Mix Aniki Stereo u

7252019 Mix Aniki Stereo u

httpslidepdfcomreaderfullmix-aniki-stereo-u 129

Πρόχειρες Σηmicroειώσεις 2011-2012 Φυσική Γ Λυκείου

7 Μηχανική Στερεού Σώmicroατος

71 Η κινηmicroατική της κυκλικής κίνησης

711 Κυκλική Κίνηση

Θεωρούmicroε ένα υλικό σηmicroείο το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R όπως ϕαίνεται

στο σχήmicroα Αν υποθέσουmicroε ότι σε χρονικό διάστηmicroα dt διαγράφει microήκος τόξου ds που

αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία dθ

Γραmicromicroική Ταχύτητα

Ονοmicroάζουmicroε γραmicromicroική ταχύτητα υ του υλικού σηmicroείου τη χρονική στιγmicroή t ένα διάνυσ-

microα το οποίο έχει microέτρο ίσο microε το πηλίκο του τόξου ds προς τον αντίστοιχο χρόνο dt

dsΟdθ

lt υ

lt ω

1

1

1

υ = ds

dt (114)

Η γραmicromicroική ταχύτητα εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς στη

ϑέση που ρίσκεται κάθε ϕορά το υλικό σηmicroείο και έχει τη

ϕορά της κίνησης του Η microονάδα microέτρησης είναι το 1ms

Γωνιακή Ταχύτητα

Ονοmicroάζουmicroε γωνιακή ταχύτητα ω του υλικού σηmicroείου τη

χρονική στιγmicroή t ένα διάνυσmicroα το οποίο έχει διεύθυνση κά- ϑετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς του και microέτρο ίσο microε το πηλίκο της γωνιάς dθ προς

τον αντίστοιχο χρόνο dt

ω = dθ

dt (115)

Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχυτητας ω καθορίζεται microε τον κανόνα του δεξιού χεριού

Η microονάδα microέτρησης της γωνιακής ταχύτητας ειναι το 1rads

Σχέση γραmicromicroικής και γωνιακής ταχύτητας

Η επίκεντρη γωνία ορίζεται από την σχέση θ = sR Από τον ορισmicroό της γωνίας έχουmicroε

dθ = ds

R rArr ds = R middot dθ rArr ds

dt = R

dθ

dt rArr υ = ω middot R

Κεντροmicroόλος επιτάχυνση

Στην κυκλική κίνηση λόγω της microεταβολής της διεύθυνσης της γραmicromicroικής ταχύτητας του

το υλικό σηmicroείο έχει κεντροmicroόλο επιτάχυνση της οποία το microέτρο δίνεται από την σχέση

http perifysikhswordpresscom 72 Μιχάλης Ε Καραδηmicroητριου




ακ = υ2

R

= ω2

middotR (116)

Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για την microεταβολή της διεύθυνσης της γραmicro-

microικής ταχύτητας Η διεύθυνση της είναι πάντα κάθετη στην γραmicromicroική ταχύτητα

712 Οmicroαλή κυκλική κίνηση

΄Οταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας παραmicroένει σταθερό τότε η κίνηση του υλικού

σηmicroείου χαρακτηρίζεται ως Οmicroαλή Κυκλική Κίνηση

Στην κίνηση αυτή παραmicroένει επίσης σταθερό και το microέτρο της γωνιακής ταχύτητας

οπότε προκύπτει

ω = ∆θ

∆t =

θ minus 0

t minus 0 rArr θ = ω middot t

Στην οmicroαλή κυκλική κίνηση το υλικό σηmicroείο σε ίσους χρόνους διανύει ίσα τόξα

713 Μεταβαλλόmicroενη κυκλική Κίνηση

Θεωρούmicroε ένα υλικό σηmicroείο το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R Αν υποθέσουmicroε

ότι σε χρονικό διάστηmicroα dt microεταβάλλεται η γραmicromicroική ταχυτητα κατά dυ και η γωνιακή

ταχύτητα κατά d ω τότε η κίνηση του είναι microια microεταβαλλόmicroενη κίνηση

Γραmicromicroική ( ή επιτρόχια) επιτάχυνση

Λόγω της microεταβολής του microέτρου της γραmicromicroικής ταχύτητας το υλικό σηmicroείο έχει γραmicromicroική

επιτάχυνση

Ονοmicroάζουmicroε γραmicromicroική επιτάχυνση α του υλικού σηmicroείου τη χρονική στιγmicroή t ένα διάνυσmicroα του οποίου το microέτρο είναι ίσο microε το microέτρο του υθmicroού microεταβολής της γραmicromicroικής

ταχύτητας

α = dυ

dt (117)

Η γραmicromicroική επιτάχυνση εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς και έχει τη ϕορά της κίνησηςόταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας αυξάνεται και ϕορά αντίθετη από τη ϕορά της

κίνησης όταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας ελαττώνεται Η microονάδα microέτρησης της

γραmicromicroικής επιτάχυνσης είναι το 1ms2

Το διανυσmicroατικό άθροισmicroα της γραmicromicroικής επιτάχυνσης α και της κεντροmicroόλου

επιτάχυνσης ακ δίνει την συνισταmicroένη επιτάχυνση α = α + ακ του υλικού σηmicroείου

σε κάθε ϑέση της τροχιάς του Το microέτρο της συνολικής επιτάχυνσης είναι ίσο microε α = α2 + α2

κ





Γωνιακή Επιτάχυνση

Ονοmicroάζουmicroε γωνιακή επιτάχυνση αγων

του υλικού σηmicroείου τη χρονική στιγmicroή t ένα διάνυσ- microα του οποίου το microέτρο είναι ίσο microε το microέτρο του υθmicroού microεταβολής της γωνιακής ταχύτητας

αγων = dω

dt (118)

Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσmicroατος d ω Μονάδα microέτρησης της

γωνιακής επιτάχυνσης είναι το 1rads2Γωνιακή επιτάχυνση 1rads2 σηmicroαίνει ότι ο υθmicroός

microεταβολής του microέτρου της γωνιακής ταχύτητας είναι 1rads σε κάθε 1s


Η σχέση υ = ω middot R microπορει να γραφτεί

dυ = R middot dω rArr dυ

dt = R

dω

dt rArr α = αγων middot R

714 Οmicroαλά microεταβαλλόmicroενη κυκλική κίνηση

΄Οταν το microέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης παραmicroένει σταθερό τότε η κίνηση του υλικού

σηmicroείου χαρακτηρίζεται ως Οmicroαλά microεταβαλλόmicroενη κυκλική κίνηση

Στην κίνηση αυτή παραmicroένει επίσης σταθερό και το microέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης

άρα microπορούmicroε να γράψουmicroε

αγων = ∆ω

∆t =

ω minus ω0

t minus 0

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει

ω = ω0 + αγων t (119)

Από το διάγραmicromicroα γωνιακής ταχύτητας (ω) - χρόνου (t)

microπορούmicroε να υπολογίσουmicroε

την γωνιακή επιτάχυνση που είναι ίση microε την κλίση τηςευθείας αγων =

∆ω∆t

την γωνία θ που διαγράφει το υλικό σηmicroειο από την

χρονική στιγmicroή t = 0 microέχρι την στιγmicroή t microε τον υπ-

ολογισmicroό του εmicroβαδού που περικλύεται κάτω από την

ευθεία Εύκολα αποδεικνύεται ότι ειναι

θ = ω0t + 1

2αγων t

2 (120)





Στην περίπτωση της οmicroαλά επιβραδυνόmicroενης στροφικής κίνησης(αγων lt 0) οι παραπάνω

σχέσεις γράφονται ω = ω0

minus |αγων

|t και θ = ω0t

minus 12

|αγων

|t2

Παρακάτω ακολουθεί ένας πίνακας αντιστοιχιών microεταξύ γραmicromicroικών και στροφικώνmicroεγεθών της κυκλικής κίνησης

Γραmicromicroικά microεγέθη Γωνιακά microεγέθη

Μήκος τόξου s γωνία στροφής θ γραmicromicroική ταχύτητα υ γωνιακή ταχύτητα ω

γραmicromicroική επιτάχυνση α = dυdt

γωνιακή επιτάχυνση αγων = dωdt

Οmicroαλή Κυκλική Κίνηση

s = υt θ = ωtΟmicroαλά Επιταχυνόmicroενη Κυκλική Κίνηση

υ = υ0 + αt ω = ω0 + αγων ts = υ0t + 1

2αt

2 θ = ω0t + 12

αγων t2

Οmicroαλά Επιβραδυνόmicroενη Κυκλική Κίνηση

υ = υ0 minus |α|t ω = ω0 minus |αγων |ts = υ0t minus 1

2|α|t2 θ = ω0t minus 1

2|αγων |t2

72 Κινήσεις Στερών Σωmicroάτων

721 Υλικό σηmicroείο και microηχανικό στερεό

Υλικά σηmicroεία λέγονται τα σώmicroατα που ϑεωρούmicroε ότι έχουν όλες τις άλλες ιδιότητες της

ύλης εκτός από διαστάσεις ΄Ενα υλικό σηmicroείο αφού δεν έχει διαστάσεις microπορει να

εκτελεί microόνο microεταφορικές κινήσεις Τέτοιες κινήσεις έχουmicroε περιγράψει στην Φυσική της

Α Λυκείου

Μηχανικά Στερεά λέγονται τα σώmicroατα που έχουν διαστάσεις τις οποίες δεν microπορούmicroε να αγνοήσουmicroε και που δεν παραmicroορφώνονται όταν σε αυτά ασκούνται δυνάmicroεις ΄Ενα

στερεό σώmicroα αφού έχει διαστάσεις εκτός από την microεταφορική κίνηση microπορει ακόmicroα να

εκτελέσει περιστροφική (στροφική) κίνηση ή ακόmicroα και σύνθετη κίνηση ( microεταφορική και

περιστροφική)

722 Οι κινήσεις των στερεών σωmicroάτων

΄Ενα στερεό microπορει να κάνει microεταφορική στροφική ή σύνθετη κίνηση

Μεταφορική Κίνηση

Λέmicroε ότι ένα σώmicroα κάνει microεταφορική κίνηση όταν κάθε στιγmicroή όλα τα σηmicroεία του σώmicroατος έχουν τν ίδια ταχύτητα κατά microέτρο και κατεύθυνση

Η microεταφορική κίνηση δεν είναι κατ΄ανάγκη και ευθύγραmicromicroη κίνηση microπορει να ειναι

και καmicroπυλόγραmicromicroη αρκεί έβαια να ισχύουν τα παρακάτω

οι τροχιές όλων των σηmicroείων του σώmicroατος να είναι παράλληλες





Σχήmicroα 27 Μεταφορική κίνηση στερεού

το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα που συνδέει δύο τυχαία σηmicroεία του σώmicroατος να microετατοπίζεται

παράλληλα προς τον εαυτό του

Στροφική Κίνηση

Λέmicroε ότι ένα σώmicroα κάνει στροφική κίνηση όταν αλλάζει προσανατολισmicroό

Στη στροφική κίνηση υπάρχει microια ευθεία ( ο άξονας περιστροφής) που όλα τα σηmicroεία

της παραmicroένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σηmicroεία του σώmicroατος κάνουν κυκλική κίνηση σε

επίπεδα κάθετα στον άξονα microε τα κέντρα τους πάνω στον άξονα Ο άξονας περιστροφής δεν

είναι απαραίτητο να διέρχεται από το σώmicroα Η στροφική κίνηση δεν είναι κατ΄ ανάγκη κυκ-

λική κίνηση Αφού κάθε υλικό σηmicroείο του στερεού εκτελεί microια κυκλική κίνηση ϑα ισχύει

για αυτό η κινηmicroατική περιγραφή των παραπάνω παραγράφων ΄Αρα για την στροφική

κίνηση ενός στερεού σώmicroατος microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τις ίδιες ποσότητες microε τις

οποίες περιγράψαmicroε την κυκλική κίνηση ενός υλικού σηmicroείου

Η έννοια του κέντρου microάζας

Με στόχο την απλοποίηση της microελέτης του στερεού σώmicroατος εισάγουmicroε την έννοια του

κέντρου microάζας του σώmicroατος

Κέντρο microάζας ( cm ) ονοmicroάζεται το σηmicroείο εκείνο που κινείται όπως ένα υλικό σηmicroείο microε

microάζα ίση microε την microάζας του σώmicroατος αν σ΄ αυτό ασκούνται όλες οι δυνάmicroεις που ασκούνται στο σώmicroα

Στην ουσία η microελέτη της microεταφορικής κίνησης ενός στερεού σώmicroατος ανάγεται στη

microελέτη της κίνησης του κέντρου microάζας τουΗ κίνηση του κέντρου microαζας ενός σώmicroατος καθορίζεται από την συνισταmicroένη των εξω-

τερικών δυνάmicroεων που ασκούνται στο σώmicroα Σύmicroφωνα microε τον 2ο Νόmicroο του Νεύτωνα

ισχύει ότι

Σ F = m αcm (121)

Στα οmicroογενή στερεά σώmicroατα τα οποία έχουν κέντρο συmicromicroετρίας το κέντρο microάζας τους

συmicroπίπτει microε το κέντρο συmicromicroετρίας Για παράδειγmicroα το κέντρο microάζας microιας οmicroογενούς

σφαίρας ειναι το κέντρο της σφαίρας Βέβαια το κέντρο microάζας microπορεί να ρίσκεται και σε

σηmicroείο έξω από το σώmicroα Για παράδειγmicroα σε ένα οmicroογενή δακτύλιο το κέντρο microάζας ειναι

στο κέντρο Κ του δακτυλίου





Σύνθετη Κίνηση

Λέmicroε ότι ένα σώmicroα κάνει σύνθετη κίνηση όταν microετακινείται στον χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισmicroός του

Για παράδειγmicroα σύνθετη κίνηση κάνει ο τροχός ενός αυτοκινήτου όταν αυτό ειναι σε

κίνηση Ο τροχός στρέφεται γύρω απο τον άξονα του και ταυτόχρονα συmicromicroετέχει στην

microεταφορική κίνηση του αυτοκινήτου

Η σύνθετη κίνηση microπορει να περιγραφεί ως το αποτέλεσmicroα της Επαλληλίας ( συνθεσης) microιας microεταφορικής και microιας στροφικής κίνησης

Το παράδειγmicroα της κύλισης του τροχού

Παρακάτω λέπουmicroε ένα τροχό που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει

Ο τροχός microπορει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση όταν δεν υπάρχει σχετική κίνησηmicroεταξύ του σηmicroείου επαφής του τροχού microε το δάπεδο

Η κίνηση του τροχού microπορεί να ϑεωρηθεί ως το αποτέλεσmicroα της επαλληλίας ( συνθεσης)

α microιας microεταφορικής κίνησης λόγω της οποίας τα σηmicroεία του τροχού κάθε στιγmicroή έχουν

την ίδια ταχύτητα υcm

microιας στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονα του λόγω της οποίας όλα τα σηmicroεία του

τροχού που απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής έχουν ταχύτητες που είναι

εφαπτόmicroενες στην κυκλική τους τροχιά και έχουν microέτρο υ

΄Οταν ένας τροχός ακτινας R κυλίεται χωρίς να ολισ-

ϑαίνειτότε κάθε σηmicroείο της περιφέρειας του έρχεται διαδο-

χικά σε επαφή microε το δρόmicroο ΄Ετσι αν το κέντρο microάζας του

τροχού έχει microετακινηθεί κατά διάστηmicroα dx σε ένα χρονικό

διάστηmicroα dt ένα σηmicroειο της περιφέρειας ϑα έχει στραφεί κατά

επίκεντρη γωνία dθ η οποία αντιστοιχεί σε microήκος τόξου ds

στον ίδιο χρόνο ΄Οπως ϕαίνεται και στο διπλανό σχήmicroα λόγω

της microη ολίσθησης (dx = ds) και microε άση τον ορισmicroό της επίκεντρης γωνίας έχουmicroε





dθ = ds

R rArr ds = R middot dθ rArr dx = R middot dθ

Από τα παραπάνω προκύπτει η 1η Συνθήκη Κύλισης η οποία ειναι αναγκαία συν-

ϑήκη ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει

x = R middot θ (122)

Με άση τον ορισmicroό της ταχύτητας του κέντρου microάζας (υcm = dxdt

) και της γωνιακής

ταχύτητας (ω = dθdt

) προκύπτει ότι

dxdt

= R dθdt rArr υcm = ω middot R (123)

Η παραπάνω σχέση αποτελει επίσης αναγκαία συνθήκη για την κύλιση χωρίς ολίσθηση

και είναι η 2η Συνθήκη Κύλισης Επειδη υ = ω middot R είναι η γραmicromicroική ταχύτητα των

σηmicroειων της περιφέρειας του τροχού προκύπτει ότι υcm = υ Συmicroπερένουmicroε ότι

Κατά την κύλιση ενός τροχού χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση το microέτρο της ταχύτητας του κέντρου microάζας του είναι ίσο microε το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας των σηmicroείων της

περιφέρειας του

Με άση την 2η Συνθήκη Κύλισης microπορούmicroε να προχωρήσουmicroε στον προσδιορισmicroό

της ταχύτητας διαφόρων σηmicroείων της περιφέρειας του τροχού Η ταχύτητα κάθε

σηmicroείου Σ της περιφέρειας προκύπτει από την umlεπαλληλίαuml των επιmicroέρους κινήσεων (υΣ =υcm + υ) Από το παραπάνω σχήmicroα σύνθεσης των κινήσεων προκύπτουν

Η ταχύτητα του κέντρου Ο του τροχού είναι

υo = υcm

Η ταχύτητα του σηmicroείου Κ του τροχού είναι

υκ = υcm minus υ = 0

Η ταχύτητα του σηmicroείου Ζ του τροχού είναι

υz = υcm + υ = 2υcm

Η ταχύτητα του σηmicroείου Μ του τροχού είναι

υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm





Αν ϑεωρήσουmicroε ότι ο τροχός κυλίεται σε πλάγιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει ειναι προ-

ϕανές ότι τόσο η ταχύτητα του κέντρου microάζας όσο και η γωνιακή ταχύτητα ϑα αυξάνονται

΄Εστω ότι σε χρόνο dt η ταχύτητα του κέντρου microαζας αυξάνεται κατά dυcm και η γωνιακήταχύτητα αυξάνεται κατά dω Με άση τον ορισmicroό της επιτάχυνσης του κέντρου microάζας

(αcm = dυcmdt

) και της γωνιακής επιτάχυνσης (αγων = dωdt

) έχουmicroε

υcm = ω middot R rArr dυcm = R middot dω rArr dυcm

dt = R middot dω

dt rArr αcm = αγων middot R (124)

Η παραπάνω σχέση αποτελεί επίσης αναγκαία συνθήκη ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς

να ολισθαίνει και ειναι η 3η Συνθήκη Κύλισης Επειδή α = αγων middot R είναι η επιτρόχιος

επιτάχυνση των σηmicroείων της περιφέρειας του τροχού προκύπτει ότι αcm = α

Κατά την κύλιση ενός τροχού χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση το microέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου microάζας του είναι ίσο microε το microέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σηmicroείων της

περιφέρειας τουΗ επιτάχυνση κάθε σηmicroείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταmicroένη της επιτάχυν-

σης λόγω της microεταφορικής κίνησης ( αcm) της γραmicromicroικής επιτάχυνσης λόγω της στροφικής

κίνησης ( α) και της κεντροmicroόλου επιτάχυνσης ( ακ)

Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον ΄Β τόmicroο των Γ Μαθιουδάκη amp ΓΠαναγιωτακόπουλου

τις ακόλουθες ασκήσεις 11 - 150 155 157 158 160 161 162 165 166 169

172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105

73 Ροπή ∆ύναmicroης - Ισορροπία Στερεού Σώmicroατος

731 Ροπή ∆ύναmicroης

Η οπή δύναmicroης (τ ) είναι το ϕυσικό microέγεθος που περιγράφει την

ικανότητα microιας δύναmicroης να στρέφει ένα σώmicroα

α)Ροπή ∆ύναmicroης ως προς άξονα

Θεωρούmicroε ένα σώmicroα το οποίο έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω

από τον άξονα zz

Στο σώmicroα ασκείται δύναmicroη F

η οποία ρίσκεται σε

επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και ο ϕορέας της απέχει από

τον άξονα απόσταση l (microοχλοβραχίονας)

Ονοmicroάζουmicroε οπή δύναmicroης ως προς άξονα περιστροφής zz το διανυσmicroατικό microέγεθος τ το οποίο έχει

διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής

ϕορά τη ϕορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και





microέτρο ίσο microε το γινόmicroενο του microέτρου F της δύναmicroης επί την κάθετη απόσταση

l της δύναmicroης από τον άξονα περιστροφής δηλαδή

τ = F middot l (125)

Στο διεθνές σύστηmicroα microονάδων η microονάδα microέτρησης της οπής δύναmicroης είναι το 1N middotm

Αν η δύναmicroη δεν ρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής αλλά σχηmicroατίζει

γωνία φ microε αυτό τότε την αναλύουmicroε σε δύο συνιστώσες microια συνιστώσα (F x) πάνω σε

επίπεδο κάθετο στον άξονα και microια συνιστώσα (F y) παράλληλη προς τον άξοναΗ οπή της

δύναmicroης έχει microέτρο

τ = F x middot l = F lσυνφ (126)

Η οπή microιας δύναmicroης ως προς άξονα είναι ίση microε microηδέν

όταν η δύναmicroη ασκείται στον άξονα

όταν ο ϕορέας της δύναmicroης τέmicroνει τον άξονα

όταν ο ϕορέας της δύναmicroης είναι παράλληλος προς τον άξονα

Κατα σύmicroβαση ϑεωρούmicroε ϑετική την οπή της δύναmicroης που τεινει να περιστρέψει το

σώmicroα αντίθετα από την ϕορά των δεικτών του ολογιού και αρνητική τη οπή της δύναmicroηςπου τείνει να περιστρέψει το σώmicroα κατά τη ϕορά κίνησης των δεικτών του ολογιού

Η συνολική οπή (Στ )που δέχεται ένα σώmicroα στο οποίο ασκούνται πολλές οmicroοεπίπεδες

δυνάmicroεις είναι ίση microε το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των δυνάmicroεων ως προς τον

άξονα περιστροφής του σώmicroατος

)Ροπή ∆ύναmicroης ως προς σηmicroείο

Αν σ΄ ένα σώmicroα ελεύθερο να κινηθεί ασκείται δύναmicroη που ο ϕορέας της διέρχεται από το

κέντρο microάζας του το σώmicroα ϑα εκτελέσει microόνο microεταφορική κίνηση Αν όmicroως ο ϕορέας της

δύναmicroης δε διέρχεται από το κέντρο microάζας του το σώmicroα ϑα εκτελέσει σύνθετη κίνηση microια

microεταφορική και microια περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντροmicroάζας του σώmicroατος και ειναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει ο ϕορέας της δύναmicroης και

το κέντρο microάζας Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησι-

microοποιείται η έννοια της οπής δύναmicroης ως προς σηmicroείο

Ονοmicroάζουmicroε οπή δύναmicroης ως προς σηmicroείο Ο το διανυσ-

microατικό microέγεθος τ το οποίο έχει

διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το

ϕορέα της δύναmicroης και το σηmicroείο Ο





ϕορά τη ϕορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξ-

ιού χεριού

microέτρο ίσο microε το γινόmicroενο του microέτρου F της δύναmicroης επό

την απόσταση l του σηmicroείου Ο από το ϕορά της δύναmicroης ∆ηλαδή

τ = F middot l

Η οπή δύναmicroης ως προς σηmicroείο ειναι ίση microε microηδέν

όταν η δύναmicroη ασκείται στο σηmicroείο αυτό ή

όταν ο ϕορέας της δύναmicroης διέρχεται από το σηmicroείο αυτό

γ) Ροπή εύγους δυνάmicroεων

Ζεύγος δυνάmicroεων ονοmicroάζουmicroε ένα συστηmicroα δύο δυνάmicroεων F 1 και F 2 οι οποίες ασκούνται σε

δύο διαφορετικά σηmicroεία ενός σώmicroατος είναι αντίρροπες και έχουν ίσα microέτρα Στο διπλανό σχήmicroα η αλγεβρική τιmicroή της οπής τους εύγους

ως προς κάποιο σηmicroείο Α ϑα είναι το αλγεβρικό άθροισmicroα των

επιmicroέρους οπών των δύο δυνάmicroεων (F 1 = F 2)

τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d

Ονοmicroάζουmicroε οπή εύγους δυνάmicroεων το διανυσ-


διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάmicroεων

ϕορά την ϕορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξ-

ιού χεριού και

microέτρο ίσο microε το γινόmicroενο του microέτρου F 1 της microιας από τις

δύο δυνάmicroεις επί τον ραχίονα d του εύγους ∆ηλαδή

τ = F 1 middot d (127)

Από τα παραπάνω είναι έυκολα κατανοητό ότι η οπή του εύγους δυνάmicroεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σηmicroείο του επιπέδου τους και ως προς οποιονδήποτε άξονα περιστροφής

κάθετο στο επίπεδο του εύγους


τις ακόλουθες ασκήσεις 21 - 221258 259 260 262 263 265 267





732 Ισορροπία Στερεού Σώmicroατος

Θεωρούmicroε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώmicroα στο οποίο ασκούνται πολλές οmicroοεπίπεδες

δυνάmicroεις Για να ισορροπεί ϑα πρέπει

α) Η συνισταmicroένη δύναmicroη να ειναι microηδέν

Σ F = 0 (128)

΄Οταν ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη η επιτάχυνση του σώmicroατος στην microεταφορική

κίνηση είναι microηδέν Εποmicroένως για αρχικά ακίνητο σώmicroα ( υ = 0 ) η συνθήκη αυτή

αποτελεί συνθήκη ισορροπίας για την microεταφορική κίνηση ( Φυσική Α Λυκείου)

) Το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των δυνάmicroεων ως προς οποιοδήποτε σηmicroείο να

είναι microηδέν

Στ = 0 (129)

΄Οταν ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη η επιτάχυνση του σώmicroατος στην στροφική

κίνηση είναι microηδέν Εποmicroένως για αρχικά ακίνητο σώmicroα( ω = 0 ) η συνθήκη αυτή

αποτελεί συνθήκη ισορροπίας για την στροφική κίνηση

Στις ασκήσεις ισορροπίας στερεού ακολουθούmicroε γενικά τα ακόλουθα ήmicroατα

Βήmicroα 1ο Σχεδιάζουmicroε όλες τις δυνάmicroεις που ασκούνται στο υπο microελέτη σώmicroα

Η κατεύθυνση κάθε δύναmicroης καθορίζεται από το είδος της ( πχ άρος κάθετη

αντίδραση τάση νήmicroατος) Για τις δυνάmicroεις που δεν γνωρίζουmicroε την κατεύθυνση τους

ειναι χρήσιmicroη η ακόλουθη πρόταση

΄Οταν ένα σώmicroα ισορροπεί micro ε την επίδραση τριών microη παράλληλων οmicroοεπίπεδων

δυνάmicroεων τότε οι ϕορεις των δυνάmicroεων αυτών πρέπει να διέρχονται από το ίδιο σηmicroείο

Βήmicroα 2ο Επιλέγουmicroε τους κατάλληλους ορθογώνιους άξονες x και y και αναλύουmicroε όσες

δυνάmicroεις δεν ειναι παράλληλες σε αυτούς

Βήmicroα 3ο Εφαρmicroόζουmicroε τις συνθήκες ισορροπίας οmicroοεπίπεδων δυνάmicroεων

ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0

Κατάλληλο σηmicroείο για να εφαρmicroόσουmicroε την τρίτη συνθήκη ειναι συνήθως εκείνο από

το οποίο διέρχεται ο ϕορέας microιας άγνωστης δύναmicroης Στην περίπτωση αυτή επειδη η

οπή της είναι microηδέν εξαφανίζεται από την εξίσωση που προκύπτει

Βήmicroα 4ο Λύνουmicroε το συστηmicroα των τριών εξισώσεων που προκύπτειΜε την λύση του συστήmicroατος

microπορούmicroε να υπολογίσουmicroε microέχρι τρία άγνωστα microεγέθη


τις ακόλουθες ασκήσεις 222 - 255281 282 285 287 290 - 299 2102 2104

2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123





74 Ροπή Αδράνειας

΄Εστω ένα στερεό σώmicroα το οποίο στρέφεται γύρω από το σταθερό

άξονα z z όπως ϕαίνεται στο διπλανό σχήmicroα Χωρίζουmicroε το σώmicroα

σε στοιχειώδη τmicroήmicroατα microε microάζες m1 m2mν τόσο microικρά ώστε

καθένα από αυτά να microπορεί να ϑεωρηθεί υλικό σηmicroείο Οι microάζες

m1 m2mν κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα σε κύκλους

microε ακτίνες r1 r2 rν αντίστοιχα

Ονοmicroάζουmicroε οπή αδράνειας I ενός στερεού ως προς τον άξονα

z z το άθροισmicroα των γινοmicroένων των στοιχειωδών microαζών από τις οποίες αποτελείται το σώmicroα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους

από τον άξονα περιστροφής ∆ηλαδή

I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)

Η οπή αδράνειας είναι microονόmicroετρο microέγεθος και στο σύστηmicroα

SI έχει microονάδες microέτρησης το 1kg middot m2

Από τον ορισmicroό της οπής αδράνειας για ένα στερεό προκύπτει ότι η οπή αδράνειας

ενός υλικό σηmicroείου microε microάζα mτο οποίο κινείται κυκλικά σε κύκλο ακτίνας r ως προς

άξονα z z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχίας και ειναι κάθετος στο επίπεδο

της δίνεται από τη σχέση

I = mr2 (131)

ΠαράδειγmicroαΡοπή Αδράνειας Οmicroογενούς δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται

από το κέντρο του

Χωρίζουmicroε το δακτύλιο σε στοιχειώδης microάζες m1 m2mν Είναι

ϕανερό ότι m1 + m2 + mν = M Επειδη το πάχος του δακτυλίου

ειναι αmicroελητέο σε σχέση microε την ακτίνα του R όλες οι στοιχειώδεις

microάζες έχουν την ίδια απόσταση R από τον άξονα περιστροφής

Σύmicroφωνα microε τον ορισmicroό της οπής αδράνειας έχουmicroε

I = m1r21 + m2r22 + mν r2ν = m1R2 + m2R2 + mν R

2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2

Θεώρηmicroα Στάϊνερ (Steiner)

Μεταξύ της οπής αδράνειας I cm ενός σώmicroατος ως προς άξονα που

διέρχεται από το κέντρο microάζας του και της οπής αδράνειας I p του

σώmicroατος ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα p παράλληλο microε τον πρώτο

και σε απόσταση d από αυτόν υπάρχει microια απλή σχέση γνωστή ως το

ϑεώρηmicroα Πραλλήλων αξόνων ή ϑεώρηmicroα Steiner

Αν I cm είναι η οπή αδράνειας ενός σώmicroατος microάζας Μ ως προς

άξονα που διέρχεται από το κέντρο microάζας του η οπή αδράνειας του





σώmicroατος ως πτος έναν άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση microε το άθροισmicroα της οπής αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο

microάζας του σώmicroατος και του γινοmicroένου της microάζας του σώmicroατος επί το τετράγωνο της απόστασης d ∆ηλαδή

I p = I cm + M d2 (132)


κάθετα από σηmicroείο της περιφέρειας του

Σύmicroφωνα microε το ϑεώρηmicroα Steiner έχουmicroε ότι

I p = I cm + M d2

rArrI p = I cm + M R2 = M R2 + M R2

rArrI p = 2MR2

Από τους παραπάνω ορισmicroούς προκύπτει ότι η οπή αδράνειας ενός σώmicroατος που

στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα εξαρτάται

από την ολική microάζα του σώmicroατος

από την κατανοmicroή της microάζας του σώmicroατος ως προς τον άξονα περιστροφής του η

οποία έχει να κάνει microε το microέγεθος και το σχήmicroα του σώmicroατος

από τη ϑέση του άξονα περιστροφής

Σχήmicroα 28 οι οπές αδράνειας microερικών σωmicroάτων ως προς ένα συγκεκριmicroένο άξονα για κάθε

σώmicroα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο microάζας του





75 Θεmicroελιώδης Νόmicroος της Στροφικής Κίνησης

΄Οπως είναι γνωστό από την Φυσική της Α Λυκείου στην περίπτωση ενός υλικού σηmicroείου

για να microεταβληθεί η ταχύτητα του πρέπει να ασκηθεί σε αυτό δυναmicroη Η σχέση ανάmicroεσα

στην αιτία (δύναmicroη) και το αποτέλεσmicroα (επιτάχυνση) είναι

Σ F = m α (133)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο ϑεmicroελιώδης νόmicroος της microηχανικής

΄Ενας αντίστοιχος νόmicroος ισχύει στη στροφική κίνηση στερεών σωmicroάτων Σύmicroφωνα microε

αυτόν για να microεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα ενός σώmicroατος που στρέφεται γύρω από στα-

ϑερό άξονα πρέπει να ασκηθεί σάυτό οπή Η σχέση ανάmicroεσα στην αιτία (οπή) και το

αποτέλεσmicroα (γωνιακή επιτάχυνση) είναι

Στ = I αγων (134)

Η παταπάνω σχέση είανι γνωστή ως ο Θεmicroελιώδης νόmicroος της στροφικής κίνησης ο

οποίος διατυπώνεται ως εξής

Το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώmicroα το οποίο

περιστρέφεται γύρω από σταθερο άξονα είναι ίσο microε το γινόmicroενο της οπής αδράνειας του σώmicroατος ως προς τον άξονα περιστροφής και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώmicroατος

Είναι προφανές ότι στην σχέση 134 το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών και η οπή

αδράνειας αναφέρονται στον ίδιο άξονα περιστροφής

Φυσική Σηmicroασία της Ροπής Αδράνειας

Είναι προφανές ότι από τον Θεmicroελιώδη Νόmicroο της Στροφικής Κίνησης και την εξίσωση 134

προκύπτει ότι η οπή αδράνειας umlπαίζειuml σηmicroαντικό όλλο στην microεταβολή της γωνιακής

ταχύτητας καθώς η γωνιακή επιτάχυνση είναι αντιστρόφος ανάλογη της οπής αδράνειας

Η οπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφική κίνηση ότι εκφράζει η microάζα στην

microεταφορική κίνηση Ποιό συγκεκριmicroένα

Η microάζα m εκφράζει στην microεταφορική κίνηση την αντίσταση που προβάλλει ένα σώmicroα

σε κάθε microεταβολή της ταχύτητας του Είναι δηλαδή το microέτρο της αδράνειας στην

microεταφορική κίνηση

Η οπή αδράνειας I εκφράζει στην περιστροφική κίνηση την αντίδραση που προβάλλει

ένα στερεό σώmicroα σε κάθε microεταβολή της γωνιακής του ταχύτητας Είναι δηλαδη το

microέτρο της αδράνειας στην στροφική κίνηση

Αξίζει να σηmicroειωθεί ότι αντίθετα microε την microάζα ενός σώmicroατος που ειναι ένα σταθερό

microέγεθος η οπή αδράνειας δεν είναι microονοσήmicroαντα ορισmicroένη για ένα σώmicroα και εξαρτάται

από την ϑέση του άξονα περιστροφής΄Ενα στερεό σώmicroα έχει microια microάζα αλλά άπειρες

οπές αδράνειας






τις ακόλουθες ασκήσεις 31 - 325 327 328 329 332 333 336 338

∆ιερεύνηση της σχέσης Στ = I αγων

α Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ = 0 παίρνουmicroε αγων = 0 ∆ηλαδή αν το αλγεβρικό

αθροισmicroα των οπών είναι microηδέν τότε η γωνιακή επιτάχυνση του σώmicroατος είναι microηδέν

και κατά συνέπεια η γωνιακή ταχύτητα παραmicroένει σταθερή Αυτό σηmicroαίνει ότι αν το

σώmicroα δεν στρέφεται (ω = 0) ϑα εξακολουθήσει να microην στρέφεται ενώ αν στρέφεται microε

γωνιακή ταχύτητα ω ϑα εξακολουθήσει να στρέφεται microε σταθερη γωνιακή ταχύτητα

ω( Αρχή της Αδράνειας στην στροφική κίνηση)

Θέτοντας στη σχέση αυτή Στ =σταθ παίρνουmicroε αγων =στάθ Αυτό σηmicroαίνει ότι αν

σε ένα σώmicroα που έχει την δυνατότητα να στρέφεται γύρω από σταθερο άξονα ασκεί-ται σταθερή συνισταmicroένη οπή το σώmicroα στρέφεται microε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση

δηλαδή εκτελεί οmicroαλά microεταβαλλόmicroενη στροφική κίνηση

Εφαρmicroογή των Θεmicroελιωδών Νόmicroων στην κίνηση στερεού σώmicroατος

Τα είδη των κινήσεων που microπορει να εκελέσει ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώmicroα που ειναι

ελεύθερο να κινηθεί ανάλογα microε τις συνθήκες που ισχύουν δινονται στον παρακάτω πίνα-

κα

Σ F = 0 Στ = 0 Το σώmicroα ισορροπει

Σ F = 0 Στ = 0 Το σώmicroα εκτελεί επιταχυνόmicroενη microεταφορική κίνηση microε την

επιτάχυνση του κέντρου microάζας να ειναι αcm

Σ F = 0 Στ = 0 Το σώmicroα εκτελεί επιταχυνόmicroενη στροφική κίνηση γύρω από

άξονα που διέρχεται από το κέντρο microάζας του microε γωνιακή

επιτάχυνση αγων

Σ F = 0 Στ = 0 Το σώmicroα εκτελεί σύνθετη κίνηση ( επιταχυνόmicroενη microεταφορική

microε επιτάχυνση αcm και επιταχυνόmicroενη στροφική γύρω από άξ-

ονα που διέρχεται από το κέντρο microάζας microε γωνιακή επιτάχυν-

ση αγων )


τις ακόλουθες ασκήσεις41 - 414452 453 455 456 457 460 463 464 466

468 469 470

Ασκήσεις όπου ένα στερεό ( τροχαλία κύλινδρος κλπ) εκτελεί περιστροφική κίνηση

γύρω από σταθερο άξονα

(α) microε την επίδραση σταθερής εφαπτοmicroενικής δύναmicroης

() microε την ταυτόχρονη microεταφορική κίνηση ενός άλλου σώmicroατος microέσω σχοινιού





(γ) microε την ταυτόχρονη microεταφορική κίνηση δύο άλλων σωmicroάτων microέσω σχοινιών

Στις ασκήσεις αυτές ϑεωρώντας ότι το περιστρεφόmicroενο στερεό είναι microια τροχαλία εργαζόmicroαστε ως εξής

Σχεδιάζουmicroε προσεκτικά τις δυνάmicroεις που ασκούνται στο σώmicroα ή στα σώmicroατα που

εκτελούν microεταφορική κίνηση

Σχεδιάζουmicroε προσεκτικά τις δυνάmicroεις που ασκούνται στην τροχαλία

Για κάθε σώmicroα που εκτελεί microεταφορική κίνηση γράφουmicroε τον ϑεmicroελιώδη νόmicroο της

microηχανικής

Σ F = mα

Αν χρειάζεται για κάθε σώmicroα που εκτελεί microεταφορική κινήση γράφουmicroε τις εξισώσεις

της κίνησης του

υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2

Για την τροχαλία γράφουmicroε τον ϑεmicroελιώδη νόmicroο της microηχανικής για την στροφική

κίνηση ως προς τον άξονα περιστροφής της

Στ = I αγων

Αν χρειάζεται για την τροχαλία γράφουmicroε τις εξισώσεις της περιστροφικής κίνησης

ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2

Επειδή δεχόmicroαστε πάντα ότι το σχοινί που περιβάλλει την τροχαλία δεν ολισθαίνει

πάνω σε αυτήν γράφουmicroε την συνθήκη microη ολίσθησης του σχοινιού Σύmicroφωνα

microε την συνθήκη αυτή υποθέτουmicroε ότι αν το σώmicroα που αναρτάται στο σχοινί διανύει

διάστηmicroα x τότε η τροχαλία στρέφεται κατα τόξο microήκους s = Rθ = x ΄Αρα microε την

λογική που παρουσιάσαmicroε στην περιπτωση της κύλισης χωρίς ολίσθηση προκύπτει

ότι η γραmicromicroική επιτάχυνση των σηmicroείων της περιφέρειας της τροχαλίας στα οποία

εφάπτεται το σχοινί ταυτίζεται microε την επιτάχυνση του κέντρου microάζας του σώmicroατος που

είναι δεmicroένο στο άκρο του σχοινιού

αcm = αγων R

Λύνουmicroε το σύστηmicroα των εξισώσεων που προκύπτει και ρίσκουmicroε τα ητούmicroενα άγν-

ωστα microεγέθη






τις ακόλουθες ασκήσεις 474 476 - 482 484 486 - 489 491 492 493

Ασκήσεις όπου ένα στερεό εκτελεί ταυτόχρονα και microεταφορική και περιστροφική

κίνηση - Κύλιση

Στις ασκήσεις αυτές εργαζόmicroαστε ως εξής

Σχεδιάζουmicroε τις δυνάmicroεις που ασκούνται στο σώmicroα

Αγνοώντας το γεγονός ότι το σώmicroα περιστρέφεται εφαρmicroόζουmicroε τον ϑεmicroελιώδη νόmicroο

της microηχανικής για την microεταφορική κίνηση του κέντρου microάζας του σωmicroατος

Σ F = m αcm

Αγνοώντας το γεγονός ότι το σώmicroα microεταφέρεται εφαρmicroόζουmicroε το ϑεmicroελιώδη νόmicroο της

στροφικής κίνησης

Στ = I αγων

ϑεωρώντας ότι το σώmicroα απλά στρέφεται γύρω από ένα σταθερό άξονα που διέρχεται

από το κέντρο microάζας του

΄Οταν οι δύο κινήσεις σχετίζονται microεταξύ τους όπως για παράδειγmicroα συmicroβαίνει στα

σώmicroατα που κυλίονται χωρίς να ολισθαινουν ή στο laquoγιό-γιόraquo τότε οι επιταχύνσεις αcm

και αγων συνδέονται microε τη σχέση

αcm = αγων R

∆ύο χαρακτηριστικά παραδείγmicroατα αυτής της περίπτωσης ειναι

Α Το laquoγιό -γιόraquo Αποτελείται από ένα microικρό κύλινδρο microάζας mκαι ακτίνας R που στο κυρτό microέρος του έχει τυλιχθεί πολλές ϕορές

ένα σχοινί Κρατώντας σταθερο το ελεύθερο άκρο του σχοινιού και

αφήνοντας τον κύλινδρο να πέσει το σχοινί ξετυλίγεται και ο κύλιν-

δρος περιστρέφεται γύρω από ένα νοητό οριζόντιο άξονα Θεωρούmicroε ότιτο σχοινί παραmicroένει κατακόρυφο σε όλη τη διάρκεια της κίνησης Η

κατακόρυφη microεταφορική κίνηση του κυλίνδρου εξασφαλίζεται από τις

κατακόρυφες δυνάmicroεις του άρους ( w) και της Τάσης ( T ) του νήmicroατος

ενώ η περιστροφική από την οπή της Τάσης του νήmicroατος Σύmicroφωνα

microε τα παραπάνω έχουmicroε


ΣF = mαcm rArr mg minus T = mαcm






Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων

Συνθήκη microη ολίσθησης του σχοινιού

αcm = αγων R


τις ακόλουθες ασκήσεις 4109 4111 4113 4120 4124 4134 4138 4144 4146

ΒΚύλιση κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση σε κεκλιmicroένο επίπεδο Η microεταφορική κίνηση

του κυλίνδρου στο κεκλιmicroένο επίπεδο εξασφαλίζεται από την συνιστώσα του άρους (wηmicroθ)

και από την στατική τριβή (T στ ) ενώ η περιστροφική από την οπή της στατικής τριβής ωςπρος τον άξονα περιστροφής που ταυτίζεται microε τον άξονα συmicromicroετρίας του κυλίνδρου ΄Ε-

χουmicroε


ΣF x = mαcm rArr mgηmicroθ minus T στ = mαcm


Στ = I cmαγων rArr T στ R = I cmαγων


αcm = αγων R

Ο όλλος της στατικής τριβής στην κύλιση

Ο ολλος της στατικής τριβής είναι κατα κάποιο τρόπο υθmicroιστικός γιατι

από την microια ελαττώνει το microέτρο της επιτάχυνσης (αcm) του κέντρου microάζας του κυλίν-

δρου που ϑα προκαλούσε microόνη της η συνιστώσα του άρους αφού είναι

αcm = mgηmicroθ minus T στ

m

από την άλλη προκαλεί microέσω της οπής της T στ R γωνιακή επιτάχυνση αγων την

οποία δεν microπορεί να δηmicroιουργήσει η συνιστώσα του άρους microε αποτέλεσmicroα να

δηmicroιουργείται η εξισορρόπηση των microεγεθών αcm και αγων R που ειναι η αναγκαία

συνθήκη αcm = αγων R για την κύλιση χωρίς ολίσθηση

Προφανώς αν δεν υπήρχε η τριβή τότε δεν ϑα υπήρχε και οπή ως προς τον άξονα

συmicromicroετρίας του κυλίνδρου microε αποτέλεσmicroα ο κύλινδρος να ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται





Η ϕορά της στατικής τριβής

Η ϕορά της στατικής τριβής η οποία ειναι υπεύθυνη για την κύλιση microπορει να προσδιορ-

ιστεί αρκει να την σχετίσουmicroε microε το αποτέλεσmicroα της δηλαδή την άυξηση ή microειωση της

γωνιακής ταχύτητας

΄Οταν ο κύλινδρος κυλίεται σε πλάγιο επίπεδο προς τα κάτω το microέτρο της υcm

αυξάνεται και αυξάνεται και η γωνιακή ταχύτητα ΄Αρα η οπή της στατικής τριβής ϑα

πρέπει να αυξάνει την γωνιακή ταχύτητα άρα να τείνει να περιστρέψει τον κύλινδρο κατά

την ϕορά περιστροφής του

΄Οταν ο κύλινδρος κυλίεται σε πλάγιο επίπεδο προς τα πάνω το microέτρο της υcm

microειώνεται και microειώνεται και η γωνιακή ταχύτητα ΄Αρα η οπή της στατικής τριβής ϑα πρέπει να microειώνει την γωνιακή ταχύτητα άρα να τεινει να περιστρέψει τον κύλινδρο αντίθετα από


Πότε ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση

Στον κύλινδρο ασκούνται η δύναmicroη του άρους ( w) η στατική τριβή ( T στ ) και η κάθετη

αντίδραση από το δάπεδο ( N )Το microέτρο της στατικής τριβής καθορίζεται από τις υπόλοιπες

δυνάmicroεις που ασκούνται στο σώmicroα και microπορέι να πάρει τιmicroές στο παρακάτω διάστηmicroα

0 le T στ le microsN

΄Οταν η στατική τριβή πάρει την microέγιστη τιmicroή της τότε αρχίζει η ολίσθηση του σώmicroατος

άρα για να microην ολισθαίνει πρέπει να ισχύει η ακόλουθει συνθήκη

T στ lt microsN

΄Οταν T στ = microsN τότε ο κύλινδρος ειναι έτοιmicroος να ολισθήσει Στην περίπτωση της κύλισης

microε ταυτόχρονη ολίσθηση δεν ισχύει η συνθήκη microη ολίσθησης άρα αcm = αγων R

Υπολογισmicroός του χρόνου κίνησης και του microέτρου της τελικής ταχύτητας κατά την

κύλιση χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο χωρίς ολίσθηση

΄Οταν ένα στερεό microάζας Μ ακτίνας R και οπής αδράνειας ως προς το κέντρο microάζας του

I cm κυλίεται χωρίς να ολισθαινει σε κελιmicroένο επίπεδο τότε ο χρόνος που χρειάζεται για να

ϕτάσει στην άση του κεκλιmicroένου επιπέδου όπως και η ταχύτητα του κέντρου microάζας του

υπολογίσζονται εύκολα microε τα ακόλουθα ήmicroατα

Υπολογίζουmicroε την επιτάχυνση αcm του κέντρου microάζας του σώmicroατος από τις εξισώσεις

ΣF x = mαcm Στ = I cmαγων αcm = αγων R

Υπολογίζουmicroε τον χρόνο κίνησης του στερεού από την εξίσωση κίνησης για την οmicroαλά

επιταχυνόmicroενη microεταφορική κίνηση x = 12

αcmt2 rArr t =

2xαcm





Υπολογίζουmicroε την τελική ταχύτητα του κυλίνδρου από την εξίσωση της ταχύτητας

υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx

Λύσε απο τον ΄Β τόmicroο των Γ Μαθιουδάκη amp ΓΠαναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες

ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143

ΓΣώmicroα που εκτελεί στροφική κίνηση microε microεταβλητή επιτάχυνση

Στην περίπτωση microιας οmicroογενούς άβδου microάζας Μ microήκους Lκαι οπής αδράνειας ως προς το κέντρο microάζας I cm = 1

12M L2

που περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από το άκρο της

Ο microε την επίδραση του άρους πρέπει να είmicroαστε προσεκ-

τικοίΗ γωνιακή επιτάχυνση δεν είναι σταθερή γιατί η οπή

του άρους ως προς τον άξονα περιστροφής δεν είναι σταθερή

κατα την διάρκεια της περιστροφής

Εφαρmicroόζοντας το ϑεmicroελιώδη νόmicroο της στροφικής κίνησης

σε microια τυχαία ϑέση που η άβδος σχηmicroατίζει γωνία θ microε το οριζόντιο επίπεδο προκύπτει

ότι

Στ (o) = I (o)αγων

έβαια δεν ξεχνάmicroε την εφαρmicroογή του Θεωρήmicroατος Steiner για τον σωστό υπολογισmicroό

της οπής αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής

I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2

Η οπή του άρους microπορει έυκολα να υπολογιστει από την σχέση

τ (o) = M gL

2συνθ

είναι προφανές ότι στην οριζόντια ϑέση της άβδου (θ = 0) η οπή του άρους είναι

απλά M gL2

΄Αρα microε άση τα παραπάνω η γωνιακή επιτάχυνση microπορεί να υπολογιστεί microόνο

σε συγκεκριmicroένες ϑέσεις και χρονικές στιγmicroές και όχι για όλη την διάρκεια τηςκίνησης και είναι ίση microε

αγων = 3

2Lσυνθ

Προσοχή σε αυτού του είδους την κίνηση δεν ισχύουν οι εξισώσεις της οmicroαλά microετα-

αλλόmicroενης στροφικής κίνησης Ο υπολογισmicroός της γωνίας στροφής και της γωνιακής

ταχύτητας microπορούν να γινουν microε την ∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας που ϑα δούmicroε

παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163





76 Στροφορmicroή-∆ιατήρηση Στροφορmicroής

Στην Φυσική της Α Λυκείου microελετώντας την microεταφορική κίνηση ενος υλικού σηmicroείου γν-

ωρίσαmicroε την έννοια της ορmicroής ( P ) Το αντίστοιχο microέγεθος της ορmicroής για την στροφική

κίνηση ενός στερεού είναι η στροφορmicroή που την συmicroβολίζουmicroε microε το σύmicroβολο L

α) Στροφορmicroή Υλικού σηmicroείου

Θεωρούmicroε ένα υλικό σηmicroείο microάζας m που κινείται στην περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας r

έχοντας στιγmicroιαία ορmicroή P όπως στο σχηmicroα

Ονοmicroάζουmicroε Στροφορmicroή του υλικού σηmicroείου ως προς

έναν άξονα zz που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής

τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της ένα διανυσ-

microατικό microέγεθος L που έχει


ϕορά τη ϕορά που καθοριζεται από τον κανόνα του δεξ-

ιού χεριού

microέτρο ίσο microε το γινόmicroενο του microέτρου p της ορmicroής του

υλικού σηmicroείου επί την ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς

∆ηλαδή

L = pr rArr L = mυr (135)

Μονάδα microέτρησης της στροφορmicroής υλικού σηmicroείου στο SI είναι το 1kgm2s

Αν ω είναι το microέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σηmicroειου τότε η σχέση (135)

γράφεται

L = m(ωr)r rArr L = mr2ω (136)

Ο τρόπος ορισmicroού της στροφορmicroής έχει umlπολλά κοινάuml microε τον ορισmicroό της οπής (τ = F r)

Τα διανύσmicroατα της στροφορmicroής και της οπής έχουν την ίδια διεύθυνση και η ϕορά τους

προσδιορίζεται microε τον ίδιο τρόπο ΄Αρα δεν πρέπει να ξεχνάmicroε ότι η απόσταση r από τον

άξονα περιστροφής είναι η κάθετη στο διάνυσmicroα της ταχύτητας (υ) ακριβώς όπως και ο

microοχλοβραχίονας microιας δύναmicroης στην περίπτωση της οπής

) Στροφορmicroή Στερεού σώmicroατος

Ονοmicroάζουmicroε στροφορmicroή ενός στερεού σώmicroατος το οποίο περιστρέφεται γύρω από

ένα άξονα περιστροφής zz το διανυσmicroατικό άθροισmicroα των στροφορmicroών των σ-

τοιχειωδών microαζών που το αποτελούν ως προς τον ίδιο άξονα

Θεωρούmicroε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από το σταθερο άξονα zz microε γωνιακή

ταχύτητα ω Χωρίζουmicroε το σώmicroα σε στοιχειώδη τmicroήmicroατα microε microάζες m1 m2mν τόσο





microικρά που το καθένα microπορεί να ϑεωρηθεί υλικό σηmicroείο Κατά την περιστροφή του σώ-

microατος οι στοιχειώσεις αυτές microάζες διαγράφουν κυκλικές τροχές γύρω από τον άξονα zz

microε την ίδια γωνιακή ταχυτητα ω και γραmicroικές ταχύτητες υ1 = ωr1 υ2 = ωr2υν = ωrν Οι στροφορmicroές των στοιχειωδών microαζών του σώmicroατος έχουν όλες

την ίδια κατευθυνση και microέτρο

L1 = m1ωr21 L2 = m2ωr22 Lν = mν ωr2ν

Η στροφορmicroή του σώmicroατος είναι το άθροισmicroα των στροφορ-

microών των στοιχειωδών microαζών που το αποτελούν ∆ηλαδή

L = L1 + L2 + + Lν rArrL = m1ωr21 + m2ωr22 + + mν ωr2ν rArrL = (m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω rArr

L = I ω

όπου έβαια I = m1r21+m2r22++mν r2ν η οπή αδράνειας

του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής zz Εποmicroένως

Η στροφορmicroή ενός στερεού σώmicroατος που περι-

στρέφεται γύρω από άξονα ειναι ένα διανυσmicroατικό microέγε-

ϑος L το οποίο έχει

διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα

ϕορά τη ϕορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού

χεριού

microέτρο ίσο microε το γινόmicroενο της οπής αδράνειας I του

στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής επό το microέτρο

ω της γωνιακής ταχύτητας του στερεού ∆ηλαδή

L = I ω (137)

Η σύmicroβαση για την αλγεβρική τιmicroή της στροφορmicroής ειναι η ίδια microε εκείνη της οπής

΄Ετσι ϑεωρούmicroε ως ϑετική την αλγεβρική τιmicroή της στροφορmicroής ενός σώmicroατος που στρέφεται αντίθετα προς την ϕορά των δεικτών του ολογιού και αρνητική όταν στρέφεται microε την ϕορά

των δεικτών του ολογιού

Το σπίν Η περιστροφή που microπορεί να κάνει ένα σώmicroα γύρω άξονα που διέρχεται από

το κέντρο microάζας του έχει στροφορmicroή που την ονοmicroάζουmicroε umlσπίνuml Για παράδειγmicroα η γή

έχει σπιν εξαιτίας της περιστροφής της γύρω από τον άξονα της και τροχιακή στροφορmicroή

λόγω της περιστροφής της γύρω από τον ΄Ηλιο Επίσης τα στοιχειώδη σωmicroατίδια όπως το

ηλεκτρονιο έχουν σπιν συγκεκριmicroένου microέτρου που τα διακρίνει σε ϕερmicroιόνια και microποζονια

(αλλά δεν microας αφορά σε αυτό το microάθηmicroα)





γ) Στροφορmicroή συστήmicroατος σωmicroατιδίων

Ονοmicroάζουmicroε στροφορmicroή ενός συστήmicroατος σωmicroάτων το διανυσmicroατικό άθροισmicroα των στροφορ- microών των σωmicroάτων που απαρτίζουν το σύστηmicroα

∆ηλαδή αν οι στροφορmicroές των σωmicroάτων που απαρτίζουν ένα σύστηmicroα είναι L1 L2 Lν

τότε η στροφορmicroή L του συστήmicroατος ειναι

L = L1 + L2 + + Lν

Γενικότερη διατύπωση του Θεmicroελιώδη Νόmicroου της στροφικής κίνησης

Θεωρούmicroε ότι η οπή αδράνειας ενός στερεού σώmicroατος που περιστρέφεται γύρω από σ-

ταθερό άξονα είναι σταθερή και ότι σε απειροστά microικρό χρόνο dt η γωνιακή ταχύτητα

microεταβάλλεται κατά dω οπότε από την σχέση (137) προκύπτει

L = I ω rArr dL = I dω rArr dL

dt = I

dω

dt = I αγων rArr Στ =

dL

dt

΄Αρα Το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών που δρουν σε ένα στερεό το οποίο περιστρέφε-

ται γύρω από σταθερο άξονα είναι ίσο microε την αλγεβρική τιmicroή του υθmicroού microεταβολής της

στροφορmicroής του

Η παραπάνω διατύπωση είναι γενικότερη της Στ = I αγων γιατί ισχυει ακόmicroα και όταν

η οπή αδρανείας δεν είναι σταθερή

Ο νόmicroος της στροφικής κίνησης σε σύστηmicroα σωmicroάτων

Σε ένα σύστηmicroα σωmicroάτων το αλγεβρικό άθροισmicroα όλων των οπών δηλαδή εκείνων που

οφείλονται σε εσωτερικές δυνάmicroεις καθώς και εκεινων που οφειλονται σε εσωτερικές δυνάmicroεις

ειναι ίσο microε την αλγεβρική τιmicroή του υθmicroού microεταβολής της στροφορmicroής του συστήmicroατος

όmicroως η οπή των εσωτερικών δυνάmicroεων είναι microηδενική Σύmicroφωνα microε τον 3ο νόmicroο του

Νεύτωνα οι εσωτερικές δυνάmicroεις εmicroφανίζονται σε εύγη δράσης - αντίδρασης οπότε οι

οπές τους αλληλοαναιρούνται και έτσι σε ένα σύστηmicroα σωmicroάτων ο ϑεmicroελιώδης νόmicroος της

στροφικής κίνησης microπορεί να γραφτει

Στ ξ = dL

dt (138)

όπου έβαια το Στ ξ είναι το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των εξωτερικών δυνάmicroεων

ως προς κάποιο άξονα περιστροφής και L η στροφορmicroή του συστήmicroατος ως προς τον ίδιο

άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587





761 ∆ιατήρηση της Στροφορmicroής

Αν στην γενικότερη διατυπωση του ϑεmicroελιώδη νόmicroου της στροφικής κίνησης ϑέσουmicroε Στ =0 τότε

Στ = dL

dt = 0 rArr L = σταθ

∆ηλαδή Αν το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των δυνάmicroεων που δρουν σε ένα

στερεό σώmicroα (ως προς κάποιο άξονα) είναι microηδέν η στροφορmicroή του σώmicroατος ( ως

προς τον ίδιο άξονα) παραmicroένει σταθερή

Για ένα σύστηmicroα σωmicroάτων είναι προφανές ότι αν Στ ξ = 0 η στροφορmicroή του συστήmicroατος

των σωmicroάτων ϑα παραmicroένει σταθερή

Μεταβολή της οπής αδράνειας και διατηρηση της στροφορmicroής

Θεωρούmicroε ότι το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των εξωτερικών δυνάmicroεων που δρουν σε

ενα περιστρεφόmicroενο σώmicroα είναι microηδέν Αν λόγω ανακατανοmicroης της microάζας microεταβληθει η

οπή αδράνειας του σώmicroατος ως προς τον άξονα περιστροφής του τότε microεταβαλλεται και η

γωνιακή του ταχύτητα αλλά η στροφορmicroή του διατηρείται σταθερή ∆ηλαδη

Lαρχ = Lτλ (139)

Αν το σώmicroα στρέφεται γύρω από έναν ακλόνητο άξονα περιστροφής ή γύρω από ένα

νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο microάζας του σώmicroατος και microετατοπίζεται παράλληλα

προς τον εαυτό του τότε η παραπάνω σχέση ειναι αλγεβρική

Αν I 1 η αρχική οπή αδράνειας και ω1 η αρχική γωνιακή ταχύτητα του σώmicroατος και I 2η τελική οπή αδράνειας και ω2 η τελική γωνιακή ταχύτητα του σώmicroατος τότε από την Αρχή

∆ιατήρησης της Στροφορmicroής προκύπτει

I 1ω1 = I 2ω2

Από την παραπάνω σχέση είναι προφανές ότι όταν microεταβάλλεται η οπή αδράνειας ενός

σώmicroατος ή ενός συστηmicroατος σωmicroάτων τότε microεταβάλλεται και το microέτρο της γωνιακής ταχυτη-

τας Αυτό σηmicroαίνει ότι microποτούmicroε να έχουmicroε γωνιακή επιτάχυνση ενός σώmicroατος ακόmicroα και όταν το αλγεβρικό άθροισmicroα των οπών των εξωτερικών δυνάmicroεων είναι microηδέν

Το παράδειγmicroα του πατινάζ Μια αθλήτρια του πατινάζ που στριφογυρίζει στο παγο-

δρόmicroιο microπορεί συmicroπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της να αυξήση την γωνιακή ταχύτητα

περιστροφής της Λογικό γιατί αν ϑεωρήσουmicroε αmicroελητέες τις τριβές τότε οι οπή της microόνης

εξωτερικής δύναmicroης που είναι το άρος ϑα ειναι microηδέν και η στροφορmicroή ϑα πρέπει να

διατηρείται σταερή άρα αφού microειώνετε η οπή αδράνειας ϑα αυξάνετε η γωνιακή ταχύτητα

της

Το παράδειγmicroα των umlνεκρώνuml άστρων Τα αστέρια στο τελευταίο στάδιο της ωής

τους έχουν microάζα απο 14 microέχρι25 ϕορές την microάζα του ήλιου microετατρέπονται σε αστέρες





νετρονίων Τα αστέρια αυτά όταν εξαντλήσουν τα αποθέmicroατα ενέργειας τους συρρικνώνον-

ται λόγο της αρύτητας microε αποτέλεσmicroα η ακτίνα τους να είναι microόνο microερικές δεκάδες km

Επειδή η οπή των εξωτερικών δυνάmicroεων κατά την διαδικασία αυτή είναι microηδέν η στρο-ϕορmicroή του αστεριού ϑα παραmicroένει σταθερή Η δραmicroατική microειωση της οπής αδράνειας του

αστεριού έχει σαν αποτέλεσmicroα την άυξηση της γωνιακής του ταχυτητας Αξίζει να σηmicroειωθεί

ότι ένας αστέρας νετρονίων έχει περίοδο περιστροφής 13000

s microε την περίοδο περιστροφής

του ήλιου να ειναι 25 microέρες


ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112

77 Κινητική Ενέργεια και ΄Εργο στην Στροφική Κίνηση

Κινητική Ενέργεια λόγω microεταφορικής Κίνησης

Θεωρούmicroε ένα σώmicroα microάζζας M που εκτελεί microεταφορική κίνηση microε ταχύτητα υ Για να

υπολογίσουmicroε την κινητική ενέργεια του σώmicroατος το χωρίζουmicroε σε στοιχειώδης microάζες

m1 m2mν που λόγω της microεταφορικής κίνησης έχουν όλες την ίδια ταχύτητα υ Η κιν-

ητική ενέργεια του σώmicroατος είναι ίση microε το άθροισmicroα των κινητικών ενέργειων των microαζών

από τις οποίες αποτελείται ∆ηλαδή

K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)

Η παραπάνω σχέση ειναι προφανώς η γνωστή σχέση για την Κινητική Ενέργεια που microά-ϑαmicroε στην Α Λυκείου η οποία έβαια αναφερόνταν στην microεταφορική κίνηση υλικού σηmicroείου

Κινητική Ενέργεια λόγω περιστροφής

Θεωρούmicroε ένα σώmicroα που στρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από άξονα zz όπως ϕαίνεται στο σχήmicroα

Για να υπολογίσουmicroε την Κινητική Ενέργεια του σώmicroατος ϑα το

χωρίσουmicroε σε στοιχειώδεις microαζες m1 m2mν οι οποίες απέχουν α-

ποστάσεις r1 r2rν αντίστοιχα από τον άξονα περιστροφής Οι microάζες

αυτές έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραmicromicroικές ταχύτητες microε

microέτρα υ1 = ωr1 υ2 = ωr2υν = ωrν Η κινητική ενέργεια του σώmicroα-

τος είναι ίση microε το άθροισmicroα των κινητικών ενεργειών των microαζών από

τις οποίες αποτελείται ∆ηλαδη

K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2





Κινητική Ενέργεια σώmicroατος που εκτελεί σύνθετη κίνηση

Αν ένα σώmicroα εκτελεί ταυτόχρονα microεταφορική κίνηση microε ταχύτητα υcm

και στροφική κίνηση

microε γωνιακή ταχύτητα ω Η κινητική ενέργεια του σώmicroατος αυτού ϑα είναι το άθροισmicroα των

δύο κινητικών ενεργειών ∆ηλαδή

K = K microτ + K πρ = 1

2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

όπου M η microάζα του σώmicroατος και I cm η οπή αδράνειας του σώmicroατος ως προς άξονα

που διέρχεται από το κέντρο microάζας του και έχει την ίδια διεύθυνση microε τη γωνιακή ταχύτητα

΄Εργο κατά την στροφική κίνηση

Στην Φυσική Α Λυκειου microάθαmicroε ότι το έργο microιας σταθερής δύναmicroης F που microετακινεί τοσηmicroείο εφαρmicroογής κατά ∆x υπολογίζεται από την σχέση W = F middot ∆x Αντίστοιχα microπορούmicroε

να ορίσουmicroε το έργο microιας δύναmicroης που περιστρέφει ένα σώmicroα ως συνάρτηση της οπής και

της γωνίας στροφής

Αν υποθέσουmicroε ότι σε ένα τροχό ακτίνας R που microπορέι να

περιστρέφεται γύρω απο άξονα που διέρχεται από το κέντρο

του ασκείτε microια εφαπτοmicroενική δύναmicroη F σταθερού microέτρου

΄Οταν ο τροχός στρέφεται κατά την απειροστά microικρή γωνία

dθτότε το σηmicroείο εφαρmicroογής της δύναmicroης microετατοπίζεται κατά

το αντίστοιχο απειροστά microικρό microήκος ds = Rdθ Επειδή η

δύναmicroη και το απειροστό τόξο ds έχουν ϑεωρητικά την ίδια διεύθυνση microπορούmicroε να υπ-ολογίσουmicroε το στοιχειώδες έργο από την σχέση

W = F ds rArr dW = FRdθ

Επειδή όmicroως τ = F R είναι το microέτρο της οπής της δύναmicroης ως προς τον άξονα περι-

στροφής η παραπάνω σχέση γράφεται

dW = τ dθ (143)

΄Οταν microια δύναmicroη περιστρέφει ένα σώmicroα κατα γωνία θ τότε για να υπολογίσουmicroε το

έργο W της δύναmicroης χωρίζουmicroε την γωνία σε απειροστές γωνίες dθ και αθροίζουmicroε τααντίστοιχα στοιχειώδη έργα dW Αν γ οπή της δύναmicroης έχει σταθερό microέτεο ίσο microε τ τότε

το έργο της υπολογίζεται από την σχέση

W = τ θ (144)

Το έργο W microια οπής microπορέι να είναι ϑετική ή αρνητικό Θετικό είναι όταν η οπή έχει

την ίδια ϕορά microε την ϕορά περιστροφής του σώmicroατος και αρνητικό όταν η οπή έχει ϕορά

αντίθετη απο την ϕορά περιστροφής





Ισχυς δύναmicroης στη στροφική κίνηση

΄Εστω ότι ένα σώmicroα που εκτελεί στροφική κίνηση δέχεται την επίδραση microιας εξωτερικής

δύναmicroης F της οποίας η οπή ως προς άκονα περιστροφής του σώmicroατος έχει microέτρο τ Αν

σε ένα απειροστά microικρό χρονικό διάστηmicroα dt το σώmicroα περιστρέφεται κατα απειροστη γωνία

dθ τότε η δύναmicroη παράγει έργο dW

dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt

Είναι προφανές ότι ο υθmicroός microεταβολής του έργου dW dt

είναι το microέγεθος της στιγmicroιαίας

ισχύος (P ) και έβαια ο υθmicroός microεταβολής της γωνίας στροφής είναι η γωνιακή ταχύτητα

Εποmicroένως η ισχυς microιας δύναmicroης σε microια χρονική στιγmicroή t είναι

P = τ ω (145)

Στο SI η microονάδα microέτρησης της ισχύος είναι το 1Watt Αξίζει να σηmicroειωθεί ότι στην

microεταφορική κίνηση η στιγmicroιαία ισχύς δίνεται από την σχέση

P = F υ

Η microέση ισχύς P microιας δύναmicroης ή της οπής microιας δύναmicroης ονοmicroάζεται το πηλίκο του έργου

∆W το οποίο παράγεται από την δύναmicroη ή τη οπή της δύναmicroης σε χρόνο ∆t προς το

χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)

Θεώρηmicroα ΄Εργου- Ενέργειας στη στροφική κίνηση

Από τον ϑεmicroελιώδη νόmicroο της στροφικής κίνησης προκύπτει ότι όταν σε ένα σώmicroα που

στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκούνται εξωτερικές οπές microε Στ = 0 τότε το σώmicroα

αποκτά γωνιακή επιτάχυνση microε αποτέλεσmicroα την microεταβολή της γωνιακής του ταχύτητας ωκαι κατά συνέπεια και της κινητικής ενέργειας περιστροφής της K = 1

3Iω2

Η microεταβολή της Κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώmicroατος ειναι ίση microε το έργο

των δυνάmicroεων που οι οπές τους προκαλούν την microεταβολή ΄Ετσι για την περίπτωση ενός

στερεού σώmicroατος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα το γνωστό microας από την Α Λυκειου

Θεώρηmicroα ΄Εργου - Ενέργειας (ΘΜΚΕ) γράφεται

K 2 minus K 1 = ΣW rArr 1

2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)

Το έργο της στατικής τριβής κατά την κύλιση χωρίς ολίσθηση

΄Οπως έχουmicroε ξαναδει παραπάνω στο πρόβληmicroα της κύλισης χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο

ή κεκλιmicroένο επίπεδο εmicroφανίζεται η δύναmicroη της στατικής τριβής στο σηmicroείο επαφής του

στερεού microε το δάπεδο Το έργο της στατικής τριβής κατά την σύνθετη κίνηση του

στερεού είναι ίσο microε microηδέν Η στατική τριβή δεν microετατοπίζει το σηmicroείο εφαρmicroογής





της αφού κάθε στιγmicroή ασκείται σε διαφορετικό σηmicroείο έτσι έχει έργο microηδέν Βέβαια η

απάντηση δεν είναι τόσο προφανής όσο το σχολικό ιβλίο την εmicroφανίζει

Αν ϑεωρήσουmicroε ότι σε χρόνο ∆t το κέντρο microάζας του κυλίνδρου microετατοπίζεται κατά ∆xπάνω σε κεκλιmicroένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ και ο κύλινδρος στρέφεται γύρω από τον άξονα

συmicromicroετρίας του κατά ∆θ χωρίς ολίσθηση τότε ισχύει

∆x = R∆θ

Το έργο της στατικής τριβής κατά την περιστροφη γύρω από τον άξονα περιστροφής είναι

ίσο microε την αντίστοιχη microεταβολή της κινητικής ενέργειας λόγω της περιστροφικής κίνησης

σύmicroφωνα microε το Θεώρηmicroα ΄Εργου - Ενέργειας στην στροφική κίνηση Αρα έχουmicroε

∆K πρ = ΣW = (T στ R)∆θ

Το έργο της στατικής τριβής microαζί microε το έργο του άρους κατά την microεταφορική κίνηση

του κέντρου microάζας ειναι ίσο microε την microεταβολή της κινητικής ενέργειας λόγω της microεταφορικήςκίνησης Θεώρηmicroα ΄Εργου - Ενέργειας στην microεταφορική κίνηση ΄Αρα έχουmicroε

∆K microτ = ΣW = W x∆x minus T στ ∆x rArr ∆K microτ = ΣW = W x∆x minus T στ R∆θ

Η microεταβολή της Κινητικής ενέργειας λόγω της σύνθετης κίνησης προκύπτει από την

σχέση

∆K πρ + ∆K microτ = T στ R∆θ + W x∆x minus T στ R∆θ rArr ∆K = W x∆x

Από τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής συmicroπεράσmicroατα

Το έργο της στατικής τριβής κατά τη στροφική κίνηση είναι αντίθετο microε το έργο της

ίδιας δυναmicroης κατά την microεταφορική κίνηση στον ίδιο χρόνο ∆t ∆ηλαδή το συνολικό

έργο της στατικής τριβής είναι microηδέν

Μπορούmicroε να εφαρmicroόσουmicroε την Αρχή ∆ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας

(Α∆ΜΕ) αφού η microόνη δύναmicroη που παράγει έργο είναι το άρος που είναι microια

συντηρητική δύναmicroη

Η ∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας

Η Α∆ΜΕ σε ένα σύστηmicroα ή ένα σύστηmicroα σωmicroατων εφαρmicroόζεται όταν οι δυνάmicroεις που

ασκούνται και παράγουν έργο είναι συντηρητικές δυνάmicroεις ( πχ άρος δύναmicroη ε-

λατηρίου) Στην γενική περίπτωση που ένα στερεό εκτελει σύνθετη κίνηση πρέπει

E microηχ = K microτ + K πρ + U βαρ = στ αθρo (148)

Βέβαια πριν την εφαρmicroογή της παραπάνω σχέσης πρέπει να επιλέξουmicroε ένα οριζόντιο

επίπεδο ως επίπεδο αναφοράς (U βαρ = 0) Συνήθως επιλέγουmicroε το χαmicroηλότερο σηmicroείο από

το οποίο διέρχεται το κέντρο microάζας κατά την κίνηση


ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174





Αντιστοίχιση microεγεθών και νόmicroων microεταξύ microεταφορικής και στροφικής κίνησης

Μεταφορική Κίνηση Στροφική Κίνηση

Μετατόπιση x Γωνία στροφής θ

Ταχύτητα υ = dxdt

Γωνιακή ταχύτητα ω = dωdt

Επιτάχυνση α = dυdt

Γωνιακή επιτάχυνση αγων = dωdt

∆ύναmicroη F Ροπή ∆ύναmicroης τ Μάζα m Ροπή Αδράνειας I Θεmicroελιώδης Νόmicroος της Μηχανικής Θεmicroελιώδης Νόmicroος Στροφικής Κίνησης

Σ F = m α Στ = I αγων

Ορmicroή P = mυ Στροφορmicroή L = I ω

Σ F =

d P

dt Στ = dL

dt∆ιατήρηση της Ορmicroής ∆ιατήρηση της Στροφορmicroής

Αν Σ F ξ = 0 τότε P =σταθ Αν Στ ξ = 0 τότε L =σταθ

΄Εργο σταθερής δύναmicroης ΄Εργο σταθερής οπής

W = F x W = τ θΙσχύς δύναmicroης Ισχύς οπής

P = F υ P = τ ωΚινητική Ενέργεια microεταφοράς Κινητική Ενέργεια περιστροφής

K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2

Θεώρηmicroα ΄Εργου - Ενέργειας στη microεταφορική

κίνηση

Θεώρηmicroα ΄Εργου Ενέργειας στη στροφική

κίνησηΣW = 12

mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1

Είναι προφανές από τον παραπάνω πίνακα ότι microε την microηχανική στερεού σώmicroατος umlξανα-

γράψαmicroεuml την microηχανική του υλικού σηmicroείου που microελετήσαmicroε στην Α Λυκείου microε microια νέα

γλώσσα Οι microαθηmicroατικές σχέσεις δείχνουν microια απόλυτα umlσυmicromicroετρικήuml εικόνα ανάmicroεσα σ-

τις δύο κινήσεις Βέβαια αυτή την ϕορά έχουmicroε όλα τα umlεργαλείαuml για microια περισσότερο

εαλιστική εικόνα της κίνησης σε σχέση microε την microηχανική του υλικού σηmicroείου





ακ = υ2

R

= ω2

middotR (116)

Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση είναι υπεύθυνη για την microεταβολή της διεύθυνσης της γραmicro-

microικής ταχύτητας Η διεύθυνση της είναι πάντα κάθετη στην γραmicromicroική ταχύτητα

712 Οmicroαλή κυκλική κίνηση

΄Οταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας παραmicroένει σταθερό τότε η κίνηση του υλικού

σηmicroείου χαρακτηρίζεται ως Οmicroαλή Κυκλική Κίνηση

Στην κίνηση αυτή παραmicroένει επίσης σταθερό και το microέτρο της γωνιακής ταχύτητας

οπότε προκύπτει

ω = ∆θ

∆t =

θ minus 0

t minus 0 rArr θ = ω middot t

Στην οmicroαλή κυκλική κίνηση το υλικό σηmicroείο σε ίσους χρόνους διανύει ίσα τόξα

713 Μεταβαλλόmicroενη κυκλική Κίνηση

Θεωρούmicroε ένα υλικό σηmicroείο το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R Αν υποθέσουmicroε

ότι σε χρονικό διάστηmicroα dt microεταβάλλεται η γραmicromicroική ταχυτητα κατά dυ και η γωνιακή

ταχύτητα κατά d ω τότε η κίνηση του είναι microια microεταβαλλόmicroενη κίνηση

Γραmicromicroική ( ή επιτρόχια) επιτάχυνση

Λόγω της microεταβολής του microέτρου της γραmicromicroικής ταχύτητας το υλικό σηmicroείο έχει γραmicromicroική

επιτάχυνση

Ονοmicroάζουmicroε γραmicromicroική επιτάχυνση α του υλικού σηmicroείου τη χρονική στιγmicroή t ένα διάνυσmicroα του οποίου το microέτρο είναι ίσο microε το microέτρο του υθmicroού microεταβολής της γραmicromicroικής

ταχύτητας

α = dυ

dt (117)

Η γραmicromicroική επιτάχυνση εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς και έχει τη ϕορά της κίνησηςόταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας αυξάνεται και ϕορά αντίθετη από τη ϕορά της

κίνησης όταν το microέτρο της γραmicromicroικής ταχύτητας ελαττώνεται Η microονάδα microέτρησης της

γραmicromicroικής επιτάχυνσης είναι το 1ms2

Το διανυσmicroατικό άθροισmicroα της γραmicromicroικής επιτάχυνσης α και της κεντροmicroόλου

επιτάχυνσης ακ δίνει την συνισταmicroένη επιτάχυνση α = α + ακ του υλικού σηmicroείου

σε κάθε ϑέση της τροχιάς του Το microέτρο της συνολικής επιτάχυνσης είναι ίσο microε α = α2 + α2

κ








αγων = dω

dt (118)







dt = R

dω







αγων = ∆ω

∆t =

ω minus ω0

t minus 0


ω = ω0 + αγων t (119)




∆ω∆t





θ = ω0t + 1

2αγων t

2 (120)







minus |αγων

|t και θ = ω0t

minus 12

|αγων

|t2








υ = υ0 + αt ω = ω0 + αγων ts = υ0t + 1

2αt

2 θ = ω0t + 12

αγων t2




2|αγων |t2






Α Λυκείου





































ισχύει ότι

Σ F = m αcm (121)





































dθ = ds









dxdt











υo = υcm






υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm








(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1













αγων = dω

dt (118)







dt = R

dω







αγων = ∆ω

∆t =

ω minus ω0

t minus 0


ω = ω0 + αγων t (119)




∆ω∆t





θ = ω0t + 1

2αγων t

2 (120)







minus |αγων

|t και θ = ω0t

minus 12

|αγων

|t2








υ = υ0 + αt ω = ω0 + αγων ts = υ0t + 1

2αt

2 θ = ω0t + 12

αγων t2




2|αγων |t2






Α Λυκείου





































ισχύει ότι

Σ F = m αcm (121)





































dθ = ds









dxdt











υo = υcm






υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm








(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1












minus |αγων

|t και θ = ω0t

minus 12

|αγων

|t2








υ = υ0 + αt ω = ω0 + αγων ts = υ0t + 1

2αt

2 θ = ω0t + 12

αγων t2




2|αγων |t2






Α Λυκείου





































ισχύει ότι

Σ F = m αcm (121)





































dθ = ds









dxdt











υo = υcm






υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm








(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1































ισχύει ότι

Σ F = m αcm (121)





































dθ = ds









dxdt











υo = υcm






υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm








(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1





































dθ = ds









dxdt











υo = υcm






υM =

υ2cm + υ2 =

radic 2υcm








(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1













(αcm = dυcmdt


) έχουmicroε


dt = R middot dω











172 175 177 186 - 192 194 197 198 1100 1101 1102 1105





















































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1












































ιού χεριού



τ = F middot l









τ = F 1x1 + F 2x2 = F 1(x1 + x2)rArr

τ = F 1d





















Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1














Σ F = 0 (128)






Στ = 0 (129)














ΣF x = 0 ΣF y = 0 Στ = 0








2105 2107 2108 2111 2113 2116 2118 2123















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1




















I = m1r21 + m2r

22 + mν r

2ν (130)







I = mr2 (131)









2

rArr I = (m1 + m2 + mν )R2

rArrI = M R2















I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1












I p = I cm + M d2 (132)




I p = I cm + M d2


rArrI p = 2MR2

















Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1














Σ F = m α (133)
















































κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1

























κα










ση αγων )



468 469 470
















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1

















Σ F = mα



υ = υ0 + αt x = υ0t + 1

2αt2



Στ = I αγων


ω = ω0 + αγωτ t θ = ω0t + 1

2αγων t

2









αcm = αγων R















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1


















Σ F = m αcm



Στ = I αγων






αcm = αγων R

















Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1











Στ = I cm

αγων rArr

T R = I cm

αγων


αcm = αγων R






χουmicroε






αcm = αγων R






m





























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1




























T στ lt microsN













αcmt2 rArr t =

2xαcm






υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1











υcm = αcmt

rArrυcm =

radic 2αcmx


ασκήσεις 413 - 416 419 - 444 4114 4116 4117 4119 44121 4122 4127

4129 4130 4131 4132 4136 4137 4141 4143



12M L2








ότι




I (o) = I cm + M

L

2

2

= 1

3M L2


τ (o) = M gL

2συνθ


απλά M gL2



αγων = 3

2Lσυνθ




παρακάτω


ασκήσεις4150 4152 4153 4155 4156 4157 4158 4159 4161 4163


















ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1























ιού χεριού



∆ηλαδή




γράφεται

























2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1


















2ν )ω rArr

L = I ω








χεριού




L = I ω (137)


















L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1














L = L1 + L2 + + Lν






dt = I

dω


dL

dt














Στ ξ = dL

dt (138)



άξονα


ασκήσεις 526 - 536 560 - 563 565 567 569 570 - 572 574 576 579 583

584 586 587







Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1












Στ = dL


















I 1ω1 = I 2ω2









της















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1


















ασκήσεις 51 - 525 537 - 549 593 595 - 599 5101 5102 5105 5107 5108

5109 5111 5112








K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr K = 1

2Mυ2 (140)











K = 1

2m1υ2 +

1

2m2υ2 + +

1

2mν υ

2 rArr (141)

K = 1

2m1ω2r21 +

1

2m2ω2r22 + +

1

2mν ω

2r2ν rArr

K = 1

2(m1r21 + m2r22 + + mν r

2ν )ω2 rArr K =

1

2Iω2











2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1
















2Mυ2

cm + 1

2I cmω2 (142)

















dW = τ dθ (143)




W = τ θ (144)













dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1















dW = τ dθ rArr dW

dt = τ

dθ

dt





P = τ ω (145)



P = F υ



χρόνο ∆t

P = ∆W

∆t (146)





3Iω2






2Iω2

2 minus 1

2Iω2

1 = ΣW (147)














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1














∆x = R∆θ









σχέση


















ασκήσεις 61 - 662 690 692 693 6114 6116 6117 6118 6120 6121 6122

6123 6124 6125 6127 6130 6131 6132 6133 6136 6137 6139 6141

6143 6144 6145 6148 6149 6152 6155 6161 6167 6171 6172 6146

6147 6153 6156 6159 6160 6163 6164 6165 6166 6170 6174















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1




















Σ F =

d P

dt Στ = dL






K = 12

mυ2cm K = 1

2Iω2


κίνηση



mυ22 minus 1

2mυ2

1 ΣW = 12

Iω22 minus 1

2Iω2

1







Mix Aniki Stereo u

Documents

Transcript of Mix Aniki Stereo u