MATEMATICKEMETODEFIZIKEUVODZvonkoGlumacOsijek,2007vMathematicsispartofphysics.VladimirIgorevichArnoldviSadrzaj1 Poopcenikoordinatnisustav 11.1 Denicijapoopcenogkoordinatnogsustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operatorgradijentaupoopcenomkoordinatnomsustavu . . . . . . . . . . 61.3 Operatordivergencijeupoopcenomkoordinatnomsustavu . . . . . . . . . 81.4 Operatorrotacijeupoopcenomkoordinatnomsustavu . . . . . . . . . . . 101.5 Laplasijanskalarnogpoljaupoopcenomkoordinatnomsustavu. . . . . . . 121.6 Laplasijanvektorskogpoljaupoopcenomkoordinatnomsustavu . . . . . . 131.7 Eliptickikoordinatnisustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Funkcijekompleksnevarijable1 172.1 Kompleksnaalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Derivacijakompleksnefunkcije:Cauchy-Riemannoviuvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Integralkompleksnefunkcije: Cauchyjevintegralniteorem . . . . . . . . . 292.4 Cauchyjevaintegralnaformula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1 Primjenauteorijipotencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Cauchyevintegraliderivacijafunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Razvojkompleksnefunkcijeured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.1 Taylorovrazvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.2 Analitickoproduljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.3 Polovifunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.4 Laurentovrazvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.1 Konformnopreslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Funkcijekompleksnevarijable2 673.1 Singularitetifunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Racunreziduuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.1 Teoremoreziduumima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Cauchyjevaglavnavrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.3 Poleexpansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.4 Productexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.5 Izracunavanjenekihtipovaodredenihintegrala. . . . . . . . . . . . 773.3 Disperzijskerelacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4 Metodanajvecestrmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90viiviii SADRZAJ4 Diferencijalnejednadzbe 954.1 Opcenito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Obicnelinearnediferencijalnejednadzbeprvogreda . . . . . . . . . . . . . 974.3 Obicnelinearnediferencijalnejednadzbedrugogreda-homogene . . . . . 1014.3.1 Singularnetockediferencijalnejednadzbe. . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.2 Frobeniusovmetod-razvojrjesenjaured . . . . . . . . . . . . . . 1094.3.3 Frobenius-jednodimenzijskislobodniharmonijskioscilator. . . . . 1114.3.4 Frobenius-Besselovajednadzba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.5 Frobenius-bitnisingularitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.6 Drugorjesenjeuoblikurazvojaured. . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4 Obicnelinearnediferencijalnejednadzbedrugogreda-nehomogene . . . . 1264.4.1 Varijacijakonstante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4.2 OLDJ:Greenovefunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5 Parcijalnelinearnediferencijalnejednadzbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5.1 Razdvajanjevarijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.2 LaplaceovaiPoissonovajednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5.3 Difuzijskajednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5.4 PLDJ:Greenovefunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 Numerickarjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535 Ortogonalnefunkcije 1555.1 Samoadjungiranediferencijalnejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2 Hermitskioperatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3 Linearnonezavisanskupfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.4 Gram-Schmidtovpostupakortogonalizacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.4.1 Potpunostskupasvojstvenihfunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.4.2 Nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5 RazvojGreenovefunkcijeposvojstvenimfunkcijama . . . . . . . . . . . . 1835.6 Greenovefunkcijeujednojdimenziji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856 Specijalnefunkcije 1976.1 Diracovadeltafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2 Gamafunkcija(faktorijeli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2.1 Denicijaiosnovnasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2.2 Digamaipoligamafunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.3 Stirlingoviredovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.4 Betafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2.5 Nepotpunegamafunkcijeisnjimapovezanefunkcije . . . . . . . . 2146.3 Besselovefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.3.1 BesselovefunkcijeprvevrsteJ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.3.2 Ortogonalnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.3.3 Neumannovefunkcije,BesselovefunkcijedrugevrsteN(x) . . . . . 2276.3.4 Hankelovefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.3.5 ModiciraneBesselovefunkcijeI(x)iK(x). . . . . . . . . . . . . 2276.3.6 Asimptotskirazvoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.3.7 SferneBesselovefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.4 Legendreovipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.4.1 Funkcijaizvodnica(generatrisa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228SADRZAJ ix6.4.2 Rekurzijeiposebnasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4.3 Ortogonalnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.4.4 AlternativnadenicijaLegendreovihpolinoma . . . . . . . . . . . . 2516.4.5 PridruzeniLegendreovipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.4.6 Kuglinefunkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.4.7 Operatorimomentakolicinegibanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.4.8 Adicijskiteoremzakuglinefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.4.9 Integraliumnoskatrikuglinefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.4.10 LegendreovefunkcijedrugevrsteQl(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.4.11 Vektorskekuglinefunkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.5 Hermiteovipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.6 Laguerreovipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.6.1 PridruzeniLaguerreovipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.7Cebisevljevipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.8 Hipergeometrijskafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.9 Konuentnahipergeometrijskafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966.10 Specijalnefunkcije-sazetak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2967 Fourieroviredovi 2997.1 Opcasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2997.2 PrednostikoristenjaFourierovihredova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.3 PrimjeneFourierovihredova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.3.1 Riemannovazetafunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3147.3.2 Abelovteorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.4 SvojstvaFourierovihredova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3187.5 Gibbsovapojava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3197.6 DiskretneFourierovepreobrazbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208 Integralnepreobrazbe 3258.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258.2 Fourierovapreobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.2.1 RazvojFourierovogintegrala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.2.2 Fourierovapreobrazba-teoreminverzije . . . . . . . . . . . . . . . 3318.2.3 Fourierovapreobrazbaderivacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3368.2.4 Teoremkonvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.2.5 preprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.2.6 Funkcijatransfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468.2.7 Fourierovapreobrazbaelementarnihfunkcija . . . . . . . . . . . . . 3498.2.8 Rjesavanjeparcijalnihdiferencijalnihjednadzba . . . . . . . . . . . 3508.3 Laplaceovapreobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.3.1 ElementarnaLaplaceovapreobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508.3.2 Laplaceovapreobrazbaderivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3598.3.3 Ostalasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.3.4 Konvolucijskiilifaltungteorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3728.3.5 InverznaLaplaceovapreobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778.3.6 Laplaceovapreobrazba- rjesavanjeparcijalnihdiferencijalnihjed-nadzba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381x SADRZAJ9 Integralnejednadzbe 3859.1 Teoremkonvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38510Varijacijskiracun 38710.1 Jednaovisnaijednaneovisnavarijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38710.2 PrimjeneEulerovejednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39110.3 Jednaneovisnainekolikoovisnihvarijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39310.4 Jednaovisnainekolikoneovisnihvarijabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39710.5 Viseodjedneovisneiviseodjedneneovisnevarijable. . . . . . . . . . . . 40010.6 Lagrangeovimnozitelji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40110.7 Varijacijeuzuvjete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40510.8 Rayleigh-Ritzovavarijacijskatehnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41111Kaos 41911.1 Logistickopreslikavanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41911.2 Fraktali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436OvosubiljeskesautorovihpredavanjaizkolegijaMatematickemetodezike, sapetogsemestraprofesorskogsmjerastudijazikesveucilistauOsijeku. Biljeskenisustrucnorecenziraneidajusenauvidstudentimakaoorjentacijazapripremanjeispita.Svapravapridrzana.xixii SADRZAJPredgovorCiljoveknjigejeolaksatipracenjepredavanjaipolaganjeispitaizkolegijaMatematickemetodezike,studentimazikesveucilistauOsijeku.Za njezino pracenje je dovoljno elementarno poznavanje vektorskog i integro-diferencijanogracuna,kaoiosnovnihpojmovaopcezike.Izsvojegvisegodisnjegradasastudentima, autorjedosaodonedvojbenogzakljuckadaopsirnostknjigenikakonemozebiti njezinnedostatak. Stogasui mnogaobjasnjenja,racuniiizvodidanidostadetaljno,uzizostanaksamonajelementarnijihalgebarskihma-nipulacija.Visedetaljaopojedinimtemamaobradenimuovoj knjizi, zainetersirani citatelj mozenaciunekojodknjiganavedenihupopisuliterature.Napomena:Pojavljivanje u tekstu imenica kao sto su citatelj, student i slicnih, podrazumjeva i osobezenskogiosobemuskogspola,dakle: citateljica,studenticaislicno.uOsijeku,prosinca2005.AutorxiiiPoglavlje1Poopcenikoordinatnisustav1.1 DenicijapoopcenogkoordinatnogsustavaPolozajtockeutrodimnezijskomprostorujejednoznacnoodredenzadavanjemtri broja(koordinate) koji, uz dodatna pravila za njihovo odredivanje, jednoznacno opisuju polozajtocke u prostoru. Te tri koordinate zajedno s pravilima za njihovo odredivanje, nazivamokoordinatnimsustavima. Dosadasmoseupoznali s tri1koordinatnasustava: pravo-kutnim, sfernimi cilindricnim, auovomodjeljkucemoproblemukoordinatnogsustavaprici nestoopcenitije. Opcenitocemokoordinateoznaciti sq1, q2i q3. Njihovavezaspravokutnimkoordinatamajeoblikax = x(q1, q2, q3), y= y(q1, q2, q3), z= z(q1, q2, q3), (1.1)q1= q1(x, y, z), q2= q2(x, y, z), q3= q3(x, y, z).Zasfernikoordinatnisustav,tosurelacijex = r sin cos , r =x2+ y2+ z2,y = r sin sin , = arccoszx2+ y2+ z2, (1.2)z = r cos , = arctan yx,azacilindricnikoordinatnisustav,tosurelacijex = cos , =x2+ y2,y = sin , = arctan yx, (1.3)z = z.Koordinatnomlinijom nazivamo skup tocaka u prostoru za koje su dvije koordinatnekonstantne, atrecasemijenja. Jedinicnimvektorima qjnazivamovektorejedninicnogiznosakojilezenatangentikoordinatnelinije(udanojtocki)iimajusmjerporastaj-tekoordinate. Ako zelimo da vektori qjbudu bazni vektori, pokazat cemo da se preobrazbe(1.1)nemoguodabratiproizvoljno,vecmorajuzadovoljavatiodredeneuvjete.Koordinatnompolohom cemo nazivati skup tocaka u prostoru, za koje su dvije koor-dinatepromjenjive,atrecajekonstantna.Povezimobazne vektore pravokutnogi poopcenogkoordinatnogsustava. Polazeci od1Vidjetinpr. u[?].12 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVradij-vektoraupravokutnojbazi r = x x+ y y+ z z ,izracunajmo(dr)2dr = dx x+ dy y+ dz z (dr)2= dx2+ dy2+ dz2.No,pravokutnekoordinatesu,preko(1.1),danekaofunkcijepoopcenih,pajezatodx = x q1dq1 + x q2dq2 + x q3dq3,dy = y q1dq1 + y q2dq2 + y q3dq3,dz = z q1dq1 + z q2dq2 + z q3dq3.Uvrstavanjegornjihparcijalnihderivacijauizrazza(dr)2, dajekvadrat diferencijalnepromjeneradij-vektoraizrazenprekopromjenepoopcenihkoordinata. Tajseizrazmozepreglednonapisati pomocuLame-ovihparametaraili faktoraskale, hji hi,j, koji sudeniraninaslijedecinacinh1=_ x q1_2+_ y q1_2+_ z q1_2,h2=_ x q2_2+_ y q2_2+_ z q2_2, (1.4)h3=_ x q3_2+_ y q3_2+_ z q3_2,hi,j= x qi x qj+ y qi y qj+ z qi z qj, i, j= 1, 2, 3.Primjetimodajehi,j=hj,ii dajehi,i=h2i. Takojenpr. zasferni (SKS)i cilindricni(CKS)koordinatnisustavSKS: q1= r, q2= , q3= ,h1= 1, h2= r, h3= r sin ,CKS: q1= , q2= , q3= z,h1= 1, h2= , h3= 1.Primjer:1.1Pokazitedajeusfernomicilindricnomkoordinatnomsustavuhi,j= 0zai = j.R:1.1. DEFINICIJAPOOPCENOGKOORDINATNOGSUSTAVA 3PomocuLame-ovihparametara,(dr)2semozepreglednonapisatikao(dr)2= h21dq21 + h22dq22 + h23dq23 + 2 h1,2dq1dq2 + 2 h1,3dq1dq3 + 2 h2,3dq2dq3.FizickoznacenjeLamee-ovihparametarajesteduljinapomakaduzodredenepoopcenekoordinate. Nekasemijenjasamokoordinataqj(apreostaledvijesukonstantne). Tadaje(dr)2= h2j dq2j dr = hj dqj qj.Sada, pomocu skalarnog umnoska, lako mozemo izracunati kosinuse kutova koje jedinicnivektor qjzatvara s baznim vektorima pravokutnog koordinatnog sustava. Ako se mijenjasamoqjkoordinata,tadajedr =_ hj dqj qj/ xdx x+ dy y+ dz z = x qjdqj x+ y qjdqj y+ z qjdqj z / xSkalarniumnozakdajekosinuskutaizmedubaznihvektora: qj x= cos( qj, x)hj dqjcos( qj, x ) = x qjdqj cos( qj, x ) =1hj x qj.Slicnimpostupkomseizakutoveizmedu qji y i z dobijecos( qj, y ) =1hj y qj, cos( qj, z ) =1hj z qjGornjerezultatemozemopreglednoprikazatislijedecomtablicom x y z q11h1 x q11h1 y q11h1 z q1 q21h2 x q21h2 y q21h2 z q2(1.5) q31h3 x q31h3 y q31h3 z q3,ilimatricno__ q1 q2 q3__ = M__ x y z__, M=__1h1 x q11h1 y q11h1 z q11h2 x q21h2 y q21h2 z q21h3 x q31h3 y q31h3 z q3__. (1.6)4 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVIztablice1.5jelakoocitatiiinverznurelaciju__ x y z__ = MT__ q1 q2 q3__, MT=__1h1 x q11h2 x q21h3 x q31h1 y q11h2 y q21h3 y q31h1 z q11h2 z q21h3 z q3__(1.7)pazakljucujemodamoravrijediti__ q1 q2 q3__= M__ x y z__ = MMT__ q1 q2 q3__,__ x y z__= MT__ q1 q2 q3__ = MTM__ x y z__,tj. damorabitiM MT= MT M= 1.IzracunajmonajprijedijagonalneelementeM MT:(1, 1) :_1h1 x q1_2+_1h1 y q1_2+_1h1 z q1_2=1h21__ x q1_2+_ y q1_2+_ z q1_2_ = (1.4) = 1,(2, 2) :_1h2 x q2_2+_1h2 y q2_2+_1h2 z q2_2=1h22__ x q2_2+_ y q2_2+_ z q2_2_ = (1.4) = 1,(3, 3) :_1h3 x q3_2+_1h3 y q3_2+_1h3 z q3_2=1h23__ x q3_2+_ y q3_2+_ z q3_2_ = (1.4) = 1,Odnedijagonalnihelemenatacemoizracunati samojedanprimjer, koji je zatimlakopoopcitiinaostalenedijagonalneelemente(1, 2) :1h1h2_ x q1 x q2+ y q1 y q2+ z q1 z q2_ = (1.4) =h1,2h1h2i slicnozaostalenedijagonalneelemente. OcitojedarelacijaM MT=1, vodi nazahtjevhi,j= 0, i = j. (1.8)Proizvoljnivektor vmozemorazvitiipopravokutnojipopoopcenojbaziv= vx x+ vy y+ vz z = v1 q1 + v2 q2 + v3 q3.Pomocurelacija(1.6)i(1.7)kojepovezujuobjebaze,lakojedobitiivezemedukompo-1.1. DEFINICIJAPOOPCENOGKOORDINATNOGSUSTAVA 5nentamavektorautimbazama__v1v2v3__ = M__vxvyvz__,__vxvyvz__ = MT__v1v2v3__.Potrazimo koje uvjete moraju zadovoljavati Lame-ovi parametri, pa da qj cine desnu bazutrodimenzijskogprostora. Dabiseizvelo,trebadokazatidvijestvari:(1) da cine potpun skup, tj. da se svaki vektor prostora moze prikazati kao linearna kom-binacijavektorabaze,i(2)dasuortonormirani).Potpunost: ... dovrsiti....Ortonormiranost: qi qj=? = i,j.Sukladnorelacijama(1.5)iortonormiranostivektora x , y , z ,skalarniumnozak qii qjje qi qj=_ 1hi x qi x+1hi y qi y+1hi z qi z__1hj x qj x+1hj y qj y+1hj z qj z_=1hihj_ x qi x qj+ y qi y qj+ z qi z qj_ = (1.4) =hi,jhihj= (1.8) = 0.pa qjcineortonormiranskup. Uzovajuvjetjedr = h1dq1 q1 + h2dq2 q2 + h3dq3 q3, (dr)2= h21dq21 + h22dq22 + h23dq23.Pokazimojosidavektori qjcinedesnubazu,tj. davrijederelacije q1 q1= 0, q1 q2= q3, q1 q3= q2, q2 q1= q3, q2 q2= 0, q3 q3= q1, q3 q1= q2, q3 q2= q1, q3 q3= 0.Izravnimuvrstavanjemsedobiva qj qj=_1hj x qj x+1hj y qj y+1hj z qj z__1hj x qj x+1hj y qj y+1hj z qj z_ = = 0Zai = jsedobiva qi qj=_ 1hi x qi x+1hi y qi y+1hi z qi z__1hj x qj x+1hj y qj y+1hj z qj z_=1hihj__ y qi z qj z qi y qj_ x+_ z qi x qj x qi z qj_ y+_ x qi y qj y qi x qj_ z_.Lakosepokazujedaje qi ( qi qj) = qj ( qi qj) = 0. Npr. qi ( qi qj) =1h2ihj_ x qi_ y qi z qj z qi y qj_+ y qi_ z qi x qj x qi z qj_+ z qi_ x qi y qj y qi x qj__ = 0.Toznacidajevektor qi qjokomitina qiina qj,pazbogortonormiranostimorabiti6 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVjednak qkzak =i, j, predznakplusdolazi akovektori cinedesnubazu, apredznakminus,ako cinelijevubazu(?uvestitenzorijk). dovrsitiPrimjer:1.2Parabolicnikoordinatnisustav: pokazitedaizborkoordinataq1= r + z, q2= r z, q3= arctan yx,vodinaortonormiranubazu qj.R: dodatislikuidovrsitiNekaproizvoljnivektor vovisiovremenutv(t) = v1(t) q1(t) + v2(t) q2(t) + v3(t) q3(t),Izracunajmonjegovuvremenskuderivacijudv(t)d t=d v1d t q1 +d v2d t q2 +d v3d t q3 + v1d q1d t+ v2d q2d t+ v3d q3d t.Lakojeopcenitopokazati dajederivacijajedinicnogvektoraokomitanasamvektor:derivacijomuvjetanormiranostislijedi qj qj= 1,_dd td qjd t qj+ qjd qjd t= 0 2 qjd qjd t= 0 qj d qjd t.Izovogazakljucujemodaderivacijavektora qjleziu( qi, qk)ravninid qjd t= qi + qk, , = const.1.2 OperatorgradijentaupoopcenomkoordinatnomsustavuNeka je zadana skalarno polje poopcenih koordinata, s(q1, q2, q3). Zadatak je naci gradijenttogpoljaupoopcenomkoordinatnomsustavu. Zapocet cemosonime stoznamo,atojegradijentupravokutnomkoordinatnomsustavugrad s = s =_ x x+ y y+ z z_s = x s x+ y s y+ z s z.1.2. OPERATORGRADIJENTAUPOOPCENOMKOORDINATNOMSUSTAVU 7Sada,prema(1.1),pravokutnekoordinateshvacamokaofunkcijepoopcenihs = x s x+ y f y+ z s z= x_ s q1 q1 x+ s q2 q2 x+ s q3 q3 x_+ y_ s q1 q1 y+ s q2 q2 y+ s q3 q3 y_+ z_ s q1 q1 z+ s q2 q2 z+ s q3 q3 z_= s q1_ x q1 x+ y q1 y+ z q1 z_+ s q2_ x q2 x+ y q2 y+ z q2 z_+ s q3_ x q3 x+ y q3 y+ z q3 z_= s q1q1 + s q2q2 + s q3q3, (1.9)gdje smo s qjoznacili gradijent j-te poopcene koordinate u pravokutnom koordinatnomsustavuqj= x qj x+ y qj y+ z qj z , j= 1, 2, 3.No, svaki vektor, pa tako i qj se moze razviti po vektorima baze poopcenog koordinatnogsustava,tj. morapostojatizapisoblikaqj= g1 q1 + g2 q2 + g3 q3.Zbogortonormiranosti vektorabaze qj, komponente razvojaje lakodobiti skalarnimumnoskom. Takoje q1 (q1) = g1= q1 x q1 x+ q1 y q1 y+ q1 z q1 z= (1.5) ==1h1 x q1 q1 x+1h1 y q1 q1 y+1h1 z q1 q1 z=1h1_ q1 x x q1+ q1 y y q1+ q1 z z q1_=1h1 q1(x, y, z) q1=1h1. q2 (q1) = g2=1h2 q1 q2=1h2 0 = 0. q3 (q1) = g3=1h3 q1 q3=1h3 0 = 0.8 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVGradijentkoordinateq1jeusmjerenupravcuvektora q1,aiznosmujejednak1/h1q1=1h1 q1.Naslicansedobijuigradijentipreostaledvijepoopcenekoordinateq2=1h2 q2,q3=1h3 q3.Sadasemozemovratitiizrazuzagradijentskalarnogpolja(1.9)inapisatikonacniizrazzaoperatorgradijentaupoopcenomkoordinatnomsustavus =_ q1h1 q1+ q2h2 q2+ q3h3 q3_s. (1.10)Primjenjenanasferni(SKS)icilindricni(CKS)koordinatnisustav,gornjarelacijadajeSKS: q1= r , q2= , q3= h1= 1, h2= r, h3= rsin = r r+r + r sin , (1.11)(1.12)CKS: q1= , q2= , q3= zh1= 1, h2= , h3= 1= + + z z. (1.13)1.3 OperatordivergencijeupoopcenomkoordinatnomsustavuNekajezadanovektorskopoljeV(q1, q2, q3)=V1 q1 + V2 q2 + V3 q3. Zelimoizracunatinjegovudivergenciju V upoopcenomkoordinatnomsustavuV =(V1 q1 + V2 q2 + V3 q3)= (V1) q1 + (V2) q2 + (V3) q3(1.14)+ V1( q1) + V2( q2) + V3( q3).Same komponente VjvektoraV su skalarna polja, a gradijent skalarnog polja smo upravoizracunaliuodjeljku1.2,panampreostajejosizracunatiizrazeoblika qj. Iztogistogodjeljka1.2znamoidaje q1= q1/h1,abuducidajerotacijagradijentajednakanuli,1.3. OPERATORDIVERGENCIJEUPOOPCENOMKOORDINATNOMSUSTAVU 9slijedidajei0 = q1= 1h1 q1.Nadaljeje0 = 1h1 q1=1h1 q1 + (1h1) q10 =1h1 q11h21(h1) q1 q1=1h1(h1) q1.Gradijenth1mozemoraspisatipomocu(1.10)h1= q1h1h1 q1+ q2h2h1 q2+ q3h3h1 q3,stokonacnovodina q1=1h1_ q1h1h1 q1+ q2h2h1 q2+ q3h3h1 q3_ q1=1h1h3h1 q3 q21h1h2h1 q2 q3.Slicnimsenacinomracunajuirotacijepreostaladvajedinicnavektora q1=1h1h3h1 q3 q21h1h2h1 q2 q3, q2=1h2h1h2 q1 q31h2h3h2 q3 q1, (1.15) q3=1h3h2h3 q2 q11h3h1h3 q1 q2.Pomocugornjihizrazaijednakosti2(a b ) =b ( a ) a ( b ),mozemoizracunatidivergencijejedinicnihvektora q1=( q1 q3) = q3( q2) q2( q3)= q3_1h2h1h2 q1 q31h2h3h2 q3 q1_ q2_1h3h2h3 q2 q11h3h1h3 q1 q2_=1h1h2h2 q1+1h1h3h3 q12Vidjetinpr. [?].10 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVSlicnimsepostupkomracunajui divergencijepreostaladvajedinicnavektora, stosvezajednodaje q1=1h1h2h2 q1+1h1h3h3 q1, q2=1h2h3h3 q2+1h1h2h1 q2, q3=1h1h3h1 q3+1h2h3h2 q3.Vratimo se izrazu (1.14). Izravnim uvrstavanjem izraza (1.10) za divergenciju svake kom-ponentepolja Vjigornjihizrazazadivergencijejedinicnihvektora qj,dobivasezadivergencijuvektorskogpoljaV =1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)_. (1.16)Primjenjenanasferni(SKS)icilindricni(CKS)koordinatnisustav,gornjarelacijadajeSKS: q1= r , q2= , q3= h1= 1, h2= r, h3= rsin V =1r2 r_r2Vr_+1r sin (sin V) +1r sin V ,CKS: q1= , q2= , q3= zh1= 1, h2= , h3= 1V =1 (V) +1V +Vz z.1.4 OperatorrotacijeupoopcenomkoordinatnomsustavuProizvoljnivektorV upoopcenomkoordinatnomsustavujeoblikaV = V1 q1 + V2 q2 + V3 q3.Primjenompoznate3relacije (ab ) = a( b ) + ( a) b ,3Vidjetinpr. [?].1.4. OPERATORROTACIJEUPOOPCENOMKOORDINATNOMSUSTAVU 11naV,dobivase V = (V1 q1 + V2 q2 + V3 q3)= ( V1) q1 + V1 q1+ ( V2) q2 + V2 q2+ ( V3) q3 + V3 q3.Clanovi oblika Vjse racunaju uvrstvanjamu (1.10), a clanovi oblika qj,uvrstavanjemu(1.15) V =_ q1h1 V1 q1+ q2h2 V1 q2+ q3h3 V1 q3_ q1 + V1_1h1h3h1 q3 q21h1h2h1 q2 q3_+_ q1h1 V2 q1+ q2h2 V2 q2+ q3h3 V2 q3_ q2 + V2_1h1h2h2 q1 q31h2h3h2 q3 q1_+_ q1h1 V3 q1+ q2h2 V3 q2+ q3h3 V3 q3_ q3 + V3_1h2h3h3 q2 q31h1h3h3 q1 q2_Sredivanjemgornjegizraza,dobivaserotacijavektoraizrazenaupoopcenomkoordinat-nomsustavu V = q1h2h3_V3h3 q2V2h2 q3_+ q2h1h3_V1h1 q3V3h3 q1_+ q3h1h2_V2h2 q1V1h1 q2_.(1.17)Primjenjenanasferniicilindricnikoordinatnisustav,gornjarelacijadajeSKS: q1= r , q2= , q3= h1= 1, h2= r, h3= rsin V = rr sin _V sin V _+r sin _Vr sin Vr r_+ r_Vr rVr _.CKS: q1= , q2= , q3= zh1= 1, h2= , h3= 1 V = _Vz V z_+ _V z Vz _+ z_V V _.12 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAV1.5 Laplasijanskalarnogpoljaupoopcenomkoordinatnomsus-tavuRezultat dvostrukog uzastopnog djelovanja operatorom nabla na skalarno polje poopcenihkoordinatas(q1, q2, q3)oznacavamos(s) = 2si zovemolaplasijanskalarnogpoljas. Izrazza 2sjelakodobiti kombiniranjemizraza(1.10)zagradijentskalarnogpoljas = q1h1s q1+ q2h2s q2+ q3h3s q3iizraza(1.16)zadivergencijuvektorskogpoljaV =1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)_.UvrstiliseuzrazzadivergencijuV1=1h1s q1, V2=1h2s q2, V3=1h3s q3,lako se dolazi do konacnog izraza za laplasijan skalarnog polja u poopcenim koordinatama2s =1h1h2h3_ q1_h2h3h1s q1_+ q2_h1h3h2s q2_+ q3_h1h2h3s q3__.(1.18)ilikrace2s =1h1h2h33i=1 qi_h1h2h3h2is qi_1.6. LAPLASIJANVEKTORSKOGPOLJAUPOOPCENOMKOORDINATNOMSUSTAVU 13Primjenjenanasferni(SKS)icilindricni(CKS)koordinatnisustav,gornjarelacijadajeSKS: q1= r , q2= , q3= (1.19)(1.20)h1= 1, h2= r, h3= rsin (1.21)2s =1r2 r_r2 s r_+1r2sin _sin s _+1r2sin22s 2. (1.22)(1.23)(1.24)CKS: q1= , q2= , q3= z (1.25)(1.26)h1= 1, h2= , h3= 1(1.27)2s =1 _ s _+122s 2+2s z2. (1.28)1.6 Laplasijan vektorskog polja u poopcenom koordinatnom sus-tavuDabismoizracunalilaplasijanvektorskogpoljaV(q1, q2, q3)upoopcenimkoordinatama,posluzit cemoseranijepoznatomrelacijom2V = (V) ( V). (1.29)Izrazezagradijent(1.10)s = q1h1s q1+ q2h2s q2+ q3h3s q3,divergenciju(1.16)V =1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)_,irotaciju(1.17) V = q1h2h3_V3h3 q2V2h2 q3_+ q2h1h3_V1h1 q3V3h3 q1_+ q3h1h2_V2h2 q1V1h1 q2_.14 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVu poopceniom koordinatama vec imamo izracunate, pa je opet potrebno (samo) kombini-ratiteizraze. Takosenpr. zagradijentdivergencijevektoraV dobije(V) = q1h1 q1_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__+ q2h2 q2_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__+ q3h3 q3_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__.SlicnoseizarotacijurotacijeV dobije ( V) = q1h2h3_ q2h3h1h2_ q1(V2h2) q2(V1h1)_ q3h2h1h3_ q3(V1h1) q1(V3h3)__+ q2h1h3_ q3h1h2h3_ q2(V3h3) q3(V2h2)_ q1h3h1h2_ q1(V2h2) q2(V1h1)__+ q3h1h2_ q1h2h1h3_ q3(V1h1) q1(V3h3)_ q2h1h2h3_ q2(V3h3) q3(V2h2)__.Izravnim uvrstavanjem gornjih izraza u (1.29), dobiva se konacni izraz za 2V u poopcenimkoordinatama2V = q1_2V_1+ q2_2V_2+ q3_2V_3, (1.30)gdjesu_2V_1=1h1 q1_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__1h2h3_ q2h3h1h2_ q1(V2h2) q2(V1h1)_ q3h2h1h3_ q3(V1h1) q1(V3h3)___2V_2=1h2 q2_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__1h1h3_ q3h1h2h3_ q2(V3h3) q3(V2h2)_ q1h3h1h2_ q1(V2h2) q2(V1h1)___2V_3=1h3 q3_1h1h2h3_ q1(V1h2h3) + q2(h1V2h3) + q3(h1h2V3)__1h1h2_ q1h2h1h3_ q3(V1h1) q1(V3h3)_ q2h1h2h3_ q2(V3h3) q3(V2h2)__.1.7. ELIPTICKIKOORDINATNISUSTAV 15Primjenjenanasferni(SKS)icilindricni(CKS)koordinatnisustav,gornjarelacijadajeSKS: q1= r , q2= , q3= h1= 1, h2= r, h3= rsin 2V =_2Vr2r2_Vr +1sin (sin V) +1sin V__ r+_2V +2r2_VrV2 sin2 cos sin2V__+_2V +2r2sin _Vr+cos sin V V2 sin __ .CKS: q1= , q2= , q3= zh1= 1, h2= , h3= 12V =_2V12V22V_ +_2V12V +22V; _ +_2Vz_ z .1.7 Eliptickikoordinatnisustavdopisati16 POGLAVLJE1. POOPCENIKOORDINATNISUSTAVPoglavlje2Funkcijekompleksnevarijable1:analitickasvojstva2.1 KompleksnaalgebraKompleksnimbrojemsenazivauredenipardvarealnabroja(a, b),kojiseobicnopiseikaoa + b,gdjejes =1oznacenaimaginarnajedinica.2= 1.Slicno se uvodi i pojam kompleksne varijable kao uredenog para dvije realne varijable(x, y),kojiseopetuobicajenopiseikaoz= x + y.Gracki se kompleksni broj ili kompleksnavarijablamoguprikazati ukompleksnojravnini(iliArgandovojravnini),takodarealnidioimasmjerapscise,aimaginarnidioimasmjer ordinate(slika2.1) Ovaj seprikazmozepovezati s polarnimkoordinatnimSlika2.1: Prikazkompleksnevarijableukompleksnojravnini.sustavom(vidjetinpr. [4])naslijedecinacinz = x + y = xx + y y= xcos + ysin ,1718 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1pri cemuje z = x = cos , z = y= sin ,z = x + y= (cos + sin ) = e .Gornji sezapisnazivapolarni prikazkompleksnevarijable(ili broja). Velicinasenazivamoduliliiznoskompleksnogbroja, = |z| =x2+ y2ajefazailiargumentkompleksnogbroja = arctan yxZbrajanjekompleksnihbrojevasedenirakaoz1 + z2= (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2).Mnozenjekompleksnihbrojevasedenirakaoz1 z2= (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2y1y2, x1y2 + x2y1) = (x1x2y1y2) + (x1y2 + x2y1).Matricni zapiskompleksnogbrojaPokazimodaje zbrajanje i mnozenje kompleksnihbrojevaizomorfnosazbrajanjemimnozenjemantisimetricne2 2matricaoblikaz= x + y=_x yy x_.Primjetimodaformulacijaprekomatricane zahtjevauvodenje imaginarne jedinice2= 1. Premapraviluozbrajanjumatricajez1 + z2=_x1y1y1x1_+_x2y2y2x2_ =_x1 + x2y1 + y2y1y2x1 + x2_,atojeupravoisto stoimatricazbroja(x1 + x2) + (y1 + y2)(x1 + x2) + (y1 + y2) =_x1 + x2y1 + y2(y1 + y2) x1 + x2_.Slicnosepokazujeizamnozenje. Premapraviluomnozenjumatrica,slijediz1 z2=_x1y1y1x1__x2y2y2x2_ =_x1x2y1y2x1y2 + y1x2y1x2y2x1y1y2 + x1x2_.Nogornjiizrazjeupravomatricaumnoskaz1 z2= (x1x2y1y2) + (x1y2 + x2y1)(x1x2y1y2) + (x1y2 + x2y1) =_x1x2y1y2x1y2 + x2y1(x1y2 + x2y1) x1x2y1y2_.2.1. KOMPLEKSNAALGEBRA 19Zbrajanjei oduzimanjejezgodnijeizvoditi upravokutnomprikazu(algebarski), dokjemnozenje, dijeljenje, potenciranjei korjenovanje, zgodnijeizvoditi upolarnomprikazu(vektorski).Pokazimoislijedecedvijekorisnenejednakosti|z1| |z2| |z1 + z2| |z1| +|z2|.Dokazimoprvunejednakost:|z1| |z2| |z1 + z2|x21 + y21x22 + y22(x1 + x2)2+ (y1 + y2)2_2x21 + y21x22 + y22 x1x2 + y1y2+x21 + y21x22 + y22 (x1x2 + y1y2)_2x21y222x1x2y1y2 + y21x22 0(x1y2y1x2)2 0,stojeistina, jer jekvadrat realnogbrojauvijekveci ili jednaknuli i timejepolaznanejednakostdokazana. Slicnosedokazujeidruganejednakost:|z1 + z2| |z1| +|z2|(x1 + x2)2+ (y1 + y2)2x21 + y21 +x22 + y22_2x1x2 + y1y2x21 + y21x22 + y22_2x21y222x1x2y1y2 + y21x22 0(x1y2y1x2)2 0.Izzapisaupolarnomobliku,lakosepokazujedaje|z1 z2| = |z1| |z2|, arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2).Zaista,premadenicijijez1= 1e 1, z2= 2e 2, z1 z2= 1e 12e 2= 12e (1+2),iz cegaizravnoslijedegornjedvijetvrdnje.KompleksnefunkcijeAkojef(z) funkcijakompleksnevarijablez, onasezovekompleksnafunkcija. Kaoikompleksni brojevi i kompleksne se funkcije mogu rastaviti na realni u i imaginarni vdiof(x + y) = u(x, y) + v(x, y) f(z) = u(x, y), f(z) = v(x, y),20 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1gdjesuui vrealnefunkcije. z=x + yjetockaukompleksnoj zravnini, af(z)=u(z) + v(z)jetockaukompleksnojfravnini(slika2.2), pasezatokazedafunkcijafpreslikava skup tocaka z ravnine u skup tocaka fravnine. Sve elementarne funkcije realneSlika2.2: Kompleksnafunkcijaf preslikavaskuptocakakompleksnez=(x, y)ravnineuskuptocakakompleksnef= (u, v)ravnine.varijablex,moguseproduljitiukompleksnuravninuz,jednostavnomzamjenomx z.Ovajsepostupaknazivaanalitickoproduljenje.KompleksnokonjugiranjeJednajednostavnakompleksnafunkcijajefunkcijakompleksnogkonjugiranja: onami-jenja u , tj. onasvetockegornjepoluravninez, preslikavaunjihovezrcalneslikeudonjoj poluravnini i obratno(slika2.3). Kompleksnokonjugiranjeseoznacavazvjez-Slika2.3: Kompleksnokonjugiranjekaozrcaljenjeokorealneosi.dicom, pasetakonpr. kompleksnokonjugirani broj brojaz =x + y, oznacavakaoz= x y. Iz denicije kompleksnog konjugiranja kao zrcaljenja, jasno je da dvostruka2.1. KOMPLEKSNAALGEBRA 21primjenaoperacijedajeidentitet,tj. daje(z)= z.Umnozakzizjerealanbrojzz= (x + y) (x y) = x2+ y2= e e = 2,Takodajeiznosodzdansa |z| =zz.EksponencijalnafunkcijaRaspisimoeksponencijalnufunkcijuezuoblikuredaez=n=0znn!,za cistoimaginarniz= yirazdvojimorealniimaginarnidioez= 1 + y1 !+( y)22 !+( y)33 !+( y)44 !+( y)55 !+( y)66 !+( y)77 !+( y)88 !+ =_1 y22 !+y44 ! y66 !+ _+ _ y1 ! y33 !+y55 ! y77 !+ _.Gornjerazvojeprepoznajemokaorazvojekosinusaisinusa, pajetimepokazanaEule-rovaformulae y= cos y + sin y. (2.1)Potencijakompleksnogbroja-DeMoivreovaformulaZapotenciranjekompleksnogbroja,korisnojekoristitipolarnizapisz= e zn= ( e )n= ne n= n_cos(n) + sin(n)_.No,(e )nsemozenapisatinadvanacina(e )n= (cos + sin )ne ( n)= cos(n) + sin(n).Izjednacavanjemgornjadvaizraza,dolazisedoDeMoivreoveformulecos(n) + sin(n) = (cos + sin )n, (2.2)kojapovezujetrigonometrijskefunkcijekutansatrigonometrijskimfunkcijamakuta. Tako se npr. za n = 2 i n = 3, raspisom desne strane gornjeg izraza i izjednacavanjem22 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1realnogiimaginarnogdijelalijeveidesnestranedobiva:cos(2) + sin(2) = (cos + sin )2,= cos2 sin2 + 2sin cos ,cos(2) = cos2 sin2,sin(2) = 2sin cos ,cos(3) + sin(3) = (cos + sin )3,= cos3 3 cos sin2 + (3 cos2sin sin3),cos(3) = cos (cos2 3 sin2),sin(3) = sin (3 cos2 sin2).KorjenkompleksnogbrojaNekajez= e = (cos + sin )kompleksanbroj. Zadatakjeizracunatinjegovn-tikorjen. Ocitodabrojw0= 1/ne /njesten-tikorjenodz,buducidajewn0= z.No,ono stotrebaprimjetiti,a stojekarakteristicnozakompleksnebrojeve,jestedaw0,iakojekorjen,nijeijedinin-tikorjenodz. Naime,isvibrojeviwk= 1/ne (+2k)/n, k = 0, 1, 2, , n 1jesutakodern-tikorjeniodz,buducidaizanjihvrijedidajewnk= z.Geometrijski gledano, ovih se n korjena nalazi u vrhovima pravilnog n-terokuta upisanogukruznicupolumjera1/n(slika2.4).LogaritamkompleksnevarijableGlavnakarakteristikapokojojselogaritamkompleksnevarijablerazlikujeodlogaritmarealnevarijable, jestenejednoznacnost. Evoocemuseradi. Premauobicajenompraviluzalogaritamumnoskailogaritampotencije,slijediln z= ln( e ) = ln + .No, ako fazi pribrojimo cjelobrojni visekratnik od 2, a buduci da je e2n= 1, vrijednostzsenecepromijenitiz= e = e (+n2), n = 0, 1, 2, ,2.1. KOMPLEKSNAALGEBRA 23Slika2.4: Uzn = 6-tikorjenkompleksnogbroja.ali cesezatopromijenitivrijednostlogaritmaln_ e (+n2)_ = ln + + ( 2 ) n.Toznacidajelogaritamviseznacna(nejednoznacna)funkcija,zatojerjednomparuvri-jednosti kompleksne z =(, ) ravnine, pridruzuje prebrojivobeskonacnovrijednostikompleksnef= ln( e )ravnine. Ovesevrijednostidobijuizgornjegizrazazan = 0, 1, 2, .U racunima je uobicajeno koristiti vrijednosti logaritma za n = 0. Ove se vrijednosti zovuglavnevrijednosti. Takoderjeuobicajenofazuodabratiizintervala(, +). Natajnacinsenikadanepresijeca xos,kojasenazivaicutline(slika2.5). OvakavseSlika2.5: Uzodabirfazekodracunalogaritma.izbor kuta moze dovesti u vezu s cinjenicom da logaritam realnog broja x nije deniranzanegativnevrijednostix. Naime,buducidakompleksnamatematikakaosvojposebanslucajsadrzi realnumatematiku(ogranicavanjemnaosrealnuosx, tj. uzy=0), tojeovimizborompostignutoiskljucenjenegativnogdijelaosixizdenicijelogaritma.24 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE12.2 Derivacijakompleksnefunkcije:Cauchy-RiemannoviuvjetiKadajezadanakompleksnafunkcijakompleksnevarijable, jednoodvaznihpitanjanakojatrebaodgovoriti jestei pitanjeoderivaciji takvefunkcije: mozeli sei kakotafunkcija derivirati?Slicno kao i derivacija realne funkcije i derivacija kompleksne funkcijef(z)utockiz0sedefinirakaof(z0) d fd zz=z0= limdz 0f(z0 + dz) f(z0)dz,uz vazan uvjet da gornji limes ne smije ovisiti o smjeru priblizavanja tocki z0 (slicnokao stokodfunkcijerealnevarijable, derivacijaneovisi otomepriblizavamoli sedanojtockislijeveilidesnestrane). Ukompleksnojzravnini,svakojtockijemogucepriblizitisena(neprebrojivo)beskonacnomnogonacina, nosvaki odnjihsemozeprikazati kaokombinacijapomakaudvamedusobnookomitasmjera: usmjeruosi xi usmjeruosiy. Nekasuziz0dvijeinnitezimalnoblisketockeukompleksnojravnini. Precizirajmooznakez0= x0 + y0,z = x + y= (x0 + dx) + (y0 + dy) = z0 + d z,d z = d x + d y,f = u + v,d f = f(z) f(z0) = d u + d v,Izracunajmosadadiferencijalniomjerd fd z=d u + d vd x + d y.Granicniprijelazd z0 cemoizvestinadvarazlicitanacina_d x 0d y= 0_,_d x = 0d y 0_,kao stojetoprikazanonaslici2.6.(1) d x 0, d y= 0d fd z=d u + d vd x + 0= u x+ v x.(1) d x = 0, d y 0d fd z=d u + d v0 + d y= u y+ v y.Akozahtjevamodad f/d zneovisi onacinu(putu)priblizavanjatocki z0, tadagornja2.2. DERIVACIJAKOMPLEKSNEFUNKCIJE: CAUCHY-RIEMANNOVIUVJETI 25Slika2.6: UzizvodCauchy-Riemannovihuvjeta. Tockeziz0suinnitezimalnobliske.dvadiferencijalnaomjeramorajubitijednaka u x+ v x= u y+ v y.Izjednacavanjemrealnihiimaginarnihdijelovagornjejednakosti,dobivajuseCauchy-Riemannoviuvjeti u x= v y, u y= v x. (2.3)Cauchy-Riemannovi uvjeti sunuzni uvjeti koji morajubiti zadovoljeni akopostojiderivacija funkcije f(z), tj. ako postoji d f/d z, tada su zadovoljeni Cauchy - Riemannoviuvjeti.Dokazimodavrijedi i obrat: akosuzadovoljeni Cauchy-Riemannovi uvjeti i akosuparcijalne derivacije u i vpo x i ykontinuirane funkcije, tada postoji d f/d zkoja ne ovisi26 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1onacinupriblizavanjatockiz0. Dokazimotonaslijedecinacinf(x, y) = u(x, y) + v(x, y),d f(x, y) = f xd x + f yd y,=_ u x+ v x_d x +_ u y+ v y_d y_1d z=1d x + d yd fd z=__ u x+ v x_d x +_ u y+ v y_d y_1(d x + d y)=__ u x+ v x_+_ u y+ v y_d yd x__d xd x + d y=__ u x+ v x_+_ u y+ v y_d yd x___1 + d yd x_.Velicinad y/d xkojasepojavljujeugornjemizrazujeupravoonafunkcijakojaopisujekako yovisi o x, tj. pokojojputanji se tocka (x, y) priblizava tocki (x0, y0). Pokazimoda ce, primjenom Cauchy - Riemannovih uvjeta, taj clan nestati, tj. da derivacija d f/d znece ovisiti o nacinu priblizavanja danoj tocki. Uvrstimo Cauchy - Riemannove uvjete naokrugluzagradukojamnozid y/d x. Tazagradatadapostaje u y+ v y= v x+ u x= _ u x+ v x_.Vratimosesovimenatraguizrazzad f/d zd fd z=__ u x+ v x_+ _ u x+ v x_d yd x___1 + d yd x_=__ u x+ v x__1 + d yd x____1 + d yd x_= u x+ v xOvimejepokazanoda, ukolikosuzadovoljeniCauchy-Riemannoviuvjeti, tadad f/d zpostoji i neovisnajeoputukojimseukompleksnojzravninipriblizavamotockiz0.Pokazimo jos jednu vaznu posljedicu Cauchy-Riemannovih uvjeta: ako su oni zadovoljeni,tadajefamilijakrivuljau=const. okomitanafamilijukrivuljav=const. Uodjeljku1.1jerelacijom(1.9)pokazanodasupoopcenekoordinateqjmedusobnookomite, akovrijedi(unotacijiiztogodjeljka)hi,j= x qi x qj+ y qi y qj+ z qi z qj= 0, i, j= 1, 2, 32.2. DERIVACIJAKOMPLEKSNEFUNKCIJE: CAUCHY-RIEMANNOVIUVJETI 27zai = j. Akoovurelacijuzelimoprimjenitinanasproblem,moramonajprijeprimjetitidasadaimamodvodimenzijski,anetrodimenzijskiproblem,pa cebitihi,j= x qi x qj+ y qi y qj= 0, i, j= 1, 2.Ugornjemsuizrazuxiyfunkcijeodpoopcenihkoordinataq1iq2,dokmisadaimamouivkaopoopcenekoordinate,zakojetrebapokazatidasumedusobnookomite. Dakle,usadasnjojnotaciji,uvjetokomitostilinijau = const.iv= const.glasihu,v= x u x v+ y u y v= 0. (2.4)Akose x/ ui x/ vizgornjegizraza, izrazeprekoCauchy-Riemannovihuvjeta(2.3),lakosevididajerelacija(2.4)zadovoljena,tj. dasulinijeu = const.iv= const.medusobnookomite.AnalitickefunkcijeAko je funkcija f(z) derivabilna u z0i nekoj maloj okolini te tocke, tada se kazeda je fanaliticka (ili holomorfna ili regularna) funkcija u tocki z0. Ako je fanalitickaucijelojkompleksnojravnini,zovesecijelafunkcija. Akoderivacijad f/d znepostojiutockiz0,tadasetatockanazivasingularitetilisingularnatockafunkcijef.Zadatak:2.1Provjeritejelif(z) = z2analitickafunkcija.R:f(z) = z2= (x + y)2= (x2y2) + 2xy= u + v.PokazimodasuCauchy-Riemannoviuvjetizadvoljeniucijelojzravnini u x= 2x = v y, u y= 2y= v x.Ocitosugornjeparcijalnederivacijekontinuirane, pazakljucujemodajefanalitickafunkcija.Zadatak:2.2Provjeritejelif(z) = zanalitickafunkcija.R:f(z) = z= x y= u + v u = x, v= y.PokazimodaCauchy-Riemannoviuvjetinisuzadvoljeni u x= 1 = v y= 1, u y= 0 = v x,28 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1paprematomef nijeanalitickafunkcija. Primjetimodajezkontinuiranafunkcija,pajeovoprimjerfunkcije kojajesvugdjekontinuirana,anigdjenijederivabilna.Uocimo neke vazne razlike izmedu derivacije realne funkcije realne varijable i derivacijekompleksnefunkcijekompleksnevarijable. Derivacijerealnefunkcijerealnevarijablejejednouosnovilokalnosvojstvotefunkcijeusmisludaonasadrziinformacijusamooponasanjufunkcijeuokolinipromatranetocke. ZailustracijuovetvrdnjemozeposluzitiTaylorovrazvojizkojegasevididasuzaodredenjeponasanjafunkcijenavecimudalje-nostima,potrebnederivacijevisegredaf(x) = f(x0) + (x x0)d fd xx=x0+12(x x0)d2fd x2x=x0+ .Postojanjederivacijefunkcijekompleksnevarijable, imapunodalekoseznijeposljedice.Jednaodnjihjei toda, kaoposljedicaCauchy- Riemannovihuvjeta, realni i imagi-narnidijelovikompleksnefunkcijefmorajuzadovoljavatidvodimenzijskuLaplaceovujednadzbu. u x= v y_ x u y= v x_ y2u x2=2v x y2u y2= 2v x y.Zbrojeli segornjedvijejednadzbe, dobijesedvodimenzijskaLaplaceovajednadzbazafunkcijuu2u x2+2u y2= 0. (2.5)SlicnoseizvodiiLaplaceovajednadzbazafunkcijuv u x= v y_ y u y= v x_ x2u x y=2v y22u x y= 2v x2.Oduzimanjemgornjihdvajujednadzba, dobijesedvodimenzijskaLaplaceovajednadzbazafunkcijuv2v x2+2v y2= 0. (2.6)Nadalje, analiticnostfunkcijefimpliciratcei postojanjederivacijavisegreda(odjeljak2.4). Utomsmislu, derivacijautocki z0ne odredujesamolokalnasvojstvaf, vecisvojstvafnavelikimudaljenostimaodz0.2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 292.3 Integralkompleksnefunkcije: CauchyjevintegralniteoremKrivuljni integraliNakon sto smo uveli derivaciju kompleksne funkcije, mozemo se okrenuti i integralu kom-pleksnefunkcije.Integral funkcije kompleksne varijable po krivulji u kompleksnoj ravnini, se moze deniratipremaanalogijisRiemannovimintegralomrealnefunkcijejednevarijable. Krivuljukojapovezuje pocetnu tocku z0 i konacnu tocku z 0, podijelimo na Ndijelova omedenih tockamazn,kaonaslici2.7. RazmotrimoznacenjeslijedecegzbrojaSlika2.7: Uzdenicijukrivuljnogintegrala.SN=Nn=1f(n) (znzn1),gdjejentockanakrivuljiizmedutocakaznizn1. IzvedimogranicniprijelazNuz |zn zn1| 0, zasvaki n. AkolimN SNpostoji i akoneovisi odetaljimaizboratocakaznin,tadajelimN Nn=1f(n) (znzn1) =z 0z0f(z) d z.Integralnadesnojstranisezovekrivuljni integralf(z)duzzadanekrivulje Codz0doz 0.Ovoje bioizvodpoanalogiji s Riemannovimizvodomintegralarealne funkcije jednerealnevarijable. Postojiidruginacindasedenirakrivuljniintegral,atojedasesvede30 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1nakompleksnukombinacijurealnihintegrala:z2z1f(z) d z =(x2,y2)(x1,y1)_u(x, y) + v(x, y)_ (d x + d y)=(x2,y2)(x1,y1)_u d x vd y + (u d y + vd x)_=(x2,y2)(x1,y1)(u d x vd y) + (x2,y2)(x1,y1)(u d y + vd x),za svaki zadani put od (x1, y1) do (x2, y2). Ovim postupkom se integral kompleksne funk-cije svodi na kompleksni zbroj realnih integrala. Po svojoj osnovnoj ideji, ovaj je postupakslicanpostupkusvodenjaintegralavektorskefunkcijenavektorskizbrojintegralaskalar-nihfunkcija(vidjetinpr. u[4]).Zadatak:2.3Izracunajmokrivuljni integral funkcijef(z)=zn, n=0, 1, 2, pokruznicipolumjeraRsasredistemuishodistu, akojuobilazimoupozitivnomsmjeru(stoznaci suprotnoodkazaljkenasatu), kaostojetoprikazanonaslici2.8.Slika2.8: Uzizracunavanjeintegralaodznpokruznicisasredistemuishodistu.R: Upolarnomprikazukompleksne varijable je z =Re , paje zn=Rne nidz=Re ( d), pricemujeRkonstantnonakruznici. Odvojenocemorjesavatislucajevekadajen = 1ikadajen = 1.(A) n = 1Cznd z = Rn20e n d R e = Rn+120e (n+1) d =Rn+1n + 12(n+1)0exd x =Rn+1n + 1ex2(n+1)0= 0. (2.7)2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 31(B) n = 1Cd zz=20 d R e Re = 20d = 2 .Primjetimo da u oba slucaja vrijednost integrala neovisi o polumjeru kruzniceR.Cauchyjevintegralni teorem: dokazpomocuStokesovateoremaCauchyjevintegralni teoremjeprvi oddvaosnovnateoremakoji govoreoponasanjufunkcijekompleksnevarijable. Najprijecemogadokazati uzdonekleograniceneuvjete,kojisuipakdovoljnizazickepotrebe.Teorem: Ako je f(z) analiticka (pa prema tome i jednoznacna) i ako su njezine parcijalnederivacijekontinuiraneunutarjednostavnopovezanogpodrucja R, zasvakuzatvorenu krivulju Ciz podrucja R, krivuljni integral f(z) po Cje jednak nuli_Cf(z) d z= 0. (2.8)Slika2.9: Uzdenicijujednostavnog(A)ivisestruko(B)povezanogpodrucja.Prijedokaza,dvijeprimjedbe:(1)Jednostavnopovezanopodrucje jeonoukojemusesvakazatvorenakrivuljakojaleziu tom podrucju moze stegnutiutocku koja takoder lezi u tom podrucju (slika 2.9.A);visestrukopovezanopodrucjejeonozakojepostojezatvorenekrivuljeunutartogpo-drucja, kojesestezuutockukojanijeunutartogvisestrukopovezanogpodrucja(slika2.9.B).(2)Primjetimodakadabif(z)izgornjejednadzbebilajednakomponentasile,ondabiiscezavanjegornjegintegralaznacilodajetakomponentasilekonzervativna(vidjeti32 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1npr. [4])Evosadaidokaza: najprijesaintegralakompleksnefunkcijef,prijedimonakompleksnizbrojintegralarealnihfunkcijauivf(z) = u(x, y) + v(x, y), d z= d x + d y._Cf(z) d z =_C_u(x, y) + v(x, y)_ (d x + d y)=_C(u d x vd y) + _C(vd x + u d y). (2.9)Goreimamointegralerealnihfunkcijanakojemozemoprimjeniti Stokesovteorem(vidjetinpr. [4])_CV dr =S(C)( V) d S ,gdjejesS(C)oznacenaplohadeniranazatvorenomkrivuljom C, ad S vektordiferen-cijalaploheokomitnasamdiferencijalni element, aiznosajednakogiznosudiferencijalaplohe. PrimjenaStokesovogteoremajemogucaakopretpostavimodasuparcijalnederi-vacije u i v kontinuirane unutar podrucja odredenog s C. Ploha S(C) je opcenito prostornaploha(dakle, nenuznoravnina)srubovimauravnini (x, y). No, ogranicimoli se, radijednostavnosti, naplohukojalezi utoj istoj ravnini (x, y), tadajed S =d S z , paStokesovteoremsadaglasiV = Vx x+ Vy y , dr = d x x+ d y y_C(Vxd x + Vyd y) =S(C)( V) d S z=S(C)( V)zd S=S(C)_ Vy x Vx y_d x d y.PrimjenimosadaStokesovteoremugornjemoblikunaprvi clandesnestrane(2.9)uzVx uiVy v_C(u d x vd y) =S(C)_ (v) x u y_d x d y. = S(C)_ v x+ u y_d x d y= (2.3) = 0,premadrugomodCauchy-Riemannovihuvjeta.Slicno, akoudrugomclanudesnestrane(2.9) identiciramoVx vi Vy u, premaStokesovuteoremuslijedi_C(vd x + u d y) =S(C)_ u x v y_d x d y= 0,premaprvomodCauchy-Riemannovihuvjeta.Timeje,uznavedenaogranicenja,dokazanatvrdnja(2.8).2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 33Objasnimo jos i zasto je u isakazu teorema zatrazeno da krivulja Clezi unutar jednostrukopovezanogpodrucja. UdokazuteoremasepozivanaStokesovteorem,gdjeseujednomkoraku racuna integral derivacija funkcija u i vpo plohi S(C). Da bi ti integrali postojali,moraf=u + vbiti analitickausvimtockamateplohe, atocebiti zadovoljenosamoakokrivulja Clezi unutarjednostrukopovezanogpodrucja. Akokrivulja Clezi unutarvisestruko povezanog podrucja, ploha S(C) ce sadrzavati i tocke u kojima fnije analitickaikojimaseondanemozeracunativrijednostplosnogintegralaizStokesovateorema.Cauchyjevintegralni teorem: GoursatovdokazPodrucjeunutarzatvorenekrivulje CpodijelimonaNmanjihzatvorenihkrivulja Cnkaonaslici2.10. UracunuzbrojaSlika2.10: UzCauchy-GoursatovdokazCauchyjeveintegralneformule.Nn=1_Cnf(z) d z,integrali pounutrasnjimlinijamace se medusobnoponistiti zbogsuprotnogsmjeraobilaska. Jedinostoceostati razlicitoodnulejesuintegrali povanjskimdijelovimanekihodzatvorenihkrivulja Cn. Zbrojsvihtih clanovarazlicitihodnule, ceupravodatiintegralf(z)pozatvorenojkrivulji CNn=1_Cnf(z) d z=_Cf(z) d z.Pokusajmosadaizracunati jedanodintegrala_Cnf(z)d zizgornjegzbroja. Dabismotoizveli,konstruirajmonajprijefunkcijun(z, zn)n(z, zn) =f(z) f(zn)z znd f(z)d zz=zn, (2.10)pri cemuje znbilokojatockaiz unutrasnjosti n-togpodrucjazatvorene krivulje Cn.34 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1Primjetimodaje[f(z) f(zn)]/[z zn]pribliznavrijednostderivacijefutockiz= zn.Ako f(z) ima Taylorov razvoj oko zn (sto jos nije dokazano), tada je n(z, zn) reda velicineO(z zn)f(z) = f(zn) + (z zn)d f(z)d zz=zn+12(z zn)2d2f(z)d z2z=zn+ f(z) f(zn) = (z zn)d f(z)d zz=zn+12(z zn)2d2f(z)d z2z=zn+ f(z) f(zn)z zn=d f(z)d zz=zn+12(z zn)d2f(z)d z2z=zn+ n(z, zn) =f(z) f(zn)z znd f(z)d zz=zn=12(z zn)d2f(z)d z2z=zn+ .Sporastombrojakrivulja Cn, razlika(z zn)ceiscezavatiizatoseuvijekmozeposticidaje|n(z, zn)| < ,zasvakiproizvoljnomali. Deniciju(2.10),napisimouoblikuf(z) = n(z, zn)(z zn) + f(zn) + (z zn)d f(z)d zz=znisveprointegriramopozatvorenojkrivulji Cn_Cnf(z) d z=_Cnn(z, zn)(z zn) d z + f(zn)_Cnd z +d f(z)d zzn_Cnzd z znd f(z)d zzn_Cnd z.Zaprvi clandesne strane smoupravopokazali daje proizvoljnomali, doksupreos-talatri clanajednakanuli prema(2.7), takodazakljucujemodajezasvaki n, integral_Cnf(z) d z= 0,pajeinjihovzbrojtakoderjednaknuli,tj.0 =Nn=1_Cnf(z) d z=_Cf(z) d z,cimejeteoremdokazan.Posljedica ovog teorema je i da integral analiticke funkcije po krivulji koja nije zatvorena,ovisi samo o rubnim tockama krivulje, a ne i o obliku krivulje. Drugim rijecima, integralneovisi ooblikuputakojispajapocetnuikonacnutockuzkzpf(z) d z= F(zk) F(zp) = zpzkf(z) d zMorerinteoremMorerinteoremjeuodredenomsmisluobratCauchyevaintegralnogteorema.2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 35Teorem: Akojezaneprekidnufunkcijuf(z)deniranuunutarjednostrukopovezanogpodrucja,integral duz bilo koje jednostavne zatvorene krivulje koja u cjelostilezi u navedenom podrucju, jednak nuli, tada je f(z) regularna funkcija u tompodrucju.Zadokazteorema,integrirajmof(z)odz1doz2. Buducidajepopretpostavciteorema_f(z) dz=0, tointegral odz1doz2ovisi samoorubnimtockama. Oznacimotonaslijedecinacinz2z1f(z) dz= F(z2) F(z1).AkosenadidentitetomF(z2) F(z1)z2z1f(z1) =z2z1f(z) dzz2z1f(z1)z2z1dzz2z1=z2z1_f(z) f(z1)_dzz2z1,izvedegranicniprijelazz2 z1,dobivaselimz2z1F(z2) F(z1)z2z1 limz2z1f(z1) = limz2z1z2z1_f(z) f(z1)_dzz2z1.Premateoremuosrednjojvrijednosti, clannadesnojstranijejednaknuli,aizpreostaladva clanaslijedid Fd zz1= f(z1).Gornjimsuizrazomdokazanedvijestvari: prvo, daF postoji i drugo, dajeF =f.Buduci dajez1bilokojatockaiznavedenogpodrucja, zakljucujesedajeFanalitickaucijelompodrucju. PremaCauchyevoj integralnoj formuli (6.47)jei f =F takoderanalitickaitimejedokazanMorerinteorem.... dovrsiti....VisestrukopovezanapodrucjaCauchyev integralni teorem se odnosi na jednostavno povezano podrucje. Pogledajmostosemozereciointegralu_f(z) dzuvisestrukopovezanompodrucju (kao naslici 2.11.A). Funkcijaf(z)nijedeniranauunutrasnjosti podrucjaRi zatoCauchyevintegralni teorem nije primjenjiva na krivulju C. Umjesto toga, moze se napraviti krivuljaC1(slika2.11.B)nakojojvrijedi Cauchyevintegralni teorem. Sastanovistakrivulje C1,Rje jednostavnopovezanopodrucje. PosljedicaCauchyevaintegralnateoremaje daintegral neovisi ooblikuputanjepokojojseintegrira, negosamoopocetnoji krajnjoj36 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1Slika2.11: UzCauchyevuintegralnuformuluzavisestrukopovezanapodrucja.tockiintegracije. Zatoje,zaproizvoljnomali1saslike2.11.BAFf(z) dz= DCf(z) dz(negativan predznak dolazi od suprotnog smjera integracije). Primjenom gornje jednakostiiCauchyevaintegralnateorema,ugranici 0,dobivase_C1f(z) dz= 0 =ABCf(z) dz +DCf(z) dz +DEFf(z) dz +AFf(z) dz0 =_Cf(z) dz _C2f(z) dz.Negativanpredznakudrugomintegraludolazi zatostoseutomintegralukrivulja C2obilazi suprotnosmjerukazaljkenasatu(atomsmjeruobilaskasepridruzujepozitivanpredznak). Izgornjejednakostislijedi_Cf(z) dz=_C2f(z) dz, (2.11)pri cemu se obje krivulje obilaze u istom smjeru. Iz gornjeg se izraza zakljucuje da, iako neznamo kolika je vrijednost integrala (je li jednaka nuli ili je razlicita od nule ), ipak znamodatavrijednostneovisi ooblikukrivuljepokojoj seintegrira. Ukonkretnimzadacima za krivulju integracije ce se uzimati sto jednostavnije krivulje (dijelovi kruznice,trokuta+ilipravokutnika).TojeCauchyjevintegralniteoremzavisestrukopovezanopodrucje.Zadatak:2.4FresnelovintegralIzracunajteez2dzpokrivuljisaslike2.12,ugranicikadarneogranicenoraste.1Zaproizvoljnomali,vrijednostifunkcijef(z)nasegmentimaFAiDCsupribliznoiste.2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 37R: Buduci da je f(z) = ez2regularna i analiticka funkcija unutar naznacenogSlika2.12: Uzprimjer2.4.podrucjakaoinanjegovomrubu,mozeseprimjenitiCauchyevintegralnite-oremA0ex2dx. .I1+ABez2dz. .I2+0Bez2dz. .I3=_f(z) dz= 0.Izracunajmoodvojenosvakiodgornjihintegrala:I1 :OvojetablicniintegrallimrI1=0ex2dx =2.I2 :Izracunajmo integral po lukuABkruznice, kada polumjer neograniceno raste.Uvedimozamjenuz= r e I2= r/40er2(cos 2+ sin2)+d = r/40er2cos 2e(r2sin2). .e(r2sin 2) 1d |I2| r/40er2cos 2d .Sadasesvarijableprelazinavarijabluudeniranuscos2 = sin u|I2| r2/20er2sin ud u.38 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1Primjetimolidajelimu0sin uu= 1, limu/2sin uu=2,vidimodaje2u< sin u < u r2sin u < r22uer2sinu< er2 2u.Izgornjihnejednakostislijedi|I2| r2/20er2 2ud u =4r_1 er2_.Kadarneogranicenorastelimr|I2| limr4r_1 er2_ = 0,Timejepokazanodajedrugiintegraljednaknuli.I3 :Utrecemintegraluseuvodizamjenaz= e/4I3=limrr0e2e/4d = e/4_0cos 2d 0sin 2d _.IzI1 + 0 + I3= 0,slijedi2_2222_ =0cos 2d 0sin 2d .Usporedbomrealnogi imaginarnogdijelalijevei desnestrane, dolazi sedokonacnogrezultata0cos 2d =122,0sin 2d =122.Zadatak:2.5Izracunajtedze z/zpokrivuljisaslike2.13.R: Buduci da je zadana funkcija regularna i analiticka funkcija u naznacenompodrucjukaoinanjegovomrubu,mozeseprimjenitiCauchyevintegralnite-orem_e zzdz= 0 =21e zzdz +32e zzdz +43e zzdz +14e zzdz=Rre xxdx +2 3e zzdz +rRe xxdx +4 1e zzdz.2.3. INTEGRALKOMPLEKSNEFUNKCIJE:CAUCHYJEVINTEGRALNITEOREM 39Slika2.13: Uzprimjer2.5.Zamjenomvarijableu = xutrecemintegraluizbrajanjemsprvim,dobivase0 = 2 Rrsin xxd x +2 3e zzdz. .I1+4 1e zzdz. .I2(2.12)I1 :Izracunajmointegralpoluku2 3kruznice,kadapolumjerneogranicenoraste.Uvedimozamjenuz= Re I1= 0eRsin e Rcos . .e Rcos 1d |I1| 0eRsin d = 2/20eRsind .Kaoiuprethodnomprimjeru,promatramogranicelim0sin = 1, lim/2sin =2,vidimodaje2< sin < Rsin < R2eRsin < eR2.Izgornjihnejednakostislijedi|I1| /20eR2 2d =2R_1 eR_.40 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1KadaRneogranicenorastelimR|I1| limR2R_1 eR_ = 0.I2 :Ovdjeuvodimozamjenuz= r e ,pajeI2= 0e rcos r sin d limr0I2= 0d = .Timeiz(2.12)slijedi0sin xxd x =2.2.4 CauchyjevaintegralnaformulaNekaje f(z) regularnaanalitickafunkcijaujednostrukopovezanompodrucjuP i nanjegovomrubuK(slika2.14). Uocimotockuz0 Pukojojjefanalitickairegularna.Slika2.14: UzCauchyevintegral.Tadajefunkcijaf(z)z z0regularnausvimtockamapodrucjaP,osimutockiz0,jerutojtockigornjirazlomakdivergira2. Izdvoji li setockaz0izpodrucjaPmalomkruznicomkpolumjerarkojaucjelostilezi upodrucju P,tadaje f(z)/(z z0)regularnaupodrucju izmedukiK,kao2adivergirajuiderivacije;npr.dd zf(z)z z0=d fd z1z z0f(z)(z z0)2.2.4. CAUCHYJEVAINTEGRALNAFORMULA 41i nasamimrubovimaki K. PremaCauchyevomintegralnomteoremuzavisestrukopovezana podrucja, (2.11), iz prethodnog odjeljka, znamo da vrijednost integrala regularnefunkcijeneovisiooblikukrivuljepokojojseintegrira,pajezato_Kf(z)z z0dz=_kf(z)z z0dz. (2.13)Primjetimodazugornjemlijevomintegraluoznacavasvetockenazatvorenoj krivuljiK,azudesnomgornjemintegraluoznacavasvetockekruznicek. Rijesimointegralpomalojkruznicitako sto cemozapocetisuvrstavanjemidentitetaf(z) = f(z0) +_f(z) f(z0)_udesnustranugornjegizraza._kf(z)z z0dz =_kf(z0)z z0dz +_kf(z) f(z0)z z0dz= f(z0)_kdzz z0+_kf(z) f(z0)z z0dz f(z0) I1 + I2.SadarjesavamointegraleI1iI2.Zamjenomvarijablez=z0 + r e (slicnokaouprimjeru2.3,z0=const, r=const), zaintegralI1sedobivaI1=_kdzz z0=2 0 r de r e = 2 0d = 2 .Pogledajmosadaintegral I2: zbogneprekidnosti f(z), polumjerr kruznice k jemoguceodabrati takomalim,dazasvakutockuzsakruznicevrijedif(z) f(z0) < ,gdje je > 0 proizvoljno mala pozitivna velicina. Buduci da podintegralna funkcija mozebitiipozitivnainegativna,tovrijedislijedecanejednakost_kf(z) f(z0)z z0dz rsasredistemuz0unutarK. Zatockuzunutarkruznogvijencajer< |z z0| < r.Funkcijafjejednoznacnairegularnausvimtockamakruznogvijencasaslike2.18inakruznicama, dokseonjoj nistanepretpostavljaniti uunutrasnjosti K, niti izvanK.8P.A.Laurent,1841;K.Weierstrass,18412.5. RAZVOJKOMPLEKSNEFUNKCIJEURED 53Slika2.18: UzLaurentovrazvoj.Nekajeztockaizkruznogvijenca, ak kruznicasasredistemuzkojaucjelostileziuvijencu,slika2.19. Formirajmokrivulju Ckaonaslici2.19kojajeodredenakruznicamaSlika2.19: CauchyevaintegralnaformulaiLaurentovrazvoj.k, kik iduzinama, , , . Buducidatockaznijeobuhvacenakrivuljom,topremaCauchyevojintegralnojformuli(2.15)slijedidaje12 _Cf(z)zzdz= 0.Integracijupokrivulji Crastavljamonaintegracijuponjezinimdijelovima_C=+(k )desno++k++(k )lijevo++k.Ugranicikadaprocjepiscezava,integralipoduzinamaipostajuistipoiznosu,asuprotnipopredznaku(zbogsuprotnogsmjeraobilaska),pajenjihovzbrojjednaknuli+= 0.54 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1Istovrijediizaintegralepoduzinamai+= 0.Preostajuintegrali pokruznicama, pri cemupredznakintegralaovisi osmjeruobilaskapojedinekruznice0 = _k f(z)zzdz_kf(z)zzdz +_kf(z)zzdz.Kruznicak obuhvaca9tockuz,pajepremaCauchyevojintegralnojformuli(2.15)_k f(z)zzdz= 2 f(z).Uvrstilisetougornjuvezumeduintegralima,slijedif(z) =12 _kf(z)zzdz12 _kf(z)zzdz. (2.25)SadasepostupaslicnokaoikodizvodaTaylorovarazvoja: z z=z z0 z + z0=(zz0) (z z0). Izslike(2.20)sevididavrijedeslijedecerelacije:Nakruznicikje |zz0| > |z z0|kadajez k.Slika2.20: CauchyevaintegralnaformulaiLaurentovrazvoj.12 _kf(z)zzdz=12 _kf(z)(zz0) (z z0)dz=12 _kf(z)zz011 zz0zz0dz,9I kruznica kobuhvaca tocku z, ali na integral po kne mozemo primjeniti Cauchyevu integralnu formulu,jerkobuhvacaipodrucjeK ukojemufunkcijanemorabitianaliticka.2.5. RAZVOJKOMPLEKSNEFUNKCIJEURED 55pri cemujez z0zz0 < 1.Nakruznicikje |zz0| < |z z0|kadajez k.12 _kf(z)zzdz=12 _kf(z)(zz0) (z z0)dz= 12 _kf(z)z z011 zz0zz0dz,pri cemujezz0z z0 < 1.Uvrstavanjemgornjihrelacijau(2.25),dolazisedof(z) =12 _kf(z)zz011 zz0zz0dz12 _kf(z)z z011 zz0zz0dz.Koristeciserazvojem(2.18)kojikonvergiraza || < 1,gornjiizrazzaf(z)postajef(z) =12 _kf(z)zz0_1 +z z0zz0+_ z z0zz0_2+_ z z0zz0_3+ _dz+12 _kf(z)z z0_1 +zz0z z0+_zz0z z0_2+_zz0z z0_3+ _dz=12 n=0(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz+12 n=1(z z0)n_kf(z) (zz0)n1dz.Prvi zbroj konvergirazasvezunutarkruznicek, adrugi konvergirazasvezizvank.Akoseudrugomzbrojuuvedenoviindekszbrajanjam = n,dobijese12 1m=(z z0)m_kf(z) (zz0)m1dz.No,mjenijemiindekspokojemusezbraja,pagamozemonazvatiin12 1n=(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz,56 POGLAVLJE2. FUNKCIJEKOMPLEKSNEVARIJABLE1cimef(z)postaje12 n=0(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz +12 1n=(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz.Premarelaciji (2.11), znamodaintegrali_ki_kneoviseotomejesuli ki kkruzniceilibilokojedrugejednostavnezatvorenekrivuljeupodrucjuizmeduKiK,uzuvjetdaobuhvacajutockuz0. Zbogtogazaf(z)mozemonapisatiSlika2.21: UzLaurentovrazvoj.f(z) =12 n=0(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz +12 1n=(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dz=12 n=(z z0)n_kf(z)(zz0)n+1dzgdje je kbilo koja pozitivno usmjerena zatvorena krivulja (ne nuzno kruznica) izmedu KiK,kojaobuhvacatockuz0(slika2.21). Nazovelise10an=12 _kf(z)(zz0)n+1dz,tadajeLaurentovrazvojfunkcijef(z)oblikaf(z) =n=an(z z0)n.(2.26)Laurentovserazvoj razlikujeodTaylorovaponegativnimpotencijama(z z0), pajestogauvijekdivergentanbaruz= z0.10primjetimodaannemozemo,prekorelacije(2.16)povezatisderivacijamaf,jerovdjeindeksnmozebitiinegativan2.5. RAZVOJKOMPLEKSNEFUNKCIJEURED 57Zadatak:2.10NapisiteLaurentovrazvojfunkcijef(z) = 1/[z(z 1)].R: Funkcijaimapoloveutockamaz0= 0iz0= 1. Akoodaberemoz0= 0,tadajef(z)analitickaukruznomvijencu0 .Fizicko znacenje gornjeg izraza je jednostavno - djelovanje vanjske sile je povecalo kolicinugibanja cestice sanule nap = I= mvu trenutku udara t = . Kasnije se,uslijedotporamedija, ovabrzinaeksponencijalnosmanjuje. Primjetimodajeugranici 0,12Vidjetinpr. odjeljakImpulssileimomentiu[4].130 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBESlika4.2: Brzinakaofunkcijavremena-ugranicikada 0.zanemarivanje clana R+v(t) d tiz(4.42)posveopravdano.Zamislimo sada jednu malo slozeniju situaciju - nakon udara u trenutku 1koji na cesticupreneseimpulssileI1,nekacesticuzadesijosjedanudarukasnijemtrenutku2kojijojprenese drugi impuls sile I2. Istim razmisljanjem kao do sada, dolazi se doslijedeceg izrazazabrzinuv(t) =___0, t < 1I1me(R/m) (t1), 1< t < 2I1me(R/m) (t1)+I2me(R/m) (t2), t > 2.Sadajeveclakogornjiizrazpoopcitinaproizvoljanbrojodnudaravanjskesilev(t) =nj=1Ijme(R/m) (tj)(4.45)pricemujeuvijekj . (4.48)No, gornjim je izrazom zapravo vec izracunata i Greenova funkcija ovog problema. Naime,akokaouprethodnomprimjeru,umjestoimpulsasileInapisemod I= f() d igornjerjesenjeprointegriramopo, dobitcemorjesenjenehomogenejednadzbeizrazenoprekoGreenovefunkcijex(t) =1mt0e(t)sin (t ) f() d , (4.49)(4.50)=t0G(t, ) f() d ,(4.51)G(t, ) =1me(t)sin (t ). (4.52)Tocnost ovog rjesenja se, opet, moze provjeriti uvrstavanjem (4.49) u (4.47). Usporedbomizraza(4.48)i (4.52), vidi sedajeGistogoblikakaoi rjesenjexzaslucajdajeimpulsvanjskesilejedinicnogiznosa. Sobziromdajevremenskiintervaltijekomkojegadjelujevanjskasila,iscezavajucemalen,adaimpulssiletrebabitijedinicnogiznosalim 0+f() d = I= 1,14Vidjetinpr. odjeljakPrisilnititrajiharmonijskogoscilatorau[4]15ibid.4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 133to sama sila mora biti beskonacnog iznosa16. Funkcija koja zadovoljava ove, pomaloneobicnezahtjevejeDiracova-funkcija17f(t) = (t ).Izovograzmisljanaslijedi zakljucakdaGreenovafunkcijazadovoljavajednadzbuoblika(4.47),alisavanjskomsilomjednakomDiracovoj-funkcijid2G(t, )d t2+ 2 d G(t, )d t+ 20G(t, ) =(t )m.4.5 ParcijalnelinearnediferencijalnejednadzbePrimjeri parcijalnihdiferencijalnihjednadzba:(1)Laplaceovajednadzba2= 0,koja se pojavljuje uteoriji elektromagnetizma (elektrostatika, dielektrici, stacionarnestruje, magnetostatika), hidrodinamici (bezvrtlozni protoksavrsenoguida, povrsinskivaloviitd.),strujanjetopline,gravitacijaitd.;(2)Poissonovajednadzba2= 0,koja je nehomogena varijanta Laplaceove jednadzbe. Nehomogeni clan (razmjeran gustoci)opisujeizvorfunkcije;(3)valna(iliHelmholtzova)ivremenskineovisnadifuzijskajednadzba2 k2= 0,kojasepojavljujeuopisuelasticnihvalovaukrutinama(ukljucujuci tui opisetitranjazice,grede,membraneislicno),zvucnevalove,elektromagnetskevalove,nuklearnereak-tore;(4)vremenskiovisnadifuzijskajednadzba2=1a2 ti njezino cetverodimenzijsko poopcenje koje sadrzi dalemberijan (cetverodimenzijsko poopcenje16Sjetimosedasevrijednostintegralageometrijskiinterpretirakaopovrsinaispodpodintegralnefunkcije.17odjeljak6.1134 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBElaplasijana 2uprostoruMinkowskog)= 2=1c22 t2 2(5)vremenskineovisnavalnajednadzba2= 0(6)jednadzbazaskalarnipotencijal2=0(7)Klein-Gordonovajednadzba2= a2(8)vremenskiovisnaSchrodingerovavalnajednadzba

22m2 + Ep= tivremenskineovisnaSchrodingerovavalnajednadzba

22m2 + Ep= E .(9)jednodimenzijskavalnavremenskiovisnajednadzba2(x, t)t2= v22(x, t)x2.kojaopisujetransverzalnetitrajenapeteniti,kao stojetoopisanonpr. u[4].Zadrzimo se na ovom posljednjem primjeru parcijalne diferencijalne jednadzbe. Slicno kaoi kod obicnih diferencijalnih jednadzba i ovdje je rjesenje jednadzbe jednoznacno odredenone samo rjesavanjem jednadzbe nego i zadavanjam pocetnih (rubnih) uvjeta. Ako se uvjetiodnose na prostorne varijable, onda se nazivaju rubni uvjeti, a ako se odnose na vremenskuvarijablu, tada se nazivaju pocetni uvjeti. Na primjeru jednodimenzijske valne jednadzbe,rubni uvjeti izrazavaju cinjenicu da u svakom proizvoljnom trenutku t, napeta nit mirujeusvojimrubovimautockamax = 0ix = L(0, t) = 0, (L, t) = 0.Pocetni uvjeti opisuju polozaj i brzinu svakog elementa niti u odabranom trenutku (obicno4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 135setajtrenutakproglasavapocetkommjerenjavremena,t = 0)(x, 0) = 0(x),(x, t)tt=0= v0(x).Uovom ceodjeljkubitirijecionekimopcimpostupcimarjesavanjaparcijalnihdiferenci-jalnihjednadzbadrugogreda,kao stosu:(A)Razdvajanje(separacija)varijabli. Ovimsepostupkomjednaparcijalnadi-ferencijalna jednadzba raspada na nekoliko obicnih diferencijalnih jednadzba. Ove obicnediferencijalne jednadzbe nisumedusobnoneovisne, negosupovezane zajednickimkonstantamakojesepojavljujukaosvojstvenevrijednosti linearnihdiferencijalnihoperatora(najcesceujednojvarijabli). Svojstvenavrijednostl linearnogdiferencijalnogoperatora Ljebroj(skalar)kojizadovoljavajednadzbu18L= l .JedanprimjerovakvogpostupkajeiHelmholtzovajednadzbanavedenagorekaoprimjer(3), gdjesekonstanta, tj. svojstvenavrijednost 2operatora, l k2, pojavilakaorezultat razdvajanjavremenske odprostornihkoordinata. Slicnose uprimjeru(8) uSchrodingerovojjednadzbivididajeenergijaEsvojstvenavrijednostoperatoravremen-ske derivacije koja se pojavljuje kada se razdvoje vremenska i prostorne koordinate. Ovakodobivene obicne diferencijalne jednadzbe se dalje mogu rjesavati Frobeniusovim razvojemuredpotencijailinekimdrugimpostupkom.(B) Prevodenje parcijalne diferencijalne jednadzbe u integralnu jednadzbu koristeci Gre-enovefunkcije. Ovaj sepostupakprimjenjujenanehomogenediferencijalnejed-nadzbe,kao stosunpr. jednadzbenavedenegorepod(2)i(6).(C) Neke druge analiticke metode (kao sto je npr. primjena integralnih preobrazbi)okojima cebitirijecikasnije.(D)Numerickemetode. Vrlovelikabrzinaracunala,omogucavaucinkovituprimjenucijelognizanumerickihmetoda,odkojih cemonekespomenutiunastavku.Klaseparcijalnihdiferencijalnihjednadzbai karakteristike:dovrsitiNelinearneparcijalnediferencijalnejednadzbe:U posljednje vrijeme, istrazivanje nelinearnih pojava u zici, dobiva sve veci znacaj. Ilus-18Ovaj je pojam posve slican pojmu svojstvene vrijednosti a matrice A v= av, s kojim su se citatelji upoznali u linearnojalgebri.136 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBEtrirajmotonaprimjeruKorteweg-deVriesovejednadzbe t+ x+3 x3= 0.kojaopisuje sirenjevalovauplitkojvodi(neracunajuciviskoznosttekucine).dovrsitiRubniuvjeti:Kaoikodobicnihdiferencijalnihjednadzba,takojeikodparcijalnihdiferencijalnihjed-nadzba, rjesenje najcesce trebazadovoljavati odredene rubneuvjete. Ovi se rubniuvjetimogupodjelitiutriklase:()Cauchyjevi rubni uvjeti:zadanajevrijednostfunkcijei njezinaokomitaderivacijanazadanurubnuplohu.Npr. uelektrostatici tomogubiti skalarni elektricni potencijal i okomitakomponentaelektricnogpolja.( )Dirichletovi rubni uvjeti: zadanaje(samo)vrijednostfunkcijenarubu.( ) Neumannovirubniuvjeti: zadana je (samo) okomitaderivacija funkcije narubu.U ovom ce se odjeljku rubnim uvjetima nazivati i ono sto se inace naziva pocetni uvjeti.Npr. zadavanjepocetnogpolozaja r0ipocetnebrzine v0unekojjedndzbigibanja,pred-stavljaCauchyjevrubniuvjet.4.5.1 RazdvajanjevarijabliUovom ceseodjeljkupokazatikakoseparcijalnediferencijalnejednadzberjesavajume-todomrazdvajanjavarijabli. Akoparcijalnadiferencijalnajednadzbasadrzi nvarijabli,tadaseonarastavljananobicnih(kojesadrzesamojednuvarijablu)diferencijalnihjed-nadzba. Ovihnobicnihdiferencijalnihjednadzbanisumedusobnonezavisnenegosupovezanesn 1konstantomrazdvajanja. Vrijednosti ovihkonstanataseodredujuiz uvjeta postavljenih na problem koji opisuje polazna parcijalna diferencijalna jednadzba.Objasnimoovaj postupaknaprimjeruHelmholtzovejednadzbe. Razdvajanjevarijablicemoprovestiupravokutnom,cilindricnomisfernomkoordinatnomsustavu.Razdvajanjevarijabliupravokutnomkoordinatnomsustavu:Helmholtzovajednadzbaupravokutnomkoordinatnomsustavuglasi2 x2+2 y2+2 z2+ k2= 0, (4.53)gdje je k2konstanta. Pokusajmo rijesiti gornju jednadzbu pretpostavivsi da se nepoznata4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 137funkcijatrivarijable(x, y, z)mozenapisatiuoblikuumnoska19(x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z),gdje je svaka od nepoznatih funkcija X, Yi Z funkcija smao jedne varijable. Uvrstavanjemgornjegoblikazau(4.53),dobijesed2Xd x2Y Z + Xd2Yd y2Z + XYd2Zd z2+ k2XY Z= 0.Sadasecijelajednadzbapodijeli sXY Zi samoclanovi ovisni oxseostavenalijevojstrani1Xd2Xd x2= k21Yd2Yd y2 1Zd2Zd z2 .U gornjoj su jednadzbi varijable razdvojene: lijeva strana ovisi samo o x, a desna ovisi o yi z, ali ne i o x. Gledano sa stanovista ovisnosti o varijabli x, desna strana je konstantna.Isto tako, gledano sa stanovista varijabli y i z, lijeva strana je konstantna. To je, naravno,istakonstanta, kojucemooznaciti s l2(predznaki kvadratnaravnonisunuzni, ali suodabranizatodanekikasnijidetaljiracunabudujednostavniji)1Xd2Xd x2= l2(4.54)k21Yd2Yd y2 1Zd2Zd z2= l2. (4.55)Sadasejednadzba(4.55)napiseuoblikudajesvaovisnostoynalijevoj strani, asvaovisnostoznadesnoj1Yd2Yd y2= l2k21Zd2Zd z2 .Opet je, sastanovistaovisnosti ovarijabli y, desnastranakonstanta. Sastanovistaovisnostiovarijabliz,lijevastranajetaistakonstanta. Zakasnijeracune,zgodnojetukonstantuodabratikao m21Yd2Yd y2= m2,1Zd2Zd z2= m2+ l2k2 n2.Konstantan2=k2 l2 m2jeuvedenakakobi sejednadzbezaX, Y i Zdobileu19Jedanprimjerovakvogrjesvanjavalnejednadzbemozesenaciiuodjeljku10.2.2knjige[4].138 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBEsimetricnomoblikud2Xd x2+ l2X = 0, X Xld2Yd y2+ m2Y = 0, Y Ymd2Zd z2+ n2Z = 0, Z Zn(l,m)l2+ m2+ n2= k2.Svakoodgornjihrjesenjaovisiovrijednostipridruzenekonstante,pajelm(x, y, z) = Xl(x) Ym(y) Zn(z), n = n(l, m) .Konstante se odreduju iz uvjeta na problem koji se rijesava i zahtjeva da je k2= l2+m2+n2. Zboglinearnosti diferencijalnogoperatora, najopcenitijerjesenjepolaznejednadzbe(4.53)jelinearnakombinacijagornjihrjesenja =lmalmlm,pri cemusekoecijentialmodredujuizrubnihuvjetanafunkciju.Razdvajanjevarijabliucilindricnomkoordinatnomsustavu:PogledajmosadakaoseizvodirazdvajanjevarijableuistojHelmholtzovojjednadzbi,alicesesadakoristiticilindricnekoordinate, iz,2(, , z) + k2(, , z) = 0.Laplaceovoperatorucilindricnimkoordinatamajedanu(1.28),paraspisanaHelmholt-zovajednadzbaglasi1 _ _+122 2+2 z2+ k2= 0.Kaoi uprethodnomodjeljkui sadapretpostavljamo(pogadamo)dase(, , z)mozenapisatikaoumnozaktrifunkcijeodpojednevarijable(, , z) = ? = R() () Z(z)iuvrstimoovupretpostavkuujednadzbu1dd _d Rd _Z + R12d2d 2Z + Rd2Zd z2+ k2R Z= 0.GornjujednadzbupodijelimosRZiclanoveovisneozostavimonalijevojstrani, asveostaloprebacimonadesnu1Zd2Zd z2= 1Rdd _d Rd _12d2d 2 k2. (4.56)4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 139Kao i u prethodnom odjeljku i sada primjecujemo da je sa stanovista ovisnosti o varijabliz,desnastranakonstantna. Radipogodnostiukasnijemracunu,nazovimotukonstantul21Zd2Zd z2= l2.Ovimizboromdesnastrana(4.56)postaje1Rdd _d Rd _+12d2d 2+ k2= l21Rdd _d Rd _+12d2d 2= l2k2_ 2Rdd _d Rd _+ (l2+ k2)2= 1d2d 2.Svaovisnost oje nalijevoj, asvaovisnost oje nadesnoj strani jednadzbe. Sastanovistaovisnosti o, desnastranajekonstanta, asastanovistaovisnosti o, lijevastranajekonstantna. Nazovimotukonstantum2m2= 1d2d 2,m2=Rdd _d Rd _+ (l2+ k2)2.Uobicajenojeuvestin2relacijomn2= l2+ k2. Sadasustavzasvetrifunkcijeglasid2Zd z2 l2Z = 0, Z Zld2d 2+ m2 = 0, mdd _d Rd _+ (n22m2) R = 0, R Rn,m. (4.57)OvaposljednjajednadzbajepoznatakaoBesselovadiferencijalnajednadzba. NjeznaserjesenjazovuBesselovefunkcijei onjimacebiti viserijeci uodjeljku6.3Svakoodgornjihrjesenjaovisiovrijednostipridruzenekonstante(ilivisenjih),pajelm(, , z) = Rmn() m() Zl(z), n = n(l).Najopcenitijioblikrjesenjajelinearnakombinacijagornjihrjesenja =lmalmlm,gdjesekoecijentialmodredujuizrubnihuvjetanafunkciju.Razdvajanjevarijabliusfernomkoordinatnomsustavu:Pogledajmosadakaoseizvodi razdvajanjevarijableuHelmholtzovoj jednadzbi, ali u140 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBEsfernimkoordinatamar, i,2(r, , ) + k2(r, , ) = 0.Laplaceovoperatorusfernimkoordinatamajedanu(1.22), paraspisanaHelmholtzovajednadzbaglasi1r2 r_r2 r_+1r2sin _sin _+1r2sin22 2+ k2= 0. (4.58)Kaoi dosadapretpostavljamo(zapravopogadamo)dase(r, , )mozenapisati kaoumnozaktrifunkcijeodpojednevarijable(r, , ) = ? = R(r) () ()iuvrstimoovupretpostavkuuHelmholtzovujednadzbu1r2dd r_r2d Rd r_ + R1r2sin dd _sin d d _ + R1r2sin2d2d 2+ k2R = 0.Pomnozilisecijelagornjajednadzbasr2sin2ipodjelis, R,dobivase1d2d 2= r2sin2_k21R1r2dd r_r2d Rd r_11r2sin dd _sin d d __= k2r2sin2 sin2Rdd r_r2d Rd r_sin dd _sin d d _.Svaovisnostovarijabli jenalijevoj strani, pajedesnastranakonstantau. Radijednostavnostiukasnijimracunima,nazovimotukonstantu m2m2=1d2d 2,m2= k2r2sin2 sin2Rdd r_r2d Rd r_sin dd _sin d d _.Sadatrebaugornjojjednadzbirazdvojitipreostaledvijevarijable. Dabisetopostiglo,dovoljnojecijelujednadzbupodijelitisasin2m2sin2 1sin dd _sin d d _ = k2r2+1Rdd r_r2d Rd r_.Varijablesurazdvojeneisvakustranujednadzbemozemoizjednacitiskonstantomkojucemonazvatil(l + 1)l(l + 1) =m2sin2 1sin dd _sin d d _,l(l + 1) = k2r2+1Rdd r_r2d Rd r_.Natajnacinsmo,umjestoparcijalnediferencijalnejednadzbe(4.58),dobilisustavodtri4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 141vezaneobicnediferencijalnejednadzbed2d 2+ m2 = 0, m1sin dd _sin d d _+_l(l + 1) m2sin2_ = 0, ml1r2dd r_r2d Rd r_+_k2l(l + 1)r2_R = 0 R Rl. (4.59)O rjesenjima ovih jednadzba ce biti vise rijeci kasnije u odjeljku 6.4. Za sada recimo samodajejednadzbazapoznatakaoLegendreovadiferencijalnajednadzba,ajednadzbazaRje jednadzbasfernihBesselovihfunkcija. Svakoodgornjihrjesenjaovisi opridruzenimkonstantama,pajenajopcenitijerjesenjenjihovalinearnakombinacija =lmalmlm,gdjesekoecijenti almodredujuizrubnihuvjetanafunkciju. Primjetimodaseugornjem racunu nismo ogranicili na slucaj k2= const. Naprotiv, za k2= f(r), jednadzbazaRsemozeegzaktnorijesitiunekimvaznimslucajevima,kaonpr. zavodikovatomukvantnoj mehanici, ali i niz drugih problema iz gravitacije, elektrostatike, nuklearne zikeitd.4.5.2 LaplaceovaiPoissonovajednadzba4.5.3 DifuzijskajednadzbadovrsitiPrimjeriprimjeneFourieroveiLaplaceovepreobrazbenarjesavanjeparcijalnihdiferenci-jalnihjednadzbanalazeseuodjeljcima,redom,8.2.8i8.3.6.4.5.4 PLDJ:GreenovefunkcijeUovomceseodjeljkupokazati kakosemogudobiti rjesenjaparcijalnihnehomogenihdiferencijalnihjednadzba,koristecisemetodomGreenovihfunkcija.Primjer:4.3Zapocnimo s jednimtrodimenzijskimprimjeromiz elektrostatike: trebarijesiti Poissonovujednadzbu(parcijalnadiferencijalnajednadzba) zaelektrostatski po-tencijal V (r)2V (r) = q(r)0, (4.60)injezinuhomogenuvarijantu,Laplaceovujednadzbu2V (r) = 0 (4.61)142 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBEkojavrijediutockamabezelektricnognaboja,q(r) = 0.Ako su naboji tockasti i iznosa su qi, a nalaze se u tockama ri, tada je iz elektrostatike poz-nato da je potencijal Vu tocki rjednak algebarskom zbroju potencijala pojedinih tockastihnabojaV (r) =140iqi|r ri|.Ukolikonabojinisutockasti, negosupribliznokontinuiranoraspodjeljeniunekomdijeluprostoraukojemusuopisaniprostornomgustocomnabojaq(r),tadajepotencijaldansV (r) =140q(r )|r r |d3r. (4.62)Gornjiizrazdajepotencijal kojiutockirstvaranabojopisangustocomnabojaqizatojetorjesenjePoissonovejednadzbe(4.60).SlovomGcemooznaciti Greenovufunkciju, kojajerjesenjejednadzbePoissonovatipa,alisgustocomnabojajednakom0smjestenomutocku20r 2G(r, r ) = (r r ). (4.63)Izusporedbegornjejednadzbes(4.60), vidisedajeGjepotencijal kojiutockirstvaragustocanabojanabojaiznosa0ukojasenalazi utocki r . Lakojeuvjeriti sedajerjesenjejednadzbe(4.60),danosaV (r) =G(r, r )q(r )0d3r.Djelovanje 2nagornjujednadzbudaje2V (r) =2G(r, r )q(r )0d3r= (r r )q(r )0d3r= q(r)0.Greenovteorem:20Ofunkciji(x)cebitiviserijeciuodjeljku6.1. NjezinajedenicijaBA(x a) dx ={1, a [A, B]0, a/ [A, B],aposljedicaovedenicijejeBAf(x) (x a) dx ={f(a), a [A, B]0, a/ [A, B].4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 143PremaGaussovuteoremu[4],zaproizvoljnovektorskopoljeV jeV d3r =_V dS .UzmelisedajeV = v u,tadajeV = (v u) = (v) ( u) + v 2u.UvrstiliseovouGaussovteorem,slijedi _(v) ( u) + v 2u_ =_v u dS=_v u ndS.Ugornjemje izrazus u/ n= n uoznacenaderivacijauusmjeruokomitomnazatvorenuplohuS. DasmoodabraliV = u v,istimpostupkomkaogore,dobilobise(jednostavnomzamjenomuv) _(v) ( u) + u 2v_ =_u vdS=_u v ndS.Napraviliserazlikagornjadvaizraza,dobivaseGreenovteorem _v2u u 2v_ d3r =_(v u u v) dS=_ _v u n u v n_dS. _v2u u 2v_ d3r =_ _v u n u v n_dS. (4.64)IdenticiramolivspotencijalomV ,ausGreenovomfunkcijomG,v(r )V (r ), u(r, r )G(r, r ),Greenovteorempostaje[V (r ) 2G(r, r ) G(r, r ) 2V (r )] d3r=_ _V (r ) G(r, r ) nG(r, r ) V (r ) n_dS.U sfernom koordinatnom sustavu je dS= r2sin d d, pa ako integrand na desnoj stranitrnebrzeodr2, mogucejepodrucjeintegracijetolikopovecati, daintegral popovrsinitogvelikogpodrucja(desnastrana)iscezava. UtomslucajujeV (r ) 2G(r, r ) d3r=G(r, r ) 2V (r ) d3r.Uvrstavanjem(4.60)i(4.63),slijediV (r ) (r r ) d3r=G(r, r )(r )0d3r.Prema temeljnom svojstvu Diracove delta funkcije, lijeva je strana gornjeg izraza jednaka144 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBEV (r)V (r) =10G(r, r ) (r ) d3r. (4.65)Uodjeljku6.1,jepokazanodaje2_1r_d3r =___4 ,0 .jednak nuli ako podrucje integracije ne sadrzi ishodiste, a da je jednak 4, ako podrucjeintegracijesadrzi ishodiste. PrematemeljnomsvojstvuDiracovedeltafunkcije, mozesenapisati2_14 r_ = (r),iliuzzamjenuvarijabli2_14 |r r |_ = (r r ).Usporedbom gornje jednadzbe sa (4.63), slijedi izraz za Greenovu funkciju trodimenzijskogLaplaceovogoperatoraG(r, r ) =14 |r r |. (4.66)Prema(4.65),rjesenjePoissonovejednadzbezapotencijaljeV (r) =140q(r )|r r |d3r, (4.67)sto je potpuno u skladu s rjesenjem (4.62) za potencijal poznatim iz elektrostatike. Ovomserjesenjumozedodati rjesenjehomogeneLaplaceovejednadzbe(4.61), kojamozeopi-sivati ucinaknpr. vanjskogelektricnogpolja(odudaljenihnaboja- takodajenjihovagustocajednakanuliudijeluprostoraukojemutrazimorjesenjePoissonovejednadzbe).ProintegrirajmojednadzbuzaG2G(r, r ) = (r r ) (4.68)posferiokotocke r[G(r, r )] d3r = (r r ) d3r = 1.4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 145IntegralnalijevojstraniseGaussovimteoremomtransformiraupovrsinskiintegral_G(r, r )d S= G(r, r ) ndS= 1.Gornja jednadzba pokazuje da Neumannovi rubni uvjeti ne mogu biti zadovoljeni na cijelojrubnoj plohi (jerjeintegral razlicitodnule). Shvati li segornji izrazkaojednadzbazanepoznanicu G(r, r )/ n, najjednostavnijerjesenjegornjejednadzbejeonoukojemujederivacijaGreenovefunkcijekonstantnanaplohiintegracije G(r, r ) n= const.Iznoskonstanteovisiodimenzijiprostora. Utridimenzijeje_dSpovrsinasfere,pajetadaconst._dS= const. 4|r r |2= 1 const.3D= 14|r r |2Udvijedimenzijeje_dSopsegkruznice,pajeconst._dS= const. 2|r r | = 1 const.2D= 12|r r |Ujednojdimenziji,povrsinskiintegral_dSpredstavljapovrsinudvijetockenapravcu,stojejednakonuli,takodaovdjeGreenovafunkcijanijedefinirana.Vratimo se u dvije i tri dimenzije: smjer normale je smjer spojnice tocaka r i r koji cemooznacitisn = |r r |,takodasadamozemolakoizracunati G3D(r, r ) n= 14|r r |2 G3D(r, r ) =14|r r |, (4.69) G2D(r, r ) n= 12|r r | G2D(r, r ) = 12ln |r r |.(4.70)Gornji izrazi predstavljajuGreenovefunkcijepridruzeneLaplaceovuoperatoruudvijeitridimenzije.Dodavanjeclana k2operatoru 2nemijenjaponasanjeGreenovefunkcijeblizutocker= r . Takosunpr. GreenovefunkcijezaLaplaceov,HelmholtzovimodiciraniHelm-holtzovoperator,daneutablici??.opcenito:Opisani postupak je izveden na primjeru elektrostatskog potencijala, ali se lako poopcavanabilokojulinearnunehomogenudiferencijalnujednadzbudrugogredaL y(r) = f(r), (4.71)gdjefunkcijafpredstavljanehomogeni clan(izvorpoljay),a Ljelinearnidiferencijalni146 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBETablica 4.2: Navedene Greenove funkcije zadovoljavaju rubni uvjet G(r, r ) = 0 za r ,za Laplaceovi modicirani Helmholtzovoperator. ZaHelmholtzovoperator, G(r, r ), opisujeizlazni val. H(1)0jeHankelovafunkcijaizodjeljka6.3.4,aK0jemodiciranaBesselovafunkcijaizodjeljka6.3.5.Laplaceova Helmholtzova modif. Helmholtzova22+ k22k21D 2kexp(k|x x|)12kexp(k|x x|)2D 12ln | |4H(1)0(k| |)12K0(k| |)3D141|r r |exp(k|r r |)4|r r |exp(k|r r |)4|r r |operator. GreenovafunkcijapridruzenagornjojjednadzbijerjesenjejednadzbeL G(r, r ) = (r r ). (4.72)ZapoznatuG,partikularnorjesenjezayjeoblika21y(r) =G(r, r ) f(r ) d3r. (4.73)Da je ovo uistinu rjesenje, lako je provjeriti tako sto ce se na njega djelovati operatorom L(uvarijabli r). IzgornjegseizrazamozeocitatiizickiznacenjeGreenovefunkcije: onasepojavljujekaotezinskafunkcija22kojaopisujekakoseudaljenoscuoddanetockermijenjaucinakizvora(tj. naboja)kojisenalaziutocki r .SimetrijaGreenovefunkcije:VaznosvojstvoGreenovefunkcijejesimetrijanazamjenuvarijablaG(r, r ) = G(r , r).Ugorenavedenomelektrostatskomprimjeru, tajesimetrijaocita, noonasemozedo-kazati punoopcenitije. KrenimoodpretpostavkedaGreenovafunkcija, umjesto(4.63),zadovoljavanestoopcenitijujednadzbu1_p(r1)1G(r1, r)_+ q(r1)G(r1, r) = (r1r), (4.74)koja opisuje tockasti izvor u r1= r. Funkcije p i qsu proizvoljne funkcije od r1, bez nekihosobitosti. IstutakvujednadzbuzadovoljavaifunkcijaG(r1, r )1_p(r1)1G(r1, r )_+ q(r1)G(r1, r ) = (r1r ).Premaranijemizlaganjuuovomodjeljku, G(r1, r ) je jednavrst potencijalautocki21Ovisnoouvjetimanadiferencijalnujednadzbu,ovomserjesenjuponekaddodajeiintegralpopovrsinikojaobuhvacapodrucjeintegracije.22ilipropagator4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 147r1, koji proizvodi tockasti izvorur . JednadzbuzaG(r1, r)pomnozimosG(r1, r ), ajednadzbu za G(r1, r pomnozimo s G(r1, r) i zatimih oduzmimo. U rezultatu se ukidajuclanovikojimnoze,apreostajeG(r1, r ) 1_p(r1)1G(r1, r)_ G(r1, r) 1_p(r1)1G(r1, r )_(4.75)= G(r1, r ) (r1r) + G(r1, r) (r1r ).Oba clananalijevojstranisemogupreobrazitikaoG(r1, r ) 1_p(r1)1G(r1, r)_=1_G(r1, r ) p(r1)1G(r1, r)__1G(r1, r )_p(r1)_1G(r1, r)_,G(r1, r) 1_p(r1)1G(r1, r )_=1_G(r1, r) p(r1)1G(r1, r )__1G(r1, r)_p(r1)_1G(r1, r )_.Uvrstavanjegornjegrezultatau(4.75),dobivase1_G(r1, r ) p(r1)1G(r1, r)_1_G(r1, r) p(r1)1G(r1, r )_= G(r1, r ) (r1r) + G(r1, r) (r1r )IntegracijomgornjegizrazapovolumenuiprimjenomGreenovateorema,dobivase_1_G(r1, r ) p(r1)1G(r1, r)_d3r1_1_G(r1, r) p(r1)1G(r1, r )_d3r1= _G(r1, r ) (r1r) d3r1 +_G(r1, r) (r1r ) d3r1 _G(r1, r ) p(r1)1G(r1, r) G(r1, r) p(r1)1G(r1, r )_d S1= G(r, r ) +G(r , r).Iz zahtjevadaG(r1, r) i G(r1, r ) i njihove okomite derivacije naplohi S1imajuistevrijednosti,iliizzahtjevadaGreenovefunkcijeiscezavajunaplohiS1(Dirichletovrubniuvjetizodjeljka??),povrsinskiintegralnalijevojstraniiscezavaipreostajeG(r, r ) = G(r , r),stojeitrebalopokazati.U slucaju kompleksnih svojstvenih vrijednosti, rubni uvjeti se mijenjaju kao (5.9) i (5.9),ivodenaG(r, r ) = G(r , r).Primjetimo da ova simetrija vrijedi za sve Greenove funkcije koje zadovoljavaju jednadzbuoblika(4.74). Uodjeljku5,jednadzbetogoblika cesezvatisamoadjungiranejednadzbe.Ovajesimetrijaosnovzarazneteoremereciprociteta: ucinaknabojaur napotencijalu rjeistikaoiucinaknabojau rnapotencijalu r .148 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBERazliciti oblici Greenovihfunkcija:Nekaje LlinearnidiferencijalnioperatoroblikaL(r) = _p(r) _+ q(r)PokazimojednuvrstpoopcenjaGreenovogteorema: nekasuuivfunkcijeod r;tadajev Lu uLv = v_(p )_u u_(p )_v= v_(p) + p 2_u u_(p) + p 2_v= v (p) (u) + v p 2u u (p) (v) + up 2v= (p)_v (u) u (v)_+ p_v 2u u2v=_p_v (u) u (v)__.Gornji seizrazprointegrirapovolumenu, azatimsenadesnustranuprimjeni Gaussovteorem(v Lu u Lv) d3r =_p_v (u) u (v)__d3r=_p_v (u) u (v)_dS .GornjiizrazjepoopcenjeGreenovogteorema.Primjenimogornjiteoremnaslucajkadajeu(r ) y(r ) , v(r ) G(r, r ),pri cemujeG(r, r ) = G(r , r)[G L y y L G] d3r=p_Gy yG_dS .Uvrsteliseugornjiizraz(4.71)i(4.72),slijedi[G(r, r ) f(r ) + y(r )(r r )] d3r=p(r )_G(r, r )y(r ) y(r )G(r, r )_dS .IntegracijaDiracovedeltafunkcijevodinay(r) =G(r, r ) f(r ) d3r+p(r )_G(r, r )y(r ) y(r )G(r, r )_dS .(4.76)UkolikoiyiGzadovoljavajuDirichletoveiliako yiGzadovoljavajuNeumannoverubneuvjete,povrsinskiintegraliscezavaipreostaje(4.73).RazvojGreenovefunkcijeusfernimkoordinatama:ZajedandodatniizvodGreenovefunkcijeLaplaceovogoperatora,pretpostavimodapos-4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 149tojirazvojGreenovefunkcijepokuglinimfunkcijama23G(r, r ) =l=0+lm=lgl(r, r ) Yml(, ) Yml(, ). (4.77)Zadatakjeodreitikoecijentegl(r, r ). Iz(6.6)i... znamodaje(r r ) =1r2(r r ) (cos cos ) ( )=1r2(r r )l=0+lm=lYml(, ) Yml(, ). (4.78)Uvrstimo(4.77)i(4.78)u(4.68)2G(r, r ) = (r r )2l=0+lm=lgl(r, r ) Yml(, ) Yml(, ) = 1r2(r r )l=0+lm=lYml(, ) Yml(, ).Usfernimkoordinatama, 2jeoblika(1.22)2=1r2 r_r2 r_+1r2_1sin _sin _+1sin22 2_.prema (6.99), kuglina funkcija Yml(, ) je svojstvena funkcija kutnog dijela 2u sfernimkoordinatama,sasvojstvenomvrijednoscu l (l + 1)_1sin _sin _+1sin22 2_Yml(, ) = l (l + 1) Yml(, ).SadapolaznajednadzbazaGpostajel=0+lm=l1r2_dd r_r2d gl(r, r )d r_l (l + 1) gl(r, r )_Yml(, ) Yml(, )= 1r2(r r )l=0+lm=lYml(, ) Yml(, )l=0+lm=l_rd2d r2(r gl(r, r )) l (l + 1) gl(r, r ) + (r r )_Yml(, ) Yml(, ) = 0.Zbog ortgolnosti kuglinih funkcija, (6.98), svaka od gornjih zagrada mora zasebno iscezavati,stovodinadiferencijalnujednadzburd2d r2_r gl(r, r )_l (l + 1) gl(r, r ) = (r r ).23Kuglinefunkcije,odjeljak6.4.6.150 POGLAVLJE4. DIFERENCIJALNEJEDNADZBERijesavanjehomogenejednadzberd2d r2_r gl(r, r )_l (l + 1) gl(r, r ) = 0,razvojemuredoblikagl=n=0anrn+k,vodinan=0an_(n + k) (n + k + 1) l(l + 1)_ rn+k.Zboglinearnenezavisnostipotencija,zasvakinmorabitian_(n + k) (n + k + 1) l(l + 1)_ = 0.Zan = 0,osnovnajednadzbak (k + 1) l(l + 1) = 0,vodinadvarjesenja: k = lik = l 1. Uvrstavanjeovihvrijednostikvodinak = l, ann (n + 2l + 1) = 0 an= 0, n = 1, 2, k = l 1, ann (n 2l 1) = 0 an= 0, n = 1, 2, Toznacidasudvarjesenjahomogenejednadzbejednakarlirl1. Akozahtjevamodafunkcijaglostajekonacnakadar 0idaiscezavakadar ,tadapostupakrazvijenu??vodinagL(r, r ) =12l + 1___rlrl+1, r < r ,rlrl+1r > r.ili,kracegl(r, r ) =12l + 1rl.Uzovakavgl,razvojzaGreenovufunkcijujeG(r, r ) =l=0+lm=l12l + 1rlYml(, ) Yml(, ).Buducidaiz(4.69)znamoanalitickioblikG,izgornjegizrazaocitavamo1|r r |= 4 l=0+lm=l12l + 1rlYml(, ) Yml(, ). (4.79)JednaizravnaprimjenagornjegrazvojaGreenove funkcije pokuglinimfunkcijamaje4.5. PARCIJALNELINEARNEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 151razvojelektrostatskogpotencijalapomultipolima. Potencijalnabojautocki rraspodje-ljenoguprostorugustocomqje,prema(4.62),jednak24V (r) =140q(r )|r r |d3r=10l=0+lm=l12l + 11rl+1Yml(, )rl+2q(r ) Yml(, ) sin d rd d .Gornjiseizraznazivamultipolni razvoj. Medusobnavelicinapojedinih clanovaovisiokonkretnojraspodjelinabojaizvorapotencijalaq(r ).Adicijski teoremzaLegendreovepolinome:IzdenicijefunkcijeizvodniceLegendreovihpolinoma,(6.58),znamodaje1|r r |=l=0rlPl(cos ), (4.80)gdje je kut koji zatvaraju vektori r i r . Izjednacavanjem izraza (4.79) i (4.80), dobivamorelacijukojasezoveadicijskiteoremzaLegendreovepolinomePl(cos ) =4 2l + 1+lm=lYml(, ) Yml(, ).RazvojGreenovefunkcijeucilindricnimkoordinatama:dovrsitiG(r, r ) =122+m=0Im(k) em()cos[k(z z)] d kdovrsitiZadatak:4.8Kvantnomehanickorasprsenje-rjesenjeuoblikuNeumannovogredaKvantnateorijarasprsenjajelijepprimjertehnikerjesavanjaintegralnihjed-nadzbaprimjenomGreenovihfunkcija. Fizickaslikajeslijedeca: snopcesticasegibaduznegativneosi zpremaishodistu. Mali diocesticaserasprsujenapotencijaluV (r)iudaljavaseodishodistauoblikuizlaznogsfernogvala. Za-datakjenacivalnufunkciju,(r),snopacesticanakonrasprsenja.R: Valnafunkcijamorazadovoljavati vremenski neovisnuSchrodingerovi24Tockarjeizvanpodrucjagdjesenalazenabojikojiproizvodepotencijal,pajezator> r> r r 0osimeventualnouizoliranimtockamaukojimajew(x) = 0. Uzdaniodabirparametra, funkcijaukojazadovoljava(5.8)i nametnuterubneuvjetesenaziva svojstvenafunkcija pridruzene svojstvene vrijednosti . Sama konstanta setadanazivasvojstvenavrijednost. Mozesedesitidazaproizvoljnoodabranuvrijednost, svojstvenafunkcijauopcei nepostoji. Najcescesedogadadazahtjevdasvojstvenafunkcijapostoji,ogranicavamogucevrijednostinaskupdiskretnihvrijednosti(kao stoje to npr. slucaj u Legendreovoj, Hermiteovoj iliCebisevljevoj jednadzbi). Upravo je ovomjesto gdje se vidi matematickopodrijetlopostupkakvantizacijeukvantnojmehanici.Oshvacanju kao Lagrangeovog mnozitelja, pogledati odjeljak 10.8 o varijacijskomracunu.Dodatnatezinskafunkcijaw(x) se pojavljuje katkadakaoasimptotskavalnafunkcijakojajezajednicki faktorsvimrjesenjimaparcijalnihdiferencijalnihjednadzbatipaSchrodingerovejednadzbe. Akonpr. uSchrodingerovoj jednadzbi potencijalnaenergijaiscezavazax , tadaseracunapomocuhamiltonovefunkcijeukojoj jestav-ljenoEp=0. Drugi moguci izvortezinskefunkcijejebarijeraodkutnekolicinegibanjal(l +1)/x2u parcijalnoj diferencijalnoj jednadzbi (4.59),koja ima regularni singularitet idominirazax 0. Utomslucajuosnovnejednadzbekao stosu(4.24)ili(4.26),poka-zujudavalnafunkcijaimaxlkaozajednickifaktor. Buducidavalnefunkcijeumatricneelemente i relacije ortogonalnosti ulaze po dva puta, tezinske funkcije u tablici ?? potjecuodtihzajednickihfaktorauobjeradijalnefunkcije.Zadatak:5.1Legendreovajednadzba:ULegendreovojjednadzbi(1 x2) y 2xy + l(l + 1) y= 0.5.1. SAMOADJUNGIRANEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 159Tablica5.1: Svojstvenevrijednostiitezinskefunkcijenekihdiferencijalnihjednadzbajednadzba p(x) q(x) w(x)Legendreova 1 x20 l (l + 1) 1pomaknutaLegendreova x(1 x) 0 l (l + 1) 1pridruzenaLegendreova 1 x2m2/(1 x2) l (l + 1) 1Cebisevljeva11 x20 n21/1 x2pomaknutaCebisevljeva1x(1 x) 0 n21/x(1 x)Cebisevljeva2(1 x2)30 n(n + 2) 1/1 x2Ultrasfericna(Gegenbauerova) (1 x2)+1/20 n(n + 2) (1 x2)1/2Besselova x n2/x2a2xLaguerreova x ex0 expridruzenaLaguerreova xk+1ex0 k xkexHermiteova ex20 2 ex2Slobodniharmonijskioscilator 1 0 n21prepoznajtefunkcijepj,tezinskufunkcijuisvojstvenuvrijednost.R: Uterminimajednadzbe(5.6)jep0 p = 1 x2,p1= p0= 2x,p2 q = 0,w = 1, = l(l + 1).Uodjeljku... jepokazanodarjesenjazaydivergirajuosimakojelprirodanbroj. U ovom primjeru taj uvjet uvodi kvantizaciju: velicina lje kvantizirana.Zadatak:5.2Deuterij:dovrsitiR: Uter.. ntizirana.160 POGLAVLJE5. ORTOGONALNEFUNKCIJERubniuvjeti:Uvodecipojamsvojstvenefunkcije,spomenutojedaonamoraosimjednadzbe,zadovo-ljavati i odredenerubneuvjete. Ovdjecemovremenskuvarijablutretirati ravnopravnosprostornimvarijablama,pacemopodrubnimuvjetimasmatratiioneuvjetekojesmoranijezvalipocetnimuvjetima.Poznatoje da je uklasicnoj mehanici, gibanje odredeno diferencijalnomjednadzbomgibanja(drugiNewtenovaksiom)ipocetnimpolozajem r0ipocetnombrzinomvv0md2r(t)d t2=F(r, t), r(t = 0) = r0,dr(t)d tt=0= v0.Usadasnjimterminima,toznacidajepoznatavrijednostfunkcijenarubu(dvasuruba:ux = aix = b)u(a), u(b),stojeekvivalentrubnoguvjetar(t=0)ujednadzbi gibanja, i dajepoznatavrijednostderivacijefunkcijenarubud u(x)d xx=a,d u(x)d xx=b,stojeekvivalent rubnoguvjetar(0). Drugimrjecima, ujednadzbi gibanjasuzadaniCauchyjevirubniuvjeti.Kod rjesavanja jednodimenzijskih problema u ovom odjeljku rubni uvjeti se zadaju tako dase zadaje vrijednost funkcije na obaruba dozvoljenog intervala [a, b] u kojemu varijablapoprimasvojevrijednosti.Obicnooblikdiferencijalnejednadzbeilirubniuvjetinarjesenjegarantirajudanarubo-vimaintervala[a, b]vrijedip(x) v(x)d u(x)d xx=a= 0, (5.9)p(x) v(x)d u(x)d xx=b= 0,gdjesuui vobarjesenjarazmatranediferencijalnejednadzbedrugogreda. Mogucejeraditiismanjerestriktivnimrubnimuvjetimaoblikap(x) v(x)d u(x)d xx=a=p(x) v(x)d u(x)d xx=b(5.10)gdje suui v rjesenja razmatrane diferencijalne jednadzbe, koja odgovarajuistimilirazlicitimsvojstvenimvrijednostima.Zadatak:5.3Odabirintervalaintegracije[a, b]:Zadiferencijalnujednadzbud2yd x2+ n2y= 0zaproizvoljnicijelibrojn,odrediteinterval integracije.5.1. SAMOADJUNGIRANEDIFERENCIJALNEJEDNADZBE 161R: Rjesenja gornje jednadzbe tj, svojstvene funkcije sutrigonometrijskefunkcijeun= cos nx,vm= sin mx,zarazlicitesvojstvenevrijednostinim. Rubniuvjet(5.10)vodinansin mxsin nx|a= nsin mxsin nx|b,ili,zamjenomuivmcos mxcos nx|a=mcos mxcos nx|b.Zacjelobrojnesvojstvenevrijednostinim,svojstvenefunkcijesuperiodicnesperiodom2,pasugornjiuvjetizadovoljeniakojea = x0ib = x0 + 2zasvakix0. Obicnoseuzimax0= 0ilix0= , stovodinaintervale[0, 2]ili[, ].Odovogmjestapanadalje,podrazumjevat cesedajeinterval[a, b]uvije