지중해MO - mediterranean 1998 ~2011

7/23/2019 MO - mediterranean 1998 ~2011

1/20

KAIST

2011 12 8


2/20

2


3/20

I

5

1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1998 , 4 4

. , .


4/20

4


5/20

I


6/20


7/20

1998 7

1998

1. ABCD . () AB M , MC M D >3

p3 M A MB . ()

2. n . z2n +zn + 1 z2 +z + 1

n 3 . ()

3. ABC I BC,C A,AB D,E,

F . \BI C BC M , AM EF P

. DP \F DE . ()


8/20

8 1999

1999

1. , ?

2. n , n .

n + 1 .

3. 0 a, b,c x + y+ z = 3 x, y , z

. (-)

3

2r1

a2+

1

b2+

1

c2 x

1 + a2+

y

1 + b2+

z

1 + c2

4. \B = 4\A ABC . BC=a, C A= b, AB= c

. ()

ab2c3 = (b2 a2 ac)((a2 b2)2 a2c2)


9/20


10/20

10 2001

2001

1. P Q k . k AC P Q M . ABk P Q kCD , k ABCD . AD BC X k P,

Q .

2. p(x) =x5 nx n 2 n .

3. 2000N 200120012001

N .

4. 1 S

. M2 S ,M BC,C A,AB aM,bM,cM .

f(M) =a3M(bM cM) + b3M(cM aM) + c3M(aM bM)

(a)

fM2 Sj f(M) 0g

.

(b) f(M) , .


11/20

2002 11

2002

1. y j x2 + 1 x2 j y3 + 1 x, y .

2. x,y ,a x + y = x3 + y3 =x5 + y5 =a . a

.

3. ABC M,N AC, B C , K MN .

4ACN,4BC M D . CD 4ABC O K AB .

4. a2 + b2 + c2 = 1 a, b, c .

a

b2 + 1+

b

c2 + 1+

c

a2 + 1 3

4(ap

a + bp

b + cp

c )2


12/20

12 2003

2003

1. x2 + y2 + z2 =x + y+ z+ 1 .

2. BC= C A + 12

AB ABC . AB BP : P A= 1 : 3 P

, \CAP = 2\CP A .

3. a + b + c= 3 a, b, c .

a

b2 + 1+

b

c2 + 1+

c

a2 + 1 3

2

4. ( )

, 6

.

0 1 , .


13/20

2004 13

2004

1. m .

1! 3! 5! (2m 1)! =

m(m + 1)

2

!

2. ABC, A T . O

, OA OT BC Q M .

.SAQC

SCMT= sin B

cos C2

3. ab + bc + ca + 2abc= 1 a,b, c .

2(a + b + c) + 1 32abc

4. z1, z2, z3 jz1j = jz2j = jz3j = 1 1

2 + jz1+ z2j + 1

2 + jz2+ z3j + 1

2 + jz3+ z1j = 1

. A(z1), B (z2), C(z3) ,

.


14/20

14 2005

2005

1. . ,

. .

\ ." . \ .

136." . ?

2. O R R(, R < R) k, k

. O k A, k B (, O A B

). O k E, k F (, E

O F ). 4OAE 4OBF EF ,AB .

3. n 3 , A1; A2; : : : ; An .

1

n

nXi=1

jAij!

+ 1n3

X1i


15/20

2006 15

2006

1. . 1

(a) 1 ?

(b) 2 ?

2. P ABC , A1B2, B1C2, C1A2 P AB, BC,

CA . , A1, A2 BC , B1, B2 CA , C1, C2 AB

. .

s[A1A2B1B2C1C2] 12

s[ABC]

, s[E] E .

3. ABC a,b, c gcd(a;b;c) = 1 . \A

BC D .

(a)4DBA 4ABC c .

(b) c= n2 (n 2), (a) 4ABC .

4. i= 1; 2; : : : ; m j = 1; 2; : : : ; n 0 xi;j 1 , .

nYj=1

1

mYi=1

xi;j

!+

mYi=1

0@1 nY

j=1

(1 xi;j)1A 1


16/20

16 2007

2007

1. x y z xy+ yz + zx = 1 . xz < 12 . , 12 ?

2. ABCD AC BD E . AB = 39,

AE= 45, AD = 60, B C= 56 , C D .

3. = \A a= BC ABC . a =p

rR

(r, R ), AB AC

.

4. x >1 , .x + fxg

[x] [x]

x + fxg

+

x + [x]

fxg fxgx + [x]

>

9

2


17/20

2008 17

2008

1. ABCDEF . AB

BC C D

DE E F

F A = 1 , ,

AD, B E, C F .

2. 1 i < j < k i,j ,k A1; A2; : : : B1; B2; : : : ?

(i) AiAj Bk k= i +j .

(ii) BiBj Ak k= i +j .

3. n .

nXi=1

X1i1


18/20


19/20

2010 19

2010

1. a, b, c, d , x,y , z , u

.

x2 yz zu yu = ay2 zu ux xz = bz2 ux xy yu = cu2 xy yz zx = d

2. n >2 a1+ a2+ + an = 1 a1; a2; : : : ; an .

a2 a3 ana1+ n 2 +

a1 a3 ana2+ n 2 + +

a1 a2 an1an+ n 2

1

(n 1)2

3. A,B ,C 4ABC BC,C A,AB . 4ABC R

R

=

1

2rp

2R(2R ha)(2R hb)(2R hc) . ,R r 4ABC ,ha,hb,hc .

4. p >1 . f1; 2; : : : ; pg m n p .


20/20

20 2011

2011

1.

.

P(x) =x10 20x9 + 135x8 + a7x7 + a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

.

(Gerhard Woeginger, )

2. A .B = f x=y j x; y2 A g ,C= fxy j x; y2 A g .

jAj j

Bj j

Cj2 . (Gerhard Woeginger, )

3. h xh

.

(, ).

x3 + x2 + x= 2 .

4. ABC \A D . ABD

ACD AB, AC M, N . BN

CM AD .

지중해MO - mediterranean 1998 ~2011

Documents

Transcript of 지중해MO - mediterranean 1998 ~2011