mke-1

Metoda konanih elemenataRekapitulacija matrine analize konstrukcija

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata


Sadraj

1 Metoda konanih elemenataNapomene o predmetuUvodne napomene o MKERaunski modeli realnih problema

2 Rekapitulacija matrine analize konstrukcijaOsnovna ideja matrine analizeReetkasti tapovi u lokalnom sistemuReetkasti tapovi u globalnom sistemu



Napomene o predmetuUvodne napomene o MKERaunski modeli realnih problema

Sadraj






Metoda konanih elemenata

Osnovni podaci o predmetuNaziv: Metoda konanih elemenataSemestar: VIFond asova: 2+2Studijski program: Graevinarstvo (OAS)ESPB: 5Status predmeta: obavezni





Osnovni podaci o predmetuUslov za sticanje potpisa:

- Uredno pohaanje nastave- Uspeno poloena 2 kolokvijuma

Uslov za polaganje ispita:- Dobijen potpis- Poloen ispit iz Otpornosti materijala 2, Statike konstrukcija1,2 nije uslov, ali je veoma korisno





Osnovni podaci o predmetuNain polaganja ispita:

- Pismeni ispit u trajanju od 3 4h- Usmeni ispit

Informacije o nastavi i predmetu:- posle predavanja- www.np.ac.rs, Departman Tehnikih nauka, Nastavni materijali- asistent Emir Maslak




Metoda konanih elemenata - Literatura

Metoda konanih elemenata - LiteraturaM. Sekulovi: Metoda konanih elemenata, Graevinskaknjiga, Beograd, 1988M. Sekulovi: Teorija linijskih nosaa, Graevinska knjiga,Beograd, 2005M. Petronijevi: Teorija konstrukcija 1, Graevinski fakultetUniverziteta u Beogradu, 2013O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor: The Finite Element Method forSolid and Structural Mechanics, 6th Ed., Elsevier, 2005T.J.R. Hughes: The Finite Element Method, Prentice Hall,Inc., 1987




Metoda konanih elemenata - Literatura

Metoda konanih elemenata - LiteraturaG.R. Liu, S.S. Quek: The Finite Element Method: A PracticalCourse, Butterworth-Heinemann, Elsevier Science, 2003R.D. Cook: Finite Element Modeling for Stress Analysis, JohnWiley & Sons, Inc., 1995D.V. Hutton: Fundamentals of Finite Element Analysis,McGraw Hill, 2004R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt: Conceptsand Applications of Finite Element Analysis, 4th Ed., JohnWiley & Sons, Inc., 2002itd . . .




Literatura

Softverski paketi od interesa

Tower 7 (Demo) . . . Radimpex Software,URL: www.radimpex.rsAxisVM (Student Study, Student Thesis - 180 dana). . . Structural Analysis & Design SoftwareURL: www.axisvm.euSAP2000, ETABS, CSiBridge . . . Computers & Structures, Inc.URL: www.csiamerica.comMATLAB The Language of Technical Computing . . .URL: www.mathworks.comitd . . .




Sadraj







MKE - uvodne napomene

Metoda konanih elemenata (MKE) ili The Finite ElementMethod (FEM) je numeriki postupak za priblino reavanjegraninih i poetnih problema, odn. obinih ili parcijalnihdiferencijalnih jednaina sa datim graninim i poetnimuslovima

Granini problem (Boundary value problem, Field problem)odreen je sa parcijalnom diferencijalnom jednainomdefinisanom unutar nekog domena V ili i sa odgovarajuimgraninim uslovima na konturi . . . statiki problem





MKE - uvodne napomeneNa primer, moe da se trai raspodela temperature, iliintenziteta magnetnog polja unutar neke oblasti, ili raspodelapomeranja i sila u preseku u linijskom nosau, ugiba u ploi i sl.U matematikom smislu, takvi problemi se definiudiferencijalnim jednainama ili u obliku integralne formulacijeObe matematike formulacije problema mogu da budu osnovza (priblinu) numeriku formulaciju primenom MKE





MKE - uvodne napomeneDomen definisanosti problema, odnosno nepoznate veliine,moe da bude linijski (1D), povrinski (2D) ili prostorni (3D)Odgovarajue koordinate koje definiu domen su nezavisnopromenljive veliine (koordinate), dok je traena veliinanepoznata funkcija koordinataAko je domen problema linijski (1D), granini problem jedefinisan sa obinom diferencijalnom jednainomU sluaju kada je domen 2D ili 3D, problem je definisan saparcijalnom diferencijalnom jednainomReenje graninog problema je poznata raspodela traeneveliine unutar posmatranog domena






Poetni problem (Initial value problem) odreen je saparcijalnom diferencijalnom jednainom definisanom unutarnekog prostornog domena V ili , kao i u vremenskomdomenu t > 0 . . . dinamiki problemU sluaju problema poetnih vrednosti, osim graninih uslovana konturi domena, neophodni su i odgovarajui poetniuslovi u poetnom trenutku t = t0Poetni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcijeproblema i njenih izvoda po vremenu, u svim takama domenadefinisanosti, ukljujujui i granicu, u poetnom trenutkuvremena t = t0






Sutina MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domenana izabrane pod-domene, odn. na konane elemente,usvojenog oblika, pri emu su ti pod-domeni konanihdimenzija i sa izabranim vornim takama na granici, amogue i u unutranjosti konanog elementaKonani elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti,trouglovi, etvorougli, paralelopipedi i sl.Cilj je da se stvarni fiziki domen problema izabranimkonanim elementima to bolje prikae u raunskom domenuprikazanom preko usvojene mree konanih elemenataCilj je da se postigne to bolje poklapanje fizikog i raunskogdomena





MKE - uvodne napomenePojedinani konani elementi mogu da se shvate kao malidelovi posmatranog domena i u pitanju su mali konani delovi,a ne infinitezimalni (beskonano mali) deloviKonani elementi su meusobno povezani samo u vornimtakamaNepoznata veliina unutar konanog elementa izraava sepreko poznatih funkcija raspodele unutar elementa i nepoznatihvrednosti funkcije u vornim takama konanog elementaesto se za nepoznate vrednosti u vornim takama konanihelemenata, osim glavne nepoznate veliine, biraju jo i prviizvodi nepoznate po koordinatama koje definiu domen




Diskretizacija raunske oblasti

diskretizacija raunske oblasti konanim elementima (vea imanja gustina mree)konani elementi su meusobno povezani samo u vornimtakama






Unutar svakog konanog elementa (kao male oblasti raunsokgdomena) usvaja se jednostavna raspodela nepoznatih, npr. uobliku polinoma (linearnog, kvadratnog ili kubnog) inepoznatih vrednosti u vornim takamaStvarna raspodela nepoznatih veliina unutar konanihelemenata je drugaija, odn. komplikovanija, pa je zato reenjedobijeno primenom MKE priblinoto je mrea konanih elemenata kojom se opisuje raunskidomen problema gua, to je odstupanje izmeu tanog ipriblinog reenja manje





Odreivanje broja pi preko pravilnih poligona upisanih u krug





Sa poveanjem broja stranica poligona upisanog u krug dobija sebolja aproksimacija broja pi





MKE - uvodne napomeneUsvojene funkcije raspodele nepoznatih unutar elementa zovuse interpolacione funkcije (shape functions), dok su vrednostinepoznatih u vorovima elementa vorne nepoznate (nodalunknowns)Osim osnovne nepoznate veliine (npr. komponentepomeranja), za vorne nepoznate mogu da se usvoje i izvodiosnovne nepoznate po prostornim koordinatama





MKE - uvodne napomeneNa primer, u analizi ploa primenom MKE, za vornenepoznate biraju se veliine

w,w

x,

w

y

gde je w ugib ploe (pomeranje u pravcu ose z upravno naplou), dok su wx i

wy obrtanja oko osa u ravni ploe





MKE - uvodne napomeneUnosei prikazivanje nepoznate veliine u svakom konanomelementu (preko poznatih interpolacionih funkcija unutarelementa i nepoznatih vornih vrednosti) u diferencijalnejednaine graninog problema, i sabiranjem doprinosapojedinih konanih elemenata, dolazi se do sistema algebarskihjednaina po vornim nepoznatimProces sabiranja pojedinih konanih elemenata u ciljuprikazivanja kompletnog raunskog domena zove se assembly





MKE - uvodne napomeneReavanjem sistema algebarskih jednaina dobijaju se vornenepoznate, odn. vrednosti traenih veliina (osnovnihnepoznatih) u svim vorovima usvojene mreeImajui u vidu poznatu interpolaciju nepoznate veliine unutarsvakog konanog elementa, koja se izraava preko veodreenih vornih vrednosti nepoznate, dobija se (priblina)raspodela nepoznate veliine unutar cele raunske oblastiUkoliko je mrea konanih elemenata gua, odn. ukoliko jeveliina konanih elemenata manja, dobijeno priblino reenjemanje odstupa od tanog





MKE - uvodne napomeneAko se posmatra dinamiki problem, odn. problem poetnihvrednosti, primenom MKE vri se diskretizacija domena(diskretizacija po prostoru), pa se dolazi do sistema obinihdiferencijalnih jednaina po vremenu po vornim nepoznatimPrema tome, posle prostorne diskretizacije domenaposmatranog problema primenom MKE dolazi se do:

- sistema algebarskih jednaina . . . za statiki problem- sistema obinih diferencijalnih jednaina po vremenu . . . zadinamiki problem





(a) diskretizacija raunske oblasti konanim elementima(b) u jednaini za vor i sadran je doprinos svih konanih

elemenata oko vora i




Sadraj







Raunski modeli realnih problema

Posmatrani realan fiziki problem treba da se (dobro) razumeZa fizike pojave i probleme od interesa postoje odgovarajuematematike formulacijeAko moe da se odredi analitiko reenje matematikeformulacije problema, problem je (naelno) reenAko je matematika formulacija problema suvie kompleksna,analitiko reenje (esto) nije mogueU takvim sluajevima matematika formulacija se uproavai/ili se trai numeriko reenje





Raunski modeli realnih problemaMKE je najpoznatija i najvie koriena metoda za numerikareavanja posmatranih realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numerikepostupke:

- MKE moe da se primeni na bilo koji granini i/ili poetniproblem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnihi elektromagnetnih polja, analizu kretanja fluida, problemeinterakcije fluida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd

- u primeni MKE nema geometrijskih ogranienja: MKE moeda se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika

- nema nikakvih ogranienja po pitanju graninih uslova ioptereenja koje deluje





Raunski modeli realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numerike postupke(nastavak):

- materijalne osobine nisu ograniene, npr., na izotropiju(jednaka fizika svojstva u svim pravcima), ve mogu da buduproizvoljne, ukljuujui i razliite u svakom elementu

- u istom raunskom modelu mogu da se istovremeno primenjujukonani elementi koji su meusobno razliitog ponaanja(konani elementi za proste tapove, za gredene elemente, zakablove, za ploe i ljuske itd)

- primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi:geometrijski i/ili materijalno





Raunski modeli realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numerike postupke(nastavak):

- raunski model formiran primenom MKE najvie odgovararealnom prototipu

- numerika aproksimacija moe da se pobolja poveanjemgustine mree konanih elemenata: globalno, ali i lokalno, uzonama gde je vei gradijent promene nepoznatih veliina

- imajui u vidu sve vee mogunosti raunara, raunski modelimogu da budu jako veliki: n 106 nepoznatih





Raunski modeli realnih problemaMKE ne moe da se realizuje peice, bez raunaraPostoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao islobodni (Open Source) programi za istraivake potrebeMKE raunarski programi mogu da budu

- opte namene (praktino, za bilo kakav problem)- specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. zauticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova,zgrada, za analizu fluida (CFD - Computational FluidDynamics), za geotehnike probleme, . . . )

Praktino da nema oblasti u inenjerstvu i fizici (pa i hemiji -Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE





Raunski modeli realnih problemaVrhunski MKE programi opte namene:MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA,ABAQUSVrhunski programi orjentisani na dinamike probleme:MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM)MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija:Sofistic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM,Tower, Lisa, Diana, STAADMKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova:ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas





Raunski modeli realnih problemaOpen Source FEM programi opte namene:FreeFEM++, GetFEM++, OOFEMOpen Source FEM programi specifine namene

- za seizmiku analizu:OpenSees, SeismoStruc, SASSI

- za analizu fluida i interakciju fluida i konstrukcije:OpenFOAM

- za analizu dinamike interakcije tla i konstrukcije:SASSI




ANSYS - primena MKE na razne oblasti




ANSYS - mogunosti u primeni na konstrukcije




Numeriki model automobila




Numeriki model kontakta toak - ina




Numeriki model sloene pojave




Fasade od (perforiranog) bakarnog lima




Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh




Fasada od perforiranog bakarnog lima




Numeriki model fasade




Numeriki model elino-betonske hale




Numeriki model stambeno-poslovne zgrade





Raunski modeli realnih problemaProgram zasnovan na MKE moe da koristi svako ko dovoljnonaui user interfaceMeutim, takvom korisniku nameu se razna pitanja, npr:

- koji konani elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom- da li treba na nekim mestima domena da bude gua mrea- koji nivo detalja fizikog problema treba da bude prikazan- da li je znaajni aspekt ponaanja posmatranog problemalinearan ili nelinearan / statiki ili dinamiki

- koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje- kolika e da bude tanost dobijenih rezultata- kako da se proveri da li su rezultati dobri- itd . . .





Raunski modeli realnih problema

Numeriko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema)nije jednostavan posaoPotrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za fizikiproblem koji se posmatra:

- teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost, . . . )- specifinosti materijala (beton, elik, drvo, opeka, . . . )- specifinosti odgovarajuih konstrukcija (AB, prednapregnute,eline, spregnute, zidane konstrukcije, . . . )

- naine prikazivanja pojedinih optereenja: uticaj vetra,zemljotresa, uskladitenog materijala u silosu, vodotornju,rezervoaru za naftu, . . .

- detalja raznih postupaka i algoritama u specifinim nelinearnimi/ili dinamikim analizama





Raunski modeli realnih problemaPodrazumeva se da onaj ko vri numeriku analizu u dovoljnojmeri poznaje i raunarski program koji koristi, kao imogunosti i ogranienja programaOsim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metodakonanih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene isadrane u samoj MKENaravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave raznegreke u opisivanju problema raunarskom programu

Raunari rade onako kako je napravljen program, a neonako kako bi korisnik eleo da raunar radi



Osnovna ideja matrine analizeReetkasti tapovi u lokalnom sistemuReetkasti tapovi u globalnom sistemu

Sadraj






Rekapitulacija matrine analize konstrukcija

Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaMatrina analiza konstrukcija je postupak analize linijskihnosaa zasnovan na primeni matricaOsnovna ideja matrine analize je da se linijski nosa posmatrakao skup odreenog broja elemenata (tapova) koji sumeusobno vezani u vorovima nosaaU svakom elementu nosaa sile i pomeranja unutar elementaizraavaju se preko izabranih parametara u vorovima nosaaTi parametri u vorovima nosaa pretstavljaju osnovnenepoznate veliine u matrinoj analizi





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaa

Za nepoznate parametre u vorovima nosaa (u ravni) moguda se izaberu:

1 generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje). . .u, v,

2 sile u vorovima (komponente sile i spreg) . . .H,V,MZa odreivanje nepoznatih parametara u vorovima koriste sedve grupe jednaina:

1 uslovi ravnotee sila u vorovima2 uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u vorovima





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaAko se za nepoznate izaberu pomeranja u vorovima onda setakva varijanta matrine analize naziva metoda deformacije(direct stiffness method)U tom sluaju, nepoznata vorna pomeranja odreuju se izuslova ravnotee sila u vorovimaAko se za vorne nepoznate usvoje sile u vorovima nosaa,onda se takva varijanta matrine analize zove metoda sila,metoda fleksibilnostiNepoznate vorne sile se u tom sluaju odreuju iz uslovakompatibilnosti pomeranja u vorovima





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaU matrinoj analizi linijskih nosaa dominantna je metodadeformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda silapraktino ne koristiMatrina analiza linijskih nosaa sastoji se iz tri celine:

1 analize tapa . . . uspostavljaju se matrine veze izmeu sila nakrajevima tapa, vornih pomeranja i optereenja du tapa

2 analize nosaa . . . matrine relacije za svaki tap sabiraju se iformiraju se uslovne jednaine za ceo sistem

3 reavanja jednaina . . . uslovne jednaine sistema se ree, pase, sa odreenim osnovnim nepoznatim vornim pomeranjima,odreuju sile u preseku i pomeranja du svih tapova nosaa





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaPrve ideje o matrinoj analizi konstrukcija javile su se jo 1938.





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaMatrina analiza konstrucija poela je da se ire primenjuje teksa razvojem raunaraMetoda deformacije (direct stiffness method) se pokazalaznatno pogodnija za primenu zbog jednostavnije formulacije ibolje konvergencije, tako da se u analizi linijskih nosaaiskljuivo ona primenjujeNaziv direktna metoda krutosti potie od matrice krutostikoja povezuje sile i pomeranja na krajevima tapa i nainanjenog odreivanja





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaa

Matrina analiza linijskih nosaa (u ravni) je osnov metodekonanih elemenataMKE se brzo razvila u znatno iri postupak od matrine analizelinijskih nosaa (koja je zasnovana na linearnoj teoriji tapa)MKE se brzo proirila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosae, kaoi na dinamike probleme i probleme stabilnostiParalelno, razvijali su se i prvi raunari:

- 1951 . . . Univac I- 1953 . . . IBM 701





Osnovna ideja matrine analize linijskih nosaaTakoe, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja unauci i tehnici: FORTRAN, 1957Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnihproblema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblastimaterijalne nelinearnostiNaravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (praktino)svim drugim oblastima inenjerstva, fizike, hemije, medicine(analiza krvotoka, kostiju, . . . ) itd.




Nastanak MKE iz Matrine analize

MSA - Matrix Structural AnalysisDSM - Direct Stiffness Method




Sadraj







Matrina analiza tapa u ravniMeusobne veze tapova u vorovima mogu da budu krute ilizglobneU zavisnosti od toga, razlikuju se tapovi:

- tipa k . . . na oba kraja tapa (i,k) je kruta veza- tipa g . . . na jednom kraju tapa (i) je kruta veza, na drugom(g) je zglobna

- prost tap . . . na oba kraja tapa je zglobna veza i nemaoptereenja du tapa

Zglobna veza znai da je omoguena relativna rotacija zglobnovezanog tapa u odnosu na osu u zglobu na ravan nosaaNa zglobno vezanom kraju g tapa obrtanje nije nepoznataveliina (moe da se odredi iz uslova Mg = 0)




Tipovi tapova kod linijskog nosaa

Tipovi tapova kod linijskog nosaa u ravni i odgovarajuageneralisana vorna pomeranja





Matrina analiza tapa u ravniAnaliza tapa podrazumeva uspostavljanje veza izmeupomeranja i sila na krajevima tapa, odn. izmeu pomeranjana krajevima i optereenja tapaImajui u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosaa u ravni,geometrija nosaa definie se u izabranom globalnomkoordinatnom sistemu OXYTakoe, za svaki tap se definie lokalni koordinatni sistemixy, gde je i poetni vor tapa, osa x je osa tapa (sasmerom od vora i ka voru k), dok je osa y upravna napravac tapa u ravni nosaa





Matrina analiza tapa u ravniOba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacijeU analizi pojedinanog tapa izvode se prvo veze izmeu sila ipomeranja na krajevima tapa u lokalnom sistemuImajui u vidu poloaj svakog tapa u odnosu na globalnikoordinatni sistem, izraen preko ugla = (X,x), vri setransformacija iz lokalnog u globalni sistemVeze izmeu sila i pomeranja na krajevima tapa, izraene uglobalnom sistemu, sabiraju se i dolazi se do globalnihjednaina sistema




Matrina analiza tapa u ravni

vorna pomeranja i vorne sile

Posmatra se, kao najoptiji sluaj, tap tipa k (kruta veza naoba kraja)vorna pomeranja na krajevima tapa u lokalnom sistemuobeleavaju se sa:

- na kraju i . . .ui, vi, i (pomeranja vora i u pravcima osa x i yi obrtanje vora oko ose z)

- na kraju k . . .uk, vk, kAlternativno, koriste se oznake qi (i = 1, 2, . . . , 6) i nazivgeneralisane koordinate:

- na kraju i . . . q1, q2, q3- na kraju k . . . q4, q5, q6





vorna pomeranja i vorne sile

vorne sile u lokalnom sistemu obeleavaju se takoe na dvanaina

- na uobiajen nain . . . vor i: Ni, Ti,Mi, vor k: Nk, Tk,Mk- alternativno, sa oznakom Ri . . . vor i: R1, R2, R3, vor k:R4, R5, R6

Napominje se da su pozitivni smerovi vornih sila i vornihpomeranja, na oba kraja tapa, u pozitivnim smerovimalokalnih osavorna pomeranja i vorne sile, izraene u globalnom sistemuobeleavaju se sa gornjim indeksom (..): qi , R

i , (i=1,2 . . . ,6)




Lokalni i globalni koordinatni sistem

Sile i pomeranja na krajevima tapa izraene u (a) lokalnom i(b) globalnom koordinatnom sistemu





vorna pomeranja i vorne sileVektori vornih pomeranja i vornih sila na krajevima tapatipa k, izraeno u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se uobliku vektora kolona:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviiukvkk

R =

R1R2R3R4R5R6

=

NiTiMiNkTkMk




Osnovni tipovi tapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima tapa izraene u lokalnomkoordinatnom sistemu





Matrica krutosti tapa u ravniPrema tome, tap tipa k ima est stepeni slobode: po tri usvakom vorutap tipa g ima pet stepeni slobode: tri u voru i, kao i dva uvoru gProst tap ima samo dva stepena slobode: po jedno pomeranjeu svakom voruRedosled vornih pomeranja (kao i vornih sila) u vektorimavornih pomeranja q i sila R uvek je isti





Matrica krutosti tapa u ravniVeza izmeu vektora vornih sila i vornih pomeranja prikazujese u obliku

R = K q (1)

gde je sa K oznaena matrica krutosti tapaRelacija (1) pretstavlja osnovnu jednainu neoptereenog tapaMatrica K moe da se posmatra kao preslikavanje vektoravornih pomeranja q na vektor vornih sila R





Matrica krutosti tapa u ravniZa tap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica krutosti K jekvadratna matrica reda 6

K =

k11 k12 k1j k16k21 k22 k2j k26...

......

...ki1 ki2 kij ki6...

......

...k61 k62 k6j k66





Matrica krutosti tapa u ravni

Ako se relacija (1) R = K q napie u razvijenom obliku:

R1R2...Ri...R6

=

k11 k12 k1j k16k21 k22 k2j k26...

......

...ki1 ki2 kij ki6...

......

...k61 k62 k6j k66

q1q2...qj...q6

vidi se da je sila Ri jednaka

Ri =

6j=1

kij qj (2)





Matrica krutosti tapa u ravni

Iz relacije (2) dobija se fiziko znaenje elemenata matricekrutosti:

Element kij matrice krutosti pretstavlja silu Ri usledpomeranja qj = 1, pri emu su sva ostala pomeranjajednaka nuli qi = 0, i 6= j

To znai da elementi kolone j matrice krutosti:k1j , k2j , . . . , k6j pretstavljaju sile R1, R2, . . . , R6 usledjedininog vornog pomeranja, odn. usled stanja qj = 1





Matrica krutosti tapa u ravniMatrica krutosti je simetrina: kij = kji usled stava ouzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnostipomeranja)Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima tapa 3su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede izuslova ravnoteeKada se totalno ukljetenom i neoptereenom tapu zadageneralisano pomeranje qj = 1 i odrede reakcije oslonaca Ri(i=1,2,. . . , 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljajuelemente kolone j matrice krutosti





Matrica krutosti tapa u ravniAko se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranjaqj , j=1,2,. . . ,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a timei svi elementi matrice KOvakav nain odreivanja matrice krutosti tapa naziva sedirektan postupak (metoda)Relacija (1) je osnovna jednaina neoptereenog tapaAko je tap optereen du svoje ose, uticaj optereenja seprikazuje preko vektora ekvivalentnog optereenja





Vektor ekvivalentnog optereenjaEkvivalentno optereenje je koncentrisano optereenje nakrajevima tapa kojim se zamenjuju spoljanji uticaji du osetapaEkvivalentno optereenje Q u vorovima datog nosaa jednakoje negativnim vrednostima reakcija oslonaca i ukljetenjadeformacijski odreenog sistema datog nosaaVektor ekvivalentnog optereenja tapa jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca optereenog tapa kome suspreena pomeranja krajeva




Vektor ekvivalentnog optereenja





Vektor ekvivalentnog optereenjaKao to je reeno, nepoznata vorna pomeranja nosaaodreuju se iz uslova ravnotee sila u vorovimaSile u vorovima potiu od spoljanjeg optereenja, t.j. od:

- spoljanjih sila koje deluju direktno u vorovima- ekvivalentnog optereenja u vorovima koje zamenjujeraspodeljeno ili koncentrisano spoljanje optereenje du osetapova

Osim toga, prema vezi (1), nepoznate vorne sile prikazuju sepreko matrice krutosti i nepoznatih vornih pomeranja





Vektor ekvivalentnog optereenjaSve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnomsistemu (vri se transformacija iz lokalnog u globalni sistem)Posle odgovarajueg sabiranja po pojedinim vorovimanosaa dolazi se do globalnih uslova ravnotee celog nosaa:

K q = S (3)

(sa gornjim indeksom (..) oznaene su matrice i vektori uglobalnom sistemu OXYU jednaine ravnotee (3) uneti su odgovarajui granini usloviReavanjem jednaina (3) dobija se vektor nepoznatih vornihpomeranja u globalnom sistemu




Matrice krutosti tapova u ravni

Tri tipa tapova u ravni

tapovi nosaa u ravni, u zavisnosti od veza na krajevima,mogu da budu

- tapovi tipa k . . . kruto vezani na oba kraja (i,k)- tapovi tipa g . . . na kraju i je kruta veza, a na kraju g zglobnaveza

- prosti tapovi . . . na oba kraja (i, k) je zglobna veza (i nemaraspodeljenih sila du tapa)

Podrazumeva se da vai linearna teorija tapa




Osnovni tipovi tapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima tapa izraene u lokalnomkoordinatnom sistemu





Tri tipa tapova u ravniNa zglobnom kraju tapa obrtanje nije nepoznata veliina,jer moe da se odredi iz uslova da je momenat savijanja uzglobu (odn. blisko zglobu na strani tapa) jednak nuliProst tap je zglobno vezan na oba kraja i nema sila du svojeoseZbog toga je izloen samo uticaju osnovnog ravnotenogsistema sila na svojim krajevima: ~Ni = ~NkNepoznata pomeranja na krajevima prostog tapa supomeranja ui i uk u pravcu ose tapa





Matrica krutosti prostog tapaPosmatra se prost tap konstantnog poprenog preseka F ,modula elastinosti E i duine `Koordinatni poetak lokalnog sistema xy je u voru ivorna pomeranja i vorne sile su, redom, q1, q2, kao i R1, R2





Matrica krutosti prostog tapaVektori vornih pomeranja i vornih sila dati su sa

q =

{q1q2

}=

{uiuk

}R =

{R1R2

}=

{NiNk

}Veza izmeu vornih sila i vornih pomeranja (1), u ovomsluaju, je {

R1R2

}=

[k11 k12k21 k22

] {q1q2

}





Matrica krutosti prostog tapa

Element matrice krutosti kij je sila na mestu i usledjedininog pomenranja uj = 1, pri emu su sva ostalapomeranja krajeva tapa jednaka nuli

Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostogtapa usled pomeranja q1 = 1 i q2 = 0, dok su elementi drugekolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q1 = 0i q2 = 1





Matrica krutosti prostog tapa

Promena duine tetive (prostog) tapa jednaka je razlicipomeranja krajeva tapa:

` = q2 q1Dilatacija ose tapa je jednaka

=`

`=q2 q1`

Imajui u vidu relaciju teorije elastinosti = E , normalnasila u prostom tapu data je sa

N = F = EF = EF`

`=EF

`(q2 q1)





Matrica krutosti prostog tapaSile na krajevima prostog tapa R1 i R2 jednake su normalnimsilama, sa odgovarajuim znakom:

- normalne sile su pozitivne za zategnut tap- vorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalneose (na oba kraja tapa)





Matrica krutosti prostog tapaPrema tome, dobija se

R1 = N = EF`

(q1 q2)

R2 = N =EF

`(q2 q1)

Napisano u matrinom obliku, ove relacije postaju:{R1R2

}=EF

`

[1 11 1

] {q1q2

}





Matrica krutosti prostog tapaImajui u vidu osnovnu relaciju za neoptereen tap R = Kq,matrica krutosti prostog tapa data je u obliku

K =EF

`

[1 11 1

](4)

Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) tapa jekvadratna matrica reda 2Kao to se vidi, matrica krutosti je simetrina i singularna(determinanta je jednaka nuli):

detK = 0




Matrica krutosti prostog tapa u ravni





Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapaOsnovna jednaina optereenog tapa data je u obliku

R = K q Q (5)

gde je Q vektor ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca optereenog tapa kome suspreena pomeranja krajevaProst tap moe da bude optereen silama u pravcu ose tapa iuticajem temperaturne promene du ose tapa t





Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapaU sluaju temperaturne promene du ose tapa dodatnadilatacija je data sa

t = t t

gde je t koeficijent temperaturne dilatacije materijala tapaPrema tome, normalna sila je data u obliku

N = EF = EF (`

`+ t t) =

EF

`(q2 q1) + EFt t





Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapaImajui u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila nakrajevima tapa u matrinoj analizi, dobija se{

R1R2

}=EF

`

[1 11 1

] {q1q2

} EFt t

{ 11

}Prema tome, vektor ekvivalentnog optereenja aksijalnooptereenog tapa, za sluaj temperaturne promene u ositapa, dat je sa

Q = EFt t

{ 11

}(6)




Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapa

Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapa za uticajtemperaturne promene u osi tapa:

Q = EFt t

{ 11

}





Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapaUkoliko je tap optereen proizvoljnim raspodeljenimoptereenjem u pravcu ose tapa, komponente vektoraekvivalentnog optereenja dobijaju se kao reakcije obostranooslonjenog tapa, sa promenjenim znakom:





Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapaProst tap kod koga su spreena pomeranja u pravcu ose tapana oba kraja je jednom statiki neodreen nosaReakcije oslonaca se odreuju primenom metode silaAko je aksijalno optereenje konstantno, px(x) = p = const,reakcije veza su jednake 1/2 rezultante optereenja: p`/2, paje vektor ekvivalentnog optereenja u tom sluaju jednak

Q =

{Q1Q2

}=

{ p`2p`2

}




Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapa

Vektor ekvivalentnog optereenja prostog tapa za uticajkonstantnog aksijalnog optereenja px(x) = p = const:

Q =p`

2

{11

}




Sadraj






Reetkasti tapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem

Osnovna jednaina neoptereenog, (1), ili optereenog tapa,(5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemuLokalni sistem tapa ixyz ima koordinatni poetak u jednomvoru, voru i, osa x je u pravcu ose tapa, u smeru i k, dokje osa y upravna na tap u ravni nosaa, tako da ose xyz inedesni koordinatni sistemTopologija nosaa (u ovom sluaju ravne reetke) odreena jeu odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desneorjentacije, pri emu je XY ravan nosaa





vorne sile i vorna pomeranja prostog tapa prikazani u(a) lokalnom i (b) globalnom sistemu





Lokalni i globalni sistemZa razliku od vektora vornih sila i pomeranja u lokalnomsistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravculokalne ose x), ti isti vektori izraeni u globalnom sistemuimaju po etiri komponente, po dve u svakom voru upravcima globalnih osa X i Y :

q =

q1q2q3q4

R =

R1R2R3R4





Transformacija vorne sile R1 u voru i iz globalnog u lokalnisistem:

R1 = R1 cos+R

2 sin

i obratno, iz lokalnog u globalni sistem:

R1 = R1 cos R2 = R1 sin





Lokalni i globalni sistemUgao koji definie poloaj lokalne ose tapa x u odnosu naglobalni sistem XY odreen je sa orjentisanim uglom izmeuglobalne ose X i lokalne ose x: = (X,x)Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R1 i R2 napravac lokalne komponente vorne sile, dobija se

R1 = R1 cos+R

2 sin

Slino se dobija i za sile u voru k:

R2 = R3 cos+R

4 sin





Lokalni i globalni sistemNapisano u matrinom obliku dobija se relacija

{R1R2

}=

[cos sin 0 0

0 0 cos sin

] R1R2R3R4

ili u skraenom obliku:

R = T R (7)





Lokalni i globalni sistemSa T je oznaena matrica transformacije:

T =

[cos sin 0 0

0 0 cos sin

](8)

Analogno izrazu (7) dobija se i za vorna pomeranja

q = T q (9)

Matrica transformacije prostog (reetkastog) tapa pretstavljatransformaciju vornih veliina (sila i pomeranja) iz globalnogu lokalni sistem





Lokalni i globalni sistemImajui u vidu razlaganje sila u voru i, relacije kojima seprikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnomsistemu, za vor i, date su sa:


Analogne relacije vae i za vor k:






Lokalni i globalni sistemNapisano u matrinom obliku, ove relacije postaju

R1R2R3R4

=

R1 cosR1 sinR2 cosR2 sin

=

cos 0sin 0

0 cos0 sin

{ R1R2}

Ova relacija moe da se napie u obliku

R = T T R (10)

i pretstavlja transformaciju vornih sila iz lokalnog u globalnisistem





Lokalni i globalni sistemAnalogna relacija vai i za vorna pomeranja

q = T T q

Posmatra se osnovna jednaina neoptereenog tapa, odn.veza izmeu generalisanih (vornih) sila i generalisanihpomeranja u lokalnom sistemu, (1):

R = K q

Unosei u ovu relaciju vezu (9): q = T q i mnoei sa levestrane sa transponovanom matricom transformacije T T , dobijase

T T R = T T KT q (11)






Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor vornih sila uglobalnom sistemu, dat sa (10): R = T T R, tako da sedobija:

R = T T KT q (12)

Relacija (12) moe da se napie u obliku

R = K q (13)

gde je K matrica krutosti tapa u globalnom sistemu

K = T T KT (14)






Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jednainuneoptereenog prostog tapa u globalnom sistemuAko je prost tap optereen du svoje ose aksijalnimoptereenjem ili temperaturom u osi tapa, osnovna jednainaoptereenog tapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5):

R = K q Q (15)

Vektor ekvivalentnog optereenja Q pretstavlja vorne sile kojezamenjuju optereenje du ose tapa, izraene u lokalnomsistemu tapa





Lokalni i globalni sistemPrema tome, i za vektor ekvivalentnog optereenja vaerelacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem:

Q = T T Q (16)

Ako se jednaina (15) pomnoi sa leve strane satransponovanom matricom transformacije tapa, dobija se

T T R = T T KTq T T Q

odn. dobija se osnovna jednaina optereenog tapa uglobalnim koordinatama

R = K q Q (17)Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Lokalni i globalni sistemMatrica krutosti prostog tapa u globalnim koordinatama dataje sa (14)Ako se uvedu oznake = cos, = sin, matrica krutosti(14) moe da se prikae u obliku:

K = T T KT =[k kk k

]gde je

k =EF

`

[2 2

]






Vektor ekvivalentnog optereenja Q, dat sa (16), dobija se uobliku

Q = T T Q =

0 00 0

{ Q1Q2}

=

Q1Q1Q2Q2


Metoda konacnih elemenataNapomene o predmetuUvodne napomene o MKERacunski modeli realnih problema

Rekapitulacija matricne analize konstrukcijaOsnovna ideja matricne analizeReetkasti tapovi u lokalnom sistemuReetkasti tapovi u globalnom sistemu

mke-1

Documents

Transcript of mke-1