CAPITULO V Diferenciacin e Integracin. V.1. Introduccin. En los cursos de Clculo se estudian mtodos exactos para calcular derivadas e integrales. En algunas ocasiones estos mtodos resultan muy complicados, en otros casos no se tiene la funcin a derivar e integrar, sino una tabla de valores; para casos como estos, y en los que se requiere una gran exactitud, un mtodo de los que se estudiarn aqu resulta apropiado. Estos mtodos calculan las derivadas e integrales de manera aproximada por medio de procedimientos numricos alternos. V.2. Diferenciacin. Se abordar, primero, el tema relacionado con la diferenciacin y se estudiarn dos mtodos para derivar funciones. V.2.1. Derivacin por medio de lmites. Los mtodos de derivacin estudiados en cursos tradicionales de Clculo son, generalmente, apropiados para el clculo de los mismos; sin embargo, estos mtodos pueden resultar complicados en algunos casos de funciones muy especiales. Para tales casos, se tienen a la mano los siguientes Mtodos Numricos:

Mtodos Numricos

Por los cursos de Clculo se sabe que:

hxfhxfLimxf

h

)()()('0

+=

siendo ste un lmite en el que se manejan nmeros muy pequeos, se puede trabajar de la siguiente manera:

f(x) = [f(x+h) f(x)] k donde k = h-1 Se puede tomar h = 0.1n con n = 1, 2, 3, . . ., ya que h 0si n . Se toma, adems, el criterio de Cauchy como criterio de paro en el clculo de la integral. Para este mtodo se da a continuacin el algoritmo estructurado: Algoritmo Derivada: Definir f(x) Leer x, n = 1 da = 1 x 1010 Repetir

k = n1.01

d = [f(x + 0.1n) f(x)] * k delta = |da d| da = d n = n + 1 Hasta delta < Imprimir d Terminar Ejemplo: Calcular f(2.5) para f(x) = 3 x2 5 x + 6, con = 0.001

f(2.5) = 12.25

n h k x + h f(x) 1 0.1 10 2.6000 10.3000 - - - 2 0.12 100 2.5100 10.0300 0.2700 3 0.13 1000 2.5010 10.0030 0.0270 4 0.14 10000 2.5001 10.0003 0.0027 5 0.15 100000 2.5000 10.0000 0.0003

Como un segundo ejemplo, se presenta una derivada que no existe; as, se estudia el comportamiento del mtodo en casos como estos, los cuales no son poco comunes.

68

Mtodos Numricos

Ejemplo: Calcular f(1) para f(x) = 3 1x con = 0.001.

f(1) = 0

n h k x + h f(x) 1 0.1 10 1.1000 4.6416 - - - 2 0.12 100 1.0100 21.5443 16.9027 3 0.13 1000 1.0010 100.0000 78.4557 4 0.14 10000 1.0001 464.1588 - - -

El mtodo no converge; por lo tanto, la derivada pedida no existe. V.2.2. Derivacin por medio de diferencias finitas. Dada la funcin f(x) definida por:

x y x0 y0x1 y1x2 y2. . . . . . xn yn

de la interpolacin de Newton se sabe que:

...!4

)3)(2)(1(!3

)2)(1(!2

)1()( 04

03

02

00 +++++= ykkkkykkkykkykyxf es un polinomio de grano n+1 que pasa por todos los puntos. As, hallando la derivada de la frmula anterior, se halla la derivada para cualquier punto tabulado. Tomando en cuenta que: x = x0 + k h y por lo tanto: k h = x x0

se tiene: k = h

xx )( 0

y tambin. hh

xxdxd

dxdk 10 =

=

Ahora, derivando ambos miembros de la igualdad de la funcin de Newton con respecto a x, se tiene:

dxdkykkkykkyky

dkdxf

dxd

+++++= ...

!323

!2)( 0

323

02

2

00

69

Mtodos Numricos

Finalmente, se obtiene:

++++= ...!3

263!2

121)(' 03

2

02

0 ykkyky

hxf

La anterior es la frmula de derivacin de primer orden. Una forma alterna de calcular la derivada es calcular la funcin siguiendo el mtodo de Newton y derivando sta; as, sustituyendo se obtiene:

!))...()((...

!2))(()()( 0102

02

10000 nh

yxxxxxxh

yxxxxh

yxxyxf nn

n ++++= la cual es una funcin derivable. Ejemplo: Calcular f(x) para la tabla de valores dada:

xi yi yi 2 yi 3 yi 4 yi 5 yi1.0 0.7937 1.0901 0.6232 0.0563 0.0254 - 0.1212 1.5 1.8838 1.7133 0.6795 0.0817 - 0.0958 2.0 3.5971 2.3928 0.7912 - 0.0141 2.5 5.9899 3.1540 0.7471 3.0 9.1139 3.9011 3.5 13.0150

Sustituyendo en la frmula:

)1212.0(!45.0

)5.2)(2)(5.1)(1(

)0563.0(!35.0

)2)(5.1)(1()6232.0(!25.0

)5.1)(1()0901.1(5.0

)1(7937.0)(

4

32

+

+++=xxxx

xxxxxxxf

f(x) = 0.0751 x3 + 0.9085 x2 0.4476 x + 0.2578

Por lo tanto, la derivada es:

f(x) = 0.2253 x2 + 1.817 x 0.4476 Solo para efectos comparativos, se da una tabla con los valores calculados por medio de la funcin y los valores reales de la derivada:

70

Mtodos Numricos

x ycalculada yreal1 1.5947 1.5874

1.5 2.7848 2.7848 2 4.0876 4.0876

2.5 5.5030 5.5006 3 7.0311 7.0107

3.5 8.6718 8.6073 Esta forma alterna de trabajar las derivadas es muy apropiado si se pretenden encontrar derivadas de varios puntos; pero si se necesita un slo punto o dos, el proceso es muy complicado y resulta ms apropiado utilizar la frmula de derivacin de primer orden en lugar de esta forma alterna. Como nota final, obsrvese que la frmula tiene unos pocos sumandos; para tener una mejor aproximacin pueden calcularse algunos otros e incluso se puede derivar de nuevo esta frmula, tantas veces como sea necesario, para obtener derivadas de segundo orden y de orden superior en general. V.3. Integracin. La presente seccin presenta los mtodos utilizados para calcular las integrales por medio de los Mtodos Numricos. Se presentan tres de los mtodos ms utilizados. V.3.1. Integracin por el Mtodo del Trapecio. En los cursos de Clculo se define la integral de la siguiente manera:

=

=n

iii

b

ax

xfLimdxxf10

)()( esta definicin tiene un significado geomtrico segn se muestra en la Figura V.1: la integral es el rea debajo de la curva f(x) y es una sumatoria infinita si se toma en cuenta que x 0. Ahora, al trabajar la integral numricamente, para evitar tomar valores de i desconocidos, cuando se desean un nmero finito de sumandos y tratando de evitar lo ms posible el error, se pueden considerar trapecios en lugar de rectngulos, segn se muestra en la Figura V.2.

71

Mtodos Numricos

Figura V.1. Definicin de Integral.

Figura V.2. El mtodo del trapecio.

72

Mtodos Numricos

En la Figura V.2 se tiene:

B = f(xi+1) b = f(xi)

h = xi+1 xi As, se tiene:

)(2

)(2

)()()( 11

11

+++ +=+=+ iiiiii

x

x

yyhxxxfxfdxxfi

i

Para cubrir un intervalo [a, b], se divide ste en n subintervalos, los cuales deben cumplir con h = xi+1 xi y tambin con a = x1, x2, x3, . . ., xn = b. As:

++++=n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf1

4

3

3

2

2

1

)(...)()()()(

En la ecuacin anterior cada integral cumple con:

)(2

)( 11

++=+ iix

x

yyhdxxfi

i

Por lo tanto se tiene:

)(2

...)(2

)(2

)(2

)( 1433221 nnb

a

yyhyyhyyhyyhdxxf ++++++++= De manera resumida:

++= =

1

21 22

)(n

iin

b

a

yyyhdxxf

Este mtodo es conocido como el Mtodo del Trapecio y es una forma de aproximarse al valor de la integral. El valor calculado de la integral ser cercano al valor real como se requiera, dependiendo del nmero de subintervalos con el que se divida el intervalo dado; esto es, a mayor nmero de subintervalos, mayor aproximacin. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin dos algoritmos estructurados para ste mtodo; el primero asume el conocimiento dela funcin a integrar y el segundo trabaja con una tabla de valores.

73

Mtodos Numricos

Algoritmo Trapecio: Algoritmo Trapecio: Definir f(x) Leer n, h Leer a, b, n Para i = 1 hasta n h = (b a)/(n 1) Leer yi x = a fin_para i = 1 rea = y1 + yn Repetir Para i = 2 hasta n 1 yi = f(x) rea = rea + 2 * yi i = i + 1 fin_para x = x + h rea = rea * h/2 Hasta x > b Imprimir rea rea = y1 + yn Terminar Para i = 2 hasta n 1 rea = rea + 2 * yi fin_para

rea = rea * h/2 Imprimir rea

Terminar Ejemplo: Calcular la integral pedida, trabajando con seis intervalos:

+3

0216 x

dx

Para trabajar con seis subintervalos se tiene:

h = 5.06

)03()( ==n

ab

As, se genera una tabla de la siguiente manera:

x y m y * m 0.0 0.0625 1 0.0625 0.5 0.0615 2 0.1230 1.0 0.0588 2 0.1176 1.5 0.0548 2 0.1096 2.0 0.0500 2 0.1006 2.5 0.0449 2 0.0898 3.0 0.0400 1 0.0400

= 0.6425

74

Mtodos Numricos

La integral, por lo tanto, es:

160625.0)6425.0(25.0

16

3

02 ==+ xdx

Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera: ( a ) Las dos primeras columnas son los valores de x y f(x), respectivamente.

( b ) La tercera columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores y 2 para los intermedios.

( c ) La cuarta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( d ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y dividiendo entre 2.

V.3.2. Integracin por el Mtodo de Simpson. Una forma ms exacta de calcular la integral es haciendo pasar una parbola, en lugar de una recta, pero entre tres puntos consecutivos de la funcin. Esto se muestra en la Figura V.3. La funcin f(x) tiene la forma a x2 + b x + c y por lo tanto se tiene:

Figura V.3. Mtodo de Simpson 1/3

75

Mtodos Numricos

2222

23)()()(

232

++++

+++=++== i

i

i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x

x

x

dcxbxaxdxcbxaxdxxfdxxf

=

+++

+++ +++ dcxbxaxdcxbxax iiiiii 2323

23

2

22

32

= ( ) ( ) ( )iiiii xxcxxbxxa ++ +++ 222 233 21 23

= ( )( ) ( )( ) ( )iiiiiiiiiiii xxcxxxxbxxxxxxa +++++ ++++++ 222222 22 23

= ( ) ( ) ( )( )cxxbxxxxaxx iiiiiiii 6326 2222 22 +++++ ++++

Teniendo en cuenta que:

yi = a xi2 + b xi +c yi+1 = a xi+12 + b xi+1 +c yi+2 = a xi+22 + b xi+2 +c

xi+1 xi = h xi+2 xi = 2h

Se obtiene:

( )cbxbxaxxaxaxhdxxf iiiiiixx

i

i

6332226

2)( 22

22

2

2

+++++= ++++

= [ ] [ ]( )cbxbxaxxaxaxcbxaxcbxaxh iiiiiiiiii 42223 2222 222 22 +++++++++++ +++++

= ( ) ( )( )cxxbxxxxayyh iiiiiiii 4223 2222 22 +++++++ ++++

= ( ) ( )( )cxxbxxayyh iiiiii 423 2222 ++++++ +++

= ( ) ( )

++++++ +++ cxxbxxayyh iiiiii 2222 2443

76

Mtodos Numricos

=

+

++

+++ +++ cxxbxxayyh iiiiii 2243

22

22

= ( )( )cbxaxyyh iiii ++++ +++ 12 12 43

= ( )2143 ++ ++ iii yyyh

Para el rea desde x0 hasta xn:

++++=n

n

n x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf2

6

4

4

2

2

00

)(...)()()()(

= ( ) ( ) ( ) ( )nnn yyyhyyyhyyyhyyyh ++++++++++++ 12654432210 43...434343

= ( )nnn yyyyyyyyyyh ++++++++++ 126543210 42...2424243 As:

+++= =

=

2,2

2

2,1

10 243

)(0

n

ii

n

iin

x

x

yyyyhdxxfn

Este mtodo es conocido como Mtodo de Simpson de 1/3 y es aplicable slo cuando n es par (nmero par de reas). De manera similar al mtodo anterior, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados. Algoritmo Simpson 1/3: Algoritmo Simpson 1/3: Definir f(x) Leer n, h Leer a, b, n Para i = 1 hasta n h = (b a)/(n 1) Leer yi x = a fin_para i = 1 rea = y1 + yn Repetir Para i = 2 hasta n 1 yi = f(x) Si i mod 2 = 0 i = i + 1 entonces rea = rea + 4 * yi x = x + h si_no rea = rea + 2 * yi Hasta x > b fin_si rea = y1 + yn fin_para

77

Mtodos Numricos

Para i = 2 hasta n 1 rea = rea * h/3 Si i mod 2 = 0 Imprimir rea

entonces rea = rea + 4 * yi Terminar si_no rea = rea + 2 * yi fin_si fin_para

rea = rea * h/3 Imprimir rea

Terminar Ejemplo: Calcular por Simpson 1/3, la integral para los valores dados:

i x y m y * m 0 0.000 1.0000 1 1.0000 1 0.125 1.0156 4 4.0624 2 0.250 1.0625 2 2.1250 3 0.375 1.1406 4 4.5624 4 0.500 1.2500 2 2.5000 5 0.625 1.3906 4 5.5624 6 0.750 1.5625 2 3.1250 7 0.875 1.7656 4 7.0624 8 1.000 2.0000 1 2.0000 = 31.9996

NOTA: Observe la tabla de valores y la ausencia de la funcin. Si se tiene la tabla, la

funcin es irrelevante. La integral por lo tanto, es:

3333.1)9996.31(3125.0)(

1

0

== dxxf Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:

( a ) La primera columna es la de los subndices de x para determinar el factor que le corresponde.

( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente. ( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en

particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores, 4 para los subndices impares y 2 para los pares.

( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y dividiendo entre 3.

78

Mtodos Numricos

Para hacer an ms exacta la integral, tmense ahora, cuatro puntos y psese una cbica a travs de ellos, segn la Figura V.4.

Figura V.4. Mtodo de Simpson 3/8.

3333

234)()()(

23423

++++

++++=+++== i

i

i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x

x

x

edxcxbxaxdxdcxbxaxdxxfdxxf

Teniendo en cuenta que:

yi = a xi3+ b xi2+c xi + d yi+1 = a xi+13+ b xi+12+c xi+1 + d yi+2 = a xi+23+ b xi+22+c xi+2 + d yi+3 = a xi+33 + b xi+32 + c xi+3 + d

xi+1 xi = h xi+2 xi = 2h xi+3 xi = 3h

De manera similar al Mtodo de Simpson de 1/3 obtiene:

( )321 3383)(

3

+++ +++=+ iiiix

x

yyyyhdxxfi

i

79

Mtodos Numricos

En el rea desde x0 hasta xn:

++++=n

n

n x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf3

9

6

6

3

3

00

)(...)()()()(

( ) ( ) ( )( )nnnn yyyyh

yyyyhyyyyhyyyyh

++++

++++++++++++=

123

987665433210

338

3

...338

3338

3338

3

= ( )nnnn yyyyyyyyyyyh +++++++++++ 1236543210 332...23323383

As:

( +++= jinxx

yyyyhdxxfn

3283)( 0

0

) con i = mltiplos de 3; j = resto de ordenadas. Este mtodo es conocido como Mtodo de Simpson de 3/8 y es aplicable slo cuando n es mltiplo de 3, lo cual asegura que se tiene un mltiplo de 3 como nmero de reas. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados. Algoritmo Simpson 3/8: Algoritmo Simpson 3/8: Definir f(x) Leer n, h Leer a, b, n Para i = 1 hasta n h = (b a)/(n 1) Leer yi x = a fin_para i = 1 rea = y1 + yn Repetir Para i = 2 hasta n 1 yi = f(x) Si (I 1) mod 3 = 0 i = i + 1 entonces rea = rea + 2 * yi x = x + h si_no rea = rea + 3 * yi Hasta x > b fin_si rea = y1 + yn fin_para Para i = 2 hasta n 1 rea = 3 * rea * h/8 Si (i 1) mod 3 = 0 Imprimir rea

entonces rea = rea + 2 * yi Terminar si_no rea = rea + 3 * yi fin_si

80

Mtodos Numricos

fin_para rea = 3 * rea * h/8 Imprimir rea

Terminar Ejemplo: Calcular por Simpson 3/8, la integral para los valores dados:

i X y m y * m 0 2 6 1 6 1 4 4 3 12 2 6 2 3 6 3 8 1 2 2 4 10 2 3 6 5 12 6 3 18 6 14 14 1 14 = 64

La integral por lo tanto, es:

48)64(8

)2(3)(14

2

== dxxf Para facilitar el clculo de la integral, se genera la tabla de la siguiente manera:

( a ) La primera columna es la de los subndices de x para determinar el factor que le corresponde.

( b ) Las dos siguientes columnas son los valores de x y f(x), respectivamente. ( c ) La cuarta columna es un factor que multiplica a f(x); en este mtodo en

particular, el factor es 1 para el primero y ltimo valores, 2 para los subndices mltiplos de 3 y 3 para el resto de las ordenadas.

( d ) La quinta columna es el resultado de las multiplicaciones. Esta columna requiere ser sumada.

( e ) La integral se calcula multiplicando la suma obtenida de la tabla por el valor de h y por 3 y dividiendo entre 8.

V.3.3. Integracin por el Mtodo de los Coeficientes Indeterminados. Haciendo una inspeccin en los mtodos anteriores, se puede determinar que el clculo de la integral de una funcin se resume a evaluar una ecuacin como la siguiente:

=

n

iii yAI

0

en donde los coeficientes Ai varan segn el mtodo utilizado.

81

Mtodos Numricos

El mtodo conocido como Coeficientes Indeterminados intenta calcular la integral a partir de la frmula anterior asumiendo que cada funcin a integrar tienen sus particulares valores de Ai. Para derivar este mtodo, sea E el error de clculo dado de la siguiente manera:

= ba

IdxxfE )(

Se puede demostrar que E = 0 para funciones polinomiales de grado n; por lo tanto, dicho error tambin ser cero para polinomios de grado menor a n. Esto significa que E es igual a cero para:

f(x) = 1, x, x2, x3, . . ., xn Para cada una de las funciones anteriores se tienen las siguientes relaciones: Para f(x) = 1:

n

b

a

AAAAdx ++++= ...210 Para f(x) = x:

nn

b

a

xAxAxAxAxdx ++++= ...221100 Para f(x) = x2:

2222

211

200

2 ... nnb

a

xAxAxAxAdxx ++++= Para f(x) = x3:

3322

311

300

3 ... nnb

a

xAxAxAxAdxx ++++= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para f(x) = xn:

nnn

nnnb

a

n xAxAxAxAdxx ++++= ...221100

82

Mtodos Numricos

Por otro lado, los trminos independientes de estas frmulas estn dados por:

11

111

+=

+=+++ n abnxdxx

nnb

a

nb

a

n

De lo anterior, para calcular los valores de los coeficientes, se requiere solucionar el siguiente sistema:

abAAAA n =++++ ...210

2...

22

221100abxAxAxAxA nn

=++++

3...

3322

22211

200

abxAxAxAxA nn=++++

. . . . . . . . . . . . . . .

1...

11

221100 +=++++

++

nabxAxAxAxA

nnnnn

nnn

Este mtodo es conocido como Mtodo de Coeficientes Indeterminados y es exacto cuando la integral a calcular es un polinomio. De manera similar a los mtodos anteriores, se presentan a continuacin sus dos algoritmos estructurados. Algoritmo Coeficientes: Algoritmo Coeficientes: Definir f(x) Leer n Leer a, b, n Para i = 1 hasta n h = (b a)/(n 1) Leer xi, yi x = a fin_para i = 1 Para i = 1 hasta n Repetir Para j = 1 hasta n yi = f(x) aij = xji-1 i = i + 1 fin_para x = x + h ai,n+1 = (xni x0i)/i Hasta x > b fin_para Para i = 1 hasta n Gauss (aij) Para j = 1 hasta n suma = 0 aij = xji-1 Para i = 1 hasta n

fin_para suma = suma + ai,n+1 * yi ai,n+1 = (xni x0i)/i fin_para fin_para Imprimir suma Gauss (aij) Terminar

83

Mtodos Numricos

suma = 0 Para i = 1 hasta n suma = suma + ai,n+1 * yi fin_para

Imprimir suma Terminar Ejemplo: Calcular por Coeficientes Indeterminados la integral pedida, tomando cuatro puntos intermedios:

+3

03 1xxdx

La tabla de valores es:

i x y 1 0 1.0000 2 1 1.0000 3 2 0.5228 4 3 0.3420

El sistema de ecuaciones:

A0 + A1 + A2 + A3 = 3.00 0 + A1 + 2 A2 + 3 A3 = 4.50 0 + A1 + 4 A2 + 9 A3 = 9.00

0 + A1 + 8 A2 + 27 A3 = 20.25 La solucin del sistema por algn mtodo conocido.

A0 = 0.375 A1 = 1.125 A2 = 1.125 A3 = 0.375

La integral, por lo tanto es:

+3

03 1xx

dx = (0.375)(1) + (1.125)(1) + (1.125)(0.5228) + (0.375)(0.342) = 2.2164

84

Para i = 2 hasta n 1fin_pararea = rea * h/2Imprimir reaPara i = 2 hasta n 1 rea = rea * h/3fin_pararea = rea * h/3Imprimir reaPara i = 2 hasta n 1 rea = 3 * rea * h/8fin_pararea = 3 * rea * h/8Imprimir reaPara j = 1 hasta n suma = 0fin_paraImprimir suma