Método Simplex. Variables de holgura: Siempre positivas, hacen que una restricción que sea desigualdad se transforme en igualdad, y sus coeficientes en la función objetivo son ceros. Variables ficticias o artificiales: Sirven para hallar fácilmente una solución básica inicial, sus coeficientes en la función objetivo son w si es minimización o -w si es maximización; w es un número mucho mayor que todos los participantes. Luego de sumar las variables de holgura y/o artificiales necesarias para convertir las desigualdades en igualdades y para obtener los vectores unitarios (de la matriz identidad) para la base inicial se procede a ordenar los datos en una tabla Simples; después se prueba la solución para ver si es óptima, si no es óptima se realiza el siguiente procedimiento:

- Se calculan los valores de zj multiplicando los coeficientes de la base por cada columna, uno a uno, y sumando esos resultados.

- Luego se calculan los valores de zj - cj; si es minimización el valor más grande de zj - cj designa a la columna clave, y si es maximización el valor más pequeño de zj - cj designa a la columna clave.

- Se calculan las razones entre la cantidad solución y sus correspondientes de la columna clave, para los valores positivos de la cantidad solución; el valor mínimo de estas razones designa a la fila clave.

- El elemento que se encuentra en la intersección de la columna clave con la fila clave se llama pivote.

- El vector de la fila clave se reemplaza por el de la columna clave en la base, luego se transforma la matriz ampliada (A | B) para que el pivote sea igual a 1 y los demás elementos de ese vector sean ceros; y se ordenan nuevamente estos datos en una tabla Simples.

La solución óptima se reconoce cuando la cantidad solución tiene sólo cantidades no negativas; si es minimización los valores de zj - cj son todos no positivos, y si es maximización los valores de zj - cj son todos no negativos.

Ejemplo 1

Minimizar C = 2x1 + 10x2sujeta a 2x1 + x2 ≤ 6

5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

En este caso son necesarias dos variables de holgura, x3 y x4, al agregarlas el problema queda: Minimizar C = 2x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4sujeta a 2x1 + x2 + x3 = 6

5x1 + 4x2 - x4 = 20 x1, x2 ≥ 0

La matriz ampliada (A, B) queda ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=20104560112

, BA

Es necesario agregar la variable artificial x5 para obtener lo siguiente: Minimizar C = 2x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4 + wx5sujeta a 2x1 + x2 + x3 = 6

5x1 + 4x2 - x4 + wx5 = 20 x1, x2 ≥ 0 P1 P2 P3 P4 P5

Se tiene la matriz ampliada , luego la base inicial es {P( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=2011045600112

, BA 3, P5}.

Tabla Simplex N°1 Cj 2 10 0 0 w Base P1 P2 P3 P4 P5 Cantidad solución0 P3 2 1 1 0 0 6 w P5 5 4 0 -1 1 20 Zj 5w 4w 0 -w w 20w Zj - Cj 5w - 2 4w - 10 0 -w 0

Base inicial {P3, P5} Solución inicial {(6, 20)} Zj - Cj máximo = 5w – 2, por lo que entra P1 a la base

Mínimo ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

420,

26 =

26 , luego sale P3 de la base

Pivote = 2 Calculando las nuevas entradas de la tabla Simplex:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5112/52/30

3002/12/1~

5-20110453002/12/1

~1/2

201104560011 112

Tabla Simplex N°2 Cj 2 10 0 0 w Base P1 P2 P3 P4 P5 Cantidad solución2 P1 1 1/2 1/2 0 0 3 w P5 0 3/2 -5/2 -1 1 5 Zj 2 1 + (3/2)w 1 – 5/2(w) -w w 6 + 5w Zj - Cj 0 -9 + (3/2)w 1 – 5/2(w) -w 0

Nueva base {P1, P5} Solución {(3, 5)} Zj - Cj máximo = -9 + (3/2)w, por lo que entra P2 a la base

Mínimo ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2/35,

2/13 =

2/35 , luego sale P5 de la base

Pivote = 3/2 Calculando las nuevas entradas de la tabla Simplex:

( ) ( ) ~1/2-3/103/23/23/50

3002/12/11~

2/35112/503002/12/11

12/3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−3/103/23/22/503/43/13/13/401

1

Tabla Simplex N°3 Cj 2 10 0 0 w Base P1 P2 P3 P4 P5 Cantidad solución2 P1 1 0 4/3 1/3 -1/3 4/3 10 P2 0 1 -5/3 -2/3 2/3 10/3 Zj 2 10 -14 -6 6 36 Zj - Cj 0 0 -14 -6 6 - w

Por lo tanto la solución óptima con base {P1, P2} es {(4/3, 10/3)} y el valor mínimo de C es 36.

Ejemplo 2

Maximizar Z = 45x1 + 55x2sujeta a 3x1 + 2x2 ≤ 60

3x1 + 10x2 ≤ 180 x1, x2 ≥ 0 En este caso son necesarias dos variables de holgura, x3 y x4, al agregarlas el problema queda: Maximizar Z = 45x1 + 55x2 + 0x3 + 0x4sujeta a 3x1 + 2x2 + x3 = 60

3x1 + 10x2 + x4 = 180 x1, x2 ≥ 0 P1 P2 P3 P4

La matriz ampliada (A, B) queda , luego la base inicial es {P( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

18010103600123

, BA 3, P4}.

Tabla Simplex N°1 Cj 45 55 0 0 Base P1 P2 P3 P4 Cantidad solución0 P3 3 2 1 0 60 0 P4 3 10 0 1 180 Zj 0 0 0 0 0 Zj - Cj -45 -55 0 0

Base inicial {P3, P4} Solución inicial {(60, 180)} Zj - Cj mínimo = -55, por lo que entra P2 a la base

Mínimo ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

10180,

260 =

10180 , luego sale P4 de la base

Pivote = 10 Calculando las nuevas entradas de la tabla Simplex:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1810/1010/3245/1105/12

~2-1810/1010/3

600123~

1/10180103600123

1110

Tabla Simplex N°2 Cj 45 55 0 0 Base P1 P2 P3 P4 Cantidad solución0 P3 12/5 0 1 -1/5 24 55 P2 3/10 1 0 1/10 18 Zj 33/2 55 0 11/2 990 Zj - Cj -67/2 0 0 11/2

Nueva base {P3, P2} Solución {(24, 18)} Zj - Cj mínimo = -67/2, por lo que entra P1 a la base

Mínimo ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

10/318,

5/1224 =

5/1224 , luego sale P3 de la base

Pivote = 12/5 Calculando las nuevas entradas de la tabla Simplex:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −158/18/1101012/112/50

~3/10-

1810/10110/31012/112/50

~5/12

1810/10110/3245/110 115/12

Tabla Simplex N°3 Cj 45 55 0 0 Base P1 P2 P3 P4 Cantidad solución

45 P1 1 0 5/12 -1/12 10 55 P2 0 1 -1/8 1/8 15 Zj 45 55 95/8 25/8 1275 Zj - Cj 0 0 95/8 25/8

Por lo tanto la solución óptima con base {P1, P2} es {(10, 15)} y el valor máximo de Z es 1275.