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MIDAS Technical Leader’s Group

콘크리트 구조물의 시간 종속 해석

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콘크리트의 시간 종속 해석 필자에게 가장 어려운 구조물 가운데 하나는 분할 시공되는 프리스트레스트 콘크리트 교량이다. 콘크리트의 크리프와 건조수축, 그리고 강재의 릴락세이션이 서로 얽혀 있기 때문에, 주어진 허용응력과 하중에 대해서 최적단면을 산출하는 “설계”는 물론이고 가정한 강성량과 강선 형상에 대해서 구조물의 응력을 구하는 “해석” 또한 쉽지 않다. 필자는 본 강좌에서 콘크리트의 시간 종속 해석에 대한 기본 이론과 실제로 이러한 기본이론으로 어떻게 콘크리트 교량의 시간 종속 해석을 하는지에 대해서 설명하고자 한다. 대형 구조해석 프로그램이 일반화된 현재, 수계산이나 극단적으로 단순화된 해석이론을 고집하는 것은 이상한 일이지만, 최소한의 이론적 지식도 없이 프로그램의 결과를 그대로 맹신하는 것은 더더욱 이상한 일이다. 본 강좌의 내용이 위의 두 이상한 일 사이에서 적절한 균형을 취하는 데 도움이 되기를 바란다.

목차 1. 콘크리트의 크리프, 건조수축과 강재의 릴락세이션 2. 비균열 단면의 응력과 변형 3. 응력법에 의한 비균열 단면의 시간 종속 해석 4. 변위법에 의한 비균열 단면의 시간 종속 해석 5. 프로그램을 이용한 비균열 단면의 시간 종속 해석

1. 콘크리트의 크리프, 건조수축과 강재의 릴락세이션

1) 머리말

프리스트레스 콘크리트 구조에서의 응력과 변형은 시간이 흐름에 따라 변화한다. 이는 시간이 흐름에 따라 콘크리트에는

크리프와 건조수축이 발생하고, 프리스트레싱 강재에는 릴락세이션이 발생하기 때문이다. 따라서 프리스트레스 콘크리트 구조의

응력과 변형의 시간종속해석에서는, 구조물에 적용된 각 재료의 응력과 변형이 시간의 흐름에 따라 어떻게 변화하는 가에 대한

시간 함수를 고려하여야 한다.

콘크리트의 탄성계수는 시간(재령)이 흐름에 따라 증가한다. 콘크리트에 응력이 작용하면 즉시 변형(instantaneous strain)이

발생하고 이 응력이 즉시 제거되지 않고 계속 작용하면 변형은 크리프 때문에 시간이 흐름에 따라 계속 증가하게 된다.

콘크리트의 즉시 변형량은 하중 재하시의 콘크리트의 재령에 따라서 변화하며, 크리프 변형량은 재하시의 콘크리트의 재령과

하중 재하 시간에 따라 변화하게 된다. 또한 크리프와 건조수축에 의한 변형량은 콘크리트의 품질과 주변환경 및 콘크리트

부재의 형상에 따라서 변화한다.

강재는 인장강도의 50% 이상의 응력을 받을 때 크리프 현상을 나타낸다. 실제적으로 프리스레싱 강재는, 사용상태에서

인장강도의50%~80% 정도의 응력을 받는다. 프리스트레싱 강재를 두 고정점 사이에서 긴장시키고 일정한 변형상태에서

방치하면, 크리프 때문에 시간이 흐름에 따라 응력이 점점 감소하게 된다. 프리스트레스트 콘크리트 부재에서 시간에 따른

긴장력의 손실과 이에 따른 변형을 계산할 때, 이러한 인장력의 릴락세이션을 고려하여야 한다.

콘크리트의 탄성계수, 크리프, 건조수축, 강재 릴락세이션의 시간에 따른 변화를 모사할 수 있는 공식들은 이미 많이

발표되었으며 CEB-FIP (MC-90), EC2-91, ACI Committee 209, BS 8110등이 대표적이다.

2) 콘크리트의 크리프

일반적인 콘크리트의 응력-변형 곡선은 그림 1.1과 같다.

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그림 1.1

일반적으로 사용하중 상태에서, 콘크리트의 응력은 변형에 비례한다고 가정한다. 응력이 작용할 때 발생하는 변형을 즉시

변형이라고 하며 다음과 같이 표현한다.

여기서 σc(t0)와Ec(t0)는 각각 하중이 재하되는 시점인 t0에서의 콘크리트의 응력과 탄성계수이다. Ec(t0)는 그림 1.1과 같이

정의되며 실제로는 응력에 비례하지만, 실무에서 설계시, 일반적으로 응력에 따른 변화는 무시한다. Ec(t0)는 일반적으로

콘크리트 강도의 평방근이나 삼승근에 비례한다고 가정하는데, 콘크리트 강도는 하중 재하시의 콘크리트 재령의 함수이다.

그림 1.2



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응력을 받고 있는 상태에서, 변형은 시간이 흐름에 따라 크리프 때문에 증가하며 시간 t에서의 총 변형, 즉 즉시 변형과 크리프

변형의 합계는 다음과 같다. (그림 1.2 참조)

계수 φ는 즉시 변형에 대한 크리프 변형의 비를 의미하며 하중 재하시의 재령t0가 이를수록, 응력이 재하되는 기간인 (t-t0)가

길어질수록 증가한다. 예를 들어t0가 한달, t가 무한대인 경우, 크리프 계수는 콘크리트의 품질, 주변의 온도 및 습도, 부재의

치수에 따라 달라지지만 대략 2.0~4.0 사이에 있다.

3) 콘크리트의 건조수축

콘크리트는 대기중에서 건조시키면 건조수축이 발생하고, 수중에서 양생시키면 팽창한다. 건조수축이나 팽창에 의한 체적

변화가 구속되어 있으면 응력이 발생한다. 철근 콘크리트 구조에서 이러한 구속은, 철근이나 지점 또는 구조물의 여러

부분에서의 체적 변화의 상이 때문에 발생하게 된다.

일반적으로 팽창에 의한 응력 변화는 무시하고 건조수축에 의한 응력 변화만을 고려하게 되는데 이는 건조수축에 의한 응력

변화의 절대치가 팽창에 의한 응력 변화의 절대치 보다 크고, 더 자주 발생하기 때문이다. 그러나 양자 사이에는 체적 변화량을

나타내는 부호의 차이 이외에는 아무런 차이가 없다. 건조수축이나 팽창에 의한 비구속 변형은 εcs로 나타낸다. 건조수축 이외의

다른 요인에 의한 변형의 부호규약을 따르기 위해서 εcs도 팽창일 경우를 정으로 표현한다. 따라서 콘크리트의 건조수축 εcs는

일반적으로 부의 양이 된다.

건조수축으로 인하여 발생하는 응력은 콘크리트의 크리프 효과 때문에 감소한다. 따라서 응력 해석에서 동시에 발생하는

크리프와 건조수축의 효과는 반드시 같이 고려하여야 한다. 응력 해석을 위해서는 비구속 건조수축의 양과 시간에 따른

건조수축 변화에 대한 표현식이 필요하게 된다. 건조수축은 습윤 양생이 끝나는 시간 ts에서부터 시작되며 시간 ts와 시간

t사이에서 발생하는 비구속 건조수축 변형은 다음 식으로 표현된다.

여기서 εcs0는 콘크리트가 굳은 다음부터 시간이 무한히 흐른 다음까지 발생하는 전체 건조수축으로서 콘크리트의 품질과

주위의 대기 습도에 따라 변화한다. 함수 βs(t-ts)는 CEB-FIP에 채택된 것으로 고려하는 부재의 크기와 형상의 함수이다.

임의의 시간 t1과 t2사이에서 발생하는 비구속 건조수축 εcs(t2,t1) 는 식(1.3)에서 t 대신에 각각 t2와 t1을 대입한 두 값의 차이로

다음과 같이 구할 수 있다.

εcs(t2,t1) = εcs0 {βs(t2-ts)- βs(t1-ts)}

4) 프리스트레싱 강재의 릴락세이션

프리스트레싱 강재의 크리프 효과는 보통 릴락세이션 시험으로 구한다. 릴락세이션 시험에서는 강선을 긴장한 다음 일정한

길이와 온도 하에서 오랜 시간 방치하고서 인장력의 손실을 측정한다. 이렇게 강선의 길이를 일정하게 유지하는 상태에서 구한,

다시 말하면 일정한 변형 상태에 대한 릴락세이션을 고유 릴락세이션 (intrinsic relaxation)이라고 하며 Δσpr로 표현한다. 응력

이완 와이어(stress-relieved wire)나 스트랜드에 대해서, 임의 시간 τ에서의 고유 릴락세이션의 일반적인 표현식은 다음과 같다.

여기서 fpy는 강재의 항복응력으로서 변형율 1%에 해당하는 응력이다. 인장강도 fptk에 대한 fpy의 비는, 프리스트레싱 바는

0.80, 저 릴락세이션(low-relaxation) 스트랜드는 0.90 정도이다. (τ-t0)는 텐던을 긴장하고 있는 시간을 의미한다.

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고유 릴락세이션의 양은 강재의 재질에 달려있다. MC-90에서는 세가지 class로 릴락세이션을 구분하고 있으며, 릴락세이션을

초기 응력 σp0에 대한 비율로 나타내고 있다. Class 1은 냉간 인발(cold-drawn) 와이어와 스트랜드, Class 2는 열처리된(quenched

and tempered) 와이어와, 저 릴락세이션을 위해서 안정화 시킨 냉간 인발 와이어와 스트랜드, Class 3는 중간 정도의

릴락세이션으로서 강봉에 해당된다.

고유 릴락세이션은 동일한 재질과 릴락세이션 시험 시간에 대하여, 강선의 초기 응력이 인장강도에 도달할수록 급속히

증가한다. 신뢰할 만한 릴락세이션 시험 결과가 없을 경우, MC-90은 1000시간에 대하여 그림1.3과 같은 고유 릴락세이션 값을

제안하고 있으며 50년 이후에 대한 릴락세이션은 이 값의 3배로 가정하고 있다.

EC2-91에서 제안하고 있는 릴락세이션은 MC-90과 조금 다르며 그림1.3에서 괄호 안의 값이다.

그림 1.3

초기응력에 대한 극한 고유 릴락세이션의 비는 다음과 같다.

σpr∞는 시간이 무한히 흐른 다음의 프리스트레스 강재의 고유 릴락세이션 값이다. 릴락세이션이란 인장력의 감소를 나타내므로

릴락세이션은 부의 값이 된다. σp0는 프리스트레싱 강재의 초기응력, fptk는 인장강도, η는 무차원 계수로서 프리스트레싱 강재의

재질에 따른 값이다.

식(1.5)는 λ≥0.4일 경우에만 유효하며 초기응력이 이보다 작은 경우에는 고유 릴락세이션의 영향을 무시할 수 있다.



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주어진 초기응력 σp0에 대하여 시험을 통하여 극한 고유 릴락세이션 Δσpr∞를 구할 수 있고, 이를 이용하여 식(1.5)로 부터η를

구할 수 있다. 다음에 다시 식(1.5)로부터 다른 초기응력 σp0에 대한 각각의 릴락세이션을 구할 수 있다.

고유 릴락세이션 시험의 결과는 보통 1,000시간에 대한 값으로 주어진다. 그러나 프리스트레스트 콘크리트 구조의 응력과 변형

해석시, 강재의 릴락세이션의 효과를 고려할 때는 시간의 흐름에 대한 고유 릴락세이션의 변화를 모사할 수 있는 식이

필요하다. 이러한 식들은 각각의 시방서에 잘 정리되어 있다.

릴락세이션은 온도가 증가함에 따라 급속히 증가한다. 그림 1.3은 일상 온도인 20℃에 대한 값이다. 증기 양생 등으로 인해서

온도가 높아지면 더 큰 릴락세이션 효과가 발생하게 된다.

5) 감소 릴락세이션 (reduce relaxation)

고유 릴락세이션의 값은 초기응력의 변화에 따라 크게 변화한다. 동일한 초기응력에 대해서, 일정한 길이를 유지하면서

릴락세이션 시험을 하는 경우와 프리스트레스트 콘크리트 안에 강선이 묻혀 있는 경우를 비교한다. 두가지 경우를 비교하면,

프리스트레스트 콘크리트 안에 묻혀 있는 경우의 텐던 긴장력이, 콘크리트의 크리프와 건조수축의 영향으로 더 빨리 감소한다.

콘크리트의 크리프와 건조수축으로 발생하는 이러한 프리스트레싱 강재 인장력의 감소는, 릴락세이션에 대해서는 마치 작용된

초기응력이 더 작은 것과 같은 효과를 나타낸다. 따라서 콘크리트 구조의 프리스트레스 감소를 예측할 때 적용하는

릴락세이션은 일정한 길이를 유지하는 상태의 시험에서 구한 고유 릴락세이션 보다는 더 작은 값이어야 한다.

콘크리트 구조의 프리스트레스 감소를 계산할 때 적용하는 감소 릴락세이션은 다음 식으로 표현할 수 있다.

여기서Δσpr은 일정한 길이를 유지하는 릴락세이션 시험에서 발생하는 고유 릴락세이션이며 χr은 무차원 계수로서 1보다 작은

값이다. χr의 값은 표1.1이나 그림1.4로 부터 구할 수 있다.

표 1.1

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그림 1.4

χr은 λ와 Ω의 함수인데, λ는 식(1.6)과 같이 프리스트레싱 강재의 인장강도에 대한 초기응력의 비이며, Ω는 다음과 같다.

σp0는 프리스트레싱 강재의 초기응력, Δσps는 크리프, 건조수축 및 릴락세이션 때문에 발생하는 프리스레싱 강재의 응력 변화,

Δσpr은 일정한 길이를 유지하는 릴락세이션 시험에서 발생하는 고유 릴락세이션이다.

식(1.8)에서 전체 프리스트레스 감소 Δσps는 감소 릴락세이션의 함수이기 때문에 초기단계에서는 미지의 값이고, 반복계산으로

구하여야 한다. 우선 감소계수 χr을 0.7 정도로 가정하고 전체 프리스트레스 감소 Δσps를 구한 후, χr를 보정하면서

반복계산한다.

6) 크리프 중첩

식(1.2)는 전체 변형, 즉 즉시 변형과 크리프 변형은 작용하는 응력에 비례한다는 가정을 내포하고 있다. 이러한 선형관계는

사용하중 상태의 응력범위 내에서는 합리적인 가정이며, 따라서 응력의 증감이나 건조수축 때문에 발생하는 변형을 서로

중첩할 수 있다. 따라서 작용하는 응력의 크기가 시간이 흐름에 따라 변화하면, 작용하는 하중과 건조수축 때문에 발생하는

콘크리트의 전체 변형은 다음과 같이 구할 수 있다.(그림 1.5 참조)



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그림 1.5

t0 초기응력이 작용할 때의 콘크리트 재령

t 변형을 구하는 시점에서의 콘크리트 재령

τ t0와 t 사이의 임의의 시간

σc(t0) : 콘크리트 재령t0에서 작용하는 초기응력

dσc(τ) : 시간 τ에서 작용하는 응력 증감

Ec(τ) : 재령 τ에서 콘크리트 탄성계수

φ(t,τ) : 하중이 콘크리트 재령 τ에서 재하된 경우, 시간 t에서의 크리프 계수

εcs(t,t0) : 시간t0와 t 사이에서 발생하는 비구속 건조수축

7) Aring 계수χ : 정의

식(1.9)는 같은 재령에서 도입된 단위응력의 증감이 같은 시간 동안 유지된다면 동일한 크리프 변형이 발생한다는 가정을

내포하고 있다.

식(1.9)에서의 적분은 콘크리트의 응력 증가 Δσc(t)로 인하여 발생하는 즉시 변형과 크리프 변형을 의미한다.(그림 1.5 참조)

이러한 응력 증가는 시간 t0와 t 사이에서 점진적으로 작용한다. 이렇게 점진적으로 작용하는 응력은, 시간 t0 에서 한꺼번에

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작용하고 (t-t0)의 기간 동안 유지되는 동일한 크기의 응력에 비해서 더 작은 크기의 크리프 변형을 유발하게 된다. 다음

식에서는 응력 증분 Δσc(t)를 시간 t0에서 전 강도로 한꺼번에 작용하고 시간 t까지 일정하게 작용하는 응력으로 고려하고,

크리프 계수 φ(t, t0)를 감소된 값인 χφ(t, t0)로 고려한다. 여기서 χ=χ(t, t0)는 무차원 계수로서 1보다 작은 값이며 Aging

계수라고 한다. 이러한 개념의 변화로, 식(1.9)의 적분은 다음과 같이 사라지게 된다.

식(1.10)은 시간 t0와 t 사이에서, 비구속 건조수축과 크기가 변화하는 응력으로 인하여 발생하는 변형을 의미한다. 식(1.10)

우측의 첫번째 항은 시간 t0에서 작용하고 크기의 변화 없이 시간 t까지 일정하게 작용하는 응력 σc(t0)로 인하여 발생하는 즉시

변형과 크리프 변형을 의미한다. 두번째 항은 시간 t0와 t 사이에서 0에서 Δσc(t)까지 점진적으로 크기가 변화하는 응력

증감으로 인하여 발생하는 즉시 변형과 크리프 변형을 의미한다. 마지막 항은 같은 시간 범위에서 발생하는 비구속

건조수축이다.

작용하는 응력이 시간에 따라 변화하는 실제 문제로서 프리스트레스트 콘크리트 단면을 고려하면, 시간 t0에서 프리스트레싱이

도입되면 이 프리스트레싱으로 인하여 콘크리트 단면에는 압축이 발생하는데 이 압축은 시간이 흐름에 따라 크리프, 건조수축

및 릴락세이션의 효과 때문에 발생하는 프리스트레싱의 손실로 인하여 점진적으로 변화한다.

식(1.10)에서와 같이 Aging 계수로서 χ를 도입하면 점진적으로 도입되는 응력 증감 Δσc로 인하여 야기되는 변형을 간단하게

해석할 수 있다. 또 다른 한편으로는, 응력 증감 Δσc를 이러한 응력 증감으로 인하여 발생하는 변형의 항으로도 표현할 수 있다.

실제 계산 시에는 Aging 계수는 도표로부터 구하거나 가정하게 되는데 일반적으로 0.6~0.9의 범위에서 변화하게 된다. Aging

계수를 구하는 방법을 다음 절에서 설명하지만, 실제 설계에서 그리 중요한 문제는 아니다. 중요한 것은 Aging 계수의 의미와

식(1.10)에서 어떻게 적용되는지를 이해하는 것이다. 실제로 χ는 항상 φ의 계수로 이용되는데, φ 자체를 정확히 결정할 수 없기

때문에 χ를 정확히 구할 필요는 없다.

Bazant가 EC2-91과 ACI Committee 209에 기초해서 구한 Aging 계수는 다음과 같다.



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8) Aging 계수 χ의 방정식

시간 t0와 t 사이에서 응력 변화는 다음과 같이 표현할 수 있다.(그림 1.5 참조)

여기서 ξ1은 무차원 시간 함수로서 응력-시간 곡선의 형상을 나타낸다. 임의의 시간 τ에서의 ξ1 값은 시간 (t-t0) 사이에서의

전체 응력 변화에 대한, 시간 t0와 τ사이에서의 응력 변화의 비를 의미한다. 형상함수 ξ1은 시간 τ가 t0에서 t까지 변화함에

따라 0에서 1사이에서 변화한다.

식(1.11)을 시간에 대해서 미분하면 다음과 같다.

식(1.12)를 식(1.9)에 대입하면,

식(1.13)과 식(1.10)을 비교하면 aging 계수에 대한 다음 식을 얻을 수 있다.

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식(1.14)에는 ξ1, Ec(τ), φ(t,τ)의3가지의 시간함수가 포함되어 있다. 여기서Ec(τ)와 φ(t,τ)는 콘크리트의 품질과주변의 대기 조건에

따라 변화한다.

실제 문제에서는 응력 σc(τ)의 실제 변화 형상을 알 수 없고 이 형상을 결정하는 함수 ξ1를 어떠한 형태로던 가정하여야 한다.

보통 시간 함수 ξ1는 다음 절에서 설명하는 콘크리트의 시간-릴락세이션 곡선과 같은 형상이라고 가정한다.

앞에서 설명한 바와 같이aging 계수 χ는 한 종류 또는 합성형과 같이 여러 종류의 콘크리트로 구성된 프리스트레스트 콘크리트

단면에서, 시간에 따라서 변화하는 응력으로 인하여 발생하는 변형의 변화를 추적 계산하기 위한 것이다. 건조수축, 크리프,

리랄세이션은 콘크리트와 강재의 응력을 시간의 흐름에 따라 점진적으로 변화시킨다. 식(1.10)을 이용하여 미리 계산된 aging

계수 χ 를 이용하여 변형이나 응력을 구하면, 이 계산결과에는 기간 (t-t0) 사이에서의 응력 변화 형상에 대한 위의 가정을

자동적으로 포함하게 된다. 이러한 근사화로 인하여 발생하는 오차는 일반적으로 작다.

9) 콘크리트의 릴락세이션

여기서는 건조수축의 영향은 제외하고 오직 크리프의 영향만을 고려한다.

재령 t0에서 콘크리트 부재에 변형 εc가 발생하면 이에 대응하는 즉시 응력(instantaneous stress)은 다음과 같다.

여기서Ec(t0)는 재령t0에서 콘크리트 탄성계수이다. 만약 부재의 길이가 계속 일정하게 유지된다면 변형 εc는 변화하지 않고,

응력은 크리프 때문에 점진적으로 감소하게 된다.(그림 1.6 참조)

그림 1.6

임의의 시간 t> t0에서의 응력은 다음과 같다.

여기서 r(t,t0)는 다음 절에서 설명하는 콘크리트의 릴락세이션 함수이다. r(t,t0)는 시간 t0에서 도입되고 (t-t0) 사이에서 일정하게

유지되는 단위 변형으로 인하여, 시간 t에서 발생하는 응력이다.



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시간t0와 t 사이의 임의의 시간 τ에서의 이완된 응력 Δσc(τ)는 다음 식으로 표현된다.

여기서 Δσc(τ)는 시간t0에서 τ 사이에서 발생하는 응력 증분(응력 이완)으로 다음과 같다.

같은 방법으로 시간t0와 t사이에서 발생하는 응력 증분은 다음과 같다.

ξ는 무차원 형상 함수로서 임의의 시간 τ에서, 전체 기간 (t-t0) 사이에서 이완된 응력에 대한 기간 (τ-t0) 사이에서 이완된

응력의 비를 의미하며 다음과 같다.

τ=t0 에서는 ξ=0. τ=t에서는 ξ=1이 된다. 형상 함수 ξ는 식(1.11)에서의 ξ1과 동일한 의미를 지니고 있다.

그림1.6 에서, 시간 t에서의 변형 εc는 (a) 시간t0에서 도입되고 시간 t까지 일정하게 유지되는 초기응력 σc(t0)와, (b) 기간 (t-t0)

사이에서 점진적으로 도입되는 응력 증분 Δσc(t), 이렇게 두가지의 영향 때문에 발생한다고 생각할 수 있다. 따라서 식(1.10)을

이용하면

식(1.15), 식(1.16), 식(1.19)를 식(1.21)에 대입하면,

여기서 χφ(t,t0)는 시간 변수 t 와 t0에 대한 두개의 함수 χ(t,t0)와 φ(t,t0)의 곱을 의미한다. 식(1.22)에서 상수인 변형 εc는 서로

상쇄되고 나머지 항들을 정리하면aging 계수 χ를 Ec(t0), r(t,t0), φ(t,t0)의 함수로 다음과 같이 표현할 수 있다.

그림 1.6의 릴락세이션 곡선을 구하는 단계적 수치해석 절차를 다음 절에서 설명한다. 이렇게 구한 릴락세이션 함수r(t,t0)를

이용하면 식(1.23)으로aging 계수 χ(t,t0)를 구할 수 있다.

10) 콘크리트의 릴락세이션 함수의 단계적인 계산법

여기서 설명하는 단계적인 수치 계산법은 시간 종속적인 콘크리트 구조의 응력과 변형을 계산할 때 적용한다. 이 방법은

전자계산기의 이용을 전제로 하고 있으며, 세그멘탈 공법으로 건설되는 프리스트레스트 콘크리트 구조물과 같이 여러 단계에

걸쳐 시공되는 구조물의 해석에 에 특히 유용하다. 여기서는 콘크리트의 릴락세이션 함수 r(t,t0)를 계산하기 위해서 단계적 수치

계산법을 적용한다.

릴락세이션 함수 r(t,t0)는 시간 t0에서 도입되고 (t-t0)의 기간 동안 일정하게 계속 작용하는 단위변형으로 인하여 시간 t에서

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발생하는 응력으로 정의된다. (식(1,16) 참조)

일축응력을 받는 콘크리트 부재에서 응력이 시간이 흐름에 따라 그림 1.7(b)와 같이 변화한다고 가정한다.

그림 1.7

시간 t0에서 초기응력 σc(t0)가 도입되고 시간 t0와 t사이에서 점진적으로 연속 증가하거나, 또는 단계적으로 증가한다. 시간에

따른 응력의 변화 형상을 알고 있으면, 여기서 설명하는 단계별 계산법으로 시간 t0와 t사이의 임의의 시간 τ에서의 변형을

구할 수 있다. 반대로 변형을 알고 있으면, 이 방법으로 시간에 따른 응력의 변화를 구할 수 있다.

기간 (t-t0)를 그림1.7(a)와 같이 여러 구간으로 나누고 응력의 증분은 간 구간의 중간 단계에서 도입된다고 가정한다. 따라서

(Δσc)i는 i번째 구간의 중간 단계에서 도입된다. 응력의 급격한 증가는 그림1.7(b)의(Δσc)1, (Δσc)k와 같이 길이가 0인 구간에서

도입되는 응력 증분으로 고려한다. 부호 tj-½, tj, tj+½은 각각 j번째 구간에서 시작, 중간, 마지막 순간의 콘크리트 재령을

의미한다. i번째 구간의 마지막 순간에서의 변형은 식(1.9)를 변형하여 다음과 같이 구할 수 있다.

식(1.24)에서 첫항은 응력 증가로 인하여 발생하는 변형의 중첩을 나타낸다. 응력 증분의 크기를 알고 있다면 식(1.24)로

변형을 구할 수 있다. 변형을 알고 있는 경우, 응력 증분은 단계별로 구할 수 있다. i번째 구간의 마지막 순간에서의 응력은

다음과 같다.

변형 εc가 시간 t0에서 도입되고 시간 t까지 일정하게 유지되는 경우를 고려한다. 시간 t0에서 도입되는 대응 응력은

εcEc(t0)이며 식(1.16)의 릴락세이션 함수와 같이 점진적으로 감소한다. t0 이후의 시간을 그림 1.7(a)와 같이 여러 구간으로

나누고 i번째 구간의 마지막 순간에 대해서 식(1.16)을 적용하면,



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식(1.25)를 식(1.26)에 대입하면 i번째 구간 마지막 순간에서의 릴락세이션 함수는 다음과 같다.

식(1.24)를 분리해서 다시 정리하면 다음과 같다.

모든 구간의 마지막 순간에서의 변형 εc(ti+½)을 알고 있을 때, 응력 증분을 구하는 방법은 다음과 같다. 식(1.28)에서 필요한

값인 모든 단계에서의 콘크리트 탄성계수, 크리프 계수, 비구속 건조수축은 이미 알고 있다고 가정한다. 따라서 식(1.28)에서

오직 하나의 미지수인 응력 증분(Δσc)i를 다음과 같이 구할 수 있다.

식(1.29)를 i=1,2,…에 대하여 계속 적용하여 가면 응력 증분을 구할 수 있다. 이러한 방법으로 식(1.29)와 식(1.27)을 이용하여

릴락세이션 함수r(t,t0)를 구할 수 있다. 계산의 편의를 위해서 전 구간에 걸쳐서 εcs(ti+½,t0)=0, εc(ti+½)= εc =일정으로 고려할 수

있으며 εc를 더욱 편리하게 단위 값으로 고려할 수 있다. 이 방법으로r(t,t0)를 계산하고, 계속하여 식(1.23)을 이용하여 aging

계수 χ(t,t0)를 구할 수 있다.

이러한 방법으로 구한 aging 계수 χ(t,t0)는 주로 t0와 t의 함수이며, 이 이외에 aging 계수 χ에 영향을 미치는 인자는 시간

함수인 φ(t,τ)와 Ec(τ)이다. 시간 함수 φ와 Ec는 시방서에 따라 다르기 때문에, 적용하는 시방서에 따라서 χ의 값도 변화하기는

하지만 실제 문제에서 이러한 변화는 무시할 수 있다.

11) Age-adjusted 탄성계수

식(1.10)은 시간 t에서의 콘크리트 변형을 나타내는데 각각, 재령 t0에서 도입되고 기간 (t-t0) 동안 일정하게 지속되는 응력

σc(t0)에 의한 변형, 재령 t0에서의 0에서 시간 t에서 최종치 Δσc(t)까지 점진적으로 증가하는 응력 증분에 대한 변형, 기간 (t-t0)

동안에 발생하는 비구속 건조수축 변형을 의미하며 다시 정리하면 다음과 같다.

여기서 Ēc(t,t0)는 age-adjusted 탄성계수로서 전체 변형 증분 가운데, 즉시 변형과 크리프 변형, 0에서 Δσc(t)까지 점진적으로

증가하는 응력 증분에 대응하는 변형을 계산할 때 적용한다. 따라서 기간 (t-t0) 동안에 응력 증분 Δσc(t)로 인하여 발생하는

변형 증분은 다음과 같다.

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a) 환산단면

환산단면이란 실제 단면적을 콘크리트 단면적과 강재 단면적의 a배를 합산한 환산 단면적으로 치환한 철근 콘크리트 부재의

단면을 의미한다.

여기서 Es는 강재의 탄성계수, Ec(t0)는 재령 t0에서의 콘크리트 탄성계수이다. 따라서 a도 시간 t0의 함수가 된다.

시간t0와 t사이에서 점진적으로 작용하는 하중에 의한 응력을 계산할 때 age-adjusted 환산단면을 이용하게 되는데, 이는 실제

단면적을 콘크리트 단면적과 강재 단면적의 ā배를 합산한 환산단면으로 치환한 것을 의미한다.

b) Age-adjusted 유연도와 강성도

마찬가지로 구조물의 유연도나 강성도를 계산할 때 콘크리트의 age-adjusted 탄성계수를 적용하게 되면 이를 age-adjusted

유연도, age-adjusted 강성도라고 한다.

12) 요약

콘크리트의 크리프, 건조수축과 강재의 릴락세이션은, 콘크리트 구조물의 시간에 따라서 변화하는 변형과 응력을 발생시킨다. 이

장에서는 철근 콘크리트 부재와 프리스트레스트 콘크리트 부재의 시간 종속적인 응력과 변형을 해석하는 두가지 방법에 대한

기본 방정식을 설명하였다. 첫번째 방법은 수계산에 적용하기 편리한 방법으로서 aging 계수 χ 를 필요로 한다. aging 계수

χ는 일반적으로 0.6~0.9의 범위 내에 있으며 도표에서 구할 수 있다. 두번째 방법은 전자계산기의 이용을 전제로 한 단계적

수치해석법이다. 다음 장부터는 이 두가지 방법으로 정정 구조물과 부정정 구조물에서 크리프, 건조수축, 릴락세이션으로 인하여

발생하는 응력 변화와 내부 단면력을 해석하는 방법에 대해서 본격적으로 논의하고자한다.

MIDAS Technical Leader’s Group 콘크리트...

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