Micro 02 note

Outline 1. 선호체계의성격 2. 효용함수와무차별곡선 3. 소비자의예산제약과효용극대화 4. 소득효과와대체효과 연습문제

제 2장.소비자의선호체계와최적선택

강창민

서울대학교경제학부

March 9, 2007


1 선호체계의성격

1.1.상품묶음과선호관계1.2.효용함수와선호체계

2 효용함수와무차별곡선

2.1.효용곡면과무차별지도2.2.무차별곡선

3 소비자의예산제약과효용극대화

3.1.효용극대화의조건3.2.소비자최적선택점의변화

4 소득효과와대체효과

4.1.가격효과의분해4.2.보상수요곡선4.3.슬러츠키방정식


상품묶음

상품묶음(commodity bundle) : n차원벡터 X = (x1, x2, · · · , xn)가있을때,각각의차원을소비하는상품의종류라고생각하고,각차원의숫자를해당상품의소비량이라고생각함.합리적선택 :여러상품묶음들중에서소비자에게주는만족감(효용)이가장큰상품묶음을선택.3차원이상의상품묶음에대해서는그래프로표시하는것이불가능하므로통상적으로는두가지상품이존재하는경우로분석

대상을제한.


선호관계(preference relation)

어떤소비자에게두상품묶음 A와 B를제시했을때,강선호관계(strict preference) : “A가더좋다”고대답한다면 A�B로표시하고그반대이면 A≺B로표시.약선호관계(weak preference) : “A가최소한 B만큼좋다”고대답한다면 A%B로표시하고그반대이면 A-B로표시.무차별관계(indifferent preference) : “A와 B사이에아무런차이를느끼지못한다”고대답하는경우 A∼B로표시.“A%B and A-B”인선호관계.사실상소비자의선호관계중약선호관계(%)만잘정의되어있으면나머지를그로부터연역해낼수있음.


효용함수(utility function)

효용함수 :특정한상품묶음이소비자에게주는만족감의정도를하나의실수값에대응시키는함수.

U : Rn+ → R

“%라는선호관계를 U라는효용함수로대표할수있다”⇐⇒ “W와 Z두상품묶음에대하여W % Z이면 U(W) ≥ U(Z)이고,그역도성립한다.”


선호체계의공리

완비성(completeness) :임의의두상품묶음W, Z에대하여다음셋중하나가반드시성립함.

W � Z W ∼ Z W ≺ Z

이행성(transitivity) :세상품묶음 F, G, H에대하여 F % G이고G % H이면 F % H.연속성(continuity) :두상품묶음의양에아주작은차이만있다면이들에대한소비자의선호도에도아주작은차이밖에없음.cf.사전편찬법적선호체계(lexicographic preference)강단조성(strong monotonicity) :두상품묶음 F = (f1, · · · , fn)과G = (g1, · · · , gn)가있을때 “fi ≥ gi ∀i = 1, · · · ,n”이고“∃ i s.t. fi > gi”이면 F � G.이공리들을만족시키는선호체계는적당한효용함수로대표될수

있음.


효용함수와효용곡면

서수적효용(ordinal utility) :소비자의상품묶음선택에서중요한것은각상품묶음의선호순서이지효용의절대적수준이나상품묶음사이의효용의

차이가아님.즉,효용함수에단조증가변환을하더라도소비자의선택에는영향을미치지않음.

효용곡면(utility surface) :상품이 x와 y두가지인경우평면에상품묶음을표시하고세로축에각상품묶음이가져다주는효용의수준을표시하면 3차원곡면이그려지는데,이를효용곡면이라함.


무차별지도

무차별지도(indifference map) :

효용곡면을일정한높이에서

수평으로잘라서나타난단면을

상품공간(x-y평면)에정사영하여지도의등고선과같이나타낸

그림.개별적인등고선에해당하는곡선을 무차별곡선(indifferencecurve)이라고함.

효용곡면의높이자체는소비자의

최적선택에서전혀중요하지않음.효용함수가서로다르더라도

무차별곡선의형태가동일하다면

소비자의최적선택역시동일함.ex. U(x, y) = xy와 U(x, y) = 3

√xy


무차별곡선(indifference curve)

무차별곡선 :소비자에게똑같은수준의효용을주는상품묶음들의집합을연결시켜놓은곡선.무차별곡선의성질

(i) 상품공간내의모든점은그점을지나는유일한무차별곡선을갖는다.(ii) 무차별곡선은우하향한다.

(iii) 원점에서더멀리떨어진무차별곡선일수록더높은효용수준을대표한다.

(iv) 두무차별곡선은서로교차하지않는다.(v) 무차별곡선은원점에대하여볼록(convex to the origin)하다.

한계대체율(marginal rate of substitution ; MRS) :무차별곡선위의한점에서소비자가느끼는두상품사이의주관적교환비율.무차별곡선의기울기.

MRSx, y = −∆y∆x

= |무차별곡선의기울기|


무차별곡선

C점에서 C′점으로이동할때,옷의양이 ∆y만큼변화함으로써생기는효용의변화는MUy · ∆y이고1

쌀의양이 ∆x만큼변화함으로써생기는효용의변화는MUx · ∆x임.이때효용수준의변화 ∆U는전체적으로 0이됨. (∵두점이동일한무차별곡선상에있으므로)

∆U = MUx · ∆x + MUy · ∆y = 0

MRSx, y = −∆y∆x

=MUx

MUy

1특정상품의양이한단위증가했을때소비자의효용증가분의크기를한계효용

(marginal utility)이라고한다.

MUx(x, y) =∂U(x, y)∂x

MUy(x, y) =∂U(x, y)∂y


한계대체율체감의법칙

한계대체율체감의법칙(law of diminishing MRS) :무차별곡선의다섯번째성질,즉무차별곡선이원점에대하여볼록하다는성질의다른표현에불과함2.각상품의한계효용이다른상품의소비량의변화에대하여

독립적이라면 “한계효용의체감 =⇒한계대체율의체감”.한계대체율이체감하지않는경우들

(i) 두상품이서로완전대체재인경우(ii) 두상품이서로완전보완재인경우

(iii) 하나가비재화(bads)인경우(iv) 하나가중립재(neutral goods)인경우(v) 포만점(satiation point, bliss point)이존재하는경우

2이런성질을만족시키는함수를 “강준오목함수(strictly quasi-concave function)”라고한다.


예외적인무차별곡선들


예산선

예산선(budget line) :소비자가주어진소득(M)을전부사용했을때구입할수있는상품묶음의집합을그림으로나타낸것.상품이 x와 y두가지인경우예산선은다음식으로표현됨.

px x + py y = M

한편,다음부등식을만족하는영역을예산집합 (budget set)또는기회집합 (opportunity set)이라고함.

x ≥ 0 y ≥ 0 px x + py y ≤M

소비자의소득수준이변화하면예산선이우상방또는좌하방으로

평행이동하고,개별상품의가격이변화하면예산선이적당히회전이동을하게됨.만약모든상품의가격과소득이똑같은비율로변화한다면

예산선에는변화가없을것임.


효용극대화의조건

네점 C, D, E, F중에서가장높은효용을주는점 F는예산선밖에위치해있으므로선택이불가능.점 C는예산집합의내부에

있으므로효용이극대화되는점이

될수없음.효용이극대화되는점의후보는 D와 E인데그림에서보시다시피 D점보다는예산선과무차별곡선이접하는 E점의효용수준이더높음.

소비자효용극대화조건은다음과

같음.

MRSx, y =MUx

MUy=

px

py(1)

이식은두상품사이의소비자의

주관적인교환비율(MRS)이시장의객관적교환비율

(상대가격)과일치해야소비자의최적화가달성된다는것을의미함.


효용극대화의조건

식 (1)을다시쓰면MUx

px=

MUy

py(2)

로쓸수있는데,이식은쌀에지출된돈 1원당한계효용이옷에지출된돈 1원당한계효용과같아야효용이극대화된다는것을의미함.만약좌변이우변보다크다면옷에대한지출을줄이고쌀에대한지출을늘림으로써더

높은효용수준을누릴수있을것임.

소비자효용극대화문제의해가위그림처럼모서리해(corner solution)라면효용극대화점에서조건 (1)이성립할수없음.


소득의변화와소비자의최적선택

소득소비곡선(income-consumption curve) :소득이M1 →M2 →M3로

늘어감에따라서효용극대화점이

E1 → E2 → E3로움직여감을알

수있는데,이렇게소득의변화에따라효용극대화점들이그려

나가는궤적을소득소비곡선이라

함.

한편,소득의변화에따라개별상품의구입량이어떻게

변하는지를명시적으로표현해

주는왼쪽그림의 (ii)를 엥겔곡선(Engel curve)이라고함.


소득의변화와소비자의최적선택

소득소비곡선과엥겔곡선의구체적인형태는해당상품이정상재인지

열등재인지,그리고정상재라하더라도필수재인지사치재인지에따라달라짐.각재화의소득탄력성이모두 1인경우에는소득소비곡선과엥겔곡선이모두원점을지나는방사선(ray)이됨.이는추가적인소득이생겼을때이를현재의지출구성비율대로나누어각상품의

추가적인구매에배분한다는뜻인데,이런특성을가진선호체계를동조적선호(homothetic preference)3라함.

3함수 y = f (x1, · · · , xn)이다음성질을가질때 f를 r차동차함수(homogeneous functionof degree r)라고한다.

f (kx1, kx2, · · · , kxn) = krf (x1, x2, · · · , xn), k > 0

동조함수는 “1차동차함수의단조증가변환으로표현되는모든함수”들로정의된다.


가격의변화와소비자의최적선택

가격소비곡선(price-consumption curve) :소득과옷의가격이고정된

상태에서쌀의가격만

px1 → px2 → px3로하락할때

효용극대화점이 E1 → E2 → E3로

움직여감을알수있는데,이렇게가격의변화에따라효용극대화

점들이그려나가는궤적을

가격소비곡선이라함.

한편,가격의변화에따라개별상품의구입량이어떻게

변하는지를명시적으로표현해

주는왼쪽그림의 (ii)를 수요곡선(demand curve)이라고함.


가격의변화와소비자의최적선택

수요곡선의형태는매우다양하게나타날수있음.상품에따라서는우상향하는구간이존재할수도있음.쌀(x)에대한수요의가격탄력성이 1이라면쌀가격의변화에대하여가격소비곡선은 x-y평면에서수평선으로나타날것임.수요곡선은다음과같이함수관계로나타낼수있음.

x = xd(px; py, M)

쌀가격(px),옷가격(py),소득(M)이모두같은비율로증가하거나하락한다면쌀에대한수요에는변화가없음.즉,수요함수는 0차동차함수임.


시장수요곡선

시장수요곡선은개별소비자들의수요곡선을수평방향으로모두

더함으로써도출됨.즉, i번째소비자의쌀에대한수요함수가xi = xd

i (px; py, M)이라한다면시장전체의쌀에대한수요함수 xT는

다음과같이표현됨4.

xT(px) =

m∑i=1

xdi (px)

4변하지않는것으로가정한 py와M을독립변수에서제외했음에유의하라.


가격변화의두가지의미

쌀가격이변화하면쌀과옷사이의상대가격이변동할뿐만아니라

소비자의실질소득에도변동이생김.상대가격의변화에따라수요량이변동하는것을 대체효과(substitution effect),실질소득의변화에따라수요량이변동하는것을 소득효과(income effect)라함.

가격효과(price effect) = 대체효과 + 소득효과

대체효과는어느경우에나상대적으로싸진상품을더많이구매하게

하고상대적으로더비싸진상품을더적게구매하게함.정상재의경우에는가격이하락하여실질소득이증가하면구매가

증가하나,열등재의경우에는실질소득의증가에따라구매가감소함.따라서소득효과의방향은일정하지않음.


정상재의경우

이그림은쌀이정상재인경우쌀

가격이하락(px → p′x)했을때의가격효과를대체효과( 1©)와소득효과( 2©)로분해하여보여주고있음.이경우에는대체효과와소득효과의방향이모두

가격변화의방향과반대방향임.

그러나,쌀이열등재라면대체효과의방향은가격변화의

방향과반대이나소득효과의

방향은가격변화의방향과같음.대체효과와소득효과의방향이

다르므로쌀가격이하락했을때

쌀에대한수요가어떻게될지

사전적으로알수는없음.


기픈재의경우

왼쪽그림은쌀이열등재이고,소득효과의크기가대체효과보다

클때쌀가격하락의효과를

나타낸것임.이렇게소득효과(가격변화방향과같음)가대체효과(가격변화방향과반대)를압도할정도로큰열등재를 기픈재(Giffen goods)라함.기픈재의수요곡선은우상향함.

열등재라하더라도소득효과의

크기가대체효과를상쇄하고도

남을만큼크지않다면수요곡선은

우하향.


보상변화

통상적인수요곡선에서는낮은가격에서의효용수준이높은

가격에서의효용수준보다높음.가격변화에서오는소득효과를제거하고대체효과에의해서만설정된

수요관계를나타낸수요곡선을 보상수요곡선(compensateddemand curve)이라함.보상수요곡선을도출하는과정에서핵심적인작업은가격변화로인해

생기는실질소득의변화를계속제거함으로써소득효과가발생하지

않도록만드는것임.이렇게실질소득이예전의수준에머물도록하기위해소득을증감시키는것을소득의 보상변화(compensatingvariation)라고함.


보상수요곡선

쌀이정상재인경우,쌀가격이하락하면실질소득이늘어나

효용이증가하게됨.이때보상변화에해당되는소득을

가상적으로덜어내면소득효과가

제거된보상수요곡선을도출할수

있음.

이그림에서통상적인수요곡선은

dd로,보상수요곡선은 dcdc로

그려졌는데,정상재의경우보상수요곡선의기울기가

보통수요곡선의기울기보다

급함을알수있음.


보통수요함수와간접효용함수

소비자의효용극대화문제는예산제약

xpx + ypy ≤ E, x ≥ 0, y ≥ 0하에서목적함수U = U(x, y)를극대화하는문제임.이문제를풀기위해서다음과같은라그랑쥐함수를

구성.

L(λ, x, y) = U(x, y) − λ(xpx + ypy − E)

극대화문제의해(solution)들중내부해(interior solution)5만을고려한다면

효용극대화 1계조건이다음과같이구성됨.

Lλ = −xpx − ypy + E = 0

Lx = Ux − λpx = 0 (3)

Ly = Uy − λpy = 0

효용극대화의 2계조건이만족되면음함수정리에의해효용극대화 1계조건인식(3)에나오는세내생변수 λ, x, y를다음과

같이외생변수 px, py, E의함수로나타낼수있음.

x = xd(px, py,E)

y = yd(px, py,E)

λ = λ(px, py,E)

(4)

여기에서첫째식과둘째식을각각 x재와 y재의 보통수요함수(ordinary demandfunction)라고함.보통수요함수들을효용함수에대입하면

효용함수가각재화의가격과소득의함수로

표현됨.이처럼효용을각가격및소득의함수로볼때,이함수를 간접효용함수(indirect utility function)라고하고 U∗(·)로표시.

U∗(px, py,E) ≡ U(xd(px, py,E), yd(px, py,E))

5x∗ > 0, y∗ > 0이고예산선과무차별곡선의접점에서효용함수가극대화되는경우.


보상수요함수와지출함수

이번에는반대로소비자의효용수준을

U(x, y) = U로유지하는제약하에서총지출액 E = xpx + ypy를극소화시키는

문제를고려함.

L∗(λ∗, x, y) = xpx + ypy − λ

∗(U(x, y) −U)

효용극대화문제와마찬가지로내부해만을

허락한다고생각하면최적화의 1계조건은다음과같음.

L∗

λ∗ = U −U(x, y) = 0

L∗x = px − λ

∗Ux = 0 (5)

L∗y = py − λ

∗Uy = 0

지출극소화의 2계조건이만족되면음함수정리에의해지출극소화 1계조건인식(5)에나오는세내생변수 λ∗, x, y를다음과

같이외생변수 px, py, U의함수로나타낼수있음.

x = xc(px, py,U)

y = yc(px, py,U)

λ∗ = λ∗(px, py,U)

(6)

여기에서첫째식과둘째식을각각 x재와 y재의 보상수요함수(compensated demandfunction)라고함.보상수요함수들을지출극소화의목표함수에

대입하면총지출액을각재화의가격과

효용수준의함수로표현할수있고,이함수를지출함수(expenditure function)라고하며E∗(·)로표시.

E∗(px, py,U) ≡ pxxc(px, py,U)+pyyc(px, py,U)


슬러츠키방정식 I

효용함수가 U(x1, x2, · · · , xn)인소비자의지출극소화문제를통하여도출되는

지출함수를 E∗(p1 , · · · , pn,U),효용극대화문제를통하여도출되는간접효용함수를

U∗(p1, · · · , pn,E)라하면,가격벡터P = (p1, · · · , pn)이주어져있을때보통수요함수 xd

i (P,E)와보상수요함수xc

i (P,U)사이에다음항등관계가성립.

xci (P,U) ≡ xd

i (P,E∗(P,U)).

이식의양변을 pj에대하여미분하면

∂xci

∂pj=∂xd

i

∂pj+∂xd

i

∂E·∂E∗

∂pj(7)

를얻고,등식

E∗ = p1xc1(P,U) + · · · + pnxc

n(P,U)

의양변을 pj로미분하면다음과같음.

∂E∗

∂pj= xc

j (P,U) +

n∑k=1

pk∂xc

k

∂pj

= xcj (P,U) + λ∗

n∑k=1

Uk∂xc

k

∂pj

= xcj (P,U)

(∵무차별곡선상의전미분은 0.)


슬러츠키방정식 II

이결과6를식 (7)에대입한다음정리하면다음과같이 슬러츠키방정식(Slutsky equation)을얻음.

∂xdi

∂pj=∂xc

i

∂pj−∂xd

i

∂E· xj

슬러츠키방정식은 j재화의가격변화가i재화의보통수요에미치는효과(좌변)를대체효과 (

∂xci

∂pj)및소득효과

(−∂xd

i∂E · xj)의합으로표현하고있음.

특히 i = j인경우슬러츠키방정식은

∂xdi

∂pi=∂xc

i

∂pi−∂xd

i

∂E· xi

로쓸수있는데,대체효과의부호는언제나음(−)이므로결국가격효과의방향을규정하는것은소득효과의

부호임을슬러츠키방정식을통하여알

수있음.

6지출함수를가격에관하여편미분하면보상수요함수가되는이관계를 Shepard’s Lemma라고한다.이정리는동일효용수준을유지한다는조건하에서어떤재화의가격이 1원상승하면최적화과정까지고려하더라도필요지출액이해당재화의수요량만큼상승한다는

것을보여준다.


1 (3pts)교과서 Chapter 4. # 6.2 (3pts)교과서 Chapter 5. # 5.3 (3pts)교과서 Chapter 5. # 11.4 (3pts)교과서 Chapter 5. # 13.5 (10pts) “시장이자율이상승하면합리적소비자는현재소비를줄이고미래소비를늘릴것이다.”이명제에관하여논평하라.

6 (10pts)효용함수가동조함수이면각재화수요의소득탄력성이모두 1임을보여라.

7 (20pts)소득수준이 E이고효용함수가 U(x, y) = xαy1−α 로주어져있는

소비자가있다. (x와 y의가격은각각 px, py 이다.)(1)소비자의효용극대화문제를기술하고각재화에대한수요함수를구하라.그리고각재화에대한수요의가격탄력성,소득탄력성,교차탄력성을구하라.(2)소비자의지출극소화문제를기술하고각재화에대한보상수요함수를구하라.지출함수와간접효용함수는서로어떤관계를가지는가?

8 (20pts)효용함수가 U(x, y) = min{x, y}로주어진소비자에관하여위문제의답을구하라.

Micro 02 note

Documents

Transcript of Micro 02 note