MINISTERUL EDUCAºIEI NAºIONALE

IULIAN DRAGOTÅ Program TEMPUS S-JEP 09781/95 GESTION ET PROTECTION DE LA RESOURCE EN EAU

METODE DE

CALCUL

NUMERIC

Serie coordonatå de:

Radu DROBOT

Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti

Jean Pierre CARBONNEL

Universitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6

EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 1996

ISBN : 973 - 30 - 5947 - 1

Copyright © 1998. Toate drepturile asupra acestei edi¡ii

sunt rezervate Editurii Didactice ¿i Pedagogice R.A., Bucure¿ti.

Redactor : Tincu¡a ANTON

Grafician : Dumitru ªMALENIC

PREFAºÅ

Calculul numeric (sau Analizå numericå) este un capitol foarte important al

matematicii. El a apårut din nevoia de a rezolva probleme, impuse de practicå, care nu au solu¡ii analitice sau, chiar dacå admit, sunt foarte greu de utilizat.

Trebuie så remarcåm cå aceste solu¡ii numerice se bazeazå de fapt pe cunoa¿terea în profunzime a analizei clasice care fundamenteazå aceste metode.

Metodele numerice au cunoscut o dezvoltare importantå ¿i datoritå progresului remarcabil în tehnica de calcul, computerul fiind un instrument

indispensabil în ob¡inerea solu¡iilor numerice. Materialul de fa¡å, cuprinzând unele capitole de analizå numericå, încearcå

så prezinte, cât mai accesibil, cele mai folosite metode numerice. Pentru aceasta, acolo unde este posibil, se face apel la intui¡ie ¿i la interpretare geometricå.

Justificarea teoreticå (demonstra¡ia), deseori complicatå, a fost deliberat låsatå de-o parte. Pentru cititorii dornici de cunoa¿tere temeinicå a metodelor expuse (¿i nu numai a acestora), se recomandå parcurgerea materialului

bibliografic. Prezentul volum trateazå metodele cele mai des utilizate în practicå :

aproximarea func¡iilor de una sau douå variabile, derivare ¿i integrare numericå, rezolvåri de ecua¡ii, sisteme algebrice sau transcendente, metoda diferen¡elor finite pentru ecua¡ii diferen¡iale sau cu derivate par¡iale, etc.

Lucrarea Metode de calcul numeric cuprinde o mare parte din prelegerile

prezentate de autor studen¡ilor din anul II ai facultå¡ii de Hidrotehnicå, specializårile Construc¡ii Hidrotehnice ¿i respectiv Inginerie Sanitarå ¿i Protec¡ia Mediului.

Acest material va fi util nu numai studen¡ilor, ci ¿i doctoranzilor care au de

sus¡inut examene de calcul numeric sau speciali¿tilor care sunt preocupa¡i de rezolvarea practicå a problemelor inginere¿ti.

Autorul mul¡ume¿te pe aceastå cale domnului profesor Radu Drobot, coordonatorul programului TEMPUS S_JEP 09781/95, care a sprijinit financiar apari¡ia acestei lucråri .

Autorul

DIN PARTEA COORDONATORILOR:

Necesitatea organizårii unor cursuri de actualizare a cuno¿tin¡elor ¿tiin¡ifice în domeniul resurselor de apå ¿i mediului a fost enun¡atå în cursul anului 1990 de cadrele didactice ¿i inginerii români, cu ocazia primelor vizite efectuate dupå 1989 de cåtre colegii francezi la Bucure¿ti. Acest proiect a putut fi transpus în via¡å datoritå sprijinului financiar al Programului TEMPUS - PHARE, ini¡iat de Comunitatea Europeanå pentru a ajuta ¡årile Europei de Est så-¿i restructureze învå¡åmântul superior. Programul organizat dupå principiile ciclului 3 francez (D.E.A. - diplome d'études approfondies) a început så func¡ioneze efectiv din anul universitar 1992/1993 ¿i a avut parteneri din Fran¡a (Universitatea "Pierre et Marie Curie", care a fost de altfel ¿i coordonatorul acestui program), Belgia (Universitatea din Liege), Italia (Università degli Studi di Genova) ¿i, evident, din România (Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti ¿i Universitatea Bucure¿ti); de la început unitå¡ile de profil din domeniu (Regia autonomå "Apele Române", Institutul Na¡ional de Meteorologie ¿i Hidrologie, Institutul de Cercetåri pentru Ingineria Mediului) au sus¡inut în mod activ derularea programului care a fost denumit: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stiin¡ele Apei ¿i Mediului). Un numår important de profesori ¿i cercetåtori de înalt nivel ¿tiin¡ific din Fran¡a, Belgia, Italia ¿i România au sus¡inut prelegeri în limba francezå sau românå, pentru circa 50 de tineri cercetåtori ¿i ingineri, în cei 3 ani de func¡ionare ai programului. Coordonatorii programului au considerat totu¿i cå s-ar putea face ¿i mai mult pentru formarea speciali¿tilor din domeniul ¿tiin¡elor apei ¿i mediului ¿i au decis så råspândeascå în cea mai mare måsurå posibilå cuno¿tin¡ele predate. Rezultatul acestei inten¡ii îl constituie editarea unei serii de 10 bro¿uri din domeniul Hidrologiei, Hidrogeologiei sau al pregåtirii ¿tiin¡ifice fundamentale. ¥n speran¡a cå acestå serie va fi utilå studen¡ilor din ciclul 2 ¿i 3, precum ¿i speciali¿tilor, coordonatorii acestei serii î¿i exprimå inten¡ia de a continua activitatea începutå, în vederea acoperirii cu materiale scrise, în cât mai mare måsurå, a domeniului ¿tiin¡elor apei ¿i mediului.

Coordonatori: Jean - Pierre CARBONNEL ¿i Radu DROBOT

CUPRINS

1. Aproximarea func¡iilor …………………………………………………………………………………………………………………………

7

1.1. Interpolarea func¡iilor ………………………………………………………………………………………………………………… 7 1.2. Polinom Lagrange de interpolare ……………………………………………………………………………………… 9 1.3. Interpolare liniarå pe por¡iuni ……………………………………………………………………………………………… 13 1.4. Interpolare påtraticå pe por¡iuni ………………………………………………………………………………………… 15 1.5. Diferen¡e divizate. Polinom Newton cu diferen¡e divizate de interpolare Lagrange ……………………………………………………………………………………………………………

17

1.6. Diferen¡e finite. Polinoame Newton cu diferen¡e finite de interpolare Lagrange ……………………………………………………………………………………………………………

20

1.6.1. Diferen¡e finite progresive ……………………………………………………………………………………… 20 1.6.2. Diferen¡e finite regresive …………………………………………………………………………………………. 21 1.6.3. Polinoame Newton cu diferen¡e finite …………………………………………………………… 22 1.7. Eroare de interpolare …………………………………………………………………………………………………………………. 24 1.8. Interpolare Hermite ……………………………………………………………………………………………………………………… 25 1.9. Interpolare Hermite pe por¡iuni (cubicå) ……………………………………………………………………. 29 1.10. Metoda celor mai mici påtrate ……………………………………………………………………………………………. 29 1.11. Interpolarea func¡iilor de douå variabile ……………………………………………………………………… 34 2. Derivarea numericå ……………………………………………………………………………………………………………………………

2.1. Derivarea bazatå pe polinoame de interpolare ……………………………………………………….

45

45 2.2. Legåtura dintre derivate ¿i diferen¡e finite ………………………………………………………………… 46 3. Integrare numericå …………………………………………………………………………………………………………………………….

49

3.1. Metoda trapezelor ………………………………………………………………………………………………………………………… 50 3.2. Metoda Simpson (parabolei) ………………………………………………………………………………………………… 51 3.3. Formule de cuadraturå Cebî¿ev …………………………………………………………………………………………. 52 3.4. Formule de cuadraturå Gauss ……………………………………………………………………………………………… 56 3.5. Calculul aproximativ al tangentei duble. Formule de cubaturå ………………… 59 3.5.1. Formula trapezelor pentru integrala dublå …………………………………………………. 59 3.5.2. Formula Simpson pentru calculul integralei duble …………………………… 61 4. Rezolvarea numericå a ecua¡iilor ………………………………………………………………………………………….

64

4.1. Metoda înjumåtå¡irii intevalului (bisec¡iei) ………………………………………………………………. 65 4.2. Metoda coardei (falsei pozi¡ii) ……………………………………………………………………………………………. 65 4.3. Metoda tangentei (Newton) …………………………………………………………………………………………………… 69

4.4. Metoda aproxima¡iilor succesive pentru rezolvarea ecua¡iilor algebrice sau transcendente …………………………………………………………………….……

72

5

4.5. Metoda aproxima¡iilor succesive pentru sisteme neliniare algebrice ¿i transcendente ……………….……………………………

74

4.6. Metoda Jacobi de rezolvare a sistemelor liniare …………………………………………………… 4.7. Metoda Gauss-Seidel de rezolvare a sistemelor liniare ……………………………………

76 77

5. Metoda diferen¡elor finite pentru rezolvarea unor probleme Cauchy

sau la limitå pentru ecua¡ii diferen¡iale sau cu derivate par¡iale ………………

79

5.1. Metoda diferen¡elor finite pentru o ecua¡ie diferen¡ialå de ordinul întâi cu condi¡ie ini¡ialå (problemå Cauchy) ………………………………….

79

5.2. Schema Euler explicitå ……………………………………………………………………………………………………………… 82 5.3. Schema Euler implicitå ……………………………………………………………………………………………………………. 82 5.4. Schemå explicitå de ordinul doi ………………………………………………………………………………………… 83 5.5. Schema Euler îmbunåtå¡itå …………………………………………………………………………………………………… 83 5.6. Schema Runge-Kutta de ordinul patru …………………………………………………………………………. 85 5.7. Schema Runge-Kutta pentru integrarea numericå a sistemelor de ecua¡ii diferen¡iale ordinare ………………………………………………………………

85

5.8. Metoda diferen¡elor finite pentru problema Dirichlet bidimensionalå (ecua¡ii cu derivate par¡iale de tip eliptic) ………………………………………………………………….

87

5.9. Metoda diferen¡elor finite pentru ecua¡ii cu derivate par¡iale de tip hiperbolic ………………………………………………………………………………

90

5.10. Metoda diferen¡elor finite pentru ecua¡ii de tip parabolic ……………………………… Bibliografie ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

94

98

6

1

APROXIMAREA FUNCºIILOR

Practica pune în fa¡a inginerului probleme a cåror solu¡ie analiticå este fie imposibil de ob¡inut, fie foarte complicatå ¿i din acest motiv se cautå o solu¡ie numericå aproximativå, care så fie cât mai apropiatå de solu¡ia exactå. Una din multele probleme este ¿i urmåtoarea: Despre o func¡ie : [ ] se ¿tie cå fie are o expresie analiticå foarte

complicatå, fie se cunosc valorile ei în punctele din

(ob¡inute, de obicei, prin måsuråtori) ¿i este nevoie ca:

f a b R, →

x x xn0 1, ,..., [ ]a b,

1. så se cunoascå valorile func¡iei în foarte multe alte puncte din interval; 2. så fie derivatå ¿i/sau integratå aceastå func¡ie.

¥n toate aceste cazuri se impune så se înlocuiascå func¡ia datå cu o alta care så fie u¿or evaluatå (tabelatå); diferen¡iatå ¿i/ sau integratå. ¥n continuare sunt prezentate douå metode: metoda interpolårii ¿i metoda celor mai mici påtrate.

1.1. INTERPOLAREA FUNCºIILOR

Metoda aproximårii func¡iilor prin interpolare presupune cå sunt date punc-tele , ,..., (numitå re¡ea de noduri) ¿i valorile x0 x1 xn ( )f x0 , ( )f x1 ,..., ,

notate:

( )f xn

( )f f xi i= , i = 0,n , (1.1)

ale func¡iei în aceste puncte ¿i se cere så fie determinatå o func¡ie , astfel

încât:

( )F xn

( )F x fn i i= , i = 0,n , (1.2)

care func¡ie så fie u¿or calculabilå ¿i så aproximeze cât mai bine pe f (x). ( )F xn

7

Aceastå problemå poartå numele de interpolare Lagrange. Se scrie:

( ) ( )f x F xn≅ . (1.3)

De regulå, se cautå de forma: ( )F xn

( ) ( ) ( ) ( )F x c x c x c xn = + + +0 0 1 1ϕ ϕ ϕ... n n , (1.4)

cu func¡ii u¿or calculabile ¿i liniar independente, adicå egalitatea: ( )ϕi x

( ) ( ) ( )c x c x c xk k0 0 1 1 0ϕ ϕ ϕ+ + + =... , [ ]∀ ∈x a b, (1.5)

are loc numai pentru:

c c ck1 2 0= = = =... , (1.6)

oricare ar fi k.

Astfel de func¡ii pot fi, de exemplu: ( )ϕi x

( )ϕiix x= (1.7)

¿i în acest caz:

( )F x c c x c x c xn nn= + + +0 1 2

2 ... (1.8)

este un polinom de gradul n.

Defini¡ia 1. Func¡ia datå de (1.4) poartå numele de polinom gene-

ralizat.

( )F xn

Geometric, problema de interpolare revine la a determina polinomul

generalizat, deci coeficien¡ii lui, care trece prin punctele ( )M x fi i i, , i n= 0,

(fig. 1.1)

Teorema 1. ¥n cazul , existå ¿i este unic polinomul de interpolare

Lagrange

( )ϕiix x=

( )F xn , dacå nodurile sunt distincte. nxxx ,...,, 10

Demonstra¡ia acestei teoreme, ca ¿i a altora ce vor fi date în continuare, se gåse¿te în bibliografie.

8

Fig. 1.1. Aproximarea func¡iei f(x) prin polinomul ( )xFn .

1.2. POLINOM LAGRANGE DE INTERPOLARE

Pentru valori mari ale lui n, calculul coeficien¡ilor ai polinomului (1.8)

devine complicat ¿i atunci se cautå alte expresii mai comode ale polinoamelor de interpolare.

ci

Se cautå un polinom notat ( )F xn ( )L xn de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xlfxlfxlfxFxL nnnn +++=≡ ...1100 (1.9)

cu:

( ) ( )l x xk k≡ ϕ , (1.10)

polinoame de gradul n, a cåror expresie se determinå din condi¡iile de interpolare:

( )L x fi , n i = i = 0,n (1.11)

Dezvoltat, condi¡iile (1.11) se scriu sub forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

fxlfxlfxlf

fxlfxlfxlf

fxlfxlfxlf

..........................................................

...

...

1100

11111100

00011000

, (1.11′)

care conduc la:

9

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

===

===

1,...,0,0................................................

0,...,1,0

0,...,0,1

10

11110

00100

nnnn

n

n

xlxlxl

xlxlxl

xlxlxl

(1.12)

sau, restrâns:

( )l xj i

j ii j =≠=

⎧⎨⎩

01

,,

. (1.12′)

Aceasta înseamnå cå polinomul are rådåcinile: ¿i

deci se poate scrie sub forma:

l xi ( ) x x x x xi i0 1 1 1, ,..., , ,...,− + n

( ) ( )( ) ( )( ) ( )niiii xxxxxxxxxxAx −−−−−=ϕ +− ...... 1110 . (1.13)

Punând condi¡ia:

( ) 1=ϕ ii x , (1.14)

se ob¡ine:

( )( ) ( )( ) ( )niii xxxxxxxxxx

A−−−−−

=+− ......

1

1110. (1.15)

¥nlocuind pe în (1.13) rezultå: Ai

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ∏

≠=+−

+−−

−=

−−−−−−−−−−

=ϕn

ijj ji

j

niiiiiii

niii xx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x01110

1110......

...... . (1.16)

Atunci:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ++

−−−−−−

+−−−

−−−= ...

......

......

02010

201

02010

210

n

n

n

nn xxxxxx

xxxxxxf

xxxxxxxxxxxx

fxL

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ++

−−−−−−−−−−

+++−

+− .........

.........

1120

1110

niiiiiii

niii xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxf

( )( ) ( )

( )( ) ( )120

110...

......

−

−−−−

−−−++

ninn

nn xxxxxx

xxxxxxf . (1.17)

Prin urmare:

10

( ) ( ) ∑ ∏=

≠= −

−=≅

n

i

n

ijj ji

jin xx

xxfxLxf

0 0. (1.18)

¥n figura 1.2 este prezentatå schema logicå de calcul a valorii polinomului Lagrange de interpolare într-un punct x dat.

Fig. 1.2. Schema logicå de calcul a valorii polinomului Lagrange.

11

Observa¡ii:

1. pentru n = 1 avem:

( )L x fx x

x xf

x xx x1 0

1

0 11

0

1 0=

−−

+−−

, (1.19)

în care dacå se ob¡ine ecua¡ia dreptei ce trece prin punctele

, .

( ) yxL ≡1

( )M x f0 0 0, ( )M x f1 1 1,

Se spune în acest caz, n = 1, cå (1.19) reprezintå o aproximare liniarå a

func¡iei f (x) pe intervalul [ ]x x0 1, (fig. 1.3);

2. dacå n = 2, atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )1202

102

2101

201

2010

2102

xxxxxxxx

f

xxxxxxxx

fxxxx

xxxxfxL

−−−−

+

+−−−−

+−−

−−=

. (1.20)

Dacå se înlocuie¿te ( )L x2 cu y , se ob¡ine parabola ce trece prin ,

¿i care aproximeazå func¡ia f (x) pe intervalul

M0

M1 2M [ ]10 , xx . ¥n acest

caz (1.20) este o aproximare påtraticå;

3. pentru valori mari ale lui n , polinomul Lagrange de interpolare

(1.17) sau (1.18) este greu de utilizat.

De multe ori valoarea func¡iei într-un punct poate fi bine aproximatå

dacå se cunosc valorile ei în douå sau trei puncte. Se ajunge astfel la

no¡iunea de interpolare pe por¡iuni liniarå sau påtraticå (fig. 1.3; fig. 1.4).

12

Fig. 1.3. Aproximarea liniarå.

Fig. 1.4. Aproximarea påtraticå.

1.3. INTERPOLARE LINIARÅ PE PORºIUNI

Dacå pe fiecare interval [ ]x xi i, +1 func¡ia f este aproximatå printr-un

polinom Lagrange , se ob¡ine: ( )L x1

( )

[ )

[ )

[ )

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−−

+−

−

∈−−

+−−

∈−−

+−−

∈−−

+−−

≅

−−

−

−−

++

++

+

nnnn

nn

nn

nn

iiii

ii

ii

ii

xxxxx

xxf

xxxx

f

xxxxx

xxf

xxxx

f

xxxxxxx

fxxxx

f

xxxxxxx

fxx

xxf

xf

,,

........................................

,,

.......................................

,,

,,

11

1

11

11

11

1

2112

12

21

21

1001

01

10

10

(1.21)

Din (1.21) se poate scrie:

( ) ( )∑=

ϕ≅n

iii xfxf

0, (1.22)

13

unde:

( )[ )

[ ]

( )

[ )

[ )

[ ]

( )

[ )

[ )

[ )

[ ]

( )[ )

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈−−

∈

=ϕ

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

∈−−

∈−−

∈

=ϕ

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

∈−−

∈−−

=ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈

∈−−

=ϕ

−−

−

−

+

++

−−

−

−

nnnn

n

n

n

ni

iiii

i

iiii

i

i

i

n

n

xxxxx

xx

xxx

x

xxx

xxxxx

xx

xxxxxxx

xxx

x

xxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

xxx

xxxxxxx

x

,,

,,0...............................

,,0

,,

,,

,,0.............................

,,0

,,

,,

,,0

,,

11

1

10

1

11

11

1

10

2

2121

2

1001

0

1

1

1010

1

0

(1.23)

Defini¡ia 2. Polinomul:

( ) ( )∑=

ϕ=n

iii xfxL

0, (1.24)

cu date de (1.23) se nume¿te polinom global de interpolare. ( )ϕi x

14

1.4. INTERPOLARE PÅTRATICÅ PE PORºIUNI

Se presupune cå sunt date punctele ¿i valorile x x x n0 1 2, ,..., ( )f f xi i= ,

i n= 0 2, ale func¡iei în aceste puncte.

Pe fiecare interval [ ] [x x0 2, ; ]x x2 4, ;...; [ ]x xn n2 2 2− , func¡ia f este

aproximatå printr-un polinom Lagrange de gradul doi, ( )L x2 , de forma (1.20).

Astfel se ob¡ine:

[ )

[ )

[ )

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−−

−−+

−−−−

+−−

−−

∈−−

−−+

+−−

−−+

−−−

∈−−

−−+

+−−−−

+−−

−−

∈−−−−

+

+−−−−

+−−

−−

=

−−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−

−−

nnnnnn

nnn

nnnn

nnn

nnnn

nnn

iiiiii

iii

iiii

iii

ii

iii

xxxxxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxxxx

xxxxf

xxxxxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxx

xxxxf

xxxxxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxxxx

xxxxf

xxxxxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxxxx

xxxxf

xf

222122222

12222

2122212

22212

2221222

21222

222122222

12222

2122212

22212

1222

21222

423424

324

4323

423

4232

432

201202

102

2101

201

2010

210

,,))((

))((

))(())((

))(())((

.......................................

,,))((

))((

))(())((

)())((

.......................................

,,))((

))((

))(())((

))(())((

,,))((

))((

))(())((

))(())((

)(

(1.25

ªi în acest caz se poate scrie:

, (1.26)

)

( ) ( )∑=

ϕ≅n

iii xfxf

2

0

15

cu:

( )[ )

[ ]

( )[ )

[ ]

( )

[ )

[ )

[ ]

( )

[ )

[ )

[ ]

( )[ ]

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−−

−−

∈=ϕ

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−−

−−

∈−−

−−

∈

=ϕ

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

∈−−

−−

∈−−

−−

=ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈

∈−−−−

=ϕ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈

∈−−

−−

=ϕ

−−−

−−

−

−−−−

−

−−−−−−

−−

−

−

nnnnnn

nn

n

n

nnnnnn

nn

nnnnnn

nn

n

n

n

n

n

xxxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxx

xxx

x

xxx

xxxxxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxx

x

xxx

xxxxxxx

xxxx

x

xxx

xxxxxxx

xxxx

x

222122222

1222

220

2222221222

212

224232224222

3242

420

22

24

424232

43

201202

10

2

22

202101

20

1

22

202010

21

0

,,))((

))((

,,0

................................

,,))((

))((

,,,))((

))((

,,0...............................

,,0

,,))((

))((

,,))((

))((

,,0

,,))((

))((

,,0

,,))((

))((

(1.27)

Defini¡ia 3. Polinomul:

, (1.28)

( ) ( )∑=

ϕ=n

iii xfxL

2

0

16

cu date de (1.27) se nume¿te polinom global de interpolare.

Observa¡ie: Interpolarea Lagrange pe por¡iuni este, de asemenea, utilå pentru

ON

CU DIFERENºE DIVIZATE D

Defini¡ia 4.

neechidistante, ¿i

( )ϕi x

calculul aproximativ al integralei ¿i în metoda elementului finit.

1.5. DIFERENºE DIVIZATE. POLINOM NEWT

E INTERPOLARE LAGRANGE

Fie x0 , x1 ,..., xn un sistem de puncte distincte, [ ]f a b R: , → ,

( )ii xff = , i n= 0, valo func¡iei f în aceste puncte. rile

Expresiile:

( ) ( )01

01xx

xf ( ) ( )( ) ( )xf −

12

12xxfx

−xf −

,...,1

1

−

−−

; −

−

nn

nnxx

, (1.29)

se numesc diferen¡e divizate de ordinul întâi ale lui f ¿i se notea

xfxf

zå prin:

( )ij

ijji xx

xxf−

ff −=ω ,; . (1.30)

Evidente sunt rela¡iile:

( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎧ ω=ω fxxf ji ,;

⎨∈βα∀βω+αω=β+αω Rxxfxxfxxgf

xx

jijiji

ij

,,,;,;,;

,;

(1.31)

care aratå cå diferen¡a divizatå de ordinul întâi este func¡ie simetricå în raport cu argumentele ¿i este operator liniar fa¡å de f.

Diferen¡ele divizate de ordinul doi se definesc cu ajutorul diferen¡elor divizate de ordinul întâi, astfel:

( ) ( ) ( )ik

jikjkji

xxfxxfxxxf

xx −

ω−ω= . (1.32)

Analog se definesc diferen¡ele divizate de ordin superior k ( 2):

ω,;,;

,,;

≥

17

18

( ) ( ) ( )iki

kiii xx −kiikiii xxfxxxf

xxxfω−ω

=ω −++++ 121 ,...,;,...,,;,...,,;

+++1 . (1.33)

Dacå:

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )110

102010

...

...

−−−−+

++−−+−+=

nn

n

xxxxxxc

xxxxcxxccxN (1.34)

este un polinom de interpolare Lagrange pentru func¡ia f, atunci din condi¡iile

de interpolare:

( ) iin fxN = , ni ,0= , (1.35)

rezultå cå:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++ω−−+ω−+= fxN n ...,;,; 010100 xxxfxxxxxxfxx

(1.36)

, 210

( ) ( ) ( ) ( )nn xxxfxxxxxx ,...,,;... 1010 1 ω−−−+ −

n¡e divizate de interpolare Lagrange

pentru func¡ia f.

entru func¡ia datå de tabelul 1.1 e scrie polinomul on

cu diferen¡e divizate.

le

care se nume¿te polinom Newton cu difere

Exemplu: P , så s Newt

Cu date din tabelul 1.1 se ob¡ine:

( ) ( ) (+=≅ ) ( )( ) +−−−− 2,111 xx

3450,04142,13 xxNxf

( )( )( )5,12,110078,0 −−−+ xxx .

0374,0

Tabelul 1.1

i xi f i ( )ω f x xi i; , +1 ( )ω f x x xi i i; , ,+ +1 2 ( )ω f x x x xi i i i; , , ,+ + +1 2 3

0 1 1,4142

1 4832 1 41421 2 1

0 345, ,,

,−−

=

1 1,2 1,4832 0 3263 0 34501 5 1

0 374, ,,

,−−

= −

1 5811 1 48321 5 1 2

0 3263, ,, ,

,−−

= − +

−=

0 0311 0 03741 9 1

0 0078, ,,

,

2 1,5 1,5811 0 3045 0 32631 9 1 2

0 0311, ,, ,

,−−

= −

1 7029 1 58111 9 1 5

0 3045, ,, ,

,−−

=

3 1,9 1,7029

19

1.6. DIFERENºE FINITE. POLINOAME NEWTON

CU DIFERENºE FINITE DE INTERPOLARE LAGRANGE

1.6.1. DIFERENºE FINITE PROGRESIVE

Defini¡ia 5. Fie , ¿i h > 0 o constantå. Prin diferen¡å finitå

gresivå (la dreapta) de ordinul întâi vom numi expresia:

[ ]f a b R: , →

pro

( ) ( ) ( )xfhxfxf −+=∆ . (1.37)

Diferen¡ele finite de ordinul n se definesc cu ajutorul celor de ordinul întâi, el:

astf

( ) ( )( )xfxf nn 1−∆∆=∆ . (1.38)

Observa¡ii:

1. se verificå u¿or cå:

; (1.39)

2. utilizând (1.37) ¿i (1.38) se pot calcula diferen¡ele finite de orice ordin.

)

)

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=∆

+++−=

=++−+=∆

−+−+−+=

=−+∆=∆∆=∆

∑

Astfel:

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆=∆∆

∈α∀∆α=α∆

∆+∆=+∆

+ ff

Rff

gfgf

nmnm

,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) (( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (xf

⎪

⎪

⎩ =12

2

22

0

2

2

1

2

22

2

ii ihxfCxf

hChxCxf

xfhxfhxfxf

xfhxfhxfhxf

xfhxfxfxf

(1.40)

−22

12 f2C

i

20

( ) ( )( ) ( )

)

( ) ( ) )( )

( ) ( ) ( ) (

⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎧

+−=∆

+−++−=∆

=++−+−

−+++−+=

∆

∑=1

3

23

13

03

3

3

1

2

22

223

iihxfCxf

xfChxfCxfCxf

fhxfhxf

hfhxfhxf

(1.41)

, se aratå cå .

1.6.2. DIFERENºE FINITE REGRESIVE

Defini¡ia 6. Expresia:

( ) ( )( ) =++−+∆=∆∆= 2 22 xfhxfhxfxfxf

⎪⎪

( ) ( ) (x

(x

( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪⎨

−+++−+= 3233 xfhxfhxfhxf

) ( )++ 33 3hxfCh

( ) ( ) ( )⎪⎪

−3 33 ii

( ) ( ) ( )ihxfCxf in

inn

i

n +−=∆−

=∑

01 Prin induc¡ie

( ) ( ) ( )hxfxfxf −−=∇ , (1.42)

se nume¿te diferen¡å finitå regresivå (la stânga) de ordinul întâi. Ca ¿i în cazul diferen¡elor finite progresive, se define¿te pri

diferen¡a finitå regresivå de ordinul doin:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )hxfhxfxfxfxf 222 −+−−=∇∇=∇ (1.43)

¿i, în general, diferen¡a finitå regresivå de ordinul n ca fiind:

( ) ( )( )xfxf nn 1−∇∇=∇ . (1.44)

Observa¡ie. Se aratå cå:

) (1.45)

¿i:

( ) ( ) (∑=

−−=∇n

i

in ihxfxf0

1

21

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+∇=∆

−∆=∇

hxfxf

hxfxf (1.46)

Rela¡iile (1.46) aratå cå între operatorii ∆ ¿i ∇ existå o legåturå.

1.6.3. POLINOAME NEWTON CU DIFERENºE FINITE

Teorema 2. Dacå este o re¡ea de puncte echidistante de pas

,

x x xn0 1, ,...,h > 0

ihxxi += 0 , i n= 0, , (1.47)

atunci:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−∇

+

−−−+

++−−∆

+−∆

=

−

−

11

1100

02

00

1

...

!2!1

...!

...

xxxxxf

hh

xxxxxxhn

xxxxf

xxf

fxN

nnnn

n

nn

n

(1.48)

sunt polinoame de interpolare Lagrange, numite polia doua spe¡å.

Observa¡ii:

+ 1020!2!1 hh

⎪∆ fn

⎪⎪⎪

++−−∇

+−∇

+= −12

22 ...xxxx

fxxfnfxN nn

nnnn

x⎩ !hn

noame Newton de prima ¿i

22

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )⎪

1.

⎪⎪ ..................................................................

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆∆=∆

+−=−∆=∆∆=∆

−=−+=∆=∆

−0

10

01201002

010000

2

ff

fffffff

ffxfhxfxff

kk

(1.49)

2. polinomul se ob¡ine din (1.36), calculând pe rând:

( )xNn1

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆=ω

∆=

∆−∆=

−−

−

=

=−ω−ω

=ω

∆=

−=

−−

=ω

k

k

khk

fxxxf

h

f

h

ffh

hff

hff

xxxxfxxf

xxxf

hf

hff

xxxfxf

xxf

!,...,,,

..........................................................................................!2!22

,;,;,,;

!1)()(

),;(

010

20

2

201

0112

02

1021210

001

01

0110

(1.50)

Analog se ob¡ine ¿i ( )xN n

2 dacå se considerå ¿irul de noduri , ,...,

¿i observând cå:

xn xn−1x1 , x0

iiii ffff ∆=−=∇ ++ 11 ; (1.51)

ul se folose¿te atunci când punctul

3. polinom 1 ( )N xn x în care se vrea så se

alculeze cu aproxima¡ie pe f (x) este mai aproape de (¿i în cazul lui x situat

, adicå extrapolåm), iar

x0c

0 ( )xN n2la stânga lui x se utilizeazå atunci când x este

sau la dreapta lui .

Exemplu. Så se scrie polinoamele Newton de interpolare Lagrange cu diferen¡e finite pentru func¡ia datå de tabelul 1.2.

xn xnmai aproape de

23

Tabelul 1.2

i 0 1 2 3 4

xi 1 1,5 2,0 2,5 3,0

fi 1,4142 1,5811 1,7320 1,8708 2,000

Tabelul 1.3

i

Pentru rezolvare aranjåm calculele ca în tabelul 1.3.

xi f i ∆f i ∆2 f i ∆3 f i ∆4 f i

0 1 1,4142 0,1669= ∆f 0

1 1,5 1,5811 -0,0160= ∆20f

0,1509= 1f∆ 0,0039= ∆30f

2 2,0 1,7320 -0,0121= -0,0014∆21f = ∆4

0f

0,1388= 0,0025= ∆31f ∆f 2

3 2,5 1,8708 -0,0096= ∆32f

2,1292= ∆f 3

4 3,0 2,0000 ∇f i ∇2 f i ∇3 f i ∇4 f i

Coeficien¡ii polinomului ( )x41 sunt sublinia¡i în tabel cu o linie, iar ai lui

(2 cu douå linii.

N

Utilizând datele din tabelul 1.3, se poate scrie

)N x4 :

( )N x4 =1 ( ) ( )( ) ++60,0

11669,02 −−−− 5,11

5,0!21

5,0!414,1

2xxx

01

( )( )( ) (54!414 xx )( )( )( )5,225,11,0

00,025,115,0!3

0039,03

−−−−−−−−+ xxxxx ;

( ) ( ) ( )−−−+= 30096,935,0!1

1292,022

24 xxxN ( ) +− 5,2

5,0!2x

24

+ ( )325−x ( )( )

5,0!300,0

3( )( )( )(25,230014,025,2 −−−−−− xxxxx )5,1

5,0!4 4−x .

1.7. EROARE DE INTERPOLARE

Polinoamele de interpolare Lagrange care au fost prezentate pânå acum

å în noduri au acelea¿i

alori ca func¡ia f. ¥n alte puncte valorile lui f ¿i a oricåruia dintre polinoamele e mai sus pot så difere. Se noteazå cu oricare dintre polinoamele de mai

sus.

Defini¡ia 7. Expresia:

( xFxfxE n

( )(),(),(),(),( 21 xNxNxNxLx nnnnn ) au proprietatea cPv

F xn ( )d

)n ()( )−= , (1.52)

se nume¿te eroare. Din aceastå rela¡ie se ob¡ine:

xf n

)()(xEn)( xF+= . (1.5 )

m ac func¡ia f admite derivate pânå la ordinul

2

Evaluarea acestei erori este datå de urmåtoarea teoremå:

Teore a 3. D å n +1 inclusiv, a nctu i:

))...()(()!1

()()( 10 nnn xxxxxxn

xFxfxE −−−+

−=(

)())1(n cf

=+

. (1.53)

[ ]x a b∈ , , f xn( ) ( )+ ≤1 Dacå existå M > 0 , astfel încât M oricare ar fi

atunci:

))...()(()!1(

)( 10 nn xxxxxxnMxE −−−+

≤ . (1.54)

Dacå în (1.52′) se renun¡å la eroarea , ob¡inem:

)(xEn

)()( xFxf n≅ , (1.55)

unde este unul din polinoamele de interpolare Lagrange. )(xFn

25

1.8. INTERPOLARE HERMITE

Fie oduri) din ¿i

, ' '=

[ ]f a b R: , → , nxxx ,...,, 10 o re¡ea de puncte (n [ ]a b,

f f xi i= ( ) f f xi i( ) , i n= 0, valorile func¡iei ¿i ale derivatei în aceste

Se cere så se determine un p

= '' )( ii

i

fxH

f

puncte. olinom generalizat, notat H x( ) , care så

îndeplineascå condi¡iile:

⎧ =)( ixH

⎪⎩

⎪⎨ i n= 0, (1.56)

¿i så aproximeze func¡ia f :

)()( xHxf ≅ . (1.57)

Aceastå problemå poartå numele de interpolare H

ermite.

Observa¡ii:

1. aceastå problemå se poate generaliza impunând polinomului H (x) så satisfacå o condi¡ie mai generalå:

( )

ni

fxH

fxH

fxH

fxH

kii

k

ii

ii

ii

,0

)(

....................)(

)(

)(

)(

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

′′=′′

′=′

=

, ) (1.58

k ≥ 1 fiind numår natural dat;

2. polinomul H (x) care îndepline¿te condi¡iile (1.56) trebuie så aibå gradul 2n + 1, deoarece în (1.56) existå 2n + 2 condi¡ii. Acest polinom se noteazå cu H xn2 1+ ( ) .

26

Teorema 4.

a) Existå un polino e (1.56).

b) Dacå func¡ia f admite derivate pânå la ordinul 2n + 2 inclusiv, atunci x xn0 , , a el încât eroa (

m H xn2 1+ ( ) care satisface condi¡iil

existå c ∈ stf rea de interpolare E x f x Hn n( ) ( ) )[ ] x= − 2 1

a:

+

are expresi

[ ]210

)22())...()(()()( n

n

n xxxxxxcfxE −−−=)!22( n +

+. (1.59)

¥n continuare se urmåre¿te determinarea polinomului . Se cautå

acest polinom de forma:

, (1.60)

nde ¿i sunt polinoame de gradul

H xn2 1+ ( )

∑∑==

+ ψ+ϕ=n

iii

n

iiin xfxfxH

0

'

012 )()()(

)(xiϕ )(xiψ 2 1n +u a cåror expresie se

ob¡ine punând condi¡iile (1.56). Rezultå:

⎪⎪⎪⎨

+ϕ⎩

⎪

=′=ψ′′

⎧ nn

⎪⎪i

′

==ψ′+ϕ ∑∑

==

==

ijjii

i

iijiijii

njfxf

njfxfxf

00

00

,0,)(

,0,)()(

(1.61)

De aici rezultå:

(1.62)

¿i:

⎨⎧

=≠

=,1,0

)( j ijij

x

∑∑nn

jii xf )(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ϕ

⎩⎨⎧

=≠

=ϕ

0)(

,1,0

)(

'ji

ji

x

ijij

x

⎪⎪⎩

⎨=ψ

⎩

0)('jx

i

, (1.63) ⎪⎪⎧ψ i

27

pentru orice i = n0, ¿i j n= 0, .

i x( ) . 1. Determinarea lui ϕ

Din (1.62) rezultå cå x x x x xi i n0 1 1 1, ,... , , ,... ,− + sunt rådåcini duble pentru

ϕi x( ) , iar rådåcinå simplå pentru ′xi e x( ) . Atunϕste i ci:

, (1.64)

unde:

)()()( 2 xlbaxx ii +=ϕ

))...()()...()(())...()()...()((

)(

)()(

n ji

xxxl =

−= ∏

1110

1110

0 niiiiiii

nii

ijj ji xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx −−−−−

−−−−−− +−

+−

≠=

. (1.65)

Condi¡iile:

=ϕ′ 0)(

1

ii x (1.66)

conduc la:

⎧ =ϕ )( ii x

⎪⎩

⎪⎨

)(21

)(2

iii

ii

xlxb

xla

′+=

′−=

(1.67)

¿i deci:

[ ] )()()(21)( 2 xlxlxxx iiiii ′−−=ϕ . (1.68)

2. Determinarea lui .

Rela¡iile (1.63) aratå cå n sunt rådåcini duble pentru

, iar este rådåcinå simplå. Prin urmare:

. (1.69)

Din condi¡iile:

ψ i x( )x x x x xi i0 1 1 1, ,... , , ,... ,− +

x( ) xiψ i

)()()( 2 xlxx ii β+α=ψ

28

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ψ′

=ψ

1)(

0)(

ii

ii

x

x (1.70)

se ob¡

i( ) ( )= − 2

nci:

.

Observa¡ie. Când n este mare, polinomul devine incomod în

aplica¡ii.

1.9. INTERPOLARE HERMITE PE PORºIUNI (CUBICÅ)

Pe fiecare interval se aproxime

de gradul 3, alegând n = 1. Se ob¡ine:

[ )

[ ]⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

∈ψ++ϕ+ϕ

∈ψ+ψ+ϕ+ϕ

ψ+ψ+ϕ+ϕ

∈ψ+ψ+ϕ+

≅

−−

−−−

+++

nnn

nn

nn

nn

iii

ii

ii

ii

i

xxxxfxfxfxf

xxxxfxfxfxf

xfxfxfxf

xxxxfxfxfx

xf

,),()()()(

.....................................................................................

,),()()()(

.........................................................................................

()()()(

,),()()()(

)(

1)(

1')1(

0')1(

1)1(

1)(

1'

1)(

0')(

11)(

0

21)1(

1'2

)1(0

'1

)1(12

)1(01

10)0(

1'

1)0(

0'

0)0(

11)0(

0

(1.73)

ine α 1¿i β = −xi , ¿i, deci: =

ψ i ix x x l x( ) . (1.71)

Atu

[ ] ∑∑==

+ −′+′−−=n

iiii

n

iiiiiin xlxxfxlxlxxfxH

0

2

0

212 )()()()()(21)( (1.72)

)(12 xH n+

[ ]1, +ii xx azå func¡ia printr-un polinom H (x)

[ )⎪⎧ ϕf0

[ )∈ xxx ,),

⎪⎨

.....

ψ1⎩ −n 01

unde:

29

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=ψ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=ψ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝ −

−⎥⎢

⎣

⎡=

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=ϕ

++

+

+

++

+

++

2

11

)(1

2

1

1)(0

2

11

1

2

11

)(0

)()(

)()(

))(

)(21)(

ii

ii

i

ii

ii

i

ii

i

ii

i

iiii

ii

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

x

1.10. METODA CELOR MAI MICI PÅTRATE

Met apro-ximarea func¡iilor, îndeosebi în prelucrarea matematicå a datelor experimentale.

rile func¡iei este foarte mare ¿i calculul

coeficien¡ilor de interpolare cere un volum mare de muncå sau când valorile func¡iei în aceste puncte nu sunt exacte. Ca ¿i în cazul interpolårii, se aproximeazå func¡ia f (x) prin polinomul gene-ralizat:

, (1.68)

cu func¡ii liniar independente ¿i u¿or de calculat.

Metoda celor mai mici påtrate presupune cå sunt date: punctele

rvalul

⎟⎟+1i

⎛⎤−

−−ϕ )(

1(2

1i xx

⎦ (1.74)

oda celor mai mici påtrate este utilizatå, de asemenea, pentru

Aceastå metodå se folose¿te, de obicei, când numårul n al punctelor

nxxx ,...,, 10 în care cunoa¿tem valo

nmxcxFm

iiim <ϕ= ∑

=,)()(

0

ϕi x( )x x xn0 1, ,...,

[ ]a b, , nfff ,...,, 10din inte valorile func¡iei f în aceste puncte ¿i cere så se

determine polinomul generalizat (1.68), astfel încât:

(1.69)

sau:

, (1.70)

[ ]∑=

−n

iimi xFxf

0

2)()(

[ ]∑=

−n

iimii xFxfxp

0

2)()()(

30

cu , ( numitå pondere) så fie minimå.

¥nlocuind în (1.69) pe dat de (1.68) rezultå o func¡ie de constantele

:

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϕ−=φ

n

i

m

jjjin cfccc

0

2

0

210 ),...,,(

¿i se pune problema determinårii lor, astfel încât

0)( >xp p x( )F xm ( )

c c cn0 1, ,...,

∑ ∑= = ⎥

⎥⎦

ix )( (1.71)

),...,,( 10 ncccφ så fie minimå.

Pentru aceasta trebuie rezolvat sistemul:

⎪⎪⎪

⎩=

∂φ∂

0

.........

nc

⎧ n m

⎪

⎪⎪⎪⎧

∂

=∂φ∂ 0

c

(1.72)

adicå:

⎨ =ϕϕ−∑ ∑

=

= =

= =

i i

n

i

m

iiijji

i i

xxcf

0

0 01

0 0

................................................

0)())((

0

⎪⎨

=∂

0c ,

φ

1

⎪⎪ =ϕϕ−∑ ∑

=inijji xxcf

00)())((

Aceasta înseamnå cå care minimizeazå func¡ia

⎪ n m

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪ =ϕϕ−∑ ∑ iijji xxcf 0 0)())((

. (1.72′)

nccc ,...,, 10 ),...,,( 10 ncccφ

sunt solu¡ii ale sistemului:

31

⎪⎪

⎩=ϕϕ∑ ∑ ∑

= =i jiniij xxc

0 0)()(

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎨

ϕ

ϕ=ϕϕ

ϕ

∑ ∑ ∑

=

= = =

=

n m n

iini

n

i

m

j

n

iiiiiij

n m

j

ni

xf

xfxxc

x

0

0 0 011

00

)(

.......................................................

)()()(

)(

. (1.72″)

Observa¡ii:

1. în practicå, cele mai utilizate func¡ii

⎪⎪ = =i i0 0⎪⎧

=ϕϕ∑ ∑ ∑ iiiij fxxc 0 )()(

)(xjϕ sunt:

.

¥n acest caz polinomul generalizat este:

, (1.74)

iar sistemul (1.72″) devine:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++++

∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

=

++

==

+

===

====

ni

mi

m mn

i

n mi

n m

n

iii

m

i

mim

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

m

i

mim

n

ii

n

ii

fc

fxxcxcxcxc

fxcxcxcnc

222

1

00

1

0

32

0

21

00

000

22

010

...............................................................................

...

...)1(

; (1.74)

2. dacå m = 1, atunci:

x

ji xx =ϕ )( (1.73)

F xm ( )

F x c c x c x c xm mm( ) ...= + + + +0 1 2

2

⎪⎩

∑∑∑∑==== ii

imiii

i xxcxxcxc0000

10

0 ...⎪⎪⎪⎪

m

f x F x c c( ) ( )≅ = +1 0 1 (1.75)

¿i sistemul (1.74) devine:

32

, (1.76)

cu:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=++

∑∑∑

∑∑

===

==

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

fxxcxc

fxcnc

00

21

00

0010 )1(

⎪⎪⎪⎪ ⎝⎠⎝= = iic 0

1⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−⎟⎠

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+−⎟⎟⎠

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−⎟⎞

⎜⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑∑∑

==

==

====

n

ii

n

ii

iii

ni

ni

n

i

n

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

xnx

fxnfx

xnx

fxfxxc

0

22

0

00

22

00

2

00

)1(

)1(

)1(

. (1.77)

ntatå schema logicå de calcul pentru acest caz particular.

0

⎪⎪⎟⎠

⎜⎝ == ii

i00

⎞⎛⎞ n

⎟⎞

¥n figura 1.5 este preze

33

Fig. 1.5. Schema logicå de calcul pentru coeficien¡ii regresiei liniare.

34

1.11. INTERPOLAREA FUNCºIILOR DE DOUÅ VARIABILE

Fie o func¡ie de douå variabile. Ca ¿i în cazul func¡iei de o

variabilå, existå motive în a aproxima aceastå func¡ie printr-un polinom de douå variabile. Aceasta înseamnå cå, dându-se valorile func¡iei în ni¿te puncte din plan, se cere så se gåseascå un polinom P (x, y) care så aibå acelea¿i valori ca func¡ia f în aceste puncte.

1.11.1. INTERPOLAREA FUNCºIEI DE DOUÅ VARIABILE

¥N CAZUL REºELEI DE PUNCTE DREPTUNGHIULARÅ

Fie deci punctele ,

f D R R: ⊂ →2

M x xij i j( , ) i n= 0, , j m= 0, care formeazå o re¡ea de

puncte dreptunghiularå, a¿ezate ca în figura 1.6, în care se cunosc valorile func¡iei:

f f x yij i j= ( , ) i n= 0, , j m= 0, . (1.78)

Polinomul de interpolare Lagrange trebuie så îndeplineascå condi¡ia:

j

P x y( , )

P x y fi j i( , ) = i n= 0, , j m= 0, . (1.79)

Acest polinom se construie¿te utilizând polinomul Lagrange pentru func¡ia de o variabilå.

Fig. 1.6. Re¡ea de puncte dreptunghiular å.

35

S se crie:

∑ ∑= =

xf ( =≅p q

qppq ylxlfyxPy0 0

)()(),(), , (1.80)

unde:

n m

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =

−−−−−

−−=

+− mqqqqqqoq

m

yyyyyyyyyyyyyy

yl111

11

))...()()...()(())...()(.((

)(

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

−−

=

−−−

=

=−−−−−

−−−−

∏

∏

≠=

+−

≠=

+−

+−

m

qkk kq

k

qqoq

n

pkk

nppppppop

nppp

yyyy

yyyyyy

xxxxxxxxxxxxxxxx

0

1

0

111

111

)..)(

))...()()...()(())...()()...(

. (1.81)

≠

⎩⎨⎧

≠=

=

jq

pip

l p

,0

,0,1

(, (1.82)

rezultå cå:

(1.83)

¿i, prin urmare, condi¡iile 1) sunt îndeplinite. Dezvoltat, acest polinom se scrie:

⎧ −= o xxx

xl)((

)(x

− kp xx− kxx

Deoarece:

⎪⎪

⎨⎧ =

=jq

yl jq,1

)(⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩

ixi )

ijn

p

m

qjqippqii fylxlfyxP == ∑ ∑

= =0 0)()(),(

( )=+++= ∑=

n

pmpmpp ylfylfylfyxP

01100 )(...)()(),(

[ ] ++++= )()(...)()( 00101000 xlylfylfylf mm (1.84)

[ ] ...)()(...)()( 11111010 +++++ xlylfylfylf mm

0lf n[ ] )()(...)()( 110 xlylfylfy nmnmn ++++

36

sau: [ ] )()(...)()(),( 00101000 ylxlfxlfxlfyxP mm+++= +

[ ] ...)()(...)()( 11111010 +++++ ylxlfxlfxlf mm . (1.84′)

[ ] )()(...)()( 1100 ylxlfxlfxlf mmnmnn ++++

Pentru m = n = 1, rezultå:

[ ] [ ] )()()()()()(),( 11110010110000 ylxlfxlfylxlfxlfyxf +++≅ (1.85)

sau:

[ ] [ ] )()()()()()(),( 11110010110000 xlylfylfylylfylfyxf +++≅ (1.85′)

100101100000 yylxlfylxlfylxlfyxf

sau:

)111 lxlf ()()()()()()()(),( 1+++≅ . (1.85″

1.11.2. INTERPOLARE LAGRANGE PE PORºIUNI

PENTRU

)

( )f x y,

Pentru valori mari ale lui m ¿i n , polinomul de interpolare Lagrange dat de

Fie deci re¡eaua de puncte

(1.84) sau (1.84′) devine incomod în aplica¡ii.

M x yij i j( , ) , i n= 0, ; j m= 0, dreptunghiularå, în

cunosc valorile:

care se

f f x yij i j= ( , ) , i n= 0, ; j m , (1.86) = 0,

[ ] [ ]D x x y yij i i j j= ×+ +1 1,ale func¡iei f. Pe fiecare dreptunghi se aproximeazå

func¡ia printr-un polinom de forma (1.85).

37

[ ]

[ ]

[⎪ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

∈++

++

∈++

++

∈++

++

∈++

++

−−−−−

−

−−−

−−−

+++

+

1,1)1(

1)1(

1,)1(

0,1

)1(0

)1(11,

)1(01,1

)(1

)(11,1

)(01,

)(0

)(1,1

)(0

10)0(

1)1(

121)1(

011

)0(0

)1(120

)1(010

00)0(

1)0(

111)0(

001

)0(0

)0(110

)0(000

),(),()()(

)()()(

...........................................................................

),(),()()(

)()()(

................................

),(),)()(

()()(

)(,)()()(

)()()(

mnmn

mnn

mn

mnmn

nmn

ijji

jii

ji

jiji

iij

Dyxylxlfxlf

ylxlfxlf

Dyxylxlfxlf

ylxlfxlf

Dyxlxlfxlf

ylxlfxlf

Dyylxlfxlf

ylxlfxlf

(1.87)

unde, spre exemplu:

,x

)

⎪⎪

(y⎪⎨≅ ........................................),( yxf

⎪⎪⎩

=−

=+

+ jj

jj

jj ylyy

yl )(1

1

1)(0 )(,)(

⎪

⎪⎪⎨

−

−−

−−

+ jj

iii

yyyyyy

xxxx

1

. (1.88)

1.11.3. INTERPOLAREA FUNCºIEI DE DOUÅ VARIABILE

¥N CAZUL REºELEI DE PU TE TRIU GHIUL

• ¿i

necoliniare ¿i = ( , ) , j j

⎪⎧ −

=−

= + iiii xxxl

xxxl )(

11)(

0 )(,)(++i 11

NC N ARÅ

Fie mai întâi trei puncte M x M x yk k k( , )

i i i j

yi i i( , ) , M x yj j j( , )f f x y f f x y= ( , ) ¿i k kf f x yk= ( ,

func¡iei în aceste puncte. Se cere så se gåseascå un polinom:

) valorile

38

P x y a bx cy( , ) = + + , (1.89

care în punctele ¿i så aibå acelea¿i valori cu func¡ia f, adicå:

. (1.90

Din aceste condi¡ii rezultå cå sunt solu¡ii ale sistemului:

, (1.91)

care, în condi¡iile date, are solu¡ie unicå. Atunci, sistemul:

(1.92)

ob¡inut prin adåugarea ecua¡iei (1.89) la (1.91) are solu¡ie ¿i conform teoremei Rouche:

)

Mi , M j M k

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

kkk

jjj

iii

fyxP

fyxP

fyxP

),(

),(

),(

)

a b c, ,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

kkk

jjj

iii

fcybxa

fcybxa

fcybxa

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

=++

kkk

jjj

iii

fcybxa

fcybxa

fcybxa

yxPcybxa ),(

( )

01

=f y x jj

.

1 x k

Dezvoltând de se

1 f y x 1

f y

yx,y x

kk

iii (1.93)

terminantul, ob¡ine:

P

j

39

( )

y x

y x y x

y x

y x y x 1

f

y x

y x y x

y x

y x

f

y x

y x y x

y x

x

y x

fyxP

kk

ii

ii

k

kk

j

ii

kk

ii

j

kk

jj

ii

kk

jj

i

11

1

1

11

1

1

11

1

1

, ++= (1.94)

sau:

, (1.94′)

unde:

y x y jj111

1

jjj

1

),(),(),(),( ),,(),,(),,(),,( yxfyxfyxfyxP kji

kkkji

jjkji

iikji ϕ+ϕ+ϕ=

ijk

ijkjik

ijk

ikkjij

ijk

jkkjii yxyxyx

∆

∆=ϕ

∆∆

=ϕ∆

∆=ϕ ),(,),(,),( ),,(),,(),,( , (1.95)

cu:

y x

y x jjij 1; =∆ y x

y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

y x y x ii

kk

ii

ik

kk

jjjk

kk

jj

ii

ijk

1

1

1

11

;

1

1

1

;

1

1 1

=∆=∆=∆ . (1.96)

Observa¡ii:

ij se ob¡in din

1. ∆ ijk se formeazå cu coordonatele punctelor Mi , M j ¿i M k , iar

∆ ∆ ∆jk ik, , ∆ ijk înlocuind punctele cu un

punct oarecare

2. geometric, valoarea absolutå a lui

Mi , M j sau M k

),( yxM ;

∆ ijk reprezi

cu vârfurile (fig. 1.7).

Dacå se noteazå cu aria triunghiului cu vârfurile ,

tu forma:

ntå dublul ariei triunghiului

Mi , M j , M k

σM M Mi j kMi , M j , M k

a nci rela¡ia (1.94) se mai poate scrie sub

40

Fig. 1.7. Re¡ea de puncte ce formeazå un triunghi.

P f f fi j ki

MM M

M M Mj

M MM

M M Mk

M M M

M M M

j k

i j k

i k

i j k

i j

i j k

( , , ) = + +σ

σ

σ

σ

σ

σ. (1.97)

• se presupune cå re¡eaua de puncte M x yi i i( , ) , i n= 1, este astfel

permite formarea unor triunghiuri care pot fi disjuncte, pot avea un vârf comun laturå comunå (ca în fig. 1.8, n = 8) ¿i fie:

i

încât

sau o

f f x yi i= ( , ) , i n= 1, . (1.98)

Se noteazå cu triunghiul cu vârfurile k .

Pe fiecare triunghi se aproximeazå func¡ia printr-un polinom de forma (1.94′).

τi j k, , M M Mi j, ,

Fig. 1.8. Re¡ea de puncte triunghiularå.

41

Se ob¡ine:

ϕ

τ∈ϕ+ϕ+ϕ

τ∈ϕ+ϕ+ϕ

τ∈ϕ+ϕ+ϕ

≅

6,5,3)6,5,3(

66)6,5,3(

55)6,5,3(

33

)7,6,1(77

)7,6,1(66

)7,6,1(11

8,7,6877,6(

66

6,)6,3,1(

66)6,3,1(

33)6,3,1(

11

5,4,3)5,4,3(

55)5,4,3(

44)5,4,3(

33

3,2,1)3,2,1(

33)3,2,1(

22)3,2,1(

11

),(),,(),(),(

),(),,(),(),(

),(),,(),(),(

),(),,(),(),(

),(),,(),(),(

),(

yxyxfyxfyxf

yxyxfyxfyxf

f

yxyxfyxfyxf

yxyxfyxfyxf

yxyxfyxfyxf

yxf , (1.99)

unde,

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ∈ϕ+ϕ+ϕ

τ∈ϕ+ϕ+ϕ

τ

3,1

∈ϕ+ϕ+ )8,7,6(8

)8,7,6(7

)8, ),(),,(),(),( yxyxfyxfyx

7,6,1

spre exemplu:

( ) ( )( )

y x y x y x 6633 11 y x 1

611

1 1 y x

y x y x

yx

y x

y x y x

yx

77

1

77

11

7,6,1

66

66

33

)6,3,1(

1

1

11

,,

1

11

, =ϕ=ϕ (1.100)

Observa¡ii:

1. utilizând (1.99) se poate construi polinomul global de interpolare:

) (1.101)

cu:

⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ∈ϕ

τ∈ϕ

τ∈ϕ

=Φ),(),,(

),(),,(

),(),,(

),(7,6,1

)7,6,1(1

6,3,1)6,3,1(

1

3,2,1)3,2,1(

1

1yxyx

yxyx

yxyx

yx

y x 1

yx 1

( ) (∑=

Φ≅8

1,,

iii yxfyxf

⎪⎩ restîn ,0⎪⎪

42

⎪⎩

⎪⎨⎧ τ∈ϕ

=Φrestîn ,0

),(),,(),( 3,2,1)3,2,1(

22yxyxyx

....................................................................

2. cele douå aproximåri, pe dreptunghi ¿i pe triunghi se pot utiliza în acela¿i

timp. Pe o parte a re¡elei de puncte se folose¿te (1.87), iar pe alta (1.99);

″) ¿i (1.95) se pot extinde ¿i pentru func¡ii de trei Astfel, pentru opt puncte:

;

,

care formeazå un paralelipiped (fig. 1.9), în care cunoa¿tem valorile func¡iei f, notate:

se

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

τ∈ϕ

τ∈ϕ

=Φ

restîn ,0

),(),,(

),(),,(

),( 8,7,6)8,7,6(

7

7,6,1)7,6,1(

7

7 yxyx

yxyx

yx

⎪⎩

⎪⎨⎧ τ∈ϕ

=Φrestîn ,0

),(),,(),( 8,7,6)8,7,6(

88yxyxyx

3. aproximårile (1.85variabile: ),,( zyxf .

),,(),,,(),,,(),,,( 011010001000 zyxzyxzyxzyx

( , , ), ( , , ),( , , ), ( , , )x y z x y z x y z x y z0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

f f f f f f f f000 100 010 110 001 101 011 111, , , , , , , ,

construie¿te polinomul Lagrange de interpolare P x y z( , , ) :

P x y z f l x l y l z f l x l y l z f l x l y l z( ) ( ) ( )+ + +010 0 1 0 000 0 0 0 100 1 0 0

+ + + +f l x l y l z f l x l y l z f l x l y l z110 1 1 0 001 0 0 1 101 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.102)

+ +f l x l y l z f l x l y l z011 0 1 1 111 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

care extinde pe (1.85″);

43

Fig. 1.9. Re¡ea de puncte ce formeazå un paralelipiped.

4. dacå punctele ( , , ),( , , ),( , , ),( , , )x y z x y z x y z x y zi i i j j j k k k l l l formeazå un

tetraedru ¿i fk , l sunt valorile func¡iei în f f fi j, , aceste puncte (fig. 1.10), atunci:

ϕ ϕl l

(1.103)

,

f x y z f x y z f x y zi ii j k

j ji j k( , , ) ( , , ) ( , , )( , , , ) ( , , , )≅ + +

+ +f x y z f x y zk ki j k i j kϕ ϕ( , , , ) ( , , , )( , , ) ( , , )l

l ll

Fig. 1.10. Re¡ea de puncte necoplanare.

44

unde:

l

ll

ijk

jkkjii zyx

∆

∆=ϕ ),,(),,,( ,

l

ll

ijk

ikkjij zyx

∆∆

=ϕ ),,(),,,( ,

l

ll

ijk

ijkjik zyx

∆

∆=ϕ ),,(),,,( ¿i

l

l

ijk

ijkkjil zyx

∆

∆=ϕ ),,(),,,( ,

cu:

z y lx

z y x z y x

ll

jjj

iii

ijk

1

1 1

=∆ l ,

an¡i se ob¡in în mod analog.

z y x kkk1

iar ∆ jkl se ob¡ine înlocuind linia cu indicele i prin 1, x, y, z. Ceilal¡i determi-

n

45

2

DERIVAREA NUMERICÅ

Motivele care au determinat ca o func¡ie [ ]f a b R: , → så fie aproximatå se regåsesc ¿i atunci când e vorba de calculat derivatele func¡iei.

2.1. DERIVAREA BAZATÅ PE POLINOAME DE INTERPOLARE

Un procedeu de calcul aproximativ al derivatelor unei func¡ii este acela de a aproxima derivata func¡iei prin derivata polinomului de interpolare. Fie deci:

)()()( xFxExf nn += , (2.1)

unde polinomul generalizat poate fi cel al lui Lagrange ( ),

Newton ( ) sau Hermite ( ), iar eroarea datå de (1.53), respectiv (1.59). Atunci:

F xn ( ) L xn ( )N x N x N xn n n( ), ( ), ( )1 2 H n2 1+ ( )x E xn ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

′′+′′=′′

′+′=′

)()()(

.........................................)()()(

)()()(

)()()( xExFxf

xExFxf

xExFxf

kn

kn

k

nn

nn

. (2.2)

Prin urmare:

f x F xkn

k( ) ( )( ) ( )≈ . (2.3)

Exemplu. Dacå:

+−−∆

+−∆

+== ))((!2

)(!1

)()( 1020

2

00

0133 xxxx

h

fxx

hf

fxNxF

))()((!3

21030

3xxxxxx

h

f−−−

∆+ ,

45

atunci:

[ ]++−∆

−∆

≅′ )(2!2!1

)( 1020

20 xxx

hf

hfxf

+ [ ]∆303

20 1 2 0 1 0 2 1 2

33 2f

hx x x x x x x x x x x

!( ) (− + + + + + ;

[ ])(26!3!2

2)( 21030

3

20

2xxxx

hf

hfxf ++−

∆+

∆≅′′ .

2.2. LEGÅTURA DINTRE DERIVATE ªI DIFERENºE FINITE

Dacå re¡eaua de puncte este echidistantå cu pasul h > 0, atunci

se pot calcula, cu aproxima¡ie, derivatele func¡iei f în aceste puncte utilizând diferen¡ele finite. ¥nainte de a stabili aceastå legåturå se introduce ¿i no¡iunea de diferen¡e finite centrate.

x x xn0 1, ,...,

Defini¡ia 1. Se nume¿te diferen¡å finitå centratå de ordinul întâi ¿i pas 2h expresia:

δ2h f x f x h f x h( ) ( ) ( )= + − − . (2.4)

Aceastå diferen¡å finitå centratå de pas 2 are acelea¿i proprietå¡i ca ∆

¿i .

h f x( )∇f x( )

Defini¡ia 2. Diferen¡ele centrate de ordin superior se definesc astfel:

δ δ δ2 2 21

hk

h hk f x= −( ( )) . (2.5)

Observa¡ie. Se poate scrie:

[ ] [ ]δ2h f x f x h f x f x f x h f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − + − − = +∇∆ . (2.6)

Defini¡ia 3. Se nume¿te diferen¡å finitå centratå de pas h expresia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=δ

22)( hxfhxfxf . (2.7)

46

Defini¡ia 4. Diferen¡a finitå centratå de ordinul k este:

( )δ δ δk kf x f x( ) ( )= −1 . (2.8)

Nota¡ie. Se noteazå cu O h func¡ia care are proprietå¡ile: ( )α

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

α

α

→

α

→

khhO

hO

h

h

)(lim

0)(lim

0

0

(k infinit)

(2.9)

Teoremå. Dacå re¡eaua de puncte este echidistantå de pas : x x xn0 1, ,..., h > 0

x x ii h= +0 , i = 0,n (2.10)

¿i sunt cunoscute valorile func¡iei în aceste noduri, atunci:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+δ

+∇

+∆

=

)(2

)(

)(

22 hOhf

hOhf

hOhf

Df

ih

i

i

i (2.11)

¿i:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+δ

+δ

+∇

+∆

=

)(

)(4

)(

)(

22

2

22

22

2

2

2

2

2

hOh

f

hOh

f

hOh

f

hOh

f

fD

i

ih

i

i

i (2.12)

47

unde: ¿i . Df f xi i= ′( ) D f f xi i2 = ′′( )

Aceste formule se ob¡in din formula Taylor:

f x f a x a f a x a f a x an

f a Rn

nn( ) ( )

!( ) ( )

!( ) ... ( )

!( )' '' ( )= +

−+

−+ +

−+

1 2

2, (2.13)

cu:

R x an

fnn

n=−+

++( )

( )!( )( )

11

1c , (2.14)

restul lui Lagrange, dacå în aceastå formulå se alege a xi= ¿i se înlocuie¿te x,

respectiv cu sau cu x xi h i+ = 1+ −x xi h i− = 1 sau cu sau cu . xi+2 xi−2

Observa¡ii:

1. formulele (2.11) ¿i (2.12) sunt foarte utile în rezolvarea problemelor Cauchy sau la limitå pentru ecua¡ii diferen¡iale sau cu derivate par¡iale (metoda diferen¡elor finite);

2. formule asemånåtoare celor (2.11) ¿i (2.12) se ob¡in ¿i pentru derivate de ordin mai mare decât doi;

3. înlåturând pe O(h) sau O(h2) se ob¡in valori aproximative pentru Dfi ¿i D

2fi :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

δ

∇

∆

≅

hifh

hif

hif

Dfi

22

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

δ

δ

∇

∆

≅

2

2

24

22

2

2

2

2

2

hif

h

ifh

hif

hif

fD i (2.15)

48

3

INTEGRARE NUMERICÅ

Fie ¿i se cere så se calculeze . [ ]f a b R: , → ∫b

adxxf )(

Dacå func¡ia f admite primitive ¿i F este una din ele atunci:

)()()( aFbFdxxfb

a−=∫ . (3.1)

¥n practicå pot apårea urmåtoarele situa¡ii:

− F existå, dar este foarte complicatå; − F existå, dar nu poate fi exprimatå prin func¡ii elementare; − nu se cunoa¿te expresia analiticå a lui , ci numai valorile ei în punctele

din intervalul

fx x xn0 1, ,..., [ ]a b, .

¥n cele trei cazuri enumerate se recurge la calculul numeric (aproximativ) al integralei (3.1). Pentru aceasta se utilizeazå polinomul Lagrange de interpolare. Fie deci o re¡ea de puncte cu x x xn0 1, ,..., a x= 0 ¿i b xn= (se ob¡in formule de tip

închis, altfel de tip deschis) ¿i valorile func¡iei în aceste puncte. f f fn0 1, ,...,Deoarece:

f x L x E xn n( ) ( ) ( )= + , (3.2)

cu ¿i da¡i de (1.17) ¿i (1.53), atunci: L xn ( ) E xn ( )

∫∫∫ +=b

an

b

an

b

adxxEdxxLdxxf )()()( . (3.3)

Defini¡ia 1. Se nume¿te rest ¿i se noteazå:

R (f) . (3.4) ∫=b

an dxxE )(

49

Dacå se neglijeazå restul R (f), se ob¡ine o formulå de calcul aproximativ:

∫∫ ≅b

an

b

adxxLdxxf )()( . (3.5)

Observa¡ie. Când n are valoare mare, calculul integralei devine in-

comod. ¥n continuare se presupune cå re¡eaua de puncte este echidistantå de pas h,

( )dxxLb

an∫

h b an

=−

. (3.6)

3.1. METODA TRAPEZELOR

Dacå pe fiecare interval [ ]x xi i, +1 se aproximeazå func¡ia f printr-un

polinom Lagrange de gradul 1 (aproximare liniarå pe por¡iuni), se ob¡ine:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−−

≈= ∑ ∫∑ ∫∫−

= ++

+

+−

−

++dx

xxxx

fxxxx

fdxxfdxxfn

i

x

x ii

ii

ii

ii

n

i

x

x

b

a

i

i

i

i

1

0 11

1

11

0

11)()(

(3.7)

[ ]nnn

iii fffffhffh

+++++=+= −−

=+∑ )...(2

2)(

2 12101

01 .

Deci:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−≅ ∑∫

−

=n

n

ii

b

afff

nabdxxf

1

10 2

2)( , (3.7′)

care poartå numele de formula trapezelor.

¥n acest caz:

)(12

22

)()(31

10 cfhfff

nabdxxffR n

n

ii

b

a′′−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−−= ∑∫

−

=, ( bac , )∈ . (3.8)

Geometric, în figura 3.1 partea ha¿uratå reprezintå restul R (f).

50

Fig. 3.1. R ( f ) (partea ha¿uratå) – restul diferen¡ei dintre valoarea exactå

¿i aproximativå a . ( )dxxfb

a∫

3.2. METODA SIMPSON (PARABOLEI)

Se presupune cå sunt date 2 n + 1 puncte echidistante de pas:

nabh

2−

= , (3.9)

din intervalul [ ]a b, în care se cunosc valorile , fi ni 2,0= ale func¡iei.

Pe fiecare interval [ se aproximeazå func¡ia printr-un polinom

Lagrange de gradul doi (interpolare påtraticå pe por¡iuni). Atunci:

]x xi i2 2 2, +

[ ] =+== ∑ ∫∑ ∫∫−

−

−

−

++ 1

0

)(2

)(2

1

0

22

2

22

2

)()()()(n

i

x

x

iin

i

x

x

b

adxxExLdxxfdxxf

i

i

i

i

∑ ∫−

= +++

++

++

+++

⎢⎣

⎡+

−−−−

+−−

−−=

1

0 2212212

22212

222122

22122

22

2))((

))(())((

))((n

i

x

x iiii

iii

iiii

iii

i

ixxxx

xxxxf

xxxxxxxx

f

)())((

))((

1222212

12222 fRdx

xxxxxxxx

fiiii

iii +⎥

⎦

⎤−−

−−+

+++

++ , (3.10)

unde:

∑ ∫−

=

+=

1

0

)(2

22

2

)()(n

i

x

x

ii

i

dxxEfR . (3.11)

51

Dacå se înlåturå restul R ( f ) ¿i se efectueazå calculele, ob¡inem:

=++≅ ∑∫−

=++

1

022122 )4(

3)(

n

iiii

b

afffhdxxf

(3.12)

)24(6 2

1

12

1120 n

n

ii

n

ii ffff

nab

+++−

= ∑∑−

==−

care se nume¿te formula Simpson. Se aratå cå:

R f b an

f c( ) ( ) ( )= −− 5

42880, ( )c a b∈ , . (3.13)

Observa¡ie. (3.7) ¿i (3.12) se numesc formule de cuadraturå.

¥n figura 3.2 sunt prezentate schemele logice de calcul pentru aceste formule.

3.3. FORMULE DE CUADRATURÅ CEB¥ªEV

Formula trapezelor (3.7′) ¿i cea a lui Simpson (3.12) de calcul aproximativ al

integralei (3.1) este de forma:

∑∫=ω≅

n

iii

b

axfdxxf

1)()( , (3.14)

cu constante ata¿ate valorilor func¡iei f în punctele . Aceste constante

se numesc ponderi. ω i ix

ω iCebî¿ev a propus alegerea punctelor astfel încât: ix

1. constantele ω så fie egale între ele; i

2. formula de cuadraturå (3.14) så fie exactå pentru toate polinoamele pânå la gradul n inclusiv. Aceste formule sunt date pentru integrala:

∫−

1

1)( dttf . (3.15)

Dacå în integrala (3.14) se face schimbarea de variabilå:

t x a bb a

=− +−

2 ( ), (3.16)

52

a. b.

Fig. 3.2. Scheme logice de calcul: a - pentru metoda trapezelor;

b - pentru metoda Simpson.

se ob¡ine:

dttFdttabbafabdxxfb

a)(

222)(

1

1

1

1∫∫∫−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++−

= , (3.15)

53

cu:

F t b a f a b b a t( ) = − ++

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2 2

. (3.16)

¥n continuare calculele se referå la integrala (3.15). Fie deci:

ω ω ω ω1 2= = = =... n (3.17)

¿i . Atunci: f t( ) = 1

ω=∫−

ndt1

1 (3.18)

¿i, prin urmare:

ω =2n

, (3.19)

iar formula de cuadraturå a lui Cebî¿ev se va scrie:

∑∫=−

=n

iitf

ndttf

1

1

1)(2)( . (3.20)

Pentru determinarea punctelor , din condi¡ia (2) formula (3.20) trebuie så

fie exactå pentru func¡ii de forma .

it

f t t t t n( ) , ,...,= 2

¥nlocuind aceste func¡ii în (3.20) se ob¡ine sistemul de ecua¡ii:

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−−

=+++

=+++

=+++

=+++

=+++

+

)1(2)1(1...

...................................5

...

0...3

...

0...

1

21

442

41

332

31

222

21

21

nnttt

nttt

ttt

nttt

ttt

nnn

nn

n

n

n

n

, (3.21)

care permite gåsirea necunoscutelor t , i i = 1,n . S. Bernstein a aråtat cå pentru

¿i n > 10 sistemul nu are solu¡ii reale. n = 8

54

¥n tabelul 3.1 sunt date valorile lui din formulele lui Cebî¿ev

(Demidovitch ¿i Maron,1973).

ti

Tabelul 3.1

n i ti n i ti

2 1;2 m 0,577350 1;6 m 0.866247

3 1;3 m 0,707107 6 2;5 m 0.422519

2 0 3;4 m 0.266635

4 1;4 m 0,794654 1;7 m 0.883862

2;3 m 0,187592 2;6 m 0.529657

1,5 m 0,832498 7 3,5 m 0.323912

5 2,4 m 0,374541 4 0

3 0

Observa¡ii:

1. pentru orice altå func¡ie decât rezultå: f t t t t n( ) , , ,...= 1 2

∑∫=−

≅n

iitf

ndttf

1

1

1)(2)( ; (3.22)

2. aceastå metodå presupune cunoscutå expresia analiticå a func¡iei f sau a

valorilor ei în punctele t date. i

Exemplu. Calculul coeficien¡ilor pentru n = 3. ¥n acest caz sistemul (3.21)

devine:

ti

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

0

1

0

33

32

31

23

22

21

321

ttt

ttt

ttt

ºinând cont de identitå¡ile :

t t t t t t t t t t t t12

22

32

1 2 32

1 2 1 3 2 32+ + = + + − + +( ) ( ) ;

55

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221

321321

33

32

31 2

3 ttttttttt

tttttt −+−+−++

=−++ ,

rezultå:

t t t

t t t t t t

t t t

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

012

0

+ + =

+ + = −

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

Se considerå ca fiind rådåcinile ecua¡iei t t t1 2 3, , t t3 12

0− = ¿i se alege:

t112

= − , t2 0= , t312

= .

Observa¡ie. Cebî¿ev a aråtat cå rezolvarea sistemului (3.21) se reduce la a

gåsi rådåcinile unei ecua¡ii de gradul n.

3.4. FORMULE DE CUADRATURÅ GAUSS

Pentru deducerea acestor formule este nevoie de polinoamele Legendre.

Defini¡ie. Se nume¿te polinom Legendre un polinom de forma:

( )P xn

ddx

xn n

n

n

n( )

!=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

12

12 − , n = 0, 1, 2, ... (3.23)

Aceste polinoame au urmåtoarele proprietå¡i:

1. , n = 0, 1, 2, ...; P Pn nn( ) , ( ) ( )1 1 1 1= − = −

2. polinomul P are n rådåcini reale disitncte situate în intervalul (-1,1); xn ( )

3. , unde un polinom oarecare de grad k

mai mic decât n.

)(,0)()(1

1nkdxxQxP kn <=∫

−Q xk ( )

Formulele de cuadraturå Gauss sunt acelea¿i cu (3.14).

Se pune deci problema alegerii punctelor t , ,..., ¿i a ponderilor

, astfel încât: 1 t2 tn

ω ω ω1 2, ,..., n

56

∑∫=−ω=

n

iii tfdttf

1

1

1)()( , (3.24)

så fie exactå pentru orice polinom de grad cât mai mare posibil. Deoarece numårul necunoscutelor ¿i ti ω i este , rezultå cå gradul maxim posibil este

2 n - 1.

2n

Pentru a avea egalitatea (3.24) este necesar ¿i suficient ca ea så fie verificatå

pentru . f t t t t n( ) , , ,...= −1 2 2 1

¥nlocuind în (3.24) ¿i ¡inând seama cå:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∫− par pentru ,

1+2

imparpentru ,01

1 kk

k dtt k (3.25)

se ob¡ine sistemul:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=ω

−=ω

=ω

=ω

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

=

n

i

nii

n

i

nii

n

iii

n

ii

t

nt

t

1

12

1

22

1

1

0

122

.....................

0

2

(3.26)

care, în general, este foarte greu de rezolvat. Aceastå dificultate este înlåturatå dacå se considerå polinomul:

f t t P tkn( ) ( )= , k n= −0, 1, (3.27)

unde este polinomul Legendre. ¥nlocuind în (3.24) ¿i ¡inând seama de

proprietatea (3), rezultå:

P tn ( )

0)(1

=ω∑=

n

iin

kii tPt , k n= −0, 1. (3.28)

57

Dacå se aleg ca fiind rådåcinile lui : ti P tn ( )

P tn i( ) = 0 , i = 1,n , (3.29)

rezultå cå (3.28.) este adevåratå oricare ar fi ω i .

Cu astfel ales, se determinå din sistemul (3.26) care este liniar ¿i cu

determinantul sistemului diferit de zero.

ti ω i

Inconvenientul formulelor Gauss constå în gåsirea rådåcinilor polinoamelor care, în general, sunt numere ira¡ionale. P xn ( )

¥n tabelul 3.2 sunt date elementele formulelor Gauss pentru valorile lui n de la 1 la 8 (Demidovitch ¿i Maron,1973).

Tabelul 3.2

n i ti iω

1 1 0 2

2 1;2 m 0,57735027 1

3 1;3 m 0,77459667 0,55555556

2 0 0,88888889

4 1;4 m 0,86113631 0,34785484

2;3 m 0,33998104 0,65214516

1;5 m 0,90617985 0,23692688

5 2;4 m 0,53846931 0,47862868

3 0 0,56888889

2;5 m 0,93246951 0,17132450

6 1;6 m 0,66120939 0,36076158

3;4 m 0,23861919 0,46791394

1;7 m 0,94910791 0,12948496

7 2;6 m 0,74153119 0,27970540

3;5 m 0,40584515 0,38183006

4 0 0,41795918

1;8 m 0,96028986 0,10122854

8 2;7 m 0,79666648 0,22238104

3;6 m 0,52553242 0,31370664

4;5 m 0,18343464 0,36268378

58

Observa¡ie. Pentru calculul integralei se folose¿te rela¡ia (3.15). ∫b

adxxf )(

3.5.CALCULUL APROXIMATIV AL INTEGRALEI DUBLE.

FORMULE DE CUBATURÅ

Fie o func¡ie a cårei expresie analiticå este cunoscutå. Se

presupune cå avem de calculat:

f D R R: ⊂ →2

∫ ∫D

dxdyyxf ),( , (3.30)

care, în general, e dificil de realizat, din cauza func¡iei ¿i / sau a domeniului sau a ambelor.

3.5.1. FORMULA TRAPEZELOR PENTRU INTEGRALA DUBLÅ

Alegem ca domeniu D dreptunghiul [ ] [ ]a b c d, ,× ¿i se împarte intervalul

în n intervale de lungime: [a b, ]

h b an

=−

, (3.31)

prin punctele , x a ihi = + i = 0,n ¿i intervalul [ ]c d, în m intervale de lungime:

k d cm

=−

, (3.32)

prin punctele , y c jki = + j = 0,m . Astfel, se ob¡ine o re¡ea de puncte ,

în care se presupun cunoscute valorile func¡iei f. Fie deci:

( )x yi j,

),( jiij yxff = , i n= 0, , j = 0,m . (3.33)

Valoarea aproximativå a integralei duble se ob¡ine aplicând repetat formula

trapezelor pentru integrala simplå. Astfel:

59

dxdyyxfdxdyyxfb

a

d

c

b

a

d

c∫ ∫∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ),(),( ≅

≅ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++∫ ∑

−

=dxyxfyxfyxfkb

am

m

jj ),(),(2),(

2

1

10

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= ∫ ∫∑ ∫

−

=

b

a

b

am

m

j

b

aj dxyxfdxyxfdxyxfk ),(),(2),(

2

1

10

⎪⎩

⎪⎨⎧⎢⎣

⎡+++= ∑

−

=)],(),(2),(

4 01

1000 yxfyxfyxfhk

nn

ii

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++ ∑ ∑

−

=

−

=

1

1

1

10 ),(),(2),(2

m

jin

n

iiij yxfyxfyxf

⎪⎭

⎪⎬⎫⎥⎦

⎤+++ ∑

−

=),(),(2),(

1

10 mn

n

imim yxfyxfyxf . (3.34)

Cu nota¡iile (3.26) ¿i restrângând, se ob¡ine:

[ ++++≅∫ ∫ nmmn

b

a

d

cffffhkdxdyyxf 00004

),(

⎥⎥⎦

⎤+++++ ∑ ∑∑∑∑∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

1

1

1

1

1

1

1

10

1

1

1

10 42222

m

j

n

iij

m

jnj

m

jj

n

iim

n

ii fffff , (3.35)

care se nume¿te formula de cubaturå a trapezelor pentru integrala dublå.

Observa¡ie. Dacå valorile func¡iei sunt puse în tabelul 3.3, atunci valoarea aproximativå a integralei este formatå din suma numerelor din col¡urile tabelului adunatå cu de douå ori suma numerelor dintre col¡uri de pe prima ¿i ultima linie respectiv prima ¿i ultima coloanå la care se adaugå de patru ori suma numerelor interioare acestor linii ¿i coloane, toatå aceastå sumå

înmul¡indu-se cu hk4

.

60

Tabelul 3.3

i 0 1 2 i n

j

x

y

x0

x1

x2

xi

xn

0 y0 f 00 f10 f20 ... f i0 ... f n0

1 y1 f01 f11 f 21 ... f i1 ... f n1

2 y2 f 02 f12 f 22 ... f i2 ... f n2

M

j y j f j0 f j1 f j2 ... f ij ... f nj

M

m ym f m0 f m1 f m2 ... f im ... f nm

3.5.2. FORMULA SIMPSON

PENTRU CALCULUL INTEGRALEI DUBLE

¥n acest caz intervalul [ se împarte în 2n pår¡i egale de lungime: ]a b,

h b an

=−2

, (3.36)

ob¡inând punctele , x a ihi = + i = 0 2, n , iar intervalul [ ]c d, se împarte în 2m

pår¡i egale de lungime:

k d cm

=−

2, (3.37)

prin punctele , y c jki = + j m= 0 2, .

Ca ¿i în cazul formulei de cuadraturå a trapezelor se ob¡ine o valoare aproximativå a integralei (3.30) prin aplicarea repetatå a formulei Simpson pentru integrala simplå.

Rezultå:

61

( ) ≅∫ ∫b

a

d

cdxdyyxf ,

( ) ( ) ( ) ( ) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++≅ ∫ ∑ ∑

=

−

=− dxyxfyxfyxfyxfkb

a

m

j

m

jmjj

1

1

122120 ,,2,4,

3

( ) ( ) ( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++= ∑ ∑ ∫∫∫∫

=

−

=−

m

j

m

j

b

an

b

aj

b

aj

b

adxyxfdxyxfdxyxfdxyxfk

1

1

122120 ,,2,4,

3

( ) ( ) ( ) ( ) +⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑ ∑

=

−

=−

n

i

n

inii yxfyxfyxfyxfhk

1

1

1020201200 ,,2,4,

9 (3.38)

( ) ( ) ( ) (∑ ∑ ∑= = =

−−−−− +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++

m

j

n

i

m

jjnjijij yxfyxfyxfyxf

1 1 11221221212120 ,,2,4,4 )

)

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑−

= =

−

=− +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

1

1 1

1

1222221220 ,,2,4,2

m

j

n

i

n

ijnjijij yxfyxfyxfyxf

( ) ( ) ( ) (⎪⎭

⎪⎬⎫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++ ∑ ∑

=

−

=−

n

i

n

imnmimimo yxfyxfyxfyxf

1

1

122222122 ,,2,4, .

Prin urmare:

( )∫ ∫ ∑⎢⎣

⎡+++++≅

=−

b

a

d

c

n

iimnmn fffffhkdxdyyxf

10,122,22,00,200 4

9,

∑ ∑∑ ∑∑=

−

=−

=

−

=−

−

=++++++

m

j

m

jjj

n

i

n

imimi

n

ii fffff

1

1

12,012,0

1

1

12,22,12

1

10,2 24242

(3.39)

∑ ∑∑ ∑ ∑∑−

= =−

−

=

−

=

−

==− +++++

1

1 112,2

1

1

1

1

1

12,22,2

112,2 8424

n

i

m

jji

m

j

n

i

m

jjijn

m

jjn ffff

⎥⎥⎦

⎤++ ∑ ∑ ∑∑

= = =−−

−

=−

m

i

n

i

m

jji

m

jji ff

1 1 112,12

1

12,12 168 ,

62

care este numitå formula de cubaturå a lui Simpson.

Dacå domeniul D este oarecare, ca în figura 3.3, se duc tangentele la frontiera lui D ¿i se ob¡ine un dreptunghi ∆ = [ ] [ ]a b c d, ,× care include pe D.

Dacå se noteazå:

( )( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆∈

∈=

Dyx

Dyxyxfyxf

\,,0

,,,,* (3.40)

rezultå:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∆∆

=+=D DD

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf\

,,*,*,* . (3.41)

Prin urmare, se ob¡ine:

( ) ( )∫ ∫∫ ∫

∆= dxdyyxfdxdyyxf

D,*, . (3.42)

Membrului drept al egalitå¡ii (3.42) i se aplicå una din formulele de cubaturå

(trapezelor sau Simpson) pentru func¡ia ( )yxf ,* ¿i se ob¡ine o valoare

aproximativå a integralei (3.30).

Observa¡ie. Pentru alte formule de calcul aproximativ al integralei simple sau duble a se vedea materialul bibliografic.

Fig. 3.3. D – domeniu oarecare.

63

4

REZOLVAREA NUMERICÅ A ECUAºIILOR

De foarte multe ori trebuie rezolvatå o ecua¡ie de forma:

f (x) = 0, (4.1)

unde func¡ia f este definitå pe un interval I R⊂ , pentru care nu existå metode

exacte care så dea solu¡ia într-un numår finit de pa¿i. Pentru astfel de ecua¡ii (algebrice sau nu) se pun douå probleme importante:

1. separarea rådåcinilor, adicå determinarea intervalelor în care sunt situate

aceste rådåcini;

2. determinarea aproximativå a acestor rådåcini ¿i evaluarea erorii.

¥n continuare, sunt prezentate câteva metode de calcul a rådåcinii aproxi-mative.

Pentru procedeele de separare a rådåcinilor se poate consulta bibliografia. Existen¡a cel pu¡in a unei rådåcini a ecua¡iei (4.1) într-un interval [a, b] este

prezentatå în continuare.

Teoremå. Dacå este continuå ¿i: [ ]f a b R: , →

f a f b( ) ( ) < 0 , (4.2)

atunci existå cel pu¡in un [ ]α ∈ a b, astfel încât:

f ( )α = 0 . (4.3)

Observa¡ie. Numårul punctelor α este impar. Se presupune cå intervalul

a fost ales astfel încât în el så existe o singurå rådåcinå. [a b, ]

64

4.1. METODA ¥NJUMÅTźIRII INTERVALULUI (BISECºIEI)

Fie deci intervalul [ în care ecua¡ia (4.1) are o singurå rådåcinå ¿i: ]a b,

c a b=

+2

(4.4)

mijlocul acestui interval.

− Dacå , atunci c este rådåcina exactå a ecua¡iei (4.1); f c( ) = 0

− Dacå f c( ) ≤ ε1 , cu ales, c este rådåcina aproximativå; ε1 0>

− Dacå f c( ) > ε1 se calculeazå produsul:

p f a f c= ( ) ( ) (4.5)

¿i dacå:

1. , rådåcina se aflå în intervalul ¿i în (4.4) se înlocuie¿te b cu c; p < 0 ( , )a c

2. , rådåcina se gåse¿te în intervalul ¿i în (4.4) a este înlocuit cu

c ¿i metoda se continuå.

p > 0 ( , )c b

Un alt criteriu de oprire a calculelor: dacå lungimea intervalului în care se

gåse¿te rådåcina exactå este mai micå decât ε2 0> ( ε ε1 2, pot fi ¿i egali),

atunci ultimul c este rådåcinå aproximativå.

¥n figura 4.1 este prezentatå schema logicå de calcul .

4.2. METODA COARDEI (FALSEI POZIºII)

¥n aceastå metodå solu¡ia exactå a ecua¡iei (4.1) se aproximeazå prin abscisa

punctului de intersec¡ie a coardei (AB) cu axa Ox unde punctele A, B au

coordonatele (a, f (a)) respectiv (b, f (b)) (fig. 4.2).

Dreapta (AB) are ecua¡ia:

x ab a

y f af b f a

−−

=−−

( )( ) ( )

. (4.6)

65

Fig. 4.1. Schema logicå de calcul pentru metoda bisec¡iei.

Intersectând aceastå dreaptå cu axa Ox (y = 0) se ob¡ine:

)()()()(

afbfabfbafc

−−

= . (4.7)

66

Fig. 4.2. Metoda coardei.

Se pot întâlni urmåtoarele situa¡ii:

1. , atunci c este rådåcina exactå a ecua¡iei (4.1); f c( ) = 0

2. f c( ) ≤ ε1 , ales, atunci c este radåcinå aproximativå; ε1 0>

3. Dacå f c( ) > ε1 se calculeazå produsul:

p f a f c= ( ) ( ) (4.8)

¿i dacå:

− p < 0, rådåcina se aflå în intervalul (a, c) ¿i în (4.7) se înlocuie¿te b cu c;

− p > 0, rådåcina se regåse¿te în intervalul (c, b) ¿i în (4.7) a se înlocuie¿te cu c.

4. Presupunând, în plus, cå semnul derivatei ′′fir (c ).

(x) este constant pe [a, b]

se poate construi un ¿ )n care converge cåtre solu¡ia exactå a ecua¡iei (4.1

Se presupune cå (x) > 0 pentru orice ′′f [ ]x a b∈ , (în cazul (x) < 0

ecua¡ia (4.1) poate fi scriså sub forma: - f (x) = 0). ¥n acest caz graficul curbei y = f (x) este situat sub coarda (AB).

′′f

Sunt posibile douå cazuri:

f a( ) > 0 (fig. 4.3) ¿i f a( ) < 0 (fig. 4.4).

67

Fig. 4.3. Metoda coardei [ f(a) > 0]. Fig. 4.4. Metoda coardei [ f(a) < 0].

¥n primul caz, extremitatea a este fixå ¿i construim ¿irul aproxima¡iilor succesive:

c b0 = , )()(

)()(1 afcf

afccfac

n

nnn −

−=+ . (4.9)

¥n al doilea caz extremitatea b este fixå, iar ¿irul aproxima¡iilor succesive

este:

c a0 = , )()(

)()(1

n

nnn cfaf

cbfbfcc

−−

=+ . (4.10)

Aceste ¿iruri converg cåtre solu¡ia exactå x. Dacå se mai presupune cå ′f (x) este continuå ¿i de semn constant pe [ ]

¿i cå:

a b,

111 2)(0 mMxfm ≤≤′≤< ,

atunci:

c c cn n n− ≤ − −α 1 (4.11)

¿i deci calculul se opre¿te când c cn n− <−1 2ε , ε2 0> ( ε2 poate fi ¿i egal cu

). ε1

¥n figura 4.5 este prezentatå schema logicå de calcul pentru situa¡ia 4.

68

Fig. 4.5. Schema logicå de calcul pentru metoda coardei.

4.3. METODA TANGENTEI (NEWTON)

O altå modalitate de calcul aproximativ al rådåcinii exacte a ecua¡iei (4.1)

este aceea de a aproxima solu¡ia ecua¡iei prin abscisa punctului de intersec¡ie al tangentei la graficul func¡iei f în punctul A sau B cu axa Ox ca în figura 4.6.

69

Fig. 4.6. Metoda tangentei.

Se presupune cå ¿i ′f x( ) ′′f x( ) sunt continue ¿i påstreazå semn constant

pe [a, b]. Se va scrie ecua¡ia tangentei la curba y f x= ( ) în A sau B dupå cum

¿i ′f x( ) ′′f x( ) au acela¿i semn. Fie, spre exemplu, t0 b= astfel încât

. Se alege ca primå aproxima¡ie a lui f t f t( ) ( )0 0 0⋅ ′′ > α pe , abscisa

intersec¡iei tangentei în B la grafic cu axa Ox. Ducând tangenta la grafic în

¿i intersectând cu axa Ox se ob¡ine t o altå aproxima¡ie a lui

t1B1

2 α ¿i procedeul se

continuå. Ecua¡ia tangentei în , B t f tn n n( , ( )) n = 0 1, ,... este:

y f t f t x xn n− n= ′ −( ) ( )( ) . (4.12)

Punând y = 0, rezultå: x tn= +1

t t f tf t

n nn

n+ = −1

( )( )' , n = 0 1 2, , ,... (4.13)

Observa¡ii:

1. dacå, în A, , alegem f a f a( ) ( )⋅ ′′ > 0 t0 a= ¿i se aplicå aceea¿i formulå

(4.13);

2. dacå 0 1 1< ≤ ′ ≤m f x M( ) ¿i 0 2< ≤ ′′ ≤ <m f x M( ) 2 ∞

] pentru orice

, atunci: [x a b∈ ,

21

1

21 )(

2 nnn ttm

Mt −≤−α ++ . (4.14)

70

Procedeul de calcul se opre¿te dacå f tn( + ≤1 ε1 sau dacå

22

11

2 )(2

ε≤−+ nn ttm

M cu ε ¿i 1 ε2 numere pozitive alese care pot fi ¿i egale.

Schema logicå de calcul este prezentatå în figura 4.7.

Fig. 4.7. Schema logicå de calcul pentru metoda tangentei.

71

4.4. METODA APROXIMAºIILOR SUCCESIVE

PENTRU ECUAºII ALGEBRICE SAU TRANSCENDENTE

Se presupune cå ecua¡ia (4.1) are o singurå rådåcinå

α în intervalul ¿i

cå

[ ]a b,aceastå ecua¡ie poate fi scriså sub forma:

x x= ϕ( ) . (4.15)

Principiul metodei constå în acela cå pornind de la o valoare ini¡ialå

0

( )a b∈ , se construie¿te un ¿ir ( )xn n≥0 dat de rela¡ia de recuren¡å: x

x xn n+ =1 ϕ( ) , n = 0 1 2, , ,... (4.16)

care în anumite condi¡ii converge cåtre α .

Teorema 1. Fie func¡ia ϕ( )x defi itån ¿i derivabilå pe [ ]a b, astfel încât

[ ]) ,x a b∈ pentru orice ϕ( [ ]x a∈ .

tå numårul k a

b,Dacå exis stfel cå:

′ ≤ <ϕ ( )x k 1 , (4.17)

pentru orice , atunci:

l iterat ) converge independent de valoarea ini¡ialå

2. x ;

3.

[ ]x a b∈ ,1. procesu iv (4.16

[ ]x a b0 ∈ , ;

nα =→∞lim

n

011xx

kkx

nn −

−≤−α .

serva¡ii:

dacå

Ob

0 12

< ≤k rezultå:

1. se aratå cå

α − ≤ − −x x xn n n 1 . (4.18)

Prin urmare, în acest caz, calculele se opresc dacå:

ε≤− xx , −1nn (4.19)

72

altfel se opresc dacå este îndeplinitå inegalitatea:

ε≤−− 011

xxk

kn; (4.20)

2. teorema 1 poate fi modificatå astfel:

tå ¿i continuå pe intervalul ¿i

pre

Teorema 2. Fie )(xϕ o func¡ie defini [ ]a b,

supunem cå ecua¡i 16) are o singurå rådåcinå a (4. α în intervalul [ ]a1 cu b1, ,

)(31),(1 abbbabaa −−=−+= .

3 11

Atunci, dacå:

kx ≤ϕ )('a) pentru a x b< < ¿i

aproximarea ini¡ialå b) [ ]b, , ax a0 ∈ tunci:

− toate aproxima¡iile succesive x xn n= −ϕ( )1 , n = 1, 2,... sunt din

− ≥nn este convergent cåtre

intervalul [ ]ba, ;

¿irul )(x 0 α , adicå α=∞→

nn

xlim ;

011xx

kkx

nn −

−≤−α ; −

3. punerea ecua¡iei (4.1) sub forma (4.15) se poate face în multe moduri.

Un

ul din acestea ar fi ¿i urmåtorul:

k mM

= −1 1

1x x

Mf x= −

1

1( ) , , (4.21)

cu . (S-a presupus cå 0 1 1< ≤ ′ ≤m f x M( ) ′ >f x( ) 0 pentru ( )x a b∈ , , pentru

ulcaz ′ <f x( ) 0 ecua¡ia (4.1) se scrie sub forma − =f x(

¥n figura 4.8 este prezentatå schema logicå de calcul.

) 0 ).

73

Fig. 4.8. Schema logicå de calcul pentru rezolvarea ecua¡iei ( ) 0=xf

prin metoda aproxima¡iilor succesive.

4.5. METODA APROXIMAºIILOR SUCCESIVE

PENTRU DENTE

Teorema 3. Fie sistemul de ecua¡ii:

11

nnn

n

n

xxxx

xxxx

xxxx

, (4.22)

SISTEME NELINIARE ALGEBRICE ªI TRANSCEN

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ=

ϕ=

ϕ=

),...,,(.................................

),...,,(

),...,,(

21

2122

21

74

unde func¡iile sunt definite pe un domeniu ϕi nx x x( , ,..., )1 2 D Rn⊂. Se presupune cå în

cu valori

în D ¿i admit derivate par¡iale de ordinul întâi continue pe DD sistemul (4.22) admite o singurå solu¡ie ( , ,..., )α α α1

numerele

2 n . Dacå existå

0 1≤ <qi , i n= 1, astfel încât:

in

j j

i qx

≤∂∂ϕ

∑=1

, i n= 1, , (4.23)

atunci:

1. ¿irurile:

)(2 nk xx , )()1( ( k

iik

i xx ϕ=+ , ),..., )(k i n= 1, ,

k = 0 1 2, , ,..

sunt convergente, adicå:

)( ,

din D;

2.

ik

ikx α=

∞→lim

x x xn10

20 0( ) ( ) ( ), ,...,oricare ar fi valorile ini¡iale

0)1(1

1)( max

1 jjnj

ki

ki xx

qqx −−

≤α−≤≤

−,

unde q = { }iqmax

i

Observa¡ie. Teorema aceasta se aplicå ¿i pentru sisteme de ecua¡ii de forma:

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

0)..,,(

0),...,,(

0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxf

xxxf

(4.24)

dacå sunt aduse la forma (4.22).

⎪⎪⎪ ................................

,.

75

4.6. METODA JACOBI

DE REZOLVARE A SISTEMELOR LINIARE

Teorema 3 din paragraful 4.5. poate fi aplicatå pentru rezolvarea unor sisteme de ecua¡ii liniare:

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=+++

nnnnnn

nn

bxaxaxa

ba

bxaxaxa

...

...

2211

22

11212

(4.25)

di¡ii poate fi pus sub forma (4.22). Pentru aceste isteme teorema 3 se formuleazå astfel:

Teorema 4. Fiind dat sistemul (4.25) cu

⎪111

⎪⎪⎪ ..........................................

=+++ nn xaxax ... 222211

+

deoarece, în anumite cons

aii ≠ 0 , i n= 1, ¿i :

∑≠=

>

11

ji

ijii aa , i n= 1, , (4.26)

atunci:

1. ¿irurile:

( ) ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞⎜⎛

⎜⎜⎜

⎝

−= ∑≠=

+ n

iji

kjiji

ii

ki xab

ax

1

1 1, i n= 1, ; k = 0, 1, 2,… (4.27)

vergente cåtre solu¡ia exactåsunt con α α α1 2, ,..., n a sistemului, oricare ar fi

valorile ini¡iale ( ) ( ) ( )x x xn10

20 0, ,..., ;

2. ( ) ( ) ( )01

1max

1 jjni

ki

ki xx

qqx −−

≤α−≤≤

, i n= 1, , (4.28)

unde:

niq

≤≤=

1max ∑

≠=

n

iji ii

ij

aa

1. (4.29)

76

Observa¡ii:

1. avem: ( )αi ik i n= 1,x≅ , ; (4.30)

2. calculele se opresc atunci când:

( ) ( ) ε<− −1ki

ki xx , dacå 0 1

2< ≤q ; −

sau:

( ) ( )011max

1 jjnj

kxx

qq

−− ≤≤

< ε , (4.31)

dacå 0 12

< ≤q ;

te metoda Jacobi.

4.7. METODA GAUSS-SEIDEL DE REZOLVARE

A SISTEMELOR LINIARE

Aceastå metodå, aplicabilå în acelea¿i condi¡ii e o fi

metodei Jacobi. Astfel, componentele itera¡iei de ordinul (k + 1) sunt date de

regula:

3. procesul iterativ (4.28) se nume¿

(4.26), ste o m di care a

( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠⎜⎝ +== ij

jj

jii

i a 1

⎞⎜⎛

−−= ∑∑− ++ n k

iji k

ijik xaxabx

1 11 1, i n= 1,

1, k = 0, 1,... (4.32)

Dacå se n

oteazå:

∑

∑=

nj iia1

, (4.33) i

q max=

=−

j ii

ij

ij

aa

a

11

n

77

atunci:

( ) ( ) 01max1 jxjx

jqqx

k

ik

i−

−≤α− , i n= 1, (4.34)

¿i deci calculele se opresc ca ¿i în metoda Jacobi (deosebirea este modul de calcul al lui q).

Observa¡ie. Dacå sistemul liniar (4.25) nu are diagonala dominantå, nu se pot aplica cele douå metode. Pentru alte metode se recomandå consultarea bibliografiei.

78

5

METODA DIFERENºELOR FINITE

PENTRU REZOLVAREA UNOR PROBLEME CAUCHY

SAU LA LIMITÅ PENTRU ECUAºII DIFERENºIALE

SAU CU DERIVATE PARºIALE

Pentru foarte multe ecua¡ii diferen¡iale sau cu derivate par¡iale nu pot fi gåsite solu¡ii analitice sau dacå existå sunt complicate ¿i greu de utilizat. Metoda diferen¡elor finite permite gåsirea solu¡iei numerice (aproximative) în ni¿te puncte din domeniu, utilizând diferen¡ele finite ¿i folosind un polinom de interpolare se poate aproxima solu¡ia în orice alt punct din domeniu. Pentru aceastå metodå existå un material bibliografic foarte bogat. ¥n conti-nuare este prezentatå metoda pentru câteva probleme des întâlnite în practicå.

5.1. METODA DIFERENºELOR FINITE

PENTRU O ECUAºIE DIFERENºIALÅ DE ORDINUL ¥NTÂI

CU O CONDIºIE INIºIALÅ (PROBLEMÅ CAUCHY)

Se cere solu¡ia ecua¡iei:

( )′ =u f x u, , [ ]x x x L∈ +0 0, , (5.1)

cu condi¡ia ini¡ialå:

( ) α=0xu . (5.2)

Se presupune cå aceastå problemå admite solu¡ie unicå, dar expresia ei analiticå nu poate fi gåsitå. Metoda Diferen¡elor Finite (prescurtat MDF) presupune parcurgerea unor pa¿i. Pas 1. Se discretizeazå intervalul [ ]x x L0 0, + alegând un pas:

79

h Ln

= , (5.3)

ob¡inând re¡eaua de puncte echidistantå:

x x ii h= +0 , i = 0,n (5.4)

¿i se scrie ecua¡ia (5.1) ¿i condi¡ia (5.2) în punctul (nodul) . xi Folosind nota¡iile:

( )u u xi i= , ( )′ = ′u u xi i , (5.5)

rezultå:

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

==′

0

,0,,

u

niuxfu iii (5.6)

Pas 2. Se folosesc rela¡iile de legåturå dintre derivate ¿i diferen¡e finite:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

=+δ

+−

=+∇

+−

=+∆

=′

−+

−

+

21122

1

1

02

02

00

00

hhuu

hhu

hhuu

hhu

hh

uuh

hu

u

iiih

iii

iii

i (5.7)

¿i (5.6) devine:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

α=

==+−

==+−

−==+−

−+

−

+

0

211

1

1

,1,,02

)

,1,,0)

1,0,,0)

u

niuxfhhuuc

niuxfhhuub

niuxfhh

uua

iiii

iiii

iiii

(5.8)

80

Pas 3. Se renun¡å la erorile de trunchiere 0 (h) ¿i 0 ( ) ¿i se noteazå cu

func¡ia datå de (5.8) a), b) sau c) (dupå înlåturarea erorii de trunchiere) care aproximeazå pe .

h2 Ui

ui

u Ui i≅ , (5.9)

ob¡inând:

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

=+=+

0

1 ,0,,

U

niuxhfUU iiii (5.10)

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

=+= −

0

1 ,1,,

U

niuxhfUU iiii (5.11)

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

=+= −+

0

11 ,1,,2

U

niuxhfUU iiii (5.12)

care se numesc scheme cu diferen¡e finite asociate problemei (5.1), (5.2). ¥n legåturå cu schemele cu diferen¡e finite asociate unei probleme cu condi¡ii ini¡iale sau la limitå se dau câteva defini¡ii. Defini¡ia 1. O schemå cu diferen¡e finite asociatå unei probleme este o

aproximare de ordinul p dacå erorile de trunchiere înlåturate sunt func¡ii de h ,

adicå 0 ( ). (Schemele (5.10), (5.11) sunt de ordinul întâi, iar (5.12) de ordinul doi). Schema se nume¿te consistentå dacå p ≥ 1.

p

h p

Defini¡ia 2. Schema cu diferen¡e finite se nume¿te numeric stabilå dacå la modificåri mici ale lui f, respectiv α se ob¡in varia¡ii mici ale lui U (adicå

solu¡ia depinde continuu de f ¿i α). i

Defini¡ia 3. Se nume¿te eroare localå în nodul i diferen¡a:

R u Ui i i= − . (5.13)

Defini¡ia 4. Schema cu diferen¡e finite este convergentå cåtre solu¡ia exactå dacå:

0lim max0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

iih

R . (5.14)

81

Pas 4. Se cerceteazå dacå sunt îndeplinite condi¡iile de mai sus ¿i se rezolvå

una din schemele asociate. ¥n continuare, este prezentatå fiecare schemå.

5.2. SCHEMA EULER EXPLICITÅ

Schema (5.10) se nume¿te Euler explicitå.

Dând lui i valori de la 0 la n - 1 se ob¡ine pe rând:

( ) ( )

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

α+α=+=

−−− 111

1112

00001

,.............................

,

,,

nnnn UxhfUU

UxhfUU

xhfUxhfUU − cunoscut

(5.15)

Aceastå schemå este convergentå ¿i foarte u¿or de utilizat, dar din cauza erorilor de trunchiere ¿i a celor de rotunjire care se acumuleazå då rezultate care au o precizie destul de micå.

5.3. SCHEMA EULER IMPLICITÅ

Fie acum schema (5.11) ¿i i = 1. Rezultå:

( )U U hf x U1 0 1= + , 1 , (5.16)

care este o ecua¡ie algebricå sau transcendentå în necunoscuta U . Pentru

determinarea lui U se va folosi o metodå de rezolvare aproximativå (a se

vedea cap. 4) a ecua¡iei (5.16). Punând i = 2 în (5.11) se ob¡ine:

1

1

( )U U hf x U2 1 2 2= + , , (5.17)

care la rândul ei trebuie rezolvatå. Procedeul se continuå pânå la i = n.

Aceastå schemå (5.11) poartå numele de Euler implicitå.

82

5.4. SCHEMÅ EXPLICITÅ DE ORDINUL DOI

Se considerå schema (5.12). Pentru i = 1, 2,..., n - 1 se ob¡ine:

( )

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

−−− 111

2213

1102

,2.............................

,2

,2

nnnn UxhfUU

UxhfUU

UxhfUU

(5.18)

De aici, rezultå cå dacå U este cunoscut, se poate afla U , U ,..., U . 1 2 3 n

Pentru calculul lui U se folose¿te dezvoltarea în serie Taylor a func¡iei u ¿i

ecua¡ia (5.1). 1

( ) ( ) ( ) ( )ξ′′+′+=+= uhxuhxuhxuu21

20001 , x x0 0 h< < +ξ (5.19)

sau:

( ) ( ) ( ) ( )20

20001 0,0, hxhfhuxhfuu +α+α=++= . (5.20)

¥nlåturând pe ( )20 h rezultå:

( )α+α= ,01 xhfU . (5.21)

5.5. SCHEMA EULER ¥MBUNÅTźITÅ

La o schemå de genul (5.8) se poate ajunge ¿i altfel, utilizând ecua¡ia (5.1). Dacå se integreazå aceastå ecua¡ie pe intervalul [ ]1, +ii xx , ob¡inem:

( ) ( )( )∫∫++

=′11

,i

i

i

i

x

x

x

xdxxuxfdxxu , (5.22)

adicå:

( )( )∫+

+=+1

,1i

i

x

xii dxxuxfuu . (5.23)

83

¥n func¡ie de ce formulå de calcul aproximativ al integralei se folose¿te, se ob¡in scheme cu diferen¡e finite pentru problema (5.1), (5.2) între care sunt incluse ¿i cele precedente. Se prezintå acest mod de ob¡inere a unei scheme cu diferen¡e finite utilizând pentru calculul integralei formula trapezelor simplå. Atunci:

( ) ( )[ ] ( )3111 0,,

2huxfuxfhuu iiiiii +++= +++ i n= −0 1,, . (5.24)

Se înlåturå ( )30 h ¿i se ia:

u Ui i≅ , (5.25)

cu U dat de schema: i

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

α=

−=++= +++

0

111 1,0,,,2

U

niUxfUxfhUU iiiiii, (5.26)

care se nume¿te Euler îmbunåtå¡itå. Ea este o aproximare de ordinul trei a problemei (5.1), (5.2). Dând lui i valoarea zero, rezultå:

( ) ( )[U U h f x U f x U1 0 1 1 0 02= + +, , ] . (5.27)

Se observå cå pentru gåsirea lui U trebuie rezolvatå ecua¡ia (5.27); la fel se

va proceda ¿i pentru deducerea celorlalte necunoscute U , ,..., . Este, de

asemenea, o schemå implicitå.

1

2 3U Un

Observa¡ii:

1. schema (5.27) este ceva mai greu de aplicat din cauza necesitå¡ii de a rezolva la fiecare pas o ecua¡ie, dar este compensatå de rezultate care au o precizie ceva mai mare; 2. pentru alte scheme, utilizând calculul aproximativ al integralei:

( )( )dxxuxfi

i

x

x∫+1

, , (5.28)

se recomandå a se consulta bibliografia.

84

5.6. SCHEMA RUNGE-KUTTA DE ORDINUL PATRU

Existå mai multe scheme Runge-Kutta ce cuprind drept cazuri particulare schemele Euler explicitå ¿i îmbunåtå¡itå. ¥n continuare, este descriså pe aceea care då o aproximare de ordinul patru ¿i care este u¿or de aplicat. O astfel de schemå este:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=++++=

α=

+ 1,0,2261

43211

0

niKKKKUU

U

ii , (5.29)

unde:

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=

=

34

23

12

1

,

2,

2

2,

2

,

KUhxhfK

KUhxhfK

KUhxhfK

UxhfK

ii

ii

ii

ii

(5.30)

5.7. SCHEMA RUNGE-KUTTA PENTRU INTEGRAREA NUMERICÅ

A SISTEMELOR DE ECUAºII DIFERENºIALE ORDINARE

Metoda Runge-Kutta expuså pentru o ecua¡ie diferen¡ialå poate fi extinså fårå dificultate la rezolvarea numericå a sistemelor de ecua¡ii diferen¡iale de ordinul întâi. Se prezintå metoda pentru un sistem de douå ecua¡ii diferen¡iale cu douå func¡ii necunoscute:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=′

=′

vuxgv

vuxfu

,,

,, (5.31)

cu condi¡iile ini¡iale: ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

00

00

vxv

uxu (5.32)

85

Metoda Runge-Kutta de ordin patru pentru acest sistem conduce la urmåtoarea schemå:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++++=

++++=

==

+

+

43211

43211

0000

2261

2261

,

MMMMVV

KKKKUU

vVuU

ii

ii (5.33)

unde:

( ) ( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

==

334

334

223

223

112

112

11

,,

,,

2,

2,

2

2,

2,

2

2,

2,

2

2,

2,

2

,,,,,

MVKUhxhfM

MVKUhxhfK

MVKUhxhgM

MVKUhxhfK

MVKUhxhgM

MVKUhxhfK

VUxhgMVUxhfK

iii

iii

iii

iii

iii

iii

iiiiii

(5.34)

Observa¡ie. Metoda Runge-Kutta poate fi utilizatå ¿i pentru ecua¡ii diferen¡iale de ordin mai mare decât unu. Acest ultim aspect este exemplificat pentru ecua¡ia diferen¡ialå de ordinul doi:

( )′′ = ′u f x u u, , , (5.35)

cu condi¡iile ini¡iale:

( ) 00 uxu = , ( ) 00 uxu ′=′ . (5.36)

86

Dacå se noteazå:

v u= ′ , (5.37)

se ob¡ine sistemul:

( )′ =

′ =⎧⎨⎩

u vv f x u v, ,

(5.38)

cu condi¡iile ini¡iale:

( )u x u0 0= , ( )v x u0 = ′0 (5.39)

5.8. METODA DIFERENºELOR FINITE

PENTRU PROBLEMA DIRICHLET BIDIMENSIONALÅ.

(ECUAºIA CU DERIVATE PARºIALE DE TIP ELIPTIC)

Problema Dirichlet bidimensionalå constå în determinarea solu¡iei ecua¡iei:

( yxfyu

xu ,

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂ ) , (5.40)

într-un domeniu D R⊂ 2 mårginit de curba C , ¿tiind cå pe frontierå:

( )u xC = ϕ , y , (5.41)

cu ( )yx,ϕ continuå.

Aceastå problemå pentru domenii D particulare (dreptunghi, interior sau

exterior de cerc, coroanå circularå, semiplan) admite solu¡ie exprimatå de regulå printr-o serie sau o integralå. Pentru alte domenii D nu se poate gåsi o solu¡ie

analiticå ¿i atunci printre alte metode de calcul aproximativ al solu¡iei se recurge la metoda diferen¡elor finite.

Pas. 1. Se discretizeazå domeniul D printr-o re¡ea de drepte perpendiculare

cu distan¡a h > 0 între ele (fig. 5.1), ob¡inând punctele ( )M x yij i j, cu:

87

Fig. 5.1. Re¡ea dreptunghiularå de pas h.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=+=

Mjjhyy

Niihxx

i

i

,0,

,0,

0

0 (5.42)

Se noteazå cu domeniul format din acele påtrate complet interioare lui D

¿i cu linia frântå care mårgine¿te domeniul . Evident, distan¡a de la orice

punct nodal al curbei pânå la curba C nu depå¿e¿te

DhCh Dh

Ch h 2 .

Se scrie ecua¡ia (5.40) ¿i condi¡ia (5.41) în punctele nodale ( ). Cu

nota¡iile:

x yi j,

( )

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

ϕ=ϕ

=

=

jiij

jiij

iiij

iiij

iiij

yxy

uy

u

yxx

ux

u

yx

yxff

yxuu

,

,

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

(5.43)

88

se ob¡ine:

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2u

xu

yf

ijij

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + = ; (5.44)

( )u C ij ij= Φ , (5.45)

unde este egalå cu în punctele lui care coincid cu cele ale lui C, iar

în punctele care nu apar¡in lui C este valoarea lui

ijΦ ϕij Ch

( )ϕ x y, calculatå în cel mai

apropiat punct de pe frontiera C (sau în unul din ele dacå sunt mai multe).

Pas 2. Se înlocuiesc derivatele prin diferen¡ele finite centrate de ordinul doi:

δτ

δτx ij

ijy ij

ij iju

h

u

hf

2 22

21

2

22+ + + = , (5.46)

adicå:

u u u

h

u u u

hfi j ij i j i j ij i j

ij ij ij+ − + −− +

+− +

+ + =1 12

1 12

1 22 2, , , , τ τ , (5.47)

cu: ( )21 0 hij =τ , ( )22 0 hij =τ .

Pas. 3. Se renun¡å la erorile de trunchiere, se noteazå cu U valorile aproxi-

mative ale lui u :

ij

ij

u Uij ij≅ (5.48)

¿i ob¡inem schema cu diferen¡e finite:

U U U U U h fi j i j i j i j ij ij+ + − −+ + + − =1 1 1 124, , , , , i N= 1, , j M= 1, , (5.49)

cu:

Uij C ijh= Φ . (5.50)

89

Observa¡ii:

1. (5.49) este un sistem liniar neomogen având atâtea ecua¡ii ¿i necunoscute câte noduri interioare are , are solu¡ie unicå, ¿i deoarece diagonala este

dominantå se poate rezolva prin metoda aproxima¡iilor succesive (Jacobi) sau Gauss-Seidel;

Dh

2. deoarece erorile de trunchiere sunt ( )20 h rezultå cå schema reprezintå o

aproximare de ordinul doi. Pentru scheme cu un ordin de aproximare mai mare se recomandå consultarea bibliografiei.

5.9. METODA DIFERENºELOR FINITE PENTRU ECUAºII

CU DERIVATE PARºIALE DE TIP HIPERBOLIC

Fie problema mixtå pentru ecua¡ia propagårii undelor, unidimensionalå neomogenå cu condi¡ii la limitå neomogene:

( )∂

∂

∂

∂

2

22

2

2u

ta u

xf x t− = , , ( )x ∈ 0,l , ( )∞∈ ,0t , (5.51)

cu condi¡iile ini¡iale:

( ) ( )

( ) (⎪⎩

⎪⎨

⎧

ψ=∂∂

ϕ=

xxtu

xxu

0,

0,

) (5.52)

¿i condi¡iile la limitå:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

β=

α=

ttu

ttu

,

,0

l (5.53)

cu func¡iile f, ϕ, ψ, α ¿i β continue satisfåcând condi¡iile de racordare

, , iar a o constantå. ( ) ( )ϕ α0 0= ( ) ( )ψ βl = ′ 0 Pas 1. Se considerå re¡eaua de puncte ( ): x ti j,

( )

x ih i N hN

t j j M M

i

j

= = + =+

= = + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

, , ,

, , ,

0 11

0 1 1

l

τ τ T (5.54)

90

¿i se noteazå:

( )jij

i txuu ,= . (5.55)

Se scrie ecua¡ia (5.51) ¿i condi¡iile ini¡iale ¿i, la limitå, în aceste puncte (noduri):

( )( ji

j

i

j

i

txfxua

tu ,

2

2

2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ ) ; (5.56)

iiu ϕ=0 , i N= +0, 1 ; (5.57)

iit

uψ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

0 i N= +0, 1 ; (5.58)

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=β=β=

+=α=α=

+ 1,0,

1,0,

1

0

Mjtu

Mjtuj

jjN

jj

. (5.59)

Pas 2. Se utilizeazå legåtura dintre derivate ¿i diferen¡ele finite centrate ¿i se ob¡ine:

jii

jiht

j

jit f

h

ua

u=τ+

δ−τ+

τ

δτ 2

2

221

2

222

, (5.60)

cu:

( )21 0 τ=τ j ¿i ( )22 0 hi =τ

sau:

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji fh

h

uuua

uuu=+

+−−τ+

τ

+− −+−+

22

11222

110

20

2. (5.61)

Pas 3. Se eliminå erorile de trunchiere ¿i se noteazå cu U solu¡ia schemei: ij

91

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji fhUUU

haU

haU 21

11

221 12 τ+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

−= −−+

+ , (5.62)

cu i N= 1, ; j M= 1, .

Cu nota¡ia:

har τ

= , (5.63)

(5.62) se scrie sub forma:

( ) ( ) ( )U r U r U U U hij

ij

ij

ij

ij

ij+

+ −−= − + + − +1 2 2

1 112 1 τ f . (5.64)

Pentru i = j = 1 rezultå:

( ) ( ) ( ) 11

201

10

12

211

221 12 fhUUUrUrU τ+−++−= , (5.65)

de unde se vede cå este nevoie så se cunoascå valorile U ¿i . Din (5.57) ¿i

(5.59) rezultå direct , ¿i .

11 U2

1

0iU jU0

jNU 1+

Pentru calculul lui se folose¿te dezvoltarea în serie Taylor ¿i ecua¡ia

(5.51):

1iU

( ) ( 30

2

22001 0

210, τ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂τ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂τ

+=τ+=ii

iiitu

tuuxuu ). (5.66)

Din (5.56) rezultå:

( ) 022

11200

2

22

0

2

20

2i

iiii

ii

fhh

afx

uatu

++ϕ+ϕ−ϕ

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ −+ (5.67)

¿i ¡inând seama de (5.57) ¿i (5.58), (5.66) devine:

( ) ( ) ( 32211

202

1 00221

2τ+τ+ϕ+ϕ−ϕ+

τ+τψ+ϕ= −+ hrfu iiiiiii ). (5.68)

Renun¡ând la eroarea de trunchiere, se ob¡ine:

92

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

β=α=

=ϕ+ϕ−ϕ+τ

+τψ+ϕ=

+

−+

111

110

112

02

1

,

,1,222

N

iiiiiii

UU

NirfU (5.69)

(pentru calculul aproximativ al lui

0

2

2

ixu⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ a fost utilizatå prima rela¡ie (5.52)).

¥n concluzie, problemei (5.51), (5.52), (5.53) i se asociazå schema:

( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ+−++−=

=ϕ+ϕ−ϕ+τ

+τ+=

+=β=

+=α=

+=ϕ=

−−+

+

−+

+

ji

ji

ji

ji

ji

ji

iiiiiii

jjN

jj

ii

fhUUUrUrU

NirfgfU

MjU

MjU

NiU

2111

221

1120

21

1

0

0

12

,1,221

2

1,0,

1,0,

1,0,

(5.70)

Pas 4. Se rezolvå schema (5.70) ob¡inând valorile U care aproximeazå pe u . ij

ij

Observa¡ii:

1. aceastå schemå este o aproximare de ordinul doi, ¿i este explicitå; 2. schema este stabilå dacå r ≤ 1 ( este condi¡ionat stabilå);

3. geometric, valorile Uij+1 sunt date dupå regula din figura 5.2.

Fig. 5.2. Re¡ea de noduri pentru calculul valorii . 1+jiU

93

5.10. METODA DIFERENºELOR FINITE

PENTRU ECUAºII DE TIP PARABOLIC

Fie acum problema mixtå:

( )txfxua

tu ,

2

22 =∂

∂−

∂∂

, ( )x ∈ 0,l , ( )t ∈ ∞0, , (5.71)

cu condi¡ia ini¡ialå:

( ) ( )u x x,0 = ϕ (5.72)

¿i condi¡iile la limitå:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

β=

α=

ttu

ttu

,

,0

l (5.73)

unde func¡iile f, ϕ, α ¿i β sunt continue, iar a este constantå. Procedeul de

rezolvare prin MDF este la fel ca mai înainte.

Pas 1. Se considerå re¡eaua de puncte ( ), alegând pa¿ii h ¿i τ > 0: ji tx ,

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+τ+=τ=

=++==

TMMjjt

NhNiihx

j

i

1,1,0,

1,1,0, l

(5.74)

¿i se scriu ecua¡ia ¿i condi¡iile în nodul ( ): x ti i,

( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=β=

+=α=

+=ϕ=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+ 1,0,

1,0,

1,0,

,

1

0

0

2

22

MjU

Mju

Niu

txfx

uatu

jjN

jj

ii

ji

j

i

j

i

(5.75)

94

Pas 2. Se utilizeazå legåtura dintre derivate ¿i diferen¡e finite:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τ+τ

−=τ+

τ

δ

τ+τ

−=τ+

τ

∇

τ+τ

−=τ+

τ

∆

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−+τ

−

+

211

22

1

1

02

02

00

00

ji

ji

ji

ji

ji

jit

ji

ji

jit

j

i

uuu

uuu

uuu

tu

(5.76)

( 22

2

2

20

2h

h

u

xu

jix

j

i+

δ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂ ) (5.77)

¿i ob¡inem:

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji fh

h

uuua

uu=+

+−−τ+

τ

− −++

22

1121

02

0 ; (5.77)

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji fh

h

uuua

uu=+

+−−τ+

τ

− −+−

22

1121 2

0 ; (5.78)

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji fh

h

uuua

uu=+

+−−τ+

τ

− −+−+

22

112211

02

02

. (5.78)

Pas 3. Se renun¡å la erorile de trunchiere ¿i notând cu U rezultatele astfel

ob¡inute, dau urmåtoarele scheme cu diferen¡e finite: ij

( )U U r U U U h fij

ij

ij

ij

ij

ij+

+ −− − − + =11 1

22 τ ; (5.79)

( )U U r U U U h fij

ij

ij

ij

ij

ij− − − + =−

+ −1

1 122 τ ; (5.80)

( )U U r U U U h fij

ij

ij

ij

ij

ij+ −

+ −− − − + =1 11 1

22 2 2τ ; (5.81)

la care se adaugå condi¡iile din rela¡ia (5.75).

Pas 4. Se rezolvå fiecare schemå în parte:

95

1. Pentru schema (5.79) ¿i condi¡iile din (5.75) se ob¡ine:

( ) ( ) ji

ji

ji

ji

ji fhUUrUrU 2

111 21 τ+++−−= −++ ,

i N= 1, , Mj ,1= . (5.82)

Este o schemå explicitå ¿i stabilå dacå 0 ≤ r ≤12

.

2. Fie acum schema (5.80) ¿i condi¡iile din (5.75):

( ) ji

ji

ji

ji

ji fhUrUUrrU 21

11 21 τ+=−++− −−+ ,

i N= 1, , 1,1 += Mj . (5.83)

Aceasta, pentru fiecare j este un sistem tridiagonal, care, matriceal, se scrie sub forma:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

τ++

τ+

τ++

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−+−−+−

−+

+−

−

−

+

jN

jN

jN

jj

jjj

jN

j

j

j

fhrNU

fhU

fhrUU

U

U

U

U

rr

rrrrrr

rr

21

1

221

2

12

01

1

1

3

2

1

...................................21000

...............................................0210002100021

(5.84)

Aceasta este o schemå implicitå stabilå pentru orice r (necondi¡ionat stabilå).

3. ¥n cazul schemei (5.81) ¿i condi¡iile din (5.75) implicå:

( ) ji

ji

ji

ji

ji

ji fhUUUUrU 2

1111 222 τ+++−= −−++ ,

i N= 1, , j = 1, M . (5.85)

Pentru j = 1, se ob¡ine:

( ) 12011

112 222 iiiiii fhUUUUrU τ+++−= − , i = 1, N , (5.86)

care, pentru calculul lui U , necesitå cunoa¿terea lui U . i2

i1

96

Pentru calcului lui se folose¿te dezvoltarea în serie Taylor ¿i ecua¡ia

(5.71):

1iu

( ) ( )=τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂τ

+=τ+= 20

01 01

0,i

iii tuuxuu

( )=τ+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂τ+= 20

0

2

220 0i

ii f

xuau

( ) ( )=τ+τ+ϕϕ−ϕ

τ+τ+ϕ= −++ 222

1120 002

hh

af iiiii

( ) ( )2211

0 02 τ+τ+ϕ+ϕ−ϕ+τ+ϕ= −+ hrf iiiii . (5.87)

Dând la o parte pe ( )220 τ+τh , rezultå:

( )1101 2 −+ ϕ+ϕ−ϕ+τ+ϕ= iiiiii rfU , i = 1, N . (5.88)

Observa¡ie. Schema (5.85), împreunå cu condi¡iile din (5.75) ¿i (5.88), este o schemå explicitå ¿i constituie pentru problema (5.71), (5.72),(5.73) o aproximare de ordinul doi (spre deosebire de primele douå care sunt de ordinul întâi).

Pentru alte scheme cu diferen¡e finite ¿i programe de calcul, recomandåm a se consulta bibliografia (Påltineanu G., s.a., 1998; Popa R., 1995).

97

BIBLIOGRAFIE

Atkinson, K., An introduction to Numerical Analysis, John Willey & Sons, Second Edition, 1989. Bakhvalov, N., Metodes Numeriques, Editura MIR, Moscow, 1976. Demidovitch B., Moran, I., Elements de calcul numerique, Editura MIR, Moscow, 1973. Dodescu, Gh., Toma, M., Metode de calcul numeric, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1976. Dorn, W.S., Cracken, D.D., Metode numerice cu programe în FORTRAN IV, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1976. Godunov, S. K., Reabenki V.S., Scheme de calcul cu diferen¡e finite, Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1977. Nicolau, Al., Analizå numericå, Litografia I.C.B., 1982. Påltineanu, G., Matei, P., Trandafir, R., Analizå numericå, Litografia U.T.C.B., 1998. Popa, R., Intégration numérique des équations aux differentielles. Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1995. Zevedei, V., Metode numerice, Litografia I.C.B., 1982.