MÉTODOS NUMÉRICOS I - catedras.facet.unt.edu.ar · unidad i: teorÍa de errores Para realizar el...

MÉTODOS NUMÉRICOS I(P10)

Programador UniversitarioLicenciatura en informática

FACET-UNT2017

DOCENTES

Prof. Patricia M. Fernandez([email protected])

Prof. M. Graciela Molina ([email protected])

P.U. Leonardo Albarracín ([email protected] )

MODALIDAD DE CURSADO

Clases presenciales:

Teo: Lunes de 17 a 19 hs - Lab BTP: Miércoles de 17 a 20 hs – Lab A

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prácticos (o las recuperaciones correspondientes) con nota >= 5.

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1. 80% de asistencia 2. 80% TPS aprobados3. Aprobar los parciales teórico-

prácticos con nota >= 7.

CONDICIONES PARA PROMOCIONAR

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

CONSULTAR BIBLIOGRAFIA !

“Métodos numéricos para ingenieros”, S.C. Chapray R.P. Canale, Mc Graw Hill 5ta Edición

“Análisis numérico”, R. L. Burden y J.D. Faires, Thomsom Learning, 7ma edición

En biblioteca de FACET se encuentran varios ejemplares de estos libros http://www1.herrera.unt.edu.ar/biblcet/

SOFTWARE PARA CÁLCULO NUMÉRICO

http://www.python.org.ar/

https://www.python.org/

PROGRAMA DE LA ASIGNATURAUNIDAD I: TEORÍA DE ERRORES Definiciones Fundamentales. Fuentes de error. Representación en punto flotante. Error de representación. Aritmética de números reales. Propagación del error. Estimación del error.UNIDAD II: SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES Métodos de intervalo: Bisección, Régula Falsi. Métodos abiertos: Secante, Newton Iteración de Punto Fijo. Análisis de la convergencia. Orden de Convergencia. Método D2 de Aitken . Método de Steffensen. Cálculo de ceros de polinomios: método de Newton, método de Muller. Cálculo de raicesmúltiples. UNIDAD III: SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción. Métodos directos. Métodos para matrices triangulares. Método de eliminación de Gauss. Descomposición LU. Estrategia de pivoteo y escalamiento. Cálculo de la inversa. Métodos para matrices especiales: Cholesky, Thomas. Análisis del error: concepto de norma, número de condición, cotas de error. Método de los residuos. Métodos Iterativos: Gauss Jacobi, Gauss Seidel. Análisis del error y de la convergencia. Método SOR.UNIDAD IV: INTERPOLACION Interpolación polinómica. Forma de Lagrange. Error en la aproximación. Forma de Newton. Diferencias divididas. Error del polinomio interpolante. Interpolación en puntos igualmente espaciados. Funciones splines. Análisis de cubic splines.UNIDAD V: INTEGRACION NUMERICA Fórmulas de integración de Newton Cotes: regla del rectángulo, del trapecio, de Simpson. Fórmulas compuestas. Análisis de los errores. Fórmulas de integración de orden superior. Extrapolación de Aitken. Método de integración de Romberg. Introducción al método de Cuadratura de Gauss. Cuadratura de Gauss Legendre. Estimación del error. Cálculo de integrales impropias.

INTRODUCCIÓN

¿Qué son los modelos?

¿Qué son los métodos

numéricos?

Animación que muestra la propagación de una CME. A la izquierda se puede ver la simulación resultante del SWMF. A la derecha se muestran imágenes reales

tomadas por el satelite SOHO ( Marzo 7, 2011).Creditos: NASA/CCMC/University of Michigan/Joy Ng

¿Para qué sirven?

CÁLCULO NUMÉRICO

Facit NTK (1954).

Cálculo NuméricoANTES

Cálculo NuméricoAHORA

MÉTODOS NUMÉRICOS

PROBLEMAMODELADO

SOLUCIÓN NUMÉRICA

Algoritmo(Método Numérico)

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA NUMERICAMENTE

1. Formulación del problema2. Elección del método3. Programación4. Análisis de los resultados

Definiciones Fundamentales. Fuentes de error. Representación en punto flotante. Error de representación. Aritmética de números reales. Propagación del error. Estimación del error.

UNIDAD I: TEORÍA DE ERRORES

UNIDAD I: TEORÍA DE ERRORES Para realizar el análisis de los resultados, medimos cuánto es el ERROR cometido durante el cálculo de la solución numérica

Sean y un número y su valor aproximado:x x

xxe −=

x

xxer

−=

100% rr ee =

Error absoluto

Error relativo (x≠0)

Error relativoporcentual

Ejemplo¿Cuál es error

porcentual cometido en esta

medición?


ε≤− xx

ε±= xx

Cota de error

Se quiere estimar 8 / 3

xreal = 8 / 3 = 2.666666…. xaprox = 2.66

Ea = | 2.666666… - 2.66 | = 0.006666… < 0.01

El error absoluto es menor que una centésima

Ejemplo


CLASIFICACION DE LOS ERRORES

1. Errores del modelo2. Errores de cálculo y programación3. Errores en los datos4. Errores por truncamiento5. Errores de redondeo

UNIDAD I: TEORÍA DE ERRORES 1. Errores del modelo

)()(

trPdt

tdP =

Ley de Malthus para dinámica poblacional

parámetro

población en el año t

Dado P(0)=P0 la solución es: rtePtP 0)( =

Pero …

NO ES EL MODELO ADECUADO!ERROR

HUMANO!


2. Errores de cálculo y programación

�La mayor parte de las equivocaciones se atribuyen a fallas humanas.

�Los buenos hábitos de programación son muy útiles para disminuir estas equivocaciones.

int i, j; int suma=0;int orden=50;for(i = 0; i < orden; i++) {

suma=suma+i; }

Ejemplo: sumar los 50 primeros números naturales

ERRORHUMANO!


3. Errores en los datos

Errores SistemáticosTienen aproximadamente el mismo tamaño y signo aunque se mida múltiples veces, es decir que la causa del error es una causa constante, y que son siempre por exceso o por defecto.Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición, etc.

Errores Aleatoriosaparecen como fluctuaciones al azar en los valores de medicionessucesivas.

Precisión y ExactitudUna medición es muy precisa cuando el instrumento que empleamos nos proporciona muchas cifras decimales, pero dicha medida puede no ser exacta, porque estemos cometiendo un error sistemático al usar dicho instrumento.Una medida para ser exacta debe ser precisa, pero no todas las medidas precisas son exactas.


3. Errores de cálculo y programación

a) Las marcas de los disparos están muy cerca unas de otras, por lo tanto los errores aleatorios son pequeños. Además la distribución de disparos está centrada en el blanco, entonces los errores sistemáticos también son pequeños.

b) Los errores aleatorios son todavía pequeños, pero los sistemáticos son mucho más grandes –los disparos están sistemáticamente corridos hacia la derecha.

c) En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistemáticos son pequeños –los disparos están muy dispersos, pero no están sistemáticamente corridos del centro del blanco.

d) Aquí ambos errores son grandes.ERROR

HUMANO!Y del instrumento


4. Errores por truncamiento

Se originan al sustituir procesos infinitos por procesos finitos

fórmula de Leibniz para el cálculo de π

∑∞

=

=+

−0 412

)1(

n

n

n

π

∑∞

=

−+−+−=+

−0 9

1

7

1

5

1

3

11

12

)1(

n

n

nL

ERRORASOCIADO AL

MÉTODO!


5. Errores de redondeo

Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Podemos distinguir dos tipos:

a) error de representación

b) error debido a los cálculos

ERROR ASOCIADO A LA COMPUTADORA

ERROR ASOCIADO A LAS OPERACIONES


5. Errores de redondeoa) error de representación

REPRESENTACION INTERNA

1. Punto fijo : Los números se representan con un númerofijo de cifras decimales. 6.358; 0.013

2. Punto flotante : Los números se representan con unnúmero fijo de dígitos significativas 0.636E01, 0.135E-01

Dígito Significativo: Dado un número x, es cualquier dígito, excepto los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimalEj. 1360, 1.360; 0.001360; tienen cuatro

dígitos significativos.



Representación en punto flotante :

Sea un número x, representado en punto flotante en una base b

et baaaaxsignox *)(.)( 321 K=

ai: dígitos en el sistema de base b, a1≠0 o ai=0 para todo i(mantisa normalizada)t : cantidad de dígitos de la mantisa (determina la precisión)e: exponente (determina el rango)



Representación en punto flotante :

Cuales de los siguientes números se encuentran normalizados? En que base? Que características tiene la mantisa en cada caso?

x1= 0.032*10-2

x2= 1.2*100

X3= -0.451*101

x4= 0.111*20



Representación en punto flotante :IEEE-754 (32 bits)Simple precisión

Signo1 bit

exponente8 bits

mantisa23 bits

Permite representar (equivalencias en base 10)



Representación en punto flotante :(64 bits)

Doble precisión

Signo1 bit

exponente11 bits

mantisa53 bits

Permite representar (equivalencias en base 10)



¿Qué ocurre si se necesita representar un número irracional?

π = 3.141596265358…

π = 0.3141596265358… x 10-1

Es necesario cortar el número

También puede ocurrir que haya números con representación exacta en una base pero no en otra3/5 = (0.6) 10Equivale a(.100110011001…)



¿Cómo es la distribución de los valores que se representan en una mantisa? Los valores de t, e y b determinan que valores reales sepueden representar exactamente en una computadora.Ej. b = 2, t = 3, e = 3



Un número x que no tiene representación exacta sedenomina fl(x). Se define

)1()( ε+= xxflError de redondeo

Los dos criterios más usados para calcular este valor son:

a) Redondeo : se elige como fl(x) el número de puntoflotante normalizado más cercano a x

tb −< 1

2

1ε

b) Corte : se elige como fl(x) el número de puntoflotante normalizado más cercano entre 0 y x

tb −≤ 1ε



Unidad de redondeo: Se define como el menor valor u tal que

1ˆ1 >+ u

Depende de las características de la mantisa de la máquina que utilicemos

Utilizando Python:


5. Errores de redondeob) error debido a los cálculos

Operaciones de punto flotante /̂,*̂,ˆ,ˆ −+)1)((ˆ ε+= yopxflypox

Error de redondeo acumulado : es la suma de todos los errores efectuados durante el cálculo

b=10, t=8a= 0.23371258 10-4

b= 0.33678429 102

c= -0.33678429 102

Calculemos a+b+c de dos maneras diferentes

Ejemplo:

31064137126.0)ˆ(ˆ −=++ cba 3106400000.0ˆ)ˆ( −=++ cba

310641371258.0 −=++ cba



Error de redondeo acumulado :

En resumen: Los resultados de las operaciones en lacomputadora tendrán en general errores debido a loserrores de los operandos y al redondeo o truncamientoque ocurre al efectuar estas operaciones

ESTABILIDADSi pequeños cambios en los datos producen pequeñoscambios en los resultados diremos que es estable , casocontrario es inestable, en algunos casos la estabilidaddepende del conjunto de datos, entonces se dice:condicionalmente estable



Error de significación :

Se produce por pérdida de cifras significativas.

Def: El número p* se aproxima a p en t cifras significativas de precisión si t es el mayor entero no negativo para el que:

txp

pp −<−

105*



Propagación del error (fórmula general) :

∑=

∆∂∂≤∆

n

ii

i

xxx

yy

1

)(


En la realidad durante los cálculos se presentan todos los tipos de errores!

Y hay que tenerlos en cuenta!

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