Métodos matemáticos Cálculo vectorial
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1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial
2. Funciones vectoriales de varias variables
3. Diferenciación parcial
4. El gradiente, la divergencia y el rotacional
5. Integración múltiple
6. Integral de línea
7. Integral de superficie
8. El teorema de la divergencia
9. El teorema de Stokes
10. Otros teoremas integrales
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1.Los conceptos de escalar, de vector y sus operaciones
2.Entender las funciones vectoriales de un vector
3.Los diferentes conceptos de derivadas de campos escalares y vectoriales
4.El concepto de gradiente, de divergencia y de rotacional. Sus significados físicos.
5.Entender y saber hacer integrales múltiples, integrales de línea e integrales de superficie
6.Conocer, entender y saber aplicar los diferentes teoremas integrales
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1. Álgebra elemental
2. Trigonometría
3. Geometría analítica plana y del espacio
4. Calculo elemental
5. Álgebra lineal
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:f D R R
x
y f x
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:
Derivadas:
Integrales:
n
n
x
a
f D R R
d f
dx
f x dx
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En este curso un
ESCALAR
será cualquier número real
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En este curso un ESCALAR será cualquier número real
Ejemplos de cantidades escalares:• La temperatura• La corriente eléctrica• La presión• El volumen• La cantidad de carga• La masa• La energía
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1 2
Es un conjunto ordenado de cantidades:
, ,...,
Los vectores son los elementos del
espacio euclidiano
n
n
n
a a a
R
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1 2
En este curso usaremos la definición más lim
Es un conjunto ordenado de cantidades:
, ,
itada
y tradicional de un "objeto" que pos
...,
Son los ele
ee
magnitud, dir
mentos de
ección y sentido
n
n
n
a a a
R
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A los vectores los representaremos por
flechas en el espacio.
Pensaremos en el vector como la flecha misma
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1 2 3
-La posición de un objeto en movimiento
-Una fuerza
-El momento angular
-El campo electromagnético
Un vector es una cantidad que tienemagnitud, dirección y sentido.Es un ente con 3 componentes:
, ,a a a
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El valor absoluto o magnitud de un vector es
su longitud, su tamaño.
Si el vector es , su magnitud se representa
como
ó
A
A A
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Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1
es unitario si 1
A los vectores unitarios los denotaremos
con un acento circunflejo ó "gorrito":
ˆ
a a
a
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Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0
es cero si 0
Lo denotaremos como 0
a a
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a
b
a b
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a
b
a b
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1) Es conmutativa:
2) Es asociativa:
Así que podemos poner
a b b a
a b c a b c
a b c
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Se define
donde tiene la misma magnitud que ,
y la misma dirección, pero sentido inverso.
a b a b
b b
a
b
a b
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a
b
a b
a b
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El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,
y el sentido es el de si >0
y el inverso que si 0
a
a
a
a
a
a
a a
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Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto escalar (interno ó punto)
como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
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Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
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cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
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1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
a a b b
b a
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2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
a a b b
b a
a b a a a a
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2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
3) El producto escalar es conmutativo
a a b b
b a
a b a a a a
a b b a
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2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
3) El producto escalar es conmutativo
4) El producto
a a b b
b a
a b a a a a
a b b a
escalar es distributivo respecto a la suma
a b c a b a c
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Si el producto escalar, cos ,
de dos vectores es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),
es decir, 90 / 2 ó
Si dos vecto
3 / 2
r
70
a b a b
es son ortogonales, entonces su
producto escalar es cero
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a b
a b
sina b a b
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Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto vectorial o cruz, de la
siguiente manera:
a b
1) sina b a b
2) Su dirección es perpendicular al plano formado
por los vectores y a b
3) El sentido del vector está definido por el avance
de un tornillo que va de a (por la regla de la
mano derecha)
a b
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a b
a b
sina b a b
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a b
a b
sin es el área
de este paralelogramo
a b a b
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1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:
2) El producto vectorial es distributivo respecto
a la suma
3) Para todo vector 0
a b c a b a c
a a
a b b a
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Si el producto vectorial de dos vectores
sin
es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son paralelos
es de
Si dos vectores son paralelos, entonce
cir, 0 0 ó 18
s su
0
a b a b
producto vectorial es cero
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Denotaremos como
ˆˆ ˆ, ,
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
, ,
Así un punto estará representado por el
vector
ˆˆ ˆ
i j k
X Y Z
P
r xi yj zk
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X
Y
Z
i
j
k
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ˆ ˆLos vectores 0
ˆˆbase cartesianos 0
ˆ ˆson ortogonales entre si 0
ˆ ˆLos vectores 1
base
i j
j k
k i
i i
ˆ ˆ cartesianos 1
ˆ ˆson unitarios 1
j j
k k
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Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "der
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h ":
ˆ
ec a
i k
k
k i
j i
j
j
X
Y
Z
i
j
k
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Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "derecha"
Trivialmente se cumple también,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0
:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
i j k
j k i
i i j j k k
k i j
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X
Y
Z
i
j
k
x
y
z
, ,P x y z
ˆˆ ˆr xi yj zk
r
![Page 46: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/46.jpg)
1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k
1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k
1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b
2 2 21 2 33) a a a a
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1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y
4)
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
a a i a j a k b b i b j b k
i j k
a b a a a
b b b
a b a b i a b a b j a b a b k
![Page 48: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/48.jpg)
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En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable.Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables.Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.Por motivos metodológicos las podemos dividir como:
• Funciones vectoriales• Funciones escalares de un vector o campos escalares• Funciones vectoriales de un vector o campos
vectoriales
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: nV R R
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3
1 2 3
1 2 3
:
ˆˆ ˆ
, ,
El vector es una función
V R R
V t V t i V t j V t k
V t V t V t V t
![Page 52: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/52.jpg)
3:V R R
X
Y
Z
V t
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2
1 2
1 2
:
ˆ ˆ
,
V R R
V t V t i V t j
V t V t V t
1V t
3V t
2V t
X
Y
![Page 54: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/54.jpg)
3
1 2 3
1 2 3
:
ˆˆ ˆ
, ,
Cada una de las componentes de la función es una
función real de una variable real
: 1,2,3
y por lo tanto vale todo lo del cálculo elementali
V R R
V t V t i V t j V t k
V t V t V t V t
V t D R R i
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31 2 3
1 2 3
: , ,
es continua si y sólo si las tres
funciones
, y
son contínuas
V R R V t V t V t V t
V t
V t V t V t
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3
0 0
:
lim limt t
V R R
dV t V t t V t V
dt t t
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3
0 0
1 2 3
:
lim lim
ˆˆ ˆ
t t
V R R
dV t V t t V t V
dt t t
dV t dV dV dVi j k
dt dt dt dt
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3
2
:
sin , , t
V R R
V t t t t t e
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3
2
:
sin , ,
1 sin cos ,2 ,
t
t
V R R
V t t t t t e
dV t t t t edt
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3
2
2
2
2cos sin
:
sin , ,
1 sin cos ,2 ,
,2,
t
t
t
V R R
V t t t t t e
dVt t
d Vt t t e
dt
t t edt
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3
3
3
2
2
2
3sin
:
sin , ,
1 sin cos ,2 ,
2cos sin ,2,
cos ,0,
t
t
t
t
V R R
V t t t t t e
dVt t t t e
dt
d
d Vt t t e
dt
Vt t t e
dt
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3
2
2 1
1
:
sin , ,
1 sin cos ,2 ,
1 1 sin1,1 , 1.84,1.00,0.37
1 1 sin1 cos1,2, 2.38,2.00, 0.37
t
t
V R R
V t t t t t e
dVt t t t e
dt
V t e
dVt e
dt
![Page 63: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/63.jpg)
2
sin cos , cos tV t t t t t te
1.5, 1.5t
2
sin cos , cos tV t t t t t te
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t tt Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
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, V tV t
t
t t
t
Vt
![Page 82: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/82.jpg)
0 0
lim limt t
dV t V t t V t V
dt t t
V t t
V t X
Y
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3:V R R
X
Y
Z
dV
dt
La derivada en un punto nos da un vector
tangente a la curva en dicho punto
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3
1 2 3
1 2 3
:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆn n n n
n n n n
V R R
dV t dV dV dVi j k
dt dt dt dt
d V t d V d V d Vi j k
dt dt dt dt
![Page 85: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/85.jpg)
d U V dU dV
dt dt dt
d V d dVV
dt dt dt
d U V dU dVV U
dt dt dt
d U V dU dVV U
dt dt dt
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: nR R
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:
A cada elemento de ,
es decir, a cada vector,
se le asocia un número real,
n
n
R R
R
x x
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3
:
A cada elemento de , es decir, a cada vector,
se le asocia un número real
En el caso de 2, podemos "dibujar" la gráfica,
Gráf
,
ica , , ,
n
n
R R
R
x x
n
x R x y x y
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2
3
: , 1
Gráfica , ,1
R R x x y x y
x R x y x y
Gráfica
x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
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2 2 2
2 2
: , 1
Gráfica , , 1
f f x y z x y
x y z z x y
R R
Gráfica
x Y f(x,y)=1-x2-y2
0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40
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2:
, 1 sin cos
Gráfica , , 1 sin cos
x y z x y
x y z z x y
R R
Gráfica
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2
En este caso también se pueden
graficar las curvas de nivel, es
decir, las curvas que se obtienen
haciendo
,
siendo una consta
:
nte arbitraria
x y c
c
R R
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2: , 1
1
x y z x y
x y c
R R
2 2 2
2 2
: , 1
1
f f x y z x y
x y c
R R
2: , 1 sin cos
1 sin cos
x y z x y
x y c
R R
![Page 94: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/94.jpg)
3
1
2
2 33
: 1,2,3
, ,
, , sin cos sin
, ,
i R R i
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
![Page 95: Métodos matemáticos Cálculo vectorial](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061422/56814efd550346895dbc8cc0/html5/thumbnails/95.jpg)
3
En estos casos se puede "pintar" la gráfica
de la función, ya que queda en 4 dimensiones.
Se pueden graficar las curvas de nivel, es decir,
las superficies que se obtienen hacie
no
ndo
siendo
:
, ,
R R
x y z c
una constante arbitrariac
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32 2 2
2 2 2
1: , ,
Las superficies de nivel son aquellas dadas
por
1, , constante
En este caso, es obvio que son esferas
R R x y zx y z
x y zx y z