Misure meccaniche: introduzione

October 3, 2010

1 Introduzione alle misura

1.1 Procedimenti conoscitivi.

Misurare signica conoscere e conoscere signica misurare: in che stato si trova,come evolve e quanto bene sta procedendo un processo tecnologico.

La logica di un processo conoscitivo si fonda su tre passi:

Classicazione: individuazione delle caratteristiche o delle proprietàsalienti di un oggetto o di un fenomeno sico; raggruppamento degli ogget-ti o dei fenomeni in classi ove le proprietà individuate siano omogenee(metodo conoscitivo qualitativo).

Ordinamento: considerazione delle proprietà che possano essere ordi-nate secondo una scala (forma di quanticazione delle proprietà, basatasull'intensità della proprietà selezionata).

Misurazione: associazione alla proprietà considerata in modo univoco diun numero che la rappresenta ogni volta che tale proprietà si manifestaeguale a se stessa. Si instaura così una scala di misura (si stabilisceuna corrispondenza biunivoca tra le proprietà siche degli oggetti o deifenomeni, ed i numeri reali.

Una operazione di misura è costituita da un insieme di regole e/o conven-zioni, o anche da un procedimento sperimentale, per mezzo dei quali alla propi-età sica sotto osservazione viene associato un numero. Il numero è lamisuradella grandezza considerata!

Non si potrà mai conoscere il valore reale di una grandezza perchè il processodi misura perturba la grandezza da misurare. C'è quindi una certa approssi-mazione , denita impropriamente errore il quale può essere reso piccolo, mamai nullo!

1.2 Concetto di misura.

A

B= α misura di A (grandezza sica) rispetto a B (grandezza omoge-

nea con A). α esiste sempre ed è un numero reale.

1

A

U= a misura di A, dove U è una grandezza campione o unità .

Esempio: lunghezzeA

m= a metri, temperature

B

°C= b gradi centigradi

Per le misure a e b valgono le proprietà che valgono per i numeri reali:

somma, dierenza, prodotto ecc.. Esempio: A+B ⇐⇒ A

U+B

U= a+ b.

Si instaura una corrispondenza biunivoca tra le grandezze omogeneee i numeri reali ⇒ associare un numero ad una grandezza sica consistenell'individuare una unità U !

1.2.1 Cambiamento dell'unità di misura.

Se scelgo una nuova unità U' omogenea con A sarà:A

U ′= a′ 6= a.

Per passare da a ad a' sarà suciente eseguire il calcolo:A

U ′=A

U· UU ′

=

A

U· τ =⇒ a′ = a · τ con τ =

U

U ′fattore di ragguaglio.

Esempi:

voglio passare da mm a km - U=mm, U '=km τ =U

U ′=

1mm

106mm=

10−6km

1km= 10−6 =⇒ 2000mm · 10−6 = 2 · 10−3km = 0, 002km

voglio passare da kg a g - U=kg, U '=g τ =1kg

10−3kg=

103g

1g= 103

voglio passare da secondi a giorni -U=s, U '=giorni τ =1s

12 · 60 · 60giorni=

(12 · 60 · 60)−1s

1giorni=

1

43200= 2, 3148·10−5 =⇒ 56000s·2, 3148·10−5 ≈

1, 296giorni

E' possibile mettere in relazione le misure di grandezze diverse?

1.2.2 Grandezze di misura fondamentali e derivate

Grandezze geometriche

Lunghezza [L] grandezza fondamentale UL = m

Area [A] = [L× L] =[L2]

2

1.3 Sistema Tecnico (S.T.) e Sistema Internazionale (S.I.)

Gli ingegneri usavano (e usano) il Sistema Tecnico (o pratico) per il quale le unitàfondamentali sono: Lunghezza (metro), Tempo (secondo) e Forza (kilogrammo-forza kgf ). Nel Sistema Internazionale metro e secondo sono uguali mentre laterza unità fondamentale è la massa (kilogrammo-massa kgm). Che relazionec'è tra kgf e kgm?

1kgf = 1kgm · 9, 81ms−2 = 9, 81N

Quindi1kgf1N

= 9, 81 cioè il kgf è circa 10 volte più grande dell'unità di forza

del S.I..

E come è denita la massa nel S.T.?

1mp =1kgf

1ms−2=

1kgm · 9, 81ms−2

1ms−2= 9, 81kgm

Quindi1mp

1kgm= 9, 81 cioè l'unità di massa pratica è circa 10 volte più grande

dell'unità di massa del S.I..

Come si passa da un sistema ad un altro usando i fattori di ragguaglio?Bisogna comunque conoscere preventivamente le relazioni sopra riportate.

L'unità di misura della massa pratica è quindi derivata e la sua equazionedimensionale è: [M ] =

[F · L−1 · t2

]Esempio 3kgm nel S.I. a quanta massa pratica equivalgono? Cioè 3kgm =

(?)mp. Oppure: mST = mSI · τ , quanto vale τ?

Sappiamo che 1mp = 9, 81kgm quindi τ =Um(SI)

Um(ST )=

1kgm9, 81kgm

= 0, 102.

Sarà quindi mST = 3kgm · 0, 102 = 0, 306kgfs

2

m.

Lo stesso vale per le forze in quanto FST = FSI · τ , dove τ =UF (SI)

UF (ST )=

1N

9, 81N= 0, 102.

Ora possiamo per esempio calcolare il peso specico dell'aria nel S.T.: [γ] =[FpV

]=kgfm3

Legge dei gas perfetti: pV = RT .Siamo in condizioni standard:

p = 1Atm = 10333kgfm2∼= 1

kgfcm2

T = 25°C = 298K

R = 29, 27kgfm

K

3

quindi V =RT

p=

29, 27 · 298

10333m3 = 0, 844m3; in denitiva: γST =

1kgf0, 844m3

=

1, 19kgfm3

Per passare al S.I. bisogna trasformare i kgf in Newton moltiplicando per

9,81: γSI = 1, 19 · 9, 81N

m3= 11, 67

N

m3.

Ora per calcolare la massa specica sia nel S.T. che nel S.I. si può procederecome segue:

[ρ] =

[M

V

]e questa equivale alla ρSI = 1, 19

kgmm3

. Per trasformarla e

scriverla nel S.T. devo trasformare la massa in massa pratica e quindi:

ρST =1, 19

9, 81

mp

m3= 0, 121

kgfs2

m4.

1.4 Misurazione

Lo strumento di misura eettua il rapporto tra la grandezza da misurare A e

l'unità di misura U scelta per quella grandezza:A

U= a. Il risultato di questa

operazione è il numero a che quantica in modo oggettivo l'ampiezza o l'inensitàdella grandezza in esame. Siamo in grado di distinguere tra:

Misure dirette, eseguite con strumenti che operano il confronto direttotra A ed U. Sono semplici, piuttosto precise ma relativamente rare.

Misure indirette, ottenute applicando una legge sica. Se voglio la

velocità, misuro spazio e tempo e poi applico la: v =x

t. Sono misure

relativamente diuse ma soggette a incertezze maggiori (propagazione deglierrori)

Misure con strumenti tarati, eseguite mediante strumenti che hannomemorizzato al loro interno una volta per tutte il campione U dellagrandezza A da misurare. Sono le più diuse in campo scientico e tecnico.

Altra possibile classicazione:

Strumenti diretti: senza trasformazione della grandezza sica.

Strumenti indiretti: con trasformazione della grandezza sica:

Analogici: Strumenti a deessione (con quadrante graduato),Strumenti di zero ( con indice muto), Strumenti registratori

(memorizzano la funzione y = f (t))

Numerici: a memoria, a microprocessore, digitali.

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1.5 La catena di misura

Schema generale di uno strumento di misura:

A→ Sensore o trasduttore→Modificatore del segnale→ Strumento terminale→ a

Questo schema rappresenta una catena di misura (ad anello aperto). Cias-cuno stadio può essere suddiviso in uno o più sottostadi a seconda della comp-lessità dello strumento.

1.6 Le qualità metrologiche degli strumenti

La prima domanda che ci si deve porre è: che cosa si vuole misurare e perchè?

1. Si vuole avere un controllo di massima di una grandezza sica?

2. Si desidera fare una misura scientica rigorosa?

3. Si desisera utilizzare il valore della misura per un controllo automatico?

4. Si vuole conoscere entro quali limiti può variare una grandezza per im-postare un segnale di allarme?

In ogni caso va sempre denita a priori la qualità che la misura deve possedereper rispondere alle attese di chi compie la misura. Qualità elevata signicaottenere misure meno ambigue possibili, con bassa incertezza e costo elevato.

Le caratteristiche o qualità metrologiche esprimono quantitativamentele prestazioni di uno strumento o di un metodo di misura.

Schema del procedimento logico che orienta una misura:

grandezza A → STRUMENTO → misura a

1. Si sceglie lo strumento in base al campo di estensione della grandezza damisurare, in base all'entità delle variazioni che si prevede la grandezzapossa avere e alla velocità di variazione che la grandezza può manifestare.

2. Sul dispositivo di uscita dello strumento si legge il dato numerico a.

3. Per mezzo della graduazione dello strumento al dato numerico si associal'unità di misura U eseguendo di fatto l'operazione di misura: a · U = A.

4. Si è ottenuta la misura bruta della grandezza sica A. Bisogna individ-uare le incertezze associate alla misura bruta, corregere il dato ottenuto epassare alla misura corretta.

5. Con gli strumenti digitali è possibile eseguire molte misure a1, a2, ..., ane procedere ad un'analisi statistica dei dati.

5

Le caratteristiche metrologiche sono cinque, deniscono in modo quanti-tativo le prestazioni dello strumento e sono la misura della qualità dellostrumento.

1. CAMPO DI MISURA

2. SENSIBILITÀ

3. PRECISIONE

4. FINEZZA

5. RAPIDITÀ

1.6.1 Campo di misura

Il campo di misura è l'intervallo compreso tra i valori minimo e massimo dellagrandezza misurabili dallo strumento e, all'interno del quale, sono valide tuttele altre qualità metrologiche (nessuno strumento può misurare una grandezzasica da 0 a ∞).

Denizioni:

Portata minima. Valore al di sotto del quale la accuratezza dellostrumento non è garantita.

Portata massima. Valore al di sopra del quale la accuratezza dellostrumento non è garantita.

Sovraccarico nominale. Valore superiore alla portata massima oltre ilquale lo strumento non sopporta più la grandezza in ingresso e si danneg-gia.

Come sono distribuite le tacche della numerazione sul quadrante dello stru-mento? Sono equidistribuite o si addensano verso una delle due zone estreme?

La legge di distribuzione spaziale delle divisioni che costituiscono la scaladello strumento prende il nome di curva di graduazione .

Essendo una legge (sica) essa può essere rappresentata in forma matematicada un'equazione. Schema:

i → STRUMENTO → u u = f(i)

se l'equazione è di 1° grado (retta) lo strumento si dice lineare!

se l'equazione è di 2° grado (quadratica) lo strumento si dice quadratico!

Esempio. Il termometro a liquido a (mercurio o alcool). La legge con cui varia ilvolume al variare della temperatura è: V = V0 (1 + α ·∆T ) che, dopo semplicipassaggi diventa: ∆V = V0α · ∆T . Ma ∆V = S · ∆h. Combinando le due si

ottiene: ∆h =α · V0

S∆T che, considerando

α · V0

S= tanφ costante, rappresenta

una legge di variazione l'ingresso i = ∆T e l'uscita u = ∆h.

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La curva di taratura è un procedimento sperimentale che non conoscenulla sul principio di funzionamento dello strumento.

Costruzione della curva di taratura come dierenza tra i campioni dellagrandezza d'ingresso ub e i campioni di riferimento u la cui precisione è dialmeno un ordine di grandezza superiore ai primi. La u− ub = f(ub) è la curvadi taratura, cioè la curva degli scarti tra la lettura del valore ub e il valore diriferimento u, per ogni uscita ub.

Se u−ub > 0 → u > ub lo strumento della serie sottostima la grandezzain ingresso, quindi a ub si deve aggiungere lo scarto indicato.

Se u−ub < 0 → u < ub lo strumento della serie sovrastima la grandezzain ingresso, quindi a ub si deve sottrarre lo scarto indicato.

1.6.2 Sensibilità

La sensibilità è l'attitudine dello strumento a rilevare piccole variazioni dellagrandezza in ingresso; è il più piccolo ingresso ∆i capace di provocare l'uscita

∆u. Si può denire come S =∆u

∆ie, al limite per ∆i→ 0 si può scrivere:

S = lim∆i→0

∆u

∆i=du

di

Se u = f(i) è la curva di graduazione,S =du

diè la sua derivata. La sensibilità

diventa così il coeciente angolare della curva di graduazione punto per punto.Se:

u = ki+ a → S = k strumento lineare → sensibilità costante.

u = ki2 + ai + b → S = 2ki + a strumento quadratico → sensibilitàlineare, quindi crescente con i. Ciò signica che lo strumento è più sensibilea fondo scala.

u = k log i → S =k

istrumento logaritmico → sensibilità iperbolica,

calante con i. Ciò signica che la sensibilità è alta nella zona iniziale della

scala e poi decresce comek

i.

N.B. La sensibilità S non può essere denita semplicemente come la piùpiccola variazione ∆i della grandezza in ingresso che lo strumento riesce a rile-vare. Essa infatti può variare dipendentemente dall'intensità della grandezza iningresso. Si potrebbe chiamare risoluzione , ma anche questa non è del tuttoprecisa essendo usata per gli strumenti digitali.

In denitiva essendo la sensibilità S =du

diessa è una qualità intrinseca dello

strumento che dipende dalla legge sica sulla quale è basato il suo funziona-mento.

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1.6.3 Precisione

La precisione è l'attitudine dello strumento a fornire il valore vero (che non èconoscibile in quanto si dovrebbe acquisire una quantità di informazioni innita)della grandezza misurata.

Per quanticare la precisione si cominciare con il denire l'errore come ladistanza tra il valore della misura ed il valore vero: | amisurato − avero |.Più che di errore si parla di incertezza in quanto l'errore è involontario enon immediatamente quanticabile. Per esprimere l'incertezza si usa l'errorerelativo:

ε(%) =a− ava· 100

Denizione operativa della misurazione:La misura è un procedimento conoscitivo che tende ad avvicinarsi quanto

più possibile alla realtà, riducendo al minimo possibile l'incertezza. Schematiz-zazione degli errori:

Errori sistematici : tutti quegli errori per i quali si riesce ad identi-care una causa. Malfunzionamento dello strumento, cattive condizioni diutilizzo, forti disturbi esterni, strumento fuori calibrazione. Questi erroridevono essere eliminati. Se le condizioni di misura non variano, gli errorisistematici hanno la caratteristica di essere polarizzati, ovvero lo scartoamisurato − avero (bias) si presenta sempre con lo stesso segno (dallastessa parte di avero). Gli errori sistematici vengono eliminati con unataratura (ricalibrazione) dello strumento e dedicando la giusta attenzionealle modalità di misura con le quali si eseguono le misure.

Errori casuali : tutti quegli errori per i quali non si riesce ad identicarela causa. La somma di tutti questi errori è detto errore residuo (una voltaeliminati tutti gli errori sistematici).

Per la valutazione dell'errore residuo si può procedere in due modi:

Metodo a priori: con il quale si cerca di valutare il contributo dellevarie cause di errore, una per una, incontrando però la dicoltà di doverannullare (o almeno minimizzare) l'eetto di tutte quelle cause che nonsono in esame al momento.

Errori di lettura : per gli strumenti analogici con indicatore ad agoo simili, dovuti al limitato potere risolutivo dell'occhio (1/1000 delladistanza da cui si guarda), all'incertezza di interpolazione (per stru-menti lineari un 10% della distanza tra le tacche, di più per strumentinon lineari), al rumore meccanico di fondo, all'errore di parallasse(posizionamento dell'occhio non perpendicolare rispetto al quadranteεp = d tanϕ con d distanza tra l'indice e la scala).

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Errori di mobilità : dovuti ad attriti e recupero di giochi nei movi-menti delle parti meccaniche degli strumenti (denito come εmob =ε+ − ε−

2). Per strumenti non meccanici si parla di errori di soglia .

Errori di isteresi : dovuti alla elasticità e visco-elasticità dei ma-teriali che costiutiscono le parti sotto sforzo degli strumenti: εist =ε+ − ε−

2.

Errori di fedeltà : quantica l'insensibilità dello strumento ai dis-turbi (grandezze d'inuenza) esterni (temperatura, umidità, campielettromagnetici, vibrazioni meccaniche, pressione atmosferica, sis-temi di riferimento non inerziali...). La valutazione avviene attraversomisurazioni ripetute con la grandezza d'ingresso mantenuta rigorosa-mente costante. Se lo strumento non si spegne e si eseguono misureripetute e brevi si parla di ripetibilità . Se lo strumento è soggettoa degli spegnimenti e lunghi intervalli si parla di stabilità .

Errore di zero: dovuto alla perdita di calibrazione dei componentimeccanici (molle di registrazione) o elettrici (trimmer) o all'invecchiamentodei componenti elettronici. Si dice che lo strumento va in deriva. Ilprimo grave eetto della deriva è la perdita dello zero che non vienerecuperato resettando lo strumento.

Errori di taratura o delle grandezze di riferimento: dovutia problemi al momento dell'operazione di taratura e alle incertezzesulle grandezze di riferimento A: εt =

√α2 + β2 dove ±α sono gli

errori delle grandezze di riferimento e ±β sono gli errori dovuti altracciamento della scala sullo strumento della serie; errori sullo stru-mento ( tipo y): y − yb. Il totale è: εTOT = y − yb ±

√α2 + β2.

Se è il costruttore che fornisce il dato si parla di errore di giustezzaεG = y−yb±

√α2 + β2 e rappresenta il massimo scostamento rilevato

sull'intero campo di misura durante la taratura stessa. In denitivasi indica con ±εG.

La somma in quadratura di tutti gli errori individuati denisce la classe

di precisione di uno strumento

(C.P. =

√∑i ε

2i

portata massima

)e si esprime

quindi in % del Fondo Scala.

Esempio: un dinamometro con C.P.=0,5 e portata massima di 100 N quandomisura 100 N commette un errore percentuale di 0,5% cioè 0,5 N. Ma anchequando misura 5 N commette un errore assoluto pari allo 0,5% di 100 N ovvero

0,5 N che ora risulta essere un errore percentuale del0, 5N

5N= 0, 1 = 10%.

Quindi gli strumenti per cui è dichiarata una C.P. è bene usarli con ingressivicini al fondo scala, pena un aumento dell'errore percentuale.

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Metodo a posteriori: si disinteressa completamente di individuare cias-cuna causa d'errore, richiede l'acquisizione di un numero n signicativodi misure, tutte della stessa grandezza mantenuta rigorosamente costante.Si tratta di un tipico approccio di post-elaborazione. Postulato: il valorevero è ignoto e non può essere conosciuto! Bisognere avere innite mis-ure ed elaborarle cosa non possibile. La conoscenza esatta non costituisceneppure l'obiettivo nale del metodo a posteriori.

Segnata su un'ascissa orientata la misura x di X (valore vero) si può cer-care di determinare almeno un intorno di x dove potrebbe essere inclusoX. La zona di incertezza sarà x = xb ± δx dove xb è la migliore rappre-sentazione (x best) del valore vero xv e δx è il parametro di larghezzadella fascia di incertezza.

Per quanticare i parametri sopra esposti si eettuano una serie di n mis-ure: x1, x2, ..., xn che non siano aetti da errori sistematici ma solo daerrori casuali. E' ragionevole scrivere:

xb = x =1

n

n∑i=1

xi

cioè si è quanticata xb. Ora si può quanticare il parametro di larghezzamediante il valor medio delle deviazioni o scarti :

di = xi − x

deviazione o scarto ... in genere piccolo e maggiore o minore di zero.Ma:

d =1

n

n∑i=1

di =1

n

n∑i=1

(xi − x) =1

n

n∑i=1

xi −1

n

n∑i=1

x = x− 1

n· n · x = 0

quindi non è un parametro utile, infatti gli scarti sono per denizionemediamente equispaziati dal valor medio x. Bisogna elaborare una nuovadenizione per il parametro di larghezza. Elevando al quadrato tutti gliscarti si ottiene lo scarto quadratico medio che elimina il problemadell'alternanza dei segni ma sovrastima il parametro di larghezza. Si estraequindi la radice dello scarto quadratico medio e si ottiene:

σx =

√√√√ 1

n

n∑i=1

(xi − x)2

la deviazione standard !

Se n ≤ 10 la σx sottostima l'ampiezza della fascia di incertezza. In questicasi conviene prendere in considerazione la:

σx =

√√√√ 1

n

n∑i=1

(xi − x)2

10

la deviazione standard del campione! Per n ≥ 100 la dierenza tra ledue denizioni risulta praticamente trascurabile. La deviazione standard,nelle due denizioni sopra riportate, quantica ecacemente la larghezzadella zona di incertezza intorno al valor medio: xi = xn+1 = x+σx. Esistela garanzia che ogni misura xi del campione, o anche che ogni misurasuccessiva xn+1, cada sicuramente all'interno della zona di incertezza cosìindividuata? Non si dispone ancora di alcuna giusticazione teorica elogica per aermare tale garanzia! Occorre stimare in qualche modo laducia che si ripone nella fascia di incertezza la cui ampiezza è determinatadalla deviazione standard.

Si consideri l'intorno delle n misure e si istituiscano un certo numerodi intervallini ∆k di ampiezza tale che ogni intervallino contenga almenouna misura (così il numero dei ∆k è direttamente proporzionale al numerodelle n misure). Più dati si hanno e più ∆k si possono ssare e la loroampiezza diventa sempre minore. Ora su ogni intervallino si può elevareun rettangolo con altezza proporzionale al numero di misure che cadononell'intervallino stesso. Se le misure sono aette solo da errori casuali siottiene una gura detta istogramma delle frequenze di misura. Lacurva a gradini che delimita l'altezza massima dei rettangoli prende ilnome di curva di distirbuzione delle frequenze .

Si indica con:

nk il numero di misure (osservazioni) che cadono entro ∆k;

fk =nkn

frequenza delle osservazioni (misure) che cadono entro

∆k;

Ovviamente:∑k nk = n e

∑k fk = 1

L'istogramma delle frequenze è normalizzato per denizione! L'area fk ·∆k

rappresenta la frazione di misure 0,xy<1 che cadono in ∆k. A questo

punto si può scrivere: x =

∑i xin

=

∑k xknkn

=∑k xkfk dove con xk si è

indicato il miglior rappresentante (il valor medio) delle misure entro ∆k.

Se si porta n → ∞ (siamo in condizioni ideali ed è un ragionamentomatematico, abbandoniamo il mondo sperimentale), il numero dei∆k puòessere aumentato a dismisura e la loro ampiezza diminuita no a farlidiventare innitesimi la curva di distribuzione delle frequenze diventerà (igradini si smussano) una curva di distribuzione limite .n→∞∆k → dx

fk → f(x) e la funzione rappresentativa della curva di distribuzione limite.

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f(x)dx rappresenta la frazione di misure che cadono entro l'intervallinoinnitesimo dx

´ baf(x)dx rappresenta la frazione di misure <1 che cadono entro

l'intervallo nito (b-a)

´ +∞−∞ f(x)dx = 1 è la curva di distribuzione limite è anch'essa nor-malizzata.

In questo modo la curva di distribuzione delle frequenze, che era un risul-tato sperimentale a posteriori, è diventata una curva di distribuzione lim-ite e rappresenta ora una probabilità ovvero un modello matematico chepuò essere denito e utilizzato a priori. Solo per n → ∞ si può porre:f(x) ≡ p(x) cioè la frequenza (risultato sperimentale) equivalente allaprobabilità (modello teorico).

Ora ci si chiede quale funzione rappresenta al meglio la curva di dis-tribuzione limite a campana? La funzione di distribuzione normaleo di Gauss.

f(x) = e

(x−X)2

2σ2

dove X è il valore vero (per il modello matematico si può disporre diinnite misure) e σ è il parametro di larghezza. Applicando la condizionedi normalizzazione ˆ +∞

−∞f(x)dx = 1

si ottiene:

fX,σ(x) =1

σ√

2πe

(x−X)2

2σ2

Questa non è l'unica curva di distribuzione limite possibile ma, per misuresoggette a soli errori casuali la curva limite assume sempre la forma dellafX,σ(x) centrata su X. Il suo valor medio è la media :

x =

ˆ +∞

−∞x · fX,σ(x)dx = X

E lo scarto quadratico medio è la varianza :

σ2x =

ˆ +∞

−∞(x− x)

2fX,σ(x)dx = σ2

ovvero la deviazione standard al quadrato. Quando ci si riferisce almodello matematico fX,σ(x) si può aermare che la misura di x vale:x = X ± σ!E per quanto riguarda la ducia che viene riconosciuta al parametro dilarghezza σ?

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Sul modello matematico è possibile calcolare i seguenti integrali:

p (x± σ) =

ˆ +σ

−σfX,σ(x)dx = 68, 27%

p (x± 2σ) =

ˆ +2σ

−2σ

fX,σ(x)dx = 95, 45%

p (x± 3σ) =

ˆ +3σ

−3σ

fX,σ(x)dx = 99, 73%

che rappresentano la probabilità che una misura (delle innite virtual-mente disponibili) cada, rispettivamente, nell'intervallo ±σ, ±2σ oppure±3σ attorno al valore vero X.

Scrivere che x = X ± σ (oppure x = X ± nσ con n = 2, 3, ...) signicaaermare che esiste una probabilità del 68,27% (95,45%, 99,73%,...) chela misura i-esima cada entro l'intervallo di incertezza denito da x− σ ex + σ (x − nσ e x + nσ con n = 2, 3, ...). In altre parole si assegna unaducia del 68,27% al fatto di trovare la i-esima misura dentro l'intervallodi incertezza denito da x− σ e x+ σ e così via. Ricordiamo ancora unavolta che:

x = X ± σ è una probabilità (un modello matematico utilizzabile apriori)

x = x ± σx è una statistica (un modello sperimentale calcolato aposteriori)

Bisogna avere l'accortezza di usare una certa cautela nell'estrapolare ivalori teorici di probabilità ai casi reali dove si dispone sempre solo diun numero n nito di misure. La situazione è delicata quando con len misure a disposizione non si raggiunge una ragionevole condenza chela distribuzione dei dati sia eettivamante gaussiana. Anche quando ladistribuzione dovesse avere un buon accordo con la distribuzione limite(gaussiana), i valori numerici x e σx calcolati a partire da n misure possonodierire dalla media X e dalla deviazione standard σ della corrispondentegaussiana. Se così fosse esistono altre curve di distribuzione da esaminare.

Si può valutare la precisione di due strumenti confrontando la forma dellagaussiana; lo strumento più reciso ha la curva più stretta ed alta.

Essendo x 6= X si cerca di capire se è possibile stimare quanto bene ilvalor medio x calcolato dai dati x1, x2, ..., xn rappresenta il valore veroX ovvero se è possibile estrarre dal gruppo delle n misure informazioni aproposito della precisione della misura.

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Propagazione degli errori (cenni)

Una misura indiretta viene eseguita componendo i dati provenienti dallemisure delle grandezze primarie.

Se una grandezza è esprimibile come: q = x + y allora se si misura x =xb ± δx e y = yb ± δy, si è interessati a trovare q = qb ± δq. Come siprocede?

Si potrebbe scegliere:

qb = xb + yb

xb + yb + (δx+ δy) limite superiore

xb + yb − (δx+ δy) limite inferiore

e quindi un δq = δx+ δy (se le cause d'errore sono indipendenti) sarebbeuna sovrastima per l'ampiezza della fascia d'incertezza. E' molto più logicoporre:

δq =√δx2 + δy2 < δx+ δy

Per misure che provengono da prodotti o quozienti q = x ·y si consideranogli errori relativi:

δq

q=

√(δx

x

)2

+

(δy

y

)2

In generale, per funzioni ad una variabile q = q(x) è possibile misurarex = xb ± δx e calcolare qb = q (xb), e per δq?

Se δx è piccolo qmin e qmax sono praticamente equispaziati di un piccoloδq e quindi posso scrivere:

limδx→0

δq

δx= limδx→0

q (xb + δx)− q (x)

δx=dq

dx

che è la derivata della funzione q (x) calcolata in xb. Quindi vale la re-

lazione δq =dq

dx· δx. In generale (potendo essere q(x) crescente e decres-

cente) sarà:

δq =

∣∣∣∣ dqdx∣∣∣∣ · δx

Se la funzione è a due variabili q = q (x, y) e si misurano le grandezzeprimarie x e y si misurano x = xb ± δx e y = yb ± δy dalle quali si ricavaqb = qb (xb, yb), mentre per δq si potrebbe pensare a:

δq =

∣∣∣∣ dqdx∣∣∣∣ · δx+

∣∣∣∣dqdy∣∣∣∣ · δy

ma è più corretto considerare anche qui la somma in quadratura:

δq =

√(∂q

∂xδx

)2

+

(∂q

∂yδy

)2

=

√(∂q

∂xσx

)2

+

(∂q

∂yσy

)2

14

relazione generale della propagazione degli errori (incertezze).

Per stimare l'incertezza di x nel rappresentare X (valore vero) suddividole misure in m gruppi di n misure ciascuno, e calcolo gli m valori medi:

x′1, x′2, ..., x

′n → x′

x′′1 , x′′2 , ..., x

′′n → x′′

.................. ......

x(m)1 , x

(m)2 , ..., x

(m)n → x(m)

Ora calcolo il valor medio delle medie:

x =1

m

m∑j=1

xj

dove:

xj =1

n

n∑i=1

xji

Se il valor medio delle mxn misure xji è X anche il valor medio delle mmedie xj è X dato che esse provengono dalle stesse misure.

Se le mxn misure xji sono aette solo da errori casuali, ciascuna delle curvedi distribuzione per gli m gruppi di n misure sarà una curva normaleGauss. Quindi, anche le m medie xj saranno distribuite normalmenteattorno alla media delle medie x, perchè le:

xj =1

n

n∑i=1

xji = f(xji

)sono funzioni esse stesse delle mxn misure xji .

Ma allora il parametro di larghezza per la distribuzione delle m medie xj

sarà:

δx = σx =

√(∂x

∂x1δx1

)2

+

(∂x

∂x2δx2

)2

+ ...+

(∂x

∂xnδxn

)2

che è la deviazione standard della media! In questa relazione i parametri dilarghezza δxi sono la deviazione standard σ

(j)x . Al crescere delle n misure

sarà σ(1)x = σ

(2)x = ... = σ

(n)x = σx.

Dalla relazione:

x =1

n

n∑i=1

xi

si ricava che:∂x

∂x1=

∂x

∂x2= ... =

∂x

∂xn=

1

n

15

Queste, inserite nella relazione della deviazione standard della media por-tano a:

σx =

√(1

nσx

)2

+

(1

nσx

)2

+ ...+

(1

nσx

)2

=

√n · σ

2x

n2=

σx√n

che è l'errore standard (che può essere anche calcolato con i dati prove-nienti da un solo gruppo di n misure). Esso è una stima dell'incertezzacon la quale il valor medio rappresenta il valore vero.

Se con lo stesso strumento di misura si aumentano le n misure le deviazionestandard rimane pressochè invariata mentre l'errore standard diminuisce!Acquisire un quantitativo maggiore di informazione migliora la misura manon lo sturmento.

In conclusione si distingue:

xi o xn+1 = x ± σx la deviazione standard esprime la precisionedello strumento

x = x± σx l'errore standard esprime la precisione della misura

Ricapitolando: la misura non è più un numero ma un intervallo in cui sisitua l'informazione sulla grandezza che stiamo analizzando. I parametriche scaturiscono da questa analisi sono:

La media delle n misure: x =1

n

∑ni=1 xi;

La deviazione standard del campione: σx =

√1

n− 1

∑ni=1 (xi − x)

2;

La deviazione standard della media o errore standard: σx =σx√n.

* Esempio:Nella tabella sono riportate le misure ottenute con un palmerdel diametro di un pistone per motore a combusiotne internaper autotrazione il cui diametro nominale è 80 mm. Calcolare lamedia, la deviazione standard e l'errore standard.

Mis. mm Mis. mm Mis. mm1 79,996 11 79,993 21 79,9942 79,998 12 79,987 22 79,9873 79,972 13 79,991 23 79,9924 79,989 14 79,995 24 79,9985 79,979 15 79,989 25 79,9926 80,002 16 79,993 26 79,9997 79,977 17 79,998 27 80,0018 79,992 18 80,002 28 79,9939 79,995 19 79,986 29 79,99010 79,998 20 79,992 30 79,992

16

La media è: x =2399, 764

30= 79, 992mm

La deviazione standard è: σx =

√1

29[(0, 001) + (0, 000218) + (0, 000219)] =

√0, 000049552 = 0, 00704

La deviazione della media è: σx =0, 00704√

30= 0, 00128

La norma prescrive le due seguenti indicazioni: D = (79, 992±0, 00704)mmoppure D = 79, 99200(00704)mm

Regressioni lineare (cenni)

Si supponga di voler misurare due grandezze X e Y simultaneamente e dicercare una qualche relazione tra di esse, ed in particolare se è possibiledeterminare la misura di Y in funzione della misura della X. Eettuate lemisurazioni simultanee si riportano le coppie di valori (x;y) su un gracocartesiano ottenendo quello che si chiama il diagramma di dispersione(scatter-plot). Si possono avere varie situazioni tra le quali:

1. punti dispersi in modo casuale per i quali non si può individuarealcuna relazione;

2. punti per i quali si può individuare una qualche relazione, magariuna curva di 2° grado concava o concessa;

3. punti che formano una gura allungata che indica una tendenza,ovvero una relazione lineare tra le grandezze X e Y.

Relativamente al punto 3. (che è quello più fortunato e quello più fre-quente) ci si chiede quale sia la retta che meglio modella i punti rapp-resentati sul graco. Spetta allo sperimentatore determinare questa rettadetta retta di best t . Il metodo analitico adatto a ricavare la migliorlinea retta che interpola una serie di punti sperimentali è chiamato re-gressione lineare .

Ipotesi semplicative:

incertezza solo sulla grandezza in ordinata (y);

tutte le incertezze sulle misure y possano essere considerate uguali;

ogni misura in y sia governata dalla distribuzione di Gauss, con lostesso parametro di larghezza σy per tutte le misure.

Quello che si vuole determinare sono le due costanti A e B che determinanola migliore retta di interpolazione avente l'equazione: y = Ax+B.

Se si conoscono le costanti A e B allora per ogni singolo valore xi si puòcalcolare il corrispondente valore nominale di yi come: yi = Axi +B.

Poichè la misura yi è governata da una distribuzione normale centratasul valore vero (nominale) con parametro σy, la probabilità di ottenere il

17

valore osservato yi è:

PA,B (yi) ∝1

σy· e

(yi −Axi −B)2

2σ2y

dove i pedici A e B indicano che questa probabilità dipende dai loro valori,che sono incogniti. La probabilità di ottenere l'insieme completo dei valoriosservati y1, y2, ..., yn è:

PA,B (y1, y2, ..., yn) = PA,B (y1) · PA,B (y2) · ... · PA,B (yn) ∝ 1

σny· eχ2

2

dove l'esponente è dato da:

χ2 =

n∑i=1

(yi −Axi −B)2

σ2y

Gli yi sono i valori eettivamente osservati con le misure, quindi le miglioristime per le costanti A e B si ottengono imponendo che la probabilitàPA,B (y1, y2, ..., yn) sia massima; questo equivale ad imporre che la sommadei quadrati nell'esponente sia minima. Per trovare tali valori si dierenziaχ2 rispetto ad A e B e si impongono le derivate uguali a zero:

∂χ2

∂A=

(− 2

σ2y

) n∑i=1

xi (yi −Axi −B) = 0

e∂χ2

∂B=

(− 2

σ2y

) n∑i=1

(yi −Axi −B) = 0

Queste due equazioni possono essere riscritte come:

An∑i=1

x2i +B

n∑i=1

xi =

n∑i=1

xiyi

e

A

n∑i=1

xi +Bn =

n∑i=1

yi

Tali equazioni, note come equazioni normali, una volta risolte, fornisconola migliore stima delle costanti A e B :

A =n∑ni=1 xiyi −

∑ni=1 xi

∑ni=1 yi

n∑ni=1 x

2i − (

∑ni=1 xi)

2 B =n∑ni=1 x

2i

∑ni=1 yi −

∑ni=1 xi

∑ni=1 xiyi

n∑ni=1 x

2i − (

∑ni=1 xi)

2

Il metodo esposto è una semplice estensione del ben noto metodo deiminimi quadrati .

18

Quali sono le incertezze sulle stime di A e B. Le y1, y2, ..., yn non sonon misure della stessa grandezza Y mantenuta costante; non è quindi possi-bile farsi un'idea della loro adabilità solamente esaminando lo sparpaglia-mento dei loro valori. E' possibile stimare l'incertezza σy nel modoseguente. Partendo dall'assunto che ogni misura yi è normalmente dis-tribuita attorno al suo valore nominale Axi+B, anche le singole deviazionid = yi−(Axi +B) sono normalmente distribuite, con lo stesso valor medio0 e la stessa larghezza σy. Questa circostanza suggerisce che una buonastima per σy dovrebbe essere data dalla somma del quadrato degli scartinella forma:

σ2y =

1

n

n∑i=1

(yi −Axi −B)2

Tale stima, però, necessita di essere ulteriormente ranata; infatti i valoriveri delle costanti A e B non si conoscono ed essi vengono rimpiazzaticon le migliori stime. Questa sostituzione riduce leggermente il valoreprecedente denito di σy. Si ouò dimostrare che è possibile compensaretale riduzione sostituendo il fattore n del denominatore con il nuovo fattoren− 2, ottenendo così il risultato nale per σy:

σ2y =

1

n− 2

n∑i=1

(yi −Axi −B)2

A questo punto si può passare al calcolo vero e proprio delle incertezze sullecostanti A e B. Essendo le stime di A e B funzioni ben denite dei valorimisurati y1, y2, ..., yn, le inceretzze su tali stime si calcolano applicandola propagazione degli errori in termini di quelli per y1, y2, ..., yn, quindisi ottiene:

σ2A =

nσ2y

n∑ni=1 x

2i − (

∑ni=1 xi)

2 σ2B =

σ2y

∑ni=1 x

2i

n∑ni=1 x

2i − (

∑ni=1 xi)

2

Esempio:

La tabella sotto riporta una serie di punti misurati, per i quali si cerca laretta best t.

Punto Coppia Punto Coppia

1 (0,3) 5 (13,10)2 (3,6) 6 (20,17)3 (7,6) 7 (26,21)4 (8,8) 8 (35,23)

Con i dati riportati si ricava:

A =8 (1945)− (10527)

8 (2592)− (112)2 = 0, 61438

19

B = 3, 1504

La retta ha equazione: y = 0, 61438x+3, 1504 ed è la migliore che interpolagli otto punti provenienti dai dati sperimentali. Bisogna poi calcolarel'incertezza sulle stime dei valori A e B come mostrato sopra.

1.6.4 Finezza

Attraverso la denizione di campo di misura, sensibilità e precisione non siriesce ad esprimere l'azione, talvolta preponderante, che lo strumento esercitasulla grandezza sica oggetto della misurazione (il misurando).

Denizione: la nezza è l'attitudine dello strumento a non perturbare lagrandezza oggetto della misura. Essa è quanticata mediante l'errore diinsersione . Relazione:

εins =ap − aap

∼=a− apa

dove ap è la grandezza prima dell'insersione e a il valore misurato. L'erroredi insersione dipende dalla quota parte di energia che il sensore prelevadalla grandezza sica che sta misurando. Questa quantità è ardua damisurare.

Quando un trasduttore rileva l'intensità di una grandezza sica, tra-duce l'informazione in un'altra grandezza sica, intellegibile allo stadiodi elaborazione che segue nella catena di misura. Nella stragrande maggio-ranza dei casi tale grandezza è una dierenza di potenziale V, mV o µV ,oppure è un'intensità di corrente elettrica A o mA. Tale situazione puòessere schematizzata attraverso un accopiamento generatore di tensione(o di corrente) e un misuratore di tensione (o di corrente). L'errore diinsersione non è un problema collegato solo ai trasduttori, ma può presen-tarsi anche all'interfacciamento tra due stadi qualsiasi di uno strumentodi misura.

1° esempio importante: accoppiamento generatore di tensione-voltmetro.

Situazione prima dell'insersione: V0 = V , I = 0.

Situazione dopo l'insersione: V0 = (Ri +Rv) · I ed anche V = Rv · I 6= V0.

Applicando la denizione di errore di insersione si ha:

εins =V0 − VV0

=(Ri +Rv) · I −Rv · I

(Ri +Rv) · I=

1

1 +RvRi

Quindi per avere un errore più piccolo possibile εins → 0 bisogna chesia Rv → ∞ oppure che sia Ri → 0. Dicile agire su Ri più facile faregrandeRv (1-100 MΩ) in modo da impedire la circolazione delle pur piccolecorrenti elettriche provenienti dal trasduttore, essendo questo generatoredi corrente causa la presenza di Ri.

20

2° esempio importante: accoppiamento generatore di corrente-amperometro.

Situazione prima dell'insersione: I0 = Ii, I = 0.

Situazione dopo l'insersione: I0 = Ii + I con I =V

Ra. Le due resistenze

sono in parallelo quindi V = I0 ·RiRaRi +Ra

→ V

Ra= I0 ·

RiRi +Ra

. Quindi

I = I0 ·Ri

Ri +RaApplicando la denizione di errore di insersione si ha:

εins =I0 − II0

= 1− I

I0= 1−

I0 ·Ri

Ri +RaI0

= 1− RiRi +Ra

=1

Ri +RaRa

=1

1 +RiRa

Per avere εins → 0 deve essere Ri → ∞ oppure Ra → 0. E' quindiopportuno fare Ra più piccola possibile in modo che l'informazione legataal segnale in corrente sia degradato il meno possibile.

1.6.5 Rapidità

La rapidità è la qualità metrologica che esprime la capacità degli strumentinel rispondere a grandezze in ingresso che variano durante il tempo di misura.Oppure è l'attitudine degli strumenti a seguire le variazioni nel tempo dellagrandezza da misurare. Si tratterà quindi di grandezze dinamiche. Quindii = i (t) e u = u (t).

La rapidità di uno strumento meccanico è sempre limitata dall'inerziadelle parti mobili e dallo smorzamento a cui esse sono sottoposte.

La rapidità degli strumenti elettrici ed elettronici è sempre limitata dallacombinazione delle reattanze capacitive ed induttive, presenti nei circuitiche li costituiscono.

Uno strumento che abbia una rapidità insuciente nel seguire una grandezzavariabile in ingresso, fornisce in uscita la grandezza con ampiezza attenuata e conun certo ritardo (sfasamento) rispetto al vero (esempio dell'onda sinusoidale).

Ci si può ricondurre a tre schemi per studiare la rapidità di uno strumento:

1. Per grandezze costanti, soggette a repentine variazioni in un tempo moltopiccolo, il parametro signicativo è il tempo di risposta . Il tipico casoè la risposta al gradino; il tempo di risposta tr = t1 − t0 individuail tempo impiegato dallo strumento a fornire un'indicazione u in uscitacompresa entro una pressata fascia di errore ±εdin intorno al nuovo valorenominale u1. Il parametro εdin è l'errore dinamico che si accetta e deveessere pressato a priori. In genere si accetta εdin entro alcuni punti % delvalore u1. Più piccolo si pressa εdin e più lungo è il tempo di risposta tr.

21

Per gli strumenti elettronici viene indicato il tempo di salita (slew rate),il tempo impiegato a raggiungere il picco della prima sovraelongazionetslew = tsr − t0.

2. Per grandezze in ingresso lentamente variabili nel tempo, il parametrosignicativo è rappresentato dal tempo di ritardo. Il segnale in ingressoè costante no al tempo t0 quando inizia una variazione d'intensità cheprosegue costante nel tempo. Dopo un transitorio iniziale lo strumentorisponde alla variazione con un andamento a ginocchio arrotondato la cuicurvatura dipende dalle caratteristiche interne dello strumento, esso sipredispone a seguire parallelamente la variazione dell'ingresso. Il tempodi ritardo non è una costante dello strumento ma dipende dalla velocitàdi variazione della grandezza in ingresso.

3. Per grandezze in ingresso rapidamente variabili nel tempo (i più frequenti)la rapidità dello strumento viene studiata per mezzo dei diagrammi dirisposta in frequenza e fase delle armoniche che compongono il segnalein ingresso. Caso di onda di tipo sinusoidale e quindi funzione periodica.Ogni segnale periodico può essere scomposto in serie di Fourier e quindipuò essere studiato per mezzo delle sue componenti armoniche.

ingresso: i (t) = I0 sinωt

uscita: u (t) = U0 sin (ωt+ ϕ)

con ω = 2πf pulsazione e ϕ sfasamento. Le curve di risposta in

frequenza ideale e risposta in fase ideale sono:U0

I0= cost. e ϕ = 0.

Per la fase sarebbe accettabile anche ϕ = ωt→ tr =ϕ

ω=

ϕ

2πfovvero uno

sfasamento in anticipo e proporzionale alla frequenza, e quindi un tempodi ritardo costante per tutte le frequenze di cui è composto il segnale iningresso (una retta inclinata sull'asse delle ascisse = asse delle frequenze).

La tipica risposta in frequenza reale ha ampiezza dell'uscita tendentea zero per f → ∞. Gli strumenti meccanici con parti in movimentoche hanno un'inerzia non possono avere accelerazioni ∞ e quelli elettricinon possono avere reattanza induttive XL = jωL = ∞ oppure reattanza

capacitiva XC =1

jωC= 0.

L'estensione della risposta in frequenza dipende dalle caratteristiche di-namiche dello strumento e dall'errore dinamico che si accetta. Cioè se siaccetta un errore del 3% la frequenza sarà, ad esempio, f2, se l'errore chesi accetta è del 25% la frequenza sarà f1 e sarà f2 < f1. Queste sonodette frequenze di taglio. Tutte le frequenze comprese tra zero e quellamassima individuata costituiscono la banda passante dello strumento.

Per una denizione più generale della frequenza di taglio (e della bandapassante), si accetta spesso convenzionalmente una attenuazione massima

22

del segnale in uscita del 30% circa e si dice che la banda passante è estesano ad una certa frequenza (la ft di taglio) a -3dB1.

In taluni casi particolari, come per gli strumenti RC e gli amplicatoriin banda audio, lo strumento non risponde a frequenza nulla ovvero elab-ora solo il contenuto dinamico della grandezza sica in ingresso e non lecomponenti costanti (quale ad esempio il valor medio). Per tali strumentirimane individuata anche una frequenza di taglio inferiore fti. La bandapassante è compresa tra le due frequenze di taglio: B = fts − fti.Per specicare in modo sistematico da quali elementi dello strumentodipende la forma della banda passante, e quindi le carattersistiche di-namiche dello strumento, occorre impostare una classicazione dinamicadegli strumenti.

1.7 Classicazione dinamica degli strumenti di misura.

1.7.1 Generalità

Uno strumento si dice dinamicamente lineare se è possibile descrivere il motodel suo equipaggio mobile (uscita dello strumento) mediante un'equazione dif-ferenziale lineare a coecienti costanti.

Per esempio: y (t) → STRUMENTO → x (t)

ad2x (t)

dt+ b

dx (t)

dt+ cx (t) = y (t)

y (t) → grandezza in ingresso (misurando)

x (t) → grandezza in uscita (deessione o risposta dello strumento)

Soluzione dell'equazione dierenziale: x (t) = xtr (t) + xrg (t). La prima èla soluzione dell'omogenea associata (rappresenta il transitorio dellostrumento), la seconda è l'integrale particolare (descrive la risposta aregime per il particolare ingresso in esame).

Ingressi di prova tipici per lo studi: risposta al gradino per il transitorioe risposta in frequenza per il regime.

1.7.2 Strumenti di ordine zero

In questo tipo di strumenti l'equazione dierenziale che li governa manca deitermini con le derivate e quindi sarà:

a · x = b · y → x =b

a· y il segnale in uscita è direttamente proporzionale

alla grandezza in ingresso! Il comportamento dinamico è ideale e solo pochistrumenti riescono ad approssimarlo.

1La scala decibel è una scala logaritmica e dire a meno 3 decibel signica dire −3dB =20 log10 0, 707 ovvero, lo strumento fornisce un segnale in uscita con un ampiezza che è il70,7% di quello in ingresso, cioè attenuato del 30% circa. Si dice anche convenzionalmenteche lo strumento è dinamicamente lineare a -3dB no alla frequenza di taglio ft

23

Esempio: il potenziometro come trasduttore di spostamento y (t)L'equazione della maglia del circuito è: E = R ·I. La spazzola che si trova in

posizione y (t) fornisce in uscita una dierenza di potenziale e (t) proporzionalealla resistenza r(t) che è una partizione di R. Per la resistenza si ha

R = ρY

Sr (t) = ρ

y (t)

S

quindi sarà:

e (t) = r (t) · I = r (t) · ER

=ρy (t)SE

ρY S=y (t)

YE

siccome il tempo t non compare implicitamente: e =E

Y· y; questa è anche

la curva di graduazione del potenziometro impiegato come tradsuttore di po-

sizione; per la sensibilità si ha: S =de

dy=E

Y

[V

m

].

Solo per strumenti di ordine zero l'equazione dinamica coincide con lacurva di graduazione.

Uno strumento di ordine zero risponde istantaneamente alle variazionidell'ingresso perchè al suo interno non vi sono luoghi o elementi dovel'energia in transito può essere immagazzinata.

1.7.3 Strumenti del 1° ordine

Uno strumento capace di immagazzinare energia (meccanica, termica, elettrica,...) in una sola forma, in uno dei suoi elementi costitutivi interni (molla, massa,condensatore, induttore, ...) è uno strumento del 1° ordine.

Esempio meccanico: elemento elastico di costante k in parallelo ad unosmorzatore viscoso di costante c e virtualmente privo di massa collegato adun telaio e con un indicatore di posizione S dalla parte opposta.

Si perturbi l'equilibrio del sistema portando l'indicatore in una posizionex0 6= 0 (l'elemento elastico immagazzina energia).

Se ora, all'istante t = 0 si lascia l'indicatore, l'energia immagazzinata nellamolla k tende a riportare l'indicatore nella posizione d'equilibrio x = 0.

Lo smorzatore esercita una forza che si oppone al moto stesso. Valel'equazione dierenziale del 1° ordine omogenea: kx+ cx = 0.

In tutta la fase del moto l'indicatore S ha velocità: x = −kcx proporzionale

alla posizione raggiunta. Siccome [x] = [L] il termine −kcdeve avere le

dimensioni[t−1]. Per cui

[ ck

]= [t].

c

k= λ è la costante di tempo dello

strumento del primo ordine.

24

La soluzione generale dell'equazione dierenziale è un esponenziale decres-cente2 del tipo:

x (t) = x0e−k

ct

- Per t = 0 → x (0) = x0 si ha la condizione iniziale

- x (0) = −kcx0 = −x0

c

k

è la tangente alla curva dello spostamento in

x0 = x (0).

-λ =c

kè la sottotangente alla curva in x0 ed in ogni altro punto x (t) alla

traiettoria. Per t = λ si ha: x (λ) = x0e−1 = 0, 37 · x0, l'indicatore S ha

viaggiato circa il 63% della traiettoria che deve percorrere per tornare allaposizione di equilibrio x = 0.

Risposta al gradino. Si simula così lo studio dei transitori di insersione.

Se all'istante t = 0 viene applicata istantaneamente una forza F0 l'equazionedierenziale diventa:

cx+ kx = F0

e alla soluzione generale dell'omogenea associata (per il transitorio) bisognaaggiungere la soluzione particolare (per il regime). A tal proposito pert→∞ la velocità dell'indicatore è necessariamente nulla (x = 0) e quindi

sarà: xrg =F0

k. Si avrà quindi che x (t) = Ce

−k

ct

+F0

kche (con la

condizione iniziale x (0) = x0 → C = −F0

k) diventa:

x (t) = −F0

ke−k

ct

+F0

k=F0

k

1− e−k

ct

Signicato geometrico della costante di tempo λ =

c

kcome sottotangente

alla curva nel punto x (0) infatti:

tanα =

F0

kλ

= x (0)

2Per un'equazione omogenea del primo ordine cx (t) + kx = 0 (1), si ha che la soluzione èdel tipo x (t) = Ceαt (2). Derivando e sostituendo in (1) cCαeαt + kCeαt = 0 → cα+ k = 0

→ α = −k

c. Quindi x (t) = Ce

−k

ctcon C costante da determinare con condizioni iniziali o al

contorno. Se fosse x (0) = x0 sarebbe x0 = Ce0 → C = x0 e in denitiva: x (t) = x0e−k

ct.

25

Per t = λ vale:

x (λ) =F0

k

(1− e−1

)= 0.63

F0

k

ovvero l'indicatore S ha percorso il 63% della sua strada per raggiungere

la posizione d'equilibrio nale xrg =F0

k.

Risposta in frequenza , quando si è interessati a studiare la rapiditàdello strumento in condizioni di regime.

L'ingresso è del tipo: F (t) = F0 sinωt. In notazione fasoriale: F (t) =F0e

jωt. In questo caso l'uscita a regime (il transitorio è già stato determi-nato3) sarà del tipo: x (t) = X0 sin (ωt+ ϕ) = X0e

jωt · ejϕ. L'equazionedierenziale è del tipo:

cx+ kx = F0ejωt

Derivando e sostituendo la x (t) nella precedente:

jωcX0ejωt · ejϕ + kX0e

jωt · ejϕ = F0ejωt

X0ejϕ (jωc+ k) = F0

X0ejϕ =

F0

jωc+ k=

F0

k

jωc

k+ 1

dovec

k= λ è la costante di tempo e

F0

kè lo spostamento massimo. Razz-

ionalizzando e calcolando il modulo4 si ha:

X0 =

F0

k√(ωλ)

2+ 1

X0

F0

k

= G =1√

(ωλ)2

+ 1

la prima è l'ampiezza della risposta, la seconda il rapporto tra l'ampiezzadell'indicazione e lo spostamento massimo dell'equipaggio mobile dellostrumento. G è detto amplicazione o guadagno.

ϕ = arctan

(ωλ

1

)

3x (t) = Ce−k

ctcon C da determinare con le condizioni iniziali

4Per razionalizzare un numero complesso del tipo1

a+ jbsi prosegue nel modo seguente:

1

a+ jb·a− jba+ jb

=a− jba2 + b2

=a

a2 + b2− j

b

a2 + b2

Per calcolare il modulo:∣∣∣∣ a

a2 + b2− j

b

a2 + b2

∣∣∣∣ =

√(a

a2 + b2

)2

+

(b

a2 + b2

)2

=1

√a2 + b2

26

l'arco tangente del rapporto tra la parte immaginaria e la parte realedella risposta complessa rappresenta l'angolo di ritardo dell'uscita osfasamento tra ingresso e uscita dello strumento!

G e ϕ vengono riportati in funzione della frequenza ridotta ωλ su dia-grammi cartesiani. In funzione di λ si individua la frequenza caratter-

istica ωc =1

λ. Questa è la frequenza di taglio ed esprime l'estensione

della banda passante a -3dB.

Se ωλ = 1 → G =1√2∼= 0, 707, e praticamente ωc = 2πfc → fc =

ωc2π

=

1

2πλ∼= 0, 16 Hz è la ft a -3dB.

Importanza fondamentale del parametro λ

Esempio: dinamica del termometro a liquido5.

Quantità di calore ricevuta dal uido termotecnico dall'ambiente neltempo dt → dQ = kA (Ta − T ) dt

Calore acquistato dal uido → dQ = mc · dT Uguagliando le espressioni ho:

mc · dT = kA (Ta − T ) dt

mc · dTdt

= kATa − kAT

mc

kA· dTdt

+ T = Ta

λT + T = Ta

Questa è l'equazione dierenziale rappresentativa della dinamica concui un termometro a liquido risponde ad un gradino di temperatura

in ingresso. λ =mc

kAè la costante di tempo del termometro. L'uscita

è sempre del tipo6:

T (t) = (Ti − Ta) e−kA

mct

+ Ta

5In questo esempio:

T è la variabile in uscita che eventualmente compare derivata.

m è la massa del uido.

c è il calore specico del uido.

k è il coeciente di scambio termico.

A è la supercie di scambio termico.

6Ipotizzando che T (0) = Ti si ha Ti = C + Ta → C = Ti − Ta

27

Fatti fondamentali per gli strumenti del 1° ordine:

la soluzione dell'omogenea associata non dipende mai dalla naturadella forzante in ingresso;

è possibile calcolare un integrale particolare anche per un ingresso agradino;

la costante di tempo per strumenti del primo ordine è dell'ordinedei secondi e in genere la frequenza di taglio reale è piuttosto bassa;questi strumenti sono poco adatti all'impiego con grandezze in in-gresso rapidamente variabili.

1.7.4 Strumenti del 2° ordine

In questo tipo di strumenti (continuando con l'esempio meccanico) la massadell'indicatore non è trascurabile e quindi abbiamo un secondo elemento dovepuò essere immagazzinata energia.

L'equazione che governa il sistema è dierenziale del secondo ordine:

md2x

dt+ c

dx

dt+ kx = 0

Se fosse possibile trascurare lo smorzamento viscoso (c = 0) allora avremmol'equazione delle onde libere:

d2x

dt+k

mx = 0 con

k

m= ω2

n

La ωn rappresenta la pulsazione naturale dello strumento. Questa situazioneideale (c non è mai nullo; se così fosse ci sarebbe una trasformazione continuae perpetua di energia cinetica posseduta da m in energia potenziale elastica

immagazzinata in k) ha permesso di introdurre il parametro ωn =

√k

mfonda-

mentale per i strumenti del 2° ordine.

Nel caso generale l'equazione si presenta nella forma sopra scritta. Anal-izzando la rapidità di risposta al gradino si ha:

mx+ cx+ kx = F0

A regime (t → ∞) sarà x = x = 0 e quindi xrg =F0

k. Questo valore

è uguale a quello ottenuto per strumenti del primo ordine e viene dettofreccia statica (se la forza è applicata molto lentamente in maniera quasistatica). Risolvendo l'omogenea associata7

7Per la teoria delle equazioni dierenziali la soluzione è del tipo: x (t) = C1eα1t +C2eα2t.Dierenziando, sostituendo e semplicando si ottiene l'equazione caratteristica: mα2+cα+k =

0. Questa risolta dà: α1,2 =−c±

√c2 − 4mk

2m= −

c

2m±√

c2

4m2−

k

m= −

c

2m±√

∆.

28

ho:α1,2 = − c

2m±√

∆

A seconda del valore di ∆ lo strumento del 2° ordine ha modalità dirisposta diverse. Piuttosto che riferirsi al ∆ si denisce il fattore di

smorzamento ξ:

ξ =

√√√√√√c2

4m2

k

m

=

√c2

4km=

c

2√km

che si puo porre ξ =c

ccr

dove: ccr = 2√km è il coeciente di smorzamento critico.

Con queste posizioni si hanno tre casi

1. ξ > 1 (∆ > 0) → c > ccr

Lo strumento è sovrasmorzato e raggiunge la posizione naleF0

kcon

un moto aperiodico esponenziale. Questi sono gli strumenti più lenti.

2. ξ = 0 (∆ = 0) → c = ccrSiamo in corrispondenza dello smorzamento critico e la traiettoriaesponenziale aperiodica è quella più rapida possibile a raggiungere laposizione nale.

3. ξ < 1 (∆ = 0) → c < ccrLo strumento è sottosmorzato e reagisce rapidamente al gradino ma,a seconda del valore di ξ esso può oscillare più volte attorno alla

posizione di equilibrioF0

k. Questi sono gli strumenti più rapidi.

Per quest'ultimo caso bisogna ssare l'ampiezza della fascia di errore di-namico che si è disposti ad accettare ed attendere che l'indicatore siadenitivamente entrato nei limiti dell'errore pressato (ovvero che lo stru-mento abbia smorzato le eventuali sovra-oscillazioni).

Si progettano strumenti con ξ = 0, 7±0, 8 in modo che l'equipaggio mobile

scavalchi almeno una volta la posizioneF0

k, eliminando così il dubbio che

l'indicatore possa essersi arrestato per cause varie prima di raggiungere

l'indicazioneF0

k.

La determinazione dei coecienti m, c e k (per il calcolo di ωn e ξ) nonè facile e quindi si procede sperimentalmente attraverso la misura di unparametro con il quale si può ricavare ξ. Questo parametro è il decre-mento logaritmico δ. Si allontana l'equipaggio mobile dalla posizione

di equilibrio e se questo scavalca almeno una volta la posizioneF0

kal-

lora sarà ξ < 1, moto oscillatorio smorzato. Se ξ oppure T0 (il periododell'oscillazione) sono troppo piccoli per apprezzare il decremento tra due

29

picchi consecutivi, è possibile scegliere due picchi alla distanza di k periodie scrivere:

δ = lnxmxm+1

=1

kln

xmxm+k

Si dimostra che:

δ = lnAnAn+1

= 2πξ√

1− ξ2

Nel caso ξ < 1 la pulsazione propria (caso smorzato) ω0 =2π

T0non è

uguale alla pulsazione naturale (caso privo di smorzamento) ωn ma èlegata ad essa attraverso il fattore di smorzamento ξ:

ω0 = ωn√

1− ξ2

Nei casi in cui ξ < 0, 1 → ω0∼= ωn.

Nel caso della risposta dinamica si determina la risposta in frequenzautilizzando un ingresso sinusoidale con frequenza ω variabile:

mx+ cx+ kx = F0ejωt

La risposta sarà anch'essa di tipo sinusoidale: x (t) = X0 sin (ωt+ ϕ) =X0e

jωtejϕ con frequenza ω ma in ritardo di ϕ (da determinare) rispettoall'ingresso. Occorre calcolare anche l'ampiezza X0. Derivando e sos-tituendo la x (t) nell'equazione dierenziale si ha:

m(−ω2

)X0e

jωtejϕ + c (jω)X0ejωtejϕ + kX0e

jωtejϕ = F0ejωt

X0ejϕ(−mω2 + jcω + k

)= F0

X0ejω =

F0

−mω2 + jωc+ k=

F0

k

−mkω2 + j

c

kω + 1

ricordando che:

k

m= ω2

n e jc

kω = j

ξccrkω = j

ξ2√km

kω = j2ξ

√m

kω = j2ξ

ω

ωn

si ha:

X0ejϕ =

F0

k

−ω2

ω2n

+ j2ξω

ωn+ 1

=

F0

k

1− ω2

ω2n

+ j2ξω

ω2n

30

il modulo della funzione razzionalizzata rappresenta l'ampiezza dellarisposta in frequenza:

X0 =

F0

k√(1− ω2

ω2n

)2

+ 4ξ2

(ω

ωn

)2

mentre l'arco tangente del rapporto tra la parte immaginaria e la partereale da lo sfasamento:

ϕ = arctan−2ξ

ω

ωn

1− ω2

ω2n

I precedenti valori diX0

F0

k

e ϕ vengono gracati rispetto aω

ωnottenendo

i due graci caratteristici per gli strumenti del 2° ordine. Il rapporto

G =X0

F0

k

è chiamato amplicazione o guadagno e può essere maggiore

o minore dell'unità. Si ottengono una serie di curve parametrizzate in ξ.

Valori particolari.

Perω

ωn= 0 tutte le curve partono da G = 1 cioè a frequenza nulla la

deessione dell'equipaggio mobile X0 =F0

kè pari alla freccia statica.

Perω

ωn= 1 si è in risonanza e il guadagno risulta essere G =

1

2ξ.

Se lo smorzamento è troppo basso si possono avere oscillazioni chedanneggiano lo strumento.

A partire da fattori di smorzamento bassi, la prima curva che nonpresenta amplicazione signicativa dovuta a risonanza è quella conξ = 0, 7. Essa inoltre è la curva che, garantendo una buona linearitàin frequenza, fornisce la massima estensione della banda passante.

Per lo sfasamento tutte le curve passano per il puntoω

ωn= 1, ϕ =

π

2. Questa circostanza può essere utilizzata sperimentalmente per

determinare ωn senza la necessita di conoscere a priori ξ.

L'indicazione a regime dello strumento è xrg (t) =F0

kquindi la sensi-

bilità risulterà S =du

di=dx

dF=

1

k=

1

mω2n

dalla quale si riconosce un

31

fatto fondamentale: la sensibilità e la pulsazione naturale sono inver-samente proporzionali. Poichè l'estensione eettiva della risposta infrequenza di ogni strumento del 2° ordine è indicata dal valore di ωn sipuò aermare che: la sensibilità e la rapidità sono caratteris-tiche metrologiche inversamente proporzionali (antitetiche)tra loro. Nella progettazione bisogna sempre scegliere a priori qualedelle due qualità si vuole privilegiare. Questa caratteristica fonda-mentale si dimostra essere vera anche per strumenti di ordine diversodal 2°.

Esempio: il galvanometro

Dispositivo elettromeccanico alla base degli strumenti indicatori ad indicemobile.

Quando in ciascuna delle n spire immerse nel campo magnetico dicostante

−→B circola la corrente i i tratti di lo verticali sono soggetti

ad una forza−→F = i

−→l ×−→B di modulo |F | = ilB.

La bobina è soggetta quindi ad una coppia motrice totale Cm =nF · b = nilB · b bilanciata in ogni posizione dalla coppia resistentedella molla elastica Cr = k · θ.

L'equazione di equilibrio statico è: Cm = Cr → nilB · b = k · θ. Percui la deessione statica è:

θ =nlBb

k· i

che è la curva di graduazione dello strumento. Il galvanometro è unostrumento lineare!

La sensibilità risulta essere costante: S =dθ

di=nlBb

k=nlBb

Jω2n

ed in-

versamente proporzionale alla ωn. Anche in questo caso la sensibilitàè inversamente proporzionale alla estensione della banda passante,quindi alla rapidità dello strumento8.

L'equazione di equilibrio dinamico risulta invece essere:

Jd2θ

dt2+ c

dθ

dt+ kθ = C (t)

formalmente identica a quella appena studiata, con J momento d'inerziadell'equipaggio mobile. Gli schemi per lo studio della rapidità del gal-vanometro sono i soliti due:

C (t) = C0 (t > 0) nel caso di risposta al gradino

C (t) = C0ejωtejϕ nel caso di risposta in frequenza

8Per il galvanometro la grandezza in uscita è una rotazione θ per cui si ha ωn =

√k

J

32

1.8 Parti di uno strumento di misura

Schema di uno strumento di misura:

Lo studio partirà dallo strumento terminale che può essere rappresentato daun semplice indicatore ad ago ai strumenti terminali elettronici. Oggi la catenadi misura è quasi sempre elettrica. Già a livello di trasduttore si ottiene in uscitauna tensione od una corrente elettrica da inviare per l'elaborazione negli stadisuccessivi.

Motivi tecnici per la schiacciante superiorità dei strumenti elettrici ed elet-tronici:

1. miniaturizzazione dei trasduttori;

2. eliminazione degli eetti delle masse in movimento per il trasferimentodell'informazione;

3. facilità di manipolazione del segnale elettrico; esso può essere: amplicato,ltrato, sommato, sottratto, integrato, derivato ecc.;

4. il segnale elettrico che trasporta l'informazione può essere trasportato an-che a distanze ragguardevoli;

5. il segnale elettrico può essere usato per un controllo automatico dei pro-cessi di produzione.

Gli strumenti terminali elettrici industriali possono essere tutti ricondotti atre sole classi, rappresentate dagli strumenti seguenti:

il galvanometro a bobina mobile

l'oscilloscopio (analogico)

il voltmetro digitale (cui appartiene anche l'oscilloscopio digitale)

Del galvanometro già si è detto. Si può aggiungere che aumentando la re-sistenza della bobina si può usare come misuratore di tensione.

L'oscilloscopio analogico è uno strumento terminale che permette di visu-alizzare in tempo reale la forma dell'onda che costituisce il segnale della misura.Più che strumento terminale è uno strumento a se stante.

L'equipaggio mobile è costituito da un fascetto collimato di elettronigenerato all'interno del tubo a raggi catodici (Cathode Ray Tube, CRT).

Il CRT è un tubo di vetro a simmetria cilindrica all'interno del quale è fatto ilvuoto. Il lamento f, alimentato a Vf è riscaldato no a Tf = 900°C e racchiusonel catodo K che è un cilindretto di nichel il cui fondo è ricoperto di metalli

33

Figure 1:Rappresentazione dell'oscilloscopio analogico.

alcalino-terrosi che, portati ad una certa temperatura, emettono facilmente elet-troni. La temperatura del catodo è regolata dall'intensità di corrente che scorrenel lamento f. Gli elettroni sono attirati dagli anodi A1 e A2 i quali si trovanoa potenziale più alto (positivo) rispetto al catodo K. Prima di giungere aglianodi gli elettroni devono superare l'ostacolo posto dalla griglia G a potenzialepiù basso del catodo (negativo). La regolazione di R1 permette il passaggiosolamente di una parte del usso di elettroni prodotto dal catodo K e, in ultimaanalisi controlla la quantità di elettroni che andranno a formare il fascetto e cheuna volta focalizzato, riuscirà ad impattare sullo schermo S cosparso di fosfori.Al limite R1 può interdire del tutto il passaggio degli elettroni.

Gli anodi A1 e A2 hanno il compito di accelerare e focalizzare gli elettroniper la formazione del fascetto collimato.

A causa del potenziale ad essi applicato (buona parte della VCRT ), gli anodiA1 e A2 formano al loro interno delle superci equipotenziali (V e V+90 ) asimmetria cilindrica. Essendo tali superci a potenziali sempre più alti (positivi)il loro primo eetto è certamente quello di attivare verso destra gli elettroni e−

quindi di accelerare il moto del fascetto stesso verso lo schermo.Ma anche la focalizzazione degli elettroni avviene in virtù della simmetria

delle linee equipotenziali del campo elettrico interno agli anodi. In ogni punto diattraversamento di due superci simmetriche l'azione attrattiva del campo suglielettroni si esplica lungo le direzioni perpendicolari alle superci. Per due puntidi attraversamento, come quelli indicati in gura, che siano alla stessa distanzadall'asse del tubo CRT si riconosce come, a causa dell'eetto del campo, lecomponenti radiali della velocità r1 ed r2 impresse all'elettrone siano ugualied opposte. Nel passaggio da I ad U è però aumentata la componente assialedella velocità da u1 ad u2. Ne consegue che la divergenza impressa all'elettronein corrispondenza della supercie U è minore della convergenza impressa incorrispondenza della supercie I.

Una attenta progettazione della geometria degli anodi e delle superci eqi-upotenziali ad essi interne consente di ottenere in uscita un fascetto collimato

34

Figure 2:Campo di forze generato negli anodi del CRT.

35

Figure 3:Schema dell'oscilloscopio analogico.

composto da un treno continuo di elettroni. Una volta usciti dagli anodi glielettroni non subiscono più accelerazioni assiali, e se non ci fosse nessun'altracausa di disturbo andrebbero a concludere la sua corsa esattamente nel puntocentrale dello schermo.

Due coppie di placchette deettrici hanno il compito nale di deviare inmaniera coordinata il fascetto di elettroni dalla traiettoria assiale secondo ledirezioni x ed y. Il segnale Vy in ingresso allo strumento viene inviato alleplacchette orizzontali per ottenere la deessione verticale. Per la deessioneorizzontale sono presenti le placchette verticali. Se si desidera visualizzare ilsegnale esterno in funzione del tempo, alle placchette verticali viene applicatoun segnale generato internamente all'oscilloscopio da un circuito elettornico ap-posito: il generatore del gente di sega. Se invece si desidera visualizzare duesegnali uno in funzione dell'altro y = f (x) è possibile escludere il circuito in-etrno del dente di sega, inviare alle placchette verticali il segnale x = x (t) ed alleplacchette orizzontali il segnale y = y (t). Questa tecnica produce la modalitàdi visualizzazione così detta xy.

Le placchette deettrici operano una deessione elettrostatica degli elettroniche transitano al loro interno. Esiste anche la deessione elettrodinamica dovutaal campo elettromagnetico generato da due coppie di bobine. Lo sviluppo deiconcetti fondamentali è del tutto analogo per ambedue i casi e conduce allavalutazione della sensibilità intrinseca e della rapidità dello strumento vi-sualizzatore oscilloscopio analogico.

Ora bisogna capire cosa accade ad ogni singolo elettrone una volta che essoha abbandonato gli anodi che lo hanno accelerato verso lo schermo uorescentee focalizzato entro un fascetto ben collimato.

L'elettrone e− all'ingresso O ha velocità assiale u ed è soggetto ad un

campo elettrico d'intensità∣∣∣−→E ∣∣∣ =

Vyh

Appena e− supera O è sottoposto ad un campo di forze:−→F = e− ·

−→E

36

diretto come−→E e di intensità F = e− · E = e− · Vy

h. Questo campo di

forze agisce per tutto il tempo che l'elettrone impiega ad attraversare lo

spazio ON=l compreso tra le placchette: t =l

u.

L'elettrone subisce un'accelerazione verticale9: av =F

me−=

e− · Vyme− · h

, ed

acquista una velocità verticale pari a v = a · t =e− · Vy · lme− · h · u

Non appena abbandona la zona ON cessa l'azione del campo di forze el'elettrone continua la sua corsa indisturbato no ad impattare contro loschermo uorescente in un punto distante Y dall'asse CRT. Lo schemadello strumento è:

Vy → CRT → y

quindi la sensibilità dello strumento è: S =du

di=

dy

dVy.

Per un segnale non innitesimo Vy, la deessione totale vale Y = L · tan θ

essendo anche tan θ =v

urisulta:

Y = L · tan θ = L · vu

=Le−Vyl

me−hu2

e per la sensibilità:

S =dY

dVy=

Le−l

me−hu2

che non dipende da Vy e quindi, questo fatto, denuncia che l'oscilloscopioè uno strumento lineare.

Se ora si scrive l'equazione della conservazionedell'energia in senso longi-tudinale:

1

2mu2

e− = e− · VCRT u2 =2e− · VCRT

me−

e si sostituisce in S si ottiene:

S =Le−l

me−h2e− · VCRT

me−

=Ll

2hVCRT

cioè la sensibilità è funzione dei parametri geometrici del tubo catodico edella tensione di accelerazione VCRT .

Esempio: valutare la sensibilità di un'oscilloscopio che ha i seguentidati costruttivi:

9Si indica con me− la massa dell'elettrone.

37

l = 1cm

h = 0, 2cm

L = 20cm

VCRT = 5kV

S =20cm× 1cm

2× 0, 2cm× 5000V= 0, 01

cm

V= 0, 1

mm

V

Essendo la sensibilità dell'oscilloscopio così bassa la tensione Vy deve essereamplicata prima di essere inviata alle placchette deettrici.

Per studiare la rapidità è poassibile fare riferimento al tempo netto chel'elettrone impiega per transitare attraverso le placchette, ovvero al tempoin cui l'elettrone è soggetto al campo delle forze deettrici.

Dalla1

2me−u

2 = e−VCRT si ricava: u =

√2e−VCRT

m. Quindi il tempo di

transito risulta:

t =l

u= l ·

√m

2e−VCRT

Esempio: valutare il tempo di transito per l'oscilloscopio precedente sapendoche

e− = 1, 6 · 10−19C

me− = 9, 1 · 10−31kg

t = 1cm ·

√9, 1 · 10−31kg

2× 1, 6 · 10−19C × 5000V∼= 10−10s = 0, 1ns

Il tempo di un decimo di nanosecondo è piccolissimo. Se il segnale Vyha il periodo della propria frequenza massima uguale a 10 volte t questogarantisce che l'elettrone durante il transito tra le placchette sia espostoad un campo di forze originato da un segnale di tensione praticamentecostante. Ciò signica che la deessione Y è direttamente proporzionalea Vy, senza distorsione di forma. Questo porta al fatto che la frequnzaammissibile per Vy è dell'ordine:

fmax =1

Tmin=

1

10t=

1

10 · 0, 1ns=

1

10−9s= 1GHz

L'oscilloscopio è uno dei strumenti più rapidi esistenti. C'è inoltre pro-porzionalità inversa tra sensibilità e banda passante. Con frequenza ditaglio così elevate l'oscilloscopio deve essere equipaggiato con amplica-tori velocissimi, che abbiano uno slew rate (tempo di salita) dell'ordine di10−10secondi.

38

Figure 4:Graco del dente di sega.

Un circuito interno produce un segnale Vx da applicare alle placchetteverticali se si vuole avere sullo schermo una rappresentazione di Vy infunzione del tempo, il generatore di denti di sega : vx (t) = Kt −Vx, cioè una serie di rampe di tensione di periodo T regolabile, che siestendono da −Vx a +Vx. Con tr si indica il tempo di ritorno necessarioa riportare il segnale vx al punto di partenza (tr è trascurabile).

Per t =Tx2

risulta vx (t) = 0 → il pennello elettronico si trova al

centro dello schermo (asse x).

Essendo K · Tx2− Vx = 0 esso vi transita con una velocità pro-

porzionale a K =2VxTx

[V

s

] Il coeciente K rappresenta la velocità di variazione della tensionevx applicata alle placchette verticali.

Passare da K1 a K2 > K1 signica diminuire il periodo da Tx1 aTx2 < Tx1.

Sullo schermo dello strumento compare però direttamente la lettura

del tempo inms

divo anche in

µs

div. Più è alto il valore di K è più

piccolo è l'intervallo di tempo assegnato alla divisione orizzontaledello schermo.

La composizione del segnale avviene applicando direttamente il dente disega alle placchette verticali (asse x ) ed il segnale periodico Vy alle plac-chette orizzontali (asse y).

Condizione necessaria per visualizzare una forma d'onda intera e fermasullo schermo è avere il periodo del dente di sega Tx coincidente con ilperiodo Ty di Vy.

Se i due segnali non avessero il periodo coincidente e fosse, ad esempio,

Tx = t1 − t0 =3

4Ty, un apposito circuito elettornico dell'oscilloscopio è

39

in grado di sincronizzare la partenza di ogni rampa con un punto precisodel segnale periodico (ad es. Vy = 0) ovvero di mettere in attesa la rampasuccessiva per il tempo che il segnale in ingresso impiega per concludere

ciò che rimane del periodo dell'onda,T

4nell'esempio.

In questo modo è possibile visualizzare ferme sullo schermo frazioni diforme d'onda o anche multipli non interi di onde periodiche.

Per la visualizzazione in modalità xy il segnale vx (t) del generatore didenti di sega viene scollegato per mezzo di un selettore dalle placchetteverticali e ad esse viene inviato dall'esterno un secondo segnale in tensioneVx in modo da ottenere una deessione combinata del fascetto secondola legge Y = f (X). Con la modalità di funzionamento xy è possibilevisualizzare sullo schermo di uscita l'evoluzione nel tempo di esperimentinei quali esiste una dipendenza funzionale tra due grandezze misurate (adesempio un ciclo di isteresi B = f (H) o legge di Hook σ = E · ε)

Per l'oscilloscopio digitale la forma dell'onda viene ricostruita per mezzodi campioni digitalizzati. Lo schermo è più simile ad un monitor di com-puter che non ad un CRT con placchette deettrici, ed il segnale deve es-sere convertito da analogico a digitale (A/D). L'oscilloscopio digitale è con-cettualmente più simile ad un voltmetro digitale che non all'oscilloscopioanalogico.

1.9 Manipolazione del segnale

La parte della manipolazione del segnale rappresenta la parte centrale dellostrumento di misura. Essa, oltre trasferire il segnale dal trasduttore allo stru-mento terminale può eseguire delle operazioni sul segnale stesso (amplicazione,derivazione, integrazione, somma, dierenza, conversione A/D, ecc.)

Quando il mezzo che trasferisce l'informazione x è un segnale elettrico, vuoldire che il valore numero x può essere associato o alla tensione v o alla correntei che viaggiano sui cavi di collegamento. Anche se le due grandezze sono legatedalla legge di Ohm v = R · i, i costruttori di strumentazione specicano semprese il segnale in uscita o in ingresso ad uno stadio o ad uno strumento è in tensioneoppure in corrente.

Un segnale uscente da un trasduttore richiede necessità opposte (in fattodi resistenza del componente che segue) a seconda che si tratti di un segnalein tensione o in corrente. E' sempre possibile misurare una tensione con unamperometro e una corrente con un voltmetro (vedi gura 5).

Spesso per la corrente i si richiede il valore ecace ieff , occorre quindiraddrizzare il segnale per mezzo:

1. di un diodo SCR → raddrizzamento ad una semi-onda;

2. del ponte di Graetz → raddrizzamento a doppia semi-onda;

40

Figure 5:Misura di tensione con un amperometro (a sinistra: v = Ri, con Ra R) e di

corrente con un voltmetro (a destra i =v

R, con Rv R)

Ciò può essere pensato già come una manipolazione del segnale. La tensionerisultante vu = R · iu viene misurata con un galvanometro lento in modo daltrare automaticamente l'ondulazione residua. Per una corrente puramentesinusoidale i (t) = I0 sinωt si ha:

valor medio: Im =1

T

´ T0I0 sinωt · dt → Im =

2

πI0

valore ecace: Ieff =

√1

T

´ T0

sin2 ωt · dt → Ieff =I0√

2

fattore di forma: Kf =IeffIm

=

I0√2

2I0π

=π

2√

2∼= 1, 11

1.9.1 L'amplicatore operazionale

L'elemento di gran lunga più usato negli strumenti di misura è l'amplicatoreA. In particolare si illustra l'amplicatore operazionale AO .

L'AO ha due ingressi: non invertente V+, invertente V−, ed una uscita V0.Esso quindi accetta in ingresso una dierenza di potenziali e che l'uscita è unpotenziale riferito alla massa dello strumento.

41

Figure 6:Amplicatore operazionale.

Caratteristiche ideali dell'AO :

Amplicazione A→∞(106);

Impedenza in ingresso Zi →∞(109Ω

);

Impedenza in uscita Z0 → 0 (1Ω);

Banda Passante BW →∞;

L'AO approssima tali valori nel funzionamento ad anello aperto, in quellazona della curva caratteristica di funzionamento rappresentata a destra dellarampa crescente. Un qualunque amplicatore non può amplicare una tensionein ingresso producendo tensioni in uscita superiori alla propria tensione di al-imentazione (mediamente ±10V ); con una A ∼= 106 l'intervallo utile dei valoridella dierenza di potenziale in ingresso coperto dalla rampa di amplicazionesi estende solamente per alcune decine di µV . Quando la tensione in ingressosupera questi µV l'AO va in saturazione ed emette in uscita una delle tensionicontinue di alimentazione (±Vcc), positiva o negativa a seconda del segno diVi = V+ − V−. In questa congurazione l'AO può essere usato come compara-tore.

Esempio: se Vcc = ±10V e A = 106 si ha

±10V = 106 · (V+ − V−)MAX da cui (V+ − V−)MAX =20V

106= 20µV

Per |Vi| = |V+ − V−| > 20µV l'operazionale va in sturazione!

Per questo motivo per amplicare un segnale di misura l'AO viene utilizzatosempre ad anello chiuso.

A causa dei disturbi che possono colpire l'AO i costruttori limitano la bandapassante a pochi Hz. Questi disturbi, con le elevate amplicazioni disponibili,

42

Figure 7:Amplicatore operazionale in congurazione invertente.

potrebbero portare l'amplicazione ad oscillare tra ±Vcc rendendo impossibileanche il funzionamento da comparatore.

In gura 7 è riportata la disposizione circuitale dell'AO in congurazioneinvertente . Essendo la Zin ∼= 109Ω le poche cariche elettriche che riescono adentrare per pilotare il dispositivo sono una corrente trascurabile rispetto ad ii.La caduta di potenziale tra i due morsetti (−) e (+) è anch'essa trascurabile.

Essendo il morsetto non invertente (+) collegato a massa risulta che anche ilmorsetto invertente (−) si troverà all'incirca al potenziale di riferimento: ovveroa massa virtuale. Si possono scrivere le seguenti equazioni:

Massa virtuale V− ∼= V+ = 0; Vi = Ri · ii, Vo = Rf · if

Al nodo ii + if = 0 → ii = −if

Vo = −Rf · ii = −Rf ·ViRi

che rappresenta la curva di graduazione dell'AO

e che fornisce:VoVi

= −RfRi

= G che rappresenta il guadagno.

Questo non è elevato come nella congurazione ad anello aperto , ma dipendeunicamente dal rapporto tra la resistenza di controreazione Rf e quella di in-

gresso Ri, ed è

∣∣∣∣RfRi∣∣∣∣ A. Il segnale in uscita risulta inoltre invertito di segno

rispetto all'ingresso.

Per ovviare al cambio di segno si collega l'AO ad anello chiuso in congu-razione non invertente .

In questa congurazione:

Non si ha più la massa virtuale: V− ∼= V+ = Vi.

43

Figure 8:Amplicatore operazionale in congurazione non invertente

Tutta la corrente che scorre nel ramo di controreazione a causa della Zin ∼=109Ω non riesce ad entrare nell'ingresso invertente (−) e se ne va versomassa attraverso la Ri.

Si ha: if = i; Vo = Vf + Vi = Rf · if + Vi = Rf · ii + Vi = Rf ·ViRi

+ Vi =

Vi

(RfRi

+ 1

).

Il guadagno è: G =VoVi

=RfRi

+ 1.

Gli AO in uscita sono considerati dei generatori di tensione, e quindi nonsono in grado di pilotare in corrente un carico connesso a valle di Vo. Per ap-prezzare il guadagno sul segnale il dispositivo a valle di V0 deve avere impedenzaelevata.

L'AO si chiama così perchè, oltre ad amplicare segnali in tensione, è ingrado di eseguire operazioni matematiche sui segnali:

Esempio: sommatore di tensione .Scrittura equazioni:

Riprendo la relazione scritta nel caso dell'AO in congurazione invertente:

Vo = −RfRi· Vi = −Rf ii, dove ii =

ViRi

= ia + ib =VaRa

+VbRb

.

44

Figure 9:Amplicatore operazionale sommatore di tensioni

Ora: Vo = −Rf(VaRa

+VbRb

). Se si progetta l'ingresso del circuito con:

Ra = Rb = R, si ottiene → V0 = −RfR

(Va + Vb), la somma delle due

tensioni in ingresso!

1.9.2 Filtro RC e CR

Il ltro RC è una semplice rete bipolare composta da una resistenza e da uncondensatore. Equazioni:

Per le due maglie posso scrivere: vi = (R+XC) i v = XCi

Combinando le equazioni ho:vovi

=XC

R+XC=

1R

XC+ 1

=1

jωRC + 1

Se si pone: ωc =1

RC=

1

λsi ottiene

vovi

=1

jωλ+ 1dove λ è la costante

di tempo del sistema. Il ltro è un sistema elettrico del 1° ordine con

guadagno: G =1√(

ω

ωc

)2

+ 1

e sfasamento: ϕ = arctan (−ωλ).

Esso è un ltro passa basso con:

per ω = 0 G = 1

per ω →∞ G = 0

45

per ω = 1 G =1√2

La fc =1

2πRCè la frequenza di taglio del ltro (a -3dB)

Particolarità: per |jωRC| 1 → ω 1

RC= ωc e vale G =

vovi∼=

1

jω· 1

λ,

ovvero vo (t) =1

jω· 1

λ· vi (t). Il segnale in uscita è l'integrale del segnale

in ingresso10. Il ltro è un integratore analogico del segnale in tensione.L'integrazione avviene però per quel campo di frequenze dove il segnalein uscita è fortemente attenuato.

Il ltro CR è una rete bipolare composta da un condensatore e da unaresistenza. Equazioni:

Per le due maglie posso scirvere: vi = (XC +R) i vo = Ri

Combinando le equazioni ho:vovi

=R

XC +R=

R

XC

R

XC+ 1

=jωRC

jωRC + 1

Se si pone: ωc =1

RC=

1

λsi ottiene

vovi

=jωλ

jωλ+ 1dove λ è la costante

di tempo del sistema. Il ltro è un sistema elettrico del 1° ordine con

guadagno: G =

ω

ωc√(ω

ωc

)2

+ 1

e sfasamento: ϕ = arctan

(1

ωλ

).

Esso è un ltro passa alto con:

per ω = 0 G = 0

per ω →∞ G = 1

per ω = 1 G =1√2

La fc =1

2πRCè la frequenza di taglio del ltro (a -3dB)

10Se si ha un segnale del tipo vi (t) = V sinωt = V ejωt e si calcola l'integrale si ottiene:ˆvi (t) dt =

ˆV ejωtdt =

V

jωejωt =

1

jωV ejωt =

(1

jω

)·vi (t)

(1

jω

)→ operatore di integrazione

46

Particolarità: per |jωRC| 1 → ω 1

RC= ωc e vale G =

vovi∼= λ · jω,

ovvero vo (t) = λ · jω · vi (t). Il segnale in uscita è la derivata del segnalein ingresso11. Il ltro è un derivatore analogico del segnale in tensione.La derivazione avviene però per quel campo di frequenze dove il segnalein uscita è fortemente attenuato.

1.9.3 L'amplicatore operazionale integratore

La congurazione è quella invertente ma al posto della resistenza di controre-azione presenta il condensatore Cf .

Per il guadagno vale: vo = −ZfZivi con Zi = Ri e Zf = XCf =

1

jωCf.

Quindi: vo = − 1

jωRiCf· vi = − 1

jω· ωc · vi. Si riconosce come il circuito

eettua un'operazione di integrazione sul segnale.

Se si desidera amplicare il segnale va posta, in parallelo a Cf , una oppor-

tuna resistenza Rf per ottenere un guadagno G =RfRi

che si sovrappone

all'integrazione.

1.9.4 L'amplicatore operazionale derivatore

La congurazione è quella invertente ma al posto della resistenza di ingressopresenta il condensatore Ci.

11Se si ha un segnale del tipo vi (t) = V sinωt = V ejωt e si calcola la derivata si ottiene:

dvi (t)

dt=dV ejωt

dt= jωV ejωt = (jω) · vi (t) (jω)→ operatore di derivazione

47

Per il guadagno vale: vo = −ZfZivi con Zi = XCi =

1

jωCie Zf = Rf .

Quindi: vo = −jωCiRf · vi = −jω · 1

ωc· vi. Si riconosce come il circuito

eettua un'operazione di derivazione sul segnale.

Se si desidera amplicare il segnale va posta, in serie a Ci, una opportuna

resistenza Ri per ottenere un guadagno G =RfRi

che si sovrappone alla

derivazione.

Per tutte e due i tipi di schemi l'integrazione e la derivazione avviene perfrequenze alle quali il guadagno è considerevolmente <1.

Porre una resistenza in serie al condensatore d'ingresso sposta il valore della

frequanza caratteristica ωc =1

RfCi.

1.9.5 Rapporto di reiezione in modo comune: CMRR

Negli AO reali viene amplicata la dierenza dei potenziali entranti V1 e V2

(riferiti a massa). Quindi più che la Vo = A (V2 − V1) vale la Vo = A2V2−A1V1.Con riferimento alla gura sotto si deniscono le seguenti relazioni:

L'ingresso dierenza Vd = V2 − V1.

L'ingresso di modo comune Vc =V1 + V2

2.

L'amplifcazione dierenziale Ad =A1 +A2

2.

L'amplicazione di modo comune Ac = A2 −A1.

48

Figure 10:

Se l'amplicatore fosse ideale (A1 = A2 = A) amplicherebbe solo l'ingresso dif-ferenza Vd. Nella realtà invece Ad agisce su Vd e Ac sulla tensione indesiderataVc. Il rapporto tra Ad e Ac (cercando di fare quanto più possibile A1 = A2 equindi Ad elevate e Ac molto basse) è un parametro di qualità molto importanteper gli AO e prende il nome di:

Rapporto diReiezione diModoComune =A2

A1

CMRR =A2

A1

di solito dell'ordine di 105. E' conveniente esprimerlo in scala logaritmica:

CMRR = 20 logAdAc

con valori che possono andare da 60dB a 120dB.

Nella gura sotto è schematizzato l'amplicatore per strumentazione(instrumentation amplier).

49

I trasduttori non sono buoni generatori di tensione in quanto non sono ingrado di inviare correnti signicative ad un carico collegato a valle. Questodispositivo ha un impedenza molto elevata (109Ω) su ambedue i terminali diingresso ed ha intrinsecamente una alta reiezione del segnale di modo comune Vc.E' usato nelle misure perchè è ottimo per amplicare segnali ottanti (V2 − V1),ovvero non riferiti alla massa dello strumento. Per il guadagno (direnziale) siha:

G =vovi

=R4

R3

(1 +

2R2

R1

)Per trasduttori che producono un segnale periodico sovrapposto ad una forte

componente continua, oppure un segnale che deriva nel tempo, o anche per tras-duttori che presentano essi stessi in uscita un segnale modulato ... è sconsigli-abile amplicare il segnale in continua. In questi casi si utilizza l'amplicatorein alternata (AC) o Carrier .

Si tratta di un dispositivo capace di modulare in ampiezza il segnale (deltrasduttore o dello stadio che precede)12. Il segnale con frequenza fs viene mod-ulato con un'onda portante a frequenza fc fs. La portante viene amplicata,quindi demodulata. Un circuito discriminatore di fase riconosce se la portantetrasporta una semi-onda positiva o negative e utilizza questa informazione nellostadio di demodulazione. Il segnale amplicato viene quindi ricostruito nellasua frequenza originale attraverso un ltro passa-basso.

1.9.6 Il ponte di Wheatstone

Se si schematizza la rete elettrica con le seguenti caratteristiche:

Disposizione di 4 resistenze a rombo, con R1 in alto a sx, R2 in alto a dx,R3 in basso a dx, R4 in basso a sx; C nodo in alto, D nodo in basso, Aspigolo sx, B spigolo dx; un galvanometro che unisce A a B ; un generatoredi tensione tra C e D.

Se il ponte è in equilibrio il galvanometro segna zero cioè VA − VB = 0(non c'è passaggio di corrente).

Se al posto della R1 si pone una restistenza incognita Rx, si sostituisce aR2 un reostato variabile, agendo su R2 no ad equilibrare il ponte, dalla

relazione13 Rx =R2R4

R3si ottiene il valore di Rx.

12Segnale portante: è il segnale che porta, detto anche canale.Segnale modulante: è l'informazione che si vuole trasportare con il segnale portante.Modulare in ampiezza vuol dire far variare l'ampiezza di una portante a radiofrequenza

secondo l'ampiezza di una modulante a bassa frequenza; consiste nel modulare l'ampiezzadel segnale radio che si intende utilizzare per la trasmissione (detto portante) in manieraproporzionale all'ampiezza del segnale che si intende trasmettere (modulante). Il segnalemodulato ha la stessa frequenza della portante.

13Se nel tratto CAD scorre la corrente I1 e nel tratto CBD scorre la corrente I2 si puòscrivere (all'equilibrio VA = VB) R1I1 = R2I2 e R4I1 = R3I2. Dividendo membro a membro

si haR1

R4=R2

R3dalla quale ottengo: R1 =

R4R2

R3.

50

L'altro utilizzo del ponte di Wheatstone è quello per cui non si è interessati alvalore di R1 ma ad una sua variazione ∆R1 che può essere letta sul quadrantedello strumento. Si sostituisce il galvanometro con unmillivoltmetro. Occorreconoscere la curva di graduazione del ponte: VAB = f (∆R1). Se si pone R1 =R2 = R3 = R4 = R e si considera la variazione della sola ∆R1 si ha:

∆e

E=

1

4· ∆R1

R

1 +1

2· ∆R1

R

che risulta non lineare! Se però si considera che di solito ∆R1 R la precedentediventa:

∆e

E=

1

4· ∆R1

R

che rappresenta la curva di graduazione del ponte di Wheatstone linaerizzato!Se avessimo avuto una variazione ∆R2 dai segni della relazione di equilibrio

del ponte R1R3 −R2R4 = 0 avremmo ottenuto:

∆e

E= −1

4· ∆R2

R

curva di graduazione ribaltata rispetto alla precedente.Se variassero tutte e quattro le resistenze avremmo:

∆e

E=

1

4·(

∆R1

R− ∆R2

R+

∆R3

R− ∆R4

R

)curva di graduazione linearizzata completa del ponte di Wheatstone .Questa relazione descrive uno degli stadi di manipolazione del segnale per lavariazione di resistenza più utili in assoluto nel campo della misura di grandezzemeccaniche.

1.10 Strumenti terminali numerici

I visualizzatori a led sono stati usati in passato. Per il fatto che riscaldano, checonsumano energia (soprattutto se lo strumento è alimentato a batterie) si sonodiusi oggi i visualizzatori LCD (Liquid Crystal Display) a cristalli nematici.Gli LCD necessitano di una fonte di illuminazione esterna.

Il liquido nematico ad eetto rotazionale è interposto tra due lastrine di vetroricoperte interamente da uno strato di ossido metallico trasparente (una com-pletamente e l'altra ad isole elettricamente separate così da formare i segmentidell'indicatore). Il liquido nematico scarico si dispone con tutte le molecoleparallele alle lastrine di vetro. Quando al liquido viene applicato un campoelettrico, le sue molecole ruotano di 90° e si dispongono concordemente con lapolarizzazione dei ltri. La luce polarizzata dai ltri passa attraverso i segmenticui è applicato il campo elettrico.

L'illuminazione può essere quella ambientale oppure il visore può essere retro-illuminato.

51

Il principio di funzionamento degli strumenti numerici è fondato sul conteggionumerico su base non decadica.

2 La misura della lunghezza

2.1 Metrologia d'ocina

2.1.1 Calibri

Il calibro a nonio è uno strumento di misura composto da una parte ssa eduna mobile che vi scorre assialmente grazie ad una rotaia a coda di rondine.Sulla parte superiore (ssa) è incisa una scala di 20cm con l'approssimazione diun millimetro mentre su quella inferiore (mobile) è incisa una scala muta (senzanumeri) che può essere lunga:

9 mm ed essere divisa in 10 parti (calibri decimali);

19 mm ed essere divisa in 20 parti (calibri venetsimali);

49 mm ed essere divisa in 50 parti (calibri cinquantesimali);

Per valutare la frazione di millimetro di un segmanto A occorrerà osservarequal'è la prima delle tacche mobili che coincide con una qualunque delle tacchesse. Per un calibro decimale, ad esempio, se osserviamo la tacca n si puòaermare che il pezzo misura x millimetri e n decimi perchè ogni tacca mobilerimane indietro di 0,1 mm rispetto alle tacche sse e la tacca n-esima individuaproprio di quanti decimi di mm è costituito il segmento A.

2.1.2 Palmer

Per misure per cui è richiesta un'approssimazione maggiore si usa il palmeranch'esso uno strumento manuale. E' costituito da un telaio ad arco e da unacoppia vite (mobile, sulla quale è incisa la scala ssa graduata in 0,5 mm) emadrevite (solidale al telaio, sulla quale è incisa radialmente la scala mobilesuddivisa, ad esempio, in 50 parti). Sul telaio è riportato il campo di misura inmillimetri e la temperatura di esercizio consigliata in gradi centigradi.

Per eettuare la misura si pone il pezzo tra l'incudine e la vite micromet-rica aperta, si serra e poi si continua il serraggio agendo su una frizione cheimpedisce di stringere il pezzo con forze superiori a 10 N, onde deformarlo. Perottenere la misura basta leggere sulla madrevite quante tacche da 1/2 millimetrocorrispondono ed aggiungere ad essa tanti centesimi di millimetro quanti se neleggono sulla scala mobile. Infatti se la vite in un giro avanza di mezzo mil-limetro (passo) e la scala è suddivisa in 50 parti signica far corrispondere allafrazione di giro equivalente ad una tacca mobile un avanzamento della vite di1

2· 1

50=

1

100di millimetro.

Data la precisione spinta prima della misura è consigliabile chiudere il palmere vericare che dia zero in lettura, e utilizzarlo alla temperatura prescritta.

52

2.1.3 Comparatori centesimali e millesimali

Il comparatore è uno strumento di misura utilizzato per misure di spostamentolineare. Lo strumento basa il suo funzionamento sulla lettura dello sposta-mento di un'asta cilindrica mobile che scorre all'interno di una guida tubo-lare. L'estremità dell'asta (chiamata tastatore o palpatore) è a contatto dellasupercie dell'oggetto sottoposto a misura. Una molla spinge costantementel'asta verso l'esterno del corpo del comparatore, assicurando cosi' che il tasta-tore sia perennemente in contatto con l'oggetto di misura. Quando la superciesi sposta nella direzione dell'asse dell'asta (avvicinandosi o allontanandosi), an-che quest'ultima si muove. Un sistema di lettura amplica e visualizza questospostamento rendendo disponibile la misura.

I comparatori normalmente vengono realizzati con corse utili comprese tra1 e 100 mm, mentre la risoluzione è normalmente centesimale (0,01 mm), anchese vengono realizzati comparatori di precisione bimillesimali (risoluzione 0,002mm).

2.1.4 Blocchetti pian-paralleli

Il blocchetto pian-parallelo, anche detto blocchetto di riscontro, è un calibrosso costituito da un parallelepipedo lavorato in modo da ottenere due faccecontrapposte perfettamente parallele, distanziate tra loro di una quota precisa(spessore nominale).

Raramente i blocchetti vengono usati singolarmente, è invece normale ac-quistarli e usarli in serie più o meno numerose. Le serie hanno blocchetti didimensioni dierenti, con progressioni aritmetiche che permettono, combinandopochi elementi, di poter creare molti altri calibri. La combinazione avviene at-taccando due o più blocchetti sui piani lavorati. L'adesione si genera per azionedelle forze molecolari tra le due superci piane nemente lavorate.

I blocchetti possono essere utilizzati:

come dima, per vericare la rispondenza dimensionale di un oggetto (con-trolli passa/non passa);

come strumento di misura, per eettuare rilievi dimensionali (no allarisoluzione di 0,001mm);

come strumento di riferimento, per controllare la precisione di misura dialtri strumenti (utilizzazione come campione).

I blocchetti vengono costruiti con gradi di precisione dierente, a seconda delleesigenze dell'utilizzatore. Infatti, malgrado l'apparente semplicità, le dicoltàpratiche di realizzazione possono far lievitare molto il costo delle serie di preci-sione.

A seconda degli errori massimi di spessore nominale e di variazione di lunghezza,i blocchetti vengono classicati classi di precisione, deniti grado. Nelle seriedestinate alle ocine:

grado 3 , piuttosto imprecise (praticamente inutilizzati);

53

grado 2 , destinate all'uso generico;

grado 1 , destinate ad usi di precisione.

In commercio esistono anche le serie d'alta precisione, denite di grado 0 egrado 00 , destinate prevalentemente ai laboratori metrologici (le caratteris-tiche di precisione sono denite a 20°C).

2.1.5 Comparatori elettrici e trasduttori di spostamento

Il comparatore digitale funziona sullo stesso principio del comparatore a quad-rante, con la dierenza che gli ingranaggi movimentano un piccolo encoder col-legato ad un contatore elettronico. Minimi spostamenti dell'asta si traduconocosì in impulsi elettrici conteggiabili da un indicatore elettronico.

L'evoluzione dell'elettronica ha permesso la realizzazione di indicatori minia-turizzati e dal consumo molto basso, tanto da poter essere facilmente alimentatida una comune batteria a bottone. I display dei comparatori sono normalmenterealizzati con una risoluzione 0,01 mm.

2.2 Trasduttori di spostamento

Per i trasduttori di questo tipo l'ingresso è uno spostamento (lunghezza) el'uscita è una tensione o una corrente. Il loro funzionamento si basa sulla vari-azione della resistenza , dell' induttanza , o della capacità degli elementielettrici passivi al loro interno. Dalla legge di Ohm si ha: V = Z · I dove ilmodulo dell'impedenza Z ha la forma generale:

|Z| =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

2.2.1 Dispositivi resistivi: potenziometro

Se la pulsazione ω della tensione è nulla la legge di Ohm diventa: V = R · I esiamo in presenza del potenziometro resistivo. Se si indica con:

Vi la tensione di ingresso e Vo la tensione di uscita;

Rl = ρl

Sla resistenza totale e Rx = ρ

x

Sla resistenza da un estremo al

corsore;

si può scrivere la seguenta relzione:

VoVi

=ρx

S· I

ρl

S· I

=x

lcioe Vo =

Vil· x

54

che rappresenta la curva di graduazione . Ricordando poi la denizione disensibilità (variazione dell'uscita in rapporto alla variazione dell'ingresso) si ha

S =dVodx

=Vil

[V

m

]costante .

Per il potenziometro angolare si ha:

VoVi

=ρϑr

S· I

ρ2πr

S· I

=ϑ

rcioe Vo =

Vi2π· ϑ

Per i potenziometri costituiti con lo avvolto a spire giustapposte per l'avanzamentodel cursore pari ad un diametro del lo si ha un salto di un pezzo di conduttorepari alla lunghezza di una spira completa. La curva di graduazione assume laforma tipica a gradini.

2.2.2 Dispositivi induttivi: trasformatori dierenziali e trasduttori

senza contatto

I trasduttori induttivi sono basati sulla legge: L = µ0µrN2S

l. Un trasdut-

tore passivo è il sensore di prossimità a riluttanza variabile. Per un circuitomagnetico il cui usso Φ è indotto da una bobina di N spire con induttanza Lvale la relazione:

L =N2

<dove < =

l

µ0µrSe la riluttanza

Di solito i circuiti magnetici si sviluppano per la maggior parte nel ferro che hauna permeabilità magnetica relativa µf ≥ 1000, mentre il breve tratto in aria(traferro) ha µa ∼= 1 e costituisce la parte variabile del circuito magnetico (per lelunghezze si ha lf > la). Lo spostamento x dell'ancoretta (A) rispetto al paccodi lamierini (C) rappresenta l'ingresso al trasduttore. Visto che < = <f +<a e

che µf > 1000µa l'induttanza della bobina sarà praticamente L =N2

<aanche se

lf > la dovuta tutta al traferro.Per il circuito sarà:

Tensione di alimentazione: V = V0 sinωt.

Legge di Ohm V = Z · I con Z = R + jωL. Se si realizza la bobina con

un elevato fattore di merito Q =XL

Rsi può approssimare la legge di Ohm

V ∼= jωL · I = jωN2

<a· I = jωµ0µr

N2S

l· I.

Se si considerano i valori ecaci di tensione e di corrente, si pone x =la2e

si esplicita la corrente in funzione dello spostamento x si ottiene la curva

55

di graduazione del trasduttore di prossimità a riluttanza variabile :

Ieff =2Veff

ωN2µ0µrS· x

Per la sensibilità si ha: S =dI

dx=

2VeffωN2µ0µrS

costante .

2.2.3 Dispositivi capacitivi

I trasduttori capacitivi sono basati sulla legge: C = ε0εrS

d. Quindi per

realizzare un trasduttore capacitivo si può pensare di far variare:

d la distanza tra le armature; si otterebbe così la sensibilità non lineare:

S =dC

dd= −ε0εr

S

d2.

S la supercie del condensatore; si ottiene una sensibilità costante: S =dC

dS= ε0εr

1

d; un tale trasduttore risulterebbe lineare.

εr la costante dielettrica del condenstatore; anche qui la sensibilità risulta

costante: S =dC

dεr= ε0

S

de la curva di graduazione lineare.

2.2.4 Sistemi ottici: interferometri; encoder

56