Množiny bodů daných vlastností, Mocnost bodu ke kružnici...Množina všech bodů, které: c)...

MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ,MOCNOST BODU KE KRUŽNICI

GE1

MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ

Definice: Množina všech bodů dané vlastnosti je množina M všech bodů v rovině, které splňují tyto požadavky:

každý bod z množiny M má danou vlastnost,

každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny M.

Základní množiny bodů dané vlastnosti:

Množina všech bodů, které

a) mají od daného bodu S danou vzdálenost r, je kružnice k(S, r).

b) mají od dané přímky p danou vzdálenost d, jsou dvě přímky p, provnoběžné s p a ležící v opačných polorovinách vyťatých přímkou p ve vzdálenosti d od ní.

MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 2

Množina všech bodů, které:

c) mají stejnou vzdálenost od různých bodů A, B je osa úsečky AB.

d) mají stejnou vzdálenost od dvou daných různých rovnoběžek a, b je osa o pásu jimi omezeného.

e) mají stejnou vzdálenost od dvou daných různých různoběžek a, b jsou osy úhlů, určených přímkami a, b.

f) jsou vrcholy úhlů shodných s daným dutým úhlem a a jejichž ramena procházejí dvěma danými různými body A, B, neboli bodů X z nichž vidíme úsečku AB pod úhlem a jsou dva shodné kruhové oblouky AX1B a AX2B souměrně sdružené podle přímky AB.

g) všech vrcholů pravých úhlů, jejichž ramena procházejí dvěma danými různými body A, B neboli množina všech bodů, z nichž je vidět danou úsečku AB pod úhlem 90°je kružnice sestrojená nad průměrem AB s výjimkou bodů A, B (tzv. Thaletova kružnice).

h) ....


Příklad: Jsou dány dva body A, B. Co je množinou bodů dotyku všech tečen vedených bodem A ke kružnici se středem v B a o poloměru r, r < AB.

Příklad: Sestrojte trojúhelník, je-li dána velikost jedné jeho strany, příslušné výšky a těžnice na tuto stranu.

Příklad: Je dán ostrý úhel AVB. Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala obou ramen daného úhlu a procházela bodem B.

Příklad: Je dána přímka p, bod A ∉ p a úsečka délky r. Sestrojte kružnici k tak, aby měla poloměr r, procházela bodem A a dotýkala se přímky p.

Příklad: Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2). Sestrojte kružnici ktak, aby měla daný poloměr r a dotýkala se vně obou daných kružnic.

Příklad: Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b, c takových, že a‖b a c je s oběma různoběžná.

Příklad: Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou soustředných kružnic k1, k2 a přímky p.

Příklad: Sestrojte kružnici, která se dotýká dvou rovnoběžek p, q a prochází bodem A.

MOCNOST BODU KE KRUŽNICI

Definice: Nechť je dána kružnice k(S, r) a M je libovolný bod. Nechť d je vzdálenost bodu M od S. Reálné číslo

m = d2 - r2 nazýváme mocností bodu M ke kružnici k.


Věta: Nechť je dán bod M, jehož vzdálenost od

středu S dané kružnice k(S, r) je d. Potom o mocnosti

𝑚 = 𝑑2 − 𝑟2 bodu M ke kružnici k platí:

1. Pro všechny body M, které leží vně kružnice k, je

mocnost kladné číslo.

Libovolná sečna kružnice k vedená bodem M

protíná kružnici ve dvou různých bodech A, B,

pro které platí:

𝑚 = │𝑀𝐴│. │𝑀𝐵│.

Jestliže je T bod dotyku tečny t vedené z bodu

M ke kružnici k, potom platí

𝑚 = │𝑀𝑇│2.


2. Pro všechny body M kružnice k je 𝑚 = 0.

3. Pro každý bod M, který leží uvnitř kružnice je mocnost záporné číslo.

𝑚 = −│𝑀𝐴│.│𝑀𝐵│.

Pro bod S: 𝑚 = −𝑟2.


Příklad: Sestrojte kružnici, která prochází danými body A, B a dotýká se přímky t(Apolloniova úloha BBp).


CHORDÁLA

Definice: Množina všech bodů v rovině, které mají ke dvěma daným kružnicím stejnou mocnost, se nazývá chordála daných kružnic.

Vlastnosti chordály:

Nechť jsou dány dvě kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2):

kružnice soustředné - chordála neexistuje

kružnice nesoustředné - chordálou je přímka ch kolmá k S1S2 a platí:

Jestliže se kružnice protínají ve dvou bodech XY, je jejich chordála ch=XY.

Jestliže se kružnice dotýkají v bodě T, pak jejich chordálou je společná tečna v bodě dotyku.

Jestliže jedna kružnice leží uvnitř druhé nebo leží vně sebe, pak je jejich chordála nesečna každé z nich, v 1. případě leží obě kružnice v téže polorovině určené chordálou, zatímco ve 2. případě leží v polorovinách opačných.


POTENČNÍ STŘEDDefinice: Bod, který má stejnou mocnost ke třem kružnicím, jejichž středy neleží v téže přímce, se nazývá potenční střed (bod, chordální střed) P.

Věta: Nechť jsou dány kružnice k1, k2, k3, jejichž střed jsou navzájem různé. Označme ch1,3 společnou chordálu kružnic k1, k3; ch1,2 chordálu kružnic k1, k2; ch2,3 chordálu kružnic k2, k3.

1. Jestliže středy daných kružnic leží na jediné přímce:

dané kružnice nemají žádný potenční střed (chordály jsou rovnoběžné)

tři chordály splynou a kružnice mají nekonečně mnoho potenčních středů


Věta: Nechť jsou dány kružnice k1, k2, k3, jejichž střed jsou navzájem různé. Označme ch1,3 společnou chordálu kružnic k1, k3; ch1,2 chordálu kružnic k1, k2; ch2,3 chordálu kružnic k2, k3.

2. Jestliže středy daných kružnic neleží na téže přímce, pak všechny tři chordály mají společný jediný bod, který je potenčním středem všech tří kružnic.


Sestrojení chordály kružnic, které se neprotínají:


Vlastnosti potenčního středu:

Potenční střed tří kružnic (pokud leží ve vnější oblasti všech tří kružnic) je jediný bod v rovině, z něhož lze vést ke třem kružnicím tečny. Přičemž vzdálenost potenčního středu od kteréhokoliv bodu dotyku je stejná.

Potenční střed tří kružnic je jediný bod v rovině, který má stejnou mocnost ke třem kružnicím, jejichž středy neleží na téže přímce.


Příklad: Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1(S1, r1), k2(S2, r2), 𝑟2 < 𝑟1, které nemají žádný společný bod. Přičemž kružnice k2 je uvnitř kružnice k1.

Příklad: Jsou dány body A, B a kružnice k. Sestrojte kružnici l, jež prochází body A, B a dotýká se kružnice k. (Apolloniova úloha BBk)

SVAZKY KRUŽNIC

Definice: Množina všech kružnic v rovině, které mají společnou chordálu nazveme svazkem kružnic.

Vlastnosti svazku kružnic:

Svazek kružnic je určen dvěma tzv. základními kružnicemi nebo kružnicí a přímkou, která je chordálou svazku.

Středy všech kružnic svazku leží na jedné přímce tzv. středné svazku.

Věta: Každým bodem v rovině, který neleží na chordále svazku

prochází právě jedna kružnice svazku.


Typy svazků:

Má-li jedna z kružnic s chordálou svazku dva společné body, pak se svazek skládá

ze všech kružnic, které těmito body prochází a takový svazek se nazývá eliptický.

Dotýká-li se jedna z kružnic chordály, pak se svazek skládá ze všech kružnic, které

se v tomto bodě chordály dotýkají. Svazku říkáme parabolický.

Nemá-li jedna z kružnic svazku společné body s chordálou, pak všechny kružnice

svazku jsou disjunktní navzájem i s chordálou. Jedná se o hyperbolický svazek.


ORTOGONÁLNÍ KRUŽNICE

Definice: Ortogonálními kružnicemi se nazývají kružnice, které se protínají pod pravým úhlem, tj.

tečny kružnic v jejich průsečíku jsou k sobě kolmé.

Věta: Chordála daných kružnic, resp. její vnější část vzhledem k těmto kružnicím, je množina

středů kružnic, které jsou ke dvěma daným kružnicím ortogonální.

Věta: Množina všech kružnic, které protínají ortogonálně kružnice daného svazku, tvoří opět

svazek kružnic.


ORTOGONÁLNÍ SVAZKY KRUŽNIC

Definice:

Svazky kružnic, z nichž každá protíná ortogonálně každou kružnici daného svazku, nazýváme sdružené svazky kružnic resp. ortogonální svazky.

Poznámka:

Je-li jeden ze dvou svazků hyperbolický, pak je druhý eliptický.

Svazek sdružený ke svazku parabolickému je opět parabolický.

Průsečíky všech kružnic eliptického svazku, který je sdružený k danému hyperbolickému svazku, můžeme považovat za kružnice s nulovým poloměrem v hyperbolickém svazku. Tyto body se nazývají mezní body hyperbolického svazku.

Eliptický svazek - žádný mezní bod

parabolický - jeden mezní bod

hyperbolický - dva mezní body.


Množiny bodů daných vlastností, Mocnost bodu ke kružnici...Množina všech bodů, které: c)...

Documents

Transcript of Množiny bodů daných vlastností, Mocnost bodu ke kružnici...Množina všech bodů, které: c)...