Metodos Numericos - Medio, Falsi, Newton

8/8/2019 Metodos Numericos - Medio, Falsi, Newton

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Aplicacin Iteracin Indefinida: DoDoLoopLoop

Mtodos para hallar races de funciones: Newton-Raphson Biseccin

Secante

Regla Falsa (Regula Falsi)

Algoritmos y programacin

Sem. II 2008Clase 3(II)


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Clase 63

Dada una funcin f: Df: D RR RR Se trata de hallar un valor {x{x00 D|f(xD|f(x00)= 0})= 0}

Es decir, encontrar las soluciones de la ecuacinf(xf(x) = 0) = 0

Este procedimiento ser ms o menos

complicado dependiendo de la expresinalgebraica de la funcin f(xf(x)).

Qu es la raz de una

funcin?


4/33Clase 64

Existen muchos mtodos para hallar races defunciones:

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodo de Biseccin

Mtodo de la Secante

Mtodo de la Regla Falsa (Regula Falsi)

Todos estos mtodos comparten las mismascaractersticas:

Cmo se encuentran races

de funciones?


5/33Clase 65

La bsqueda de la raz se inicia en: un intervalo conocido donde se

encuentre la raz o,

un punto inicial cercano a la raz.

La raz encontrada es una aproximacin

a la raz

Mtodos numricos para

encontrar races


6/33Clase 66

Encuentra la raz de una funcin dado unintervalo

Se basa en el

Teorema deTeorema de BolzanoBolzano:

Si f(xf(x)) es una funcin continua en el intervalo[a, b][a, b]

, y si, adems, en los extremos delintervalo la funcin f(xf(x)) toma valores de signoopuesto (f(af(a)*)*f(bf(b) < 0) < 0), entonces existe almenos un valor cc (a, b)(a, b) para el que secumple: f(cf(c) = 0) = 0.

Biseccin


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MMtodo de la Biseccitodo de la Biseccin:n:1. Establecer:

f(xf(x):): funcin a la cual se le busca una raz.

[a, b][a, b]: intervalo para iniciar la bsqueda > 0> 0 : margen de error2. Calcular:c = (a+b)/2c = (a+b)/2si |f(c|f(c)|


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MMtodo de la Biseccitodo de la BiseccinnYY

XX

Existe una raz en el intervalo [a, b][a, b] ya quef(af(a)*)*f(bf(b) < 0) < 0

y =y =f(xf(x))

aa

bb

f(f( ))


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YY

XX

y =y =f(xf(x))

aabb

cc

c = (a+b)/2.

Si f(c) = 0 entoncesc

es la raz,

de lo contrario,

si f(a)*f(c) < 0 entonces la raz se encuentra en el intervalo [a, c]si f(c)*f(b) < 0. entonces la raz se encuentra en el intervalo [c, b]

c =(a+b)/2

f(f( ))


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YY

XX

y =y =f(xf(x))

aabb

cc

Si f(c)*f(b) < 0 entonces

a

c

La raz se encuentraen [c, b]

:

f(c)*f(b)0

f(f( ))


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YY

XX

y =y =f(xf(x))

bbaa

c = (a+b)/2.

Si f(c) = 0 entoncesc

es la raz,

de lo contrario,

si f(a)*f(c) < 0 entonces la raz se encuentra en el intervalo [a, c]si f(c)*f(b) < 0. entonces la raz se encuentra en el intervalo [c, b]

c =(a+b)/2


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Clase 612

Hacer un programa en VB que permita obtener la razde la funcin por el Mtodo de la Biseccin:

604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

++

+=

xxxf

Ejemplo


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Clase 613

604.0)9.0(

101.0)3.0(

1)( 22 +

++

=xx

xf

Private Function F(XAs Double)As DoubleF = 1 / ((X - 0.3) ^ 2 + 0.01) + 1 / _

((X - 0.9) ^ 2 + 0.04) - 6End Function

1. Definicin de la funcin


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Clase 614

DimAAs Double, BAs Double, NAs Long

DimepsilonAs Double, XAs Double, CAs DoubleA = Val(Text1.Text): B = Val(Text2.Text)epsilon = Val(Text3.Text): N = 0Do

C = (A + B) / 2IfAbs(F(C)) < epsilon ThenX = C: Exit Do

ElseIf F(A) * F(C) < 0 ThenB = C

ElseA = C

End IfN = N + 1

Loop While (Abs(F(C)) >= epsilon)Text4.Text = C: Text5.Text = N

2. Algoritmo en basic


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Clase 615

3. Interfaz
http://../Diapositivas_2006/M%E9%B4%AFdo%20Biseccion.exehttp://../Diapositivas_2006/M%E9%B4%AFdo%20Biseccion.exe


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y =y =f(xf(x))

YY

XXXX11 XX00X0: Aproximacin

inicial

(0,F(X0))

X1: nuevaaproximacin



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)(

)(

0

001

Xf

XfXX =

y =y =f(xf(x))

YY

XX

La aproximacin X1

es la interseccin con el eje X de la lneatangente a la grfica de ff

en (X0

, f(X0

)):

XX11 XX00

X0: Aproximacininicial

(0,F(X0))

X1: nueva

aproximacin


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Clase 618

)()(

0

001

XfXfXX

)()(

1

112

XfXfXX

y =y =f(xf(x))

YY

XXXX11 XX00XX22

La aproximacin X2

es la interseccin con el eje X de la lnea tangente a la grficade ff

en (X1

, f(X1

))



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Clase 619

1,)(

)(

1

1

1

=

n

Xf

XfXX

n

n

nn

La anterior funcin corresponde a la interseccinde la recta tangente de f(xf(x)) en XX

nn--11

con el ejede las X.X.

Dicha interseccin, llamada XXnn, corresponde a

una aproximacin de la raz para la funcinf(xf(x)), cuando f(Xf(Xnn))==00 f(Xf(Xnn)) epsilonepsilon

Este mtodo no siempre es convergente.

Cul es la aproximacin de la

raz?


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Clase 620

El mtodo es atrapado por una raz imaginaria dela funcin f(xf(x)):

Cundo falla el mtodo de

Newton-Raphson?


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Clase 621

Cuando la raz es un Punto de Inflexin: ff(x)=0(x)=0


Newton-Raphson?


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Clase 622

El mtodo cae en un punto mximo mnimo (oen sus cercanas):


Newton-Raphson?


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Clase 623

f(xf(x):): funcin cuya raz se va a encontrar.

ff(x):(x): derivada de f(xf(x))

XX00

: punto de inicio partir del cual se va a iniciar el

proceso.2. Si f(Xf(X00)=0)=0 entonces la raz es XX00,

de lo contrario:

Calcule XX11

mediante la ecuacin:

haga XX00

igual a XX11..

3. Repetir el paso 2 hasta que |f(Xf(X00)|)| epsilonepsilon4. Mostrar XX00

)()(

0

001

XfXfXX

Algoritmo mtodo Newton-

Raphson


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Clase 624

Hacer un programa en VB que permita obtener la raz

de la funcin por el Mtodo de Newton-Raphson:

604.0)9.0(

1

01.0)3.0(

1)(

22

++

+=

xxxf

Ejemplo 2.


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Clase 625

604.0)9.0(

101.0)3.0(

1)( 22 +

++

=xx

xf

Private Function F(XAs Double)As DoubleF = 1 / ((X - 0.3) ^ 2 + 0.01) + 1 / _

((X - 0.9) ^ 2 + 0.04) - 6

End Function

2.1. Definir la funcin


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Clase 626

( ) ( )2222 04.0)9.0()9.0(2

01.0)3.0()3.0(2)(

+

+

=

xx

xxxf

Private Function DF(XAs Double)As DoubleDF = -2 * (X - 0.3) / ((X - 0.3) ^ 2 + _

0.01) ^ 2 - 2 * (X - 0.9) / _((X - 0.9) ^ 2 + 0.04) ^ 2

End Function

2.2. Definir una funcin para

la derivada

d d l d


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Clase 627

DimX0As Double, X1As Double, NAs IntegerDimepsilonAs DoubleX0 = Val(Text1.Text)epsilon = Val(Text2.Text)

N = 0Do

If (f(X0) = 0) Then Exit Do

X1 = X0 F(X0)/DF(X0)X0 = X1N = N + 1

Loop While(Abs(F(X0)) > epsilon)Text3.Text = X0

2.3. Cdigo en VB del mtodo

Newton-Raphson


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Clase 628

2.4. Interfaz grfica
http://../Diapositivas_2006/M%E9%B4%AFdo%20de%20Newton-Raphson.exehttp://../Diapositivas_2006/M%E9%B4%AFdo%20de%20Newton-Raphson.exe


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Clase 629

Investigar los mtodos de Secante yRegla Falsa

Hacer los algoritmos para los mtodos de

la Secante y la Regla Falsa

Implementar ambos algoritmos en VB en

el computador

Tareas


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Clase 630

Regla falsa

Modifica el mtodo de biseccin para acelerar laconvergencia.

Unir los dos puntos del intervalo que encierra laraz con una recta

La interseccin de esta recta con el eje x es una

aproximacin a la raz


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Clase 631

Secante

Parte de un intervalo [x0,x1] Estima la pendiente de la recta que une los

extremos del intervalo como:

f(x0)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0) Sustituye f(x0) en el mtodo de Newton para

calcular la nueva raz como:

Los dos ltimos puntos obtenidos x1, x2 seemplean en la iteracin siguiente.

)(

))((

01

01002

XXf

XXXfXX

=

MMtodo de la Regla falsatodo de la Regla falsa


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Clase 632

MMtodo de la Regla falsatodo de la Regla falsa1. Establecer:

f(xf(x):): funcin a la cual se le busca una raz.[a, b][a, b]: intervalo para iniciar la bsqueda

> 0> 0 : margen de error

2. inicializarq0=q0=f(af(a))

q1=q1=f(bf(b))

3. calcular:3. calcular:c = bc = b--(q1/(q1(q1/(q1--q0))*(bq0))*(b--a)a)

si |c|c--b|b|


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Regla falsaSub Regula_Falsi(ByVal a As Double, ByVal b As Double, ByValTol As Double, _ByVal N As Integer, ByRef Flag As Boolean,ByRef r As Double)

Dim q, q0, q1, p As Double

Dim i As Integer

i = 2q0 = f(a)q1 = f(b)Do While (i

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