Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D. - Nakladatelství VUTIUM · KLÍČOVÁ SLOVA Funkcionální...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Fakulta strojního inženýrství

Ústav matematiky

Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.

O JISTÝCH ÚLOHÁCH Z KVALITATIVNÍ TEORIE OBYČEJNÝCH

A FUNKCIONÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC

ON CERTAIN PROBLEMS OF QUALITATIVE THEORY OF ORDINARY

AND FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

ZKRÁCENÁ VERZE HABILITAČNÍ PRÁCE APLIKOVANÁ MATEMATIKA

BRNO 2017

KLÍČOVÁ SLOVAFunkcionální diferenciální rovnice, diferenciální rovnice se zpožděním, nelineární systém, okrajová úloha, oscilatorické vlastnosti, singulární Dirichletova úloha.

KEYWORDSFunctional differential equation, delay differential equation, nonlinear system, boundary value problem, oscillatory properties, singular Dirichlet problem.

Místo uložení práce:Ústav matematiky Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně Technická 2896/2 616 69 Brno

© Zdeněk Opluštil, 2017ISBN 978-80-214-5480-4ISSN 1213-418X

Obsah

Strukturovany zivotopis 4

1 Uvod 6

2 Motivacnı prıklady 82.1 Model portaloveho jerabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Model populacnı dynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Model pohybu dislokacı v krystalech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Asymptoticke vlastnosti 153.1 Hilleho-Nehariho kriteria pro diferencialnı rovnice se zpozdenım . . . . . . . . 153.2 Kriteria Myshkisova typu pro diferencialnı rovnice se zpozdenım . . . . . . . . 20

4 Okrajove ulohy pro funkcionalnı diferencialnı rovnice 25

5 Singularnı Dirichletova uloha 29

6 Souhrn a dalsı vyzkum 33

Literatura pouzita v habilitacnı praci 34

Pouzıvane oznacenı 37

Abstract 38

3

Strukturovany zivotopis

Osobnı udaje

Jmeno a prıjmenı: Zdenek OplustilDatum a mısto narozenı: 10. 6. 1978, ValticeStatnı obcanstvı: Ceska republikaNarodnost: ceskaRodinny stav: zenatyTrvaly pobyt: Hvozdecka 1305/3, 635 00 BrnoE-mail: [email protected]

Vzdelanı a akademicka kvalifikace

1984–1992: zakladnı skola Velke Bılovice1992–1996: Gymnazium Breclav1996–2001: Prırodovedecka fakulta Masarykovy univerzity v Brne, obor Matematika, titul Mgr.

2001–2005: doktorske studium na Ustavu matematiky Prırodovedecke fakulty Masarykovy uni-verzity v Brne, akademicky titul Ph.D.

Prehled zamestnanı

2004–2005: odborny pracovnık v Matematickem ustavu Akademie ved CR v Brne

2005–2006: asistent na Ustavu matematiky FSI VUT v Brne

2006–dosud: odborny asistent na Ustavu matematiky FSI VUT v Brne

Pedagogicka cinnost

FSI VUT: prednasky – Matematika I, II, III; Vybrane kapitoly z Matematikycvicenı – Matematicka analyza I, II; Matematika I, II, III

Numericke metody I, II

Vedeckovyzkumna cinnost

Kvalitativnı vlastnosti systemu diferencnıch rovnicOkrajove ulohy pro funkcionalnı diferencialnı rovniceKvalitativnı vlastnosti diferencialnıch rovnic se zpozdenym argumentemKvalitativnı vlastnosti systemu diferencialnıch rovnic

Akademicke staze v zahranicı

Dvoutydennı staze v ramci ucitelske mobility ERASMUS na Universita degli Studi diL’Aquila, Italie, 2011–2016Tydennı staz na Universidade de Granada, Spanelsko, 2013Tydennı staz na Universidade de Lisboa, Portugalsko, 2014

Projekty

Spoluresitel vyzkumneho zameru MSMT (v letech 2007–2011)Spoluresitel projektu FRVS (v letech 2007 a 2011)Resitel dvou juniorskych projektu FSI VUT (v letech 2008–2011)Odborny pracovnık na projektu OPVK (v letech 2011–2014)Spoluresitel trı projektu FSI (2010–dosud)

4

Univerzitnı aktivity

Podıl na tvorbe fakultnıch rozvrhu FSI VUT (2014–dosud).

Mimouniverzitnı aktivity

Recenzent pro Mathematical Reviews

Ocenenı

Cena sekce matematiky Prırodovedecke fakulty Masarykovy univerzity v Brne, 2001

5

1 Uvod

Habilitacnı prace je zalozena na autorovych vysledcıch zıskanych v letech 2003–2016,ktere byly publikovany v clancıch [28–31,40–42,44–46]. Jsou diskutovana tri zakladnı temata:asymptoticke vlastnosti resenı zpozdenych diferencialnıch rovnic druheho radu, okrajove ulohypro funkcionalnı diferencialnı rovnice prvnıho radu a singularnı Dirichletova uloha pro linearnıdiferencialnı rovnici druheho radu.

Motivace pro studium asymptotickych vlastnostı resenı obycejnych diferencialnıch rovnic(ODR) a nasledne odpovıdajıcıch rovnic se zpozdenym argumentem souvisı naprıklad s as-trofyzikalnım vyzkumem R. Emdena z pocatku dvacateho stoletı, kde se poprve objevujediferencialnı rovnice typu

u′′ ± tσun = 0.

Detailnı vyzkum kvalitativnıch vlastnostı teto rovnice pak provedl R. Fowler (rovnice sepozdeji stala znama jako Emdenova-Fowlerova). Zajem o studium asymptotickych vlastnostıresenı nelinearnıch diferencialnıch rovnic druheho radu vyznamne vzrostl po vydanı monogra-fie R. Bellmana [2]. Jsou v nı uvedeny hlavnı vysledky souvisejıcı s Emdenovou-Fowlerovourovnicı. Soucasny stav teto teorie lze najıt naprıklad v monografii [16] autoru T. Chanturiia I. Kiguradzeho .

Behem druhe poloviny dvacateho stoletı rostl zajem o studium rovnic se zpozdenym ar-gumentem. Zaklady kvalitativnı teorie zpozdenych a integro-diferencialnıch rovnic byly pub-likovany v pracıch A. Myshkise a R. Bellmana (viz napr. [2, 23]).

Hlavnı motivacı pro studium vlastnostı techto rovnic je jejich vyuzitı pri sestavovanı mo-delu v ruznych vednıch oborech jako je fyzika, biologie, medicına, kontrola rızenı a ekonomie.Ukazuje se totiz, ze modelovanı pomocı zpozdenych rovnic je v nekterych prıpadech vhodnejsı,nez modelovanı pomocı obycejnych diferencialnıch rovnic. To platı zejmena v modelech, kdevyvoj zkoumaneho procesu nezavisı pouze na soucasnem stavu, ale take na stavu predchozım,ktery je modelovan prave pomocı zpozdeneho argumentu.

Prirozene uplatnenı majı rovnice se zpozdenym argumentem naprıklad v systemech sezpetnou vazbou. Zde je potreba urcity cas na prenos informace, resp. na reakci systemu (po-drobneji se teto problematice budeme venovat v modelu portaloveho jerabu v kapitole 2 techtotezı). Zpozdenı hraje dulezitou roli take v matematicke biologii, zejmena pri modelovanı dyna-miky populacı, kde reprezentuje naprıklad cas potrebny k tomu, aby jedinec zıskal schopnostreprodukce. Navıc jednou z charakteristik diferencialnıch rovnic se zpozdenım je periodicnost(oscilatoricnost) jejich resenı, coz je take typicka vlastnost v modelech populacnı dynamiky –mnozstvı populace se opakuje v urcitych cyklech.

Druhe tema studovane v habilitacnı praci je resitelnost nelokalnıch okrajovych uloh profunkcionalnı diferencialnı rovnice 1. radu (OU pro FDR). Zaklady teorie techto uloh muzemenajıt napr. v pracıch [1, 11, 23, 49]. Od sedmdesatych let minuleho stoletı byla teorie OU proFDR intenzivne rozvıjena. Byly studovany ruzne typy FDR (mimo jine i rovnice se zpozdenymargumentem) a ruzne typy okrajovych podmınek (zejmena lokalnıch) (viz napr. [1, 11, 21]).Presto siroka trıda techto uloh nenı stale dostatecne prozkoumana. Hlavnı duvod spocıvav tom, ze FDR obsahujı operatory, ktere jsou obecne nelokalnı a tudız studium techto rovnic jekomplikovanejsı nez studium obycejnych diferencialnıch rovnic. Dalsı obtıze nastanou, jestlizeokrajove podmınky jsou take nelokalnı. Prıkladem takove OU pro FDR je okrajova uloha

u′(t) =

∫ b

a

K(t, s)u(s) ds+ q(t); u(a) =

∫ b

a

σ(s)u(s) ds,

6

kde K : [a, b]× [a, b]→ R a q, σ : [a, b]→ R jsou vhodne funkce.Jednou z uspesnych technik pri zkoumanı resitelnosti ODR je pouzitı ruznych vet o di-

ferencialnıch nerovnostech. Ukazuje se ale, ze ty ani pro jednoduche FDR obecne neplatı,a pro studium FDR je tedy treba hledat techniky nove a ne pouze modifikovat postupy znamez teorie ODR.

Poslednı z temat studovanych v habilitacnı praci je singularnı Dirichletova uloha prolinearnı diferencialnı rovnice druheho radu. Okrajove ulohy pro singularnı diferencialnı rovnicese casto objevujı v aplikacıch. Muzeme naprıklad zmınit ty, kde se vyskytuje Besselova nebohypergeometricka rovnice. V soucasne dobe je jiz znamo mnoho zajımavych vysledku z teoriesingularnıch OU pro ODR (viz napr. [4]). Obvykle se predpoklada, ze prava strana rovnice jeintegrovatelna s tzv.

”linearnı vahou“. To vsak nesplnuje mnoho zajımavych rovnic, naprıklad

prave vyse zmınena Besselova rovnice. Je proto vhodne pokusit se rozsırit znamou teorii pravev tomto smeru.

I kdyz je z pohledu aplikacı potreba zkoumat zejmena ulohy nelinearnı, prvnım krokembyva obvykle

”vybudovat“ teorii linearnıch uloh. Ta zahrnuje mimo jine nasledujıcı temata:

platnost Fredholmovych vet, korektnost okrajove ulohy a problematiku vlastnıch cısel. V tomtoporadı byvajı take dana temata pro linearnı ulohy bez singularit studovana.

V habilitacnı praci jsou prezentovany vysledky souvisejıcı s Fredholmovou teoriı a korekt-nostı singularnı Dirichletovy ulohy pro linearnı diferencialnı rovnice 2. radu. Ty lze dale vyuzıtpri studiu problematiky vlastnıch cısel a resitelnosti nelinearnıch singularnıch uloh, coz jsoutemata naseho dalsıho vyzkumu.

7

2 Motivacnı prıklady

Diferencialnı rovnice se zpozdenym argumentem, okrajove ulohy pro FDR a diferencialnırovnice se singularitami se objevujı v mnoha aplikacıch naprıklad v biologickych modelech,inzenyrskych procesech, mechanice, technickych problemech, medicıne, chemickych a ekono-mickych modelech (viz napr. T. Erneux [7], V. Kolmanovskii a A. Myshkis [23], P. Torres [50]).Jako motivaci pro studium kvalitativnıch vlastnostı ODR a FDR zde uvedeme nasledujıcı trimodely.

2.1 Model portaloveho jerabu

Portalove jeraby jsou pouzıvany pro transport tezkych a rozmernych objektu v tovarnach,zeleznicnıch depech, lodenicıch nebo v prıstavech. Ukazeme jednoduchy jednorozmerny model

Obr. 1: Schema portaloveho jerabu

(viz obr. 1 a 2), ktery je odvozen v monografii [7]. V systemu portaloveho jerabu jsou temervsechny kontrolnı pohyby vykonavany automaticky, pricemz snahou rızenı je zajistit presunnakladu pri

”minimalnım houpanı“. Vzhledem k tomu, ze jsou prepravovany objekty vazıcı

nekolik tun a delka lana muze byt pres deset metru, je nutne, aby pohyb jerabu byl plynuly.Jinak by mohlo totiz dojıt k nekontrolovatelnemu rozhoupanı nakladu.

Predpokladame, ze jerab se po kolejnici pohybuje bez trenı, naklad je zavesen na tuhemlane a rotace kolem otocneho cepu P je take bez trenı. Uzitım druheho Newtonova zakonamuzeme z obr. 2 odvodit nasledujıcı rovnice, ktere popisujı pohyb jerabu a nakladu

Mu′′ +m(u′′ + lθ′′) = F,

m(u′′ + lθ′′)l cos θ +mgl sin θ = 0,(2.1)

kde M , resp. m oznacujı hmotnost jerabu, resp. nakladu, F oznacuje sılu vyvinutou motoremjerabu, l je delka lana a θ je uhel odchylky lana od svisle polohy (viz obr. 2). Eliminacı funkce u

8

z rovnic (2.1) dostaneme

θ′′ + tg θ +F (s)

(M +m)g= 0, (2.2)

kde ω je frekvence kmitanı nakladu dana vztahem ω =√

(M+m)gMl

a derivace je chapana

vzhledem k bezrozmerne promenne s = ωt. Nynı nahradıme vyraz F (s)(M+m)g

v rovnici (2.2)

tzv. Pyragasovym typem ovladanı daneho vztahem k(θ(s− T )− θ(s)) (viz [48]) a dostanemediferencialnı rovnici se zpozdenym argumentem

θ′′(s) + tg θ(s) + k(θ(s− T )− θ(s)) = 0, (2.3)

kde k je realny parametr a T > 0 je konstantnı zpozdenı.

Obr. 2: Model kyvadla pro portalovy jerab

Pro male vychylky θ muze byt rovnice (2.3) linearizovana a obdrzıme tak linearnı dife-rencialnı rovnici druheho radu s konstantnımi koeficienty a konstantnım zpozdenım

θ′′(s) + (k − 1)θ(s) + kθ(s− T ) = 0.

Oscilatoricke vlastnosti dvouclenne linearnı diferencialnı rovnice s nekonstantnım koeficientema nekonstantnım zpozdenım jsou studovany v kapitole 3 habilitacnı prace a nektere vysledkyjsou uvedeny v kapitole 3 techto tezı.

2.2 Model populacnı dynamiky

Funkcionalnı diferencialnı rovnice se objevujı take v mnoha biologickych modelech. Jednımz duvodu je, ze se v nich vyskytujı casove delsı procesy, jako je doba od pocetı po narozenı

9

jedince, doba dospıvanı, obnova zdroju potravy apod. Typicke prıklady modelu v nichz mohoubyt uspesne pouzity diferencialnı rovnice se zpozdenım jsou modely populacnı dynamiky, jimzse budeme v teto casti venovat.

Nejprve zacneme s jednoduchym modelem jednodruhove populace. Predpokladame, zerychlost rustu populace v danem okamziku zavisı na aktualnı velikosti populace a ze ji lzepopsat pomocı rovnice

N ′ = NF (N), (2.4)

kde N(t) oznacuje velikost (hustotu) populace v case t a F je tzv. rustova funkce. Jednımz klasickych tvaru rustove funkce je

F (N) = r

(1− N

K

), (2.5)

kde realna konstanta r > 0 oznacuje koeficient rustu pro danou populaci a K > 0 je tzv.

”kapacita prostredı“, ktera udava kolik jedincu prostredı uzivı. Tento model vytvoril belgicky

matematik P. F. Verhulst v roce 1848, pricemz rovnice (2.4) s funkcı F danou predpisem (2.5)je dnes obecne znama pod nazvem logisticka rovnice.

Ve vyse uvedenem modelu se predpoklada, ze zmena velikosti populace v case t zavisına velikosti populace ve stejnem case. Zanedbava se tedy cas od pocetı k narozenı, dobadospıvanı nebo migrace clenu populace, zavislost na zdrojıch potravy apod., coz jsou vyznamnecharakteristiky slozitejsıch organismu jako jsou napr. savci. Zmınenou

”casovou prodlevu“

muzeme v modelech zohlednit zavedenım tzv. zpozdenych argumentu. Dostaneme tak modelyobsahujıcı diferencialnı rovnice se zpozdenymi argumenty a ukazuje se, ze takove modely lepepopisujı realnou situaci.

Jednou z moznostı jak zahrnout casove zpozdenı do biologickych modelu je predpoklad, zerychlost rustu populace v case t zavisı na velikosti populace v drıvejsım case τ(t) ≤ t. Rovnicepak mohou byt obecne tvaru

N ′(t) = R(N(τ(t)))−D(N(t)), (2.6)

kde R oznacuje funkci popisujıcı rust populace a D funkci popisujıcı jejı vymıranı. V po-pulacnıch modelech se casto kvuli zjednodusenı pouzıva tzv.

”konstantnı zpozdenı“, tj. kla-

deme τ(t) = t − T , kde T > 0 je realna konstanta, ktera muze reprezentovat naprıklad casod pocetı jedince az po jeho dospelost (kdy je schopen reprodukce). V takovych prıpadechmuzeme rovnici (2.6) psat ve tvaru

N ′(t) = R(N(t− T ))−D(N(t)),

kde clen N(t−T ) vyjadruje velikost populace v case t−T a zaroven velikost populace, ktera bybyla schopna reprodukce v case t. Jestlize nynı aplikujeme uvahy se zpozdenım na logistickourovnici, dostaneme diferencialnı rovnici tvaru

N ′(t) = N(t)r

(1− N(t− T )

K

).

Poznamenejme jeste, ze jeden z prvnıch matematiku, ktery zavedl zpozdenı do logisticke rov-nice byl G. E. Hutchinson v clanku [14].

Na zaver teto casti jeste zmınıme model, ktery je obecne znamy jako”Harvesting of a single

population“. Tento model je studovan nejen jako biologicky system s vnejsım vlivem, ale ma

10

take svuj vyznam v ekologii a ekonomice. Spocıva v tom, ze je dulezite vyvinout strategii(napr. pro rybolov nebo tezbu obnovitelnych zdroju) takovou, aby byl maximalizovan zisk,ale zaroven aby nedoslo k vymizenı populace. Budeme uvazovat populacnı model dany rovnicı(2.6), kterou doplnıme o linearnı clen s funkcı H reprezentujıcı zmınenou strategii, a dostanemetak diferencialnı rovnici

N ′(t) = R(N(τ(t)))−D(N(t))−H(t)N(t). (2.7)

Spolu s touto rovnicı budeme uvazovat periodickou okrajovou podmınku

N(a) = N(b), (2.8)

kde [a, b] je nejaky casovy usek. Ulohou je potom najıt takovou strategii rybolovu ci tezby(tj. vlastnosti funkce H), aby se mnozstvı populace v case t = b vratilo na svoji puvodnıhodnotu, jaka byla pred zacatkem rybolovu ci tezby, tj. v case t = a. Jinymi slovy hledamepodmınky na funkci H, ktere nam zarucı existenci, prıpadne jednoznacnost, resenı okrajoveulohy (2.7), (2.8). Tato OU, stejne jako vyse uvedene populacnı rovnice se zpozdenım, jsouspecialnı prıpady okrajovych uloh a funkcionalnıch diferencialnıch rovnic studovanych v kapi-tole 4 habilitacnı prace a v clanku [40].

2.3 Model pohybu dislokacı v krystalech

Vetsina technologicky zajımavych materialu je tvorena krystaly, v nich jsou atomy uspo-radany v periodickych mrızkach s danou symetriı (kubicka, sesterecna, atd.). Pri tuhnutıtaveniny nemajı atomy dostatek casu zaujmout v krystalove mrızce idealnı pozici, cımz se v nıvytvorı ruzne poruchy. Rozeznavame mnoho druhu takovych defektu (napr. vakance, vmestky,pory, hranice zrn, dislokace), pricemz z pohledu mechanickych vlastnostı materialu jsou jednyz nejdulezitejsıch carove poruchy mrızky, tzv. carove dislokace. Krystalova mrızka je v tomtoprıpade porusena v okolı prımky, kterou nazyvame dislokacnı cara a jejız smerovy vektorbudeme znacit ~u. Kazda carova dislokace je charakterizovana tzv. Burgersovym vektorem ~b.Rozlisujeme dva zakladnı typy carovych dislokacı: hranove dislokace, je-li ~b ⊥ ~u (viz obr. 3),

a sroubova dislokace, je-li~b ‖ ~u (viz obr. 4). Nenı-li splnena zadna z vyse uvedenych podmınek,mluvıme o dislokaci smısene.

Obr. 3: Hranova dislokace

Obr. 4: Sroubova dislokace

Modelovanı pohybu dislokacı v mrızce je dulezite zejmena z pohledu teorie plasticity, ne-bot’ pohyb dislokacı je jednım ze zakladnıch mechanismu plasticke deformace. Dislokace sedajı do pohybu nasledkem zatızenı reprezentovaneho smykovym napetım, pricemz tomuto

11

pohybu podstatne napomaha teplota. Obecne lze rıci, ze pri vyssım zatızenı je k pohybu dis-lokacı potreba nizsı tepelne energie a naopak. Uvazujme sroubovou dislokaci danou smerovymvektorem ~u a Burgersovym vektorem ~b. Pohyb takove dislokace pri zatızenı reprezentovanemsmykovym napetım ~τ je znazornen na obr. 5. Zaved’me souradny system tak, ze osa x jedislokacnı carou, osa y je k nı kolma a lezı ve smykove rovine (viz

”seda rovina“ na obr. 5

a na obr. 7). Odpor krystalove mrızky proti pohybu dislokace je reprezentovan tzv. Peierlsovou

Obr. 5: Pohyb sroubove dislokace

barierou V (viz obr. 6). Mechanizmus pohybu lze popsat nasledujıcım zpusobem1. Pri teplote

y

z

z = V (y)

z = V (y0) + τb(y − y0)

y0 yc

Obr. 6: Peierlsova bariera

T = 0 se dislokacnı cara dusledkem zatızenı (reprezentovaneho smykovym napetım ~τ 6= ~o)posune v krystalove mrızce z pozice y = 0 do pozice y = y0 (viz obr. 8). Tu lze matematickydefinovat vztahem V ′(y0) = τb, kde τ je velikost smykoveho napetı ~τ a b je velikost Burger-

sova vektoru ~b (viz obr. 6). Pri nenulove teplote T vsak dislokace nezustane v dusledku tepelneenergie jiz prımkou a prejde v tzv. aktivovany tvar y = y(x), ktery lze matematicky modelovatjako extremalu entalpie

H =

∫ +∞

−∞

{V (y(x))

√1 + [y′(x)]2 − V (y0)− τb(y(x)− y(x0)

}dx (2.9)

1Formulace ulohy vcetne matematickeho modelu patrı R. Grogrovi z Ustavu fyziky materialu AV CR, v.v.i.

12

Obr. 7: Souradny systemObr. 8: Dislokacnı proces

ve trıde funkcı y : (−∞,+∞)→ R splnujıcıch podmınky

y(−∞) = y0, y(+∞) = y0. (2.10)

Pokud je entalpie tohoto aktivovaneho tvaru dislokace dostatecna, dislokace jiz nepotrebujedalsı energii k pohybu a v krystalove mrızce se

”posouva“. Pokud je entalpie odpovıdajıcı

danemu aktivovanemu stavu”mala“, k pohybu dislokace v krystalicke mrızce nedochazı (k jejımu

pohybu je potreba zvysit zatızenı reprezentovane smykovym napetım ~τ nebo teplotu T ).

Z pohledu teorie plasticity je tedy potreba najıt aktivovany tvar dislokace y = y(x) pridanem τ a T . Pouzijeme-li Eulerovy-Lagrangeovy rovnice pro resenı variacnı ulohy (2.9),(2.10), aktivovany tvar dislokace je mozne matematicky popsat jako nekonstantnı resenı ne-linearnı okrajove ulohy

y′′ =V ′(y)

V (y)

(1 + [y′]2

)− τb

V (y)

(1 + [y′]2

) 32 , (2.11)

limx→−∞

y(x) = y0, limx→+∞

y(x) = y0 (2.12)

dane na neohranicenem intervalu (−∞,+∞). Vsimneme si, ze rovnice (2.11) je autonomnıdiferencialnı rovnicı druheho radu a v reci dynamickych systemu tedy hledame nekonstantnıtzv. homoklinicke resenı rovnice (2.11). I kdyz je rovnice (2.11) autonomnı, otazka existencea jednoznacnosti resenı okrajove ulohy (2.11), (2.12) nenı zcela trivialnı. Tuto otazku lzevyresit matematicky pomocı analytickych metod, vcetne nalezenı aktivovaneho tvaru dislo-kace v explicitnım vyjadrenı, avsak jakmile budeme uvazovat obecnejsı prıpad, kdy Peierlsovabariera V nebo smykove napetı τ nebude konstantnı podel dislokacnı cary, rovnice (2.11)prejde v neautonomnı diferencialnı rovnici

y′′ =V ′y(x, y)

V (x, y)

(1 + [y′]2

)− τ(x)b

V (x, y)

(1 + [y′]2

) 32 . (2.13)

13

Studium okrajove ulohy (2.13), (2.12) pomocı analytickych metod bude mnohem slozitejsıa nalezenı aktivovaneho tvaru dislokace v explicitnım vyjadrenı bude

”temer“ nemozne. Muzeme

se vsak pokusit nalezt aktivovany tvar dislokace alespon priblizne, tj. pouzıt nekterou nume-rickou metodu pro resenı okrajovych uloh. Jedna z moznostı jak najıt priblizne resenı ulohy(2.11), (2.12) je transformovat tuto ulohu na

”vhodny“ problem dany na konecnem intervalu

a pouzıt dostupnou knihovnu pro nalezenı numerickeho resenı napr. v softwaru MATLAB.Uvazujeme-li transformaci u(t) := y(x), kde x := 1

1−t2 , lze ukazat, ze okrajova uloha (2.11),(2.12) je ekvivalentnı s ulohou

u′′(t) =1

(1− t)(1 + t)

2t(t2 + 3)

1 + t2u′(t)

+(1 + t2)2

(1− t)4(1 + t)4f(u(t),

(1− t2)21 + t2

u′(t)), t ∈ ]− 1, 1[ ,

(2.14)

limt→−1+

u(t) = y0, limt→1−

u(t) = y0,

kde f(v1, v2) :=1+v22V (v1)

(V ′(v1) − τb

√1 + v22

). Vsimneme si, ze na rozdıl od rovnice (2.11)

rovnice (2.14) obsahuje casove singularity na obou koncıch intervalu ] − 1, 1[ , na nemz jedefinovana. To vsak nenı zasadnı problem, nebot’ dnes jsou jiz dostupne ruzne softwaroveknihovny pro resenı singularnıch okrajovych uloh na konecnem intervalu. Obcas vsak temtosoftwarovym knihovnam chybı

”analyticky“ zaklad, tj. nenı vyresena otazka existence a jed-

noznacnosti resenı dane ulohy, nebo otazka konvergence numericke metody. Je tedy zrejme,ze studovat otazku existence a jednoznacnosti resenı singularnıch okrajovych uloh je smyslu-plne a potrebne. V teorii diferencialnıch rovnic je standardnı a stale velmi ucinnou technikoujak vysetrovat resitelnost nelinearnıch uloh porovnanı s

”vhodnou“ ulohou linearnı. Odtud

vyplyva, ze cım”lepsı“ vysledky jsme schopni dokazat pro ulohy linearnı (tj. klast slabsı

predpoklady), tım”mene omezujıcı“ podmınky muzeme klast na nelinearity v ulohach ne-

linearnıch. Z pohledu matematiky je tedy stale aktualnım problemem vysetrovat resitelnostlinearnıch okrajovych uloh obsahujıcı singularity stejneho typu jako v (2.14), tj.

”casove“

singularity v krajnıch bodech na nemz je okrajova uloha definovana. A prave resitelnost dvou-bodove okrajove ulohy (tzv. Dirichletovy ulohy) pro singularnı linearnı diferencialnı rovnicedruheho radu je studovana v kapitole 5 habilitacnı prace a nektere z vysledku jsou uvedenyv kapitole 5 techto tezı.

14

3 Asymptoticke vlastnosti

V teto kapitole ukazeme nektere vysledky z asymptoticke teorie obycejnych a zpozdenychdiferencialnıch rovnic, ktere jsou obsazeny v kapitole 3 habilitacnı prace a ktere lze naleztv clancıch [44–46]. Nejprve uvedeme tvrzenı Hilleho-Nehariho typu pro diferencialnı rovnicedruheho radu se zpozdenım. Ty zahrnujı oscilacnı kriteria v prıpadech, kdy zpozdenı v danerovnici je

”dostatecne male“. Potom je prirozene ocekavat, ze vlastnosti resenı budou podobne

jako vlastnosti resenı odpovıdajıcıch ODR. Naopak, je-li zpozdenı”dostatecne velke“, pak se

vlastnosti resenı rovnic se zpozdenım mohou od vlastnostı resenı ODR vyrazne lisit.Druhym typem vysledku jsou kriteria pojmenovana podle A. Myshkise, ktery patrı k za-

kladatelum teorie zabyvajıcı se funkcionalnımi diferencialnımi rovnicemi. Tato kriteria jsouintegralnıho typu a nelze je na rozdıl od vyse uvedenych pouzıt pro ODR.

Na zaver teto kapitoly uvedeme oscilacnı kriteria pro dvoudimenzionalnı system nelinearnıchdiferencialnıch rovnic. Ta zobecnujı jak klasicka tvrzenı Hilleho a Nehariho, tak nekterevysledky z oscilacnı teorie tzv. pololinearnıch diferencialnıch rovnic prezentovane v uceleneforme naprıklad v monografii [6] autoru O. Dosleho a P. Rehaka.

3.1 Hilleho-Nehariho kriteria pro diferencialnı rovnice se zpozdenım

Na intervalu [0,+∞[ uvazujeme linearnı diferencialnı rovnici druheho radu se zpozdenım

u′′(t) + p(t)u(τ(t)) = 0, (3.1)

kde p : R+ → R+ je lokalne integrovatelna funkce a τ : R+ → R+ je meritelna funkce splnujıcı

τ(t) ≤ t pro s. v. t ≥ 0

alimt→+∞

ess inf{τ(s) : s ≥ t} = +∞.

Resenı rovnice (3.1) muzeme definovat ruznymi zpusoby. Nas zajımajı vlastnosti resenıv okolı +∞, a proto zavedeme pojem resenı diferencialnı rovnice (3.1) ve smyslu nasledujıcıdefinice.

Definice 3.1. Necht’ t0 ∈ R+ a a0 = ess inf{τ(t) : t ≥ t0}. Spojitou funkci u : [a0,+∞[→ Rnazveme resenım rovnice (3.1) na intervalu [t0,+∞[ , jestlize u je absolutne spojita spolu sesvojı prvnı derivacı na kazdem kompaktnım intervalu obsazenem v [t0,+∞[ a splnuje rovnost(3.1) skoro vsude na intervalu [t0,+∞[ .

Ackoliv je rovnice (3.1) linearnı, prıtomnost zpozdenı τ(t) v argumentu funkce u muzezpusobit mnoho specifickych situacı, ktere se neobjevujı v prıpade ODR. Muze se naprıkladstat, ze netrivialnı resenı rovnice (3.1) je identicky rovno nule v nejakem okolı +∞. Uvazujmenasledujıcı prıpad. Necht’ t∗ ∈ ]3π/2, 2π[ je takove, ze

sin t∗

(t∗ − 3π)2= −k, kde k = max

{− sin t

(t− 3π)2: t ∈ [3π/2, 2π]

},

a

p(t) =

{1 pro t ∈ [0, t∗[∪ ]3π,+∞[ ,

2k pro t ∈ [t∗, 3π],τ(t) =

{t pro t ∈ [0, t∗[∪ ]3π,+∞[ ,

π/2 pro t ∈ [t∗, 3π].

15

Potom

u(t) =

− sin t pro t ∈ [0, t∗[ ,

k(t− 3π)2 pro t ∈ [t∗, 3π[ ,

0 pro t ∈ [3π,+∞[

je netrivialnı resenı rovnice (3.1) na R+, ktere je rovno nule na intervalu [3π,+∞[ .Abychom vyloucili tato resenı z nasich uvah, zavedeme nasledujıcı definici.

Definice 3.2. Resenı rovnice (3.1) na intervalu [t0,+∞[ nazveme regularnı, jestlize pro t ≥ t0platı nerovnost sup

{|u(s)| : s ≥ t

}> 0.

Dale budeme uvazovat pouze regularnı resenı rovnice (3.1), abychom se vyhnuli patolo-gickym situacım. Pokud tedy budeme mluvit o resenı, budeme mıt na mysli resenı regularnı.Nynı muzeme korektne zavest pojem oscilatoricke a neoscilatoricke resenı rovnice (3.1).

Definice 3.3. Resenı u rovnice (3.1) nazveme oscilatorickym, jestlize u ma posloupnost nu-lovych bodu jdoucıch do nekonecna a neoscilatorickym v opacnem prıpade.

Kriteria uvedena v teto kapitole zarucı, ze kazde regularnı resenı rovnice (3.1) je oscilato-ricke. Hlavnı vysledky jsou dokazany pomocı lemmatu o apriornım odhadu neoscilatorickychresenı (viz Lemma 3.22 v habilitacnı praci). Je potreba najıt vhodny dolnı odhad podıluu(τ(t))/u(t). Nenı tezke ukazat, ze pro kazde neoscilatoricke resenı rovnice (3.1) platı

τ(t)

t≤ u(τ(t))

u(t)pro dostatecne velka t.

Nam se podarilo nalezt”presnejsı“ odhad (viz Lemma 3.22 v habilitacnı praci), ktery je

zakladem k dukazu oscilacnıch kriteriı vylepsujıcıch (casto i podstatne) vysledky zname z do-stupne literatury.

Nynı uvedeme nektere vysledky prezentovane v kapitole 3 habilitacnı prace. Zacnemepodmınkou zarucujıcı existenci neoscilatorickeho resenı rovnice (3.1). Z [13, Theorem 2] plyne,ze podmınka

∫ +∞0

sp(s)ds < +∞ je postacujıcı pro to, aby existovalo neoscilatoricke resenırovnice (3.1). Jelikoz hledame podmınky zarucujıcı oscilatoricnost kazdeho regularnıho resenırovnice (3.1), predpokladame, ze ∫ +∞

0

sp(s)ds = +∞. (3.2)

Dale budou klıcovou roli hrat dolnı a hornı limity vyrazu obsahujıcı koeficient p a zpozdenı τ .Pro snadnejsı formulaci tvrzenı zaved’me oznacenı

G∗ = lim inft→+∞

1

t

∫ t

0

sτ(s)p(s)ds, G∗ = lim supt→+∞

1

t

∫ t

0

sτ(s)p(s)ds. (3.3)

Lze ukazat (viz [45, Prop. 2.3]), ze je-li G∗ > 1, pak je kazde regularnı resenı rovnice (3.1)oscilatoricke. Predpokladejme tedy, ze

G∗ ≤ 1. (3.4)

Apriornı odhad neoscilatorickych resenı rovnice (3.1), ktery hraje v nasich vysledcıch dulezitouroli, je formulovan v habilitacnı praci v Lemmatu 3.22. To mimo jine rıka, ze je-li resenı u

16

rovnice (3.1) kladne na intervalu [tu,+∞[ , pak pro kazde ε ∈ [0, 1[ existuje t0(ε) ≥ tu takove,ze platı nerovnosti (

T1T2

)1−εG∗≤ u(T1)

u(T2)≤(T1T2

)εF∗pro T2 ≥ T1 ≥ t0(ε), (3.5)

kde cıslo G∗ je definovano v (3.3) a

F∗ := lim inft→+∞

t

∫ +∞

t

τ(s)

sp(s)ds. (3.6)

Poznamenejme jeste, ze v dukazech nıze uvedenych kriteriı byl pouzit pouze dolnı odhadz (3.5).

Jako prvnı formulujme tvrzenı, ktere je analogiı Wintnerovy vety dobre zname z kvalita-tivnı teorie ODR (viz [51]).

Veta 3.4 ([45, Thm. 2.4, λ = 0]). Necht’ jsou splneny podmınky (3.2), (3.4) a existuje ε ∈ [0, 1[takove, ze ∫ +∞

0

(τ(s)

s

)1−εG∗p(s)ds = +∞.

Pak je kazde regularnı resenı rovnice (3.1) oscilatoricke.

Vsimneme si, ze vzhledem k Vete 3.4 je prirozene dale predpokladat, ze∫ +∞

0

(τ(s)

s

)1−εG∗p(s)ds < +∞ pro kazde ε ∈ [0, 1[ .

Pro kazde ε ∈ [0, 1[ polozme

Q(t; ε) := t

∫ +∞

t

(τ(s)

s

)1−εG∗p(s)ds, H(t; ε) :=

1

t

∫ t

0

s2(τ(s)

s

)1−εG∗p(s)ds pro t > 0

aQ∗(ε) := lim inf

t→+∞Q(t; ε), Q∗(ε) := lim sup

t→+∞Q(t; ε),

H∗(ε) := lim inft→+∞

H(t; ε), H∗(ε) := lim supt→+∞

H(t; ε).(3.7)

Pomocı techto hornıch a dolnıch limit lze formulovat oscilacnı kriteria Hilleho-Nehariho typu,ktera korespondujı s dobre znamymi vysledky z kvalitativnı teorie ODR (viz [13,17,26,39,47]).

Uved’me nejprve jedno obecnejsı tvrzenı.

Veta 3.5 ([45, Thm. 2.10, λ = 0, µ = 2]). Necht’ jsou splneny podmınky (3.2), (3.4) a existujeε ∈ [0, 1[ takove, ze

lim inft→+∞

(Q(t; ε) +H(t; ε)

)>

1

2


Z teto vety plynou nasledujıcı dva dusledky.

17

Dusledek 3.6 ([45, Cor. 2.11, λ = 0]). Necht’ jsou splneny podmınky (3.2), (3.4) a existujeε ∈ [0, 1[ takove, ze

Q∗(ε) >1

4. (3.8)


Dusledek 3.7 ([45, Cor. 2.12, µ = 2]). Necht’ jsou splneny podmınky (3.2), (3.4) a existujeε ∈ [0, 1[ takove, ze

H∗(ε) >1

4. (3.9)


Poznamenejme, ze nerovnosti (3.8) a (3.9) odpovıdajı dnes jiz”klasickym“ podmınkam

E. Hilleho a Z. Nehariho pro ODR, ktere lze najıt v clancıch [13,39].Nenı-li pro zadne ε ∈ [0, 1[ splnena podmınka (3.8), i presto muze byt za dodatecnych

predpokladu kazde regularnı resenı rovnice (3.1) oscilatoricke. Jeden z moznych dodatecnychpredpokladu udava nasledujıcı veta.


Q∗(ε) ≤1

4(3.10)

a

H∗(ε) > 1− 1

2

(1−

√1− 4Q∗(ε)

). (3.11)


Podobne lze dokazat oscilatoricnost regularnıch resenı rovnice (3.1), nenı-li pro zadne ε ∈[0, 1[ splnena splnena (3.9), je treba vsak navıc predpokladat, ze hornı limita funkce Q(·; ε) je

”dostatecne velka“.


H∗(ε) ≤1

4(3.12)

a

Q∗(ε) >1

2

(1 +

√1− 4H∗(ε)

). (3.13)


Pokud vıme, ze jsou splneny obe nerovnosti (3.10) a (3.12), je mozne dodatecne predpoklady(3.11) a (3.13) zeslabit, jak ukazuje nasledujıcı veta a potvrzuje Prıklad 3.12.

18

Veta 3.10 ([45, Cor. 2.16, λ = 0, µ = 2]). Necht’ jsou splneny podmınky (3.2), (3.4) a existujeε ∈ [0, 1[ takove, ze platı nerovnosti (3.10) a (3.12). Pak podmınka

Q∗(ε) > Q∗(ε) +1

2

(√1− 4Q∗(ε) +

√1− 4H∗(ε)

)(3.14)

je postacujıcı pro to, aby kazde regularnı rovnice (3.1) bylo oscilatoricke.

Nasledujıcı prıklad ukazuje diferencialnı rovnici, pro nız nenı splnena ani jedna z podmınek(3.8) a (3.9) s ε = 0. O jejı oscilatoricnosti lze vsak rozhodnout naprıklad pomocı Vety 3.8.To ukazuje jejı smysluplnost, prestoze ma na prvnı pohled mnohem slozitejsı formulaci.

Prıklad 3.11. Na intervalu [0,+∞[ uvazujeme rovnici s proporcionalnım zpozdenım

u′′(t) +cos(ln(t+ 1)) + sin(ln(t+ 1)) + 2

(t+ 1)2u

(t

4

)= 0.

Snadno muzeme ukazat, ze

Q(t; 0) = t

∫ +∞

t

τ(s)

sp(s)ds =

1

4t

∫ +∞

t

cos(ln(s+ 1)) + sin(ln(s+ 1)) + 2

(s+ 1)2ds

=t

4(t+ 1)(2 + cos(ln(t+ 1))) pro t > 0

a

H(t; 0) =1

t

∫ t

0

s2τ(s)

sp(s)ds =

1

4t

∫ t

0

s2

(s+ 1)2(cos(ln(s+ 1)) + sin(ln(s+ 1)) + 2)ds

=t2

4t(t+ 1)(2 + sin(ln(t+ 1)) + φ(t) pro t > 0,

kde limt→+∞ φ(t) = 0. Odtud plyne

Q∗(0) := lim inft→+∞

Q(t; 0) =1

4, Q∗(0) := lim sup

t→+∞Q(t; 0) =

3

4,

H∗(0) := lim inft→+∞

H(t; 0) =1

4, H∗(0) := lim sup

t→+∞H(t; 0) =

3

4.

(3.15)

Navıc lze prımym vypoctem overit, ze∫ +∞

0

sp(s)ds =

∫ +∞

0

scos(ln(s+ 1)) + sin(ln(s+ 1)) + 2

(s+ 1)2ds

= limt→+∞

(−t(cos(ln(t+ 1)) + 2)

t+ 1+ sin(ln(t+ 1)) + 2 ln(t+ 1)

)= +∞,

a proto

G∗ = lim inft→+∞

1

t

∫ t

0

sτ(s)p(s)ds = H∗(2, 0) =1

4≤ 1.

Vidıme, ze predpoklady (3.2) a (3.4) jsou splneny, avsak podmınky (3.8) a (3.9) s ε = 0nikoliv. Nelze proto pouzıt Dusledek 3.6 ani Dusledek 3.7 s ε = 0. S ohledem na (3.15) vsakvidıme, ze jsou splneny predpoklady Vety 3.8 s ε = 0, a vsechna regularnı resenı uvazovanerovnice jsou tedy oscilatoricka.

19

Prıklad 3.12. Na intervalu [0,+∞[ uvazujeme diferencialnı rovnici s proporcionalnım zpozdenım

u′′(t) +cos(ln(t+ 1)) + sin(ln(t+ 1)) + 3

(t+ 1)2u

(t

8

)= 0.

Analogicky jako v Prıkladu 3.11 dostaneme

Q(t; 0) =t

8(t+ 1)(3 + cos(ln(t+ 1))) pro t > 0

a

H(t; 0) =t2

8t(t+ 1)(3 + cos(ln(t+ 1)) + φ(t) pro t > 0,

kde limt→+∞ φ(t) = 0. Odtud plyne

Q∗(0) := lim inft→+∞

Q(t; 0) =1

4, Q∗(0) := lim sup

t→+∞Q(t; 0) =

1

2,

H∗(0) := lim inft→+∞

H(t; 0) =1

4, H∗(0) := lim sup

t→+∞H(t; 0) =

1

2.

(3.16)

Podobne jako v Prıkladu 3.11 muzeme ukazat, ze platı podmınky (3.2) a (3.4). Navıc jezrejme, ze jsou splneny predpoklady (3.10) a (3.12) s ε = 0, ale nerovnost (3.11) ani (3.13)s ε = 0 ne. Proto o oscilatoricnosti nelze rozhodnout pomocı Vety 3.8 ani Vety 3.9 s ε = 0.

Na druhou stranu, vzhledem k (3.16) vidıme, ze je splnena podmınka (3.14) Vety 3.10s ε = 0, a proto je kazde regularnı resenı uvazovane rovnice oscilatoricke.

3.2 Kriteria Myshkisova typu pro diferencialnı rovnice se zpozdenım

V teto casti ukazeme jiny typ oscilacnıch kriteriı, tzv. kriteria Myshkisova typu. Jejichcharakteristickym rysem je skutecnost, ze na rozdıl od kriteriı z predchozı casti, je nelzepouzıt pro obycejne diferencialnı rovnice, nebot’ pozadujı, aby zpozdenı v dane rovnici bylo

”dostatecne velke“. Jako ukazku vysledku obsahujıcı kriteria Myshkisova typu jsme vybrali

dve tvrzenı, ktera jsou dusledky vet prezentvanych v habilitacnı praci v kapitole 3.3.Budeme predpokladat, ze funkce zpozdenı τ je funkce spojita na intervalu [0,+∞[ . Tento

predpoklad nenı vsak nijak omezujıcı, nıze uvedena tvrzenı lze formulovat i za predpokladu,ze zpozdenı τ je funkce meritelna, bylo by vsak potreba vhodne definovat hornı a dolnı limitumeritelnych funkcı.

Pripomenme, ze je-li pro nejake ε ∈ [0, 1[ splneno bud’ Q∗(ε) >14

nebo H∗(ε) >14, kde

Q∗(ε) a H∗(ε) jsou definovany v (3.7), pak kazde regularnı resenı rovnice (3.1) je oscilatoricke.Proto se dale omezıme na prıpad, kdy pro kazde ε ∈ [0, 1[ platı

Q∗(ε) ≤1

4a H∗(ε) ≤

1

4. (3.17)

Tyto podmınky (dodatecne, avsak ne omezujıcı) nam dovolı formulovat tvrzenı, ktere zlepsujınektere vysledky R. Koplatadzeho publikovane v clanku [24].

K dukazu nasledujıcıch vet je opet zasadnı pouzitı apriornıho odhadu (3.5) neoscilato-rickych resenı rovnice (3.1). Na rozdıl od kriteriı Hilleho-Nehariho typu zde potrebujeme take

hornı odhad vyrazu u(τ(t))u(t)

.

20

Veta 3.13 ([46, Cor. 1]). Necht’ existuje ε ∈ [0, 1[ takove, ze je splnena podmınka (3.17).Necht’ dale existuje nerostoucı funkce σ : R+ → R+ splnujıcı

τ(t) ≤ σ(t) ≤ t pro t ≥ 0 (3.18)

a

lim supt→+∞

∫ t

σ(t)

τ(s)p(s)

(σ(s)

τ(s)

)εG∗ds > R0 − β∗r0, (3.19)

kde

r0 :=1

2

(1−

√1− 4Q∗(ε)

), R0 :=

1

2

(1 +

√1− 4H∗(ε)

), (3.20)

β∗ := lim inft→+∞

(σ(t)

t

)1−εF∗

a cısla G∗ a F∗ jsou zavedeny v (3.3) a (3.6). Pak je kazde regularnı resenı rovnice (3.1)oscilatoricke.

Veta 3.14 ([46, Cor. 2]). Necht’ existuje ε ∈ [0, 1[ takove, ze je splnena podmınka (3.17).Dale necht’

lim inft→+∞

t

τ(t)< +∞ (3.21)

a

lim inft→+∞

τ εG∗(t)

∫ t

τ(t)

τ 1−εG∗(s)p(s)ds > R0 − ξ∗r0, (3.22)

kde cısla r0 a R0 jsou dany vztahem (3.20) a

ξ∗ := lim inft→+∞

(τ(t)

t

)εG∗.


Jak jiz bylo zmıneno, obe vyse uvedena tvrzenı zlepsujı (za dodatecnych, avsak ne ome-zujıcıch predpokladu) vysledky R. Koplatadzeho. Pro srovnanı si dve tvrzenı plynoucı prımoz jeho vysledku naformulujeme.

Veta 3.15 ([24, Thm. 1]). Necht’ existuje nerostoucı funkce σ : R+ → R+ splnujıcı (3.18) a

lim supt→+∞

∫ t

σ(t)

τ(s)p(s)ds > 1. (3.23)

Pak je kazde regularnı resenı rovnice (3.1) je oscilatoricke.

Nenı tezke ukazat, ze vyraz R0 − β∗r0 ve Vete 3.13 je mensı nebo roven jedne, a protopodmınka (3.19) zlepsuje podmınku (3.23).

Veta 3.16 ([24, Thm. 2]). Necht’ platı nerovnost

lim inft→+∞

∫ t

τ(t)

τ(s)p(s)ds >1

e. (3.24)

Pak je kazde regularnı resenı rovnice (3.1) je oscilatoricke.

21

Konstanta 1e

ve Vete 3.16 je optimalnı a bez dodatecnych predpokladu ji nelze zlepsit.Protiprıklad potvrzujıcı tuto skutecnost je zkonstruovan v clanku [24] pro rovnici (3.1) s pro-porcionalnım zpozdenım. Za dodatecneho predpokladu (3.17) je vsak mozne tuto konstantuzlepsit, jak ukazuje nasledujıcı prıklad.

Prıklad 3.17. Na intervalu [0,+∞[ uvazujme diferencialnı rovnici s proporcionalnım zpozdenım

u′′(t) + min

{1

2,

1

2t2

}u

(t

2

)= 0. (3.25)

Zrejme

lim inft→+∞

∫ t

τ(t)

τ(s)p(s)ds = lim inft→+∞

∫ t

t2

s

2

1

2s2ds =

ln 2

4≯

1

e, (3.26)

a tedy podmınka (3.24) nenı splnena. Proto nelze v tomto prıpade o oscilatoricnosti resenırozhodnout pomocı Vety 3.16. Je vsak splnena podmınka (3.17) s ε = 0, nebot’

Q∗(0) = lim inft→+∞

t

∫ +∞

t

τ(s)

sp(s)ds = lim inf

t→+∞t

∫ +∞

t

s

2s

1

2s2ds =

1

4

a

H∗(0) = lim inft→+∞

1

t

∫ t

0

s2τ(s)

sp(s)ds = lim inf

t→+∞

1

t

∫ t

0

s2s

2s

1

2s2ds =

1

4.

Odtud dostaneme r0 = 12

a R0 = 12, kde cısla r0 a R0 jsou definovana vztahy (3.20). Vzhledem

k (3.26) navıc vidıme, ze je splnen predpoklad (3.22) pro ε = 0. Platı take podmınka (3.21),a proto je podle Vety 3.14 kazde regularnı resenı rovnice (3.25) oscilatoricke.

Poslednı cast teto kapitoly je venovana oscilacnım kriteriım pro dvoudimenzionalnı systemynelinearnıch diferencialnıch rovnic. Na intervalu [0,+∞[ uvazujme system

u′ = g(t)|v| 1α sgn v,

v′ = −p(t)|u|αsgnu,(3.27)

kde α > 0, p, g : [0,+∞[→ R jsou lokalne lebesgueovsky integrovatelne funkce a

g(t) ≥ 0 pro s. v. t ≥ 0.

System (3.27) zahrnuje jak system linearnı (jestlize α = 1), tak linearnı diferencialnı rovnicidruheho radu (v prıpade α = 1, g ≡ 1). Dalsı specialnı prıpady uvazovaneho systemu jsouuvedeny nıze.

Resenım systemu (3.27) na intervalu J ⊆ [0,+∞[ rozumıme dvojici (u, v) funkcı u, v : J →R, ktere jsou absolutne spojite na kazdem kompaktnım intervalu obsazenem v J a splnujırovnost (3.27) skoro vsude na J .

D. Mirzov dokazal v [36], ze vsechna neprodlouzitelna resenı systemu (3.27) jsou defi-novana na celem intervalu [0,+∞[. Proto, budeme-li mluvit o resenı systemu (3.27), budemepredpokladat, ze je definovano na [0,+∞[ .

Definice 3.18. Resenı (u, v) systemu (3.27) nazveme netrivialnı, jestlize u 6≡ 0 na kazdemokolı +∞. Rekneme, ze netrivialnı resenı (u, v) systemu (3.27) je oscilatoricke, jestlize mafunkce u posloupnost nulovych bodu jdoucıch do nekonecna a neoscilatoricke v opacnemprıpade.

22

Jelikoz predpokladame, ze funkce g je nezaporna, pro system (3.27) platı jista analogieSturmovy srovnavacı vety (viz [36, Theorem 1.1]). To zarucı, ze ma-li system (3.27) oscilato-ricke resenı, pak kazde jeho resenı je oscilatoricke.

Definice 3.19. Rekneme, ze system (3.27) je oscilatoricky, jestlize vsechna jeho resenı jsouoscilatoricka.

Oscilatoricnost diferencialnıch rovnic a jejich systemu je jednım z klasickych temat kvali-tativnı teorie ODR. Jako prıklady pracı, ktere obsahujı oscilacnı kriteria pro specialnı prıpadysystemu (3.27) a ktere muzeme srovnat s vysledky obsazenymi v habilitacnı praci, uved’menapr. [13, 15,17,25–27,35,39,47].

Mnoho zajımavych vysledku (viz literaturu v [6]) je znamo take pro tzv. pololinearnıdiferencialnı rovnici (rovnici s q-Laplacianem)(

r(t)|u′|q−1sgnu′)′

+ p(t)|u|q−1sgnu = 0, (3.28)

kde q > 1, p, r : [0,+∞[→ R jsou spojite funkce a navıc r je kladna. V clancıch [17, 25] jestudovana diferencialnı rovnice

u′′ +1

αp(t)|u|α|u′|1−αsgnu = 0, (3.29)

kde α ∈ ]0, 1] a p : R+ → R je lokalne integrovatelna funkce. Lze ukazat, ze obe rovnice (3.28)a (3.29) jsou specialnımi prıpady systemu (3.27).

Nıze budeme predpokladat, ze funkce g je nenı integrovatelna na intervalu [0,+∞[ , tj.∫ +∞

0

g(s)ds = +∞.

Tento predpoklad vsak nenı nijak omezujıcı. Analogicka tvrzenı je totiz mozne dokazat takev prıpade, ze funkce g je na intervalu [0,+∞[ integrovatelna. Navıc si vsimneme, ze za tohotopredpokladu lze system (3.27), v nemz g ≡ 1 a α = 1, prepsat jako linearnı rovnici druhehoradu.

Polozme

f(t) :=

∫ t

0

g(t)ds pro t ≥ 0

a

cα(t) :=α

fα(t)

∫ t

0

g(s)

f 1−α(s)

(∫ s

0

p(ξ)dξ

)ds pro t > 0.

Budeme predpokladat, ze existuje konecna limita funkce cα, tj.

limt→+∞

cα(t) =: c∗α ∈ R. (3.30)

Poznamenejme zde, ze je-lilimt→+∞

cα(t) = +∞,

nebo−∞ < lim inf

t→+∞cα(t) < lim sup

t→+∞cα(t),

je system (3.27) oscilatoricky, jak je dokazano v [5]. Jako ukazku tvrzenı o oscilatoricnostisystemu (3.27) uvedeme nasledujıcı vetu.

23

Veta 3.20. Necht’ platı (3.30) a

lim supt→+∞

fα(t)

ln f(t)(c∗α − cα(t)) >

(α

1 + α

)1+α

.

Pak je system (3.27) oscilatoricky.

Kriteria uvedena v habilitacnı praci v kapitole 3.4 zobecnujı vysledky prezentovane v pu-blikacıch [6, 13, 15, 17, 25–27, 35, 39, 47] zahrnujıcı linearnı diferencialnı rovnice druheho radu,dvoudimenzionalnı systemy linearnıch rovnic, ale take pololinearnı rovnice (3.28) a (3.29).Navıc se ve vyse zmınenych pracıch obvykle vyskytujı omezujıcı predpoklady na funkci p– naprıklad p(t) ≥ 0 nebo

∫ t0p(s)ds > 0 pro dostatecne velka t. Zadne takove omezujıcı

podmınky v nasich tvrzenıch nepotrebujeme.Uvedeme nynı prıklad systemu, pro ktery nelze pouzıt zadne z kriteriı z vyse zmınenych

publikacı, ale muzeme pro nej vyuzıt Vetu 3.20.

Prıklad 3.21. Uvazujme system (3.27), v nemz je α = 2 a

g(t) = 1, p(t) = t cos

(t2

2

)+

1

(t+ 1)3pro t ≥ 0.

Je zrejme, ze funkce p a integral∫ t

0

p(s)ds = sin

(t2

2

)− 1

2(t+ 1)2+

1

2pro t ≥ 0

menı znamenko v kazdem okolı +∞. Proto nelze pouzıt zadne z kriteriı z vyse uvedenychpublikacı. Prımym vypoctem lze overit, ze

c2(t) =2

t2

∫ t

0

s

(∫ s

0

(ξ cos

ξ2

2+

1

(ξ + 1)3

)dξ

)ds

=1

2− 2 cos t2

2

t2+

3

t2− ln(t+ 1)

t2− 1

t2(t+ 1)pro t > 0,

a proto ma funkce c2 konecnou limitu

c∗2 = limt→+∞

c2(t) =1

2.

Navıc platı

lim supt→+∞

t2

ln t(c∗2 − c2(t)) = lim sup

t→+∞

(2 cos t2

2− 3

ln t+

ln(t+ 1)

ln t+

1

(t+ 1) ln t

)= 1,

a tedy podle Vety 3.20 je uvazovany system oscilatoricky.

Na zaver teto kapitoly jeste poznamenejme, ze uvedena tvrzenı jsou v habilitacnı praciformulovana a dokazana v obecnejsı tvaru s pouzitım tzv.

”vahovych“ funkcı.

24

4 Okrajove ulohy pro funkcionalnı diferencialnı rovnice

V teto kapitole se budeme zabyvat okrajovymi ulohami pro funkcionalnı diferencialnı rov-nice prvnıho radu. Na intervalu [a, b] budeme uvazovat (obecne) nelinearnı FDR tvaru

u′(t) = F (u)(t), (4.1)

kde F : C([a, b];R) → L([a, b];R) je spojity (obecne) nelinearnı operator. Resenım rovnice(4.1) budeme rozumet absolutne spojitou funkci u : [a, b] → R splnujıcı rovnost (4.1) skorovsude na intervalu [a, b]. Spolu s rovnicı (4.1) budeme uvazovat nelokalnı okrajovou podmınku

h(u) = ϕ(u), (4.2)

kde h : C([a, b];R) → R je nenulovy linearnı ohraniceny funkcional a ϕ : C([a, b];R) → R jespojity (obecne) nelinearnı operator.

Nejprve se budeme venovat otazce jednoznacne resitelnosti linearnı ulohy, tedy prıpady,kdy rovnice (4.1) je linearnı a funkcional ϕ v podmınce (4.2) je roven konstante. Budeme tedynynı uvazovat linearnı okrajovou ulohu

u′(t) = `(u)(t) + q(t), (4.3)

u(a) + λu(b) = h0(u)− h1(u) + c, (4.4)

kde ` : C([a, b];R) → L([a, b];R) je linearnı ohraniceny operator, q ∈ L([a, b];R), λ ≥ 0,h0, h1 ∈ PFab jsou pozitivnı funkcionaly a c ∈ R. Vidıme, ze okrajova podmınka (4.4) je vetvaru nelokalnı perturbace dvoubodove podmınky antiperiodickeho typu. Poznamenejme, zeto nenı zadne omezenı, protoze kazdy funkcional h ∈ Fab muzeme napsat ve tvaru

h(v) := v(a) + λv(b)− h0(v) + h1(v) pro v ∈ C([a, b];R),

kde λ ≥ 0 a h0, h1 ∈ PFab.V habilitacnı praci lze najıt naprıklad nasledujıcı tvrzenı.

Veta 4.1 ([43, Thm. 2.1]). Necht’ h0(1) < 1 + λ+ h1(1) a ` = `0 − `1, kde `0, `1 ∈ Pab. Necht’

navıc

λ(λ− h0(1)

)≤(1 + h1(1)

)2a platı bud’

‖`0‖ < 1− h0(1)−(λ+ h1(1)

)2,

‖`1‖ < 1− λ− h1(1) + 2√

1− h0(1)− ‖`0‖ ,

nebo

‖`0‖ ≥ 1− h0(1)−(λ+ h1(1)

)2,

‖`0‖+(λ+ h1(1)

)‖`1‖ < 1 + λ− h0(1) + h1(1),(

1 + h1(1))‖`0‖+ λ‖`1‖ < 1 + λ− h0(1) + h1(1).

Pak ma uloha (4.3), (4.4) jedine resenı.

25

Jestlize polozıme λ = 0 v podmınce (4.4), dostaneme pro ulohu

u′(t) = `(u)(t) + q(t), u(a) = h0(u)− h1(u) + c (4.5)

nasledujıcı dusledek.

Dusledek 4.2 ([43, Cor. 2.2]). Necht’ h0(1) < 1+h1(1) a ` = `0− `1, kde `0, `1 ∈ Pab. Jestlizeje navıc splneno bud’

‖`0‖ < 1− h0(1)− h1(1)2,

‖`1‖ < 1− h1(1) + 2√

1− h0(1)− ‖`0‖, (4.6)

nebo

1− h0(1)− h1(1)2 ≤ ‖`0‖ < 1− h0(1)

1 + h1(1),

‖`0‖+ h1(1)‖`1‖ < 1− h0(1) + h1(1), (4.7)

pak ma uloha (4.5) jedine resenı.

Geometricky vyznam predpokladu kladenych na operatory `0 a `1 v Dusledku 4.2 je ilu-strovan na obr. 9(a). Jestlize bod (‖`0‖, ‖`1‖) lezı ve vyznacenych oblastech, pak je uloha

(a) linearnı uloha (4.5) (b) nelinearnı uloha (4.10), (4.11)

Obr. 9: Oblasti resitelnosti

x1 = 1− h0(1)− h1(1)2, x2 = 1− h0(1)

1 + h1(1)x3 = 1− h0(1),

y1 = 1 + h1(1), y2 = 1− h1(1) + 2√

1− h0(1), y3 = h1(1), y4 = −h1(1) + 2√

1− h0(1).

(4.5) jednoznacne resitelna, pricemz”svetlejsı“ oblast reprezentuje podmınky (4.6) a

”tmavsı“

oblast podmınky (4.7).

26

Dale se budeme zabyvat resitelnostı nelokalnı okrajove ulohy pro nelinearnı FDR. Naintervalu [a, b] budeme uvazovat diferencialnı rovnici

u′(t) = F (u)(t), (4.8)

kde F : C([a, b];R)→ L([a, b];R) je spojity (obecne nelinearnı) operator a okrajovou podmınku

h(u) = c, (4.9)

kde h : C([a, b];R)→ R je linearnı ohraniceny operator a c je realne cıslo.Metodu linearizace pouzıvanou v nelinearnıch ulohach jak v obecne teorii tak v aplikacıch

lze chapat i nasledujıcım zpusobem: jsme-li schopni porovnat nelinearnı ulohu s vhodnouulohou linearnı, pak nektere vlastnosti linearnı ulohy zajistı podobne vlastnosti ulohy ne-linearnı. Jelikoz k dukazu existencnıch vet pro nelinearnı ulohu pouzıvame v habilitacnı praciprave tuto myslenku, budeme uvazovat nelinearnı rovnici (4.8) ve tvaru

”nelinearne perturbo-

vane“ rovnice linearnı, tj. ve tvaru

u′(t) = `(u)(t) +G(u)(t), (4.10)

kde ` : C([a, b];R)→ L([a, b];R) je linearnı ohraniceny operator a G : C([a, b];R)→ L([a, b];R)splnuje vlastnosti

G : C([a, b];R)→ L([a, b];R) je spojity operator takovy, ze pro kazde r > 0 platı

sup{|G(v)(·)| : v ∈ C([a, b];R), ‖v‖C ≤ r

}∈ L([a, b];R+).

}(H)

Abychom mohli jednoduse porovnat predpoklady existencnıch vet pro nelinearnı ulohu (4.10),(4.9) s odpovıdajıcımi predpoklady v linearnım prıpade (tj. s Dusledkem 4.2), budeme uvazovatokrajovou podmınku (4.9) ve tvaru

u(a) = h0(u)− h1(u) + c, (4.11)

kde h0, h1 ∈ PFab. Potom je linearnı uloha (4.5) specialnım prıpadem nelinearnı ulohy (4.10),(4.11) – stacı polozit G(v)(t) := q(t) pro kazde v ∈ C([a, b];R). Z obecne teorie OU pro FDRje znamo nasledujıcı tvrzenı.

Veta 4.3. Necht’ je splnen predpoklad (H) a ` je silne ohraniceny linearnı operator takovy,ze linearnı uloha (4.5) je jednoznacne resitelna, a platı nerovnost

|G(v)(t)| ≤ g(t) pro s. v. t ∈ [a, b] a kazde v ∈ C([a, b];R), (4.12)

kde g ∈ L([a, b];R+). Pak ma uloha (4.10), (4.11) alespon jedno resenı.

Z teto vety plyne, ze jakmile nelinearita G v rovnici (4.10) vyhovuje nerovnosti (4.12),tj. je oboustranne ohranicena, pak predpoklady Dusledku 4.2 zarucı nejen jednoznacnouresitelnost linearnı ulohy (4.5), ale take resitelnost (ne nutne jednoznacnou) nelinearnı ulohy(4.10), (4.11). V kapitole 4.4 habilitacnı prace je predpoklad typu (4.12) zeslaben a jsounalezeny efektivnı podmınky zarucujıcı existenci, prıpadne jednoznacnost, resenı nelinearnıulohy za predpokladu jednostrannych ohranicenı nelinearnıch operatoru. Za techto slabsıchpredpokladu na nelinearity je treba zesılit predpoklady na linearnı cast rovnice, jak ukazujenaprıklad nasledujıcı tvrzenı, ktere je prımym dusledkem Vety 4.30 habilitacnı prace.

27

Veta 4.4. Necht’ je splnen predpoklad (H), ` = `0 − `1 s `0, `1 ∈ Pab a

G(v)(t) sgn v(t) ≤ g(t) pro s. v. t ∈ [a, b] a kazde v ∈ C([a, b];R), (4.13)

kde g ∈ L([a, b];R+). Jestlize navıc

h0(1) < 1, h1(1) < 1.

a bud’‖`0‖ < 1− h0(1)− h1(1)2,

‖`1‖ < −h1(1) + 2√

1− h0(1)− ‖`0‖,(4.14)

nebo‖`0‖ ≥ 1− h0(1)− h1(1)2,

‖`0‖+ h1(1)‖`1‖ < 1− h0(1),(4.15)

pak ma uloha (4.10), (4.11) alespon jedno resenı.

Pri silnejsım predpokladu na operator G nez (4.13) lze dokazat nejen existenci resenıokrajove ulohy (4.10), (4.11), ale i jeho jednoznacnost.

Veta 4.5 ([41, Thm. 2.3]). Necht’ jsou splneny predpoklady Vety 4.4 krome podmınky (4.13),mısto ktere predpokladejme, ze platı

[G(v)(t)−G(w)(t)] sgn[v(t)− w(t)] ≤ 0 pro s. v. t ∈ [a, b] a kazde v, w ∈ C([a, b];R).

Pak ma uloha (4.10), (4.11) jedine resenı.

Geometricky vyznam predpokladu kladenych na operatory `0 a `1 ve Vete 4.4 je ilu-strovan na obr. 9(b). Porovnejme nynı predpoklady na linearnı cast rovnice ve Vete 4.4 s od-povıdajıcımi podmınkami pro linearnı ulohu formulovanymi v Dusledku 4.2. Vidıme naprıklad,ze prava strana druhe podmınky v (4.14) je oproti (4.6) mensı o jednicku, podobne prava stranadruhe podmınky v (4.15), je oproti (4.7) mensı o hodnotu h1(1). Navıc se v nelinearnım prıpadeobjevujı silnejsı predpoklady na funkcionaly h0 a h1. V obr. 9(a) je vyznacena oblast jedno-znacne resitelnosti linearnı ulohy a v obr. 9(b) oblast resitelnosti ulohy nelinearnı. Vidıme, zev nelinearnım prıpade je oblast

”mensı“, tj. predpoklady jsou silnejsı.

28

5 Singularnı Dirichletova uloha

V teto kapitole budeme zkoumat otazku resitelnosti singularnı Dirichletovy ulohy prolinearnı diferencialnı rovnice druheho radu. Budeme tedy uvazovat okrajovou ulohu

u′′ = p(t)u+ q(t), (5.1)

u(a) = 0, u(b) = 0, (5.2)

kde p, q ∈ Lloc(]a, b[). Resenım rovnice (5.1) budeme rozumet funkci u ∈ AC ′loc(]a, b[), ktera jisplnuje skoro vsude na intervalu ]a, b[ . Resenı rovnice (5.1) splnujıcı podmınku (5.2) nazvemeresenım ulohy (5.1), (5.2).

Bude nas zajımat zejmena prıpad, kdy funkce p a q nejsou integrovatelne na uzavrenemintervalu [a, b]. V takovem prıpade se rovnice (5.1), stejne jako uloha (5.1), (5.2) nazyvasingularnı. Doplnme jeste, ze jsou-li p, q ∈ L([a, b]), rovnice (5.1) i uloha (5.1), (5.2) jsouobvykle nazyvany regularnı. Teorie regularnıch Dirichletovych uloh je jiz dobre znama. Jednaz oblastı teto teorie, ktera se nazyva Sturmova-Liouvillova teorie, se sklada z nasledujıcıch trıcastı: Fredholmovy vety, korektnost ulohy a problematika vlastnıch cısel. Analogie Sturmovy-Liouvillovy teorie pro singularnı ulohy nenı vsak zdaleka kompletnı. Je znamo, ze podmınka∫ b

a

(s− a)(b− s)|p(s)|ds < +∞ (5.3)

zarucı platnost Fredholmovy alternativy pro ulohu (5.1), (5.2). To znamena, ze za predpokladu(5.3), je uloha (5.1), (5.2) jednoznacne resitelna pro kazdou funkci q splnujıcı∫ b

a

(s− a)(b− s)|q(s)|ds < +∞ (5.4)

prave tehdy, kdyz homogennı rovnice

u′′ = p(t)u (5.10)

nema netrivialnı resenı splnujıcı podmınku (5.2). Toto tvrzenı hraje dulezitou roli v teoriisingularnıch okrajovych uloh. Dovolı totiz otazku jednoznacne resitelnosti nehomogennı ulohy(5.1), (5.2) prevest na problem hledanı postacujıcı podmınky pro koeficient p zarucujıcı, zeodpovıdajıcı homogennı uloha (5.10), (5.2) bude mıt pouze nulove resenı. Toto tvrzenı vsaknelze pouzıt pro mnoho zajımavych i relativne jednoduchych rovnic jako je naprıklad rovniceEulerova. Uvazujme Dirichletovu ulohu

u′′ =α

(t− a)2u+ β; u(a) = 0, u(b) = 0, (5.5)

kde α > 0 a β ∈ R jsou konstanty. Prımym vypoctem lze ukazat, ze uloha (5.5) ma jedineresenı

u(t) = −γ(b)(b− a)3−√1+4α2 (t− a)

1+√1+4α2 + γ(t)(t− a)2 pro t ∈ [a, b],

kde

γ(t) :=

{β

2−α je-li α 6= 2,β3

ln(t− a) pro α = 2.

29

Odtud plyne, ze prıslusna homogennı uloha

u′′ =α

(t− a)2u; u(a) = 0, u(b) = 0,

ma pouze nulove resenı a nehomogennı uloha (5.5) je jednoznacne resitelna. Vsimneme si, zev tomto prıpade je p(t) := α

(t−a)2 a podmınka (5.3) tedy nenı splnena.

Tento prıklad ukazuje, ze chceme-li pouzıt k dukazu jednoznacne resitelnosti ulohy (5.5)Fredholmovu alternativu, predpoklad (5.3) je prılis

”silny“ (omezujıcı). V kapitole 5.2 habi-

litacnı prace je dokazano, ze tento predpoklad lze zeslabit na podmınku∫ b

a

(s− a)(b− s)[p(s)]−ds < +∞, (5.6)

ktera je zrejme pro Eulerovu rovnici s α > 0 splnena.Fredholmovu alternativu se zeslabenym predpokladem na koeficient p lze formulovat na-

sledovne.

Veta 5.1 ([29, Thm. 1.1]). Necht’ je splnena podmınka (5.6). Pak je uloha (5.1), (5.2) jedno-znacne resitelna pro kazdou funkci q vyhovujıcı podmınce (5.4) prave tehdy, kdyz odpovıdajıcıhomogennı uloha (5.10), (5.2) nema netrivialnı resenı.

Ukazeme nynı, ze podmınka (5.4) kladena na nehomogennı clen q ve Vete 5.1 je podstatnaa nemuze byt vynechana. Polozıme p ≡ 0 a zvolıme nezapornou funkci q ∈ Lloc(]a, b[) splnujıcı∫ a+b

2

a

(s− a)q(s)ds = +∞. (5.7)

Pak zrejme koeficient p vyhovuje podmınce (5.6) a homogennı uloha (5.10), (5.2) ma pouzetrivialnı resenı. Lehce lze ukazat, ze obecne resenı linearnı rovnice (5.1) ma tvar

u(t) = α + βt+

∫ a+b2

t

(s− a)q(s)ds− (t− a)

∫ a+b2

t

q(s)ds pro t ∈ ]a, b[ .

Dale pro a < t < x < a+b2

zrejme platı

u(t) ≥∫ a+b

2

x

(s− a)q(s)ds− (t− a)

∫ a+b2

x

q(s)ds+ α + βt.

Odtud dostaneme odhad

lim inft→a+

u(t) ≥ α + βa+

∫ a+b2

x

(s− a)q(s)ds.

Z poslednı nerovnosti a predpokladu (5.7) plyne, ze limt→a+ u(t) = +∞ a tedy uloha (5.1),(5.2) nema resenı.

Vrat’me se jeste k uloze (5.5) – Dirichletove uloze pro Eulerovou rovnici. Tato uloha jespecialnım prıpadem ulohy (5.1), (5.2) v nız p(t) := α

(t−a)2 a q(t) := β. Jestlize predpokladame

α > 0, platı [p]− ≡ 0 a predpoklad (5.6) Vety 5.1 je splnen trivialne. Predpoklad, (5.3) obecneznamy z teorie singularnıch uloh zarucujıcı platnost Fredholmovy alternativy, vsak splnennenı.

Nasledujıcı tvrzenı ukazuje, ze homogennı uloha (5.10), (5.2) nemuze mıt”prılis mnoho“

netrivialnıch resenı.

30

Veta 5.2 ([30, Thm. 1.2]). Necht’ platı nerovnost (5.6). Pak homogennı uloha (5.10), (5.2)ma nejvyse jedno (az na multiplikativnı konstantu) netrivialnı resenı.

Nynı naformulujeme analogii tretı Freholmovy vety.

Veta 5.3 ([30, Thm. 1.3]). Necht’ je splnena podmınka (5.6) a homogennı problem (5.10),(5.2) ma netrivialnı resenı u0. Pak uloha (5.1), (5.2), kde funkce q splnuje (5.4), je resitelnaprave tehdy, kdyz platı ∫ b

a

q(s)u0(s)ds = 0. (5.8)

Poznamenejme, ze za predpokladu (5.6) je soucin qu0 funkce integrovatelna na uzavrenemintervalu [a, b], tj. podmınka (5.8) ve Vete 5.2 je smysluplna. Muzeme totiz ukazat, ze je-lisplnena podmınka (5.6), pro netrivialnı resenı u0 ulohy (5.10), (5.2) existuje cıslo r0 > 0 takove,ze

|u0(t)| ≤ r0(t− a)(b− t) pro t ∈ ]a, b[ .

Integrovatelnost soucinu qu0 na [a, b] pak plyne z predpokladu (5.4).Poslednı cast teto kapitoly je venovana korektnosti ulohy (5.1), (5.2). Spolu s touto ulohou

budeme nynı uvazovat posloupnost rovnic

u′′ = pn(t)u+ qn(t), (5.1n)

kde pn, qn ∈ Lloc(]a, b[) pro n ∈ N.Obecne rıkame, ze uloha (5.1), (5.2) je korektnı, jestlize z jednoznacne resitelnosti ulohy

(5.1), (5.2) a z konvergence funkcı pn a qn k funkcım p a q plyne, ze ulohy (5.1n), (5.2) jsoujednoznacne resitelne pro vsechna n ∈ N dostatecne velka a jejich resenı un konvergujı (v jistemsmyslu) k resenı ulohy (5.1), (5.2).

Jestlize jsou funkce p, q, pn a qn integrovatelne na uzavrenem intervalu [a, b], pak korektnostulohy (5.1), (5.2) plyne z obecne teorie linearnıch okrajovych uloh (viz napr. [18, Theorem 1.2]).Nas zajıma prıpad, kdy tyto funkce na intervalu [a, b] integrovatelne nejsou (tj. majı singularityv bodech t = a nebo t = b).

Ukazali jsme, ze podmınka (5.6) zarucı platnost Fredholmovy alternativy pro ulohu (5.1),(5.2) (viz Vetu 5.1). Je proto prirozene klast analogicke predpoklady take na funkce pn a qn,tj. pozadovat, aby ∫ b

a

(s− a)(b− s)[pn(s)]−ds < +∞ pro kazde n ∈ N (5.9)

a ∫ b

a

(s− a)(b− s)|qn(s)|ds < +∞ pro kazde n ∈ N. (5.10)

Pro jednodussı formulaci tvrzenı o korektnosti zavedeme nasledujıcı definice.

Definice 5.4. Rekneme, ze je splnena podmınka (P ), jestlize platı (5.6), (5.9),

limn→+∞

∫ t

a+b2

pn(s)ds =

∫ t

a+b2

p(s)ds stejnomerne na ]a, b[ 2

2To znamena stejnomerne na kazdem uzavrenem podintervalu intervalu ]a, b[ .

31

a bud’ existuje funkce p∗ ∈ Lloc(]a, b[) takova, ze

[pn(t)]− ≤ p∗(t) pro s. v. t ∈ ]a, b[ , n ∈ N a

∫ b

a

(s− a)(b− s)p∗(s)ds < +∞,

nebo

limn→+∞

∫ b

a

(s− a)(b− s)[pn(s) + [p(s)]−

]−ds = 0.

Definice 5.5. Rekneme, ze je splnena podmınka (Q), jestlize platı (5.4), (5.10) a bud’

limn→+∞

∫ b

a

(s− a)(b− s)|qn(s)− q(s)|ds = 0,

nebo

limn→+∞

∫ t

a+b2

qn(s)ds =

∫ t

a+b2

q(s)ds stejnomerne na ]a, b[ 2

a existuje funkce q∗ ∈ Lloc(]a, b[) takova, ze

|qn(t)| ≤ q∗(t) pro t ∈ ]a, b[ , n ∈ N a

∫ b

a

(s− a)(b− s)q∗(s)ds < +∞.

Nynı jiz muzeme naformulovat tvrzenı o korektnosti ulohy (5.1), (5.2).

Veta 5.6 ([31, Thm. 1.2]). Necht’ ma homogennı uloha (5.10), (5.2) pouze trivialnı resenıa jsou splneny podmınky (P )a (Q). Pak existuje cıslo n0 ∈ N takove, ze pro kazde n > n0 mauloha (5.1n), (5.2) jedine resenı un a platı

limn→+∞

un(t) = u(t) stejnomerne na [a, b]

alim

n→+∞u′n(t) = u′(t) stejnomerne na ]a, b[ 2 ,

kde u je jedine resenı ulohy (5.1), (5.2).

Poznamenejme jeste, ze predchozımu tvrzenı se take rıka veta o spojite zavislosti resenına pocatecnıch parametrech.

32

6 Souhrn a dalsı vyzkum

Habilitacnı prace se zabyva jistymi ulohami z kvalitativnı teorie obycejnych a funkcionalnıchdiferencialnıch rovnic. Po strucnem uvodu je kapitola 2 habilitacnı prace venovana motivacnımprıkladum pro studium uvazovanych uloh. Hlavnı vysledky jsou prezentovany v nasledujıcıchtrech kapitolach.

V kapitole 3 studujeme asymptoticke vlastnosti resenı linearnı diferencialnı rovnice druhehoradu se zpozdenım a dvoudimenzionalnıho nelinearnıho systemu. Pro rovnice se zpozdenımuvadıme dva typy oscilacnıch kriteriı. Jestlize je hodnota zpozdenı τ(t)

”dostatecne blızko“

k t, dostavame kriteria, ktera odpovıdajı dobre znamym vysledkum z kvalitativnı teorie ODR(specialne kriteriım Hilleho a Nehariho z clanku [13, 39]). Druhy typ oscilacnıch kriteriı na-opak pozaduje, aby hodnota zpozdenı τ(t) byla

”dostatecne daleko“ od t, a proto je zrejme

nelze pouzıt pro ODR, v nichz je τ(t) = t pro kazde t. Takovym kriteriım rıkame kriteriaMyshkisova typu. Prezentovana tvrzenı zobecnujı a zlepsujı (za dodatecnych predpokladu)vysledky uvedene v [24]. V poslednı casti kapitoly 3 zkoumame oscilatoricke vlastnosti resenınelinearnıho systemu ODR, pricemz zıskana kriteria zobecnujı naprıklad vysledky prezento-vane v publikacıch [6, 13,15,17,25,39].

Kapitola 4 se zabyva okrajovymi ulohami pro FDR. Jsou nalezeny efektivnı podmınky proresitelnost a jednoznacnou resitelnost jak linearnıch, tak nelinearnıch uloh. Okrajove podmınkyjsou uvazovany v obecnem nelokalnım tvaru a zahrnujı pocatecnı, periodicke i antiperiodickeprıpady. Obecne vysledky jsou aplikovany na rovnice s deformovanymi argumenty.

V kapitole 5 jsou formulovana tvrzenı souvisejıcı s Fredholmovou teoriı a korektnostılinearnı singularnı Dirichletovy ulohy. Jsou nalezeny podmınky, za kterych zustava v platnostiprvnı a tretı Fredholmova veta. Dale jsou uvedeny podmınky zarucujıcı korektnost studovaneulohy, jinymi slovy spojitou zavislost resenı na pocatecnıch parametrech.

Jednım z prirozenych a zajımavych smeru dalsıho vyzkumu je studium asymptotickychvlastnostı resenı nelinearnıch diferencialnıch rovnic se zpozdenım. Z matematickych modeluruznych procesu (napr. kontrola rızenı, vibrace pri obrabenı, fenomen dedicnosti ve fyzice,atd.) totiz vyplyva, ze by bylo vhodne vysetrovat asymptoticke vlastnosti resenı trıclennenelinearnı diferencialnı rovnice

u′′(t) + u′(t)q(t) + F (u(t), u(τ(t)) = 0.

Je take mozne pokracovat ve studiu singularnı Dirichletovy ulohy. V teorii singularnıch ulohpro ODR zustava nevyresenych mnoho zajımavych problemu, naprıklad Sturmova-Liouvillovateorie pro Dirichletovu ulohu pro Besselovu rovnici. Pri studiu nelinearnıch singularnıch ulohje obvykle nejprve vysetrovat odpovıdajıcı ulohu linearnı. Linearnı teorie zahrnuje zejmenaFredholmovy alternativy, korektnost ulohy a problem vlastnıch cısel. Prvnı dve casti jsoupro ulohu (5.1), (5.2) zkoumany v kapitole 5 habilitacnı prace, je tedy prirozene pokracovatve studiu problematiky vlastnıch cısel. Zıskane vysledky bude mozne pouzıt pri studiu ne-linearnıch singularnıch uloh, ktere se objevujı v aplikacıch (viz napr. model pohybu dislokacıprezentovany v kapitole 2).

33

Literatura pouzita v habilitacnı praci

[1] N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, L. F. Rakhmatulina: Introduction to the theory of functionaldifferential equations, Nauka, Moscow, 1991.

[2] R. Bellman: Stability theory of differential equations, McGraw-Hill Book Company, Inc., NewYork-Toronto-London, 1953.

[3] E. Bravyi: A note on the Fredholm property of boundary value problems for linear functionaldifferential equations, Mem. Differential Equations Math. Phys. 20 (2000), 133–135.

[4] C. De Coster, P. Habets: Two-point boundary value problems: lower and upper solutions, Mathe-matics in Science and Engineering, vol. 205, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006.

[5] M. Dosoudilova, A. Lomtatidze, J. Sremr: Oscillatory properties of solutions to certain two-dimensional systems of non-linear ordinary differential equations, Nonlinear Analysis 120(2015), 57–75.

[6] O. Dosly, P. Rehak: Half-linear Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, vol.202, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005.

[7] T. Erneux: Applied Delay Differential Equations, Springer, New York, 2009.

[8] R. Hakl, A. Lomtatidze, B. Puza: On nonnegative solutions of first order scalar functionaldifferential equations, Mem. Differential Equations Math. Phys. 23 (2001), 51–84.

[9] R. Hakl, A. Lomtatidze, I. P. Stavroulakis: On a boundary value problem for scalar functionaldifferential equations, Abstr. Appl. Anal. 2004 (2004), No. 1, 45–67.

[10] R. Hakl, A. Lomtatidze, J. Sremr: Some boundary value problems for first order scalar functionaldifferential equations, Folia Facult. Scien. Natur. Univ. Masar. Brunensis, Brno, 2002.

[11] J. Hale: Theory of functional differential equations, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1977.

[12] P. Hartman: Ordinary differential equations, John Wiley, New York, 1964.

[13] E. Hille: Non-oscillation theorems, Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), No. 2, 234–252.

[14] G. E. Hutchinson: Circular causal systems in ecology, Ann. New York Acad. Sci. 50 (1948),221–246.

[15] T. Chantladze, N. Kandelaki, A. Lomtatidze: Oscillation and nonoscillation criteria for a secondorder linear equation, Georgian Math. J. 6 (1999), 401–414.

[16] T. Chanturia, I. Kiguradze: Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary di-fferential equations, Mathematics and its Applications (Soviet Series), 89, Kluwer AcademicPublishers Group, Dordrecht, 1993.

[17] N. Kandelaki, A. Lomtatidze, D. Ugulava: On oscillation and nonoscillation of a second orderhalf-linear equation, Georgian Math. J. 7 (2000, No. 2), 329–346.

[18] I. Kiguradze: Boundary value problems for systems of ordinary differential equations, J. Sov.Math. 43 (1988), No. 2, 2259–2339.

[19] I. T. Kiguradze, A. G. Lomtatidze: On certain boundary-value problems for second-order linearordinary differential equations with singularities, J. Math. Anal. Appl. 101 (1984), No. 2, 325–347.

[20] I. Kiguradze, B. Puza: On boundary value problems for functional differential equations, Mem.Differential Equations Math. Phys. 12 (1997), 106–113.

[21] I. Kiguradze, B. Puza: Boundary value problems for systems of linear functional differentialequations, Folia Facul. Sci. Natur. Univ. Masar. Brun., Mathematica 12, Brno: Masaryk Univer-sity, 2003.

34

[22] I. T. Kiguradze, B. L. Shekhter: Singular boundary value problems for second order ordinarydifferential equations, J. Sov. Math. 43 (1988), No. 2, 2340–2417.

[23] V. Kolmanovskii, A. Myshkis: Introduction to the theory and applications of functional differen-tial equations, Kluwer Academic Publishers, 1999.

[24] R. Koplatadze: Oscillation criteria for solutions of second order differential inequalities andequations with retarded argument, Tr. Inst. Prikl. Mat. Im. I. N. Vekua 17 (1986), 104–121.

[25] A. Lomtatidze: Oscillation and nonoscillation of Emden-Fowler type equation of second-order,Arch. Math. (Brno) 32 (1996), No. 3, 181–193.

[26] A. Lomtatidze: Oscillation and nonoscillation criteria for second-order linear differential equati-ons, Georgian Math. J. 4 (1997), No. 2, 129–138.

[27] A. Lomtatidze, N. Partsvania: Oscillation and nonoscillation criteria for two-dimensional systemof first order linear ordinary differential equations, Georgian Math. J. 6 (1999), No. 3, 285–298.

[28] A. Lomtatidze, Z. Oplustil: On nonnegative solutions of a certain boundary value problem forfirst order linear functional differential equations, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., Proc.7th Coll. QTDE 2004 (2004), No. 16, 1–21.

[29] A. Lomtatidze, Z. Oplustil: Fredholm alternative for the second-order singular Dirichlet problem,Bound. Value Probl. 2014 (2014), No. 13, 1-15.

[30] A. Lomtatidze, Z. Oplustil: Fredholm’s third theorem for second-order singular Dirichlet problem,Bound. Value Probl. 2014 (2014), No. 59, 1–12.

[31] A. Lomtatidze, Z. Oplustil: Well-posedness of the second-order linear singular Dirichlet problem,Georgian Math. J. 22 (2015), No. 3, 409–419.

[32] A. Lomtatidze, Z. Oplustil, J. Sremr: On a nonlocal boundary value problem for first order linearfunctional differential equations, Mem. Differential Equations Math. Phys. 47 (2007), 69–85.

[33] A. Lomtatidze, Z. Oplustil, J. Sremr: Solvability conditions for a nonlocal boundary value problemfor linear functional differential equations, Fasc. Math. 41 (2009), 81–96.

[34] A. Lomtatidze, Z. Oplustil, J. Sremr: Nonpositive solutions of one functional differential inequa-lity, Nonlinear Oscil. 12 (2009), 474–509.

[35] J. D. Mirzov: Asymptotic properties of solutions of systems of nonlinear nonautonomous ordi-nary differential equations, Folia Facul. Sci. Natur. Univ. Masar. Brun., Mathematica 14, Brno:Masaryk University, 2004.

[36] J. D. Mirzov: On some analogs of Sturm’s and Kneser’s theorems for nonlinear systems, J.Math. Anal. Appl. 53 (1976), No. 2, 418–425.

[37] E. Muller-Pfeiffer: Oscillation criteria of Nehari-type for Schrodinger equation, Math. Nachr. 96(1980), 185–194.

[38] A. D. Myshkis: Linear differential equations with retarded argument, Izdat. Nauka, Moscow,1972 (in Russian).

[39] Z. Nehari: Oscillation criteria for second-order linear differential equations, Trans. Amer. Math.Soc. 85 (1957), No. 2, 428–445.

[40] Z. Oplustil: New solvability conditions for a non-local boundary value problem for nonlinearfunctional differential equations, Nonlinear Oscillations 11 (2008), No. 3, 384–404.

[41] Z. Oplustil: Solvability of a linear non-local boundary value problem for nonlinear functionaldifferential equations, Tatra Mountains Mathematical Publications 43 (2009), 189–200.

[42] Z. Oplustil: Solvability of a nonlocal boundary value problem for linear functional differentialequations, Advances in Difference Equations 2013 (2013), 1–19.

35

[43] Z. Oplustil, J. Sremr: On a non-local boundary value problem for linear functional differentialequations, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2009 (2009), No. 36, 1–13.

[44] Z. Oplustil, J. Sremr: Some oscillation criteria for the second-order linear delay differentialequation, Mathematica Bohemica 136 (2011), No. 2, 195–204.

[45] Z. Oplustil, J. Sremr: On oscillations of solutions to second-order linear delay differential equati-ons, Georgian Math. J. 20 (2013), No. 1, 65–94.

[46] Z. Oplustil, J. Sremr: Myshkis type oscillation criteria for second-order linear delay differentialequations, Monatshefte fur Mathematik 178 (2015), No. 1, 143–161.

[47] L. Polak: Oscillation and nonoscillation criteria for two–dimensional systems of linear ordinarydifferential equations, Georgian Math. J. 11 (2004), No. 1, 137–154.

[48] K. Pyragas: Control of chaos vie extended delay feedback, Phys. Lett. 206 (1996), 323–330.

[49] S. Schwabik, M. Tvrdy, O. Vejvoda: Differential and integral equations: boundary value problemsand adjoints, Academia, Praha, 1979.

[50] P. Torres: Mathematical Models with Singularities, Atlantis Press, Amsterdam-Paris, 2015.

[51] A. Wintner: On the non-existence of conjugate points, Amer. J. Math. 73 (1951), No. 2, 368–380.

36

Pouzıvane oznacenı

1. N je mnozina prirozenych cısel.

2. R je mnozina realnych cısel.

3. R+ je mnozina nezapornych realnych cısel.

4. Pro kazde x ∈ R polozıme

[x]− =1

2(|x| − x), [x]+ =

1

2(|x|+ x).

5. C([a, b];R) je Banachuv prostor spojitych funkcı u : [a, b]→ R s normou

‖u‖C = max {|u(t)| : t ∈ [a, b]}.

6. C([a, b];R+) ={u ∈ C([a, b];R) : u(t) ≥ 0 pro t ∈ [a, b]

}.

7. AC([a, b];R) je mnozina absolutne spojitych funkcı u : [a, b]→ R.

8. AC ′loc(I) je mnozina funkcı u : I → R, ktere jsou absolutne spojite spolu s jejich prvnıderivacı na kazdem kompaktnım podintervalu intervalu I.

9. L([a, b];R) je Banachuv prostor Lebesguevsky integrovatelnych funkcı f : [a, b]→ R s nor-mou

‖f‖L =

∫ b

a|f(s)| ds.

10. Lloc(I) je mnozina funkcı f : I → R, ktere jsou Lebesguevsky integrovatelne na kazdemkompaktnım podintervalu intervalu I.

11. L([a, b];R+) ={f ∈ L([a, b];R) : f(t) ≥ 0 pro skoro vsechna t ∈ [a, b]

}.

12. Lab je mnozina linearnıch ohranicenych operatoru ` : C([a, b];R)→ L([a, b];R).

13. Fab je mnozina linearnıch ohranicenych funkcionalu h : C([a, b];R)→ R.

14. K([a, b] × A;B), kde A ⊆ R a B ⊆ R, je mnozina funkcı f : [a, b] × A → B splnujıcıchCaratheodoryho podmınky, tj.

(a) funkce f(·, x) : [a, b]→ B je meritelna pro vsechna x ∈ A,

(b) funkce f(t, ·) : A→ B je spojita pro skoro vsechna t ∈ [a, b],

(c) pro kazde r > 0 existuje funkce qr ∈ L([a, b];R+) takova, ze

|f(t, x)| ≤ qr(t) pro skoro vsechna t ∈ [a, b] a kazde x ∈ A, |x| ≤ r.

15. Operator ` ∈ Lab nazveme pozitivnı, jestlize platı `(u)(t) ≥ 0 skoro vsude na [a, b] prokazdou funkci u ∈ C([a, b];R+). Mnozinu pozitivnıch operatoru znacıme Pab.

16. Funkcional h ∈ Fab nazveme pozitivnı, jestlize h(u) ≥ 0 pro kazdou funkci u ∈ C([a, b];R+).Mnozinu pozitivnıch funkcionalu znacıme PFab.

37

Abstrakt

Habilitacnı prace se zabyva jistymi ulohami z kvalitativnı teorie obycejnych a funkcionalnıchdiferencialnıch rovnic. Jsou diskutovana tri zakladnı temata: asymptoticke vlastnosti zpozdenychdiferencialnıch rovnic druheho radu, okrajove ulohy pro funkcionalnı diferencialnı rovniceprvnıho radu a singularnı Dirichletova uloha pro linearnı diferencialnı rovnice druheho radu.

38

Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D. - Nakladatelství VUTIUM · KLÍČOVÁ SLOVA Funkcionální...

Documents

Transcript of Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D. - Nakladatelství VUTIUM · KLÍČOVÁ SLOVA Funkcionální...