MMatemática 2º Ano Ι Médio-Semelhança de Triângulos
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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° AnoSemelhança de triângulos
Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?
? ? ? ? ?Já se perguntou sobre as utilidades delas para o
mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino MédioSemelhança de triângulos
O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
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É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja:
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Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.
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Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.
Observação:
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Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes.
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Observações:
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Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
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É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
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Triângulo retângulo:
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:a: hipotenusab e c: catetosh: altura relativa a hipotenusam e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
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Triângulo obtusângulo:
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º).
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Triângulo acutângulo:
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°).
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Congruência e semelhançaObserve as figuras abaixo: Fig.A Fig.B
As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.
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4,5m 6,2m
6m
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β
Agora observe as seguintes figuras:Fig. A Fig. B
Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja:
13,5 = 3 18 = 3 18,6 = 3 4,5 6 6,2
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais.
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13,5m 18,6m
18m
Y
α
β
4,5m 6,2m
6m
Y
α
β
Como reconhecer triângulos semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:
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1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se
correspondem são respectivamente congruentes.”
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A C
B
R
Q
P
^ ^
^ ^ABC ~ PQR
2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos
determinados por estes lados são congruentes.”
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A C
B
R
Q
P
^ ^
ABC ~ PQR
3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se
correspondem são proporcionais.”
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ABC ~ PQRA
C
B
R
Q
P
Teorema de Tales:Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra.
Observe a situação abaixo: Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que:
Ou também que:
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Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo:
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
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Início da rua
Fim da rua
Calçada200m
250m
300m
x
Calçada
Esgoto/Água
Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
A rede de água mede 500 metros, pois:
200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque:
250 + 375 = 625
200 = 250300 X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000 200X = 375 metros
Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.
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Segmentos proporcionais determinados num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais.
Sendo assim:
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A
B
C
P Q
r
r//AC BP, PA, BQ E QC são proporcionais.
2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
Desta forma:
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BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são proporcionais.x x
A
B
CD
Vamos ver como estas propriedades funcionam:
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A
B
C
P Q
r
3cm
9cm
12cm
x
Solução:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.
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A
B
CD
5cm 6cm
3cm X
Solução:
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC
Relações métricas no triângulo retângulo:
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a2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bc
a = m + n
Em um triângulo qualquer:
Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas:
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Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
Teorema de Pitágoras:
ch
nm
hbc
n m
hb
A
BC D
A’ A’’
B C C Da
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
ah = bca2 = b2 + c2
Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo:
Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.
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c
n 9,6m
h12m
BC D a
A
c2 = na
c2 = 15.5,4
c2 = 81
c2 = 9m
h2 = mn
h2 = 9,6.5.4
h2 = 7,2n
b2 = ma
122 = 9,6a
a = 144/9,6
a = 15m
a = m + n
15 = 9,6 + n
n = 19 - 9,6
n = 5,4m
Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
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1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160mb) 45m; 85m; 125m; 165mc) 48m; 96m; 144m; 192md) 55m; 95m; 135m; 175me) 60m; 100m; 140m; 180m
120m90m60m30m
Rua 1
Rua 2
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.
8
6
x
y
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.A diferença de x- y é:A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12
r
s
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente:
a)25cm e 13 cmb)4/3 e 16/3c)20 cm e 12 cmd)40cm e 24 cme)40 cm e 28 cm
F
DC
X AB
32 cm24 cm
18 cm y
70 cm
SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.
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Sp = 41,25mHp = xHj = 1,8mSj = 6,75m
2º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
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120m90m60m30m
Rua 1
Rua 2
x
y
z
w
Marcando as medidas a seremconhecidas
Note que o comprimento da rua 1Na figura é R1=30+60+90+120 R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
Pela proporção, conclui-se que:y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m
3º) solução:
Alternativa C.
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8
6
x
y
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, Aplicando o Teorema de Tales teremos:
r
s
t
4º) solução:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
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F
DC
X AB
32 cm24 cm
18 cm y
70 cm
Note que que na figura os triângulos ABF eCDF são semelhantes e que FC = 42 cm,Desta forma:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de
semelhança de triângulos propostos a seguir:
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3cm 4cm
5cm
6cm
X
Y
Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: ÂNGULO/ ÂNGULO
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5
X
12
Y
9
3B)
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Como você pôde notar, há várias situações- -problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos.
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
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4a Timeroot / GNU Free Documentation License
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4c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License
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