CAPÍTULO 2: A ESCOLHA DOS CONSUMIDORES

2.A – Introdução

A unidade mais fundamental de decisão de teoria microeconômica é o consumidor. Neste capítulo, nós começamos nosso estudo de exigência de consumidor no contexto de uma economia de mercado. Por uma economia de mercado, nós queremos dizer um cenário em que bens e serviços que o consumidor pode adquirir estão disponíveis ou compra em preços sabidos (ou equivalentemente, estão disponíveis para comércio para outra mercadoria em saber índices de câmbio).

Começamos nas seções 2.B a 2.D, descrevendo os elementos básicos do problema de decisão de consumidor. Em seção 2.B, nós introduzimos os commodities de conceito, os objetos de escolha para o consumidor. Então em seções 2C e 2D, nós consideramos as limitações físicas e econômicas que limitam a escolha de consumidor. O anterior são capturados no jogo de consumo, que nós discutimos em seção 2C, o último são incorporados em seção 2D no jogo de orçamento de walrasian de consumidor. O assunto de decisão de consumidor a estas limitações é capturado na função de demanda de walrasian de consumidor. Em termo da escolha aproximação baseada a marcação individual de decisão introduziu em seção 1C, a função de exigência de walrasian no consumidor regra seleta. Estudamos a função e algumas de suas propriedades na seção 2E.

Entre eles são o que nós chamamos propriedades de estática comparativa: as maneiras em que a exigência de consumidor muda quando limitações econômicas variam. Finalmente, em seção 2F, nós consideramos as implicações para a função de exigência de consumidor do axioma fraco de preferência revelada. A conclusão central que nós alcançamos é que no cenário de exigência de consumidor, o axioma fraco é essencialmente equivalente à lei de exigência compensada, o postulado que apreçam e quantidades exigidas movem em direções opostas para mudanças de preço que deixam a renda real inalterada.

2.B – Commodities

O problema de decisão encarado pelo consumidor numa economia de mercado é escolher níveis de consumo da várias mercadorias e commodities de serviços. Para simplificar, nós supomos que o número de commodities é finito e igual a L (indexado por l = 1, …, L). Como uma questão geral, um vetor de mercadoria (ou cesta de mercadoria) é uma lista de quantias das commodities diferentes,

e possa ser visto como um ponto RL, no espaço de mercadoria.

Podemos usar um vetor de mercadoria para representar alguns níveis individuais de consumo. A l th entrada da mercadoria consumida l. Nós então referimos ao vetor como um vetor de consumo ou cesta de consumo.

Note que esse tempo (ou para essa situação de questão) pode ser construído na definição de uma mercadoria. Rigorosamente, pão hoje e amanhã deve ser visto como commodities distintos. Numa

veia semelhante, quando lidarmos com decisões sob incerteza no capítulo 6, pão de inspeção em diferente "estados de natureza" como commodities diferentes são mais úteis.

Embora commodities consumidos em tempos diferentes devem ser vistos rigorosamente como commodities distintos, em prática, modelos econômicos freqüentemente envolvem algum "agregação de tempo". Assim, uma mercadoria talvez seja "pão consumido no mês de fevereiro," mesmo que; em princípio tal agregação de tempo é que os dados econômicos a que o modelo está sendo aplicado são agregados desta maneira. A esperança do mais modelo é que os commodities são totais são suficientemente semelhante que pouco de interesse econômico em perder. Nós também devemos anotar que em alguns contextos torna-se conveniente e mesmo necessário expande o jogo de commodities incluir mercadoria e serviços que potencialmente podem estar disponível para compra mas não são realmente então e mesmo algum que pode estar disponível por meio outro que câmbio de mercado (diz, a experiência de "união de família"). Para quase todo o que segue aqui, no entanto, a construção estreita introduziu nestes sufixos de seção.

2. C – O Conjunto Consumo

As escolhas de consumo são tipicamente limitadas por um número de limitações (restrições) físicas. O exemplo mais simples é quando bem é impossível para o indivíduo consumir uma quantia negativa de um tal pão de mercadoria ou água.

Formalmente o conjunto de consumo é um subconjunto do espaço de mercadoria RL, denotado por , cujos elementos são as cestas de consumo que o indivíduo concebivelmente pode consumir dado as limitações físicas impostas pelo seu ambiente.

Considere a seguir quatro exemplos para o caso em que L = 2.

i) A Figura 2.C.1 representa possíveis níveis de consumo de pão e lazer num dia. Ambos níveis devem ser não negativo e, além do mais, o consumo de mais de 24 horas de lazer num dia é impossível.

ii) A Figura 2.C.2 representa uma situação em que o primeiro bem é perfeitamente divisível mas o segundo está disponível só em quantias de número inteiro de não negativos.

iii) A Figura 2.C.3 captura o fato que é impossível comer pão no mesmo instante em Washington e Nova Iorque. [Este exemplo é emprestado de Malinvaud (1978).]

iv) A Figura 2.C.4 representa uma situação onde o consumidor exige um mínimo de quatro fatias de pão ao dia para sobreviver e existe dois tipos de pães, marrom e branco.

Nos quatro exemplos, as limitações são físicas num sentido muito literal. Mas as limitações que nós incorporamos no conjunto (jogo) de consumo também podem ser institucionais em natureza. Por exemplo, uma lei exigindo que ninguém trabalhe mais que 16 horas por dia mudariam o conjunto de consumo na figura 2.C.1 a isso em figura 2.C.5.

Para manter coisas tão claro quanto possível, prosseguimos nossa conversa adotando o tipo mais simples de conjunto (jogo) de consumo:

o conjunto de todas as cestas de commodities não-negativas. É representado em figura 2.C.6.

Sempre que nós considerarmos qualquer jogo de consumo X diferente de nós devemos ser explícitos sobre o assunto.

Uma característica especial do conjunto é que é convexo. Isto é, se duas cestas de consumo

x e x’ são os dois elementos de , então a cesta é também um elemento

de para qualquer . (vê seção M.G do apêndice matemático para a definição e propriedades do conjunto convexo). Os conjuntos consumo nas figuras 2.C.1, 2.C.4, 2.C.5, e 2.C.6 são conjuntos convexos; esses nas figuras 2.C.2 e 2.C.3 não são.

Grande parte da teoria se aplica a ser desenvolvida para conjuntos consumo convexos gerais, bem

como para . Alguns dos resultados, mas não todos, sobrevivem sem o pressuposto de convexidade.1

2. D Orçamento (Mercado) Competitivo

Em adição às limitações físicas consubstanciadas no conjunto de consumo, o consumidor encara umas limitações econômicas importantes: sua escolha de consumo é limitada a essas cestas de mercadoria que ele pode dispor (arcar). Formalize esta limitação, nós introduzimos duas suposições. Primeiro supomos que as L commodities sejam todas negociadas no mercado em preço de dólar que publicamente são citados (isto é o princípio de integralidade, ou universalidade, de mercados). Formalmente estes preços são representados pelo vetor de preço

que dá o custo de dólar para uma unidade de cada uma das L commodities. Observe que há nada que logicamente exige preço ser positivo. Um preço negativo simplesmente meio que um comprador realmente é pago para consumir a mercadoria (que não é ilógico para commodities que são maus, tal como poluição). Não obstante para simplicidade aqui nós sempre supomos p >> 0; isto é pl > 0 para cada l.

Segundo, nós supomos que estes preços estão além da influência do consumidor. Isto é assim chamado de pressuposto “tomadores de preço”. Soltamente falar, esta suposição está possível estar válido quando a exigência de consumidor de qualquer mercadoria representa só uma fração pequena da exigência total para esse bem.

A acessibilidade de uma cesta de consumo depende de duas coisas: os preços de mercado p =

(p1, ..., pl) e o nível de riqueza do consumidor em dólares w. A cesta de consumo é acessível se o seu custo total não exceder o nível de renda w do consumidor, isto é, se2

Esta limitação econômica de acessibilidade, quando combinado com o requisito que x existe no

conjunto de consumo , implica que o conjunto de cestas de consumo praticáveis consiste nos

elementos do conjunto Este conjunto é conhecido como Walrasiano, ou jogo orçamento (econômico) competitivo (conforme Léon Walras).

1 Note que essa agregação de mercadoria pode ajudar a convexidade do conjunto de consumo. No exemplo levem para figura 2.C.3, o conjunto de consumo podia razoavelmente ser tomado ser convexo se os eixos fossem em vez de medir o consumo de pão durante o período de um mês.2 Freqüentemente esta limitação é descrita na literatura como exigindo que o custo de compras planejadas não exceda a renda de consumidor. Em qualquer caso a idéia é o custo de compras não exceder os recursos disponíveis do consumidor. Usamos a terminologia de riqueza para realçar que o problema real do consumidor pode ser intertemporal, com as commodities envolvendo compras sobre tempo, e a limitação de recurso é um de renda de tempo de vida (i.e., a riqueza) (ver Exercício 2.D.1).

Definição 2.D.1: O conjunto Walrasiano ou conjunto orçamento (econômico) competitivo

é o conjunto de todas cestas de consumo praticáveis para o consumidor que encara os preços de mercado p e tem riqueza w.

O problema do consumidor, dados preços p e riqueza w, pode assim ser declarados como segue:

escolhe uma cesta de consumo x de .

Um conjunto de orçamento Walrasiano é retratado em figura 2.D.1 para o caso de L = 2. Focalizar no caso em que o consumidor tem um problema de escolha não-degenerada, nós sempre supomos w > 0 (contrariamente o consumidor pode ter recursos para único x = 0).

O conjunto é chamado orçamento hiperplano (para o caso L = 2, chamamos a linha orçamentária). Ele determina o limite superior do conjunto orçamento. Como a figura 2.D.1 indica, o declive da linha orçamentária (econômica) quando L=2, – (p1/p2), captura o índice de câmbio entre os dois commodities. Se o preço de mercadoria 2 sofre diminuições (com

p1 e w sendo fixos), diz a , o conjunto orçamento cresce maior porque mais cestas de consumo estão ao alcance, e a linha econômica torna-se mais abrupta. Esta mudança é mostrada em figura 2.D.2.

Outra maneira de ver como o hiperplano orçamentário reflete o termo relativo de câmbio entre commodities vem de examinar é relação geométrica ao vetor de preço p. O vetor de preço p,

começar tirado de qualquer ponto no hiperplano orçamentário, deve ser ortogonal

(perpendicular) a qualquer vetor começando em é deitando no hiperplano orçamentário, isto é

então porque para qualquer que esteja no orçamento hiperplano, nós temos .

Por isso, . A Figura 2.D.3 retrata este relacionamento geométrico para o caso L = 2.3

Figura 2.D.3 A relação geométrica entre p e o hiperplano orçamentário.

3 Para desenhar o vetor p a partir de , nós desenhamos um vetor a partir do ponto ao ponto

. Assim quando tiramos o vetor de preço neste diagrama, nós usamos as "unidades" nos eixos para representar as unidades de preço em vez de bens.

O conjunto de orçamento de Walrasiano é um conjunto convexo: isto é, se as cestas x e x'

são ambas elementos de , então a cesta é também. Para ver isto, note

primeiro que porque tanto x como x’ são não-negativos, . Segundo, desde que e

, nós temos . Deste modo, .

A convexidade de desempenha um papel significativo no desenvolvimento que se segue. Note

que a convexidade de depende da convexidade do conjunto consumo . Com um conjunto

consumo mais geral X, será convexo enquanto X é (ver exercício 2.D.3).

Embora conjuntos orçamentos (econômicos) Walrasiano sejam de interesse teórico central, eles são de modo algum o único jogo de tipo de orçamento que consumidor talvez encare em qualquer situação real. Por exemplo uma descrição mais realista da troca de mercado entre um consumo bem e lazer, envolvendo impostos, subsídios, e vários índices de salário, é ilustrado em figura 2.D.4. Na figura, o preço do consumo do bem é 1, e o consumidor ganha índices de salário s por horas para as primeiras 8 horas de trabalho e s' > s para adicional (hora extra) horas. Ele também encara um índice de imposto t por dólar em renda de trabalho ganhou acima de quantia M. Note que o conjunto orçamento na figura 2.D.4 é não-convexo (você é convidado a mostrar isto no exercício 2.D.4). Um exemplo mais complicado pode ser construído e surge comumente um trabalho aplicado. Veja Deaton e Muellbauer (1980) e Burtless e Hausmman (1975) para mais ilustrações deste tipo.

2.E A Função Demanda e Estática a Comparativa

A correspondência de demanda Walrasiana do consumidor (ou de mercado, ou ordinária) x(p,w) designa um conjunto de cestas de consumo escolhidas para cada par de preço-riqueza (p,w). Em princípio, esta correspondência pode ser multivariável; isto é, aí pode ter mais que um vetor de consumo possível designado para um dado par preço–riqueza (p,w). Quando que é então, qualquer x x(p,w), talvez seja escolhido pelos consumidores quando ele encara o par preço–riqueza (p,w). Quando x(p,w) é únicos estimados (valor único), nós referimos a ele como uma função demanda.

Por todo este capítulo, nós mantemos duas suposições concernente à correspondência de demanda Walrasiana x(p,w): Que ele é homogêneo de grau zero e que ele satisfaz a Lei de Walras.

Definição 2.E.1: A correspondência de demanda Walrasiana x(p,w) é homogênea de grau de zero

se para qualquer p, w e α > 0.

A homogeneidade de grau zero diz que se tanto preço como riqueza mudança na mesma proporção, eles então a escolha de consumo individual não muda. Para entender esta propriedade, não que uma

mudança em preço e riqueza de (p, w) a leve a nenhuma mudança no jogo de consumidor

de fardos praticáveis de consumo que é . A homogeneidade de grau zero diz que a escolha individual depende só no jogo de pontos praticáveis.

Definição 2.E.2: A correspondência de exigência de Walrasiana (p, w) satisfaz LEI DE WALRAS em se para cada p >> 0 e w > 0, nós temos p*x = w para todo .

A Lei de Walras diz que os consumidores gastam plenamente sua riqueza. Isto é Intuitivo uma suposição razoável fazer contanto que há algum bom que está claramente desejável. A lei de Walras deve ser entendida amplamente: O orçamento de consumidor pode ser um intertemporal um permitir para poupança hoje ser usado para compras amanhã. O que a lei de Walras diz é que o consumidor gasta plenamente seus recursos sobre seu tempo de vida.

Exercício 2.E.1 Suponha L = 3, e considere o exigência função x(p,w) definido por

Isto exige função satisfazer homogeneidade de grau zero e walras quando B = 1? Que tal quando B E (0,1)?

Em capítulo 3, onde o x de exigência de consumidor (p, w) é derivam do maximization para preferências estas duas propriedades (homogeneidade de grau zero e satisfação de lei de walras) controle sob de circunstância geral. No resto deste capítulo, no entanto, nós havemos de simplesmente tomado então como suposição sobre x (p, w) e exploram a conseqüência.

Uma implicação conveniente de x (p, w) são homogêneos de grau zero pode ser anotado imediatamente: Embora x (p, w) formalmente tem L + 1 variáveis independentes num nível

arbitrário. Uma normalização comum é para alguns l . outra é . assim sendo, efetiva no número de argumentos x (p,w) is L.

Para seu lembra-se de para esta seção, nós supomos esse x (p, w) é sempre único – estimou. Neste caso, nós podemos escrever o x de função (p, w) em termo de mercadoria – exigência específica funcional.

Quando conveniente nós também supomos x (p, w) ser contínuos e diferenciável.

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A aproximação que nós tomamos aqui e em seção 2.F pode ser visto como uma aplicação da estrutura escolha-baseado desenvolvida em capítulo 1. A família de jogo de orçamento de walrasian é aliás por homogeneidade de grau zero x(p,w) depende apenas de os orçamentos definir o consumidor enfrenta. Por isso é uma estrutura de escolha, como definido em seção 1.C. Note que a estrutura de escolha Não inclui todo possível subconjunto de x (e.g., seu não inclui todo dois e três subconjunto de elementos de x). Este fato será significativo para o relacionamento entre o escolha-baseado e preferência baseou aproximações a exigência de consumidor.

Estática comparativa

Nós somos de interessado em analisar como as escolhas de consumidor varia com mudanças na sua riqueza e preços. O exame de mudanças em resultado em resposta a uma mudança em parâmetros econômicos subjacentes é conhecido como análise de estática comparativa.

Os Efeitos da Renda (riqueza)

Para os preços fixos , a função da riqueza é chamada função de consumo de Engel. Sua imagem no é conhecida como o caminho de expansão de riqueza. A Figura 2.E.1 retrata tal caminho de expansão.

Em qualquer (p,w), a derivada é conhecido como os efeitos de renda (riqueza) para o l th bem.

Uma mercadoria l é normal em (p, w) se Isso é exigência é não de vinco em riqueza. Se efeito de riqueza do l de mercadoria é em vez disso negativo, então é chamado inferior em (p,w). Se cada mercadoria é normal para todo (p, w) então dizemos que essa demanda é normal.

A suposição de exigência normal faz sentido se mercadoria são agregado grandes (e, g, alimento, abrigo). Mas se o são muito desagregado (e, g, tipo particular de sapatos) então por causa de substituição para bens de alta qualidade como aumentos de riqueza, bens que tornam-se inferior em algum nível de riqueza pode ser a regra antes que a exceção. Em notação de matriz, os efeitos de riqueza são representados como segue:

Efeitos de Preço

Nós também podemos pedir como níveis de consumo das várias mudanças de commodities quando o preço varia.

Considere o primeiro o caso onde L = 2 e suponha que nós mantemos riqueza e preço p1 fixos. A Figura 2.E.2 representa a função de demanda para o bem 2 como uma função do próprio preço p2

para vários níveis do preço do bem 1, com riqueza constante segurada em quantia w. Note que, como é habitual em economia, a variável de preços que aqui é variável independente, é medida no eixo vertical, e a quantidade demandada, a variável depende, é medida no eixo horizontal. Outra representação útil da demanda do consumidor em preços diferentes é o local de pontos demandados

em quando nós variamos sobre todos possíveis valores de p2. Isto é conhecido como uma curva de oferta (offer). Um exemplo é apresentado em figura 2.E.3.

Mais geralmente, a derivada é conhecida como o efeito de preço de pk, o preço do bem k, sobre a demanda do bem l. Embora possa ser natural pensar que uma queda num preço de um bem dirigirá o consumidor a comprar mais dele (como na Figura 2.E.3), que a situação inversa não

é uma impossibilidade econômica. O bem l é dito ser um bem de Giffen em (p,w) se

. Para a curva de oferta retratada na Figura 2.E.4, o bem 2 é um bem de Giffen em

.

Bens de baixa qualidade podem ser bens de Giffen para consumidores com níveis de riqueza baixos. Por exemplo, imagine que um consumidor pobre inicialmente cumpre muito fora seus requisitos dietéticos com batatas porque estão maneiras de baixo custo evitar fome. Se o preço fora quedas de batatas, ele então pode ter recursos para a por outro, alimento mais desejável que também mantem-no de ter fome. Seu consumo fora batatas bem podem cair como um resultado. Anote que o mecanismo que leva a batatas é um giffen bom nesta história envolve uma consideração de riqueza: Quando o preço de queda de batatas, o consumidor é eficientemente bem sucedidos (pode ter recursos para comprar mais geralmente) e então compra menos batatas. Investigaremos esta interação entre preço e efeitos de riqueza mais extensamente no resto deste capítulo e em capítulo 3.

O efeito de preço é convenientemente representado em forma de matriz do seguinte modo:

.

As implicações da homogeneidade e da lei de Walras para os efeitos preço e riqueza.

A homogeneidade e lei de Walras implicam certa restrição nos efeitos de estática comparativas da demanda do consumidor com respeito ao preço e a riqueza.

Considere, primeiramente, as implicações de homogeneidade de grau zero. Nós sabemos que

. Diferenciando esta expressão com respeito a α, e avaliando a derivada em , nós recebemos o resultado mostrado na proposição 2.E.1 (o resultado é também um caso especial da fórmula de Euler; ver seção M.B do apêndice matemático para detalhes).

Proposição 2.E.1: Se a função de demanda Walrasiana x(p,w) é homogênea de grau zero, então para todo p e w:

.

Em notação de matriz, isto é expressado como

.

Assim, a homogeneidade de grau zero implica que as derivadas de preço e de riqueza da demanda para qualquer bem l, quando ponderaram por estes preços e riqueza, somam para zero. Intuitivamente, isto pondera surge porque quando nós aumentamos todos os preço e riqueza proporcionalmente, cada uma destas mudanças de variáveis em proporção a marcam com este nível inicial.

Nós também podemos reafirmar a equação (2.E.1) em termos das elasticidades de demanda com respeito ao preço e a riqueza. Estes são definidos, respectivamente por,

e .

Estas elasticidades dão a porcentagem de mudança na demanda do bem l pela porcentagem de mudança (marginal) no preço do bem k ou riqueza; note que a expressão para pode ser lida como . As elasticidades surgem muito freqüentemente em trabalho aplicado. Diferente das derivadas de demanda, as elasticidades são independentes da unidade escolhida para medir commodities e portanto fornece uma maneira de unidade-livremente de capturar resposta positiva de demanda.

Usando elasticidades, a condição (2.E.1) assume a seguinte forma:

Esta formulação muito direta expressa uma implicação de estática comparativa da homogeneidade de grau zero: uma mudança porcentagem igual em todos os preços e riqueza leva a nenhuma mudança na demanda.

A lei de Walras, por outro lado, tem duas implicações para os efeitos de preço e de riqueza da

demanda. Pela lei de Walras, nós sabemos que para todo p e w. Diferenciando esta expressão com respeito aos preços chegamos ao primeiro resultado, apresentado na Proposição 2.E.2.

Proposição 2.E.2: Se a função de demanda Walrasiana x(p,w) satisfaz lei de Walras, então para todo p e w:

Ou escrito em noção de matriz

Semelhantemente, diferenciando com relação a w, nós recebemos o segundo resultado mostrado na proposição 2.E.3.

Proposição 2.E.3: Se a função de demanda Walrasiana x(p,w) satisfaz a lei de Walras, então para todo p e w:

,

ou, escrito em notação de matriz,

.

As condições derivadas nas Proposições 2.E.2 e 2.E.3 são às vezes chamadas de as propriedades de Cournot e agregação de Engel, respectivamente. Eles são simplesmente as versões diferenciais de dois fatos: esse gasto total não pode mudar em resposta a uma mudança em preço e esse gasto total deve mudar por uma quantia igual a qualquer mudança de riqueza.

Exercício 2.E.2: Mostre que as equações (2.E.4) e (2.E.6) levam as seguintes duas fórmulas de elasticidade:

onde é a fatia orçamentária do gasto do consumidor sobre o bem l dado os preços p e a riqueza w.

2.F O Axioma Fraco da Preferência Revelada e a Lei de Demanda

Nesta seção, nós estudamos as implicações do axioma fraco de preferência revelada para a demanda do consumidor. Por toda a análise, nós continuamos a supor que x(p,w) é valor único, homogêneo de grau zero, e satisfaz lei de Walras.

O axioma fraco já foi introduzido na seção 1.C como um axioma de consistência para a decisão baseada em escolha de aproximação a teoria. Nesta seção, nós exploramos suas implicações para o comportamento de demanda de um consumidor. Na aproximação baseada na preferência do comportamento do consumidor ser estudado no capítulo 3, a demanda necessariamente satisfaz o axioma fraco. Assim, o resultado apresentado no capítulo 3, quando comparado com esses nesta seção, nos contará quanto mais estrutura é imposta demanda do consumidor pela abordagem baseada nas preferências além de ele que é implicado pelo axioma fraco só.

No contexto de função de demanda Walrasiana, o axioma fraco toma a forma determinada na definição 2.F.1.

Definição 2.F.1: A função de demanda de Walrasiana x(p,w) satisfaz o axioma fraco de preferência revelada (o WA) se a seguinte propriedade permanece para qualquer duas situações de preço-riqueza (p,w) e (p',w'):

.

Se você já estudou o capítulo 1, você reconhecerá que esta definição é precisamente uma especialização da declaração geral do axioma fraco apresentado em seção 1.C ao contexto em que os conjuntos orçamento são Walrasiano e x(p,w) especifica uma escolha única (ver Exercício 2.F.1).

No ajuste da demanda do consumidor, a idéia atrás do axioma fraco pode ser colocada da seguinte forma: se e , então sabemos que quando encarar p de preço e w de riqueza, o consumidor escolheu a cesta x de consumo (p, w) mesmo que a cesta (p', w') também estivesse disponível. Podemos interpretar esta escolha como "revelar" uma preferência para x(p,w) sobre x(p',w'). Agora nós razoavelmente talvez esperemos que o consumidor exibisse alguma consistência no seu comportamento de exigência. Em particular, dado sua preferência revelada, nós esperamos que escolha x(p, w) sobre x(p', w') sempre que eles são ambos ao alcance. Se for assim a cesta x (p, w) não deve está ao alcance na combinação de riqueza de preço (p',w') em que o consumidor escolhe a cesta x(p',w'). Isso é, como requerido pelo axioma fraco, nós devemos ter

.

A restrição no comportamento de demanda imposto pelo axioma fraco quando L = 2 é ilustrado na Figura 2.F.1. Cada diagrama mostra planejar jogos , e seu corresponder x seleto (p', w') e x (p'', w''). O axioma fraco conta-nos que nós não podemos ter ambos

. Os painéis (a) para (c) retrata situações permissíveis, ao passo que as demandas nos painéis (d) e (e) transgride o axioma fraco.

As implicações do axioma fraco.

O axioma fraco tem implicações significativas para os efeitos de mudanças de preço em exigência. necessitamos concentrar, no entanto, num tipo especial de mudança de preço. Como a conversa de

mercadoria de giffen em seção 2. E sugeriu, mudança de preço afeta o consumidor duas maneiras. Primeiro o altera o custo relativo de commodities diferentes. Mas secundam eles também mudam o consumidor riqueza real: um aumento no preço de uma mercadoria empobrece eles consumidor que de mercadoria.

Para estudar eles implicações do axioma fraco, nós necessitamos isolar o primeiro efeito. Uma maneira de realizar isto é imaginar uma situação em que uma mudança em preços é acompanhada por uma mudança no consumidor a riqueza que faz seu fardo inicial de consumo somente ao alcance nos novos preços. Isso é se o consumidor originalmente encara p de preços e w de riqueza e escolhe x de fardo de consumo (p, w) então

Quando preços mudam a p', imaginamos que a riqueza de consumidor é ajustada a

. Assim a adaptação de riqueza é Este tipo de adaptação de riqueza é conhecido como compensação de riqueza de slutsky. Figurem-se 2. F. mostra as mudanças no jogo econômico quando uma redução no preço de bons 1 de p1 a p' 1 é acompanhada por compensação de riqueza de Slustky. Geometricamente a restrição é que o hyperplane econômico correspondendo a (p', w') vai embora x de vetor (p, w).

Referimos apreçar mudança que são acompanhadas por tal riqueza que compensa mudança como (slutsky) compensou mudanças de preço.

Em proposta 2.F.1, nós mostramos que o axioma fraco equivalentemente pode ser declarado em termos da resposta de exigência a mudanças compensadas de preço.

Proposição 2.F.1: Suponha que a função de demanda Walrasiana x(p,w) é homogênea de grau zero e satisfaz lei de Walras. Então x(p,w) satisfaz o axioma fraco se e somente se a seguinte propriedade permanece:

Para qualquer mudança de preço compensada para uma situação inicial (p,w) a um novo par de preço-riqueza temos:

,

com desigualdade estrita sempre que .

Prova: (i) o axioma fraco implica a desigualdade (2.F.1), com desigualdade estrita se . O resultado é imediato se , desde então

. Então supõe-se que . O lado esquerdo-mão da desigualdade (2.F.1) pode ser escrito como

(2.F.2).

Considere o primeiro termo de (2.F.2). Porque então mudança de p para p' é uma mudança de preço compensada, nós sabemos que . Em adição, a lei de Walras conta-nos que

. Por isso

(2.F.3).

Agora considere o segundo termo de (2.F.2). Porque , x(p,w) é ao alcance sob situação de preço-riqueza (p',w'). O axioma fraco portanto implica que x(p',w') não deve ser ao alcance sob situação de preço-riqueza (p,w). Assim nós devemos ter . Desde

pela lei de Walras, isto implica que

(2.F.4).

Juntamente, (2.F.2), (2.F.3) e (2.F.4) permanece o resultado.

(ii) O axioma fraco é implicado por (2.F.1) segurando para toda mudança compensada de preço, com desigualdade estrita se . O argumento para esta direção das provas usa o seguinte fato: o axioma fraco detem se e somente se ele permanece (segura) para toda mudança compensada de preço. Isto é, o axioma fraco detem se, para quaisquer dois pares preço-riqueza (p,w) e (p',w'), nós temos sempre e .

Para provar o fato determinado no parágrafo precedente, nós argumentamos que se o axioma fraco é transgredido, então deve haver uma mudança compensada de preço para que ii é transgredida. Para ver isto supor que tenhamos uma infração do axioma fraco, isso é, dois pares de preço-riqueza (p',

w') e (p'', w'') tal isso e Se um destes dois controles fracos de desigualdades com igualdade, então isto é realmente uma mudança compensada de preço e nós somos feitos. Então supõe isso, como se mostra em figura 2. F., temos

e

Agora escolha o valor para qual

E denote e Esta construção é ilustrada em figura 2. F.. Nós então temos

Portanto qualquer um Suponha que a primeira a possibilidade

segure (o argumento é idêntico se é o segundo que segura), então temos

Qual constitui uma infração do axioma fraco para a mudança compensada de preço de (p', w') a (p,w).

Uma vez nós sabemos que para testar para o axioma fraco ele sufixos considerar preço só compensado mudar o permanecer que raciocínio é claro. Se o axioma fraco não segura, aí existe uma mudança compensada de preço de algum (p', w') a algum (p, w) tal isso

e mas desde satisfaz walras, lei que estas duas desigualdade implica

Daí que tenham segure

Qual em contração a 2. F. segurando para toda mudança compensada de preço (e com desigualdade

estrita quando )

A desigualdade 2. F. pode ser escrito em taquigrafia e

Pode ser interpretado como uma forma da lei de exigência: exigência e movimento de preço em direções opostas. A proposta 2. F. conta-nos que a lei de controles de

exigência para mudanças compensadas de preço. Nós portanto chamamo-lo a lei compensada de exigência.

O caso mais simples envolve o efeito em exigência de algum l bom de uma mudança compensada

em seu único pl de preço. Quando só esta mudança de preço, nós temos

desde a proposta 2. F. conta-nos que se então devemos

ter O argumento básico em ilustrado em figurar-se 2.F.4. Começar em

(P, w) uma diminuição compensada no preço de bom 1 gira a linha econômica pensou x (p,w). O WA permite movimentos de exigência só na direção que aumenta a exigência de bom 1.

Figurem-se 2. F. deve convencê-lo que o WA (ou, no que diz respeito, a suposição de maximization de preferência discutiu em capítulo 3) não é suficiente ceder a lei de exigência para mudanças de preço que nem são compensados. Na figura a mudança de preço de p a p' é obtida por uma diminuição no preço de bom 1, mas o axioma fraco não impõe nenhuma restrição em onde coloco novo fardo de consumo como, tirado, a exigência de bom 1 queda. Quando x de exigência de consumidor (p, w) é uma função de differentiable de preço e riqueza.

A proposta 2. F. tem uma implicação de diferencial que é de grande importância. Considere, começando numa preço-riqueza dada emparelha (p, w) uma mudança de diferencial em dp de preço. Imagine que fazemos esta uma mudança compensada de preço por dado a compensação de

consumidor de (isto é Somente o análogo de diferencial de )

A proposta 2. F. conta-nos isso.

Agora, usando a corrente em regra, a mudança de diferencial muito procurado induzido por esta mudança compensada de preço pode ser escrito como

Por isso

Ou equivalente

Finalmente substituir 2. F. em 2. F. concluímos que para qualquer possível dp de mudança de preço de diferencial, nós temos

A expressão é colchetes em condição 2. F. é uma matriz de LxL, que é denota por s (p, w) formalmente

Onde o (l, k) entrada de th é

A matriz (p, w) conhecida como a substituição, ou slutsky, matriz e elementos são conhecidos como efeitos de substituição.

A terminologia de substituição é capaz porque o termo Meça a mudança de diferencial no consumo de l de mercadoria (eu, e a substituição a ou de outros commodities) devido a uma mudança de diferencial no preço de k de mercadoria quando riqueza este ajustou de modo que o consumidor ainda somente possa ter recursos para seu fardo original de consumo. (Eu, obrigação de e unicamente a uma mudança em preço relativo). Para ver esta nota que a mudança muito procurado

para l bom se riqueza é deixada inalterado é Para o consumidor poder "somente ter recursos para" seu fardo original de consumo, sua riqueza devem variar pela quantia

o efeito desta riqueza muda uma a exigência para l bom é que

A soma estes dois efeitos em portanto exatamente

Resumimo-nos derivação em equações 2. F. a 2. F. em proposta 2. F. Proposta 2. F. se um differentiable walrasian exigência função x (p, w) satisfaz walras lei, homogeneidade de grau zero e

o fraco axioma então em qualquer (p, w) o slustky matriz s (p, w) satisfaz para

qualquer

Uma matriz satisfazendo a propriedade em proposta 2. F. é chamado semidefinite negativo (é

negativo definido se a desigualdade é estrita para todo ) Se seciona MD do apêndice matemático para mais umas estas matrizes. Anote esse s (p, w) são semidefinite negativo isso

implica Isso é, o efeito de substituição de l bom com respeito ao próprio preço sempre não é positivo.

Uma implicação interessante de É que um bom pode ser um giffen bom em (p, w) só se é inferior. Em particular desde

If temos de ter

Para referência posterior, nós anotamos essa proposta 2. F. não implica em general que o s de matriz (p, w) é simétricos. Para L = 2 s (p, w) é necessariamente simétrico. (U) você são pedidos mostrar isto em exercício 2.F.11) quando L> 2, contudo s (p, w) não devem ser simétricos sob as suposições feitas até agora (homogeneidade de grau zero, lei de walras, e o axioma fraco) Vêem exercício 2. F. e 2. F. para exemplos.

Em capítulo 3 em seção 3. H, nós veremos que a simetria de s (p, w) intimamente é ligado com a possibilidade de gerar exigência do maximization de preferências racionais.

Explorar promove as propriedades de homogeneidade de grau zero e lei de walras que nós podemos dizer um pouco mais sobre o substituição matriz S (p,w). A proposta 2. F. supõe que o x de função de exigência de walrasian (p, w) é diferentes capazes, homogêneos de grau zero, e satisfaz lei de

walras. Então e para qualquer (p,w).

Exercitem-se 2. F. prova proposta 2. F. (propostas de uso de sugestão 2. E. a 2.E. 3)

segue de proposta 2. F. que o matriz s (p, w) é sempre (ligou menos que L) e então o negativo semidefiniteness de s (p, w) estabeleceu em proposta 2. F. não pode ser estendido a negativo definiteness (vê exercício 2.F.17)

A proposta 2. F. estabelece semidefiniteness negativo de s (p, w) como implicação necessária do axioma fraco. Um talvez pergunte-se. Esta propriedade é suficiente implicar o WA (de modo que o semidefiniteness negativo de s (p, w) seja realmente equivalente ao WA) isso é se temos um x de função de exigência (p, w) isso satisfaz lei de walras, homogeneidade de grau zero e tem uma matriz negativa de substituição de semidefinite dever está satisfaz axioma fraco? A resposta é quase mas não bem. Exercitem-se 2. F. fornece um exemplo de uma função de exigência com uma matriz negativa de substituição de semidefiniti que transgride o WA. A condição suficiente é isso

sempre para qualquer escala Isso é s (p, w) devem ser negativos definidos para todo vetor outro que esses que são proporcional a p. Este resultado é devido a Samuelson (vê Samuelson 1947 ou Kihlstrom, Mas-Colell, e Sonnenschein (1976) para um tratamento avançado). A lacuna entre a necessária uma condição suficiente é da mesma natureza como o fica boquiaberto entre o necessário e o suficiente – condições de ordem para minimização de uma função.

Finalmente, como teoria de consumidor exigiria isso é baseado unicamente na suposição de homogeneidade de grau zero, lei de walras, e o embodied de requisito de consistência na ação fraca comparam com um baseado em maximization racional de preferência? Baseado em capítulo 1, você talvez espere essa proposta 1. D. implica que os dois são equivalentes. Mas nós não podemos apelar

èssa proposta aqui porque eles a família de orçamento de walrasian não inclui cada possível orçamento, em particular não inclui todo o orçamento formado por só dois nem três fardos de mercadoria. Aliás a duas teoria derivada do axioma fraco está fraca que a teoria derivou de preferências racionais, no sentido de implicar menos restrição. Isto é mostrado formalmente em capítulo 3, onde demonstramos que se exigência em gerar de preferências, ou é capaz de então sendo gerado, então deve ter uma matriz simétrica de slutsky absolutamente (p, w) mas durante o momento, obrigação 2.F.1, de exemplo originalmente a Hicks (1956) pode ser suficientemente persuasivo.

O exemplo 2. F. Num três mercadoria palavra, considera o três econômico jogos determinado pelo

preço vetores E riqueza = 8. (o mesmo para três orçamentos) Supõe que o respectivo (raro) escolhas são

Em exercício 2. F. você são pedidos verificar-se

que qualquer a pares de escolha satisfaz o WA mas isso é revelado preferido a é

revelado preferido a e é revelado preferido Esta situação é compatível com a existência de preferências racionais subjacentes (transitivo seria transgredido).

A razão que este exemplo é único persuasivo e bem não determina a pergunta é essa exigência foi definida só para os três orçamentos dados, portanto nós não podemos estar seguros que satisfaz o requisito do WA para todos possíveis orçamentos competitivos. Para segurar a questão que nós referimos a capítulo 3.

Em resumo há três conclusões primárias ser aproveitadas seção 2. F

• O embodied de requisito de consistência no axioma fraco (combinado com a homogeneidade de grau zero e lei de walras) está equivalente à lei compensada de exigência.

• O compensado de exigência, em volta, implica semidefiniteness negativo do s de matriz de substituição (p, w).

• Estas suposições não implicam simétrico de S (p, w) exceto no caso onde L = 2.

EXERCISES

2.D.1 A consumer lives for two periods, denoted 1 and 2, and consumes a single consumption good in each period. His wealth when born is w > 0. What is his (lifetime) Walrasian budget set?

Solution:

Let p2 be the price of the consumption good in period 2, measured in units of the consumption good in period 1. Let x1, x2 be the consumption levels in periods 1 and 2, respectively. Then his lifetime Walrasian budget set is equal to {x R+

2: x1 + p2x2 ≤ w}.

2.D.2 A consumer consumes one consumption good x and hours of leisure h. The price of the consumption good is p, and the consumer can work at a wage rate of s = 1. What is the consumer’s Walrasian budget set?

Solution:

{(x,h) R+2: h ≤ 24, px + h ≤ 24}.

2.D.3 Consider an extension of the Walrasian budget set to an arbitrary consumption set X: Bp,w = {x X: p ∙ x ≤ w}. Assume (p,w) >> 0.

(a) If X is the set depicted in Figure 2.C.3, would Bp,w be convex?

(b) Show that if X is a convex set, then Bp,w is as well.

Solution:

(a) No. In fact, the budget set consists of the two points, each of which is the intersection of the budget line and an axis.

(b) Let x Bp,w, x’ Bp,w’, and λ [0,1]. Write x” = λx + (1 – λ)x’. Since X is convex, x” X. Moreover, p ∙ x” = λ(p ∙ x) + (1 – λ)(p ∙ x’) ≤ λw + (1 – λ)w = w. Thus x” Bp,w.

2.D.4 Show that the budget set in Figure 2.D.4 is not convex.

Solution:

It follows from a direct calculation that consumption level M can be attained by (8 + (M – 8s)/s’) hours of labor. It follows from the definition that (24,0) and (16 – (M – 8s)/s’, M) are in the budget set. But their convex combination of these two consumption vectors with ratio

is not in the budget set: the amount of leisure of this combination equals to 16 (so the labor is eight hours), but the amount of the consumption good is

2.E.1 (In text.) Suppose L = 3, and consider the demand function x(p,w) defined by

.

Does this demand function satisfy homogeneity of degree zero and Walras’ law when β = 1? What about when β (0,1)?

Solution:

2.E.2 (In text) Show that equations (2.E.4) and (2.E.6) lead to the following two elasticity formulas:

, and ,

where is the budget share of the consumer’s expenditure on good l given prices p and wealth w.

Solution:

2.E.6 Verify that the conclusions of propositions 2.E.1 to 2.E.3 hold for the demand function given in Exercise 2.E.1 when β = 1.

Solution:

When α = 1, Walras’ law and homogeneity hold. Hence the conclusions of Propositions 2.E.1 – 2.E.3 hold.

2.E.7 A consumer in a two-good economy has a demand function x(p,w) that satisfies Walras’ law. His demand function for the first good is x1(p,w) = αw/p1. Derive his demand function for the second good. Is his demand function homogeneous of degree zero?

Solution:

By Walras’ law, .This demand function is thus homogeneous of degree zero.

2.F.11 Show that for L = 2, S(p,w) is always symmetric. [Hint: Use proposition 2.F.3.]

Solution:

By proposition 2.F.3, S(p,w) = 0 and hence s12(p,w) = ( – p1/p2)s11(p,w). Also p ∙ S(p,w) = 0 and hence s21(p,w) = ( – p1/p2)s11(p,w). (We saw this in the answer for Exercise 2.F.9 as well.) Thus s12(p,w) = s21(p,w).

2.F.12 Show that if the Walrasian demand function x(p,w) is generated by a rational preference relation, than it must satisfy the weak axiom.

Solution:

By applying Proposition 1.D.1 to the Walrasian choice structure, we know that x(p,w) satisfies the weak axiom in the sense of Definition 1.C.1. By Exercise 2.F.1, this implies that x(p,w) satisfies the weak axiom in the sense of Definition 2.F.1.

2.F.14 Show that if x(p,w) is a Walrasian demand function that satisfies the weak axiom, then x(p,w) must be homogeneous of degree zero.

Solution:

Let p >> 0, w ≥ 0, and α > 0. Since p ∙ x(p,w) ≤ w and (αp) ∙ x(αp,αw) ≤ αw, we have αp ∙ x(p,w) ≤ αw and p ∙ x(αp,αw) ≤ w. The weak axiom now implies that x(p,w) = x(αp,αw).

2.F.16 Consider a setting where L = 3 and a consumer whose consumption set is R³. Suppose that his demand function x(p,w) is

.

(a) Show that x(p,w) is homogeneous of degree zero in (p,w) and satisfies Walras’ law.

(b) Show that x(p,w) violates the weak axiom.

(c) Show that v ∙ S(p,w) v = 0 for all v R³.

Solution:

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 5

5.C.9 Derive the profit function π(p) and supply function (or correspondence) y(p) for the single-output technologies whose production functions f(z) are given by

.

Solution:

5.C.10 Derive the cost function c(w,q) and conditional factor demand functions (or correspondences) z(w,q) for each of the following single-output constant return technologies with production functions given by

Solution:

5.C.11 Show that if and only if marginal cost at q is increasing in wl.

Solution:

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 6

6.B.1 (In text) Show that IF the preferences over satisfy the independence axiom, then for all α (0,1) and L, L’ we have

and

L ~ L’ if and only if αL + (1 – α)L” ~ αL’ + (1 – α)L”.

Show also that if L L’ and L” L’”, then αL + (1 – α)L” αL’ + (1 – α)L’”.

Solution:

Solution:

Suppose first that L L’. A first application of the independence axiom (in the “only-if” direction in Definition 6.B.4) yields

If these two compound lotteries were indifferent, then a second application of the independence axiom (in the “if” direction) would yield L’ L, which contradicts L L’. We must thus have

Suppose conversely that , then, by the independence axiom, L L’. If these two simple lotteries were indifferent, then the independence axiom would imply

a contradiction. We must thus have L L’.

Suppose next that L ~ L’, then L L’ and L’ L. Hence by applying the independence axiom twice (in the “only if” direction), we obtain

Conversely, we can show that if , then L ~ L’.

For the last part of the exercise, suppose that L L’ and L” L”’, then, by the independence axiom and the first assertion of this exercise,

and

Thus, by the transitivity of (Proposition 1.B.1(i)),

.

6.B.2 (In text) Show that if the preference relation on is represented by a utility function U(∙) that has the expected utility form, then satisfies the independence axiom.

Solution:

Assume that the preference relation is represented by an v.N-M expected utility function

for every L = (p1, ..., pN) . Let L = (p1, ..., pN) , L’ = (p1’, ..., pN’)

, L” = (p1”, ..., pN”) , and α (0,1). Then L L’ if and only if . This inequality is equivalent to

.

This latter inequality holds if and only if . Hence L

L’ if and only if . Thus the independence axiom holds.

6.B.7 Consider the following two lotteries:

Let xL and xL’, be the sure amounts of money that an individual finds indifferent to L and L’. Show that if his preferences are transitive and monotone, the individual must prefer L to L’ if and only if xL > xL’. [Note: In actual experiments, however, a preference reversal is often observed in which L is preferred to L’ but xL < xL’. See Grether and Plot (1979) for details.]

Solution:

*6.C.1 Consider the insurance problem studied in Example 6.C.1. Show that if insurance is not actuarially fair (so that q > π), then the individual will not insure completely.

Solution:

6.C.2 (a) Show that if an individual has a Bernoulli utility function u(∙) with the quadratic form

,

then his utility from a distribution is determined by the mean and variance of the distribution and, in fact, by these moments alone. [Note: The number β should be taken to be negative in order to get

the concavity of u(∙). Since u(∙) is then decreasing at , u(∙) is useful only when the distribution cannot take values larger than .]

Solution:

EXERCÍCIOS

2.D.1 Um consumidor vive de dois períodos, denotados 1 e 2, e consome um único bem de consumo em cada período. Sua riqueza quando nasce é w > 0. Qual é o seu (tempo de vida) conjunto orçamento Walrasiano?

Solução:

Deixe p2 ser o preço do bem consumido no período 2, medido em unidades do bem consumido no período 1. Deixe x1, x2 serem os níveis de consumo nos períodos 1 e 2, respectivamente. Então seu conjunto orçamento Walrasiano de tempo de vida é igual a {x R+

2: x1 + p2x2 ≤ w}.

(não deveria ter o preço do bem x1? não deveria ser assim {x R+2: x1p1 + p2x2 ≤ w} ? ).

2.D.2 Um consumidor consome um bem de consumo x e horas de lazer h. O preço do bem de consumo é p, e o consumidor pode trabalhar a uma taxa de salário de s = 1. Qual é o conjunto orçamento Walrasiano do consumidor?Solução:{(x,h) R+

2: h ≤ 24, px + h ≤ 24}.

2.D.3 Considere uma extensão do conjunto orçamento Walrasiano para um conjunto de consumo arbitrário X: Bp,w = {x X: p ∙ x ≤ w}. Assuma (p,w) >> 0.

(a) Se X é o conjunto representado na Figura 2.C.3, Bp,w seria convexo?(b) Mostre que se X é um conjunto convexo, então Bp,w é também.

Solução:(a) Não. Na verdade, o conjunto orçamento consiste dos dois pontos, cada um dos quais é a intersecção da linha de orçamento e um eixo.(b) Seja x Bp,w, x’ Bp,w’, e λ [0,1]. Escreva x” = λx + (1 – λ)x’. Desde que X é convexo, x” X. Além disso, p ∙ x” = λ(p ∙ x) + (1 – λ)(p ∙ x’) ≤ λw + (1 – λ)w = w. Portanto x” Bp,w.

2.D.4 Mostre que o conjunto orçamento na Figura 2.D.4 é não convexo. (não entendi essa)

Solução:

Ele resulta de um cálculo direto que o nível de consumo M pode ser atingido por (8 + (M – 8s)/s') horas de trabalho. Ele decorre da definição que (24,0) e (16 – (M – 8s)/s', M) estão no conjunto orçamento. Mas sua combinação convexa destes dois vetores consumo com a razão (racio)

não está no conjunto orçamento: a quantidade de lazer desta combinação é igual a 16 (por isso o trabalho é de oito horas), mas o montante do bem de consumo é

2.E.1 (No texto) Suponha L = 3, e considere a função de demanda x(p,w) definida por

.Será que esta função de demanda satisfaz a homogeneidade de grau zero e a lei de Walras quando β = 1? Que tal quando β (0,1)?Solução:A homogeneidade pode ser verificada da seguinte forma:

.Para ver se a função de demanda satisfaz a lei de Walras, note que

.Por isso, p ∙ x(p,w) = w se e somente se β = 1. Portanto, a função de demanda satisfaz a lei de Walras se e somente se β = 1.

2.E.2 (No texto) Mostre que as equações (2.E.4) e (2.E.6) conduzem às seguintes duas fórmulas de elasticidade:

, e ,

onde é a fatia (percentagem) do orçamento da despesa do consumidor sobre o bem l dado o preço p e a riqueza w.

Solução:Multiplicar por pk/w ambos os lados de (2.E.4), então nós obtemos

.

Por isso (conseqüentemente) .

Por (2.E.6), .

Por isso .

2.E.6 Verifique que as conclusões das proposições 2.E.1 para 2.E.3 se seguram (sustentam) para a função de demanda determinada no Exercício 2.E.1 quando β = 1.Solução:

Quando α = 1, a lei de Walras e a homogeneidade permanecem (mantêm). Assim, as conclusões das proposições 2.E.1 a 2.E.3 sustentam-se.

2.E.7 Um consumidor em uma economia de dois bens tem uma função de demanda x(p,w) que satisfaz a lei de Walras. Sua função de demanda para o primeiro bem é x1(p,w) = αw/p1. Derive sua função de demanda para o segundo bem. É a sua função de demanda homogênea de grau zero?Solução:

Por Walras' lei, .Essa função de demanda é, portanto, homogênea de grau zero.

2.F.11 Mostre que para L = 2, S(p,w) é sempre simétrico. [Dica: Use a proposição 2.F.3.]Solução:

Pela proposição 2.F.3, S(p,w) = 0 e, consequentemente, s12(p,w) = ( – p1/p2)s11(p,w). Também p ∙ S(p,w) = 0 e, consequentemente, s21(p,w) = ( – p1/p2)s11(p,w). (Nós vimos isso na resposta para o Exercício 2.F.9 tão bem.) Assim s12(p,w) = s21(p,w).

2.F.12 Mostre que se a função de demanda Walrasiana x(p,w) é gerada por uma relação de preferência racional, então ela deve satisfazer o axioma fraco.Solução:

Ao aplicar a Proposição 1.D.1 para a estrutura de escolha Walrasiana, nós sabemos que x(p,w) satisfaz o axioma fraco no sentido da Definição 1.C.1. Pelo exercício 2.F.1, isto implica que x(p,w) satisfaz o axioma fraco no sentido da Definição 2.F.1.

2.F.14 Mostre que se x(p,w) é uma função de demanda Walrasiana que satisfaz o axioma fraco, então x(p,w) deve ser homogênea de grau zero.Solução:

Deixe que p >> 0, w ≥ 0, e α > 0. Desde que p ∙ x(p,w) ≤ w e (αp) ∙ x(αp,αw) ≤ αw, nós temos αp ∙ x(p,w) ≤ αw e p ∙ x(αp,αw) ≤ w. O axioma fraco agora implica que x(p,w) = x(αp,αw).

2.F.16 Considere um cenário onde L = 3 e um consumidor cujo conjunto de consumo é de R³. Suponha que a sua função de demanda x(p,w) é

.(a) Mostre que x(p,w) é homogêneo de grau zero em (p,w) e satisfaz a lei de Walras.(b) Mostre que x(p,w) viola o axioma fraco.(c) Mostre que v ∙ S(p,w) v = 0 para todo v R³.

Solução:

(a) A homogeneidade pode ser verificada da seguinte forma:

.Quanto à lei de Walras,

.

(b) Permitam que e , então e . Portanto, e

. Por isso (consequentemente) o axioma fraco é violado.

(c) Denote por a submatriz 2 x 2 da matriz Jacobiana obtida pela supressão da última linha e coluna, então

.

Deixe ser a submatriz 2 x 2 de S(p,w) obtida pela supressão da última linha e coluna, então

, pois . Note que

para qualquer . Agora deixe . Note que

e a terceira coordenada de é igual a zero. Assim

denote essas duas primeiras coordenadas por . Então pela Proposição 2.F.3,

.

5.C.9 Derive a função lucro π(p) e a função oferta (ou correspondência) y(p) para a única saída tecnologias cujas funções de produção f(z) são dadas por

.

Solução:

Para encontrar π(∙) e y(∙) para (a), a condição de primeira ordem (5.C.2) não é muito útil, porque uma das ligas (vínculos) de restrição não-negatividade. Além disso, para encontrar π(∙) e y(∙) para (b), ele nem mesmo é aplicável, porque f(∙) não é diferenciável. Em ambos os casos, porém, devido à natureza das funções de produção, é bastante fácil de resolver os seus CMP (que é semelhante ao observado no Exercício 5.C.10.), e as funções de custo c(∙) revelam-se ser diferenciáveis em relação aos níveis de produção q. Nós podemos, assim, aplicar a condição de primeira ordem (5.C.6) (que requer apenas a diferenciabilidade da função custo com relação aos níveis de produto) para encontrar os níveis de produção que maximizam o lucro, e portanto as funções lucro e as correspondências de oferta.Durante toda a resposta, o preço de oferta (saída) é fixo para ser igual a um.

(a)

.

(b) .

(c) Note primeiro que esta função de produção exibe retornos constantes de escala. Além disso, se ρ < 1, então a restrição (limitação, coação, pressão, força, constrangimento) não-negativa não vincula. Se ρ = 1, então esta função de produção dá origem ao mesmas isoquantas como que da (a), e portanto, uma das ligas de restrições não-negativas.Isto é fácil de aplicar (5.C.6).

Se ρ < 1, então

.

Se ρ = 1, então

.

5.C.10 Derive a função custo c(w,q) e fator condicional funções de demanda (ou correspondências) z(w,q) para cada uma das seguintes tecnologias de retorno constante de única saída com funções de produção dadas por

Solução:

5.C.11 Mostre que se e somente se o custo marginal em q é crescente em wl.Solução:Assuma que c(∙)é duas vezes continuamente diferenciável. Pela Proposição 5.C.2(vi), z(∙) é continuamente diferenciável e

.

Por isso, se e somente se , isto é, o custo marginal é crescente em wl.

6.B.1 (No texto) Mostre que se as preferências sobre satisfazem o axioma independente,

então para todo α (0,1) e L, L' nós temos

L L’ se e somente se αL + (1 – α)L” αL’ + (1 – α)L”

e

L ~ L’ se e somente se αL + (1 – α)L” ~ αL’ + (1 – α)L”.

Mostre também que se L L’ e L” L’”, então αL + (1 – α)L” αL’ + (1 – α)L’”.

Solução:

Suponha primeiro que L L’. A primeira aplicação do axioma independente (na direção do

"somente se" na Definição 6.B.4) dar-se por

Se estas duas loterias compostas forem indiferentes, então uma segunda aplicação do axioma

independente (na direção do "se") daria L’ L, o que contradiz L L’. Nós devemos deste modo

ter

Suponha inversamente que , então, pelo

axioma independente, L L’. Se estas duas loterias simples forem indiferentes, então o axioma

independente implicaria

uma contradição. Nós devemos deste modo ter L L’.

Suponha em seguida que L ~ L’, então L L’ e L’ L. Assim aplicando o axioma independente

duas vezes (na direção do "somente se"), nós obtemos

Inversamente, nós podemos mostrar que se , então L ~

L’.

Para a última parte do exercício, suponha que L L’ e L” L”’, então pelo axioma independente

e a primeira afirmação deste exercício,

e

Portanto, pela transitividade de (Proposition 1.B.1(i)),

.

6.B.2 (No texto) Mostre que se a relação de preferência em é representada por uma função de utilidade U(∙) que tem a forma da utilidade esperada, então satisfaz o axioma independente.Solução:

Assuma que a relação de preferência é representada por uma função de utilidade esperada v.N-M

para qualquer L = (p1, ..., pN) . Deixe L = (p1, ..., pN) , L’ = (p1’, ..., pN’)

, L” = (p1”, ..., pN”) , e α (0,1). Então L L’ se e somente se . Esta desigualdade é equivalente a

.

Esta última desigualdade detém (permanece) se e somente se .

Por isso L L’ se e somente se . Assim o axioma independente detém (permanece, sustenta).

6.B.7 Considere as seguintes duas loterias:

Deixe xL e xL', serem as quantias certas de dinheiro que um indivíduo encontra-se indiferente a L e L'. Mostre que se as suas preferências são transitivas e monótonas, o indivíduo deve preferir L a L 'se e somente se xL > xL'. [Nota: Em experimentos atuais (reais), no entanto, uma inversão de preferência é frequentemente observada em que L é a preferida L' mas x L < xL'. Ver Grether e Plot (1979) para mais detalhes.]

Solução:Uma vez que o indivíduo prefere L a L' e é indiferente entre L e xL e entre L' e xL' pela Proposição 1.B.1(iii), ele prefere xL a xL'. Pela monotonicidade, isto é equivalente à xL > xL'.

*6.C.1 Considere o problema de seguros estudado no Exemplo 6.C.1. Mostre que se o seguro não é atuarialmente justo (de modo que q > π), então o indivíduo não vai segurar completamente.Solução:

6.C.2 (a) Mostre que se um indivíduo tem uma função de utilidade de Bernoulli u(∙) com a forma quadrática

,

então a sua utilidade a partir de uma distribuição é determinada pela média e variância da distribuição e, de fato, por estes momentos apenas. [Nota: O número β deve ser tomado a ser negativo, a fim de obter a concavidade de u(∙). Desde que u(∙) é então decrescente em

, u(∙) é útil apenas quando a distribuição não pode ter valor superior do que .]Solução:

(a) Deixe F(∙) ser uma função de distribuição, então