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Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
Sala 5017 [email protected]
Aula 13
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
Modelo de elementos distribuídos
→ Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.
Revisão
Microondas I
Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
Modelo de elementos distribuídos
→ Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.
R → Resistência série devida a condutividade finita dos conectores.
L → Auto-indutância total entre os condutores.
G → Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material entre os condutores.
C → Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores.
(Ω/m)
(H /m)
(S /m)
(F /m)
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:
d2V ( z)
d z2 −γ2V (z)=0
d2 I (z)
d z2 −γ2 I (z)=0
=> Solução de ondaV (z)=V 0
+e−γ z+V 0- e+γ z
I (z)=I 0+e−γ z+ I0
- e+γ z
* Equações de onda!
Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão
Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza
* Ondas de tensão e corrente
Solução de onda
Revisão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
→ Relação entre as amplitudes da tensão e corrente
V (z)=V 0+e−γ z+V 0
- e+γ z
I (z)= I 0+e−γ z+ I0
- e+γ z
* Ondas de tensão e corrente
Impedância característica da linha (z0)
I (z)=1Z 0
(V 0+ e−γ z−V 0
- e+γ z)
Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L
G+iωC→ Impedância característica da linha
V 0+
I 0+=−V 0
-
I 0-=Z 0
* Na posição da carga, z = 0.
Revisão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
V (z)=V 0+e−γ z+V 0
- e+γ z
Potência entregue na carga (z = 0)
I (z)=1Z 0
(V 0+ e−γ z−V 0
- e+γ z)
Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L
G+iωC→ Impedância característica da linha
V 0+
I 0+=−V 0
-
I 0-=Z 0
* Na posição da carga, z = 0.
=> Pl=12ℜ{V (0) I *(0)}
Revisão
γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
V (z)=V 0+e−γ z+V 0
- e+γ z
No domínio do tempo v(z,t)
γ=α+iβ
v ( z , t)=V (z)eiω t=(V 0+e−γ z+V 0
- e+γ z)eiω t
v ( z , t)=(V 0+e−α z e−iβ z+V 0
- e+α z e+ iβ z)eiω t
Complexos → V 0
+=|V 0+|eiΦ+
V 0-=|V 0
-|eiΦ -
=> v ( z , t )=|V 0+|cos(ω t−β z+Φ+)e−α z+|V 0
-|cos (ω t+β z+Φ-)e+α z
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
Linha sem perdas (R = G = 0) →
λ=2πβ ⇒ λ=
2πω√LC
γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒ α=0 β = ω√LC
Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L
G+iωC ⇒ Z 0=√ LC
Comprimento de onda →
η = √μϵβ = ω√μ ϵ
Velocidade de fase → v f=ωβ ⇒ v f=
1
√LC
v f = 1√μ ϵ
* comparação com onda plana eletromagnética:
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)
→ Corrente sendo transportada
V (z)=V 0 e±iβ z
I (z)=I 0e±iβ z
Revisão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)
→ Corrente sendo transportada
V (z)=V 0 e±iβ z
I (z)=I 0e±iβ z
Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?
R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
→ Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha.
→ Energia magnética armazenada
Da teoriade circuitos ⇒W m=L| I0 |
2
4
Do teoremade Poynting ⇒W m(H )=μ
4∫S
H .H *ds ( para1metro)
⇒L=μ
|I 0|2∫
S
H .H *ds (H /m)
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
→ Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha.
→ Energia elétrica armazenada
Do teoremade Poynting ⇒W e(E )=ϵ4∫S
E .E* ds (para1metro)
⇒C= ϵ
|V o|2∫
S
E . E*ds (F /m) Da teoriade circuitos ⇒W e=C
| V 0 |2
4
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
→ Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico.
→ Energia sendo dissipada por efeito Joule
Da teoriade circuitos ⇒Pc=R| I0 |
2
2
Do teoremade Poynting ⇒Pc=RS
2∫
S0=C1+C 2
H t .H t*dl
⇒R=RS
|I 0|2 ∫C1+C2
H t .H t*dl (Ω/m)
RS=ℜ(η)=√ωμ
2σ=
1σδp
Bomcondutor
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
→ Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico.
→ Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( )
Do teoremade Poynting ⇒Pd=ωϵ,,
2 ∫S|E⃗|2ds
ϵ,,
⇒G=ωϵ,,
|V 0|2∫
S
E⃗ . E⃗*ds (S /m)
Da teoriade circuitos ⇒Pd=G| V 0 |
2
2
ϵ=ϵ,−i ϵ,,=ϵ,(1−i tgδ) ϵ,,=ϵ, tg δ
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Relação entre o modelo de circuitos e os campos:
Geral
G=ωϵ,,
|V 0|2∫
S
E⃗ . E⃗*ds (S /m)
R=RS
|I 0|2 ∫C1+C2
H t . H t*dl (Ω/m)
C= ϵ
|V o|2∫
S
E .E*ds (F /m)
L=μ
|I 0|2∫
S
H .H *ds (H /m)
Revisão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z
L=μ
|I 0|2∫
S
H .H *ds (H /m)
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2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z
C= ϵ
|V o|2∫
S
E .E*ds (F /m)
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z
R=RS
|I 0|2 ∫C1+C2
H t . H t*dl (Ω/m)
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z
G=ωϵ,,
|V 0|2∫
S
E⃗ . E⃗*ds (S /m)
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)
Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
* A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos.
** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados.
*** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.
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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão
2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão
Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.
* Compare seus resultados com a especificação do fabricante.
* comente sobre as discrepâncias.
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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Onda gerada em z < 0
Onda refletida em z = 0
V (z)I (z)
=Z0Ao longo da linha →
V 0+
I 0+=−V 0
-
I 0-=Z 0
* Na posição da carga, z = 0.
I (z)=I 0+e−γ z+ I0
- e+γ z
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
Z = 0 →
V (z)I (z)
=Z0
Onda refletida →
Coef. de reflexão (z=0) →
Ao longo da linha →
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
Z = 0 →
V (z)I (z)
=Z0
Onda refletida →
Coef. de reflexão (z=0) →
Ao longo da linha →
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Potência média entregue (no ponto z)
→ Não depende de z!
⟨P ⟩=⟨P ⟩+− ⟨P ⟩
-
Incidente Refletida
⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*
(z) ]=12|V 0
+|2
Z0
(1−|Γ|2 )
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Potência média entregue (no ponto z)
⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*
(z) ]=12|V 0
+|2
Z0
(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!
→ Potência média entregue máxima →
Casamento de impedância →( ZL = Z0 )
(Γ=0)
(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Potência média entregue (no ponto z)
⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*
(z) ]=12|V 0
+|2
Z0
(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!
→ Perda de retorno (RL) ⟨0dB →Γ=∓1∞dB →Γ=0 ⟩
→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0) |V (z)| = |V 0+| “A amplitude da voltagem (da
onda estacionária) na linha é constante”
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Perda de retorno (RL)
→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0)
Exemplo: Casamento de impedância →
(Γ≈0,02)70 MHz
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)
“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”
Na distância l da carga (z = - l ) →
O coef de reflexão pode ser escrito →
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)
“O módulo da voltagem (amplitude) oscila ao longo da linha”
(z = - l ) →
Quando e j (Θ−2β l)
= 1 ⇒V MAX = |V 0+|.(1 + |Γ|)
e j (Θ−2β l)=−1 ⇒V MIN = |V 0
+|.(1 − |Γ|)
Γ ≡ Γ(l)
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)
→ Generalização do coef de reflexão
→ Razão da onda estacionária
Γ(z) = V 0
- . e jβ z
V 0+ . e− jβ z
(z=−l) ⇒ Γ(l) = V 0
-
V 0+
e− jβ l
e+ jβ z = Γ(0). e−2 jβl “Casamento de impedância em
função da distância do gerador”
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga
≡ Γ(0)
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
→ Casos especiais de linha de transmissão sem perdas
i) ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)
ii) ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)
iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2) → (transformador quarto de onda)
iv) Junção entre linhas de transmissão
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
i) Linha de transmissão terminada em curto circuito
ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)
Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto
ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)
Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto
i) Linha de transmissão terminada em curto circuito
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...
β . ŀ = 2πλ
.( λ4
+ n λ2) = π
2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞
⇒
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
Microondas I
iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...
β . ŀ = 2πλ
.( λ4
+ n λ2) = π
2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞
⇒
Transformador quarto de onda →
Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.
“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”
Para l = n.(λ/2) ⇒ tan (β . ŀ ) = 0
2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL
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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha
Na região z > 0
Na região z < 0
Em z = 0
⇒
⇒
⇒
(assumindo que não existem ondas refletidas)