000


Los esfuerzos son menores, dada la manera de distribución de la carga, donde la mayor

concentración se genera en los apoyos, dada la transmisión de los mimos.

Figura 91.Esfuerzos debido a la carga distribuida, SAP 2000


103

7.3 CARGA DISTRIBUIDA, MODELACIÓN EN ANSYS

Figura 92.Definición de carga Distribuida, ANSYS


Para ejecutar la modelación de la placa expuesta a una carga distribuida, se toman los

mismos pasos anterior mente descritos para definir la geometría y el mallado, los

cambios se presentan a partir de las condiciones de borde, en donde se selecciona la

opción de presión y dentro del menú emergente se introducen los datos con los cuales

se realiza el proceso de modelación.

Figura 93.Condiciones de borde, carga Distribuida, ANSYS

104


Posteriormente se define el generador de interfase:

Tipo de interfase: contacto

Especificación de tolerancia: Automática

Creación de comportamiento de contacto: uno compartido a todos los

contactos. Figura 94.Opciones de solución, ANSYS


En las opciones de solución de revisa que todos los ítems estén correctamente

cargados y aprobados por el programa.

105

Figura 95 .Atributos físicos, ANSYS


Posterior a cargar todos los datos asociados a los atributos físicos de hace clic sobre

el botón azul solución física, con el fin de que queden cargados estos datos en el

modelo definido. Si hay inconsistencia, ANSYS no permitirá avanzar y en la parte

inferior de la pantalla aparecen los errores y alertas que se deben corregir.

Para finalizar el proceso de simulación, de elije la opción de resultados y ahí se

indican los análisis que se desean obtener. A continuación, se muestra el análisis

realizado por el programa para las fuerzas de reacción.

Figura 96 .Fuerzas de reacción, ANSYS

106


El diagrama anterior muestra las reacciones en los apoyos que produce la carga

distribuida sobre el elemento en estudio.

Figura 97 .Reacción en los apoyos, ANSYS


Adicionalmente se muestran los diagramas de esfuerzos equivalentes y magnitud

de desplazamiento.

107

Figura 98 .Esfuerzos equivalentes, ANSYS


Para evidenciar los esfuerzos equivalentes producidos por la carga aplicada se debe

cargar el volumen de la geometría definida y posteriormente de hace clic sobre el

botón de evaluar.

Figura 99 .Esfuerzos en los apoyos, ANSYS


El diagrama muestra como resultado el esfuerzo que sufren los apoyos. Finalmente

se muestra el análisis de magnitud de desplazamientos haciendo clic sobre el botón

de evaluar.

108

Figura 100 .Deformación de elemento, ANSYS


ANSYS arroja el diagrama de deformaciones por colorimetría sobre el elemento en

estudio y de esta forma concluye el análisis del comportamiento estructural del

elemento placa expuesta a una carga distribuida.

109

8 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Las modelaciones se realizarón bajo el principio de análisis estático lineal, es decir en

el campo elástico de los materiales involucrados del elemento en cuestión. Dado la

evaluación de la placa de concreto de 3000 Psi con dimensiones de 2,5m x 2,5 m, de

espesor de 10 cm, se observó que el análisis estructural en cuanto a deformaciones,

esfuerzos, reacciones y otras solicitaciones varían en su aproximación; esto debido a

los datos de entrada de ingeniería, definición de factores aplicados a materiales usados

con respecto a otros modeladores, en este caso ANSYS 17.0 y SAP 2000, debido a la

manera de interacción de los elementos finitos en cada uno.

En el análisis del modelo A (bajo una carga puntal en la cara superior del elemento de

10kN) mediante SAP 2000 se necesitó la creación de sub áreas del elemento, anotando

que este se comportó como elemento Shell Thin, lo que indica una relación menor del

5 % entre el espesor y la longitud del mismo, por lo que no se hace necesario el análisis

de la deformación por cortante, solo es imperante la generada por la flexión. La

respuesta del elemento está relacionada con la cantidad de sub divisiones de área

realizadas, lo que indica que, a mayor cantidad de elementos finitos generados

manualmente, mayor será la respuesta estructural (figura 47). La mayor deformación

registrada en el punto de acción de la carga fue de 0,00097m en dirección gravitacional.

En el análisis del modelo A bajo el ambiente de ANSYS no fue necesaria la creación

de sub estructuras debido a que en la generación del mallado la geometría propuesta

se subdividió en áreas pequeñas separadas por nodos ordenados para obtener la

mayor aproximación en los resultados de los datos, se indicarón varias densidades de

mallado de manera manual en un rango de desde 5 cm hasta 80cm sobre la superficie

(Figura 63), debido a estos atributos cargados a la geometría se obtuvo una

deformación máxima en el punto de aplicación de la carga de 0.00057 m.

En el modelo B, cuando se incorpora una carga distribuida de 10kN/m2 sobre el

elemento de estudio bajo el análisis efectuado por SAP 2000 a diferencia del primer

modelo la repartición de esfuerzos sobre el área de contacto es más eficiente,

generándose principalmente los menores valores en el centro del elemento, debido a

la trasmisión de los mismos entre los elementos finitos, los mayores registrados en los

apoyos de tercer grado (en un rango de 1.02 a 1.19kN/m2). Dado lo anterior se verifico

que las deformaciones son graduales y que se distribuyen en un rango de 0.0021m a

0,0037m (mayores valores en el centro del elemento) como se muestra en la figura 91

De manera similar el comportamiento en ANSYS 17.0 de la carga distribuida presenta

disminución en los resultados de magnitud de desplazamiento, siendo: 0.0025m y

0.0035m respectivamente.

110

A continuación, se presenta los datos más representativos que son resultado del

análisis comparativo de los dos programas utilizados en los modelos propuestos

Tabla 3. Comparativo de análisis

Fuente: Propia

Se realizó una evaluación de la convergencia con base a la aproximación de la

deformación máxima que sufre el elemento placa bajo las dos cargas propuestas con

respecto a la solución próxima o exacta de la misma. La comparación de la

convergencia se estimó respecto al espaciamiento del mallado utilizado en ANSYS y

SAP 2000, el cual involucra indirectamente el error asociado, A continuación, se

presenta lo anterior.

𝑤 =0,056𝑃𝐿2

𝐷

Donde D es la matriz constitutiva para materiales isotrópicos que relaciona los

esfuerzos y deformaciones

𝐷 =(21538𝑀𝑃𝑎 𝑥 103)(0,10𝑚)3

[12 (1−0,32)]= 1972,34𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑤 =0,056𝑃𝐿2

𝐷= 0,056

(10𝑘𝑁)(2.50 𝑚)2

1972,34𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝒘 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟕𝟕𝟒𝒎(𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)

La ilustracion 12 muestra la convergencia o aproximacion de la deformacion máxima

del elemento bajo una carga puntual de 10kN, variando el mallado inicialmente de

0.80m hasta llegar a un valor de 0.05 m (Recordando el mallado de geometria

cuadrada), lo que ocasiona que para el primer caso la deformacion maxima alcanza un

valor de 0.0004m hasta un valor 0.00057m donde el mallado es mas denso en ANSYS,

en comparacion con SAP 2000 para los mismos rangos de densidad de mallado las

magnitudes son 0,00078m y 0,00097m respectivamente. Ahora, la convergencia con

respecto a la ecuacion teorica de la deformacion máxima que tiene una magnitud de

0,001774m.

ANSYS SAP 2000 ANSYS SAP 2000

(m) (m) (m) (m) (m)

0,05 0,00350 0,00371 0,00057 0,00097

0,1 0,00310 0,00331 0,00050 0,00095

0,2 0,00280 0,00305 0,00046 0,00089

0,4 0,00260 0,00278 0,00043 0,00084

0,8 0,00250 0,00215 0,00040 0,00078

Espaciamiento del mallado DISTRIBUIDA

Desplazamiento Máximo

PUNTUAL

111

Ilustración 12. Convergencia de la carga Puntual

Fuente: Propia

La ilustración 13, indica la convergencia anteriormente descrita, pero en este caso bajo

la accion de una carga distribuida de 10 kN/m2, con el mismo intervalo de

espaciamiento del mallado, en el cual se observa una deformacion maxima 0.0025m

con el mayor espaciamiento y de 0.0035m en el menor en la modelacion de ANSYS,

de manera paralela en la simulacion de SAP 2000 respectivamente son 0,00215m y

0,00371m. Para el caso de la carga distribuida la convergencia no se realiza con base

a la evalucion teórica dado que está definida bajo un análisis matemático de mayor

complejidad (ecuaciones diferenciales de grado superior); el análisis por este metodo

no hace parte del objeto del presente estudio.

Ilustración 13. Convergencia de la carga distribuida

Fuente: Propia

112

9 CONCLUSIONES

De la misma manera que el modelador de ANSYS, es necesario generar elementos

finitos en el elemento placa para un mejor análisis estructural en SAP 2000. La

diferencia radica principalmente que el primer modelador incorpora un mallado, ya sea

creado sobre la misma interfase o importado, mientras el segundo solicita la creación

de sub dominios sobre el elemento de mayor similitud a la modelación; es decir un

elemento tipo Shell, Plate o membrana. Mediante SAP 2000 se alcanzó una

deformación máxima debida a la flexión 0.00097m causada por la carga puntual, y de

0.00371m por la distribuida bajo el análisis de un mallado denso con espaciamiento de

0,05m.

La finalidad del mallado es Discretizar el elemento en cuestión partiendo de las

funciones de forma seleccionadas que describen el comportamiento de las

deformaciones, esfuerzos y reacciones en el contorno de cada elemento finito. Los sub

dominios consisten en fraccionar o dividir la placa original en finitas placas con las

mismas propiedades. Se observó que a medida que se genera una mayor cantidad de

elementos finitos en SAP, el análisis de las solicitaciones es de mayor precisión y la

deformación del elemento se evidencia mejor. La malla utilizada en el análisis del

elemento mediante ANSYS fue elemental y reticular, dada la forma regular la placa y la

simplicidad de la misma, fue necesario la implementación de una malla de más de 400

elementos finitos, para generar una mayor aproximación en el análisis estructural, y de

tal manera tras un espaciamiento de 5 cm en el mallado la deformación máxima alcanzo

un valor de 0.00057m y de 0.0035m para la carga puntual y distribuida respectivamente.

Cuando se evalúa en ANSYS, se evidencia que la interfase de este es mucho más

estructurada y secuencial, lo que condiciona al usuario a realizar un análisis más

completo del elemento, en cuanto a sus propiedades geométricas, condiciones de

mallado, condiciones físicas y datos de ingeniería. Debido a que ANSYS en su versión

17.0 está definido en un ambiente puramente gráfico, cargar los datos geométricos,

condiciones de borde y aplicación de carga se convierte en un proceso repetitivo, con

un grado de dificultad menor al que se puede presentar en comparación con SAP 2000

Gracias al análisis de datos, es válido concluir que, en comparación al modelo de carga

puntual, la carga distribuida sobre el objeto en estudio presenta menos deformación,

esto debido a la naturaleza de la carga, ya que se presenta de manera uniforme sobre

la totalidad del área de la placa. Debido a que el objeto en estudio es una superficie

que no presenta pliegues ni curvaturas que ocasionen discontinuidad brusca en la

geometría del elemento, fue de gran utilidad las mallas predefinidas por ANSYS, sin

embargo, es de aclarar que, en caso de hacer uso de una geometría compuesta por

distintas figuras, cada objeto se debe distinguir de la totalidad y aplicar un mallado de

113

acuerdo a la naturaleza misma de la figura y a la precisión de los datos que se quieran

obtener.

Se concluye que, en comparación con la ecuación teórica de la deformación máxima

de la placa, en condiciones de carga puntual, se genera un porcentaje de error

equivalente al 54.68% comparado con la magnitud máxima calculada por ANSYS

equivalente a 0.00097m la cual en la curva de convergencia es la más próxima al

modelo teórico. De lo anterior se infiere que, para alcanzar la solución exacta teórica,

se debe generar un mallado con mayor grado de densidad, es decir un menor espaciado

entre nodos.

114

10 RECOMENDACIONES

La aproximación de la convergencia del mallado con respecto a la solución exacta de

la deformación que sufre el elemento está relacionada directamente con el

espaciamiento de la misma, por consiguiente, es necesario establecer adecuadamente

la geometría y los parámetros físicos del elemento de estudio; propiedades como el

módulo elástico, coeficiente de Poisson, Coeficiente térmico y otros que influyen en el

comportamiento del elemento.

Aunque se brinde una guía paso a paso de la modelación mediante SAP 2000 y ANSYS

17.0 el evaluador o persona interesada en tomar esta guía para futuras modelaciones

y/o comparaciones de cualquier elemento en cuestión debe tener una idea clara de las

posibles respuestas que sufrirá este bajo solicitaciones externas en cuanto a

deformaciones, esfuerzos, reacciones, transferencia de calor y otros resultados que

brinda el programa. El usuario puede utilizar la importación de archivos CAD tanto de

la geometría, como de mallados predefinidos que facilitaran el análisis estructural de

los elementos.

Es necesario definir una geometría y su volumen para iniciar con el análisis dentro del

ambiente de ANSYS, esto debido a que la interfase trabaja solo con objetos

tridimensionales y sobre ese criterio arrojará los cálculos deseados. Definir las

condiciones de borde sobre un elemento como la placa se convierte, dentro del

ambiente grafico de ANSYS, en un problema meramente gráfico, ya que solo es

necesario tener claridad sobre la dirección de la carga aplicada y localizar los tipos de

apoyo que se desean de manera gráfica.

Se recomienda, si se desea ahondar más sobre el presente trabajo, realizar un modelo

a escala que simule las condiciones teóricas aportadas, con el fin de calibrar los

métodos computacionales, teóricos y experimentales para lograr un cálculo asertivo en

el ejercicio profesional.

115

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