MODEL PREDATOR PREY LESLIE-GOWER DENGAN ...asuryanto.lecture.ub.ac.id/files/2019/06/Rima.pdfJudul...
Transcript of MODEL PREDATOR PREY LESLIE-GOWER DENGAN ...asuryanto.lecture.ub.ac.id/files/2019/06/Rima.pdfJudul...
MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR
DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS
TESIS
Oleh
RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA BIDANG MINAT MATEMATIKA BIOLOGI
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG
2018
i
MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR
DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS
TESIS
Untuk Memenuhi Persyaratan Memperoleh Gelar Magister dalam Bidang Matematika
Oleh
RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA BIDANG MINAT MATEMATIKA BIOLOGI
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG
2018
ii
TESIS
MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR
DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS
Oleh:
RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010
Telah dipertahankan di depan Komisi Penguji pada tanggal 27 Juli 2018 dan dinyatakan LULUS
Menyetujui, Komisi Pembimbing
Ketua
Anggota
Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc NIP. 196908071994121001
Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. NIP. 196309261989032001
Mengetahui: Ketua Program Studi Magister Matematika
Dr. Noor Hidayat, M.Si. NIP. 196112041988021001
iii
IDENTITAS TIM PENGUJI
Judul Tesis :
MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN
TINGKATAN USIA PADA PREDATOR DAN FUNGSI
RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS
Nama : RIMA ANISSA PRATIWI
NIM : 166090400111010
Program Studi : Magister Matematika
Bidang Minat : MATEMATIKA BIOLOGI
KOMISI PEMBIMBING
Ketua : Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc.
Anggota : Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D.
TIM DOSEN PENGUJI
Dosen Penguji 1 : Dr. Isnani Darti, M.Si.
Dosen Penguji 2 : Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D.
Tanggal Ujian : 27 Juli 2018
SK. Penguji :
iv
PERNYATAAN ORISINALITAS
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa sepanjang
pengetahuan saya, di dalam naskah tesis ini tidak terdapat karya ilmiah yang
pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik di suatu
perguruan tinggi dan tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau
diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini
dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka.
Apabila ternyata di dalam naskah tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-
unsur jiplakan, saya bersedia diproses sesuai dengan peraturan perundang-
undangan yang berlaku dan tesis dibatalkan.
Malang, 25 Juli 2018
MATERAI 6000
Rima Anissa Pratiwi NIM. 166090400111010
v
RIWAYAT HIDUP
Penulis, Rima Anissa Pratiwi lahir di Yogyakarta, pada tanggal 29 April 1993.
Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Gijanto dan
Ratna Kartina Yulianingsih. Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-
kanak (TK) di TK Pertiwi XIII Irian Jaya pada tahun 1999 dan menyelesaikan
pendidikan sekolah dasar di Madrasah Ibtidayah Jendral Sudirman di Kota Malang
Jawa Timur pada tahun 2005. Tahun 2008 penulis lulus dari Madrasah
Tsanawiyah Negeri 1 Malang Jawa Timur. Tahun 2011 lulus dari Sekolah
Menegah Atas Negeri 8 Malang, Jawa Timur. Penulis menyelesaikan pendidikan
tingkat sarjana (S1) di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Negeri Malang pada tahun 2015. Pada
tahun 2016 penulis melanjutkan pendidikan tingkat Magister ( S2) pada Program
Studi Magister Matematika Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas
Brawijaya.
vi
RINGKASAN
RIMA ANISSA PRATIWI, Program Studi Magister Matematika Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Brawijaya, 2 Juli 2018. Model Predator-Prey Leslie-Gower dengan Tingkatan Usia pada Predator dan Fungsi Respon Beddington-DeAngelis. Ketua Komisi Pembimbing: Prof. Dr. Agus Suryanto, M. Sc., Anggota: Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. Dalam tesis ini dibahas tentang model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington-DeAngelis. Analisis dinamik yang dilakukan dalam tesis ini meliputi penentuan titik kesetimbangan, kondisi eksistensi tiap titik kesetimbangan, kestabilan lokal tiap titik kesetimbangan, dan kemungkinan terjadinya bifurkasi Hopf di titik kesetimbangan interior. Berdasarkan hasil analisis, diperoleh empat titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan trivial, titik kesetimbangan bebas predator, titik kesetimbangan kelangsungan hidup predator, dan titik kesetimbangan interior. Titik kesetimbangan trivial dan titik kesetimbangan bebas predator selalu eksis, sedangkan titik kesetimbangan kelangsungan hidup predator dan titik kesetimbangan interior eksis dengan syarat tertentu. Titik kesetimbangan trivial selalu bersifat tidak stabil, sedangkan ketiga titik kesetimbangan yang lainnya bersifat stabil asimtotik dengan syarat tertentu. Bifurkasi Hopf terjadi di sekitar titik kesetimbangan interior. Simulasi numerik yang dihasilkan menunjukkan kesesuaian dengan hasil yang diperoleh dari analisis.
vii
SUMMARY
RIMA ANISSA PRATIWI, Master Mathematics Study Program Mathematics Department Faculty of Natural Sciences University of Brawijaya, 2 Juli 2018. Leslie-Gower Predator-Prey Model with Stage Structure on Predator and Beddington-DeAngelis Functional Response. Supervisor: Prof. Dr. Agus Suryanto, M. Sc., Co-Supervisor: Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. In this thesis, predator-prey Leslie-Gower model with stage structure on predator
and Beddington-DeAngelis functional response is studied. The dynamical analysis
involves determining the equilibrium point, the existency conditions of each
equilibrium point, the local stability of each equilibrium point, and the possibility of
a Hopf bifurcation at the interior equilibrium point. Based on analysis result, there
are four equilibrium points, namely the trivial equilibrium point, the predator-free
equilibrium point, the survival of predator equilibrium point, and the interior
equilibrium point. The trivial equilibrium point and the predator-free equilibrium
point always exist, while the equilibrium point of predator survival and the
equilibrium point of the interior exist under certain conditions. The trivial equilibrium
point is always unstable, while the other three equilibrium points are asymptotically
stable with certain conditions. Hopf bifurcation takes place around the interior
equilibrium point. The results of numerical simulation support the results obtained
from the analysis.
viii
KATA PENGANTAR
Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT karena hidayah dan
mukjizat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul “Model
Predator-Prey Leslie-Gower dengan Tingkatan Usia pada Predator dan
Fungsi Respon Beddington-Deangelis” sebagai salah satu syarat untuk
melakukan penelitian tesis dalam bidang Matematika. Sholawat dan salam
semoga senantiasa tercurah pada junjungan kita Nabi Muhammad SAW.
Keberhasilan penulis dalam menyelesaikan tesis ini tidak lepas dari
kerjasama dan dukungan dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Rektor Universitas Brawijaya, Prof. Dr. Ir. Nuhfil Hanani A.R., MS.
2. Dekan FMIPA Universitas Brawijaya, Drs. Adi Susilo, M.Si., Ph.D.
3. Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc. selaku Ketua Komisi Pembimbing
dan Ibu Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. selaku Anggota Komisi Pembimbing
atas waktu, saran, kesabaran, dan motivasi yang diberikan kepada penulis
sehingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik.
4. Ibu Dr. Isnani Darti, M. Si. selaku dosen penguji I dan Ibu Nur Shofianah, S.Si.,
M.Si., Ph.D selaku dosen penguji II yang telah memberikan kritik dan saran
selama pengerjaan dan penyusunan tesis ini.
5. Bapak Dr. Noor Hidayat, M.Si., selaku Ketua program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Brawijaya.
6. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang
telah memberikan ilmu kepada penulis, serta seluruh staf dan karyawan TU
Jurusan Matematika atas segala bantuannya.
ix
7. Kedua orang tuaku, Ibu Ratna Kartina Yulianingsih dan Bapak Gijanto serta
kakakku Adrianti Aga Prastiwi yang selalu memberikan dukungan, semangat,
dan doa yang tiada henti kepada penulis sampai tahap ini.
8. Sahabat-sahabat terbaikku, Antika, Anggi, Heni, Denira, yang selalu menjadi
penyemangat penulis, serta keluarga besar S2 Matematika Universitas
Brawijaya: Mbak Zulaikha, Mas Rio, Mbak Intan, Mbak Badria, Mbak Tyas,
Firman, Azizah, Bhidara, Lina, Fika atas kerjasama, dukungan, doa,
kebersamaan, dan semangat yang diberikan kepada penulis selama ini.
9. Teman-teman departemen Jodoh FKMP, Vela, Mbak Ika, Mbak Mirni, Mbak
Rita, Mas Eza, Mas Pam, Suhe, Mas Rizky, Mas Willy atas semangat yang
diberikan kepada penulis sehingga penulis tidak menyerah dalam pengerjaan
thesis ini.
10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu yang telah
membantu dalam menyelesaikan thesis ini.
Penulis menyadari bahwa thesis ini jauh dari kata sempurna. Oleh karena
itu kritik dan saran senantiasa penulis harapkan demi kesempurnaan thesis ini.
Akhir kata semoga karya ini dapat berguna dan bermanfaat bagi semua
pihak untuk pengembangan ilmu pengetahuan di bidang Matematika. Penulis
mohon maaf sebesar-besarnya jika dalam proses pembuatan thesis ini penulis
melakukan kesalahan baik disengaja maupun tidak disengaja.
Malang, 25 Juli 2018
Rima Anissa Pratiwi NIM. 166090400111010
x
DAFTAR ISI Hal. HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii HALAMAN IDENTITAS TIM PENGUJI iii PERNYATAAN ORISINALITAS iv RIWAYAT HIDUP PENULIS v RINGKASAN vi SUMMARY vii KATA PENGANTAR viii DAFTAR ISI x DAFTAR TABEL xii DAFTAR GAMBAR xiii BAB I PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Rumusan Masalah 4 1.3. Tujuan Penelitian 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 2.1. Persamaan Diferensial 6 2.2. Persamaan Diferensial Biasa 6 2.3. Sistem Persamaan Diferensial 7 2.4. Sistem Dinamik 8 2.5. Sistem Otonomus 8 2.6. Titik Kesetimbangan 9 2.7. Kestabilan Titik Kesetimbangan 9 2.8. Sistem Otonomus Linear 10 2.9. Kriteria Routh-Hurwitz 11 2.10. Sistem Otonomus Nonlinear 12 2.11. Bifurkasi Hopf 14 2.12. Model Pertumbuhan Populasi 16 2.13. Model Populasi Predator-Prey Lotka-Volterra 17 2.14. Model Populasi Predator-Prey Leslie-Gower 18 2.15. Fungsi Respon 20 2.16. Model Predator-Prey dengan Tingkatan Usia
pada Predator 21
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 24 3.1. Konstruksi Model Predator-Prey Leslie-Gower
dengan Tingkatan Usia pada Predator dengan Fungsi Respon Beddington-DeAngelis
24 3.2. Titik Kesetimbangan Model 26 3.3. Analisis Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan 29 3.3.1. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸0 30
3.3.2. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸1 30 3.3.3. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸2 31
3.3.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸3 32 3.4. Bifurkasi Hopf 34 3.5. Simulasi Numerik 41 3.5.1. Simulasi Numerik Kestabilan Titik
Kesetimbangan 𝐸1
42 3.5.2. Simulasi Numerik Kestabilan Titik
Kesetimbangan 𝐸2
42
xi
3.5.3. Simulasi Numerik Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸3
44
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 48 4.1. Kesimpulan 48 4.2. Saran 49 DAFTAR PUSTAKA 50 LAMPIRAN-LAMPIRAN 52
xii
DAFTAR TABEL
Hal
Tabel 3.1 Nilai Parameter 42
xiii
DAFTAR GAMBAR Hal Gambar 2.1 Bifurkasi Hopf supercritical 16
Gambar 2.2 Bifurkasi Hopf subcritical 16
Gambar 3.1 Potret fase untuk kestabilan dari titik kesetimbangan 𝐸1 43
Gambar 3.2 Potret fase untuk kestabilan titik 𝐸2 dengan 𝛼 = 1 44 Gambar 3.3 Potret fase untuk kestabilan titik kesetimbangan 𝐸3 dengan
𝛼 = 0.6
46
Gambar 3.4 Potret fase munculnya limit cycle pada sistem dengan 𝛼 =0.67
47
Gambar 3.5 Grafik solusi sistem (3.1) dengan 𝛼 = 0.67 47
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Ekologi merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan alam yang sampai
sekarang masih sering dikembangkan oleh peneliti. Ekologi merupakan ilmu yang
mempelajari tentang perilaku hewan dan tumbuhan dengan habitatnya. Kata
ekologi berasal dari bahasa Yunani yaitu dari kata “oikos” yang berarti rumah atau
tempat tinggal, dan kata “logos” yang berarti ilmu pengetahuan. Dengan kata lain,
ekologi dapat diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari lingkungan
tempat tinggal suatu makhluk hidup. Secara umum, predator (pemangsa)
memengaruhi distribusi dan jumlah dari prey (mangsa) mereka, begitu pula
sebaliknya. Hal ini merupakan suatu hal yang penting dalam bidang ekologi.
Permasalahan ini dapat disebut sebagai predasi. Predasi atau pemangsaan
adalah konsumsi suatu organisme (prey) oleh organisme lain (predator), yang
mana prey masih hidup saat predator pertama kali menyerangnya (Smith,1990).
Model matematika dari predasi berbentuk persamaan diferensial dan dikenal
sebagai model predator-prey. Model tersebut merepresentasikan hubungan
antara predator dan prey pada suatu habitat untuk mempertahankan
kelangsungan hidup masing-masing. Salah satu model predator-prey yang paling
sederhana adalah model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra ini ditemukan oleh
Alfred Lotka dan Vito Volterra pada tahun 1925-1926. Pada model ini prey tumbuh
secara eksponensial, sehingga model ini kurang realistis karena pertumbuhan
populasi tidak terbatas.
Pada tahun 1958, Leslie dan Gower mengajukan model predator-prey yang
mengasumsikan bahwa predator tumbuh mengikuti model pertumbuhan logistik
2
dengan kapasitas daya dukung lingkungan atau carrying capacity dari populasi
predator sebanding dengan jumlah populasi prey. Model tersebut kemudian
dikenal sebagai model predator-prey Leslie-Gower. Pada tahun 2003, Azis-Alaoui
dan Okiye memodifikasi model predator-prey Leslie-Gower dengan
menambahkan konstanta proteksi lingkungan untuk menjaga keberlangsungan
kehidupan predator. Dalam penelitian tersebut, laju pemangsaan yang digunakan
adalah fungsi respon Holling tipe II.
Model Lotka-Voltera dan model Leslie-Gower hanya memodelkan hubungan
antara predator dan prey saja tanpa memedulikan usia dari populasinya. Namun
dalam banyak kasus, usia dari populasi dapat memengaruhi hasil evolusi dari
populasi tersebut. Contohnya, Aiello dan Freeedman (1990) memperkenalkan
model satu spesies dengan tingkatan usia yang mana spesies tersebut dibagi
menjadi dua tingkat yaitu spesies muda dan spesies dewasa. Pada model ini,
mereka melibatkan konstanta waktu tunda untuk mendeskripsikan lamanya
perubahan populasi muda menjadi populasi dewasa. Wang dan Chen (1997)
memperkenalkan model dua spesies dengan tingkatan usia pada predator,
sehingga terdapat 3 populasi pada model ini yaitu populasi prey, populasi predator
muda dan populasi predator dewasa. Model ini membagi kelas predator menjadi
dua dengan asumsi terdapat waktu tunda dikarenakan kehamilan predator
dewasa, dan predator dewasa berasal dari predator muda yang berubah menjadi
predator dewasa. Huo, Wang, dan Chavez (2011) memperkenalkan model
predator-prey Leslie-Gower tiga tingkat dengan tingkatan usia pada populasi prey.
Pada model ini, terdapat 3 populasi yang diperhatikan yaitu populasi prey muda,
populasi prey dewasa dan populasi predator. Pada tahun 2014 dan 2017,
Khajanchi memperkenalkan model predator-prey Lotka-Volterra tiga tingkat dari
satu prey dan dua predator (predator muda dan predator dewasa). Khajanchi
3
mengasumsikan bahwa predator muda berasal dari hasil pemangsaan predator
dewasa terhadap prey. Pada penelitian ini diperoleh tiga titik kesetimbangan, yaitu
titik kesetimbangan trivial, titik kesetimbangan bebas predator, dan titik
kesetimbangan interior.
Salah satu faktor yang berpengaruh pada model predator-prey adalah fungsi
respon. Secara umum, fungsi respon adalah suatu fungsi yang mendeskripsikan
banyak prey yang dikonsumsi oleh predator per satuan waktu. Pada teori ekologi,
terdapat beberapa fungsi respon yang terkenal dalam memodelkan laju
pemangsaan antara predator dan prey. Beberapa di antaranya adalah fungsi
respon Holling tipe-I, Holling tipe-II, Holling tipe-III, Holling tipe-IV, dan Beddington
De-Angelis. Pada tahun 2014, Yu mempertimbangkan bahwa laju pemangsaan
yang digunakan seharusnya tidak hanya bergantung pada populasi prey, tetapi
juga bergantung pada populasi predator dan adanya koefisien proteksi lingkungan.
Hal ini mengakibatkan Yu (2014) menggunakan fungsi respon Beddington De-
Angelis.
Berdasarkan uraian di atas, pada penelitian ini dimodifikasi model predator-
prey Lotka-Volterra tiga tingkat milik Khajanchi (2014) dan (2017) dengan cara
mengubah model predator-prey Lotka-Volterra menjadi model predator-prey
Leslie-Gower dan fungsi respon yang digunakan adalah fungsi respon Beddington
De-Angelis. Perubahan model predator-prey Lotka Voltera menjadi model Leslie-
Gower dilakukan karena predator muda juga mempunyai laju kelahiran sendiri dan
tidak hanya berasal dari hasil pemangsaan dari predator seperti yang ada pada
model predator-prey Lotka-Voltera. Selanjutnya akan dilakukan analisis dinamik
pada model dengan menentukan titik kesetimbangan beserta syarat eksistensinya
dan dilakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan. Kemudian akan dicari syarat
4
terjadinya bifurkasi Hopf dan dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan
hasil analisis.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan pada sub bab sebelumnya,
maka rumusan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana konstruksi model predator-prey Leslie-Gower dengan
tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis??
2. Bagaimana titik kesetimbangan dan syarat eksistensi titik kesetimbangan
model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator
dan fungsi respon Beddington De-Angelis?
3. Bagaimana sifat kestabilan titik kesetimbangan dan syarat ada tidaknya
bifurkasi hopf pada model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan
usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis?
4. Bagaimana hasil simulasi numerik model predator-prey Leslie-Gower
dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-
Angelis?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, adapun tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengkonstruksi model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia
pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis.
2. Menentukan titik kesetimbangan dan syarat eksistensi titik kesetimbangan
model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator
dan fungsi respon Beddington De-Angelis.
5
3. Menganalisis sifat kestabilan titik kesetimbangan dan syarat ada tidaknya
bifurkasi Hopf pada model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan
usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis.
4. Melakukan simulasi numerik dan menginterpretasikan model predator-prey
Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon
Beddington De-Angelis.
50
DAFTAR PUSTAKA
Alligood, K. T., T. D. Sauer, dan J. A. Yorke. (2000). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems. Springer-Verlag. New York.
Aiello, W.G. dan H.I. Freedman. (1990). A Time-Delay Model of Single-Species Growth with Stage Structure. Mathematical Biosciences. 101: 139-153.
Aziz-Alaoui, M. A. dan M. D. Okiye. (2003). Boundedness and Global Stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-type II schemes. Applied Mathemathics Letters. 16: 1069-1075.
Boyce, W.E., dan R. C. DiPrima, (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Ninth Edition. John Willey & Sons, Inc. USA.
Finizio, N. dan G. Ladas. (1982). And Introduction to Differential Equations. Wadsworth Inc. USA.
Huo, H.F., X. Wang, dan C.C. Chavez. (2011). Dynamics of a Stage-Structured Leslie-Gower Predator-Prey Model. Mathematical Problems in Engineering. Volume 2011, Article ID 149341.
Kartono. (1994). Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset. Yogyakarta.
Khajanchi, S. (2014). Dynamic Behavior of a Beddington-DeAngelis type stage structured Predator-Prey Model. Applied Mathemathics and Computation. 244: 344-360.
Khajanchi, S. (2017). Modeling The Dynamics of Stage-Structure Predator-Prey System With Monod-Haldane Type Response Function. Applied Mathemathics and Computation. 302: 122-143.
Leslie, P. H. dan J.C. Gower. (1958). The Properties of a Stochastic Model for Two Competing Species. Biometrika, 45(3-4), 316–330.
Mattheij, R. dan J. Molenaar. (2002) Ordinary Differential Equations in Theory and Practice.Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphiea.
Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology: An Introduction, Third Edition. Springer-Verlag, Inc. Berlin.
Nielsen, Kaj L. (1966). Differential Equations. Barnes & Noble, Inc. New York.
Ruan, S. dan D. Xiao. (2001). Global Analysis in a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response. Society for Industrial and Applied Mathematics. 61(4):1445-1472.
Robinson, R.C. (2004). An Introduction to Dynamical Systems Condinuous and Discrete, International Edition. Pearson Education, Inc. New Jersey.
Smith, R.L. (1990). Ecology and Field Biology, Fourth Edition. HarperCollins Publishers, Inc. New York.
51
Suryanto, A. (2017). Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya dengan MATLAB. Universitas Negeri Malang. Malang.
Wang, W. dan L. Chen. (1997). A Predator-Prey System with Stage-Structure for Predator. Computers Math. Applic.,33(8): 83-91.
Yu, S. (2014). Global Stability of modified Leslie-Gower model with Beddington-DeAngelis Functional Response. Advance in Difference Equation. 84.