Mk ed1 ed_9_ekf
-
Upload
christos-loizos -
Category
Education
-
view
3.095 -
download
0
Transcript of Mk ed1 ed_9_ekf
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
1Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2)
[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , . Αν:
η f είναι συνεχής στο , και
f ( ) f ( )
Τότε, για κάθε αριθμό μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x ,
τέτοιος ώστε 0f (x ) .
(Μονάδες 10) Α2.
1) Διατυπώστε το Θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα
κλειστό διάστημα , .
(Μονάδες 3)
2) Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;
(Μονάδες 2)
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή, ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:
α) Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα
β) Αν f ,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f ) , τότε ορίζεται και η (h g) f
και αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες .
γ) Μία συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική
παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.
δ) Αν οι συναρτήσεις f ,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει f (x) g(x) , τότε
0 0x x x xlim f (x) lim g(x)
.
ε) Αν 0x x
lim f (x)
, τότε f (x) 0 κοντά στο 0x .
(Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : με 0 f (x) 1 για κάθε x και η
συνάρτηση 2
f (x)g(x)
f (x) 1
.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
2
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .
(Μονάδες 5)
2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα και 1-1.
(Μονάδες 5)
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2f (g(x 1)) f (g(4x 2x)) έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και
μια αρνητική ρίζα.
(Μονάδες 10)
4. Να επιλυθεί η ανίσωση 3 2(f g)(x 4) (f g)(3x ) .
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Γ
Έστω η συνάρτηση xf (x) ln(e 1) x .
1. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 3)
2. Να βρείτε το πρόσημο της f . (Μονάδες 4)
3. Μελετήστε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. (Μονάδες 5)
4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και βρείτε την 1f (x)
.
(Μονάδες 4)
5. Αν 1
h(x) lnx
, αποδείξτε ότι υπάρχει 0x 0 τέτοιο ώστε 0 0f (x ) h(x ) .
(Μονάδες 5)
6. Nα βρείτε το όριο:
3 2
2x
f (1)x x 2lim
f (2)x x 1
.
(Μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f : έτσι ώστε να ισχύει 3f (x) 2f(x) x 1 για κάθε x .
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
(Μονάδες 3)
2. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το και στη συνέχεια να βρείτε την
αντίστροφή της.
(Μονάδες 5)
3. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με το άξονα x΄x .
(Μονάδες 3)
4. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες 4)
5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 1 .
(Μονάδες 4)
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
3
6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε 0x .
(Μονάδες 6)
Καλή επιτυχία
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
2Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 2) [Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο v v 1
1 1 0P x x x x
ισχύει
0
0x xlim P x P x
, με 0x .
Μονάδες 10
2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] τουπεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
3. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):
α) Δίνεται το παρακάτω σχήμα τότε
x 4
g xlim .
f x
Μονάδες 2
β) Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη.
Μονάδες 2
γ) H f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση
y f(x) έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.
Μονάδες 2
δ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο σύνολο 1,4 με f x 0 για κάθε
x 1,4 και f 3 2 . Τότε ισχύει f x 0 για κάθε x 1,4 .
Μονάδες 2
ε) Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει
1 1f 2015 4, f 1949 1 . Τότε δεν υπάρχει 0x τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 .
Μονάδες 2
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 3
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει
2 2 2f x 2f x x x x για κάθε x και f 0 1 .
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x f x x , x διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Μονάδες 10
2. Να αποδείξετε ότι 2f x x 1 x .
Μονάδες 5
3. Να βρείτε τα όρια:
α)
x 0
f x 2 xlim
x
β)
xlim f x
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Γ
1. Δίνεται η συνάρτηση
22 ln x , 0 x ef x
x ln x e 1 , e x
α) Να βρείτε τον αριθμό έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5
β) Αν 3
e , τότε η εξίσωση f x 6
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα 1,2e .
Μονάδες 5
2. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: f x
f e 4ln x 3 , για κάθε x 0
και 2f x 4f f e ln ln x 3 1 για κάθε
3/4x e .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
Μονάδες 5
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .
Μονάδες 3
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 3
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2014f f x f e έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο
1,1
e
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x x1 ,
1. Να δείξετε ότι f (x) 0 για κάθε x .
Μονάδες 4
2. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο 0, .
Μονάδες 3
3. Να δείξετε ότι 1
f ( x)f (x)
(Μονάδες 2) και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
(Μονάδες 5).
Μονάδες 7
4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς , ισχύει 2 21 1 1 να
αποδείξετε ότι 0 .
Μονάδες 5
5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f .
Μονάδες 6
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:
Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο
Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
3Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3) [Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε
είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Μονάδες 10
2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;
Μονάδες 5
3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):
(1) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f δεν είναι
συνεχής στο 0x .
(2) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x ,τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη
στο 0x .
(3) Αν δεν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε, δεν μπορεί
να υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο 0x .
(4) Αν υπάρχουν στο τα όρια0x x
lim f (x) και 0x x
lim(f (x) g(x)) , τότε υπάρχει και
το όριο της g στο 0x .
(5) Αν xf (x) x , x 0 , τότε
x 1f (x) x x
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : και η συνάρτηση g : ώστε
για κάθε x να ισχύει η σχέση: f f (x) 2g(x) x .
1. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο . Μονάδες 5
2. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της h(x) f (x) g(x) .
Μονάδες 5
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 3
3. Έστω 0x με 0 0f (x ) x .
α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC τέμνονται σε ένα μόνο
σημείο. Μονάδες 5
β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 0 0f (f (x x 2)) x x 2f (x x 2) 2 .
Μονάδες 5
γ) Να λύσετε την ανίσωση: 0 0f (f (ln x x 1)) ln x 1 x .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση 2 2 x
1 x 1, -1 x<0
xf (x)1
ln(x e) 2 ( )e , x 02
όπου , .
1.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 0 , να βρείτε τις τιμές των και .
Μονάδες 8
2. Αν = 1 και =0 ,
α) Να υπολογίσετε το όριο x 1
f (x) 1lim
x 1.
Μονάδες 5
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον θετικό ημιάξοναOx σε ένα
τουλάχιστον σημείο.
Μονάδες 6
γ) Να υπολογίσετε το όριο x 0
1lim xf (x)
x.
Μονάδες 6
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 3
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , της οποίας η γραφική παράσταση fC
διέρχεται από το σημείο Α(0,1).
1. α) Να υπολογίσετε το2
x 0
f (x ) 1lim
x
Μονάδες 4
β) Να αποδείξετε ότι 2
x 0
f (2x) 1lim 4f (0)
x
Μονάδες 4
2. Αν επιπλέον για την f ισχύει, 2 2f (x) 4f (x) x 3 για κάθε x , να βρείτε τον
τύπο της.
Μονάδες 7
3. Αν2f (x) 2 x 1, x
α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της fC , οι οποίες διέρχονται από το
σημείο 3
0,2
.
Μονάδες 6
β) Έστω σημείο Μ της fC με θετική τετμημένη. Αν η τετμημένη του Μ
απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο με ταχύτητα 2cm / sec , να βρείτε το
ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ.
Μονάδες 4
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:
Το θέμα Β επιμελήθηκε ο Αρετάκης Δημήτριος, Μαθηματικός- MSc του ΓΕΛ Καστριτσίου Πατρών.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο
Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
4Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3)
[Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xf x είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει:
1
2 xf x .
Μονάδες 10
2.Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
3.Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):
α) Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x0, αλλά δεν είναι συνεχής στο x0, τότε
δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.
Μονάδες 2
β) Αν για την 1 1 συνάρτηση f ισχύει f x f 1 x f κx λ για κάθε x ,
τότε 0κ .
Μονάδες 2
γ) Αν για μια συνάρτηση f συνεχή στο α, β ισχύουν limx α
f x
και
limx β
f x
,τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο α, β .
Μονάδες 2
δ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο
καμπής.
Μονάδες 2
ε) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ισχύει 1 0f , τότε το 1f
είναι πάντα τοπικό ακρότατο.
Μονάδες 2
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 4
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτησηg : (0, ) , με:
g x x ln x cx 1
όπου c . H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της
(e,g e ) είναι παράλληλη στην ευθεία:
: x y 2015 0
α) Να βρείτε τον αριθμό c.
Μονάδες 5
β) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 7
γ) Να βρείτε τα όρια x 0
xlim g
και x
glim x
.
Μονάδες 7
δ) Με τη βοήθεια του Συνόλου Τιμών της g , ή με οποιονδήποτε άλλο ενδεδειγμένο
τρόπο, μπορείτε να αποδείξετε ότι:
x x 1x e
ισχύει για κάθε x 0 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : , δύο φορές παραγωγίσιμες των οποίων οι
γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο ίδιο σημείο του άξονα y y και ισχύει ότι:
f x g x , για κάθε x (1) και
1
2 xf (x)g(x) x x e για κάθε x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει k , ώστε:
f x g x kx , για κάθε x
Μονάδες 8
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 4
β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο τις ευθείες ε1, ε2
αντίστοιχα με 1 1x και
1 2x αποδείξτε 1 2x 0x .
Μονάδες 8
γ) Αν η g(x) έχει δύο ρίζες τις 1 2x , x με 1 2x x του προηγουμένου θεωρήματος,
να αποδείξετε ότι εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο .
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) η οποία είναι συνεχής στο (0, ) με f (2) ln 2 ,
1f e
e
και για κάθε x (0,1) (1, ) ισχύουν τα εξής:
η f είναι παραγωγίσιμη
xf (x) 1 | x(x 1) | f (x) 0
1
f (x)x
1. Να δείξετε ότι f (1) 1 .
Μονάδες 5
2. Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των συναρτήσεων F(x) (x 1)f (x) και G(x) ln x
είναι παράλληλες σε όλα τα σημεία με ίδια τετμημένη 0 (0,1) (1 )x , .
Μονάδες 4
3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (Μονάδες 4) και να εξετάσετε την
παραγωγισιμότητά της στο 0x 1 (Μονάδες 2).
Μονάδες 6
Αν είναι
lnx, x 1
f (x) x 1
1, x 1
, τότε:
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 4 από 4
4. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) (Μονάδες 4) και ότι f (x) 1
για κάθε x 1 (Μονάδες 2).
Μονάδες 6
5. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και (x) με
x
x 1(x) 1
e
, τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο στο διάστημα [1, ) .
Μονάδες 4
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3)
[Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε
όλο το Δ.
Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε
όλο το Δ. Μονάδες 9
Α2.
1) Να αναφαίρετε τις πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f πουορίζεται σε ένα διάστημα Δ.
Μονάδες 2
2) Που αναζητούμε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;
Μονάδες 2
3) Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ΄ένα διάστημα Δ;
Μονάδες 2
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι
σωστή, ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:
α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης
f στο διάστημα 1,10 .
1) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα 1,1 , 4,8 . Σ Λ
2) Η f είναι κοίλη στα 1,0 , 2,5 και 6,7 . Σ Λ
3) Τα -1,4,10 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων. Σ Λ
4) Τα 0,2,5,6,7 είναι θέσεις σημείων καμπής. Σ Λ
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 4
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα , και έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο , ισχύει f ( )f ( ) 0 . Σ Λ
γ) Αν f ,g δύο συναρτήσεις ορισμένες κοντά στο 0x , και ισχύουν:
α) f (x) g(x) , κοντά στο 0x και β) 0x x
lim f (x)
, τότε θα ισχύει:
0
limg( )x x
x
. Σ Λ
δ) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η συνάρτηση f δεν
παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο
διάστημα Δ. Σ Λ
ε) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό
σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της
1f . Σ Λ
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2ln x , x 0 .
1) Να μελετηθεί και να γίνει η γραφική της παράσταση. Μονάδες 10
2) Αποδείξτε ότι ισχύει
2x 1
2e x
, για κάθε x 0 . Μονάδες 3
3) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x k 2e x για τις διάφορες τιμές του
k 0 . Μονάδες 5
4) Βρείτε την τιμή του ώστε η συνάρτηση
2ln x, x 0
f (x)g(x)
, x 0
, να είναι
συνεχής. Μονάδες 3
5) Για 1 , αποδείξτε ότι η συνάρτηση g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,e) .
Μονάδες 4)
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 4
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:
3f (x) 6f(x) 3x 2017 , για κάθε x .
1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3
2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη. Μονάδες 3
3) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι όλο το και βρείτε
τον τύπο της 1f .
Μονάδες 6
4) Να βρείτε τα όρια: α) x 670lim f (x)
και β)
1
4x
f (x) xlim
x
.
Μονάδες 6
5) Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 1h(x) f (x) στο σημείο
A(0,h(0)) και αποδείξετε ότι αυτή ΄΄διαπερνά΄΄ την καμπύλη της γραφικής
παράστασης της h (ή ότι το σημείο Α είναι σημείο καμπής). Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 1,4 .
Αν το σύνολο τιμών της f είναι το 2,3 και f (1) 2 , f (4) 1 τότε:
1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (1,4) , έτσι ώστε 0f (x ) 0 .
Μονάδες 3
2) Να αποδείξετε ότι η fC δέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτόμενες και έχει
ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής.
Μονάδες 5
3) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ) : y x 2 τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον
σημείο με τετμημένη στο 1,4 .
Μονάδες 4
4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,4) , έτσι ώστε η εφαπτομένη
της fC στο M ,f( ) να διέρχεται από το σημείο Α(0,2).
Μονάδες 5
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 4 από 4
5) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον 1 2, (1,4) με 1 2 έτσι ώστε
1 2
1 1 3
f ( ) 2f ( ) 2
Μονάδες 3
6) Ένα σημείο Κ κινείται στην ευθεία του ερωτήματος (3), η οποία τέμνει τον
άξονα x x στο Μ και Λ η προβολή του Κ στον άξονα x x . Το σημείο Λ
απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων O(0,0) με ρυθμό 1 / secm . Να βρείτε
το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΚΛΜ τη χρονική στιγμή 0t που η
τετμημένη του Κ είναι ίση με τη τεταγμένη του.
Μονάδες 5
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 4
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
6Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ
[Κεφάλαια 1, 2, 3 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο
Δ, να αποδείξετε ότι:
α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G x F x c ,c είναι παράγουσες της f
στο Δ και
β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G x F x c , c .
Μονάδες 8
2. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή
παράγουσα της f στο Δ;
Μονάδες 4
3. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα
σημεία της f ;
Μονάδες 3
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή
με Λάθος αν είναι λανθασμένη:
α) Εάν , τότε το f (x)dx
είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που
βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που
βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.
β) 1
2
u
uf g(x) g (x)dx f (u)du
, όπου f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x) ,
du g (x)dx και 1u g( ) , 2u g( ) .
γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , και f (x) 0 για κάθε x , ,
τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , στον
άξονα x x και τις κατακόρυφες ευθείες x και x , ισούται με f (x)dx
.
δ) Αν 0x x
lim f (x) 0
και f (x) 0 κοντά στο 0x , τότε 0x x
1lim
f (x) .
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 4
ε) Έστω μια συνάρτηση fπαραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα
σημείο του 0x , στο οποίο η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0 στο 0( , x ) και f (x) 0 στο 0(x , ) , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό ελάχιστο
της f.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1, για την οποία ισχύουν:
f (e) 0
f (x)
xf (x)
f (x) ex
, για κάθε x 1.
Β1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) x ln lnx .
Μονάδες 5
Β2. Να βρείτε τη μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της. Μονάδες 8
Β3. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 1
lnx ,x 1,m
έχει ακριβώς μία λύση για κάθε
m 0 . Μονάδες 5
Β4. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2f (x 2) f (3x) 3x x 2
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : ,για την οποία ισχύει:
2
1g ' x
3g x
για κάθε x όπου μία σταθερά στο σύνολο .
Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της , στο σημείο της A(0,g(0)) έχει
εξίσωση:
x 2018y 2018 0
α) Να βρείτε τον αριθμό .
Μονάδες 4
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 4
β) Να αποδείξετε ότι 3g x 2015 g x x 2016 για κάθε x .
Μονάδες 5
γ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι το , να αποδείξτε ότι η συνάρτηση g
αντιστρέφεται και έχει τύπο 1 3g (x) x 2015x 2016 .
Μονάδες 4
δ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της gC .
Μονάδες 6
ε) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
1
2
g (x)f (x)
x g(x) (g (x) 2015)
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνάρτηση f με τύπο *lnx
f(x) ,x
για την οποία ισχύει:
f (x) x 1 για κάθε x 0
Δ1. Να δείξετε ότι 1. Μονάδες 4
Δ2. Για 1.
(α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 4
(β) Να δείξετε ότι 1
f (x)e
για κάθε x 0 .
Μονάδες 3
(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2ln x 2 x 0 , έχει το πολύ μία ρίζα στο 0, , για κάθε
1
e .
Μονάδες 4
(δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,e τέτοιο ώστε 2
21 ln .
e e
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 4 από 4
Μονάδες 5
(ε) Αν η αντίστροφη της f στο 0,e είναι συνεχής να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από την 1fC , τους άξονες x x , y y και την ευθεία
1x .
e
Μονάδες 5
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:
Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-MSc του 2ου ΓΕΛ Ηρακλείου
Κρήτης.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
7o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
7Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα
σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
Αποδείξτε ότι αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο 0 0(α,x ) (x ,β) , τότε το 0f(x ) δεν είναι
τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β).
Μονάδες 10
2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση
της f στο Δ;
Μονάδες 5
3.Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ), αν είναι σωστή,
ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:
1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού
της, τότε 0
0 00
h x
f (x h) f (x )f (x ) lim
h
.
2) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού
της, τότε η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό.
3) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β]. Αν f(α)f(β)>0 , η εξίσωση
f(x)=0 δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β).
4) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και
δεν είναι 1-1, τότε υπάρχει 0x στο οποίο η γραφική παράσταση της f έχει
οριζόντια εφαπτομένη.
5) Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x και τις
ευθείες x=ακαι x=β είναι β
αE( ) f(x) dx .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο 0 με f (0) 1 και για κάθε x, y ισχύει:
y x
f (x) f (y)f (x y)
e e .
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
7o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 3
1. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x , με
00 0x
1f (x ) f (x )
e .
Μονάδες 8
2. Αποδείξτε ότι ο τύπος της f είναι x
xf (x)
e .
Μονάδες 4
3. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 6
4. Αν Ε είναι το εμβαδόν της fC , του άξονα x΄x και των ευθειών x=2 & x=3, αποδείξτε
ότι ισχύει 3 2
3 2E
e e .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:
x 1
f x+2 -5lim = 6
x-1
1. Να αποδείξετε ότι:
α) f 3 =5και β) f 3 =6
Μονάδες 6
2. Να υπολογίσετε το όριο x+2 - f(x)
limημ(x-3)x 3
.
Μονάδες 7
3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) = xf(x)-3x-7συνx ,
x τέμνει τον άξονα x x τουλάχιστον σε ένα σημείο.
Μονάδες 5
4. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : , για την οποία ισχύει
g (x) f (3) , για κάθε x . Αποδείξτε ότι η εξίσωση 6g(x) = x , έχει το πολύ μία ρίζα
μεγαλύτερη του 1.
Μονάδες 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
7o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 3
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : έτσι ώστε 3f (x) f (x) 2x .
α) Να βρείτε το πρόσημο της f .
Μονάδες 3
β) Βρείτε τις ρίζες και τη μονοτονία της f .
Μονάδες 3
γ) Αποδείξτε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και εξετάστε την ως προς την
κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 5
δ) Αποδείξτε ότι για κάθε x>0 ισχύει: xf (x) f (x) 2x .
Μονάδες 6
ε) Αν η f έχει σύνολο τιμών το να βρείτε την αντίστροφή της.
Μονάδες 3
στ) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=0 και x=5.
Μονάδες 5
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:
Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Κωνσταντόπουλος Λεωνίδας, Μαθηματικός-MSc του Γυμνασίου
Βάρδας Ηλείας.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
8o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
8Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του
Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,
να αποδείξετε ότι: 0f '(x ) 0.
Μονάδες 8
2. Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση 1-1;
Μονάδες 3
3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού
της;
Μονάδες 4
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή
με Λάθος αν είναι λανθασμένη.
α). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f (0) 0 , τότε το 0 είναι θέση
τοπικού ακρότατου.
β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και f g τότε υποχρεωτικά ισχύει
f g g f .
γ) Αν 0x x
lim f (x)
ή , τότε 0x x
lim f (x)
.
δ) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως
αύξουσα στο Δ, τότε υποχρεωτικά f '(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.
ε) f (x) g '(x) dx f '(x) g(x) dx f (x) g(x)
όπου f', g' είναι συνεχείς συναρτήσεις
στο [ , ] .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται συνάρτηση f , με 2x 5f (x) e (x 1) .
1. Να βρεθεί η μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 5
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
8o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 3
2. Να αποδείξετε, ότι η γραφική παράσταση fC , της f , τέμνει τον άξονα x x , σ’ ένα
ακριβώς σημείο.
Μονάδες 5
3. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 3g (x) 2g(x) 5f (x) , για κάθε
x , να αποδείξετε ότι:
i. H g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .
Μονάδες 5
ii. Η γραφική παράσταση gC , της g , τέμνει τον άξονα x x στο ίδιο σημείο
με την fC .
Μονάδες 5
4. Να λυθεί η ανίσωση 2g(f (x)) g(e ) .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση 2f (x) 3f (x) x 0, x 2, . Αν
για κάθε x 2, ισχύει f (x) 1 , τότε:
1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 2, .
Μονάδες 5
2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2, .
Μονάδες 5
3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 5
4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(4,f (4)) .
Μονάδες 5
5. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 2, , ισχύει 5f (x) x 1 .
Μονάδες 5
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
8o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 3
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση x 2f x e x 4x 6 και η παραγωγίσιμη συνάρτηση
g : , έτσι ώστε να ισχύουν 2
g 1 2xg x g x 1 f x 6 0 για κάθε
x και
h 0
g 1 2h g 1 hlim 0
h
.
Να αποδείξετε ότι :
1. g 1 0
Μονάδες 5
2. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC για x .
Μονάδες 3
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
Μονάδες 3
3. Να βρείτε σημείο Α της hC με h x f x ώστε το σημείο B 1,0 να απέχει
την ελάχιστη απόσταση από την hC και να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της hC
είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ
Μονάδες 7
4. Αν 02
και
g
g 0
f x dx 0
, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
0 0 0 0x 0, : g x x g x
Μονάδες 7
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
9o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
9Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα . Αν
η f είναι συνεχής στο και
f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του
τότε, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .
Μονάδες 8
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε
γεωμετρικά.
Μονάδες 4
Α3. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο . Πότε η ευθεία y x λέγεται ασύμπτωτη
της γραφικής παράστασης της f στο ;
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι
σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα
, , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα , όπου
x xlim f (x) lim f (x)
.
β) Αν μία συνάρτηση είναι κυρτή σ΄ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της fC σε
κάθε σημείο του βρίσκεται ¨πάνω¨ από την fC , με αξαίρεση το σημείο επαφής
τους.
γ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα , . Αν G είναι μία
παράγουσα της f στο , , τότε f (x)dx G( ) G( ).
δ) Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα Δ και f (x) 0
σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι ¨1-1¨ στο Δ.
ε) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : , f (x) 0 για κάθε x , . Τότε
η f παρουσιάζει ελάχιστο στο το f ( ) .
Μονάδες 10
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
9o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 2 από 3
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση xf(x) e 4 x .
1. Αν ισχύει f (x) 1 για κάθε x , να αποδείξετε ότι1
4 .
Μονάδες 6
2. Αν1
4
i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση
xf e x 2 1 έχει ακριβώς 2 πραγματικές ρίζες.
Μονάδες 10
ii) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη της fC στο .
Μονάδες 3
iii) Αν , (0, ) να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) 1 f ( ) 1
0x 3 x 1
έχει ακριβώς
μια ρίζα στο 1,3 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : , με
1
x 1 x
0
f (x) e e f (x)dx , για κάθε x .
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι xf (x) e 1 , x .
Μονάδες 5
2. Να αποδείξετε ότι η g(x) f(x) x αντιστρέφεται και να βρείτε το πρόσημο της
1g.
Μονάδες 8
3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από την γραφική
παράσταση της συνεχούς συνάρτησης 1g, του άξονα x x και τις ευθείες x 0 ,
x e .
Μονάδες 5
4. Αν για μια συνάρτηση *h : , η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει
h(2)
h(1)
( ) 0f x dx , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1,2 έτσι ώστε
h ( ) 0.
Μονάδες 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
9o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 3 από 3
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση f : (0, ) , με f (1) 1 η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει
2
1 f (x)f (x)
x x , για κάθε x 0 .
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι ln x 1
f (x)x
, x 0 .
Μονάδες 3
2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα και σημείακαμπής.
Μονάδες 5
3. Να αποδείξτε ότι f (x 1) f(x 1)
f (x)2
, για κάθε x e 1 .
Μονάδες 5
4. Αν G μία παράγουσα της g στο 0, , όπου 2
xf (x) x 1g(x)
x 1
με x 0
τότε:
i) Να αποδείξετε ότι 1
G(x) G ln xx
, x 0 .
Μονάδες 4
ii) Να αποδείξετε ότι
e 1
2
11e
G(x)G(x)dx dx
x .
Μονάδες 3
iii) Να αποδείξετε ότι η G (x) 0 έχει μοναδική ρίζα1
,12
και βρείτε τη
μονοτονία της G .Μονάδες 5
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.