MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY ...i MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK...
Transcript of MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY ...i MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIK...
-
i
MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY
PROBABILISTIK
STUDI KASUS PADA OPTIK YOGYA
SKRIPSI
Ditujukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Vincentius Prabowojati Wicaksana
NIM: 053114013
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2009
-
ii
ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIC INVENTORY MODELS
CASE STUDY OF YOGYA OPTIK
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In mathematics
By:
Vincentius Prabowojati Wicaksana
Student Number: 053114013
Study Program of Mathematics Science Department of Mathematics
Faculty of Science and Technology
Sanata Dharma University
Yogyakarta
2009
-
iii
-
iv
-
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 12 Agustus 2009
Penulis,
Vincentius Prabowojati Wicaksana
-
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dum Spiro SpeDum Spiro SpeDum Spiro SpeDum Spiro Spero......ro......ro......ro......
Age Quod Agis......Age Quod Agis......Age Quod Agis......Age Quod Agis......
Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......Vos Estis Sal Terrae......
““““Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau Bukan Kebesaran yang Menentukan Menang atau
Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan Kalah, yang Penting Jadilah wajar Apa Adamu dan
Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......Menjadi Dewasa......””””
“Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di “Bila Engkau tidak dapat menjadi Pohon cemara di bukit, bukit, bukit, bukit,
Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”Jadilah belukar yang Indah di tepi parit...”
Skripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan UntukSkripsi ini Kupersembahkan Untuk::::
Tuhan Yesus Tuhan Yesus Tuhan Yesus Tuhan Yesus Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,Atas anugerahnya, Berkat,LLLLindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannyaindungan dan Penyertaannya
Bapak Bapak Bapak Bapak &&&&dan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Sedan Ibu atas Doa, Semangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&Cintanyamangat,Dukungan, Bimbingan&CintanyaSSSSelaluelaluelaluelalu
Kakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri danKakakku Ignas, adikku Hendri dan Dion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala DukungannyaDion, Atas segala Dukungannya
Semua TemanSemua TemanSemua TemanSemua Teman----temankutemankutemankutemanku
Almamaterku, Almamaterku, Almamaterku, Almamaterku, SANATA DHARMASANATA DHARMASANATA DHARMASANATA DHARMA
-
vii
-
viii
ABSTRAK
Dalam proses penjualan yang dilakukan oleh toko Optik Yogya, terdapat be-
berapa barang yang harus tersedia untuk memenuhi kebutuhan konsumen. Ada per-
masalahan yang terjadi ketika barang yang dibutuhkan tidak tersedia dan juga jika
barang yang tersedia melebihi kapasitas atau over.
Kedua masalah yang dihadapi dapat dimodelkan dengan model inventori Eco-
nomic Order Quantity merupakan sebuah model dalam bidang riset operasi dan sta-
tistika yang berguna untuk membuat keputusan dalam masalah persediaan barang.
Model inventori Economic Order Quantity dapat dibedakan menjadi dua, yaitu model
deterministik dan probabilistik berdasar ada tidaknya data yang tersedia. Pada studi
kasus Optik Yogya, hasil yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan model
inventori Economic Order Quantity lebih baik jika dibandingkan dengan keadaan
sebenarnya.
-
ix
ABSTRACT
In the selling process carried out by Yogya Optik, few goods must be availa-
ble in order to meet the need of the consument. The problems occurs when the goods
that the customer want are not available and when the available goods are exceeding
its maximum capasity.
Both problems can be modeled using Economic Order Quantity model. inventory
used in operation research and statistics. This model is very useful in making decision
to solve problems in goods stocking. Economic Order Quantity model inventory can
be classified into two types, namely deterministic model and probabilistic model
based on the availabity of the data. In the case study of Yogya Optik, the results ob-
tained by using Economic Order Quantity inventory model better than the actual situ-
ation.
-
x
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,
sehingga karena kasih, izin dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan
baik.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis memiliki banyak hambatan sehingga
membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala
kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi
Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu,
pikiran, nasehat dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama
penyusunan skripsi.
2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan FST-USD.
3. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji.
4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen penguji.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.
6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik
bagi penulis.
7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang telah banyak membantu penulis.
8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan bekal
ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
-
xi
9. Bapak Tukija dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administraasi dan
urusan-urusan akademik selama penulis kuliah serta Karyawan Perpustakaan
USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.
10. Kedua orang tuaku serta kakakku Ignas dan adik-adikku Hendrikus dan Dion
yang selalu memberikan dukungan kepadaku dalam segala hal, kasih sayang,
pengorbanan, doa, motivasi dan kepercayaan yang sangat berarti.
11. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta
kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan
akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.
Yogyakarta, Agustus 2009
Penulis,
Vincentius Prabowojati Wicaksana
-
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ..................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ..................................................................................... x
DAFTAR ISI .................................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1
A. Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1
B. Perumusan Masalah .............................................................................. 3
C. Batasan Masalah ................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 4
E. Metode Penulisan ................................................................................. 4
F. Manfaat Penelitian ................................................................................ 5
G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 5
-
xiii
BAB II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS 7
A. Diferensial............................................................................................... 7
B. Fungsi konveks ............................................................................. 11
C. Teori Probabilitas........................................................................... 12
BAB III MODEL INVENTORI.................................................................. 31
A. Parameter-parameter Persediaan....................................................... 31
B. Model Economic Order Quantity Deterministik Satu Barang............. 23
C. Model Economic Order Quantity Deterministik Banyak Barang......... 34
D. Model Economic Order Quantity Deterministik Diskon...................... 36
E. Model Economic Order Quantity Deterministik Back Order................ 38
F. Model Economic Order Quantity Probabilistik................................... 52
BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PROBABILISTIK...................... 67
PADA OPTIK YOGYA............................................................. ..... 67
A. Analisis dengan Data yang tersedia......................................................... 67
B. Simulasi ................................................................................................... 73
BAB V PENUTUP...................................................................................... ...... 100
A. Kesimpulan............................................................................................ 100
B. Saran.............................................................................................. 101
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 102
-
BAB I
Pendahuluan
A. Latar Belakang Masalah
Dalam dunia perekonomian kita sering mengenal berbagai
permasalahan yang nyata dalam hidup. Permasalahan itu ada dari zaman
dahulu hingga sekarang. Salah satu permasalahan yang sangat penting dan
hampir dihadapi oleh semua bidang usaha adalah inventori atau yang lebih
kita kenal persediaan.
Inventori (Persediaan) adalah setiap sumberdaya yang disimpan
(stored resource) yang digunakan untuk memuaskan kebutuhan pelanggan
pada saat ini atau masa depan. Bagi banyak perusahaan dan toko, inventori
mencerminkan sebuah investasi, dan investasi ini sering lebih besar daripada
yang seharusnya. Hal ini dikarenakan perusahaan-perusahaan atau toko-toko
lebih mudah untuk memiliki inventori just-in-case (berjaga-jaga kalau ada
apa-apa) daripada inventori just-in-time (persediaan seperlunya) karena
berbagai pertimbangan dan kondisi yang ada.
Setiap perusahaan atau toko saat ini tentunya memiliki manager
operasi yang bertugas dalam bidang inventori. Setiap manager operasi
tentunya harus menyadari bahwa mengatur inventori yang baik dan tepat
sangatlah penting. Hal itu dikarenakan stok (jumlah barang) inventori,
berpengaruh besar terhadap kelangsungan aktivitas keseharian perusahaan
dan toko. Jika stok inventori mengalami gangguan, maka dapat dimungkinkan
-
2
perusahaan ataupun toko tersebut mengalami kerugian yang besar. Selain itu
juga, jika perusahaan atau toko ingin mengurangi biaya pengeluaran dengan
membatasi stok inventori di tangan, sebaliknya konsumen akan merasa tidak
puas bila suatu produk stok inventorinya habis. Oleh karena itu, perusahaan
atau toko harus mencapai keseimbangan antara inventori dan tingkat layanan
konsumen.
Setelah mengetahui beberapa permasalahan di ataas, dalam skripsi ini
akan dibahas tentang inventori Toko Optik Jogja yang berada di kota Jogja
dan Ambon. Optik Jogja merupakan salah satu toko yang menjual dan
menyalurkan kaca mata, soft lens, lensa kacamata serta lap kacamata. Untuk
mendukung proses penjualannya, Optik Jogja memiliki manager yang
mempunyai wewenang dan tugas untuk mengontrol, mendata dan
mengendalikan stok inventori bingkai kacamata, lensa, lap kacamata dan
lainnya.
Meskipun mempunyai manager yang bertugas mengontrol stok
inventori, namun sering kali stok inventori tidak berada pada level yang telah
ditetapkan sebelumnya. Stok inventori sering berada jauh di atas maksimum
stok, bahkan sering juga mengalami kehabisan. Hal ini sering mengakibatkan
konsumen kecewa, karena barang yang diinginkannya tidak tersedia. Selain
itu juga, jumlah pesanan kacamata dan lensa yang berlebihan kadang menjadi
sia-sia karena tidak digunakan dan tidak jarang mengakibatkan kerugian.
Menyadari kenyataan tersebut penulis akan menganalisa faktor-faktor
apa sajakah yang sebenarnya sangat berpengaruh dalam penentuan banyaknya
-
3
stok inventori. Selain itu, Penulis juga akan menganalisa banyaknya barang
yang ada, jenis dan tingkat penjualannya, yang selama ini kurang maksimal.
Setelah faktor-faktor yang berkaitan dengan proses inventori selesai
dikumpulkan, faktor-faktor tersebut akan dianalisa lebih lanjut dengan
menggunakan model inventori.
Model inventori yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah model
Economic Order Quantity (EOQ). Dalam masalah nyata, permasalahan
ekonomi sangatlah tidak pasti. Masalah tersebut dapat muncul dan berubah
setiap saat seturut perkembangan kondisi yang terjadi. Oleh karena ketidak
pastian tersebut,model EOQ nantinya akan dianalisa juga dengan cara
probabilistik yaitu dengan mempertimbangakan kemungkinan-kemungkinan
yang terjadi.
Hasil dari analisa dan perhitungan tersebut, nantinya diharapkan
dapat dijadikan suatu landasan dan acuan dalam menggambil keputusan untuk
proses inventori selanjutnya dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang
mungkin akan terjadi pada masa yang akan datang. Sehingga, nantinya Toko
Optik Jogja mendapatkan keuntungan yang maksimal.
A. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan dalam latar belakang, pokok
permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud model inventori?
2. Parameter-parameter apa sajakah yang dibutuhkan dalam Inventori?
-
4
3. Bagaimana menganalisa persamaan EOQ secara deterministik dan
probabilistik?
4. Bagaimana menerapkan model inventori dalam kasus nyata pada Toko
Optik Jogja?
B. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam skripsi ini adalah:
1. Teori probabilitas hanya dibahas sebatas yang terkait langsung dengan
permasalahan, sedangkan hal-hal yang sifatnya elementer tidak dibahas
2. Data-data yang digunakan hanya pada Toko Optik Jogja pada tahun 2007
dan 2008.
3. Model inventori yang akan dibahas pada skripsi ini hanya model Economic
Order Quantity (EOQ).
4. Pada simulasi hanya dipakai proses pengunaannya saja, tanpa membahas
dasar teorinya.
5. Pada simulasi data bilangan random didapatkan menggunakan excel.
C. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk:
1. Mengetahui dasar-dasar Model Inventori.
2. Mengetahui model inventori Economic Order Quantity (EOQ).
3. Mengaplikasikan model inventori EOQ pada kasus nyata toko optik Jogja.
D. Metode Penulisan
Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu
dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasi-
kan. Untuk aplikasi dan penerapan pada Toko Optik Jogja, data-data berupa
-
5
stok inventori dan jumlah penjualannya diperoleh langsung dari Toko Optik
Jogja.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan skripsi ini adalah:
1. Dapat mengetahui dasar model inventori.
2. Dapat mengetahui parameter-parameter yang berpengaruh dalam model
inventori.
3. Dapat mengetahui model EOQ secara detail.
4. Dapat mengetahui cara pengaplikasian langsung model inventori.
F. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Maanfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
-
6
Bab II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI
PROBABILITAS
A. Diferensial
B. Fungsi konveks
C. Teori Probabilitas
BAB III MODEL INVENTORI
A. Parameter-parameter inventori
B. Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik
C. Economic Order Quantity (EOQ) Probabilistik
BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PADA TOKO OPTIK
JOGJA
A. Data data parameter yang dibutuhkan
B. Perhitungan dengan Economic Order Quantity (EOQ)
BAB V KESIMPULAN
A. Kesimpulan
B. Saran
-
7
Bab II,
Diferensial, Fungsi Konveks dan Teori Probabilitas
2.1 Diferensial
Definisi 2.1.1
Andaikan y=f(x) terdeferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx merupakan
diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x.
Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy di definisikan oleh
�� = ��(�)�� Berikut merupakan grafik peraga dari diferensial
Gambar 2.1.1 Fungsi � = �(�) Andaikan P(x0,y0) adalah titik tetap pada grafik fungsi � = �(�), seperti terlihat pada gambar 2.1.1. Pandang P sebagai titik asal, dx dan dy merupakan
sumbu-sumbu koordinat baru yang sejajar dengan sumbu koordinat.
Dalam sistem koordinat yang baru, garis singgung di P persamaannya
adalah sebagai berikut �� = ��, dimana adalah kemiringan garis, =��(��). Sehingga persamaan garis singgung ini dapat ditulis menjadi �� =
-
8
��(��)��. Dari persamaan tersebut dx disebut diferensial dari x dan dy disebut differensial dari y.
Maksimum dan minimum fungsi
Definisi 2.1.2
Andaikan S adalah daerah asal fungsi f, yang memuat titik c. Dikatakan bahwa:
1.�(�)adalah nilai maksimum � pada �, jika �(�) ≥ �(�)untuk semua � di � 2.�(�)adalah nilai minimum � pada �, jika �(�) ≤ �(�)untuk semua � di � 3. �(�) adalah nilai ekstrim f pada S, jika �(�) adalah nilai maksimum atau
minimum
Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.2
Gambar 2.1.3 Gambar 2.1.4
Gambar 2.1.5 Gambar 2.1.6
-
9
Gambar 2.1.3 dan 2.1.4 masing-masing menunjukkan sketsa sebagian
grafik yang mempunyai maksimum di c. Sedangkan gambar 2.1.5 dan 2.1.6
masing-masing menunjukan sebagian grafik yang mempunyai nilai minimum di c.
Untuk menentukan daerah asal S agar fungsi f terdefinisi dan dapat
menghasilkan prasyarat nilai ekstrim dan titik kritis yang digunakan untuk
menentukan kemungkinan nilai-nilai c yang memberikan nilai ekstrim, digunakan
definisi berikut
Definisi 2.1.3
Andaikan S, adalah daerah asal f yang memuat titik c, dikatakan bahwa
1. f(c) adalah nilai maksimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang
memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b).
2. f(c) adalah nilai minimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang
memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b).
3. f(c) adalah nilai ekstrim relatif f, jika terdapat f(c) sedemikian sehingga f(c)
adalah nilai maksimum relatif atau minimum relatif .
Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.3
Gambar 2.1.7 Gambar 2.1.8
-
10
Gambar 2.1.9
Gambar 2.1.7 memperlihatkan fungsi yang tidak memiliki nilai ekstrim relatif,
walaupun berlaku ��(�) = 0. Sedangkan gambar 2.1.8 dan 2.1.9 masing-masing memperlihatkan grafik fungsi dengan ekstrim maksimum dan ekstrim minimum.
Dari gambar 2.1.8 dan 2.1.9 juga, pada saat �(�) merupakan nilai ekstrim fungsi �(�), maka terlihat bahwa ��(�) = 0 dan disekitar x=c, ��(�) berubah nilainya dari positif ke negatif untuk ekstrim maksimum, serta berubah dari negatif ke
positif untuk ekstrim minimum.
Teorema 2.1.1 Uji turunan pertama ekstrim relatif
Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
1. Jika ��(�) > 0 untuk semua nilai x pada a
-
11
Teorema 2.1.2 Teorema titik kritis
Andaikan fungsi f didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c)
adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu
dari:
1. Titik ujung interval I.
2. Titik stationer dari f, yakni ��(�) = %. 3. Titik singular dari f, yakni ��(�)tidak ada.
Dari teorema 2.1.1 dapat ditarik kesimpulan bahwa persyaratan yang harus
dipenuhi untuk terjadinya nilai ekstrim di c adalah f kontinu dan S adalah
interval tertutup.
2.2 Fungsi Konveks
Definisi 2.2.1
S adalah suatu himpunan, dan S disebut himpunan konveks jika ∀'(,')*� maka semua kombinasi konveks dari �+ dan �, juga berada dalam S. Misalkan fungsi f yang bernilai real tersebut didefinisikan paada himpunan
konveks C di Rn. Fungsi tersebut dikatakan fungsi konveks jika untuk setiap
�+ dan �, di C dan - ≥ 0, . ≥ 0, - + . = 1, maka �(-�+ + .�,) ≤ -�(�+) + .�(�,)
Sedangkan fungsi f disebut konveks tegas bila
�(-�+ + .�,) < -�(�+) + .�(�,) Untuk setiap �+ dan �, di C dengan �+ ≠ �,.
-
12
Jika akan diinterpretasikan secara geometris, fungsi konveks f adalah
fungsi sedemikian sehingga jika �+ dan �,, sembarang titik di Rn pada grafik f , maka titik-titik segmen garis [�+, �,] yang menghubungkan �+ dan �, terletak pada atau di atas grafik f.
2.3 Teori Probabilitas
A. Peubah Acak Kontinu
Misalkan terdapat sebuah ruang contoh dari pelamparan uang logam
sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai berikut
� = 2333, 334, 343, 433, 344, 434, 443, 4445 Dengan G menunjukan sisi gambar, dan A menunjukan sisi angka.
Jika dari hasil pelemparan tersebut ditanyakan berapa kali sisi gambar muncul,
maka nilai numerik 0,1,2, atau 3 dapat diberikan.
Dari hasil yang diberikan tersebut, sebenarnya merupakan besaran acak
yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai tersebut dapat
dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah acak atau
variabel acak X tertentu yang dalam hal ini menyatakan berapa kali sisi gambar
muncul bla sekeping uang logam dilempar tiga kali.
Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak
merupakan suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh
setiap unsur dalam contoh. Kemudian, digunakan huruf kapital misalkan X untuk
melambangakan suatu peubah acak, dan huruf kecilnya x untuk menyatakan satu
di antara nilai-nilainya.
-
13
Pada kenyataannya, banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan
mungkin saja tidak terhingga atau tidak tercacah. Misalkan, akan menghitung
jumlah barang yang terjual dalam sebuah toko dalam waktu tertentu. Dengan
mengasumsikan waktu dalam hal ini hari, maka sangatlah jelas bahwa didapat tak
hingga banyaknya kemungkinan barang terjual dalam interval waktu tertentu yang
tidak dapat di dapatkan secara pasti. Oleh karena itu, bila suatu ruang contoh
mengandung takhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik
pada sebuah garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.
Peubah acak yang didefinisikan dalam ruang contoh kontinu disebut
peubah acak kontinu. Dalam hal ini, peubah acak kontinu digunakan untuk data
yang diukur, misalnya jumlah barang yang dibutuhkan, jarak dan lain sebagainya.
B. Fungsi kepekatan
Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva biasa disebut fungsi
kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan yang mempunyai penerapan praktis
dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X. Karena luas
daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang, dan nilai dari peluang itu
sendiri adalah positif, maka fungsi kepekatan teletak seluruhnya di atas sumbu-x.
Fungsi kepekatan didefinisikan sedemikian sehingga luas di daerah bawah
kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu. Bila suatu fungsi kepekatan
dinyatakan oleh kurva diantara batas x1 dan x2 seperti pada gambar dibawah ini
-
maka peluang X mengambil nilai antara
diaksir yang terletak antara
Oleh karena itu, fungsi
kontinu X bila luas daerah dibawah kurva dan di atas sumbu
dan bila luas daerah di bawah kurva antara
terletak antara a dan b
C. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam
bidang statistika dan banyak dipakai dalam memecahkan persoalan. Berikut
merupakan gambar kurva distribusi normal:
mengambil nilai antara x1 dan x2 sama dengan luas daerah yang
yang terletak antara x1 dan x2 di bawah fungsi kepekatannya.
Oleh karena itu, fungsi f disebut fungsi kepekatan bagi peubah acak
bila luas daerah dibawah kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu,
dan bila luas daerah di bawah kurva antara x1 =a dan x2=b menyatakan peluang
b.
Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam
bidang statistika dan banyak dipakai dalam memecahkan persoalan. Berikut
merupakan gambar kurva distribusi normal:
Gambar 2.3.1 distribusi normal
14
sama dengan luas daerah yang
bawah fungsi kepekatannya.
disebut fungsi kepekatan bagi peubah acak
sama dengan satu,
menyatakan peluang X
Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang paling penting dalam
bidang statistika dan banyak dipakai dalam memecahkan persoalan. Berikut
-
Dari gambar di atas,
genta disebut peubah acak normal. Persamaan matematik untuk sebaran peluang
peubah acak normal tergantung pada dua parameter
dan simpangan bakunya. Oleh karena itu dapat dilamb
kepekatan bagi x dengan
Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila
adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah
persamaan kurva normalnya adalah:
6(�; 8, 9
Bila nilai-nilai
ditentukan dengan pasti.
Luas daerah dibawah kurva Normal
Kurva dengan sembarang sebaran peluang kontinu atau merupakan fungsi
kepekatan yang dibuat sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva itu
dibatasi oleh � � �+ nilai antara � � �+ dan dengan :��+ $ 8 $ �
Dari gambar di atas, suatu peubah acak kontinu x yang memiliki sebaran
genta disebut peubah acak normal. Persamaan matematik untuk sebaran peluang
peubah acak normal tergantung pada dua parameter 8 dan 9, yaitu nilai tengah dan simpangan bakunya. Oleh karena itu dapat dilambangkan nilai
dengan ;��; 8, 9�. Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila
adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah 8 dan ragam persamaan kurva normalnya adalah:
9� � 19√2= >?+,@'?AB C) , D6EDF G ∞ $ � $nilai 8 dan 9 diketahui, maka kurva normal itu telah dapat
ditentukan dengan pasti.
Luas daerah dibawah kurva Normal
Kurva dengan sembarang sebaran peluang kontinu atau merupakan fungsi
kepekatan yang dibuat sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva itu
dan � � �, sama dengan peluang peubah acak dan � � �,. Berikut merupakan ilustrasi grafik kurva normal �, � yang dinyatakan oleh luas daerah yang diaksir
15
yang memiliki sebaran
genta disebut peubah acak normal. Persamaan matematik untuk sebaran peluang
, yaitu nilai tengah
angkan nilai-nilai fungsi
Dari keterangan di atas, dapat didefinisikan kurva normal, yaitu bila x
dan ragam 9,, maka $ ∞
diketahui, maka kurva normal itu telah dapat
Kurva dengan sembarang sebaran peluang kontinu atau merupakan fungsi
kepekatan yang dibuat sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva itu
sama dengan peluang peubah acak x mengambil
ut merupakan ilustrasi grafik kurva normal
yang dinyatakan oleh luas daerah yang diaksir
-
Kemudian untuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir tersebut, dapat
ditransformasikan sembarang peubah acak
normal z dengan nilai tengah nol dan ragam satu. Dimana
Nilai tengah z adalah nol, karena:
Sedangkan ragamnya adalah
Bila x berada diantara
diantara nilai-nilai:
IContoh 2.3.1:
Untuk sebaran normal dengan
peubah acak x bernilai lebih besar dari 362.
Jawab:
Sebaran peluang
diberikan dalam gambar berikut
Kemudian untuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir tersebut, dapat
ditransformasikan sembarang peubah acak x menjadi satu nilai peubah acak
dengan nilai tengah nol dan ragam satu. Dimana
I � � G 89 adalah nol, karena:
J�I� � 19 J�� G 9� � 19 J�9 G 9� � 0 Sedangkan ragamnya adalah
9K, � 9�'?A� BL, � 19, 9', � 9,9, � 1 berada diantara � � �+ dan � � �,. Maka peubah acak z berada
I+ � �+ G 89 �M6 I, � �, G 89 Untuk sebaran normal dengan 8 � 300 dan 9 � 50 hitunglah peluang
bernilai lebih besar dari 362.
Sebaran peluang normal yang menunjukan luas daerah yang diinginkan
diberikan dalam gambar berikut
16
Kemudian untuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir tersebut, dapat
menjadi satu nilai peubah acak
. Maka peubah acak z berada
hitunglah peluang
normal yang menunjukan luas daerah yang diinginkan
-
17
Untuk menghitung :�� > 362), harus dihitung luas daerah aksiran disebelah kanan nilai � = 362. Ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan � = 362 menjadi nilai z sehingga didapatkan luas daerah di sebelah kiri z dari tabel
normal, dan kemudian mengurangkan daerah tersebut dengan satu. Sehingga
diperoleh
I = �, − 89 = 362 − 30050 = 1.24 Dengan demikian
:(� > 362) = :(I > 1.24) = 1 − :(I > 1.24)
= 1 − 0.8925 = 0.1075
-
18
BAB III
MODEL INVENTORI
Model inventori merupakan suatu strategi bidang perekonomian yang
menggunakan model matematika untuk menentukan banyak persediaan barang
yang disimpan dan yang harus disediakan oleh perodusen itu sendiri. Hal ini
diperlukan agar produsen barang dapat menyuplai barang dengan baik kepada
konsumen tanpa harus kehabisan barang sehingga kebutuhan pasar dapat dipenuhi
dan keuntungan dapat diperoleh.
Model inventori dapat dibedakan menjadi dua, yakni model inventori
deterministik dan inventori probabilistik. Model inventori deterministik ditandai
oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan dapat
diketahui sebelumnya secara pasti. Apabila salah satu ataupun kedua parameter
tersebut tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya, harus didekati dengan
distribusi probabilitas, maka hal tersebut memberikan suatu model inventori
probabilistik.
3.1. Parameter-Parameter persediaan
Seperti yang telah diketahui, pada umumnya produsen memproduksi barang
serta menjualnya kembali kepada konsumen. Hal ini tentunya memerlukan proses
yang panjang. Berdasarkan proses tersebut, terdapat dua karakteristik utama
parameter-parameter masalah inventori, yaitu tingkat permintaan dan periode
kedatangan pesanan.
-
19
Tingkat permintaan dan periode kedatangan sangat berpengaruh dalam
penentuan jumlah barang produksi maupun yang disimpan dan pendapatan
produsen. Hal itu dikarenakan di dalam tingkat permintaan dan periode
kedatangan terdapat beberapa parameter yang sangat bepengaruh. Para meter-
parameter tersebut diantaranya adalah:
a. Biaya Pesan (Ordering cost)
Biaya pesan merupakan biaya yang muncul saat terjadi proses pemesanan
barang. Biaya-biaya pembuatan surat, telepon, fax, dan beberapa lainnya yang
muncul karena proses pemesanan barang merupakan contoh biaya pesan.
Biaya pesan akan dilambangkan dengan BP. Biaya ini dapat diperoleh
dengan:
UVM�M W>XM6 = YZ[\]^]_`a b`c`d e`^] f[ghib[(j)k(li^`c \h`m` f[g h^[d m`an bhZ[c]`gZ`a(o)) p]dc`_ \`g`an e[^h`fZ`ch bhf[e`a(q)
atau dapat ditulis sebagai bentuk
U: = rs � (3.1.1) Dari bentuk di atas, diasumsikan bahwa jika semakin banyak pesanan, maka
biaya yang dikeluarkan semakin kecil. Berikut ini merupakan ilustrasi dengan
kurva biaya pesan.
-
20
BP
q
Gambar 3.1.1. kurva biaya pesan
b. Biaya Simpan (Carrying cost)
Biaya simpan muncul jika terdapat proses penyimpanan suatu barang.
Beberapa contoh biaya simpan diantaranya adalah sewa gudang, keamanan,
asuransi, dan biaya-biaya lain yang muncul karena proses penyimpanan.
Sedangkan biaya-biaya lain yang tetap ada meski persediaan tidak ada bukanlah
termasuk kategori biaya penyimpanan.
Biaya simpan per periode dilambangkan dengan BS, yang dapat diperoleh
dengan
UVM�M XVWM6:>tV%�> = uUVM�M XVWM6�VFvDX w u �VFvDXW>tV%�>w Dalam model ini, pada umumnya akan melakukan pemesanan secara bertahap
dan kontinu atau dengan kata lain pemesanan dilakukan dalam beberapa kali
pemesanan dan dalam waktu tertentu, hal ini yang disebut suatu siklus. Jika
-
21
diasumsikan rata-rata inventori dalam suatu siklus adalah q, unit dan panjang
siklus qj, maka
uUVM�M XVWM6W>tV%�> w = (tMEM − tMEM W>XM6M6 1 XVFvDX)(WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang) = s2 @srC ℎ = s
,ℎ2r
Sehingga
UVM�M XVWM6MFED = s,ℎ2r urs w = ℎs2
Atau dapat ditulis sebagai fungsi
U� = s2 ℎ (3.1.2) Apabila semakin banyak barang yang dipesan, maka biaya penyimpanan
semakin tinggi. Berikut ini merupakan bentuk kurva biaya pesan. Diasumsikan
kurva berbentuk linear terhadap q
BS
q
Gambar 3.1.2. kurva biaya simpan
-
22
c. Biaya Pembelian (Purchase cost)
Biaya pembelian muncul pada saat dilakukan pembelian suatu barang. Biaya
Pembelian dilambangkan dengan BP yang dapat dinyatakan sebagai berikut
UVM�M W>>vVM6 = ℎMtyM W>>vVM6(W) × >DEDℎM6 �MvM 1 W>tV%�>(r)
Atau dapat ditulis sebagai fungsi
U: = W × r (3.1.3)
d. Biaya Kehabisan Persediaan (Stockout cost)
Biaya kehabisan persediaan muncul pada saat persediaan barang habis
ataupun tidak tersedia lagi sehingga peluang untuk mendapatkan keuntungan tidak
tercapai. Hal ini dapat diakibatkan karena mesin rusak, karyawan tidak bekerja,
terlambatnya pengiriman barang dan lainnya.
Biaya kehabisan persedian dalam suatu siklus dapat dinyatakan sebagai
berikut. UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6:>tV%�> = u UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6�VFvDX w u �VFvDX:>tV%�>w Misalkan jumlah unit yang tidak tersedia se, maka rata-rata kekurangan
barang dalam interval waktu ∆E adalah q?q, , dengan panjang interval ∆E adalah q?qj . Dari hal tersebut dapat dituliskan, UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6XVFvDX = (tMEM − tMEM F>FDtM6yM6 MtM6y ) �(WM6xM6y V6E>tMv)�(biaya simpan per barang)
-
23
= s − sX2 us − sXr w ℎ = Ys − sXk2ℎ2r
Jika terdapat jq siklus per tahun maka,
UVM�M >ℎMVXM6 W>tX>�VMM6EMℎD6 = Ys − sXk2ℎ2r rs = Ys − sXk
2ℎ2s
U: = (s − se),ℎ2s (3.1.4) 3.2 Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik satu barang
Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik merupakan model
inventori yang dalam perhitungannya memperhitungkan dua macam biaya
persediaan paling dasar, yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Selain itu juga,
model EOQ deterministik bergantung pada tarif dasar harga barang dan tenggang
waktu pemesanan barang.
Untuk memperoleh suatu model awal yang baik, tentunya dibutuhkan
beberapa asumsi dan syarat awal. Berikut ini merupakan asumsi-asumsi yang
dibutuhkan dalam model EOQ deterministik yang harus dicapai.
1. Permintaan saat memesan barang dan tarif dasar harga barang tetap atau
tidak berubah dalam jangka waktu tertentu.
2. Jeda pemesanan antara periode yang satu dan yang lainnya bernilai nol
atau dapat dikatakan tidak boleh terjadi jeda antara waktu pemesanan
periode satu dan berikutnya sehingga pemesanan bersifat kontinu.
3. Persediaan akan dipesan sebesar q unit dan datang secara serentak.
-
24
Misalkan �s� adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika dipesan q unit barang dengan jeda periode sama dengan nol dan dinotasikan sebagai berikut
�s� � UVM�M W>XM6 + UVM�M W>>vVM6 + UVM�M XVWM6 Kemudian rumusan tersebut dikombinasikan dengan parameter-parameter
yang telah dibahas sebelumnya sehingga menghasilkan (s) = jq � + :r + q, ℎ
Untuk meminimumkan total biaya tahunan (TC(q)), maka ditentukan
�(s) = 0, sehingga menghasilkan �(s) = − r�s, + ℎ2 = 0
atau
r�s, = ℎ2 s, = 2r�ℎ
Sehingga diperoleh,
s+ = ,jo_ atau s, = −,jo_
Persamaan q2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah
barang yang bernilai negatif. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q
yang digunakan dalam mencari jumlah q yang maksimum, yakni
-
25
sd`Ze = 2r�ℎ (3.2.1) Untuk mendapatkan gambar kurva EOQ deterministik, persamaan �(s)
diturunkan sekali lagi dan diperoleh.
�′(s) = 2 joq ≥ 0 untuk semua s > 0 sehingga �(s) merupakan fungsi cekung. Berikut ini merupakan gambar
dari fungsi (s)
biaya Tc(q)
h(q/2)
Sd/q
0 q jumlah barang
Gambar 3.2.1 kurva biaya TC(q)
Seperti yang disebutkan di atas, model dasar EOQ deterministik lebih
memperhitungkan dua macam biaya yang utama, yaitu biaya pesan dan biaya
simpan. Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.
Biaya Total persediaan=Biaya Pesan+ Biaya Simpan
atau dapat ditulis dengan,
-
26
BTP=BP+BS
dan dinotasikan sebagai berikut:
U: = rs � + s2 ℎ (3.2.2) Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu
dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga
U: = rs � + s2 ℎ
= 2r� + s2ℎ2s
= 2r� + 2r�ℎ
, ℎ22r�ℎ
= 2r� + 2r�22r�ℎ
= 2r�2r�ℎ
perhatikan bahwa
-
27
U:, � 4r,�,2r�ℎ = 4r,�,ℎ2r�
= 2r�ℎ sehingga
U:dha = √2r�ℎ (3.2.3) 3.2.1 Siklus Pesan Ulang (Reorder Cycle)
Salah satu hal yang juga penting dalam model inventori adalah mengetahui
siklus pemesanan ulang barang. Model EOQ yang secara matematis dinyatakan
pada persamaan (3.2.1) merupakan gabungan antara model sistem periodik dan sistem pemesana tetap. Model sistem periodik merupakan model inventori dimana
pembelian dilakukan secara periodik. Interval waktu yang digunakan dalam
pembelian selalu sama, misalkan dalam satu minggu, satu bulan, dan seterusnya.
Sebagai konsekuensinya pembelian persediaan selalu menyesuaikan dengan
kebutuhan, sehingga jumlah persediaan yang dibeli belum tentu sama pada setiap
periode pembelian. Berikut ini merupakan kurva model sistem periodik
persediaan
|| || || waktu
Gambar 3.2.2 kurva sistem periodik
-
28
Sedangkan model sistem pemesanan tetap adalah model inventori dimana
pembelian dilakukan dengan jumlah yang tetap sehingga menjelaskan bagaimana
penambahan persediaan yang selalu sama dalam interval waktu kedatangan yang
berbeda. Berikut merupakan kurva model sistem pemesanan tetap
Persediaan
q
waktu
Gambar 3.2.3 Kurva sistem pemesanan tetap
Dari model di atas, diketahui bahwa kebutuhan dalam periode perencanaan
adalah D dan penambahan persediaan adalah q. Sehingga, siklus pemesanan ulang
dapat ditulis dengan
�VFvDX W>XM6 DvM6y = >DEDℎM6 �MvM W>tV%�> W>t>6�M6MM6DvMℎ MtM6y �M6y �VW>XM6 X>EVMW W>>XM6M6 Atau dinotasikan sebagai
: = rs (3.2.1.1) Selanjutnya, untuk menentukan periode waktu pemesanan ulang didapatkan
dari membagi periode waktu perencanaan (W) misalkan 12 bulan, 56 minggu, atau
356 hari dengan siklus pesan ulang (P) atau dapat ditulis:
-
29
:>tV%�> MFED W>>XM6M6 DvM6y = W>tV%�> MFED W>t>6�M6MM6XVFvDX W>XM6 DvM6y atau dinotasikan sebagai
= : (3.2.1.2) Dari persamaan (3.2.1.1) dan (3.2.1.2) didapatkan bahwa satuan periode
waktu yang digunakan dalam setiap siklus pesan ulang Y, sangat bergantung pada
periode waktu perencanaan W.
Berikut ini merupakan penjelasan siklus pesan ulang dalam bentuk kurva
persediaan
q
| || | || | || | waktu
t1 t2 t3 t4
Gambar 3.2.4 Kurva siklus pesan ulang
Dari gambar 3.2.4 di atas, persedian barang datang serentak sebesar q di ti,
untuk i=1,2,3,...,n. Selanjutnya, persediaan itu digunakan selama (ti ,ti+i ) Ketika
persediaan habis di ti+1, maka barang datang serentak sebesar q. Siklus ini seperti
yang telah dijelaskan di atas berulang sebanyak jq dengan penambahan barang
selalu sama sebesar q dan juga dengan siklus pesan ulang ti-ti+1, untuk i=1,2,...,n.
3.2.2 Hubungan Parameter D dan q
Setelah mengetahui siklus pemesanan ulang, berikut ini merupakan hubungan
antara parameter D atau kebutuhan selama periode perencanaan yang diberikan
-
dalam persamaan (3.1.1) yang akan dipenuhi oleh
pesanan ulang atau P
persamaan :. � sebagai berikut:
Gambar 3.
3.2.3 Tingkat Pemakaian Persediaan
Tingkat pemakaian
penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan
digunakan secara bertahap selama periode
kurva tingkat persediaan.
dalam persamaan (3.1.1) yang akan dipenuhi oleh q dalam beberapa kali siklus
P. Dari persamaan �3.2.1.1� dan �3.2.1.2� . Persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk kurva
Gambar 3.2.5 Kurva kebutuhan periode perencanan
Tingkat Pemakaian Persediaan
Tingkat pemakaian persediaan memberi gambaran mengenai kecepatan
penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan
digunakan secara bertahap selama periode Y sampai habis. Berikut ini merupakan
kurva tingkat persediaan.
q
30
dalam beberapa kali siklus
diperoleh suatu
. Persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk kurva
Kurva kebutuhan periode perencanan
persediaan memberi gambaran mengenai kecepatan
penggunaan persediaan dalam suatu siklus pemesanan. Persediaan q kemudian
Berikut ini merupakan
-
Gambar 3.
Tingkat pemakaian satu periode perencanaan dapat diperoleh dengan
V6yFME W>MFMVM6 XMED
sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh
dengan
V6yFME W>MFMVM6
Kemudian dari persamaan
Gambar 3.2.6 Kurva tingkat pemakaian persediaan
Tingkat pemakaian satu periode perencanaan dapat diperoleh dengan
XMED W>tV%�> W>t>6�M6MM6 � [\]^]_`a b`c`d f[ghib[ `Z^] f[g[a`a``a
� r sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh
W>MFMVM6 XMED XVFvDX W>XM6 DvM6y � >DED~M6 �MvMW>tV%�> MFED � s
Kemudian dari persamaan �3.2.1.1� dan �3.2.1.2�maka, r � :. s:.
31
gkat pemakaian persediaan
Tingkat pemakaian satu periode perencanaan dapat diperoleh dengan
e`^] f[ghib[f[g[a`a``a
�3.2.3.1� sedangkan tingkat pemakaian satu siklus pesanan ulang dapat diperoleh
�MvM XMED W>tV%�>MFED W>t>6�M6MM6 �3.2.3.2�
-
32
Atau,
r � s dengan kata lain
∆r∆ = ∆s∆ (3.2.3.3)
Jadi, tingkat pemakaian dalam satu periode perencanaa adalah sama dengan
tingkat pemakaian dalam suatu siklus pesanan ulang.
3.2.4 Saat Memesan Ulang
Hal yang dibutuhkan juga dalam model EOQ adalah mengetahui kapan
harus memesan ulang barang agar nantinya datang tepat waktu dengan jumlah yang
sesuai dengan yang diinginkan. Selain itu juga, dalam saat memesan ulang
diasumsikan waktu antara pesan dibuat dan pesanan datang atau yang disebut lead
time telah diketahui sebelumnya secara pasti.
Sesuai dengan penjelasan tentang siklus pemesanan, bahwa penambahan
sebesar q yang datang pada t1 akan habis dipakai pada t2. Pada waktu t2 tersebut,
penambahan barang akan datang serentak. Hal ini mengakibatkan terjadi dua
kejadian sekaligus yaitu persediaan sebelumnya q habis dan penambahan q tepat
datang secara serentak pada t2.
Jika L adalah lead time, dan Y adalah Panjang waktu dalam satu siklus pesan
ulang, maka pesanan ulang harus dilakukan saat t1 atau t0+Y-L atau t2-L. Oleh
karena itu, Persediaan sebesar R, merupakan persediaan yang harus tersedia selama
-
lead time. Jadi, jika ada persedian sebesar
agar penambahan sebesar
indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka,
menandai saat pesan ulang dilakukan.
Berikut ini merupakan gambar kurva saat melakukan pemesanan ulang
Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama
diketahui secara pasti sebelumnya dan tidak berubah, yaitu sesuai dengan
persamaan (3.2.3.2), maka hal ini berakibat
Atau,
dengan kata lain
. Jadi, jika ada persedian sebesar R pada saat t1 maka pesanan ulang dibuat
agar penambahan sebesar q datang serentak di t2. Hal ini berakibat
indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka,
menandai saat pesan ulang dilakukan.
Berikut ini merupakan gambar kurva saat melakukan pemesanan ulang
Gambar 3.2.7 Kurva pemesanan ulang
Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama
diketahui secara pasti sebelumnya dan tidak berubah, yaitu sesuai dengan
), maka hal ini berakibat
= :. s:. � s
dengan kata lain
∆∆ � ∆s∆
33
maka pesanan ulang dibuat
. Hal ini berakibat R merupakan
indikator persediaan yang menandai saat pesan ulang harus dibuat. Maka, t1=t2-L
Berikut ini merupakan gambar kurva saat melakukan pemesanan ulang
Karena telah diasumsikan bahwa tingkat pemakaian selama lead time dapat
diketahui secara pasti sebelumnya dan tidak berubah, yaitu sesuai dengan
(3.2.4.1�
-
34
Dari persamaan (3.2.3.2) dapat menjamin agar prediksi persediaan habis dan
pesanan datang tepat pada waktunya.
3.2.5 Model Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik Banyak Barang
Pada model EOQ ini, sebenarnya memiliki perinsip yang sama dengan
model satu barang. Hanya saja, dalam model banyak barang ini, barang-barang
yang dihitung lebih dari satu, tetapi asumsi-asumsi yang digunakan masih sama.
Pertama-tama dalam model ini haruslah ditentukan terlebih dahulu periode
dalam pesan ulang. Karena dalam model ini mencakup banyak barang, nantinya
akan digunakan indeks i sebagai keterangan barang ke i. Dalam kasus ini rh dan sh berbeda untuk setiap barang, sehingga periode pesan ulang yang pada model ini dilambangkan dengan Pi dan dirumuskan :h � jq , hal ini berakibat :h akan berbeda untuk setiap barang.
Berdasarkan asumsi bahwa pemesanan ulang untuk beberapa atau seluruh
barang memiliki periode yang sama, maka Pi=P. Oleh karena itu, dari persamaan
�3.2.2) harus diubah agar terdapat P terlebih dahulu sehingga dapat diketahui periode pesan ulang untuk EOQ multi item. Dari persamaan (3.2.2)
U: = rs � + s2 ℎ
Karena : = jq atau s = j maka,
U: = :� + rℎ2: (3.2.5.1)
-
35
Karena ini merupakan kasus banyak barang, maka persamaan �3.2.5.1)diubah menjadi,
U: = :. �h +a
h+ rh . ℎh2:
ah+
dimana i=1.....n,
Atau,
U: = : �h +a
h+12: rh. ℎh
ah+
(3.2.5.2)
Diketahui syarat BTP minimum untuk P adalah b(l)b = 0. Maka,
�(U:)�: = �ha
h+− 12 :?, rh . ℎh
ah+
�ha
h+− 12 :?, rh . ℎh
ah+
= 0
�ha
h+= 12 :?, rh. ℎh
ah+
�ha
h+= 12:, rh . ℎh
ah+
:, = ∑ rh . ℎhah+2 ∑ �hah+
: = ∑ rh . ℎhah+2 ∑ �hah+ (3.2.5.3)
-
36
P pada (3.2.5.3) merupakan P optimal yang sama untuk setiap item i. Hal
tersebut dapat memungkinkan pemasok mengirimkan beberapa item berbeda pada
saat yang sama sehingga mendapatkan BTP persamaan (3.2.5.2) minimum juga.
3.2.6 Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Potongan Pembelian
(Quantity Discount)
Dalam dunia usaha salah satu hal yang dapat terjadi adalah potongan harga
dalam pembelian. Hal tersebut tentunya dapat terjadi jika pembelian dalam jumlah
yang banyak sesuai kesepakatan produsen.
Pada model awal diasumsikan bahwa harga pembelian atau q tetap. Hal ini
tentunya menimbulkan kerancuan, karena pada model ini harga menurun jika
jumlah pembelian bertambah banyak. Hal ini jelas membuat model awal EOQ
tidak valid lagi, karena asumsi harga pembelian tidak terpenuhi. Oleh karena itu,
pada model EOQ potongan pembelian, biaya pembelian diganti dengan biaya
yang telah dikurangi harga potongan �~W�. Model BTP EOQ potongan pembelian dapat dirumuskan sebagai berikut,
BTP=Biaya Pesan + Biaya Simpan +Biaya Potongan Pembelian
Dengan,
UVM�M W%E%6yM6 W>>vVM6 = ℎMtyM W%E%6yM6(ℎf) × >DEDℎM6 �MvM 1 W>tV%�>(r) Atau dapat ditulis sebagai fungsi
U:: = ℎf × r (3.2.6.1) Sehingga,
U: = rs � + s2 ℎ + ℎfr (3.2.6.2)
-
Misalkan terdapat dua harga pembelian
(3.2.6.2) dapat diubah menjadi:
U:Dengan sc adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan
diskon. Berikut ini merupakan kurva perbandingan kedua
Gambar 3
Dari gambar 3.2
maksimum dengan biaya minimum
,jo_ . Kemudian, ada kemungkinan letak nilai atau yang dimaksud zona I,
Nilai dari sc�> s
Misalkan terdapat dua harga pembelian ~f+ dan ~f, maka persamaan.2) dapat diubah menjadi:
U: � U:+ � rs � / s2 ~ / ~f+r , s ! sc U:, � rs � / s2 ~ / ~f,r , s > sc adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan
diskon. Berikut ini merupakan kurva perbandingan kedua BTP:
Gambar 3.2.8 Kurva tingkat pemakaian persediaan
2.8 dapat terlihat bahwa, fungsi U:+ dan U:dengan biaya minimum pada titik tengah kedua kurva
. Kemudian, ada kemungkinan letak nilai q maksimum yaitu antara
atau yang dimaksud zona I, �sd, sc� atau zona II, dan , �sd, ∞� atau zona III.sd� dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:
U:,�sc� � U:+�sd�
BTP1
BTP
qm
37
maka persamaan
adalah batas banyak barang yang di beli untuk mendapatkan
persediaan
U:, mencapai q kedua kurva dengan sd �
maksimum yaitu antara �0, sd� � atau zona III.
dengan persamaan sebagai berikut:
BTP2
-
38
rs � / s2 ℎ + ℎf,r = U:+(sd) s, + 2Yℎf,r − U:+(sd)kℎ s + 2r�ℎ (3.2.6.3)
Sehingga dari gambar 3.2.8 juga dapat ditentukan q* yaitu:
s∗ = sd jika s terletak pada zona I atau IIIsc jika s terletak pada zona II Dimana q* merupakan jumlah barang maksimum yang akan dipesan
berdasarkan penentuan di ataas. Dari penentuan s∗ kemudian dapat disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.6.3) untuk mendapatkan BTPmin
3.2.7 Model Economic Order Quantity (EOQ) Back Order
Pada model EOQ dasar, diasumsikan bahwa pesanan akan datang tepat
pada saat persediaan habis sehingga masalah kehabisan persediaan tidak penah
terjadi. Pada model EOQ back order, kemungkinan terjadinya kehabisan
persediaan ada dan telah dapat diprediksi sebelumnya. Oleh karena itu, dalam
model ini biaya kehabisan persediaan juga diperhitungkan dalam mencari
peminimuman biaya total persediaan.
Berikut ini merupakan ilustrasi gambar perbedaan antara model EOQ
dasar dan back order
-
Gambar 3.
Dari gambar peraga, jelas terlihat kehabisan persediaan dapat terjadi. Hal
tersebut digambarkan dengan daerah yang diaksir hitam. Berikut ini merupakan
gambar ilustrasi EOQ
q
Gambar 3.2.9 Kurva perbandingan EOQ dasar dan back order
Dari gambar peraga, jelas terlihat kehabisan persediaan dapat terjadi. Hal
tersebut digambarkan dengan daerah yang diaksir hitam. Berikut ini merupakan
gambar ilustrasi EOQ back order.
Gambar 3.2.10 Kurva back order
q
39
back order
Dari gambar peraga, jelas terlihat kehabisan persediaan dapat terjadi. Hal
tersebut digambarkan dengan daerah yang diaksir hitam. Berikut ini merupakan
-
40
Dari ilustrasi tersebut, biaya total persediaan EOQ back order dapat
dituliskan sebagai berikut
BTP=Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+ Biaya Simpan ketika
barang habis
Dalam rumusan BTP EOQ back order, rumus biaya pesan dan biaya
kehabisan persediaan sama dengan yang telah diberikan sebelumnya yaitu
persamaan (3.1.1) dan (3.1.4), sedangkan biaya simpan dihitung ketika barang
habis. Berikut ini merupakan rumusan biaya simpan ketika barang habis. Biaya
simpan ketika barang habis dapat diperoleh dengan
UVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVXMFED = uUVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVX�VFvDX w u�VFvDXMFEDw
Jika diasumsikan rata-rata kehabisan barang dalam suatu siklus adalah q,
unit, panjang siklus qj , dan ℎe adalah biaya kehabisan persediaan , maka
uUVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVX�VFvDX w = (tMEM − tMEM F>ℎMVXM6 MtM6y 1 XVFvDX) (WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang)
= se2 @ser C ℎe = se
,ℎe2r
Sehingga
-
41
UVM�M XVWM6 F>EVFM MtM6y ℎMVXMFED = se,ℎe2r urs w = ℎese,2s (3.2.7.1) Misalkan (s, se) adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika barang
habis.
(s, se) =Biaya Pesan +Biaya Kehabisan Persediaan+Biaya Simpan ketika barang habis (s, se) = rs � + (s − se)
,ℎ2s + ℎese,
2s = rs � + s
, − 2s. se + se,2s ℎ + ℎese,
2s
= rs � + (s − se)2s ℎ + se,(ℎ + ℎe)2s
Untuk meminimumkan total biaya tahunanTC(q, se), maka ditentukan £l£q = £l£q = 0. sehingga diperoleh,
¤�¤s = 0 − r�s, + ℎ2 − se
,(ℎ + ℎe)2s = 0 ℎ2 = r�s, + se
,(ℎ + ℎe)2s ℎ2 = 2r� + se
,(ℎ + ℎe)2s, s, = 2r� + se,(ℎ + ℎe)ℎ
-
42
s = 2r� + se,(ℎ + ℎe)ℎ (3.2.7.2) ¤�¤se = 0
−ℎ + se(ℎ + ℎe)s = 0 ℎ = se(ℎ + ℎe)s
se = ℎs(ℎ + ℎe) (3.2.7.3)
Dari persamaan (3.2.7.2) dan (3.2.7.3) diperoleh,
s, = 2r� uℎs(ℎ + ℎe)w
, (ℎ + ℎe)ℎ
s, = 2r� +ℎ,s,(ℎ + ℎe)ℎ
2r� = ℎs, − ℎ,s,(ℎ + ℎe)
s, = 2r�(ℎ + ℎe)ℎ[(ℎ + ℎe) − ℎ¥
s, = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe
s = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe (3.2.7.4)
-
43
Kemudian persamaan (3.2.7.4) disubtitusikan ke dalam persamaan (3.2.7.3)
sehingga,
se � ~�~ / ~e� 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe se = 2r�(ℎ + ℎe),ℎℎe(ℎ + ℎe),
se = 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.5)
Sesuai dengan gambar peraga, qmaks diperoleh dari q dikurangi se. Sehingga qmaks= q-se
sd`Ze = 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe)
Atau dapat disederhanakan menjadi
sd`Ze = 2r�ℎ ℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.6)
Dari persamaan (3.2.7.4) dan (3.2.7.5) diperoleh,
(s, se) = U: = rs � + (s − sX)2s ℎ + sX2(ℎ + ℎX)2s
-
44
� r�2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe +ℎ2 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − ℎ 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe) + ses se(ℎ + ℎe)2
= r� ℎℎe2r�(ℎ + ℎe) + ℎ2 2r�(ℎ + ℎe)ℎℎe − 2r�ℎ¦
ℎe(ℎ + ℎe)+ ℎ(ℎ + ℎe) se(ℎ + ℎe)2
= ℎℎer,�,2r�(ℎ + ℎe) + 2r�(ℎ + ℎe)ℎ,
ℎℎe2, − 2r�ℎ¦
ℎe(ℎ + ℎe) + ℎse2
= ℎℎer,�,2r�(ℎ + ℎe) + 2r�(ℎ + ℎe)ℎ,
ℎℎe2, − 2r�ℎ¦
ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ2 2r�ℎℎe(ℎ + ℎe)
= ℎe r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) + (ℎ + ℎe) r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) − 2ℎ r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ r�ℎ2ℎe(ℎ + ℎe)
= ℎe √r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) + (ℎ + ℎe)√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) − 2ℎ
√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe) + ℎ√r�ℎ§2ℎe(ℎ + ℎe)
= √r�ℎ[ℎe + (ℎ + ℎe) + 2ℎ + ℎ¥§2ℎe(ℎ + ℎe)
= √r�ℎ[2ℎe¥§2ℎe(ℎ + ℎe)
-
45
U:dha = 4r�ℎℎe,
§2ℎe(ℎ + ℎe) Jadi, BTP minimum untuk EOQ back order adalah,
U:dha = §2r�ℎℎe§(ℎ + ℎe) Atau,
U: J±² UM�F ±t�>t = √r�ℎ ℎe(ℎ + ℎe) (3.2.7.7)
Contoh soal 3.2.8 model deterministik satu barang
Sebuah supermarket Alma ingin memesan sepeda untuk persediaannya
yang akan dijual dalam waktu 1 tahun ke depan. Supermarket tersebut ingin
mengetahui tingkat pemesanan barang, penentuan siklus pesan ulang, panjang
waktu siklus pesanan ulang, tingkat penjualan per hari dan perhitungan biaya total
persediaan yang dikeluarkannya bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam
satu periode sejumlah 600 buah per tahun dengan 240 hari kerja efektif, kemudian
total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.250,- untuk tiap kali
pemesanan dengan jeda waktu pemesanan atau lead time 10 hari dan biaya simpan
Rp.30,- per barang per tahun.
-
46
Dari permasalahan di atas akan ditentukan:
1. Tingkat pemesanan barang.
2. Penentuan siklus pesan ulang.
3. Panjang waktu siklus pesanan ulang.
4. Tingkat penjualan per hari.
5. Biaya total persediaan yang dikeluarkan
Penyelesaian:
Diketahui:
D :600 buah/tahun, untuk 240 hari kerja efektif
S :Rp.250,00 untuk setiap kali pesan
h :Rp.30,00 per unit per tahun
L :10 hari
Jawab:
1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang ekonomis. Dari persamaan (3.2.1),
sd`Ze = 2r�ℎ
sd`Ze = 2�600�250�30 sd`Ze = 100
Jadi, tingkat penambahan persediaan yang ekonomis adalah 100 unit.
-
47
2. Penentuan siklus pesanan ulang. Dari persamaan (3.2.1.1),
: = rs
: = 600100 : = 6FMvV Jadi, dalam satu tahun periode perencanaan akan terjadi 6 kali pesanan. 3. Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang.
Karena diketahui kebutuhan 600 unit sepeda direncanakan untuk satu tahun, maka estimasi biaya simpan juga dihitung dengan asumsi hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 240 hari.
Dari persamaan (3.2.1.2) = : = 2406 = 40 hari. Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 40 hari.
4. Perhitungan tingkat penjualan per hari untuk menentukan saat pesan ulang.
Dari persamaan (3.2.3.3),
-
∆r∆ � ∆s∆ Karena s = 100 dan unit per hari. Diketahui juga bahwaselama lead time adalah ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari keatau hari ke-30 setelah pesanan datang.Berikut ini merupakan kurva siklus pemesanan ulang
5. Penghitungan biaya total persediaan,
Dari persamaan U:dha U:dha U:dha
Atau U:dha
dan � 40 maka tingkat penjualan per hari adalah unit per hari. Diketahui juga bahwalead time adalah 10 hari. Maka penjualan
adalah 10 x 2,5�25 unit. Oleh karena itu saat memesan ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari ke
30 setelah pesanan datang. Berikut ini merupakan kurva siklus pemesanan ulang
Penghitungan biaya total persediaan, persamaan �3.2.3�
dha � √2r�~ dha � √2�600�250�30 dha � 3000
dha � jq � / q, ~
48
maka tingkat penjualan per hari adalah +��»� � 2,5 Maka penjualan
unit. Oleh karena itu saat memesan ulang adalah pada saat persediaan tinggal 25 unit atau pada hari ke G
-
U:dha U:dha U:dha
Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan Rp1.500,00 dan biaya simpan Rp1.500,00.Berikut ini merupakan ilustrasi kurva
Contoh soal 3.2.9 model EOQ
Sebuah supermarket Alma ingin memesan mo
akan dijual dalam waktu 1 tahun kedepan. Supermarket
tingkat penambahan unit yang tidak tersedia, penentuan siklus pesan ulang dan
biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam
periode sejumlah 600
total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.
pemesanan, biaya simpan Rp.
persediaan Rp.2000,-
dha � 600100 250 / 1002 30 dha � 1.500 / 1.500 dha � 3000
Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan Rp1.500,00 dan biaya simpan Rp1.500,00. Berikut ini merupakan ilustrasi kurva U:dha
model EOQ back order
Sebuah supermarket Alma ingin memesan motor untuk persediaannya yang
akan dijual dalam waktu 1 tahun kedepan. Supermarket tersebut ingin mengetahui
tingkat penambahan unit yang tidak tersedia, penentuan siklus pesan ulang dan
biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam
periode sejumlah 600.000 unit per tahun dengan 300 hari kerja efektif, kemudian
total biaya pesan per barang yang dikeluarkan sebesar Rp.10.000,
biaya simpan Rp.400,- per barang per tahun dan biaya kehabisan
- per unit.
49
Sehingga biaya Total Persediaan Rp.3.000,00, terdiri dari biaya pesan
tor untuk persediaannya yang
tersebut ingin mengetahui
tingkat penambahan unit yang tidak tersedia, penentuan siklus pesan ulang dan
biaya total persediaan bila diketahui data sebelumnya kebutuhan dalam satu
hari kerja efektif, kemudian
,- untuk tiap kali
dan biaya kehabisan
-
50
Dari permasalahan di atas akan ditentukan:
1. Tingkat pemesanan barang.
2. Biaya total persediaan yang dikeluarkan.
3. Frekuensi pesanan dalam satu tahun.
4. Panjang waktu siklus pesanan ulang.
Penyelesaian:
Diketahui:
D :600.000unit/tahun, untuk 300 hari kerja efektif
S :Rp.10.000,00
~e :Rp.2.000,00 per unit h :Rp.400,00 per unit per tahun
Jawab 1. Penentuan tingkat penambahan persediaan yang habis.
Tingkat persediaan q optimal s � 2r��~ / ~e�~~e
s � 2�600.000)(10.000)(400 + 2.000)(400)(2.000) s = 6.000 D6VE
2. Tingkat persediaan maksimum
-
51
sd`Ze � 2r�~ ~e�~ / ~e�
sd`Ze � 2�600.000)(10.000)400 2.000(400 + 2.000) sd`Ze = 5.000
Dengan demikian, se= q- qmaks se = 6.000 − 5.000 = 1.000 D6VE
D. Penghitungan biaya total persediaan Dari persamaan (3.2.7.2)
U: = §2r�ℎℎe§(ℎ + ℎe)
U: = §2(600.000)(10.000)(400)(2.000)§(400 + 2.000) U: = W. 2.000.000,00
2 Frekuensi pesanan dalam satu tahun
Dari persamaan(3.2.1.1) : = rs : = 600.0006.000 : = 100FMvV
Jadi, dalam satu tahun periode perencanaan akan terjadi 100 kali pesanan.
-
52
3 Penentuan panjang waktu dalam satu siklus pesanan ulang. Diketahui hari kerja efektif dalam satu tahun adalah 300 hari. Dari persamaan(3.2.1.2),
= : = 300100
= 3 hari. Jadi, panjang waktu setiap siklus pesanan ulang adalah 3 hari.
3.3 EOQ Probabilistik
Seperti yang telah dipaparkan di atas, model Economic Order Quantity
(EOQ) probalistik merupakan model inventori yang dalam perhitungannya
permintaan barang, kebutuhan dalam satu periode dan waktu lead time tidak dapat
diketahui sebelumnya secara pasti. Hal tersebut mengakibatkan asumsi pesanan
datang saat persediaan habis dapat dimungkinkan tidak terpenuhi. Oleh karena itu
harus didekati dengan distribusi probabilitas.
Hal yang memungkinkan jika permintaan dan lead time tidak dapat diketahui
sebelumnya adalah sebagai berikut:
1. Pesanan habis tepat pada saat pesanan tiba.
2. Persediaan habis ketika pesanan belum tiba.
3. Persediaan belum habis saat pesanan tiba.
Berikut ini merupakan gambar peraga untuk kemungkinan-kemungkinan
yang terjadi
-
Pada +, persediaan sebesar q diperkirakan akan pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat
pesan tiba tidak berdeviasi, atau secara pasti dapat ditentukan sebelumnya.
Pada ,, persediaan q sudah habis terpakai pada datang pada E». Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama
Pada ¦ pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis pada EÀ, tetapi karena pesanan datang pada saat persediaan selama EÀ,
Pada », terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang diharapkan datang pada saat
barang masih tersedia.
Dari empat kemungkinan di atas, hal yang menyimpang dari perkiraan semula
tersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,
untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (
dengan pendekatan distribusi probabilitas normal.
Gambar 3.3.1 kemungkinan persediaan
, persediaan sebesar q diperkirakan akan habis pada
pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat
pesan tiba tidak berdeviasi, atau secara pasti dapat ditentukan sebelumnya.
, persediaan q sudah habis terpakai pada E¦ tetapi persediaan bar. Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama
pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis
, tetapi karena pesanan datang pada saat EÁ maka terjadi kehabisan , EÁ. , terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang
diharapkan datang pada saat EÂ tiba lebih awal pada saat EÃ, padahal persediaan barang masih tersedia.
Dari empat kemungkinan di atas, hal yang menyimpang dari perkiraan semula
ersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,
untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (
dengan pendekatan distribusi probabilitas normal.
53
habis pada E, sehingga pesanan datang tepat pada saat itu. Kondisi ini terjadi jika permintaan dan saat
pesan tiba tidak berdeviasi, atau secara pasti dapat ditentukan sebelumnya.
tetapi persediaan baru
. Hal ini berakibat akan terjadi kehabisan persediaan selama E¦, E». pemakaian persediaan sesuai dengan yang direncanakan yaitu habis
maka terjadi kehabisan
, terjadi kelebihan barang. Hal ini disebabkan pesanan yang
, padahal persediaan
Dari empat kemungkinan di atas, hal yang menyimpang dari perkiraan semula
ersebut tentunya akan mengakibatkan kerugian yang besar. Oleh karena itu,
untuk mengantisipasinya harus dibentuk persediaan cadangan (safety stock)
-
3.3.1 Persediaan Cadangan (
Permintaan yang berlebih
secara pasti, maka penyimpangan tersebut dapat didekati dengan distribusi normal
karena permintaan pada saat
dengan i=1,2,3,.....,n dan
dengan bantuan teorema limit pusat dapat dicari nilai harapan
Var(Xi) yang mendekati distribusi normal. Hal ini berakibat
permintaan dan lead time
pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal
Dari kurva tersebut, jika rata
dalam satu siklus (misalnya dalam interval waktu (t
rata (mean) atau 8 kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan menyebar disekitar 8memperkirakan persediaan cadangan (
penyimpangan variabel
dengan 9.
q
Persediaan Cadangan ( Safety Stock )
yang berlebih pada waktu Lead time tidak dapat diketahui
secara pasti, maka penyimpangan tersebut dapat didekati dengan distribusi normal
permintaan pada saat lead time sangatlah banyak atau dilambangkan
dan Xi adalah variabel random yang saling bebas, sehingga
dengan bantuan teorema limit pusat dapat dicari nilai harapan E(Xi)
yang mendekati distribusi normal. Hal ini berakibat nantinya perilaku
lead time dapat diperkirakan sebelumnya
pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal
Gambar 3.3.2 pendekatan kurva normal
Dari kurva tersebut, jika rata-rata permintaan selama masa tenggang pesanan
dalam satu siklus (misalnya dalam interval waktu (t1,t2)) ditrasformasikan ke rata
kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan
sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat digunakan untuk
memperkirakan persediaan cadangan (safety stock) yang berdasar pad
penyimpangan variabel-variabel yang mempengaruhinya. Hal tersebut dinyatakan
54
tidak dapat diketahui
secara pasti, maka penyimpangan tersebut dapat didekati dengan distribusi normal
sangatlah banyak atau dilambangkan Xi
riabel random yang saling bebas, sehingga
E(Xi) dan variansi
nantinya perilaku
dapat diperkirakan sebelumnya dengan hasil
pendekatan. Berikut merupakan peraga pendekatan dengan kurva normal.
rata permintaan selama masa tenggang pesanan
)) ditrasformasikan ke rata-
kurva normal, maka perilaku penyimpangan permintaan akan
sehingga deviasi penyebaran itu akan dapat digunakan untuk
yang berdasar pada perilaku
variabel yang mempengaruhinya. Hal tersebut dinyatakan
-
Untuk memperkirakan persediaan cadangan, akan digunakan distribusi
normal untuk pendekatannya. Berikut ini merupakan peraga dari distribusi
normal, dengan x menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa
tunggu.
Pada gambar peraga kurva normal di atas menjelaskan cakupan luas area pada
kurva normal di mana penyimpangan atau deviasi
�� G 8� dan dinyatakan dalam standar deviasi ini, penyimpangan-penyimpangan
tenggang pesanan) terhadap
9 � ∑ÄÅDengan 8 adalah rata
Untuk memperkirakan persediaan cadangan, akan digunakan distribusi
normal untuk pendekatannya. Berikut ini merupakan peraga dari distribusi
menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa
Gambar 3.3.3 kurva normal
Pada gambar peraga kurva normal di atas menjelaskan cakupan luas area pada
kurva normal di mana penyimpangan atau deviasi x terhadap rata
dan dinyatakan dalam standar deviasi 9. Pada kasus persediaan cadangan penyimpangan �h ( permintaan pada waktu ke
tenggang pesanan) terhadap 8 dinyatakan dalam 9 melalui: �'?A�)ÄÅ( a ;
adalah rata-rata yang dapat dirumuskan
8 � E%EMv xDvM~ MtM6y MFED � ∑ �hah+6
55
Untuk memperkirakan persediaan cadangan, akan digunakan distribusi
normal untuk pendekatannya. Berikut ini merupakan peraga dari distribusi
menyatakan permintaan pada waktu tertentu selama masa
Pada gambar peraga kurva normal di atas menjelaskan cakupan luas area pada
terhadap rata-rata �8� adalah . Pada kasus persediaan cadangan
( permintaan pada waktu ke i selama masa
(3.3.1.1)
�3.3.1.2�
-
56
Dengan i menunjukan indeks jumlah barang per satuan waktu yang berjalan dari
1-n
Selanjutnya, 9 dari persamaan (3.3.1.1) digunakan untuk menemukan luas area dalam kurva normal melalui:
I � �h G 89 �3.3.1.2� Kemudian dengan bantuan tabel normal, dapat dicari nilai z, dimana z berkaitan
dengan empat digit bilangan di belakang koma yang menjelaskan berapa persen
luas area yang dicakup 9. Setelah mendapatkan nilai z, dapat ditentukan berapa besar persediaan cadangan yaitu:
:>tX>�VMM6 �M�M6yM6 � probabilitas kekurangan persediaan × XEM6�Mt �>VMXV atau dapat ditulis,
�� G 8� � I × 9 �3.3.1.3)
3.3.2 Model EOQ Probabilistik Dasar
Berbeda dengan model EOQ deterministik, model EOQ probabilistik
memperhitungkan perilaku permintaan, dan tenggang waktu pesanan datang ( lead
time) yang tidak pasti atau tidak dapat ditentukan sebelumnya secara pasti.
Ketidakpastian permintaan dan tenggang waktu pesanan tersebut
memunculkan dua masalah baru. Pertama, keinginan produsen untuk
mendapatkan persediaan cadangan tentunya akan menambah jenis biaya baru
yang tidak diperhitungkan sebelumnya pada EOQ deterministik. Kedua, jika
persediaan cadangan tidak diadakan maka akan timbul juga biaya kehabisan
-
57
persediaan. Kedua jenis biaya tersebut berbanding terbalik, dimana jika
persediaan banyak maka kehabisan persediaan akan kecil dan sebaliknya.
Oleh karena itu, model EOQ pada model probabilistik nantinya akan
ditambahkan dua biaya baru yaitu biaya persediaan cadangan dan biaya kehabisan
persediaan. Misalkan �s� adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan, �s� � UVM�M :>XM6 / UVM�M �VWM6 / VM�M W>>vVM6 /VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 XMED W>tV%�> / VM�M W>tX>�VMM6 �M�M6yM6
�s� � rs � / s2 ~ / :r / U:f / U: �3.3.2.1) Dalam hal ini, persamaan (3.3.2.1) tidak dapat diturunkan untuk mendapatkan
sd`' secara langsung seperti pada EOQ deterministik karena U: �M6 U: merupakan biaya yang diperhitungkan dalam penurunan untuk mencari q. Selain
itu juga, BKP dan BPC saling mempengaruhi dengan arah berlawanan dan
merupakan unsur biaya persediaan yang harus diminimumkan.
Karena kehabisan persediaan disebabkan oleh kemungkinan tingkat
pemakaian persediaan yang berbeda dari yang direncanakan atau tenggang waktu
pesanan berbeda dari yang telah dijanjikan, maka besar kecilnya biaya kehabisan
persediaan atau BKP sangat bergantung pada sampai berapa besarkah peluang
kehabisan persediaan selama masa tenggang pesanan. Berikut ini merupakan
ilustrasi analisa BKP:
-
Dari peraga tersebut diasumsik
pesanan atau dapat dituliskan
ulang dan �h adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh
melampaui t. Sedang masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Kehabisan persediaan dalam masa tenggan
tenggang pesanan – jumlah barang
Karena ada beberapa kemungkinan
harapan kehabisan persediaan
adalah:
Dengan n menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.
Gambar 3.3.4 ilustrasi BKP
Dari peraga tersebut diasumsikan HP adalah harapan pemakaian tenggang
atau dapat dituliskan J��, kemudian t adalah jumlah barang saat pesan adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan
persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh
Sedang �h yang tidak melampaui t tidak akan mengakibatkan masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
Kehabisan persediaan dalam masa tenggang = Kebutuhan dalam masa
jumlah barang saat pesan ulang
� �h G t Karena ada beberapa kemungkinan �h dengan peluang :�
harapan kehabisan persediaan atau J�U:� dalam masa tenggang suatu
��h G t�:��h�ah+ menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.
58
adalah harapan pemakaian tenggang
adalah jumlah barang saat pesan
adalah kebutuhan dalam masa tenggang pesan. Kehabisan
persediaan dalam masa tenggang pesanan dapat ditunjukan oleh �h yang tidak akan mengakibatkan
masalah kehabisan persediaan. Hal tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
= Kebutuhan dalam masa
��h�, maka nilai masa tenggang suatu siklus
menyatakan satuan waktu dalam masa tenggang suatu siklus.
-
59
Jika biaya kehabisan persedian per unit ~e, maka biaya kehabisan persediaan per siklus atau BKPs adalah:
U:e � VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 W>t D6VE � F>D6yFV6M6 F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 Atau,
U: � ~e ��h G t�:��h�a
h+
U: � ~eJ�U:�
Dan karena dalam satu periode perencanaan diketahui sebelumnya terdapat
siklus pemesanan sesuai dengan persamaan �3.2.1.1) maka BKPp dalam satu periode dapat dibentuk menjadi:
U:f � ~e rs J�U:� �3.3.2.2�
Setelah mendapatkan BKPp akan dicari biaya simpan persediaan cadangan.
Dari ilustrasi gambar 3.3.4, ditunjukan bahwa jumlah persediaan cadangan adalah
�t G J���. Seperti yang telah diketahui, jika ~ adalah biaya simpan per unit per periode, maka biaya simpan persediaan cadangan adalah:
U: � ~�t G J��� �3.3.2.3�
Dari persamaan �3.3.2 .1) , (3.3.2 .2� dan �3.3.2 .3� didapatkan �s� adalah
-
60
�s� � rs � / s2 ~ / :r / U:f / U: �s� � rs � / s2 ~ / :r / ~e rs J�U:� / ~�t G J��� �3.3.2 .4) Untuk meminimumkan total biaya tahunanTC(q), maka ditentukan
blbq � 0. sehingga diperoleh:
���s � G rs, � / ~2 G r~eJ�U:�s, � 0
~2 � r� / r~eJ�U:�s,
s, � 2rY� / ~eJ�U:�k~
Jadi:
s � ,jYoÇ_È��k_ atau s, � G ,jYoÇ_È��k_
Persamaan q2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah
barang yang bernilai negative. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q
yang digunakan dalam mencari jumlah q yang maksimum, yakni
sd`Ze � 2rY� / ~eJ�U:�k~ �3.3.2.5�
-
61
Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.
U: � UVM�M :>XM6 / UVM�M �VWM6
/VM�M F>~MVXM6 W>tX>�VMM6 / VM�M W>tX>�VMM6 �M�M6yM6
atau dapat ditulis dengan,
U: � rs � / s2 ~ / É ~e rs J�U:�Ê / ~�t G J�Æ�� �3.3.2.6� Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu
dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga
U: � rs � / s2 ~ / U: / U:
� r�2rY� / ~eJ�U:�k~
/2rY� / ~eJ�U:�k~ ~
2
/ ~erJ�U:�2rY� / ~eJ�U:�k~