Seja P a projeção do movimentoda partícula sobre o eixo 0x.A coordenada x de P varia com o tempo segundo a função:

x = Acos()como

= t + 0

temos,

x = Acos(t + 0)

y

xA-A

x

Observe que a função x é periódica, com período T e limitada entre as abcissas -A e A.

O movimento descrito pela projeção P é chamado Movimento Harmônico Simples ou M.H.S.Podemos dizer então que uma partícula executa um M.H.S quando sua funçao horária dos espaços x(t) é da forma:x(t) = Acos(t + 0), onde:

A-A

P

x(t) = Acos(t + 0)

A: amplitude do movimento;

A

t + 0 : fase do movimento;

t + 0

: pulsação ou freqüência angular do movimento;

0: fase inicial do movimento.

0

É importante lembrar que:

T2

eT1f

Portanto,

f2T2

UnidadesNo Sistema Internacional de Unidades (SI):[x] = metro (m);[t] = segundo (s);[f] = hertz (s-1 ou Hz);[] = radiano (rad);[] = hertz (s-1 ou Hz) *.* Por uma questão didática, usamos habitualmente [] como rad/s ou rad.s-1.

r

Velocidade e aceleração escalares do M.H.S.

P

V

Em um dado instante t, a partícula ocupa uma posição angular e possui uma velocidade vetorial de intensidade V dada por:

V = A

V

Traçamos sobre a partícula, uma reta auxiliar r, paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre V e a perpendicular a r é .

Projetando-se V sobre r, obtemos a componente na direção 0x de V. A intensidade V dessa componente é dada por:

V = V sen

Note que V tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge

na expressão de V.

Como,V = A

e = t + 0,

temos:

V = Asen(t + 0

Observe agora a projeção P da partícula sobre o eixo 0x.Como vimos, P realiza um M.H.S.. A velocidade escalar V de P coincide com a componente em 0x de V. Obtemos assim a função da velocidade escalar V de P:

V = -sen(t + 0)

y

x- A AV

Velocidade e aceleração escalares do M.H.S.y

x- A A

Como a partícula executa M.C.U., ela possui tão somente aceleção centripeta acp

de intensidade:

acp = 2A

acp

r

Traçamos a reta auxiliar r pela extremidade de acp

e paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre acp e r é .

a = acpcos

Obtemos a componente de acp na direção 0x fazendo sua progeçao sobre r:

Comoacp = 2A

e = t + 0

temos:

a = acpcosa = 2Acos(t + 0)

a

A projeção P da partícula sobre o eixo 0x executa um M.H.S. e sua aceleração escalar coincide com a componente na direção 0x de acp. Portanto:

a= -2Acos(t + 0)

P

aNote que a tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge

na expressão de a. UnidadesNo Sistema Internacional de Unidades (SI):[v] = m/s ou m.s-1;[a] = m/s2 ou m.s-2.

T/4 T/2 3T/4 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T

Gráficos0 = 0

x

t

V

t

a

t

x = Acos(t + 0)

V = -Asen(t + 0)

a = -2Acos(t + 0)

A

-A

A

A

A

A

Observe na tabela a seguir, alguns valores notáveis para as grandezas escalares estudadas até aqui:

abcissa fase velocidade aceleração

0 /2 0-A

A 0 0 -2A

-A 0 2A

0 3/2 0A

A0-A0

x = Acos(t + 0)

Relações paramétricas: (V;x)

V = -Asen(t + 0)x = Acos(t + 0)

)tcos(Ax

0 V = -Asen(t + 0))tsen(A

V0

)tcos(Ax

0 )t(cos)Ax( 0

22 )tsen(A

V0

)t(sen)

AV( 0

22

)t(cos)Ax( 0

22

)t(sen)A

V( 022

+

)t(sen)t(cos)A

V()Ax( 0

20

222

1)A

V()Ax( 22

Relações paramétricas: (a;x)

x = Acos(t + 0) a = -2Acos(t + 0)

a = -2Acos(t + 0)a = -2Acos(t + 0)

x = Acos(t + 0)

a = -2x

Gráficos

y

x-A A

a

-A

A

2A

2Ax

V

x

x

y

-A A

A-A

A

A 23 ou

20xAVMÁX

ou 0Ax0V

ou 0AxAa 2MÁX

23 ou

20x0a

Osciladores

Freqüência do sistema massa-mola

A força resultante qua atua no sistema é a força elástica. Do Princípio Fundamental da Dinâmica temos,

FRES = FEL

ma = kx (1)

Como o sistema executa um M.H.S.:

a = 2x (2)

Substituindo (2) em (1) temos,

ma = kx

ma = kxm2x = kx

m2x = kxm2 = k

m2 = kmk2

mk2 mk

Como = 2f temos,

mk

mkf2

Energia no sistema massa-mola

Sendo o sistema conservativo, a energia mecânica é constante:

EMEC = EPOT + ECIN

2Vm

2xkE

22

MEC

Para x = A ou x = -A então V = 0, assim:

2Vm

2xkE

22

MEC 02

AkE2

MEC

02

AkE2

MEC 2AkE

2

MEC Na verdade, para qualquer M.H.S.,

2AkE

2

MEC

UnidadesNo Sistema Internacional de Unidades (SI):[E] = joule ou J.J = kgm2/s2 ou kgm2.s-2.

2XkE

2

POT

2VmE

2

CIN

Gráficos

2VmE

2

CIN 1)A

V()Ax( 22

Como

1)A

V()Ax( 22

22 )

Ax(1)

AV(

22 )Ax(1)

AV(

2222 xAV

temos,

2VmE

2

CIN 2xAmE

22CIN

energia

x-A A2xAmE

22

CIN

EPOT

2xkE

2

POT

ECIN

2AkE

2

MEC EMEC