Michael Scalora

U.S. Army Research, Development, and Engineering CenterRedstone Arsenal, Huntsville Alabama, 35898-5000

&Universita' di Roma "La Sapienza"

Dipartimento di Energetica

OPTICS BY THE NUMBERS

L’Ottica Attraverso i Numeri

Rome, April-May 2004

Athens

1984: Montclair State College, Montclair NJ1988: Master of Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY1990: PhD in Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY1991: Huntsville

Montclair*

* Troy

Scopo di questi seminari:Introdurre e poi elaborare il concetto di integrazione numerica di

equazioni differenziali per studiare la propagazione e l’interazione della luce (di solito si intende un laser) con la materia.

Ecco alcuni esempi

(i) L’oscillatore armonico (ottica, meccanica classica e quantistica...)

(ii) Diffrazione ed interferenza

(iii) Processi nonlineari: generazione di seconda e terza armonica, e

in tutto questo il ruolo dell’oscillatore armonico.

(iv) Propagazione di impulsi ultracorti (dal pico- al femto-secondo)

(v) Guide d’onda

(vi) Strutture a banda photonica (i “semiconduttori” per la luce)

(vii) Sistemi Laser

(1)Oscillatore Armonico Smorzato: L’atomo di LorentzSoluzioni esatte ed approssimate

(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)

L’Atomo di LorentzOscillatore Armonico Smorzato

Ex

e-

Nucleo: ~2000 volte la massa elettronica; i.e., massa infinita

In seguito al passaggio dell’onda, l’elettrone assorbe energia ed oscilla rispetto ad un punto di equilibrio. L’oscillazione, e quindi l’accelerazione e decelerazione della carica, causa la riemissione dell’energia assorbita durante il passaggio dell’onda.

Il Modello Classico della materia

20 0x x x

m

x

RestoringForce

mx kx x Damping

Damped Harmonic Oscillator

L’energia istantanea dell’oscillatore e’ data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale:

2 21 1

2 2E mx kx

…da cui…2( )

dEmxx kxx

dt

mx kx x x

Si puo dimostrare che in genere:<Energia Cinetica media>=<Energia Potenziale media>

una sorta di Equipartion Theorem

2 2

2 2 2

1 1

2 21 1

2 2

E mx kx

mx mx m x

Raccogliendo i risultati…

1dEE E

dt m

2E m x

2dEx

dt

L’energia dell’oscillatoredecade ad una rate…

/0

tE E e

m

810 sec.

Un atomo isolato nello spazio tende ad emettere spontaneamente

in ~ 10-8 secondi.

1510 / sec. 12 15

0 10 10 / sec.

810 / sec.

15210 sec.

p

p

0

12 150

210 10 sec.

8210 sec.

m

Ciclo ottico

p

Nella maggior parte dei casi, l’emissione spontaneaavviene in tempi molto piu lunghi del ciclo ottico, …

…e di 0…

0

2 20 0

m

2

2022 4m m

0tx x eSi suppone una soluzione del tipo:

20 0x x x

m

02m

2i

m

1/ 2

0 2 20

11

4

La soluzione sara’ oscillatoria se:

La Soluzione esatta:

/(2 ) 1 (0)( ) (0)cos (0) sin

2t x

x t e x t x t

1/ 2

0 2 20

11

16 ( / )

1/ 2

0 2 20

11

4

0 00

40 0

21; 2 ;

10 ( )

10 200 02 2 4

0 0

1 11 ( ) 1 (10 ) (10 )...

32 ( / ) ( / )

4

0

10 1

1/ 2

0 2 20

11

16 ( / )

/(2 )0 0

0

1 (0)( ) (0)cos (0) sin

2t x

x t e x t x t

/(2 )0 0

0

1( ) cos sin

2tx t e t t

(0) 1; (0) 0x A x

Inviluppo (lento) Oscillazione (veloce)

La Soluzione …

/(2 )0( ) costx t e t

0 0

1 11

2 4 ( / )

A

0/(2 )

00

(0)cos

( ) 1 (0)(0) sin

2

t

x t

x t e xx t

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

0 1000 2000 3000 4000 5000

Time (in units of 0)

Am

pli

tud

e

x(t)

/(2 )te

0 0

40 0

1; 2 ;

10 ( )

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

2000 2200 2400 2600 2800 3000

Time (in units of 0)

Am

plitu

de

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

2000 2020 2040 2060 2080 2100

Time (in units of 0)

Am

plitud

e

Una delle piu importanti approssimazioni e’ la Slowly Varying Envelope

Approximation, SVEA: Un impulso o segnale puo generalmente essere scomposto in un inviluppo che varia lentamente nel tempo rispetto a 0, e un

termine che oscilla sulla scala veloce determinata da 0.

/(2 )te

0cos( )t

0

20 0x x x

m

*1( ) ( ) ( )

2i t i tx t p t e p t e

…supponiamo una soluzione del tipo…

…ed imponiamo la SVEA, cioe che p(t) sia una funzione che varia lentamente rispetto a

2

Ritorniamo all’equazione iniziale…

0tx x e…e invece di supporre…

…e si applica la SVEA… Matematicamente questo significa…

2

2

( ) ( )d p t d p t

dt dt

20 0x x x

m

22

2

20

( ) ( )2 ( )

0( ) 2

( ) ( )

i t

d p t d p ti p t

edt dtd p t

i p t p tm dt

sostituiamo…

*1( ) ( ) ( )

2i t i tx t p t e p t e

2 20

( )2 ( ) 0

d p ti i p t

m dt m

2 20( )

( )2

id p t m

p tdt

im

Nel limite… 0 ( )m

( / 2 ) / 2

( )( );

2

( ) (0) (0)m t t

d p tp t

dt m

p t p e p e

*1( ) ( ) ( )

2i t i tx t p t e p t e

/ 2( ) (0)2

i t i t

te e

x t p e

/ 20( ) (0) costx t x e t

La SVEA in genere riduce equazioni di secondo grado ad equazioni di primo grado, che richiedono una sola condizione iniziale, e quindi la soluzione e’ immediata.

( / 2 ) / 2( ) (0) (0)m t tp t p e p e

Sommario

(1) L’atomo di Lorentz: Soluzioni esatte ed approssimate

(2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)

(3) Da sottolineare e’ il fatto che mentre esistono metodi e approssimazioni (e.g. SVEA) che permettono di ottenere soluzioni accurate al problema fisico, non sempre purtroppo e’ cosi.