MÉTODO DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO

• La mayor parte de los PE se resuelve en la práctica mediante la técnica de ramificación y acotamiento. Este método encuentra la solución óptima de un PE mediante la enumeración exhaustiva de los puntos en una región factible de un subproblema

• Este método empieza con la solución de la relajación del PL del PE. Si todas las variables de decisión asumen valores enteros en la solución óptima de la relajación del PL, entonces la solución óptima de la relajación del PL será la solución óptima del PE. A este se le llama SUBPROBLEMA 1 DE LA RELAJACIÓN DEL PL.

• VEAMOS UN EJEMPLO

La Telfa Corporation fabrica mesas y sillas. Una mesa requiere 1 hora de mano de obra y 9 pies de tablón de madera, en tanto que para una silla se necesita 1 hora de mano de obra y 5 pies de tablón de madera. En la actualidad La Telfacorporation cuenta con la disposición de 6 horas de mano de obra y 45 pies de tablón de madera. Cada mesa contribuye con 8 dólares a las utilidades y cada silla con 5 dólares. Formule y resuelva un PE para maximizar las utilidades de la TELFA CORPORATION , además encuentre la solución óptima mediante la técnica de ramificación y acotamiento.

Solución:

x1= # de mesas fabricadas

X2=# de sillas fabricadas

Puesto que x1 y x2, deben ser enteros, La Telfa debe resolver el PE siguiente:

MAZ Z = 8X1 + 5X2

sa: x1 + x2 ≤ 6

9x1 + 5x2 ≤ 45

x1,x2 ≥ 0; x1,x2 enteros

La solución óptima de la relajación del PL es Z = (165/4), X1=(15/4), (X2=9/4) Infortunadamente la solución óptima no es entera ninguna de las dos variables.

Se sabe que:

Valor óptimo Valor Z óptimo para

de Z para PE ≤ la relajación del PL

Por lo tanto el valor óptimo de Z para la relajación del PL es un LÍMITE O ACOTAMIENTO SUPERIOR para las utilidades de La Telfa

El paso siguiente es dividir la región factible de la relajación del PL en un intento por investigar mas acerca de la ubicación de la solución óptima del PE. Se elige una variable no entera de forma arbitraria en la solución óptima de la relajación del PL

Por ejemplo x1, (de x1= 3.75, x2=2.25 ) y cómo x1 debe ser entera, observe que todos los puntos para la región factible para el PE deben tener :

x1 ≤ 3 y x1 ≥ 4,

Sin perder de vista lo anterior se “ramifica” sobre la variable x1, y se originan los dos subproblemas adicionales siguientes que salen del SUBPROBLEMA1 de la relajación del PL

SUBPROBLEMA2 = SUBPROBLEMA1 + RESTRICCIÓN X1 ≥ 4

SUBPROBLEMA3= SUBPROBLEMA1 + RESTRICCIÓN X1 ≤ 3

Elegimos arbitrariamente el SUBPROBLEMA2 para resolverlo

Subproblema 1

Z= 165/4

X1= 15/4

X2=9/4

Subproblema 2

Z= 41

X1= 4

X2=9/5

Subproblema 3

La solución óptima para el SUBPROBLEMA2, no dio una solución de puros enteros, por eso se escoge el SUBPROBLEMA2 para crear dos nuevos subproblemas, se elige una variable de valor fraccionario en la solución óptima del SUBPROBLEMA2 y luego se ramifica sobre esa variable.

Como x2 es la única variable fraccionaria en la solución óptima del SUBPROBLEMA2, se ramifica sobre x2, se divide la región factible del SUBPROBLEMA2 en aquellos puntos que tienen :

x2 ≤ 1 y x2 ≥ 2 Así se originan los dos problemas siguientes:

SUBPROBLEMA4= (SUBPROBLEMA1 +RESTRICCIÓN X1≥ 4) y X2 ≥ 2

SUBPROBLEMA5= (SUBPROBLEMA1 +RESTRICCIÓN X1≥ 4) y X2 ≤ 1

En la gráfica se muestran las regiones factibles para los SUBPROBLEMA4 y 5, que además del SUBPROBLEMA3 aún faltan por resolver.Se escoge resolver arbitrariamente el SUBPROBLEMA4 que con X2 ≥ 2 resulta no factible por eso se le pone una “x” junto a ella

Subproblema 1

Z=165/4

X1=15/4

X2=9/4

SUBPROBLEMA 2

Z=41

X1=4

X2=9/5

Subproblema 3

Subproble-ma 4 NO

FACTIBLE

Subpro-blema 5

Solo faltan resolver los SUBPROLEMA3 y 5.

Se escoge ahora, Arbitrariamente, resolver el SUBPROBLEMA5, entonces en este SUBPROBLEMA5

para x2= 1, ------> x1= 40/9= 4.44

Punto I= (x1,x2) = ( 4.44, 1)

Con Z= 365/9

Esta solución del SUPROBLEMA5 no da mayor información así que se elige dividir la región factible del SUBPROBLEMA5 mediante la ramificación de la variable no entera es decir x1

De esta manera se originan dos subproblemas mas :

SUBPROBLEMA6 = SUBPROBLEMA5 + restricción x1 ≥ 5

SUBPROBLEMA7 = SUBPROBLEMA5 + restricción x1 ≤ 4, Arbitrariamente SUBPROBLEMA7,

Subproblema7Z= 37X1=4X2=1

SOLUCIÓN PROBABLE

Ahora escogemos arbitrariamente el SUBPROBLEMA6, teniendo el cuenta el gráfico anterior tenemos, que su Z = 40 sobrepasó al del SUBPROGRAMA7 que era una solución probable, por esto el SUBPROGRAMA7 no puede dar una solución óptima de PE por lo que descarta y sigue en carrera como SOLUCIÓN PROBABLE el SUBPROBLEMA6 ya que todas sus variables de decisión tiene valores enteros como se aprecia en el gráfico

Subproblema6Z=40X1=5X2=0

SOLUCION PROBABLE

Subproblema7Z=37X1=4X2=1

SOLUCION PROBABLE

Finalmente trabajamos con el SUBPROBLEMA3 que dejamos

SUBPROBLE3

Z=39X1=3X2=3

Subproblema6

Z=40X1=5X2=0

SOLUCIÓN PROBABLE

En el gráfico se puede observar que el SUBPROBLEMA3 en su zona factible tiene la siguiente solución óptima para el PE z= 39, x1=x2=3 y no puede generar una solución óptima ya que no puede generar un Z que pueda exceder el acotamiento inferior actual que es de 40, por eso no puede generar la solución óptima para el PE original por la tanto se coloca una x junto a el.

Sin mas subproblemas que resolver y que solo el subproblema 6 es la que puede generar una solución óptima para el PE original, por lo tanto la solución óptima para el PE de Telfa es, manufacturar :

X1= # de mesas = 5 und.

X2= # de sillas = 0 und.

Esta solución contribuye con 40 dólares a las utilidades.

Ejemplo 2

X1= 3.75, x2= 1.25Z= 23.75

X1 + X2 = 5

10X1 + 6X2 = 45