Un i v e rs i da d de N a va r ra E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r o s Nafar roak o U n i b e r t s i ta te a I n g e n i a r i e n G o i M a i l a k o E s k o l a

MECÁNICA DE FLUIDOSTRANSPARENCIAS DE CLASE

Alejandro Rivas NietoDr. Ingeniero Industrial

CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA Paseo de Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. Tel.: 943 219 877 Fax: 943 311 442 www.tecnun.es arivas@tecnun.es

© 2008 Alejandro Rivas Nieto

ISBN

Reservado todos los derechos.Queda prohibida la reproducción total o parcial sin

autorización previa. Primera Edición: 2008

Impreso en EspañaIlustraciones: © Alejandro Rivas Nieto

Imprime: Unicopia,Pº de Manuel Lardizabal, 1320018 – San Sebastián (Gipuzkoa-España)

1 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 3

1.1 Prólogo 4

1.2 La Hipótesis del Continuo 6

1.2.1 Partícula Material 9

1.2.2 Sistema Material 10

1.3 Definición de Fluido 11

1.4 Enfoques Lagrangiano y Euleriano 15

1.4.1 Enfoque Lagrangiano 16

1.4.2 Enfoque Euleriano 21

1.4.3 Ejemplo Final 24

1.5 Leyes Fundamentales 27

1.5.1 Consideraciones Finales 28

2. MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS 30

2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental 31

2.2 Magnitudes Cinemáticas 39

2.2.1 Campo de Velocidades 41

2.2.2 Velocidades de Deformación y Giro 45

2.3 Magnitudes Integrales 55

2.3.1 Flujos Convectivos a través de la Superficie de Control 58

2.3.2 Magnitudes Promedio 64

2.4 Teorema del Transporte de Reynolds y Derivada Material 66

2.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds 67

2.4.2 Derivada Material 70

2.5 Magnitudes Dinámicas 74

2.5.1. Motivación 75

2.5.2. Fuerzas que actúan sobre un fluido 76

2.5.3 Fuerzas Volumétricas 78

2.5.4 Fuerzas de Superficie 81

2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano 89

2.6 Magnitudes Termodinámicas 97

3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS

102

3.1 Métodos Integral y Diferencial 103

3.2 Ley de Conservación de la Masa 105

3.2.1 Ecuación Integral de la Continuidad 106

3.2.2 Ecuación Diferencial de la Continuidad 109

3.3 Segunda Ley de Newton 111

3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento 112

2.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento 118

3.4 1a Ley de la Termodinámica 126

3.4.1 Ecuación Integral de la Energía 127

3.4.2 Ecuación de Bernoulli 130

3.5 Regímenes de Flujo 133

3.5.1 Introducción 134

3.5.2 El Régimen Laminar 140

3.5.3 El Régimen Turbulento 141

5 INSTALACIONES HIDRÁULICAS 147

5.1 Generalidades 148

5.1.1 Definición y Modelado de una instalación hidráulica 149

5.1.2 Elementos de una instalación hidráulica 150

5.2 Pérdidas de carga en tuberías 154

5.2.1 Ecuación de Darcy-Weisbach 155

5.2.2 Secciones no circulares. Diámetro Hidráulico 160

5.2.3 Problemas Básicos en tuberías 163

5.3 Válvulas 166

5.3.1 Funciones y Tipos 167

5.3.2 Pérdidas de carga en válvulas 169

5.4 Modelo Matemático de una instalación hidráulica 171

5.4.1 Ecuaciones Fundamentales 172

5.4.2 Condiciones de Contorno 173

5.4.3 Resolución 174

5.4.4 Formulación por Caudales 175

5.4.5 Formulación por Alturas 177

3.1 METODOS INTEGRAL Y DIFERENCIAL

Las Ecuaciones Fundamentales son la formulación matemática de las Leyes Fundamentaleslas cuales rigen el movimiento de un fluido.

Conservación de la Masa

2ª Ley de Newton

1ª Ley de la Termodinámica

Es posible escribir cada ley:

Para una partícula que en un instante está ocupando una posición en el V.C. (Método Diferencial)

Incógnitas: Magnitudes de las partículas (Flujo incompresible v(x,t) y p(x,t).

Para el sistema que en un instante está ocupando el V.C. (Método Integral)

Incógnitas: Magnitudes Integrales (ie: Caudales,Flujos,Fuerzas y Magnitudes Promedio).

3.2 LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante.

DmΠ = 0Dt

m& e

1

m& s

2

Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control:

DmΠDt

= dmVC

dt+ m&

SC

Uniendo las dos expresiones se obtiene la EcuaciónIntegral de la Continuidad

m& s 1

dmVC

dt

dmVC

+ m& SC

= 0& &

+ ∑ms − ∑me = 0dt s e

Ecuación Integral de la Continuidad

s e

Utilizando la densi dad promedio:

dmVC + ∑(ρˆ ⋅q )s − ∑(ρˆ ⋅q )e = 0dt s e

En el caso de flujo incompresible (ρ=cte) entonces mVC=ρ·VVC la ecuación queda como:

dVVC + ∑qs − ∑qe = 0dt s e

dVVC

dt+ ∑ (v

s

⋅ A ) − ∑ (ve

⋅ A ) = 0

Caso particular:

Volumen de Control Fijo e Indeformable VVC≠f(t). Flujo compresible estacionario

ρ=ρ(x) oincompresible ρ=cte. (m

VC≠F(t) y dm

VC/dt=0).∑m&

s − ∑m& e = 0

s e

Para flujo incompresi ble (ρ=cte):∑qs − ∑qe = 0s e

En el caso de un VC con una entrada y una salida:

Flujo compresible estacionario

ρ=ρ(x)

m& s = m&

e = m&

Para flujo incompresi ble (ρ=cte):

s e

m& e

qs = qe = q m& s(v ⋅ A ) = (v ⋅ A )= q

Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante.

δm = ρ⋅δV

D(δm )= 0Dt

m& e1 m&

s 2 D(ρ ⋅δV ) Dρ=

Dt Dt⋅δV + ρ ⋅

D(δV )= 0Dt

Introduciendo la V e l o cidad de Defor m ación Volumétri

ca :

m& s 1

D(ρ⋅δV )=Dt

Dρ ⋅δV + ρ⋅V& ⋅δV Dt

Considerando una partícula que en el instante t está ocupando una posición x en el V.C. r=r(x),v=v(x,t) y ρ(x,t)

∂ρ(x,t ) + ∇ρ(x,t )⋅v(x,t )+ ρ(x,t )⋅div [v(x,t )]= 0∂t

Para flujo incompresi ble

(ρ=cte): div (v )= 0Un caso particular muy interesante es el flujo incompresible , comple t amente desarrollado y en régimen l a minar en conductos (conductos rectos de gran longitud) de cualquier tipo de sección.

u = u (y,z ) ; v = w ≡ 0Se satisface la ecuación de continuidad

∂u + ∂v + ∂w = 0∂x ∂y z

{ { {∂=0 =0 =0

3.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON

)

∑=

x SC

2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

DMFπ

Dtext

m& e

1

m& s

2

Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control:

DMπ

Dt= dMVC

dt+ M&

SC

Uniendo las dos expresiones se obtiene laEcuación

Integral de la Cantidad de Movimiento.

m& s 1 dMVC M& F

dt+ SC = ∑ ext

⎞ )⎛ dMVC⎜⎝ dt+ M&

SC ⎟ ⋅ i = (∑ Fext⎠

)⋅ i d (M x )VC

dt+ (M& = ∑

(Fx

ext

ms

dMVC M& Fdt

+ SC = ∑ ext

m& e1

m& s

2

Utilizando la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio en las superficies de entrada y salida se puede escribir:

M& SC = ∑ (ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )s − ∑ (ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )e

s e

La resultante se puede descomponer en la resultante de las fuerzas de volumen y las de superficie:

& 1

dM ˆ

∑ F ext

ˆ

= FV + FΣ(Π )VC +

dt∑ (ρ ⋅ qs

⋅ v )s

− ∑ (ρ ⋅ q

e

⋅ v )e

= FV

+ FΣ (Π )Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento

F

m

e (Π )

dMVC

dt+ ∑ (ρˆ

s

⋅ q ⋅ vˆ )s

− ∑ (ρˆe

⋅ q ⋅ vˆ )e

= FV + FΣ

Separando las fuerzas de superficie:

FΣ (Π ) = ∑ Fe (Π ) + ∑ Fs (Π ) + +FW (Π ) + FW (Π )e s

En las entradas y en las salidas las fuerzas de superficie se descomponen en suma de una debida a las presiones y otra debida a la viscosidad.

Σ (Π ) = ∑ (Fpe

+ Fμ ) + ∑ (Fps

s (Π ) m

e (Π )Fμ )

+ Fμ ) + FW (Π ) + FW (Π )Despreciando las fuerzas viscosas en las entradas y las salidas y considerando supe rfi cies planas:

∑ (Fp

+ Fμ ) + ∑ (Fp

+ ≅s (Π ) ∑ (Fp )e(Π ) + ∑ (Fp )

s (Π ) = −∑ (p ⋅ A ⋅ n)e

− ∑ (p ⋅ A ⋅ n)s

e s e s e s

{ ⎜ ⎟{

m

Sustituyendo en la ecuación se obtendrá:

dMVC

dt+ ∑ (ρˆ ⋅ q ⋅ vˆ )s

s

− ∑ (ρˆ ⋅ q ⋅ vˆ )e

e

= FV+ FW (Π ) + FW

(Π ) − ∑ (p ⋅ A ⋅ n)e

e

− ∑ (p ⋅ A ⋅ n)ss

Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento

Al desconocer la distribución de velocidades en las superficies la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio se aproxima como:

V.C. Fijo e Indeformable (vSC≡0)vˆ

s= (vˆ

n

)s

+ (vˆ t )

s ≅0

≅ (β ⋅ v ⋅ n)

s

= ⎛β ⋅ q⎝ A

⎛⋅ n⎞⎠s

q ⎞vˆ

e = (vˆ n )e + (vˆ

t )e ≅0≅ −(β ⋅ v ⋅ n)e

m

= −⎜β ⋅⎝ ⋅ n ⎟A

⎠e

dMVC

dt+ ∑ (ρˆ ⋅ q ⋅ β ⋅ v ⋅ n)s

s

+ ∑ (ρˆ ⋅ q ⋅ β ⋅ v ⋅ n)ee

= FV+ FW (Π ) + FW

(Π ) − ∑ (p ⋅ A ⋅ n)e

e

− ∑ (p ⋅ A ⋅ n)ss

β es el factor de corrección de cantidad de movimiento en la superficie.

⎜⎜

m

s

V.C. Móvil y/o Deformable (vSC≠0)vˆ

s = (vˆn )s + (vˆ

t )s ≅ (β ⋅v ⋅n+ v

SUP )s = ⎛ β ⋅ q ⋅n+v

⎞SUP ⎟

{ ⎝ A ⎠≅0

vˆ e = (vˆ

n )e + (vˆ

t )e≅ (− β ⋅v ⋅n+ v

SUP )e= ⎛ − β ⋅ q ⋅n+ v

⎞SUP ⎟

123≅0

dM

⎝ A ⎠e

VC

dt+ ∑ [ρˆ ⋅ q ⋅ (β ⋅ v ⋅ n + vSUP )]s

s

− ∑ [ρˆ ⋅ q ⋅ (− β ⋅ v ⋅ n + vSUP )]e =

e

= FV + FW (Π ) + FW (Π ) − ∑ (p ⋅ A ⋅ n)e

e

− ∑ (p ⋅ A ⋅ n)ss

m

Caso Particular V.C. Fijo e Indeformable (v

SUP ≡0)

Flujo Incompresible (ρ=cte) V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q) Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒dMVC/dt≡0)ρ ⋅ q ⋅ [(β

⋅ v⋅ n)

s+ (β ⋅ v

⋅ n)e ] =

FV

+ FW (Π ) + FW

(Π ) − (p ⋅ A ⋅ n)

s

− (p ⋅ A ⋅ n)e

∑2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema.

D(δM) = δF

δM = ρ⋅v⋅δV ⇒D(δM) = DtDv ⋅ ρ⋅δV + v⋅

ext

D(ρ⋅δV )=Dv ⋅ ρ⋅δV

Dt Dt 1 Dt43 Dt420

Considerando una partícula que en el instante t está ocupando una posición x en el V.C. r=r(x) y v=v(x,t).

Para un fluido newtoniano ysuponiendo flujo

incompresible:∑ δFext = δFV + δF∂Σ

= [fV + div (T )] ⋅ δV

T = − p ⋅ I + 2μ ⋅ D

v(x,t )

δF∂Σ = div (T ) ⋅ δV

= (− ∇ p + μ ⋅ ∇ 2v )⋅ δV

ρ ⋅ ⎢ v(x,t )+ ⋅v(x,t )⎥ = −∇p(x,t )+ μ ⋅∇ 2

v(x,t )+ f (x,t )⎡ ∂ ∂ ⎤⎣ ∂t ∂r ⎦ V

1

4444244443a (x,t )

div (v )= 0∂v + ∂v ⋅v = − 1 ⋅∇p + μ ⋅∇ 2 v + 1 ⋅f∂t ∂r ρ ρ ρ V

La expresión de ∇2v en coorde nadas cartesianas es:

⎛ ∂ 2 u ∂ 2

u∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂ 2

v∂ 2

v∂ 2 v ⎞ ⎛ ∂ 2

w∂ 2

w∂ 2 w ⎞

2 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∇ v = ∇ u ⋅i + ∇ v ⋅ j + ∇ w ⋅k = ⎜ ∂x 2+ ∂y 2

+ ∂z 2⎟ ⋅i + ⎜ ∂x 2

+ ∂y 2+ ∂z 2

⎟ ⋅ j + ⎜ ∂x 2+ ∂y 2

+ ∂z 2⎟ ⋅k

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠En coordenadas cilíndrica s o esférica s las expresiones se pueden encontrar en las Tablas de losApuntes:

⎛ ∂ ∂ div (v )= 0⎞

ρ ⋅⎜ v + v ⋅v ⎟ = − ∇p +

⋅∇ 2 v + f

⎝ ∂t ∂r μ⎠ { 23 V

1fp fμ

• Dos incógnitas de flujo, v(x,t) y p(x,t).

• Ecuaciones Diferenciales de Cant. De Mov. y Continuidad rigen cualquier flujo incompresible

(Ecuaciones de Navier-Stokes)

• Ecuaciones EN DERIVADAS PARCIALE S NO LINEALE S . Las más complejas de la física.

• Poquísimos flujos poseen solución analítica (geometrías sencillas y régimen laminar).

• Flujo incompresible y completamen t e desarrollado en un conducto recto y de sección arbitraria constante en régimen laminar es uno de ellos.

⎜ ⎟

⎪ ⎪ ⎪

Flujo incompresible y completamen t e desarrollado en un conducto recto y de sección arbitrariaconstante en régimen laminar. v(x)=u(y,z)⋅i

⎧ u ⎫ ⎧ u ⎫ ⎡ ∂u ∂u⎢∂x ∂y

∂u ⎤⎥∂z

⎧ u ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪

a = D ⎪ v

⎪ = ∂ ⎪ v

⎪ + ⎢ ∂v

∂v

∂v ⎥ ⋅⎪ v

⎪ = 0⎨ ⎬

Dt ⎪ ⎪ ⎨∂t ⎪ ⎬ ⎢ ∂x ∂y

⎢∂z ⎥ ⎨ ⎬

⎥⎪⎩w ⎪⎭ ⎪⎩w ⎪⎭⎢ ∂ w ∂ w ⎢⎣ ∂x ∂y

∂ w ⎥∂z ⎥⎦

⎪⎩w ⎪⎭

2 2 ⎛ ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞∇ v = ∇ u ⋅i =

μh

⎝

V

⎠

⎜ 2⎝ ∂y

+ ∂z 2⎟⋅i⎠⎡ ⎤

f = ρ ⋅g ⋅[sen (α )⋅i − cos (α )⋅ j + 0 ⋅k ]= −γ ⋅ ⎢ ∂ h ⋅i + ∂ h ⋅ j + ∂ h ⋅k ⎥= −γ ⋅ ∂ ⎛ + ⎞ ⎛ ∂ u ∂ u ⎞+ ⋅ +

⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦

(X) 0 ⎜ p ⎟⎜ ⎟ 2 2⎜ ⎟⎜ 2 2 ⎟∂x ⎝ γ ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂ ⎛ ⎞

(Y) 0 = −γ ⋅

⎜ p + h ⎟∂y ⎜ γ ⎟

⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞

(Z) 0 = −γ ⋅

⎜ p + h ⎟∂z ⎜ γ ⎟

⎝

⎝

⎜

⎠

⎠

2 ⎟

CONCEPTO FUNDAMENTAL: Altura piezométrica (H) de un fluido en un punto es la suma de laaltura de presión más la cota respecto de una referencia horizontal arbitraria.

∂ ⎛ ⎞(Y) 0 = −γ ⋅ ⎜ p + h ⎟∂y ⎜ γ ⎟

H ≠ H

(y ,z ) ∂ ⎛ ⎞

(Z) 0 = −γ ⋅ ⎜ p + h ⎟∂z ⎜ γ ⎟

dH ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ dH H − H(X) 0 = −γ ⋅dx

+ μ ⋅⎜ +⎝ ∂y 2⎟∂z ⎠ = cte =

dx

s e

L

⎜+

+0 = −γ ⋅ dH

⎛+ μ ⋅⎜ ∂ 2u

2

∂ 2u ⎞⎟2 ⎟ CONDICIONES DE

CONTORNOu(xw,yw)=uW ∀ (xw,yw) ∈

Pw

dx ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂H/∂x

Uw= 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille

UW≠0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette

UW≠0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille+Couette

z

CASO 1

Flujo incompresible y completamen t e desarrollado en un conducto recto y de sección circular de radi o R en régimen laminar . v=uZ(r)⋅eZ

γ ⋅ dH

dz= μ ⋅

1⋅ dr dr

⎛⎜ r ⋅⎝du ⎞⎟dr ⎠

CONDICIONES DE CONTORNO

uZ(r=R)=U

wi y ∂H/∂z

z

Rr

CASO 2

Flujo incompresible y completamen t e desarrollado en un conducto recto y de sección anular de radios Ri y Re en régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ.

e er

γ ⋅ dH

dz

= μ ⋅

1⋅ dr dr

⎛⎜ r ⋅⎝du ⎞⎟dr ⎠

CONDICIONES DE CONTORNOe

uZ(r=R

i)=U

wi, u

Z(r=R

e)=U

we y ∂H/∂z

Uwi

=Uwe

=0 y ∂H/∂z≠0 Flujo PoiseuilleR

i Uwi

≠ Uwe

≠ 0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette

Uwi

≠ Uwe

≠ 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo de Poiseuille +Couette

Uwi=Uws=0 y Flujo Poiseuille

Uwi≠ Uws≠ 0 y Flujo de Couette

Uwi≠ Uws≠ 0 y Flujo de Poiseuille +Couette

CASO 3

Flujo i n com p re s ibl e y completament e de sa r rol l ado enun conducto recto y de sec c ión

rectangula r de lado s a y h con a>>>h en régimen laminar. v=u (y)⋅i.γ ⋅ dH

dx= μ⋅

d2u

dy2

CONDICIONES DE CONTORNO

u (y=0)=Uwi,

u(y=h)=Uws

y ∂H/∂x

3.4 1ª LEY DE LA TERMODINÁMICA

1ª Ley de la Termodinámica: La rapidez del cambio en el tiempo de la Energía de un sistema es igual a la velocidad de transferencia neta de energía (potencia) entre el sistema y el entorno.

DEΠ

Dt=Q& +W&

Siendo EΠ la energía total del

sistema, suma de suenergía interna, cinética y potencial (Ek+Ep=Em).

EΠ=(Ũ+Ek+Ep)Π =(Ũ+Em)Π

Q&

W&

potencia neta en forma de Calor (∇T)

potencia neta en forma de Trabajo (Fuerzas)

Q& > 0,W& > 0 Q& < 0,W& < 0 Energía Entorno ⇒ Sistema

Energía Sistema ⇒ Entorno

Si el sistema que se considera es aquel que enel instante t está ocupando

DEΠ = dEVC + &dEVC +

E&

=Q& +W&

el V.C.

Dt dtESC dt

SC

Según los tipos de fuerzas que actúan sobre el sistema:

W& = W&V′ + W&

Σ≡ ∫ fV′VC

⋅ v ⋅ dV

+ ∫ t ⋅ v ⋅ dSSC

La potencia asociada a la fuerzas de superfi cie:

W& Σ = W&{w=0

+ W&

m

+ ∑W& s

s

+ ∑W& e

e

En las entradas y sal i das de fluid o al V.C. la potencia

asociada a las fuerzas de superficie es:

W& Σ = W& m + ∑ (W&

ps

+ W& μ )

s e+ ∑ (W&

p

e + W& μ )

En una entrada o en una salida la potencia asociada a las fuerzas viscosas se desprecia y la asociada a las fuerzas de presión:

Quedando:

W&

)p(s ≡ − ∫

s

p⋅v⋅dS = − ∫s

p⋅(v − v

SUP )⋅dS − ∫s

p⋅vSUP⋅dS ≡W&

F

+W& D

W&V′ + W&

Σ= W&

V′

+ W&

m

+ ∑ (W& F

s

+ W& D )

s

+ ∑ (W& F

e

+ W& D )e

dU

d + &

p ⎞

dEVC & & & & & & & &+ ESC =Q +WV′ +Wm + ∑(WF +WD )s + ∑(WF +WD )edt

d (Em )VC + (E& ) ~+ UVC

s e

+ ~& =dt

m SC dtSC=Q& +W&

V′ +W& m + ∑(W&

F +W& D )s + ∑(W&

F +W& D )e

s e

Cuando el flujo es incompresible (ρ=cte) la 2a ley

de laTermodinámica:

~UVC

dt

~USC −Q& =W& L ≥ 0

14243DUΠ

d (E ) ( ) ( ) ( Dt ) ( )m VC

dt+ ∑ E&

ms

s + ∑

e

E&

m

e =W&

V′ +W& m + ∑

s

W&

D

+W&

F

s + ∑

s

W&

D

+W&

F

s −W&

L

d (Em )VC⎧⎪ + ρ⋅ ⎡ ⎛ q ⋅⎜

e + e + − ⎡ ⎛ q ⋅⎜ e + e

+ p ⎟⎤ ⎪⎫ =W& ′ +W& + (W& ) + (W& ) −W&⎨∑⎢ ⎜ ˆkˆ

p ⎟⎥∑⎢

⎜ ˆkˆ

p ⎟⎥ ⎬ V m ∑ D s ∑ D e L

dt ⎪⎩ s ⎣ ⎝ ρ ⎠⎦ s

e ⎣ ⎝ ρ ⎠⎦ e ⎪⎭ s e

Ecuación Integral de la Energía Mecánica

p ⎞d (Em )VC

⎧⎪+ ρ⋅ ⎡ ⎛ ⎞⎤q ⋅⎜ e + e + ⎟ − ⎡ ⎛

q ⋅⎜ e + e

+ p ⎟⎤ ⎪⎫=W& ′ +W&+(W& ) + (

W&) −W&

⎨∑⎢ ⎜ ˆkˆ

p ⎟⎥∑⎢

⎜ ˆkˆ

p ⎟⎥ ⎬ V m ∑ D s ∑ D e L

dt ⎪⎩ s ⎣ ⎝ ρ ⎠⎦ s

e ⎣ ⎝ ρ ⎠⎦ e ⎪⎭ s e

Caso Particular

V.C. Fijo e Indeformable (vSUP ≡0) Flujo Incompresible (ρ=cte) V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q) Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒d(Em)VC/dt≡0)

+ − e

+

⎡⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎤ρ ⋅q ⋅ ⎢⎜ eˆk + eˆ

p + ρ ⎟ − ⎜ eˆk + eˆ

p + ρ ⎟ ⎥ =W& m −W&

L⎢⎣⎝ ⎠s ⎝ ⎠e ⎥⎦Dividiendo por el flujo másico que atraviesa el V.C.(ρ·q) la ecuación de la energía nos queda expresada

enunidades de energí a por unidad de mas a de

fluido :

⎛⎜ eˆk⎝ + ep

p ⎞⎟ρ ⎠s

⎛⎜ ˆk⎝ + epp ⎞⎟ρ ⎠e

= w

m

−w L

⎛ ⎟ ⎜ ⎟s

2

Dividiendo por la aceleración de la gravedad (g) la ecuación queda expresada en energí a por unidad d e peso (altura de columna de fluido).

⎜ hˆ + h + p ⎞ − ⎛ hˆ + h + p ⎞= −⎝ k

γ ⎠ ⎝ kγ ⎠e

Hm hL

Ecuación de Bernoulli

A la ĥk+h+(p/γ) se le denomina Bernoulli del fluido (B) en la superficie y está

expresado comouna altura de columna de fluido [B]=L.

Normalmente la altura de energía cinética promedio en una superficie ĥk puede expresarse como:

hˆ ≅ α ⋅ v

k2g

Siendo α el coeficiente de corrección de la energía cinética.

IMPORTANTÍSIMO

El 2° Principi o d e la Termodinámica(h

L≥0) establece una restri cción

a lavariación del Bernoulli que sufre el fluido,calculada en el sentido del flujo (Bernoulli aguas arriba (entrada) menos Bernoulli aguas abajo (salida)) y el aporte neto de energía al flujo (Hm)

hL = Be − Bs + Hm ≥ 0123∇B

3.5 REGÍMENES DE FLUJO

El flujo de un fluido puede darse con dos regímenes de naturaleza muy diferente denominados regímenes Laminar y Turbulento.

La constatación de la existencia delos distintos regímenes de un

flujo proviene de antiguo:

Leonardo da Vinci (Estudio sobre el Agua).

En el siglo XIX comenzaron losprimeros estudios científicos sobre el

tema:

G. H. L. Hagen (1839). Primeros indicios experimentales. Caida de presión en conductos largos de latón.

Osborne Reynolds (1883). Pionero en el estudio de los regímenes de flujo.

Δ p

Δ p~v

Δ p~v1.75

v

En 1883 un profesor de ingeniería británico llamado Osborne Reynolds utilizó un dispositivo experimental con el que evidenció la existencia de dos regímenes de un flujo e introdujo el parámetro adimensional del que dependía la existencia de uno u otro régimen (Número de Reynolds).

Reynolds constató experimentalmente:

La existencia en un flujo de dos regímenes. Régimen Laminar y régimen Turbulento

La existencia de uno u otro dependía de un parámetro adimensional número de Reynolds (Re).

En el caso del flujo en un conducto de sección circular el número de Reynolds viene dado por:

Siendo: D Diámetro de la tubería. v Velocidad media. ρ Densidad del fluido. μ la viscosidad del fluido.

Re = ρ ⋅ D ⋅ v

μ

En cualquier flujo existen dos regímenes y la existencia de uno u otro depende de su número deReynolds que viene dado por:

Re = ρ ⋅ L ⋅ U

μ

Siendo L y U una longitud y una velocidad características del flujo.

El Número de Reynolds expresa el papel que juegan en el flujo las fuerzas de inercia frente a lasviscosas:

Re = Fuerzas

Fuerzas

de Inercia

Viscosas= ρ ⋅ L ⋅ U

μ

Recordar las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible:

⎛ ∂ ∂ ⎞ρ ⋅ ⎜ v + v ⋅ v ⎟ = −∇p + μ ⋅ ∇ 2 v + f ⇒ f + f + f + f = 0⎝ ∂t ∂r ⎠ V p μ v i

Números de Reynolds elevados (Reg. Turbulento): fi>>fν. En el flujo predominan las

fuerzas deinercia.

Números de Reynolds bajos (Reg. Laminar): fi<<fν. En el flujo predominan las fuerzas

viscosas.

Re=0

Re=2300

Re=4000

Re=∞

REGIMEN

LAMINAR

TRANSICIÓN

REGIMEN

TURBULENTO

El Régimen laminar un flujo está caracterizado:

Patrón de flujo ordenado. Existen trayectorias y líneas de corriente bien definidas.

Bajos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas viscosas.

Ante condiciones de contorno estacionarias el flujo será genera l mente estacionario (existen excepciones i.e.:Karman Vortex Street).

Su análisis es asequible (Se conocen varias soluciones a las E.D. tanto analíticas como numéricas)

El transporte de cantidad de movimiento, energía y materia no es efectivo (i.e.: mezcla de pinturas)

Por regla general los flujos viscosos N O son mu y comune s en las aplicaciones en la industria.

Flujos de muy baja velocidad (i.e.:Creeping Flows).

Fluidos de elevada viscosidad (i.e.: Ciertos aceites, grasas).

Flujos en espacios reducidos (i.e.: Lubricación o Biología)

El Régimen turbulento un flujo está caracterizado:

Flujo radicalmente diferente al laminar.

Patrón de flujo complejo, desordenado y caótico.

Altos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas de inercia.

El flujo será siempre no estacionario. La turbulencia es un fenómeno de naturaleza trid i recc i onal y no estacionar i a .

Su análisis directo NO es factible

Analíticamente imposible ni en los casos más sencillos.

Numéricamente. Actualmente fuera del alcance de los computadores más potentes.

El transporte de cantidad de movimiento, energía y materia es efectivo.

Por regla general los flujos viscosos SON muy comunes en la naturaleza.

uP(t

)

UP

u' P

(t)

Existencia de unas estructuras rotacionales(paquetes de fluido) denominadas Torbellinos (Vortex).

La dinámicade los vórtices (movimiento einteracciones vortex stretching) es complejísima.

Tamaño de los torbellinos se extiende en un amplio rango:

Grandes: Lv≅L

Pequeños torbellinos Lv≅L

K=(ν3·L/U3)0.25 (Escala de

Kolmogorov).

v y p presentan una variación en el tiempo fluctuando de forma aleatoria alrededor de un valor medio. Las amplitudes yfrecuencias de estas fluctuaciones es muy variada:

u

Amplitud: 1% - 20% del valor medio

Frecuencia: 1-104 Hz. (Tamaño de los vórtices)

Las fluctuaciones está asociada a la dinámica de los vórtices.

t

Ciertamente la turbulencia es: un fenómeno muy complejo. NO se posee aún una explicació n complet a . Campo de activísim a i nvestigació n .

• Taylor & Von Karman (1937): La turbulencia es un movimiento irregular que, en general, hace su aparición en los fluidos, líquidos o gases, cuando están fluyendo en contacto con superficies sólidas o cuando corrientes próximas del mismo fluido fluyen una sobre otra.

• Hinze (1959): El movimiento turbulento de un fluido es una condición irregular de flujo en la que varias magnitudes muestran variaciones aleatorias respecto del tiempo y de las coordenadas espaciales de forma que pueden discernirse diferentes promedios estadísticos.

• Bradshaw (1971): La turbulencia es un movimiento tridimensional y dependiente del tiempo en el cual el vortex stretching produce fluctuaciones en las velocidades para extender los vórtices a todas las longitudes de onda comprendidas entre un mínimo determinado por las fuerzas viscosas y un máximo determinado por las condiciones de contorno del flujo. Este es el estado habitual de movimiento de los fluidos, excepto a bajos números de Reynolds.

uP(t

)

UP

u' P

(t)

2

PREGUNTA: ¿Como tratan los ingenieros la turbulencia?

div (v) = 0 uρ ⋅ Dv

Dt= −∇p + μ∇

v + fV

Las ecuaciones de Navier-Stokes rigen el flujo de un fluido en régimen laminar y turbulento.

La turbulencia complica aún más las ecuaciones.

Las capacidades de cálculo actuales no son capaces de resolverlas para cualquier tipo de

flujo en régimenturbulento. t

RESPUESTA:

Desde el punto de vista ingenieril NO es interesante conocer los valores i nstantáneos de las variables de flujo sino su valor medio tempora l .

Las variables de flujo se descomponen en en un valo r promedi o y en una fluctuación:

v = V + v′p = P + p′

uP(t

)

ω' (t)

UP

u' P

(t)

T

1

u

El promedio de las variables de flujo (ω=u,v,w ó p) se definecomo:

Ω(x) = ω(x,t

)= 1 ⋅ ∫ ω(x,t ) ⋅ dt

T0

Ω (x, t ) = ω(x, t ) = lim N⋅ ∑ ω (n ) (x, t )N → ∞ N n =1

t

Siendo T un período de tiempo mayor que cualquier períodosignificativode las fluctuacionesy N un número de

ωexperimentos.Los promedios cumplen ciertas reglas como:

Ω = Ω; ω′ = 0;

ω′ ⋅ φ′ ≠ 0

Ω(t)∂ω = ∂ ω∂x ∂x

t

ν⎜∂y ⎜

⎝

⎟

⎜ ⎟

Al promediar las ecuaciones d e N- S :

Se obtienenunas nuevas ecuaciones, similares a las originalesde N-S (Navier-Stokes- Reynolds).

Las incógnitas son los valores promedios de las variables de flujo (U y p).

Aparecen unos nuevos término s , promedios delproducto de las fluctuaciones de las

velocidades a los que se denominan Tensiones-Turbulenta s d e Reynolds (TR).∂U + ∂V = 0∂x ∂y∂U +U⋅ ∂U∂t ∂x

∂ V ∂ V + V ⋅ ∂U ∂y

∂ V

= − 1

⋅ ρ 1

∂P +∂x

∂ P ∂ ⎛⎜ ⋅∂x ⎝ ∂ ⎛

∂U −∂x

∂ V u′⋅u′ ⎞ ∂ ⎛⎟ + ν ⋅⎠ ⎝⎞ ∂ ⎛

∂U −∂y

∂ V ⎞

u′⋅v ′ ⎟⎠⎞

+U⋅∂t ∂x+ V ⋅∂y

= − ⋅ρ ∂y

+ ⎜ν ⋅ −∂x ⎝ ∂xu′⋅v ′ ⎟ + ⎜ν ⋅ −⎠ ∂y ∂y

v ′⋅v ′ ⎟⎠Incluso en flujos sencillos(i.e.: flujo completamente desarrollado en un

conducto) NO puedeobtenerse analíticamente el perfil de velocidades promedio

)xy(τ xy = μ ⋅

dU ∂y

b Y+ τT

Z 0

∂H d ⎛ dU ⎞γ ⋅ = μ ⋅ ⎜∂x dy ⎝ ∂y− ρ ⋅

u′ ⋅ v ′ ⎟⎠ w