Metodología Simplex Max

8/18/2019 Metodología Simplex Max

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|Metodología Simplex

Ejemplo: Caso de maximización. Resolver el problema de programación Lineal:

MaxZ =10 X

1+12 X

2

Sujeto a restricciones:

4 X 1+3 X

2≤3.6 (1

X 1+ X

2=1 (!

2 X 1+3 X

2≥2.4 ("

Paso 1. Convertir las desigualdades de las restricciones en igualdades# incorporando de

variables de $olgura (variables de excedentes o %icticias# se agregara un coe%iciente cu&o

valor se determinara seg'n la tabla:

Entonces dic$a restricción uedara de la siguiente manera:

(1 4 X 1+3 X 2+ H 1=3.6

(! X 1+ X 2+ F 1=1

(" 2 X 1+3 X 2− H 2+ F 2=2.4

Tipo de Resistencia Coeficiente

de la

variable de

holgura

Coeficiente de

la variable

artificial

Menoro igualque(≤) )1 *

Mayor o igual que (≥) +1 )1

Igualdad(¿) * )1

Aproximadamente igual )1 & +1 *


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Paso . ,ncluir las variables de $olguras & arti%iciales en la ecuación de la %unción objetivo

con un coe%iciente ue ser- cero en el caso de las variables de $olgura & para lasarti%iciales donde # se supone ue es una valor mu& grande ue no necesariamente debe

ser conocido &a ue con el m/todo se eliminara dic$a variable.

La %unción objetivo ser-:

MaxZ =10

X 1+12

X 2+0

H 1+0

H 2− MF 1− MF 2

se agrega con signo negativo por tratarse de un problema de maximización# para casos

de minimización# la ser- positiva.

Paso !. 0ormar la primera tabla# para esto:

a" Expresar las ecuaciones de las restricciones en %unción de sus coe%icientes# delmodo siguiente:

X 1

X 2

H 1

H 2

F 1

F 2

". 2 " 1 * * *

1 1 1 * * 1 *

!.2 ! " * +1 * 1

Columna de Cuerpo 3arte

Constantes identidad

3ag"!+""++++++++

3ag "2+"4

3ara el segundo renglón# si se le resta el renglón clave# dar- un cero en el respectivo

elemento de la columna clave# esto es:

1 1 1 * * 1 1

# (*.5 *.6 1 * +*.""" * *."""

*.! *.""" * * *.""" 1 +*."""

7$ora se pasa al renglón 8ndice# primero en su parte num/rica# donde se observa ue si a

este se le suma 1! veces el renglón clave# dar- un cero en el elemento correspondiente a la

columna clave# o sea:

* +1* +1! * * * *

)1! (*.5 *.6 1 * +*.""" * *."""

9. +! $ * +2 1 2


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0inalmente se va a la parte del renglón 8ndice# a la cual se le suma el renglón clave

multiplicado por 2# con esto se obtendr-:

+" +2 * 1 * *

)2 (*.6 1 * +*.""" * *."""+*.""" * $ +*.""" * 1."""

Con estos cambios# la tabla simplex completa para esta iteración es:

10 12 0 0 -MX1 X2 H1 H2 F1

0 H1 1.2 2 0 1 1 0-M F1 0.2 0.333 0 0 0.333 112 X2 0.8 0.667 1 0 -0.333 0

9.6 -2 0 0 -4 0-0.333 0 0 -0.333 0

7u8 &a se $a eliminado de la tabla 0!# como se comentó en el inciso e de la p-gina

anterior.

Esta nueva aproximación es:

Variables básicas Variables no básicasH1=1.2 H2=0F1=0.2 X1=0X2=0.8 F2=0Z=9.6

Si se compara esta solución con la anterior en cuanto a las variables no b-sicas# ! & ;1

permanece sin cambio & solo ;! $a pasado a ser b-sica en lugar de 0!.

Esta solución es mejor ue la anterior# pero aun no es lo óptimo# &a ue sigue $abiendo

n'meros negativos en el renglón 8ndice# por lo ue se proseguir- con la metodolog8a.

Paso %. Repetir el paso 2 $asta encontrar el óptimo# ue se obtiene cuando &a no existen

n'meros negativos en ninguna de las partes del renglón 8ndice# o bien detener el

procedimiento si el problema no tiene solución.

a


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12 X2 0.8 0.667 1 0 -0.333 09.6 -2 0 0 -4 0

-0.333 0 0 -0.333 0

b) e!er"inar el ren#l$n cla%e& 'ara es!o se ob!ienen los cocien!es (e los!res 'ri"eros ren#lones

Primer renglón Cociente = 1.2/2 = 0.6Segundo renglón *ocien!e = 0.2 +0.333 = 0.6Tercer renglón *ocien!e = 0.8+0.667 = 1.2

,/ eis!e n e"'a!e en!re el 'ri"ero el se#n(o ren#l$n 'ara serno"ina(os co"o ren#l$n cla%e& 'or !an!o se selecciona no al aar. n es!ecaso se !o"a el se#n(o 'ara e la %ariable F1 (ee (e ser básica& con es!o la!abla e(ara (e la si#ien!e 5or"a

10 12 0 0 -MX1 X2 H1 H2 F10 H1 1.2 2 0 1 1 0-M F1 0.2 0.333 0 0 0.333 112 X2 0.8 0.667 1 0 -0.333 0

9.6 -2 0 0 -4 0-0.333 0 0 -0.333 0

c) l n"ero cla%e es 0.333& e e(a incli(o en el ren#l$n la col"nacla%e.

() ara acer el n"ero cla%e ni(a(& se (i%i(e el ren#l$n ca%e en!re0.333& con es!o ss ele"en!os serán

0.6 1 0 0 1 3

e) ,l acer el ca"bio (e %ariable& X1 en!rara a la ona (e solci$n sal(ráF1& al salir es!a& es 'osible eli"inarla (e la !abla& con lo cal seob!en(rá

10 12 0 0X1 X2 H1 H2

0 H1 1.2 2 0 1 1-M X1 0.2 0.333 0 0 0.33312 X2 0.8 0.667 1 0 -0.333

9.6 -2 0 0 -4-0.333 0 0 -0.333


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5) enerar ceros en el res!o (e los ele"en!os (e la col"na cla%e. ara elloel 'ri"er ren#l$n se le res!a el ren#l$n cal%e !ri'lica(o 'or 2& en!onces

1.2 2 0 1 1

-2 :0.6 1 0 0 1)0 0 0 1 1

,l !ercer ren#l$n se le res!a el se#n(o ren#l$n "l!i'lica(o 'or 0.667&en!onces

0.8 0.667 1 0 -0.333-0.667 :0.6 1 0 0 1)

0.4 0 1 0 -1

ara la 'ar!e n";rica (el ren#l$n /n(ice& se le s"a el ren#l$n cla%e

"l!i'lica(o 'or 2& se ob!iene

9.6 -2 0 0 -4


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X2=0.4Z=10.8

s!a solci$n es "eor e la an!erior.,ora la 're#n!a es >?a es el o'!i"o@& a/ a (esa'areci(o la 'ar!e M(el ren#l$n /n(ice& 'ero e(a la 'ar!e n";rica (e es!e& en el cal

'e(e obser%arse e an a n n"ero ne#a!i%o& 'or lo e lares'es!a a la 're#n!a an!erior es ne#a!i%a (ebe irse a o!ra i!eraci$nre'i!ien(o el 'aso 4.

a) e!er"inar la col"na cla%e& en es!e caso será H2& 'es es la nicae !iene n n"ero ne#a!i%o en el ren#l$n /n(ice.

b) l ren#l$n cla%e será X1& a e es el nico e !iene (eno"ina(or'osi!i%o (i5eren!e (e cero& con lo cal la !abla será

10 12 0 0X1 X2 H1 H2

0 H1 0 0 0 1 -110 X1 0.6 1 0 0 112 X2 0.4 0 1 0 -1

10.8 0 0 0 -2

c) ,/ el ren#l$n cla%e e(ara co"o es!a& 'es el n"ero cla%e es lani(a(& 'or !an!o se o"i!e el inciso ( 'e(e 'asar al e

e) ,l acer el ca"bio (e %ariables& sal(rá X1& (e la ona (e solci$n en!rara H2 & con es!o el ren#l$n cal%e co"'le!o será

0 H2 0.6 1 0 0 1

5) ,ora se #eneran los ceros en los ele"en!os res!an!es (e la col"nacla%e. ,l 'ri"er ren#lon se le s"a (irec!a"en!e el ren#l$n cla%e

0 0 0 1 -1


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3ag "

7l reglón 8ndice se le suma el reglón clave multiplicado por !:

& 1$.' $ $ $ #(*. 1 * * 1

1! ! * * $

Con estos cambios la tabla simplex ueda de la siguiente manera:

1$ 1 $ $

X 1

X 2

H 1

H 2

$ H 1

*. 1 * 1 *

$ H 2

*. 1 * * 1

1 X 2

1 1 1 * *

1! ! * * *

Esta opción &a es la óptima# al no $aber n'meros negativos en el reglón 8ndice# & la solución es:

variables básicas variables no b ásicas

H 1=0.6 X

1=0

H 2=0.6

X 2=1

Z =12

>na representación gr-%ica del ejemplo# en la ue se observan las rectas correspondientes a

las restricciones# as8 como los puntos tomados como aproximaciones llamados v/rtices (?.La zona %actible de solución es la l8nea recta de la ecuación ! en el tramo comprendido

entre ?2 & ?"# pues es la 'nica parte ue cumple con las tres restricciones.


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V4

V2

V1

c.aci$n 1

c.aci$n 3

c.aci$n 2

V

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