MISURE ED ERRORI

Che tipo di errori costituiscono la misura, quali sono i parametri statistici per il loro trattamento, quale è la loro distribuzione normale.

27 febbraio 2007

Sensibilità e precisione degli strumenti di misura

sensibilità di uno strumento è la minima quantità di grandezza misurabile con lo strumento (ordine di grandezza).

precisione di uno strumento è il rapporto tra la sensibilità dello strumento e la massima quantità di grandezza che lo strumento puòmisurare. La precisione è una grandezza adimensionale, tanto maggiore quanto minore è il numero che la esprime.

Natura PROBABILISTICA

della misuraIl valore della “misura esatta” è

teoricamente pensabile solo come valore più probabile della misurazione.

Per la legge probabilistica “empirica del caso” il valore teoricamente esatto di una misura lo si approssima come il valore più frequente in una serie di misurazioni; tante più saranno tali misurazioni quanta più sarà la precisione della misura.

INCERTEZZA

Ma da un numero limitato di prove si può solo ridurre statisticamente l’aleatorietà introducendo la nozione di precisione e di errore come due grandezze reciproche, inversamente proporzionali che misurano l’incertezza della misurazione o dello strumento.

L’insieme di misure omogenee di una stessa grandezza si possiamo distribuire in classi di equivalenza 1 ,2 ,3 , … n corrispondenti ai valori di data misura X i = (x1, x2, … xn.) che esprimono ciascuna quante misurazioni si possono riguardare entro una “stessa misura”.

Queste classi indicano le. frequenze corrispondenti alle misurazioni x1, x2, … xn

di una data misura X i.

POPOLAZIONE di misure

x 54-55

56-57

58-59

60-61

62-63

64-65

66-67

68-69

70-71

72-72

74-75

76-77

78-79

80-81

82-83

84-85

f 1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1

Prima nozione statistica: frequenza

Frequenza o frequenza assoluta (peso) di una modalità (misura) è il numero totale di volte che essa si presenta nelle unità rilevate

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

In questo caso il continuum delle misure X i è stato discretizzato in intervalli di due unità ( ad esempio nella classe 2 sono comprese le misure da 55,5 a 57,5). Diciamo intuitivamente che al crescere dell’intervallo che definisce le classi diminuisce la precisione (come nel caso in cui si prelevassero le misure con una cordella metrica intervallata solo ogni mezzo centimetro piuttosto che con un nastro millimetrato) e cresce la difficoltà di leggere una “misura” attribuendola ad una classe.

Perciò i numeri che esprimono le misure x1, x2, … xn sono solo dei simboli delle classi di equivalenza 1 ,2 ,3 , … n e non possiamo esprimere un intervallo con suoi limiti effettivi (55,5-57,5) perché una misura che cadesse sul limite (55,5) non sarebbe classificabile.

x1

.xi

54-55

56-57

58-59

60-61

62-63

64-65

66-67

68-69

70-71

72-72

74-75

76-77

78-79

80-81

82-83

84-85

f1 .

.fi

1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1

Media e misura probabile

MEDIAM è un indice significativo dell’insieme dei dati ed

esprime la posizione sulla scala ordinata delle “misurazioni” di X (x1, x2, … xn ) verso la quale si

addensa la “popolazione”.

53.6760

40521

NM

fx in

i

x 54-55

56-57

58-59

60-61

62-63

64-65

66-67

68-69

70-71

72-72

74-75

76-77

78-79

80-81

82-83

84-85

f 1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1

Misura PROBALILE di una grandezza

Ripetendo n volte la misura x di una grandezza si può dimostrare che se gli errori sono distribuiti del tutto casualmente (distribuzione normale) il valore più probabile della misura è la media aritmetica dei risultati delle misure:

xm = (x1+x2+x3+...+xn)/nValore medio

della misura

xm = NM xin

1

media aritmetica ponderata

Quando ciascuna modalità (misura) si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua frequenza.

La media aritmetica ponderata M di n valori è:

n

nnn

nnnndoven

nxnxnxxxxM

...

...,...,,

21

221121

Indici di dispersione

Scarto Scarto medioScarto quadratico medioVarianza

Seconda nozione statistica: la variabilitàIl calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono.

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA

Allievo 1 3 4 5 9 9 6

Allievo 2 6 6 6 6 6 6

Allievo 3 2 4 7 8 9 6

Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità (misure) diverse fra loro.

Diagramma di dispersione

23456789

0 1 2 3 4 5

Prove

Allievo 1

Allievo 2

Allievo 3

Se la serie di misure indicano 37,2 cm. e l'utente,per un errore accidentale o sistematico, trascrive i seguenti quattro valori 37,1 poi 37,4 poi 37,0 poi 37,2 risulta che la media dei valori letti sarà una comune media aritmetica: (37.1 +37.4 +37.0 +37.2)/4 =148.7 /4 =37.175, detto valore medio .

Una volta ottenuto il valore medio, si può calcolare un altro valore, lo scarto.

Lo scarto vi è calcolato sottraendo il nuovo risultato letto xi dal valore medio.

Se a esempio una quinta misurazione fornisce il valore di 37.3

si avrà uno scarto di circa -0,2.

Mxv ii

SCARTO

SCARTO MEDIOSCARTO è la differenza specifica tra ciascun valore x1, x2, … xn

ed il valore M della media.Mxv ii

Per misurare la variabilità si può dare uno SCARTO MEDIO inteso come la media della differenza specifica tra ciascun valore x1, x2, … xn ed il valore M della media.

n

Ni Mx

1n

Niv

1

ovvero

SCARTO QUADRATICO MEDIO

n

Ni Mx

1

2

n

Niv

1

2

)(

VARIANZAÈ il quadrato dello scarto quadratico

medio N

i Mxn

2

1

2

MM2

2

2

2

è un indice di variabilità che misura quanto si disperdono i valori delle misure in rapporto al valore medio;

è la differenza tra il valore quadratico medio ed il quadrato della media

La varianza

La varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato, 2

8

5

22

692

652

642

632:allievo 1 Es.

... 222

212

n

MxMxMx n

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA Varianza

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5

Scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

n

MxMxMx n22

22

12 ...

1^ prova 2^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varianzasqm o

Deviazione standard

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8 2,83

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0 0,00

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5 2,92

TEORIA DELL’ERRORE

1. Distribuzione normale degli errori Funzione di Gauss

2. Teoria degli errori nel rilevamento

grossolani – scarti macroscopici, dovuti ad imperizia e negligenza nel rilevamento

sistematici – scarti sempre nello stesso senso (segno), dovuti a errata taratura dello strumento, individuabili confrontando le indicazioni dello strumento con quelle di un altro strumento tarato correttamente.

accidentali – scarti agenti in maniera aleatoria che portano a deviazioni casuali in entrambe i sensi; sono dovuti a numerose circostanze, non sono identificabili individualmente ma solo statisticamente ripetendo più volte la misura della stessa grandezza.

ERRORI

MISURA & INCERTEZZA

Ogni misura è sempre composta da: UN NUMEROUNA UNITA’ DI MISURA E DAL VALORE DELL’INCETEZZA legata allo

strumento, all’oggetto misurato o alle condizioni di misurazione.

Il valore dell’INCERTEZZA - di una misura o di uno strumento – è valutato in un intervallo pari al doppio dell’errore probabile.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Distribuzione normale dell’errore accidentale:

FREQUENZAEseguendo n misurazioni x di una

grandezza si possono raggruppare i risultati in classi di frequenza 1 ,2 ,3 , …

n che indicano il peso di probabilità di una certa

misura e non sono necessarie nel caso di misure della stessa precisione.

x 54-55

56-57

58-59

60-61

62-63

64-65

66-67

68-69

70-71

72-72

74-75

76-77

78-79

80-81

82-83

84-85

f 1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1

distribuzione probabilistica degli errori accidentali in una serie di misure di ugual precisione è tale che:

1 - esiste un limite entro il quale non vi sono più errori accidentali

2 – la probabilità che le misure siano approssimate in eccesso è uguale a quella che siano approssimate in difetto

3 – gli errori sono tanto più improbabili nella misura in cui crescono; ovvero saranno tanto più numerosi quanto più saranno piccoli.

 La media aritmetica M dei valori letti in diversi momenti sulla stessa grandezza corrisponde al valore più probabile della misura

NM xin

1

Disposizione simmetrica degli scarti

Eseguendo un sempre maggiore numero di misurazioni, e misurandone un sempre maggiore numero di scarti dal valore medio si constata una Legge di simmetria:

in valore assoluto gli scarti si equivalgono,

cioè non esiste una tendenza degli scarti accidentali a superare o difettare dal valore medio.

Disposizione decrescente degli scarti

La frequenza degli scarti aumenta con il rimpicciolire del valore dello scarto stesso,

poiché è molto più probabile commettere un errore minuscolo piuttosto che un errore elevato.

Ad esempio nel prelievo di una misura diretta è più probabile sbagliare accidentalmente di un centimetro che di un decimetro.

Dunque nel caso di misure ripetute di ugual precisione il valore medio costituisce la stima empirica del valore teorico della misura della grandezza. Tale valore sarà tanto più probabile quanto più aumenta il numero N delle misure.

Rispetto a questo valore più probabile della misura gli scarti - le differenze specifiche tra ciascun valore x1, x2, … xn ed il valore M della media – costituiscono gli errori “veri” rispetto al valore più probabile della Misura:

La somma algebrica di questi scarti dovrebbe essere sempre nulla

Mxv ii

01

n

iv

ed è sempre minima la somma dei loro quadrati rispetto alla media.

Questo principio detto dei minimi quadrati è fondamentale per la compensazione degli errori accidentali.

Si considera la vera misura come dato più probabile rispetto al quale dunque è minima la somma dei quadrati di tutte le differenze fra le varie misure di una stessa grandezza.

n

Niv

1

2

n

Niv

1

2

1

Scarto quadratico

medio σErrore quadratico

medio

ERRORE QUADRATICO MEDIO

Questo indice (detto scarto tipo o anche deviazione standard) esprime in media l’entità dell’errore entro il quale può oscillare il valore delle misurazioni.

Indica quanto ogni misura mediamente si scosta dal valore teorico della grandezza osservata. Valuta la dispersione della media empirica intorno al valore della media teorica.

n

Niv

1

2

1

L’errore quadratico medio consente di valutare la precisione delle misurazioni.

Si dimostra che al crescere delle misurazioni i valore minori di sono circa il 70% di quelli rilevati ovvero il valore di ha una probabilità di 0,7 di non essere superato.

Solo una misurazione su mille è affetta da scarti (errori) accidenetali che eccedono il triplo di .

Istogramma delle misure

Le misurazioni xi di una grandezza si

rappresentino tra il più piccolo (xmin)e

il più grande (xmax) dei valori misurati

xi

e si divida l'intervallo xmin, xmax in un

certo numero di classi di frequenza, ciascuna di ampiezza Δx.

In ascissa si indica l’ordine crescente

(decrescente) dei valori xi,

In ordinata si indica il valore della frequenza.

Il grafico rappresenta la distribuzione dei risultati delle misure, mostrando che la maggior parte dei risultati si addensa intorno al valor medio,

mentre risultati che differiscono considerevolmente dalla media sono poco frequenti.

Distribuzione di GaussSi può dimostrare che quando gli

errori sono distribuiti casualmente, facendo il limite per Δx -->0, e n --> ∞, cioè aumentando il numero delle osservazioni e riducendo l'ampiezza delle classi, l'istogramma precedente si trasforma in una curva continua chiamata gaussiana o curva di Gauss:

Fre

qu

en

za d

elle

mis

ure

scarto

erroreerrore

il parametro σ, chiamato deviazione standard, esprime la distanza orizzontale tra i punti di flesso e il massimo della curva (della funzione);

rappresenta la dispersione dei risultati intorno al valore più probabile

Quanto maggiore è tale dispersione tanto più larga appare la curva.

Una curva molto allargata indica che l'effetto degli errori accidentali è notevole.

Il significato statistico della curva di distribuzione è il seguente:

presi due valori x1 e x2, l'area sottesa dalla curva nell'intervallo x1, x2 rappresenta la probabilità che il risultato di una misura sia compreso tra x1 e x2.

si può dimostrare che esiste il 68.3 % di probabilità che il risultato della

misura sia compreso nell'intervallo xo+σ,

il 95.4 % che sia compreso nell'intervallo

xo+2σ e

il 99.7 % che si trovi in xo+3σ,

La deviazione standard può essere stimata dai risultati sperimentali usando la relazione:σ = ( (xi-xm)2/(n-1))1/2

in cui la sommatoria al numeratore rappresenta la somma dei quadrati degli scarti dalla media. Nota la deviazione standard è possibile calcolare l'errore della

media, o errore standard, come:μ = σ/n1/2

che rappresenta la deviazione standard della media.Di conseguenza esiste il 68.3 % di probabilità che il valor vero sia

contenuto nell'intervallo xm+μ,

il 95.4 % che sia contenuto in xm+2μ

e il 99.7 % che sia contenuto in xm+3μ. Assumendo come grado di fiducia il 95.4 % della probabilità, si può esprimere il risultato delle misure nella forma: x = xm+/-2μ

TOLLERANZA

è dunque definita come il triplo dell’errore quadratico medio e costituisce l’ERRORE TEMIBILE in una misurazione, è il valore prefissato dell’incertezza.

TOLLERANZA è dunque la maggiore tra le differenze ammissibili tra due misure della stessa grandezza in modo che possa essere assunta la media come valore più probabile della misura effettiva.

Consente di valutare l’ERRORE RELATIVO all’UNITA’ DI MISURA in modo che si possa assumere una CORREZIONE automatica di segno contrario all’errore stesso.

COME SI DETERMINA LA TOLLERANZA IN UN RILIEVO?

1)In base alle caratteristiche del modello finale

2)In base alle condizioni (strumenti e metodi) del rilevamento

LA PRECISIONE DEL MODELLO GEOMETRICO

Se il rilievo approda ad un modello grafico dell’oggetto rilevato il parametro fondamentale è l’errore di graficismo legato alla scala del disegno.

Allorché nel progetto di rilievo si fissa una scala di restituzione si implica un margine d’errore ammissibile per rapporto allo scopo;

solo da ciò consegue la scelta di strumenti e metodi di rilievo.

L’errore di graficismo nel disegno è valutato intorno ai 2 o 3 decimi di mm. assumendo conseguentemente un valore di tolleranza direttamente proporzionale alla diminuzione della scala (crescita del denominatore di scala) dai 3 cm. della scala 1:100 ai 60 cm. in scala 1:2000.

 D’altronde la rilevazione delle lunghezze con strumenti diretti per rilievi in scala 1:50 non consente tuttavia di rispettare nemmeno l’errore di 1,5 cm. consentito dall’errore di graficismo…

 La differenza tra errore di graficismo e tolleranza strumentale cresce in scala 1:20 sulle grandi estensioni,  mentre per rilievi in scala 1:100 la tolleranza strumentale è ampiamente contenuta nell’errore di graficismo.

MISURE DIRETTE

ERRORE QUADRATICO MEDIO NELLE MISURE DIRETTE

Distanza topografica è la misura della lunghezza del segmento che unisce la proiezione di due punti sulla superficie di riferimento.

La misura diretta di una distanza L si compie riportando n volte una lunghezza campione al quale è connesso

un errore quadratico medio au noto dell’assommarsi delle esperienze.

au è riferito al metro o al chilometro.

ERRORE ACCIDENTALE NELLE MISURE DIRETTE

L’errore accidentale quadratico medio

a L della misura diretta L di una distanza

è proporzionale alla radice quadrata della distanza:

LauaL

l’errore quadratico medio non è direttamente in proporzione al crescere della distanza ma della sua radice quadrata perché le compensazioni tra valutazioni per eccesso e per difetto avvengano automaticamente aumentando l’entità della misura.

ERRORE SISTEMATICO NELLE MISURE DEIRETTE

Invece gli errori dovuti alla taratura degli strumenti influenzano la lettura delle misure sempre nello stesso modo, direttamente proporzionale alla distanza da misurare.

LsusL

. Per ogni condizione strumentale esiste un

coefficiente di proporzionalità su, cioè un

errore quadratico sistematico unitario.

ERRORE TEMIBILE COMPLESSIVO NELLE MISURE DIRETTE

è la somma degli errori accidentali e sistematici.

LLsuauL

.. Dove L è la distanza da misurare,

au è l’errore medio unitario

accidentale,

su è l’errore medio unitario

sistematico ricavati per via sperimentale.

TOLLERANZA NELLE MISURE DIRETTE

stabiliti p e q parametri costanti stabiliti sperimentalmente come il triplo degli errori quadrati medi, la TOLLERANZA t è

LqLpt ..

La tolleranza è stabilita da diversi sistemi di unificazione, il Catasto Italiano, dall’IGM,

Ad esempio il Catasto Italiano stabilisce i seguenti valori di p e q:

Terreno pianeggiante 0,015  

Terreno ondulato 0,020 0.0008Terreno sfavorevole 0,025  

  p q

G. Boaga, Introduzione al rilievo fotogrammetrico dei monumenti, Roma 1970.

Boaga fissa per il rilievo edilizio una Tolleranza compresa

tra 0,45 e1,45 mm

per metro.