Model Survival.pdf

Model Survival

Tuti Sariningsih BU // Darma Ekawati

S2 Matematika FMIPA UGM

January 3, 2014

Tuti Sariningsih BU // Darma Ekawati (S2 Matematika FMIPA UGM)Model Survival January 3, 2014 1 / 31

Outline

1 Pendahuluan

2 Peluang MeninggalFungsi SurvivalSisa Usia Seseorang Berusia xSisa Usia Diskrit (Curtate Future Lifetime)Percepatan Kematian (Force of Mortality)

3 Tabel MortalitasHubungan antara Fungsi Survival dan Tabel Mortalita

4 The Deterministic Survivorship Group

5 Karakteristik Lain dari Tabel MortalitasKarakteristik Tabel MortalitasFormula Rekursif

6 Asumsi untuk Usia Pecahan

7 Hukum Mortalita

8 Tabel Seleksi dan Ultima

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabelrandom tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu pro-duk atau bahkan jiwa.Mengapa model survival diperlukan?Dalam asuransi jiwa, resiko yang mungkin timbul terutama terletak padaunsur waktu dan termasuk hal yang sulit untuk memprediksi kapankahseseorang akan meninggal dunia. Unsur waktu inilah yang sangat sulitdiperkirakan sehingga pada kasus seperti ini akan digunakan s(t) sebagaifungsi survivalnya.

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabelrandom tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu pro-duk atau bahkan jiwa.

Mengapa model survival diperlukan?Dalam asuransi jiwa, resiko yang mungkin timbul terutama terletak padaunsur waktu dan termasuk hal yang sulit untuk memprediksi kapankahseseorang akan meninggal dunia. Unsur waktu inilah yang sangat sulitdiperkirakan sehingga pada kasus seperti ini akan digunakan s(t) sebagaifungsi survivalnya.

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabelrandom tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu pro-duk atau bahkan jiwa.Mengapa model survival diperlukan?

Dalam asuransi jiwa, resiko yang mungkin timbul terutama terletak padaunsur waktu dan termasuk hal yang sulit untuk memprediksi kapankahseseorang akan meninggal dunia. Unsur waktu inilah yang sangat sulitdiperkirakan sehingga pada kasus seperti ini akan digunakan s(t) sebagaifungsi survivalnya.

Pendahuluan

Model survival merupakan suatu distribusi probabilitas untuk variabelrandom tertentu yang berkaitan dengan usia serta ketahanan suatu pro-duk atau bahkan jiwa.Mengapa model survival diperlukan?Dalam asuransi jiwa, resiko yang mungkin timbul terutama terletak padaunsur waktu dan termasuk hal yang sulit untuk memprediksi kapankahseseorang akan meninggal dunia. Unsur waktu inilah yang sangat sulitdiperkirakan sehingga pada kasus seperti ini akan digunakan s(t) sebagaifungsi survivalnya.

Peluang Meninggal Fungsi Survival

Fungsi Survival

Misalkan X merupakan suatu variabel random kontinu menyatakan sisausia hingga terjadi suatu kematian dari suatu kelahiran.FX(x) menyatakan fungsi distribusi dari X, yang menyatakan probabi-litas seseorang akan meninggal dunia sebelum mencapai usia x, maka:

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

Dan S(x) menyatakan probabilitas seseorang akan hidup sampai usia x, maka:

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Probabilitas seseorang meninggal diantara usia x dan z (x < z) adalah

Pr(x < X ≤ z) = FX(z)− FX(x) = s(x)− s(z)

Fungsi Survival

Misalkan X merupakan suatu variabel random kontinu menyatakan sisausia hingga terjadi suatu kematian dari suatu kelahiran.

FX(x) menyatakan fungsi distribusi dari X, yang menyatakan probabi-litas seseorang akan meninggal dunia sebelum mencapai usia x, maka:

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Fungsi Survival

FX(x) = Pr(X ≤ x) x ≥ 0

SX(x) = 1− FX(x) = Pr(X > x) x ≥ 0

Peluang Meninggal Sisa Usia Seseorang Berusia x

Sisa Usia Seseorang Berusia x

Probabilitas bersyarat untuk seorang bayi yang baru lahirmeninggal antara usia x dan z dengan syarat mencapai usia xtahun, adalah

Pr(x < X ≤ z|X > x) =FX(z)− FX(x)

1− FX(x)=

s(x)− s(z)s(x)

Simbol (x) menyatakan seseorang yang hidup berusia x. Sisa usia(x), X − x, dinyatakan dengan T (x).

Pr(x < X ≤ z|X > x) =FX(z)− FX(x)

1− FX(x)=

s(x)− s(z)s(x)

Pr(x < X ≤ z|X > x) =FX(z)− FX(x)

1− FX(x)=

s(x)− s(z)s(x)

Pr(x < X ≤ z|X > x) =FX(z)− FX(x)

1− FX(x)=

s(x)− s(z)s(x)

Pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan T (x):

tpx menyatakan probabilitas seseorang yang berusia (x) tahun akantetap hidup sampai dengan usia (x + t) tahun. tpx merupakanfungsi survival dari (x), dimana:tpx = Pr[T (x) ≥ t] , t ≥ 0tpx = s(x+t)

tqx menyatakan probabilitas seseorang yang berusia (x) tahun akanmeninggal sebelum usia (x + t) tahun, dimana:tqx = Pr[T (x) ≤ t] , t ≥ 0tqx = 1− tpx

tqx = s(x)−s(x+t)s(x) = FX(x+t)−FX(x)

1−FX(x)

t|uqx menyatakan probabilitas seseorang yang berusia (x) tahunakan tetap hidup sampai dengan usia (x + t) tahun, kemudian akanmeninggal diantara usia (x + t) dan (x + t + u) dimana:t|uqx = Pr[t < T (x) ≤ t + u]t|uqx = t+uqx − tqx

t|uqx = tpx uqx+t

Contoh:

Diketahui s(x) = e−x3

12 , x ≥ 0. Hitunglah 7|q13

Jawaban:

7|q13 = 7p13 q20

=s(20)s(13)

(1− s(21)

−580312 e

−706412

Contoh:Diketahui s(x) = e

Jawaban:

7|q13 = 7p13 q20

=s(20)s(13)

(1− s(21)

−580312 e

−706412

Jawaban:

7|q13 = 7p13 q20

=s(20)s(13)

(1− s(21)

−580312 e

−706412

Jawaban:

7|q13 = 7p13 q20

=s(20)s(13)

(1− s(21)

−580312 e

−706412

Peluang Meninggal Sisa Usia Diskrit (Curtate Future Lifetime)

Sisa Usia Diskrit (Curtate Future Lifetime)

Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia (x)dinyatakan dengan K(x).Fungsi probabilitas untuk K(x) adalah:Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T (x) < k + 1] = Pr[k < T (x) ≤ k + 1]Pr[K(x) = k] = kpx − k+1px = kpx qx+k = k|qx , k = 0, 1, 2, . . .

Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia (x)dinyatakan dengan K(x).

Fungsi probabilitas untuk K(x) adalah:Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T (x) < k + 1] = Pr[k < T (x) ≤ k + 1]Pr[K(x) = k] = kpx − k+1px = kpx qx+k = k|qx , k = 0, 1, 2, . . .

Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia (x)dinyatakan dengan K(x).Fungsi probabilitas untuk K(x) adalah:

Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T (x) < k + 1] = Pr[k < T (x) ≤ k + 1]Pr[K(x) = k] = kpx − k+1px = kpx qx+k = k|qx , k = 0, 1, 2, . . .

Curtate Future Lifetime atau sisa usia diskrit seseorang yang berusia (x)dinyatakan dengan K(x).Fungsi probabilitas untuk K(x) adalah:Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T (x) < k + 1] = Pr[k < T (x) ≤ k + 1]Pr[K(x) = k] = kpx − k+1px = kpx qx+k = k|qx , k = 0, 1, 2, . . .

Peluang Meninggal Percepatan Kematian (Force of Mortality)

Percepatan Kematian (Force of Mortality)

Percepatan kematian dinotasikan sebagai berikut:

µ(x) =f(x)s(x)

Atau dapat dituliskan:

µ(x) =−s′(x)s(x)

µ(x) =f(x)s(x)

µ(x) =−s′(x)s(x)

µ(x) =f(x)s(x)

µ(x) =−s′(x)s(x)

µ(x) =f(x)s(x)

µ(x) =−s′(x)s(x)

Hubungan antara percepatan kematian dan fungsi survival adalah:

s(x) = e−

µ(y)dy

npx = e−

µ(y)dy= e

−nR0

µ(x+y)dy

DanfT (x)(t) = tpx µ(x + t)

s(x) = e−

µ(y)dy

npx = e−

µ(y)dy= e

−nR0

µ(x+y)dy

s(x) = e−

µ(y)dy

npx = e−

µ(y)dy= e

−nR0

µ(x+y)dy

s(x) = e−

µ(y)dy

npx = e−

µ(y)dy= e

−nR0

µ(x+y)dy

Contoh:

Hitunglah 4|14q50 jika diberikan nilai percepatan kematian sebagai berikut:

µ(x) ={

0, 05 ; 50 ≤ x < 600, 04 ; 60 ≤ x < 70

Jawaban:

4|14q50 = 4p50 14q54

= 4p50 (1− 14p54)

= e−

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy

−4R0

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy−14R6

µ(54+y)dy

= e−0,2

(1− e−0,62

)= 0, 38

Contoh:Hitunglah 4|14q50 jika diberikan nilai percepatan kematian sebagai berikut:

µ(x) ={

0, 05 ; 50 ≤ x < 600, 04 ; 60 ≤ x < 70

Jawaban:

4|14q50 = 4p50 14q54

= 4p50 (1− 14p54)

= e−

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy

−4R0

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy−14R6

µ(54+y)dy

= e−0,2

(1− e−0,62

)= 0, 38

µ(x) ={

0, 05 ; 50 ≤ x < 600, 04 ; 60 ≤ x < 70

Jawaban:

4|14q50 = 4p50 14q54

= 4p50 (1− 14p54)

= e−

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy

−4R0

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy−14R6

µ(54+y)dy

= e−0,2

(1− e−0,62

)= 0, 38

µ(x) ={

0, 05 ; 50 ≤ x < 600, 04 ; 60 ≤ x < 70

Jawaban:

4|14q50 = 4p50 14q54

= 4p50 (1− 14p54)

= e−

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy

−4R0

µ(50+y)dy

1− e−

µ(54+y)dy−14R6

µ(54+y)dy

= e−0,2

(1− e−0,62

)= 0, 38

Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas adalah adalah tabel yang menggambarkan (memuat)kemungkinan (probabilitas) kehidupan dan kematian dari kelompok orangdalam jangka waktu tertentuJika lx menyatakan banyaknya orang yang berumur x tahun dan dx

menyatakan banyaknya orang yang berumur x tahun yang meninggalsebelum mencapai usia (x + 1) tahun, maka:

dx = lx − lx+1

Tabel Mortalitas

Tabel mortalitas adalah adalah tabel yang menggambarkan (memuat)kemungkinan (probabilitas) kehidupan dan kematian dari kelompok orangdalam jangka waktu tertentu

Jika lx menyatakan banyaknya orang yang berumur x tahun dan dx

dx = lx − lx+1

Tabel Mortalitas

dx = lx − lx+1

Tabel Mortalitas

dx = lx − lx+1

Tabel MortalitasHubungan antara Fungsi Survival dan Tabel

Mortalita

Hubungan antara Fungsi Survival dan Tabel Mortalita

Hubungan antara fungsi survival dan tabel mortalita adalah

lx = l0 s(x)

Sehingga diperolah:

npx =lx+n

nqx = 1− lx+n

Mortalita

lx = l0 s(x)

Sehingga diperolah:

npx =lx+n

nqx = 1− lx+n

Mortalita

lx = l0 s(x)

Sehingga diperolah:

npx =lx+n

nqx = 1− lx+n

Mortalita

lx = l0 s(x)

Sehingga diperolah:

npx =lx+n

nqx = 1− lx+n

Mortalita

Contoh:Dengan menggunakan ILT. Hitunglah peluang seseorang berumur 20tahun akan hidup mencapai usia 100 tahun. Hitung juga peluang mening-gal sebelum mencapai usia 70 tahun

Jawaban:

80p20 = l100l20

= 400,4996.178,01 = 0, 0042

50q20 = 1− l70l20

= 1− 66.161,5496.178,01 = 0, 3121

Mortalita

Contoh:Dengan menggunakan ILT. Hitunglah peluang seseorang berumur 20tahun akan hidup mencapai usia 100 tahun. Hitung juga peluang mening-gal sebelum mencapai usia 70 tahunJawaban:

80p20 = l100l20

= 400,4996.178,01 = 0, 0042

50q20 = 1− l70l20

= 1− 66.161,5496.178,01 = 0, 3121

The Deterministic Survivorship Group

Related concepts of the mathematic of compound interest and of deterministic sur-vivorship group

Compound Interest Survivorship Group

A(t) is the size of fund at time t,time measured in years

lx is the size of group at age x, agemeasured in years

Effective annual rate of interest (in-crement)

Effective annual rate of mortality(decrement)

it = A(t+1)−A(t)A(t)

qx =lx−lx+1

Effective n−year rate of interest,starting at time t

Effective n−year rate of mortality,starting at age x

ni∗t = A(t+n)−A(t)A(t) nqx =

lx−lx+n

Force of interest at time t Force of mortality at age x

δt = 1A(t)

dA(t)dt

µ(x) = − 1lx

Karakteristik Lain dari Tabel Mortalitas Karakteristik Tabel Mortalitas

Karakteristik Tabel Mortalitas

Harapan hidup lengkap (complete-expectation-of-life)Harapan hidup lengkap adalah nilai harapan seumur hidup darivariabel random kontinu T (x), yaitu:

e̊x = E[T (x)] =

∞∫0

tpx dt

Dengan nilai variansi T (x) sebagai berikut:

V ar [T (x)] = 2

∞∫0

t tpx dt− e̊2x

Untuk yang berjangka n-tahun maka nilai harapan hidup lengkapnyaadalah

e̊x:n =

tpx dt

Harapan hidup lengkap (complete-expectation-of-life)

Harapan hidup lengkap adalah nilai harapan seumur hidup darivariabel random kontinu T (x), yaitu:

e̊x = E[T (x)] =

∞∫0

tpx dt

V ar [T (x)] = 2

∞∫0

t tpx dt− e̊2x

e̊x:n =

tpx dt

e̊x = E[T (x)] =

∞∫0

tpx dt

V ar [T (x)] = 2

∞∫0

t tpx dt− e̊2x

e̊x:n =

tpx dt

e̊x = E[T (x)] =

∞∫0

tpx dt

V ar [T (x)] = 2

∞∫0

t tpx dt− e̊2x

e̊x:n =

tpx dt

e̊x = E[T (x)] =

∞∫0

tpx dt

V ar [T (x)] = 2

∞∫0

t tpx dt− e̊2x

e̊x:n =

tpx dt

Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life)

Harapan hidup usia bulat adalah nilai harapan dari variabelrandom diskrit K(x)

ex = E[T (x)] =∞∑

Dengan nilai variansi K(x), sebagai berikut:

V ar [T (x)] =∞∑

(2k − 1) kpx − ex2

Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life)Harapan hidup usia bulat adalah nilai harapan dari variabelrandom diskrit K(x)

ex = E[T (x)] =∞∑

V ar [T (x)] =∞∑

(2k − 1) kpx − ex2

Harapan hidup usia bulat (curtate-expectation-of-life)Harapan hidup usia bulat adalah nilai harapan dari variabelrandom diskrit K(x)

ex = E[T (x)] =∞∑

V ar [T (x)] =∞∑

(2k − 1) kpx − ex2

Jumlah orang yang hidup diantara usia x sampai dengan x + ntahun:

lx+t dt

central-death-rate:

nmx =lx − lx+n

Jumlah orang yang hidup diantara usia x sampai dengan x + ntahun:

lx+t dt

central-death-rate:

nmx =lx − lx+n

Contoh:Diketahui s(x) = 1− (0, 01 x)2, 0 ≤ x ≤ 100Hitunglah harapan hidup (30) sampai dengan 50 tahun yang akan datang

Jawab:

e̊30:50 =50∫0

tp30 dt

=50∫0

s(30+t)s(30) dt

=50∫0

1−(0,01(30+t))2

1−0,32 dt

Contoh:Diketahui s(x) = 1− (0, 01 x)2, 0 ≤ x ≤ 100Hitunglah harapan hidup (30) sampai dengan 50 tahun yang akan datangJawab:

e̊30:50 =50∫0

tp30 dt

=50∫0

s(30+t)s(30) dt

=50∫0

1−(0,01(30+t))2

1−0,32 dt

Karakteristik Lain dari Tabel Mortalitas Formula Rekursif

Formula Rekursif

Backward Recursion Formula

u(x) = c(x) + d(x)u(x + 1)

u(x + 1) = − c(x)d(x)

d(x)u(x)

Formula Rekursif

u(x) = c(x) + d(x)u(x + 1)

u(x + 1) = − c(x)d(x)

d(x)u(x)

Formula Rekursif

Backward Recursion Formulas for ex and e̊x

Step ex e̊x

Basic equation ex =∞P

k=1kpx e̊x =

spx ds

Separation theoperation

ex = px +∞P

k=2tpx e̊x =

0 spx ds +R∞1 spx ds

Factor px andchange variabelin the operation

e = px + px ex+1 e̊x =R 1

0 spx ds + px e̊x+1

Recursion for-mula

u(x) = ex, u(x) = e̊x,

c(x) = px, c(x) =R 1

0 spx ds,d(x) = px d(x) = px

Starting value eω = u(ω) = 0 e̊ω = u(x) = 0

Formula Rekursif

Backward Recursion Formulas for ex and e̊x

Step ex e̊x

Basic equation ex =∞P

k=1kpx e̊x =

spx ds

Separation theoperation

ex = px +∞P

k=2tpx e̊x =

0 spx ds +R∞1 spx ds

Factor px andchange variabelin the operation

e = px + px ex+1 e̊x =R 1

0 spx ds + px e̊x+1

Recursion for-mula

u(x) = ex, u(x) = e̊x,

c(x) = px, c(x) =R 1

0 spx ds,d(x) = px d(x) = px

Starting value eω = u(ω) = 0 e̊ω = u(x) = 0

Asumsi untuk Usia Pecahan

Interpolasi Linier: s(x + t) = (1− t) s(x) + t · s(x + 1)Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD)sehingga tpx merupakan suatu fungsi linier.

Intepolasi Eksponensial:log s(x + t) = (1− t) log s(x) + t · log s(x + 1)Disebut juga asumsi percepatan konstan, sehingga tpx merupakaneksponensialInterpolasi Harmonik: 1

s(x+t) = (1−t)s(x) + t

s(x+1)Disebut juga asumsi hiperbolik atau distribusi Balducci karenakurva tpx berbentuk hiperbola

Interpolasi Linier: s(x + t) = (1− t) s(x) + t · s(x + 1)Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD)sehingga tpx merupakan suatu fungsi linier.Intepolasi Eksponensial:log s(x + t) = (1− t) log s(x) + t · log s(x + 1)Disebut juga asumsi percepatan konstan, sehingga tpx merupakaneksponensial

Interpolasi Harmonik: 1s(x+t) = (1−t)

s(x) + ts(x+1)

Disebut juga asumsi hiperbolik atau distribusi Balducci karenakurva tpx berbentuk hiperbola

Interpolasi Linier: s(x + t) = (1− t) s(x) + t · s(x + 1)Menggunakan asumsi distribusi kematian seragam (UDD)sehingga tpx merupakan suatu fungsi linier.Intepolasi Eksponensial:log s(x + t) = (1− t) log s(x) + t · log s(x + 1)Disebut juga asumsi percepatan konstan, sehingga tpx merupakaneksponensialInterpolasi Harmonik: 1

s(x+t) = (1−t)s(x) + t

s(x+1)Disebut juga asumsi hiperbolik atau distribusi Balducci karenakurva tpx berbentuk hiperbola

Tabel fungsi aktuaria untuk asumsi linier, eksponensial dan hiperbola:

FungsiAsumsi

Linier Eksponensial Hiperboliktqx t qx 1− (px)t t qx

1−(1−t)qx

µ(x + t) qx

1−t qx− log px

1−(1−t)qx

1−tqx+t(1−t) qx

1−t qx1− (px)1−t (1− t) qx

yqx+ty qx

1−t qx1− (px)y y qx

1−(1−y−t)qx

tpx 1− t qx pxt px

1−(1−t)qx

tpx µ(x + t) qx −(px)t log pxqxpx

[1−(1−t)qx]2

Tabel fungsi aktuaria untuk asumsi linier, eksponensial dan hiperbola:

FungsiAsumsi

Linier Eksponensial Hiperboliktqx t qx 1− (px)t t qx

1−(1−t)qx

µ(x + t) qx

1−t qx− log px

1−(1−t)qx

1−tqx+t(1−t) qx

1−t qx1− (px)1−t (1− t) qx

yqx+ty qx

1−t qx1− (px)y y qx

1−(1−y−t)qx

tpx 1− t qx pxt px

1−(1−t)qx

tpx µ(x + t) qx −(px)t log pxqxpx

[1−(1−t)qx]2

Contoh:

1−sqx+s = (1− s)qx, 0 ≤ s < 1 dan 13qx+ 1

2. Hitunglah qx

Jawab:1−sqx+s = (1− s)qx → AsumsiHiperbolik

Sehingga

13qx+ 1

1−(1− 13− 1

0, 03 =13qx

1− 16qx

qx = 0, 08866995

Contoh:

1−sqx+s = (1− s)qx, 0 ≤ s < 1 dan 13qx+ 1

2. Hitunglah qx

Jawab:1−sqx+s = (1− s)qx

→ AsumsiHiperbolik

Sehingga

13qx+ 1

1−(1− 13− 1

0, 03 =13qx

1− 16qx

qx = 0, 08866995

Contoh:

1−sqx+s = (1− s)qx, 0 ≤ s < 1 dan 13qx+ 1

2. Hitunglah qx

Sehingga

13qx+ 1

1−(1− 13− 1

0, 03 =13qx

1− 16qx

qx = 0, 08866995

Contoh:

1−sqx+s = (1− s)qx, 0 ≤ s < 1 dan 13qx+ 1

2. Hitunglah qx

Sehingga

13qx+ 1

1−(1− 13− 1

0, 03 =13qx

1− 16qx

qx = 0, 08866995

Hukum Mortalita

Beberapa hukum mortalita yang memuat fungsi survival dan percepatankematian beserta penemunya:

Penemu µx s(x) Batasan-batasan

De Moivre (1729) (ω − x)−1 1− xω

0 ≤ x < ω

Gomperts (1825) Bcx e(− B

log c(cx−1))

B > 0, c > 1, x ≥ 0

Makeham (1860) A + Bcx e(−Ax− B

log c(cx−1))

B > 0, A ≥ B, c > 1, x ≥ 0

Weibull (1939) kxn e(− kxn+1n+1 )

k > 0, n > 0, x ≥ 0

Hukum Mortalita

Beberapa hukum mortalita yang memuat fungsi survival dan percepatankematian beserta penemunya:

Penemu µx s(x) Batasan-batasan

De Moivre (1729) (ω − x)−1 1− xω

0 ≤ x < ω

Gomperts (1825) Bcx e(− B

log c(cx−1))

B > 0, c > 1, x ≥ 0

Makeham (1860) A + Bcx e(−Ax− B

log c(cx−1))

B > 0, A ≥ B, c > 1, x ≥ 0

Weibull (1939) kxn e(− kxn+1n+1 )

k > 0, n > 0, x ≥ 0

Hukum Mortalita

Contoh:Diketahui mortalita mengikuti hukum De Moivre. Apabila e̊20:20 = 18,tentukan nilai ω!

Jawab:

e̊20:20 =20∫0

tp20 dt

18 =20∫0

ω−20−tω−20 dt

18 = −(ω−20−t)2

2(ω−20)

18 = 12 [(ω − 20)− (ω−40)2

ω−20 ]ω = 120

Hukum Mortalita

Contoh:Diketahui mortalita mengikuti hukum De Moivre. Apabila e̊20:20 = 18,tentukan nilai ω!Jawab:

e̊20:20 =20∫0

tp20 dt

18 =20∫0

ω−20−tω−20 dt

18 = −(ω−20−t)2

2(ω−20)

18 = 12 [(ω − 20)− (ω−40)2

ω−20 ]ω = 120

Tabel Seleksi dan Ultima

Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianyang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksi

Tabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangkawaktu tertentuTabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksiTabel ultima adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianseseorang yang tidak dipengaruhi lagi oleh masa seleksi

Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianyang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksiTabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangkawaktu tertentu

Tabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksiTabel ultima adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianseseorang yang tidak dipengaruhi lagi oleh masa seleksi

Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianyang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksiTabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangkawaktu tertentuTabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksi

Tabel ultima adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianseseorang yang tidak dipengaruhi lagi oleh masa seleksi

Tabel seleksi adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianyang dipengaruhi oleh umur dan waktu seleksiTabel seleksi bertujuan untuk membatasi resiko pada jangkawaktu tertentuTabel seleksi menentukan lamanya pengaruh masa seleksiTabel ultima adalah tabel yang menunjukkan tingkat kematianseseorang yang tidak dipengaruhi lagi oleh masa seleksi

Berikut disajikan tabel seleksi ultima dari Permanent Assurances, Fe-male, 1979-82 dengan periode seleksi 2 tahun:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

[x] 10−6q[x] 10−6q[x]+1 10−6q[x]+2 l[x] l[x]+1 lx+2 x + 2

30 222 330 422 9906, 7380 9904, 7380 9901, 2702 32

31 234 352 459 9902, 8941 9900, 5769 9897, 0919 33

30 250 377 500 9898, 7547 9896, 2800 9892, 5491 34

30 269 407 545 9894, 2903 9891, 6287 9887, 6028 35

30 291 441 596 9889, 4519 9886, 5741 9882, 2141 36

Berikut disajikan tabel seleksi ultima dari Permanent Assurances, Fe-male, 1979-82 dengan periode seleksi 2 tahun:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

[x] 10−6q[x] 10−6q[x]+1 10−6q[x]+2 l[x] l[x]+1 lx+2 x + 2

30 222 330 422 9906, 7380 9904, 7380 9901, 2702 32

31 234 352 459 9902, 8941 9900, 5769 9897, 0919 33

30 250 377 500 9898, 7547 9896, 2800 9892, 5491 34

30 269 407 545 9894, 2903 9891, 6287 9887, 6028 35

30 291 441 596 9889, 4519 9886, 5741 9882, 2141 36

Berdasarkan tabel tersebut misalkan diambil peluang kematian seseo-rang yang berusia 32 tahun, baik yang baru terseleksi, terseleksi 1 tahunyang lalu ataupun yang peride seleksinya sudah tidak terpengaruh. Dariketiga peluang tersebut di peroleh hubungan

q[32] = 0, 000250 < q[31]+1 = 0, 000352 < q32 = 0, 000422

Berdasarkan tabel tersebut misalkan diambil peluang kematian seseo-rang yang berusia 32 tahun, baik yang baru terseleksi, terseleksi 1 tahunyang lalu ataupun yang peride seleksinya sudah tidak terpengaruh. Dariketiga peluang tersebut di peroleh hubungan

q[32] = 0, 000250 < q[31]+1 = 0, 000352 < q32 = 0, 000422

Contoh:Gunakan tabel seleksi dan ultima di atas untuk menghitung 2p[30], 5p[30]

dan 1|q[31]

Jawab:

2p[30] =l[30]+2

l[30]=

9901, 27029906, 7380

= 0, 9945

5p[30] =l[30]+5

l[30]=

9887, 60289906, 7380

= 0, 99807

1|q[31] =l[31]+1 − l33

l[31]=

9900, 5769− 9897, 09199902, 8941

= 0, 00035

dan 1|q[31]

Jawab:

2p[30] =l[30]+2

l[30]=

9901, 27029906, 7380

= 0, 9945

5p[30] =l[30]+5

l[30]=

9887, 60289906, 7380

= 0, 99807

1|q[31] =l[31]+1 − l33

l[31]=

9900, 5769− 9897, 09199902, 8941

= 0, 00035

dan 1|q[31]

Jawab:

2p[30] =l[30]+2

l[30]=

9901, 27029906, 7380

= 0, 9945

5p[30] =l[30]+5

l[30]=

9887, 60289906, 7380

= 0, 99807

1|q[31] =l[31]+1 − l33

l[31]=

9900, 5769− 9897, 09199902, 8941

= 0, 00035

dan 1|q[31]

Jawab:

2p[30] =l[30]+2

l[30]=

9901, 27029906, 7380

= 0, 9945

5p[30] =l[30]+5

l[30]=

9887, 60289906, 7380

= 0, 99807

1|q[31] =l[31]+1 − l33

l[31]=

9900, 5769− 9897, 09199902, 8941

= 0, 00035

Model Survival.pdf

Documents

Transcript of Model Survival.pdf