MoBi Mathematik A 4. lineare Gleichungssysteme...
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MoBi Mathematik A
4. lineare Gleichungssysteme (LGS)
Carl Herrmann
Health Data Science Unit - BioQuant and Medical Faculty Heidelberg
November 6, 2019
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4.1 Geometrische Interpretation der LGS
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Lineare Gleichungssysteme
I Beispiel von LGS: {x − 2y = 1
3x + 2y = 11
I zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (x , y)
I Wir werden uns erstmal auf LGS beschranken mit gleicher
Anzahl von Gleichungen und Unbekannten.
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Betrachtungsweise 1: zeilenweise Betrachung
x − 2y = 1 ← Gerade; 3x + 2y = 11 ← Gerade
I Losung(en): Schneidepunkt der beiden Geraden
I keine/mehrere Losungen wenn:I Geraden parallel und nicht identisch: keine LosungI Geraden identisch: unendlich viele Losungen!
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Betrachtungsweise 2: spaltenweise Betrachung
x︸︷︷︸Skalar
(1
3
)︸ ︷︷ ︸Vektor~u
+ y︸︷︷︸Skalar
(−2
2
)︸ ︷︷ ︸Vektor~v
=
(1
11
)︸ ︷︷ ︸Vektor~w
Gibt es eine Linearkombination von ~u und ~v die ~w ergibt?
y
x
~u~v
~w
3~u
~v
3~u + 1~v = 3
(1
3
)+ 1
(−2
2
)=
(1
11
)
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Matrix Darstellung
I Spaltendarstellung kann anhand von Matrizen umgeschrieben
werden (1 −2
3 2
)(x
y
)=
(1
11
)⇔ Ax = b
I Gibt es Losungen? hangt von den Eigenschaften der Matrix A
ab!
I ~u, ~v kollinear:
1. ~w mit ~u, ~v kollinear: unendlich viele Losungen
2. ~w mit ~u, ~v nicht kollinear: keine Losung
I ~u, ~v nicht kollinear: eine einzige Losung
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Drei Gleichungen und Unbekannte
Zeilenweise Betrachtung:
2x − y = 0
−x + 2y − z = −1
−3 + 4z = 4
⇔
2 −1 0
−1 2 −1
0 −3 4
x
y
z
=
0
−1
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I Jede Gleichung definiert eine Ebene:
I 2x − y = 0 enthalt Punkte : (1, 2, 0) (0, 0, 3) (0, 0, 0)I −x − 2y − z = −1 enthalt Punkte : (0, 1, 3) (1, 0, 0) (0, 0, 1)I −3y + 4y = 4 enthalt Punkte : (0, 0, 1) (0, −4
3 , 0)
Schnitt der Ebenen in einem Punkt: das LGS
besitzt eine einzige Losung.
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Drei Gleichungen und Unbekannte
Spaltenweise Betrachtung:
x
2
−1
0
︸ ︷︷ ︸
~u
+y
−1
2
−3
︸ ︷︷ ︸
~v
+z
0
−1
4
︸ ︷︷ ︸
~w
=
0
−1
4
︸ ︷︷ ︸
~b
z
y
x
~u
~v
~w
Losung : x = y = 0, z = 1
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Drei Gleichungen und Unbekannte
Keine eindeutige Losung wenn:
I Zeilenweise BetrachtungI zwei der Ebenen parallel und nicht identisch
→ keine LosungI zwei der Ebenen identisch
→ unendlich viele Losungen
I Spaltenweise BetrachtungI 3 Vektoren in der gleichen Ebene und ~b nicht in dieser Ebene
enthalten
→ keine Losung!I 3 Vektoren in der gleichen Ebene und ~b in dieser Ebene
enthalten
→ unendlich viele Losungen
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4.2 Definitionen zu Vektorraumen
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Definitionen
I Linearkombination (LK): ~v ∈ V ist eine Linearkombination
von ~v1, ..., ~vr ∈ V ⇔
∃ λ1, ..., λr ∈ R : ~v = λ1 ~v1 + ...+ λr ~vr
I Spann der Vektoren ~v1, ...~vr ∈ V (oder Hulle):
Der Spann ist die Menge aller Vektoren von V , die sich aus
LK von ~vi errechnen lassen:
Spann({~vi ; i = 1, ..., r}) = {~v ∈ V : ~v = λ1 ~v1+...+λr ~vr , λi ∈ R}
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Beispiel
Beispiel ~v1 =
1
0
0
~v2 =
−1
0
2
Spann({~v1, ~v2}) = (x , z) Ebene
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Definitionen
I Lineare Abhangigkeit:
~v1..., ~vr sind linear abhangig, wenn mindestens einer der
Vektoren als LK der anderen geschrieben werden kann:
∃ k ∈ {1, 2, . . . , r} : ~vk =r∑
i=1,i 6=k
λi ~vi
I Lineare Unabhangigkeit
~v1, ..., ~vr sind linear unabhangig, wenn
λ1 ~v1 + +λr ~vr = ~0 ⇒ λ1 = ... = λr = 0
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Basis und Dimension eines Vektorraums
I Basis eines Vektorraums:~v1, ..., ~vr ∈ V bilden die Basis des Vektorraums V, wennI Spann({~v1, ..., ~vr}) = V (
”sie fullen V“)
I die ~vi sind linear unabhangig (”nicht mehr als notwendig“)
I Dimension eines Vektorraums:
Dimension eines VR = Anzahl der Vektoren seiner Basis
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Beispiele
I Beispiel: R2
~i =
(1
0
), ~j =
(0
1
)Basis (~i · ~j = 0)
~i =
(1
1
), ~j =
(−1
0
)andere Basis (~i · ~j 6= 0)
I Beispiel: Rn : ~ei = (0, ..., 0, 1︸︷︷︸i-te Stelle
, 0, ...) Basis von Rn?
a) ~v ∈ Rn = (a1, a2, ..., an): ~v =n∑
i=1
ai ~ei
b) λ1 ~e1 + ...+ λn ~en = (λ1, λ2, ..., λn) = ~0 ⇔ λi = 0
~ei bilden die kanonische Basis von Rn!
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Basis
I orthogonale Vektoren ⇒ linear unabhangig.
Orthogonalitat: ausreichende, aber nicht notwendige
Bedingung fur die lineare Unabhangigkeit!
I Sind die Basisvektoren orthogonal zueinander, spricht man
von einer orthogonalen Basis.
I Wenn diese normiert sind spricht man von einer
orthonormierten Basis.
I (~i , ~j) = kanonische, orthogonale Basis von
R2;
I (~i ′, ~j ′) = orthogonale Basis
I ~i ′ =
(cos θ
sin θ
)~j ′ =
(− sin θ
cos θ
)I (~u, ~v) = Basis
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Untervektorraume
I Beliebige Teilmengen U eines Vektorraums V bilden im
allgemeinen keinen Vektorraums
I Beispiel: V = R3 ; U = {
1
1
2
} ist kein Vektorraum
I Unter bestimmten Bedingungen kann U ⊂ V selbst einVektorraum bilden:
1. u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U
2. λ ∈ R, u ∈ U ⇒ λu ∈ U
I man spricht dann von einem Untervektorraum
I Beispiel:
V = R2;U = {λu;λ ∈ R} wobei u ein Vektor von V ist.
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4.3 Matrixrechnung
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Dimension einer Matrix
I Dimension einer Matrix M : m × n mit m = Anzahl Zeilen; n
= Anzahl Spalten
I wenn m = n: quadratische Matrix
I wenn Mi ,j = 0 fur i 6= j : Diagonalmatrix
I Vektor = Matrix V mit einer einzigen Spalte und n Zeilen
M =
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
V =
v11...
vm1
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Summe von 2 Matrizen
I Man kann zwei Matrizen nur dann addieren, wenn beide die
gleiche Dimension haben
(also gleiche Anzahl von Spalten und Zeilen).
I Beispiel:a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
+
b11 . . . b1n...
. . ....
bm1 . . . bmn
=
a11 + b11 . . . a1n + b1n...
. . ....
am1 + bm1 . . . amn + bmn
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Matrix mal Vektor
I Multiplikation MV moglich wenn Anzahl Spalten der Matrix
= Anzahl Zeilen des Vektors
I Beispiel:
n = 2,m = 2 :
(2 5
1 3
)(1
2
)
= 1 ·
(2
1
)+ 2 ·
(5
3
)=
(1 · 2 + 2 · 51 · 1 + 2 · 3
)=
(12
7
)
=
((25
)·(12
)(13
)·(12
)) =
(12
7
)
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Produkt von 2 Matrizen
I Fur zwei Matrizen A und B kann man das Produkt AB nur
dann berechnen, wenn die Anzahl der Spalten von A und
die Anzahl der Zeilen von B gleich sind.
A︸︷︷︸m×n
B︸︷︷︸n×k
= AB︸︷︷︸m×k
I eventuell kann das Produkt AB gebildet werden kann, jedoch
nicht das Produkt BA !
I Die Multiplikation der Matrizen ist also nicht kommutativ !
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Produkt von 2 Matrizen
A︸︷︷︸m×n
B︸︷︷︸n×k
= C︸︷︷︸m×k
I Standardverfahren:
Element cij = Skalarprodukt (i-te Zeile von A)· (j-te Spalte
von B) (Erlaubt, wenn # Spalten A = # Zeilen B!)
cij =n∑
k=1
aik · bkj
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Produkt von 2 Matrizen
weitere Darstellungen von AB = C :
I Linearkombination von Spalten:
j-te Spalte von C : LK der Spalten von A mit Koeffizienten
der j-ten Spalte von B.
I Linearkombination von Zeilen:
i-te Zeile von C : LK der Zeilen von B mit Koeffizienten der
i-ten Zeile von A.
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Eigenschaften der Multiplikation
I Assoziativ
A(BC ) = (AB)C
I Distributiv
A︸︷︷︸m×p
( B︸︷︷︸p×n
+ C︸︷︷︸p×n
) = AB︸︷︷︸m×n
+ AC︸︷︷︸m×n
I NICHT kommutativ
A︸︷︷︸m×p
B︸︷︷︸p×n
6= B︸︷︷︸p×n
A︸︷︷︸m×p︸ ︷︷ ︸
nicht moglich!
I Auch bei quadratischen Matrizen gilt meist AB 6= BA
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TranspositionBei der Transposition werden Zeilen und Spalten einer Matrix
vertauscht:
A → AT
m × n n ×m
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
T
=
a11 . . . am1...
. . ....
a1n . . . amn
Eigenschaften:
I (AB)T = BTAT
I (AT )T = A
I (A + B)T = AT + BT
I wenn AT = A: symmetrische Matrix; Diagonalmatrizen sind
symmetrisch!
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Dreiecksmatrizen
I A sei eine quadratische n × n Matrix
I A ist eine obere / untere Dreiecksmatrix wenn unterhalb /
oberhalb der Diagonalen nur Nullen sind.
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Orthogonale Matrizen
I Besondere quadratische n × n Matrix
In =
1 0 . . . 0
0 1 0 . . ....
......
...
0 . . . 0 1
I wenn A n × n Matrix gilt: AIn = InA = A
I In = neutrales Element fur die Multiplikation von
quadratischen n × n Matrizen
I wenn ATA = In, dann ist A eine orthogonale Matrix
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VerstandnisfragenI Folgt aus der linearen Unabhangigkeit von u und v auch jene
von u − v und u + v?I Folgt aus der linearen Unabhangigkeit von u, v ,w auch jene
von u + v + w , u + v , v + w?I Geben Sie zu folgenden Teilmengen von R3 an, ob es
Untervektorraume sind:
1. U1 =
v1v2v3
∈ R3 : v1 + v2 = 2
2. U2 =
v1v2v3
∈ R3 : v1 + v2 = v3
3. U3 =
v1v2v3
∈ R3 : v1v2 = v3
4. U4 =
v1v2v3
∈ R3 : v1 = v2 oder v1 = v3
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Verstandnisfragen
I ist die k-te Potenz einer symmetrischen Matrix auch
symmetrisch?
I sind die Matrizen
0 −1 0
0 0 −1
−1 0 0
und 13
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
orthogonal?