Minimal Submanifolds Z.C

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Table des matières 1 Dédicace ....................................... 2 2 Préface ........................................ 3 3 Définitions et préliminaires .............................. 4 4 Géometrie d’une sous variété admettant une p-forme parallèle ........... 13 4.1 Résultat principal ............................... 13 5 Géométrie de sous variétés avec un nombre de betti non nul ............. 19 5.1 Deuxième résultat .............................. 19 6 Références ....................................... 28 1

Transcript of Minimal Submanifolds Z.C

Table des matières

1 Dédicace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Définitions et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Géometrie d’une sous variété admettant une p-forme parallèle . . . . . . . . . . . 13

4.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Géométrie de sous variétés avec un nombre de betti non nul . . . . . . . . . . . . . 19

5.1 Deuxième résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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1 DédicaceNos jours sont les jours de sang, d’injustice et des coeurs glacés, je dédie ce travail à tout hommequi garde en lui le vrai sens d’humanité.

Dr. Mehdi, veuillez accepter mes remerciments et mon respect. Vous êtes toujours en train de nousencourager et nous assurer le meilleur, c’est le critère d’une âme généreuse.

Dr. Habib, un grand remerciment pour votre aide et votre support qui m’ont aidée à accomplir cetravail, et un grand respect pour votre modestie remarquable.

2

2 PréfaceLe but de ce papier rédigé par Jean-François Grosjean, et intitulé "Minimal Submanifolds with aparallel or a harmonic p-form" est d’étudier la non existence d’une immersion minimale d’une va-riété riemannienne M admettant une p-forme parallèle ou harmonique non triviale dans une autrevariété N .

Dans la première partie, on suppose que M admet une p-forme prallèle non triviale et on démontreque sous une certaine condition sur les courbures, il n’existe pas une immersion minimale de Mdans N .

Dans la deuxième partie de cet article, on fait la même chose, mais on étudie le cas où M admetune p-forme harmonique non triviale et un nombre de betti non nul.

3

3 Définitions et préliminaires

On admet dans cet article que (Mm, g) est une variété riemannienne de dimension m immergéeisométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn, h) de dimension n avec n > m. Soitl’identité φ cette immersion et soit (ei)i=1,...,m une base orthonormale sur M . On note par ∇ laconnexion de Levi-Civita de M et par ∇ celle de N .

Le tenseur de courbure d’ une variété riemannienne (Mm, g) est défini par :

R : χ(M)×χ(M)× χ(M)× χ(M) →C∞(M)

(X, Y, Z, T ) →R(X, Y, Z, T ) = g(R(X, Y, Z), T )

avec R(X, Y )Z = ∇[X,Y ]Z − [∇X ,∇Y ]Z. Dans la suite on notera R(∂i,∂j ,∂k,∂l) par Rijkl.

Le tenseur de Ricci est un 2-tenseur symétrique donné par :

Riccip(Xp, Yp) = X ipY

jp g

klp Rkijl(p).

Finalement, on définit la courbure scalaire comme étant la trace du tenseur de Ricci.D’autre part, si on suppose que Π est un plan de TpM engendré par {Xp,Yp}, alors on définit lacourbure sectionnelle par :

kp(Π) =R(Xp, Yp, Xp, Yp)

‖Xp‖2‖Yp‖2− < Xp, Yp >2.

De plus, si (Mm, g) est isométriquement immergée dans une autre variété riemannienne (Nn, h),alors la courbure moyenne est donnée par :

H(x) =1

m

m∑i=1

ki(x),

où les ki sont les valeurs propres de la deuxième forme fondamentale de l’immersion B(X, Y ).

Le produit scalaire entre deux p-formes ω et θ est donné par :

< θ, ω >=1

p!

m∑i1,...,ip=1

θi1...ipωi1...ip ,

où ωi1...ip , est la notation adaptée à ω(ei1 , ..., eip).

Le produit intérieur d’un champ de vecteur X ∈ χ(M) par une p-forme ω est :

iXω(X1, ..., Xp−1) = ω(X,X1, ..., Xp−1),

4

avec X1, .., Xp−1 sont des champs de vecteurs sur M . De même, on définit le produit intérieurd’une q-forme par ω comme étant :

(3.1) iX1∧...∧Xqω(Y1, ..., Yp−q) = ω(Xq, ..., X1, Y1, ..., Yp−q),

pour tout Y1, .., Yp−q ∈ χ(M).

Pour une p-forme α sur M , on définit la dérivée covariante de α par :

(∇α)(X,X1, ..., Xp) = Xα(X1, ..., Xp)−m∑i=1

α(X1, ...,∇XXi, ..., Xp).

Une p-forme α est dite parallèle si∇α = 0.Si (Mm, g) est de plus orientée, alors on définit l’opérateur de Hodge par :

? : ∧pM → ∧m−pMω → (?ω)(X1, ..., Xm−p)ϑg = ω ∧X∗1 ∧ ... ∧X∗m−p,

où ϑg est une forme volume sur ∧pM .Soient ω une p-forme sur M , θ une q-forme sur M et X ∈ χ(M). Alors on a :

(3.2) iX(ω ∧ θ) = iXω ∧ θ + (−1)pω ∧ iXθ.

Si on note par X∗ la forme duale de X , on aura :

(3.3) < iXω, θ >=< ω,X∗ ∧ θ > .

Si M est orientée, alors l’opérateur de Hodge ? vérifie l’égalité suivante :

(3.4) iX(?ω) = (−1)p ? (X∗ ∧ ω).

Soient α une 1-forme à valeur dans R et β une 1-forme à valeur dans un fibré vectoriel. On définitle 2-tenseur α ∨ β par :

(α ∨ β)(X, Y ) = α(X)β(Y ) + α(Y )β(X),

où X et Y sont des champs des vecteurs sur M .

Si la variété riemannienne (Mm, g) est compacte et ω une p-forme sur M , alors on définit lelaplacien de Hodge de Rham par : ∆ω = dd∗ω + d∗dω, où d∗ est l’adjoint de d pour le scalaire

suivant : (α, β) =

∫M

< α, β > ?1 =

∫M

α ∧ ?β.

5

la proposition suivante va nous donner l’expression de∇∗∇α suivant une base orthonormale (ei)i.

Proposition 3.1 Soient (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m et α unep-forme sur M , alors on a :

∇∗∇α = −m∑i=1

∇ei∇eiα +m∑i=1

∇∇eieiα,

où ∇∗ est l’adjoint de∇ pour le scalaire donné ci-dessus.

Preuve : Soient α et β deux p-formes, la compatibilité de∇ avec la métrique nous donne :

< ∇α,∇β >=m∑i=1

< ∇eiα,∇eiβ >=m∑i=1

(ei < α,∇eiβ > − < α,∇ei∇eiβ >).

On définit le champ de vecteurs X de χ(M) tel que g(X, ei) =< α,∇eiβ >, alors l’égalitédevient :

< ∇α,∇β > =m∑i=1

eig(X, ei)−m∑i=1

< α,∇ei∇eiβ >

=m∑i=1

g(∇eiX, ei) +m∑i=1

g(X,∇eiei)

−m∑i=1

< α,∇ei∇eiβ >

= div(X)+ < α,m∑i=1

∇∇eieiβ −

m∑i=1

∇ei∇eiβ > .

En intégrant sur M , et par la formule de Stokes, on trouve que :∫M

< ∇α,∇β > ϑg = 0 +

∫M

< α,m∑i=1

(∇∇eiei−∇ei∇ei)β > ϑg.

C’est ce qu’il fallait démontrer. �

Proposition 3.2 (Formule de Weitzenböck) Soit (Mm, g) une variété riemannienne compactede dimension m et α une p-forme sur M alors :

(3.5) ∆α = ∇∗∇α +Rp(α),

oùRp(α) =m∑

i,j=1

ej ∧ (ieiR(ej, ei)α).

Preuve : En utilisant le fait que dα =m∑i=1

ei ∧∇eiα et d∗α = −m∑i=1

iei∇eiα, on a :

6

∆α = −d(m∑i=1

iei∇eiα) + d∗(m∑i=1

ei ∧∇eiα)

= −m∑i=1

d(iei∇eiα) +m∑i=1

d∗(ei ∧∇eiα)

= −m∑

i,j=1

ej ∧∇ej(iei∇eiα)−m∑

i,j=1

iej∇ej(ei ∧∇eiα)

= −m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα) + iei(∇ej∇eiα))−

m∑i,j=1

iej(∇eiei ∧∇eiα + ei ∧∇ej∇eiα).

Ici, on a utilisé le fait que ∇X(iY α) = i∇XY α + iY (∇Xα), pour tout p-forme α et pour tousvecteurs X et Y . D’où :

∆α = −m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))−

m∑i,j=1

ej ∧ iei(∇ej∇eiα)

−m∑

i,j=1

iej(∇ejei ∧∇eiα)−m∑

i,j=1

iej(ei ∧∇ej∇eiα)

= −m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))−

m∑i,j=1

ej ∧ (iei(∇ej∇eiα))

−m∑

i,j=1

(iej(∇ejei)) ∧ (∇eiα) +m∑

i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)

−m∑

i,j=1

(iej(ei)) ∧ (∇ej∇eiα) +m∑

i,j=1

ei ∧ (iej(∇ej∇eiα)).

Puisque (∇Xα)Y = Xα(Y )− α(∇XY ) pour toute 1-forme α et vecteurs X et Y , alors :

∆α = −m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))−

m∑i,j=1

ej ∧ (iei(∇ej∇eiα))

−m∑

i,j=1

(ej(δji )− < ei,∇ejej >)∇eiα +

m∑i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)

−m∑

i,j=1

∇ei∇eiα +m∑

i,j=1

ei ∧ (iej(∇ej∇eiα)).

Donc, on en déduit que :

7

∆α = −m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))−

m∑i,j=1

ej ∧ (iei(∇ej∇eiα))

+m∑

i,j=1

< ∇ejej, ei > ∇eiα +m∑

i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)

−m∑i=1

∇ei∇eiα +m∑

i,j=1

ei ∧ (iej(∇ej∇eiα))

= ∇∗∇α +m∑

i,j=1

ej ∧ (iei(R(ej, ei)α−∇[ej ,ei]α))

+m∑

i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)−m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))

= ∇∗∇α +m∑

i,j=1

ej ∧ (iei(R(ej, ei)α))−m∑

i,j=1

ej ∧ iei∇[ej ,ei]α

+m∑

i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)−m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα)).

Maintenant, on va estimer les trois derniers termes de l’égalité.

−m∑

i,j=1

ej ∧ (iei∇[ej ,ei]α) +m∑

i,j=1

(∇ejei) ∧ (iej∇eiα)−m∑

i,j=1

ej ∧ (i∇ej ei(∇eiα))

=−m∑

i,j=1

ej ∧ (iei∇[ej ,ei]α)−m∑

i,j,k=1

< ∇ejek, ei > ek ∧ (iej∇eiα)

+m∑

i,j,k=1

ej ∧ (i<∇ej ek,ei>ek∇eiα)

=−m∑

i,j=1

ej ∧ (iei∇[ej ,ei]α)−m∑

j,k=1

ek ∧ (iej∇∇ej ekα) +

m∑j,k=1

ej ∧ (iek∇∇ej ekα)

=−m∑

j,k=1

ek ∧ (iej∇[ek,ej ]α) +m∑

j,k=1

ek ∧ (iej(∇∇ekejα−∇∇ej ek

α)) = 0 �

Conséquence du théorème de Weitzenböck :

Le théorème de Weitzenböck nous conduit au résultat suivant :

(3.6)1

2∆|α|2 =< ∆α, α > −|∇α|2− < Rp(α), α > .

En effet : le scalaire de (3.5) par α nous donne que :

8

< ∆α, α > = −m∑i=1

< ∇ei∇eiα, α > + < Rp(α), α >

= −m∑i=1

(ei < ∇eiα, α > − < ∇eiα,∇eiα >)+ < Rp(α), α >

= −m∑i=1

(ei(ei(< α, α >)− < ∇eiα, α >)− < ∇eiα,∇eiα >)+ < Rp(α), α >

= −m∑i=1

ei(ei(|α|2)) + |∇α|2 +m∑i=1

ei(< ∇eiα, α >)+ < Rp(α), α >

= −m∑i=1

ei(ei(|α|2)) +m∑i=1

ei(1

2ei(|α|2)) + |∇α|2+ < Rp(α), α >

=1

2∆|α|2 + |∇α|2+ < Rp(α), α > .

Ce qui termine la preuve. �

Maintenant, on va expliciter la valeur de < Rp(α), α > par la proposition suivante.

Proposition 3.3 On a l’égalité suivante :

(3.7) < Rp(α), α >=m∑

i,j=1

Ricij < ieiα, iejα > −1

2

m∑i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ejα, iek∧elα >,

pour toute p-forme α sur M .

Preuve : En utilisant le fait que R(ei, ej)α =m∑

i,j=1

R(ei, ej)ek ∧ iekα, on calcule :

< Rp(α), α > = −m∑

i,j,k=1

< iei(R(ei, ej)ek ∧ iekα), iejα >

= −m∑

i,j,k=1

(< iei(R(ei, ej)ek) ∧ iekα, iejα > − < R(ei, ej)ek ∧ iei(iekα), iejα >)

= −m∑

i,j,k=1

< R(ei, ej)ek, ei >< iekα, iejα >

+m∑

i,j,k=1

<m∑l=1

< R(ei, ej)ek, el > el ∧ iei(iekα), iejα >

=m∑

i,j,k=1

Rkiji < iekα, iejα > +m∑

i,j,k,l=1

Rijkl < iei(iekα), iel(iejα) >

=m∑

i,j=1

Ricij < ieiα, iejα > +m∑

i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ekα, iel∧ejα > .

9

En applicant l’identité de Bianchi à la deuxième sommation, on aura

m∑i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ekα, iel∧ejα > = −m∑

i,j,k,l=1

Rjkil < iei∧ekα, iel∧ejα >

−m∑

i,j,k,l=1

Rkijl < iei∧ekα, iel∧ejα >

= −m∑

i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ekα, iel∧ejα >

−m∑

i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ejα, iek∧elα > .

Doncm∑

i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ekα, iel∧ejα >= −1

2

m∑i,j,k,l=1

Rijkl < iei∧ejα, iek∧elα > .

Ce qui donne l’égalité désirée. �

Soient X, Y, Z et T ∈ χ(M). On définit le tenseur Rφ(X, Y ) par :

Rφ(X, Y ) =m∑i=1

R(X, ei, Y, ei).

(dans la deuxième partie de l’ égalité X et Y sont vus dans χ(N) par dφ).

Le tenseur de courbure ρ est un 2-tenseur symétrique de ∧2N dans ∧2N défini par :

(3.8) < ρ(X ∧ Y ), Z ∧ T >= R(X, Y, Z, T ),

où X ,Y ,Z et T sont des champs de vecteurs sur N .

On notera dans la suite sur N , la plus grande valeur propre de ρ par ρ1 et la plus petite par ρ0, laplus grande courbure sectionnelle par k

1et la plus petite par k

0,la courbure scalaire de M par scal,

celle de N par scal.

Proposition 3.4 On a les inégalités suivantes en tout point de N :

ρ0 ≤ k0 ≤ k

1 ≤ ρ1.

Preuve : Démontrons d’abord la partie gauche de l’inégalité. Du fait que ρ est un tenseur symé-trique et ρ0 est la plus petite valeur propre de ρ on a : < ρ(X ∧ Y ), X ∧ Y >≥ ρ0|X ∧ Y |2. Ceciest équivalent à dire que R(X, Y,X, Y ) ≥ ρ0|X ∧ Y |2, et parsuite k|X ∧ Y |2 ≥ ρ0|X ∧ Y |2, quiest -après simplification- l’inégalité désirée. On démontre de la même façon la deuxième partie del’inégalité. �

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Proposition 3.5 (Wingarten) Soient p un point de M , Xp et Yp deux vecteurs de TpM , et Sp unvecteur normal de (TpM)⊥. Si X , Y , et S sont respectivement les extensions locales de Xp, Yp surχ(M) et Sp sur (TM)⊥, alors on a :

< S,B(X, Y ) >=< −∇XS, Y >,

où B est la deuxième forme fondamentale de l’immersion.

Preuve : En effet, du fait que∇XY est orthogonal à S on a :

< S,B(X, Y ) > =< S,∇XY −∇XY >

=< S,∇XY > .

Or, la compatibilité de la métrique h nous donne :

X < S, Y >=< ∇XS, Y > + < S,∇XY > .

Donc, on obtient :

< S,∇XY >= X < S, Y > − < ∇XS, Y >= − < ∇XS, Y > .

Cela nous conduit à ce qu’il fallait démontrer. �

Proposition 3.6 (Equation de Gauss) Soit (Mm, g) une variété riemannienne isométriquementimmergée dans une autre variété riemannienne (Nn, h), alors on a :

R(X, Y, Z, T ) = R(X, Y, Z, T )+ < B(X,Z), B(Y, T ) > − < B(X,T ), B(Y, Z) >,

pour tout X, Y, Z et T dans χ(M), où B est la deuxième forme fondamentale de l’immersion.

Preuve : Du fait que M est immergée dans N , alors pour tout Y, Z dans χ(M) on a l’égalitésuivante :

∇YZ = ∇YZ +B(Y, Z).

Soit X ∈ χ(M), alors en dérivant cette égalité par rapport à X , on aura :

∇X∇YZ = ∇X∇YZ +B(X,∇YZ) +∇XB(Y, Z).

Le produit scalaire par T , où T ∈ χ(M), donne :

(3.9) < ∇X∇YZ, T >=< ∇X∇YZ, T > +0+ < ∇XB(Y, Z), T > .

De la même façon on démontre que :

(3.10) < ∇Y∇XZ, T >=< ∇Y∇XZ, T > + < ∇YB(X,Z), T > .

D’autre part on a :∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z +B([X, Y ], Z).

11

Le produit scalaire par T nous donne :

(3.11) < ∇[X,Y ]Z, T >=< ∇[X,Y ]Z, T > +0.

Maintenant, retranchons (3.9) de (3.11) et ajoutons (3.10) pour avoir :

R(X, Y, Z, T ) = R(X, Y, Z, T )− < ∇XB(Y, Z), T > + < ∇YB(X,Z), T > .

Wingarten appliqué à cette égalité permet d’obtenir :

∇XB(Y, Z), T >= − < B(X,T ), B(Y, Z) >

pour tout X, Y, Z et T dans χ(M). On en déduit le résultat demandé. �

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4 Géometrie d’une sous variété admettant une p-forme paral-lèle

Dans cette partie, on cherche des conditions sur les courbures de N pour avoir une immersion nonminimale d’une variété riemannienne M dans une autre variété riemannienne N , dans le cas où Madmet une p-forme parallèle non triviale qu’on va noter par ω.

4.1 Résultat principalTheorème 4.1 Soit (Mm, g) une variété riemannienne de dimension m admettant une p-forme(1 ≤ p ≤ m) parallèle non triviale ω immergée isométriquement dans une autre variété rieman-nienne (Nn, h) de dimension n avec n > m. Si pour tout x dans N on a :

(4.12) (m− 1)k1< (p− 1)ρ0,

alors il n’existe pas une immersion minimale de (Mm, g) dans (Nn, h).

Preuve : On suppose que l’immersion φ est minimale et l’inégalité (4.12) est satisfaite. Du faitque ω est une p-forme parallèle, alors on a :

(4.13) 0 =< Rp(α), α >=∑i,j

Ricij < ieiω, iejω > −1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > .

En applicant Gauss (voir 3.6) à chaque sommation on aura :

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω > =∑i,j,k

Rikjk < ieiω, iejω >

=∑i,j,k

(Rikjk+ < Bij, Bkk > − < Bik, Bjk >) < ieiω, iejω >

=∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > +m∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >

−∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω > .(4.14)

De même, on a :

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > =∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >

+∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω >

−∑i,j,k,l

< Bil, Bjk >< iei∧ejω, iek∧elω >

=∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >

+ 2∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > .(4.15)

13

En remplaçant chaque sommation par sa valeur dans (4.13), on obtient :

0 =∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > +m∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >

− 1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > −∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

−∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > .(4.16)

Maintenant, on va introduire l’opérateur B+(ω) =m∑i=1

ieiω∧B(ei, .) pour estimer les deux derniers

termes. En effet, la norme de cet opérateur est égale à

|B+(ω)|2 =1

p!

∑1≤i,j,i1,...,ip≤m

< (ieiω ∧B(ei, .))i1...ip , (iejω ∧B(ej, .))i1...ip >

=1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i,j,s,t

< (−1)s+1B(ei, eis)ieiω(ei1 , ..., eis , ..., eip),

(−1)t+1B(ej, eit)iejω(ei1 , ..., eit , ..., eip) >

=1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,s,t

(−1)s+t < Biis , Bjit > ωii1...is...ipωji1...it...ip .

On décompose la dernière sommme aux cas où s = t et s 6= t pour obtenir :

14

|B+(ω)|2 =1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,s=t

< Biis , Bjis > ωii1...is...ipωji1...is...ip

+1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,s 6=t

(−1)s+t < Biis , Bjit > ωii1...is...ipωji1...it...ip

=1

(p− 1)!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,k

< Bik, Bjk > ωii1...ip−1ωji1...ip−1

− 1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,s<t

< Biis , Bjit > ωiiti1...is...it...ipωjisi1...is...it...ip

− 1

p!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,s>t

< Biis , Bjit > ωiiti1...it...is...ipωjisi1...it...is...ip

=∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

− 1

(p− 2)!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,k,l

< Bik, Bjl > ωili1...ip−2ωjki1...ip−2

=∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

+1

(p− 2)!

∑1≤i1,...,ip≤m

i.j,k,l

< Bik, Bjl > ωiji1...ip−2ωkli1...ip−2

=∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω > +∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > .

En remplaçant |B+(ω)|2 par sa valeur dans (4.16), et tenant compte de la minimalité de l’immer-sion, on aura :

0 =∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > +0− 1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > −|B+(ω)|2.

D’où on obtient :

(4.17) 0 ≤ |B+(ω)|2 =∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > −1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > .

Dans le but d’estimer les deux termes à droite de l’égalité de (4.17), on définit le tenseur

X i1...ip =m∑i=1

ωii1...ip−1ei et la 2-forme θi1...ip−2 = 12

m∑i,j=1

ωiji1...ip−2ei ∧ ej . D’une part, on a :

15

∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > =1

(p− 1)!

∑i1,...,ip−1

i.j,k

R(ei, ek, ej, ek)ωii1...ip−1ωji1...ip−1

=1

(p− 1)!

∑i1,...,ip−1

i.j,k

R(eiωii1...ip−1 , ek, ejωji1...ip−1 , ek)

=1

(p− 1)!

∑i1,...,ip

Rφ(X i1,...,ip , X i1,...,ip)

=1

(p− 1)!

∑i1,...,ip

k

k(X i1,...,ip , ek)[|X i1,...,ip|2− < X i1,...,ip , ek >2]

≤ k1 1

(p− 1)!

∑i1,...,ip

[m∑k=1

|X i1,...,ip |2 −m∑k=1

− < X i1,...,ip , ek >2]

≤ k1 1

(p− 1)!

∑i1,...,ip

[m|X i1,...,ip|2 − |X i1,...,ip |2]

≤ m− 1

(p− 1)!k1 ∑i1,...,ip

|X i1,...,ip |2

≤ m− 1

(p− 1)!k1(p!|ω|2) = p(m− 1)k

1|ω|2

≤ p(p− 1)ρ0(φ(x))|ω|2.

D’autre part, on a :

1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > =1

2(p− 2)!

∑i,j,k,l

ρ(ei ∧ ej, ek ∧ el)(∑

i1,...,ip−2

ωiji1...ip−2ωkli1...ip−2)

=1

2(p− 2)!

∑i1,...,ip−2

i,j,k,l

ρ(ωiji1...ip−2ei ∧ ej, ωkli1...ip−2ek ∧ el)

=2

(p− 2)!

∑i1,...,ip−2

ρ(θi1...ip−2 , θi1...ip−2)

≥ 2

(p− 2)!ρ0

∑i1,...,ip−2

|θi1...ip−2|2

=1

(p− 2)!ρ0

∑i1,...,ip

ω2i1,...,ip

=p!

(p− 2)!ρ0|ω|2 = p(p− 1)ρ0(φ(x))|ω|2.

Enfin on constate que 0 ≤ |B+(ω)|2 < 0, ce qui implique que B+(ω) = 0, et ceci conduit à unecontradiction �

Remarque 4.2 Ce théorème n’a d’interêt que si la coubure sectionnelle est négative. Sinon, etd’après l’inégalité de la proposition 3.4, l’inégalité (4.12) ne peut plus être établie.

16

Exemple : (Espaces Hyperboliques Hn) Il n’existe pas une immersion minimale d’une variétériemannienne de dimension m admettant une p-forme parallèle non triviale dans Hn tant que m >p, puisque l’inégalité (4.12) est toujours satisfaite.

Dans la suite, on va trouver une autre condition de pincement sur les courbures en présence d’unep-forme parallèle non triviale.

Theorème 4.3 Soit (Mm, g) une variété riemannienne orientée de dimension m admettant une p-forme (1 ≤ p ≤ m) parallèle non triviale ω et immergée isométriquement dans une autre variétériemannienne (Nn, h) de dimension n avec n > m. Si pour tout x ∈ N on a :

(4.18) scal(x) < (n−m)(n+m− 1)k0(x) + (p(p− 1) + (m− p)(m− p− 1))ρ0,

alors il n’existe pas une immersion minimale de M dans N .

Preuve : On suppose que l’immersion φ est minimale, et l’inégalité (4.18) est satisfaite, alorsd’après la preuve du théorème 4.1, on a :

|B+(ω)|2 ≤∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > −p(p− 1)ρ0(φ(x))|ω|2.

Du fait que M est orientée, alors on peut parler de ?ω, qui est une (m − p)-forme parallèle car ωl’est. D’où :

|B+(ω)|2 + |B+(?ω)|2 ≤∑i,j

(Rφ)ij(< ieiω, iejω > + < iei ? ω, iej ? ω >)

− (p(p− 1) + (m− p)(m− p− 1))ρ0(φ(x))|ω|2.On estime ensuite la sommation dans la partie droite de l’inégalité en s’aidant des égalités (3.3) et(3.4) dans le calcul.

∑i,j

(Rφ)ij(< ieiω, iejω > + < iei ? ω, iej ? ω >) =∑i,j

((Rφ)ij < ieiω, iejω >

+ (Rφ)ij < iei ? ω, iej ? ω >)

=∑i,j

((Rφ)ij < ieiω, iejω >

+ (Rφ)ij < (−1)p ? (ei ∧ ω), (−1)p ? (ej ∧ ω) >)

=∑i,j

((Rφ)ij < ieiω, iejω > +(Rφ)ij < iej(ei ∧ ω), ω) >)

=∑i,j

((Rφ)ij < ieiω, iejω > +(Rφ)ij < iejei ∧ ω, ω >

− (Rφ)ij < ei ∧ iejω, ω >)

=∑i,j

((Rφ)ij < ieiω, iejω > +(Rφ)ij < δjiω, ω >

− (Rφ)ij < iejω, ieiω >)

=∑i

(Rφ)ii|ω|2.

17

Maintenant, on va estimer la courbure scalaire de N . Pour cela, soit {e1, ..., em, em+1, ..., en} unrépère orthonormal sur N , tel que {e1, ..., em} forme une base de TM , alors on a :

scal =m∑

i,k=1

R(ei, ek, ei, ek) +n∑

i,k=m+1k 6=i

R(ei, ek, ei, ek) + 2∑

i=1,...,mk=m+1,...,n

R(ei, ek, ei, ek)

≥∑i

(Rφ)ii + (n−m)(n−m− 1)k0

+ 2m(n−m)k0

=∑i

(Rφ)ii + (n−m)(n+m− 1)k0.

D’où on obtient l’inégalité suivante :

(4.19)m∑i=1

(Rφ)ii ≤ scal − (n−m)(n+m− 1)k0.

Enfin, on va obtenir cette inégalité qui contradit l’hypothèse donné :

0 ≤ |B+(ω)|2 + |B+(?ω)|2

≤m∑i=1

(Rφ)ii|ω|2 − (p(p− 1) + (m− p)(m− p− 1))ρ0

≤ |ω|2(scal − (n−m)(n+m− 1)k0 − (p(p− 1) + (m− p)(m− p− 1))ρ0).

Ceci finit la démonstration. �

18

5 Géométrie de sous variétés avec un nombre de betti non nulOn suppose dans cette partie, que M est compacte. On note par k(x) la plus petite valeur propre dela courbure de Ricci de M au point x et par k0 le minimum de k(x) pour x dans M . D’autre part,si k

1est majorée alors on note par k

1

max le maximum de k1

sur N , et par ρ1max celle de ρ1 sur N .

5.1 Deuxième résultatDans cette partie, on donne des conditions de pincement sur la courbure d’une variété riemannienneM isométriquement immergée dans N pour avoir la non minimalité de l’immersion.

Proposition 5.1 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 isométri-quement immergée dans une autre variété riemannienne (Nn, h). Alors pour toute p-forme ω surM on a :

(5.20) < Rp(ω), ω >≥ p(pk(x)−(p−1)((m−1)k1+ρ1)(φ(x))−m(

p− 1√p

)|H(x)||B(x)|)|ω|2,

où H est la courbure moyenne de l’immersion.

Preuve : En utilisant la formule (3.7), on démontre facilement le cas p = 1.

Supposons maintenant que p ≥ 2. On définit l’opérateur B−(ω) par :

(5.21) B−(ω) =1

(p− 2)!

∑i,i1,...,ip−2≤m

((iei∧ei1∧...∧eip−2ω) ∨B(ei, .))⊗ (e∗i1 ∧ ... ∧ e

∗ip−2

).

La norme de B−(ω) est égale à :

(5.22) |B−(ω)|2 =1

(p− 2)!

∑j,k,i1,...,ip−2≤m

|B−(ω)jki1...ip−2|2.

Maintenant, on calcule

19

(p− 2)!

2|B−(ω)|2 =

1

2

m∑j,k,i1,...,ip−2=1

|B−(ω)jki1...ip−2 |2

=1

2

∑i1,...,ip−2

i,j,k,l

< ((iei∧ei1∧...∧eip−2ω) ∨B(ei, .))kl, ((iej∧ei1∧...∧eip−2

ω) ∨B(ej, .))kl >

=∑

i1,...,ip−2i,j,k,l

(iei∧ei1∧...∧eip−2ω)k(iej∧ei1∧...∧eip−2

ω)k < Bil, Bjl >

+∑

i1,...,ip−2i,j,k,l

(iei∧ei1∧...∧eip−2ω)k(iej∧ei1∧...∧eip−2

ω)l < Bil, Bjk >

=∑

i1,...,ip−2i,j,k,l

< Bil, Bjl > ωiki1...ip−2ωjki1...ip−2+ < Bil, Bjk > ωiki1...ip−2ωjli1...ip−2

= (p− 1)!∑i,j,k

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

− (p− 2)!∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > .

Ce qui donne l’égalité suivante :

1

2|B−(ω)|2 = (p− 1)

∑i,j,k

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω > −∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > .

En utilisant (3.7) , (4.14) et (4.15) on obtient

20

1

2|B−(ω)|2− < Rp(ω), ω > +p

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >= (p− 1)∑i,j,k

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

−∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > −∑

i,j=1...m

Ricij < ieiω, iejω >

+1

2

∑i,j,k,l=1...m

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω > +p∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

= (p− 1)∑i,j,k

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω > −∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω >

−∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > −m∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >

+∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω > +1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >

+∑i,j,k,l

< Bik, Bjl >< iei∧ejω, iek∧elω > +p∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω >

+ pm∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > −p∑i,j

< Bik, Bjk >< ieiω, iejω >

= (p− 1)∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > +1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >

+m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .

On en conclut que

1

2|B−(ω)|2 =< Rp(ω), ω > −p

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

+ (p− 1)∑i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω > +1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >

+m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .

Maintenant, et d’une façon semblable à la démarche suivie dans la preuve du théorème 4.1, ondémontre que : ∑

i,j

(Rφ)ij < ieiω, iejω >≤ p(m− 1)k1(φ(x))|ω|2

et

1

2

∑i,j,k,l

Rijkl < iei∧ejω, iek∧elω >≤ p(p− 1)ρ1(φ(x))|ω|2.

21

Par conséquence on aura :

1

2|B−(ω)|2 ≤< Rp(ω), ω > −p

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

+ (p− 1)p(m− 1)k1(φ(x))|ω|2 + p(p− 1)ρ1(φ(x))|ω|2

+m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >

=< Rp(ω), ω > −p∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

+ p(p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

+m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .

Dans la suite, on va estimer le dernier terme, pour cela on suppose que la base orthonormale{ei}i=1,...m diagonalise le tenseur symétrique < B(X, Y ), H >, d’où on a le suivant :

∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > =1

(p− 1)!

∑i,i1,...,ip−1

ω2i,i1,...,ip−1

< Bii, H >

=1

p!

∑i,i1,...,ip−1

ω2i,i1,...,ip−1

×

(< Bii, H > + < Bi1i1 , H > +...+ < Bip−1ip−1 , H >)

≤ 1

p!

∑i,i1,...,ip−1

ω2i,i1,...,ip−1

(|Bii|+ |Bi1i1|+ ...+ |Bip−1ip−1|)|H|

≤√p

p!

∑i,i1,...,ip−1

ω2i,i1,...,ip−1

|B||H|.

Ce qui nous permet de déduire l’inégalité

(5.23)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >≤√p|B||H||ω|2.

Or, la courbure Ricci est supérieure ou égale à sa plus petite valeur propre k multipliée par lamétrique, ceci nous donne :∑

i,j

Ricij < ieiω, iejω > ≥∑i,j

kδij < ieiω, iejω >

≥ k∑i

|ieiω|2

= k(1

(p− 1)!

∑i,i1,...,ip−1

ω2ii1...ip−1

)

= k1

(p− 1)!p!|ω|2

= kp|ω|2

22

Enfin, on en déduit que :

1

2|B−(ω)|2 ≤< Rp(ω), ω > −p(pk)|ω|2 + p(p− 1)((m− 1)k

1(φ(x)) + ρ1(φ(x)))|ω|2

+m(p− 1)(p√p

)|B||H||ω|2.

Le fait que le terme à gauche est positif nous donne le résultat voulu. �

Theorème 5.2 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 telle quebp(M) 6= 0 pour un entier naturel p ≥ 1. Alors il existe au moins un point x de M tel que :

(5.24)m√p

(p− 1

p)|B(x)||H(x)| ≥ k(x)− (

p− 1

p)((m− 1)k

1+ ρ1)(φ(x)),

pour toute immersion isométrique φ de (Mm, g) dans une autre variété riemannienne (Nn, h).

Preuve : Du fait que bp(M) 6= 0, alors il existe une p-forme harmonique non triviale telle que∆ω = 0. En intégrant l’égalité (3.6) sur M , on déduit que∫

M

< Rp(ω), ω >≤ 0.

Enfin, la proposition précédente nous donne ce qu’il fallait démontrer. �

Corollaire 5.3 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 immergéeminimalement et isométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn, h) de dimension navec n > m. Si ρ1 est majorée et existe p , 1 ≤ p ≤ m

2tel que

(5.25) k0 > (p− 1

p)((m− 1)k

1

max + ρ1max),

alors bp(M) = 0 pour tout q ∈ {1, ..., p}.

Preuve : Du fait que l’immersin est minimale alors H = 0. L’opérateur ρ est majoré doncρ1max existe, et comme ρ0 ≤ k

0 ≤ k1 ≤ ρ1 alors k est majorée aussi et k

1

max existe. Supposonsqu’il existe un entier q ∈ {1, ..., p} tel que bp(M) 6= 0 et que (5.25) est vérifiée. Alors d’après lethéorème précédent on a :

0 ≥ k(x)− (p− 1

p)((m− 1)k

1+ ρ1)(φ(x)).

Donc, on a l’inégalité suivante

k(x) ≤ (p− 1

p)((m− 1)k

1+ ρ1)(φ(x)),

et parsuite

k0 ≤ (p− 1

p)((m− 1)k

1

max + ρ1max)(φ(x)).

23

Ce qui contredit l’hypothèse �

Dans cette partie on pose des conditions sur le nombre de betti, la courbure scalaire de M , et lacourbure sectionnelle de N pour avoir la non minimalité de l’immersion.

Proposition 5.4 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m immergée mi-nimalement et isométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn, h) de dimension n avecn > m. Alors pour tout p ∈ {1, ...,m− 1} et pour toute p-forme ω sur M on a :

< Rp(ω), ω > +p

m− p< Rm−p(?ω), ?ω > ≥ (p(scal(x)− (m− 2)(m− 1)k

1+ ρ1)(φ(x))

− m(p− 1√p

+m− p− 1√m− p

)|H(x)||B(x)|)|ω|2,(5.26)

pour tout x dans M .

Preuve : D’après la preuve de la proposition précédente, on a :

0 ≤ 1

2|B−(ω)|2 ≤< Rp(ω), ω > −p

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

+ p(p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

+m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .

Ce qui donne que

< Rp(ω), ω > ≥ p∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

− p(p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

− m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .(5.27)

L’inégalité (5.27) appliquée à ?ω nous donne :

< Rm−p(?ω), ?ω > ≥ (m− p)∑i,j

Ricij < iei(?ω), iej(?ω) >

− (m− p)(m− p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

− m(m− p− 1)∑i,j

< Bij, H >< iei(?ω), iej(?ω) > .(5.28)

On multiplie (5.28) par pm−p et lui ajoute (5.27) pour avoir le suivant :

24

< Rp(ω), ω > +p

m− p< Rm−p(?ω), ?ω > ≥ p

∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

− p(p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

−m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω >

+p

m− p((m− p)

∑i,j

Ricij < iei(?ω), iej(?ω) >

− (m− p)(m− p− 1)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

−m(m− p− 1)∑i,j

< Bij, H >< iei(?ω), iej(?ω) >)

= p(∑i,j

Ricij < ieiω, iejω >

+∑i,j

Ricij < iei(?ω), iej(?ω) >)

− p(m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

− mp(m− p− 1)

p− 1

∑i,j

< Bij, H >< iei(?ω), iej(?ω) >

−m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .

Maintenant, on estime le premier terme à droite de l’inégalité précédente. En effet,

∑i,j

Ricij(< ieiω, iejω >+Ricij < iei(?ω), iej(?ω) >)

=∑i,j

Ricij(< ieiω, iejω > +Ricij < ei ∧ ω, ej ∧ ω >

=∑i,j

Ricij(< ieiω, iejω > +Ricij < iej(ei ∧ ω), ω >)

=∑i,j

Ricij < ieiω, iejω > +∑i

Ricii|ω|2 −∑i,j

Ricij < e∗i ∧ iejω, ω >

=∑i

Ricii|ω|2 = scal|ω|2.

L’inégalité sera donc

25

< Rp(ω), ω > +p

m− p< Rm−p(?ω), ?ω > ≥ pscal|ω|2

− p(m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))|ω|2

− mp(m− p− 1)

p− 1

∑i,j

< Bij, H >< iei(?ω), iej(?ω) >

− m(p− 1)∑i,j

< Bij, H >< ieiω, iejω > .(5.29)

D’après les inégalité (5.23) et (5.29), on obtient :

< Rp(ω), ω > +p

m− p< Rm−p(?ω), ?ω > ≥ p(scal(x)− (m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k

1(φ(x))))|ω|2

−m(p− 1√p

+m− p− 1√m− p

)|ω|2|B(x)||H(x)|. �

Theorème 5.5 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 telle quebp(M) 6= 0 pour un certain entier p ≥ 1. Alors pour toute immersion isométrique φ de (Mm, g)dans une autre variété riemannienne (Nn, h) de dimension n avec n > m, il existe au moins unpoint x de M tel que :

m(p− 1√p

+m− p− 1√m− p

)|B(x)||H(x)| ≥ scal(x)− (m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x))).

Preuve : Du fait que bp(M) 6= 0, il existe une p-forme harmonique non triviale ω telle que∆ω = 0. Mais l’opérateur de Hodge commute avec le Laplacien donc ?ω est aussi une (m − p)-forme harmonique non triviale. En intégrant (3.6) sur M on obtient que :∫

M

< Rp(ω), ω >≤ 0,

et ∫M

< Rm−p(?ω), ?ω >≤ 0.

D’après la proposition précédente, on aura :

0 ≥∫M

< Rp(ω), ω > +p

m− p

∫M

< Rm−p(?ω), ?ω >

≥∫M

p(scal(x)− (m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x)))

−m(p− 1√p

+m− p− 1√m− p

)|H(x)||B(x)|)|ω|2.

Ce qui donne l’inégalité désirée. �

26

Corollaire 5.6 Soit (Mm, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 immergéeisométriquement et minimalement par φ dans une autre variété riemannienne (Nn, h) de dimen-sion n avec n > m. Si ρ est majorée et :

(5.30) minM

(scal) > (m− 2)((m− 1)k1

max + ρ1max),

alors bp(M) = 0 pour tout p ∈ {1, ...,m}.

Preuve : Supposons que (5.30) est vérifiée et qu’il existe p ∈ {1, ...,m} tel que bp(M) 6= 0.Alors d’après théorème 5.5 on a

m(p− 1√p

+m− p− 1√m− p

)|B(x)||H(x)| ≥ scal(x)− (m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x))).

En tenant compte de la minimalité de l’immersion, l’inégalité sera :

0 ≥ scal(x)− (m− 2)(ρ1(φ(x)) + (m− 1)k1(φ(x))).

Ce qui contradit (5.30) �

27

6 Références[1] Carlson J., Toledo D. : Harmonic mappings of Kaehlerian manifolds to locally symmetric

spaces, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 69, (1989), 173-201.

[2] Corlette K. : Archimedean superrigidity and hyperbolic geometry, Ann. of Math., (2), 135,no.1, (1992), 165-182.

[3] Dajczer M., Rodriguez L. : Rigidity of a real Kaehler submanifolds, Duke Math. J., 53, 1,(1986), 211-220.

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