Mezipředmětové vazby v kontextu výuky vzdělávacích oblastí ... · doplněn ilustraþními...
Transcript of Mezipředmětové vazby v kontextu výuky vzdělávacích oblastí ... · doplněn ilustraþními...
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Pedagogická fakulta Katedra matematiky
Závěrečná práce
Mezipředmětové vazby v kontextu výuky
vzdělávacích oblastí Matematika a její
aplikace a Člověk a příroda (Chemie)
Vypracovala: Mgr. Dagmar Doleželová Vedoucí práce: doc. RNDr. Helena Koldová, Ph.D.
České Budějovice 2018
2
Prohlášení
Prohlašuji, že svoji závěrečnou práci jsem vypracovala samostatně pouze s použitím pramenů
a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona
č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své závěrečné práce, a to
v nezkrácené podobě elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG
provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových
stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační
práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným
ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam
o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé
kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním
registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů.
V Českých Budějovicích, 14. prosince 2018 Mgr. Dagmar Doleželová
3
Anotace:
Předkládaná práce se zabývá mezipředmětovými vztahy ve výuce matematiky a chemie na
základní škole. Teoretická část srovnává obsahové a časové vazby obou předmětů. Na
řešených příkladech ukazuje nutnost matematické gramotnosti v chemii a zároveň využití
poznatků z chemie v matematice. Praktická část obsahuje soubor pracovních a metodických
listů, jejichž tématem jsou směsi, vyjadřování složení roztoků a změny ve složení roztoků.
Cílem je propojení společného učiva matematiky a chemie tak, aby jejich výuka byla co
nejefektivnější.
Klíčová slova: mezipředmětové vztahy, matematická gramotnost, směsi, složení roztoků,
ředění roztoků, směšovací rovnice
Abstract:
This thesis deals with the cross-curricular relations in teaching mathematics and chemistry at
elementary schools. The theoretical part compares the content and time links of both subjects.
There´s a necessity of mathematical literacy in chemistry, as well as the use of knowledge
from chemistry in mathematics. The practical part contains a set of working and
methodological worksheets. The worksheet themes are the mixtures, the composition of the
solutions and their changes. The aim is joining the common curriculum of mathematics and
chemistry so that we can achieve the most effective way of teaching.
Keywords: cross-curricular relations, mathematical literacy, mixtures, composition of
solutions, dilution of solutions, mixing equation
4
Poděkování
Ráda bych poděkovala doc. RNDr. Heleně Koldové, Ph.D. za odborné vedení a cenné rady
a připomínky, které mi věnovala při zpracování této závěrečné práce. Děkuji rovněž svým
kolegům za řadu podnětů a zkušeností.
5
Obsah
1. Úvod ……………………………………………………………………….…………….…………6
2. Teoretická část…………………………………………………………….………………………...7
2.1. Mezipředmětové vztahy……………………………………………….………………...…..…8
2.2. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání……………….……………………….9
2.2.1. Matematika a její aplikace…………………………………………………………..…10
2.2.2. Člověk a příroda (Chemie)……………………………………………………………11
2.3. Matematika ve výuce chemie……………………………………………….…...........………12
2.3.1. Desetinná čísla………………………………………………………...………………13
2.3.2. Zlomky………………………………………..………………………………………14
2.3.3. Převody jednotek………………….……………………………………………..……14
2.3.4. Dělitelnost………………………..……………………………………………………16
2.3.5. Vyjadřování neznámé veličiny ze vzorce …………………………...……………..…18
2.3.6. Lineární rovnice…………………………………………………………....…….……19
2.3.7. Přímá úměrnost, trojčlenka…………………………………………….…….….……20
2.3.8. Procenta……………………………………………………………….………………21
2.3.9. Použití kalkulačky a odhad výsledku…………………………….……..…………….21
2.4. Chemie ve výuce matematiky…………………………………………….………..…………26
2.4.1. Směsi…………………………………………………………….………...………….26
2.4.2. Složení roztoků…………………………………………………..………………...….27
2.4.3. Směšování roztoků o různé koncentraci, směšovací rovnice………….…………..…33
2.4.4. Změny ve složení roztoků……………………………………….………………....…37
2.4.5. Příčiny chyb ve výpočtu …………………………………………………………...…39
3. Praktická část………………………………………………………………………………..….…..42
3.1. Přehled pracovních listů…………………………………………………………….……...…42
3.2. Pracovní a metodické listy………………………………..……………….……………..……42
Pracovní list 1, Metodický list 1………………………………………...……………..……43
Pracovní list 2, Metodický list 2……………………………………………..……..….……48
Pracovní list 3, Metodický list 3………………………………………………………….…53
Pracovní list 4, Metodický list 4………………………………………...…………..………56
Pracovní list 5, Metodický list 5…………………………………………….................……60
Pracovní list 6, Metodický list 6………………………………………….........……………65
3.3. Ověření vybraných pracovních listů v praxi………………...……………………..…………71
4. Závěr…………………………………………………………………………..…………....………80
5. Seznam použité literatury………………………………………………..…………..…….….……81
6
1. Úvod
Tato závěrečná práce se zabývá mezipředmětovými vazbami ve výuce matematiky
a chemie na základní škole. Úspěšnost žáka v chemii je bezesporu závislá na jeho
matematické gramotnosti. Rovněž v matematice existují oblasti, které pro úplné porozumění
vyžadují žákovy znalosti získané v předmětu chemie. Teoretická část práce rozebírá každý
z obou předmětů pod zorným úhlem toho druhého - matematické kategorie ve výuce chemie
na straně jedné, na druhé straně poznatky z chemie potřebné ve výuce matematiky. Text je
doplněn ilustračními řešenými příklady.
Praktická část práce dává v podobě pracovních a metodických listů námět na
zpracování společného učiva matematiky a chemie. Jedná se o úlohy o směsích týkající se
vyjadřování složení roztoků, jejich vzájemného směšování a ředění. Jde o propojení učiva
matematiky a chemie v 8. a 9. ročníku základní školy tak, aby výuka byla co nejefektivnější.
V práci čerpám ze svého předchozího studia učitelství chemie pro 2. stupeň ZŠ
a střední školy a z několikaleté praxe učitele chemie na základní škole. Je to pohled učitele
chemie, který není učitelem matematiky, ale při výuce chemie se s matematikou setkává
neustále. V rámci současného studia učitelství matematiky pro 2. stupeň ZŠ mohu přispět
i z pohledu učitele matematiky a chemii vnímat i z matematické stránky.
Práce je určena jak učitelům matematiky, tak učitelům chemie, kteří nevyučují druhý
z předmětů. Může sloužit též jako malá sbírka příkladů z chemie i slovních úloh
z matematiky.
7
2. Teoretická část
Tak jako žádný vědní obor není izolovaný, neboť čerpá z poznatků jiných (příbuzných
i méně příbuzných) oborů a zároveň je zdrojem informací pro další obory, stejně tak se
prolínají určité oblasti oborů vzdělávacích (vyučovacích předmětů). Platí to i pro matematiku
a chemii.
„Bez matematiky se neobejdeme“ nebo „Roztoky a matematika“ jsou názvy kapitol
jedné z učebnic chemie pro základní školy [2]. Autoři prostřednictvím nich žákům sdělují, že
poznatky z matematiky jsou důležité také v chemii. Platí to i obráceně. V učebnicích
matematiky se objevují témata s názvy: Směsi, Roztoky, Úlohy o směsích, které si podle
názvu žáci lehce spojí s chemií. Provázanost a prolínání obou předmětů jsou patrné na první
pohled.
Vazba chemie na matematiku je nesporná. V prvních hodinách chemie se žáci
seznamují s charakteristikou předmětu (i vědní disciplíny) chemie. Učí se, že chemie zkoumá
složení látek, vlastnosti látek a přeměny látek v látky jiné [2]. Složení látek je spojené
s názvoslovím, tedy tvořením vzorců a názvů sloučenin, a bez vazby na matematiku si nelze
vystačit. Některé vlastnosti látek jako např. hustota, teplota tání, teplota varu, rozpustnost
rovněž předpokládají znalosti z matematiky. Přeměny výchozích látek v látky jiné (produkty)
se označují jako chemické reakce a zapisují se pomocí chemických rovnic. Jejich
sestavování, úprava a výpočty z nich jsou opět závislé na matematických schopnostech.
Chemie se tedy bez matematiky učit a naučit nedá.
V učebnicích matematiky se sice objevují příklady s chemickou tématikou, nevyžadují
však důkladnou znalost chemického názvosloví či dovednost sestavovat a upravovat
chemické rovnice. Jedná se o příklady týkající se složení látek, směsí a roztoků. Jsou spojeny
s výukou a procvičováním procent, přímé úměrnosti, trojčlenky a řešení rovnic a jejich
soustav. Pro výpočet těchto příkladů by měla být chemie oporou ve smyslu znalostí pojmů a
názornosti v podobě demonstračních pokusů a ukázek, případně praktických cvičení.
Matematika je nezbytným prostředkem ke zvládnutí jiných oborů, mezi které patří i
chemie. Matematické poznatky totiž „mohou přispět k hlubšímu porozumění problémům
techniky, přírody i společnosti, zákonitostem světa přírody i např. světa financí. …. (žáci) by
8
měli pochopit, že matematika je užitečný nástroj pro řešení problémů. Matematika může a má
přispívat k lepší orientaci člověka v realitě“. [17]
2.1. Mezipředmětové vztahy
Styčné oblasti jednotlivých předmětů jsou v literatuře označovány jako
mezipředmětové vztahy, mezipředmětové vazby či přesahy, mluví se rovněž
o mezipředmětové integraci.
V Pedagogickém slovníku jsou mezipředmětové vztahy popsány jako „vzájemné
souvislosti mezi jednotlivými předměty, chápání příčin a vztahů přesahujících předmětový
rámec, prostředek mezipředmětové integrace. V předmětovém kurikulu jsou vyjadřovány
v učebních osnovách jako tzv. mezipředmětová témata nebo jsou realizovány v samostatných
předmětech …“ [24]
Podle Janáse [14] se termínem mezipředmětové vztahy obvykle označuje široká oblast
didaktických vazeb, které se týkají nejen obsahu vyučování. Autor zmiňuje tyto vazby:
- obsahové vazby (jsou odrazem mezivědních vztahů a jde v nich o obsahovou shodu učiva)
- metodické vazby (oblast společných metod a forem vyučování a učení)
- časové vazby (časová návaznost učiva).
Vztahy mezi předměty lze chápat i jako přesahy poznatků do jiných předmětů, na
nichž se musí podílet celý kolektiv pedagogů. [1]
Mezipředmětové vztahy se uplatňují i v integrované výuce. Je jí myšleno „spojení
(syntéza) učiva jednotlivých učebních předmětů nebo kognitivně blízkých vzdělávacích
oblastí v jeden celek s důrazem na komplexnost a globálnost poznávání, kde se uplatňuje řada
mezipředmětových vztahů“. [29] Rozlišuje se vnější integrace (obsah jednotlivých předmětů
zůstává relativně samostatný, ale jejich témata jsou řazena vedle sebe s ohledem na vazby
mezi nimi) a vnitřní integrace (spojování poznatků kognitivně blízkých oborů v jednom
celku). „Cílem jednotlivých předmětů je seznámit žáka s obsahem daného předmětu, s jeho
problematikou z pohledu své vědní disciplíny“. [29]
Mezipředmětové vztahy jsou důležité, aby „si žáci utvořili celkovou představu
o přírodě a společnosti. Fungují jako didaktický nástroj, který pomáhá odstranit nežádoucí
opakování učiva, usnadňuje uspořádání a třídění poznatků, pomáhá tvořit dovednosti syntézy
9
a přesunu poznatků a pracovních metod z jednoho předmětu do druhého a zlepšuje vytváření
obecných představ o společnosti a přírodě“. [7]
V oblasti mezipředmětových vztahů je velmi důležitá spolupráce učitelů obou
předmětů. V literatuře [14] se mluví o didaktické kooperaci. Rozumíme jí „spolupráci učitelů
při plnění společných cílů a při volbě postupů, organizačních forem vyučovacího procesu,
zájmové činnosti žáků i využívání pomůcek v různých předmětech. Týká se metodiky
přípravy, provádění a interpretace pokusů, laboratorních prací, kreslení a čtení náčrtů,
schémat a grafů, řešení úloh mezipředmětového obsahu, organizování společných besed,
exkurzí apod. Je to vyšší forma spolupráce učitelů“.
Ve výuce chemie je důležitá matematická gramotnost. Je to „schopnost jedince poznat
a pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě, dělat dobře podložené úsudky a proniknout
do matematiky tak, aby splňovala jeho životní potřeby jako tvořivého, zainteresovaného a
přemýšlivého občana“. [32]
„Úroveň matematické gramotnosti se projeví, když jsou matematické znalosti
a dovednosti používány k vymezení, formulování a řešení problémů z různých oblastí
a kontextů a k interpretaci jejich řešení s užitím matematiky.“ [32] Jednou z těchto oblastí je
i chemie. Jakýkoliv příklad z chemie vyžaduje určité matematické dovednosti, zároveň se
stává slovní úlohou z matematiky, která spadá do kategorie aplikačních úloh.
2.2. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (RVP ZV)
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání představuje spolu s Národním
programem vzdělávání státní úroveň v systému kurikulárních dokumentů. Na základě zásad
stanovených v příslušném Rámcově vzdělávacím programu si každá škola vytváří svůj
Školní vzdělávací program (dále ŠVP). RVP zdůrazňuje klíčové kompetence, jejich
provázanost se vzdělávacím obsahem a uplatnění získaných vědomostí a dovedností
v praktickém životě. [31]
Vzdělávací obor chemie patří vedle fyziky, přírodopisu a zeměpisu do vzdělávací
oblasti Člověk a příroda, která zahrnuje okruh problémů spojených se zkoumáním přírody
a podporuje vytváření otevřeného myšlení, kritického myšlení a logického uvažování. Tato
vzdělávací oblast kooperuje s dalšími vzdělávacími oblastmi, mezi něž patří i Matematika a
její aplikace.
10
Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je rozdělena do čtyř tematických
okruhů: Číslo a proměnná, Závislosti, vztahy a práce s daty, Geometrie v rovině a v prostoru,
Nestandardní aplikační úlohy a problémy. Vzdělávání klade důraz na důkladné porozumění
základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům.
Mezi cíle této vzdělávací oblasti patří:
- využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech (odhady, měření,
porovnávání)
- rozvíjení paměti žáků
- vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh)
a efektivní využívání osvojeného matematického aparátu.
- rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace
z běžného života
- k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby.
V okruhu Číslo a proměnná „žáci si osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách:
dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění (proč je operace prováděna
předloženým postupem) a významové porozumění (umět operaci propojit s reálnou situací).
Učí se získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním.“ [31]
V následujícím přehledu je uveden vzdělávací obsah (tj. učivo a očekávané výstupy
žáků) pro vzdělávací oblasti 2. stupně základní školy, jimiž jsou předměty matematika
a chemie. V přehledu je uvedeno pouze učivo týkající se obou předmětů.
2.2.1. Matematika a její aplikace [31]
ČÍSLO A PROMĚNNÁ
Učivo:
- dělitelnost přirozených čísel – násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší
společný dělitel
- celá čísla, desetinná čísla, zlomky
- poměr – úměra, trojčlenka
- procenta – procento, promile, základ, procentová část, počet procent
- rovnice – lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Očekávané výstupy:
Žák:
- provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel
- zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor
11
- modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel
- užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem,
poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem)
- matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určí hodnotu výrazu, sčítá
a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním
- formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnice a jejich soustav
2.2.2. Člověk a příroda (Chemie) [31]
SMĚSI
Učivo:
- směsi – různorodé, stejnorodé, roztoky; hmotnostní zlomek a koncentrace roztoku;
koncentrovanější, zředěnější, nasycený a nenasycený roztok; vliv teploty, míchání a plošného
obsahu pevné složky na rychlost jejího rozpouštění do roztoku
Očekávané výstupy:
- žák rozlišuje směsi a chemické látky, vypočítá složení roztoků, připraví prakticky roztok
daného složení
ČÁSTICOVÉ SLOŽENÍ LÁTEK A CHEMICKÉ PRVKY
Učivo:
- částicové složení látek – molekuly, atomy, atomové jádro, protony, neutrony, elektronový
obal a jeho změny v chemických reakcích, elektrony
- prvky – prvky, značky, skupiny a periody v periodické soustavě chemických prvků;
protonové číslo
Očekávané výstupy:
- používá pojmy atom a molekula ve správných souvislostech
CHEMICKÉ REAKCE
Učivo:
- chemické reakce – zákon zachování hmotnosti, chemické rovnice, látkové množství,
molární hmotnost
Očekávané výstupy:
- žák přečte chemické rovnice a s užitím zákona zachování hmotnosti vypočítá hmotnost
výchozí látky nebo produkty
12
2.3. Matematika ve výuce chemie
Pro úspěšné zvládnutí učiva chemie jsou nezbytným předpokladem znalosti
a dovednosti z matematiky. V chemii se uplatňují zejména v chemickém názvosloví, při
úpravě chemických rovnic a při řešení chemických výpočtů. Díky tomu je chemie úzce spjata
s matematikou a učitel chemie se v mnoha hodinách musí stát učitelem matematiky. Velmi
proto záleží na jeho přístupu k žákovým znalostem z matematiky. Pokud bere za
samozřejmost, že žák vše z matematiky umí a učivo nepřipomene nebo znovu nevysvětlí,
může se to odrazit v prohloubení nezájmu o matematiku, a tím i o chemii. Oba předměty
totiž spolu s fyzikou patří k obtížným a méně oblíbeným právě proto, že se v nich musí
počítat a logicky uvažovat. Pokud však učitel chemie věnuje určitý čas opakování např.
převodům jednotek nebo trojčlenky, může žák v jeho předmětu zažít pocit úspěchu. Zároveň
si procvičí a upevní učivo matematiky.
V dalších podkapitolách následuje přehled učiva matematiky důležitého pro zvládnutí
učiva chemie. Jsou zde zohledněny i časové vazby. Nejdůležitější matematické kategorie jsou
demonstrovány na typickém příkladu z chemie včetně jeho řešení.
Každá škola má svůj Školní vzdělávací program, který vychází z RVP ZV, a při jeho
sestavení hraje roli i učební materiál, který si škola zvolí. Na většině škol je chemie zařazena
do 8. a 9. ročníku. Při srovnávání obsahových a časových vazeb mezi předměty matematika
a chemie je zde čerpáno z následujících řad učebnic pro matematiku a chemii pro základní
školy (příp. nižší ročníky víceletých gymnázií):
Binterová, H. a kol.: Matematika pro základní školy a víceletá gymnázia. (Fraus) [4, 5, 6]
Odvárko, O. a kol.: Matematika pro základní školy. (Prometheus) [21, 22]
Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií. (Prometheus) [10, 11,
12, 13]
Beneš, P. a kol.: Základy praktické chemie. (Fortuna) [2]
Škoda, J. a kol.: Chemie – učebnice pro základní školy a víceletá gymnázia. (Fraus) [26, 27]
Hodnoty uváděné v příkladech se nachází v Periodické soustavě prvků (dále
PSP) [2, 26] nebo v Matematických, fyzikálních a chemických tabulkách (dále MFCH
tab.) [20]. Vzhledem k tomu, že práce je z oblasti didaktiky matematiky, není v této kapitole
chemická tématika vysvětlována podrobně, ale pouze v souvislosti s uvedenými příklady.
13
2.3.1. Desetinná čísla
V matematice jsou desetinná čísla probírána v 6. ročníku, proto by žákům
v 8. ročníku neměly dělat problémy základní početní operace s nimi jako je sčítání, odčítání,
násobení a dělení, včetně jejich porovnávání a zaokrouhlování.
Za zmínku stojí přednost násobení před sčítáním a odčítáním. Užívá se při výpočtu
jedné z nejdůležitějších veličin v chemii - molární hmotnosti M (𝑔
𝑚𝑜𝑙). Je to hmotnost
jednoho molu částic (atomů, molekul, iontů). 1 mol látky je přibližně 6,022 . 1023
částic
(obr.1, str. 15). Molární hmotnost prvku tedy vyjadřuje, kolik gramů „váží“ 1 mol (tj.
6,022 ·1023
) atomů tohoto prvku. Molární hmotnost sloučeniny se pak vypočítá jako součet
molárních hmotností prvků násobených počtem atomů v molekule sloučeniny. Molární
hmotnost je důležitou charakteristikou chemických prvků i sloučenin a nalezneme ji
v chemických tabulkách a v PSP. [2, 27]
Příklad 1: Vypočítejte molární hmotnost: a/ kyseliny sírové H2SO4, b/ síranu hlinitého
Al2(SO4)3.
Řešení:
V PSP najdeme hodnoty molárních hmotností jednotlivých prvků:
M(H) = 1 g
mol M(S) = 32
g
mol M(O) = 16
g
mol M(Al) = 27
g
mol
a/ M(H2SO4) = 2·M(H) + 1·M(S) + 4·M(O) = 2·1 + 1·32 + 4·16 = 2 + 32 + 64 = 98 𝐠
𝐦𝐨𝐥
b/ M[Al2(SO4)3] = 2·27 + 3·(1·32 + 4·16) = 54 + 3·96 = 54 + 288 = 342 𝐠
𝐦𝐨𝐥
nebo (roznásobením závorky: 3·1 atom síry = 3, 3·4 atomy kyslíku = 12)
= 2·27 + 3·32 + 12·16 = 54 + 96 + 192 = 342 𝐠
𝐦𝐨𝐥
Při zjišťování molární hmotnosti se uplatňuje i dovednost zaokrouhlovat desetinná
čísla.
Příklad 2: V PSP najděte hodnoty molárních hmotností následujících prvků a
zaokrouhlete je na desetiny: vodík, kyslík, vápník, chlor, síra.
Řešení:
M(H) = 1,01 g
mol = 1
𝐠
𝐦𝐨𝐥 (O) = 15,99
g
mol = 16
𝐠
𝐦𝐨𝐥 M(Ca) = 40,08
g
mol = 40,1
𝐠
𝐦𝐨𝐥
M(Cl) = 35,45 g
mol = 35,5
𝐠
𝐦𝐨𝐥 M(S) = 32,06
g
mol = 32,1
𝐠
𝐦𝐨𝐥
Poznámka: V rámci zjednodušení výpočtu se někdy toleruje zaokrouhlení na jednotky např.
u vápníku a síry: M(Ca) = 40,08 g
mol = 40
𝐠
𝐦𝐨𝐥 , M(S) = 32,06
g
mol = 32
𝐠
𝐦𝐨𝐥. Nelze tolerovat a bohužel
.
.
.
.
.
. .
14
bývá zdrojem chyb zaokrouhlení na jednotky např. u chloru: M(Cl) = 35,45 g
mol = 35
g
mol, správně:
M(Cl) = 35,45 g
mol = 35,5
𝐠
𝐦𝐨𝐥 . Z matematického hlediska je převod na jednotky v pořádku, z hlediska
přesnosti výpočtu v chemii je vhodné zaokrouhlit alespoň na desetiny.
Při výuce chemie na základní škole většinou stačí výsledky i mezivýsledky počítat,
příp. zaokrouhlovat na jedno desetinné místo. Žáci by si ovšem měli být vědomi skutečnosti,
že čím více desetinných míst výsledek má, tím přesnější je (viz př. 2 - molární hmotnost
chloru). Pouze u příkladů na výpočet hmotnostního zlomku w (kap. 2.4.2.), který se převádí na
procenta vynásobením číslem 100, doporučuji naučit žáky počítat alespoň na tři desetinná
místa. Výsledek je např. w = 0,023 51; při zaokrouhlení na určitý počet desetinných míst
a následné převedení na procenta mohou nastat tyto případy:
a/ na 2 desetinná místa: 0,02 · 100 = 2 % (tj. ve 100 g roztoku jsou 2 g rozpuštěné látky)
b/ na 3 desetinná místa: 0,024 · 100 = 2,4 % (tj. ve 100 g roztoku jsou 2,4 g rozpuštěné látky)
c/ na 4 desetinná místa: 0,023 5 · 100 = 2,35 % (tj. ve 100 g roztoku je 2,35 g rozpuštěné
látky). Velký rozdíl ve výsledcích je patrný na první pohled. Žákům je možné vysvětlit na
léku, v němž je určité množství účinné látky: a/ účinné látky může být méně, a proto lék
nezabere, b/ může jí být více, než je třeba (dojde k předávkování, lék má nežádoucí účinky).
2.3.2. Zlomky
Se zlomky se v chemii pracuje např. při výpočtu trojčlenky nebo při vyjadřování
neznámé veličiny ze vzorce (ukázka v kap. 2.3.5.), kde se využívá krácení, násobení a dělení
zlomků. V matematice jsou zlomky učivem 7. ročníku, a proto by nemělo jejich používání
o rok později v chemii činit potíže.
2.3.3. Převody jednotek
V matematice jsou žáci s převody jednotek seznamováni postupně již od prvního
stupně ZŠ. Záleží na učiteli chemie, do jaké míry je ochoten procvičovat a ověřovat
znalost jednotek a jejich bezchybného převodu. Zúročí se mu to v chemických výpočtech.
Vedle fyziky je chemie předmět, který matematice pomáhá upevňovat dovednosti v ní
nabyté. V těchto předmětech si je žáci mohou doslova „osahat“. V chemii jsou důležité
zejména jednotky hmotnosti a objemu, proto je vhodné zařadit praktické cvičení na jejich
měření. Vážení si žáci vyzkoušejí na klasických laboratorních vahách s využitím kovových
.
.
15
závaží různé hmotnosti (gramy, centigramy, miligramy). Měření objemu si ověří při práci
s odměrným válcem, kádinkou, zkumavkou, pipetou, příp. byretou. Tím se mohou naučit také
odhadu při určování objemu.
Při výkladu tématu stejnorodé směsi (roztoky) se žáci seznamují s velikostí částic
rozpuštěné látky v roztoku (kap. 2.4.1.). Tyto částice jsou menší než 10-9
m. [2] Pro lepší
představu může učitel zapsat ve tvaru desetinného čísla a převést na milimetry:
10-9
m = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm (tj. miliontina milimetru). Pro názornost může
ještě žáky vyzvat, ať si na pravítku najdou 1 milimetr a pomyslně ho rozdělí na milion dílků,
velikost částic v roztoku je menší než jeden takový díleček, tedy menší než miliontina
milimetru.
Podobné znázornění je nezbytné při vysvětlování pojmu 1 mol, jednotky látkového
množství n. Souvisí to i s porozuměním pojmu molární hmotnost M, později také
s pochopením chemických rovnic a výpočtů z nich. Možnost vysvětlení pojmu 1 mol je
uvedena na obr. 1.
Obrázek 1: Odvození jednotky látkového množství (1 mol)
a vysvětlení pojmu molární hmotnost.
Při převodu jednotky hustoty z kg
m3 na
g
cm3, která se v chemických příkladech
objevuje častěji, je výhodné žáky naučit zpaměti hodnotu hustoty vody. Tím si zapamatují
i převodní vztah mezi oběma jednotkami: ρ(H2O) = 1 000 kg
m3 = 1
g
cm3 . Mnohdy pochybují
o jeho správnosti, protože vidí pouze jednotky v čitateli, a nesouhlasí s tím, že by se mělo
1000 kg rovnat 1 g. Učitel chemie by se neměl obejít bez následujícího vysvětlení:
1 000 𝐤𝐠
𝐦𝟑 =
1 000 kg
1 m3 =
1 000 000 g
1 000 000 cm3 =
1 g
1 cm3 = 1
𝐠
𝐜𝐦𝟑
16
Pomůže i porovnání hmotností krychle s hranou 1 m3 s krychličkou o délce hrany 1 cm
3.
Pro rozvoj logického myšlení mají význam fyzikální veličiny, jejichž jednotky jsou ve
tvaru zlomku. Na úrovni ZŠ jde v chemii o hustotu ρ (g
cm3), molární hmotnost M (g
mol) a
látkovou (molární) koncentraci c (mol
dm3). Mnoho příkladů s těmito veličinami lze vypočítat,
aniž bychom znali vztah pro výpočet. Jednotka poskytuje informace, které pro výpočet stačí.
Například z hodnoty hustoty etanolu (0,789 g
cm3) vyčteme, že 1 cm3 etanolu má hmotnost
0,789 g, což lze chápat jako první řádek zápisu trojčlenky (viz kap. 2.3.7.). Žáci se tak učí
poradit si i s příkladem, pro který zapomněli vzorec. Zároveň dokazují, že příkladu rozumí.
Příklad 4: Vypočítejte, kolik cm3 etanolu (lihu) potřebujeme, jestliže je k pokusu třeba
127 g etanolu. Hustota etanolu je 0,789 𝐠
𝐜𝐦𝟑 .
Řešení: 1 cm3 …………………. 0,789 g
x cm3 ………….……… 127 g
x = 1 · 127
0,789 = 160,96 cm
3 etanolu
2.3.4. Dělitelnost přirozených čísel
V matematice se jedná o učivo 6. ročníku. V chemii ho mohou žáci využít při úpravě
chemických rovnic. Vychází se ze zákona zachování hmotnosti, který říká, že při chemické
reakci se v uzavřené soustavě hmotnost výchozích látek rovná hmotnosti produktů. Jde
pouze o přeskupování atomů mezi sebou a tvoření nových molekul, a proto je celková
hmotnost soustavy na začátku i na konci reakce stále stejná. [2]
V případě úpravy chemické rovnice se hledá u každého prvku nejmenší společný
násobek počtu atomů na levé straně rovnice a počtu atomů na pravé straně rovnice. Před
značku prvku nebo vzorec sloučeniny se doplní tzv. stechiometrický koeficient v podobě velké
číslice, který označuje jednak počet atomů nebo molekul látky, jednak počet molů látky
(obr. 1, str. 15). Úprava rovnic na úrovni ZŠ je však jednoduchá, často lze stechiometrické
koeficienty zjistit odhadem a žáci si ani neuvědomí, že hledají nejmenší společný násobek.
17
Příklad 5: Upravte chemickou rovnici H2 + Cl2 ----> HCl. S využitím molárních
hmotností ověřte platnost zákona zachování hmotnosti.
Řešení : H2 + Cl2 2 HCl
M(H2) = 2·1 = 2 g
mol M(Cl2) = 2·35,5 = 71
g
mol M(HCl) = 1 + 35,5 = 36,5
g
mol
2 g + 71 g = 2·36,5 g
2 g + 71 g = 73 g
(tzn. 2 g vodíku reagují se 71 g chloru a vzniká 73 g chlorovodíku)
Odpověď: Hmotnost výchozích látek (2 g + 71 g) se rovná hmotnosti produktů (73 g).
Příklad 6: Upravte chemické rovnice: a/ H2 + O2 - - -> H2O , b/ NH3 - - -> N2 + H2 .
Řešení: Na obr. 2 je grafické znázornění. Je výhodné nejmenší společný násobek začít hledat u prvku,
jež má odlišný počet atomů vlevo a vpravo, u dalších prvků se následně atomy snadno dopočítají.
a/ O …. n(2,1) = 2, vlevo dva atomy kyslíku již jsou, vpravo napíšeme 2 před H2O
H ….. vpravo jsou 2 · 2 = 4 atomy H, vlevo jen 2 atomy, proto před H2 dopíšeme 2
b/ H ...... n(3,2) = 6, vlevo i vpravo musí být 6 atomů vodíku, toho docílíme zapsáním 2 před NH3
(2 · 3 = 6) a 3 před H2 (3 · 2 = 6)
N ….. vpravo jsou 2 atomy N, vlevo jen 1 atom N, proto před NH3 dopíšeme 2
Obrázek 2: Ukázka řešení příkladu 6 (Úprava chemických rovnic)
Hledání společného dělitele se využívá při krácení poměru počtu atomů prvků
u tvoření vzorce oxidů a sulfidů. Ke krácení dochází v případě, že má prvek v oxidu či sulfidu
sudé kladné oxidační číslo (II, IV, VI nebo VIII). Tento mechanický způsob tvoření vzorce se
nazývá „křížové pravidlo“ [2] a je alternativou k odvození vzorce pomocí řešení lineární
rovnice (srov. kap. 2.3.6.).
18
Příklad 7: Zapište chemický vzorec oxidu sírového.
oxid sírový SVI
O-II
(oxid. č. síry pro koncovku -ový: VI, oxid. č. kyslíku v oxidech: –II)
S2VIO6
−II (oxidační čísla opíšeme křížem k druhému prvku arabskými číslicemi)
poměr počtu atomů S : O
2 : 6 D(2, 6) = 2
1 : 3 ==> SO3
2.3.5. Vyjadřování neznámé veličiny ze vzorce
Tato problematika se objevuje na začátku 7. ročníku ve fyzice, kdy se žáci seznamují
s prvními vztahy pro výpočet rychlosti a hustoty. Nedokáží si jednotlivé vztahy sami odvodit,
proto se všechny tvary výpočetního vztahu učí zpaměti. To bývá problém ještě v 8. ročníku
v chemii. Po probrání rovnic v 8. a později v 9. ročníku v matematice jsou si schopni
ostatní vztahy odvodit vyjádřením požadované veličiny ze vzorce.
Příklad 8: Ze vztahu pro výpočet látkového množství n vyjádřete vztah pro výpočet
hmotnosti m a vztah pro výpočet molární hmotnosti M.
Řešení:
n = 𝒎
𝑴 / · M
n · M = 𝑚
𝑀 · M ==> m = n · M / : n
𝑚
𝑛=
𝑛 · 𝑀
𝑛 ==> M =
𝒎
𝒏
V příkladu 9 jsou vidět tři možné postupy výpočtu – od formálního naučení se
vzorce /a/, přes vyjádření neznámé ze vzorce /b/, k neformálnímu přístupu pomocí logického
úsudku a řešení trojčlenkou /c/.
Příklad 9: K reakci potřebujete 0,5 molu chloridu sodného. Kolik gramů chloridu
sodného odvážíte? [16]
Řešení: PSP: M(Na) = 23 g
mol M(Cl) = 35,5
g
mol
m = ?
n = 0,5 mol
M(NaCl) = 23 + 35,5 = 58,5 g
mol
19
a/ m = n · M
m = 0,5 · 58,5
m = 29,25 g
b/ n = 𝑚
𝑀
0,5 = 𝑚
58,5 / · 58,5
0,5 · 58,5 = m
m = 29,25 g
c/ 1 mol ….…. 58,5 g
0,5 mol ……… x g
x = 58,5 · 0,5
1
x = 29,25 g
Odpověď: Odvážíme 29,25 g chloridu sodného.
2.3.6. Lineární rovnice
Řešením lineárních rovnic se odvozuje názvosloví anorganických sloučenin. Platí, že
součet hodnot oxidačních čísel atomů prvků ve vzorcích se rovná nule [2]. Oxidační čísla se
zapisují římskými číslicemi.
Následující příklady jsou ukázkou matematického odvození tvoření chemického
vzorce z názvu sloučeniny (př. 10) a tvoření názvu sloučeniny ze vzorce (př. 11). Vysvětleno
v literatuře [2, 26].
Příklad 10: Napište vzorce sloučenin: a/ oxid sírový, b/ kyselina dusičná.
oxid sírový SVIO𝑥
−II 1·(VI) + x·(-II) = 0
6 – 2·x = 0
x = 3 ==> SO3
(můžeme srovnat s „křížovým pravidlem“ v př. 7)
kyselina dusičná HIN
VO𝑥−II 1 · (I) + 1 · (V) + x · (-II) = 0
1 + 5 - 2 · x = 0
x = 3 ==> HNO3
Příklad 11: Určete názvy sloučenin s těmito vzorci: a/ SO2, b/ H2SO4.
Řešení:
a/ SO2 S𝑥O2
−II 1·x + 2·(-II) = 0
x - 4 = 0
x = 4 tj. oxidační číslo IV ==> oxid siřičitý
b/ H2SO4 H2I S𝑥O4
−II 2·(I) + 1·x + 4·(-II) = 0
2 + x - 8 = 0
x = 6 tj. oxidační číslo VI ==> kyselina sírová
20
2.3.7. Přímá úměrnost, trojčlenka
Všechny příklady jsou ve výuce chemie na prvním místě vedeny přes výpočetní vztah
vyjádřený pomocí fyzikálních veličin. Většinu z nich lze však vypočítat i logickým
úsudkem. V těchto úlohách se využívá přímé úměrnosti, kterou lze řešit přepočtem na 1 díl
nebo trojčlenkou. Přímá úměrnost řešená trojčlenkou je v matematice učivem 7. ročníku.
Pouze v řadě učebnic pro víceletá gymnázia [13] se učivo probírá až v tercii (odpovídá 8.
ročníku ZŠ), což vede v chemii k tomu, že výpočet složení roztoků je třeba počítat pouze
dosazením do obecného vztahu.
Trojčlenka je zápis, který může ulehčit řešení přímé úměrnosti – tři údaje jsou zadané,
čtvrtý údaj je neznámý [4]. Hodnoty zadaných veličin a neznámé se zapisují do schématu,
šipkami (u přímé úměrnosti obě vedou stejným směrem) se vyjádří poměr jednotlivých
veličin. Následující příklad ukazuje nejběžněji používané postupy při výpočtu trojčlenky.
Záleží na učiteli matematiky i na učiteli chemie, kterou metodu žáky naučí a preferuje. Pro
žáky je prospěšné, pokud se v tomto ohledu oba učitelé sjednotí. Chemie tak může přispět
k upevňování a automatizování tohoto učiva matematiky.
Příklad 12: Vypočítejte, kolik kilogramů železa je obsaženo ve 100 kg železné rudy
pyritu, jestliže 120 kg pyritu obsahuje 55,9 kg železa?
Řešení: 120 kg pyritu……………….…. 55,9 kg železa
100 kg pyritu……………………. x kg železa
I. Vyjádření pomocí poměrů:
𝑥55,9
= 100
120 / · 55,9
55,9 · 𝑥
55,9 = 55,9 ·
100120
x = 55,9 · 100
120
x = 46,58 kg
II. Součin vnějších a vnitřních činitelů:
x : 55,9 = 100 : 120
x · 120 = 55,9 · 100 / : 120
x = 55,9 · 100
120
x = 46,58 kg
Odpověď: Ve 100 kg pyritu je obsaženo 46,58 kg železa.
Poznámka: Odvárko [22] uvádí i výpočet pomocí očíslování neznámé a zbylých členů trojčlenky
číslicemi 1, 2, 3, 4 (neznámá je č. 1, pokračuje se ve směru šipek): 1 = 2 · 3
4 ==> x =
55,9 · 100
120
Jedná se sice o mechanické dosazení do naučeného vzorce, přesto může metoda slabším žákům
v chemii pomoci příklad úspěšně vypočítat.
21
2.3.8. Procenta
Toto učivo se probírá v matematice v 7. ročníku. V chemii se využívá při výpočtech
složení směsí (hmotnostní zlomek složky ve směsi, např. rozpuštěné látky v roztoku nebo
kovu ve slitině) a při zjišťování procentuálního zastoupení prvku ve sloučenině (hmotnostní
zlomek prvku ve sloučenině). Žáci jsou procenta zvyklí z matematiky počítat těmito způsoby:
a/ Výpočet přes 1 %.
b/ Trojčlenka (viz kap. 2.3.7.).
c/ Výpočet ze vztahu: p= č
𝑧 · 100, kde č - procentová část, z - základ, p - procenta.
Jde o obdobu vztahu pro výpočet hmotnostního zlomku w(s) v chemii (kap. 2.4.2.). Pro svůj
formální charakter se v učebnicích matematiky tento vztah v současné době vyskytuje zřídka
(např. Běloun [3]).
Příklad 13: Vypočítej, kolik gramů tuku je ve 100 g balení jogurtu s obsahem 0,1 %
tuku. [28]
I. Výpočet přes 1 %
100 % ………. 100 g
1 % ………. 1 g
0,1% ……...0,1·1 g = 0,1 g
II. Trojčlenka
100 g …….… 100 %
x g ………... 0,1 %
x = 100 · 0,1
100
x = 0,1 g
III. Dosazení do vztahu
p = 0,1 %
z = 100 g
č = ?
p = č
𝑧 ·100
0,1 = č
100 ·100
č = 0,1 g
Odpověď: Ve 100 g balení jogurtu je 0,1 g tuku.
2.3.9. Použití kalkulačky a odhad výsledku
Učitel chemie si často pokládá otázku, zda má při výpočtech v chemii dovolit žákům
použít kalkulačku. Na jedné straně to vede k rychlejšímu výpočtu, na straně druhé jsou
dovednosti z matematiky předpokladem zvládnutí výpočtu také v chemii. Stává se, že žáci
v chemii použijí správný vztah pro výpočet, správně dosadí, ale výsledek je chybný. Z toho
vyplývá, že pokud má člověk uspět v chemii, musí umět matematiku. Běžně však v chemii
podobně jako ve fyzice žáci kalkulačku mohou používat.
22
Na místě je i otázka správného použití kalkulačky. Někdy se stane, že žák udělá chybu
spíš s kalkulačkou než bez ní. Problematický bývá výpočet výrazu ve tvaru např. x = 150
3 . 46,
kdy žák chybuje takto: (150 ÷ 3) · 46, místo správného (150 ÷ 3) ÷ 46 nebo přednostního
vynásobení jmenovatele, a teprve pak dělení čitatele jmenovatelem.
To souvisí s návykem umět odhadnout přibližný výsledek. Pokud žákovi vyjde na
kalkulačce výsledek, mělo by se stát pravidlem, že si sám pomocí odhadu zkontroluje, zda
nejde o nesmysl.
V závěru této kapitoly jsou uvedeny dva příklady (př. 14, př. 15), které ukazují některé
typy výpočtů z učiva chemie na základní škole. Jsou dokladem nezbytnosti vědomostí
z obou předmětů. Bez znalosti matematických operací a algoritmů bychom příklad z chemie
určitě nevypočítali. Na druhé straně si pouze s nimi v chemii nevystačíme. Předpokladem je
zvládnutí chemického názvosloví, hledání údajů v periodické soustavě prvků, sestavování
a úprava chemických rovnic. Zadání prvního příkladu je zcela bez číselné hodnoty a
v druhém příkladu je zadána pouze jedna hodnota, přesto je možné oba příklady na základě
spojení znalostí a dovedností z matematiky i chemie úspěšně vypočítat. Nutnost
matematické gramotnosti v chemii dokládají i ukázky testů z chemie pro 8. ročník (obr. 3
a obr. 4, str. 24, 25).
Příklad 14: Vypočítejte, jaké je procentuální zastoupení vápníku ve vápenci.
Řešení:
Zapíšeme systematický název vápence: uhličitan vápenatý
Zapíšeme chemický vzorec uhličitanu vápenatého: CaCO3
Z PSP zjistíme molární hmotnosti M prvků a vypočítáme molární hmotnost uhličitanu
vápenatého: M(Ca) = 40,1 g
mol M(C) = 12
g
mol M(O) = 16
g
mol
M(CaCO3) = 40,1 + 12 + 3·16 = 100,1 g
mol
Vypočítáme:
I. Dosazením do obecného vztahu pro hmotnostní zlomek prvku ve sloučenině [2]:
w(A) = 𝑥 · 𝑀(𝐴)
𝑀(𝐴𝑥𝐵𝑦) , kde AxBy …sloučenina, x... počet atomů prvku A, y… počet atomů prvku B
w(Ca) = 1 · 𝑀(Ca)
𝑀(CaCO3) =
40,1
100,1 = 0,400 6 p = w(Ca) · 100 = 0,400 6 ·100 = 40,06 %
23
II. Logickou úvahou:
100,1 g ………. 100 %
40,1 g ………… x %
x = 100 · 40,1
100,1 = 40,06 %
Odpověď: Vápenec obsahuje 40,06 % vápníku.
Příklad 15: Kolik gramů hliníku vznikne rozkladem 51 g oxidu hlinitého? Oxid
hlinitý se rozkládá na hliník a kyslík.
Řešení:
Vytvoření vzorce oxidu hlinitého: Al2O3
Sestavení chemické rovnice podle chemické reakce: Al2O3 - - - -> Al + O2
(žáci musí vědět, že kyslík tvoří dvouatomové molekuly)
Úprava chemické rovnice dosazením stechiometrických koeficientů podle zákona zachování
hmotnosti (hledání nejmenšího společného násobku 3 a 2 atomů kyslíku, tj. 6 atomů kyslíku
na levé i na pravé straně rovnice: 2 · 3 = 6, 3 · 2 = 6, poté dopočítání počtu atomů hliníku na
pravé straně: 2 · 2 = 4): 2 Al2O3 4 Al + 3 O2
Podtržení látek, s nimiž počítáme, a provedení zápisu (látkových množství n z chemické rovnice,
molárních hmotností M z PSP a skutečných hmotností m ze zadání příkladu):
2 Al2O3 4 Al + 3 O2
n(Al2O3) = 2 mol n(Al) = 4 mol
M(Al2O3) = 2·27 + 3·16 = 102 g
mol M(Al) = 27
g
mol
m(Al2O3) = 51 g m(Al) = ?
Na základě úvahy: když z 2·102 g Al2O3 vznikne 4·27 g Al (= údaje z rovnice a PSP)
tak z 51 g Al2O3 vznikne x g Al (= údaje ze zadání)
sestavíme trojčlenku: 204 g Al2O3 ………………... 108 g Al
51 g Al2O3………………..…. x g Al
x = 108 · 51
204 = 27 g
Odpověď: Rozkladem 51 g oxidu hlinitého vznikne 27 g hliníku.
Poznámka: Příklad je možné vypočítat i dosazením do obecného vztahu [2]. Záměrně je zde uveden
výpočet logickou úvahou, při které si žák lépe uvědomí podstatu chemického děje a možnost vypočítat
hmotnost výchozích látek a produktů při chemických reakcích probíhajících v přírodě, při chemických
výrobách, při látkové výměně v živých organizmech apod. V chemii příklad spadá mezi výpočty
z chemických rovnic, které patří mezi nejnáročnější část učiva chemie (nejen) na základní škole a jsou
ukázkou toho, že matematika je neodmyslitelnou součástí chemie a že příklady z chemie lze řadit do
oblasti aplikované matematiky.
24
Obrázek 3: Ukázka testu z chemie pro 8. ročník
(učivo: Molární hmotnost, Látkové množství,
Chemické rovnice, Periodická soustava prvků)
25
Obrázek 4: Ukázka testu z chemie pro 8. ročník (učivo: Složení roztoků)
26
2.4. Chemie ve výuce matematiky
Tato kapitola je určena zejména učitelům matematiky, kteří nejsou učiteli chemie.
Mají možnost získat přehled o tom, co všechno by žáci měli vědět z chemie, aby mohli
v 9. ročníku v matematice s porozuměním řešit úlohy týkající se roztoků, vyjadřování jejich
složení, směšování a ředění. Učitelé chemie zde mohou najít i způsoby výpočtu, které nejsou
odvozeny z obecného vztahu, ale lze k nim dospět úsudkem. Kromě výkladu nezbytné
teorie [2, 26, 27] kapitola obsahuje i řešené příklady, které lze využít jak ve výuce chemie,
tak ve výuce matematiky.
2.4.1. Směsi
Chemické látky se třídí na chemicky čisté látky (tzv. chemická individua) a směsi.
Chemicky čisté látky jsou prvky (např. měď Cu, cín Sn, zlato Au) a sloučeniny (např.
destilovaná voda H2O, chlorid sodný NaCl, modrá skalice CuSO4·5H2O) .
Směs je látka složená ze dvou a více chemicky čistých látek nazývaných složky směsi.
Podle počtu složek se směsi dělí na dvousložkové, třísložkové, příp. vícesložkové.
Na základní škole jsou žáci seznámeni se dvěma skupinami směsí. Jde o směsi
různorodé (heterogenní) a směsi stejnorodé (homogenní neboli roztoky). Základním kritériem
rozlišení těchto dvou skupin je velikost částic rozptýlených ve směsi. U různorodých směsí je
velikost těchto částic větší než 10-7
m, u stejnorodých směsí menší než 10-9
m.
U různorodých směsí lze rozptýlené částice pozorovat okem, lupou nebo
mikroskopem. Jsou poměrně velké, a tak se po čase oddělí od rozptylující složky. Patří sem
suspenze (pevná látka rozptýlená v kapalině), emulze (jedna kapalina je rozptýlena ve druhé
kapalině), pěna (plynná látka rozptýlená v kapalině), dým (částečky pevné látky rozptýlené
v plynné látce), mlha (drobné kapičky kapaliny rozptýlené v plynné látce), aerosol (směs
částeček pevné látky a kapiček kapaliny ve vzduchu).
U stejnorodých směsí (roztoků) rozptýlené částice nelze pozorovat okem, lupou ani
mikroskopem. Jejich velikost se přibližuje velikosti atomů a molekul, a proto se rovnoměrně
rozptýlí mezi molekuly rozpouštědla. Mluvíme o rozpuštěné látce a rozpouštědle. Roztok má
stejné vlastnosti v celém svém objemu, např. modrá skalice se rozpustí ve vodě a roztok
zůstane stále modrý. Roztoky se dále dělí podle skupenství na tuhé roztoky (slitiny kovů,
barevné sklo), kapalné roztoky (podle rozpouštědla roztoky vodné, etanolové, benzinové atd.)
a plynné roztoky (suchý čistý vzduch).
27
Tato práce se zabývá vodnými roztoky, ve kterých je rozpouštědlem voda. Jsou
tématem většiny příkladů z chemie i slovních úloh z matematiky na základní škole.
V některých případech je obtížné určit, zda je složka roztoku rozpouštědlem nebo
rozpuštěnou látkou. Například voda se může rozpouštět v etanolu stejně jako etanol ve vodě.
[25] Pokud se v příkladech objeví etanol (líh), bude považován za rozpuštěnou látku a voda
za rozpouštědlo, přestože je v tomto případě množství rozpuštěné látky větší než množství
rozpouštědla (např. 90% roztok etanolu obsahuje ve 100 g roztoku 90 g etanolu a 10 g vody).
2.4.2. Složení roztoků
Roztok je tedy stejnorodá směs složená z rozpouštědla a jedné nebo více
rozpuštěných látek. Rozpouštědlem může být např. voda, etanol, benzin, aceton nebo toluen.
V chemii, ale i praktickém životě často potřebujeme znát zastoupení jednotlivých složek
v roztoku – takové složení roztoků vyjadřuje veličina hmotnostní zlomek. [2]
Hmotnostní zlomek w(s) rozpuštěné látky v roztoku je poměr hmotnosti složky
roztoku a hmotnosti celého roztoku. Vypočítá se podle vztahu:
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 nebo w(s) =
𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟)
kde w(s) ….. hmotnostní zlomek rozpuštěné látky (složky) v roztoku
m(s) ….. hmotnost rozpuštěné látky (složky) v roztoku
m …….. hmotnost roztoku, tzn. hmotnost rozpuštěné látky a hmotnost rozpouštědla
(obr. 5)
m(r) …. .hmotnost rozpouštědla
Pro w(s) platí: 0 ˂ w(s) ˂ 1. V chemických výpočtech se do závorky uvádí vzorec
sloučeniny, např. hmotnostní zlomek chloridu sodného: w(s) = w(NaCl) nebo hmotnost vody
jako rozpouštědla: m(r) = m(H2O). Pro jasnější představu se hmotnostní zlomek převádí na
procenta: p = w(s) · 100.
Obrázek 5: Příprava roztoku modré skalice
28
Pro porozumění a zvládnutí výpočtů jak z chemie, tak z matematiky by měli mít žáci
zažity i následující pojmy [2]:
Koncentrovanější roztok: hmotnostní zlomek rozpuštěné látky v roztoku je větší než
v roztoku zředěnějším.
Zředěnější roztok: hmotnostní zlomek rozpuštěné látky v roztoku je menší než v roztoku
koncentrovanějším.
Nasycený roztok je roztok, ve kterém se při určité teplotě již více látky nerozpustí.
Nenasycený roztok je roztok, ve kterém je za daných podmínek rozpuštěné látky méně než
v roztoku nasyceném, tzn. látka se stále rozpouští.
Rozpustnost je hmotnost rozpuštěné látky ve 100 g rozpouštědla při určité teplotě a tlaku.
Její hodnoty jsou pro jednotlivé látky uvedeny v MFCH tabulkách.
Kromě hmotnostního zlomku se používá i zlomek objemový φ. Je to podíl objemu
rozpuštěné látky A (kapaliny, např. etanolu) VA a celkového objemu roztoku V: φ = 𝑉𝐴
𝑉.
Převádí se na objemové procento: obj. % = φ · 100 [18, 30]. Žáky je možné upozornit např.
na význam údaje na etiketě pivní láhve: obsah alkoholu 4 obj. % (tzn. ve 100 ml roztoku jsou
4 ml etanolu). S tímto typem vyjádření složení roztoků se seznamují žáci v chemii až na
střední škole, bývá však součástí slovních úloh o směsích v matematice již v 9. ročníku ZŠ.
Metodická poznámka:
1/ Vztah w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 lze srovnat se vztahem pro výpočet procent, který žáci mohou znát
z hodin matematiky: p = č
𝑧 · 100, kde č je procentová část, z je základ, p značí procenta. [3]
2/ Hmotnostní zlomek je bezrozměrné číslo, neboť je definován jako vzájemný poměr dvou
hmotností, které se vyjadřují ve stejných jednotkách (kg, g). Ve vzorci dělíme hmotnost
rozpuštěné látky hmotností rozpouštědla (gramy dělíme gramy). Žáci si uvědomí skutečnost,
že pokud jsou v čitateli i jmenovateli hodnoty ve stejných jednotkách, krátí se nejen čísla, ale
dojde i ke zkrácení jednotek. [8]
3/ Upozorníme, že procenta nejsou jednotky. Vyjadřují část z celku (1 díl ze sta dílů, 1
100).
4/ V případě, že se hmotnostní zlomek převede na procenta p = w(s)·100, je takové
procentuální zastoupení (procentuální obsah) rozpuštěné látky v roztoku v chemické řeči
označováno též jako procentová koncentrace či hmotnostní procento, které nabývají
hodnot 0 % < p < 100 %. V této práci jsou označovány jako p. V chemické literatuře, ale i
v učebnicích matematiky, se někdy označují jako c [2, 18, 27]. Již na základní škole se však
29
v hodinách chemie žáci seznámí s další veličinou pro složení roztoků, která se nazývá
látková (molární) koncentrace [2, 18], označuje se c (jednotkou je mol
dm3) a mohlo by s ní
dojít k záměně. Proto zde: p = w(s)·100.
5/ Při převodu hmotnostního zlomku w(s) na hmotnostní procento není správné psát
rovnítko: např. nesprávně w(s) = 0,025 = 2,5 %,
správně w(s) = 0,025 ==> 2,5 % nebo w(s) = 0,025 tj. 2,5 %
6/ Rozpouštědlem je kapalina (u vodných roztoků voda), u které je výhodnější měřit objem
nežli ji vážit. Proto je účelné, aby si žáci pamatovali přibližnou hodnotu hustoty vody při
laboratorní teplotě 20 oC, tj. ρ = 1 000
kg
m3 = 1 g
cm3. V chemii pracujeme s malým množstvím
látek - vážíme nejčastěji v gramech a odměřujeme v cm3
(ml), a proto je praktické užívat
jednotky g
cm3. Pokud je úloha uvedena v mililitrech, žák si snadno objem přepočítá na
hmotnost:
Příklad 1: Jaká je hmotnost 150 ml vody?
Řešení: V = 150 ml = 150 cm3, ρ
= 1
g
cm3, proto m = ρ · V ==> m = 1·150 = 150 g
Odpověď: 150 ml vody má hmotnost 150 g.
7/ Na témže principu se v chemii vypočítá hmotnostní zlomek w a hmotnostní procento p:
a/ kovu ve slitině nebo v rudě, tuku v jogurtu, vody v lidském organizmu apod.:
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 , kde m(s) … hmotnost složky (části celku), m … hmotnost soustavy [16]
b/ prvku ve sloučenině:
w(A) = 𝑥 · 𝑀(𝐴)
𝑀(𝐴𝑥𝐵𝑦) , kde AxBy …. sloučenina, x .... počet atomů prvku A,
y … počet atomů prvku B, M .... molární hmotnost (g
mol) [30]
V následujícím textu je k dispozici řešení nejběžnějších typů příkladů, které by měli
být žáci 8. ročníku v rámci předmětu chemie schopni vypočítat. Její zvládnutí je nezbytným
předpokladem pro pochopení stejného učiva v matematice v 9. ročníku. Každý příklad je
vyřešen dvěma způsoby:
I. Dosazením do obecného vztahu pro výpočet hmotnostního zlomku.
II. Logickou úvahou (kap. 2.3.7.).
Přestože první způsob výpočtu má formální charakter [9], protože žáci mechanicky
dosazují do naučeného vzorce, je zde uváděn na prvním místě. V chemii se žáci učí, že každá
30
veličina má svoji značku a jednotku a že jsou tyto veličiny ve vzájemném vztahu vyjádřeném
vzorcem, který zároveň veličinu definuje. Druhý způsob odpovídá neformálnímu typu
poznání [9], kde dominuje logický úsudek. Tento postup je typický ve výuce matematiky.
V uvádění způsobu výpočtu je tedy zachována chronologie, neboť jsou žáci s učivem nejprve
seznámeni v chemii, pak v matematice.
Příklad 2: Připravili jsme 150 g vodného roztoku, který obsahuje 15 g bromidu
draselného. Vypočtěte hmotnostní zlomek bromidu draselného v roztoku a jeho
procentovou koncentraci. [16]
Řešení:
I. Dosazení do vztahu:
m(s) = 15 g
m = 150 g
w(s) = ?
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚
w(s) = 15
150 = 0,1 tj. 10 %
II. Logická úvaha ( trojčlenka):
150 g roztoku………..………. 100 %
15 g bromidu draselného……… x %
x = 100 · 15
150
x = 10 %
Odpověď: Hmotnostní zlomek bromidu draselného v roztoku je 0,1.
Procentová koncentrace roztoku je 10 %.
Poznámka: Žáci vidí, že logickým úsudkem dospěli k témuž výsledku jako předtím podle naučeného
vzorce.
Příklad 3: Vypočítejte hmotnostní zlomek roztoku cukru, který vznikl rozpuštěním 20 g
cukru ve 200 g vody. Kolikaprocentní je připravený roztok cukru?
Řešení:
I. Dosazení do vztahu:
m(s) = 20 g
m(r) = 200 g
w(s) = ?
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
20
20 + 200 =
20
220
w(s) = 0,090 9 tj. 9,09 %
II. Logická úvaha (trojčlenka):
hmotnost roztoku: 200 g + 20 g = 220g
220 g roztoku……..……. 100 %
20 g cukru………...…..…. x %
x = 100 · 20
220
x = 9,09 %
Odpověď: Hmotnostní zlomek roztoku cukru je 0,090 9. Roztok je 9,09%.
Poznámka: Žáci často nedovedou rozlišit 1. typ a 2. typ příkladu (srov. př. 2 a př. 3). Ví, že v čitateli
je „menší“ hodnota, ve jmenovateli je hodnota „větší“. V textu zadání ale někteří nevidí, zda větší
31
hodnota je hmotnost celého roztoku m, nebo pouze hmotnost rozpouštědla m(r). Zde může pomoci
grafické schéma (obr. 6) vztahu pro výpočet hmotnostního zlomku:
Obrázek 6: Grafické znázornění vztahu pro výpočet hmotnostního zlomku.
Příklad 4: Kolik gramů uhličitanu sodného musíme použít k přípravě 900 g
2,5% vodného roztoku? [16]
Řešení:
I. Dosazení do vztahu:
m = 900 g
w(s) = 2,5 : 100 = 0,025
m(s) = ?
m(s) = w(s) · m
m(s) = 0,025 · 900 = 22,5 g
II. Logická úvaha ( trojčlenka):
900 g roztoku…………...…. 100 %
x g uhličitanu sodného .… 2,5 %
x = 900 · 2,5
100
x = 22,5 g
Odpověď: K přípravě 900 g 2,5% roztoku potřebujeme 22,5 g uhličitanu sodného.
Poznámka: Lze vypočítat i přes 1 %.
Příklad 5: Laborant připravil 12% vodný roztok soli. Jakou hmotnost má roztok,
jestliže pro jeho přípravu navážil 6 g soli? V kolika ml vody sůl rozpustil? Hustota vody
je 1 𝐠
𝐜𝐦𝟑 .
Řešení:
I. Dosazení do vztahu:
m(s) = 6 g
w(s) = 12 : 100 = 0,12
m = ?
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚
0,12 = 6
𝑚 / · m
0,12 · m = 6
II. Logická úvaha (trojčlenka):
6 g soli……………..… 12 %
x g roztoku………….. 100 %
x = 6 · 100
12
x = 50 g
32
m = 50 g
m(r) = m – m(s) = 50 – 6 = 44 g
V = ?
ρ = 1 g
cm3
V= 𝑚
𝜌 =
44
1 = 44 cm
3 = 44 ml
hmotnost vody: 50 g – 6 g = 44 g
1 cm3 …………….…. 1 g
x cm3 …….……….. 44 g
x = 44 cm3 = 44 ml
Odpověď: Připravený roztok má hmotnost 50 g. Sůl rozpustil ve 44 ml vody.
Poznámka: Druhá část příkladu je zbytečná, pokud žáci znají zpaměti převodní vztah mezi hmotností
a objemem vody vyplývající z její hustoty (př. 1). Tento typ příkladu se v chemii v 8. ročníku pro
obtížnost nezadává. Lze vyřešit snadněji úvahou. V 9. ročníku jsou již žáci díky dovednosti vyjadřovat
neznámou ze vzorce schopní vypočítat i dosazením do vztahu:
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟)
0,12 = 6
6 + 𝑚(𝑟)
0,12 · (6 + m(r)) = 6 ==> m(r) = 44 g
Příklad 6: Vypočítejte hmotnostní zlomek nasyceného roztoku chloridu sodného
NaCl při 20 oC. Lze připravit 30% roztok této soli? Odpověď zdůvodněte.
Nápověda: Najděte v MFCH tabulkách hodnotu rozpustnosti NaCl při 20 oC. [30]
Řešení: Rozpustnost NaCl: 35,8 g NaCl ve 100 g vody [20]
I. Dosazení do vztahu:
w(s) = ?
m(s) = 35,8 g
m(r) = 100 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
35,8
35,8 + 100
w(s) = 35,8
135,8
w(s) = 0,263 6 tj. 26,36 %
II. Logická úvaha (trojčlenka):
hmotnost roztoku: 100 + 35,8 = 135,8 g
135,8 g roztoku……………. 100 %
35,8 g chloridu sodného…..… x %
x = 100 · 35,8
135,8
x = 26,36 %
Odpověď: Hmotnostní zlomek nasyceného roztoku chloridu sodného je 0,263 6.
Při teplotě 20 oC nelze připravit 30% roztok NaCl. Nejvíce NaCl je rozpuštěno
ve 26,36% roztoku, více se ho při dané teplotě nerozpustí, roztok je nasycený.
33
2.4.3. Směšování roztoků o různé koncentraci, směšovací rovnice
V této oblasti se na základní škole rozchází časové vazby v matematice a v chemii.
V matematice se učivo probírá v 9. ročníku v kapitole o směsích. Chemie však tuto
problematiku řeší až na střední škole. Není proto divu, že žáci s touto látkou v matematice
zápasí, zažívají díky ní neúspěch a matematika klesá ve své oblíbenosti. Žákům chybí
názorný příklad. Neví, co se při ději jako je směšování roztoků odehrává. Často si ani
nevybaví, že podobnou látku probírali v chemii. Je proto účelné, aby se učitelé obou
předmětů v 9. ročníku domluvili a alespoň jednu hodinu matematiky strávili v učebně chemie,
kde by žáci formou demonstračního pokusu „zažili“, o čem se vlastně v příkladech mluví.
Doporučuji vést výklad přes výpočet hmotnostního zlomku, a pak ukázat řešení logickou
úvahou.
Před touto hodinou může motivačně posloužit i domácí úloha (př. 7 a př. 8) typu:
Příklad 7: Vypočítejte hmotnost cukru ve 150 g 20% cukerného roztoku.
Řešení:
150 g …….…..100 %
x g …….….... 20 %
x = 150 · 20
100 nebo
x = 30 g
100 % …… 150 g
1 % ……..150 : 100 = 1,5 g
20 % ……...20 ·1,5 g = 30 g nebo
m(s) = w(s) · m
m(s) = 0,2·150
m(s) = 30 g
Odpověď: Hmotnost cukru ve 150 g 20% cukerného roztoku je 30 g.
Příklad 8: Navrhněte, jak lze připravit 5% roztok cukru.
Řešení:
a/ Zvolíme sami hmotnost připravovaného roztoku, např. m = 100 g,
dosadíme do vztahu: w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 ==> m(s) = w(s) · m = 0,05·100 = 5 g cukru
100 g – 5 g = 95 g vody
b/ Rychlý výpočet: hodnotu hmotnostního zlomku napíšeme ve tvaru desetinného zlomku a
ve jmenovateli vhodně rozložíme hmotnost roztoku: 0,05 = 5
100 =
5
5 + 95
Odpověď: Navážíme 5 g cukru a odměříme 95 g (tj. 95 ml) vody.
Poznámka: V obou příkladech si tak žáci zopakují učivo chemie 8. ročníku - někteří použijí vztah pro
výpočet hmotnostního zlomku w(s) známý z hodin chemie, jiní použijí trojčlenku či výpočet přes 1 %,
které jsou jim bližší z matematiky. Po tomto úvodu je možné postupně zařadit do hodin Pracovní
list 5 (str. 60) a Pracovní list 6 (str. 65).
34
Směšování dvou roztoků o různé koncentraci (tj. s různým hmotnostním zlomkem)
se v chemii odvozuje ze vztahu pro výpočet hmotnostního zlomku w(s). Nemáme však
k dispozici roztok jeden, ale roztoky tři (obr. 8, str. 41):
- výchozí roztok 1 o hmotnosti m1 a hmotnostním zlomku w1,
- výchozí roztok 2 o hmotnosti m2 a hmotnostním zlomku w2,
- výsledný roztok 3, který vznikl smíšením roztoku 1 a roztoku 2, o hmotnosti m3
a hmotnostním zlomku w3.
Při odvození tzv. směšovací rovnice (3) [18] se vychází ze skutečnosti, že hmotnost látky
rozpuštěné ve výsledném roztoku 3 je součtem hmotností rozpuštěné látky v roztoku 1 a
rozpuštěné látky v roztoku 2:
m1(s) + m2(s) = m3(s) , kde mi(s) = wi · mi i = 1, 2, 3
proto dosazujeme w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · m3 , kde m3 = m1 + m2
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2 ) (3)
Směšovací rovnice platí obecně pro směšování n roztoků:
w1 · m1 + w2 · m2 + …. + wn · mn = wn+1 · (m1 + m2 + …. + mn)
Následující příklady jsou řešeny dvěma či třemi způsoby (podle výhodnosti řešení):
I. Dosazením do obecného vztahu (do směšovací rovnice).
II. Logickou úvahou (trojčlenkou).
III. Křížovým (směšovacím) pravidlem.
Příklad 9: Zjistěte, kolikaprocentní je roztok připravený smíšením 150 g 20% roztoku
skalice modré se 100 g 5% roztoku skalice modré.
Řešení:
I. Dosazení do směšovací rovnice:
roztok 1:
w1 = 0,2
m1 = 150 g
roztok 2:
w2 = 0,05
m2 = 100 g
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
w3 = ?
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
0,2 · 150 + 0,05 · 100 = w3 · (150 + 100)
30 + 5 = w3 · 250
w3 = 0,14 (tj. 14 %)
Odpověď: Roztok připravený smíšením 150 g 20% roztoku a 100 g 5% roztoku má koncentraci 14 %.
35
II. Logická úvaha (trojčlenka):
roztok 1:
150 g ………..100 %
x1 g …….…..20 %
x1 = 150 · 20
100
x1 = 30 g
roztok 2:
100 g ………..100 %
x2 g ……….....5 %
x2 = 100 · 5
100
x2 = 5 g
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
(150 + 100) g ………..100 %
(30 + 5) g …………... x %
x = 100 · 35
250
x = 14 %
x1….hmotnost rozpuštěné látky v roztoku 1, x2 …. hmotnost rozpuštěné látky v roztoku 2
x ….hmotnost výsledného roztoku
Příklad 10: U příkladu 9 výpočtem zjistěte, zda lze do směšovací rovnice doplnit místo
hodnoty hmotnostního zlomku w(s) rovnou hodnotu procentové koncentrace p.
Dokažte.
Řešení: Ano, lze. Protože:
p1 · m1 + p2 · m2 = p3 · (m1 + m2) , kde pi = wi ·100 i = 1, 2, 3
w1 · 100 · m1 + w2 · 100 · m2 = w3 · 100 · (m1 + m2) / : 100
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
Poznámka: Výsledek se tedy nezmění, jestliže místo hmotnostního zlomku dosadíme do směšovací
rovnice rovnou hmotnostní koncentraci p, a směšovací rovnice může být zapsána i ve tvaru:
p1 · m1 + p2 · m2 = p3 · (m1 + m2)
Příklad 11: Kolik gramů 10% roztoku smísíme se 150 g 40% roztoku, aby výsledný
roztok byl 20%?
Řešení:
I. Dosazení do směšovací rovnice:
roztok 1:
w1 = 0,1
m1 = ?
roztok 2:
w2 = 0,4
m2 = 150 g
roztok 3:
w3 = 0,2
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
0,1 · m1 + 0,4 · 150 = 0,2 · (m1 + 150)
0,1 · m1 + 60 = 0,2· m1 + 30
30 = 0,1·m1
m1 = 300 g
Odpověď: Smísíme 300 g 10% roztoku se 150 g 40% roztoku.
36
II. Logická úvaha (trojčlenka):
roztok 1:
150 g ………..100 %
x g ……….. 40 %
x = 150 · 40
100
x = 60 g
roztok 2:
y g ………..100 %
z g ……….. 10%
𝑧
𝑦 =
10
100 / ·y
z = 0,1· y
z = 0,1·300
z = 30 g
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
(150 + y ) g …..……..100 %
(60 + z) g …………... 20 %
60 + 𝑧
150 + 𝑦 =
20
100 / · (150 + y)
60 + 0,1·y = 0,2 · (150 + y)
60 + 0,1·y = 30 + 0,2·y
30 = 0,1·y
y = 300 g
Poznámka: U tohoto typu příkladu je výpočet trojčlenkou pro některé žáky složitý. Dospějí totiž
k soustavě dvou rovnic o dvou neznámých, jejichž úprava jim může činit potíže. Směšovací rovnice je
tedy jednodušším řešením.
III. Křížové (směšovací) pravidlo:
Pro úplnost je zde pro tento typ příkladu uvedeno i tzv. křížové (směšovací) pravidlo [18, 30],
se kterým se žáci seznamují v chemii až na střední škole. Běžně se však používá v laboratorní praxi,
má-li být připraven roztok určité koncentrace ze dvou roztoků o různých koncentracích [23].
Schéma křížového pravidla je odvozeno ze směšovací rovnice vyjádřením poměru hmotnosti
výchozího roztoku 1 a hmotnosti výchozího roztoku 2 [30]:
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
w1 · m1 + w2 · m2 = w3· m1 + w3· m2
m1 · (w1 – w3) = m2 · (w3 - w2)
𝒎𝟏
𝒎𝟐=
𝒘𝟑 − 𝒘𝟐
𝒘𝟏 − 𝒘𝟑 nebo
𝒎𝟏
𝒎𝟐=
𝒑𝟑 − 𝒑𝟐
𝒑𝟏 − 𝒑𝟑
Odtud diagonální schéma [19]:
p1 p3 – p2 = počet hmotnostních dílů roztoku 1 o hmotnosti m1
p3
p2 p1 – p3 = počet hmotnostních dílů roztoku 2 o hmotnosti m2
platí: 𝐩𝐨č𝐞𝐭 𝐝í𝐥ů 𝐫𝐨𝐳𝐭𝐨𝐤𝐮 𝟏
𝐩𝐨č𝐞𝐭 𝐝í𝐥ů 𝐫𝐨𝐳𝐭𝐨𝐤𝐮 𝟐 =
𝒎𝟏
𝒎𝟐
p1, p2 ….. procentové koncentrace roztoku 1 a roztoku 2, kde p1 > p2
Řešení:
40 20 - 10 = 10 dílů 40% roztoku ………150 g
20
10 40 - 20 = 20 dílů 10% roztoku ……… m
37
10
20 =
150
𝑚 / · 20·m nebo 10 dílů ……………. 150 g
10 · m = 150 · 20 20 dílů …………..….. x g
m = 300g x = 150 · 20
10 = 300 g
Poznámka: Jednoduše lze vypočítat i přes jeden díl.
2.4.4. Změny ve složení roztoků
Pro mnoho žáků patří toto učivo mezi obtížné proto, že si ze zadání příkladu neumí
představit probíhající děj. Pokud ale z praktické ukázky (viz Pracovní list 5, str. 60) pochopili
směšování dvou roztoků a pomocí směšovací rovnice dokáží výše uvedené příklady vypočítat,
lze jim jednoduše vyložit takto:
1/ Ředění roztoku rozpouštědlem (přidání čistého rozpouštědla)
V podstatě jde opět o směšování roztoků, ale hmotnostní zlomek druhého „roztoku“ je w = 0
(nejde o skutečný roztok, protože neobsahuje rozpuštěnou látku, ale pouze rozpouštědlo,
resp. hmotnost rozpuštěné látky je 0 g). Ve vodných roztocích je rozpouštědlem voda. [18,19]
Popsaný děj znázorňuje obr. 9 na str. 41.
Do směšovací rovnice proto dosadíme za w2 = 0, příp. p2 = 0 %:
w1 · m1 + 0 · m2 = w3 · (m1 + m2)
w1 · m1 = w3 · (m1 + m2) (4)
(Takto upravená směšovací rovnice je označovaná jako zřeďovací rovnice.) [18]
Příklad 12: Kolika gramy vody musíme zředit 120 g 2% roztoku manganistanu
draselného, abychom získali 1% roztok?
Řešení:
I. Dosazení do směšovací rovnice:
roztok 1:
w1 = 0,02
m1 = 120 g
rozpouštědlo („roztok 2“):
w2 = 0
m2 = ?
roztok 3 (roztok 1 + rozpouštědlo):
w3 = 0,01
w1 · m1 + 0 · m2 = w3 · (m1 + m2)
0,02 · 120 + 0 = 0,01 · (120 + m2)
2,4 = 1,2 + 0,01 · m2
1,2 = 0,01 · m2
m2 = 120 g
38
II. Křížové pravidlo:
2 1 - 0 = 1 díl 10% roztoku ……120 g
1
0 2 – 1 = 1 díl vody ………….…. m
1
1 =
120
𝑚
m = 120 g
Odpověď: 120 g 2% roztoku manganistanu draselného musíme zředit 120 g vody,
aby výsledný roztok byl 1%.
2/ Zahušťování roztoku čistou látkou (přidání čisté látky)
V tomto případě (obr. 10, str. 41) je za druhý výchozí „roztok“ považována čistá látka (např.
modrá skalice), která má w = 1 (ani zde se vlastně nejedná o roztok, chybí v něm totiž
rozpouštědlo). [19]
Do směšovací rovnice tentokrát dosadíme za w2 = 1, příp. p2 = 100 %:
w1 · m1 + 1 · m2 = w3 · (m1 + m2)
w1 · m1 + m2 = w3 · (m1 + m2) (5)
Vztahy (4) a (5) jsou speciálními případy směšovací rovnice. Je zbytečné se je učit
jako další vzorečky, vyplynou z dosazení hodnot w2 do směšovací rovnice. Směšovací
rovnice tedy funguje jako univerzální prostředek k výpočtu jakéhokoliv typu těchto příkladů.
Příklad 13: Kolik gramů chloridu sodného musíme přidat do 150 g 6% roztoku, aby
koncentrace výsledného roztoku byla 8 %?
Řešení:
I. Dosazení do směšovací rovnice:
roztok 1:
w1 = 0,06
m1 = 150 g
čistá látka („roztok 2“):
w2 = 1
m2 = ?
roztok 3 (roztok 1 + čistá látka):
w3 = 0,08
w1 · m1 + 1 · m2 = w3 · (m1 + m2)
0,06 · 150 + m2 = 0,08 · (150 + m2)
9 + m2 = 12 + 0,08 · m2
0,92 · m2 = 3
m2 = 3,26 g
Odpověď: Do 150 g 6% roztoku musíme přidat 3,26 g chloridu sodného.
39
II. Křížové pravidlo:
100 8 - 2 = 2 díly čisté látky (chloridu sodného) …… m
8
6 100 - 8 = 92 dílů 6 % roztoku ……………………… 150 g
2
92 =
𝑚
150
m = 3,26 g
2.4.5. Příčiny chyb ve výpočtu
Ve všech výše uvedených příkladech (př. 2 až 14) je množství roztoku dáno
v jednotkách hmotnosti. Vzhledem k tomu, že tyto roztoky jsou kapalné a u kapaliny snáze
měřením zjistíme objem nežli hmotnost, se v mnoha příkladech v zadání objevují hodnoty
objemu jednotlivých roztoků. V tomto případě však musíme brát na zřetel, že smísením dvou
roztoků o různé koncentraci o objemu V1 a V2 není výsledný objem V3 součtem objemů
původních roztoků (V1 + V2 ≠ V3), na rozdíl od hmotnosti, kde platí m1 + m2 = m3. Tento jev
se nazývá objemová kontrakce [18]. Je způsobena různou velikostí částic (molekul)
mísených látek. Žákům je možné vysvětlit názorně pomocí dvou velikostí kuliček, které jsou
umístěné každá velikost v jedné kádince (obr. 7). Odečteme objem každé z nich (V1 a V2),
sesypeme kuličky dohromady do jedné kádinky a odečteme výsledný objem V3. Zjistíme, že je
menší než jejich součet. Žáci ihned vidí, co je příčinou. Je to rozmístění kuliček v prostoru -
menší kuličky částečně vyplní prostor mezi kuličkami většími. Pokud však kuličky zvážíme,
zjistíme, že výsledná hmotnost je součtem obou hmotností. Objem se tedy musí vždy
přepočítat na hmotnost. Přepočet vychází ze vztahu pro hustotu m = ϱ · V. Hmotnost
roztoku m se pak dosadí do směšovací rovnice:
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2), kde mi = ϱi · Vi i = 1, 2, 3
w1 · ϱ1 · V1 + w2 · ϱ2 · V2 = w3 · (ϱ1 · V1 + ϱ2 · V2)
nebo pokud známe objem výsledného roztoku V3:
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · m3
w1 · ϱ1 · V1 + w2 · ϱ2 · V2 = w3 · ϱ3 · V3
Dosazení hodnoty objemu roztoku místo hmotnosti roztoku do směšovací rovnice bývá
nejčastějším zdrojem chyb ve výpočtu [18]. Změny objemu se však při mísení často dají
40
zanedbat a potom: V3 = V1 + V2 [30], a proto lze chybné dosazení tolerovat, zvlášť ve
školské matematice.
Obrázek 7: Znázornění objemové kontrakce
Následující příklad (př. 14) ukazuje správný postup a tím i přesnou hodnotu výpočtu.
Na základní škole je možné úlohu zadat talentovaným žákům.
Příklad 14: Jaká bude výsledná koncentrace roztoku, který vznikne smísením 250 cm3
50% kyseliny dusičné (ρ = 1,310 𝐠
𝐜𝐦𝟑 ) s 300 cm3 jejího 15% roztoku této kyseliny
(ρ = 1,08 𝐠
𝐜𝐦𝟑)? [18]
Řešení:
roztok 1:
w1 = 0,5
V1 = 250 cm3
ϱ1 = 1,31 g
cm3
roztok 2:
w2 = 0,15
V2 = 300 cm3
ρ2 = 1,08 g
cm3
roztok 3:
w3 = ?
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
w1 · ϱ1 · V1 + w2 · ϱ2 · V2 = w3 · (ϱ1 · V1 + ϱ2 · V2)
0,5 · 1,31 · 250 + 0,15 · 1,08 · 300 = w3 · (1,31·250 +1,08·300)
163,75 + 48,6 = w3 · (327,5 + 324)
212,35 = w3 · 651,5
w3 = 0,326
Odpověď: Výsledná koncentrace roztoku bude 32,6 %.
Poznámka: Pro srovnání lze do směšovací rovnice místo hmotnosti m nesprávně dosadit zadané
hodnoty objemu V.
41
Obrázek 8: Směšování roztoků o různé koncentraci.
Obrázek 9: Přidání rozpouštědla do roztoku (ředění roztoku).
Obrázek 10: Přidání čisté látky do roztoku (zahušťování roztoku).
Obrázek 11: Hodnoty hmotnostního zlomku rozpouštědla,
různě koncentrovaných roztoků a čisté látky
(zpracováno podle [27]).
42
3. Praktická část
Praktická část práce předkládá v podobě pracovních listů návrh na systematickou
výuku společného učiva vzdělávacích oborů matematika a chemie. Cílem je naučit žáky
s porozuměním počítat příklady na vyjadřování složení roztoků, směšování roztoků o různé
koncentraci a změnu koncentrace roztoku přidáním rozpouštědla nebo čisté látky.
3.1. Přehled pracovních listů
Vzdělávací obsah časově spadá do výuky 8. a 9. ročníku základní školy, příp. tercie
a kvarty víceletého gymnázia. Tabulka 1 znázorňuje návrh na rozložení učiva. Kromě
příkladů v pracovních listech mohou jako doplněk k výuce obou předmětů sloužit i řešené
příklady v teoretické části této práce.
Tabulka 1
Pracovní
list
Téma Ročník Předmět Poznámka
1 Roztoky 8. CH praktické cvičení
2 Složení roztoků
(Hmotnostní zlomek)
8. CH demonstrační pokus
3
Příprava vodného
roztoku chloridu sodného
8. CH praktické cvičení
4 Složení roztoků 8./9. CH/M opakování učiva chemie z 8. roč.
5 Směšování roztoků
o různé koncentraci
9. M demonstrační pokus
6 Ředění a zahušťování
roztoků
9. M demonstrační pokus
3.2. Pracovní listy a metodické listy
Na jednotlivé pracovní listy navazují listy metodické. V úvodu každého metodického
listu jsou uvedeny informace o časové dotaci, organizační formě vyučování, potřebných
pomůckách, příp. chemikáliích, dále o předpokládaných vstupních znalostech a očekávaných
výstupech v obou předmětech. Pak následuje řešení všech úloh včetně popisu demonstračních
pokusů.
43
PRACOVNÍ LIST 1
Téma: Roztoky
Úloha 1: Zopakujte si TŘÍDĚNÍ LÁTEK: (do schématu doplňte slova: směs, stejnorodá, mlha,
aerosol, chemicky čistá látka, dým, suspenze, pěna, různorodá, emulze)
ROZTOKY
Roztok - _______________ směs složená z _____________ látky a z _______________.
a/ ROZPOUŠTĚDLO
Úloha 2: Mezi nejběžnější rozpouštědla patří voda, která tvoří vodné roztoky. V odměrném válci
odměřte 50 ml destilované vody. Toto množství vody zvažte (1/ zvažte samotnou kádinku, 2/ váhy
vynulujte, 3/ nalijte do kádinky 50 ml vody, 4/ odečtěte hmotnost).
V = …...... ml = ……… cm3
m = …....... g
Naměřené hodnoty dosaďte do vztahu pro výpočet hustoty a vypočítejte:
Hustota vody je ……………………..… .
Hustotu vody při 20 oC najděte v MFCH tabulkách, vyjádřete v
g
cm3 a zaokrouhlete na jednotky:
ρ(H2O) = ……………………………………………..
Úloha 3: Převádějte jednotky hmotnosti, objemu a hustoty :
150 ml = l 0,2 g = mg 11 300 kg
m3 = g
cm3
2,15 l = ml 3 560 mg = g 0,789 g
cm3 = kg
m3
25 cm3 = dm
3 78,4 t = kg 866
kg
m3 = g
cm3
LÁTKY
44
Úloha 4: V MFCH tabulkách najděte hustotu dalších známých rozpouštědel při teplotě 20 oC:
líh (etanol) - ........................ kg
m3 = .............................. g
cm3
aceton - …………….…………. = ………..………….….
benzin - ………………..………. = …………..…………..
b/ ROZPUŠTĚNÁ LÁTKA
- podle ……………… rozpuštěné látky v roztoku rozlišujeme:
……………....…….. ROZTOK (látka se stále ……………….)
…………………….. ROZTOK (látka se při dané teplotě již ….…………….)
c/ ROZPUSTNOST je …………..…… rozpuštěné látky ve ….…. rozpouštědla (např. vody)
Úloha 5: V MFCH tabulkách najděte hodnotu rozpustnosti těchto látek ve 100 g vody při 0 oC,
20 oC a 100
oC. Zakroužkujte hodnotu rozpustnosti při laboratorní teplotě.
0 oC 20
oC 100
oC
modrá skalice
sůl kuchyňská
Úloha 6: Pozorujte pokus učitele a zapište, jakými způsoby lze urychlit rozpouštění.
1 …................................................................... (pomocí ……..………….……………………………..)
2 ….................................................................... (pomocí ……….………………………………………)
3 ….................................................................... (pomocí .……………..………………………………..)
45
METODICKÝ LIST 1 Téma: Roztoky
Časová dotace: 45 minut (8. ročník – chemie)
Forma: skupinová (2 – 3 žáci), frontální (demonstrační pokus učitele)
Pomůcky: Ž: kádinka (100 ml), odměrný válec (50 ml), střička s destilovanou vodou, digitální
váhy (pomůcky pro 1 skupinu)
U: plastová lžička, 3 kádinky, střička, skleněná tyčinka, třecí miska s tloučkem,
kahan, zápalky, trojnožka, azbestová síťka
MFCH tabulky, kalkulačka
Chemikálie: destilovaná voda, modrá skalice (CuSO4 · 5H2O)
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, převody jednotek hmotnosti, objemu, hustoty
CH – třídění látek, hustota, měření hmotnosti a objemu, laboratorní nádobí
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, účelně využívá kalkulátor,
vyhledává data, provádí převody jednotek
CH – žák vysvětlí základní faktory rozpouštění látek, pracuje s laboratorním
nádobím, dokáže změřit hmotnost a objem, vyhledává potřebné údaje
Řešení:
Úloha 1: Zopakujte si TŘÍDĚNÍ LÁTEK:
ROZTOKY
Roztok – stejnorodá směs složená z rozpuštěné látky a z rozpouštědla.
a/ ROZPOUŠTĚDLO
Úloha 2: Mezi nejběžnější rozpouštědla patří voda, která tvoří vodné roztoky. V odměrném válci
odměřte 50 ml destilované vody. Toto množství vody zvažte (1/ zvažte samotnou kádinku, 2/ váhy
vynulujte, 3/ nalijte do kádinky 50 ml vody, 4/ odečtěte hmotnost).
V = 50 ml = 50 cm3
m = 49 g
Naměřené hodnoty dosaďte do vztahu pro výpočet hustoty a vypočítejte:
CHEMICKY ČISTÁ LÁTKA
SMĚS RŮZNORODÁ
LÁTKY
MLHA
DÝM
PĚNA
EMULZE
SUSPENZE
AEROSOL STEJNORODÁ
46
ρ = 𝑚
𝑉 = 49 : 50 = 0,98
𝑔
𝑐𝑚3
Hustota vody je 0,98 𝑔
𝑐𝑚3.
Hustotu vody při 20 oC najděte v MFCH tabulkách, vyjádřete v
g
cm3 a zaokrouhlete na jednotky:
ρ(H2O) = 998,2 𝑘𝑔
𝑚3 = 0,998 2
𝑔
𝑐𝑚3 = 1
𝑔
𝑐𝑚3
Úloha 3: Převádějte jednotky hmotnosti, objemu a hustoty:
150 ml = 0,15 l 0,2 g = 200 mg 11 300 kg
m3 = 11,3
g
cm3
2,15 l = 2 150 ml 3 560 mg = 3,56 g 0,789 g
cm3 = 789
kg
m3
25 cm3 = 0,025 dm
3 78,4 t = 78 400 kg 866 kg
m3 = 0,866 g
cm3
Úloha 4: V MFCH tabulkách najděte hustotu dalších známých rozpouštědel při teplotě 20 oC:
líh (etanol) - 789 𝑘𝑔
𝑚3 = 0,789
𝑔
𝑐𝑚3
aceton - 791 𝑘𝑔
𝑚3 = 0,791
𝑔
𝑐𝑚3
benzin - 700 - 750 𝑘𝑔
𝑚3 = 0,7 – 0,75
𝑔
𝑐𝑚3
b/ ROZPUŠTĚNÁ LÁTKA
- podle množství rozpuštěné látky v roztoku rozlišujeme:
NENASYCENÝ ROZTOK (látka se stále rozpouští )
NASYCENÝ ROZTOK (látka se při dané teplotě již nerozpouští )
c/ ROZPUSTNOST je hmotnost rozpuštěné látky ve 100 g rozpouštědla (např. vody)
Úloha 5: V MFCH tabulkách najděte hodnotu rozpustnosti těchto látek ve 100 g vody při 0 oC,
20 oC a 100
oC . Zakroužkujte hodnotu rozpustnosti při laboratorní teplotě.
0 oC 20
oC 100
oC
modrá skalice 14,8 g 20,77 g 73,6 g
sůl kuchyňská 35,7 g 35,8 g 39,2 g
.
47
Úloha 6: Pozorujte pokus učitele a zapište, jakými způsoby lze urychlit rozpouštění.
Pokus: Učitel má 3 kádinky s vodou. Do 2 kádinek nasype modrou skalici, část látky se
rozpouští hned, část klesá ke dnu:
1 roztok zamíchá skleněnou tyčinkou
2 kádinku s roztokem postaví na trojnožku s azbestovou síťkou a opatrně zahřívá
3 skalici modrou dá do třecí misky s tloučkem, rozmělní a poté nasype do třetí
kádinky
(Pokus lze přirovnat k rozpouštění kostky cukru ve studeném čaji: rozpouštění se urychlí
mícháním, zahřátím čaje nebo použijeme-li místo kostkového cukr moučkový.)
1 mícháním roztoku (pomocí skleněné tyčinky )
2 zahříváním roztoku (pomocí kahanu )
3 rozmělněním pevné látky (pomocí třecí misky s tloučkem )
48
PRACOVNÍ LIST 2
Téma: Složení roztoků (Hmotnostní zlomek)
Složení roztoků vyjadřuje veličina ……………………… ………………:
w(s) = 𝒎(𝒔)
𝒎 =
𝒎(𝒔)
𝒎(𝒔) + 𝒎(𝒓)
- je to podíl hmotnosti rozpuštěné látky m(s) a hmotnosti roztoku m
w(s) . . . . . . . . ………………………………………………………………..
m(s) . . . . . . . …………………………………………………………….….
m . . . . . . . . . . ………………………………………….……………..………
m(r). . . . . . . . ………………………………………………………………..
p = w(s) · 100 = ___ %
p . . . . . . . . . . ……………………………………………………………..
Úloha 1: Sledujte pokus učitele: Naváží 2 g modré skalice. V odměrném válci odměří
100 ml vody (tj. .…. g vody). Z uvedených látek připraví vodný roztok modré skalice: do
kádinky nalije vodu, přisype skalici modrou a rozpouštění urychlí mícháním roztoku
skleněnou tyčinkou, případně zahřátím roztoku nad kahanem. Vypočítejte hmotnostní
zlomek skalice modré ve vodném roztoku. Kolik procent modré skalice roztok obsahuje?
Doplňte: rozpuštěnou látkou je ….................................: m(s) = …...............
rozpouštědlem je …........................................ : m(r) = …................
Dosaďte do vztahu: w(s) =
Odpověď: ………………………………………………………………………………..
Úloha 2: Vypočítejte hmotnostní zlomek cukru v roztoku, jestliže ve 200 g roztoku je
obsaženo 7 g cukru. Jaká je procentová koncentrace tohoto roztoku?
49
Úloha 3: Laborant potřebuje připravit 350 g 5% roztoku skalice modré. Kolik gramů
skalice modré je obsaženo v tomto roztoku? Vypočítejte:
a/ dosazením do vztahu b/ logickou úvahou
Úloha 4: Doplňte tabulku:
m(s) m(r) m = m(s) + m(r) w(s) =
𝒎(𝒔)
𝒎
p
20 g 200 g
5 g 195 g
250 g 400 g
0,15
350 g 10 %
50
METODICKÝ LIST 2 Téma: Složení roztoků (Hmotnostní zlomek)
Časová dotace: 45 minut (8. ročník – chemie)
Forma: frontální (demonstrační pokus učitele, výklad), příp. skupinová (na úlohách mohou žáci
pracovat ve dvojici)
Pomůcky: U: plastová lžička, kádinka, odměrný válec, navažovací lodička, střička, skleněná
tyčinka, příp. lihový kahan, zápalky, trojnožka, azbestová síťka
Ž: kalkulačka
Chemikálie: destilovaná voda, skalice modrá (CuSO4 · 5H2O)
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, trojčlenka, procenta
CH – směsi stejnorodé, rozpuštěná látka, rozpouštědlo
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, vyjadřuje vztah celek – část
zlomkem, desetinným číslem a procentem, vhodně využívá kalkulátor
CH – žák rozlišuje směsi a chemické látky, vypočítá složení roztoků
Řešení:
Složení roztoků vyjadřuje veličina hmotnostní zlomek :
w(s) = 𝒎(𝒔)
𝒎 =
𝒎(𝒔)
𝒎(𝒔) + 𝒎(𝒓)
- je to podíl hmotnosti rozpuštěné látky m(s) a hmotnosti roztoku m
w(s) . . . . . . . . hmotnostní zlomek rozpuštěné látky v roztoku
m(s) . . . . . . . hmotnost rozpuštěné látky (složky) v roztoku
m . . . . . . . . . . hmotnost roztoku (rozpuštěné látky a rozpouštědla)
m(r). . . . . . . . hmotnost rozpouštědla
p = w(s) · 100 = ___ %
p . . . . . . . . . . procentová koncentrace roztoku
Úloha 1: Sledujte pokus učitele: Naváží 2 g modré skalice. V odměrném válci odměří
100 ml vody (tj. 100 g vody). Z uvedených látek připraví vodný roztok modré skalice: do
kádinky nalije vodu, přisype skalici modrou a rozpouštění urychlí mícháním roztoku
skleněnou tyčinkou, případně zahřátím roztoku nad kahanem. Vypočítejte hmotnostní
zlomek skalice modré ve vodném roztoku. Kolik procent modré skalice roztok obsahuje?
51
Doplňte: rozpuštěnou látkou je modrá skalice: m(s) = 2 g
rozpouštědlem je voda : m(r) = 100 g
Dosaďte do vztahu: w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
2
2 + 100 =
2
102
w(s) = 0,019 6
p = w(s) · 100 = 0,019 6 · 100 = 1,96 %
Hmotnostní zlomek modré skalice je 0,019 6. Roztok obsahuje 1,96 % modré skalice.
Úloha 2: Vypočítejte hmotnostní zlomek cukru v roztoku, jestliže ve 200 g roztoku je
obsaženo 7 g cukru. Jaká je procentová koncentrace tohoto roztoku?
w(s) = ?
m(s) = 7 g
m = 200 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 =
7
200
w(s) = 0,035
p = w(s) · 100 = 0,035 · 100 = 3,5 %
Hmotnostní zlomek roztoku cukru je 0,035.
Procentová koncentrace roztoku je 3,5 % (Jde o 3,5% roztok cukru).
Úloha 3: Laborant potřebuje připravit 350 g 5% roztoku skalice modré. Kolik gramů
skalice modré je obsaženo v tomto roztoku? Vypočítejte:
a/ dosazením do vztahu b/ logickou úvahou
m(s) = ?
m = 350 g
w(s) = 5 : 100 = 0,05
m(s) = w(s) · m = 0,05 · 350
m(s) = 17,5 g
350 g roztoku ………. 100 %
x g skalice …………. 5 %
x = 350 · 5
100
x = 17,5 g
V roztoku je obsaženo 17,5 g modré skalice.
52
Úloha 4: Doplňte tabulku:
m(s) m(r) m = m(s) + m(r) w(s) =
𝒎(𝒔)
𝒎
p
20 g 180 g 200 g 0,1 10 %
5 g 195 g 200 g 0,025 2,5 %
150 g 250 g 400 g 0,375 37,5 %
15 g 85 g 100 g 0,15 15 %
35 g 315 g 350 g 0,1 10 %
¨
53
PRACOVNÍ LIST 3
Téma: Příprava vodného roztoku chloridu sodného
Úlohy:
1/ Na hodinovém skle navažte 2 g chloridu sodného NaCl (soli kuchyňské). V odměrném válci
odměřte 50 ml vody (tj. ...... g vody). V kádince připravte vodný roztok chloridu sodného. Popište
jednotlivé kroky přípravy roztoku. Jak lze urychlit rozpouštění látky v roztoku?
2/ Vypočítejte hmotnostní zlomek chloridu sodného a uveďte, kolik procent chloridu sodného roztok
obsahuje.
3/ Navrhněte, jak lze připravit 2% roztok chloridu sodného. Jaký je hmotnostní zlomek takového
roztoku?
4/ Který z obou roztoků je koncentrovanější?
5/ Zjistěte hmotnostní zlomek chloridu sodného v mořské vodě. Hodnotu porovnejte s vámi
připraveným roztokem z úlohy 1.
Chemikálie:
Pomůcky:
Postup:
1/
2/
3/
4/
5/
Závěr:
54
METODICKÝ LIST 3 Téma: Příprava vodného roztoku chloridu sodného
Časová dotace: 45 minut (8. ročník – chemie)
Forma: praktické cvičení (poučení žáků o bezpečnosti a ochraně zdraví), skupinová práce
(2 – 4 žáci ve skupině)
Chemikálie: destilovaná voda, chlorid sodný
Pomůcky: pro každou skupinu - kádinka, střička s destilovanou vodou, odměrný válec (100 ml),
plastová lžička, skleněná tyčinka, hodinové sklo, digitální váhy
MFCH tabulky, kalkulačka
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, převody jednotek hmotnosti, objemu, hustoty, trojčlenka,
procenta
CH – roztoky, vyjadřování složení roztoků, rozpouštědlo a rozpuštěná látka
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, využívá kalkulátor, vyjadřuje vztah
celek – část zlomkem, desetinným číslem a procentem, vyhledává
a vyhodnocuje data
CH – žák rozlišuje směsi a chemické látky, připraví praktický roztok daného
složení, vypočítá složení roztoků, vysvětlí faktory ovlivňující rozpouštění
látek
Postup:
1/ Navážili jsme na hodinovém skle 2 g chloridu sodného.
V odměrném válci jsme odměřili 50 ml vody a vodu nalili do kádinky.
Do kádinky s vodou jsme nasypali chlorid sodný.
Roztok jsme míchali skleněnou tyčinkou, dokud se všechen chlorid sodný nerozpustil.
Rozpouštění lze urychlit také zahříváním kapaliny nebo rozmělněním pevné látky.
2/ w(s) = ?
m(s) = 2 g
m(r) = 50 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
2
2 + 50 =
2
52
w(s) = 0,038 5 ==> 3,85 %
3/ 2% roztok: w(s) = 2 : 100 = 0,02
0,02 = 2
100 =
2
2 + 98 2% roztok připravíme např. rozpuštěním 2 g NaCl v 98 g (98 ml) vody
Hmotnostní zlomek 2% roztoku je 0,02.
4/ 3,85% roztok je koncentrovanější než 2% roztok chloridu sodéno.
2% roztok je zředěnější než 3,85% roztok chloridu sodného.
55
5/ w(s) = 0,035 [8],
roztok připravený v úloze 1 je koncentrovanější než mořská voda (0,038 5 > 0,035)
Závěr: Naučili jsme se připravit roztok a vypočítat jeho hmotnostní zlomek a procentovou
koncentraci. Umíme navrhnout postup přípravy roztoku o určité koncentraci. Víme, jak urychlit
rozpouštění. Rozlišíme roztok zředěnější a koncentrovanější.
Poznámka:
1/ Připomeneme žákům jednu ze zásad práce v laboratoři: Chemikálie nikdy neochutnáváme
(přestože se jedná o sůl kuchyňskou). [2]
2/ Pokud se jedná o 1. praktické cvičení z chemie, je vhodné, aby učitel měl i jednu soupravu
pomůcek pro sebe a žákům přípravu roztoku demonstroval.
56
PRACOVNÍ LIST 4
Téma: Složení roztoků
Příklady 1 – 3 vypočítejte 2 způsoby:
a/ dosazením do obecného vztahu b/ logickou úvahou
(hmotnostní zlomek počítejte alespoň na tři desetinná místa)
1/ Vypočítejte hmotnostní zlomek roztoku, který vznikl rozpuštěním 14 g chloridu sodného NaCl ve
120 g vody. Kolikaprocentní je takto připravený roztok?
a/ b/
2/ Vypočítejte hmotnostní zlomek roztoku, jestliže ve 160 g tohoto roztoku je rozpuštěno 15 g
chloridu draselného KCl. Jaká je procentová koncentrace tohoto roztoku?
a/ b/
3/ Kolik gramů dusičnanu stříbrného AgNO3 obsahuje 240 g 3% roztoku této soli?
a/ b/
4/ Vypočítejte zpaměti: Jak připravíme: a/ 4% roztok cukru, b/ 12% roztok NaCl?
57
5/ Kolikaprocentní je nasycený roztok modré skalice? Rozpustnost CuSO4·5H2O při 20 oC je
36 g ve 100 g H2O. [2]
6/ Výpočtem zjistěte, který z roztoků A a B je koncentrovanější a který zředěnější?
A: ve 150 g roztoku je obsaženo 6 g soli B: ve 125 g roztoku je obsaženo 5,5 g soli
58
METODICKÝ LIST 4 Téma: Složení roztoků
Časová dotace: 45 minut (8. nebo 9. ročník – chemie nebo matematika)
Forma: samostatná práce, příp. skupinová (ve dvojici) – opakování učiva chemie z 8. ročníku
Pomůcky: kalkulačka
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, převody jednotek hmotnosti, objemu, hustoty, trojčlenka,
procenta
CH – roztoky, rozpouštědlo a rozpuštěná látka, vyjadřování složení roztoků,
hmotnostní zlomek, procentová koncentrace
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, využívá kalkulátor, vyjadřuje vztah
celek – část zlomkem, desetinným číslem a procentem, vyhledává data,
užívá kalkulátor
CH – žák rozlišuje směsi a chemické látky, vypočítá složení roztoků
Řešení: Úlohu 1 je možné vypočítat oběma způsoby na tabuli.
1/ a/ w(s) = ?
m (s) = 14 g
m (r) = 120 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
14
14 + 120
w(s) = 0,104 5 ==> 10,45 %
Hmotnostní zlomek roztoku je 0,104 5.
Jde o 10,45% roztok.
2/ a/ w(s) = ?
m (s) = 15 g
m = 160 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 =
15
160
w(s) = 0,093 8 ==> 9,38 %
Hmotnostní zlomek roztoku je 0,093 8.
Jde o 9,38% roztok.
3/ a/ m(s) = ?
m = 240 g
w(s) = 3 : 100 = 0,03
m(s) = w(s) · m = 0,03 · 240
b/ hmotnost roztoku: 14 g + 120 g = 134 g
100 % …………..134 g roztoku
x % ……………14 g NaCl
x = 100 · 14
134
x = 10,45 %
b/ 100 % ………...160 g roztoku
x % …………..15 g KCl
x = 100 · 15
160
x = 9,38 %
b/ 100 % …………..240 g roztoku
3 % …………… x g AgNO3
x = 240 · 3
100
x = 7,2 g
59
m(s) = 7,2 g
240 g 3% roztoku obsahuje 7,2 g AgNO3.
4/ Návod pro rychlý výpočet:
0,04 = 4
100 =
4
4 + 96 např. 4 g cukru rozpustíme v 96 g (tj. 96 ml) vody
0,12 = 12
100 =
12
12 + 88 např. 12 g NaCl rozpustíme v 88 g (tj. 88 ml) vody
5/ w(s) = ?
m(s) = 36 g
m(r) = 100 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟) =
36
35,8 + 100 =
35,8
135,8
w(s) = 0,263 6 ==> 26,36 %
Nasycený roztok modré skalice má koncentraci 26,36 %.
6/ roztok A: w(s) = ? roztok B: w(s) = ?
m(s) = 6 g m(s) = 5,5 g
m = 150 g m = 125 g
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 =
6
150 w(s) =
𝑚(𝑠)
𝑚 =
5,5
125
w(s) = 0,04 ==> 4 % w(s) = 0,044 ==> 4,4 %
Roztok A je zředěnější než roztok B. Roztok B je koncentrovanější než roztok A.
60
PRACOVNÍ LIST 5
Téma: Směšování roztoků o různé koncentraci
Napište vztah pro výpočet hmotnostního zlomku w(s):
Ze vzorce vyjádřete hmotnost rozpuštěné látky m(s):
Odvoďte vztah pro SMĚŠOVACÍ ROVNICI:
m1(s) + m2(s) = m3(s)
………….……………………………………………………….
………….…………………………………………………….…
Úlohy:
1/ Vypočítejte hmotnostní zlomek (a procentovou koncentraci roztoku), který vznikl
smísením 100 g 5% roztoku modré skalice a 200 g 15% roztoku modré skalice. (viz obr.)
2/ Kolik gramů 10% roztoku modré skalice je třeba přilít do 200 g 2% roztoku modré
skalice, aby byla koncentrace vzniklého roztoku 5 %?
61
3/ Kolikaprocentní roztok chloridu sodného musíme smísit se 100 g 5% roztoku chloridu
sodného, abychom připravili 250 g roztoku o koncentraci 10 %?
4/ 80% kyselina byla namíchána ze stejné látky o dvou různých koncentracích. Množství
slabší kyseliny k množství silnější je v poměru 2 : 1. Jakou koncentraci měla slabší kyselina,
jestliže silnější měla koncentraci 98 %?
62
METODICKÝ LIST 5 Téma: Směšování roztoků o různé koncentraci
Časová dotace: 45 minut (9. ročník – matematika)
Forma: frontální (demonstrační pokus učitele, výklad), příp. skupinová (ve dvojících)
Pomůcky: U: 4 kádinky, 3 hodinová skla, plastová lžička, skleněná tyčinka
kalkulačka
Chemikálie: modrá skalice, destilovaná voda
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, převody jednotek hmotnosti, objemu, hustoty, trojčlenka,
procenta, vyjadřování neznámé ze vzorce
CH – roztoky, rozpouštědlo a rozpuštěná látka, vyjadřování složení roztoků,
hmotnostní zlomek, procentová koncentrace
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, využívá kalkulátor, vyjadřuje vztah
celek – část zlomkem desetinným číslem a procentem, vyhledává a
vyhodnocuje data, užívá kalkulátor
CH – žák rozlišuje směsi a chemické látky, vypočítá složení roztoků, hmotnostní
zlomek
Řešení:
Napište vztah pro výpočet hmotnostního zlomku w(s):
w(s) = 𝑚(𝑠)
𝑚 =
𝑚(𝑠)
𝑚(𝑠) + 𝑚(𝑟)
Ze vzorce vyjádřete hmotnost rozpuštěné látky m(s):
m(s) = w(s) · m
Odvoďte vztah pro SMĚŠOVACÍ ROVNICI:
m1(s) + m2(s) = m3(s)
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · m3
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 ·(m1 + m2)
Demonstrační pokus učitele: k úloze č. 1, obr. v Pracovním listě 5, v rámci úspory chemikálií stačí,
aby koncentrace roztoků byly přibližné (světle a tmavě modrý roztok skalice modré)
Příprava: 2x kádinka se 100 g 5% roztoku skalice modré (roztok 1) - zředěnější (světle modrý) roztok
2x kádinka s 200 g 15% roztoku skalice modré (roztok 2) – koncentrovanější (tmavě modrý)
3x hodinové sklo se skalicí modrou – dle obr. v Pracovním listě 5 (str. 60)
Postup:
1/ 100 g roztoku 1 se smísí se 200 g roztoku 2 – tmavě modrý roztok zesvětlá
2/ postaví před sebe kádinky v pořadí: 100 g roztoku 1 + 200 g roztoku 2 = 300 g roztoku 3 („středně“
modrý roztok)
63
Úlohy:
1/ Vypočítejte hmotnostní zlomek (a procentovou koncentraci roztoku), který vznikl
smísením 100 g 5% roztoku modré skalice a 200 g 15% roztoku modré skalice.
roztok 1:
w1 = 0,05
m1 = 100 g
w1 · m1 +
0,05 · 100 +
5 +
roztok 2:
w2 = 0,15
m2 = 200 g
w2· m2 =
0,15 · 200 =
30 =
w3 =
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
w3 = ?
w3 · (m1 + m2)
w3 · (100 + 200)
w3 · 300
0,116 7 ==> 11,67 %
Hmotnostní zlomek výsledného roztoku je 0,116 7.
Procentová koncentrace je 11,67%.
Řešení logickou úvahou: trojčlenkou, příp. přes 1 %
roztok 1:
100 g ………..100 %
x1 g …………...5 %
x1 = 100 · 5
100
x1 = 5 g
roztok 2:
200 g ………..100 %
x2 g ………….15 %
x2 = 200 · 15
100
x2 = 30 g
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
(100 + 200) g ………..100 %
(5 + 30) g …………....... x %
x = 100 · 35
300
x = 11,67 %
nebo
roztok 1:
100 % ………..100 g
1 % …………...1 g
5 % …………5·1 g = 5 g
roztok 2:
100 % …….…..200 g
1 % ……....…..2 g
15 % …….…15·2 g = 30 g
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
(100 + 200) g ………..100 %
(5 + 30) g ………... x %
x = 100 · 35
300
x = 11,67 %
2/ Kolik gramů 10% roztoku modré skalice je třeba přilít do 200 g 2% roztoku modré
skalice, aby byla koncentrace vzniklého roztoku 5 %?
roztok 1:
w1 = 0,1
m1 = ?
w1 · m1 +
0,1 · m1 +
0,1 · m1 +
roztok 2:
w2 = 0,02
m2 = 200 g
w2 · m2 =
0,02 · 200 =
4 =
0,05 · m1 =
m1 =
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
w3 = 0,05
w3 · (m1 + m2)
0,05 · (m1 + 200)
0,05 · m1 + 0,05 · 200
6
120 g
Do 2% roztoku je třeba přilít 120 g 10% roztoku.
64
3/ Kolikaprocentní roztok chloridu sodného musíme smísit se 100 g 5% roztoku chloridu
sodného, abychom připravili 250 g roztoku o koncentraci 10 %?
roztok 1:
w1 = ?
m1 = 250 g – 100 g = 150 g
w1 · m1 +
w1 · 150 +
w1 · 150 +
roztok 2:
w2 = 0,05
m2 = 100 g
w2 · m2 =
0,05 · 100 =
5 =
150 · w1 =
w1 =
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
m3 = 250 g
w3 = 0,1
w3 · (m1 + m2)
0,1 · 250
25
20
0,133 3 ==> 13,33 %
Se 100 g 5% roztoku musíme smísit 13,33% roztok chloridu sodného.
4/ 80% kyselina byla namíchána ze stejné látky o dvou různých koncentracích. Množství
slabší kyseliny k množství silnější je v poměru 2 : 1. Jakou koncentraci měla slabší kyselina,
jestliže silnější měla koncentraci 98 %? [15]
roztok 1 (slabší kyselina):
w1 = ?
m1 = ?
𝑚1
𝑚2=
2
1
m1 = 2 · m2
roztok 2 (silnější kyselina):
w2 = 0,98
m2 = ?
roztok 3 (roztok 1 + roztok 2):
w3 = 0,8
w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
w1 · 2 · m2 + 0,98 · m2 = 0,8 · (2 · m2 + m2)
m2 · (2 · w1 + 0,98) = 0,8 · 3 m2 / : m2
2 · w1 + 0,98 = 2,4
w1 = 0,71 ==> 71 %
Slabší kyselina měla koncentraci 71 %.
65
PRACOVNÍ LIST 6
Téma: Ředění a zahušťování roztoků
Napište směšovací rovnici: …………….……………………………………………..
……………….………………………………………….
A/ Ředění roztoků
Do roztoku 1 přilijeme ………………….. (vodu), jehož w = ………,
proto do směšovací rovnice dosadíme za w2 = 0 (nebo p2 = 0 %)
1/ Jakou procentovou koncentraci bude mít roztok vzniklý zředěním 200 g 15% roztoku
100 g vody?
2/ Kolik gramů vody je třeba přilít ke 100 gramům 80% lihu, aby vznikl 64% líh?
66
B/ Zahušťování roztoků
Do roztoku 1 přidáme …………… ………, jejíž w = ………,
proto do směšovací rovnice dosadíme za w2 = 1 (nebo p2 = 100 %)
1/ Kolik gramů skalice modré musíme přidat do 200 g 10% roztoku, aby byl vzniklý roztok
15%?
2/ Kolikaprocentní roztok cukru vznikne, jestliže ke 150 g 10% roztoku přidáme 5 g cukru?
67
METODICKÝ LIST 6 Téma: Ředění a zahušťování roztoků
Časová dotace: 45 minut (9. ročník – matematika)
Forma: frontální (demonstrační pokus učitele, výklad), příp. skupinová (ve dvojících)
Pomůcky: U: 6 kádinek, 2 hodinová skla, plastová lžička, skleněná tyčinka
Ž: kalkulačka
Chemikálie: modrá skalice, destilovaná voda
Vstupní znalosti: M – desetinná čísla, převody jednotek hmotnosti, objemu, hustoty, trojčlenka,
procenta, vyjadřování neznámé ze vzorce
CH – roztoky, rozpouštědlo a rozpuštěná látka, vyjadřování složení roztoků,
hmotnostní zlomek, procentová koncentrace, směšovací rovnice
Očekávané výstupy: M – žák provádí základní početní operace, využívá kalkulátor, vyjadřuje vztah
celek – část zlomkem, desetinným číslem a procentem, užívá kalkulátor
CH – žák rozlišuje směsi a chemické látky, vypočítá složení roztoků, rozumí
změně koncentrace po přidání rozpouštědla nebo čisté látky do roztoku
Řešení:
Zapište směšovací rovnici: w1 · m1 + w2 · m2 = w3 · (m1 + m2)
nebo: p1 · m1 + p2 · m2 = p3 · (m1 + m2)
A/ Ředění roztoků
Demonstrační pokus učitele:
Příprava: 2x kádinka s 200 g roztoku skalice modré (tj. roztok 1), 2x kádinka se 100 ml vody (tj.
rozpouštědlo)
Postup:
1/ 200 g roztoku 1 se smísí (zředí) se 100 ml vody – tmavě modrý roztok zesvětlá (roztok 3 je
zředěnější)
2/ postaví před sebe kádinky v pořadí: 200 g roztoku 1 + 100 ml vody = 300 g roztoku 3
Řešení:
Do roztoku 1 přilijeme rozpouštědlo (vodu), jehož w = 0 ,
proto do směšovací rovnice dosadíme za w2 = 0 (nebo p2 = 0 %)
1/ Jakou procentovou koncentraci bude mít roztok vzniklý zředěním 200 g 15% roztoku
100 g vody?
68
roztok 1:
w1 = 0,15
m1 = 200 g
w1 · m1
0,15 · 200
30
rozpouštědlo („roztok 2“):
w2 = 0
m2 = 100 g
+ w2 · m2 =
+ 0 ·100 =
+ 0 =
w3 =
roztok 3 (roztok 1 + rozpouštědlo):
w3 = 0,1
w3 · (m1 + m2)
w3 · (200 + 100)
w3 · 300
0,1 tj. 10 %
Vzniklý roztok má koncentraci 10 %.
Řešení logickou úvahou: trojčlenkou, příp. přes 1 %
roztok 1:
200 g ………..100 %
x1 g ….……...15 %
x1 = 200 · 15
100
x1 = 30 g
rozpouštědlo („roztok 2“):
100 g ………..100 %
x2 g ……….….0 %
x2 = 100 · 0
100
x2 = 0 g
roztok 3 (roztok 1 + rozpouštědlo):
(200 + 100) g ………..100 %
(30 + 0) g …..……... x %
x = 100 · 30
300
x = 10 %
2/ Kolik gramů vody je třeba přilít ke 100 gramům 80% lihu, aby vznikl 64% líh? [21]
roztok 1:
w1 = 0,8
m1 = 100 g
w1 · m1 +
0,8 · 100 +
80 +
rozpouštědlo („roztok 2“):
w2 = 0
m2 = ?
w2 · m2 =
0 · m2 =
0 =
16 =
m2 =
roztok 3 (roztok 1 + rozpouštědlo):
w3 = 0,64
w3 · (m1 + m2)
0,64 · (100 + m2)
64 + 0,64 · m2
0,64 · m2
25 g
Ke 100 g 80% lihu je třeba přilít 25 g vody.
69
Řešení logickou úvahou: trojčlenkou
roztok 1:
100 g ………..100 %
x g ……….. 80 %
x = 100 · 80
100
x = 80 g
rozpouštědlo („roztok 2“):
y g ………..100 %
z g ………… 0%
𝑧
𝑦 =
0
100
z = 0 g
roztok 3 (roztok 1 + rozpouštědlo):
(100 + y ) g …..……..100 %
(80 + z) g …………... 64 %
80 + 𝑧
100 + 𝑦 =
64
100 / · (100 + y)
80 + 0 = (100 + y) · 0,64
80 = 64 + 0,64 · y
16 = 0,64 · y
y = 25 g
B/ Zahušťování roztoků
Demonstrační pokus učitele:
Příprava: 2x kádinka se 200 g roztoku skalice modré (tj. roztok 1), 2x hodinové sklo se skalicí
modrou (tj. čistá látka)
Postup:
1/ do 200 g roztoku 1 se přidá skalice modrá (čistá látka) – světlejší roztok ztmavne (roztok 3 je
koncentrovanější)
2/ postaví před sebe kádinky v pořadí: 200 g roztoku 1 + skalice modrá = výsledný roztok 3
Řešení:
Do roztoku 1 přidáme čistou látku , jejíž w = 1 ,
proto do směšovací rovnice dosadíme za w2 = 1 (nebo p2 = 100 %)
1/ Kolik gramů skalice modré musíme přidat do 200 g 10% roztoku, aby byl vzniklý roztok 15%?
roztok 1:
w1 = 0,1
m1 = 200 g
w1 · m1 +
0,1 · 200 +
20 +
20 +
čistá látka („roztok 2“):
w2 = 1
m2 = ?
w2 · m2 =
1 · m2 =
m2 =
m2 =
0,85 · m2 =
m2 =
roztok 3 (roztok 1 + čistá látka):
w3 = 0,15
w3 · (m1 + m2)
0,15 · (200 + m2)
0,15 · 200 + 0,15 . m2
30 + 0,15 · m2
10
11,76 g
Do 200 g 10% roztoku musíme přidat 11,67 g modré skalice.
70
2/ Kolikaprocentní roztok cukru vznikne, jestliže ke 150 g 10% roztoku přidáme 5 g cukru?
roztok 1:
w1 = 0,1
m1 = 150 g
w1 · m1 +
0,1 · 150 +
15 +
čistá látka („roztok 2“):
w2 = 1
m2 = 5 g
w2 · m2 =
1 · 5 =
5 =
20 =
w3 =
roztok 3 (roztok 1 + čistá látka):
w3 = ?
w3 · (m1 + m2)
w3 · (150 + 5)
w3 · 155
w3 · 155
0,129 (12,9 %)
Přidáním 5 g cukru do 150 g 10% roztoku vznikne 12,9% roztok.
Řešení logickou úvahou: trojčlenkou, příp. přes 1 %
roztok 1:
150 g ………..100 %
x1 g ….…......10 %
x1 = 150 · 10
100
x1 = 15 g
čistá látka („roztok 2“):
5 g ………..100 %
x2 = 5 g
roztok 3 (roztok 1 + čistá látka):
(150 + 5) g ……..…..100 %
(15 + 5) g …………… x %
x = 100 · 20
155
x = 12,9 %
71
3.3. Ověření vybraných pracovních listů v praxi
K ověření pracovních listů č. 3 a č. 4 byla vybrána třída středně velké městské
základní školy (750 žáků). Jedná se o 26 žáků 8. ročníku. Pracovní listy byly zadány v rámci
předmětu chemie, se kterým žáci tento rok začínají. První má formu praktického cvičení a je
zaměřen na praktickou přípravu roztoku s výpočtem procentuálního složení tohoto roztoku.
Druhý je orientován na způsoby výpočtu složení roztoků a nabízí nejběžnější typy příkladů
z tohoto učiva. Je možné ho zadat i v 9. ročníku v matematice.
Pracovní list 3 – Příprava vodného roztoku chloridu sodného
26 žáků bylo rozděleno do 7 skupin (po 3 – 4 žácích). Praktickému cvičení
předcházely dvě vyučovací hodiny věnované výpočtu hmotnostního zlomku. Na začátku
hodiny bylo žákům sděleno, že výstupem bude záznam z praktického cvičení (tj. vyplněný
pracovní list), který odevzdají příští hodinu. Nemusí tedy spěchat, dokončit ho mohou doma,
protože pro úlohu 5 je nutné vyhledat informace. Názorně jim pak byla předvedena příprava
roztoku včetně správného způsobu vážení chloridu sodného a odměřování objemu vody.
Úlohy 2, 3 a 4 byly početní úlohy týkající se výpočtu složení roztoků. V průběhu hodiny žáci
spolupracovali v rámci své skupiny. Rozdělili si činnosti - jedni připravovali roztok, jiní
mezitím začali počítat jeho složení. Radili si, diskutovali a vyhledávali řešení podobných
příkladů v sešitě.
Většina odevzdaných pracovních listů byla v pořádku. Pouze jeden byl nekvalitní díky
nedbalé úpravě a přílišné stručnosti. Reakce žáků na praktické cvičení byly pozitivní. Přestože
v předchozích hodinách viděli přípravu několika roztoků učitelem, teprve po vlastní
zkušenosti s přípravou roztoku si dokázali lépe představit, co vlastně počítají.
Pracovní list 4 - Složení roztoků
Hodiny se zúčastnilo 25 žáků. První příklad byl oběma způsoby vyřešen společně na
tabuli. Dále žáci počítali samostatně nebo ve dvojici se sousedem v lavici. Případné dotazy
žáků se většinou týkaly úloh 1 a 2. Ujišťovali se, zda správně rozlišují mezi hodnotou
hmotnosti roztoku a rozpouštědla. Většina žáků stihla 5 úloh v hodině. Úlohu 6 dostali jako
domácí úkol.
Rozbor odevzdaných pracovních listů č. 4:
72
Úlohy 1 až 3 měly být řešeny dvěma způsoby: dosazením do obecného vztahu a logickou
úvahou. Většina žáků splnila bez problémů. Dosazení do vztahu bylo většinou bez chyb.
Objevovaly se nedostatky ve správném zápisu, někde chyběly jednotky. Z 25 žáků si při
výběru logické úvahy zvolilo 8 žáků alespoň v jednom z těchto příkladů výpočet přes 1
procento, ostatní užili trojčlenku (vyjádřenou poměry).
Úloha 2
6 žáků ji vypočítalo chybně. Hodnotu 160 g považovali mylně za hmotnost vody
(rozpouštědla), ne za hmotnost celého roztoku. Jeden žák začal dosazovat do vzorce, ale
nedopočítal, zvolil raději logický úsudek a došel ke správnému výsledku.
Úloha 4
Žáci byli při výkladu v předchozích hodinách seznámeni s rychlým výpočtem zpaměti (viz
kap. 2.4.2., př. 8b), aby si uměli v běžném životě rychle připravit roztok o určité koncentraci.
Tuto metodu užilo 21 žáků, 3 žáci počítali dosazením do vzorce, jeden žák použil dokonce
oba způsoby.
Úloha 5
Nebyl v ní záměrně zadán způsob výpočtu. Většina žáků vypočítala správně, a to dosazením
do vztahu. Pouze jeden žák dosadil do vztahu chybně, za hmotnost roztoku považoval 100 g
vody (stejná chyba jako v úloze 2). Jeden žák opět počítal poctivě oběma způsoby.
Úloha 6
Ani zde nebyl zadán způsob výpočtu. Dva žáci zvolili oba způsoby, zbylých 23 žáků
dosazovalo do vztahu.
Vyzkoušením těchto pracovních listů se potvrzuje důležitost názornosti, vlastní
zkušenosti a prožitku při učení. I to může mít vliv např. na odbourání typických chyb ve
výpočtu hmotnostního zlomku – rozlišení hmotnosti roztoku a hmotnosti rozpouštědla. Dále
výzkum potvrdil zkušenost, že žáci 8. ročníku při výpočtu upřednostňují dosazení do
naučeného vztahu (přestože ve výpočtu s užitím trojčlenky neměli větší potíže).
Ukázky pracovních listů z realizovaných vyučovacích hodin jsou k dispozici na
str. 73 - 79 (obr. 12 – 19).
73
Obrázek 12: Řešení pracovního listu 3 (celý pracovní list)
74
Obrázek 13: Řešení pracovního listu 3
75
Obrázek 14: Řešení pracovního listu 3
76
77
Obrázek 15: Řešení pracovního listu 4 (celý pracovní list)
Obrázek 16: Řešení pracovního listu 4 (úloha 4) – rychlý výpočet zpaměti
78
Obrázek 17: Řešení pracovního listu 4 (úloha 4) – výpočet dvěma způsoby
Obrázek 18: Řešení pracovního listu 4 (úloha 5) – výpočet dvěma způsoby
79
Obrázek 19: Řešení pracovního listu 4 (úlohy 5 a 6)
80
4. Závěr
Cílem závěrečné práce bylo porovnat obsahové a časové mezipředmětové vazby ve
výuce matematiky a chemie na základní škole, na typických příkladech a úlohách z obou
předmětů ukázat jejich provázanost a vytvořit pracovní listy pro jejich společné učivo.
Z uváděných příkladů je patrná nezbytnost matematické gramotnosti ve výuce chemie.
To je důležité hledisko pro Školní vzdělávací program, při jehož tvorbě by se mělo dbát na to,
aby spolu korespondovaly učebnice obou předmětů. Při srovnání řad učebnic bylo zjištěno, že
ve většině případů je učivo matematiky potřebné pro výuku chemie probráno v předstihu.
K posunu ale dochází v 9. ročníku, kdy žáci mají v matematice počítat slovní úlohy na
směšování a ředění roztoků, v chemii se však tato tématika objevuje až na střední škole. To
bylo podnětem pro vytvoření učebního materiálu v podobě pracovních a metodických listů na
toto téma. Měly by pomoci jak žákům, tak učitelům tento nesoulad překonat. Z vybraných
pracovních listů ověřených v praxi vyplynulo, jak velký význam má při učení názornost
a vlastní zkušenost, jak důležité je propojení počítání s demonstračními pokusy a praktickými
zkušenostmi. Mimo jiné může práce sloužit jako sbírka příkladů, neboť v teoretické
i praktické části je obsažena řada příkladů použitelných jako výpočty v chemii nebo slovní
úlohy v matematice.
Práce se snaží ukázat, že bez základních matematických znalostí a dovedností se nelze
v chemii úspěšně orientovat. Chemie naopak může matematice pomoci průběžně upevňovat
a automatizovat základní početní operace a algoritmy. Žáci si tak i prostřednictvím chemie
mohou uvědomit, že matematiku se neučí pro počítání samé, ale proto, aby ji mohli využít
jinde – nejprve v jiných předmětech ve škole, později při řešení problémů v zaměstnání a
v běžném životě.
81
5. Seznam použité literatury
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Bartoň, P. (2016). Mezipředmětové vztahy na úrovni plánovaného kurikula ve
vzdělávacích oblastech Matematika a její aplikace a Člověk a svět práce.
Nepublikovaná diplomová práce. České Budějovice: Jihočeská univerzita.
Beneš, P., Pumpr,V., & Banýr, J. (2006). Základy praktické chemie pro 8. ročník
základní školy. Praha: Fortuna.
Běloun, F. et al. (2016). Sbírka úloh z matematiky pro základní školu. Praha: Academia.
Binterová, H., Fuchs, E., & Tlustý, P. (2008). Matematika 7. Aritmetika - učebnice pro
základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus.
Binterová, H., Fuchs, E., & Tlustý, P. (2009). Matematika 8. Aritmetika - učebnice pro
základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus.
Binterová, H., Fuchs, E., & Tlustý, P. (2009). Matematika 8. Aritmetika - pracovní
sešit pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus.
Černá, V. (2018). Mezipředmětové vztahy na úrovni plánovaného kurikula ve
vzdělávacích oblastech Matematika a její aplikace a Člověk a jeho svět (Fyzika).
Nepublikovaná diplomová práce. České Budějovice: Jihočeská univerzita.
Doulík, P., Škoda, J., Jodas, B., Bieliková, E., Solárová, M., & Šmídl, M. (2007).
Chemie 9 – příručka pro učitele pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus.
Hejný, M., & Kuřina, F. (2015). Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupy
k vyučování. Praha: Portál.
Herman, J., Chrápavá, V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (2004). Matematika pro nižší
třídy víceletých gymnázií. Racionální čísla. Procenta. Praha: Prometheus.
Herman, J., Chrápavá, V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (1999). Matematika pro nižší
třídy víceletých gymnázií. Rovnice a jejich soustavy. Praha: Prometheus.
Herman, J., Chrápavá,V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (2007). Matematika pro nižší
třídy víceletých gymnázií. Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus.
Herman, J., Chrápavá, V., Jančovičová, E., & Šimša, J. (2006). Matematika pro nižší
třídy víceletých gymnázií. Úměrnosti. Praha: Prometheus.
82
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
Janás, J. (1985). Mezipředmětové vztahy a jejich uplatňování ve fyzice a chemii na
základní škole. Brno: Univerzita J. E. Purkyně.
Kočí, S., & Kočí, L. (2016). Matematika 9. ročník 2. díl. Šumperk: Reprotisk.
Kričfaluši, D. (1996). Sbírka řešených příkladů z chemie pro základní školy. Ostrava:
Scholaforum.
Kuřina, F. et al. (2009). Matematika a porozumění světu. Praha: Academia.
Mareček, A., & Honza, J. (2005). Chemie pro čtyřletá gymnázia 1. díl. Olomouc:
Nakladatelství Olomouc.
Marko, M., Horváth, S., & Kandráč, J. (1978). Příklady a úlohy z chemie. Praha:
Státní pedagogické nakladatelství.
Mikulčák, J. et al. (2018). Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy.
Praha: Prometheus.
Odvárko, O., & Kadleček, J. (2000). Matematika 1 pro 9. ročník základní školy. Praha:
Prometheus.
Odvárko, O., & Kadleček, J. (2013). Matematika 2 pro 7. ročník základní školy. Praha:
Prometheus.
Opava, Z. (1986). Chemie kolem nás. Praha: Albatros.
Průcha, J., Walterová, E., & Mareš, J. (2003). Pedagogický slovník. Praha: Portál.
Šípek, M. (1974). Sbírka příkladů z chemie. Praha: SNTL.
Škoda, J., & Doulík, P. (2006). Chemie 8 – učebnice pro základní školy a víceletá
gymnázia. Plzeň: Fraus.
Škoda, J., & Doulík, P. (2007). Chemie 9 – učebnice pro základní školy a víceletá
gymnázia. Plzeň: Fraus.
Šmídl, M., Doulík, P., & Škoda, J. (2007).: Chemie 9 - pracovní sešit pro základní
školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus.
Tillingerová, R. (2018). Návrh integrované výuky vybraných témat vzdělávací oblasti
matematiky a její aplikace a obsahového okruhu Strojírenská technologie pro SŠ.
Nepublikovaná závěrečná práce. České Budějovice: Jihočeská univerzita.
83
[30]
[31]
[32]
Vacík, J. et al. (1999). Přehled středoškolské chemie. Praha: SPN – pedagogické
nakladatelství.
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. (2015). Praha: MŠMT.
Altmanová, J. et al. (2010). Gramotnosti ve vzdělávání. Praha: Výzkumný ústav
pedagogický. Dostupné z WWW:
<http://www.vuppraha.rvp.cz/wp-content/uploads/2010/02/Gramotnosti-ve-
vzdělávání1.pdf>