Micro Econom i e

Unitatea de învăŃare 1 Microeconomie

Dumitru Marin, Daniela Marinescu, Ioana Manafi, 2010 1

UNITATEA DE ÎNVĂłARE 1 ANALIZA COMPORTAMENTULUI CONSUMATORULUI Introducere în microeconomie

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 1 1. Aspecte generale ale teoriei microeconomice

1.1. Introducere în microeconomie

1.2. Optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip egalitate

1.3. Optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip inegalitate

1.4. Probleme rezolvate

Întrebări şi probleme de rezolvat

Bibiliografie Unitatea de ÎnvăŃare 1



Obiectivele UnităŃii de învăŃare 1 • Revizuirea unor tehnici de rezolvare a problemelor de optimizare condiŃionată, probleme ce

modelează comportamentul agenŃilor economici. • Revizuirea unor concepte esenŃiale din teoria economică: cerere, ofertă, factori de producŃie,

utilitate, venituri, funcŃii de cost, profit 1. Aspecte generale ale teoriei microeconomice 1.1. Introducere în microeconomie

Microeconomia este acea parte a teorie economice care abordează şi analizează fenomenele şi procesele economice la nivel micro; analizează comportamentul agenŃilor economici bine individualizaŃi (consumatori, producători), cererea şi oferta, mecanismul de producŃie şi modul de alocare şi combinare a resurselor, diferitele forme de concurenŃă; analizează diferite politici economice de restabilire a eficienŃei Pareto (în economiile cu externalităŃi şi cu bunuri publice); analizează comportamentul agenŃilor economici în condiŃii de risc şi incertitudine (modelele de selecŃie adversă sau modelele de hazard moral).

În general, analiza comportamentului agenŃilor economici se face plecând de la sistemul de preŃuri şi, din acest motiv, câteodată microeconomia se regăseşte şi sub denumirea de teoria preŃurilor.

În analiza microeconomică sunt folosite două principii: A. Principiul optimizării: alegerea programului de consum (sau de producŃie) în mulŃimea

consumurilor posibile (sau în mulŃimea producŃiilor posibile) se face maximizând utilitatea consumatorului (profitul producătorului) în condiŃiile respectării restricŃiei bugetare (restricŃiilor tehnologice).

B. Principiul echilibrului: Pe piaŃa unui bun sau serviciu oarecare, preŃurile se ajustează până când cererea devine egală cu oferta, situaŃie în care se determină atât preŃul, cât şi cantitatea de echilibru.

Problemele de optimizare întâlnite în microeconomie sunt cele de optimizare condiŃionată. 1.2. Optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip egalitate

În studiul microeconomiei moderne şi al planificării economice, cel mai instrument matematic este programarea matematică. Aceasta se ocupă cu determinarea valorilor variabilelor care asigură optimul funcŃiilor obiectiv în raport cu diferitele restricŃii. AplicaŃiile economice standard implică determinarea nivelurilor producŃiilor care să maximizeze profitul, iar în cazul consumatorului să maximizeze satisfacŃia (utilitatea) în raport cu restricŃia bugetară sau să determine alocaŃia optimă dintre sectoare astfel încât să se maximizeze creşterea economică în raport cu distribuŃia veniturilor, gradului de ocupare, inflaŃie etc. În economie se folosesc două tehnici distincte din programarea matematică: - determinarea soluŃiilor numerice pentru anumite modele empirice - cea de a doua tehnică presupune descrierea implicaŃiilor ipotezelor adoptate în legătură cu comportamentul unui anumit agent economic. De exemplu, dacă agenŃii doresc maximizarea utilităŃii în raport cu restricŃia bugetară, atunci se va analiza influenŃa modificării preŃurilor şi a venitului asupra consumului.

Foarte multe dintre problemele economice se reduc la optimizarea unei funcŃii obiectiv pe o mulŃime admisibilă de soluŃii.

Formal, problema poate fi formulată în felul următor:



( )[ ] ( )( )

==

ℜ∈ℜ→ℜℜ→ℜ

m1,2,...,j ,,...,,g lerestrictii sub

Opt :dermine se sa cere

Cg f, ,:g si :f

21j

2j

jn

nnn

cxxx

xfSe

Fie

MulŃimea soluŃiilor admisibile este dată de cele m restricŃii. Rezolvarea unei astfel de probleme se face cu ajutorul metodei Lagrange care presupune

parcurgerea următoarelor etape: Etapa I:

1. Se asociază problemei funcŃia lui Lagrange:

ℜ→ℜ×ℜ mnL :

( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+=m

j

jnjjnmn cxxxgxxxfxxxL1

21212121 ,...,,,...,,,...,,,,...,, λλλλ

unde jλ reprezintă multiplicatorul lui Lagrange asociat restricŃiei ( ) jnj cxxg =,...,1 .

(Dacă nu există pericolul unei confuzii vom scrie ( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+=m

j

jjj cxgxfxL1

, λλ ).

2. Se determină punctele staŃionare, adică soluŃiile sistemului:

==∂∂

==∂∂

m1,2,...,j ,0

n1,2,...,i ,0

j

i

L

x

L

λ

Sistemul respectiv aree m+n ecuaŃii şi m+n necunoscute.

Fie ( )∗∗ λ,x , ( ) ( )( )**2

*1

**2

*1 ,...,,,,...,, mnxxxx λλλλ == ∗∗ una dintre soluŃii (dacă există), adică unul

dintre punctele staŃionare.

3. Se calculează matricea Hessiană pentru funcŃia ( ) ( )*,λφ xLx = :

( )nk

niki xxxH

,...,1,...,1

2

==

∂∂∂

=φ

φ

4. Se stabileşte natura matricei simetrice ( )*xH φ şi se decide astfel:

i. dacă nu este definită → STOP (punctul staŃionar nu este punct de optim) ii. dacă este definită, atunci avem două posibilităŃi:

1. negativ definită → punctul staŃionar este punct de maxim 2. pozitiv definită → punctul staŃionar este punct de minim

iii. În cazul în care ( )*xH φ este semipozitiv definită sau seminegativ definită se trece

la etapa a doua. Etapa II

5. Se scrie forma pătratică generată de matricea ( )*xH φ (diferenŃiala de ordinul II a funcŃiei lui

Lagrange) după formula :



( ) ( )( )dxxHdxLdT *2

φ= unde

=

ndx

dx

dx

dx...

2

1

6. Se diferenŃiază restricŃiile de tip egalitate : ( ) m1,2,...,j ,0,...,, 21 ==− jnj cxxxg şi se obŃine

un sistem în necunoscutele ( )ndxdxdx ,...,, 21 de m ecuaŃii cu n necunoscute. (Variabilele

nxxx ,...,, 21 se înlocuiesc în derivatele parŃiale i

j

x

g

∂

∂ cu soluŃia ( )**

2*1 ,...,, nxxx de la pasul 2.

7. Să presupunem că rangul sistemului este r. Vom rezolva sistemul cu cele r necunoscute

principale în funcŃie de cele n-r necunoscute secundare şi le vom introduce în Ld 2 de mai sus. Se obŃine o formă pătratică redusă (doar cu n-r variabile). 8. Se stabileşte natura acestei forme pătratice şi se decide astfel:

i. Dacă forma pătratică este negativ definită, atunci punctul staŃionar este un punct de maxim.

ii. Dacă forma pătratică este pozitiv definită, atunci punctul staŃionar este un punct de minim.

iii. În caz contrar, se afirmă că punctul staŃionar analizat nu este punct de extrem. Se procedează ca mai sus cu toate punctele staŃionare. 1.3. Optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip inegalitate

Un alt tip de optimizare condiŃionată mai des întâlnit în analiza economică este cel cu restricŃii de tip inegalitate. Există multe exemple din activitatea economică care evidenŃiază necesitatea utilizării restricŃiilor de tip inegalitate:

- în general, variabilele economice care se referă la input-urile din sistemul economic trebuie să fie nenegative;

- de asemenea, consumul de resurse (materiale, financiare, energetice) sau capacitatea de producŃie nu pot depăşi disponibilul;

- puterea de absorbŃie a unei pieŃe este limitată. Acestea reprezintă doar câteva argumente pentru a studia problemele de acest tip.



Formularea problemei:

Fie ℜ→ℜn

jggf :,, , mj ,...,1= funcŃii de clasă 2C pe nℜ .

Se cere să se determine:

[ ] ( )( )( )

( )

==≥

≥

≤

=

m1,2,..,j n,1,2,...,i ,0

0,...,,g

0,...,,g

,...,,g .

,...,,

21j

21j

021

21

i

n

n

n

n

x

xxx

sau

xxx

gxxxrs

xxxfOpt

Rezolvarea acestei probleme se face cu ajutorul metodei KUHN-TUCKER care generalizează problema multiplicatorilor lui Lagrange de mai sus.

Vom nota cu λ multiplicatorul asociat restricŃiei de tip egalitate şi cu jλ multiplicatorii Kuhn-

Tucker asociaŃi restricŃiilor de tip inegalitate. Vom fixa semnul multiplicatorilor şi anume vom presupune că sunt nenegativi.

Atunci, problema de maxim trebuie să fie scrisă astfel:

[ ] ( )( )

( )

==≥

≥

=

m1,2,..,j n,1,2,...,i ,0

0,...,,g

0,...,,g -g

,...,,

21j

210

21

i

n

n

n

x

xxx

xxx

xxxfMax

Pentru problema de minim, forma utilizată este:

[ ] ( )( )

( )

==≥

≤

=

m1,2,..,j n,1,2,...,i ,0

0,...,,g

0,...,,g -g

,...,,

21j

210

21

i

n

n

n

x

xxx

xxx

xxxfMin

Varianta I de rezolvare

1. Se construieşte funcŃia lui Lagrange:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∑=

+−+=m

j

njjnnmn xxxgxxxggxxxfxxxL1

21210212121 ,...,,,...,,,...,,,...,,,,,...,, λλλλλλ

2. Punctul de extrem verifică următoarele condiŃii necesare de optim: (CondiŃiile de ordinul I Kuhn-Tucker) Pentru problema de maxim:

==∂∂

≥≥∂∂

=∂∂

==∂∂

≥≤∂∂

m1,2,...,j 0, si 0 ,0

0

n1,2,...,i 0, si 0 ,0

jjjj

i

ii

i

LL

L

x

Lxx

x

L

λλλ

λ

λ



CondiŃiile Kuhn-Tucker pentru problema de minim:

==∂∂

≥≤∂∂

=∂∂

==∂∂

≥≥∂∂

m1,2,...,j 0, si 0 ,0

0

n1,2,...,i 0, si 0 ,0

jjjj

i

ii

i

LL

L

x

Lxx

x

L

λλλ

λ

λ

3. CondiŃiile suficiente Kuhn-Tucker: Pentru problema de maxim:

1. FuncŃia obiectiv să fie diferenŃiabilă şi concavă în n

+ℜ

2. FuncŃiile care definesc restricŃiile să fie diferenŃiabile şi convexe în n

+ℜ

3. Punctul ( )nxxxx ,...,, 21= să verifice condiŃiile de optim Kuhn-Tucker. Pentru problema de minim:

1. FuncŃia obiectiv să fie diferenŃiabilă şi convexă în n

+ℜ

2. FuncŃiile care definesc restricŃiile să fie diferenŃiabile şi concave în n

+ℜ

3. Punctul ( )nxxxx ,...,, 21= să verifice condiŃiile de optim Kuhn-Tucker. Varianta a II-a de rezolvare

Există şi o altă formulare a problemei de mai sus cu integrarea variabilelor în funcŃia lui

Lagrange. Pentru problema de maxim mai sus formulată, funcŃia lui Lagrange se scrie:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∑∑==

++−+=⋅n

i

ii

m

j

njjnn xxxxgxxxggxxxfL11

2121021 ,...,,,...,,,...,, αλλ

(cu multiplicatorii 0≥iα ).

CondiŃiile de ordinul I devin:

==∂∂

≥≥∂∂

==∂∂

≥≥∂∂

=∂∂

==∂∂

n1,2,...,i 0, si 0 ,0

m1,2,...,j 0, si 0 ,0

0

n1,2,...,i ,0

jj

i

ii

i

jj

i

LL

LL

L

x

L

ααα

α

λλλ

λ

λ



În ceea ce priveşte problema de minim, funcŃia lui Lagrange conŃine ultimul termen cu semn

schimbat (adică ∑=

−n

i

ii x1

α ) , iar condiŃiile de ordinul I sunt asemănătoare, dar se schimbă sensul

ultimelor două grupuri de restricŃii. CondiŃiile de ordinul I sunt doar necesare nu şi suficiente. 1.4. Probleme rezolvate Problema 1. Să se determine soluŃia problemei:

[ ] ( )

>>

=+

=

0 x,0

4 x..

21

21

212

211

x

xrs

xxxfMax

Rezolvare

Vom rezolva problema urmând etapele descrise mai sus. Etapa I.

1. Asociem restricŃiei multiplicatorul Lagrange λ şi scriem funcŃia lui Lagrange:

( ) ( )4,, 2121

221

121 −++= xxxxxxL λλ

2. CondiŃiile de optim se scriu:

02

01

2

1

=+⇒=∂∂

λx

x

x

L

02

02

1

2

=+⇒=∂∂

λx

x

x

L

40 21 =+⇒=∂∂

xxL

λ

SoluŃia sistemului este unică şi anume, obŃinem punctul staŃionar caracterizat de:

2

1 ,2 **

2*1 −=== λxx

3. Avem:

( ) ( ) ( )42

1, 21

212

211

* −+−== xxxxxLx λφ

iar matricea Hessiană se scrie ( )

−

−=

8181

8181*xH φ .

4. Studiem natura matricei Hessiene: 0,8/1,1 210 =∆−=∆=∆ . Deci matricea este

seminegativ definită.



Se trece la Etapa II: 5. Construim forma pătratică a funcŃiei lui Lagrange:

( ) ( )2221

21

2

8

1

4

1

8

1dxdxdxdxLd −+−=

6. DiferenŃiem restricŃia de tip egalitate 421 =+ xx şi obŃinem 021 =+ dxdx . De aici, putem utiliza substituŃia:

21 dxdx −=

7. Forma pătratică redusă devine: ( ) 02

1 21

2 <−= dxLd .

8. Atunci punctul staŃionar ( )

−=2

1,2,2,, **

2*1 λxx este punct de maxim.

Problema 2. Să se discute în funcŃie de valorile parametrului real 0>α existenŃa soluŃiei problemei:

( ) ( )

≥≥

≤+

+=

0,0

s.r.

6,

21

21

2121

xx

xx

xxxxMaxU

α

Rezolvare

Problema fiind una de maxim, poate fi transformată astfel:

( ) ( )

≥≥

≥−−

+=

0,0

0

6,

21

21

2121

xx

xx

xxxxMaxU

α

FuncŃia lui Lagrange asociată problemei se scrie: ( ) ( ) [ ]212121 6,, xxxxxxL −−++= αλλ

CondiŃiile de ordinul I (condiŃiile necesare, condiŃiile Kuhn-Tucker) sunt date de relaŃiile:

0 si0,01

111

=∂∂

⋅≥≤∂∂

x

Lxx

x

L

0 si0,02

222

=∂∂

⋅≥≤∂∂

x

Lxx

x

L

0 si0,0 =∂∂⋅≥≥

∂∂

λλλ

λLL

sau (1) ( ) 06,0,06 2112 =−+≥≤−+ λλ xxxx (1’)

(2) ( ) 0,0,0 1221 =−≥≤− λλ xxxx (2’)

(3) ( ) 0,0,0 2121 =−−≥≥−− xxxx αλλα (3’)

Dacă am presupune că 0* =λ , din relaŃia (1) am obŃine: 062 ≤+x sau 62 −≤x , ceea ce

constituie o contradicŃie cu condiŃia de nenegativitate a acestei variabile. Rezultă atunci că 0* >λ . Avem imediat, din relaŃia (3’):

021 =−− xxα sau α=+ *2

*1 xx (4)



Această relaŃie arată că, la optim, restricŃia problemei se realizează cu egalitate. În cele ce urmează, setul de condiŃii (3) şi (3’) va fi înlocuit de relaŃia (4).

Vom analiza în continuare următoarele tipuri de soluŃii, stabilind dacă acestea pot constitui soluŃia optimă a problemei:

Cazul 1. 0,0 *2

*1 == xx

Din relaŃia (4) observăm că 0=α în acest caz, ceea ce constituie o contradicŃie.

Cazul 2. 0,0 *2

*1 >= xx

Din relaŃia (4), dacă 0*1 =x , atunci 0*

2 >= αx .

Iar 0,0 *2

*1 >= xx conduce, din (2’) la 0* =λ . Am arătat însă că 0* =λ nu este optimal.

Cazul 3: 0,0 *2

*1 => xx

Din relaŃia (4), dacă 0*2 =x , atunci 0*

1 >= αx .

Iar 0,0 *2

*1 =>= xx α conduce, din (1’) la 6* =λ .

Mai rămîne de verificat relaŃia (2): 06 ≤−α , de unde rezultă că ]6,0(∈α .

Atunci soluŃia optimă este ( ) ( )6,0,,, **2

*1 αλ =xx , cu condiŃia ca ]6,0(∈α .

Cazul 4: 0,0 *2

*1 >> xx

În această situaŃie, variabilele fiind strict pozitive, sistemul de condiŃii de optim se rezumă la egalarea derivatelor parŃiale ale funcŃiei lui Lagrange cu zero. Adică:

- dacă 0*1 >x , din (1’) avem: 062 =−+ λx

- dacă 0*2 >x , din (2’) avem: 01 =− λx

- din relaŃia (4) avem: α=+ *2

*1 xx

Sistemul de ecuaŃii format are soluŃia:

2

6,

2

6,

2

6 **2

*1

+=

−=

+=

αλ

ααxx

Mai rămîne de verificat condiŃia ca soluŃia să fie cu componente strict pozitive, de unde rezultă că 6>α .

Atunci soluŃia optimă este ( )

+−+=

2

6,

2

6,

2

6,, **

2*1

αααλxx , cu condiŃia ca 6>α .



Întrebări şi probleme de rezolvat Bibiliografie Unitatea de ÎnvăŃare 1

1. Stancu S., Marin D., Microeconomie. Comportamentul agenŃilor economici, Ed. ASE, Bucureşti, 2005

2. Marin D., Albu C., ş.a. ,Microeconomie. Consumatorul şi producătorul, Ed.ASE, 2000

1. Rezolvarea problemelor de optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip egalitate.

2. Rezolvarea problemelor de optimizare condiŃionată cu restricŃii de tip inegalitate.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 2 ANALIZA COMPORTAMENTULUI CONSUMATORULUI Abordarea bazată pe relaŃii de preferinŃă

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 2

2. Analiza comportamentului consumatorului. Abordarea bazată pe relaŃii de preferinŃă

2.1. MulŃimea consumurilor posibile

2.2. ProprietăŃile relaŃiei de preferinŃă






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 2 • ÎnŃelegerea modului în care relaŃia de preferinŃă poate oferi o ordonare a preferinŃelor

consumatorului având ca obiectiv maximizarea satisfacŃiei sale. • Dobândirea cunoştinŃelor necesare caracterizării preferinŃelor consumatorului.

Analiza comportamentului consumatorului Consumatorul este un individ, o familie sau un grup de indivizi cu rolul de a căuta, a alege şi a

executa un program complet de consum în raport cu restricŃiile financiare sau de altă natură (psihologice, de exemplu).

Alegerea se bazează pe o ordonare a preferinŃelor asupra bunurilor, iar restricŃiile financiare sunt surprinse în restricŃii bugetare.

Un panel de mărfuri sau de bunuri este o listă a specificaŃiilor mărfurilor împreună cu cantităŃile din fiecare. Lista mărfurilor este fixată de aşa natură încât să se ştie care este prima marfă, a doua, etc., precum şi numărul acestora – n, fixat.

Rezultă că un panel de bunuri (mărfuri) este o mulŃime ordonată de numere reale şi îl vom nota cu

=

nx

x

x

x...

2

1

, unde ix reprezintă cantitatea din bunul i, i=1,2,...,n. MulŃimea acestora formează spaŃiul

bunurilor sau mărfurilor. Pentru comoditatea calculelor şi o mai bună înŃelegere a teoriei consumului vom înzestra acest

spaŃiu cu o structură algebrică, prelugindu-l până la spaŃiul euclidian n-dimensional, nℜ .

Abordarea bazată pe relaŃii de preferinŃă 2.1. MulŃimea consumurilor posibile

Fie economia E care cuprinde un număr de H gospodării (consumatori) şi un consumator oarecare h.

Un vector de consum poate fi posibil sau admisibil sau nu, pentru consumatorul h. Vom nota cu hX mulŃimea vectorilor de consum admisibili pentru consumatorul h. Evident,

n

hX ℜ⊂ .

Asupra mulŃimii hX vom face câteva ipoteze, şi anume:

Ipoteza 1: hX este o mulŃime închisă ( hhh

q

h Xxxx ∈⇒→ 00 ).(limita oricărui şir de vectori de consum

posibili este de asemenea vector de consum posibil). Ipoteza 2: hX este o mulŃime convexă. (orice combinaŃie liniar convexă de vectori de consum posibili

reprezintă de aemenea un vector de consum posibil).



Ipoteza 3: Pe mulŃimea hX este dată o relaŃie de preferinŃă notată hf (şi care se citeşte „preferat sau

indiferent”) . RelaŃia de preferinŃă se manifestă prin posibilitatea de a compara doi vectori de consum. 2.2. ProprietăŃile relaŃiei de preferinŃă

RelaŃia de preferinŃă hf satisface următoarele proprietăŃi:

a) tranzitivitate: 21hhh xx f şi 3132

hhhhhh xxxx ff ⇒ . Se spune că alegerile agenŃilor economici sunt

coerente.

b) completitudine (totalitate): 2121hhhhhh xxX, x x f⇒∈∀ sau 12

hhh xx f . Agentul economic este capabil

să aleagă între (sau să ordoneze oricare) doi vectori de consum. RelaŃia de preferinŃă cu proprietăŃile (a) şi (b) se numeşte raŃională.

c) continuitate: MulŃimile de contur superior şi inferior sunt mulŃimi închise.

Fie hh Xx ∈0 un vector de consum fixat. Atunci 0hhhh xxx f - mulŃimea de contur superior şi

hhhh xxx f0 - mulŃimea de contur inferior sunt mulŃimi închise.

d) convexitate semi-strictă: Dacă 21hhh hx f şi ( )1,0∈α , atunci ( ) 2211 hhhh xhx fαα +−

e) monotonicitate (non-saturare, nesaŃiere): Fie doi vectori de consum posibili 21 , hh xx cu 21hihi xx ≥ şi

există j astfel încât 21hjhl xx > . Atunci 21

hhh xx f .

Aceste ipoteze asupra consumurilor posibile ne permit să construim o funcŃie de utilitate pe

mulŃimea hX .

DefiniŃia 1. FuncŃia ℜ→hh XU : cu proprietatea că ( ) ( )21hhhh xUxU ≥ ⇔ 21

hhh xx f ( hhh Xxx ∈21 , ) se

numeşte funcŃie de utilitate. O funcŃie de utilitate cuantifică preferinŃele consumatorului şi este foarte utilă, dar nu strict

necesară în aplicaŃii. Dacă mulŃimea hX îndeplineşte ipotezele enunŃate anterior, atunci pe această mulŃime se poate

construi o funcŃie de utilitate. 2.3. Probleme rezolvate Problema 1. Considerăm mulŃimea consumurilor posibile pentru un consumator h

=

3

53

,7

11

,2

2,

1

2,

2

1,

1

1,

0

1h

X

unde un vector oarecare 2

2

1R

x

xx ∈

= reprezintă o listă a cantităŃilor consumate din două bunuri.



Vectorul preŃurilor unitare ale celor două bunuri este:

=4

3,

4

1p , iar venitul disponibil al

consumatorului este 2

3=R .

PreferinŃele consumatorului sunt descrise cu ajutorul funcŃiei de utilitate:

,: RXU hh → 212)( hhhh xxxU = .

Se cere să se determine vectorul de consum care asigură maximizarea satisfacŃiei consumatorului, în condiŃiile respectării restricŃiei bugetare. Rezolvare

Avem

==

3

53

,3

51

,2

2,

1

2,

2

1,

1

1,

0

1,,,,,, 7654321

hhhhhhhh xxxxxxxX

Fie hx′ de forma:

′

′=′

2

1

h

h

hx

xx . Trebuie să determinăm acei vectori hx′ astfel încât să

îndeplinească condiŃia Rxp h ≤′ , adică costul asociat vectorului de consum hx′ să fie mai mic sau egal cu

venitul disponibil (să fie satisfăcută restricŃia bugetară).

Calculăm atunci produsele de forma hhh Xxxp ∈′′ , şi le vom compara de fiecare dată cu

2

3=R :

2

3

4

10

4

31

4

1

0

1

4

3,

4

11 <=⋅+⋅=

=hpx

2

31

4

41

4

31

4

1

1

1

4

3,

4

12 <==⋅+⋅=

=hpx

2

3

4

72

4

31

4

1

2

1

4

3,

4

13 >=⋅+⋅=

=hpx

2

3

4

51

4

32

4

1

1

2

4

3,

4

14 <=⋅+⋅=

=hpx

2

3

2

52

4

32

4

1

2

2

4

3,

4

15 >=⋅+⋅=

=hpx

2

3

2

3

3

5

4

31

4

1

3/5

1

4

3,

4

16 ==⋅+⋅=

=hpx

2

32

3

5

4

33

4

1

3/5

3

4

3,

4

17 >=⋅+⋅=

=hpx

Rezultă că acei ′

hx care verifică restricŃia bugetară sunt:



=

=

=

=

35

1,

1

2,

1

1,

0

1 6421hhhh xxxx .

Vom calcula acum valoarea funcŃiei de utilitate asociată fiecăruia dintre vectorii de mai sus: ( ) 00120,1 =⋅⋅=U

( ) 11121,1 =⋅⋅=U

( ) 41221,2 =⋅⋅=U

( ) 3/103/5123/5,1 =⋅⋅=U Alegem vectorul care conduce la cea mai mare valoare a funcŃiei obiectiv şi anume:

=

1

24hx




1. DefiniŃi relaŃia de preferinŃă şi proprietăŃile acesteia.

2. Care este legătura între relaŃia de preferinŃă şi funcŃia de utilitate?

3. Ordonarea preferinŃelor unui consumator cu ajutorul relaŃiei de preferinŃă.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 3 ANALIZA COMPORTAMENTULUI CONSUMATORULUI Abordarea bazată pe funcŃii de utilitate

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 3

3. Analiza comportamentului consumatorului. Abordarea bazată pe funcŃii de utilitate

3.1. Definirea unei funcŃii de utilitate

3.2. Construirea unei funcŃii de utilitate

3.3. Indicatori asociaŃi unei funcŃii de producŃie

3.4. Tipuri de funcŃii de utilitate

3.5. Legătura între q-concavitate şi monotonia ratei marginale de substituŃie






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 3 • ÎnŃelegerea modului în care funcŃia de utilitate poate oferi o ordonare a preferinŃelor

consumatorului având ca obiectiv maximizarea satisfacŃiei sale. • Aprofundarea noŃiunilor: funcŃii de utilitate, indicatori asociaŃi acestora. • Dobândirea cunoştinŃelor necesare caracterizării preferinŃelor consumatorului reprezentate

prin funcŃii de utilitate.

Abordarea bazată pe funcŃii de utilitate

3.1. Definirea unei funcŃii de utilitate

NoŃiunea de funcŃie de utilitate a fost folosită pentru prima dată la Viena în cele două variante, şi

anume: i) varianta cardinalistă care presupune cuantificarea satisfacŃiei sau a utilităŃii; ii) varianta ordinalistă, de tip calitativ.

DefiniŃia 1. FuncŃia ℜ→hh XU : cu proprietatea că ( ) ( )21hhhh xUxU ≥ ⇔ 21

hhh xx f ( hhh Xxx ∈21 , ) se

numeşte funcŃie de utilitate. O funcŃie de utilitate cuantifică preferinŃele consumatorului şi este foarte utilă, dar nu strict

necesară în aplicaŃii. Dacă mulŃimea hX îndeplineşte ipotezele enunŃate anterior, atunci pe această mulŃime se poate

construi o funcŃie de utilitate.

3.2 Construirea unei funcŃii de utilitate Vom considera un consumator cu mulŃimea consumurilor posibile X.

Se fixează Xx ∈0 şi se notează cu XxxxxX h ∈= ,00f .

Definim funcŃia ℜ→0: XU , ( )=xU distanŃa de la 0x la mulŃimea vectorilor xxx hf'' .

Notăm funcŃia distanŃă cu ( ) ||'||' 0xxx −=ρ şi considerăm mulŃimea ( ) xxxxC hf''= , ce este

mulŃime închisă. FuncŃia ( )⋅ρ fiind continuă şi inferior mărginită, atunci putem scrie:

( )( )

( )'min'

xxUxCxρ

∈=

Este posibil ca acest minim să se atingă pentru mai multe puncte. Notăm cu

( ) ( ) ( ) ( ) xUxxxCxM =∩= '' ρ mulŃimea acestor puncte.

(Dacă ( ) ( ) xxxCxxMx hf''' ⇒∈⇒∈ ).



PropoziŃia 1. Dacă ( )xMx ∈' , atunci xx ~' .

DemonstraŃie Este evident că xx hf' . Presupunem că xx hf' . Fie ( )1,0∈α . Prin proprietatea de

monotonicitate, putem găsi un ( )1,0∈α convenabil astfel încât ( ) xxx hf0'1 αα +− (pentru α suficient

de mic). Atunci:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xUxxxxxxx ααααααρ −=−−=−+−=+− 1||'||1||'1||'1 0000

Cum ( )⋅ρ calculat anterior este o valoare oarecare a funcŃiei distanŃă, atunci:

( )[ ] ( )xUxx ≥+− 0'1 ααρ , de unde 0)( ≥− xUα sau 0)( =xU .

Rezultă atunci că ( ) ( ) 00 ',0||'||' xxundedexxxxU ==−== ρ Deci:

0000 ' xxxxxx hhh ff ⇒≥= CONTRADICłIE!

Rezultă că xx ~' .

PropoziŃia 2. Fie 021 , Xxx ∈ . Atunci:

a) ( ) ( )2121 xUxUxx h ≥⇒f ;

b) ( ) ( )2121 xUxUxx h >⇒f .

DemonstraŃie

a) Fie ( ) ( )22211 '''' xCxxxxxxxCx hhh ∈⇒⇒⇒∈ fff

Deci, ( ) ( )21 xCxC ⊂ .

Atunci, ( )( )

( )( )

( ) ( )2

''

1 'min'min21

xUxxxUxCxxCx

=≥=∈∈

ρρ

b) Dacă 21 xx hf rezultă că ( ) ( )21 xUxU ≥ . Presupunem că ( ) ( )21 xUxU = .

Fie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

121111

''

'''''

xMxUxxxC

xUxUxxxCxUxxxCxMx

==∩⊂

⊂==∩==∩=∈

ρ

ρρ

Rezultă că ( )2' xMx ∈ .

Conform cu propoziŃia 1 obŃinem: 1~' xx şi 2~' xx . Atunci 21 ~ xx . FALS!

Rezultă că ( ) ( )21 xUxU > .

PropoziŃia 3. Fie 021 , Xxx ∈ . Dacă ( ) ( )21 xUxU ≥ , atunci 21 xx hf .

DemonstraŃie

Într-adevăr, dacă am presupune că 12 xx hf , atunci, conform PropoziŃiei 2 (punctul b) am avea



( ) ( )12 xUxU > . FALS!

Ultimele două propoziŃii fiind demonstrate, funcŃia ( )⋅U satisface definiŃia funcŃiei de utilitate.

3.3. Indicatori asociaŃi unei funcŃii de utilitate

Fie ℜ→XU : , nRX ⊂ o funcŃie de utilitate, derivabilă de cel puŃin două ori. Vom defini următorii indicatori ai funcŃiei de utilitate:

a) Utilitatea marginală a consumului de bun i: i

m

ix

UU

∂∂

= , ni ,1= .

Interpretarea economică: Indicatorul arată cu cât creşte utilitatea totală a consumatorului, atunci când cantitatea de bun i consumată creşte cu o unitate (consumurile din celelalte bunuri rămânând nemodificate). În general, utilitatea marginală este strict pozitivă, dar descrescătoare. b) Rata marginală de subtituŃie a bunului i prin bunul j se defineşte ca raport al utilităŃilor marginale ale celor două bunuri:

j

ims

ji

x

U

x

U

R

∂∂∂∂

= , njiji ,1,, =≠ .

Interpretarea economică: Indicatorul arată ce cantitate de bun j necesară pentru a substitui o unitate din bunul i astfel încât utilitatea totală a consumatorului să rămână nemodificată (consumurile din celelalte bunuri rămânând nemodificate). c) Curba de indiferenŃă reprezintă locul geometric al combinaŃiilor cantităŃilor de bunuri care asigură consumatorului un nivel dat (fixat) al utilităŃii:

( ) ( ) fixatuuxxUxxx nn 0,,...,,...,, 121 >=

d) Orice funcŃie de utilitate se poate construi până la o transformare monotonă.

3.4. Tipuri de funcŃii de utilitate Vom defini şi caracteriza în continuare funcŃiile de utilitate concave şi respectiv quasi-concave.

FuncŃii de utilitate concave:

i) nestrict concave ii) strict concave

DefiniŃia 2. Fie ℜ→ℜ⊂ nXU : o funcŃie de utilitate şi Xxx ba ∈, şi ( )1,0∈t , arbitrar alese. Atunci:

- dacă ( )( ) ( ) ( ) ( )baba xUtxtUxttxU −+≥−+ 11 , funcŃia este nestrict concavă;

- dacă ( )( ) ( ) ( ) ( )baba xUtxtUxttxU −+>−+ 11 , funcŃia este strict concavă.



Caracterizarea funcŃiilor concave se realizează cu ajutorul matricei hessiene asociată funcŃiei de utilitate:

njniji

Uxx

UxH

,1,1

2

)(

==

∂∂∂

= .

FuncŃia este concavă (strict/nestrict) dacă matricea Hessiană este negativ definită (strict/nestrict).

Aceasta se reduce la a verifica dacă ( ) 0

...

.........

...

1

1

111

>−

rrr

r

r

uu

uu

, nr ,1= (pentru concavitate

strictă). ObservaŃie: Pentru 2=n , condiŃiile se transpun în:

011 <u şi 02221

1211 >uu

uu

Cum 011 <u , rezultă că 0U

,0111

<∂∂

<

∂∂

∂∂

xundede

x

U

x , deci utilitatea marginală a bunului 1

este descrescătoare.

De asemenea, din ( ) 02122211 >− uuu şi 011 <u , rezultă că 022 <u şi deci:

0U

0222

<∂∂

⇒<

∂∂

∂∂

xx

U

x, deci utilitatea marginală a bunului 2 este descrescătoare.

FuncŃii de utilitate q-concave (quasi-concave):

DefiniŃia 3. Fie ℜ→XU : o funcŃie de utilitate şi Xxx ba ∈, astfel încât ( ) ( )ab xUxU ≥ şi fie

( )1,0∈t . Atunci:

- dacă ( )( ) ( )aba xUxttxU ≥−+ 1 , funcŃia este q-concavă nestrict;

- dacă ( )( ) ( )aba xUxttxU >−+ 1 , funcŃia este strict q-concavă. Caracterizarea acestor funcŃii se face cu ajutorul minorilor bordaŃi ai matricei hessiene:

( ) 0

0

...

...

...

......

...

1

1

1

1

111

≥−r

r

rrr

r

r

u

u

uu

uu

uu

sau >0, r=2,3,...n.

ObservaŃie: Pentru cazul 2=n obŃinem condiŃia:

0

0

)1(

21

22212

11211

2 >−

uu

uuu

uuu

(pentru q-concavitate strictă).

Rezultă: 02 112222

211221 >−− uuuuuuu sau 02 122111

2222

21 <−+ uuuuuuu .



FuncŃiile q-concave generalizeză funcŃiile concave. În acest sens, putem demonstra următoarea PropoziŃie: PropoziŃia 4. Orice funcŃie concavă (strict/nestrict) este şi q-concavă (strict/nestrict). DemonstraŃie

Fie funcŃia U concavă. Atunci din definiŃia unei funcŃii concave avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )baba xUtxtUxttxU −+≥−+ 11

şi considerăm ( ) ( )ab xUxU ≥ . Rezultă că:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aaababa xUxUtxtUxUtxtUxttxU =−+≥−+≥−+ 111 (cu inegalitate strictă pentru funcŃiile strict concave).

3.5. Legătura între q-concavitate şi monotonia ratei marginale de substituŃie

Considerăm cazul 2=n . Proprietatea de q-concavitate a funcŃiei de utilitate este echivalentă cu proprietatea de descreştere

a normei de substituŃie sau ratei marginală de substituŃie, aşa cum reiese din următoarea PropoziŃie:

PropoziŃie5.Fie RRXU →⊂ 2: şi 1

2

2

121

dx

dx

u

uRMSs −=== . Atunci s este descrescătoare în raport

cu x1 dacă şi numai dacă funcŃia U este q-concavă. DemonstraŃie

Calculăm diferenŃiala ratei:

( ) ( )22

2221121212111222

2112

u

dxudxuudxudxuu

u

duuduuds

+−+=

−=

Atunci:

32

1221112222

21

22

2

1221121

2

1122112

22

1

2221121

1

2122112

1

2u

u

uuuuuu

u

u

uuuuu

u

uuuuu

u

dx

dxuuuu

dx

dxuuuu

dx

ds

−+=

=

+−−

+

=

−−+

=

Cum utilităŃile marginale ale celor două bunuri sunt pozitive, avem 02 >u , deci numitorul

expresiei 1/ dxds este pozitiv, iar semnul acestei expresii va fi dat de semnul numărătorului. Q-concavitatea funcŃiei de utilitate se caracterizează cu ajutorul minorului bordat:

0

0

)1(

21

22212

11211

2 >−

uu

uuu

uuu

,

adică 02 112222

211221 >−− uuuuuuu sau 02 122111

2222

21 <−+ uuuuuuu . Rezultă că 0

1

<dx

ds.



3.6. Probleme rezolvate Problema 1. AnalizaŃi condiŃiile în care funcŃia de utilitate:

0,0,0,),( 2121 >>>= baAxAxxxUba (funcŃie de utilitate de tip Cobb-Douglas)

este: i) q-concavă; ii) concavă. Rezolvare

Pentru a rezolva ambele cerinŃe ale problemei avem novoie de matricea Hessiană asociată funcŃiei de utilitate. Calculăm mai întâi derivatele parŃiale de ordinul întâi:

ba

xAaxx

Uu 2

11

11

−=∂∂

= , 1

212

2−=

∂∂

= baxAbx

x

Uu

Atunci derivatele de ordinul doi se scriu:

ba

xxaAax

Uu 2

212

1

2

11 )1( −−=∂

∂= , 21

12

11

21

2

12 uxAabxxx

Uu

ba ==∂∂

∂= −−

2

2122

2

22 )1( −−=∂

∂= ba

xxbAbx

Uu

Matricea Hessiană are forma:

−

−=

= −−−

−−−

221

12

11

12

112

21

2221

121121

)1(

)1(),(

baba

baba

UxxbAbxAabx

xAabxxxaAa

uu

uuxxH

i) q-concavitatea funcŃiei de utilitate: Studiem semnul minorului bordat:

112

2222

11221

21

22212

11211

2 2

0

)1( uuuuuuu

uu

uuu

uuu

−−=−=∆

23

223

12323

223

12323

223

1223 )1()1(2 −−−−−− −−−−=∆ bababa

xxaabAxxbbaAxxbaA

[ ])1()1(2232

231

3 −−−−=∆ −−abbaabxabxA

ba

sau

0)(232

231

3 ≥+=∆ −−baxabxA

ba

Am obŃinut astfel că, indiferent de valorile parametrilor pozitivi A, a şi b, funcŃia de utilitate este q-concavă. ii) concavitatea funcŃiei de utilitate: Studiem şirul minorilor matricei hessiene:

ba

xxaAau 22

1111

0

)1(

1−−==∆

=∆

( ) 222

221

222222

221

221222112 )1)(1( −−−− −−−=−=∆ baba

xxbaAxxbaabAuuu

[ ]( )baxabxA

abbaxabxA

ba

ba

−−=

−−−=−−

−−

1

)1)(1(22

222

12

222

221

2



CondiŃia pentru ca funcŃia de utilitate să fie concavă (strict) este ca matricea Hessiană să fie negativ definită; atunci minorii acesteia trebuie să satisfacă următoarele: 10101 <⇒<−⇒<∆ aa

10102 <+⇒>−−⇒>∆ baba Cumulând cele două condiŃii obŃinem condiŃia în care funcŃia de utlitate este concavă:

10 <+< ba Problema 2. Se consideră funcŃia de utilitate:

0,0,0,),( 2121 >>>= baAxAxxxUba

Se cere: a) CalculaŃi indicatorii asociaŃi funcŃiei de utilitate. b) ReprezentaŃi grafic o curbă de indiferenŃă corespunzătoare unui nivel fixat de utilitate, 0>u . Rezolvare

a) UtilităŃile marginale ale celor două bunuri sunt:

bamg

xAaxx

UU 2

11

11

−=∂∂

= (utilitatea marginală a consumului de bun 1)

1

212

2−=

∂∂

= bamgxAbx

x

UU (utilitatea marginală a consumului de bun 2)

Rata marginală de substituŃie a bunului 1 prin bunul 2 se scrie:

1

2

2

1

2

121

bx

ax

u

u

x

U

x

U

R ms ==

∂∂∂∂

=

ObservaŃie: 21RMS este funcŃie descrescătoare în raport cu cantitatea de bun 1:

2

1

2

1

21

)(xb

ax

x

R ms

−=∂

∂

b) Curba de indiferenŃă este reprezentată de mulŃimea de puncte:

( ) ( ) fixatuuxxUxx 0,,., 2121 >=

Atunci relaŃia uxxU =),( 21 este echivalentă cu uxAxba =21

de unde obŃinem:

0; 1/

1

/1

2 >

= −xx

A

ux

ba

b

Notăm dependenŃa lui 2x de 1x ce trebuie reprezentată grafic cu:

ba

b

xA

uxfx

/1

/1

12 )( −

==

Cum ( )∞∈ ,01x , atunci:

∞=↓

)(lim 101

xfx

(dreapta 01 =x este asimptotă verticală la dreapta)

0)(lim 11

=∞→

xfx

(dreapta 02 =x este asimptotă orizontală la ∞ )



Studiem monotonia şi concavitatea funcŃiei )( 1xf :

0)( 1/1

/1

1 <

−

=′ −− ba

b

xb

a

A

uxf , deci funcŃia este strict descrescătoare;

01)( 2/1

/1

1 >

−−

−

=′′ −− ba

b

xb

a

b

a

A

uxf , deci funcŃia este convexă.

Putem acum reprezenta grafic curba de indiferenŃă corespunzătoare nivelului 0>u , în sistemul de axe 21Oxx .

Figura 3.1. Curbe de indiferenŃă asociate nivelurilor de utilitate u şi u’

ObservaŃie: Pentru un nivel mai mare de utilitate, uu >′ , curba de indiferenŃă corespunzătoare se va obŃine prin deplasarea în direcŃia nord-est a curbei de indiferenŃă reprezentată grafic pentru nivelul 0>u .

0>u

O

2x

1x

uu >'






2. Care este legătura între relaŃia de preferinŃă şi funcŃia de utilitate?

3. Calculul indicatorilor asociaŃi unei funcŃii de utilitate dată.

4. Reprezentarea grafică a curbelor de indiferenŃă asociate unei funcŃii de utilitate dată.

4. Caracterizarea funcŃiilor de utilitate din punct de vedere al concavităŃii şi q-concavităŃii.

Unitatea de învăŃare 4-5 Microeconomie


UNITATEA DE ÎNVĂłARE 4-5 ALEGERI OPTIMALE ALE CONSUMATORULUI Cererea necompensată şi funcŃia de utilitate indirectă

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 4-5

4. Prima problemă de optimizare la nivelul consumatorului. Cererea necompensată

4.1. Alegeri optimale ale consumatorului. Cazul bidimensional

4.2. Alegeri optimale ale consumatorului. Cazul n-dimensional

4.3. Cererea necompensată şi funcŃia de utilitate indirectă



Bibiliografie Unitatea de ÎnvăŃare 4-5



Obiectivele UnităŃii de învăŃare 4-5 • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru a formula şi rezolva modelele matematico-economice

asociate agentului economic de tip consumator. • Aprofundarea noŃiunilor: funcŃii de cerere necompensată, funcŃie de utilitate indirectă, funcŃii

de cerere compensată, funcŃia de cheltuială minimă. • Caracterizarea comportamentului consumatorului prin interpretarea economică a

proprietăŃilor conceptelor studiate • Dobândirea cunoştinŃelor necesare pentru a caracteriza din punct de vedere economic

rezultatele obŃinute în rezolvarea problemelor de optimizare la nivelul consumatorului

Prima problemă de optimizare la nivelul consumatorului

4.1. Alegeri optimale ale consumatorului. Cazul bidimensional

Fie o economie notată cu E, două bunuri, un consumator oarecare şi X – mulŃimea consumurilor

posibile asociată consumatorului respectiv.

FuncŃia de utilitate a consumatorului este considerată RRXU →⊂ 2: şi are proprietăŃile: strict

crescătoare, strict concavă şi de clasă 2C . Vom nota cu R venitul disponibil al consumatorului, venit ce poate proveni fie din vinderea

dotării iniŃiale, fie din profitul firmelor. Vectorul de preŃuri pentru cele două bunuri existente în economie este: ( )21 , ppp = .

Problema de alegere a consumatorului constă în determinarea combinaŃiei de bunuri astfel încât

să-şi maximizeze funcŃia sa de utilitate. Problema de optimizare se scrie sub forma:

(P)

( )

≥≥

≤+

0 x,0

x

,x Umax

21

2211

21

x

Rxpp

x

Vom schiŃa în continuare rezolvarea acestei probleme. Din proprietatea de monotonie a funcŃiei de utilitate (că este crescătoare) rezultă că

1,2i ,0 =>∂∂

=i

ix

Uu .

Din monotonicitate rezultă că Rxpxp =+ 2211 . De unde: 2

12

12

p

Rx

p

px +−= . Se notează cu

2

1

p

pm −= panta dreptei bugetare.

Dacă venitul R este constant rezultă: mdx

dx

p

pdRdxpdxp ctR ==−⇒==+ =

1

2

2

12211 0 (1)

Dacă cantitatea de bun unu scade cu o unitate, atunci cantitatea de bun doi trebuie să crească cu m unităŃi, adică 01 21 >−=⇒−= mdxdx .



Dacă cantitatea de bun unu creşte cu o unitate, atunci cantitatea de bun doi trebuie să scadă cu m unităŃi, adică 01 21 <=⇒= mdxdx .

Vom presupune că utilitatea este constantă: ( ) ( )*2

*121 ,, xxUctxxU == . Atunci:

2

1

2

1

u

u-unghiular ulcoeficient ==

∂∂∂∂

−

x

U

x

U

.

Prin diferenŃierea relaŃiei ( ) constxxU =21 , , rezultă:

ctUdx

dx

u

udxudxudx

x

Udx

x

U==−⇒=+⇒=

∂∂

+∂∂

2

1

2

122112

21

1

00 (2)

Folosim relaŃiile (1) şi (2) obŃinem:

msRp

p

u

u21

2

1

2

1 ==

Interpretarea economică a acestui rezultat constă în faptul că panta curbei de indiferenŃă luată cu semnul (-) reprezintă rata marginală de substituŃie a bunului 2 cu bunul 1.

Putem rescrie condiŃia de mai sus ca:

*

2

2

1

1 λ==p

u

p

u

ceea ce corespunde legii lui Gossen. La optim, utilitaŃile marginale sunt proporŃionale cu preŃurile sau, rata marginală de substituŃie

egalează raportul preŃurilor sau, condiŃia de optim arată că panta dreptei bugetare şi raportul utilităŃilor sunt proporŃionale cu preŃurile.

Dacă rata marginală de substituŃie diferă de raportul preŃurilor, atunci consumatorul nu poate obŃine pachetul optimal.

În continuare să presupunem că venitul creşte cu o unitate, iar această unitate monetară este folosită pentru achiziŃionarea doar a bunului 1. Dacă preŃul bunului 1 este 1p atunci se va cumpăra o

cantitate egală cu 1

1

p din acest bun. Conform definiŃiei utilităŃii marginale rezultă că

1x

U

∂∂

arată cu câte

unităŃi creşte satisfacŃia când consumul din bunul 1 creşte cu o unitate. (utilitatea va creşte cu *

1

1 λ=p

u).

Deci, dacă venitul creşte cu o unitate, atunci utilitatea va creşte cu *λ unităŃi. ( *λ este utilitatea

marginală a venitului dR

dU=*λ ).



4.2. Alegeri optimale ale consumatorului. Cazul n-dimensional

Fie X mulŃimea consumurilor posibile, nX ℜ⊂ , vectorul de preŃuri ( )nppp ,...,1= şi venitul

disponibil al consumatorului R. Problema de optimizare va fi, în acest caz general:

(P)

( )

≥≥≥

≤++

0,...,0 x,0

...,x

,...,,x Umax

21

2211

21

n

nn

n

xx

Rxpxpp

xx

Folosind rezultatul conform căruia,la optim, consumatorul va aloca întreg venitul disponibil pentru achiziŃia şi consumul de bunuri, restricŃia problemei poate fi considerată de tip egalitate. Vom schiŃa rezolvarea problemei utilizând metoda Lagrange, în ipoteza că problema admite un optim interior (soluŃia cu toate componentele strict pozitive). FuncŃia lui Lagrange asociată problemei se scrie: ( ) ( )nnn xpxpxpRxxxUL −−−−+= ...,...,, 221121 λ

CondiŃiile necesare de optim sunt următoarele:

nipx

U

x

Li

ii

,...,2,1,00 ==−∂∂

⇒=∂∂

λ (3)

0...0 11 =−−−⇒=∂∂

nn xpxpRL

λ (4)

Să enunŃăm în cele ce urmează câteva trăsături ale soluŃiei optime ( )***1 ,,..., λnxx a problemei

(P):

a) Din condiŃia (3) rezultă imediat că 0* >=i

i

p

uλ (din monotonia funcŃiei de utilitate). Atunci, la optim,

(aşa cum am anticipat deja folosind rezultatele anterioare) restricŃia bugetară se realizează cu egalitate, adică:

Rxpxpxp nn =++ **22

*11 ... (*)

b) Avem nip

u

i

i ,...,2,1,* ==λ , de unde rezultă că, la optim, raportul utilitate marginală/preŃ este acelaşi

pentru toate bunurile consumate şi egal cu valoarea optimă a multiplicatorului Lagrange:

n

n

p

u

p

u

p

u==== ...

2

2

1

1*λ (**)

c) Din aceeaşi relaŃie i

i

p

u=*λ scrisă pentru doi indici oarecare diferiŃi i şi j avem:

j

j

i

i

p

u

p

u==*λ

sau j

i

j

i

jip

p

u

uRMS == , njiii ,...,2,1,, =≠ (***)

Interpretarea economică este aceeaşi ca şi în cazul bidimensional: La optim, rata marginală de substituŃie între oricare două bunuri egalează raportul preŃurilor unitare ale acelor bunuri.



d) Folosim relaŃia (4) şi prin diferenŃiere obŃinem: dRdxpdxpdxp nn =+++ ...2211

Din (3) rezultă că ii pu *λ= . Avem atunci, prin înlocuire:

dRdxu

dxu

dxu

n

n =+++*2*

21*

1 ...λλλ

sau dRdxudxudxu nn

*2211 ... λ=+++ .

Pe de altă parte, diferenŃiala funcŃiei de utlitate se scrie:

dRdxudxudxudxx

Udx

x

Udx

x

UdU nnn

n

*22112

21

1

...... λ=+++=∂∂

++∂∂

+∂∂

=

De aici rezultă că dR

dU=*λ . (****)

Cu alte cuvinte, valoarea optimă a multiplicatorului Lagrange reprezintă utilitatea marginală a venitului şi arată cu cât creşte utilitatea totală a consumatorului atunci când venitul acestuia creşte cu o unitate.

Dacă în programul de optimizare restricŃia bugetară ar fi avut semnul “≤ ” atunci condiŃiile de optim (Kuhn-Tucker) se scriu:

0 ,0 x,0 i =∂∂

≥≤∂∂

i

i

i x

Lx

x

L

ce sunt echivalente cu: [ ] 0,0,0 =−≥≤− iiiiii puxxpu λλ

Dacă 0=ix atunci 0≤− ii pu λ sau *λ≤i

i

p

u ceea ce nu este rentabil.

4.3. Cererea necompensată şi funcŃia de utilitate indirectă

Să reluăm problema de optimizare (P) în cazul n-dimensional.

(P)

( )

≥≥≥

≤++

0,...,0 x,0

...,x

,...,,x Umax

21

2211

21

n

nn

n

xx

Rxpxpp

xx

ce poate fi scrisă sub forma:

(P)

( )

≥

≤

0

max

x

Rpx

xU

DefiniŃia 1. SoluŃia optimă a programului (P) se numeşte cererea walrasiană (necompensată sau concurenŃială) şi se notează cu ( )RpX , .



ObservaŃie: Scrierea ( )RpX , corespunde de fapt vectorului soluŃie:

( )

=

),,...,,(

),,...,,(

),,...,,(

,

21

212

211

RpppX

RpppX

RpppX

RpX

nn

n

n

M, unde fiecare ),,...,,( 21 RpppX ni reprezintă

funcŃia de cerere necompensată din bunul i. Proprietate: FuncŃiile de cerere necompensată sunt funcŃii omogene de grad zero în raport cu preŃurile şi venitul. Adică, ( ) 0),,(, >∀= ααα RpXRpX . Interpretarea economică a acestei proprietăŃi este aproape evidentă: o multiplicare de acelaşi număr de ori a preŃurilor şi venitului nu afectează consumul optim din fiecare bun achiziŃionat. Proprietatea este uşor de demonstrat având în vedere că mulŃimea soluŃiilor admisibile ale problemei (P) nu este afectată de multiplicarea restricŃiei bugetare (echivalentă cu multiplicarea preŃurilor şi venitului) cu o constantă pozitivă α . DefiniŃia 2. Valoarea optimă a funcŃiei obiectiv a programului (P) se numeşte funcŃia de utilitate indirectă şi se notează cu ( )RpV , .

Avem deci, ( ) ( )( )RpXURpV ,, = . ProprietăŃile funcŃiei de utilitate indirectă

1. ( )RpV , este continuă pentru orice vector de preŃuri 0>>p şi orice 0>R .

2. ( )RpV , este descrescătoare în nipi ,...,2,1, = .

3. ( )RpV , este crescătoare în R.

4. ( )RpV , este q-convexă în p.

5. ( )RpV , este omogenă de grad zero în p şi R.

6. ( )RpV , satisface relaŃia:

R

RpV

∂∂

=),(*λ

7. ( )RpV , satisface Identitatea lui Roy:

njRpXp

RpVj

j

,...,2,1),,(),( * =−=

∂∂

λ

Identitatea poate fi scrisă şi sub forma:

njRpX

R

RpV

p

RpV

j

j ,...,2,1),,(),(

),(

=−=

∂∂

∂∂

DemonstraŃie

1. Proprietatea 1 rezultă imediat din proprietăŃile funcŃiei de utilitate şi ale programului de optimizare. 2. Proprietatea de monotonie în raport cu preŃurile rezultă din Identitatea lui Roy, şi anume:



0),(),( * <−=

∂∂

RpXp

RpVj

j

λ

Sau, să considerăm doi vectori de preŃuri, 'p şi "p , care diferă între ei doar prin componenta

jp . Cu alte cuvinte, avem:

( )nj ppppp ,...,',...,, 21

' = şi ( )nj ppppp ,...,",...,," 21=

cu "' jj pp ≤ .

Totodată, considerăm problemele de optimizare corespunzătoare celor două sisteme de preŃuri, dar cu acelaşi venit disponibil:

(P’ )

( )

≥

≤

0

'

max

x

Rxp

xU

şi (P”)

( )

≥

≤

0

"

max

x

Rxp

xU

Pentru fiecare problemă de optimizare, mulŃimea soluŃiilor (consumurilor) admisibile este:

RxpxMSA ≤≥= '0' , respectiv RxpxMSA ≤≥= "0"

Deoarece "' jj pp ≤ , atunci "' MSAMSA ⊃ , iar între valorile optime ale funcŃiei obiectiv vom

avea relaŃia: )(max)(max

"'xUxU

MSAxMSAx ∈∈≥

echivalentă cu ( ) ),"(,' RpVRpV ≥ . Am arătat astfel că funcŃia ( )RpV , este descrescătoare în raport cu preŃurile. 3. Proprietatea de monotonie în raport cu venitul rezultă direct din Proprietatea 6:

0),(* >

∂∂

=R

RpVλ

Sau, să considerăm două valori ale venitului, 'R şi "R , cu "' RR ≤ . Totodată, considerăm problemele de optimizare corespunzătoare celor două valori ale venitului,

dar cu acelaşi sistem de preŃuri:

(P’ )

( )

≥

≤

0

'

max

x

Rpx

xU

şi (P”)

( )

≥

≤

0

"

max

x

Rpx

xU

Pentru fiecare problemă de optimizare, mulŃimea soluŃiilor (consumurilor) admisibile este:

'0' RpxxMSA ≤≥= , respectiv "0" RpxxMSA ≤≥=

Deoarece "' RR ≤ , atunci "' MSAMSA ⊂ , iar între valorile optime ale funcŃiei obiectiv vom avea relaŃia: )(max)(max

"'xUxU

MSAxMSAx ∈∈≤

echivalentă cu ( ) ),"(,' RpVRpV ≤ . Am arătat astfel că funcŃia ( )RpV , este descrescătoare în raport cu venitul.

4. ( )RpV , este q-convexă în p dacă mulŃimea RkkRpVp ∈≤ ,),( este convexă, pentru orice k real.

Fie kRpVppp ≤∈ ),(",' şi [ ]1,0∈α .



Considerăm vectorul ")1(' ppp ααα −+= . Trebuie să arătăm că kRpVpp ≤∈ ),(α .

Pentru cele trei sisteme de vectori, considerăm problemele de optimizare corepunzătoare (P’),

(P”) şi respectiv ( )αP precum şi mulŃimea soluŃiilor admisibile pentru fiecare dintre acestea:

RxpxMSA ≤≥= '0' , RxpxMSA ≤≥= "0" şi respectiv

RxpxMSA ≤≥= αα 0

Arătăm că, dacă αMSAx∈ , atunci 'MSAx∈ sau "MSAx∈ . Presupunem contrarul: am avea deci 'MSAx∉ şi "MSAx∉ . Adică: Rxp >' şi Rxp >" .

ÎnmulŃim prima relaŃie cu α , iar a doua relaŃie cu )1( α− şi adunăm relaŃiile obŃinute:

RRxpxp )1(")1(' αααα −+>−+

sau Rxp >α , ceea ce contrazice αMSAx∈ .

Rezultă atunci că, dacă αMSAx∈ , atunci 'MSAx∈ sau "MSAx∈ .

Să analizăm acum obiectivul problemei de optimizare ( )αP :

kRpVRpVxUxURpV

MSAxsau

MSAxMSAx

≤≤≤=

∈

∈∈

,"(),,'(max)(max)(max),(

"

'α

α .

Rezultă astfel că kRpVpp ≤∈ ),(α .

5. Omogenitatea de grad zero a funcŃiei de utilitate indirectă rezultă imediat din proprietatea similară a funcŃiilor de cerere necompensată: Avem: ( ) ( ) ( ) ( )RpVRpXURpXURpV ,),(),(, === αααα 6. Vom folosi condiŃiile de optim ce cararcterizează soluŃia optimă a problemei (P).

Mai întâi, avem:

( ) ( )

∑= ∂

∂⋅

∂∂

=∂

∂=

∂∂ n

i

i

i R

RpX

X

U

R

RpXU

R

RpV

1

),(),(, (5)

( )RpX , fiind soluŃie optimă, condiŃia (3) de optim este îndeplinită, adică:

i

i

pX

U *λ=∂∂

Atunci (5) devine:

( )

∑ ∑= = ∂

∂=

∂

∂⋅=

∂∂ n

i

in

i

ii

iR

RpXp

R

RpXp

R

RpV

1 1

** ),(),(,λλ (5’)

Dar ( )RpX , fiind soluŃie optimă, satisface restricŃia bugetară cu egalitate:

RRpXpRpXpRpXp nn =+++ ),(...),(),( 2211

Prin derivare în raport cu R, relaŃia de mai sus devine:

1),(

1

=∂∂

=∂

∂∑= R

R

R

RpXp

n

i

ii



Atunci relaŃia (5’) se scrie:

( ) ** 1

,λλ =⋅=

∂∂

R

RpV

7. Vom folosi condiŃiile de optim ce cararcterizează soluŃia optimă a problemei (P).

Mai întâi, avem:

( ) ( )

∑= ∂

∂⋅

∂∂

=∂

∂=

∂∂ n

i j

i

ijj p

RpX

X

U

p

RpXU

p

RpV

1

),(),(, (6)

( )RpX , fiind soluŃie optimă, condiŃia (3) de optim este îndeplinită, adică:

i

i

pX

U *λ=∂∂

Atunci (6) devine:

( )

∑ ∑= = ∂

∂=

∂

∂⋅=

∂∂ n

i j

in

i

i

j

i

i

j p

RpXp

p

RpXp

p

RpV

1 1

** ),(),(,λλ (6’)

Dar ( )RpX , fiind soluŃie optimă, satisface restricŃia bugetară cu egalitate:

RRpppXpRpppXpRpppXp njnnnjjjnj =++++ ),,...,...,(...),,...,...,(...),,...,...( 11111

Prin derivare în raport cu jp , relaŃia de mai sus devine:

0),(),(

1

=∂∂

=+∂

∂∑= j

j

n

i j

i

ip

RRpX

p

RpXp

de unde

),(),(

1

RpXp

RpXp j

n

i j

i

i −=∂

∂∑=

Atunci relaŃia (6’) se scrie:

( )

),(, * RpX

p

RpVj

j

λ−=∂

∂

4.4. Probleme rezolvate Problema 1. Se consideră funcŃia de utilitate a unui consumator oarecare:

( ) 0, ,, >++= βαβα xyyxyxU ,

unde x şi y reprezintă cantităŃile consumate din cele două bunuri. Notăm preŃul bunului x cu xp , iar preŃul

bunului y cu yp .

RestricŃia bugetară devine: Rypxp yx =+ , unde R este venitul disponibil al consumatorului.

Se cere:

a) Să se definească şi să se calculeze rata marginală de substituŃie. b) Să se stabilească convexitatea curbelor de indiferenŃă c) Să se găsească echilibrul consumatorului.

d) PrecizaŃi care va fi atitudinea consumatorului dacă xp ar lua o valoare astfel încât αβ x

y

pRp

+> .



Rezolvare a) Rata marginală de substituŃie a bunului x prin bunul y este definită ca raport al utilităŃilor marginale ale celor două bunuri:

x

y

y

Ux

U

R ms

yx +

+=

∂∂∂∂

=βα

şi este descrescătoare în raport cu cantitatea de bun x:

( )0

2<

+

+−=

x

y

dx

dR ms

yx

β

α

b) Proprietatea curbei de indiferenŃă este: ( ) ( )fixat , uconstyxU ==

Avem atunci: uxyyx =++ βα , de unde ( )xfx

xuy =

+−

=β

α.

ObservaŃie: CondiŃia 0≥y implică

∈αu

x ,0 .

Studiem monotonia funcŃiei )(xf :

( ) ( ) ( )( ) ( )

0'22<

+

+−=

+

−−+−=

x

u

x

xuxxf

βαβ

βαβα

(funcŃie descrescătoare)

şi concavitatea (convexitatea):

( )( )

0)(2

"3

>+

+=

x

uxf

βαβ

. De unde rezultă că ( )xf este convexă.

Putem reprezenta grafic, într-un sistem de axe xOy curba de indiferenŃă generată de dependenŃa

)(xfy = . Pentru aceasta, determinăm şi punctele de intersecŃie ale curbei de indiferenŃă cu axele de coordonate:

0,)0( =

=αβu

fu

f



Figura 4.1. Curba de indiferenŃă corepunzătoare nivelului u de utilitate

c) Echilibrul consumatorului se obŃine rezolvând problema de optimizare:

(P)

( )

≥

=+

++

0,

maxyx,

yx

Rypxp

xyyx

yx

βα

Scriem Lagrangeanul asociat: [ ]ypxpRxyyxL yx −−+++= λβα

CondiŃiile de ordinul întâi sunt:

+=⇒=∂∂

=−+⇒=∂∂

=−+⇒=∂∂

ypxpRL

pxy

L

pyx

L

yx

y

x

0

00

00

λ

λβ

λα

Din primele două ecuaŃii rezultă că: ( ) y

y

x

yx

pxp

py

p

x

p

yαβ

βαλ −+=⇒

+=

+=

Înlocuim y în restricŃia bugetară şi obŃinem:

y

yx

x

xy

p

ppRy

p

ppRx

2

2

αβ

βα

−+=

−+=

ObservaŃie: SoluŃia obŃinută este optimă dacă satisface şi condiŃiile de nenegativitate 0, ≥yx .

β/u

α/u O

y

x



Adică, dacă: 0≥−+ xy ppR βα şi 0≥−+ yx ppR αβ

d) Dacă 0<+−⇔+≥⇔+

> RpppRppR

p yxxyx

y αββααβ

rezultă 0* <y . Dar 0* <y nu este

admisibilă, şi alegem 0* =y . Interpretarea economică este imediată: preŃul bunului y fiind prea mare, consumatorul alege să

achiziŃioneze şi să consume numai bunul x. Atunci, din restricŃia bugetară obŃinem cantitatea optimă de bun x consumată:

xp

Rx =*

Problema 2. Un consumator poate achiziŃiona două bunuri, în cantităŃile 1x şi 2x . PreŃul unitar al

primului bun este egal cu 3 ( 31 =p u.m.), iar preŃul celui de-al doilea bun este egal cu 2 ( 22 =p u.m.). PreferinŃele consumatorului sunt reprezentate prin funcŃia de utilitate:

( ) ( )( )4, 12121 ++= xxxxxU , cu 01 ≥x şi 02 ≥x . Se cere:

a) Să se reprezinte grafic o curbă de indiferenŃă corespunzătoare unui nivel de utilitate 12=u . b) StudiaŃi concavitatea, respectiv q-concavitatea funcŃiei de utilitate. c) DeterminaŃi cantitatea optimă consumată din fiecare bun în funcŃie de venitul R, 0>R . d) ReprezentaŃi pe acelaşi grafic curbele lui Engel (dependenŃa cantităŃii consumate de venitul disponibil) şi caracterizaŃi cele două bunuri. Rezolvare

a) Orice pachet de consum aflat de-a lungul curbei de indiferenŃă îi aduce agentului economic aceeaşi utilitate. Adică:

( )( ) 124121 =++ xxx , de unde 11

2 4

12x

xx −

+= .

ObservaŃie: CondiŃia 02 ≥x conduce la 04

121

1

≥−+

xx

, de unde obŃinem condiŃia [ ]2,01 ∈x .

Notăm ( ) 11

1 4

12x

xxf −

+= , [ ]2,01 ∈x .

Atunci ( )( )

014

12'

21

1 <−+

−=x

xf (funcŃie strict descrescătoare) şi ( )( )

04

24"

31

1 <+

=x

xf

(funcŃie convexă). Curba de indiferenŃă intersectează axa verticală în punctul )3,0( şi axa orizontală în punctul de

coordonate )0,2( .



Figura 4.2. Curba de indiferenŃă corepunzătoare nivelului de utilitate 12=u

b) Pentru a studia concavitatea sau q-concavitatea funcŃiei de utilitate trebuie să construim matricea Hessiană. Derivatele parŃiale de ordinul întâi sunt:

42 211

1 ++=∂∂

= xxx

Uu , 41

22 +=

∂∂

= xx

Uu

iar derivatele de ordinul doi se scriu: 0,1,1,2 22211211 ==== uuuu . Atunci matricea Hessiană devine:

=

=

01

12),(

2221

121121

uu

uuxxH u

Observăm că matricea este nedefinită, deoarece 1,2,1 210 −=∆=∆=∆ . Rezultă că funcŃia de

utilitate nu este concavă. Pentru a analiza q-concavitatea, ne interesează semnul minorului bordat al matricei Hessiene:

0))(4(2

0442

401

4212

0211

121

1

21

21

22221

11211

≥++=

+++

+

++

= xxx

xxx

x

xx

uu

uuu

uuu

Rezultă atunci că funcŃia de utilitate este q-concavă. c) Problema de optimizare a consumatorului este:

(P)

( ) ( )( )

≥

≤+

++=

0,

23

4,max

21

21

12121

xx

Rxx

xxxxxU

FuncŃia lui Lagrange corespunzătoare acestei probleme este: ( ) ( )( ) [ ]2112121 234,, xxRxxxxxL −−+++= λλ

(0,3)

(2,0) O

x2

x1



CondiŃiile Kuhn-Tucker se scriu:

=∂∂

≥≥∂∂

=∂∂

≥≤∂∂

=∂∂

≥≤∂∂

0,0,0

0,0,0

0,0,0

222

2

111

1

λλλ

λλ

LL

x

Lxx

x

L

x

Lxx

x

L

Adică:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3' 023,03 023

2' 024,02 024

1' 0342,01 0342

2121

1221

211121

=−−≥≥−−

=−+≥≤−+

=−++≥≤−++

xxRxxR

xxxx

xxxxxx

λλλλ

λλ

Presupunem că 0* =λ . Din relaŃia (2) rezultă: 041 ≤+x , ceea ce reprezintă o contradicŃie cu condiŃia

de nenegativitate a variabilei x1. Avem astfel 0* >λ , iar din relaŃia (3’) obŃinem:

Rxx =+ *2

*1 23 ( )"3

Adică, restricŃia bugetară se realizează la optim cu egalitate. Vom discuta în continuare diferitele tipuri de soluŃii ce ar putea constitui soluŃia optimă a problemei: Cazul I: 01 =x , 02 =x

Din relaŃia ( )"3 rezultă 0=R (FALS!)

Cazul al II-lea: 01 =x , 02 >x

Atunci, din relaŃia (3”) obŃinem 022 >=R

x .

Din relaŃia (2’) avem 2* =λ .

Mai rămâne de verificat condiŃia (1): 0642

≤−+R

, de unde obŃinem 4≤R .

Putem astfel afirma că soluŃia optimă a problemei este de forma:

2,2

,0 **2

*1 === λ

Rxx , dacă venitul satisface condiŃia 4≤R .

Cazul al III-lea: 01 >x , 02 =x

Din relaŃia ( )"3 obŃinem 31

Rx = , iar din (1’): 034

3

2=−+ λ

R, adică

3

4

9

2+=

Rλ .

Mai rămâne de verificat condiŃia (2): 03

8

9

44

3≤−−+

RR, adică: 12≥R .


3

4

9

2,0,

3**

2*

1 +===R

xR

x λ , dacă venitul satisface condiŃia 12≥R .



Cazul al IV-lea: 01 >x , 02 >x În acest caz toate derivatele parŃiale ale funcŃiei lui Lagrange trebuie egalate cu zero. Avem astfel:

- din (1’): 0342 21 =−++ λxx

- din (2’): 0241 =−+ λx

- din (3”): Rxx =+ 21 23 Rezolvăm sistemul format cu cele trei ecuaŃii şi obŃinem soluŃia:

2

41

−=

Rx ,

4

122

Rx

−=

4

4+=

Rλ

SoluŃia obŃinută este optimă dacă respectivele componente ale soluŃiei sunt strict pozitive. Adică, dacă ( )12,4∈R .


2

4*1

−=

Rx ,

4

12*2

Rx

−=

4

4* +=

Rλ , dacă venitul satisface condiŃia ( )12,4∈R .

În concluzie, putem exprima soluŃia optimă a problemei în funcŃie de diferitele valori pe care le

poate lua venitul disponibil:

≥

<<−

≤

=

12 daca ,3

124 daca ,2

4

4 daca ,0

)(*1

RR

RR

R

Rx şi

≥

<<−

≤

=

12 daca ,0

124 daca ,4

12

4 daca ,2

)(*2

R

RR

RR

Rx

d) Vom reprezenta grafic dependenŃele cantităŃilor consummate în funcŃie de venit, în sistemul de axe .ROx

Figura 4.3. Curbele consum-venit (Curbele lui Engel)

Bunul 1 este un bun normal, deoarece pe măsură ce venitul creşte, creşte şi consumul. În cazul bunului 2 se observă că dacă venitul este mai mic decât 4, consumul din acest bun creşte. Dacă venitul este mai mare decât 4, dar mai mic decât 12, consumul de bun 2 scade, iar pentru un venit mai mare decât 12 agentul economic nu mai consumă bunul 2. Acest bun este inferior.

X2( R)

X1( R)

O 12 4

X1(R)

X2(R)

R

Curbele lui Engel






1. Rezolvarea problemelor de optimizare la nivelul consumatorului.

2. Interpretarea economică a multiplicatorilor Lagrange utilizaŃi în rezolvarea problemelor

de optimizare.

3. Determinarea funcŃiilor de cerere necompensată şi a funcŃiei de utilitate indirectă.

Verificarea proprietăŃilor acestora. Interpretarea economică a rezultatelor.


4. Caracterizarea funcŃiilor de utilitate din punct de vedere al concavităŃii şi q-concavităŃii.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 6-7 ALEGERI OPTIMALE ALE CONSUMATORULUI Cererea compensată şi funcŃia de cheltuială minimă

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 6-7 6. Problema duală a consumatorului

6.1. Caracterizarea soluŃiei optime a problemei duale

6.2. Cererea compensată şi funcŃia de cheltuială minimă

7. Legătura între cele două probleme de optimizare ale consumatorului

7.1. Legătura între cererea compensată şi cererea necompensată






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 6-7 • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru a formula şi rezolva modelele matematico-economice

asociate agentului economic de tip consumator. • Aprofundarea noŃiunilor: funcŃii de cerere compensată, funcŃia de cheltuială minimă. • Caracterizarea comportamentului consumatorului prin interpretarea economică a

proprietăŃilor conceptelor studiate • Dobândirea cunoştinŃelor necesare pentru a caracteriza din punct de vedere economic

rezultatele obŃinute în rezolvarea problemelor de optimizare la nivelul consumatorului

6. Problema duală a consumatorului Alternativ la a determina pachetul optim de consum care maximizează satisfacŃia consumatorului, o altă problemă economică este reprezentată de determinarea cheltuielii minime necesare pentru a asigura consumatorului cel puŃin nivelul de utilitate u fixat.

Fie X mulŃimea consumurilor posibile, nX ℜ⊂ , vectorul de preŃuri ( )nppp ,...,1= şi funcŃia

de utilitate RXU →: strict crescătoare şi strict concavă, de clasă C2.

Formularea problemei

Problema duală constă în determinarea pachetului de consum ( )**2

*1 ,...,, nxxx ca soluŃie a

programului:

(D)

( )( )

≥≥≥

≥

+++

0,...,0,0

,...,,

...min

21

21

2211

n

n

nn

xxx

uxxxU

xpxpxp

6.1. Caracterizarea soluŃiei optime a problemei duale

Asociem restricŃiei multiplicatorul Lagrange µ şi scriem funcŃia lui Lagrange:

( ) ( )[ ]nnnn xxxUuxpxpxpxxxL ,...,,...,,...,, 21221121 −++++= µµ


( )

=⇒=∂∂

==∂∂

−⇒=∂∂

n

i

i

i

xxxUuL

nix

Up

x

L

,...,,0

,...,2,1,00

21µ

µ

Putem enunŃa acum câteva trăsături ale soluŃiei optime: a) Din condiŃiile de optim rezultă că:

0* >=i

i

u

pµ , deci ( )**

2*

1 ,...,, nxxxUu = (*)

Adică, restricŃia problemei duale se realizează cu egalitate şi cu interpretarea eonomică următoare: la optim, consumatorul obŃine exact nivelul de utilitate dorit.



b) Avem de asemenea, *

* 11

λµ ===

i

ii

i

p

uu

p (**)

Adică, multiplicatorul Lagrange al problemei duale este inversul multiplicatorului Lagrange asociat problemei prinale.

c) Din niu

p

i

i ,...,2,1,* ==µ avem:

*2

2

1

1 1...

µ====

n

n

p

u

p

u

p

u (***)

Cu alte cuvinte, la optim, raportul utilitate marginală/preŃ este acelaşi pentru toate bunurile, o trăsătură ce caracteriza şi soluŃia problemei primale. d) Folosind relaŃia de mai sus, scrisă pentru doi indici i şi j diferiŃi avem:

j

j

i

i

p

u

p

u=

sau j

i

j

i

jip

p

u

uRMS == , njiii ,...,2,1,, =≠ (****)

Interpretarea economică este aceeaşi ca şi în cazul problemei primale: La optim, rata marginală de substituŃie între oricare două bunuri egalează raportul preŃurilor unitare ale acelor bunuri. e) Notând cu C valoarea optimă a funcŃiei obiectiv din problema duală, avem:

nn xpxpxpC +++= ...2211

de unde prin diferenŃiere avem nndxpdxpdxpdC +++= ...2211 .

Folosim condiŃiile de optim de forma ii pu =*µ în relaŃia de mai sus:

[ ]nnnn dxudxudxudxpdxpdxpdC +++=+++= ...... 2211*

2211 µ

Atunci putem scrie: dUdC *µ= sau

dU

dC=*µ (*****)

ce reprezintă cheltuiala marginală a utilităŃii. 6.2. Cererea compensată şi funcŃia de cheltuială minimă Să reluăm problema duală a consumatorului:

(D)

( )( )

≥≥≥

≥

+++

0,...,0,0

,...,,

...min

21

21

2211

n

n

nn

xxx

uxxxU

xpxpxp

care poate fi scrisă ca:



(D) ( )

≥

≥

0

min

x

uxU

px

.

DefiniŃia 1. SoluŃia optimă a problemei duale (D) se numeşte funcŃia de cerere compensată şi se notează cu ),( upϕ .

ObservaŃie: Scrierea ( )up,ϕ corespunde de fapt vectorului soluŃie:

( )

=

),,...,,(

),,...,,(

),,...,,(

,

21

212

211

uppp

uppp

uppp

up

nn

n

n

ϕ

ϕϕ

ϕM

, unde fiecare ),,...,,( 21 uppp niϕ reprezintă funcŃia

de cerere compensată din bunul i. DefiniŃia 2. Valoarea optimă a funcŃiei obiectiv a programului (D) se numeşte funcŃia de cheltuială

minimă şi se notează cu ( )upC , .

Avem deci, ( ) ( )uppupC ,, ϕ⋅= . ProprietăŃile funcŃiei de cheltuială minimă

1. ( )upC , este crescătoare în u.

2. ( )upC , este concavă în p.

3. ( )upC , este omogenă de gradul întâi în preŃuri.

4. ( )upC , este diferenŃiabilă în preŃuri şi în plus,

( ) ( ) niupp

upCi

i

,...,2,1,,,

==∂

∂ϕ

Această proprietate mai este cunoscută şi sub denumirea de lema lui Shepard şi are o interpretare economică imediată: dacă preŃul bunului i creşte cu o unitate cheltuiala minimă creşte exact cu componenta de rang i a soluŃiei optime. 5. ( )upC , este crescătoare în preŃuri. DemonstraŃie

1. Avem ( ) pxupC

uxUx

≥≥

=)(

0min,

Fie 'uu ≥ .

Atunci din ( ) ( ) ( ) ( ) '00' uxUxuxUxuxUuxU ≥≥⊂≥≥⇒≥⇒≥ .

Comparăm valorile funcŃiilor obiectiv ale problemelor de optimizare corespunzătoare nivelurilor de utilitate u şi u’:

( ) ( )p,u'Cp,uCpxpx

uxUx

uxUx

≥⇒≥≥

≥≥

≥ min min

')(0

)(0

.

Rezultă că ( )upC , este crescătoare în u.

2. Fie ', pp doi vectori de preŃuri şi ( )1,0∈α . Considerăm vectorul de preŃuri ( ) '1 ppp ααα −+= . Pentru vectorul de preŃuri p, cererea compensată satisface condiŃia:



( ) ( ) ( )uppuppupC ,,, αϕϕ ≤= Pentru vectorul de preŃuri p’, cererea compensată satisface condiŃia:

( ) ( ) ( )uppuppupC ,','',' αϕϕ ≤=

ÎnmulŃim prima relaŃie cu α , iar a doua cu ( )α−1 şi adunăm relaŃiile obŃinute:

( ) ),(,),'()1(),( upCuppupCupC αααϕαα =≤−+ sau ),')1((),'()1(),( uppCupCupC αααα −+≤−+

de unde rezultă că ( )upC , este concavă în p. 3. Să analizăm valoarea funcŃiei ( )upC ,α :

( ) ( ) ),(minmin,0)(

0)(

0upCpxxpupC

xUx

uxUx

αααα ===≥

≥≥

≥

Am obŃinut astfel proprietatea de omogenitate de gradul întâi în raport cu preŃurile. 4. DiferenŃiabilitatea funcŃiei de cheltuială minimă (Lema lui Shepard)

Fie 0≠h un vector linie, o variaŃie a preŃurilor astfel încât 0≥+ hp .

Evaluăm funcŃia de cheltuială minimă pentru sistemul de preŃuri hp + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uphuppuphpuhphpuhpC ,,,,, ϕϕϕϕ +=+≤++=+ sau

( ) ( ) ( )uphupCuhpC ,,, ϕ+≤+ de unde obŃinem:

( ) ( ) ),(,, uphupCuhpC ϕ≤−+ (I) Evaluăm funcŃia de cheltuială minimă pentru sistemul de preŃuri p:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )uhphhpuhppuppupC ,,,, +−+=+≤= ϕϕϕ sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uhphuhpCuhphuhphpupC ,,,,, +−+=+−++≤ ϕϕϕ de unde obŃinem: ( ) ( ) ),(,, uhphupCuhpC +≥−+ ϕ (II)

Din (I) şi (II) rezultă că: ( ) ( ) ( ) ( )uphupCuhpCuhph ,,,, ϕϕ ≤−+≤+

În relaŃia anterioară adunăm în fiecare membru al inegalităŃii ( )( )uph ,ϕ− . Rezultă atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,, ≤−−+≤−+ uphupCuhpCuphuhph ϕϕϕ (III)

ÎmpărŃim fiecare membru al inegalităŃii (III) la |||| h (care este diferită de 0, deoarece 0≠h ). De unde rezultă:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )0

||||

,,,,,

||||≤

−−+≤−+

h

uphupCuhpCupuhp

h

h ϕϕϕ (IV)

Termenul |||| h

h este mărginit, deoarece 1||||

||||

1

||||== h

hh

h.

Când 0→h primul termen al inegalităŃii anterioare este zero, de unde rezultă, conform teoremei cleştelui, că şi membrul din mijloc tinde la zero. Atunci,



( ) ( ) ( )

0||||

,,,lim

0=

−−+→ h

uphupCuhpC

h

ϕ (V)

ceea ce corespunde definiŃiei diferenŃiabilităŃii funcŃiei ( )upC , .

Fie ( )0,...,0,,0,...,0,0 th = , unde t se află pe poziŃia i, iar i este arbitrar ales. Atunci:

( ) ( ) ( )upttuph i

n

,...

0,...,0,,0,...,0,0, 2

1

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ =

=

În cazul în care tthhhht n =++++++=++=⇒> 22222222

21 0...00...0...||||0 , iar

0→h este echivalent cu 0→t . Atunci, din (IV) rezultă că:

( ) ( ) ( )uph

upCuhpCi

h,

||||

,,lim

0ϕ=

−+→

Exprimarea este echivalentă cu: ( ) ( ) ( )up

t

ppppCupptpppCi

ninii

t,

,...,,...,,,,...,,,...,,lim 21121

0ϕ=

−+−

→

RelaŃia anterioară este chiar definiŃia derivatei parŃiale a lui ( )upC , în raport cu ip .

Deci, ( ) ( )upp

upci

i

,,

ϕ=∂

∂, pentru orice ni ,...,1= . Ceea ce înseamnă că la o modificare mică a

preŃului ip are loc o modificare a funcŃiei de cheltuială minimă egală cu ( )upi ,ϕ .

5. Monotonia funcŃiei de cheltuială minimă ăn raport cu preŃurile rezultă imediat din Lema lui Shepard:

Avem ( ) ( ) 0,

,≥=

∂∂

upp

upCi

i

ϕ , de unde rezultă că ( )upC , este crescătoare în raport cu pi.

7. Legătura între cele două probleme de optimizare ale consumatorului

7.1. Legătura între cererea compensată şi cererea necompensată

Să reluăm cele două probleme de optimizare ale consumatorului:

(P)

( )

≥

≤

0

max

x

Rpx

xU

şi (D) ( )

≥

≥

0

min

x

uxU

px



Între soluŃiile celor două probleme de optimizare ale consumatorului există următoarele legături: - dacă în problema (P) termenul liber R al restricŃiei se înlocuieşte cu valoarea optimă a obiectivului problemei duale ),( upC , atunci:

( )( ) ( )upupCpX ,,, ϕ= - dacă în problema (D) termenul liber u al restricŃiei se înlocuieşte cu valoarea optimă a

obiectivului problemei primale ),( RpV , atunci:

( )( ) ( )RpXRpVp ,,, =ϕ


Problema 1. Considerăm funcŃia de utilitate ℜ→ℜ⊂ 2: XU , ( ) ( )2121 lnln2

1, xxxxU += , ce este

strict crescătoare, strict concavă şi de clasă 2C , iar 0 x,0 21 >>x . Se cere:

a) Să se determine funcŃiile de cerere necompensată şi funcŃia de utilitate indirectă. EnunŃaŃi şi verificaŃi proprietăŃile acestora. b) Să se determine funcŃiile de cerere compensată şi funcŃia de cheltuială minimă. EnunŃaŃi şi verificaŃi proprietăŃile acestora. c) Să se scrie şi să se verifice legăturile existente între cele două tipuri de funcŃii de cerere. Rezolvare

a) Cererea necompensată ( )RpX , se obŃine ca soluŃie optimă a problemei de optimizare:

(P)

≥≥

≤+

+=

0 x,0

ln2

1ln

2

1),(max

21

2211

2121, 21

x

Rxpxp

xxxxUxx

Asociem problemei funcŃia lui Lagrange:

( ) ( )22112121 ln2

1ln

2

1,, xpxpRxxxxL −−++= λλ

CondiŃiile de ordinul întâi asociate problemei se scriu:

2211

222

111

0

02

10

02

10

xpxpRL

pxx

L

pxx

L

+=⇒=∂∂

=−⇒=∂∂

=−⇒=∂∂

λ

λ

λ

Din primele două ecuaŃii rezultă prin împărŃire că:

22112

1

1

2 xpxpp

p

x

x=⇒=



Folosim acest rezultat în ultima ecuaŃie şi obŃinem Rxp =112 , de unde,

( )

=

=

2

1

2

1

2

2

),(

),(,

p

R

p

R

RpX

RpXRpX

Din prima condiŃie de optim putem acum determina şi valoarea optimă a multiplicatorului

Lagrange, R

1* =λ .

Proprietate: FuncŃiile de cerere necompensată sunt funcŃii omogene de grad zero în raport cu preŃurile şi venitul, adică 0),,(),( >∀= ααα RpXRpX . Să verificăm această proprietate:

( ) ( )

( )

),(

2

2

2

2,

2

1

2

1RpX

p

R

p

R

p

R

p

R

RpX =

=

=

αα

αα

αα

Putem determina acum funcŃia de utilitate indirectă ca ( ) ( )( )RpXURpV ,, = .

ObŃinem ( )2121

2

2ln

4ln

2

1,

pp

R

pp

RRpV == .

ProprietăŃile funcŃiei de utilitate indirectă: 1. ( )RpV , este o funcŃie continuă în 0>>p şi 0>R . Proprietatea este evidentă.

2. ( )RpV , este o funcŃie descrescătoare în raport cu preŃurile:

Avem 02

1

11

<−=∂∂

pp

V şi 0

2

1

22

<−=∂∂

pp

V.

3. ( )RpV , este crescătoare în raport cu venitul.

Avem 01>=

∂∂

RR

V

4. ( )RpV , este q-convexă în p. ObservaŃie: O funcŃie f este q-convexă dacă funcŃia –f este q-concavă.

Studiem atunci q-concavitatea funcŃiei ( )21

2

4ln

2

1,

pp

RRpV −=− .

Matricea Hessiană asociată funcŃiei ( )RpV ,− este:

−

−

=−

22

21

21

2

10

02

1

),(

p

pppH V

iar minorul bordat al matricei se scrie:



04

1

02

1

2

12

1

2

10

2

10

2

1

22

21

21

22

2

12

1

>=−

−

pp

pp

pp

pp

de unde rezultă că funcŃia ( )RpV ,− este q-concavă în p. Atunci funcŃia ( )RpV , este q-convexă în p.

5. FuncŃia ( )RpV , este omogenă de grad zero în raport cu preŃurile şi venitul:

( ) ( )RpVpp

R

pp

RRpV ,

4ln

2

1

4ln

2

1,

21

2

21

22

===αα

ααα

6. ( )RpV , satisface relaŃia R

RpV

∂∂

=),(*λ :

*1),(λ==

∂∂

RR

RpV

7. ( )RpV , satisface Identitatea lui Roy ),(),(

),(

RpX

R

RpV

p

RpV

j

j =

∂∂

∂∂

Avem: ),(21

2

1

),(

),(

11

11 RpXp

R

R

p

R

RpV

p

RpV

===

∂∂

∂∂

şi analog pentru cererea de bun 2.

b) Cererea compensată ( )up,ϕ este soluŃia optimă a problemei duale a consumatorului:

(D)

( )

≥≥

≥+

+

0 x,0

ln2

1ln

2

1

min

21

21

2211

x

uxx

xpxp


( )

−−++= 21221121 ln2

1ln

2

1,, xxuxpxpxxL µλ

CondiŃiile de ordinul întâi se scriu:

uxxL

xp

x

L

xp

x

L

2lnln0

02

0

02

0

21

22

2

11

1

=+⇒=∂∂

=−⇒=∂∂

=−⇒=∂∂

µ

µ

µ



Din primele două ecuaŃii rezultă prin împărŃire că:

1

2212211

1

2

2

1

p

xpxxpxp

x

x

p

p=⇒=⇒=

Folosim acest rezultat în ultima ecuaŃie:

uxp

xp2ln 2

1

22 =

Rezultă că 2

12

p

pex u= , iar

1

21

p

pex u= .

Atunci vectorul funcŃiilor de cerere compensată se scrie:

( )

=

2

1

1

2

,

p

pe

p

pe

up

u

u

ϕ

Putem determina acum şi valoarea optimă a multiplicatorului Lagrange asociat restricŃiei din problema duală:

212 ppeu=µ

FuncŃia de cheltuială minimă se obŃine ca valoare optimă a funcŃiei obiectiv din problema duală:

( ) ( ) 212

12

1

21 2,, ppe

p

pep

p

pepuppupC uuu =+== ϕ .

În continuare să verificăm proprietăŃile funcŃiei de cheltuială minimă:

1. FuncŃia de cheltuială minimă este crescătoare în raport cu u:

( )02

,21 >=

∂∂

ppeu

upC u

2. FuncŃia de cheltuială minimă este crescătoare în p:

( )

( )

>===∂

∂

>===∂

∂

0),(2

12

,

0),(2

12

,

22

1

2

12

11

2

1

21

upp

pe

ppe

p

upC

upp

pe

ppe

p

upC

uu

uu

ϕ

ϕ

3.FuncŃia de cheltuială minimă este concavă în p: Matricea Hessiană asociată funcŃiei ( )upC , este:

−

−=

−−−

−−−

2

3

22

1

12

1

22

1

1

2

1

22

1

12

1

22

3

1

21

2

1

2

12

1

2

1

),(

ppeppe

ppeppeppH

uu

uu

C ,

cu 10 =∆ , 02

1 2

1

22

3

11 <−=∆−

ppeu , 02 =∆ . Astfel funcŃia este concavă în preŃuri.



4. FuncŃia de cheltuială minimă este omogenă de grad unu în preŃuri, adică ( ) ),(, upCupC αα = . Avem:

),(2))((2),( 2121 upCppeppeupC uu ααααα ===

5. Lema lui Shepard: ),( upC este diferenŃiabilă în 21 , pp şi ( ) ( )upp

upci

i

,,

ϕ=∂

∂, 2,1=i .

Această proprietate a fost deja verificată mai sus (vezi monotonia funcŃiei în raport cu preŃurile). c) Între soluŃiile celor două probleme de optimizare ale consumatorului există următoarele legături: - dacă în problema (P) termenul liber R al restricŃiei se înlocuieşte cu valoarea optimă a obiectivului problemei duale ),( upC , atunci:

( )( ) ( )upupCpX ,,, ϕ= Într-adevăr, avem:

( )( )

( )

( )( )up

p

pe

p

pe

p

ppe

p

ppe

p

upC

p

upC

upCpX

u

u

u

u

,

2

2

2

2

2

,

2

,

,,

2

1

1

2

2

21

1

21

2

1 ϕ=

=

=

=

- dacă în problema (D) termenul liber u al restricŃiei se înlocuieşte cu valoarea optimă a obiectivului problemei primale ),( RpV , atunci:

( )( ) ( )RpXRpVp ,,, =ϕ Într-adevăr, avem:

( )( ) ( )RpX

p

R

p

R

p

pe

p

pe

p

pe

p

pe

RpVp

pp

R

pp

R

RpV

RpV

,

2

2,,

2

1

2

12ln

1

22ln

2

1),(

1

2),(

21

21

=

=

=

=ϕ



Întrebări şi probleme de rezolvat Bibiliografie Unitatea de ÎnvăŃare 6-7



1. Rezolvarea problemelor de optimizare la nivelul consumatorului.

2. Interpretarea economică a multiplicatorilor Lagrange utilizaŃi în rezolvarea problemelor

de optimizare.

3. Determinarea funcŃiilor de cerere compensată şi a funcŃiei de cheltuială minimă pentru un

consumator oarecare. Verificarea proprietăŃilor acestora. Interpretarea economică a

rezultatelor.




UNITATEA DE ÎNVĂłARE 8 INFLUENłA MODIFICĂRII PREłURILOR ŞI VENITULUI ASUPRA CERERII DE BUNURI Indicatori de tip elasticitate

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 8 8. Indicatori utilizaŃi în teoria consumatorului. Analiza cererii de bunuri cu indicatori

de tip elasticitate

8.1. Elasticitatea cererii în raport cu venitul

8.2. Elasticitatea cererii în raport cu preŃul unitar direct

8.3. Elasticitatea cererii în raport cu preŃul unitar al altui bun






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 8 • Dobândirea cunoştinŃelor necesare caracterizării cererilor de bunuri ale consumatorului cu

ajutorul indicatorilor de tip elasticitate. • ÎnŃelegerea modului în care modificarea preŃurilor sau venitului afectează structura

consumurilor consumatorului

8. Indicatori utilizaŃi în teoria consumatorului.

Analiza cererii de bunuri cu indicatori de tip elasticitate

Să reluăm prima problemă de optimizare a consumatorului, în cazul n-dimensional:

(P)

( )

≥≥≥

≤++

0,...,0 x,0

...,x

,...,,x Umax

21

2211

21

n

nn

n

xx

Rxpxpp

xx

SoluŃia acestei probleme este reprezentată de vectorul funcŃiilor de cerere necompensată, ( ) ( )

nii RpXRpX ,...,2,1),(, ==

În analiza microeconomică interesează determinarea modului în care variabilele exogene

(preŃurile şi venitul) influenŃează evoluŃia cererii din bunurile achiziŃionate pentru consum. Senzitivitatea modificării cererii poate fi studiată şi cu ajutorul indicatorilor procentuali.

Presupunem că funcŃia de cerere pentru un bun h este: ( )RppppXX nhhh ,,...,,...,, 21=

Vom adopta presupunerea că cererea este diferenŃiabilă în raport cu preŃurile şi venitul. 8.1. Elasticitatea cererii în raport cu venitul DefiniŃia 1. Se numeşte elasticitatea cererii de bun h în raport cu venitul indicatorul:

R

RpX

R

RpXE hh

RX h

),(:

),(/ ∂

∂= (dacă cererea este diferenŃiabilă)

R

X

R

XE hh

RX h:/ ∆

∆= (dacă cererea nu este diferenŃiabilă)

Din punct de vedere economic, acest indicator arată cu câte procente se modifică cererea de bun h, hX , atunci când venitul consumatorului creşte cu un procent.

Fie ( )

R

Rppppxp nhhh

h

,,...,,...,, 21=θ ponderea cheltuielilor ocazionate de achiziŃionarea

bunului h în venit (este un coeficient bugetar). Evident, 1≤hθ .

Prin diferenŃiere în raport cu venitul, rezultă:



−

∂

∂=

−∂

∂

=∂

∂1

),(

),(),(),(),(

22 RpX

R

R

RpX

R

RpXp

R

RpXpR

RpXp

R h

hhhhh

h

hhθ

sau

[ ]1),(/2−=

∂

∂RX

hhh

hE

R

RpXp

R

θ

Avem atunci:

( )1sgnsgn / −=

∂

∂RX

h

hE

R

θ

Sunt posibile următoarele situaŃii:

• Dacă 0/ <RX hE , atunci 0<

∂

∂

R

hθ , de unde rezultă că o dată cu creşterea venitului are loc atât o

reducere a cantităŃii de bun h, cât şi o reducere a coeficientului bugetar asociat bunului h. Bunul h este un bun inferior.

• Dacă ( )1,0/ ∈RX hE , atunci 0<

∂

∂

R

hθ , de unde rezultă că o creştere a venitului cu un procent

atrage după sine o creştere a volumului cheltuielilor mai mică de un procent. Cererea de bun h este astfel inelastică (bunul h este de strictă necesitate, normal).

• Dacă 1/ >RX hE , atunci 0>

∂

∂

R

hθ rezultă că o creştere cu un procent a venitului duce la o

creştere mai mare de un procent a cheltuielilor. Cererea este elastică în acest caz, iar bunul este un bun de lux.

8.2. Elasticitatea cererii în raport cu preŃul unitar direct DefiniŃia 2. Se numeşte elasticitatea cererii de bun h în raport cu preŃul unitar al bunului respectiv indicatorul:

h

h

h

h

pXp

RpX

p

RpXE

hh

),(:

),(/ ∂

∂=

Din punct de vedere economic, acest indicator arată cu câte procente se modifică cererea de bun h, hX , atunci când preŃul unitar al bunului respectiv creşte cu un procent.

ObservaŃie: În general, indicatorul 0/ <hh pXE

Fie ),( RpXpD hhh = cheltuiala asociată consumului de bun h.

Analizăm cum se modifică acest indicator în funcŃie de evoluŃia preŃului:

∂

∂⋅+=

∂

∂+=

∂

∂

h

h

h

h

h

h

h

hh

h

h

p

X

X

pX

p

RpXpRpX

p

D1

),(),(

sau

( )hh pXh

h

h ERpXp

D/1),( +=

∂

∂



Avem atunci:

( )hh pX

h

h Ep

D/1sgnsgn +=

∂

∂


• Dacă 1/ −<hh pXE , atunci 0<

∂

∂

h

h

p

D, cererea este elastică; o dată cu creşterea preŃului are loc

atât o reducere a cantităŃii de bun h, cât şi o reducere a cheltuielii asociată bunului h. Bunul h este

un bun de lux.

• Dacă ( )0,1/ −∈hh pXE , atunci 0>

∂

∂

h

h

p

D, cererea este inelastică; o creştere a preŃului cu un

procent atrage după sine o creştere a volumului cheltuielilor mai mică de un procent. Bunul h este de strictă necesitate, prioritar.

8.3. Elasticitatea cererii în raport cu preŃul unitar al altui bun DefiniŃia 3. Se numeşte elasticitatea cererii de bun h în raport cu preŃul unitar al bunului k indicatorul:

k

h

k

h

pXp

RpX

p

RpXE

kh

),(:

),(/ ∂

∂=

Din punct de vedere economic, acest indicator arată cu câte procente se modifică cererea de bun h, hX , atunci când preŃul unitar al altui bun k creşte cu un procent.

Sunt posibile următoarele situaŃii: • Dacă 0/ <

kh pXE , atunci bunurile h şi k sunt complementare.

• Dacă 0/ >kh pXE , atunci bunurile h şi k sunt substituibile.

DefiniŃia 4. Se numeşte elasticitatea substituirii bunului k cu bunul h indicatorul:

∂

∂=

h

k

ms

hk

h

k

ms

hk

R

p

p

R

p

p

RE ms :

Din punct de vedere economic, acest indicator arată cu câte procente se modifică rata marginală

de substituŃie ms

hkR atunci când raportul preŃurilor unitare creşte cu un procent.


Problema 1. PreferinŃele unui consumator sunt descrise de funcŃia de utilitate: ( ) ( )1, 2121 −= xxxxU . PreŃurile unitare ale celor două bunuri sunt notate cu p1 şi respectiv p2 , iar R reprezintă venitul

disponibil al consumatorului.

Se cere: a) Să se determine funcŃiile de cerere necompensată.



b) Să se determine şi să se interpreteze elasticităŃile cererilor din cele două bunuri în raport cu venitul şi preŃurile unitare, dacă 121 == pp şi 3=R .

Rezolvare

Cererile din cele două bunuri sunt soluŃii ale problemei de optimzare:

≥≥

≤+

−=

0,0

)1(),((max)

21

2211

2121

xx

Rxpxp

xxxxU

FuncŃia lui Lagrange asociată problemei este: ( )22112121 )1(),,( xpxpRxxxxL −−+−= λλ CondiŃiile de optim (utilizând metoda Lagrange) sunt:

010 121

=−−⇒=∂∂

pxx

Lλ

00 212

=−⇒=∂∂

pxx

Lλ

00 2211 =−−⇒=∂∂

xpxpRL

λ

ObŃinem soluŃia (în ipoteza în care toate componentele sunt pozitive):

+

−

=

2

2

1

2

2

2),(

p

pR

p

pR

RpX , 21

2*

2 pp

pR −=λ

b) Folosind datele problemei 121 == pp şi 3=R , obŃinem cantităŃile consumate din cele două bunuri:

( )

( )

=+

=

=−

=

22

133,1,1

12

133,1,1

2

1

X

X

Putem calcula acum indicatorii de tip elasticitate: - elasticităŃile cererilor în raport cu venitul:

==∂

∂=

==∂

∂=

75,0:2

1:

5,1:2

1:

2

2

22/

1

1

11/

2

1

R

X

pR

X

R

XE

R

X

pR

X

R

XE

RX

RX

Interpretarea economică: o creştere cu 1% a venitului duce la creşterea cu 1,5% a consumului de bun 1 şi la creşterea cu 0.75% a consumului de bun 2.

- elasticităŃile cererilor în raport cu preŃul unitar direct:

−=−=∂

∂=

−=−

−=∂

∂=

75,0:2

:

1:2

:

2

22

22

2

2

2/

1

12

1

2

1

1

1

1/

22

11

p

X

p

R

p

X

p

XE

p

X

p

pR

p

X

p

XE

pX

pX



Interpretarea economică: o creştere cu 1% a preŃului bunului 1 duce la scădere cu 1% a consumului de bun 1, iar creşterea preŃului bunului 2 cu 1% duce la scăderea cu 0,75% a consumului de bun 2. - elasticitatea încrucişată: elasticitatea cererii de bun 1 în raport cu preŃul bunului 2:

2

1:

2

1:

2

1

12

1

2

1/ 21

−=−=∂

∂=

p

X

pp

X

p

XE pX

Interpretarea economică: creşterea cu un procent a preŃului bunului 2 duce la scăderea consumului de bun 2 şi la scăderea consumului de bun 1 cu 0,5%, de unde rezultă că bunurile 1 şi 2 sunt complementare.




1. DefiniŃia şi calculul indicatorilor de elasticitate.

2. Interpretarea economică a elasticităŃilor cererilor de bunuri în raport cu diferitele variabile

care influenŃează aceste cereri.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 9-10 INFLUENłA MODIFICĂRII PREłURILOR ŞI VENITULUI ASUPRA CERERII DE BUNURI Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 9-10

9. InfluenŃa modificării venitului şi a preŃurilor asupra cererii de bunuri

9.1. InfluenŃa modificării venitului asupra cererilor de bunuri

9.2. InfluenŃa modificării preŃului unitar al unui bun asupra cererilor de bunuri

9.2.1. Efectul total de preŃ

9.2.2. Metoda Hicks de descompunere a efectului de preŃ

9.2.3. Metoda Slutsky de descompunere a efectului de preŃ

9.2.4. Descompunerea efectului total de preŃ

9.3. InfluenŃa modificării simultane a preŃurilor şi venitului asupra cererilor de bunuri






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 9-10 • Dobândirea cunoştinŃelor necesare caracterizării cererilor de bunuri ale consumatorului cu

ajutorul indicatorilor de tip elasticitate. • ÎnŃelegerea modului în care modificarea preŃurilor sau venitului afectează structura

consumurilor consumatorului • Aprofundarea diferitelor metode de analiză a efectului modificării preŃurilor şi venitului

asupra cererilor de bunuri şi interpretarea economică a rezultatelor

InfluenŃa modificării venitului şi a preŃurilor asupra cererii de bunuri

Considerăm în continuare cazul bidimensional, în care consumatorul are la dispoziŃie două bunuri pe care doreşte să le achiŃitioneze, în limita venitului disponibil, cu scopul de a-şi maximiza utilitatea. Alegerea acestui caz mai simplu permite totuşi o analiză ce poate fi uşor generalizată pentru cazul n-dimensional, majoritatea concluziilor fiind deduse inclusiv pe baza reprezentărilor grafice.

Problema de optimizare a consumatorului, în cazul 2=n se scrie:

(P)

≥≥

≤+

0,0

),((max)

21

2211

21

xx

Rxpxp

xxU

iar soluŃia acesteia este reprezentată de vectorul funcŃiilor de cerere necompensată, ( )RpX , . Vom analiza ce se întâmplă cu structura soluŃiei optime şi cum se modifică cantităŃile consumate

din cele două bunuri atunci când se modifică, pe rând, venitul disponibil al consumatorului, respectiv unul dintre preŃurile unitare ale celor două bunuri. 9.1. InfluenŃa modificării venitului asupra cererilor de bunuri Pentru problema de optimizare generală, restricŃia bugetară este Rxpxp =+ 2211 .

De unde, 2

12

12

p

Rx

p

px +−= . Atunci raportul

2

1

p

p− reprezintă panta dreptei bugetare sau se

mai numeşte şi coeficient unghiular.



Figura 9.1. Modificarea echilibrului consumatorului generată de modificarea venitului

Dacă preŃurile unitare 21 , pp sunt constante, atunci panta dreptei bugetare este constantă. Dacă

se modifică venitul astfel încât "' RRR << , atunci are loc o deplasare a dreptei de buget către dreapta sus, iar deplasarea este paralelă cu dreapta iniŃială. De fiecare dată, punctul de optim corespunde punctului de tangenŃă între curba de izoutilitate (sau de indiferenŃă) şi dreapta bugetară. Sunt posibile următoarele situaŃii:

a) dacă o creştere a venitului implică o creştere a consumului din cele două bunuri, atunci, se spune că bunurile 1 şi 2 sunt bunuri normale.

b) dacă o creştere a venitului implică o scădere a consumului de bun 1 şi o creştere a consumului de bun 2, atunci se spune că bunul 1 este un bun inferior.

PreŃurile fiind constante, cererile de bunuri pot fi exprimate numai în funcŃie de venit, adică

obŃinem dependenŃele )(1 RX şi )(2 RX . Aceste dependenŃe pot fi reprezentate grafic într-un sistem de axe XOR şi se obŃin astfel curbele consum-venit sau Curbele lui Engel, care evidenŃiază evoluŃia cantităŃii consumate din fiecare bun în funcŃie de venit şi permit caracterizarea bunurilor din punct de vedere economic. 9.2. InfluenŃa modificării preŃului unui bun asupra cererilor de bunuri

Considerăm următoarea situaŃie: 2p este constant, 1p este variabil, iar venitul nu se modifică şi

fie 111 "' ppp << . Atunci panta dreptei bugetare se modifică, astfel încât creşterea preŃului bunului 1 are ca efect modificarea (deplasarea către stânga) punctului de intersecŃie al acestei drepte cu axa orizontală, în timp ce intersecŃia cu axa verticală nu se modifică.

R”/p1 R’/p1

R”/p2

R’/p2

R/p2

R/p1

x2

x1



Figura 9.2. Modificarea echilibrului consumatorului generată de modificarea preŃului unitar al bunului 1

Într-o astfel de situaŃie, a modificării preŃului unitar al unui bun, echilibrul consumatorului se modifică, iar modificările survenite în cantităŃile consumate de acesta sunt evidenŃiate de aşa-numitul efect total de preŃ. Acest efect total se poate descompune în două componente, efectul de venit şi efectul de substituŃie:

- Dacă preŃul unitar al bunului 1 1p creşte, atunci scade consumul de bun 1, puterea de cumpărare a venitului fiind mai mică; această reducere a puterii de cumpărare implică faptul că agentul (consumatorul) devine mai sărac. Acesta este efectul de venit.

- Dacă 1p creşte, consumul de bun 1 se reduce în general, dar simultan poate avea loc o creştere a consumului de bun 2. Acest efect se numeşte efect de substituŃie.

Cele două efecte, precum şi efectul total de preŃ pot fi puse în evidenŃă şi cuantificate prin două metode diferite: metoda Hicks şi metoda Slutsky.

Vom prezenta în continuare aceste metode, evidenŃiind atât particularităŃile, cât şi aspectele

comune ale acestor metode.

9.2.1. Efectul total de preŃ

Vom adopta ipoteza conform căreia preferinŃele consumatorului sunt reprezentate de funcŃia de

utilitate RRXU →⊂ 2: , cu proprietăŃile cunoscute (strict crescătoare, strict concavă, de clasă C2). Consumatorul dispune de un venit 0>R .

Vom considera o stare iniŃială (SI) caracterizată de sistemul de preŃuri ( )21 , pp . Atunci problema de optimizare corespunzătoare acestei stări este:

(PSI)

≥≥

≤+

0,0

),((max)

21

2211

21

xx

Rxpxp

xxU

R/p2

R/p1 R/p1’ R/p1”

x2

x1



Echilibrul consumatorului determinat ca soluŃie a acestei probleme corespunde punctului I

reprezentat în figurile de mai jos. Să notăm soluŃia problemei (PSI) cu ( )III xxx 21 ,= .

Să considerăm acum o stare finală (SF) caracterizată de sistemul de preŃuri ( )21 ,' pp , cu

11 ' pp < (preŃul unitar al bunului 1 s-a redus). Atunci problema de optimizare corespunzătoare acestei stări este:

(PSF)

≥≥

≤+

0,0

),((max)

21

221'

1

21

xx

Rxpxp

xxU

Echilibrul consumatorului determinat ca soluŃie a acestei probleme corespunde punctului F

reprezentat în figurile de mai jos. Să notăm soluŃia problemei (PSF) cu ( )FFF xxx 21 ,= . Având determinate cantităŃile consumate în cele două stări, iniŃială şi finală, putem calcula acum

efectul total de preŃ, evidenŃiat în reprezentările grafice prin deplasarea de la punctul I la punctul F:

IF

IF

xxx

xxx

222

111

−=∆

−=∆

Vom pune în evidenŃă cele două efecte componente ale efectului total, efectul de venit şi efectul de substituŃie, prin utilizarea unei stări intermediare, fictive, generată de adoptarea unor ipoteze ce diferă în cele două metode. 9.2.2. Metoda Hicks de descompunere a efectului de preŃ În această metodă, se consideră venit real constant acel venit ce permite aciziŃionarea unui pachet de consum ce oferă aceeaşi satisfacŃie consumatorului ca şi în starea iniŃială. În acest sens, în starea intermediară, echilibrul consumatorului se determină ca soluŃie a problemei de optimizare notată (PSInt) şi de tip dual:

(PSInt)

≥≥

≥

+

0,0

),(

'(min)

21

21

2211

xx

uxxU

xpxp

I

unde ),( 21III xxUu = (valoarea se calculează anterior rezolvării problemei din starea intermediară).

Vom nota soluŃia optimă a acestei probleme de optimizare cu ( )IntIntInt xxx 21 ,= şi cu RH

valoarea optimă a funcŃiei obiectiv din problema (PSInt), valoare ce reprezintă venitul real de tip Hicks. Starea intermediară este evidenŃiată în graficul următor de punctul Int.

Vom folosi această stare intermediară în paragraful 3.2.2.4, ce tratează modalitatea de descompunere a efectului de preŃ.



Figura 9.3. Descompunerea efectului de preŃ prin metoda Hicks

9.2.3. Metoda Slutsky de descompunere a efectului de preŃ

În această metodă, se consideră venit real constant acel venit ce permite aciziŃionarea aceluiaşi pachet de consum ca şi în starea iniŃială. În acest sens, în starea intermediară, echilibrul consumatorului se determină ca soluŃie a problemei de optimizare notată (PSInt), de forma :

(PSInt)

≥≥

≤+

0,0

),((max)

21

2211

21

xx

Rxpxp

xxU

S

unde IIS xpxpR 2211 += reprezintă venitul real de tip Slutsky (valoarea se determină înainte de

rezolvarea problemei din starea intermediară).

Vom nota soluŃia optimă a acestei probleme de optimizare cu ( )IntIntInt xxx 21 ,= . Starea intermediară este evidenŃiată în graficul următor de punctul Int.

Vom folosi această stare intermediară în paragraful următor, ce tratează modalitatea de descompunere a efectului de preŃ.

Int

I

F

RH/p2

x2

R/p2

R/p1’ RH/p1’ R/p1 x1



Figura 9.4. Descompunerea efectului de preŃ prin metoda Slutsky

9.2.4. Descompunerea efectului total de preŃ Indiferent de metodă, efectul total de preŃ se descompune astfel:

VS xxx ∆+∆=∆ unde:

• Sx∆ reprezintă efectul de substituŃie, evidenŃiat în reprezentările grafice prin deplasarea de la punctul I la punctul Int:

IIntS

IIntS

xxx

xxx

222

111

−=∆

−=∆

• Vx∆ reprezintă efectul de venit, evidenŃiat în reprezentările grafice prin deplasarea de la punctul Int la punctul F:

IntFV

IntFV

xxx

xxx

222

111

−=∆

−=∆

ObservaŃie: Cele două metode conduc la rezultate diferite în ceea ce priveşte valorile efectelor de venit şi de substituŃie, dar rezultatul total (efectul total) este acelaşi, indiferent de metoda utilizată.

F

Int

I

RS/p2

x2

R/p2

R/p1’ RS/p1’ R/p1 x1



9.3. InfluenŃa modificării simultane a preŃurilor şi venitului asupra cererilor de bunuri

Vom evidenŃia în continuare cum pot fi cuantificate modificările consumurilor din cele două

bunuri în situaŃia unei modificări simultane a preŃurilor şi venitului. Fie programul de optimizare:

(P)

( )

≥≥

≤+

0 x,0

,max

21

2211

21

x

Rxpxp

xxU

a cărui soluŃie optimă este notată cu ( )*2

*1 , xx .

Asociind restricŃiei bugetare multiplicatorul Lagrange λ , condiŃiile de ordinul întâi asociate problemei sunt:

+=

=−∂∂

=−∂∂

2211

22

11

0

0

xpxpR

px

U

px

U

λ

λ

Fie *λ valoarea optimă a multiplicatorului ce reprezintă utilitatea marginală a venitului.

Modificarea lui 1p cu 1dp , a lui 2p cu 2dp şi a venitului cu dR conduc la modificări ale

soluŃiei cu 1dx , 2dx şi λd . Modificările preŃului şi venitului nu conduc la modificarea structurii sistemului de restricŃii.

Fie ji xx

U

x

Uu

x

Uu

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

=2

ij2

21

1 u , , . Atunci, sistemul devine:

=+++

=−−+

=−−+

dRdpxdxpdpxdxp

dpdpdxudxu

dpdpdxudxu

22221111

22222121

11212111

0

0

λλ

λλ

Dacă 1x se înlocuieşte cu *1x , 2x cu *

2x , iar λ cu *λ , sistemul devine:

−−=+

=−+

=−+

2*21

*12211

2*

22*221

*12

1*

12*121

*11

dpxdpxdRdxpdxp

dpdpdxudxu

dpdpdxudxu

λλ

λλ

(S)

unde ( )*2

*1

* , xxuu ijij = .

ObŃinem un sistem de ecuaŃii cu necunoscutele formale 1dx , 2dx şi λd , ce trebuie rezolvat.

Dacă 01 <dx atunci efectul total al modificărilor preŃului şi venitului induce o diminuare a

consumului de bun 1. Interpretarea este asemănătoare şi pentru 2dx şi λd .




Problema 1. Să presupunem că preferinŃele consumatorului sunt reprezentate de funcŃia de utilitate:

( ) 2

1

22

1

121 , xxxxU =

iar preŃurile unitare ale celor două bunuri sunt 5p ,2 21 ==p .

Consumatorul dispune de un venit ..10R 3 mu= Se cere: a) DeterminaŃi funcŃiile de cerere necompensată. b) AnalizaŃi cum se modifică structura consumului din cele două bunuri dacă:

1) preŃul bunului 1 creşte cu 50%, iar preŃul bunului 2 şi venitul nu se modifică; 2) preŃul bunului 1 creşte cu 50%, preŃul bunului 2 scade cu 20%, iar venitul rămâne

neschimbat; 3) preŃul bunului 1 creşte cu 50%, preŃul bunului 2 este constant, iar venitul creşte cu 10%.

Rezolvare

a) FuncŃiile de cerere necompensată se determină ca soluŃie a problemei de maximizare a utilităŃii:

(P)

( )

≥≥

≤+

=

0,0

,(max)

21

2211

2/12

2/1121

xx

Rxpxp

xxxxU

Asociind restricŃiei multiplicatorul Lagrange λ , funcŃia lui Lagrange se scrie :

( )22112/1

22/1

121 ),,( xpxpRxxxxL −−+= λλ Iar condiŃiile de ordinul întâi sunt:

02

10 1

2/12

2/11

1

=−⇒=∂∂ −

pxxx

Lλ

02

10 2

2/12

2/11

2

=−⇒=∂∂ −

pxxx

Lλ

00 2211 =−−⇒=∂∂

xpxpRL

λ

Din primele două condiŃii de optim rezultă, prin împărŃire (după separarea termenilor):

2

1

1

2

p

p

x

x= sau 2211 xpxp = .

Folosim această ultimă relaŃie în a treia condiŃie de optim şi obŃinem:

1

*1 2

),(p

RRpX = ,

2

*2 2

),(p

RRpX = ,

21

*

2

1

pp=λ

b) La echilibru,

1581,0 ,100 x,250 **2

*1 === λx .

1) Dacă preŃul bunului 1 creşte cu 50%, iar preŃul bunului 2 şi venitul nu se modifică, avem: 0dR ;0dp ;1 21 ===dp .

Din (S) rezultă că 029.0;0 ;3/250 21 −==−= λddxdx .



2) Dacă preŃul bunului 1 creşte cu 50%, preŃul bunului 2 scade cu 20%, iar venitul rămâne neschimbat avem: 0dR ;1dp ;1 21 =−==dp

Din (S) rezultă că 0137.0;25 ;3/250 21 −==−= λddxdx . 3) Dacă preŃul bunului 1 creşte cu 50%, preŃul bunului 2 este constant, iar venitul creşte cu 10%, avem:

100dR ;0dp ;1 21 ===dp

Din (S) rezultă că 029.0;10 ;3/200 21 −==−= λddxdx . Cu alte cuvinte, cantitatea de bun 1 scade cu 200/3, iar consumul de bun 2 creşte cu 10 unităŃi.

Problema 2. Presupunem că un consumator oarecare dispune de un venit R pentru a cumpăra două bunuri în cantităŃile 1x şi 2x ale căror preŃuri sunt 1p şi, respectiv 2p . PreferinŃele consumatorului sunt

ordonate de funcŃia de utilitate ( ) ( )1, 2121 −= xxxxU cu 01 >x , 12 >x şi 2pR > . Se cere: a) Să se determine funcŃia de cerere pentru fiecare din cele două bunuri. b) Considerăm o stare iniŃială caracterizată de 121 == pp şi 3=R şi o stare finală pentru care 11 =p ,

22 =p şi 3=R . Să se cuantifice efectul total al acestei modificări. c) Să se descompună trecerea din starea iniŃială (I) în starea finală (F), evidenŃiind efectul de substituŃie şi efectul de venit. Rezolvare

FuncŃiile de cerere necompensată se determină ca soluŃie a problemei de maximizare a utilităŃii:

(P)

( ) ( )

≥≥

≤+

−=

0,0

1,(max)

21

2211

2121

xx

Rxpxp

xxxxU

Asociind restricŃiei multiplicatorul Lagrange λ , funcŃia lui Lagrange se scrie : ( ) ( )22112121 1),,( xpxpRxxxxL −−+−= λλ Iar condiŃiile de ordinul întâi sunt:

010 121

=−−⇒=∂∂

pxx

Lλ

00 212

=−⇒=∂∂

pxx

Lλ

00 2211 =−−⇒=∂∂

xpxpRL

λ

Din primele două condiŃii de optim rezultă, prin împărŃire (după separarea termenilor):

2

1

1

2 1

p

p

x

x=

− sau ( )12211 −= xpxp .

Folosim această ultimă relaŃie în a treia condiŃie de optim şi obŃinem:

1

2*1 2

),(p

pRRpX

−= ,

2

2*2 2

),(p

pRRpX

+= ,

21

2*

2 pp

pR −=λ

b) Având funcŃiile de cerere necompensată deja determinate, echilibrul consumatorului în starea iniŃială şi în cea finală se obŃine printr-o simplă înlocuire a valorilor preŃurilor şi venitului în relaŃiile ce descriu cererile din cele două bunuri. Avem astfel:



Starea iniŃială: 22

13,1

2

1321 =

+==

−= II

xx

Starea finală: 4

5

4

23,

2

1

2

2321 =

+==

−= FF

xx

Putem calcula acum efectul total de preŃ:

75.022

5

5.012

1

222

111

−=−=−=∆

−=−=−=∆

IF

IF

xxx

xxx

c) Fie Int o stare intermediară între starea iniŃială I şi starea finală F. Atunci efectul de substituŃie reprezintă trecerea de la I la Int, iar efectul de venit este reprezentat prin trecerea de la Int la F. Metoda Hicks Determinăm mai întâi utilitatea maximă obŃinută de consumator în starea iniŃială:

( ) 12,1 ==Uu I Problema care trebuie rezolvată pentru a determina consumurile din starea intermediară se scrie:

(PSInt)

≥≥

≥−

+

0,0

1)1(

2(min)

21

21

21

xx

xx

xx

Folosim condiŃiile de optim pentru problema duală:

( )2

11

1

2

2

1

2

1 =−

⇒=x

x

p

p

u

u sau ( )12 21 −= xx

La optim, restricŃia problemei se realizează cu egalitate, deci ( ) 1121 =−xx . Rezolvând sistemul format cu cele două relaŃii obŃinem cantităŃile consumate în starea intermediară:

2

11,2 21 +== IntInt

xx

Atunci, efectul total de preŃ se descompune astfel:

- efectul de substituŃie: 12

1,12 21 −=∆−=∆ SS

xx

(creşte consumul de bun 1 şi scade consumul de bun 2, are loc un efect evident de substituŃie)

- efectul de venit: 2

1

4

1,2

2

121 −=∆−=∆ VV

xx

(prin creşterea preŃului bunului 2, puterea de cumpărare a consumatorului se reduce, scade atât consumul de bun 1, cât şi consumul de bun 2).

Venitul real de tip Hicks este: 2222 21 +=+= IntIntH xxR (mai mare decât venitul efectiv de care dispune consumatorul, aceasta pentru a putea acoperi reducerea puterii de cumpărare).



Metoda Slutsky

Se presupune că venitul real este acela care îi permite consumatorului să cumpere acelaşi vector de consum din starea iniŃială la noile preŃuri. Atunci venitul real de tip Slutsky este:

521 21 =⋅+⋅= IIS xxR (mai mare decât venitul efectiv de care dispune consumatorul, aceasta pentru a putea acoperi reducerea puterii de cumpărare).

Echilibrul consumatorului în starea intermediară se determină ca soluŃie a problemei:

(PSInt)

( ) ( )

≥≥

≤+

−=

0,0

52

1,(max)

21

21

2121

xx

xx

xxxxU

Problema fiind deja rezolvată anterior la punctul a), calculăm direct cantităŃile consumate în starea intermediară:

4

7

4

25,

2

3

2

2521 =

+==

−= IntInt

xx

Atunci, efectul total de preŃ se descompune astfel:

- efectul de substituŃie: 25.0,5.0 21 −=∆=∆ SSxx

(creşte consumul de bun 1 şi scade consumul de bun 2, are loc un efect evident de substituŃie)

- efectul de venit: 5.0,1 21 −=∆−=∆ VVxx

(prin creşterea preŃului bunului 2, puterea de cumpărare a consumatorului se reduce, scade atât consumul de bun 1, cât şi consumul de bun 2).



Întrebări şi probleme de rezolvat Bibiliografie Unitatea de ÎnvăŃare 9-10



1. Determinarea efectului modificării venitului asupra cererilor de bunuri.

3. Determinarea efectului modificării preŃului unui bun asupra cererilor de bunuri.

4. Determinarea efectelor de venit şi de substituŃie printr-una din metodele studiate.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 11 ANALIZA COMPORTAMENTULUI PRODUCĂTORULUI Abordarea bazată pe mulŃimea producŃiilor posibile

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 11 11. Abordarea bazată pe mulŃimea producŃiilor posibile

11.1. MulŃimea producŃiilor posibile

11.2. FuncŃia profitului şi corespondenŃa de ofertă





Obiectivele UnităŃii de învăŃare 11 • Aprofundarea noŃiunilor: producŃii posibile, corespondenŃă de ofertă, funcŃia profitului • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru a modela comportamentul agentului economic de tip

producător

Abordarea bazată pe mulŃimea producŃiilor posibile

11.1. MulŃimea producŃiilor posibile

Producătorul este un agent economic care are rolul de a căuta, a alege şi a executa un program

de producŃie, având drept criteriu maximizarea profitului.

Fie E o economie cu n bunuri, ni ,...,2,1= , şi F firme sau producători, Ff ,...,2,1= . SpaŃiul

bunurilor sau spaŃiul mărfurilor este nℜ .

Atunci un vector

=

fn

fi

f

f

f

y

y

y

y

y

...

...

2

1

, unde fiy reprezintă decizia firmei f în legătură cu bunul i.

Sunt posibile situaŃiile: - 0>fiy , atunci bunul i este produs de firma f (este un output), iar cantitatea în care este produs

este fiy ;

- 0<fiy : bunul i este folosit de firma f în procesul de producŃie (este un input), iar cantitatea în

care este utilizat este fiy ;

- 0=fiy : bunul i nu este nici produs, nici utilizat în procesul de producŃie.

Există situaŃii în care mulŃimea input-urilor să fie separată de cea a output-urilor. Fie

( )Mzzz ,...,, 21 input-urile, unde 0>iz , şi ( )nMM yyy ,...,, 21 ++ output-urile, unde 0>+iMy .



Atunci se poate scrie:

−

−

−

=

+

n

M

Mf

y

y

z

z

z

y

...

...

1

2

1

.

Un vector sau o listă cu componentele if

y se numeşte program sau vector de producŃie. Un

astfel de program poate fi posibil sau admisibil pentru firma f sau imposibil.

De exemplu, într-o economie cu cinci bunuri

=

0

0

0

1

2

fy este un vector imposibil.

DefiniŃia 1. MulŃimea f firmapentru posibil productie de vector este f

n

ff yRyY ∈= se numeşte

mulŃimea producŃiilor posibile. Ipoteze asupra mulŃimii producŃiilor posibile

Asupra mulŃimii producŃiilor posibile vom face următoarele ipoteze:

1. fY este nevidă (conŃine cel puŃin un vector de producŃie, altfel firma f nu este luată în discuŃie).

2. fY∈0 (la un moment dat firma f poate să nu facă nimic).

3. fY este închisă (dacă şirul fNq

q

f Yy ⊂∈ * şi 0

f

q

f yy → , atunci 0fy este un program posibil de

producŃie). Cu alte cuvinte, limita oricărui şir de producŃii posibile pentru firma f este de asemenea vector de producŃie posibil.

4. fY este convexă (dacă 1fy şi 2

fy sunt vectori admisibili şi [ ]1,0∈α , atunci ( ) fff Yyy ∈−+ 21 1 αα

(orice combinaŃie liniară de vectori de producŃie posibili constituie de asemenea program posibil)). ObservaŃie: Această proprietate derivă din proprietăŃile de divizibilitate şi aditivitate.

4.1. proprietatea de divizibilitate: fY are proprietatea de divizibilitate dacă pentru orice [ ]1,0∈α

şi ff Yy ∈ , atunci ff Yy ∈α . Această proprietate se mai numeşte şi proprietatea de randamente

necrescătoare.

4.2. proprietatea de aditivitate: dacă fff Yyy ∈21 , , atunci fff Yyy ∈+ 21 . Această proprietate se

mai numeşte şi proprietatea intrării libere. PropoziŃia 1. Dacă fY satisface proprietăŃile de divizibilitate şi aditivitate, atunci:

a) fY este o mulŃime convexă;



b) fY un con convex.

DemonstraŃie

a) Fie [ ]1,0∈α şi fff Yyy ∈21 , .

Din proprietatea de divizibilitate 4.1 rezultă că ff Yy ∈1α şi ( ) ff Yy ∈− 21 α .

Iar din proprietatea de aditivitate 4.2 rezultă că ( ) fff Yyy ∈−+ 21 1 αα .

Atunci fY este o mulŃime convexă.

b) fY este un con convex dacă pentru orice ff Yy ∈ şi orice 0>λ , ff Yy ∈λ şi fY este convexă.

Fie 0>λ şi fie [ ] [ )0,1 N,m , ∈∈+=+=⇒= ααλλλ mmm .

Atunci fff ymyy αλ += .

Din proprietatea de aditivitate avem:

fff Yyy ∈+ , de unde ff Yy ∈2 .

Apoi fff Yyy ∈+2 , de unde ff Yy ∈3 ş.a.m.d.

Dar ffff yyymy +++= ... şi rezultă că ff Ymy ∈ .

Avem de asememea, ff Yy ∈ şi )1,0[∈α , de unde rezultă, prin proprietatea de divizibilitate că

ff Yy ∈α .

Din acestea rezultă că fff Yymy ∈+α sau ff Yy ∈λ . Şi deci fY este un con convex.

5. fY este superior mărginită.

11.2. FuncŃia profitului şi corespondenŃa de ofertă

Vom presupune că preŃul celor n bunuri este ( )npppp ,...,, 21= .

Pentru un program de producŃie posibil ff Yy ∈ , atunci fnnfff ypypyppy +++= ...2211

reprezintă diferenŃa dintre volumul încasărilor şi cheltuielilor (adică profitul) dacă firma adoptă programul de producŃie fy .

De asemenea, vom considera că mulŃimea producŃiilor fY satisface proprietăŃile enunŃate mai

sus. DefiniŃia 2. FuncŃia ( )

fYy

f pypff ∈

= max)(π se numeşte funcŃia profitului pentru producătorul f, evaluată la

preŃurile p.

DefiniŃia 3. MulŃimea ( ) ( ) fffff YpypypY ∈== fy ,π se numeşte corepondenŃa de ofertă sau

aplicaŃia multivocă sau multifuncŃie. Cu alte cuvinte, mulŃimea )( pY f reprezintă mulŃimea vectorilor maximizatori de profit.



DefiniŃia 4. MulŃimea

=≥=∈= ∑=

nippRpS i

n

i

i

n

n ,1,0,11

se numeşte Simplex-ul n-dimensional al

preŃurilor. ObservaŃie: 1) Orice vector de preŃuri poate fi pus în corespondenŃă cu un vector de preŃuri din Simplex.

Adică, dacă ( )ni PPPPP ,...,,...,, 21= , considerăm n

i

iPPP

Pp

+++=

...21

. Evident, 0≥ip şi

11

=∑=

n

i

ip . Rezultă atunci că vectorul ( )npppp ,...,, 21= aparŃine mulŃimii nS .

2) MulŃimea nS este o mulŃime închisă şi mărginită, deci compactă. De asemenea, nS este convexă.

ProprietăŃile funcŃiei profitului şi corespondenŃei de ofertă PropoziŃia 2. În ipotezele de mai sus, mulŃimea ( )pY f - corespondenŃa de ofertă - este convexă.

DemonstraŃie

Fie ( )pYyy fff ∈21 , doi vectori maximizatori de profit şi [ ]1,0∈α .

Va trebui să arătăm că ( )pYyyy ffff ∈−+= 21 )1( ααα.

Dacă ( )pYyy fff ∈21 , , atunci ( ) 1ff pyp =π şi ( ) 2

ff pyp =π .

Calculăm:

[ ] ( ) ( ) )()1()()1()1( 2121pppypyyyppy fffffff πααπααααα −+=−+=−+=

Atunci )( ppy ff πα = , de unde obŃinem că )( pYy ff ∈α.

În cele ce urmează vom adopta şi o altă ipoteză asupra mulŃimii producŃiilor posibile:

fY satisface proprietatea de dispunere liberă sau „risipă în producŃie”, adică:

ff Yy ∈∀ şi ff yy ≤' , atunci ff Yy ∈' .

ObservaŃie: Dacă fY este strict convexă şi cu dispunere liberă, atunci corespondenŃa de ofertă conŃine un

singur element (vectorul maximizator de profit este unic).

În aceste condiŃii putem enunŃa următoarea teoremă: Teoremă. Dacă ( )pY f este o funcŃie atunci:

a) funcŃia profitului ( )pfπ este o funcŃie convexă;

b) funcŃia profitului ( )pfπ este o funcŃie continuă pe nS ;

c) funcŃia ( )⋅fπ este diferenŃiabilă în p şi ( )

fi

i

fy

p

p=

∂

∂π, ni ,1= .

DemonstraŃie



a) Fie p şi p’ doi vectori de preŃuri, nSpp ∈', şi [ ]1,0∈α . Construim vectorul ')1( ppp ααα −+= .

Pentru fiecare vector de preŃ, vom considera elementul unic maximizator de profit: ( )py f şi

( )'py f . Atunci ( ) ( )ppyp ff =π (funcŃia de ofertă a firmei f la preŃurile p) şi ( ) ( )''' pypp ff =π

(funcŃia de ofertă a firmei f la preŃurile p’).

Fie ( )αpy f vectorul maximizator de profit la preŃurile αp , iar ( ) ( )αααπ pypp ff = .

Atunci:

( ) ( ) )( απ ppyppyp fff ≥=

şi

( ) ( ) )('''' απ pyppypp fff ≥=

ÎnmulŃim prima relaŃie cu α şi a doua relaŃie cu α−1 şi apoi adunăm cele două relaŃii obŃinute:

( ) ( ) )(')1()'()1( αα ααπααπ pypppypp ffff −+≥−+

sau

( ) [ ] )(')1()'()1( αααπααπ pypppp fff −+≥−+

sau

( ) ( ) )()'()1( ααα ππααπ ppyppp ffff =≥−+

Am obŃinut că ( )( ) ( ) ( ) ( )'1'1 pppp fff πααπααπ −+≤−+ şi, deci ( )nf ppp ,...,, 21π este

convexă.

b) Fie *Np ∈γγ un şir de preŃuri cu 0pp →γ şi fie ( )γγ pYy ff ∈ , cu

0ff yy →γ

. Rezultă că:

Avem ffff Yypypp ∈≥= fy ,)( γγγγπ .

Trecem la limită în relaŃia de mai sus şi obŃinem:

fff Yypyp ∈∀≥ f000 y ; ; deci ( )00 pYy ff ∈ .

Am obŃinut astfel:

)()( 000 pypypp ffff ππ γγγ =→= . Rezultă că funcŃia ( )pfπ este continuă.

c) Fie 0≠h un vector linie, astfel încât ( ) 0>+ hp .

Evaluăm funcŃia profitului la preŃurile hp + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )hphyphphyppy

hphyhppyhpyhphp

ffff

ffff

++=++≤

≤+++=++=+

π

π

Avem deci: ( ) ( ) ( )hphyphp fff +≤−+ ππ (1)

Evaluăm funcŃia profitului la preŃurile p: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )phyhpphyhpyhp

phypyhppyhhpppyp

ffff

fffff

−+=−++≤

≤−+=−+==

π

π

Avem deci: ( ) ( ) ( )phpphy fff ππ −+≤ (2)

Din (1) şi (2) rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )hphyphpphy ffff +≤−+≤ ππ (3)



În inegalitatea (3) adunăm la fiecare membru ( )phy f şi obŃinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )phyhphyphyphpphyphy fffffff −+≤−−+≤− ππ

ÎmpărŃim la |||| h în dubla inegalitate:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

||||||||0

h

phyhphy

h

phyphp fffff −+≤

−−+≤

ππ

Ultimul termen al relaŃiei anterioare tinde la zero şi, deci, conform teoremei cleştelui:

( ) ( ) ( )

0||||

lim0

=−−+

→ h

phyphp fff

h

ππ

de unde rezultă că ( )⋅fπ este diferenŃiabilă.

Dacă ( )0,...,0,,0,...,0,0 th = , iar t se află pe poziŃia i, atunci:

( ) ( ) fi

fn

f

f

f

f ty

y

y

y

y

tphy

i

=

=

...

...0,...,0,,0,...,0,0

2

1

, unde 0>t şi ttth === |||||| 2 .

Dar 00 →⇔→ th , atunci:

( ) ( )

( )pyt

phpfi

ff

h=

−+→

ππ0

lim

sau ( ) ( )

( )pyt

pppptpppfi

nifniif

h=

−+−

→

,...,,...,,...,,,...,lim

111

0

ππ.

de unde rezultă că ( )

( )pyp

pfi

i

f =∂

∂π, pentru orice ni ,...,2,1= .

Interpretarea economică: Dacă preŃul bunului i creşte cu o unitate, atunci profitul se modifică cu ( )py fi

(creşte dacă i este output şi scade dacă i este input).

ObservaŃie: Dacă ( )⋅fπ este de clasă C2, atunci ( ) ( )

ij

f

ji

f

pp

p

pp

p

∂∂

∂=

∂∂

∂ ππ 22

, sau

( ) ( )

∂

∂

∂∂

=

∂

∂

∂∂

i

f

jj

f

i p

p

pp

p

p

ππ sau

( ) ( )j

fi

i

fj

p

py

p

py

∂

∂=

∂

∂, relaŃie ce arată cum se modifică componenta

vectorială pentru perechea ( )ji, când preŃurile bunurilor i şi j se modifică.






1. Descrierea mulŃimii producŃiilor posibile şi determinarea corespondenŃei de ofertă pentru un anumit producător. 2. Determinarea profitului maxim al unui producător utilizând abordarea bazată pe mulŃimea producŃiilor posibile.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 12 ANALIZA COMPORTAMENTULUI PRODUCĂTORULUI FuncŃii de producŃie

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 12 12. FuncŃii de producŃie

12.1. DefiniŃia şi proprietăŃile funcŃiilor de producŃie

12.2 Indicatori asociaŃi unei funcŃii de producŃie

12.3. Clase de funcŃii de producŃie

12.3.1. FuncŃii de producŃie de tip Cobb-Douglas 12.3.2. FuncŃii de producŃie de tip CES (Constant Elasticity of Substitution)

12.4. Exemple rezolvate





Obiectivele UnităŃii de învăŃare 12 • Aprofundarea noŃiunilor: funcŃii de producŃie, indicatori asociaŃi acestora • Dobândirea cunoştinŃelor necesare caracterizării tehnologiilor de producŃie • Interpretarea economică a indicatorilor asociaŃi funcŃiilor de producŃie

FuncŃii de producŃie

12.1. DefiniŃia şi proprietăŃile funcŃiilor de producŃie

DefiniŃia 1. FuncŃia de producŃie reprezintă un model matematic ce cuantifică dependenŃa funcŃională între cantitatea de factori de producŃie utilizaŃi în procesul de producŃie şi rezultatul producŃiei.

Fie ( ) nixxxx in ,...,2,1 ;0,...,, 21 =≥=Ω mulŃimea combinaŃiilor de bunuri utilizate în

procesul de producŃie şi fie y bunul produs, unde ( )nxxxfy ,...,, 21= reprezintă dependenŃa funcŃională

dintre cantitatea de input şi rezultatul producŃiei.

Vectorul de producŃie se poate scrie:

=

−

−

y

z

z

y

x

x

nn

......11

unde y reprezintă cantitatea maximă de bun

produs cu ajutorul factorilor ( )nxxx ,...,, 21 şi, de aceea funcŃia de producŃie se mai numeşte şi funcŃia de

transformare. ProprietăŃile funcŃiei de producŃie

Considerăm funcŃia de producŃie ),...,,(,: 21 n

n xxxfyRRf =→ ce satisface următoarele

proprietăŃi:

1. 0≥y , nixi ,1,0 =≥

2.y şi xi sunt perfect divizibile astfel încât funcŃia f este continuă. 3. orice factor de producŃie este indispensabil, adică: ( ) 0,...,0,...,, 21 =nxxxf

4. funcŃia f este crescătoare în fiecare argument, adică ( )

nix

f

i

,1,0 =>∂⋅∂

. Această proprietate

reflectă faptul că productivităŃile marginale ale factorilor sunt pozitive. 5. funcŃiile de producŃie sunt în general funcŃii concave sau q-concave. 6. funcŃiile de producŃie sunt în general funcŃii omogene de un grad k. Adică,

( ) ( ) 1,,...,,,...,, 2121 >∀= txxxfttxtxtxf n

k

n

ObservaŃie: În funcŃie de gradul de omogenitate, procesele de producŃie se caracterizează astfel: - procese cu randamente descrescătoare la scară, dacă 1<k ; - procese cu randamente constante la scară, dacă 1=k ; - procese cu randamente crescătoare la scară, dacă 1>k .



12.2. Indicatori asociaŃi unei funcŃii de producŃie

Considerăm funcŃia de producŃie ),...,,(,: 21 n

n xxxfyRRf =→ de clasă C2.

Asociem funcŃiei de producŃie următorii indicatori: a) Indicatori medii - productivitatea medie a factorului de producŃie i (eficienŃa medie)

( )

i

nM

ix

xxxfP

,...,, 21= , ni ,1=

Interpretare economică: Indicatorul arată ce cantitate de producŃie revine în medie la o unitate de factor i consumat (cantităŃile din ceilalŃi factori de producŃie rămân nemodificate). b) Indicatori marginali (diferenŃiali) - productivitatea marginală a factorului i (eficienŃa diferenŃială):

( )i

nm

ix

xxxfP

∂

∂=

,...,, 21 , ni ,1=

Interpretare economică: Indicatorul arată cu câte unităŃi se modifică volumul producŃiei dacă factorul ix

creşte cu o unitate (cantităŃile din ceilalŃi factori de producŃie rămân nemodificate). Legătura între productivitatea medie şi cea marginală

Dacă diferenŃiem productivitatea M

iP , atunci obŃinem:

( )( ) ( )

( ) ( )

[ ]M

i

m

i

ii

ii

i

ni

i

n

i

n

ii

M

i

PPxx

x

f

x

f

x

xxxfxx

xxxf

x

xxxf

xx

P

−=

⋅−

∂⋅∂

=

=

−∂

∂

=

∂∂

=∂

∂

1

,...,,,...,,

,...,,2

2121

21

Atunci, ( )M

i

m

i

i

M

i PPx

P−=

∂

∂sgnsgn


- dacă M

i

m

i PP > , atunci 0>∂

∂

i

M

i

x

P, situaŃie în care M

iP este crescătoare în raport cu ix ;

- dacă M

i

m

i PP < , atunci 0<∂

∂

i

M

i

x

P, situaŃie în care M

iP este descrescătoare în raport cu ix ;

- dacă M

i

m

i PP = , atunci M

iP este maximă.

c) Norma (rata marginală) de substituŃie tehnică

( )

( )i

j

m

j

m

i

j

n

i

n

jidx

dx

P

P

x

xxxf

x

xxxf

RMST −==

∂

∂∂

∂

=,...,,

,...,,

21

21

njiji ,1,, =≠



Interpretare economică: Indicatorul arată ce cantitate de factor j este necesară pentru a substitui o unitate de factor i, astfel încât rezultatul producŃiei să rămână neschimbat în condiŃiile în care ceilalŃi factori rămân neschimbaŃi. d) Indicatori procentuali (de elasticitate): elasticitatea producŃiei în raport cu factorul i

( ) ( ) ( )M

i

m

i

ii

xP

P

x

f

x

ffE

i=

⋅∂⋅∂

= : , ni ,1=

Interpretare economică: Indicatorul arată cu câte procente creşte volumul producŃiei în cazul în care cantitatea de factor i, ix , creşte cu un procent.

e) Elasticitatea normei de substituire a factorilor:

( )

=

i

j

ji

i

j

ji

x

x

RMST

x

xd

dRMSTr :σ , njiji ,1,, =≠

Interpretare economică: Indicatorul arată cu câte procente se modifică norma de substituŃie a factorilor în cazul în care indicatorul de structură k creşte cu un procent. 12.3. Clase de funcŃii de producŃie Vom studia în continuare două clase mari de funcŃii de producŃie, vom determina indicatorii asociaŃi acestora şi vom prezenta particularităŃile fiecăreia. 12.3.1. FuncŃii de producŃie de tip Cobb-Douglas

FuncŃiile din această clasă, ce descriu o tehnologie cu doi factori de producŃie, sunt date de relaŃia:

( ) βα2121 , xAxxxfy == , cu parametrii 0,0,0 >>> βαA

Caracteristici

a) funcŃiile din această clasă sunt funcŃii q-concave, pentru orice valori ale parametrilor 0,0,0 >>> βαA şi concave (strict) dacă 10 <+< βα .

b) funcŃiile din această clasă sunt funcŃii omogene de grad βα + , deoarece:

( ) ( ) ( ) ( )21212121 ,, xxftxAxttxtxAtxtxf βαβαβαβα ++ === c) Gradul de omogenitate al funcŃiei reflectă şi tipul de randamente ce caracterizează tehnologia: - dacă 10 <+< βα , procesul de producŃie este cu randamente descrescătoare;

- dacă 1=+ βα , procesul de producŃie este cu randamente constante;

- dacă 1>+ βα , procesul de producŃie este cu randamente crescătoare, cu interpretarea economică: o multiplicare a cantităŃilor de factori conduce la o modificare mai mult decât proporŃională a producŃiei. d) indicatorii asociaŃi funcŃiei de producŃie - productivităŃi medii:



( ) βα2

11

1

211

,xAx

x

xxfP M −== ,

( ) 121

2

212

, −== βαxAx

x

xxfP M

- productivităŃi marginale: ( ) βαα 2

11

1

211

,xxA

x

xxfP m −=

∂

∂= ,

( ) 121

2

212

, −=∂

∂= βαβ xxA

x

xxfP m

- norma de substituŃie tehnică:

( )

( )1

2

2

1

2

21

1

21

21 ,

,

x

x

P

P

x

xxf

x

xxf

RMSTm

m

⋅==

∂

∂∂

∂

=βα

- elasticitatea producŃiei în raport cu cantităŃile de factori:

( ) ( ) ( )α==

⋅∂⋅∂

=M

m

xP

P

x

f

x

ffE

1

1

11

:1

(dacă creşte cantitatea de factor 1 cu 1%, cantitatea

produsă creşte cu %α )

( ) ( ) ( )β==

⋅∂⋅∂

=M

m

xP

P

x

f

x

ffE

2

2

22

:2

(dacă creşte cantitatea de factor 1 cu 1%, cantitatea

produsă creşte cu %β ) ObservaŃie: Să remarcăm faptul că, pentru această clasă de funcŃii de producŃie, elasticităŃile factorilor sunt exact parametrii funcŃiei de producŃie, respectiv α şi β .

- elasticitatea normei de substituŃie tehnică:

( ) 1:

1

2

21

1

2

21 =

=

x

x

RMST

x

xd

dRMSTrσ (dacă raportul cantităŃilor de factori creşte cu 1%,

atunci 21RMST creşte cu 1%). 12.3.2. FuncŃii de producŃie de tip CES (Constant Elasticity of Substitution)

FuncŃiile din această clasă, ce descriu o tehnologie cu doi factori de producŃie, sunt date de relaŃia:

( ) [ ] δδδ αα1

2121 )1(,−−− −+== xxAxxfy , cu parametrii ( )1,0,0,0 ∈>> αδA

Caracteristici

a) funcŃiile din această clasă sunt funcŃii omogene de grad 1, deoarece:

( ) ( ) ( )[ ] δδδ αα1

2121 )1((,−−− −+= txtxAtxtxf [ ] ( )21

1

211 ,)1( xxtfxxAt =−+=

−−− δδδ αα c) Gradul de omogenitate al funcŃiei reflectă şi tipul de randamente ce caracterizează tehnologia: procesul de producŃie este cu randamente constante.



d) indicatorii asociaŃi funcŃiei de producŃie - productivităŃi medii:

( ) [ ]1

1

21

1

211

)1(,

x

xxA

x

xxfP M

δδδ αα−−− −+

==

( ) [ ]2

1

21

2

212

)1(,

x

xxA

x

xxfP M

δδδ αα−−− −+

==

- productivităŃi marginale:

( ) [ ] 11

211

11

211 )1(

, −−−−−− −+=∂

∂= δδδδ ααα xxxA

x

xxfP m

( ) [ ] 11

211

22

211 )1()1(

, −−−−−− −+−=∂

∂= δδδδ ααα xxxA

x

xxfP m

- norma de substituŃie tehnică:

1

1

2

2

121 1

+

⋅

−==

δ

αα

x

x

P

PRMST

m

m

- elasticitatea producŃiei în raport cu cantităŃile de factori:

( )δδ

δ

αα

α−−

−

−+==

21

1

1

1

)1(1xx

x

P

PfE

M

m

x

( )δδ

δ

αα

α−−

−

−+

−==

21

2

2

2

)1(

)1(2

xx

x

P

PfE

M

m

x

- elasticitatea normei de substituŃie tehnică:

( ) const

x

x

RMST

x

xd

dRMSTr =+=

= 1:

1

2

21

1

2

21 δσ (dacă raportul cantităŃilor de factori creşte

cu 1%, atunci 21RMST creşte cu )%1( +δ ). 12.4. Exemple rezolvate Problema 1. Considerăm o firmă în concurenŃă perfectă a cărei funcŃie de producŃie este:

( ) 3

1

23

1

121 , xxxxfy ==

unde y , 1x şi 2x reprezintă volumul producŃiei şi respectiv cantităŃile utilizate din cei doi factori de producŃie 1 şi 2.

Se cere: a) Să se caracterizeze funcŃia de producŃie din punct de vedere al concavităŃii, respectiv q-concavităŃii. b) Să se precizeze natura randamentelor ce caracterizează procesul de producŃie. c) Să se determine productivităŃile marginale ale factorilor. d) Să se deducă valoarea ratei marginale de substituŃie tehnică între cei doi factori. e) Să se determine elasticităŃile producŃiei în raport cu cantităŃile de factori utilizaŃi. f) Să se reprezinte grafic o izocuantă (curbă de izoproducŃie) corespunzătoare unui nivel al producŃiei

0>y fixat.



Rezolvare

a) Pentru a studia concavitatea şi q-concavitatea funcŃiei de producŃie vom determina mai întâi matricea Hessiană. Derivatele parŃiale de ordinul întâi sunt:

3

1

23

2

11

1 3

1xx

x

ff

−=

∂∂

= şi 3

1

13

2

22

2 3

1xx

x

ff

−=

∂∂

=

Iar derivatele parŃiale de ordinul al doilea se scriu:

3

1

23

5

121

2

11 9

2xx

x

ff

−−=

∂

∂= , 3

2

23

2

12112 9

1 −−== xxff , 3

5

23

1

122

2

22 9

2 −−=

∂

∂= xx

x

ff

Atunci matricea Hessiană se scrie:

( )

−

−=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

=−−−

−−−

3

5

23

1

13

2

23

2

1

3

2

23

2

13

1

23

5

1

22

2

12

221

2

21

2

21

9

2

9

19

1

9

2

,

xxxx

xxxx

x

f

xx

f

xx

f

x

f

xxH f

Minorii matricei Hessiene sunt:

010 >=∆ , 09

2 3

1

23

5

11 <−=∆−

xx , 081

3 3

4

23

4

12 >=∆−−

xx

Deoarece semnele minorilor alternează, rezultă că matricea Hessiană este negativ definită, iar funcŃia de producŃie este concavă. FuncŃia fiind concavă, este şi q-concavă. b) Natura randamentelor asociate tehnologiei de producŃie este în strânsă legătură cu gradul de omogenitate a funcŃiei. Avem:

( ) ( ) ( ) ( )213

2

3

1

23

1

13

2

3

1

23

1

121 ,, xxftxxttxtxtxtxf ===

Cum gradul de omogenitate pentru această funcŃie este 13

2< , funcŃia de producŃie este cu

randamente descrescătoare la scară. c) ProductivităŃile marginale ale factorilor sunt calculate ca derivate parŃiale de ordinul întâi ale funcŃiei de producŃie. Avem astfel:

- productivitatea marginală a factorului 1:

3

1

23

2

11

1 3

1xx

x

fP

m−

=∂∂

=

- productivitatea marginală a factorului 2:

3

2

23

1

12

2 3

1 −=

∂∂

= xxr

yP

m



d) Rata marginală de substituŃie tehnică este definită ca raport al productivităŃilor marginale ale celor doi factori, astfel:

1

2

3

2

23

1

1

3

1

23

2

1

2

121

3

13

1

x

x

xx

xx

P

PRMST

m

m

===−

−

e) Calculăm elasticitatea producŃiei în raport cu fiecare factor:

( ) ( ) ( )3

1:

1

1

111

==⋅

∂⋅∂

=M

m

xP

P

x

f

x

ffE (cu interpretarea economică: dacă creşte cantitatea de

factor 1 cu 1%, producŃia creşte cu 1/3%).

( ) ( ) ( )3

1:

2

2

222

==⋅

∂⋅∂

=M

m

xP

P

x

f

x

ffE (cu interpretarea economică: dacă creşte cantitatea de factor 2 cu 1%,

producŃia creşte cu 1/3%). f) Izocuanta (curba de izoproducŃie) reprezintă locul geometric al combinaŃiilor cantităŃilor de factori care asigură obŃinerea unui nivel de producŃie fixat. Cu alte cuvinte interersează reprezentarea următoarei mulŃimi de puncte:

( ) ( ) fixatyyxxfxx 0,,, 2121 >=

Avem atunci:

( ) 3

1

23

1

121 , xxxxfy == de unde obŃinem:

0, 11

3

2 ≠= xx

yx

Să notăm această dependenŃă cu ( )∞∈== ,0,)( 11

3

12 xx

yxgx , dependenŃă ce trebuie

reprezentată grafic. Avem: ∞=

↓)(lim 1

01

xgx

(axa verticală este asimptotă verticală la dreapta originii)

şi 0)(lim 1

1

=∞→

xgx

(axa orizontală este asimptotă orizontală la ∞ )

2

1

3

1)('x

yxg −= , deci funcŃia este descrescătoare

3

1

3

1

2)("

x

yxg = , funcŃia este convexă

Putem reprezenta acum izocuanta în sistemul de axe 21Oxx .



Figura 12.1. Izocuanta corespunzătoare nivelului 0>y




0>y

O

2x

1x

1. DefiniŃi funcŃia de producŃie şi proprietăŃile acesteia.

2. Calculul indicatorilor asociaŃi unei funcŃii de producŃie dată.

3. Reprezentarea grafică a curbelor de izoproducŃie asociate unei funcŃii de producŃie dată.

4. Caracterizarea funcŃiilor de producŃie din punct de vedere al concavităŃii şi q-concavităŃii.

5. Interpretarea economică a indicatorilor de tip elasticitate, productivităŃi medii şi marginale, normă de substituŃie tehnică.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 13 ANALIZA COMPORTAMENTULUI PRODUCĂTORULUI FUNCłIILE CERERILOR DE FACTORI ŞI FUNCłIA DE OFERTĂ A FIRMEI

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 13 13. FuncŃiile cererilor de factori şi funcŃia de ofertă a firmei

13.1. FuncŃia de cost total al firmei

13.2. Maximizarea indirectă a profitului

13.3. Maximizarea directă a profitului






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 13 • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru rezolvarea problemelor de optimizare la nivelul

producătorului • Aprofundarea cunoştinŃelor referitoare la funcŃiile cererilor de factori şi funcŃia de ofertă a

firmei • Interpretarea economică a rezultatelor obŃinute în problema de maximizare a profitului • Interpretarea economică a proprietăŃilor funcŃiilor cererilor de factori • Analiza modului în care preŃurile factorilor de producŃie şi preŃurile bunurilor produse

influenŃează cererea de factori şi oferta firmei

FuncŃiile cererilor de factori şi funcŃia de ofertă a firmei Vom considera în continuare că agentul economic de tip producător acŃionează pe pieŃe competitive, atât ale factorilor, cât şi ale bunurilor produse. Cu alte cuvinte, preŃurile la care producătorii achiziŃionează factorii de producŃie, precum şi preŃurile la care producătorii îşi vând produsele sunt considerate ca fiind date; acestea rezultă din mecanismul cerere-ofertă pe pieŃele respective. De asemenea, producătorii pot achiziŃiona orice cantitate de factor doresc, în limita posibilităŃilor financiare şi pot vinde orice cantitate de bunuri produse în limita capacităŃilor tehnologice.

În acest context, deciziile producătorului se referă la cantităŃile de factori ce trebuie să le achiziŃioneze şi la volumul producŃiei ce trebuie realizată. Fireşte, criteriul de alegere al producătorului este acela al maximizării profitului realizat.

Să adoptăm următoarele notaŃii: - ( )nxxx ,...,, 21 - vectorul cantităŃilor de factori de producŃie utilizaŃi, cu nixi ,...,1,0 =≥ ;

- nrrr ,...,, 21 - preŃurile unitare ale factorilor:;

- 0≥y , cantitatea produsă; - p - preŃul unitar al bunului produs; - tehnologia de producŃie este descrisă cu ajutorul funcŃiei de producŃie mono-output/multi-input:

( ) +→= RRfxxxfy n

n :,,...,, 21

Problema de optimizare la nivelul producătorului corespunde programului:

(P)

( )( )

=≥≥

=

+++−=

nixy

xxxfy

xrxrxrpy

i

n

nn

,...,1,0,0

,...,,

...(max)

21

2211π

Vom prezenta două procedee de rezolvarea a acestei probleme, respectiv de determinare a cererilor de factori şi a ofertei firmei.



13.1. FuncŃia de cost total al firmei

Analiza din acest subcapitol şi cel următor corespunde procedurii de maximizare indirectă a

profitului. Aceasta deoarece ne interesează mai întâi determinarea funcŃiei de cost de producŃie asociat unei

cantităŃi de bun produs fixată, 0>y . Atunci în programul (P), funcŃia obiectiv conŃine primul termen constant şi atunci putem scrie o problemă echivalentă de optimizare de forma:

(Cmin)

( )

( )

=≥

=

+++

nix

xxxfy

xrxrxr

i

n

nnxxx n

,...,1,0

,...,,

...)min(

21

2211,...,, 21

Asociem restricŃiei tehnologice multiplicatorul λ şi scriem funcŃia lui Lagrange: ( )[ ]nnnn xxfyxrxrxrxxxL ,...,...),,...,,( 1221121 −++++= λλ

CondiŃiile de optim sunt:

( )

nix

xxfrni

x

L

i

n

i

i

,...,1,0,...,

,...,1,0 1 ==∂

∂−⇒==

∂∂

λ (1)

( )nxxfyL

,...,0 1=⇒=∂∂λ

(2)

CondiŃiile de optim constituie un sistem de 1+n ecuaŃii cu 1+n necunoscute, *λ şi

( )**2

*1 ,...,, nxxx , exprimate în funcŃie de nrrry ,...,,, 21 . Astfel exprimate, componentele soluŃiei

( )ni rrryx ,...,,, 21*

se numesc funcŃiile cererilor de factori.

DefiniŃia 1. SoluŃia optimă a problemei (Cmin) se numeşte vectorul funcŃiilor cererilor de factori. Din condiŃiile de tip (1) obŃinem:

( ) niP

r

x

f

rm

i

i

i

i ,...,1,* ==

∂⋅∂

=λ

Pentru doi indici diferiŃi i şi j avem atunci:

jinjiP

r

P

rm

i

i

m

j

j ≠=== ,,...,1,,*λ

sau

j

i

m

j

m

iji

r

r

P

PRMST ==

Deci, la optim, rata marginală (norma) de substituŃie tehnică este egală cu raportul preŃurilor unitare ale celor doi factori.



Atunci condiŃiile de optim pot fi scrise ca:

( )

=

==

n

j

i

m

j

m

iji

xxfy

r

r

P

PRMST

,...,1

De asemenea, să reŃinem interpretarea multiplicatorului Lagrange asociat restricŃiei tehnologice:

)(* yCdy

dCTmg==λ

Interpretarea economică a valorii optime a multiplicatorului Lagrange: la optim, *λ arată cu cât creşte

costul total al producŃiei atunci când producŃia creşte cu o unitate. Cu alte cuvinte, *λ are semnificaŃia de cost marginal. DefiniŃia 2. Valoarea optimă a funcŃiei obiectiv din problema de optimizare (Cmin) se numeşte funcŃia de cost total al firmei şi se notează cu ( )nrrryCT ,...,,, 21 .

Avem astfel, ( ) ( )∑=

=n

i

niin rrryxrrrryCT1

21*

21 ,...,,,,...,,,

13.2. Maximizarea indirectă a profitului Având determinată funcŃia de cost total al firmei, problema de optimizare (P) la nivelul producătorului devine: (Pinidirect) ( ) ),...,,,((max) 21 n

y

rrryCTpyy −=π

CondiŃia de optim se scrie:

0)(0)(' =−⇒= yCpy mgπ sau )( *yCp mg=

DefiniŃia 3. SoluŃia optimă a problemei de optimizare (P) se numeşte funcŃia de ofertă a firmei şi se

notează cu ( )nrrrpy ,...,,, 21* .

13.3. Maximizarea directă a profitului O variantă alternativă de determinare a soluŃiei programului de optimizare (P) constă în rezolvarea directă a acestuia, observând că restricŃia problemei poate fi eliminată prin înlocuirea lui y în funcŃia obiectiv. Această alternativă corespunde procedurii de maximizare directă a profitului. Problema iniŃială:

(P)

( )( )

=≥≥

=

+++−=

nixy

xxxfy

xrxrxrpy

i

n

nn

,...,1,0,0

,...,,

...(max)

21

2211π

poate fi transformată în următoarea problemă de optimizare fără restricŃii: (Pdirect) ( ) ( ) ( )nnnn

xxx

xrxrxrxxxpfxxxn

+++−= ...,...,,,...,,(max) 22112121,...,, 21

π



CondiŃiile de optim se scriu:

( )

nirx

xxfpni

xi

i

n

i

,...,1,0,...,

,...,1,0 1 ==−∂

∂⇒==

∂∂π

Din rezolvarea acestui set de condiŃii de optim (sistem de n ecuaŃii) obŃinem soluŃia

( )**2

*1 ,...,, nxxx exprimată în funcŃie de nrrrp ,...,,, 21 .

ObservaŃie: Pentru determinarea ofertei firmei se înlocuieşte soluŃia obŃinută mai sus în restricŃia

tehnologică a firmei, ),...,,( **2

*1

*nxxxfy = .

13.4. Probleme rezolvate Problema 1. Pentru a produce y unităŃi dintr-un bun, o firmă suportă pe termen scurt un cost variabil

( ) yyyyCV 42

1 23 +−= şi un cost fix 4=CF .

Obiectivul firmei îl reprezintă maximizarea profitului. Se cere:

a) Să se determine funcŃiile de cost mediu, cost marginal, cost variabil mediu, cost fix mediu. b) Să se reprezinte pe acelaşi grafic funcŃiile de cost mediu, cost marginal şi cost variabil mediu. DefiniŃi, determinaŃi şi puneŃi în evidenŃă pe grafic pragul de rentabilitate şi pragul de închidere. c) Dacă firma vinde producŃia pe o piaŃă cu concurenŃă perfectă la un preŃ unitar p să se determine producŃia aleasă dacă preŃul unitar al bunului produs are valoarea:

i) 3=p

ii) 4=p

iii) 6=p . Să se calculeze în fiecare caz în parte profitul realizat.

Rezolvare

a) Determinăm funcŃiile de cost astfel:

- funcŃia de cost total: ( ) ( ) CFyCVyCT += , adică ( ) 442

1 23 ++−= yyyyCT .

- funcŃia de cost total mediu: ( ) ( )y

CFyCVyCTM

+= , sau ( )

yyyyCTM

44

2

1 2 ++−= .

- funcŃia de cost marginal: ( ) ( )yCTyCm '= , deci ( ) 422

3 2 +−= yyyCm .

-funcŃia de cost variabil mediu: ( ) ( )y

yCVyCVM = , adică ( ) 4

2

1 2 +−= yyyCVM .

-funcŃia de cost fix mediu: ( )y

CFyCFM = , echivalent cu ( )

yyCFM

4= .

a) FuncŃia de cost total mediu este ( )y

yyyCTM4

42

1 2 ++−= .



Din ( ) 204

1'2

>⇒>−−= yy

yyCTM rezultă că funcŃia este descrescătoare dacă 2<y şi

crescătoare dacă 2>y .

Deoarece ( ) 08

1"3>+=

yyCTM , rezultă că funcŃia este convexă pentru orice y.

Minimul acestei funcŃii se atinge când ( ) 0' =yCTM , adică:

20404

1 232

=⇒=−−⇒=−− yyyy

y .

FuncŃia de cost marginal este ( ) 422

3 2 +−= yyyCm , o funcŃie de gradul al doilea ce are ca

reprezentare grafică o parabolă cu vârful

3

10,

3

2V .

Din ( )3

2023' >⇒>−= yyyC m . FuncŃia este descrescătoare dacă

3

2<y şi crescătoare

dacă 3

2>y . Minimul funcŃiei se obŃine pentru

3

2=y .

Pentru 0=y , ( ) 40 =mC .

FuncŃia de cost variabil mediu este ( ) 42

1 2 +−= yyyCVM , o funcŃie de gradul al doilea ce are ca

reprezentare grafică o parabolă cu vârful

2

7,1V .

FuncŃia de cost variabil mediu este descrescătoare dacă 1<y şi crescătoare dacă 1>y . Minimul

funcŃiei se înregistrează pentru 1=y .

Pentru 0=y , ( ) 40 =CVM .

IntersecŃia dintre funcŃia de cost marginal şi funcŃia de cost total mediu:

( ) ( ) 422

344

2

1 22 +−=++−⇒= yyy

yyyCyCTM m , de unde 2=y .

IntersecŃia dintre funcŃia de cost marginal şi funcŃia de cost variabil mediu:

( ) ( ) 42

142

2

3 22 +−=+−⇒= yyyyyCVMyCm , de unde 0=y şi 1=y .

FuncŃiile de cost total mediu şi cost variabil mediu nu se intersectează.

Reprezentăm grafic toate funcŃiile de cost în acelaşi sistem de axe.



Figura 13.1. FuncŃiile de cost CTM, CVM şi Cmg

Vom defini acum noŃiunile de prag de închidere şi prag de rentabilitate. Pragul de închidere reprezintă situaŃia în care firma înregistrează pierderi egale în valoare absolută cu costurile fixe. Dacă ar continua să producă, veniturile realizate nu ar acoperi costurile fixe, iar firma ar înregistra pierderi mai mari.

Pe grafic, pragul de închidere corespunde punctului de minim al curbei costului variabil mediu, notat cu PI. În acest punct, 2/7=p .

Pragul de rentabilitate reprezintă situaŃia în care firma înregistrează un profit nul. Dacă produce peste acest prag, veniturile realizate depăşesc costurile totale şi profitul devine strict pozitiv.

Pe grafic, pragul de rentabilitate corespunde punctului de minim al curbei costului total mediu, notat cu PR. În acest punct, 6=p . c) Fie ( ) ( ) CFyCVpyy −−=π funcŃia de profit a firmei. Înlocuind costul variabil şi costul fix obŃinem:

( ) 442

1 23 −−+−= yyypyyπ

Problema de optimizare a producătorului se scrie:

( ) 442

1(max) 23 −−+−= yyypyy

y

π

Iar condiŃia de optim, identificată şi în cazul teoretic este:

PR

PI

Cmg

CVM

6

2/3 1

10/3

7/2

4

FuncŃii

de Cost

O y 2

CTM



)(yCp mg= sau 422

3 2 +−= yyp

Vom determina producŃia optimă în fiecare din situaŃiile date. i) Dacă 3=p , avem:

422

33 2 +−= yy , ecuaŃie ce nu are soluŃii reale.

Din punct de vedere economic, preŃul este prea mic pentru ca firma să fie interesată să producă. Dacă ar produce o cantitate strict pozitivă de bun, pierderile ar fi mai mari decât în situaŃia în care nu

produce. Atunci alegerea optimă este 0* =y , iar profitul firmei este de fapt o pierdere,

4* −=−= CFπ . ObservaŃie: Ne plasăm pe grafic sub pragul de închidere! ii) Dacă 4=p , avem:

422

34 2 +−= yy , ecuaŃie ce are soluŃiile reale 0=y şi 3/4=y

Dacă nu ar produce o cantitate strict pozitivă de bun, adică dacă 0=y , pierderile ar fi egale în valoare absolută cu costurile fixe, iar profitul firmei ar fi nul.

Dacă produce cantitatea de bun strict pozitivă 3/4=y , profitul firmei este:

27

924

3

44

3

4

3

4

2

1

3

44

3

423

−=−⋅−

+

−⋅=

π (este de fapt tot o pierdere, dar mai

mică decât în situaŃia când nu produce nimic!)

Atunci alegerea optimă este 3/4* =y , iar profitul firmei este de fapt o pierdere, 27/92* −=π . ObservaŃie: Ne plasăm pe grafic între cele două praguri! iii) Dacă 6=p , avem:

422

36 2 +−= yy , ecuaŃie ce are soluŃiile reale 2=y şi 3/2−=y (nu are sens

economic). Dacă produce cantitatea de bun strict pozitivă 2=y , profitul firmei este:

( ) 0424222

1262 23 =−⋅−+⋅−⋅=π

Atunci alegerea optimă este 2* =y , iar profitul firmei este nul, 0* =π . ObservaŃie: Ne plasăm pe grafic în punctul de rentabilitate! Problema 2. Considerăm o firmă în concurenŃă perfectă a cărei funcŃie de producŃie este:

( ) 3

1

23

1

121 , xxxxfy ==

unde y , 1x şi 2x reprezintă volumul producŃiei şi cantităŃile utilizate din cei doi factori de producŃie 1 şi

2. PreŃurile unitare ale factorilor sunt 1r şi 2r , iar p este preŃul bunului produs. Analiza are loc pe termen lung, cei doi factori fiind variabili.



Se cere: a) Să se determine funcŃia de cost total, funcŃia de ofertă a firmei şi cererea pentru fiecare factor în funcŃie de 21 ,, rrp . b) RegăsiŃi rezultatele de la primul punct prin calcul direct, fără a mai trece prin calculul funcŃiei de cost total. Rezolvare

a) Primul pas constă în determinarea funcŃiilor de cerere de factori. Acestea sunt soluŃia programului de minimizare a costului de producŃie, atunci când volumul producŃiei y este dat. Problema de optimizare ce trebuie rezolvată se scrie:

(Cmin)

≥

=

+

0,

min

21

3

1

23

1

1

2211

xx

yxx

xrxr


( )

−++= 3

1

23

1

1221121 ,, xxyxrxrxxL λλ


=

=⇒=⇒

=−

=−

⇒

=∂∂

=∂∂

=∂∂

−

−

3

1

23

1

1

2

112

2

1

1

2

3

2

23

1

12

3

1

23

2

11

2

1

03

1

03

1

0

0

0

rry

r

rxx

r

r

x

x

xxr

xxr

L

x

L

x

L

λ

λ

λ

Folosim ultima condiŃie de optim şi obŃinem:

3

1

2

113

1

1

=

r

rxxy

de unde funcŃia de cerere de factor 1 se scrie:

( )2

1

1

22

3

21*

1 ,,

=

r

ryrryx

Analog, funcŃia de cerere de factor 2 este:

( )2

1

2

12

3

21*

2 ,,

=

r

ryrrzx .

FuncŃia de cost total, obŃinută ca valoare optimă a funcŃiei obiectiv este:

( )2

1

2

12

3

2

2

1

1

22

3

121 ,

+

=

r

ryr

r

ryryrrCT .



Prin rescriere, funcŃia de cost total este: ( ) ( )2

1

212

3

21 2,, rryrryCT = . Cantitatea de bun produsă (oferta firmei) se obŃine din condiŃia de optim preŃ = Cost marginal. Costul marginal, determinat ca derivată a costului total, este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

212

1

2

1

21

12

3

32

32' rryyCrryyCTyC mm =⇒⋅==

−

CondiŃia de echilibru se scrie:

( )yCp m= , echivalent cu: ( )2

1

212

1

3 rryp =

Atunci cantitatea de bun produsă este: ( )21

2

21*

9,,

rr

prrpy = . Am obŃinut astfel funcŃia de ofertă a

firmei.

Putem exprima acum cererea din fiecare factor în funcŃie de preŃurile factorilor şi de preŃul bunului produs:

( )2

21

32

1

1

22

3

21

2

21*

1279

,,rr

p

r

r

rr

prrpx =

=

şi:

( )2

21

32

1

2

12

3

21

2

21*

2279

,,rr

p

r

r

rr

prrpx =

=

b) Problema de maximizare a profitului este:

(P)

≥≥≥

=

−−

0,0,0

max

21

3

1

23

1

1

2211

yxx

xxy

rxrxpy

Problema este echivalentă cu următoarea problemă de optimizare fără restricŃii:

(P’) ( ) 22113

1

23

1

121,

,(max)21

rxrxxpxxxxx

−−=π


03

10 13

1

23

2

11

=−⇒=∂∂ −

rxpxx

π

03

10 23

1

13

2

22

=−⇒=∂∂ −

rxpxx

π

Atunci prin împărŃirea acestor două relaŃii obŃinem:

2

1

1

2

r

r

x

x= , de unde

2

112

r

xrx =

Folosim acest ultim rezultat în prima condiŃie de optim:



( )2

21

3

21127

,,rr

pprrx =

Analog, ( )2

21

3

21227

,,rr

pprrx = .

FuncŃia de ofertă a firmei se determină prin înlocuirea funcŃiilor de cerere de factori determinate mai sus în restricŃia tehnologică:

( ) ( )21

2

3

1

2121 9,,

rr

pxxprry == .

Aceste rezultate coincid cu cele determinate la punctul a) al problemei.

Problema 3. O întreprindere are ca funcŃie de producŃie 3

1

2

1

),( LKLKFy == , unde K reprezintă

factorul capital, iar L factorul muncă. Presupunem că preŃul unitar al factorului capital este 1=r , preŃul unitar al forŃei de muncă este 1=w , şi notăm cu p preŃul outputului. Obiectivul întreprinderii este maximizarea profitului (procedura de maximizare directă a profitului).

Se cere: a) DeterminaŃi cererile din fiecare factor. b) DeduceŃi funcŃia de ofertă a întreprinderii. c) Dacă 2=p să se precizeze ce cantitate de output maximizeză profitul întreprinderii. Care este valoarea profitului? Rezolvare

a) Profitul firmei se scrie:

( ) wLrKpyLK −−=Π ,

Cum 3

1

2

1

LKy = , 1=r şi 1=w , rezultă că problema de maximizare a profitului devine:

( ) LKLpKLKLK

−−=Π 3

1

2

1

,,(max)


( )

( )

=−

=−⇒

=∂Π∂

=∂Π∂

−

−

2 013

1

1 012

1

0

0

3

2

2

1

3

1

2

1

LpK

LpK

L

K

ÎmpărŃind cele două relaŃii obŃinem:

2

31

2

3 LK

K

L=⇒=

Înlocuim 2

3LK = în condiŃia (2) şi rezultă:

2

1

6

1

6

12

1

3

22

1

2

3

3

3

2

301

2

3

3

1

=⇒=

⇒=−

−− pL

pLL

Lp



Adică cererea optimă de factor L este: 216

6* p

L =

Din 2

3LK = şi

216

6pL = , rezultă cererea optimă de factor capital:

144

6* p

K =

b) FuncŃia de ofertă a întreprinderii se obŃine uşor prin înlocuirea cererilor de factori în restricŃia tehnologică a firmei:

( ) ( )72

)(5

3

1*2

1** p

LKpY ==

c) Dacă 2=p , atunci 9

4* =Y , iar profitul firmei este:

148.0216

64

144

64

9

8* =Π⇒−−=Π




1. Determinarea funcŃiilor cererilor de factori şi funcŃiei de ofertă a firmei.

2. Analiza influenŃei modificării preŃurilor factorilor şi a preŃului bunului produs asupra

cererilor de factori şi asupra ofertei de bun.

3. Determinarea şi interpretarea economică a diferitelor tipuri de costuri (cost mediu, cost

marginal, cost variabil şi cost fix)

4. Interpretarea economică a multiplicatorului Lagrange din problema de optimizare a producătorului.



UNITATEA DE ÎNVĂłARE 14 ECHILIBRUL CONCURENłIAL ŞI ECHILIBRUL COMPENSAT

Cuprins Obiectivele UnităŃii de învăŃare 14 14. Echilibrul concurenŃial şi echilibrul compensat

14.1. DefiniŃii ale echilibrelor

14.2. Legături existente între cele două tipuri de echilibru






Obiectivele UnităŃii de învăŃare 14 • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru rezolvarea problemelor de optimizare la nivel de

economie (determinarea celor două tipuri de echilibre) • Interpretarea economică a rezultatelor obŃinute şi a proprietăŃilor celor două tipuri de echilibre • Însuşirea cunoştinŃelor necesare pentru a stabili legăturile între echilibrul concurenŃial şi cel

compensat

Echilibrul concurenŃial şi echilibrul compensat

14.1. DefiniŃii ale echilibrelor

Un echilibru competitiv (necompensat, concurenŃial) are următorul sens în literatura de specialitate: o mulŃime de preŃuri, de alocaŃii de producŃie şi de consum astfel încât fiecare firmă să-şi maximizeze profitul la preŃurile date, fiecare gospodărie să maximizeze utilitatea la preŃurile date, iar consumul global să nu depăşească suma dotărilor de producŃie şi iniŃiale globale.

DefiniŃia 1. Tripletul ),,( *** yxp , adică un vector de preŃuri, o alocaŃie de consum şi o alocaŃie de producŃie constituie un echilibru competitiv dacă:

a) 0* >p

b) ∑∑∑ +≤h

h

f

f

h

h xyx **

c) ff ypyp *** max= pentru acei ff

Yy ∈ ( adică *

fy maximizează profitul pentru firma f

, ff Yy ∈ , la preŃurile date, *p )

d) )(max)( *hhhh xUxU = pe restricŃia

,)( ***** ∑+=≤f

fhfhhh ypdxpMxp (adică *hx maximizează utilitatea gospodăriei h în

condiŃiile respectării restricŃiei de buget).

DefiniŃia 2. Un vector de preŃuri *p , o alocaŃie de utilitate *u , o alocaŃie de consum *x şi o alocaŃie de

producŃie *y constituie un echilibru compensat dacă:

a) 0* >p

b) ∑∑∑ +≤h

h

f

f

h

h xyx **

c) ffff Yyypyp ∈= aceipentru ,max ***

d) hh xpxp *** min= pe restricŃia *)( hhh uxU ≥ , cu *

hu dat

e) ***hh xpM =



14.2. Legături existente între cele două tipuri de echilibru

Între cele două tipuri de echilibre există o relaŃie foarte strânsă. Reamintim în acest sens câteva rezultate din teoria consumatorului utile în demonstraŃiile teoremelor ce vor fi enunŃate.

Lema 1. Dacă *hx este vectorul preferat, supus unei restricŃii de buget hh Mpx ≤ , atunci *

hx

minimizează pxh supus restricŃiei *hhh xx f .

Lema 2. Dacă *hx minimizează pxh supus restricŃiei 0

hhh xx f şi dacă 1*hh pxpx > pentru anumite

consumuri hh Xx ∈1 , atunci *hx este preferat pe restricŃia de buget *

hh pxpx ≤ .

Teorema 1. Dacă ),,( *** yxp este un echilibru competitiv şi )( **hhh xUu = pentru fiecare h, atunci

),,,( **** yxup este un echilibru compensat. Lema 3. Dacă 0>p şi fpy f ∀≥ ,0 atunci avem:

a) hM h ∀≥ ,0

b) pentru orice h, 0>hM dacă şi numai dacă hh

xpM > , unde hM reprezintă venitul

consumatorului h, iar hx reprezintă dotarea iniŃială a consumatorului h.

Teorema 3. Dacă ),,,( **** yxup este un echilibru compensat şi hM h ∀> ,0* , atunci ),,( *** yxp este

un echilibru competitiv.

Lema 4. Dacă ),,,( **** yxup este un echilibru compensat, atunci 0* >hM pentru anumite gospodării

h.

Teorema 2. Dacă ),,,( **** yxup este un echilibru compensat, atunci *u este o alocaŃie de utilitate paretian eficientă. Teorema 3 (teorema generală de eficienŃă). Dacă u0 este o alocaŃie de utilitate paretian eficientă, atunci există un vector *p cu următoarele proprietăŃi:

a) 0* >p

b) )(,0 0uZzpz ∈∀≥

c) )(ˆ,0 0uZzpz ∈∀=

d) dacă )(ˆ),( 000 uWyx ∈ astfel încât condiŃiile ffhhh YyuxU ∈≥ 000 ,)( şi

∑∑∑ +≤h

h

f

f

h

h xyx 00 să fie satisfăcute, atunci:

i) pxh este minimizat peste )( 0hh uX în 0

hx ;

ii) pyf este maximizat peste fY în 0fy ;

iii) restricŃia bugetului social este satisfăcută, adică



∑ ∑∑∑

+≤

h h

h

f

f

h

h xppypx 00

DefiniŃia 3. MulŃimea preŃurilor de echilibru se defineşte ca

)(,0,1,0)( uZzpzpeppuP ∈∀≥=>= .

14.3. Probleme rezolvate Problema 1. Fie o economie E cu 3 firme şi 3 consumatori caracterizată de urmatoarele elemente:

- mulŃimea posibilităŃilor de producŃie pentru fiecare firme:

−

−

−

−

=

4

2

0

,

1

02

3

,

0

0

0

,

3

1

2

1Y ,

−

−

−

=

3

1

0

,

6

0

3

,

0

1

4

,

0

0

0

2Y

−

−

−

=

0

2

1

,

1

3

2

,

3

0

6

,

0

0

0

3Y

- mulŃimea consumurilor posibile:

=

=

=

4

0

0

,

0

4

0

,

2

0

2

,

0

0

0

2

2

0

,

0

0

1

,

4

0

0

,

0

0

0

0

2

4

,

2

0

0

,

1

2

0

,

0

1

1

,

0

0

0

3

21

X

XX

- dotările iniŃiale pentru cei 3 consumatori:

=

=

=

3

1

0

,

3

2

1

,

2

2

0

321 xxx

- vectorul preŃurilor:

=∗

4

1,

4

1,

2

1p

- vectorul alocaŃiei de consum:

( )23

42

51 ,, xxxx =∗ unde j

ix - reprezintă vectorul j din mulŃimea consumurilor posibile

pentru consumatorul i. - vectorul alocaŃiei de producŃie:

( )23

22

31 ,, yyyy =∗ unde j

iy - reprezintă vectorul j din mulŃimea producŃiilor posibile

pntru firma i.

- ponderile hfd :

=3

1,

3

1,

3

1hfd oricare ar fi 3,2,1=h şi 3,2,1=f .



- funcŃiile de utilitate pentru cei 3 consumatori sunt:

( ) ( ) 213

212

21121 xxxxUxU ++== , ( ) 3213 2 xxxxU ++=

Se cere:

a) Să se arate că tripletul ( )∗∗∗ yxp ,, este un echilibru competitiv (concurenŃial). b) Să se determine un echilibru compensat.

c) Se modifică echilibrul concurenŃial dacă preŃul devine

=∗

2

1,

4

1,

4

1p ? În caz afirmativ

să se determine noul echilibrul. Rezolvare

a) Ştim că tripletul ( )∗∗∗ yxp ,, constituie un echilibru competitiv dacă sunt îndeplinite urmatoarele condiŃii:

a) 0>∗p

b) ∑ ∑ ∑+≤ ∗∗

h f h

hfhxyx ; deci alocaŃia ( )∗∗∗ = yxw , să fie fezabilă.

c) ( ) Ffypypf

Yy ff

...,,2,1max =∀= ∗

∈

∗∗

d) ( ) ( )hhhh xUxU max=∗

( )∑ ∗∗∗∗∗ +=≤f

fhfhhhypdxpMxp unde 0≥hfd şi ∑ =

h

hfd 1.

Verificăm dacă cele 4 condiŃii sunt îndeplinite pentru tripletul:

( )

−

−

−

=∗∗∗

3

0

6

,

0

1

4

,

1

0

3

,

2

0

2

,

2

2

0

,

0

2

4

,4

1,

4

1,

2

1,, yxp

a) 04

1,

4

1,

2

10 >

⇒>∗p adevărat.

b) ∑ ∑ ∑+≤ ∗∗

h f h

hfh xyx (1)

unde:

=++=∑ ∗

4

4

623

42

51 xxxx

h

h ,

−

−=++=∑ ∗

4

1

1323

22

31 yyyy

f

f

=++=∑8

5

1

321 xxxxh

h

RelaŃia (1) devine:

≤

⇒

+

−

−≤

4

4

14

4

4

6

8

5

1

4

1

13

4

4

6

adevărat.



CondiŃia c): f

Yyypyp

ff

∗

∈

∗∗ = max .

Avem:

4

5

2

1,

4

5,0,0 11 =⇒

= ∗∗∗ ypYp se realizează pentru vectorul

31y ,

4

7

2

1,0,

4

7,0 22 =⇒


22y ,

4

90,0,

4

9,0 33 =⇒


23y ;

rezultă deci ( )⇒=∗ 23

22

31 ,, yyyy condiŃia c) este satisfăcută.

CondiŃia d): ( ) ( )hhhh xUxU max=∗ de demonstrat că este adevărat pentru acei

( )∑ ∗∗∗∗∗ +=≤f

fhfhhh ypdxpMxp .

Determinăm mai întâi venitul pentru fiecare gospodărie h:

( )

75,24

11

4

71

4

21

3

11

4

9

4

7

4

5

3

11

4

94

74

5

3

1,

3

1,

3

1

2

2

0

4

1,

4

1,

2

13

1111

==+=⋅+=

+++=

=

+

=+= ∑=

∗∗∗∗

f

ff ypdxpM

CondiŃia d) se mai poate scrie:

- pentru

=⇒= ∗

2

5,

2

1,

4

3,

4

3,01 1Xph toŃi vectorii satisfac

( )

5,34

14

4

21

3

1

4

7

4

9

4

7

4

5

3

1

4

7

4

94

74

5

3

1,

3

1,

3

1

3

2

1

4

1,

4

1,

2

13

1222

==⋅+=

+++=

=

+

=+= ∑=

∗∗∗∗

f

ff ypdxpM

75,24

11

4

71

4

94

74

5

3

1,

3

1,

3

1

3

1

0

4

1,

4

1,

2

13 ==+=

+

=∗M

( ) ( )hhhh xUxU max=∗



≤∗

75,2

5,3

75,2

hxp restricŃia de buget

- pentru

=⇒= ∗ 1,

2

1,1,02 2Xph toŃi vectorii satisfac restricŃia de buget;

- pentru

=⇒= ∗ 1,1,

2

3,03 3Xph toŃi vectorii satisfac restricŃia de buget.

Calculăm utilităŃile pentru fiecare mulŃime 3,1, =hX h

- pentru mulŃimea 511 22,2,21,2,0: xX ⇒++ este prima componenetă a alocaŃiei de

consum care formează echilibrul competitiv.

- pentru mulŃimea 422 22,1,2,0: xX ⇒ este a doua componentă a alocaŃiei de consum.

- pentru mulŃimea 233 4,4,222,0: xX ⇒+ este a treia componentă a alocaŃiei de

consum.

Ca urmare condiŃia d) este satisfăcută ( )( )23

42

51 ,, xxxx =∗ rezultă că tripletul ( )∗∗∗ yxp ,,

constituie un echilibru competitiv. Pentru a determina un echilibru compensat, apelăm la următoarea teoremă:

Fie ( )∗∗∗ yxp ,, un echilibru competitiv şi ( ) ∗∗ = hhh uxU , ( )∗∗∗∗∗ = Hh uuuuu ...,,,...,, 21 ,

atunci ( )∗∗∗∗ yxup ,,, este un echilibru compensat.

Dar ( )222,22,22 ++=∗u , rezultă că ( )∗∗∗∗ yxup ,,, constituie un echilibru compensat conform teoriei enunŃate mai sus.

c) Fie

=∗

2

1,

4

1,

4

1p . Verificăm dacă tripletul ( )∗∗∗ yxp ,, , unde ∗p este vectorul de

preŃuri noi, satisface cele 4 condiŃii din definiŃia echilibrul competitiv.

a) 02

1,

4

1,

4

10 >

⇒>∗p adevărat.

b) ∑ ∑ ∑+≤ ∗∗

h f h

hfh xyx este adevărat (vezi punctul a)

c) 2

3

2

3,

4

1,0,

4

511 =⇒


−=

4

2

041y .

Deoarece ∗y din enunŃul problemei are prima componentă pe 3

1y rezultă că schimbând

=∗

4

1,

4

1,

2

1p în

=∗

2

1,

4

1,

4

1p echilibrul competitiv se schimbă.

Determinăm noul echilibru competitiv, dacă există:

Continuăm cu determinarea produselor 1

fYp∗ :



4

9

4

5,

4

9,

4

3,0 22 =⇒

= ∗∗∗ YpYp se realizează pentru vectorul

−

=

6

0

332y

4

3

4

1,

4

3,0,0 33 =⇒

= ∗∗∗ YpYp se realizează pentru vectorul

( )33

32

41

33 ,,

1

3

2

yyyyy =⇒

−

= ∗

CondiŃia d)

( ) ( )hhhh xUxU max=∗ ( )∑ ∗∗∗∗∗ +=≤f

fhfhhh ypdxpMxp

Determinăm venitul pentru fiecare gospodărie h:

34

18

3

1

3

3

4

3

4

9

2

3

3

1

3

2

0

2

1,

4

1,

4

11 =⋅+=

+++

=∗M

75.34

15

3

3

4

9

4

3

4

9

2

3

3

1

3

2

1

2

1,

4

1,

4

12 ==+=

+++

=∗M

25.34

13

2

3

4

7

4

3

4

9

2

3

3

1

3

1

0

2

1,

4

1,

4

13 ==+=

+++

=∗M .

Rezultă că ( ) ( )hhhh xUxU max=∗ pe restricŃia

≤∗

25,3

75,3

3

hxp .

Determinăm produsele hXp∗ pentru 3,2,1=h :

=∗

2

3,1,1,

2

1,01Xp rezultă că toŃi vectorii din mulŃimea X1 satisfac restricŃia de buget;

=∗

2

3,

4

1,2,02Xp rezultă că toŃi vectorii din mulŃimea X2 satisfac restricŃia de buget;

=∗ 2,1,

2

3,03Xp rezultă că toŃi vectorii din mulŃimea X3 satisfac restricŃia de buget.

Calculăm utilităŃile pentru fiecare mulŃime hX :

- pentru mulŃimea 5

11 22,2,21,2,0: xX ⇒++ este o componentă a vectorului *x ;


22 22,1,2,0: xX ⇒ este o componentă a vectorului *x ;


33 4,4,222,0: xX ⇒+ este o componentă a vectorului *x



Deci ),,( 2

3

4

2

5

1

* xxxx =

Trebuie să verificăm dacă alocaŃia ( )∗∗∗ = yxw , este fezabilă, adică ( ) 0≤∗wz sau mai mult,

∑ ∑ ∑+≤ ∗∗

h f h

hfh xyx (6.2)

Din .

8

5

1

,

11

1

5

,

4

4

6

=

−

=

= ∑∑∑ ∗∗

h

h

f

f

h

hxyx

RelaŃia (6.2) devine

−

≤

19

6

4

4

4

6

fals.

Rezultă că pentru vectorul

=∗

2

1,

4

1,

4

1p nu există un echilibru competitiv.

Problema 2. Se consideră o economie E cu 2 producători şi 3 consumatori, precum şi un echilibru

compensat al acestei economii ( )∗∗∗∗ yxup ,,, , unde

-

=∗

4

1,

4

1,

2

1p

- alocaŃia de utilitate ( )1,1,1=∗u

- alocaŃia de consum ( )∗∗∗∗ = 321 ,, xxxx

- alocaŃia de producŃie ( )∗∗∗ = 21 , yyy cu

−=

−

=

=

=

= ∗∗∗∗∗

2

2

6

,

2

6

4

,

4

1

0

,

1

4

1

,

0

1

2

21321 yyxxx

Vectorii ∗hx şi 2,1,3,1, ==∗ fhy f realizează minimul produsului hxp∗ pe mulŃimile

( )1hX , respectiv maximul produsului fyp ∗ pe mulŃimile fY .

Dotările iniŃiale pentru cele 3 gospodării sunt:

=

=

=

0

1

0

,

1

1

0

,

0

0

1

321 xxx , iar ponderile hfd din profitul firmelor sunt:

.3

1,

6

1,

12

5,

3

1,

4

1,

2

1321

=

=

= fff ddd

Se cere: a) Să se verifice condiŃiile din definiŃia echilibrului compensat. b) Să se decidă dacă acest echilibru compensat este şi un echilibru competitiv.

c) Dar dacă există h astfel încât 0=∗hM ?



Rezolvare

( )∗∗∗∗ yxup ,,, constituie un echilibru compensat dacă sunt îndeplinite următoarele condiŃii:

a) 0>∗p

b) ∑ ∑ ∑+≤ ∗∗

h f h

hfh xyx ;

c) fYy

f ypypff

∗

∈

∗∗ = max

d) hh xpxp ∗∗∗ = min pe restricŃia ( ) ∗≥ hhh uxU , cu *

hu dat

e) ∗∗∗ = hh Mxp unde ( )∑ ∗∗∗∗ +=f

fhfhh ypdxpM

Verificăm dacă aceste condiŃii sunt satisfăcute:

a) Avem 04

1,

4

1,

4

10 >

⇒>∗p

b) Avem:∑ ∑

=+=

=++= ∗∗∗∗∗∗∗

h f

fhyyyxxxx

4

4

2

,

5

6

3

21321

=++=∑

1

2

1

321 xxxxh

h

CondiŃia b) devine:

≤

⇒

+

≤

5

6

3

5

6

3

1

2

1

4

4

2

5

6

3

adevărat

Rezultă deci că ( )∗∗∗ = yxw , este o alocaŃie fezabilă. d) CondiŃiile c) şi d) sunt presupuse adevărate din enunŃul problemei.

e) Trebuie demonstrat că ∗∗∗ = hh Mxp , 3,2,1)( =∀ h

- pentru h=1

Calculăm 25,15

1

4

11

0

1

2

4

1,

4

1,

2

11 ==+=

=∗∗ xp

iar *

1M este:

25,14

5

4

30

2

1

3

0

4

1,

2

1

0

0

1

4

1,

4

1,

2

11 ==++=

+

=∗M

. Deci *

1

**

1 xpM =

- pentru h=2

Calculăm 75,14

7

4

11

2

1

1

4

1

4

1,

4

1,

2

12 ==++=

=∗∗ xp

iar



∗∗

∗

=⇒==+=+=

=

++=

++=

+

=

22

2

75,14

7

4

5

2

1

12

15

2

1

12

3.5

4

1

4

1

12

3.5

4

1

4

1

3

0

12

5,

3

1

4

1,

4

1,

2

1

Mpx

M

- pentru h=3 avem:

25,14

71

4

1

4

1

0

4

1,

4

1,

2

13 ==+=

=∗∗ xp

∗∗∗∗ =⇒==+=

+

= 333 25,14

51

4

1

3

0

3

1,

6

1

0

1

0

4

1,

4

1,

4

1MxpM

În concluzie ( ) 3,2,1, =∀= ∗∗∗ hMxp hh şi deci cele 5 condiŃii sunt satisfăcute, ca urmare

( )∗∗∗∗ yxup ,,, constituie un echilibru compensat.

b) Ne folosim de enunŃul următoarei teoreme: dacă ( )∗∗∗∗ yxup ,,, constituie un echilibru

compensat şi dacă ( )hMh

,0 ∀>∗ atunci ( )∗∗∗ yxp ,, constituie un echilibru competitiv (concurenŃial).

La punctul a) am obŃinut: 025,1,075,1,025,1 321 >=>=>= ∗∗∗ MMM de unde, conform teoremei de mai sus rezultă

că tripletul ( )∗∗∗ yxp ,, constituie un echilibru competitiv. c) Teorema precedentă constituie doar o condiŃie suficientă, nu şi necesară. Deci dacă la un

echilibru compensat există un 00 =hM , atunci nu se poate spune nimic în privinŃa echilibrului

competitiv. Problema 3. Fie o economie E cu 3 firme şi 4 consumatori. Se dau următoarele elemente:

- vectorul preŃurilor pentru cele 5 bunuri:

=∗ 0,2

1,0,0,

2

1p

- alocaŃia de utilitate: ( )1,1,1,1=∗u

- alocaŃia de consum: ( )∗∗∗∗∗ = 4321 ,,, xxxxx , unde:

=

=

=

= ∗∗∗∗

2

0

1

1

0

,

1

0

0

2

0

,

3

0

3

1

0

,

2

0

2

3

0

4321 xxxx

- alocaŃia de producŃie: ( )∗∗∗∗ = 321 ,, yyyy , unde:



−

=

−

=

−

= ∗∗∗

1

0

2

3

0

,

0

2

2

0

2

,

2

4

4

6

4

321 yyy

- dotările iniŃiale pentru cei 4 consumatori sunt:

=

=

=

=

1

0

2

3

0

,

1

0

2

3

0

,

2

0

0

0

0

,

01

0

1

0

4321 xxxx

- sunt cunoscute ponderile hfd şi anume:

( ) ( ) 3,1,4,14

1,

4

1,

4

1=∀=∀

= fhd hf

Se cere :

a) Să se interpreteze componentele vectorului ∗

2y . b) Să se decidă dacă aceste elemente pot constitui un echilibru compensat.

c) Putem afirma că dacă ( )hM h ∀>∗ ,0 atunci ( )∗∗∗∗ yxup ,,, este echilibru compensat?

Rezolvare

a) Vectorul

−

=∗

0

2

2

0

2

2y . SemnificaŃia componentelor 5,1,2 =∗ iy i este următoarea:

221 =∗y , marfa 1 este produsă de firma 2;

022 =∗y , marfa 2 nu este nici produsă şi nici solicitată de firma 2 sau cât s-a produs s-a şi consumat;

223 =∗y , marfa 3 este produsă de firma 2;

224 −=∗y , marfa 4 este necesară firmei 2 (este o resursă folosită în procesul de producŃie de firma 2);

025 =∗y , marfa 5 nu este nici produsă şi nici solicitată de firma 2 sau cât s-a produs s-a şi

consumat. b) Din definiŃia echilibrului compensat observăm că nu putem verifica condiŃiile c), d) şi e), pe baza informaŃiilor furnizate de enunŃul problemei, deoarece,

- nu sunt cunoscute funcŃiile de utilitate şi deci nu se poate determina mulŃimea )( *

hhuX

- nu sunt cunoscute mulŃimile producŃiilor posibile pentru fiecare f şi deci nu se poate decide

dacă vectorii ∗fy realizează maximizarea profitului.



Deci, va trebui să verificăm alte proprietăŃi ale echilibrului compensat. Ca urmare, vom apela la

următoarea teoremă: dacă ( )∗∗∗∗ yxup ,,, constituie un echilibru compensat, atunci există cel puŃin o

gospodărie cu 0>∗hM .

Calculăm venitul fiecărei gospodării 4,3,2,1, =hh .

( ) 0

0

0

0

4

1,

4

1,

4

1

1

0

0

1

0

0,2

1,0,0,

2

1111 =

+

=+= ∑ ∗∗∗∗

f

ffypdxpM unde

0

2

4

4

6

4

0,2

1,0,0,

2

11 =

−

=∗∗ yp , 0

0

2

2

0

2

0,2

1,0,0,

2

12 =

−

=∗∗ yp ,

0

1

0

2

3

0

0,2

1,0,0,

2

13 =

−

=∗∗ yp

Deoarece nu există h astfel încât 0>∗hM , rezultă că ( )∗∗∗∗ yxup ,,, nu constituie un

echilibru compensat.

c) Se ştie că dacă ( )∗∗∗∗ yxup ,,, este un echilibru compensat atunci există cel puŃin o

gospodărie h astfel încât 0>∗hM .

Dacă 0>∗hM , oricare ar fi gospodăria h nu putem afirma că ( )∗∗∗∗ yxup ,,, este un echilibru

compensat.






3. Marin D., Stancu S., Marinescu D., Teoria echilibrului General. Aspecte teoretice şi aplicaŃii, Ed.ASE, 2004

1. Determinarea echilibrului concurenŃial într-o economie.

2. Determinarea echilibrului compensat într-o economie.

3. Stabilirea şi verificarea legăturilor existente între cele două tipuri de echilibru.

Micro Econom i e

Documents

Transcript of Micro Econom i e