Mma10 CA Geo

Exerccios1.Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos A(3 , 2) e B(1 , 1).1.1.Represente os pontos A e B e trace as retas paralelas aos eixos coordenados que contm A ou B, por forma a construir um retngulo do qual [AB] uma diagonal.1.2.Determine a distncia entre os pontos A e B utilizando o Teorema de Pitgoras.Resoluo1.1.

1.2.Pelo Teorema de Pitgoras temos que. Como , ento , ou seja, a distncia entre os pontos A e B 5.

2.*Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(a1, a2) e B(b1, b2).

2.1.Designe por A1 e B1 as projees ortogonais no eixo das abcissas respetivamente dos pontos A e B.

Exprima, em funo de a1 e de b1, a medida d1 da distncia entre A1 e B1.

2.2.Designe por A2 e B2 as projees ortogonais no eixo das ordenadas, respetivamente, dos pontos A e B. Exprima, em funo de a2 e de b2, a medida d2 da distncia entre A2 e B2.

2.3.Exprima a medida da distncia entre A e B em funo de d1 e de d2 e justifique que igual a .Resoluo

2.1.d1 = |a1 b1|2.2.d2 = |a2 b2|2.3.Pelo Teorema de Pitgoras, . Como , temos que . Logo, .

3.**Demonstre, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, que a medida da distncia entre A e B, d(A, B) igual a , tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos eixos coordenados.

Resoluo

Sejam A(a1, a2) e B(b1, b2) pontos pertencentes a um plano munido de um referencial ortonormado. Designando por A1 e B1 as projees ortogonais no eixo das abcissas dos pontos A e B, respetivamente, temos que .Por outro lado, designando A2 e B2 as projees ortogonais no eixo das ordenadas dos pontos A e B, respetivamente, temos que

Considerando o tringulo retngulo com hipotenusa igual a [AB], e so as medidas de comprimentos dos seus catetos.

Assim, pelo Teorema de Pitgoras:

,

,

,

Portanto, .

Exerccios1.Considere, na reta numrica, os pontos A, B e M de abcissas, respetivamente, a, b e .

Prove que .Resoluo

Como e , temos que .2.*Considere, na reta numrica, os pontos A e B de abcissas, respetivamente, a e b.

2.1.Indique, utilizando a e b, uma expresso da medida da distncia entre A e B.

2.2.Seja M o ponto mdio de [AB].

Apresente, utilizando a e b, uma expresso da medida da distncia entre A e M.

2.3.Apresente, utilizando a e b, uma expresso para a abcissa de M sem recorrer ao smbolo de valor absoluto.

Nota:Este segundo exerccio foi identificado como tendo um nvel de desempenho superior, uma vez que no pressupe, contrariamente ao que indicado no descritor, o conhecimento prvio da expresso da abcissa do ponto mdio de [AB].Resoluo

2.1.

2.2.

2.3.Seja m a abcissa de . Se b a, ento .

Se b < a, ento |b a| = (b a) = a b e .

Podendo-se concluir que a abcissa de M .

Exerccios1.

Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A(1, 1), B(4, 6) e C(4, 1).

1.1.Determine as coordenadas do ponto mdio D do segmento de reta [AC].1.2.Considere a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto D e a respetiva interseo M com o segmento de reta [AB]. Justifique, utilizando o Teorema de Tales, que M o ponto mdio de [AB] e indique a abcissa de M.1.3.Calcule a ordenada de M.

Resoluo

1.1.

1.2.Dado que a reta MD paralela a BC e interseta [AC] no ponto mdio D, ento pelo Teorema de Tales MD interseta [AB] no seu ponto mdio. Ou seja, .

Portanto, M o ponto mdio de [AB].

1.3.Pelo Teorema de Tales, temos que .Supondo que M tem ordenada y, ento

Logo, a ordenada de M .2.*Considere um referencial ortonormado em dado plano e trs pontos A, B e M desse plano, bem como as respetivas projees ortogonais, respetivamente, A, B, M, no eixo dos xx, e A, B, M, no eixo dos yy.

2.1.Sabe-se que M o ponto mdio de [AB]. Prove que os pontos M e M so, respetivamente, os pontos mdios dos segmentos de reta [AB] e [AB]. 2.2.Sabendo que A(a1, a2) e B(b1, b2), determine as coordenadas de M.Resoluo

2.1.Considere a reta paralela ao eixo das abcissas que passa pelo ponto A, a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto B e o ponto C, ponto de interseo das retas consideradas. Pelo Teorema de Tales, o ponto de interseo de com [AC] o ponto mdio de [AC], pois M o ponto mdio de [AB].Dado que A tem a mesma abcissa que A e B tem a mesma abcissa que C, conclumos que M o ponto mdio do segmento de reta [AB]. Tambm pelo Teorema de Tales, o ponto de interseo de MM com [BC] o ponto mdio de [BC]. Uma vez que a ordenada de A igual de C e B igual a B, conclumos que M o ponto mdio do segmento de reta [AB].

2.2.Dado que M tem a mesma abcissa de M e M ponto mdio de [AB], a abcissa de M .Como M tambm tem a mesma ordenada de M e M ponto mdio de [AB], a ordenada de M . Portanto, as coordenadas de M so .

Exerccios1.Considere, num plano munido de um referencial ortonormado e dado c > 0, a elipse de focos F1( c, 0) e F2(c, 0) e de eixo maior 2a (a > c > 0). Seja P o ponto de interseo da elipse com o semieixo positivo das ordenadas. 1.1.Justifique que .1.2.Indique, justificando, a medida comum de e .1.3.Conclua que .

Resoluo

1.1.Designamos por O o centro da elipse. Como, por hiptese, os focos tm coordenadas (c, 0) e (c, 0), o ponto O, centro da elipse, coincide com a origem do referencial e os focos situam-se no eixo das abcissas. Assim, dado que o ponto P se situa, tambm por hiptese, sobre o eixo das ordenadas e o referencial ortonormado, temos que F1P = F2P.

Alm disso, , pois F1 e F2 so focos da elipse, e o segmento de reta [OP] comum aos tringulos [POF1] e [POF2]. Portanto, pelo critrio LAL da igualdade de tringulos, os tringulos POF1] e [POF2] so iguais. Deste modo, .

1.2.Sabendo que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a e que , temos:

Portanto, a medida comum de a.

1.3.Considerando o tringulo retngulo [F1OP], pelo Teorema de Pitgoras, .

Logo, .2.

*Dada uma elipse de focos A e B e de eixo maior 2a em determinado plano, resolva as seguintes questes.2.1.Prove que a mediatriz de [AB] interseta a elipse exatamente em dois pontos C e D situados em semiplanos opostos de fronteira AB e interseta a reta AB no ponto mdio do segmento [CD], que coincide com o centro O da elipse.

2.2.Prove que tomando se tem , onde .Resoluo

2.1.Comecemos por mostrar que a mediatriz de [AB] interseta a elipse exatamente em dois pontos situados no semiplano oposto da fronteira AB. Um ponto P o ponto de interseo entre a elipse de focos A e B e semieixo maior a e a mediatriz de [AB], se e somente se, satisfaz as condies d(A, P) + d(P, B) = 2a e d(A, P) = d(P, B). Daqui resulta que d(A, P) = d(P, B) = a e, portanto, P est na circunferncia de centro em A e raio a, assim como na circunferncia de centro B e raio a. Reciprocamente, se P est na interseo das duas circunferncias, ento pertence elipse de focos A e B e semieixo maior a e na mediatriz [AB]. Dado que a soma dos raios das circunferncias, 2a, maior do que as distncias entre os centros , podemos concluir que as circunferncias so secantes e intersetam-se exatamente em dois pontos, C e D, situados em semiplanos opostos da fronteira AB. Vejamos agora que a mediatriz [AB] interseta a reta AB no ponto mdio do segmento de reta [CD], que coincide com o centro da elipse. Como C e D so pontos secantes das circunferncias de centros A e B e raio a, d(A, C) = d(B, C) e d(A, D) = d(B, D) so pontos da mediatriz de [AB]. Assim, os tringulos [ABC] e [ABD] so issceles e iguais. Considerando M o ponto mdio do segmento [AB], que tambm pertence mediatriz [AB], e a altura de ambos os tringulos relativamente ao lado [AB], temos que .

Portanto, M tambm ponto mdio do segmento [CD], centro da elipse de focos A e B e semieixo maior a.

2.2.Seja O o centro da elipse. Como C pertence mediatriz de [AC], ento e as arestas AO e OC so perpendiculares.

Assim, e . Como e .

Finalmente, como o tringulo [AOC] retngulo em O, pelo Teorema de Pitgoras temos . Como b positivo, .

Exerccios1.Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos F1( 4, 0) e F2(4, 0).

1.1.Qual o valor que deve tomar o nmero real d por forma que um ponto P(x, y) pertena elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior a, (a > 4) quando e apenas quando

?1.2.*Considere a = 5.

Mostre que um ponto P(x, y) pertence elipse referida na alnea anterior quando e apenas quando .

1.3.Tendo em conta a alnea 1.2., calcule as coordenadas dos pontos A1 e A2 em que a elipse interseta o eixo das abcissas, as coordenadas dos pontos B1 e B2, em que a elipse interseta o eixo das ordenadas e o eixo menor .

1.4.Verifique, neste exemplo, que , onde a semidistncia focal.

Resoluo

1.1.Como o ponto P(x, y) pertence elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior a, (a > 4), temos que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a, isto , . Logo, d = 2a.1.2.a = 5

(ver a justificao da equivalncia no exerccio 2.2)

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 (ver a justificao da equivalncia no exerccio 2.2)

EMBED Equation.DSMT4 1.3.Como A1 e A2 esto no eixo das abcissas, tm ordenada nula. Assim:

Logo, os pontos de interseo com os eixos das abcissas so A1( 5, 0), A2(5, 0). Como B1 e B2 esto no eixo das ordenadas, tm abcissa nula. Assim, .

Logo, B1(0, 3), B2(0, 3).

1.4.

e

2.**Considere num plano munido de um referencial ortonormado dois nmeros reais a e c (a > c > 0) e os pontos F1( c, 0) e F2(c, 0).

2.1.Justifique que a equao a equao da elipse de focos F1 e F2 e de semieixo maior a.

2.2.Mostre que a equao da alnea anterior equivalente a .

2.3.Escreva a equao da alnea anterior utilizando no primeiro membro apenas as constantes a e b, onde b representa o semieixo menor da elipse.Resoluo

2.1.Por definio de elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior a (, ou seja, a > c), um ponto P do plano pertence elipse se e somente se d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

Atendendo expresso da distncia entre dois pontos atravs das respetivas coordenadas num referencial ortonormado, um ponto P estar na elipse se e somente se as respetivas coordenadas (x, y) satisfizerem a equao , com .

Deste modo, obtemos a equao cartesiana de uma tal elipse. 2.2.





Em (*) e em (**) as implicaes da direita para a esquerda so justificadas pelo facto de ambos os membros serem no negativos. Em ambos, os primeiros membros ficam justificados por serem somas de quadrados. Em (**) o segundo membro no negativo, porque a2 cx. Sabemos, por hiptese, que a > c > 0 e da ltima equao que . Ento, x2 a2, o que implica que |x| |a| = a e, portanto, cx c|x| ca < a2. Em (*) o segundo membro no negativo se .

Da sexta equao a contar de baixo e das desigualdades j provadas, temos que:

2.3.Sabemos que . Daqui resulta que b2 = a2 c2 e, portanto, .

Exerccios1.

Seja r a reta de equao y = 2x + 1 num dado plano munido de um referencial ortonormado. Considere os conjuntos A = {X(x, y): y > 2x + 1} e B = {X(x, y): y < 2x + 1}.1.1.

Seja P(1, 7) e Q(2, 6). Verifique que P A e que Q A. Calcule as coordenadas do ponto de interseo das retas r e PQ e conclua que o segmento de reta [PQ] no interseta r.

1.2.Seja R(3, 1). Verifique que R B e que o segmento de reta [PR] interseta r.

1.3.

Considere dois pontos P1(a, y1) e P2(a, y2) . Mostre que se pertencerem ambos a A e o outro a B, ento o segmento de reta [P1P2] no interseta r, mas que se um deles pertencer a A e o outro a B, ento o segmento de reta [P1P2] interseta r e determine as coordenadas do ponto de interseo.

1.4.

Considere dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) tais que x1 x2 e seja P(x, y) um ponto de [P1P2].

a)

Utilizando a equao da reta P1P2 ou, diretamente, o Teorema de Tales, mostre que x = x1 + s(x2 x1) e y = y1 + s(y2 y1) para determinado s [0, 1].

b) Deduza da alnea anterior que x = (1 t)x1 + tx2 e y = (1 t)y1 + ty2 para determinado t [0, 1] e conclua que se P1 e P2 pertencerem ambos a A (respetivamente a B), ento P A (respetivamente, P B) e, portanto, o segmento de reta [P1P2] est contido em A (respetivamente em B), logo no interseta r.

c)Utilizando a alnea a) conclua que se P1 A e P2 B, ento o segmento de reta [P1P2] interseta r, determinando o valor de s correspondente ao ponto de interseo.

1.5.

Conclua das alneas anteriores que A e B so exatamente os semiplanos abertos de fronteira r do plano dado.Resoluo

1.1. Se P A e Q A satisfizer a inequao y > 2x + 1.

P(1 , 7)

7 > 2 1 + 1 7 > 2 + 1 7 > 3

Logo, .Q(2 , 6)

6 > 2 2 + 1 6 > 4 + 1 6 > 5

Logo, . Equao reduzida da reta PQ

Temos que a equao do tipo y = x + b.

Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto P, temos que: 7 = 1 + b b = 7 + 1 b = 8

Assim, a equao reduzida da reta PQ y = x + 8. Ponto de interseo das retas r e PQ

As coordenadas do ponto de interseo das retas r e PQ so . Como a abcissa deste ponto superior s abcissas de Q e P, pode concluir-se que o segmento de reta [PQ] no interseta r.

1.2. R B se as suas coordenadas satisfazem a inequao y < 2x + 1.

1 < 2 3 + 1 1 < 6 + 1 1 < 7

Logo, R B. Equao reduzida da reta PR

Declive:

A equao da reta PR da forma y = 3x + b.

Substituindo x e y pelas coordenadas de R na equao:

1 3 3 + b b = 1 + 9 b = 10

Logo, a equao reduzida da reta PR y = 3x + 10. Determina-se o ponto de interseo entre r e PR.

Logo, o ponto de interseo tem coordenadas .

Como a abcissa do ponto de interseo maior do que a abcissa de P e menor que a abcissa de R, o segmento [PR] interseta r.

1.3. Suponhamos que P1(a, y1) e P2(a, y2) pertencem a A. Ento, y1 > 2a + 1 e y2 > 2a + 1.

A equao da reta P1P2 x = a .

Encontrando o ponto de interseo da reta r e P1P2:

S = {(a, 2a + 1)}

Conclumos que r no interseta P1P2, pois as ordenadas de P1 e P2 so maiores do que 2a + 1.

Suponhamos que P1 e P2 pertencem a B. Ento, y1 < 2a + 1 e y2 < 2a + 1.

Assim, a equao da reta P1P2 x = a.

Calculando o ponto de interseo da reta r e P1P2, obtemos o ponto de coordenadas (a, 2a + 1).

Assim, conclumos que r no interseta P1P2, pois as ordenadas de P1 e P2 so menores do que a ordenada do ponto de interseo entre r e P1P2.

Vejamos agora o caso em que um dos pontos pertence a A e o outro a B.

Suponhamos que P1 A e P2 B. Assim, y1 > 2a + 1 e y2 < 2a + 1.

J sabemos que o ponto de interseo da reta r e da reta P1P2 tem coordendas (a, 2a + 1). Como y2 < 2a 1 < y1, o segmento de reta [P1P2] interseta a reta r.

De modo anlogo se mostra que se P1 B e P2 B, o segmento de reta [P1P2] interseta r.

Alm disso, as coordenadas do ponto de interseo so (a, 2a + 1).1.4. a) P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

Considerando uma reduo ou uma igualdade temos, utilizando o Teorema de Tales:

com 0 s 1

Assim:


x = x1 + s(x2 x1) y = y1 + s(y2 y1), s [0, 1]b) Pela alnea anterior: x = x1 + s(x2 x1) x = x1 + sx2 sx1 x = (1 s)x1 + sx2, s [0, 1] y = y1 + s(y2 y1) y = y1 + sy2 sy1 y = (1 s)y1 + sy2, s [0, 1].

Como P1 A e P2 A, ento y1 > 2x1 + 1 e y2 > 2x2 + 1.

Pretendemos concluir que P A, ou seja, (1 t)y1 + ty2 > 2[(1 t)x1 + tx2] + 1.

Como P1 A, y1 > 2x1 + 1.

Multiplicando por (1 t), temos que (1 t)y1 > (1 t)(2x1 + 1) (1) e, como P2 A, y2 > 2x2 + 1.

Multiplicando por t, ty2 > t(2x2 + 1) (2). Logo, adicionando (1) e (2):

(1 t)y1 + ty2 > (1 t)(2x1 + 1) +t(2x2 + 1) (1 t)y1 + ty2 > (1 t) 2x1 + 1 t + t2x2 + t

(1 t)y1 + ty2 > 2[(1 t)x1 + tx2]+ 1 y > 2x + 1

Portanto, o segmento de reta [P1P2] est contido em A, logo no interseta r.

De modo anlogo, se mostra que para P1 B e P2 B, [P1P2] est contido em B, logo no interseta r.

c) Seja P0(x0, y0) o ponto de interseo de [P1P2] com r. Por um lado, temos que x0 = x1 + s(x2 x1) y0 = y1 + s(y2 y1), para algum s [0, 1].

Por outro, temos que y0 = 2x0 + 1. Daqui resulta que y1 + s(y2 y1) = 2(x1 + s(x2 x1)) + 1, ou seja, . 1.5. Comeamos por notar que os conjuntos A, B e r so disjuntos 2 a 2 e a sua reunio o plano.

Sejam P A e X(x0, y0) um ponto do plano. Se X A, ento, por b), o segmento [PX] est contido em A. Se X r, ento o segmento [PX] interseta a reta r em X. Se X B, ento, por c) o segmento [PX] interseta a reta r. Portanto, o segmento [PX] no interseta a reta r se e s se X A e o semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P A A. Analogamente, se mostra que o semiplano aberto de fronteira determinado por um ponto Q B B. 2.Seja c e r a reta de equao x = c. Considere os conjuntos A = {X(x, y): x > c} e B = {X(x, y): x < c}.

2.1. Dados dois pontos P e Q de A (ou de B), justifique que o segmento de reta [PQ] no interseta a reta r.

2.2.Dados dois pontos R A e S B, mostre que o segmento de reta [RS] interseta r.

2.3.Conclua que A e B so os dois semiplanos definidos pela reta r.

Resoluo

2.1. Sejam P(x1, y1)Como x = x1 + s(x2 x1) = (1 s)x1 + sx2 > (1 s)c + sc = c, o segmento de reta [PQ] no interseta a reta r. De modo anlogo se mostra que se P(x1, y1) e Q(x2, y2) so dois pontos de B, ento o segmento de reta [PQ] no interseta r.

2.2. Seja R(x1, y1)Se P(x, y) Seja . Por um lado, porque x2 < c. Por outro, porque x1 > c. Daqui resulta que o ponto est na interseo do segmento de reta [RS] com a reta de equao = c.2.3. Comeamos por notar que os conjuntos A, B e r so disjuntos 2 a 2 e a sua reunio o plano.

Sejam P A e X(x0, y0) um ponto do plano. Se X A, ento, por 1.4. b), o segmento [PX] est contido em A. Se X r, ento o segmento [PX] interseta a reta r em X. Se X B, ento, pelo exerccio 1.4. c), o segmento [PX] interseta a reta r. Portanto, o segmento [PX] no interseta a reta r se e s se X A, e o semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P A A.

Analogamente se mostra que o semiplano aberto de fronteira r determinado por um ponto Q B B.

Exerccio

1.Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferncia de raio r > 0 e de centro C(a, b). Considere ainda um ponto P(x, y) do plano.1.1.Exprima a medida da distncia em funo de x, y, a e b.

1.2.Justifique que P pertence parte interna da circunferncia quando e apenas quando (x a)2 + (y b)2 r2.

1.3.Justifique que o crculo de centro C(a, b) e raio r se define pela condio (x a)2 + (y b)2 r2.

Resoluo

1.1.

1.2.Como d < r e d 2 < r2 (d > 0 e r > 0):

EMBED Equation.DSMT4 1.3.Por definio de crculo de centro C(a, b) e raio r, todos os pontos do crculo encontram-se a uma distncia inferior a r do centro C. Assim:

, r > 0


Exerccios1.Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas condies.1.1.y > 2x

1.2. y 2

1.3. 2x y < 4

1.4. 3 x 01.5.y 2 x > 1

1.6. y > 2x y < 3

1.7. 2x y < 4 x > 4 2 y > 01.8.*xy < 0

1.9. *x2 y2 = 0

1.10. **x2 4y2 > 0Resoluo

1.1.y > 2x

1.2. y 2

1.3. 2x y < 4 y > 2x 4

1.4. 3 x 0 x 3

1.5. y 2 x > 1

1.6. y > 2x y < 3

1.7.2x y < 4 x > 4 2 y > 0

1.8. xy < 0 (x < 0 y > 0) (x > 0 y < 0)

y > 2x 4 x > 4 y < 2

1.9. x2 y2 = 0 (x y)(x + y) = 0 y = x1.10.

2.Identifique as figuras geomtricas planas definidas pelas condies.2.1. (x + 2)2 + y2 = 2

2.2. (x 1)2 + (y + 3)2 12.3. *x2 + y2 + 5x + 8y = 2,752.4.*4x2 + 4y2 + 12x + 8y = 11

2.5.

2.6. *5x2 + 16y2 = 802.7.*9x2 + 4y2 = 36

2.8. 1 (x 3)2 + (y + 1)2 42.9. (x + 2)2 + y2 > 1 (x + 3)2 + y2 < 42.10. (x + 2)2 + y2 < 4 |x| < 3Resoluo

2.1.(x + 2)2 + y2 = 2: circunferncia de centro (2, 0) e raio

2.2.(x 1)2 + (y + 3)2 1: crculo de centro (1, 3) e raio 1

2.3.x2 + y2 + 5x + 8y = 2,75 4x2 + 4y2 + 20x + 32y = 11

4x2 + 20x + 25 25 + 4y2 + 32y + 64 64 = 11 (2x + 5)2 + (2y + 4)2 = 100

: Circunferncia de centro e raio 52.4.4x2 + 4y2 + 12x + 8y = 11 4x2 + 12x + 9 9 + 4y2 + 8y + 4 4 = 11

:

Circunferncia de centro e raio

2.5.

: Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2

Focos: ; coordenadas dos focos:

2.6.

Elipse centrada na origem com semieixo maior 4 e semieixo menor

Focos:


; coordenadas dos focos: e

2.7.

Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2

Focos: ; coordenadas dos focos:

2.8.1 (x 3)2 + (y + 1)2 4Coroa circular de centro (3 , 1) cujo raio da circunferncia externa 2 e o raio de circunferncia interna 12.9. Permetro interior crculo de centro em (3, 0) e raio 2, exceto o crculo de centro em (2, 0) e raio 12.10.

3.Identifique e defina analiticamente, utilizando equaes e inequaes cartesianas, os seguintes conjuntos de pontos do plano:

3.1.pontos que distam igualmente dos pontos A(3, 5) e B(1, 1);3.2.pontos cuja distncia ao ponto C(2, 3) no excede 4 unidades;3.3.*pontos cuja medida da distncia a D(5, 4) o dobro da medida da distncia a E(1, 4)3.4.pontos cuja soma das medidas das distncias aos pontos A(2, 0) e B(2, 0) igual a 73.5.pontos que distam duas unidades da reta de equao y = 13.6.*pontos que distam igualmente da origem do referencial e do ponto G(3, 3) e que pertencem circunferncia centrada em G e tangente aos eixos coordenados3.7.pontos mdios dos segmentos de reta cujos extremos so:

3.7.1.o ponto O(0, 0) e cada um dos pontos da circunferncia centrada em O e de raio 23.7.2.**o ponto H(1 , 3) e cada um dos pontos da reta x + y = 5.Resoluo

3.1.Seja P(x, y) um ponto da mediatriz.




Equao da mediatriz: y = x + 43.2.Crculo de centro C(2, 3) e raio 4

(x 2)2 + (y + 3)2 4 (x 2)2 + (y + 3)2 163.3.Seja P(x , y) um ponto qualquer do conjunto referido. d(P, D) = 2d(P, E)


x2 + 10x + 25 + y2 8y + 16 = 4(x2 2x + 1 + y2 8y + 16)

x2 + 10x + y2 8y + 41 = 4x2 8x + 4 + 4y2 32y + 64

x2 4x2 + 10x + 8x + y2 4y2 8y + 32y = 41 + 4 + 64 3x2 + 18x 3y2 + 24y = 27

x2 6x + y2 8y = 9 x2 2 3 x + 32 32 + y2 2 4 y + 42 42 = 9

(x 3)2 9 + (y 4)2 16 = 9 (x 3)2 + (y 4)2 = 16

Trata-se de uma circunferncia de centro (3, 4) e raio 4.

3.4.Elipse de centro na origem, focos A(2, 0) e B(2, 0) e eixo maior 7

Seja a o semieixo maior:

Seja b o semieixo menor da elipse e : e

Assim, a equao da elipse :

3.5.Retas de equao y = 1 e y = 3Seja P(x, y) um ponto qualquer e A(x, 1) um ponto da reta de equao y = 1. Sabemos que d(P, A) = 2. Assim:

3.6. necessrio calcular a interseo da mediatriz do segmento de reta de extremos O(0, 0) e G(3, 3) com a circunferncia de centro (3, 3) e raio 3.

Seja P(x, y) um ponto qualquer.

Equao da mediatriz:



EMBED Equation.DSMT4 Equao da circunferncia: (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9 Interseo entre a mediatriz e a circunferncia:

O conjunto {( 3, 0); (0, 3)}. 3.7.1.Trata-se de todos os pontos cuja distncia a O do raio da circunferncia de centro 2.Assim, obtemos uma nova circunferncia de centro O e raio , pelo que so todos os pontos que satisfazem a equao x2 + y2 = 1.3.7.2.Seja A um ponto da reta de equao x + y = 5. As coordenadas de A so da forma (x1, x1 + 5).

Considerando M o ponto mdio do segmento de reta [HA]:


Os pontos mdios so todos os pontos do conjunto:

Assim:

Portanto, os pontos mdios so todos os pontos da reta .

4.*Num referencial ortonormado do plano, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo equiltero. Sabendo que A(5, 1) e , determine a ordenada de C sabendo que a abcissa 1.Resoluo

Dado que o tringulo equiltero, d(A, C) = d(B, C). Seja y a ordenada de C.d(( 5, 1), ( 1, y)) =

( 5 + 1)2 + (1 y)2 = ( 3 + 1)2 +


y = 1 A ordenada de C 1.5.Sabe-se que o ponto P(3, y) equidistante dos pontos A(3, 1) e B(1, 2). Determine o valor de y.Resoluo

Dado que o ponto P(3, y) equidistante dos pontos A(3, 1) e B(1, 2), ento:




EMBED Equation.DSMT4 O valor de y .

Exerccios1.Na figura esto dois segmentos orientados que representam vetores e .1.1.Reproduza no seu caderno, dois segmentos orientados com a mesma origem P que representem, respetivamente, os vetores e e, utilizando a regra do paralelogramo ou a regra do tringulo, construa o vetor tal que .

1.2.Construa o vetor-soma de com e justifique que igual a .

Resoluo

1.1.

1.2. e tem a mesma direo, sentido e comprimentos.

Logo, so iguais.

2.**Dados os vetores e , prove, recorrendo a uma construo geomtrica e utilizando diretamente as definies de diferena e de soma de vetores, bem como o simtrico de um vetor, que .Resoluo

o vetor e adicionado ao obtm-se , ou seja, .Utilizando a regra do tringulo:

Vejamos agora que , utilizando a regra do tringulo:

Como tem a mesma direo, sentido e comprimento de , ento .

Exerccios1.*Considere dois vetores e no colineares e . Pretendemos provar que . Para o efeito, fixado um ponto A do plano, seja , e , como se ilustra na figura.1.1.Justifique que .

1.2.Sendo e utiliando o Teorema de Tales, justifique que as retas BC e DE so paralelas.

1.3.Conclua da alnea anterior que .

1.4.Justifique que as semirretas e tm o mesmo sentido e conclua, utilizando tambm as alneas anteriores, que . (Sugesto: para comparar os sentidos das referidas semirretas note que, por construo, os pontos C e E esto numa mesma semirreta de origem do ponto A da reta BD.)1.5.Conclua, por fim, que .

Resoluo

1.1.Por construo, usando a regra do tringulo, .

Por um lado, , mas por outro, .

Assim, conclumos que .1.2.Se , pelo recproco do Teorema de Tales, as retas BC e DE so paralelas.

Como e no so colineares, no existe um nmero real tal que . Assim, no caso particular em que = 1, , logo, .

e , pois .

Conclumos, ento, que as retas BC e DE so paralelas.1.3.Pelo Teorema de Tales, . Portanto, .

1.4.

e tm o mesmo sentido porque tm origem na reta AD e esto contidas no mesmo semiplano determinado por AD, pois C e E est na mesma semirreta de origem em A. Pela alnea 1.3., e, como e tm o mesmo sentido, ento .

1.5.

. A primeira igualdade decorre de 1.2., a segunda da regra do tringulo e a terceira da definio do ponto e de 1.3..2.**Utilizando uma construo idntica do exerccio anterior, prove que, dados os dois vetores e no colineares e .Resoluo

Fixado um ponto A do plano, seja . e .Comecemos por justificar que .

Como , ento .Alm disso, como e no so colineares, e .Como e , pelo recproco do Teorema de Tales, ento BC e DE so paralelas.

Sendo paralelas, pelo Teorema de Tales, . Portanto, .Tendo a mesma direo que DE e a mesma direo que DE, os vetores e tm a mesma direo. Alm disso, .Para concluirmos que falta justificar que e tm sentidos opostos.

Para tal, basta verificar que as semirretas e tm sentidos opostos. De facto, tal acontece pois ambas tm origem na mesma reta AD e esto contidas em semiplanos diferentes determinados por AD. Portanto, . Por fim, temos que .3.*Considere vetores e colineares, . Fixando um ponto O do plano e sendo e , considere uma reta numrica OA de origem O.

3.1.Justifique que B um ponto da reta OA.

3.2.Demonstre a igualdade traduzindo-a numa equao envolvendo as abcissas dos pontos A e B na referida reta numrica.Resoluo3.1.Sabemos que e so colineares. Logo, existe um nico nmero real tal que .Por outro lado, e sendo O e A pontos da reta OA, B um ponto da reta OA.3.2. Para :

Para : sejam a e b as abcissas dos pontos e , respetivamente.

e tem abcissas e , respetivamente. Efetuando a adio dos vetores e e aplicando a regra do tringulo a partir do ponto O, obtm-se um ponto P de abcissa .

Por outro lado, a abcissa do ponto que resulta da soma do ponto O com o vetor . um ponto Q de abcissa a + b e um ponto de abcissa .

Dado que os pontos resultantes da aplicao dos vetores e ao ponto O coincidem, conclumos que:

4.Considere um vetor e nmeros reais . Prove que , comparando as normas, direes e sentidos dos dois vetores a partir da definio de produto de um vetor por um escalar.Resoluo

Norma:

Se ou , ento . No que se segue assumimos que e .Direo: tem a mesma direo que , que, por sua vez, tem a direo de . Como tem tambm a direo de , e tm a mesma direo.Sentido:

Se e , , , e tm o mesmo sentido.

Se e , , e tm o mesmo sentido, contrrio ao de .

Se e , e tm o mesmo sentido, contrrio ao de e de . Se e , , e tm o mesmo sentido, contrrio ao de .Em qualquer dos casos, e tm o mesmo sentido que .

Exerccios1.Na figura ao lado representa-se um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dois segmentos orientados [A, B] e [P, Q], onde A(3, 3), B(1, 2), P(2, 1) e Q(0, 2).

Considere os pontos X(1, 0), Y(0, 1) e os vetores (da base cannica do espao vetorial dos vetores do plano) e .1.1.Sendo , determine, utilizando uma construo geomtrica, um vetor com a direo de e um vetor com a direo de tais que .

1.2.Quantas solues diferentes existem para a alnea anterior? Justifique.

1.3.Conclua que existe um e somente um par ordenado de nmeros reais (v1, v2) tais que , designando este par por coordenadas do vetor , e determine-o.1.4.Sendo , resolva um exerccio idntico ao das alneas 1.1. a 1.3., subtituindo por .1.5.Sendo P( 2, 3) e , resolva um exerccio idntico ao das alneas 1.1. a 1.3., substituindo por .1.6.Justifique que as coordenadas dos pontos , e tm de ser iguais s coordenadas, respetivamente, dos vetores , e (ditos vetores posio dos referidos pontos) e represente estes vetores atravs de segmentos orientados de origem O.Resoluo

1.1.

e

1.2.Existe apenas uma nica soluo. Se , onde e so vetores com a direo de e e so vetores com a direo de , ento o vetor mltiplo de e de , o que s pode acontecer se , e .1.3.Pela alnea anterior, e so nicos, com .

As coordenadas do vetor so (2 , 1).

1.4.

1.5.

Logo, .

Logo, .

1.6.Para o caso, por exemplo, do ponto , existe um nico ponto P tal que e sendo a soma dos vetores e , que so paralelos aos eixos coordenados, efetuando a soma de vetores , obtemos um ponto de abcissa e aplicando a este ponto o vetor obtemos um ponto com a abcissa e ordenada . Logo, as coordenadas de coincidem com as coordenadas de P. De modo anlogo, justificamos os outros dois casos.2.*Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os pontos X(1 , 0) , Y(0 , 1), os vetores (da base cannica do espao vetorial dos vetores do plano) e e um vetor desse plano.

2.1.Fixado um ponto A nesse plano e sendo , mostre, utilizando a regra do tringulo, que existe um e somente um ponto C tal que se for igual soma de um vetor com a direo de com um vetor com a direo de , ento e .

2.2.Conclua da alnea anterior que existe um e somente um par ordenado de nmeros reais (v1, v2) tal que , desigando este par por coordenadas do vetor .

2.3.Justifique que as coordenadas do ponto so iguais s coordenadas do vetor (dito vetor- -posio do ponto P).Resoluo

2.1.Usando a regra do tringulo para obter a soma a partir do ponto A, obtemos um ponto C que pertence reta paralela ao eixo Ox que passa por A e reta paralela ao eixo Oy que passa por B, pois e tm direes de e , respetivamente. Logo, C o nico ponto de interseo das referidas retas em que e .

Existncia: Seja C o ponto de interseo da reta horizontal a que A pertence com a reta vertical a que B pertence. O vetor tem a direo de e o vetor tem a direo de .

Unicidade: Suponhamos que existem dois pontos, C e D, nessas condies. Sejam , , , e . Como , onde e so vetores com a direo de e e so vetores com a direo de , ento o vetor mltiplo de e de , o que s pode acontecer se , , , e, portanto, C = D.2.2.Como tem a direo de e tem a direo de , existem v1 e v2 tais que e . A unicidade dos vetores e tambm garante a unicidade dos escalares v1 e v2.2.3.Atendendo s alneas anteriores, escolhendo-se o ponto A coincidente com a origem O do referencial, o ponto B coincide com o ponto P e fica demonstrado que , . Sendo e , resulta que as coordenadas do ponto P so exatamente (v1, v2).

Exerccios1.Considere um plano munido de um referencial ortonormado, vetores e , um nmero real , os pontos X(1, 0), Y(0, 1) e os vetores (da base cannica do espao vetorial dos vetores do plano) e .1.1.Justifique que e que .1.2.Utilizando as propriedades algbricas conhecidas das operaes com vetores, conclua que o vetor (respetivamente ) tem coordenadas (u1 + v1, u2 + v2) (respetivamente (u1 v1, u2 v2)), que o vetor tem coordenadas (u1, u2) e que o vetor simtrico do vetor tem coordenadas ( u1, u2), comeando por determinar expresses para estes vetores como combinaes lineares dos vetores da base cannica.

1.3.Suponha que e no so nulos e justifique que so colineares se e somente se as respetivas coordenadas forem todas no nulas e os quocientes das coordenadas correspondentes forem iguais ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.Resoluo

1.1.Sejam e .

Dado que tem coordenadas (u1, u2) na base (e1, e2), temos que .

Tambm , pois sabemos que tem coordenadas (v1, v2) na base .

1.2.


Assim, as coordenadas de na base so .


EMBED Equation.DSMT4 =

Logo, as coordenadas de na base so (u1 v1, u2 v2).


Logo, as coordenadas de na base so (u1, u2) .

Simtrico de :



As coordenadas do simtrico de so ( u1, u2).1.3.Os vetores e no nulos so colineares se e apenas se existir um nmero real tal que .

Se e na base , ento .


Como e no so vetores nulos, significa que u1 v1 = 0 e u2 v2 = 0 (*).Se e so no nulos, as suas coordenadas no podem ser simultaneamente nulas e tem que ser diferente de zero. Isto significa que so colineares se ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.

Se nenhuma das coordenadas for nula, ento, de (*):

Portanto, os vetores com coordenadas todas no nulas so colineares se e somente se os quocientes das coordenadas correspondentes so iguais.

2.Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) desse plano.2.1.Justifique que .

2.2.Atendendo alnea anterior e aplicando o conhecimento sobre coordenadas do vetor-posio de um ponto e das coordenadas da diferena de dois vetores, justifique que o vetor tem coordenadas (b1 a1, b2 a2)2.3.Dado um vetor e utilizando a alnea anterior mostre que o ponto P = A + tem coordenadas (a1 v1, a2 v2), comeando por designar essas coordenadas por (x1, x2) e notando que, por definio, .Resoluo

2.1.

Pela regra do tringulo . Atendendo a que o simtrico de , , .2.2.Atendendo a que as coordenadas do vetor-posio de um dado ponto coincidem com as coordenadas do ponto, temos que:

.2.3.Sendo , ento por definio . Pela alnea anterior, tem coordenadas (x1 a1, x2 a2). Assim, x1 a1= v1 x2 a2 = v2 x1 = a1+ v1 x2 = a2 + v2.

Portanto, P tem coordenadas (a1 v1, a2 v2).3.Fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um vetor tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos eixos coordenados, mostre que , utilizando o Teorema de Pitgoras.Resoluo

Consideremos o segmento orientado [O, A] representante de . Sendo o vetor posio de A, as coordenadas de A so (v1, v2). Considerando C a projeo ortogonal de A sobre o eixo das abcissas, obtemos o tringulo retngulo [OCA]. Pelo Teorema de Pitgoras, . Portanto, , pois .

Exerccios1.Considere, fixado um plano munido de um referencial cartesiano, os vetores e . Determine as coordenadas do vetor:1.1.

1.2.

tal que

Resoluo

1.1.


1.2.Seja o vetor de coordenadas (a, b).




Logo, as coordenadas de so .

2.Na figura est representado um paralelogramo [ABCD], os pontos mdios E, F, G e H dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente e os vetores e . Sabe-se, fixado um certo referencial ortonormado, que , e . 2.1.Justifique que e indique as coordenadas de .

2.2.*Determine as coordenadas dos pontos G, F e E.

2.3.*Justifique que e determine as coordenadas dos vrtices do paralelogramo [ABCD].Resoluo

2.1.Dado que H e G so pontos mdios dos lados [DA] e [CD], respetivamente, pelo Teorema de Tales, e AC // HG. Ento, , donde .

As coordenadas de so (2, 0).

2.2.


As coordenadas do ponto G so .

, pois G e F so pontos mdios de [DC] e [BF] e pelo Teorema de Tales:


As coordenadas de F so .






EMBED Equation.DSMT4 2.3.

. E e G so pontos mdios de lados opostos de um paralelogramo, logo e [EG] // [BC]. Alm disso, os segmentos orientados [E, G] e [B, C] que representam os vetores tm o mesmo sentido, pois tm o mesmo sentido das semirretas e .

Portanto, .

Pela alnea anterior, temos que e .

Ento,

EMBED Equation.DSMT4 .

Portanto:

; ;

; .

As coordenadas dos vrtices do paralelogramo [ABCD] so A(1, 3), B(4, 5), C(5, 3) e D(2, 1).

3.Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos A(0, 3) e B(5, 4) so vrtices consecutivos de um losango e o ponto C(2, 1) o ponto de interseo das respetivas diagonais. Determine as coordenadas dos outros dois vrtices.Resoluo

As coordenadas dos outros dois vrtices sero tais que e .Determinemos e .

Portanto, e .4.*Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, trs pontos no colineares A(a1, a2), B(b1, b2) e C(c1, c2).Seja M o ponto mdio do segmento de reta [BC]. Relembrando que o baricentro G do tringulo [ABC] o ponto G do segmento de reta [AM] tal que , verifique que o baricentro coincide com a interseo das mediatrizes do tringulo determinando sucessivamente:4.1.as coordenadas de M;

4.2. as coordenadas de ;

4.3.as coordenadas de ;

4.4. as coordenadas de G.

Resoluo

4.1.Como M o ponto mdio do segmento de reta [BC], .4.2.


4.3.Sabemos que G um ponto do segmento de reta [AM] tal que.

Assim, e .

Portanto, .4.4.

Exerccios1.Num plano munido de um referencial cartesiano, sabe-se que os pontos A(3, 2), B(1, 2) e C(4, 1) so vrtices de um paralelogramo. Determine as possveis coordenadas do quarto vrtice do paralelogramo.Resoluo

Existem trs solues correspondentes aos casos em que as diagonais do paralelogramo so [AB] e [CD], [AC] e [BD], ou [AD] e [BC]. Seja D o quarto vrtice do paralelogramo.

1. caso: as diagonais do paralelogramo so [AC] e [BD].

e

2. caso: as diagonais do paralelogramo so [AD] e [BC].

e

3. caso: as diagonais do paralelogramo so [AB] e [CD].

e

As coordenadas do quarto vrtice podem ser (2, 3), (6, 5) ou ( 8, 1).2.Num plano munido de um referencial cartesiano, determine, se existir, um nmero real k tal que os vetores e sejam colineares e com o mesmo sentido.Resoluo

Para que e sejam colineares ter de existir um nmero real tal que , sendo no nulo. Assim:



Como e tm de ter o mesmo sentido, ter de ser positivo. Assim, o nmero real k 1.

3.Considere um plano munido de um referencial ortonormado e o vetor . Determine as coordenadas do vetor colinear a , de sentido contrrio e de norma 15.Resoluo

Pretendemos determinar um vetor que seja colinear com e tenha sentido contrrio. Assim, ter de existir um nmero real , tal que .Sabemos tambm que , ou seja,

EMBED Equation.DSMT4 .Como , temos .Como tem sentido contrrio a :

4.

Num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(2, 1), B(6, 4) e C(8, 7) so vrtices de um trapzio, cujas bases so os segmentos de reta [AB] e [CD].

4.1.*Determine todas as coordenadas possveis do vrtice D sabendo que .

4.2.*Considere D(0, 1). Prove que o quadriltero definido pelos pontos mdios dos lados do trapzio [ABCD] um paralelogramo.Resoluo

4.1. Dado que ou , vem:

; ou

D = (8, 7) + 2(4, 3) ou D =(8, 7) 2(4, 3)

D = (8, 7) + (8, 6) ou D = (8, 7) + ( 8, 6)

D = (16, 13) ou D(0, 1)

As coordenadas possveis de D so (0, 1) e (16, 13).

4.2.Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos mdios de cada um dos lados do trapzio.

Ponto mdio de [AB]:

Ponto mdio de [BC]:

Ponto mdio de [CD]:

Ponto mdio de [DA]:

Para mostrar que o quadriltero [EFGH] um paralelogramo vamos comear por definir os vetores e e verificar que e .

Portanto, o quadriltero definido pelos pontos mdios dos lados do trapzio [ABCD] um paralelogramo.

Exerccios1.Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r, s e p definidas, respetivamente, por 2x + 3y + 1 = 0, (x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t IR e , IR.1.1.Determine os pontos em que a reta r interseta os eixos coordenados.

1.2.Determine a ordenada do ponto da reta s que tem abcissa 3.

1.3.Justifique que o ponto ( 2, 1) pertence reta p.1.4.Indique, para cada uma das retas, um vetor diretor.

1.5.Escreva a equao reduzida da reta s.

1.6.Indique, de entre r, s e t, eventuais pares de retas paralelas.

Resoluo

1.1.O ponto de interseo da reta r com o eixo das abcissas ter coordenadas do tipo (x, 0). Assim,

. As coordenadas so .

O ponto de interseo da reta r com o eixo das ordenadas ter coordenadas do tipo (0, y). Assim,

. As coordenadas so .

1.2.

a ordenada do ponto da reta s que tem abcissa 3.

1.3.O ponto (2, 1) pertence reta p se satisfazer a sua equao. Assim:

Logo, o ponto (2, 1) pertence reta p.

1.4.

;

Da equao ficamos a saber que o declive da reta r . Portanto, um vetor diretor da reta r ter coordenadas . s: (x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t

Observando a equao temos que (6, 4) so coordenadas de um vetor diretor da reta s.

EMBED Equation.DSMT4 ,

Logo, so coordenadas de um vetor diretor da reta p.

1.5.(x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t

Dado que (6, 4) so coordenadas de um vetor diretor de s, o declive .

A equao reduzida da forma

Dado que (1, 5) so coordenadas de um ponto de s,


Portanto, a equao reduzida da reta s .

1.6.As retas s e p so paralelas.

2.Considere, num referencial cartesiano do plano, a reta m definida por (x, y) = t( 5, 4), t . Determine a equao reduzida da reta n, paralela a m, que interseta o eixo Ox no mesmo ponto que a reta p de equao 6x y 1 = 0.Resoluo

m: (x, y) = t( 5, 4), t

Dado que um vetor diretor da reta m tem coordenadas ( 5, 4), o declive da reta .

Como a reta n paralela reta m, o declive da reta n . Assim, a equao reduzida da reta n do tipo , b .

Atendento a que o ponto de interseo da reta p com o eixo das abcissas tambm um ponto da reta n, podemos determinar b se conhecermos as coordenadas do ponto.

Como p interseta o eixo Ox, a ordenada do ponto de interseo zero. Assim:

As coordenadas de um ponto de n so .

Substituindo na equao : .Portanto, a equao reduzida da reta n .

3.*Determine para que valores reais de k o ponto P(k, k2) pertence reta de equao y = 5x 6.Resoluo

Substituindo as coordenadas de P na equao da reta:



S = { 3, 2}

Os possveis valores de k podero ser 3 ou 2.

4.**Num referencial ortonormado do plano as retas r: 4y = 3x 1 e s: 4x 3y + 2 = 0 contm dois lados iguais de um tringulo que medem 10 unidades. Determine as possveis coordenadas dos vrtices desse tringulo.

Resoluo

r: 4y = 3x 1 ; s: 4x 3y + 2 = 0

Dado que r e s contm dois lados de um tringulo, o ponto de interseo das retas um vrtice do tringulo:

Um dos vrtices do tringulo tem coordenadas .

As coordenadas dos restantes vrtices do tringulo podero ser obtidas pela soma do ponto A com os vetores diretores das retas de norma 10.

Reta r:

Um vetor diretor de r tem coordenadas (4, 3).

Vamor determinar um vetor colinear ao vetor de coordenadas (4, 3) de norma 10.

, para um dado .


Assim, os vetores 2(4, 3)= ( 8, 6) e 2(4, 3) = (8, 6) tm norma 10 e so vetores diretores de r.

Reta s:

Logo, um vetor diretor de s tem coordenadas (3, 4).

Vamos agora determinar outro vetor diretor de s com norma 10. Esse vetor ter de ser colinear com o vetor (3, 4). Assim, , para um dado .

Assim, os vetores 2(3, 4) = ( 6, 8) e 2(3, 4) = (6, 8) tm norma 10 e so vetores diretores de r.

Sejam B e C os restantes vrtices do tringulo:

ou .

ou

As possveis coordenadas para os vrtices por tringulo so:

5.**Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferncia definida pela equao x2 + y2 = 10 e o ponto P(0, 10). Determine a equao reduzida de cada uma das retas que, passando por P, so tangentes circunferncia.

Resoluo

Sejam A e B os pontos de tangncia. Como as retas tangentes circunferncia so perpendiculares ao raio definido com o ponto de tangncia, os tringulos [OAP] e [OBP] so retngulos.

Deste modo podemos usar o Teorema de Pitgoras para determinar , que igual , pois os pontos A e B so simtricos em relao ao eixo Oy.



EMBED Equation.DSMT4 Por outro lado, sendo A um ponto da circunferncia de equao , ter coordenadas da forma e:

EMBED Equation.DSMT4 Portanto:





EMBED Equation.DSMT4 Subtituindo x por 3 e por 3 na equao inicial verificamos que so solues da equao. Assim, temos os pontos e .Deste modo, os vetores das retas tangentes so:

;

Logo, os declives so ;

Como ambas as retas passam no ponto P, as retas tm ordenada na origem 10. Assim, as equaes reduzidas das retas so y = 3x 10 e y = 3x 10.6.Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferncia de centro A definida pela equao (x 3)2 + (y 2)2 = 10, os pontos E e F de interseo da circunferncia com o eixo Ox e o ponto D de interseo da circunferncia com o eixo Oy e de ordenada superior do ponto A.

6.1.Determine as coordenadas de D, E e F.

6.2.Determine a equao reduzida da reta DF.

6.3.Calcule a rea do tringulo [DEF].

Resoluo

6.1.Como D pertence ao eixo Oy e a abcissa zero e atendendo a que tambm pertence circunferncia, temos:

(0 3)2 + (y 2)2 = 10 9 + y2 4y + 4 = 10 y2 4y = 10 9 4 y2 2 2y + 22 = 3 + 22


Como a ordenada de D superior de A, as coordenadas de D so (0, 3).

Como F e E pertencem ao eixo Ox a ordenada desses pontos zero. Atendendo a que pertence circunferncia, temos:(x 3)2 + (0 2)2 = 10 x2 6x + 9 + 4 = 10 x2 6x = 10 13 x2 2 3x + 32 = 3 + 32

(x 3)2 = 3 + 9 (x 3)2 = 6


Logo, e .6.2.Comecemos por determinar o declive da reta DF.

A equao da reta ser da forma .

Como a ordenada na origem da reta a ordenada do ponto B temos que a equao da reta :

6.3.Sendo [FE] a base do tringulo, a altura ser a ordenada do ponto D.


Logo, .

7.

Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferncia que passa nos pontos A, O e B, tais que [OA] est contido na bissetriz dos quadrantes mpares e [OB] est contido na bissetriz dos quadrantes pares. Sabe-se ainda que a ordenada de B igual a da ordenada de A.

7.1.*Determine as coordenadas de A e de B sabendo que a rea do tringulo [AOB] igual a 12 unidades de rea.

7.2.Justifique que [AB] um dimetro da circunferncia e escreva uma equao dessa circunferncia.

7.3.Escreva uma equao cartesiana da reta AB.

Resoluo

7.1.Seja a a ordenada do ponto de A. Como [OA] est contido na bissetriz dos quadrantes mpares a abcissa de A ser a. O ponto A ter coordenadas (a, a).

Como a ordenada de B da ordenada de A e [OB] est contido na bissetriz dos quadrantes pares, as coordenadas de B so .

Considerando [OA] a base do tringulo, [OB] a altura e temos:



Como a < 0, as coordenadas de A so e as de B so:

=

7.2.Como [OA] est contido na bissetriz dos quadrantes mpares e [OB] est contido na bissetriz dos quadrantes pares e uma vez que as bissatrizes so perpendiculares, o tringulo [AOB] retngulo em O. Sendo retngulo, o ngulo AOB est inscrito na circunferncia e [AB] o dimetro da circunferncia.

O centro da circunferncia o ponto mdio do segmento de reta [AB].

O raio o comprimento do segmento de reta [CB].


Logo, a equao da circunferncia .7.3.Determinemos um vetor diretor da reta :

Logo, o declive da reta .

A equao da reta AB da forma .

Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto A, obtemos:

Portanto, a equao da reta AB .

Exerccio

1.

*Considere um referencial ortonormado do espao e um terno ordenado de nmeros reais (a, b, c).

1.1.Justifique que o conjunto dos pontos do espao cuja projeo ortogonal sobre o eixo Ox um dado ponto P o plano perpendicular a Ox e que passa em P.

1.2.Considere o plano perpendicular ao eixo Ox e que contm o ponto A(a, 0, 0) e o plano perpendicular ao eixo Oy e que contm o ponto B(0, b, 0). Justifique que e so perpendiculares e caracterize, atravs das abcissas e ordenadas, os pontos da respetiva reta interseo.

1.3. Considere o plano perpendicular ao eixo Oz e que contm o ponto C(0, 0, c). Justifique que o plano interseta a reta r num nico ponto e que esse o nico ponto do espao de coordenadas (a, b, c).

Resoluo

1.1.O conjunto dos pontos do espao cuja projeo ortogonal sobre o eixo Ox P precisamente o conjunto dos pontos das retas perpendiculares a Ox, tendo como p da perpendicular o ponto P.

Essas retas determinam um plano perpendicular a Ox e que contm P.

1.2.Os plano e so perpendiculares porque os eixos Ox e Oy so perpendiculares, o plano perpendicular ao eixo Ox, e o plano perpendicular ao eixo Oy. Os pontos de interseo de com tm abcissa de A, a, porque esto no plano perpendicular a Ox que passa por A, e tm a ordenada de B, b, porque esto no plano perpendicular a Oy que passa por B. Ento, os pontos da interseo de com tm coordenadas (a, b, z), para algum z.

1.3.Da alnea anterior podemos concluir que a reta r tem a direo do vetor (porque, por exemplo, (a, b, 0) e (a, b, 1) esto em r), que a mesma do eixo Oz. Daqui resulta que r perpendicular a , e em particular e r so concorrentes. O ponto de interseo do plano com r tem abcissa a e coordenada b por estar em r, e cota c por estar em r.

Exerccio

1.*Considere um referencial ortonormado e um ponto P(a, b, c), c 0, de projeo ortogonal P no plano xOy.

1.1.Considere o ponto P, projeo ortogonal de ponto P no eixo Ox. Justifique que o plano definido pelos pontos P, P e P perpendicular ao eixo Ox.1.2.Justifique que a reta PP perpendicular ao eixo Ox e conclua que a abcissa de P igual a a.

1.3. Utilizando um raciocnio anlogo ao utilizado em 1.1. e 1.2., conclua que a ordenada do ponto P igual a b, que as coordenadas de P so (a, b, 0) e que, no plano xOy, P tem coordenadas (a, b).

Resoluo

1.1.Por definio, P a projeo ortogonal de P no eixo Ox. Logo, PP perpendicular ao eixo Ox. Como P a projeo ortogonal de P no plano xOy, ento a reta PP tem a direo do eixo Oz e, portanto, perpendicular ao eixo Ox. Daqui resulta que P e P esto ambos no plano perpendicular a Ox que passa por P.

Nota: Quando b = 0, P P porque c 0, mas P pode ser igual a P e, portanto, P, P e P podem no definir um plano.1.2.A reta PP perpendicular ao eixo Ox porque est contida no plano perpendicular ao eixo Ox que passa por P. Resulta da definio de P que P tem coordenadas (a, 0) e, em particular, abcissa a. Como a reta PP perpendicular ao eixo Ox, o ponto P tem tambm abcissa a.

1.3.Como a reta PP paralela ao eixo Oz, perpendicular ao eixo Oy e portanto tem a mesma ordenada que P, que b. Visto que P est no plano xOy, tem cota 0, logo P(a, b, 0). Consequentemente, as coordenadas de P no plano xOy so (a, b).

Exerccio

1.

Considere o paraleleppedo retngulo da figura tal que, numa dada unidade, .

1.1.Determine, utilizando o Teorema de Pitgoras, uma expresso para a medida de , em funo de a e de b.

1.2.Justifique que GC perpendicular a AC e prove que .

1.3. *Definiu-se um referencial ortonormado do espao, tal que o eixo Ox paralelo a BC, o eixo Oy paralelo a AB e o eixo Oz paralelo a CG. Tem-se ainda A(a1, a2, a3) e G(g1, g2, g3), tal como representa a figura. 1.3.1.Justifique que a = |g2 a2|, b = |g1 a1| e c = |g3 a3|.

1.3.2.Conclua que a distncia entre os pontos A e G dada por:

Resoluo

1.1.

EMBED Equation.DSMT4 , pois .

1.2.Por se tratar de um paraleleppedo, a reta GC perpendicular ao plano ABC. Logo, GC perpendicular a todas as retas que passam por C, em particular reta AC.

Atendendo a este facto, o tringulo [ACG] retngulo em C. Assim, pelo Teorema de Pitgoras:


, pois

1.3.1.a = |g2 a2|, pois AB uma reta paralela ao eixo das ordenadas e se considerarmos a sua projeo de [AB] sobre o eixo Oy, a ser o valor absoluto da diferena das ordenadas.b = |g1 a1|, pois BC uma reta paralela ao eixo das abcissas. Considerando a projeo de [BC] sobre esse eixo, b ser o valor absoluto da diferena das abcissas.

1.3.2.Pela alnea 1.2. .

Exerccio

1.Considere, num referencial ortonormado de origem O no espao, os pontos X(1, 0, 0), Y(0, 1, 0) e Z(0, 0, 1), os vetores (da base cannica do espao vetorial dos vetores do espao) , e e um vetor .1.1.*Como exemplificado na figura, considere um ponto A do espao, e seja . Suponha que , onde tem a direo de , tem a direo de e tem a direo de .

Utilizando a regra do tringulo para a soma de com, mostre que, sendo C um ponto tal que , ento C tem de pertencer reta r paralela ao eixo Oz que passa no ponto B.

1.2.**Com as notaes da alnea anterior e utilizando a regra do paralelogramo para a soma e a regra do tringulo para a soma de com mostre que, sendo C um ponto tal que e , ento C est na interseo da reta r com o plano nomal reta r que passa pelo ponto A, ou seja, C a projeo ortogonal do ponto B no plano paralelo ao plano xOy que passa no ponto A.

1.3.*Conclua da alnea anterior que existe um e somente um terno ordenado de nmeros reais (v1, v2, v3) tal que , designando este terno por coordenadas do vetor .

1.4.Justifique que as coordenadas do ponto so iguais s coordenadas do vetor (dito vetor- -posio do ponto P).

Resoluo

1.1.Como , o segmento orientado [B, C] tem, por definio, a direo de , o que significa que a reta BC paralela ou coincidente com o eixo Oz que passa pelo ponto B. Ou seja, BC coincide com a nica reta paralela (ou coincidente) a Oz que passa pelo ponto B, e portanto, C est em BC (= r.1.2.Usando a regra do paralelogramo para a soma a partir do ponto A, obtemos o ponto C que pertence ao plano definido pelas retas concorrentes em A e paralelas aos eixos Ox e Oy. Note que e tm direes de e , respetivamente. Portanto, o plano que contm A e C paralelo ao plano xOy.

Pela alnea anterior, sabemos que C pertence nica reta paralela ao eixo Oz que passa por B. Logo, a reta BC perpendicular ao plano xOy. Como o plano que contm A e C paralelo ao plano xOy, BC perpendicular ao plano, C est na interseo da reta r com o plano normal reta r que passa pelo ponto A.1.3. Existncia:Seja C o ponto de interseo do plano paralelo ao eixo xOy a que A pertence com a reta paralela ao eixo Oz a que B pertence. O vetor , estando contido no plano xOy, pode escrever-se na forma , onde tem a direo de e tem a direo de . Note que o vetor tem a direo de . Se v1, v2 e v3 forem escalares tais que , ento .

Unicidade:

Suponhamos que existem dois pontos, e , nessas condies. Sejam , , , e . Ento, o vetor est contido no planoe no eixo , o que s pode acontecer se , e . Temos, ento, que v3 = w3 e, pelo que foi visto no plano, v2 = w2 e v1 = w1, logo C = D.1.4.Atendendo s alneas anteriores, escolhendo-se o ponto A coincidente com a origem O do referencial, o ponto B coincide com o ponto P e fica demonstrado que e , sendo C a projeo ortogonal do ponto P no plano xOy e D e E as projees ortogonais do ponto C nos eixos Ox e Oy, respetivamente. Sendo e , resulta que as coordenadas do ponto P so exatamente (v1, v2, v3).

Exerccio

1.Fixado um referencial ortonormado do espao, os pontos A(2, 0, 0), B(2, 2, 0) e C(0, 2, 0) so trs dos vrtices de uma das bases de um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] de altura 6.1.1.Indique as coordenadas do ponto D, quarto vrtice da base.

1.2.Defina analiticamente:

1.2.1.o plano que contm a base [EFGH] do prisma;

1.2.2.o plano mediador da aresta [BC];1.2.3.a reta EA sabendo que o vrtice E tem a mesma abcissa e ordenada de A;1.2.4.o plano mediador de [EA];1.2.5.a aresta [EF] sabendo que B a projeo ortogonal do vrtice F no plano xOy;1.2.6.o conjunto dos pontos do espao cuja distncia do ponto B igual a 2.

1.3.Determine o volume do prisma.

Resoluo

1.1.As coordenadas do ponto D so (0, 0, 0).1.2.1.z = 6

1.2.2.B(2, 2, 0) e C(0, 2, 0)

Seja P(x, y, z) um ponto do plano mediador do segmento da reta [BC].

Por definio, d(P, B) = d(P, C).





Ou seja, M o ponto mdio do segmento de reta [BC].

Sendo o plano perpendicular a [BC] tem de ser paralelo ao plano xOz. Assim, a equao do plano mediador x = 1.

1.2.3.Temos que E(2, 0, 6). Ou seja, a reta EA paralela ao eixo Oz. Assim, a equao x = 2 y = 0.1.2.4.Como a reta que contm o segmento de reta [EA] paralela ao eixo das cotas, o plano mediador de [EA] passa no seu ponto mdio e paralelo ao plano xOy.

Ponto mdio de [EA]:

A equao do plano mediador de [EA] z = 3.

1.2.5.Como B a projeo ortogonal de F no plano xOy, a abcissa e a ordenada de F so iguais abcissa e ordenada de B. Assim, F(2, 2, 6).

A aresta [EF] definida, analiticamente, por x = 2 y = 2 0 z 6.1.2.6.O conjunto dos pontos do espao cuja distncia ao ponto B igual a 2 a superficie esfrica de centro em B(2, 2, 0) e raio 2. Assim, (x 2)2 + (y 2)2 + z2 = 4 define analiticamente o conjunto.

1.3.Vprisma = Abase altura ; Vprisma = 22 6 = 4 6 = 24

O volume do prisma de 24 unidades de volume.

2.Considere, fixado um referencial cartesiano do espao, a superfcie esfrica de equao:

x2 + y2 + z2 4x + 2y 8z + 12 = 02.1.Indique o centro C e o raio da superfcie esfrica.

2.2.Determine expresses analticas que definam a interseo da superfcie esfrica com cada um dos seguintes conjuntos de pontos:

2.2.1.o eixo Ox;2.2.2.o plano de equao z = 4;2.2.3.o plano de equao y = 4.

2.3.Prove que o ponto A(0, 0, 2) pertence superfcie esfrica e determine a inequao reduzida da esfera de centro A e raio .Resoluo

2.1.x2 + y2 + z2 4x + 2y 8z + 12 = 0 x2 4x + y2 + 2y + z2 8z = 12

(x 2 2x + 22) + (y2 + 2y + 12) + (z2 2 4z + 42) = 12 + 22 + 12 + 42

(x 2)2 + (y + 1)2 + (z 4)2 = 12 + 4 + 1 + 16 (x 2)2 + (y + 1)2 + (z 4)2 = 9

A superfcie esfrica tem centro de coordenadas (2, 1, 4) e raio 3.

2.2.1.Dado que o centro tem cota 4 e o raio 3 a supeficie esfrica no interseta o plano xOy e correspondentemente no interseta o eixo Oy.

Ou, qualquer ponto do eixo Ox tem coordenadas (x, 0, 0). Assim:

(x 2)2 + (0 + 1)2 + (0 4)2 = 9 (x 2)2 = 9 1 16 (x 2)2 = 8 impossvel.2.2.2.Se (x 2)2 + (y + 1)2 + (z 4)2 = 9 e z = 4, ento:(x 2)2 + (y + 1)2 + (4 4)2 = 9 (x 2)2 + (y + 1)2 = 9

A interseo uma circunferncia de centro com coordenadas (2, 1, 4) e raio 3 de equao:

(x 2)2 + (y + 1)2 = 9 z = 42.2.3.Se y = 4, ento:

(x 2)2 + ( 4 + 1)2 + (z 4)2 = 9 (x 2)2 + ( 3)2 + (z 4)2 = 9 (x 2)2 + (z 4)2 = 0

x 2 = 0 z 4 = 0 x = 2 z = 4

A interseo o ponto de coordenadas (2, 4, 4).2.3. (0 2)2 + (0 + 1)2 + (2 4)2 = 9 9 = 9

Logo, o ponto A(0, 0, 2) pertence superfcie esfrica.

A inequao reduzida da esfera de centro A e raio x2 + y2 + (z 2)2 9.3.Considere, fixado um referencial cartesiano do espao, os pontos A(5, 1, 2) e B(2, 0, 1). Determine:

3.1.as coordenadas do ponto C(x, y, z) tal que B o ponto mdio [AC];3.2.a inequao reduzida da esfera de dimetro [AB].

Resoluo

3.1.


As coordenadas do ponto C so (9, 1, 4).

3.2.

.

O centro da esfera o ponto mdio do segmento de reta [AB].

Logo, a inequao da esfera .4.Considere, fixado um referencial cartesiano do espao, a superfcie esfrica S de equao:

(x + 3)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = 54.1.Determine uma expresso analtica para a interseo da superfcie esfrica S com o plano y = 3.

4.2.Determine analiticamente para que valores reais de a o plano de equao z = a tem interseo no vazia com a superfcie esfrica S.

4.3.*Determine para que valores de b a interseo de S com o plano x = b uma circunferncia de raio .

Resoluo

4.1.

A interseo da superfcie esfrica S com o plano y = 3 uma circunferncia de centro ( 3, 3, 1) e raio 2 cuja equao (x + 3)2 + (z + 1)2 = 4 y = 3.4.2.

.

A interseo no vazia para 5 (a + 1)2 0.

4.3.

Dado que se pretende uma circunferncia de raio :





A interseo de S com o plano x = 3 uma circunferncia de raio .

5.*Fixado um referencial ortonormado do espao os pontos A(2, 3, 4), B(2, 3, 4) e C( 2, 3, 4). Identifique analiticamente o conjunto dos pontos do espao equidistantes de A, B e C.

Resoluo

5.Seja P(x, y, z) um ponto equidistante de A, B e C.

Ento:


O conjunto dos pontos do espao equidistantes de A, B e C o conjunto dos pontos do espao tais que x = 0 y = 0, ou seja, os pontos do eixo Oz.

Exerccios1.Considere, fixado um referencial ortonormado do espao, os pontos A( 3, 2, 1) e B(1, 1, 2) e o vetor . Determine as coordenadas de: 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.um vetor colinear a e de norma 2;1.6. sabendo que .

Resoluo

1.1.

= ( 3, 2, 1) + 3(8, 0, 6) = ( 3 +24, 2 + 0, 1 18) = (21, 2, 17)1.2.

= B A = (1, 1, 2) ( 3, 2, 1) = (4, 1, 3)

= (4, 1, 3) 10(8, 0, 6) = (4 80, 1 + 0, 3 + 60) = ( 76, 1, 57)

1.3.

1.4.

= (1, 1, 2) 3((4, 1, 2) + (8, 0, 6)) = (1, 1, 2) 3(12, 1, 9)

= (1, 1, 2) (36, 3, 27) = ( 35, 4 , 25)1.5.


EMBED Equation.DSMT4 Logo, ou ; ou ; ou .1.6.



Logo, .2.Considere, fixado um referencial cartesiano do espao, um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] tal que os vrtices A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(2, 0, 0) pertencem a uma das bases e o vrtice F(0, 2, 4) pertence outra base, como ilustra a figura.2.1.Seja M o ponto mdio da aresta [BF]. Determine as coordenadas do vetor .2.2.*Determine os nmeros reais a, b e c tais que .

2.3.Determine as coordenadas do vetor . 2.4.Escreva as equaes paramtricas da reta que passa em F e paralela ao eixo Oy.

Resoluo

2.1.Sendo M o ponto mdio da aresta [BF] temos que .

Como D pertence base que contm os pontos A, B e C, sendo D(0, 2, 0).

Assim, .2.2.

(por observao)

Assim:

(0, 4, 2) = a( 2, 2, 0) + b(2, 2, 0) + c(0, 0, 4) (0, 4, 2) = ( 2a + 2b, 2a 2b, 4c)

Portanto, .2.3.

2.4.(x, y, z) = (0, 2, 4) + (0, 1, 0), x = 0 y = 2 + z = 4,

3.Considere, fixado um referencial ortonormado do espao, o ponto A(2, 1, 0) e o vetor .3.1.Escreva as equaes paramtricas da reta r que tem a direo de e passa no ponto A.3.2.Mostre que o ponto B(0, 3, 4) pertence reta r.3.3.Utilizando as equaes obtidas em 3.1., determine as coordenadas do ponto P, interseo da reta r com o plano xOy.

3.4.Os pontos A e so as extremidades de um dimetro de uma esfera de centro C. Determine as coordenadas de C e o raio dessa esfera.

3.5.Indique as coordenadas de um ponto Q que no seja colinear com P e D.

Resoluo

3.1.A equao vetorial de r (x, y, z) = (2, 1, 0) + (1, 1, 2), .

(x, y, z) = (2 + , 1+ , 2), x = 2 + y = 1 + z = 2,

3.2.B(0, 3, 4). Utilizando as equaes paramtricas obtidas na alnea 3.1..

. Logo, B(0, 3, 4) pertence a r.

3.3.

. Logo, P (3, 0, 2).3.4.

D = (2, 1, 0) + 2(1, 1, 2) D = (4, 1, 4)

O centro C ser o ponto mdio de [AD]:


O centro da esfera tem coordenadas (3, 0, 2) e o raio de .3.5.Para que o ponto Q no seja colinear com os pontos P, D e Q no pode pertencer reta r.

Por exemplo, o ponto Q(0, 2, 0) no colinear com P e D, pois , ou seja, no pertence a r.

4.Fixado um referencial ortonormado do espao, considere os pontos A(3, 0, 2), B(4, 3, 2), D(0, 1, 2) e vrtices do cubo [ABCDEFGH] da figura.

4.1.Justifique que o tetraedro [BDEG] tem as arestas todas iguais (ou seja, que um tetraedro regular).

4.2.Determine as coordenadas dos restantes vrtices do cubo.

4.3.Determine equaes paramtricas da reta EC.

4.4.Defina abaliticamente o segmento de reta [EG].

Resoluo

4.1.O tetraedro [BDEG] tem as arestas todas iguais porque so diagonais das faces do cubo.4.2.

4.3.Comecemos por determinar um vetor diretor da reta EC.

Logo, uma equao vetorial .

Assim , , so as equaes paramtricas da reta EC.

4.4.

.

O segmento da reta [EG] pode ser definido analiticamente pela condio:

5.*Fixado um referencial ortonormado do espao e para um dado valor real de k, os vetores e so colineares. Determine k.

Resoluo

5.Dois vetores, com um deles no nulo, so colineares se existir um nmero real tal que .

Assim, vejamos se existe tal que:



Para que os vetores e sejam colineares, tem de ser igual a 1.

6.Fixado um referencial ortonormado do espao foi representada uma pirmide quadrangular regular de vrtice V(1, 1, 10) e base [ABCD]. Um plano paralelo base interseta a pirmide definindo o quadrado [EFGH]. Sabe-se ainda que (1, 1, 3), ( 1, 1, 3) e (0, 2, 0).

6.1.Determine as coordenadas dos vrtices F e G e do vetor .

6.2.*Sabendo que a rea da base da pirmide igual a 36 unidades quadradas, determine as coordenadas de e do ponto D.

Resoluo

6.1.

As coordenadas de G so (0, 2, 7).


As coordenadas de F so (2, 2, 7).

Para obter as coordenadas do vetor , vamos comear por determinar as coordendas do ponto H:

Ento, .6.2.Sabendo que todos os quadrados so semelhantes entre si e que , sendo r a razo de semelhana, e .

Assim, .

Como e , temos que r = 3.

D = (1, 1, 10) + 3 ( 1, 1, 3) = (1, 1, 10) + ( 3, 3, 9) = ( 2, 2, 1)

As coordenadas do vetor so (3, 3, 9) e as coordenadas do ponto D so (2, 2, 1).

Descritor: 1.2 (Pgina 21 do caderno de apoio)

Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, que a medida da distncia entre A e B igual a EMBED Equation.DSMT4 e represent-la por d(A, B) .

Descritor 1.3 (Pgina 21 do caderno de apoio)

Demonstrar, dada uma reta numrica e dois pontos A e B de abcissas a e b respetivamente, que a abcissa do ponto mdio do segmento de reta de extremos A e B igual a EMBED Equation.DSMT4 .


Reconhecer, utilizando argumentos geomtricos baseados no Teorema de Tales ou em consequncias conhecidas deste teorema, que, dado um plano munido de um referencial ortonormado e dois pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, as coordenadas do ponto mdio do segmento de reta [AB] so EMBED Equation.DSMT4 .


Demonstrar, dada uma elipse de focos A e B e de eixo maior 2a, que a mediatriz de [AB] interseta a elipse em dois pontos C e D equidistantes do centro da elipse e que tomando EMBED Equation.DSMT4 se tem EMBED Equation.DSMT4 , onde EMBED Equation.DSMT4 , designando 2b por eixo menor da elipse (e b por semieixo menor da elipse).


Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e 0 < b < a, a equao EMBED Equation.DSMT4 uma equao cartesiana da elipse de semieixo maior a e semieixo menor b que tem focos A( c, 0) e B(c, 0), onde EMBED Equation.DSMT4 , e design-la por equao (cartesiana) reduzida da elipse.

Descritores: 1.11 e 1.12 (Pgina 23 do caderno de apoio)

Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de equao reduzida y = ax + b (a, b EMBED Equation.DSMT4 ), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por r tm por inequaes cartesianas y > ax + b e y < ax + b (respetivamente y ax + b e y ax + b) e design-los respetivamente por semiplano superior e semiplano inferior em relao reta r.

Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de equao cartesiana x = c (x EMBED Equation.DSMT4 ), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por r tm por inequaes cartesianas x > c e x < c e (respetivamente, x c e x c) e design-los, respetivamente, por semiplano direita e semiplano esquerda da reta r .


Justificar, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado, que a inequao (x a)2 + (y b)2 r2 (a, b EMBED Equation.DSMT4 , r > 0) uma inequao do crculo de centro C(a, b) e de raio r .

Descritores 2.1 (Pgina 26 do caderno de apoio)

Resolver problemas envolvendo a noo de distncia entre pontos do plano e equaes e inequaes cartesianas de subconjuntos do plano.

Descritores: 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 (Pgina 27 do caderno de apoio)

Identificar, fixada uma unidade de comprimento e dado um vetor EMBED Equation.DSMT4 , a norma do vetor EMBED Equation.DSMT4 como a medida do comprimento de um segmento orientado representante de EMBED Equation.DSMT4 e represent-la por EMBED Equation.DSMT4 .

Identificar, dado um vetor EMBED Equation.DSMT4 e um nmero real (tambm designado por escalar) EMBED Equation.DSMT4 , o produto de EMBED Equation.DSMT4 por EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 ) como o vetor de norma EMBED Equation.DSMT4 (fixada uma mesma unidade de comprimento para o clculo das normas), com a direo e sentido de EMBED Equation.DSMT4 se EMBED Equation.DSMT4 e com a direo de EMBED Equation.DSMT4 e sentido contrrio ao de EMBED Equation.DSMT4 se EMBED Equation.DSMT4 e justificar que EMBED Equation.DSMT4 no depende da unidade de comprimento fixada e que EMBED Equation.DSMT4 , vetor simtrico de EMBED Equation.DSMT4 .

Justificar, dado um vetor EMBED Equation.DSMT4 no nulo, que um vetor EMBED Equation.DSMT4 colinear a EMBED Equation.DSMT4 se e apenas se existir um nmero real EMBED Equation.DSMT4 tal que EMBED Equation.DSMT4 , e que, nesse caso, EMBED Equation.DSMT4 nico.

Justificar, dados os vetores EMBED Equation.DSMT4 e EMBED Equation.DSMT4 , que existe um e somente um vetor EMBED Equation.DSMT4 tal que EMBED Equation.DSMT4 , provando que EMBED Equation.DSMT4 , designar EMBED Equation.DSMT4 por diferena entre EMBED Equation.DSMT4 e EMBED Equation.DSMT4 e represent-lo por EMBED Equation.DSMT4 .


Reconhecer, dados vetores EMBED Equation.DSMT4 e EMBED Equation.DSMT4 e os nmeros reais EMBED Equation.DSMT4 e EMBED Equation.DSMT4 que EMBED Equation.DSMT4 e EMBED Equation.DSMT4 .

Descritor: 4.1 e 4.2 (Pgina 32 do caderno de apoio)

Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e um vetor EMBED Equation.DSMT4 do plano que, sendo X(1, 0), Y(0, 1), EMBED Equation.DSMT4 , existe um e somente um par ordenado (v1, v2) de nmeros reais tais que EMBED Equation.DSMT4 , por esse motivo designar o par ordenado EMBED Equation.DSMT4 por uma base do espao vetorial dos vetores do plano, (v1, v2) por coordenadas do vetor EMBED Equation.DSMT4 (na base EMBED Equation.DSMT4 ) e representar por EMBED Equation.DSMT4 o vetor EMBED Equation.DSMT4 de coordenadas (v1, v2).

Identificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dado um ponto A, o vetor-posio do ponto A como o vetor EMBED Equation.DSMT4 e justificar que as coordenadas do vetor posio de um dado ponto coincidem com as coordenadas do ponto.

Descritores: 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 (Pgina 32 do caderno de apoio)

Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dados os vetores EMBED Equation.DSMT4 tem coordenadas (u1 + v1, u2 + v2) respetivamente (u1 v1, u2 v2)), que o vetor EMBED Equation.DSMT4 tem coordenadas EMBED Equation.DSMT4 , que o vetor simtrico do vetor EMBED Equation.DSMT4 tem coordenadas ( u1, u2) e que dois vetores no nulos so colineares se e somente se as respetivas coordenadas forem todas no nulas e os quocientes das coordenadas correspondentes forem iguais, ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.

Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, e dados os pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) que o vetor EMBED Equation.DSMT4 tem coordenadas (b1 a1, b2 a2), comeando por justificar que EMBED Equation.DSMT4 , identificar, a diferena entre os pontos B e A como o vetor EMBED Equation.DSMT4 , represent-la por B A e justificar que, para todo o vetor EMBED Equation.DSMT4 e para quaisquer pontos A e B do plano, EMBED Equation.DSMT4 .

Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um ponto A(a1, a2) e um vetor EMBED Equation.DSMT4 desse plano, que o ponto EMBED Equation.DSMT4 tem coordenadas (a1 + v1, a2 + v2).

Justificar, fixada uma unidade de comprimento e um plano munido de um referencial ortonormado que para qualquer vetor EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .


Resolver problemas envolvendo a determinao das coordenadas de vetores do plano.


Resolver problemas envolvendo a colinearidade de vetores do plano.


Resolver problemas envolvendo equaes vetoriais, paramtricas e cartesianas de retas do plano.


Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um terno ordenado de nmeros reais (x, y, z), que existe um e apenas um ponto P com essas coordenadas e represent-lo por P(x, y, z).


Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um ponto P(a, b, c) de projeo ortogonal P no plano xOy, que, nesse plano, munido do referencial constitudo pelos eixos Ox e Oy, P tem coordenadas (a, b) e enunciar resultados anlogos para os planos xOz e yOz.


Provar, fixada uma unidade de comprimento e dados um referencial ortonormado do espao e pontos A(a1, a2, a3) e B(b1, b2, b3), que a medida da distncia entre A e B igual a EMBED Equation.DSMT4 e represent-la por d(A, B).

Descritores: 10.1 e 10.2 (Pgina 38 do caderno de apoio)

Reconhecer, fixado um referencial ortonormado no espao de origem O e um vetor EMBED Equation.DSMT4 , que, sendo X(1, 1, 0), Y(0, 1, 0), Z(0, 0, 1), EMBED Equation.DSMT4 existe um e somente um terno ordenado (v1, v2, v3) de nmeros reais tais que EMBED Equation.DSMT4 , designar o terno ordenado EMBED Equation.DSMT4 por uma base do espao vetorial dos vetores do espao, (v1, v2, v3) por coordenadas do vetor EMBED Equation.DSMT4 (na base EMBED Equation.DSMT4 e representar por EMBED Equation.DSMT4 (v1, v2, v3) o vetor de coordenadas (v1, v2, v3).

Estender do plano ao espao a definio do vetor posio de um ponto e a identificao das respetivas coordenadas, as frmulas para o clculo das coordenadas da soma e da diferena de vetores, do produto de um vetor por um escalar, do simtrico de um vetor, da diferena de dois pontos, da soma de um ponto com um vetor e da norma de um vetor, e o critrio de colinearidade de vetores atravs das respetivas coordenadas.

Descritor: 11.1 (Pginas 38 e 39 do caderno de apoio)

Resolver problemas envolvendo a noo de distncia entre pontos do espao, equaes e inequaes cartesianas de subconjuntos do espao.

Descritores 11.2 (Pgina 39 do caderno de apoio)

Resolver problemas envolvendo o clculo vetorial no espao.

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