MF T02 [Modo de compatibilidad] · 1.- Presión (III) Hidrostática: fluidos en reposo (v = 0) Si...

1

T2.- ESTATICA DE FLUIDOSTermotecnia y Mecánica de Fluidos (DMN)Mecánica de Fluidos y Termodinámica (ITN)

Departamento:

Area:

Ingeniería Eléctrica y Energética

Máquinas y Motores Térmicos

CARLOS J RENEDO [email protected]

Despachos: ETSN 236 / ETSIIT S-3 28

http://personales.unican.es/renedoc/index.htm

Tlfn: ETSN 942 20 13 44 / ETSIIT 942 20 13 82

MF. T2.- Estática de Fluidos

Las trasparencias son el material de apoyo del profesorpara impartir la clase. No son apuntes de la asignatura.Al alumno le pueden servir como guía para recopilarinformación (libros, …) y elaborar sus propios apuntes

2

T2.- ESTATICA DE FLUIDOS

1.- Presión2.- Fuerzas sobre Cuerpos Sumergidos (Principio de Arquímedes)3.- Flotabilidad y Estabilidad4.- Fuerza Ejercida sobre una Superficie Plana5.- Fuerza Ejercida sobre una Superficie Curva

1.- Presión (I)

Presión, Pascal: (F / Superficie) [ Pa = N/m2 ]

• En el interior de un fluido se transmite igual en todas las direcciones

• Se ejerce perpendicularmente a las superficies que lo contienen

relatmabs ppp Tipos de Presión:

• Atmosférica; patm (nivel del mar y 0ºC) = 1,013 bar

• Absoluta; pabs (>0)

• Relativa; prel (si <0 P de vacío))bar(p1p relabs

Vacío: P < Patm

3


1.- Presión (II)

Elevación: distancia vertical medida a partirde un nivel de referencia

La diferencia de presión dentro de un fluido

hg)hh(PPP 1212

)m/N(

)Pa(P)m(H

3La altura de presión, H: representa la altura del fluido

de que produce una P dada

En un fluido en reposo:

EDCBA

EDCBA

PPPPP

hhhhh:Si

A C D EB

hA

hgP

h

a c d ebedcba PPPPP:queYa AhhgP

1

2

h1 p1

h2

p2

1

2

h1

p1

h2

p2hg))h(h(PPP 1212

+

‐

+

‐

4


Elemento infinitesimal

1.- Presión (III)

Hidrostática: fluidos en reposo (v = 0)Si está en reposo no se le aplica cortante (deslizaría)Las tensiones son normales a la superficie

dlcosdspdldyp:V

dlsendspdldxp:H

32

31

cosdsdy

sendsdx

Equilibrio de F:

Trigonometría:

321 ppp La presión es la misma en todas las direcciones

p2

p3

p1

dy

dx

32

31

pp

pp

5


1.- Presión (IV)

Principio de Pascal: Si sobre la porción plana de la superficie libre deun líquido, se ejerce una cierta presión, esta setransmite integra y por igual en todas direcciones

hg)PP(PP AABB

Si la presión aumenta en un punto (A) quedaráincrementada en el mismo valor en otro punto dellíquido (B)

hgPPPP ABAB

hgPP AB

hgPPhg AB

AB PP

APSi

A

B

h

hA

hB

AA hgP

BB hgP

6


1.- Presión (V)

Principio de Pascal: Si sobre la porción plana de la superficie libre deun líquido, se ejerce una cierta presión, esta setransmite integra y por igual en todas direcciones

Si la presión aumenta en un punto (A) quedaráincrementada en el mismo valor en otro punto dellíquido (B)

A

B

h

1

2

h2

hA

hB

A22A hghgP 22A hgP

AB PP

B22B hghgP 22B hgP

7


El depósito cerrado de la figura contiene tres fluidos diferentes. Determinar ladiferencia de niveles en altura en la columna de mercurio (Dr = 13,6) delmanómetro diferencial suponiendo que la paire es manométrica

2 m

Aire (30 kPa)

3 m

1 m

Aceite (Dr = 0,8)

Agua

h1 m

Hg

8


El depósito cerrado de la figura contiene tres fluidos diferentes.Determinar la presión manométrica del aire si la columna demercurio (Dr = 13,6) del manómetro diferencial es de 1,2 m

2 m

Aire

3 m

1 m

Aceite (Dr = 0,8)

1 m

Hg

Agua

1,2

m

9


Calcular la presión en la tubería si circula agua y el manómetrocontiene mercurio

Agua

0,2

m0,

5 m

10


Calcular la diferencia de presión entre las tuberías si en manómetro hay Hg• Si en las dos tuberías circula agua• Si en la tubería más alta circula aceite Dr 0,85

1 m

Hg

2 m

0,3 m

Agua

11


Calcular la presión en la tubería B por la circula un fluido de Dr 0,8, sila presión en la tubería A, por la que circula agua, es de 1,2 Bar, enmanómetro de la izda hay mercurio, en la parte alta del sifón un fluidode Dr 1,2, y en el manómetro de la dcha un líquido de Dr 1,6

1,2

m

0,4

m

Dr 0,8

Agua

0,6

m

Hg

Dr 1,20,

2 m

0,3

m

Dr 1,6

12


Calcular la altura en el depósito

h

0,9 m

AGUA

0,3 m

Hg

1,5 m

13


h

0,9 m

AGUA

Calcular la altura en el depósito si hay aire en los espacios

0,3 m

Hg

1,5 m

14


1.- Presión (VI)

Si están al mismo nivel, la relación de fuerzas es proporcional a la

relación de áreas

Principio de Pascal: Multiplicador de Fuerzas

A

12

A

S2 S1

F2F1)2(A)1(A pp

1122 hgphgp

h2(1)h1(1)

1212 pphh

1

1

2

2

S

F

S

F

1

212 S

SFF

15


1.- Presión (VII)


A

1

2

A

F2(2)

F1(2)

)2(A)1(A pp

)1(1)1(1)1(2)1(2 hgphgp

)2(1)2(1)2(2)2(2 hgphgp

)2(11

)2(1)2(2

2

)2(2 hgS

Fhg

S

F

)2(2)2(1

1

)2(12)2(2 hhg

S

FSF

La fuerza que hay que aplicar en el pto 2 para elevar (h1(2)-h2(2)) un peso de valor F1(2)

h2(2)

h1(2)

S2

S1

16


1.- Presión (VII)


)2(A)1(A pp

)1(1)1(1)1(2)1(2 hgphgp

)2(1)2(1)2(2)2(2 hgphgp

)2(11

)2(1)2(2

2

)2(2 hgS

Fhg

S

F

)2(2)2(1

1

)2(12)2(2 hhg

S

FSF

La fuerza que hay que aplicar en el pto 2 para elevar (h1(2)-h2(2)) un peso de valor F1(2)

Obviamente el volumen de líquido que sale de izda es el que se introduce en la dcha

2d1e)2(2)2(1 hhhh

2

1

1e

2d1e12d2DchaIzda S

S

h

hhShSVolVol

he1

A

1

2

A

S2

S1

F2(2)

F1(2)

h2(2)

h1(2)

hd2

17


2

11e2d S

Shh

1.- Presión (VII)


)2(2)2(1

1

)2(12)2(2 hhg

S

FSF

2d1e)2(2)2(1 hhhh

2d1e

1

)2(12)2(2 hhg

S

FSF

2

11e2d1e12d2 S

ShhhShS

2

11e1e

1

)2(12)2(2 S

Shhg

S

FSF

121e1

2)2(1

2

11e21e

1

)2(12)2(2 SShg

S

SF

S

ShShg

S

FSF

he1

A

1

2

A

S2

S1

F2(2)

F1(2)

h2(2)

h1(2)

hd2

18


Calcular la relación de radios para que la presión p2 sea el doble que p1

p1 p2

d2d1

S1 S2

19


El cilindro de 1 m de diámetro y el tubo contienen agua; calcular cual debeser la masa del émbolo para que se midan 2 bar en el manómetro

F1

Agua

1 m

20


Los diámetros de los pistones pequeño y grande son de 3 y 90 cm, siendo suspesos de 50 N y 50 kN respectivamente. Calcular la fuerza necesaria que es precisoaplicar en el pequeño para que el grande soporte una carga externa de 120 kN

2 m

Agua

F1

F2

21


El gato hidráulico toma aceite del depósito de la izda y lo introduce en lacámara 2. Determinar el peso que puede levantar si se aplica una fuerza de20 kg en la palanca

S1S2

F1F2

d2 = 25 cm

d1 = 6 cm

FG

Aceite

22


4.- Fuerzas sobre Cuerpos Sumergidos (P. de Arquímedes) (I)

Un cuerpo sumergido en un líquidoexperimenta un empuje ascensionaligual al peso del líquido desalojado

• Si L > S Flota

• Si L = S Se sumerge “en equilibrio”

• Si L < S Se hunde

Densímetro:

Lastre

Flotador

Escala

Líquido

R (1 = agua)

LLDens VolPesoEquilibrio

L

DensL Vol

Peso

1

1,2

0,8

g

C < L

C > L

C = L

Peso

Empuje

C < L

Peso del cuerpo

C = L

Peso del agua

Empuje

23


2.- Fuerzas sobre Cuerpos Sumergidos (P. de Arquímedes) (I)


• Si L > S Flota



Densímetro:

Lastre

Flotador

Escala

Líquido

R (1 = agua)


L

DensL Vol

Peso

1

1,2

0,8

g

C < L

C > L

C = L

Peso

Empuje

C < L

Peso del cuerpo

C = L

Peso del agua

Empuje

24


4.- Fuerzas sobre cuerpos sumergidos (P. de Arquímedes) (I)


• Si L > S Flota



Densímetro:

Lastre

Flotador

Escala

Líquido

R (1 = agua)


L

DensL Vol

Peso

1

1,2

0,8

g

C < L

C > L

C = L

Peso

Empuje

C < L

Peso del cuerpo

C = L

Peso del agua

Empuje

0,1 litro

0,08 litros

0,12 litros 0,1 litro

0,08 litros

0,12 litros

0,1 litro

0,08 litros

0,12 litros

PesoDen = 100 gF

PesoDen = 100 gF

PesoDen = 100 gF

3F

Lm

N167.8

litros12,0

g100

3F

Lm

N800.9

litros1,0

g100

3F

Lm

N250.12

litros08,0

g100

25


A

Determinación del volumen y la densidad de un cuerpo irregular

• Determinación del peso

2.- Fuerzas sobre Cuerpos Sumergidos (P. de Arquímedes) (II)

CuerpoPeso

h1

26




• Determinación del peso sumergido


CuerpoPeso

SumPesoL

C > L

h2

h1

A

27





• Cálculo del Empuje Ascensional


SumCuerpo PesoPesoEmpuje

CuerpoPeso

SumPesoL

C > L

h2

h1

A

28


A



LiqDesLiqDesLiq VolPesoEmpuje

CuerpoPeso

SumPeso




• El Empuje se corresponde con el pesodel líquido desalojado

L

C > L

h1 h2

A)hh(Vol 12DesLiq


29


A






• Se calcula el volumen (cuerpo/líquido)


Liq

SumCuerpo

Liq

DesLiq

LiqDesLiqCuerpo

PesoPesoPesoEmpujeVolVol

CuerpoPeso

SumPesoL

C > L

h2

h1

LiqDesLiqDesLiq VolPesoEmpuje A)hh(Vol 12DesLiq


30


A



CuerpoPeso

SumPeso





• Se calcula el volumen (cuerpo/líquido)

• Se calcula la densidad del cuerpo

C

CCuerpoCuerpo Volg

Peso

g

L

C > L

DesLiq

SumCuerpoLiq Vol

PP

C

SumCuerpo

Cuerpo

Sum

Cuerpo

Cuerpo

DesLiq

SumCuerpoLiq Volg

P

Volg

P

Volg

P

Volg

PP

h2

h1

Liq

SumCuerpo

Liq

DesLiq

LiqDesLiqCuerpo

PesoPesoPesoEmpujeVolVol

LiqDesLiqDesLiq VolPesoEmpuje A)hh(Vol 12DesLiq


31


Determinar la densidad de un líquido en el que un cuerpo irregular de3.450 cm3 de 7,2 kg pesa 3,1 kg cuando está sumergido en élCalcular la densidad y el peso específico del cuerpo

32


Determinación del volumen de un flotador

• Estando en equilibrio las fuerzas se igualan

2.- Fuerzas sobre Cuerpos Sumergidos (P. de Arquímedes) (III)

L

Fl

C PesoEmpujeEquilibrio

FlFlCCLFlC VolVolVolVol

FlFlCCLFlC VolVolVolVol

FlL

LCCFl VolVol

LCCFlLFl

LCCCFlFlLFl

VolVol

VolVolVolVol

L

Fl

C

33


Calcular el volumen de un flotador de densidad 325 kg/m3 si debereflotar en un cuerpo sumergido en agua de 3,15 m3 y 4.235 kg

34


Calcular si la chalana de la Figura flota cuando está totalmentecargada (peso total 20.000 kg)

6 m3 m

1,5 m

0,9 m

P

35


Calcular la carga que puede llevar la chalana de la Figura si pesa 3.000 kg yel plano de flotación debe estar al menos 15 cm por debajo del borde superior

6 m3 m

1,5 m

0,9 m

P

0,15 m

Calado

36


Dado un cubo de lado a y peso específico C determinar lascondiciones de flotabilidad al estar en un fluido de peso específico L

a

hL

P

C

a

37


3.- Flotabilidad y Estabilidad (I)

• Centro de Gravedad del Cuerpo (P)

Depende de:

la forma del cuerpo

las diferencias de densidad del cuerpo

en el actúa el peso

P

P

• Centro de Gravedad del Líquido Desalojado (C)o Centro de Carena (volumen de fluido desalojado por la parte sumergida)

Depende de la geometría de la parte sumergida del cuerpoEn el actúa el empuje

PCGL C

PC

PC

38


3.- Flotabilidad y Estabilidad (II)

• Cabeceo

Es el movimiento del flotador alrededor de su eje transversal (Y)

• Balanceo (alabeo en aviones)

Es el movimiento del flotador alrededor de su eje longitudinal (X)

Cabeceo

Balanceo

X

Y

39


Cabeceo

• Cabeceo

Es el movimiento del flotador alrededor de su eje transversal (Y)

• Balanceo (alabeo en aviones)

Es el movimiento del flotador alrededor de su eje longitudinal (X)

3.- Flotabilidad y Estabilidad (II)

Balanceo

Y

40


Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (I)

Plano de Flotación:

Superficie libre del agua que corta al cuerpo en la posición normal

Plano de Flotación

Eje de Flotación:

Eje vertical que pasa por P

(es perpendicular al PF) P

Eje de Flotación

Carena:

Es el volumen de fluido desalojado por la parte sumergida

Calado

Línea de Flotación:

Perímetro del plano de flotación

Peso

Línea de Flotación

3.- Flotabilidad y Estabilidad (III)

41


Equilibrio de Cuerpos Sumergidos (I)

P CP CP C

P está en el mismo pto que C

Equilibrio indiferente

Ante cualquier perturbación no aparece par

Empuje Empuje Empuje

PesoPesoPeso

CC

LL

VolPeso

VolEmpuje

Estable en las tres situaciones

El Peso se manifiesta en el Centro de Gravedad del Cuerpo (P)

El Empuje se localiza en el Centro de Gravedad del Líquido (C)

3.- Flotabilidad y Estabilidad (IV)

42


Equilibrio de Cuerpos Sumergidos (II)




P debajo de C

Equilibrio estable:

Ante una perturbación aparece un par equilibrante que tiende a llevar al cuerpo a laposición inicial

P

C

P

C

CC

LL

VolPeso

VolEmpuje

Empuje

Peso

Empuje

Peso

PC

Empuje

Peso


43


Equilibrio de Cuerpos Sumergidos (III)

P debajo de C

Equilibrio estable:

Ante una perturbación aparece un par equilibrante que tiende a llevar al cuerpo a laposición inicial

P encima de C

Equilibrio inestable:

Ante una perturbación aparece unpar desequilibrante que tiende avolcar el cuerpo

CGC

CGLP

CPC

CC

LL

VolPeso

VolEmpuje

Empuje Peso

EmpujePeso





44


Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (II)

Metacentro:

Punto de intersección del eje de flotación (pasa por P) con la dirección del empuje (situada en C) cuando el cuerpo está ligeramente girado (< 15º)

P

CEmpuje

Peso

E.F.

M

PC

E.F.

Peso

Empuje

En los cuerpos parcialmente sumergidos la estabilidad está relacionada con las posiciones relativas P y el M, no con las de P y C

M

PC

E.F.

Peso

Empuje

3.- Flotabilidad y Estabilidad (V)

45


Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (III)

P debajo de M

Equilibrio estable:

Ante una perturbación aparece unpar equilibrante que tiende a llevaral cuerpo a la posición inicial

M

PCGL

Empuje

Peso

3.- Flotabilidad y Estabilidad (VI)

46



P debajo de M

Equilibrio estable:


M

PCGL

Empuje

Peso


M

PC

M

PC

P

C

En los cuerpos parcialmente sumergidos:• M está situado por encima del C• La estabilidad está relacionada con las posiciones relativas de P y M,

no con las de P y C

Peso

Empuje

Peso

Empuje

47



P debajo de M

Equilibrio estable:


M

PC

Peso


48



P encima de M

Equilibrio inestable:

Ante una perturbación aparece unpar desequilibrante que tiende avolcar el cuerpo

PM

C

Peso

Empuje


P debajo de M

Equilibrio estable:


M

PC

Peso

49


Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (IV)

P coincide con M

Equilibrio indiferente:

Ante una perturbación no aparece par

MP

C

E.F.

Peso

Empuje

P

C

E.F.

PesoEmpuje

3.- Flotabilidad y Estabilidad (VII)

50


C


PEmpujePeso

E.F.

M

E.F.

CGLPEmpujePeso

M

C


P coincide con M



51




P coincide con M



M

E.F.

CGLPEmpujePeso

M

C

MP

C

E.F.

Peso

Empuje

52


Al ubicar en un barco el peso en el fondo desciende P; al no modificar laposición de C aumenta la estabilidad

Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (V)

Equilibrio Inestable

M

PC

Equilibrio Estable

MP

C

3.- Flotabilidad y Estabilidad (VIII)

53


Al lastrar un barco (introducir peso en el fondo) desciende la posición deP, el barco se sumerge, y C también desciende

Pero el descenso de P es mayor que el de C, lo que hace que aumentela estabilidad

Equilibrio de Cuerpos Parcialmente Sumergidos (V)

MP

C

Equilibrio Inestable Equilibrio Estable

3.- Flotabilidad y Estabilidad (VIII)

M

PC

54


Cálculo de la distancia entre el M y C

Al girar un cuerpo en equilibrio un ángulo (pequeño) C se desplaza a C2

Con el desalineamiento del Peso y el Empuje surge un par que puede equilibrar odesequilibrar el cuerpo

C

P

C2

Par desequilibrante


CP

C2

Par equilibrante

Equilibrio Estable

3.- Flotabilidad y Estabilidad (IX)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (I)

C

P

Equilibrio (sin par)

55


CC2

M

x

O

Empuje

P

Par desequilibrante


3.- Flotabilidad y Estabilidad (IX)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (I)


CC2

M

x

O

Empuje

P

Par equilibrante

Equilibrio Estable

56


C2

P

3.- Flotabilidad y Estabilidad (X)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (II)




Aparece una sección emergida y otrasumergida que, para ángulos pequeños,se pueden considerar como dos cuñas(cñ) simétricas triangulares

Es equivalente realizar el estudio delequilibrio considerando:

• El peso en P y el empuje en C2

57


C2

P P

C









• El peso en P y sumar al empuje inicialen C el efecto de las cñ

58


CC2

x

O

Empuje

C2

M

x

O

EmpujePeso

P PEmpuje

de la cuña

Empuje dela cuña

Peso

Par equilibrante

Equilibrio Estable




C

M

59


CC2

M

x

O

Empuje

M

x

O

Empuje

Peso

P

Empujede la cuñaEmpuje de

la cuña

Peso

Par desequilibrante





P

C2 C

60


C

C2

x

O

EmpujePeso

PEmpuje

de la cuña

Empuje dela cuña

C

C2

M

x

O

Empuje

Peso

P

Empujede la cuñaEmpuje de

la cuña

Eq. Est. Eq. Inest.




M

61


C2

P P

C










62


P

C

3.- Flotabilidad y Estabilidad (XI)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (III)




Comparando el equilibrio en los casos:



Se puede eliminar el efecto del P y porlo tanto igualar el efecto de:

• Sumar al empuje inicial en C el efectode las cñ

• El empuje en C2

C2

P

63


C

P

C2

M

x

dFO

dF

y

dy

dA

O

O

Corte A-A´

A´A

dyy

dA

[Lo

ng

OO]

64


3.- Flotabilidad y Estabilidad (XII)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (IV)


Estudiando el equilibrio considerando:

• El empuje inicial en C el efecto de las cñ

Las cuñas tienen un efecto estabilizante

El empuje tiene un efecto desestabilizante

C

C2

M

x

Empuje

O

P

dF

dF

65







3.- Flotabilidad y Estabilidad (XII)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (IV)

C

C2

M

x

Empuje

O

P

dF

dF C2

x

C

M

O

[C-O].sen[C2-O].sen

[O-M].sen

P

66


Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (V)

x

dFyMcñ

dA)seny(y F

OOFcñ IsenM

y

dAysen 2F

Estudiando el Momento creado porlas cuñas, Mcñ respecto al eje OO

Empujede la cuña

Empuje dela cuñadF

dF cñF dVy

3.- Flotabilidad y Estabilidad (XIII)


dA)seny(dVcñ

cñF VF

dAyI

LFA

2OO

dA

x

dFO

dA

O

67


Estudiando el Momento creado por elempuje inicial en C respecto al eje OO

3.- Flotabilidad y Estabilidad (XIV)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (VI)


C

C2

M

x

Empuje

[O-C].sen

O

P

dF

dF

senOCEmpujeM CEmp

cF VE

senOCVcF

68


Estudiando el Momento creado por elempuje en C2 respecto al eje OO

3.- Flotabilidad y Estabilidad (XV)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (VII)


senOCEmpujeM 2CEmp 2

cF VE

senMOVcF

CC2

M

x

Empuje

P


• El empuje en C2

senMOsenOC2[C2-O].sen

O

[O-M].sen

69


3.- Flotabilidad y Estabilidad (XVI)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (VIII)






• El empuje en C2

senOCVM cFCEmp

OOFcñ IsenM

senMOVM cFCEmp 2

2CEmpCEmpcñ MMM

MCOCMOV

I

c

OO

MOVOCVI ccOO

senMOVsenOCVIsen cFcFOOF

c

OO

V

IMC

70


• Distancia [C-M]

3.- Flotabilidad y Estabilidad (XVII)

Estudio de la Estabilidad de Cuerpos Flotantes (IX)

Cumplimiento de la condición de estabilidad

• M por encima de P: Equilibrio estable

c

OO

V

IMC

PCMC

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD:

• M y P en el mismo pto: Equilibrio indiferente

• M por debajo de P: Equilibrio inestable

PCMC

PCMC

]PC[V

I

c

OO

C2

x

C

M

O

P

Comprobar estabilidad frente al Momento de

Inercia menor del cuerpo

71


Repaso.- Momento de Inercia (I)

)mkg(rmI 2

i

2ii

• Respecto a un eje paralelo a otro que pasa por el centro de masa (c.m.)

2.m.c.m.cparaleje dMII

dmrI 2 dVolrI 2 oldVrI 2

VolM uniformesi

Teorema de Steiner

m: masa (kg)

r: distancia al eje de giro (m)

Definir el eje de giro

72


Repaso.- Momento de Inercia (II)

m: masa (kg)


dxb

M)dxa(

ba

Mdm

dxb

MxI 2

2/b

2/b

.m.c

2bM12

1

2/b

2/b3

3

x

b

M

dmrI 2

24

b

24

b

b

M

3

2/b

3

2/b

b

M 3333

b/2

b/2

a

dxc

c << ac << b

dm

M

x


)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

73


Repaso.- Momento de Inercia (II)

m: masa (kg)


c << ac << b

2.m.c bM

12

1I


paralejeI4

bM

12

bM

2

bMbM

12

1 2222

2bM

3

1

b

a

b/2c.m.

M


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

74


Repaso.- Momento de Inercia (III)

m: masa (kg)


a

c

c.m.


M

dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

b

75


a

c

c.m.


m: masa (kg)


b/2

b/2

a

dxc

c << ac << bdm

M

x

2bM12

1I

b/2

b/2

M


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

76



m: masa (kg)


b/2

b/2

a

c

xdx

M

dx << cdx << b

2bM12

1I

dM

c.m. Considerando la porción de dM respecto al c.m.:



dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

77



m: masa (kg)


dMI paraleje

dMxb

12

1xdMbdM

12

1 2222

dx

a

Mxb

12

1 22

b/2

b/2

a

c

x

c.m.

dx

M

dx << cdx << b

dM

Considerando la porción de dM respecto al c.m.:

2bM12

1I

Definir el eje de giro2

.m.c.m.cparaleje dMII

dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

78



m: masa (kg)


dxa

Mxb

12

1 22

b/2

b/2

a

c

x

c.m.

dx

M

dx << cdx << b

dM

)dM(IMI paraleje

2/a

2/a

.m.c


2bM12

1I



dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

dMI paraleje

baVolM

79



m: masa (kg)


b/2

b/2

a

c

x

c.m.

dx

M

dx << cdx << b

dM

3

)2/a(

12

2/ab

a

M2

3

x

12

xb

a

M 32

2/a

2/a32

)ba(M12

1 22 24

abM2

24

a

24

ab

a

M2

2232


dxa

Mxb

12

1 222/a

2/a

2bM12

1I


dxa

Mxb

12

1 22

)dM(IMI paraleje

2/a

2/a

.m.c


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

dMI paraleje

baVolM

80


b/2

b/2

a

c

Repaso.- Momento de Inercia (IV)

m: masa (kg)


b/2

b/2

a

c

c.m.

M

)ba(M12

1)M(I 22

.m.c

a << ba << c

2.m.c bM

12

1)M(I



dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

81


b

a/2c

Repaso.- Momento de Inercia (IV)

m: masa (kg)


b/2

b/2

a

c

c.m.

Mb << ab << c

a/2


)ba(M12

1)M(I 22

.m.c

2.m.c bM

12

1)M(I


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

baVolM

82


Repaso.- Momento de Inercia (V)

m: masa (kg)


2RM8

1I

R

…

2RM8

1I

R

2R

2

1VolM

dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii


83



m: masa (kg)


2RM2

1I 2RM

4

1I

R R

…



dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

2RVolM

84



m: masa (kg)


…

b

h


2hb12

1I


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

hb

3

1VolM

85



m: masa (kg)


…

b

h


h/3

2hb36

1I


dmrI 2)mkg(rmI 2

i

2ii

hb

3

1VolM

86


3.- Flotabilidad y Estabilidad (XVIII)

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD: ]PC[V

I

c

OO C2

x

C

M

O

P

Comprobar estabilidad frente al Momento de

Inercia menor del cuerpo

)mkg(rmI 2

i

2ii

Al aumentar r aumenta I por lo tanto la estabilidad

Menos estable

O

CabeceoBalanceo

OO O O

Menos estable

87


Flotando

Sumergiendo

Llena tanque de lastre de agua y acumula el aire en

reservorios interiores

Emergiendo

Expulsa el agua al introducir en el tanque de lastre aire a presión

procedente de los reservorios

Tanque de lastre

Reservorios de aire

5.- Flotabilidad y Estabilidad (XIX)

88


Calcular si la chalana de la Figura es estable cuando estátotalmente cargada (peso total 20.000 kg)

6 m3 m

1,5 m

0,9 m

P

89


Dado un cubo de lado a y peso específico C determinar lascondiciones de estabilidad al estar en un fluido de peso específico L

a

h

P

C

a

90


2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Plana (I)

Superficie rectangular sumergida (I):

• Horizontal (A1)

• Vertical (A2)

• Inclinada (A3)

A1

A2 A3

ρ

91


2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Plana (I)

Superficie rectangular sumergida (I):

• Horizontal (A1)

• Vertical (A2)

• Inclinada (A3)

peso específico del fluido

hA1 es la altura de la columna de líquido encima de A1

11A A)hg(APF

Aplicada en el centro de presiones de A1

A1

hA1

1Ahg

ρ

92


Superficie rectangular sumergida (II):

• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

A2

hA1

1Ahg

ρ

2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Rectangular Plana (II)

93



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF


A2

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

Max2Ahg

94



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

PPromedio es la existente en el centro de gravedad de la pared

22cg A)hg(F

Aplicada en el centro de presiones de A2 (hcp2)


A2Max2Ahg

95



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg


22cg A)hg(F


ρhcg2

Min2Ahg

A2

ρhcg2

2cghg


A2Max2Ahg

A2Max2Ahg

96



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

22cg A)hg(F


A2

ρhcg2

Min2Ahg ρhcg2

F2 en un pto que noprovoque vuelco (c.p.)

hcp2

2cghg



A2Max2Ahg A2

A2Max2Ahg

97



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

22cg A)hg(F


ρhcg2


hcp2

(c.p.) con relación al eje de giro de A2,el momento de la resultantesobre el c.p. es igual a la sumade todos los momentos de los dA

dFhdFyhF 2cp2

A F

dA dF



A2

A2Max2Ahg

98



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

22cg A)hg(F


ρhcg2


hcp2

2cghg

Ah

Ihh

cg

cgcgcp

Icg es el momento de inercia respecto alcentro de gravedad (c.g.) de la superficie



A2

A2Max2Ahg

99



• Horizontal

• Vertical (A2)

• Inclinada

2Promedio APF

ρ

hA2 Max

hA2 MinMin2Ahg

22cg A)hg(F


ρhcg2


hcp2

2cghg

Ah

Ihh

cg

cgcgcp

Icg es el momento de inercia respecto alcentro de gravedad (c.g.) de la superficie



A2

A2Max2Ahg

c.p.

c.g.

hcg2hcp2


100


Determinar la fuerza debida a la acción del agua sobre una compuertaplana rectangular de 5 m de longitud

hA Max = 10 m

hA Min= 4 m

A

101


1,2 m

2 m

Determinar el empuje y su posición sobre la compuerta rectangular de 1,2 m dealtura y 0,6 m de ancho situada a 2 m de altura respecto a la cota de la presa

102


1,2 m

55 m

Determinar el empuje y su posición sobre la compuerta rectangular de 1,2 m dealtura y 0,6 m de ancho situada a 55 m de altura respecto a la cota de la presa

103


1,2 m

0,3 m

Determinar el empuje y su posición sobre la compuerta rectangular de 1,2 m dealtura y 0,6 m de ancho situada a 0,3 m de altura respecto a la cota de la presa

104


Calcular la fuerza sobre las paredes verticales de un recipiente cuadradode 1 m de lado que contiene una capa de agua de 0,8 m y otra de aceite(DR = 0,85) de 0,6 m

0,6 m

0,8 m

105


Un tanque cúbico de 1,4 m de arista contiene aceite Dr 0,85 hasta una altura de0,8 m, estando el aire de la parte superior a una presión manométrica de 0,5bar. Calcular la fuerza sobre la cara superior, la inferior y en una cara lateral

0,8 m

Aire(0,5 bar)

1,4 m

Aceite (Dr = 0,85)

0,6 m

106


Una compuerta vertical de sección rectangular de 2 m de ancho cierra uncanal; calcular el peso que se debe colocar para que la compuerta no abracuando el canal esté lleno

1 m

2 m

hCGC

hCP

M

107


Determinar a que altura se debe dividir la compuerta para que las dospartes sufran el mismo empuje del agua

hA Max = 9 m

hA Min= 4 m

A2

A1

A

hD

108


Determinar el nivel de agua necesario para que abra la compuerta

1 m

hC

om

p hC

GC

hC

P

109


Calcular las fuerzas que provoca el agua sobre las dos bisagras y laaldaba de la puerta vertical de la figura

1,8 m

3 m

1,3 m

1,3 m

0,35 m

0,35 m

110


Determinar la fuerza horizontal que hay que aplicar en A para que lacompuerta rectangular de 1 m de ancho permanezca en equilibrio

9 m

hC

GC

hC

P

Agua

AceiteDr = 0,8

2 m 6

m

Paire = -0,147 bar

FComp

A

111


Superficie rectangular sumergida (III):

• Horizontal

• Vertical

• Inclinada un ángulo α respecto a la horizontal (A3) APF Promedio

ρ

hA3 Max

hA3 Min

2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Rectangular Plana (III)

A3

Min3Ahg

Max3Ahg

ρ

hA3 Max

hA3 Min

A3

Distribución de Presiones

Distribución de Presiones [y (x m2) de Fuerzas]

en la pared

112



• Horizontal

• Vertical


ρ

hA3 Max

hA3 Min


A3

33cg A)hg(F Max3Ahg

Min3Ahg

ρhcg3

A3

Max3Ahg

Min3Ahg ρ

hcg3

A3

Max3Ahg

Min3Ahg

3cghg


Aplicada en el centro de presiones de A3 (hcg3)

113



• Horizontal

• Vertical


ρ

hA3 Max

hA3 Min


A3

33cg A)hg(F Max3Ahg

Min3Ahg

ρhcg3

A3

Max3Ahg

ρhcg3

A3

Max3Ahg

3cghg




Min3Ahg Min3Ahg

(x m2)

114



• Horizontal

• Vertical


ρ

hA3 Max

hA3 Min


A3

33cg A)hg(F PPromedio es la existente en el

centro de gravedad de la pared

Max3Ahg

Min3Ahg

ρhcg3

A3

Max3Ahg

Min3Ahg

3cghg


A F

dA dF

dFLdFyLF 2cp3

(c.p.) con relación al ejede giro de A3, elmomento …


(x m2)

115



• Horizontal

• Vertical


ρ

hA3 Max

hA3 Min


A3

33cg A)hg(F PPromedio es la existente en el

centro de gravedad de la pared

Max3Ahg

Min3Ahg

ρhcg3

A3

A F

dA dF

dFLdFyLF 2cp3

(c.p.) con relación al ejede giro de A3, elmomento …


hcp

3

hcg

3AL

ILL

cg

cgcgcp

sen/hL

sen/hL

3cg3cg

3cp3cp

116


Superficie plana irregular sumergida inclinada un ángulo α respecto a lahorizontal (A4)

ρ

hA4 Max

hA4 Min

A4

Min4Ahg

Max4Ahg

2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Plana Irregular (IV)

APF Promedio 44cg A)hg(F PPromedio es la existente en el centro de gravedad de la pared

CGC

CP

Aplicada en el centro de presiones de A4

Hay que localizar las coordenadas (xcp, ycp) AL

ILL

cg

cgcgcp

AL

Ixx

cg

xycgcp

Axy dAyxI:siendo

hcp

4

hcg

4

sen/hL

sen/hL

4cg4cg

4cp4cp

117



El plano L-Y es el que contiene a la superficieA, que forma un ángulo con la SuperficieLibre del Líquido (SLL)

dAsenLdAhdApdF

APF Promedio

AhApF CGCCGC

Las presiones debajo de CGC sonmayores que las de encima; por loque el punto de aplicación de laFuerza, CP, ha de estar por debajo

L

Y

CGCPto (xp,yp)

SLL

hpto

CP

hCGC hCP

senLh

senLh

senLh

ptopto

CPCP

CGCCGC

118


L

Y

CGCPto (xp,yp)

SLL

hpto

CP

hCGC hCP

senLh

senLh

senLh

ptopto

CPCP

CGCCGC


dF LFLA

CP

dAsenLL AsenLLA

CGCCP

AsenLAhApF CGCCGCCGC

yA

2CGCCP IdA L ALL

AL

IL

CGC

yCP

El momento de la fuerza F respecto al ejeY es igual a la suma de los infinitosmomentos respecto del mismo eje:

Localización del Centro de presiones CP:

119



L

Y

CGCPto (Lp,yp)

SLL

hpto

CP

hCGC hCP

Localización del Centro de presiones CP:

Resulta más práctico expresar elmomento de inercia (Iy ) respecto a uneje G paralelo que pasa por el CGC (Ig) G (II a Y)

ALII 2Ggy

teorema de Steiner

AL

ILL

CGC

gCGCCP

CP-CGCEl término

Si = 90º alcanza su valor máximo

Si = 0

representa

0CP-CGC

AL

I

CGC

g

senLh

senLh

senLh

ptopto

CPCP

CGCCGC

120


Determinar la fuerza debida a la acción del agua sobre una compuertaplana inclinada de 5 m de longitud

hA Max = 10 m

hA Min= 4 m

= 45º

A

121


Determinar a que profundidad debe estar sumergido el lado superior de lacompuerta triangular de 2 m de base y 1,2 m de alto para que el CP estésituado a 5/12 de la base

h = 1,2 m

p

b = 2 m

hCP

122


M

0,6 m

hCGC

hCP3 m

2,5 m

Una compuerta vertical de sección triangular está montada sobre un ejede giro (lado superior). Calcular el peso que se debe colocar para que lacompuerta no abra cuando el canal esté lleno

123


La válvula circular de la figura de 3 m de diámetro gira alrededor del ejehorizontal que pasa por su centro. Calcular la fuerza para mantenerla cerrada

2 m

hCGChCP

FComp

124


2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Curva (V)

Superficie curva de ancho b (de generatrices paralelas) sumergida (A5)

La Fuerza resultante tendrá dos componentes: Fh y Fv

AA5

hp

ared

Lp

ared

B

A

B

A5

125



La componente horizontal: Fh

La fuerza es la correspondiente a la que tendría sobre la proyección verticalde la pared, y el punto de aplicación de Fh es en CP de la pared vertical

Ah

Ihh

CGC

gCGCCP

CGC

2P

CGCCP h12

Lhh

hp

ared

Fh

hC

GC

Lp

ared

A

B

hC

P

CGC

CP

PCGC

3P

CGCCP Lbh

12/Lbhh



A5

Línea de acción de Fh

126


La componente vertical: Fv

Es el peso del líquido que queda sobre la superficie, que se puededescomponer en superficies infinitesimales

El dFV que actúa en cada escalón será:




dx

dz

z

dxbzdApdFv

B

A

B

Av MmNnárea bdxz bF

aBbAárea bFv

N

E integrando en la superficie:B

bm

A

a

dFv

M

n

127



Es el peso del líquido que queda sobre la superficie, que se puededescomponer en superficies infinitesimales




b

B

aBbAárea bFv

El punto de aplicación de FV es enel CGL que está encima de la pared

A Línea de ac. de Fv

a

Fv

CGL

128





B


La componente horizontal: Fh 2h

2v FFF

Fh

El punto de aplicación de F

Fh

FAA

Línea de ac. de Fv

Línea deac. de Fh

(no tiene que estar en la superficie, esun punto en el que la aplicación de la Fda el mismo resultado que la suma delas infinitas fuerzas sobre la superficie)

129


A

B


2.- Fuerza Ejercida Sobre una Superficie Curva (VI)


A6



hp

ared

Fh

hC

GC

Lp

ared

hC

P

CGC

CP

Ah

Ihh

CGC

gCGCCP

CGC

2P

CGCCP h12

Lhh

PCGC

3P

CGCCP Lbh

12/Lbhh

Línea de ac. de Fh

130







hp

ared

Fh

hC

GC

Lp

ared

hC

P

CGCCP

A6

A

a

b B

Con esta geometría los esfuerzos horizontales que en la parte

superior de la superficie se anulan(b-a) = (a-B)

Solo se consideraría, a efectos de la fuerza horizontal, la parte (A-b)

131


A

B




A6

MB área AM área AB área => M

bam

A

B


Es el peso del líquido que queda sobre la superficie

132





sobre AM es ascendente:

M

bam

A

B

sobre MB es descendente:

=>

B

bm

Fv2

M

A

b

Fv2

B

+

μ

Fv1

a

M

A

m



MmbB áreabF 2v MmaA área bF 1v

133





=

2v1vv FFF

+

B

bm

Fv2

M

A

b

Fv2

B

μ

Fv1

a

M

A

m

B

bm

Fv1

Fv2

M

A

a

sobre AM es ascendente: sobre MB es descendente: MmbB áreabF 2v MmaA área bF 1v



134





MmaA áreaMmbB áreabFv

=

AM áreaabB áreabFv

B

bm

Fv1

Fv2

M

A

a

B

bm

Fv11

Fv22

M

A

a

1v2vv FFF 11v22vv FFF



135





=

B

bm

Fv1

Fv2

M

A

a

B

bm

Fv11

Fv22

M

A

a



Fv1, Fv11, Fv2 y Fv22

se sitúan en el centro de gravedad del líquido correspondiente

MmaA áreaMmbB áreabFv AM áreaabB áreabFv

1v2vv FFF 11v22vv FFF

136







La resultante final es la suma de tres fuerzas, aplicadas sobre tres líneas de influencia

Fh + (Fv1 y Fv2) o (Fv11 y Fv22)

137


Un tanque de longitud 2,5 m y las áreas extremas verticales contiene agua,siendo las dimensiones de la sección transversal MNK = 1,7 m2, b = 1,2 m,c = 1,5 m, d = 1,8 m. Determinar la fuerza sobre la pared AMN y el ángulosobre la horizontal

h

dc

b

N

AB

M

2,5 m

K

MF T02 [Modo de compatibilidad] · 1.- Presión (III) Hidrostática: fluidos en reposo (v = 0) Si...

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Transcript of MF T02 [Modo de compatibilidad] · 1.- Presión (III) Hidrostática: fluidos en reposo (v = 0) Si...