METROLOGÍA Y CALIDAD -CONVOCATORIA DE ENERO - Prueba … · 2019. 2. 22. · U: Incertidumbre...

METROLOGÍA Y CALIDAD -CONVOCATORIA DE ENERO -

Prueba escrita individual

CURSO 2013/2014

Departamento de

Ingeniería Mecánica y Construcción

OBSERVACIONES: 1.- Condición necesaria para aprobar: haber obtenido una nota mínima de 5 puntos sobre 10 2.- Cada ejercicio debe entregarse en una hoja independiente. 3.- No se permite el uso de dispositivos electrónicos, excepto calculadoras no programables. 4.- Duración de la prueba. Preguntas cortas: 40 minutos. Problemas: 90 minutos. 5.- Fecha de publicación de las notas: 16/01/2014 – Fecha de revisión: 20/01/2014

PREGUNTAS CORTAS (tiempo: 40 minutos): 1.- Justifique si la siguiente expresión es cierta o no: (0,75 puntos) "En muchos casos, el resultado de una medición se determina a partir de una serie de observaciones

obtenidas en condiciones de reproducibilidad" 2.- Indique, para una estimación xi de una magnitud de entrada Xi no obtenida a partir de observaciones

repetidas, la información de la cual se puede obtener su varianza estimada asociada u2(xi). (0,75 puntos)

3.- Indique dónde se puede encontrar el siguiente término matemático y qué representa desde el punto

de vista metrológico (0,75 puntos) :

1

1 12 ,

N N

i j i i j

f f r x y u x u yx x

4.- Qué implica que un laboratorio obtenga en una intercomparación un coeficiente de compatibilidad C

mayor que 1. Razone la respuesta. (1 punto) 5.- Qué implica que un proceso no esté "bajo control". (0,75 puntos) PROBLEMA 1 (3 puntos) Un técnico del área de calidad recopila datos sobre la inspección de botellas vacías empleadas en la producción de bebidas gaseosas. Los defectos que se anotan son:

Presencia de astillas y arañazos. Presencia de partículas extrañas adheridas a la superficie. Presencia de partículas extrañas en el fondo.

Se inspeccionan lotes de los que se extraen muestras de 20 botellas. Los resultados obtenidos durante los últimos 15 días son:

Muestra Número de defectosMuestra Número

de defectosMuestra Número de defectos Muestra Número

de defectos Muestra Número de defectos

1 15 4 23 7 17 10 22 13 29

2 10 5 27 8 17 11 23 14 33

3 33 6 15 9 19 12 27 15 21

Total defectos: 338 Determinar:

(a) El gráfico de control más adecuado, justificando la elección. (b) Los límites de control superior e inferior, así como la línea central de dicho gráfico. (c) Indique si el proceso es estable o no y por qué. (d) La capacidad del proceso. (e) Una vez establecido el gráfico de control, ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra se

produzcan 23 o menos defectos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 30 o más defectos? Nota: supóngase que los puntos fuera de control, caso de existir, se deben a causas asignables.

PROBLEMA 2 (3 puntos) La longitud de uso cL de un bloque patrón longitudinal (BPL) se calcula mediante la siguiente expresión: 0c T derL L D C C donde:

0L : Longitud nominal del BPL D : Desviación al nominal certificada del BPL entre centros de sus caras de medida

TC : Corrección por temperatura

derC : Corrección por deriva La corrección por temperatura se calcula como: 0 0TC L T T donde: : Coeficiente de dilatación lineal del BPL T : Temperatura de trabajo con el BPL

0T : Temperatura a la que se certifica el BPL, igual a 20 ºC

NOTA: Se considera que todas las variables son independientes entre sí. Determinar:

(a) El valor de la longitud de uso del bloque patrón longitudinal de valor nominal 175 mm. (b) El valor de la incertidumbre expandida del anterior valor para una probabilidad (aproximada) de

cobertura del 99 %. Datos:

Los bloques patrón empleados se han calibrado hace un año y se considera que la variación máxima será la indicada en la norma ISO 3650, tomada como semi-amplitud de una distribución rectangular:

6max 0

0

0,02 0,25 10

NOTA: L se expresa en mmderC m L

El coeficiente de dilatación térmica de los BPLs viene dado como = 11,510−6 K−1, con los posibles

valores de esta magnitud representados por una distribución rectangular de límites ±210−6 K−1. La temperatura de trabajo (T) de los bloques es igual a 20,2 ºC. Se indica que la máxima desviación

es igual a 0,2 ºC y representa la amplitud de una variación aproximadamente cíclica de la temperatura, que da lugar a una distribución en forma de U (arco seno)

Los datos proporcionados por el certificado de calibración de los BPLs son los siguientes:

Valor nominal (mm)

Desviación al nominal (m)

175 + 0,27

La incertidumbre expandida para un factor de cobertura K = 2 asociada a la anterior desviación responde a la siguiente expresión:

0

0

0,2 0,8NOTA: L se expresa en mU m L

Teoría 1) De acuerdo al punto 3.1.4 de la “Guía para la expresión de la incertidumbre de medida” la expresión no es cierta, ya que las observaciones se realizan en condiciones de repetibilidad. La anterior condición implica el mismo procedimiento de medida, los mismos operadores, el mismo sistema de medida, las mismas condiciones de operación y el mismo lugar, así como mediciones repetidas del mismo objeto o de un objeto similar en un periodo corto de tiempo. 2) De acuerdo al punto 4.3.1 de la de la “Guía para la expresión de la incertidumbre de medida” la varianza asociada se establece mediante decisión científica basada en toda la información disponible acerca de la variabilidad posible de Xi. El conjunto de la información puede comprender:

resultados de mediciones anteriores; experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las

propiedades de los materiales e instrumentos utilizados; especificaciones del fabricante; datos suministrados por certificados de calibración u otros tipos de certificados; incertidumbres asignadas a valores de referencia procedentes de libros y

manuales. 3) Dicho término se encuentra presente en la “Ley de propagación de incertidumbres”. Representa la contribución a la incertidumbre típica combinada cuando las magnitudes de entrada están correlacionadas. 4) El coeficiente de compatibilidad C responde a la siguiente expresión:

2 2

R

R

X XC

U U

donde: X : Resultado del participante

RX : Resultado del laboratorio de referencia U : Incertidumbre expandida de X para una probabilidad del cobertura del 95%.

RU : Incertidumbre expandida de XR para una probabilidad del cobertura del 95%.

Cuando C > 1 implica que 2 2R RX X U U . Es decir, la diferencia entre

resultados es mayor que la suma de la incertidumbre de ambos laboratorios. Físicamente implica que el intervalo definido por X U no se solapa con el intervalo

R RX U . En esta situación el resultado del laboratorio no es compatible con el resultado proporcionado por el laboratorio de referencia.

5) Cuando un proceso se encuentra fuera de control no es predecible (su variabilidad no es constante), por lo que es probable que estén actuando causas asignables que habrá que analizar y corregir, para evitar que pueda empezar a producir piezas defectuosas en una proporción superior a la tolerable.

Problema 1 a) Cuando, el interés no reside en el número de artículos defectuosos sino en el número de defectos en un artículo o unidad de medida o, en general, el número de sucesos o atributos observados por unidad de medida es necesario emplear gráficos de tipo C o U. El gráfico C se utiliza cuando se tiene siempre la misma unidad de medida para contar el número de defectos. El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar el número de defectos. b) Ya que en el enunciado no se indica el valor del parámetro será necesario estimar dicho valor con el número medio de ocurrencias observadas:

1

k

ii

D

k

Operando:

331 22,0715

Determinación de los límites de control del gráfico:

3

3c

LSCL

LIC

Operando:

22,07 3 22,07 36,1622,07

22,07 3 22,07 7,97c

LSCL

LIC

El gráfico de control se muestra en la siguiente figura:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Muestra

c

Analizando la anterior figura, no hay ningún valor fuera de los límites de control, por lo tanto los anteriores límites de control son válidos. c) Analizando la anterior figura o los datos de la tabla, se observa la existencia de una tendencia creciente desde la muestra 6 hasta la 14. Por lo tanto, el proceso no es estable. d) La capacidad del proceso es igual a , por lo tanto: Capacidad del proceso = 22,07 e) Teniendo en cuenta que la variable de estudio responde a una distribución Poisson:

0 !

xD

xP x D e

x

La probabilidad de que en una muestra se produzcan 23 o menos defectos es:

23

22,07

0

22,0723 0,6320!

x

xP x e

x

La probabilidad de obtener 30 o más defectos es:

29

22,07

0

22,0730 1 29 1 1 0,9380 0,0620!

x

xP x P x e

x

Problema 2 Nota: Cualquier otra solución distinta a la que se muestra continuación podrá considerarse válida, siempre y cuando, se hayan justificado de manera científica las decisiones tomadas. 1. Modelo matemático La función modelo para determinar la longitud de uso de un bloque patrón longitudinal, dada en el problema es la siguiente:

0 0 0 0 01c der derL L D L T T C L T T D C

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas y considerando que no existe correlación entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada uc(y) queda:

2

2 2

1

N

c ii i

fu y u XX

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de longitud de uso de un bloque patrón longitudinal, y en concreto a las variables de salida:

, , ,c derL f T D C se tiene:

2 2 2 2

2 2 2 2 2c c c cc der

der

L L L Lu L u u T u D u C

T D C

donde los coeficientes de sensibilidad responden a las siguientes expresiones:

0 0 0 1 1c c c c

der

L L L LL T T L

T D C

Sustituyendo los coeficientes de sensibilidad en la anterior ecuación:

2 22 2 2 2 20 0 0c deru L L T T u L u T u D u C

Nota: La variable 0L es una constante. No se proporciona información en el enunciado para considerar que presenta incertidumbre.

2.1 Incertidumbre de coeficiente de dilatación térmica de los BPLs, u

Por datos del problema se asigna una distribución rectangular de límites [13,5·10-6; 9,5·10-6] K-1.

6 6 6

6 113,5 10 13,5 10 2 2 10 1,155 1012 12 12

a au K

2.2 Incertidumbre de la temperatura de trabajo, u T

Por datos del problema se asigna una distribución arco seno de límites [20,4; 20] °C.

20,4 20,0 2 0,2 0,1418 8 8

a au T K

También se considera valido el intervalo [20,3; 20,1] °C.

20,3 20,1 2 0,1 0,0718 8 8

a au T K

2.3 Incertidumbre de la desviación al nominal certificada del BPL, u D

El certificado de calibración del BPL empleado, indica como valor de D 0,27 m, de la cual se conoce su incertidumbre expandida correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95,45 %, es decir k = 2.

0

1750,2 0,80,2 0,8 1000 0,172

mm Lu D m

k

2.4 Incertidumbre de la deriva del BPL desde su última calibración, deru C

Por datos del problema se asigna una distribución rectangular de límites [ maxderC ; maxderC ].

6max

max max maxmax

0,02 0,25 10 175 0,02004

20,0115

12 12 12

der

der der derder

C m m

C C Ca au C m

Magnitud de entrada

Xi

Valor de la magnitud de

entrada xi

Incertidumbre típica u(xi)

Distribución de probabilidad

Coeficiente de sensibilidad

hi

Contribución a la

incertidumbre ui(y)

Grados de libertad

vi

0L 175 mm ---- ---- ---- ---- ----

11,5·10-6 K-1 1,155·10-6 K-1 Rectangular 35000 m·K 0,04 m ∞ T 20,2 °C 0,141 / 0,071 K Arco seno 2,0125 m·K-1 0,28 / 0,14 m ∞ D 0,27 m 0,17 m Normal 1 0,17 m ∞

derC 0,00 m 0,01 m Rectangular 1 0,01 m ∞

cL 175,0006725 m 0,33 / 0,23 m ∞

Tabla 1: Contribuciones a la incertidumbre típica combinada de Lc.

3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada cu L se calcula como:

2 22 22 6 1 1

2 2

2 22 22 6 1 1

2 2

35000 1,155 10 2,0125 0,141

0,17 0,01 0,111

35000 1,155 10 2,0125 0,07

0,17 0,01 0,051

c

c

u L m K K m K K

m m mo

u L m K K m K K

m m m

Es decir: 0,334 0,225cu L m o m

4. Resultado final Sustituyendo los valores del problema en la siguiente ecuación y teniendo en cuenta que en las variables de entrada deben introducirse la esperanza matemática de las distribuciones consideradas para cada variable:

0 01c derL L T T D C

se tiene:

6 1 0,27175 1 11,6 10 20,2 20 0 175,00067251000cL mm K K mm mm mm

5. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida 99c cU L k u L que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 99 % aproximadamente. La distribución resultante puede suponerse normal, ya que la variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento (por ejemplo, normales, uniformes, etc.,). Se utilizará por tanto un valor 99 2,576k .

2,576 0,334 0,86

2,576 0,225 0,58

c

c

U L m moU L m m

El resultado final de la medición puede expresarse como sigue: Lc= 175,00067 mm ± 0,00086 mm, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 0,334 m y un factor de cobertura k = 2,576 basado en una distribución normal, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 99 %. Lc= 175,00067 mm ± 0,00058 mm, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 0,225 m y un factor de cobertura k = 2,576 basado en una distribución normal, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 99 %.

METROLOGÍA Y CALIDAD -CONVOCATORIA EXTAORDINARIA JULIO -


CURSO 2013/2014

Departamento de



PREGUNTAS CORTAS (tiempo: 45 minutos): 1.- Justifique si la siguiente expresión es cierta o no: (0,75 puntos) "Los errores aleatorios de medida presentan una esperanza matemática no nula" 2.- Indique el resumen del procedimiento de evaluación y expresión de la incertidumbre.

(0,75 puntos) 3.- Indique como se denomina y que describe el término señalado de la siguiente ecuación.

(0,75 puntos)

2

2 2

1

N

c ii i

fu y u xx

4.- ¿Por qué se emplea los valores medios de una muestra y no los valores individuales para

analizar el comportamiento de los gráficos de control? Razone la respuesta. (1 punto) 5.- Referido a los planes de muestreo para inspecciones lote a lote, tabulados según el nivel de

calidad aceptable (NCA), ¿Cuáles son las reglas de cambio para pasar de inspección normal a rigurosa y de inspección reducida a normal? (0,75 puntos)



CURSO 2013/2014

Departamento de



PROBLEMA 1 (3 puntos) Se emplea un proceso de extrusión para producir barras cilíndricas de aluminio. El diámetro de las barras es el parámetro crítico de calidad, siendo su especificación igual a: 35 ± 2 mm. Se toman 19 muestras de cinco barras cada una. Los datos obtenidos son:

19

119

1

647,8 mm

109 mm

jj

jj

x

R

Determine: a) La línea central y los límites de control para el gráfico del promedio y para el gráfico R de dispersión. b) La media y la desviación típica del proceso suponiendo que está bajo control. c) El porcentaje de unidades defectuosas que está produciendo el proceso d) El índice de capacidad del proceso y el índice Cpk. Interprete los resultados. e) Si se produjese un cambio en la media de +2 mm, ¿Cuál es la probabilidad de detectar el cambio en la primera muestra obtenida tras la nueva situación? ¿Cuál es el número medio de muestras necesarias para detectar el cambio?

PROBLEMA 2 (3 puntos) Se desea calibrar un rugosímetro de palpador con división de escala E = 0,01 µm y rango de medida C = 0 ÷ 10 µm. La función modelo que permite obtener la corrección de calibración en un punto i es:

- ci pi i rep E rC X X C C C

donde:

piX : valor del patrón empleado en la calibración del punto i

iX : valor medio de las lecturas obtenidas por el rugosímetro al medir el patrón piX

repC : corrección por repetibilidad

EC : corrección por redondeo de las lecturas

rC : corrección por redondeo del resultado final

NOTA: Considere que todas las variables son independientes entre sí.

Determine:

(a) El valor de la corrección de calibración local en el punto de la escala Ra (rugosidad media) de valor 2,40 m

(b) El valor de la incertidumbre expandida del anterior valor para una probabilidad (aproximada) de cobertura del 95 %.

Datos:

El patrón de calibración, parámetro Ra, empleado presenta los siguientes valores:

Valor nominal (m)

Valor certificado (m)

Incertidumbre típica (m)

2,40 2,41 0,07

Las lecturas obtenidas por el rugosímetro al medir el anterior patrón se muestran en la

siguiente tabla:

2,45 2,41 2,41 2,43 2,42 2,43

2,41 2,42 2,42 2,44 2,42 2,44

Para determinar la corrección por repetibilidad repC se toma una serie de 10 medidas de

un mismo trazado. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

2,44 2,43 2,44 2,43 2,43

2,43 2,44 2,43 2,43 2,42

El valor medio de repC se considera nulo, no así su incertidumbre.

La corrección por redondeo de las lecturas EC presenta media nula y su varianza se

obtiene de la hipótesis de distribución uniforme en un intervalo 2E , siendo E la división de escala del instrumento.

La corrección por redondeo del resultado rC presenta un valor medio igual al valor

necesario para redondear el resultado medio de las lecturas al múltiplo de la división de escala más próximo y su varianza se obtiene de la hipótesis de distribución uniforme en el intervalo 2rC E .

PUBLICACIÓN DE NOTAS: 03/07/2014

Vía online: http://138.100.101.114/adncalificaciones/ Usuario: DNI (sin letra)

Contraseña: Nº Matrícula

REVISIÓN DE EXÁMENES: 07/07/2014, 10:00 horas, DESPACHOS B-050

Teoría 1) GUM apartado 3.2.2. La expresión es falsa. El error aleatorio se supone que procede de variaciones de las magnitudes de influencia, de carácter temporal y espacial, impredecibles o estocásticas. Los efectos de tales variaciones, denominados en lo sucesivo efectos aleatorios, dan lugar a variaciones en las observaciones repetidas del mensurando. Aunque no es posible compensar el error aleatorio de un resultado de medida, habitualmente puede reducirse incrementando el número de observaciones. Su esperanza matemática o valor esperado es igual a cero. 2) GUM apartado 8. Las etapas a seguir para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición, tal como se presentan en la Guía, pueden resumirse como sigue:

a) Expresar matemáticamente la relación existente entre el mensurando Y y las magnitudes de entrada iX delas que depende Y según ( )1 2, ,..., NY f X X X= . La

función f debe contener todas las magnitudes, incluyendo todas las correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.

b) Determinar ix , el valor estimado de la magnitud de entrada iX , bien a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, bien por otros métodos

c) Evaluar la incertidumbre típica ( )iu x de cada estimación de entrada ix . Para

una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series de observaciones se evalúa como Tipo A. Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre típica se evalúa tal como Tipo B

d) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas

e) Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y del mensurando Y , a partir de la relación funcional f utilizando para las magnitudes de entrada iX las estimaciones ix obtenidas anteriormente.

f) Determinar la incertidumbre típica combinada ( )cu y del resultado de medida y ,

a partir de las incertidumbres típicas y covarianzas asociadas a las estimaciones de entrada. Si la medición determina simultáneamente más de una magnitud de salida, calcular sus covarianzas.

g) Si es necesario dar una incertidumbre expandida U , cuyo fin es proporcionar un intervalo ,y U y U − + en el que pueda esperarse encontrar la mayor parte de la

distribución de valores que podrían, razonablemente, ser atribuidos al mensurando Y , multiplicar la incertidumbre típica combinada ( )cu y por un

factor de cobertura k para obtener ( )cU k u y= ⋅

h) Documentar el resultado de medición y , junto con su incertidumbre típica combinada ( )cu y , o su incertidumbre expandida U .

3) GUM apartado 5.1.3.

Las derivadas parciales i

fx∂∂

frecuentemente denominadas coeficientes de sensibilidad,

describen cómo varía la estimación de salida y , en función de las variaciones en los valores de las estimaciones de entrada 1 2, ,..., Nx x x . En particular, la variación de y producida por una pequeña variación ix∆ en la estimación de entrada ix viene dada por

i ii

fy xx

∂∆ = ∆ ∂

. Si esta variación es debida a la incertidumbre típica de la estimación

ix , la variación correspondiente de y es ( )ii

f u xx

∂ ∂

.

4) En los gráficos de control por variables, tal como fueron concebidos por Shewhart, y en la mayor parte de las aplicaciones prácticas, se emplean valores medios de las muestras extraídas y no valores individuales. Y esto es así por dos razones fundamentales: los valores medios muestrales siguen una distribución Normal, aunque la población de la cual se han extraído las muestras no lo sea, y los valores medios muestrales son mucho más sensibles a las variaciones de la media del proceso 5) Norma ISO 2859-1:1999 apartado 9. Se cambia de inspección normal a rigurosa si dos de cinco (o menos de cinco) lotes consecutivos, han resultado no aceptables en la inspección normal. Se ha de cambiar de inspección reducida a normal cuando:

• un lote no es aceptado; o • la producción comienza a ser irregular o a decaer, u • otras condiciones que justifiquen la reinstauración de la inspección normal.

Problema 1 a) Determinación de los límites de control y la línea central del gráfico del promedio:

2

2

c

LSC x A R

L x

LIC x A R

= +

=

= −

donde 1

1 k

jj

x xk

µ=

= = ∑ y 1

1 k

jj

R Rk =

= ∑

Operando: 34,095 mmx = y 5,737 mmR = De tablas se obtiene que el parámetro 2 0,577A = Sustituyendo valores en las anteriores expresiones, se tiene:

34,095 0,577 5,737 37,405 mm34,095 mm

34,095 0,577 5,737 30,785 mmc

LSCLLIC

= + ⋅ ==

= − ⋅ =

Determinación de los límites de control y la línea central del gráfico de dispersión:

4

3

R

cR

R

LSC D R

L R

LIC D R

=

=

=

De tablas se obtiene que: 3 0,000D = y 4 2,115D =

2,115 5,737 12,133 mm

5,737 mm0,000 5,737 0,000 mm

R

cR

R

LSCLLIC

= ⋅ =

=

= ⋅ =

b) De teoría se sabe que:

1

1 k

jj

x xk

µ=

= = ∑ y 2

Rd

σ =

De tablas se obtiene que el parámetro 2 2,326d = Operando:

34,095 mm5,737 2,466 mm2,326

µ

σ

=

= =

c) Una unidad responde a una distribución normal ,N x σ

es decir

( )34,095 , 2, 466N . La probabilidad de que una unidad se encuentre fuera de los límites

de especificación ( )LIT d LST> > es igual a:

( )

( )33 37

1 33 37

P d

P d

> >

− ≤ ≤

Normalizando la anterior variable

( )( ) ( )

( ) ( )( )

33 34,095 37 34,09512,466 2,466

1 0,44 1,18

1 1,18 0,44

1 1,18 1 0,44

P Z

P Z

P Z P Z

Z P Z

− −− ≤ ≤

− − ≤ ≤

− ≤ − ≤ − − ≤ − − ≤

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1)

( )1 0,881000 1 0,670031 0,448969 − − − =

Por lo tanto la probabilidad de obtener una unidad defectuosa es del 44,90 %. d) El índice de capacidad del proceso se calcula mediante la expresión:

6pS

LST LITCσ−

=

Sustituyendo:

37 33 0,276 2,466pC −

= =⋅

El índice Cpk se calcula como:

( )min ,3

S ISpk

I

Z ZZ LST xC

Z x LIT σ

= − == −

Operando:

( )min 2,095 , 1,90537 34,095 2,9050,15

3 2,46634,095 33 1,095S

pkI

ZC

Z= − = = =

⋅= − =

Como pC < 1, el proceso no es capaz de cumplir las especificaciones indicadas. Por otra

parte, al analizar los parámetros SZ y IZ del índice pkC se comprueba que el proceso

está descentrado (valores SZ y IZ distintos).

e) La media de las muestras responde a una distribución normal ,N xnσ

es decir

2, 46634,095 ,5

N

. Si se descentra la media, la nueva variable y responde asimismo a

una distribución normal de valor 2, 46636,095 ,5

N

. La probabilidad de que la nueva

media se encuentre fuera de los límites de control LIC y LSC > >

es igual a:

30,785 37,405

1 30,785 37,405

P y

P y

> >

− ≤ ≤


( )( ) ( )( ) ( )( )

30,785 36,095 37,405 36,09512,466 2,466

5 51 4,81 1,18

1 1,18 4,81

1 1,18 1 4,81

P Z

P Z

P Z P Z

P Z P Z

− − − ≤ ≤

− − ≤ ≤

− ≤ − ≤ − − ≤ − − ≤


( )1 0,881000 1 1 0,119 − − − =

Por lo tanto la probabilidad de detectar el cambio es igual a 11,9 %. El número medio de muestras para detectar el cambio es:

1 1Numero medio de muestras 8, 4 90,119P

= = = ≈

Problema 2 Nota: Cualquier otra solución distinta a la que se muestra continuación podrá considerarse válida, siempre y cuando, se hayan justificado de manera científica las decisiones tomadas. 1. Modelo matemático La función modelo para determinar la corrección de calibración del rugosímetro, dada en el problema, es la siguiente:

- ci pi i rep E rC X X C C C= + + +

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas y considerando que no existe correlación entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada uc(y) queda:

( ) ( )2

2 2

1

N

c ii i

fu y u XX=

∂= ∂ ∑

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de la corrección de calibración, y en concreto a las variables de salida:

( ), , , ,ci pi i rep E rC f X X C C C= se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2

2 2 2 2 2 2ci ci ci ci cici pi i rep E r

pi i rep E r

C C C C Cu C u X u X u C u C u C

X X C C C ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ donde los coeficientes de sensibilidad responden a las siguientes expresiones:

1 1 1 1 1ci ci ci ci ci

pi i rep E r

C C C C CX X C C C∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Sustituyendo los coeficientes de sensibilidad en la anterior ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ci pi i rep E ru C u X u X u C u C u C= + + + +

5. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida ( ) ( )99ci ciU C k u C= ⋅ que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 95 % aproximadamente. La distribución resultante puede suponerse normal, ya que la variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento (por ejemplo, normales, uniformes, etc.,). Se utilizará por tanto un valor 95 1,96k = . ( ) µ µ= ⋅ =1,96 0,0702 m 0,138 mciU C

El resultado final de la calibración puede expresarse como sigue: Cci= -0,01 µm ± 0,14 µm, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k·uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 0,07 µm y un factor de cobertura k = 1,96 basado en una distribución normal, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 95 %.

METROLOGÍA Y CALIDAD CONVOCATORIA DE ENERO

-PREGUNTAS CORTAS-

CURSO 2014/2015

Departamento de

Ingeniería Mecánica, Química y Diseño Industrial

OBSERVACIONES: 1.- Valor de las preguntas cortas: 4 puntos. Valor de los problemas: 6 puntos. 2.- Se considerarán aprobados, con la nota que corresponda, aquellos exámenes cuya suma

de preguntas cortas más problemas sea igual o superior a 5 puntos. 3.- No se permite el uso de dispositivos electrónicos, excepto calculadoras no programables. 4.- Duración de la prueba. Preguntas cortas: 40 minutos. Problemas: 90 minutos.

APELLIDOS: NOMBRE:

MATRÍCULA: GRUPO:

1.- Justifique si la siguiente expresión es cierta o no: (0,75 puntos) "Los valores que pueden atribuirse razonablemente a una magnitud no necesitan de un valor de

incertidumbre para considerarse completos". 2.- Para un comparador electrónico, indique cuál de los siguientes errores es el que más afectaría a sus

resultados de medida: error de coseno o error de abbe. Justifique su respuesta. (0,75 puntos) 3.- Justifique si la siguiente indicación de incertidumbre expandida es correcta o incorrecta. (0,75 puntos) ( ) µ= ±2,5 mu Lc

4.- ¿Qué permite calcularla siguiente ecuación matricial? Razone su respuesta. (1 punto)

= ⋅ ⋅ TZ J C J , con: ∂ ∂

= ∂ ∂ 1 2

y yx x

J y ( ) ( )

( ) ( )

=

21 1 2

21 2 2

,,

u x u x xu x x u x

C , donde TJ es la matriz transpuesta de J .

5.- Indique que situaciones, observables en un gráfico de control por variables o atributos, hacen que un

proceso NO esté "bajo control". (0,75 puntos) Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas, en caso contrario la calificación se verá reducida.


-PROBLEMAS-

CURSO 2014/2015

Departamento de




PROBLEMA 1 (3 puntos) En la siguiente tabla se observan las medias y los rangos de 20 muestras de 5 elementos cada una. Los datos se corresponden con las longitudes, expresadas en milímetros, de unos pernos empleados en un conjunto mecánico. Los límites superior e inferior de la especificación de la longitud de los pernos son 21,336 mm y 20,828 mm respectivamente.

Muestra iX iR Muestra iX iR

1 21,265 0,254 11 21,293 0,152

2 21,143 0,229 12 21,138 0,051

3 21,128 0,203 13 21,224 0,330

4 21,194 0,102 14 21,138 0,127

5 21,199 0,127 15 21,092 0,203

6 21,163 0,279 16 21,265 0,279

7 21,184 0,229 17 21,036 0,152

8 21,194 0,076 18 21,199 0,127

9 21,102 0,051 19 21,234 0,102

10 21,209 0,152 20 21,27 0,152

20 20

1 1423,67mm 3,377mmi i

i iX R

= =

= =∑ ∑

Determinar:

(a) Los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar las longitudes de los pernos que se produzcan en el futuro. (0,6 puntos)

(b) En el supuesto en que las longitudes de los pernos estén distribuidas según una normal, ¿Qué proporción de elementos producidos exceden los límites de la especificación, cuando el proceso está bajo control? (0,6 puntos)

(c) ¿Qué ocurriría a la anterior proporción de elementos defectuosos si el promedio del proceso cambia a 21,260 mm? Determine el nuevo valor. (0,6 puntos)

(d) ¿Cuál sería la probabilidad de advertir el cambio en el promedio del proceso (21,260 mm) en la primera muestra posterior al cambio? (0,6 puntos)

(e) Si la longitud del perno se comprobara simplemente con un calibre pasa no-pasa, y el control de la producción se llevara a cabo mediante un diagrama tipo p, ¿Qué número de elementos por muestra n ha de emplear el gráfico p para detectar un cambio en la proporción de elementos defectuosos igual al determinado en el apartado c)? Nota: Considerar la proporción de elementos defectuosos del proceso p igual al valor obtenido en el apartado b). (0,6 puntos)

Nota: supóngase que los puntos fuera de control, caso de existir, se deben a causas asignables.

PROBLEMA 2 (3 puntos) La siguiente expresión permite corregir la coordenada x en píxeles de una imagen, capturada por un microscopio de medida. ( )= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +2 2

1b xx b xy b x b b b bx x g x g y p x y k x y donde: ,b bx y : Coordenadas brutas en píxeles

,xx xyg g : Coeficientes de corrección de la distorsión lineal

xp : Coeficiente de corrección del error de perpendicularidad

1k : Coeficiente de corrección de la distorsión radial. La calibración del microscopio de medida ha permitido obtener la siguiente información:

• Los valores de los coeficientes ,xx xyg g , así como su incertidumbre expandida para un factor de

cobertura k=2 se muestran en la siguiente tabla:

Valor

[-] Incertidumbre expandida [-]

gxx -0,000595 0,00049 gxy -0,000114 0,0014

• El coeficiente xp responde a distribución rectangular, de valor = − ±0,000004 0,000018xp [píxel-1]

• El coeficiente 1k responde a una distribución triangular de valor = ±1 0,000025 0,000019k [píxel-1]

• Los coeficientes de correlación r entre las variables que presentan correlación en el modelo son

los siguientes: ( ) ( )1, 0,725 , 0,812xx xy xxr g g r g k= =

Determine:

(a) El valor de la coordenada x corregida cuando = , 150,258 píxelesb bx y . (0,3 puntos) (b) El valor de la incertidumbre expandida de la anterior coordenada x para una probabilidad

(aproximada) de cobertura del 99 %. (2,1 puntos) (c) Si la coordenada y corregida se calcula mediante la expresión:

( )= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +2 21b xy b yy b y b b b by y g x g y p x y k x y . Razone si las variables ,x y están correladas

entre sí. (0,6puntos)

PUBLICACIÓN DE NOTAS: 20/01/2014 Vía online: http://138.100.101.114/adncalificaciones/

Usuario: DNI (sin letra) Contraseña: Nº Matrícula

REVISIÓN DE EXÁMENES: 23/01/2014, 10:00 horas, LABORATORIO A-107

http://138.100.101.114/adncalificaciones/

Solución T1 Falsa. El resultado de una medición es sólo una aproximación o estimación del valor del mensurando, y únicamente se halla completo cuando está acompañado de una declaración acerca de la incertidumbre de dicha estimación. Solución T2 El error de abbe implica que la escala de medida del instrumento esté desplazada respecto al lugar donde se realiza la medida (mensurando). Por la configuración constructiva de un comparador electrónico se puede considerar que escala y mensurando están alineados, no apareciendo por tanto este tipo de error. Por lo tanto el error de coseno, causado por una incorrecta orientación del comparador, lo que hace que las medidas estén giradas un determinado ángulo respecto a la normal del mensurando, es el error que más afecta a las medidas. Solución T3 Incorrecta. Los errores que se aparecen en la expresión son los siguientes:

a) La incertidumbre expandida se ha de indicar con u mayúscula U(Lc). b) Cualquier expresión de incertidumbre, cuando sólo se indica su

valor, no debe ir acompañada del signo ±. c) La definición completa de incertidumbre expandida requiere del

conocimiento del factor de cobertura k. Solución T4

21 1 22

1 211 1 22

1 2 2 21 2 2

2 1 2

,,

,,

T

y yyu x u x x

x xxu x u x x

yu x x u x y yu x x u x

x x x

C J

21 1 2

1 2

1 2 21 2 2

1 2

2

21 1 2 1 2

1 1 2 1 2 2

,

,

, ,

T

y yu x u x x

x xy y

x x y yu x x u x

x x

y y y y y yu x u x x u x x

x x x x x x

J C J

2

22 u x

2 2

2 21 1 2 1 2 2

1 1 2 1 2 2

, ,

T y y y y y y

u x u x x u x x u xx x x x x x

Z J C J

Permite calcular la incertidumbre típica combinada de la variable y Solución T5

a) Puntos fuera de los límites de control b) 7 puntos consecutivos crecientes o decrecientes aunque estos se

encuentren entre los límites de control. c) 7 puntos consecutivos por encima o por debajo de la línea central del

proceso.

Solución P1 a) Mediante los valores proporcionados por el problema, se determina la estimación de la media del proceso así como la estimación del rango medio R :

20

1

1

20 ii

x x

y 1

1 k

jj

R Rk

Operando se tiene:

21,1835 mmx y 0,16885 mmR Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

2

2

c

LSC x A R

L x

LIC x A R

Sustituyendo valores en las anteriores expresiones y obteniendo el parámetro A2 de tablas se tiene:

21,1835 0,577 0,16885 21, 281 mm

21,184 mm

21,1835 0,577 0,16885 21,086 mmc

LSC

L

LIC

Determinación de los límites de control del gráfico de dispersión:

4

3

R

cR

R

LSC D R

L R

LIC D R

Sustituyendo valores en las anteriores expresiones y obteniendo los parámetros D3 y D4 de tablas se tiene:

2,115 0,16885 0,357 mm

0,169 mm

0,000 0,16885 0,000 mm

R

cR

R

LSC

L

LIC

Las siguientes figuras muestran los gráficos de control para el promedio y para la dispersión:

Se observa como las muestras 11 y 17 del gráfico del promedio están fuera de los límites de control. Ya que se está implantando el control por variables se eliminarán estás muestras y se volverá a determinar los parámetros de los gráficos:

21,1856 mmx y 0,1707 mmR

Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

21,1856 0,577 0,1707 21, 284 mm

21,186 mm

21,1856 0,577 0,1707 21,087 mmc

LSC

L

LIC


2,115 0,1707 0,361 mm

0,171 mm

0,000 0,1707 0,000 mm

R

cR

R

LSC

L

LIC


Se comprueba que ninguna de las muestras está fuera de los límites de control. Por lo tanto, los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar las longitudes de los pernos que se produzcan en el futuro son:

21,1856 0,577 0,1707 21, 284 mm

21,186 mm

21,1856 0,577 0,1707 21,087 mmc

LSC

L

LIC

2,115 0,1707 0,361 mm

0,171 mm

0,000 0,1707 0,000 mm

R

cR

R

LSC

L

LIC


2

R

d

De tablas se obtiene que el parámetro 2 2,326d

Operando:

0,17070,073 mm

2,326

Una unidad responde a una distribución normal ,N x es decir 21,186 , 0,073N . La

probabilidad de que una unidad se encuentre fuera de los límites de especificación

LIT l LST es igual a:

20,828 21,336

1 20,828 21,336

P l

P l

Normalizando las anteriores variables

20,828 21,186 21,336 21,1861

0,073 0,073

1 4,90 2,05

1 2,05 4,90

1 2,05 1 4,90

P Z

P Z

P Z P Z

Z P Z


1 0,979818 1 1 0,020182

Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que exceden los límites de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 2,01 %.

c) Si el promedio cambia a 21,260 mmy , una unidad responde a una distribución normal

,N y es decir 21, 260 , 0,073N . La probabilidad de que una unidad se encuentre fuera

de los límites de especificación LIT l LST es igual a:

20,828 21,336

1 20,828 21,336

P l

P l

Normalizando las anteriores variables

20,828 21,260 21,336 21,2601

0,073 0,073

1 5,92 1,04

1 1,04 5,92

1 1,04 1 5,92

P Z

P Z

P Z P Z

Z P Z


1 0,853141 1 1 0,146859

Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que exceden los límites de la especificación, en esta nueva situación, es del 14,69 %.

d) La media de las muestras responde a una distribución normal ,N xn

es decir

0,07321,186 ,

5N

. Si se descentra la media, la nueva variable y responde asimismo a

una distribución normal de valor 0,073

21,260 ,5

N

. La probabilidad de que la nueva

media se encuentre fuera de los límites de control LIC y LSC

es igual a:

21,087 21, 284

1 21,087 21, 284

P y

P y


21,087 21,260 21,284 21,2601

0,073 0,0735 5

1 5,30 0,74

1 0,74 5,30

1 0,74 1 5,30

P Z

P Z

P Z P Z

Z P Z


1 0,770350 1 1 0,22965

Por lo tanto la probabilidad de detectar el cambio en la primera muestra es igual a un 22,97 %. e) Los límites de control de un gráfico tipo p son:

13

13

c

p pLSC p

n

L p

p pLIC p

n

Teniendo en cuenta que p es igual a 0,020182 (apartado b) y que el cambio que se quiere detectar en la proporción de elementos defectuosos es igual a 0,146859 (apartado c), se ha de cumplir que 0,146859LSC :

0,020182 1 0,0201820,146859 0,020182 3

11,09n

n

Por lo tanto el número de elementos en la muestra ha de ser mayor o igual que 12.

Solución P2 1. Modelo matemático La función modelo para determinar la coordenada x corregida es la siguiente:

2 21b b xx b xy x b b b bx x x g y g p x y k x y (0.1)

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas y considerando la correlación existente entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda:

2

12 2

1 1 1 1

2 ,N N N

c i i j i ji i ji i j

f f fu y u X u X u X r X X

X X X

(0.2)

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de la coordenada x corregida, y en concreto a las variables de salida

1, , ,xx xy xx f g g p k se tiene:

22 2 2

2 2 2 2 21

1

1 11

2 ,

2 ,

xx xy xxx xy x

xx xy xx xyxx xy

xx xxxx

x x x xu x u g u g u p u k

g g p k

x xu g u g r g g

g g

x xu g u k r g k

g k

(0.3)


2 2 2 2

1

150 píxeles 258 píxeles

38700 píxeles 89064 píxeles

b bxx xy

b b b bx

x xx y

g g

x xx y x y

p k

2.1 Incertidumbre del coeficiente xxg , xxu g

De la calibración del microscopio de medida se obtiene un valor más probable para xxg ,

de -5,95·10-4 y una incertidumbre expandida de 4,9·10-4 correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

4

44,9 102,45 10

2

xxxx

U gu g

k

2.1 Incertidumbre del coeficiente xyg , xyu g

De la calibración del microscopio de medida se obtiene un valor más probable para xyg ,

de -1,14·10-4 y una incertidumbre expandida de 1,4·10-3 correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

3

41,4 107 10

2

xy

xy

U gu g

k

2.2 Incertidumbre del coeficiente xp , xu p

De la calibración del microscopio de medida se sabe que dicho coeficiente es igual a 4·10-6 pixeles-1, y responde a una distribución rectangular de semi-amplitud 1,8·10-5

pixeles-1, por lo tanto:

6 5 6 5 55 -1

4·10 1,8·10 4 10 1,8·10 2 1,8·101,039·10 pixeles

12 12 12x

a au p

2.3 Incertidumbre del coeficiente 1k , 1u k

De la calibración del microscopio de medida se sabe que dicho coeficiente es igual a 2,5·10-5 pixeles-1, y responde a una distribución triangular de semi-amplitud 1,9·10-5

pixeles-1, por lo tanto:

5 5 5 5 56 -1

1

2,5·10 1,9·10 2,5·10 1,9·10 2 1,9·107,757·10 pixeles

24 24 24

a au k

3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada u x se calcula a partir de la ecuación 1.3. Los

términos individuales son agrupados y sustituidos en esta expresión, obteniéndose:

2 22 22 4 4

2 2 2 22 5 -1 2 6 -1

4 4

2 4

150 píxeles 2,45 10 258 píxeles 7 10

38700 píxeles 1,039·10 pixeles 89064 píxeles 7,757·10 pixeles

2 150 píxeles 258 píxeles 2,45 10 7 10 0,725

2 150 píxeles 89064 píxeles 2,45 10 7,757·10

u x

6 -1

2 2

pixeles 0,812

0,724 píxelesu x

es decir 0,851píxelesu x

4. Resultado final Sustituyendo los valores del problema en la ecuación

2 21b b xx b xy x b b b bx x x g y g p x y k x y

se tiene:

4 4

6 1 2 5 1 2 2 2

150 píxeles 150 píxeles 5,95·10 258 píxeles 1,14·10

4·10 píxeles 150 258 píxeles 2,5·10 píxeles 150 258 píxeles

151,953 píxeles

x

x

con una incertidumbre típica combinada 0,851píxelesu x

5. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida 99U x k u x que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 99 % aproximadamente. La distribución resultante puede suponerse normal, ya que la variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento (por ejemplo, normales, uniformes, etc.,) y además, las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables. Se utilizará por tanto un valor 99 3k .

3 0,851 2,553 píxelesU x

El resultado final de la medición puede expresarse como sigue: x= (154,7 ± 2,6) píxeles, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 0,851 píxeles y un factor de cobertura k = 3 basado en una distribución normal, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 99 %.

Solución al apartado a) 154,7 píxeles

Solución al apartado b)

2,6 píxeles

Solución al apartado c)

A la vista de la ecuación 2 21

xx xy xb bb b b b

xy yy yb b

g g px xxx y k x y

g g py yy

se

comprueba que las magnitudes de salida x e y presentan las variables de entrada comunes xyg y 1k , por lo que ambas magnitudes de salida estarán

correladas.


Prueba escrita individual: Preguntas cortas

CURSO 2014/2015

Departamento de

Ingeniería Mecánica, Química y Diseño

Industrial.

OBSERVACIONES: 1.- Condición necesaria para aprobar: obtener una nota mínima de 5 puntos sobre 10 en el cómputo global del

examen. 2.- No se permite el uso de dispositivos electrónicos, a excepción de calculadoras no programables. 3.- El uso de móviles durante la prueba está severamente prohibido. 4.- Duración de la prueba escrita individual (preguntas cortas): 50 minutos. 5.- Puntuación de la prueba escrita individual (preguntas cortas): 4 puntos sobre 10

PREGUNTAS CORTAS (tiempo 50 minutos): 1.- ¿Qué unidad básica del Sistema internacional de Unidades se basa en un patrón y no en un experimento? ¿Cuál es una de las líneas de trabajo desarrolladas por el BIPM para redefinir esta unidad? (0,75 puntos) 2.- Planteé y simplifique la ley de propagación de varianzas aplicada a la siguiente ecuación,

teniendo en cuenta la falta de linealidad significativa de la misma. Nota: sl es una constante

y y son variables. (1 punto)

sC l

3.- Explique por qué los gráficos de control para la fracción defectuosa (p) no son adecuados

para controlar procesos altamente capaces. Razone la respuesta. (0,75 puntos) 4.- ¿Qué tipo de gráfico de control por variables (promedio, rango o desviación típica) o por

atributos (p, np, c) es el más apropiado para controlar las siguientes situaciones? Justifique su respuesta. (0,75 puntos)

Número de baches en una carretera. Tiempo de espera de recogida del equipaje en un aeropuerto. Cambios de la presión arterial de un paciente en un determinado periodo de tiempo. Número de errores en las transacciones bancarias de determinadas cuentas donde el

número de cuentas varía de mes a mes. 5.- ¿Cuál es la importancia de la curva característica (CC) en la selección de un plan de

muestreo? Describa el impacto del tamaño de la muestra y del número de aceptación en la CC. ¿Qué desventaja/s presenta tener un número de aceptación cero? (0,75 puntos)

Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas, en caso contrario su calificación se verá reducida.


Prueba escrita individual: Problemas

CURSO 2014/2015

Departamento de


Industrial.


examen. 2.- No se permite el uso de dispositivos electrónicos, a excepción de calculadoras no programables. 3.- El uso de móviles durante la prueba está severamente prohibido. 4.- Duración de la prueba escrita individual (problemas): 90 minutos. 5.- Puntuación de la prueba escrita individual (problemas): 6 puntos sobre 10

PROBLEMA 1 (3 puntos)

El espesor de una chapa de metal (mm) generado mediante laminación es un parámetro crítico de calidad. Se toman 20 muestras aleatorias de 4 chapas cada una. Los valores medios de cada una de las muestras, así como su desviación típica se muestran en la tabla I. Los límites de tolerancia del espesor son 9,95 ± 0,3 mm. Determine:

a) Los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar el espesor de la chapa que se produzcan en el futuro. Si existen puntos fuera de control, suponga que estos se deben a causas asignables. (2 puntos) b) La media del proceso así como su desviación típica. ¿Es un proceso capaz? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una muestra fuera de los límites de control? (3 puntos) c) Si el espesor de la chapa supera el límite superior de especificación, esta debe volver a laminarse. Por el contrario, si el espesor es menor que el límite inferior de especificación, esta debe desecharse para otras aplicaciones. El coste del volver a laminar la chapa es de 1,00 €/m de chapa y el coste de desecharla es de 2,25 €/m de chapa. Las chapas se fabrican en unidades de 100 m de longitud. La empresa dispone de 4 trenes de laminado para esta operación y cada tren de laminado produce 100 unidades al día. ¿Cuál es el coste medio diario asociado a volver a laminar la chapa? ¿Cuál es el coste medio diario asociado a desechar la chapa? (3 puntos) d) Si el fabricante tiene la flexibilidad de cambiar la media del proceso, ¿Interesaría moverla a 10,00 mm? Justifique la respuesta teniendo en cuenta los datos del apartado anterior. (2 puntos)

Muestra iX [mm] iS [mm] Muestra iX [mm] iS [mm]

1 10,19 0,15 11 10,18 0,16

2 9,80 0,12 12 9,85 0,15

3 10,12 0,18 13 9,82 0,06

4 10,54 0,19 14 10,18 0,34

5 9,86 0,14 15 9,96 0,11

6 9,45 0,09 16 9,57 0,09

7 10,06 0,16 17 10,14 0,12

8 10,13 0,18 18 10,08 0,15

9 9,82 0,14 19 9,82 0,09

10 10,17 0,13 20 10,15 0,12


Un pie de rey de acero se calibra mediante el empleo de bloques patrón longitudinales (BPL’s) de acero de grado I. El campo de medida del instrumento es de 0 ÷ 150 mm. Su división de escala es igual a 0,05 mm. Se emplean diferentes BPLs en el rango 0,5 – 150 para efectuar la calibración, aunque para efectos del problema sólo se considera el punto de nominal 85 mm. El error de indicación xE del pie de rey a la temperatura de referencia

0 20t C se obtiene

mediante la siguiente expresión:

- x x s s x ME l l L t l l

donde:

xl : valor medio de las lecturas del calibre al medir la composición de BPls sl .

sl : valor de la composición de BPLs a la temperatura de referencia.

sL : valor nominal de la composición de BPLs empleada.

: coeficiente de dilatación lineal medio del pie de rey y del patrón. t : diferencia de temperatura entre el pie de rey y la composición de BPls. xl : corrección debida a la resolución del pie de rey.

Ml : corrección debida a efectos mecánicos, tales como la fuerza aplicada, errores de Abbe, y

errores de planitud y paralelismo de las bocas de medida del pie de rey.

Determine:

(a) El error de indicación en el punto de la escala de valor 85 mm. (2 puntos) (b) El valor de la incertidumbre expandida del anterior valor para una probabilidad de

cobertura del 95 %. (8 puntos) Datos:

Los datos de los patrones empleados para materializar el punto de calibración son los siguientes:

Valor nominal Lsi [mm]

Desviación al nominaldsi [m]

Incertidumbre expandida (k = 2)

(m)

75,00 -0,25 0,75 0,8 en msiL 10,00 -0,04

Las desviaciones al nominal 1 2,s sd d de los anteriores bloques patrón están correladas.

El coeficiente de correlación entre desviaciones responde a la siguiente expresión:

1 21 2 1 2

1 2

, 0,75 , expresadas en mmmax( , )

s ss s s s

s s

L Lr d d con L L

L L

Las lecturas obtenidas por el pie de rey al medir en el punto de nominal 85 mm se muestran en la siguiente tabla (datos en mm):

85,05 85,05 85,05 85,05 85,00

85,00 85,05 85,10 85,10 85,05

Tras una adecuada estabilización térmica del instrumento y de la composición de BPls, su diferencia de temperatura se encuentra en el intervalo 2 C .

El coeficiente de dilatación lineal medio presenta un valor igual a 6 111,5 10 K . La corrección por división de escala del instrumento responde a una distribución

uniforme de límites 2E , siendo E la división de escala del instrumento. La corrección por efectos mecánicos responde a una distribución triangular de límites

±10 m.



REVISIÓN DE EXÁMENES: 10/07/2015, 10:00 horas, DESPACHO A-107

Solución T1 El prototipo internacional del kilogramo es un patrón materializado fabricado en platino iridiado, y que se conserva en el BIPM en las condiciones establecidas por la 1a CGPM en 1889. Una definición del kilogramo basada en un invariante de la naturaleza, la constante de Planck, en lugar de en un patrón material, asegura la estabilidad a largo plazo de la unidad SI de masa y de otras unidades mecánicas del SI, y permite realizar la unidad SI de masa en cualquier tiempo y lugar, por cualquiera que lo desee. La balanza de Watt será el experimento que permita redefinir dicha unidad. Solución T2 Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y , teniendo en cuanta la falta de linealidad significativa de la función

f es:

22 2 3

2 2 2 22

1 1 1

1

2

N N N

c i i ji i ji i j i i j

f f f fu y u X u X u X

X X X X X X

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de C , y en concreto a las variables de salida ,C f se tiene:

2 22 2 32 2 2 2 2

2

2 22 3 2 32 2 2 2

2 2

2

1

2

1 1

2 2

1

2

C C C C Cu C u u u u

C C C C C Cu u u u

C

2 3

2 22

C Cu u

Los coeficientes de sensibilidad se calculan como:

2 3

2

2 3 2 3

2 2

2 3

2

0 0

0 0

0 0

s s

s s

C C C Cl l

C C C Cl l

C C C

Sustituyendo en la anterior ecuación se tiene:

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2

10 0

2

1 10 0

2 2

10 0

2

s s s

s s s s

s

s s s

s s s

u C l u l u l u u

l l u u l l u u

l u u

u C l u l u l u u

u C l u l u l u u

Solución T3 Los límites de control para un gráfico de tipo p son iguales a:

13

13

c

p pLSC p

nL p

p pLIC p

n

Donde p es la fracción defectuosa y n es el tamaño de la muestra. Por definición de un proceso altamente capaz 0p , por lo que los límites de control quedarían:

c

LSC p

L p

LIC p

Se observa que dichos límites (iguales) imposibilitan el uso de este tipo de gráficos, ya que cualquier ligera modificación de la fracción defectuosa hace que una muestra esté fuera de los límites de control. Solución T4 Número de baches en una carretera: Gráfico de control tipo c. Se evalúa el número de baches (defectos) por unidad de longitud de la carretera. Tiempo de espera de recogida del equipaje en un aeropuerto: Gráfico de control por variables del promedio y de la dispersión evaluando la

desviación típica. Se tiene un número elevado de muestras para poder calcular la desviación típica de las mismas. Cambios de la presión arterial de un paciente en un determinado periodo de tiempo: Gráfico de control por variables del promedio y de la dispersión evaluando el rango o la dispersión. Número de errores en las transacciones bancarias de determinadas cuentas donde el número de cuentas varía de mes a mes. Gráfico de control tipo p ya que el número n de cuentas es variable. Solución T5

A partir de la curva característica es posible conocer los riesgos de aceptación y rechazo inherentes a un determinado plan. Variación del tamaño de la muestra: cuando el tamaño de la muestra se incrementa, tendiendo al tamaño del lote, la curva característica se aproxima a la del plan ideal. Variación del número de aceptación: A medida que el número de aceptación crece, disminuye el riesgo del fabricante y se incrementa el del cliente. Por el contrario, cuando el número de aceptación decrece se incrementa muy considerablemente el riesgo del fabricante y disminuye el del cliente. Cuando el número de aceptación es igual a cero, la curva característica sería igual a una recta vertical, siendo iguales el Nivel de Calidad Aceptable (NCA) y la Calidad Límite (CL).

Solución P1 a) Mediante los valores proporcionados por el problema, se determina la estimación de la media del proceso así como la estimación de la desviación típica media S :

20

1

1

20

ii

x x y 20

1

1

20

jj

S S

Operando se tiene:

9,9945 mm x y 0,1435 mmS Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

1

1

c

LSC x A S

L x

LIC x A S


9,9945 1,880 0,1435 10, 264 mm

9,9945 mm

9,9945 1,880 0,1435 9,725 mm

c

LSC

L

LIC


4

3

S

cS

S

LSC B S

L S

LIC B S

Sustituyendo valores en las anteriores expresiones y obteniendo los parámetros B3 y B4 de tablas se tiene:

2, 266 0,1435 0,325 mm

0,1435 mm

0,000 0,1435 0,000 mm

S

cS

S

LSC

L

LIC


Se observa como las muestras 4, 6 y 16 del gráfico del promedio están fuera de los límites de control, así como la muestra 14 del gráfico de dispersión. Ya que se está implantando el control por variables se eliminarán estás muestras y se volverá a determinar los parámetros de los gráficos:

10,0094 mm x y 0,1350 mmS

Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

10,0094 1,880 0,1350 10, 2632 mm

10,0094 mm

10,0094 1,880 0,1350 9,7556 mm

c

LSC

L

LIC


2,266 0,1350 0,3059 mm

0,1350 mm

0,000 0,1350 0,0000 mm

S

cS

S

LSC

L

LIC


Se comprueba que ninguna de las muestras está fuera de los límites de control. Por lo tanto, los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la

dispersión empleados para controlar el espesor de la chapa que se produzca en el futuro son:

10,0094 1,880 0,1350 10, 2632 mm

10,0094 mm

10,0094 1,880 0,1350 9,7556 mm

c

LSC

L

LIC

2,266 0,1350 0,3059 mm

0,1350 mm

0,000 0,1350 0,0000 mm

S

cS

S

LSC

L

LIC


x

2

S

C

De tablas se obtiene que el parámetro 2 0,7979C

Operando:

10,0094 mm

0,13500,1692 mm

0,7979

x

La capacidad del proceso se calcula como:

6

p

LST LITC

min

3

ss ipk

i

Z LST xZ ZC con

Z x LIT

Operando:

10,25 9,650,591

6 0,1692

pC

10, 25 10,0094 0, 2406 0, 24060, 4740

10,0094 9,65 0,3594 3 0,1692

spk

i

ZC

Z

Con los valores obtenidos, se comprueba que el proceso no es capaz.

La media de las muestras responde a una distribución normal ,N xn

es decir

0,169210,0094 ,

4

N . La probabilidad de que una muestra se encuentre fuera de los

límites de control LIC x LSC

es igual a:

9,7556 10, 2632

1 9,7556 10, 2632

P y

P y


9,7556 10,0094 10,2632 10,00941

0,1692 0,16924 4

1 3,0 3,0

1 3,0 3,00

1 3,0 1 3,0

P Z

P Z

P Z P Z

Z P Z


1 0,998650 1 0,998650 0,0027

Por lo tanto la probabilidad de detectar el cambio en la primera muestra es igual a un 0,27 %.

c) Una unidad responde a una distribución normal ,N x es decir 10,0094 , 0,1692N .

La probabilidad de que una unidad se encuentre por encima del límite superior de especificación

e LST es igual a:

10,25

1 10,25

P e

P e


10, 25 10,00941

0,1692

1 1, 42

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,922196 0,077804 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que exceden el límite superior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 7,78 %. La probabilidad de que una unidad se encuentre por debajo del límite inferior de especificación

LIT e es igual a:

9,65

1 9,65

1 ( 9,65)

P e

P e

P e


9,65 10,00941

0,1692

1 2,12

1 1 2,12

2,12

1 2,12

P Z

P Z

P Z

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,982997 0,017003 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que están por debajo del límite inferior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 1,70 %. El número de metros de chapa producida es igual a:

chapas m4laminador 100 100 40000m

laminador chapa mN .

El número de metros de chapa que hay que volver a laminar es:

_ min 40000m 0,077804 3112,16m m la arN

El coste de este laminado es igual a:

_ min

€3112,16m 1 3112,16 €

m m la arC

El número de metros de chapa desechadas para otras operaciones:

_ min 40000m 0,017003 680,12m m la arN

El coste de desecho es igual a:

_ min

€680,12m 2,25 1530,27 €

m m la arC

El coste total es igual a _ 3112,16 € 1530,27 € 4642,43€ m TC

d) Si el promedio cambia a 10,00 mmy , una unidad responde a una distribución normal

,N y es decir 10,000 , 0,1692N .

La probabilidad de que una unidad se encuentre por encima del límite superior de especificación

e LST es igual a:

10,25

1 10,25

P e

P e


10, 25 10,001

0,1692

1 1, 48

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,930563 0,069437 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que exceden el límite superior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 6,94 %. La probabilidad de que una unidad se encuentre por debajo del límite inferior de especificación

LIT e es igual a:

9,65

1 9,65

1 ( 9,65)

P e

P e

P e


9,65 10,001

0,1692

1 2,07

1 1 2,07

2,07

1 2,07

P Z

P Z

P Z

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,980774 0,019226 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que están por debajo del límite inferior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 1,92 %. El coste de laminar la chapa en esta nueva situación es igual a:

_ min

€40000m 0,069437 1 2777,48 €

m m la arC

El coste de desecho en esta nueva situación es igual a:

_ sec

€40000m 0,019226 2,25 1730,34 €

m m de hoC

El coste total es igual a _ 2777,48 € 1730,34 € 4507,82 € m TC

Como este coste es inferior al obtenido en el apartado anterior 4642, 43 € , interesa

desplazar la media del proceso a 10,00 mm

Solución P2

1. Modelo matemático La función modelo para determinar el error de indicación xE es la siguiente:


2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda:

2

2 2

1

N

c ii i

fu y u X

X

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación el error de indicación xE , y en concreto a las variables de salida

, , , , x x s x ME f l l t l l se tiene:

2 2 22 2 2 2

2 2

2 2

x x xx x s

x s

x xx M

x M

E E Eu E u l u l u t

l l t

E Eu l u l

l l


6 1 11 1 85000 m 11,5 10 0,9775 m

1 1

x x xs

x s

x x

x M

E E EL K K

l l t

E E

l l

2.1 Incertidumbre del valor medio de las lecturas del calibre, xu l

En primer lugar, se calcula la media de las lecturas observadas

1

1

n

x xii

l ln

donde xl es la media de las lecturas xil . Sustituyendo valores, se obtiene:

85,05mmxl

La desviación típica experimental 33,33 mc xS l

La mejor estimación de 33,33 m10,541 m

10c x

x

S lu l

n

2.2 Incertidumbre de la diferencia de temperatura entre el pie de rey y la composición de BPls, u t

Por los datos del enunciado se sabe que dicha diferencia varía ente +2 y -2 °C. Como se indica nada más, se asume que dichos valores responden a una distribución rectangular, por lo tanto:

2 2 2 21,155 K

12 12 2 3

a au t

2 20 K

2 2

a a

t

2.3 Incertidumbre de la corrección debida a la resolución del pie de rey, xu l

Por datos del enunciado se asigna una distribución rectangular de límites ,2 2

E E

502 2 14, 434 m

12 12 2 3 12x

E Ea a E

u l

2 2 0 m2 2

x

E Ea a

l

2.4 Incertidumbre de la corrección debida a efectos mecánicos, Mu l

Se asigna una distribución rectangular de límites 10,10 m

10 10 2 104,082 m

24 24 2 6

M

a au l

10 100 m

2 2

M

a al

2.5 Incertidumbre debida a la composición de los bloques patrón su l

Lo primero es establecer la función modelo para la calcular la incertidumbre de dicha composición:

1 1 2 2 + s s s s sl L d L d

Según la ley de propagación de varianzas y considerando la correlación existente entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda:

2

12 2

1 1 1 1

2 ,

N N N


f f fu y u X u X u X r X X

X X X

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación del valor de la composición de BPLs a la temperatura de referencia, y en concreto a las variables de salida 1 2, ,s s sl f d d se tiene:

2 2

2 2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 ,

s s s s

s s s s s s ss s s s

l l l lu l u d u d u d u d r d d

d d d d


1 2

1 1

s s

s s

l l

d d

Operando con los datos proporcionados en el enunciado:

11

22

1 21 2

1 2

100,75 0,80,75 0,8 1000 0,379 m

275

0,75 0,80,75 0,8 1000 0,405 m2

75 10 65, 0,75 0,75 0,75 0,65

max( , ) max(75,10) 75

ss

ss

s ss s

s s

Lu d

k

Lu d

kL L

r d dL L

Sustituyendo estos valores:

0,04 0,25 10 75 84,99971mm

1000 1000

sl

2 21 2 1 2 1 22 , s s s s s s su l u d u d u d u d r d d

2 20,379 0, 405 2 0,379 0, 405 0,65 0,712 msu l

3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada xu E se calcula a partir de la ecuación 1.3. Los

términos individuales son agrupados y sustituidos en esta expresión, obteniéndose:

2 22 22 1 -1

2 2

10,541 m 0,712 m 0,9775 m 1,155 K

14,434 m 4,082 m

xu E K

es decir 18,382 mxu E

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la incertidumbre

ui(y)

Grados de libertad

vi

xl 85,05 mm 10,541 m Normal 1 10,541 m 9

sl 84,99971 mm 0,7125 m Normal -1 -0,712 m ∞

t 0 °C 1,155 K Rectangular 0,9775 m·K-1 1,129 m ∞

xl 0 m 14,434 m Rectangular 1 14,434 m ∞

Ml 0 m 4,082 m Triangular 1 4,082 m ∞

xE 50,29 m 18,382 m 83

Tabla 1: Contribuciones a la incertidumbre típica combinada de Ex.

4. Resultado final Sustituyendo los valores del problema en la ecuación


se tiene:

6 1 85,05 mm -84,99971 mm 85 mm 11,5 10 K 0 K 0 mm 0 mm

0,05029mm 50,29 m

xE

con una incertidumbre típica combinada 18,382 mxu E

5. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida 95 x xU E k u E que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 95 % aproximadamente. El procedimiento a utilizar se basa en la determinación de los grados efectivos de libertad empleando la ecuación de Welch-Satterhwaite:

4

4

1

( )

( )

c

ef Ni

i i

u y

u y

El número de los grados de libertad viene indicado en la tabla 1. A partir de la ecuación xx y de los valores de los anteriores sub-apartados se calcula los grados de libertad del error de indicación:

4

4 4 4 4 4

18,382( ) 83,231

10,541 0,712 1,129 14,434 4,0829

ef xE

Para obtener la incertidumbre expandida requerida, debe redondearse primeramente este valor al número entero inmediatamente inferior ( ) 83 ef xE . De la tabla G2 del anexo

G de la GUM [1] se obtiene 95 1,993k y de aquí:

1,993 18,382 36,635 mxU E

Ex= (50 ± 37) mm, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 18,382 mm y un factor de cobertura k = 1,992 basado en una distribución t con 83 grados de libertad, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 95 %.


-PREGUNTAS CORTAS-

CURSO 2015/2016

Departamento de




APELLIDOS: NOMBRE:

MATRÍCULA: GRUPO:

1.- Justifique por qué un error sistemático sólo puede reducirse y no eliminarse. (1 punto) 2.- Justifique si la siguiente expresión es cierta o falsa: (0,75 puntos) “El cálculo de la incertidumbre típica asociada a un mensurando permite conocer el valor verdadero de éste” 3.- Explique si un proceso que está bajo control puede producir elementos no conformes. ¿Qué posibles

medidas correctoras tomaría bajo esta situación? (0,75 puntos)

4.- Respecto al control de aceptación por muestreo. Si un cliente está interesado en protegerse frente a la aceptación de un único lote respecto a un fabricante del que se espera que no tenga un volumen de producción elevado ¿Qué tipo de inspección, nivel de inspección y plan de muestreo emplearía y por qué? (0,75 puntos)

5.- ¿Qué tipo de gráfico de control por variables (promedio, rango o desviación típica) o por atributos (p,

np, c) es el más apropiado para controlar las siguientes situaciones? Justifique su respuesta. (0,75 puntos) Número de accidentes de tráfico en una ciudad por mes. Número de defectos en las soldaduras en la construcción de un avión. Tiempo de ensamblaje de componentes en una empresa de hardware informático.

Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas, en caso contrario la

calificación se verá reducida.


-PROBLEMAS-

CURSO 2015/2016

Departamento de




PROBLEMA 1 (3 puntos) La calidad del servicio prestado en un hospital se evalúa mediante el control de los errores en la prescripción de la medicación. Para ello, se toman los historiales médicos de 1000 pacientes tratados cada mes y se determina si ha habido un error en la prescripción médica. La tabla 1 muestra la proporción de dichos errores en los últimos 24 meses.

Mes Errores en la prescripción médica (%)


1 2,6 13 1,2

2 1,9 14 2

3 2,8 15 4,2

4 2,9 16 2,2

5 2,4 17 1,8

6 1,8 18 2,4

7 2,3 19 2,3

8 2,1 20 1,6

9 1,4 21 1,9

10 1,7 22 2

11 2,2 23 2,2

12 2,0 24 2,1

Tabla 1: Proporción de errores en la prescripción médica.

Determine:

(a) Si el proceso evaluado está bajo control. (0,3 puntos) (b) En el caso en que no estuviera bajo control, ¿Qué muestra/as se debería/an eliminar?, ¿Cuáles

serían los nuevos límites de control? (0,3 puntos) (c) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b, determine la capacidad del proceso evaluado.

(0,6 puntos) (d) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. Si desde el departamento de calidad del

hospital se establece que se han de tomar medidas cuando la proporción de errores en la prescripción médica supere el 3,0%, ¿Qué se debería cambiar del plan de control y en qué medida para lograr este objetivo? (0,6 puntos)

(e) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. En el supuesto en que la proporción de los errores médicos esté distribuida según una normal, ¿Cuál sería la probabilidad de que los errores médicos cometidos en un mes fueran superiores a un 3,3%? ¿E inferior al 1%? (0,6 puntos)

(f) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. En el supuesto en que la proporción de los errores médicos esté distribuida según una normal, y que los límite de control no varían ¿Cuál es la probabilidad de que si la proporción de errores médicos cambiara a 2,5 se lograra detectar el cambio en la primera muestra tomada después del cambio? (0,6 puntos)

PROBLEMA 2 (3 puntos) El diámetro interior D (figura 1) se calcula mediante la expresión:

1 2

2 2 1D DD D HH

donde: D : Diámetro interior a caracterizar.

1D : Diámetro de la esfera calibrada mayor.

2D : Diámetro de la esfera calibrada menor.

H : Altura media del punto superior de la bola D1 respecto de la superficie de referencia. Los datos que se conocen son los siguientes: El diámetro de la esfera mayor (D1) presenta un valor certificado igual a 9,9996 mm con una

incertidumbre expandida para un factor de cobertura k = 2 igual a 1 m. El diámetro de la esfera menor (D2) presenta un valor certificado igual a 5,0003 mm con una

incertidumbre expandida para un factor de cobertura k = 2 igual a 0,8 m y 12 grados efectivos de libertad.

Los diámetros D1 y D2 están correlados, presentado un coeficiente de correlación 1 2, 0,84r D D

La altura H se mide con una sonda de profundidad. Las medidas realizadas con este instrumento se pueden modelar como:

b cg EH H C

donde:

bH : Valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento.

cgC : Corrección de calibración del instrumento.

E : Corrección por división de escala del instrumento. Las medidas realizadas con el instrumento presentan un valor medio igual a 11,723 mm y se distribuye

según una distribución arco-seno de límites ± 3 m. La corrección de calibración del instrumento empleado presenta un valor más probable igual a cero, y

su incertidumbre se distribuye según una distribución triangular de límites ± Ucc mm (ver tabla 2). La corrección por división de escala presenta una distribución rectangular de límites 2E , siendo E la

división de escala del instrumento (ver tabla 2). Determine: (a) El valor del diámetro interior D para las condiciones indicadas en el enunciado. (0,3 puntos) (b) El diámetro D calculado debe presentar una incertidumbre expandida (factor de cobertura k = 2) igual

o menor a 9 m. Teniendo en cuenta que el laboratorio dispone de dos sondas de profundidad cuyos datos se indican en la siguiente tabla, ¿Qué sonda de profundidad debería emplear y por qué? (2,7 puntos)

Sonda de profundidad

E [m]

Ucc

[m]

1 2 5

2 1 4

Tabla 2: Instrumentos de medida.





-PREGUNTAS CORTAS-

CURSO 2015/2016

Departamento de




APELLIDOS: NOMBRE:

MATRÍCULA: GRUPO:

1.- Justifique por qué un error sistemático sólo puede reducirse y no eliminarse. (1 punto) 2.- Justifique si la siguiente expresión es cierta o falsa: (0,75 puntos) “El cálculo de la incertidumbre típica asociada a un mensurando permite conocer el valor verdadero de éste” 3.- Explique si un proceso que está bajo control puede producir elementos no conformes. ¿Qué posibles

medidas correctoras tomaría bajo esta situación? (0,75 puntos)

4.- Respecto al control de aceptación por muestreo. Si un cliente está interesado en protegerse frente a la aceptación de un único lote respecto a un fabricante del que se espera que no tenga un volumen de producción elevado ¿Qué tipo de inspección, nivel de inspección y plan de muestreo emplearía y por qué? (0,75 puntos)

5.- ¿Qué tipo de gráfico de control por variables (promedio, rango o desviación típica) o por atributos (p,

np, c) es el más apropiado para controlar las siguientes situaciones? Justifique su respuesta. (0,75 puntos) Número de accidentes de tráfico en una ciudad por mes. Número de defectos en las soldaduras en la construcción de un avión. Tiempo de ensamblaje de componentes en una empresa de hardware informático.

Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas, en caso contrario la

calificación se verá reducida.


-PROBLEMAS-

CURSO 2015/2016

Departamento de




PROBLEMA 1 (3 puntos) La calidad del servicio prestado en un hospital se evalúa mediante el control de los errores en la prescripción de la medicación. Para ello, se toman los historiales médicos de 1000 pacientes tratados cada mes y se determina si ha habido un error en la prescripción médica. La tabla 1 muestra la proporción de dichos errores en los últimos 24 meses.



1 2,6 13 1,2

2 1,9 14 2

3 2,8 15 4,2

4 2,9 16 2,2

5 2,4 17 1,8

6 1,8 18 2,4

7 2,3 19 2,3

8 2,1 20 1,6

9 1,4 21 1,9

10 1,7 22 2

11 2,2 23 2,2

12 2,0 24 2,1

Tabla 1: Proporción de errores en la prescripción médica.

Determine:

(a) Si el proceso evaluado está bajo control. (0,3 puntos) (b) En el caso en que no estuviera bajo control, ¿Qué muestra/as se debería/an eliminar?, ¿Cuáles

serían los nuevos límites de control? (0,3 puntos) (c) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b, determine la capacidad del proceso evaluado.

(0,6 puntos) (d) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. Si desde el departamento de calidad del

hospital se establece que se han de tomar medidas cuando la proporción de errores en la prescripción médica supere el 3,0%, ¿Qué se debería cambiar del plan de control y en qué medida para lograr este objetivo? (0,6 puntos)

(e) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. En el supuesto en que la proporción de los errores médicos esté distribuida según una normal, ¿Cuál sería la probabilidad de que los errores médicos cometidos en un mes fueran superiores a un 3,3%? ¿E inferior al 1%? (0,6 puntos)

(f) Teniendo en cuenta los resultados del apartado b. En el supuesto en que la proporción de los errores médicos esté distribuida según una normal, y que los límite de control no varían ¿Cuál es la probabilidad de que si la proporción de errores médicos cambiara a 2,5 se lograra detectar el cambio en la primera muestra tomada después del cambio? (0,6 puntos)

PROBLEMA 2 (3 puntos) El diámetro interior D (figura 1) se calcula mediante la expresión:

1 2

2 2 1D DD D HH

donde: D : Diámetro interior a caracterizar.

1D : Diámetro de la esfera calibrada mayor.

2D : Diámetro de la esfera calibrada menor.

H : Altura media del punto superior de la bola D1 respecto de la superficie de referencia. Los datos que se conocen son los siguientes: El diámetro de la esfera mayor (D1) presenta un valor certificado igual a 9,9996 mm con una

incertidumbre expandida para un factor de cobertura k = 2 igual a 1 m. El diámetro de la esfera menor (D2) presenta un valor certificado igual a 5,0003 mm con una

incertidumbre expandida para un factor de cobertura k = 2 igual a 0,8 m y 12 grados efectivos de libertad.

Los diámetros D1 y D2 están correlados, presentado un coeficiente de correlación 1 2, 0,84r D D

La altura H se mide con una sonda de profundidad. Las medidas realizadas con este instrumento se pueden modelar como:

b cg EH H C

donde:

bH : Valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento.


E : Corrección por división de escala del instrumento. Las medidas realizadas con el instrumento presentan un valor medio igual a 11,723 mm y se distribuye

según una distribución arco-seno de límites ± 3 m. La corrección de calibración del instrumento empleado presenta un valor más probable igual a cero, y

su incertidumbre se distribuye según una distribución triangular de límites ± Ucc mm (ver tabla 2). La corrección por división de escala presenta una distribución rectangular de límites 2E , siendo E la

división de escala del instrumento (ver tabla 2). Determine: (a) El valor del diámetro interior D para las condiciones indicadas en el enunciado. (0,3 puntos) (b) El diámetro D calculado debe presentar una incertidumbre expandida (factor de cobertura k = 2) igual

o menor a 9 m. Teniendo en cuenta que el laboratorio dispone de dos sondas de profundidad cuyos datos se indican en la siguiente tabla, ¿Qué sonda de profundidad debería emplear y por qué? (2,7 puntos)

Sonda de profundidad

E [m]

Ucc

[m]

1 2 5

2 1 4

Tabla 2: Instrumentos de medida.




Teoría 1. No es posible eliminarse por que no se conoce el valor verdadero del error sistemático. Su valor es una estimación del mismo, obtenido mediante una serie de observaciones que representan una muestra, no la población y por lo tanto existe un error desconocido al no conocer la función de distribución de probabilidad del error. 2. Falso. El valor verdadero de un mensurando nunca podrá conocerse. La incertidumbre típica acota únicamente los posibles valores entre los que puede estar contenido el valor verdadero. 3. Un proceso que está bajo control puede producir elementos no conformes (fuera de tolerancias) cuando los límites superior e inferior de control (LSC y LIC) contienen a los límites superior e inferior de tolerancias (LST y LIT) (ver figura adjunta.)En este caso, el índice de capacidad del proceso será igual o menor que 1.

Es posible tomar dos medidas correctoras:

1. Ampliar las tolerancias del proceso, si es posible, de forma que los límites LST y LIT contengan a los límites LSC y LIC.

2. Mejorar el proceso de forma que la variabilidad del mismo se reduzca y los límites LSC y LIC estén contenidos dentro de los límites LST y LIT

4. Debido a que el número de elementos sería reducido, se ha de emplear un nivel de muestreo de tipo S-1, S-2, S-3 ó S-4, asimismo se podría emplear un nivel de muestreo III que proporcionaría una mayor discriminación. El tipo de inspección sería rigurosa ya que el enunciado indica que queremos protegernos y el plan de muestreo sería simple para reducir el número de posibilidades de acertar un lote.

LSC

LIC

LST

LIT

5. Número de accidentes de tráfico en una ciudad por mes: Se emplearía un gráfico de tipo c, ya que permite evaluar en número de sucesos (accidentes) en una unidad de control (1 mes). Asimismo, se podría emplear un gráfico de control por variables (nº de accidentes) del promedio y la dispersión (cada muestra contendría el número de accidentes por día), estando este último basado en el desviación típica. Número de defectos en las soldaduras en la construcción de un avión: Se empelaría un gráfico de tipo c, ya que permite evaluar en número de defectos en una unidad de control (1 avión). Tiempo de ensamblaje de componentes en una empresa de hardware informático: Se emplearía un gráfico de control por variables (tiempo) del promedio y la dispersión, estando este último basado en el desviación típica (por el tipo de empresa, el número de elementos ensamblados es muy elevado).

Solución P1: a) Para evaluar si el proceso está bajo control, se empleará un gráfico de control de tipo p. La proporción (en %) de errores en la prescripción médica de cada muestra se conoce. Ya que en el enunciado no se indica el valor de la proporción media de errores poblacional, será necesario estimar dicho valor con la proporción media de errores observados:

1

100

k

ii

Pp

n

Operando:

520 0,02167100 24

p

Determinación de los límites de control del gráfico tipo p:

13

13

c

p pLSC p

nL p

p pLIC p

n

Sustituyendo valores en las anteriores expresiones y teniendo en cuenta que el número de elementos de las muestras es 1000 se tiene:

0,02167 1 0,021670,02167 3 0,0355

10000,0217

0,02167 1 0,021670,02167 3 0,0079

1000

c

LSC

L

LIC

La siguiente figura muestra el gráfico de control:

Se observa como la muestra 15 está fuera de los límites de control, por lo que el proceso evaluado no está bajo control. b) Se eliminará la muestra 15 y se vuelve a determinar los parámetros del gráfico de control:

520 42 0,02078

100 24 1p

Determinación de los límites de control del gráfico tipo p:

0,02078 1 0,020780,02078 3 0,0343

10000,0208

0,02078 1 0,020780,02078 3 0,0072

1000

c

LSC

L

LIC

La siguiente figura muestra el gráfico de control:

Del anterior gráfico se observa que ninguna muestra supera los límites de control, por lo que el proceso está bajo control, siendo los límites de control:

0,03430,0208

0,0072c

LSCLLIC

c) La capacidad del proceso es igual a:

1 1 0,02078 0,9792C p

d) El límite superior de control se calcula como:

13

p pLSC p

n

Teniendo en cuenta que 0,0208p (obtenida en el apartado b), la única variable que se puede cambiar de la anterior ecuación es el número de historiales médicos analizados (n). Por lo tanto, y sustituyendo valores, se ha de cumplir la siguiente inecuación:

0,0208 1 0,02080,0208 3 0,03

n

Operando se obtiene que el número mínimo de historiales médicos analizados para detectar el cambio debe ser:

2164n historiales médicos

e) Según datos del enunciado, se puede asimilar que las muestras responden a una

distribución normal 1

,p p

N pn

. Sustituyendo los valores obtenidos en el

apartado b se tiene

0,0208 1 0,02080,0208 , 0,0208 , 0,0045

1000N N

.

La probabilidad de obtener una proporción de errores en la prescripción médica superior al 3,3% es igual a:

0,033

1 0,033

P p

P p

Normalizando la anterior variable:

0,033 0,020810,0045

1 2,71

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) se tiene:

0,033 1 0,996636 0,003364P p

La probabilidad de obtener una proporción de errores en la prescripción médica inferior al 1% es igual a:

0,01

0,01

P p

P p


0,01 0,02080,0045

2,39

1 2,39

P Z

P Z

P Z


0,01 1 0,991576 0,008424P p

f) Las muestras responden a una distribución normal 1

,p p

N pn

. Si p ha

cambiado a 0,025 se tiene que el proceso responde a una norma

0,025 1 0,025

0,025 , 0,025 , 0,00491000

N N

.

La probabilidad de que una muestra se encuentre fuera de los límites de control LIC p LSC es igual a:

0,0072 0,0343

1 0,0072 0,0343

1 0,0343 0,0072

P p

P p

P p P p


0,0343 0,025 0,0072 0,02510,0049 0,0049

1 1,89 3,59

1 1,89 1 3,59

P Z P Z

P Z P Z

P Z P Z


1 0,970621 1 0,999835 0,029214

Solución P2 (a):

Existen dos posibles formas de resolver el problema que se indican a continuación: 1. Modelo matemático La función modelo para determinar el diámetro interior es la siguiente:

1 22 2 1

D DD D H

H

(1)

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas y considerando la correlación existente entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y se puede

expresar como:

21

2 2

1 1 1 12 ,

N N N


f f fu y u X u X u X r X XX X X

(2)

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación del diámetro interior, y en concreto a la variable de salida

1 2, ,D f D D H se tiene:

2 2 22 2 2 2

1 21 2

1 2 1 21 2

2 ,

D D Du D u D u D u HD D H

D D u D u D r D DD D

(3)

donde los coeficientes de sensibilidad responden a las siguientes expresiones. En estas expresiones se sustituyen los valores más probables de las variables obtenidas en los apartados 2.1, 2.2 y 2.3.

1 2

1

2

1 2

- 1 0,5287

1 1,8914

11 2,8914

2 -1,3627

D DA

H

DD ADD A

D DD AH AH

2.1 Incertidumbre de la esfera mayor 1D , 1u D

De la calibración de la esfera mayor 1D se obtiene un valor más probable igual a 9,9996 mm y una incertidumbre expandida de 1 m correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

11

1 0,50 m2

U Du D

k

2.2 Incertidumbre de la esfera menor 2D , 2u D

De la calibración de la esfera menor 2D se obtiene un valor más probable igual a 5,0003 mm y una incertidumbre expandida de 0,8 m correspondiendo a una distribución t-student con 12 grados efectivos de libertad y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

22

0,812 0,442 12 2 2

ef

ef

U Du D m

k

2.3 Incertidumbre de la altura media del punto superior de la esfera 1D

respecto de la superficie de referencia H , u H

Valor incógnita, que se debe calcular en función del tipo de instrumento empleado de forma que la incertidumbre expandida U D sea menor o igual que la indicada en el

enunciado. 3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada u D se calcula a partir de la ecuación 3. Por datos

del enunciado se conoce la incertidumbre expandida máxima U D , por lo que es

posible determinar la incertidumbre típica u H . Los términos individuales son

agrupados y sustituidos en la ecuación 3, obteniéndose:

22 2 22 2 29 1,8914 0,50 m 2,8914 0,44 -1,3627

22 1,8914 2,8914 0,50 m 0,44 0,84

m u H

m

Operando de manera adecuado se obtiene la incertidumbre típica u H :

3,26 mu H

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la

incertidumbre u2i(y)

1u D 9,9996 mm 0,50 m Normal 1,8914 0,8943 m2

2u D 5,0003 mm 0,44 m t-student 2,8914 1,6052 m2

u H 11,723 mm 3,26 m Normal -1,3627 0,4866 m2

1 2,u D D --- --- ---- --- -2,0129 m2

4. Valor más probable del diámetro interior Sustituyendo los valores más probables de las variables 1 2, yD D H obtenidas en los apartados 2.1, 2.2 y 2.3 en la ecuación 1 se tiene:

9,9996 5,00035,0003 2 11,723 - 1 17,3963 m11,723

D

5. Evaluación de la incertidumbre típica de la altura media del punto superior de la esfera 1D respecto de la superficie de referencia H , u H

5.1. Modelo matemático La función modelo para determinar la altura media del punto superior de la esfera 1D respecto de la superficie de referencia es la siguiente:

b cg EH H C (4)

5.2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda:

2

2 2

1

N

c ii i

fu y u XX

(5)

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de la altura, y en concreto a la variable de salida , ,b cg EH f H C se

tiene:

22 2

2 2 2 2b cg E

b cg E

H H Hu H u H u C uH C

(6)

donde los coeficientes de sensibilidad responden a las siguientes expresiones. En estas expresiones se sustituyen los valores más probables de las variables obtenidas en los apartados 5.2.1, 5.2.2 y 5.2.3.

1

1

1

b

cg

E

HHHCH

5.2.1 Incertidumbre asociada al valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento bH , bu H

El enunciado del problema indica que el valor más probable de bH es 11,723 mm y responde a una distribución de tipo arco-seno de semi-amplitud 3 m, por lo tanto:

311,723 0,002 11,723 0,002 2 0,003 2,121 10 m 2,121 m

8 8 8b

a au H

5.2.2 Incertidumbre asociada a la corrección de calibración del instrumento

cgC , cgu C

El enunciado del problema indica que el valor más probable de cgC es 0 m y responde

a una distribución de tipo triangular de semi-amplitud ccU m, por lo tanto:

0 0 20,4082 m

24 24 24cc cc cc

cg cc

U U Ua au C U

5.2.3 Incertidumbre asociada a la corrección por división de escala del instrumento E , Eu

Por datos del enunciado del problema se estima que el valor más probable de E es 0

m y responde a una distribución de tipo rectangular de semi-amplitud 2E m, por lo

tanto:

0 02 2 0,2887 m 12 12 12E

E Ea a Eu E

5.3 Incertidumbre típica combinada Se evalúa la incertidumbre típica u H en función de los datos de los dos instrumentos

disponibles Instrumento 1

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

1 2,121 m 1 0,4082 m 1 0,2887 m

1 2,121 m 1 0,4082 5 m 1 0,2887 2 m 3,00 m

ccu H U E

u H

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la

incertidumbre ui(y)

bu H 11,723 mm 2,121 m Arco - Seno 1 2,121 m

cgu C 0 mm 2,041 m Triangular 1 2,041 m

Eu 0 mm 0,577 m Rectangular 1 0,577 m

Instrumento 2

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

1 2,121 m 1 0,4082 m 1 0,2887 m

1 2,121 m 1 0,4082 4 m 1 0,2887 1 m 2,69 m

ccu H U E

u H

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la

incertidumbre ui(y)

bu H 11,723 mm 2,121 m Arco - Seno 1 2,121 m

cgu C 0 mm 1,632 m Triangular 1 1,632 m

Eu 0 mm 0,289 m Rectangular 1 0,289 m

Se verifica que ambas incertidumbres son menores que 3,26 m (apartado 3) por lo que es posible emplear ambos instrumentos. Se recomienda emplear el instrumento 2 ya que proporcionaría una incertidumbre del diámetro más pequeña e igual a:

2 2 2 2 22 2

2

1,8914 0,50 m 2,8914 0,44 -1,3627 2,69

2 1,8914 2,8914 0,50 m 0,44 0,84

13,928

3,735

u D m m

m

u D m

u D m

Solución P2 (b):

1. Modelo matemático La función modelo para determinar el diámetro interior es la siguiente:

1 22 2 1

D DD D H

H

(1)

Sustituyendo b cg EH H C en la anterior ecuación se tiene:

1 22 2 1

b cg E

D DD D H

H C

(2)

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas y considerando la correlación existente entre las variables, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y se puede

expresar como:

21

2 2

1 1 1 12 ,

N N N


f f fu y u X u X u X r X XX X X

(3)

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación del diámetro interior, y en concreto a la variable de salida

1 2, , , ,b cg ED f D D H C se tiene:

222 2

2 2 2 2 21 2

1 2

2

21 2 1 2

1 2

2 ,

b cgb cg

EE

D D D Du D u D u D u H u CD D H C

D D Du u D u D r D DD D

(4)

donde los coeficientes de sensibilidad responden a las siguientes expresiones. En estas expresiones se sustituyen los valores más probables de las variables obtenidas en los apartados 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y 2.5.

1 2

1

2

1 2

- 1 0,5287

11,723 mm

1 1,8914

11 2,8914

2 -1,3627

b cg E

b cg E

b cg E

D DA

H C

H H C

DD ADD A

D DD D D AH C AH

2.1 Incertidumbre de la esfera mayor 1D , 1u D

De la calibración de la esfera mayor 1D se obtiene un valor más probable igual a 9,9996 mm y una incertidumbre expandida de 1 m correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

11

1 0,50 m2

U Du D

k

2.2 Incertidumbre de la esfera menor 2D , 2u D

De la calibración de la esfera menor 2D se obtiene un valor más probable igual a 5,0003 mm y una incertidumbre expandida de 0,8 m correspondiendo a una distribución t-student con 12 grados efectivos de libertad y un nivel de cobertura del 95 %, es decir k = 2.

22

0,812 0,442 12 2 2

ef

ef

U Du D m

k

2.3 Incertidumbre asociada al valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento bH , bu H

El enunciado del problema indica que el valor más probable de bH es 11,723 mm y responde a una distribución de tipo arco-seno de semi-amplitud 3 m, por lo tanto:

311,723 0,002 11,723 0,002 2 0,003 2,121 10 m 2,121 m

8 8 8b

a au H

2.4 Incertidumbre asociada a la corrección de calibración del instrumento

cgC , cgu C

El enunciado del problema indica que el valor más probable de cgC es 0 m y responde

a una distribución de tipo triangular de semi-amplitud ccU m, por lo tanto:

0 0 20,4082 m

24 24 24cc cc cc

cg cc

U U Ua au C U

2.5 Incertidumbre asociada a la corrección por división de escala del instrumento E , Eu

Por datos del enunciado del problema se estima que el valor más probable de E es 0

m y responde a una distribución de tipo rectangular de semi-amplitud 2E m, por lo

tanto:

0 02 2 0,2887 m 12 12 12E

E Ea a Eu E

3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada u D se calcula a partir de la ecuación 3. Se

sustituyen los valores de la tabla 2 en los anteriores valores de incertidumbre típica. Se ha de cumplir, para que el instrumento sea válido, que la incertidumbre típica u D

sea menor o igual que 4,5 m. Instrumento 1

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la


1u D 9,9996 mm 0,50 m Normal 1,8914 0,8943 m2

2u D 5,0003 mm 0,44 m t-student 2,8914 1,6052 m2

bu H 11,723 mm 2,121 m Arco - Seno -1,3627 8,3565 m2

cgu C 0 mm 2,041 m Triangular -1,3627 7,737 m2

Eu 0 mm 0,577 m Rectangular -1,3627 0,6190 m2

1 2,u D D --- --- ---- --- -2,0129 m2

D 17,3963 mm u D 4,147 m

Instrumento 2

Magnitud de entrada

Xi


entrada xi




hi

Contribución a la


1u D 9,9996 mm 0,50 m Normal 1,8914 0,8943 m2

2u D 5,0003 mm 0,44 m t-student 2,8914 1,6052 m2

bu H 11,723 mm 2,121 m Arco - Seno -1,3627 8,3565 m2

cgu C 0 mm 1,633 m Triangular -1,3627 4,9520 m2

Eu 0 mm 0,289 m Rectangular -1,3627 0,1548 m2

1 2,u D D --- --- ---- --- -2,0129 m2

D 17,3963 mm u D 3,735 m

Se verifica que ambas incertidumbres son menores que 3,26 m (apartado 3) por lo que es posible emplear ambos instrumentos. Se recomienda emplear el instrumento 2 ya que proporcionaría una incertidumbre del diámetro más pequeña. 4. Valor más probable del diámetro interior Sustituyendo los valores más probables de las variables 1 2, ,D D H obtenidas en los apartados 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y 2.5 en la ecuación 2 se tiene:

9,9996 5,00035,0003 2 11,723 - 1 17,3963 m11,723 0 0

D


Prueba escrita individual: Preguntas cortas

CURSO 2015/2016

Departamento de


Industrial.



PREGUNTAS CORTAS (tiempo 50 minutos): 1.- Se realiza una comparación inter-laboratorios en la cual se caracteriza un patrón de rugosidad. Las medidas de dicho patrón, ¿se efectúan en condiciones de repetibilidad o reproducibilidad? Justifique su respuesta. (0,75 puntos) 2.- Justifique por qué p pkC C cuando la media del proceso es equidistante respecto al límite

superior e inferior de la especificación. (0,75 puntos) 3.- Explique por qué es importante la correcta elección del tamaño de la muestra en los gráficos de control que evalúan unidades defectuosas. (0,75 puntos) 4.- Se tiene un plan de control de aceptación por atributos, cuyas características son N= 1500, n = 150 y c = 3. Si el nivel de calidad aceptable es igual a un 0,05 % y la calidad límite es igual a un 6 %, evalúe la protección que ofrece el plan de control para estos niveles de calidad. (0,75 puntos) 5.- Determine la incertidumbre asociada a la medida Lx, teniendo en cuenta que u(Li) = u0 y que todas las medidas están correladas entre sí con coeficiente de correlación igual a 1. (1 punto)

Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas, en caso contrario su calificación se verá reducida.


Prueba escrita individual: Problemas

CURSO 2015/2016

Departamento de


Industrial.




Una empresa fabrica, entre otros componentes, resistencias cuya especificación es 21 ± 3 Ω. Se toman 25 muestras aleatorias de 5 resistencias cada una. Los valores individuales de cada resistencia, así como los valores medios de cada una de las muestras y su rango se muestran en la tabla I. Determine:

a) Los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar las resistencias que se produzcan en el futuro. Si existen puntos fuera de control, suponga que estos se deben a causas asignables. (2 puntos) b) Una vez que el proceso esté bajo control, ¿Es un proceso capaz? (1 punto) c) Las resistencias cuyo valor sea inferior a la especificación no pueden ser reutilizadas en otras aplicaciones. Sí se producen diariamente 10000 resistencias en la empresa y el coste de fabricación de cada resistencia es de 0,5 € ¿Cuál sería el coste medio debido a la falta de calidad del proceso? (2 puntos) d) La empresa adquiere un sistema capaz de indicar si una resistencia analizada es conforme o no conforme con las especiaciones. Una vez implementado el sistema, se quiere detectar cuando en una muestra se supera el 5 % de unidades no conformes, ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra analizada? (3 puntos) e) Desde el departamento de post venta se ha detectado que los clientes desean que la especificación de diseño de la resistencia se redujera a 21± 2 Ω, ¿Es posible establecer la nueva especificación sin cambiar el proceso? Si no se cambiara el proceso, ¿Cuál sería el coste medio diario asociado a la falta de calidad? (2 puntos)

Muestra Resistencia

iX [Ω] iR [Ω] 1 2 3 4 5

1 20 22 21 23 22 21,6 3 2 19 18 22 20 20 19,8 4 3 25 18 20 17 22 20,4 8 4 20 11 22 21 21 21 2 5 19 24 23 22 20 21,6 5 6 22 20 18 18 19 19,4 4 7 18 20 19 18 20 19 2 8 20 18 23 20 21 20,4 5 9 21 20 24 23 22 22 4 10 21 19 20 20 20 20 2 11 20 20 23 22 20 21 3 12 22 21 20 22 23 21,6 3 13 19 22 19 18 19 19,4 4 14 20 211 22 21 22 21,2 2 15 20 24 24 23 21 22,4 4 16 21 20 24 20 21 21,2 4 17 20 18 18 20 20 19,2 2 18 20 24 22 23 23 22,4 4 19 20 19 23 20 19 20,2 4 20 22 21 21 24 22 22 3 21 23 22 22 20 22 21,8 3 22 21 18 18 17 19 18,6 4 23 21 24 24 23 23 23 3 24 20 22 21 21 20 20,8 2 25 19 20 21 21 22 20,6 3


La excentricidad “e” que presenta un conductor respecto al material aislante que lo contiene (ver figura adjunta) se puede estimar como:

22

1 2 2 11 2 x x y ye m m m m

donde:

1 2 1 2, , ,x x y ym m m m : Medidas

indicadas en la figura.

Las anteriores medidas se obtienen con un proyector de perfiles. Dichas medidas se pueden modelar como:

1,2

,ij ij b cg E

im m C

j x y

donde:

ijm : Valor medio de las lecturas corregidas obtenidas por el instrumento.

ij bm : Valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento.


E : Corrección por división de escala del instrumento.

Nota: considere que ij bm , cgC y E son independientes entre sí.

Se mide un cable para determinar si existe excentricidad entre el conductor y el material aislante que lo contiene, obteniéndose los siguientes resultados:

Medida Número de veces que se realiza la

medida

Valor medio [mm]

Desviación típica muestral [m]

1x bm 5 4,7801 2,54

2x bm 7 2,8165 1,79

1y bm 5 2,2543 4,12

2y bm 6 5,3407 3,98

La corrección de calibración del instrumento empleado presenta un valor más probable igual a cero, y su incertidumbre se distribuye según una distribución normal de límites ± 5 m. La corrección por división de escala presenta una distribución uniforme de límites E , siendo E la división de escala del instrumento e igual a 1 m.

Se sabe que las medidas 1 2 1 2, , ,x x y ym m m m están correladas entre sí. La siguiente tabla muestras

los coeficientes de correlación entre las medidas.

Medida 1xm 2xm 1ym 2ym

1xm 1 0,8 0,25 0

2xm 0,8 1 0 0

1ym 0,25 0 1 -0,75

2ym 0 0 -0,75 1

Determine:

(a) Los valores más probables y las incertidumbres típicas de las medidas 1 2 1 2, , ,x x y ym m m m .

(3 puntos) (b) El valor más probable de la excentricidad y la incertidumbre expandida del anterior

valor para una probabilidad de cobertura del 95 %. (7 puntos)



REVISIÓN DE EXÁMENES: 21/07/2016, 10:00 horas, DESPACHO A-107

Solución T1 En comparación inter-laboratorios el patrón es caracterizado por distintos laboratorios, lo que implica la medida en distintos lugares por distintos operadores, con distintos instrumentos y distintos procedimientos de medida, por lo que la medidas de dicho patrón se realizan en condiciones de reproducibilidad (condición de medición, dentro de un conjunto de condiciones que incluye diferentes lugares, operadores, sistemas de medida y mediciones repetidas de los mismos objetos u objetos similares). Solución T2

6pLST LITC

min3

s i spk

i

Z Z Z LST xC con

Z x LIT

Sí la media del proceso es equidistante respecto al límite superior e inferior de la especificación, entonces:

2

2

s iZ Z LST x x LIT LST LIT xLST LITx

2

2 23 3 3 6pk

LST LIT LST LST LITLSTLST x LST LITC

pk pC C

Solución T3 Los límites de control para un gráfico de tipo p son iguales a:

13

13

c

p pLSC p

nL p

p pLIC p

n

Donde p es la fracción defectuosa y n es el tamaño de la muestra. Si n es excesivamente grande, los límites LSC y LIC serán relativamente estrechos, y se rechazarán muestras cuya proporción de elementos defectuosos sea pequeña.

Por el contrario, si n es pequeña, los límites LSC y LIC serán amplios, y se aceptarán muestras cuya proporción de elementos defectuosos sea elevada. Solución T4 La probabilidad de aceptar una muestra de tamaño n, con una proporción de elementos defectuosos p y con un número de aceptación c es igual a:

0 !

xx c

np

x

npP x c e

x

Para el nivel de calidad aceptable

0,053 150100

0

0,05150100

3 0,99999876!

x

x

xP x e

x

Para la calidad límite

63 150

100

0

6150100

3 0,02122649!

x

x

xP x e

x

Es decir, si el lote presenta una proporción de elementos defectuosos igual al nivel de calidad aceptable, la probabilidad de aceptarlo será igual al 99,99 %, por el contrario, si el lote presenta una proporción de elementos defectuosos igual a la calidad límite, la probabilidad de aceptarlo será igual al 2,12 %. Solución T5 Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y , teniendo en cuanta la correlación entre variables:

2

12 2

1 1 12 ,

N N N

c i i ji i j ii i j

f f fu y u X u X XX X X

La función modelo que permite obtener la distancia xL es igual a:

4 1 3 21 2 3 4

12 2x

L L L LL L L L L

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de xL , y en concreto a las variables de salida 1 2 3 4, , ,xL f L L L L se

tiene:

2 2 2 2

2 2 2 2 21 2 3 4

1 2 3 4

1 2 1 3 1 41 2 1 3 1 4

2 3 2 42 3 2 4 3 4

2 , 2 , 2 ,

2 , 2 , 2

x x x xx

x x x x x x

x x x x x x

L L L Lu L u L u L u L u L

L L L LL L L L L L

u L L u L L u L LL L L L L LL L L L L L

u L L u L L uL L L L L L

3 4,L L

Los coeficientes de sensibilidad se calculan como:

1 2

3 4

12

12

x x

x x

L LL LL LL L

Las covarianzas ,i ju X X son iguales a:

20 0 0, , 1i j i j i ju X X u X u X r X X u u u =

Sustituyendo en la ley de propagación de varianzas:

2 2 2 22 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 20 0 0

2 2 20 0 0

20

1 1 1 12 2 2 2

1 1 1 1 1 12 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 22 2 2 2 2 2

14

x

x

u L u u u u

u u u

u u u

u L u

2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0

2

1 1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 2 2 2 2 2 2

0

0

x

x

u u u u u u u u u

u L

u L

Solución P1 a) Mediante los valores indicados en la tabla se determina la estimación de la media del proceso así como la estimación del rango medio:

1

1 k

jj

x xk

y 1

1 k

jj

R Rk

Operando se tiene:

20,824x y 3, 48R Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

2

2

c

LSC x A R

L x

LIC x A R


20,824 0,577 3,48 22,83220,824

20,824 0,577 3,48 18,816c

LSCLLIC


4

3

R

cR

R

LSC D R

L R

LIC D R


2,115 3,48 7,36

3,480,000 3,48 0,00

S

cS

S

LSCLLIC


Se observa como las muestras 22 y 23 del gráfico del promedio están fuera de los límites de control, así como la muestra 3 del gráfico de dispersión. Ya que se está implantando el control por variables se eliminarán estas muestras y se volverá a determinar los parámetros de los gráficos:

20,8455x y 3,273R Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

20,8455 0,577 3,273 22,73420,8455

20,8455 0,577 3,273 18,957c

LSCLLIC

2,115 3,273 6,923,27

0,000 3,273 0,00

S

cS

S

LSCLLIC


Se comprueba que ninguna de las muestras está fuera de los límites de control. Por lo tanto, los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar el espesor de la chapa que se produzca en el futuro son:

22,73420,8455

18,957c

LSCLLIC

6,923,27

0,00

S

cS

S

LSCLLIC

b) La media del proceso es igual a:

20,8455x La desviación típica del proceso se calcula como:

2

Rd

Sustituyendo datos en la anterior expresión y obteniendo el parámetro d2 de tablas se tiene:

3,273 1,4072,326

La capacidad del proceso se calcula como:

6pLST LITC

min3

s i spk

i

Z Z Z LST xC con

Z x LIT

Operando:

24 18 0,7116 1,407pC

24 20,8455 3,1546 2,8455 0,674

3 1,40720,8455 18 2,8455s

pki

ZC

Z

Con los valores obtenidos, se comprueba que el proceso no es capaz. c) Un elemento y producido responde a una distribución normal ,N es decir

20.8455 , 1.407N . La probabilidad de que una unidad se encuentre por debajo del

límite inferior de especificación LIT R es igual a:

18

1 181 ( 18)

P R

P RP R


18 20,845511,407

1 2,02

1 1 2,02

2,02

1 2,02

P Z

P Z

P Z

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,978308 0,021692 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que están por debajo del límite inferior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 2,17 %. El coste medio debido a la falta de calidad del proceso es igual a:

€10000 Resistencias 0,5 0,021692 108,46€ResistenciasFCC

d) Un elemento y producido responde a una distribución normal ,N es decir

20.8455 , 1.407N . La probabilidad de que la un elemento sea no conforme es decir,

esté fuera de los límites de tolerancia LIT y LST es igual a:

18 24

1 18 24

1 24 18

P y

P y

P y P y


24 20.8455 18 20.845511.407 1.407

1 2,24 2,02

1 2,24 1 2,02

P Z P Z

P Z P Z

P Z P Z


1 0,987455 1 0,978308

Por lo tanto la probabilidad de que la un elemento sea no conforme es igual a 0,034237. Los límites de control para un gráfico de tipo p son iguales a:

13

13

c

p pLSC p

nL p

p pLIC p

n

Donde p es la fracción defectuosa y n es el tamaño de la muestra. Si se quiere detectar aquellas muestras que superen el LSC (igual al 5%), se tiene:

2 2

13

1 0,034237 1 0,0342371197,65

0,05 0,0342373 3

p pLSC p

np p

nLSC p

e) No es posible, ya que el actual proceso no es capaz de satisfacer las especificaciones. Al reducir aún más las especificaciones, la capacidad del proceso se reduciría aún más.

23 19 0,4746 1,407pC

23 20,8455 2,1546 1,8455 0,437

3 1,40720,8455 19 1,8455s

pki

ZC

Z

Un elemento y producido responde a una distribución normal ,N es decir

20.8455 , 1.407N . La probabilidad de que una unidad se encuentre por debajo del

límite inferior de especificación LIT R es igual a:

19

1 191 ( 19)

P R

P RP R


19 20,845511,407

1 1,31

1 1 1,31

1,31

1 1,31

P Z

P Z

P Z

P Z

P Z

Sustituyendo valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,904902 0,095098 Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que están por debajo del límite inferior de la especificación, cuando el proceso está bajo controles es del 9,51 %. El coste medio debido a la falta de calidad del proceso es igual a:

€10000 Resistencias 0,5 0,095098 475,49€ResistenciasFCC

Solución P2 Apartado a) 1. Modelo matemático La función modelo para determinar las lecturas corregidas ijm es la siguiente:

1,2

,ij ij b cg E

im m C

j x y

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda:

2

2 2

1

N

c ii i

fu y u XX

Aplicando la anterior expresión para el caso de la evaluación de la incertidumbre en la determinación de las lecturas corregidas y en concreto a las variables de salida

, ,ij ij b cg Em f m C se tiene:

2 2 2

2 2 2 2ij ij ijij ij b cg E

ij b cg E

m m mu m u m u C u

m C


1 1 1ij ij ij

ij b cg E

m m mm C

2.1 Incertidumbre del valor medio de las lecturas brutas obtenidas por el instrumento, ij bu m

El enunciado proporciona el valor medio de las lecturas ij bm , así como la desviación

típica muestral ij bS m

La mejor estimación de ij bij b

ij

S mu m

n

2.2 Incertidumbre de la corrección de calibración del instrumento, cgu C

Por los datos del enunciado se sabe que la corrección de calibración del instrumento varía ente +5 y -5 m, y que dichos valores responden a una distribución normal. Por lo tanto:

5 5 2 5 1,667636 36cg

a au C m

5 50 m

2 2cg

a aC

2.3 Incertidumbre de la corrección por división de escala del instrumento, Eu

Por datos del enunciado se asigna una distribución rectangular de límites ,E E

2 1 0,577 m12 12 2 3 3 3E

E Ea a E Eu

0 m

2 2E

E Ea a

Los valores más probables y las incertidumbres típicas de las medidas corregidas

1 2 1 2, , ,x x y ym m m m , se obtienen como:

ij ij b cg Em m C

2

2 2 2 2 2ij bij ij b cg E cg E

ij

S mu m u m u C u u C u

n

1 1 4,7801 mm 0 mm 0 mm 4,7801 mmx x b cg Em m C

22

2 21 2 21

1

2,54 m1,667 m 0,577 m

52,098 m

x bx cg E

x

S mu m u C u

n

2 2 2,8165 mm 0 mm 0 mm 2,8165 mmx x b cg Em m C

22

2 22 2 22

2

1,79 m1,667 m 0,577 m

71,889 m

x bx cg E

x

S mu m u C u

n

1 1 2,2543 mm 0 mm 0 mm 2,2543 mmy y b cg Em m C

22

2 21 2 21

1

4,12 m1,667 m 0,577 m

5

2,551 m

y by cg E

y

S mu m u C u

n

2 2 5,3407 mm 0 mm 0 mm 5,3407 mmy y b cg Em m C

22

2 22 2 22

2

3,98 m1,667 m 0,577 m

6

2,398 m

y by cg E

y

S mu m u C u

n

Resumen de resultados:

Medida Valor medio

[mm] Incertidumbre

típica [ m]

1xm 4,7801 2,098

2xm 2,8165 1,889

1ym 2,2543 2,551

2ym 5,3407 2,398 Apartado b) 1. Modelo matemático La función modelo para determinar la excentricidad e es igual a:

22

1 2 2 11 2 x x y ye m m m m

Sustituyendo los valores obtenidos en el apartado anterior:

2 21 4,7801 2,8165 5,3407 2,2543 1,82904 mm2

e

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda, teniendo en cuenta la posible correlación entre variables:

2

12 2

1 1 12 ,

N N N

c i i ji i j ii i j


Aplicando la anterior expresión para el caso de la excentricidad y en concreto a las variables de salida 1 2 2 1 , , ,x x y ye f m m m m se tiene:

2 22 2

2 2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 1 11 2 1 1

1 2 1 2 2 11 2 2 1

2 , 2 ,

2 , 2

x x y yx x y y

x x x x x y x yx x x y

x y x y x yx y x y

e e e eu e u m u m u m u mm m m m

e e e eu m u m r m m u m u m r m mm m m me e e eu m u m r m m u m u m

m m m m

2 1

2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 2

,

2 , 2 ,

x y

x y x y y y y yx y y y

r m m

e e e eu m u m r m m u m u m r m mm m m m


1 21 2

1

1 21 2

2

2 12 1

1

2 12 1

2

1 1 2 12 2 2 4

1 1 2 12 2 2 4

1 1 2 12 2 2 4

1 1 2 12 2 2 4

x xx x

x

x xx x

x

y yy y

y

y yy y

y

m me m mm e e

m me m mm e e

m me m mm e e

m me m mm e e

Sustituyendo valores, se tiene:

1

2

1

2

4,7801 2,8165 0,26844 1,82904

4,7801 2,8165 0,26844 1,82904

5,3407 2,2543 0,42194 1,82904

5,3407 2,2543 0,42194 1,82904

x

x

y

y

eme

me

me

m

3. Incertidumbre típica combinada La incertidumbre típica combinada u e se calcula a partir la ley de propagación de

varianzas. Los términos individuales son agrupados y sustituidos en esta expresión, obteniéndose:

2 2 2 2 2 22

2 2

0,2684 2,098 m 0,2684 1,889 m 0,4219 2,551 m

0,4219 2,398 m 2 0,2684 0,2684 2,098 m 1,889 m 0,8

2 0,2684 0,4219 2,098 m 2,551 m 0,25

2 0,2684 0,4219 2,098 m 2,398 m 0

2 0,2684 0,421

u e

2 2

9 1,889 m 2,551 m 0

2 0,2684 0,4219 1,889 m 2,398 m 0

2 0,4219 0,4219 2,551 m 2,398 m 0,75

3,63 mu e

es decir 1,90 mu e

5. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida 95U e k u e que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 95,45 %. La distribución resultante puede suponerse normal, ya que la variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento (por ejemplo, normales, uniformes, etc.,) y además, las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables Se utilizará por tanto un valor 95 2k . 2 1,90 m 3,80 mU e

El resultado final de la medición puede expresarse como sigue: e= (1,8290± 0,0038) mm, donde el número que sigue al símbolo ± es el valor numérico de una incertidumbre expandida U = k uc, con U determinada a partir de una incertidumbre típica combinada uc = 3,8 m y un factor de cobertura k = 2 basado en una distribución normal, la cual define un intervalo con un nivel de confianza del 95%.


-PREGUNTAS CORTAS- CURSO 2016/2017

ETSIDI

Dpto. de Ingeniería Mecánica, Química y

Diseño Industrial OBSERVACIONES: 1.- Condición necesaria para aprobar: obtener una nota mínima de 5 puntos sobre 10 en el cómputo global del


APELLIDOS: NOMBRE:

MATRÍCULA: GRUPO:

1.- Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: (0,75 puntos)

“El empleo de un patrón para ajustar o calibrar un instrumento permite eliminar los errores sistemáticos que aparecen durante el proceso de medición con el instrumento”.

2.- Sí el intervalo de variabilidad natural de un proceso es menor que el intervalo de especificación

(tolerancias) del mismo, ¿Qué ventajas proporciona esta situación? ¿Cuál debería ser el valor del índice de capacidad Cp? ¿Podría presentar Cpk un valor menor o igual que 1? (0,75 puntos)

3.- ¿Cuál es la utilidad de la curva de Característica Operativa de un proceso? ¿Cómo puede mejorarse la

capacidad de detección de la misma? (0,75 puntos)

4.- Respecto a las propiedades de la curva característica en el control de aceptación por atributos, evalué cómo se modificaría, cuando varía el tamaño del lote analizado y se mantiene constante el número de aceptación y el tamaño de la muestra. (0,75 puntos)

5.- Justifique matemáticamente que la incertidumbre típica combinada asociada a la función

1 2 nx x xy

n

es igual a u xu y

n . Datos: 1 2, , , nx x x son independientes y provienen de la

misma población por lo que 1 2 nu x u x u x u x . Para el caso en que n = 3, y

1 2 3, ,x x x están correladas con 1 2 1 3 2 3( , ), ( , ), ( , ) 1r x x r x x r x x , ¿Cuánto se incrementaría la incertidumbre

típica combinada al considerar esta correlación respecto al caso en que no se tenga en cuenta? (1 punto)

Nota: Todas las respuestas deben quedar suficientemente justificadas o razonadas. En caso contrario la calificación se verá reducida.


-PROBLEMAS- CURSO 2016/2017

ETSIDI

Dpto. de Ingeniería Mecánica, Química y

Diseño Industrial OBSERVACIONES: 1.- Condición necesaria para aprobar: obtener una nota mínima de 5 puntos sobre 10 en el cómputo global del


PROBLEMA 1 (3 puntos) La cantidad de conservante añadido a los productos lácteos no debe exceder los niveles de 23 ± 6 mg (establecido por la Agencia Española de Consumo, Seguridad Alimentaria y Nutrición). Se toman muestras de 5 quesos elaborados por una determinada empresa, las cuales presentaron los valores de media, rango y desviación típica de conservante que se muestran en la TABLA 1. Se pide:

a) Justifique que gráfico de control sería el apropiado para controlar el proceso y determinar la estabilidad del mismo. (0,6 puntos)

b) Si el proceso estuviera fuera de control, asumiendo que se tomaran medidas correctivas, ¿Cuál sería la media del proceso y la desviación típica del mismo? ¿Cuáles serían los límites de control? (0,6 puntos)

c) Suponiendo que el proceso responde a una normal y un valor objetivo de 23 mg, determine los índices Cp, Cpk, Cpm y Cpmk y comente los valores obtenidos. (0,3 puntos)

d) ¿Qué proporción de productos lácteos cumplirían con las normas gubernamentales? (0,3 puntos)

La empresa quiere exportar sus quesos a Europa, y por lo tanto debe superar los controles de la Autoridad Europea de Seguridad Alimentaria (EFSA). Ésta establece unos niveles de conservante de 23 ± 4 mg. Para el control de la cantidad de conservante añadido, se establece un plan de muestreo para la inspección por atributos según norma ISO 2859-1:1999. Se establece el siguiente plan de muestreo:

Tamaño del lote: 200; Nivel de inspección: III; Plan de muestreo: Simple; Tipo de inspección: Rigurosa; NCA: 0,4 %

Se pide:

e) Las características que definen el plan de muestreo (letra de código, tamaño de la muestra, número de aceptación y de rechazo). (0,6 puntos)

f) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote producido por la empresa? (0,6 puntos)

TABLA I

Muestra iX Ri Si Muestra iX Ri Si Muestra iX Ri Si

1 22 5 2,1 9 22 4 1,7 17 25 6 2,7

2 26 4 1,5 10 25 6 3,3 18 23 8 3,0

3 26 6 2,4 11 25 9 3,6 19 20 5 1,8

4 24 7 2,9 12 22 3 1,4 20 22 4 1,6

5 22 3 1,6 13 21 5 2,0 21 22 6 2,7

6 21 5 1,9 14 22 7 3,0 22 23 7 3,3

7 29 7 2,7 15 20 5 2,3 23 24 5 2,3

8 25 8 3,8 16 24 8 3,1 24 22 6 2,3

24 24 24

1 1 1557 m 139 m 59 mi i i

i i iX g R g S g

PROBLEMA 2 (3 puntos) Un brazo de medida se puede representar con el modelo que aparece en la siguiente figura. Con dicho brazo, es posible obtener la coordenadas X , Y y Z del palpador P.

El software de dicha máquina permite conocer los ángulos 1 , 2 y . Las dimensiones de los brazos 1L

y 2L han sido obtenidas mediante la calibración de las mismas en un laboratorio externo. La ecuación

matemática que permite obtener la coordenada X es la siguiente:

1 1 2 2cos cos cosX L L con

1 1

2 1 2

2

Se pide:

a) Calcular el valor más probable de la coordenada X . (0,2 puntos) b) Determinar el valor de la incertidumbre expandida (para un nivel de confianza del 95%) asociada

a la anterior coordenada. (2,4 puntos) c) ¿Qué valor deberían presentar el coeficiente de correlación para obtener la menor incertidumbre

expandida posible asociada al valor de la coordenada X ? (0,4 puntos) Datos:

La longitud del brazo 1L presenta un valor certificado igual a 450,0071 mm con una

incertidumbre expandida (para un factor de cobertura k = 2) igual a 3,7 m. La longitud del brazo 2L presenta un valor certificado igual a 599,9853 mm con una

incertidumbre expandida (para un factor de cobertura k = 2) igual a 8,4 m y con 5 grados efectivos de libertad.

Para determinar la coordenada X , se repite 5 veces la medición de la misma, y se obtiene los siguientes valores:

o El ángulo 1 presenta un valor más probable igual a 37,092° y responde a una

distribución arcoseno de semi-amplitud igual a 1,22·10-5 radianes. o El ángulo 2 presenta un valor más probable igual a 151,983° y responde a una

distribución rectangular de límites inexactos cuyos límites son respectivamente: 6 62,6528038 0,1 10 2,6527528 0,1 10

radianes.

o El ángulo presenta los siguiente valores (vales medidos en ángulos decimales):

38,457 38,460 38,461 38,454 38,453

o Por el proceso de adquisición de datos del brazo de medida, se sabe que los ángulos 1 y

están correlados. Se ha estimado un valor para el coeficiente de correlación de 0,57.

PUBLICACIÓN DE NOTAS: 31/01/2017

Vía online: http://138.100.101.114/adncalificaciones/ Usuario: DNI (como aparece en el expediente del alumno)

Contraseña: Nº Matrícula

LA FECHA Y LUGAR DE REVISIÓN DE EXÁMENES SE SEÑALARÁ CON LA PUBLICACIÓN DE LAS NOTAS

Solución T1 Falso. Un error sistemático no puede eliminarse, sólo reducirse, independientemente del elemento (patrón, corrección,…) empleado. Solución T2 El intervalo de variabilidad natural de un proceso está definido por el producto 6 , siendo la desviación típica del proceso. Si esté intervalo es menor que el de tolerancias LST LIT , implicaría que al menos un 99.73% de las piezas producidas

cumplen las especificaciones.

Sí 6 16p

LST LITLST LIT C

El índice pkC se calcula como min ,

3pk

CPU CPL CPU LST xC con

CPL x LIT

.

Sí el proceso estuviera descentrado y por lo tanto o2

LST LITCPU CPL , entonces

o 3CPU CPL , por lo tanto 1pkC .

Solución T3 La curva de característica Operativa de un proceso evalúa la probabilidad de no detectar la gráfica de control el cambio cuando la media del proceso cambia. La forma de mejorar su capacidad de detección es aumentar el tamaño de la muestra analizada. La Gráfica ARL evalúa el número de muestras necesarias (en promedio) para detectar un cambio en la media del proceso. Solución T4 Para crear la curva característica en el control por aceptación por atributos, se evalúa la siguiente expresión:

0 !

xx c

np

x

npP x c e

x

El enunciado nos indica cómo afectaría el tamaño del lote (N) a dicha curva, manteniendo constante el número de aceptación (c) y el tamaño de la muestra (n). Como se puede observar, el tamaño del lote (N) no aparece en la anterior ecuación por lo tanto, la curva característica en el control por aceptación por atributos no se modificaría.

Solución T5 Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada u y :

2

2 2

1

n

ii i

yu y u xx

Aplicándola a la función modelo 1 2 nx x xy

n

se tiene que:

1

i

fx n

y iu x u x . Sustituyendo valores en la ecuación de la ley de propagación:

2 22 2 2

1 1 1u y u xn n n

.

El sumatorio de términos 2 2 2

1 1 1n n n

es igual a 1n

(Si no se conoce esta

información, se podría haber obtenido mediante evaluación numérica de la serie). Por lo tanto.

2 21 u xu y u x u y

n n

Sí existe correlación entre las variables se tiene:

2

12 2

1 1 12 ,

n n n

i i j i ji i j ii i j

y y yu y u x u x u x r x xx x x

Es decir, se añade el término de la correlación respecto al caso de variables independientes. Dando valores sí n = 3:

1

1 1

2 2

2

1 1 1 12 , 2 1 2 13 3 3 3

6 21 12 13 3 33

n n

i j i ji j i i j

y y u x u x r x x u x u x u x u xx x

u x u xu x u x

Para variables independientes: 3

u x u xu y

n

Para variables correladas: 2 223 3

u x u xu y u x

Por lo tanto, se incrementaría 3 veces la incertidumbre.

Solución P1 a) Se ha de emplear un gráfico por variables de tipo X/R, ya que el número de elementos en una muestra (5) es menor de 10. Mediante los valores indicados en la tabla I se determina la estimación de la media del proceso así como la estimación del rango medio:

1

1 k

jj

x xk

y 1

1 k

jj

R Rk

Operando se tiene:

23,208 mgx y 5,792mgR Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

2

2

c

LSC x A R

L x

LIC x A R


23,208 0,577 5,792 26,550 mg23,208 mg

23,208 0,577 5,792 19,867 mgc

LSCLLIC


4

3

R

cR

R

LSC D R

L R

LIC D R


2,115 5,792 12,249 mg

5,792 mg0,000 5,792 0,000 mg

R

cR

R

LSCLLIC


Se puede observar que el proceso no es estable, ya que presenta comportamientos cíclicos en el gráfico de la dispersión y hay muestras fuera de los límites de control. b) Se observa como la muestra 7 del gráfico de dispersión está fuera de los límites de control. Se elimina esta muestra y se volverá a determinar los parámetros de los gráficos:

22,957 mgx y 5,739 mgR Determinación de los límites de control del gráfico del promedio:

22,957 0,577 5,739 26,268 mg22,957 mg

22,957 0,577 5,739 19,645 mgc

LSCLLIC

2,115 5,739 12,138 mg

5,739 mg0,000 5,739 0,000 mg

R

cR

R

LSCLLIC


Se comprueba que ninguna de las muestras está fuera de los límites de control. Por lo tanto, los límites de control superior e inferior de los gráficos del promedio y de la dispersión empleados para controlar la cantidad de conservante son:

26,268 mg22,957 mg

19,645 mgc

LSCLLIC

12,138 mg

5,739 mg0,000 mg

R

cR

R

LSCLLIC

c) La media del proceso es igual a:

22,957 mgx La desviación típica del proceso se calcula como:

2

Rd

Sustituyendo datos en la anterior expresión y obteniendo el parámetro d2 de tablas se tiene:

5,739 2,467 mg2,326

Los índices de capacidad solicitados se calculan como:

6pLST LITC

min ,3pk

CPU CPL CPU LST xC con

CPL x LIT

226

pmLST LITC

x m

22

min ,

3pmk

LST x x LITC

x m

Operando se tiene:

2 6 0,8116 2,467pC

29 23,083 5,917 5,917 0,805

3 2,46723,083 17 6,083 pkCPU

CCPL

22

2 6 0,8106 2,467 23,083 23

pmC

22

min 29 23,083,23,083 170,805

3 2,467 23,083 23pmkC

Con los valores obtenidos, se comprueba que el proceso no es capaz de alcanzar las especificaciones establecidas por la Agencia Española de Consumo, Seguridad Alimentaria y Nutrición. Todos los índices presentan valores similares. Esto es debido a que el proceso está centrado respecto a la especificación. d) Un elemento producido responde a una distribución normal ,N es decir

22.957 , 2.467N . La probabilidad de que una unidad cumpla con las especificaciones

1 LIT y LST es igual a:

1

1

1 29 17

P LIT y LST

P y LST P y LIT

P y P y


29 22,957 17 22,9571 12,467 2,467

1 1 2,45 2,41

1 1 2,45 1 2,41

P Z P Z

P Z P Z

P Z P Z

Sustituyendo los valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 1 0,992857 1 0,9920241 0,0151190,984881

Por lo tanto, el porcentaje de los elementos producidos que cumplirían con las normas gubernamentales es del 98,48 %. e)

Elección de la letra-código del tamaño de muestra (TABLA 1 UNE-ISO 2859-1:2012): Para un tamaño de lote comprendido entre 151 a 280 y Nivel de inspección III, corresponde letra-código: H.

Determinación del tamaño muestral (TABLA 2-B UNE-ISO 2859-1:2012): Para letra-código H, corresponde un tamaño muestral: n = 50.

Números de aceptación y rechazo (TABLA 2-B UNE-ISO 2859-1:2012): Para tamaño muestral n = 50 y NCA = 0,4 %, corresponde: Ac = 0, Re = 1.

f) La probabilidad de rechazar un lote es igual a:

0

1!

xAc

np

x

npP x Ac e

x

Por lo tanto necesitas conocer la proporción de elementos no conformes con las especificaciones Autoridad Europea de Seguridad Alimentaria. Un elemento producido responde a una distribución normal ,N es decir 23.083 , 2.508N . La

probabilidad de que una unidad cumpla con las especificaciones 1 LIT y LST es

igual a: 27 19

P LIT y LST

P y LST P y LIT

P y P y


27 22,957 19 22,95712,467 2,467

1 1,64 1,60

1 1,64 1 1,60

P Z P Z

P Z P Z

P Z P Z

Sustituyendo los valores obtenidos de una tabla de distribución normal N(0,1) 1 0,940620 1 0,9884490,105302

Resolviendo la primera ecuación:

050 0,105302

0

50 0,1053021 0,99483112

!

x

xP x Ac e

x

Se rechazaría un lote con una probabilidad del 99,48%

Solución P2 Apartados a) y b) 1. Modelo matemático La función modelo para determinar la coordenada X es la siguiente:

1 11 1 2 2

2 1 2

cos cos cos con 2X L L

Sustituyendo valores, se tiene:

1 1 2 1 23cos cos cos

2 2X L L

2. Contribución de varianzas Según la ley de propagación de varianzas, la expresión para la incertidumbre típica combinada cu y queda, teniendo en cuenta la posible correlación entre variables:

2

12 2

1 1 12 ,

N N N

c i i ji i j ii i j


Aplicando la anterior expresión para el caso de la coordenada X y en concreto a la variable de salida 1 2 1 2 , , , ,X f L L se tiene:

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2

1 11

2 ,

X X X X Xu X u L u L u u uL L

X X u u r


11

1 22

1 1 2 1 21

2 1 22

1 1 2 1 2

cos cos23cos cos2

3sin sin cos2 2

3sin cos2

3cos cos sin2 2

XLXL

X L L

X L

X L L

2.1 Incertidumbre de la longitud del brazo 1L , 1u L

De la calibración de la barra 1L se obtiene un valor más probable para 1L , de 450,0071 mm y una incertidumbre expandida de 3,7 m correspondiendo a una distribución normal y un nivel de cobertura del 95,45 %, es decir k = 2.

31 3

13,7 10 1,85 10 mm

2U L

u Lk

2.2 Incertidumbre de la longitud del brazo 2L , 2u L

De la calibración de la barra 2L se obtiene un valor más probable para 2L , de 599,9853 mm y una incertidumbre expandida de 8,4 m correspondiendo a una distribución t-student con 5 grados de libertad y un nivel de cobertura del 95,45 %, es decir k = 2.

32 3

25 8,4 10 5,42 10 mm

2 5 2 2ef

ef

U Lu L

k

2.3 Incertidumbre del ángulo 1 , 1u

Por los datos del enunciado se sabe que el ángulo 1 presenta un valor más probable de 37,092° igual a 0,64738 rad, y que responde a una distribución arcoseno de semi-amplitud 1,22·10-5 rad. Por lo tanto:

5

61

2 1,22 10 8,63 10 rad8 8

b au

2.4 Incertidumbre del ángulo 2 , 2u

Por los datos del enunciado se sabe que el ángulo 2 presenta un valor más probable de 151,983° igual a 2,65278 rad, y distribución rectangular de límites inexactos cuyos límites son respectivamente: 6 62,6528038 0,1 10 2,6527528 0,1 10 rad. Por lo

tanto:

22 2 625

2

0,1 102,6528038 2,65275281,47 10 rad

12 9 12 9b a du

2.5 Incertidumbre del ángulo , u

En primer lugar, se calcula la media de los valores obtenidos:

1

1 n

iin

donde es la media de las coordenadas i . Sustituyendo valores, se obtiene:

0,67120 rad

Se calcula ahora la desviación típica experimental S de los ángulos i utilizando:

2

1

11

n

ii

Sn

operando, se obtiene: -56,171 10 radS

La mejor estimación de -5

-56,171 10 2,760 10 rad5i

Sun

3. Cálculos Sustituyendo los valores obtenidos en los apartados 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y 2.5, se tiene:

1

2

3450,0071 cos 0,64738 599,9853 cos 0,64738 2,65278 cos 0,671202 2

286,711348 mm

cos 0,64738 cos 0,67120 0,47227 23cos 0,64738 2,65278 cos 0,67120 0,2

X

XLXL

1

2

12365

3450,0071 sin 0,64738 599,9853 sin 0,64738 2,65278 cos 0,671202 2

745,02936mm3599,9853 sin 0,64738 2,65278 cos 0,671202

463,93959mm

450,0071 cos

X

X

X

30,64738 599,9853 cos 0,64738 2,65278 sin 0,67120

2 2-227,70939mm

La incertidumbre típica combinada u X se calcula a partir la ley de propagación de

varianzas. Los términos individuales son agrupados y sustituidos en esta expresión, obteniéndose:

2 22 22 3 3

2 22 26 5

22 -5

6 5

0, 47227 1,85 10 mm 0,12365 5, 42 10 mm

745,02936mm 8,63 10 rad 463,93959mm 1,47 10 rad

-227,70939mm 2,760 10 rad

2 745,02936mm -227,70939mm 8,63 10 rad 1,47 10 rad 0,5

u X

2 5

7

9,8753 10 mmu X

es decir 9,937 mu X

4. Incertidumbre expandida Se desea obtener la incertidumbre expandida 95U X k u X que proporcione un

intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 95%. La distribución resultante puede suponerse normal, ya que la variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), caracterizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento (por ejemplo, normales, uniformes, etc.,) y además, las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables Se utilizará por tanto un valor 95 2k . 2 9,937 m 19,9 mU X

Apartado c) Para resolver el apartado c) será necesario analizar la expresión para la incertidumbre típica combinada:

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 2

1 11

2 ,

X X X X Xu X u L u L u u uL L

X X u u r

En especial el término de las covarianzas:

1 11

2 ,X X u u r

Analizando los valores que toman sus términos

6 52 745,02936mm -227,70939mm 8,63 10 rad 1,47 10 rad 0,57

Se observa que para obtener la menor incertidumbre expandida posible asociada al valor de la coordenada X, este término debe ser lo más pequeño posible y por lo tanto el coeficiente de correlación debe presentar un valor de 1, debido al signo negativo del coeficiente de sensibilidad asociado a .

METROLOGÍA Y CALIDAD -CONVOCATORIA DE ENERO - Prueba … · 2019. 2. 22. · U: Incertidumbre...

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