metodo raices

Lugar de las raíces


Los polos de lazo abierto de un sistema representan características propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.


57s

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)

57s4

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

1

2

3

4

5

6From: U(1)

To: Y

(1)

1.4

5.6

57s2

1s

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: U(1)

To: Y

(1)

Respuesta

No cambia el tiempo de respuesta, solo la amplitud.

El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinámica.

1.4

0.7

Sistema de primer orden ante una entrada escalón:


Por otra parteLos polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema.

Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado

¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado

Entonces:• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de

salida sin alterar su naturaleza.• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables)

utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple ganancia.

veamos un ejemplo…


Sea el sistema de lazo cerrado

)7( ssK

+-

Polos de lazo abierto:

7,0 ss

)(sC)(sREn lazo cerrado

KssK

sRsC

)7()()(

La ecuación característica es

072 Kss

)(sB

En lazo abierto

)7()()(

ssK

sEsB

Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado (p.l.c)

Ks 25.125.312

y dependen del valor de K


Para diferentes valores de K:

K cerradolazodepolos

5707.35.3 js 5707.35.3 js 25

8541.6s 1459.0s1

5.3s 5.3s25.12

5s10 2s

5.14 5.15.3 js 5.15.3 js

25.112 105.3 js 105.3 js

1.0 98568.6s 014314.0s

Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente


1.0K

25.112K

La ubicación de estas raíces en el plano s

Saltar gráficas


1.07

1.0)()(

2

sssRsC

clp .. 014314.02 s98568.61 s


17

1)()(

2

sssRsC

clp .. 01459.02 s8541.61 s


107

10)()(

2

sssRsC

clp .. 22 s51 s


25.127

25.12)()(

2

sssRsC

clp .. 5.32 s5.31 s


257

25)()(

2

sssRsC

clp .. 5707.35.32 js 5707.35.31 js


25.1127

25.112)()(

2

sssRsC

clp .. 105.32 js 105.31 js


Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:

Variando el valor de la ganancia K, se tiene acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (región verde-azul).

Otro valor fuera de esa región, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K


El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s):

Definición:

Condición de ángulo y magnitud

La ecuación característica0)()(1 sHsG 1)()( sHsG

por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:

1)()( sHsG ,...2,1,0,360180)()( kksHsG

Condición de magnitud Condición de ángulo

Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.


Retomando el ejemplo anterior con 25.112K

j10j

10j

1A2A

)7(25.112

)(

ss

sG clp .. 105.32 js 105.31 js

1)(21

AA

KsG

1)7(

25.112

105.3

jsss7

Condición de magnitud

alp ..

alp ..

... clp

... clp Cumple con la condición de magnitud


360180)(sG

21)( sG

Condición de ángulo

j10j

10j

12

7

alp ..

alp ..

... clp

... clp

105.3

90 11 tg

5.3101

2 tg

180)(sG

Cumple con la condición de ángulolugar de las raíces

Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.

Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud y de ángulo.


Reglas de construcción para el lugar de las raíces

Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de

1.- Puntos de origen (k = 0)

Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

)5)(4()()(

sssK

sHsG

polos finitos .5,4,0 sss

ceros finitos hayno Gráfica

2.- Puntos terminales (k = )

Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.


3.- Número de ramas separadas

P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.

ZPN

303 NRamas separadas

4.- Asíntotas del lugar de las raíces

Njo

j)12(180

j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1

.2,1,0,3 jN

603

1801

o

1803

)3(1802

o

3003

)5(1802

o


5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.

N GH(s) de ceros de raícesGH(s) de polos de raíces

1

33

)0()540(1

Gráfica

6.- Lugar de las raíces sobre el eje real

Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar.


7.- Ángulos de salida y llegada

El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:

)12(180)( jsGH ozp

En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.

180540 1800180 4

05

04

punto de prueba


8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario

Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .js K

s j

0209)()(1 23 KssssHsG

0)(20)(9)( 23 Kjjj

0209 23 Kjj

1j

se separan las parte real e imaginaria

09 2 K 0203 jj

0203 jj

20180K


9.- Puntos de separación Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:

0dsdK

ticacaracterísecuaciónladedespejaseK

sssK 209 23

020183 2 ssdsdK

020183 2 ss

4724.1s5275.4s


10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces

1)()( sHsG

Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.


Paso 1

Paso 2hayno

Paso 3

Paso 4

3N

601 1802 602

Paso 5

31 Paso 6

Inicio

3


3

Paso 7

1800 041805

Paso 8

20180K

20j

20j

Paso 9

4724.1s

Este es el lugar de las raíces del sistema.


Configuraciones típicas del lugar de las raíces

))(()()(

bsassK

sHsG

)54)(52()()(

22

ssss

KsHsG


)134(

)1()()(

2 ss

sKsHsG

)134)(1()()(

2

sss

KsHsG

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