método para el dimensionamiento de pilas esbeltas en puentes
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
Grupo de Hormigón Estructural
MÉTODO PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE PILAS
ESBELTAS EN PUENTES
TRABAJO FIN DE MÁSTER
Autor: Luis Carlos Handal Rivera
Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Tutor: Hugo Corres Peiretti
Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Año Académico 2013/2014
RESUMEN
En la actualidad los métodos simplificados para el dimensionamiento de pilas esbeltas en puentes
propuestos por la normativa, EHE-08[3], Eurocódigo [7] y el Model Code[8], dan a lugar dimensionamientos
muy por del lado de la seguridad, produciendo esto un desperdicio de acero y muchas veces dificultades
constructivas al tener cuantías muy elevadas en las secciones de las pilas. Estos métodos proponen de una
manera simplificada adoptar la pila como un elemento aislado, y mediante métodos de magnificación de
momentos estimar los esfuerzos de segundo orden.
El presente trabajo analiza la importancia de considerar la aportación que tiene la vinculación de las pilas
con el resto de la estructura, los efectos que produce son muy importantes y es recomendable que no
queden desapercibidos.
Se aborda también la importancia de un buen entendimiento del funcionamiento del puente para
proyectar, ya que muchas veces se cuenta con información importante que no es aprovechada por el
proyectista para que, en lugar de solucionar problemas, se logre evitarlos mediante un desarrollo del
proyecto que los tome en cuenta.
El método propuesto se desarrolla teniendo en cuenta de una manera simplificada la no linealidad mecánica
y la no linealidad geométrica además de tener en cuenta la vinculación con el tablero y los efectos que este
produce sobre el comportamiento de las pilas.
Al partir de un análisis global de la estructura se elimina la necesidad de asemejar el soporte a un soporte
biarticulado equivalente y la comprobación de la esbeltez límite del elemento ya que esto se está tomando
en consideración al incluir todas las variables que afectan el comportamiento de las pilas.
Los problemas de inestabilidad presente en las pilas esbeltas supone tener en cuenta la no linealidad
geométrica, el efecto de las deformaciones en el equilibrio, y la no linealidad mecánica, la cual considera
una pérdida de rigidez por el comportamiento no lineal de los materiales involucrados en las pilas y tablero.
Se parte de un análisis lineal de la estructura para lograr un buen entendimiento del comportamiento global
de la misma, con estos resultados se hace una estimación de una rigidez equivalente desarrollada en el
apartado 5.3 del presente documento, la no linealidad geométrica que afecta a las pilas se considera a través
de la incorporación de la matriz geométrica a la matriz de rigidez global de la estructura.
Mediante una serie de ejemplos se da a conocer los resultados de la aplicación del método que con su
aplicación reduce significativamente las cuantías de armadura en las pilas conservando siempre un factor
de seguridad adecuado para el proyecto.
Con este trabajo se consigue demostrar que la interacción entre las pilas y el resto de elementos presentes
en el puente tiene una gran importancia, demostrando también la dificultad de representar
simplificadamente esta interacción.
El procedimiento que se aporta es ingenieril y requiere sobre todo el buen entendimiento de un modelo
elástico lineal para analizar el comportamiento y proyectar en consecuencia.
AGRADECIMIENTOS
Primeramente Gracias a Dios por ser guía y sustento en mi vida y a Jesús por habernos hecho más grande
demostración de amor, por eso y mucho más es mi ejemplo a seguir.
A mis padres y abuelos, sin su dedicación, amor, paciencia y determinación ningún logro en mi vida se pudo
haber llevado a cabo.
A todos los que de una forma u otra contribuyeron con esta investigación, haciendo muy especial mención
a mi tutor de trabajo Hugo Corres, que gracias a su apoyo, interés, horas de dedicación y aportación de ideas
se pudo llevar a cabo esta investigación. Con agradecimientos especiales también a Freddy Ariñez,
compañero del laboratorio por su apoyo y ayuda a lo largo del desarrollo del trabajo.
I
ÍNDICE
1 INTRODUCCIÓN _______________________________________________________ 1
2 OBJETIVOS ____________________________________________________________ 2
3 SÍMBOLOS ____________________________________________________________ 2
4 INTRODUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO DE PILAS ESBELTAS DE PUENTES __ 2
4.1 Pandeo Euleriano __________________________________________________________ 2
4.2 Comportamiento de Soportes Esbeltos de Hormigón __________________________ 4
4.3 Dimensionamiento de Soportes Esbeltos de Hormigón __________________________ 5 4.3.1 Determinación de la Longitud de Pandeo ______________________________________________ 5 4.3.2 Límites de Esbeltez ______________________________________________________________ 6 4.3.3 Fórmulas Simplificadas de la EHE-08 __________________________________________________ 7 4.3.4 Fórmulas Simplificadas de Dimensionamiento del Eurocódigo ______________________________ 7 4.3.5 Columna Modelo _______________________________________________________________ 9
4.4 Métodos de Análisis Global de la Estructura __________________________________ 10 4.4.1 Análisis Global de la No Linealidad Geométrica. Método de la Matriz Geométrica ______________ 10 4.4.2 Análisis Global No Lineal Geométrico y Mecánico de la Estructura __________________________ 16
5 PROCEDIMIENTO PROPUESTO _________________________________________ 20
5.1 Diagrama de Flujo del Procedimiento Propuesto ______________________________ 21
5.2 Principios Generales del Análisis No Lineal Geométrico y Mecánico Propuesto ____ 22
5.3 Definición de la Rigidez Equivalente _________________________________________ 23
6 APLICACIÓN DEL MÉTODO ____________________________________________ 29
6.1 Ejemplo 1 _______________________________________________________________ 32
6.2 Ejemplo 2 ______________________________________________________________ 69
6.3 Ejemplo 3 ______________________________________________________________ 87
6.4 Ejemplo 4 ______________________________________________________________ 108
6.5 Ejemplo 5 ______________________________________________________________ 139
7 CONCLUSIONES _____________________________________________________ 167
8 PROPUESTAS DE TRABAJO FUTUROS __________________________________ 168
9 BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 169
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 4-1 Formas de Pandeo ___________________________________________________________________ 3 Figura 4-2 Hipérbola de Euler __________________________________________________________________ 4 Figura 4-3 Soporte Biarticulado _________________________________________________________________ 5 Figura 4-4 Longitud Equivalente _________________________________________________________________ 5
II
Figura 4-5 Directriz geométrica_________________________________________________________________ 10 Figura 4-6 Acción sobre pieza deformada _________________________________________________________ 11 Figura 4-7 Esquema de carga __________________________________________________________________ 11 Figura 4-8 Ecuación Constitutiva del Hormigón _____________________________________________________ 17 Figura 4-9 Ecuación Constitutiva del Acero ________________________________________________________ 18 Figura 4-10 Pilar Aislado _____________________________________________________________________ 18 Figura 4-11 Comparación Columna Modelo ________________________________________________________ 19 Figura 5-1 Diagrama de Flujo del procedimiento propuesto _____________________________________________ 21 Figura 5-2 Diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más débil, con distintos axiles ____ 24 Figura 5-3 Diagrama momento curvatura de una sección circular con distintos axiles __________________________ 25 Figura 5-4 Definición de las deformaciones máximas de rotura de los materiales constitutivos de una sección de hormigón
armado. Diagrama de pivotes. _________________________________________________________________ 26 Figura 5-5 Ecuación constitutiva del hormigón en compresión ___________________________________________ 26 Figura 5-6 Ecuación constitutiva del acero. _________________________________________________________ 26 Figura 5-7 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Circular ________ 28 Figura 5-8 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Rectangular _____ 29 Figura 6-1 Ecuación constitutiva del hormigón empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico. _____ 31 Figura 6-2 Ecuación constitutiva del acero empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico. ________ 32 Figura 6-3 Planta y Alzado del puente del ejemplo 1 __________________________________________________ 33 Figura 6-4 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 1 ___________________________________________________ 34 Figura 6-5 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 1 ______________________________________________________ 34 Figura 6-6 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1
de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ___________________________________________________ 38 Figura 6-7 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el
dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta
por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ______________________________ 39 Figura 6-8 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y
no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________________ 42 Figura 6-9 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no
líneal y no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________ 43 Figura 6-10 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y
diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 44 Figura 6-11 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos
realizados: lineal , pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 45 Figura 6-12 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos
realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 45 Figura 6-13 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 47 Figura 6-14 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 48 Figura 6-15 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el
método no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________49 Figura 6-16 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________________________ 50 Figura 6-17 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ______________________ 51 Figura 6-18 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, con distintas
rigideces a torsión del tablero consideradas. ________________________________________________________ 52 Figura 6-19 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía
preliminar de dimensionamiento, para las distintas rigideces a torsión consideradas. __________________________ 53 Figura 6-20 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para las distintas rigideces a torsión
consideradas. ______________________________________________________________________________ 54
III
Figura 6-21 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de interacción de
dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión consideradas. _______ 56 Figura 6-22 Momentos horizontales y torsores en el tablero para los distintos tipos de cálculos realizados y rigideces a
torsión estudiadas. a) calculo lineal. b) pseudo no lineal. c) no lineal mecánico y geométrico. _____________________ 58 Figura 6-23 Diagrama de interacción de la sección de la pila 2 de 8,00 m con las ecuaciones constitutivas con y sin
coeficientes de minoración. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos
realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y para las distintas rigideces a torsión estudiadas. _ 60 Figura 6-24 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión
estudiadas. _______________________________________________________________________________ 61 Figura 6-25 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, para el tablero
apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ______________________________________ 62 Figura 6-26 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía
preliminar de dimensionamiento, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. __ 63 Figura 6-27 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para el tablero apoyado sobre neoprenos con
y sin coacción horizontal en el estribo. ____________________________________________________________ 64 Figura 6-28 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo elástico y pesudo no lineal y los diagramas de
interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y
sin coacción horizontal en el estribo ______________________________________________________________ 65 Figura 6-29 Momentos horizontales, cortantes y torsores en el tablero para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin
coacción horizontal en el estribo. ________________________________________________________________ 67 Figura 6-30 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último con y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos
realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin
coacción horizontal en el estribo. ________________________________________________________________ 68 Figura 6-31 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos
con y sin coacción horizontal en el estribo. _________________________________________________________ 68 Figura 6-32 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 2. ____________________________________________ 70 Figura 6-33 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 2 __________________________________________________ 70 Figura 6-34 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 2 _____________________________________________________ 70 Figura 6-35 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1
de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ___________________________________________________ 74 Figura 6-36 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el
dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta
por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura. ______________________________ 75 Figura 6-37 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y
no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________________ 77 Figura 6-38 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo
no línea y no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________ 79 Figura 6-39 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y
diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. _______________________________________80 Figura 6-40 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________________________ 81 Figura 6-41 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________________________ 81 Figura 6-42 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 83 Figura 6-43 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 84 Figura 6-44 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 85
IV
Figura 6-45 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 86 Figura 6-46 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. _____________________ 87 Figura 6-47 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 3. ____________________________________________ 88 Figura 6-48 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 3 _________________________________________________ 89 Figura 6-49 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 3 ____________________________________________________ 89 Figura 6-50 Esfuerzos solicitantes, para las tres pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura
adoptada, armadura mínima. _________________________________________________________________ 93 Figura 6-51 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el
dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta
por el Eurocódigo [7].a) Pila1 de 10,00 m de altura. b) Pila 2 de 12,00 m de altura. c) Pila 3 de 8,00 m de altura. ________ 95 Figura 6-52 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo
no línea y no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________________ 98 Figura 6-53 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y
diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. _______________________________________ 99 Figura 6-54 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 10,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 100 Figura 6-55 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 12,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 101 Figura 6-56 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de
minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 101 Figura 6-57 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 102 Figura 6-58 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 103 Figura 6-59 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 104 Figura 6-60 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 105 Figura 6-61 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 106 Figura 6-62 . Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 107 Figura 6-63 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 108 Figura 6-64 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 4.___________________________________________ 109 Figura 6-65 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 4 ________________________________________________ 109 Figura 6-66 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 4 ____________________________________________________ 110 Figura 6-67 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 113 Figura 6-68 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para
la armadura adoptada. ______________________________________________________________________ 115 Figura 6-69 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el
dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta
por el Eurocódigo [7]. ________________________________________________________________________ 117 Figura 6-70 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.
______________________________________________________________________________________ 118 Figura 6-71 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de
análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________ 119 Figura 6-72 Momentos, cortantes y torsores en el tablero de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con
cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud. __________ 121
V
Figura 6-73 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo
no línea y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________________________________ 123 Figura 6-74 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y
diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 125 Figura 6-75 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 126 Figura 6-76 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 126 Figura 6-77 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 127 Figura 6-78 Diagrama de interacción de la sección de la pila P4 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 127 Figura 6-79 Diagrama de interacción de la sección de la pila P5 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 128 Figura 6-80 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 129 Figura 6-81 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 130 Figura 6-82 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 131 Figura 6-83 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 132 Figura 6-84 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 133 Figura 6-85 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 134 Figura 6-86 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 135 Figura 6-87 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 136 Figura 6-88 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 137 Figura 6-89 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 138 Figura 6-90 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 139 Figura 6-91 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 5 ____________________________________________ 140 Figura 6-92 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la
armadura adoptada. _______________________________________________________________________ 143 Figura 6-93 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el
dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta
por el Eurocódigo [7]. _______________________________________________________________________ 146 Figura 6-94 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de
análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ______________________________ 147 Figura 6-95 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo
no línea y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________________________________ 150 Figura 6-96 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y
diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos. ______________________________________ 152
VI
Figura 6-97 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 153 Figura 6-98 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 153 Figura 6-99 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 154 Figura 6-100 Diagrama de interacción de la sección de la pila P4 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración
de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados:
lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________________ 154 Figura 6-101 Diagrama de interacción de la sección de la pila P5 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de
materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal,
pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________________ 155 Figura 6-102 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 156 Figura 6-103 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 157 Figura 6-104 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 158 Figura 6-105 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 159 Figura 6-106 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga correspondiente a la
combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico. 160 Figura 6-107 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 161 Figura 6-108 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 162 Figura 6-109 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 163 Figura 6-110 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 164 Figura 6-111 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga máxima obtenida con el
método elástico y el no lineal mecánico y geométrico. ________________________________________________ 165 Figura 6-112 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos. ____________________ 166
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 4-1 Valores de a según distribución de la curvatura ______________________________________________ 10 Tabla 6-1 Ejemplos Estudiados _________________________________________________________________ 30 Tabla 6-2 Acciones consideradas Ejemplo 1 ________________________________________________________ 35 Tabla 6-3 Combinación de acciones ______________________________________________________________ 35 Tabla 6-4 Hipótesis de Carga Ejemplo 1 ___________________________________________________________ 36 Tabla 6-5 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. ___ 37 Tabla 6-6 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. ________________ 40 Tabla 6-7 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación de hipótesis III para distintos tipos de
análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _______________________________ 41 Tabla 6-8 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión
del tablero consideradas. _____________________________________________________________________ 52
VII
Tabla 6-9 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y
P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas. ____________________________________________ 55 Tabla 6-10 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y
para las distintas rigideces a torsión utilizadas. _____________________________________________________ 56 Tabla 6-11 Coeficientes de seguridad globales para los distintos casos estudiados. _____________________________ 60 Tabla 6-12 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre
neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. _________________________________________________ 62 Tabla 6-13 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y
P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ________________________ 65 Tabla 6-14 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y
para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo. ___________________________ 66 Tabla 6-15 Acciones consideradas Ejemplo 2 ________________________________________________________ 71 Tabla 6-16 Combinación de acciones Ejemplo 2 _____________________________________________________ 71 Tabla 6-17 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ____________ 72 Tabla 6-18 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 73 Tabla 6-19 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. ________________ 76 Tabla 6-20 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis:
lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _____________________________________ 77 Tabla 6-21 Acciones consideradas ejemplo 3 ________________________________________________________90 Tabla 6-22 Combinación de acciones ejemplo 3 _____________________________________________________90 Tabla 6-23 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ___________ 91 Tabla 6-24 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. __ 93 Tabla 6-25 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. a) Combinación I. b)
Combinación II. ____________________________________________________________________________ 96 Tabla 6-26 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación I para distintos tipos de análisis: lineal,
pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. __________________________________________ 97 Tabla 6-27 Acciones Utilizadas en Ejemplo 5 ______________________________________________________ 110 Tabla 6-28 Combinación de acciones del ejemplo 5 ___________________________________________________ 111 Tabla 6-29 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. ___________ 112 Tabla 6-30 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis:
lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. ____________________________________ 119 Tabla 6-31 Momentos en las pilas de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el
viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud. _________________________ 120 Tabla 6-32 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal. __________ 141 Tabla 6-33 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. _ 142 Tabla 6-34 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.
______________________________________________________________________________________ 146 Tabla 6-35 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal,
pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico. _________________________________________ 148
1
1 INTRODUCCIÓN
El comportamiento de pilas esbeltas de puentes está fuertemente condicionado por muchos factores. No
solo el comportamiento no lineal geométrico y mecánico de las pilas esbeltas propiamente dicha, sino por
la interacción entre las pilas esbeltas y el resto de la estructura del puente.
Esta interacción afecta a las cargas y esfuerzos que tienen las pilas, en general, y las pilas esbeltas, en
particular. Normalmente se realiza un análisis simplificado o elástico de primer orden del puente completo
para estimar el reparto de cargas y esfuerzos en las pilas.
Con estos esfuerzos se aísla la pila para proceder a considerar la pila como un soporte biarticulado y poder
utilizar los distintos métodos disponibles, método de la columna modelo [8], método de las curvaturas de
referencia [5], formulas simplificadas de la normativa EHE-08 [3], Eurocódigo [7], etc.
Para proceder a aislar el soporte se puede suponer, del lado de la seguridad, que el soporte esta empotrado
en la cimentación y libre en cabeza. Genéricamente este es el procedimiento simplificado que proponen
las normativas [3], [7].
Esta hipótesis suele ser muy del lado de la seguridad porque ignora el efecto positivo que puede ejercer el
resto de las pilas menos esbeltas para estabilizar las pilas más esbeltas, en el caso de que el tablero sea
continuo.
Existen distintas propuestas de este tipo que permiten valorar más o menos adecuadamente este efecto de
interacción en la determinación de la longitud equivalente de pandeo del soporte esbelto biarticulado
equivalente [10]. Estas propuestas mejoran la estimación pero normalmente conducen a resultados
igualmente del lado de la seguridad.
El comportamiento de las pilas esbeltas está influenciado por muchos efectos que se pueden identificar en
el análisis elástico. Normalmente el comportamiento no lineal en un puente solo magnifica los efectos de
primero orden aumentando el efecto de interacción.
En este trabajo se ha estudiado la posibilidad de proceder al dimensionamiento de soportes esbeltos de
puentes teniendo en cuenta el comportamiento global de la estructura y los efectos favorables de la
interacción entre las pilas esbeltas y la estructura en su conjunto.
Se propone el uso de un método general no lineal geométrico y mecánico, conocido y propuesto por la
normativa existente [7], pero poco utilizado.
Este método permite entender el comportamiento del puente, antes del dimensionamiento de las pilas
esbeltas, en una aproximación elástica y de primer orden y poder proceder a tomar medidas de proyecto
que permiten la optimización del comportamiento. Lamentablemente la tendencia actual es la de no utilizar
los recursos proyectuales posibles para minimizar los efectos desfavorables. La tendencia actual es a seguir
tradiciones de proyecto y calcular los problemas en lugar de minimizarlos. La gestión del comportamiento
estructural es una de las más interesantes etapas del proyecto y permite, con el conocimiento adecuado y
la tradición del diseño conceptual [16] obtener las optimizaciones más notables.
Después de decidida la estructura más adecuada, se propone un método de dimensionamiento simplificado
a partir del análisis global no lineal, a nivel de material y de geometría, de la estructura.
2
2 OBJETIVOS
El objeto de este trabajo es:
Entender el comportamiento de puentes con pilas esbeltas para poder realizar un diseño
conceptual [16] que conduzca a una solución optimizada a nivel de propuesta general.
Definir un método de dimensionamiento que permita optimizar el dimensionamiento de pilas
esbeltas.
3 SÍMBOLOS
𝑁𝑐𝑟 Carga crítica.
𝑙𝑜 Longitud equivalente del soporte.
𝜆 Esbeltez del elemento.
𝜆𝑙𝑖𝑚 Esbeltez límite.
𝑒𝑎 Excentricidad ficticia.
𝑒 Excentricidad de primer orden.
𝑓 Excentricidad de segundo orden.
𝜈 Axil reducido.
4 INTRODUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO DE PILAS
ESBELTAS DE PUENTES
4.1 PANDEO EULERIANO
Si se aplica una carga de compresión a un soporte esbelto biarticulado perfectamente alineado; este llegará
a un punto que, pandeará antes de llegar a su resistencia por compresión elástica, como lo demuestra Euler
[17].
Bajo la premisa en la cual se admite la simplificación de pequeñas deformaciones (1.1) se obtiene la ecuación
de equilibrio (1.2).
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
1
𝑟 (1.1)
3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2𝐸𝐼 = 𝑀 = 𝑁𝑦
(1.2)
Resolviendo la ecuación diferencial del equilibrio se obtiene la ecuación de carga crítica clásica (1.3).
𝑁𝑐𝑟 = 𝑛𝜋2𝐸𝐼
𝐿2 (1.3)
Siendo n el autovalor asignado para obtener la forma de pandeo, siendo el más crítico en n=1 ya que le
corresponde a la carga crítica menor.
Figura 4-1 Formas de Pandeo
Esto indica que una pieza determinada sometida al axil de compresión dicho anteriormente no siempre se
podrá someter a su axil de compresión elástico sino que, ahora dependerá de la longitud del elemento
como lo demuestra la figura 4-2. Se ha utilizado una barra de 4 mm de diámetro y de acero B 500 S. La
resistencia a compresión elástica de la pieza ideal es cercano a 3000 N, pero con suficiente longitud el axil
crítico de pandeo se hace menor que el elástico, limitando la resistencia de la pieza debido al pandeo.
A
A
A
A
A
A
4
Figura 4-2 Hipérbola de Euler
4.2 COMPORTAMIENTO DE SOPORTES ESBELTOS DE HORMIGÓN
En los soportes esbeltos de hormigón armado sometidos a axiles de compresión influyen factores que
hacen que su comportamiento no sea tan evidente como otros elementos estructurales. Factores como la
no linealidad geométrica, la esbeltez del elemento, las condiciones de contorno del soporte, la no linealidad
mecánica del hormigón y por último la magnitud de las cargas que se traduce en una excentricidad. Todas
estas variables hace muchas veces poco predecible el comportamiento de los soportes esbeltos en las
estructuras.
En el caso de soportes esbeltos, en general, no se acerca a la realidad utilizar un análisis lineal del mismo.
Las cargas en el soporte produce deformaciones transversales en la pieza, estas a su vez producen esfuerzos
extra que son tenidos en cuenta con la teoría de segundo orden.
Si analizamos el soporte biarticulado sometido a una excentricidad, como lo indica la figura 4-3, el
momento de primer orden debido a esta sería contante a lo largo del soporte y su magnitud el producto
del axil aplicado y la excentricidad de primer orden. Debido a este estado de carga el soporte tendrá una
flecha, que en el centro será f, esta distorsión en la geometría aumenta los esfuerzos ya que ahora se cuenta
con un aumento de excentricidad que comúnmente se le denomina excentricidad de segundo orden. En
este caso se puede decir que el momento total será el producto del axil de compresión y la excentricidad
total a lo largo del elemento.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Car
ga
Crí
tica
[N
]
Altura de la Barra (m)
ø = 4 mm
5
Figura 4-3 Soporte Biarticulado
Otra particularidad adjudicada a los soportes de hormigón armado es la no linealidad debida al material
comprendido por la no linealidad de la ecuación constitutiva del hormigón y por la poca resistencia a
tracción del material, lo que provoca que a determinados estados tensionales la pieza fisure, provocando
un cambio en la inercia de la sección.
4.3 DIMENSIONAMIENTO DE SOPORTES ESBELTOS DE HORMIGÓN
4.3.1 Determinación de la Longitud de Pandeo
Los métodos simplificados propuestos en la actualidad se basan en asimilar los soportes al bien conocido
soporte biarticulado, esto lo hacen mediante la asignación de una longitud de pandeo que, dependiendo de
las condiciones de contorno ideales toma valores desde 0.5 para un soporte con condiciones de apoyo
empotrado en base y en cabeza hasta 2 para un soporte empotrado en base y libre en cabeza como se
muestra en la figura 4-4, generalmente esta es la condición que se considera en el caso de los puentes
dentro de las premisas de los métodos simplificados.
Esta consideración suprime por completo cualquier tipo de efecto que el resto de las pilas y el propio
tablero ejerce sobre las pilas, lo que conlleva a análisis muy conservadores que la mayoría de las veces están
muy por del lado de la seguridad y llevan a dimensionamientos alejados de la realidad.
Figura 4-4 Longitud Equivalente
6
4.3.2 Límites de Esbeltez
La esbeltez juega un papel fundamental en el estudio del fenómeno del segundo orden y del
comportamiento en general de los soportes. Se han establecido límites de esbeltez por las normativas
actuales y diversos autores, esto acota el rango de aplicación de los métodos simplificados que se utilizan
en la actualidad.
El concepto de esbeltez límite se centra en la determinación de un valor de esbeltez del soporte para la cual
los efectos de segundo orden serían despreciables y se admita no tomarlos en cuenta en el estudio del
soporte. La esbeltez es un parámetro determinante para los efectos de segundo orden, por lo que tiene
base limitar la consideración de los efectos de segundo orden bajo este parámetro.
Generalmente se acepta no tomar en consideración los efectos de segundo orden si estos son menores que
el 10% de los efectos de primer orden.
Corres y Alsaadi [4 ] proponen criterios para definir los límites de la esbeltez según el Método de las Curvas
de Curvaturas de Referencia en los cuales proponen considerar la hipótesis de rotura pésima, inestabilidad
o agotamiento, según el método de las curvas de curvaturas de referencia; otro criterio definido es un ajuste
lineal por mínimos cuadrados para cada axil de las curvas de curvaturas de referencia en la hipótesis pésima
y el tercero utilizando una única curvatura para cada axil y considerar la hipótesis pésima siempre la rotura
por inestabilidad. El método propuesto es el último ya que conduce a errores pequeños comparados con
el método de la columna modelo y es el más sencillo.
El Eurocódigo [7] propone la siguiente expresión para la determinación de la esbeltez límite:
𝜆𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶/√𝑛
Donde:
A 1
1+0.2𝜑𝑒𝑓𝑓
B √1 + 2𝜔
C 1.7 − 𝑟𝑚
𝜑𝑒𝑓𝑓 Coeficiente efectivo de fluencia
𝜔 Cuantía mecánica
n Axil reducido
𝑟𝑚 Relación de momentos de primer orden. Mo1/Mo2
Esta formulación toma en consideración los efectos de la fluencia, la cuantía de armado de la pieza, el axil
reducido y la excentricidad de primer orden.
7
4.3.3 Fórmulas Simplificadas de la EHE-08
El método propuesto por la EHE-08 [3]es aplicable para un rango de esbelteces, que va desde la esbeltez
límite a una esbeltez de 100, para esbelteces mayores a 100 y menores a 200 propone utilizar el método
general de comprobación.
El método se basa en una mayoración de momentos que se hace a través de una excentricidad ficticia, que
pretende tomar en cuenta los efectos del segundo orden. La expresión viene dada por:
𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒𝑒 + 𝑒𝑎 ≥ 𝑒2
𝑒𝑎 = (1 + 0.12𝛽)(𝜀𝑦 + 0.0035)ℎ + 20𝑒𝑒
ℎ + 10𝑒𝑒∗
𝑙02
50𝑖𝑐
Donde:
𝑒𝑎 Excentricidad ficticia utilizada para representar los efectos de segundo orden.
𝑒𝑒 Excentricidad de cálculo de primer orden equivalente
𝑒𝑒 = 0.6𝑒2 + 0.4𝑒1 ≥ 0.4𝑒2 para soportes intraslacionales
𝑒𝑒 = 𝑒2 para soportes traslacionales
𝑙0 Longitud de Pandeo
𝑖𝑐 Radio de giro de la sección de hormigón en la dirección considerada.
ℎ Canto total de la sección de hormigón
𝜀𝑦 Deformación del acero para la tensión de cálculo
𝛽 Factor de armado, dado por
𝛽 =(𝑑 − 𝑑′)2
4𝑖𝑠2
4.3.4 Fórmulas Simplificadas de Dimensionamiento del Eurocódigo
El método de la rigidez nominal del Eurocódigo [7] se basa en incluir en el análisis los efectos de la no
linealidad mecánica en conjunto con la no linealidad geométrica mediante una reducción en la rigidez
homogenizada de la sección llamada rigidez nominal, con esto se toma en cuenta de una forma simplificada
la no linealidad mecánica del elemento. Para el caso de la no linealidad geométrica se aumenta el momento
con un factor de mayoración propuesto a partir de la rigidez nominal calculada y el momento de primer
orden del elemento.
El modelo propuesto para la estimación de la rigidez nominal de elementos esbeltos comprimidos es la
siguiente:
𝐸𝐼 = 𝐾𝑐𝐸𝑐𝑑𝐼𝑐 + 𝐾𝑠𝐸𝑠𝐼𝑠
Donde:
8
𝐸𝑐𝑑 Es el valor de diseño del módulo de elasticidad el hormigón.
𝐸𝑐𝑑 =𝐸𝑐𝑚
𝛾𝐶𝐸
𝐼𝑐 Es el momento de inercia de la sección de hormigón.
𝐸𝑠 Es el valor de diseño del módulo de elasticidad del refuerzo.
𝐼𝑠 Es el segundo momento de inercia del área del refuerzo, referido al centro de gravedad del hormigón.
𝐾𝑐 Es el factor por efectos de la fisuración.
𝐾𝑠 Es el factor de contribución del refuerzo.
Los siguientes factores pueden utilizarse siempre y cuando 𝜌 ≥ 0.002
𝐾𝑐 = 𝑘1𝑘2
Donde:
𝜌 Es la cuantía geométrica del refuerzo 𝐴𝑠/𝐴𝑐 .
𝐴𝑠 Es el área total del refuerzo.
𝐴𝑐 Es el área de la sección de hormigón.
𝑘1 Es un factor que depende de la resistencia del hormigón.
𝑘1 = √𝑓𝑐𝑘/20 (𝑀𝑃𝑎)
𝑘2 Es un factor que depende de la esbeltez y la fuerza axil.
𝑘2 = 𝑛𝜆
170≤ 0.20
Donde:
n Es el axil reducido, 𝑁𝐸𝑑/(𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑).
𝜆 Es la esbeltez mecánica del elemento.
𝜆 =𝑙𝑜𝑖
Donde:
𝑙𝑜 Es la longitud efectiva del elemento.
𝑖 Es el radio de giro de la sección no fisurada de hormigón.
La rigidez nominal se ve afectada por la resistencia del hormigón utilizado, la esbeltez de la pieza y el axil
solicitante. El valor de 𝑘2 se ve limitado ya que a axiles grandes, esbelteces grandes o una combinación de
9
ellos relativamente grande la pieza falla antes por inestabilidad y no por agotamiento mecánico, por lo que
se limita este valor a 0.2 por la formulación propuesta actualmente.
El momento total de diseño, incluyendo el efecto de segundo orden, puede ser expresado como un
aumento de los momentos flectores lineales:
𝑀𝐸𝑑 = 𝑀0𝐸𝑑 [1 +𝛽
𝑁𝐵𝑁𝐸𝑑
− 1]
Donde:
𝑀0𝐸𝑑 es el momento de primer orden
𝛽 es un factor que depende de la distribución de los momentos de primer y segundo orden
𝑁𝐸𝑑 es el valor de diseño de la carga axial
𝑁𝐵 es la carga crítica de pandeo basada en la rigidez nominal
4.3.5 Columna Modelo
El método de la columna modelo comprueba el elemento mediante la comprobación de un soporte
equivalente biarticulado, en el cual su longitud es la longitud de pandeo del soporte real. El soporte está
sometido a flexión simple con una excentricidad ficticia que depende de las excentricidades en ambos
extremos del soporte real analizado. En principio el método considera solo un soporte biarticulado en el
cual las excentricidades en los extremos son iguales, pero se ha propuesto una formulación para extrapolar
el método a soportes en los cuales las excentricidades sean distintas en ambos extremos. La formulación
es la siguiente:
𝑒𝑒 = 0.6𝑒2 + 0.4𝑒1 ≥ 0.4𝑒2 Para soportes intraslacionales
𝑒𝑒 = 𝑒2 Para soportes traslacionales
Siendo e2 la mayor excentricidad a la que está sometido el soporte.
La comprobación se lleva a cabo al comprobar el equilibrio superponiendo la directriz mecánica y la directriz
geométrica.
10
Figura 4-5 Directriz geométrica
Siendo e la excentricidad de primer orden y f la excentricidad de segundo orden que puede definirse como:
𝑓 =𝑙2
𝑎∗ 𝜒
El parámetro a puede tomar varios valores dependiendo de la distribución de curvaturas que se adopte, se
especifican algunos valores en la tabla 4-1. El método de la columna modelo adopta la distribución de
curvaturas senoidal por lo que la directriz geométrica del método tiene la siguiente forma 𝑓 =𝑙2
10∗ 𝜒
Tabla 4-1 Valores de a según distribución de la curvatura
4.4 MÉTODOS DE ANÁLISIS GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
4.4.1 Análisis Global de la No Linealidad Geométrica. Método de la Matriz Geométrica
Cuando las deformaciones en la estructura resultan en una magnitud en donde los efectos de segundo
orden no sean despreciables, un análisis lineal elástico deja de tener precisión y no representa el
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
M
χ
N*(e+f)
11
comportamiento verdadero de la estructura. En un análisis matricial elástico se toma en consideración la
energía debida a los efectos de la deformación en flexión, axil y cortante.
Se sabe que para un elemento esbelto sometido a una carga de compresión grande la rigidez elástica se ve
reducida en gran manera, tanto que una carga lateral pequeña puede ocasionar que el elemento pandee,
este comportamiento está causado por un cambio en la matriz geométrica de la estructura.
Esto cobra importancia en elementos esbeltos que están sometidos a esfuerzos axiles importantes, como
es el caso de los soportes en puentes, que estos, cuando son muy esbeltos experimentan de forma más
marcada el fenómeno de aumento de esfuerzos por efectos de segundo orden. Este esfuerzo adicional
depende principalmente del axil.
Figura 4-6 Acción sobre pieza deformada
𝑻
𝟑𝟎𝑳[
36 3𝐿3𝐿 4𝐿2
−36 3𝐿−3𝐿 −𝐿2
−36 −3𝐿3𝐿 −𝐿2
36 −3𝐿−3𝐿 4𝐿2
]
En el caso de que la fuerza de compresión sea grande, la matriz de rigidez total del elemento puede llegar a
ser singular para demostrar esta inestabilidad se considera el siguiente ejemplo.
Figura 4-7 Esquema de carga
De la rigidez elástica y la geométrica para este caso se obtiene
[𝟎𝟎] = [
12𝐸𝐼
𝐿3+
36𝑇
30𝐿
6𝐸𝐼
𝐿2+
3𝑇
306𝐸𝐼
𝐿2+
3𝑇
30
4𝐸𝐼
𝐿+
4𝑇𝐿
30
] ∗ [𝜹𝒊
𝝓𝒊]
[𝟎𝟎] = [
12 + 36𝜆 6𝐿 + 3𝐿𝜆6𝐿 + 3𝐿𝜆 4𝐿2 + 4𝐿2𝜆
] ∗ [𝜹𝒊
𝝓𝒊]
Donde 𝜆 = −𝑃𝑇
30𝐸𝐼
Este se convierte en un problema de auto valores que puede ser resuelto como
12
𝒅𝒆𝒕 [12 + 36𝜆 6𝐿 + 3𝐿𝜆6𝐿 + 3𝐿𝜆 4𝐿2 + 4𝐿2𝜆
] = 𝟎
𝟏𝟑𝟓𝟎𝟎 ∗ (𝝀𝟐 + 𝟏. 𝟏𝟓𝟓𝝀 + 𝟎. 𝟎𝟖𝟗) = 𝟎
Se resuelve para la menor raíz que es 𝜆 = −0.082865
Siendo 𝑃𝑐𝑟 = 2.4860 ∗𝐸𝐼
𝐿2
Siendo la carga crítica de Euler para un soporte en ménsula
𝑃𝑐𝑟 =𝜋2𝐸𝐼
4𝐿2 = 2.4674 ∗
𝐸𝐼
𝐿2
Se observa que la aproximación es bastante buena, arrojando un error del 1%.
4.4.1.1 Ejemplo
Los programas de elementos finitos cuando incorporan los efectos de segundo orden lo hacen
generalmente a través de la incorporación de la matriz geométrica a la matriz de rigidez de la pieza, se ha
realizado un ejemplo simple de un pilar empotrado en base libre en cabeza incorporando la matriz
geométrica en un cálculo manual y el mismo ejemplo con un programa de cálculo de elementos finitos
incorporando un análisis de segundo orden.
Datos de sección
13
Material: Hormigón HA-30
Axil de cálculo: 13300 kN
Fuerza Horizontal: 443 kN
Módulo de Elasticidad: 33.57MPa
Diámetro: 1m
Inercia: 0.049 m4
Área: 0.0785 m2
Longitud del Pilar: 11 m
Rigidez Elástica
𝑭𝑬 = 𝒌𝑬𝜹
[ 𝑵𝒊
𝑭𝒊
𝑴𝒊
𝑵𝒋
𝑭𝒋
𝑴𝒋]
=
[ 𝑬𝑨
𝑳𝟎
𝟎𝟏𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟑
𝟎 −𝑬𝑨
𝑳𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐𝟎
𝟎 𝟎
−𝟏𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟑
𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
𝟎𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
−𝑬𝑨
𝑳𝟎
𝟒𝑬𝑰
𝑳𝟎
𝟎𝑬𝑨
𝑳
−𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟎 𝟎
𝟎 −𝟏𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟑
𝟎𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
−𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐𝟎
𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟎
𝟏𝟐𝑬𝑰
𝑳𝟑−
𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
−𝟔𝑬𝑰
𝑳𝟐
𝟒𝑬𝑰
𝑳 ]
∗
[ 𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
𝝊𝒋
𝜹𝒋
𝝓𝒋]
[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟒𝟑𝟎𝑵𝒋
𝑭𝒋
𝑴𝒋 ]
=
[
𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎
𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑
𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟎 𝟎
−𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏
−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓 𝟎
𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐
𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏
−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐 𝟎
𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 −𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓]
∗
[ 𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
𝟎𝟎𝟎 ]
[−13300
4430
] = [2397463 0 0
0 14860 817310 81731 599365
] ∗ [
𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
]
[
𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
] = [−0.00550.11924
−0.01626]
14
[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟒𝟑𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟑𝟒𝟖𝟕𝟑 ]
=
[
𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎
𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑
𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟎 𝟎
−𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏
−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓 𝟎
𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐
𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎𝟎 𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏
−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟎𝟐𝟗𝟗𝟔𝟖𝟐 𝟎
𝟏𝟒𝟖𝟔𝟎 −𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏−𝟖𝟏𝟕𝟑𝟏 𝟓𝟗𝟗𝟑𝟔𝟓]
∗
[ −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎. 𝟏𝟏𝟗𝟐𝟒
−𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 ]
MEF Lineal
Desplazamientos en Y
Rotaciones
Momentos
Rigidez Geométrica
𝑭𝑮 = 𝒌𝑮𝜹
[ 𝑵𝒊
𝑭𝒊
𝑴𝒊
𝑵𝒋
𝑭𝒋
𝑴𝒋]
=𝑻
𝑳
[
𝟎 𝟎
𝟎𝟔
𝟓
𝟎 𝟎𝑳
𝟏𝟎𝟎
𝟎 𝟎
−𝟔
𝟓
𝑳
𝟏𝟎
𝟎𝑳
𝟏𝟎𝟎 𝟎
𝟐𝑳𝟐
𝟏𝟓𝟎
𝟎 𝟎
−𝑳
𝟏𝟎−
𝑳𝟐
𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟎 −𝟔
𝟓
𝟎𝑳
𝟏𝟎
−𝑳
𝟏𝟎𝟎
−𝑳𝟐
𝟑𝟎𝟎
𝟔
𝟓−
𝑳
𝟏𝟎
−𝑳
𝟏𝟎
𝟐𝑳𝟐
𝟏𝟓 ]
∗
[ 𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
𝝊𝒋
𝜹𝒋
𝝓𝒋]
15
[ 𝑵𝒊
𝑭𝒊
𝑴𝒊
𝑵𝒋
𝑭𝒋
𝑴𝒋]
=
[ 𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟒𝟓𝟎
𝟎 𝟎−𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟎
𝟎 𝟎𝟏𝟒𝟓𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎
𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟎
−𝟏𝟗𝟓𝟎𝟔 𝟎𝟎 𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟒𝟖𝟕𝟔𝟎 𝟎
𝟎 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟑𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟎 𝟎𝟒𝟖𝟕𝟔 𝟎
−𝟏𝟒𝟓𝟎 𝟏𝟑𝟑𝟎𝟏𝟑𝟑𝟎 −𝟏𝟗𝟓𝟎𝟔]
∗
[ 𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
𝝊𝒋
𝜹𝒋
𝝓𝒋]
Matriz Acoplada
FT FE FG [kE kG ]v kTv
[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟒𝟑𝟎𝑵𝒋
𝑭𝒋
𝑴𝒋 ]
=
[
𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗
𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑
𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟎 𝟎
−𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏
−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 𝟎
𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 −𝟐𝟗𝟒𝟖𝟎𝟔
𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏
−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎−𝟐𝟗𝟒𝟖𝟎𝟔 𝟎
𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 −𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 ]
∗
[ 𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
𝟎𝟎𝟎 ]
[−13300
4430
] = [2397463 0 0
0 13409 804010 80401 579859
] ∗ [
𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
]
[
𝝊𝒊
𝜹𝒊
𝝓𝒊
] = [−0.00550.1959
−0.02716]
[ −𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟒𝟑𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟑𝟕𝟒𝟕𝟖 ]
=
[
𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗
𝟎 −𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑
𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟎 𝟎
−𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏
−𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑 𝟎𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗 𝟎
𝟎 𝟐𝟑𝟗𝟕𝟒𝟔𝟑−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟑𝟎𝟒𝟓𝟓𝟗
𝟎 𝟎𝟎 −𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗𝟎 𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏
−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟎𝟑𝟎𝟒𝟓𝟓𝟗 𝟎
𝟏𝟑𝟒𝟎𝟗 −𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏−𝟖𝟎𝟒𝟎𝟏 𝟓𝟕𝟗𝟖𝟓𝟗]
∗
[ −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟗
−𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 ]
16
MEF Segundo Orden
Desplazamientos en Y
Rotaciones
Diagrama de Momentos
4.4.2 Análisis Global No Lineal Geométrico y Mecánico de la Estructura
La no linealidad mecánica en los soportes de hormigón armado es producida por una pérdida de rigidez en
la pieza, debida a una pérdida de inercia de la sección bruta de hormigón ya que este material aguanta
pobremente los esfuerzos de tracción, generando una fisuración generalmente no uniforma a lo largo del
soporte, a esta pérdida de inercia se le suma la no linealidad debida a las ecuaciones constitutivas de los
materiales, las cuales cambian no linealmente y dependen del nivel de deformación al que esta solicitado el
soporte.
La pérdida de rigidez en el soporte depende de muchos factores y es variable en la longitud del elemento,
lo que provoca que se cuente con una rigidez variable a lo largo de la pieza, invalidando el principio de
superposición que tan útil resulta.
Generalmente para resolver este problema se recurre a métodos iterativos que resuelvan el equilibrio para
determinado nivel de cargas, cuanto mayor sea la discretización del elemento mejores resultados se
obtendrán ya que la variación de rigidez en el elemento se podrá representar de una manera más cerca de
la realidad, con la desventaja que estos cálculos con elementos tan discretizados aumentan mucho el
tiempo de cálculo.
Por otra parte en un análisis no lineal mecánico se tiene que tener como punto de partida las características
de la sección, entre las cuales es necesario definir la cuantía de armadura presente en los elementos. Esta es
una de las razones por las que los cálculos incluyendo la no linealidad mecánica se utilizan para la
comprobación de los elementos pero no para el dimensionamiento de los mismos.
17
Se ha analizado el caso de un soporte aislado de sección circular de hormigón armado, empotrado en base
y libre en cabeza. La comparativa se realiza entre un análisis lineal, un análisis según la teoría de segundo
orden y un análisis no lineal geométrico y mecánico del soporte.
El estudio consiste en realizar unas pruebas de carga al pilar, consistiendo en un axil de compresión y una
fuerza horizontal aplicadas simultáneamente. Las cargas se van incrementando conservando la
excentricidad hasta llegar a la rotura del pilar, ya sea por inestabilidad o por agotamiento mecánico de la
sección.
Los resultados de la prueba de carga se colocan sobre los diagramas de interacción Momento-Axil de la
sección.
Como se observa en el gráfico podemos estudiar el comportamiento del pilar bajo los distintos análisis. La
diferencia entre la curva lineal y la de segundo orden se debe al aumento de momento debido a la
deformación que presenta el soporte en cabeza, esta deformación produce que el axil ya no actúe
excéntrico, por lo que un momento de magnitud aproximable a Nx∆ se suma al momento ya producido
por la carga horizontal.
Al añadirle a este efecto la no linealidad mecánica de la sección ya no se cuenta con una rigidez lineal, sino
que esta tiene un comportamiento no lineal, por lo que el desplazamiento en cabeza será distinto (mayor)
provocando un aumento en la deformación lo que produce mayores momentos.
Se incluye el análisis con el método de la rigidez nominal propuesta en el Eurocódigo 2[7] y el método de
magnificación de momentos propuesto en la EHE-08[3].
Figura 4-8 Ecuación Constitutiva del Hormigón
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-4-3-2-10
HA-30
18
Figura 4-9 Ecuación Constitutiva del Acero
Figura 4-10 Pilar Aislado
COMPARACIÓN CON EL MÉTODO DE LA COLUMNA MODELO
El análisis realizado por el programa de elementos finitos demuestra un fallo del soporte por inestabilidad
utilizando la no linealidad geométrica más la no linealidad mecánica (No linealidad mecánica y geométrica).
Para comprobar la precisión de este resultado se ha comparado con el método de la columna modelo.
Los parámetros utilizados son:
𝜆 = 22 , al ser un soporte empotrado libre de 11m de longitud, lo que le corresponde un 𝛽 = 2 y el
diámetro correspondiente es de 1m.
-600
-400
-200
0
200
400
600
-20 -10 0 10 20
B 500 S
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
M-N Lineal Mecánico No Lineal Mecánico
Segundo Orden (Lineal Mecánico) Segundo Orden (No Lineal Mecánico)
EC2 (M. Rigidez Nominal) EHE-08
θ=1 mρ=3%
19
La excentricidad correspondiente a la combinación de cargas aplicadas en cada momento corresponde a
una 𝑒 = 0.366𝑚.
El axil aplicado al momento de la rotura por inestabilidad corresponde a 8196 kN.
Figura 4-11 Comparación Columna Modelo
La rotura por inestabilidad obtenida con el método de la Columna Modelo es de 4880 kNm, mientras que
el obtenido con el programa de elementos finitos es de 4763 kNm, por lo que se comprueba el fallo por
inestabilidad de la pieza.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008
M (
kN
m)
1/r (m-1)
M-1/r ( N = 8196 kN)
20
5 PROCEDIMIENTO PROPUESTO
El procedimiento que se propone, y que luego se desarrolla en el capítulo siguiente con diversos ejemplos,
parte de un análisis elástico con que se realiza un primer dimensionamiento de las pilas esbeltas sin tener
en cuenta los efectos debidos a la no linealidad geométrica y mecánica.
Un primer análisis de este tipo permite entender el comportamiento de la propuesta de proyecto, que no
siempre es evidente. Este análisis permite entender, de modo general, la interacción entre las pilas esbeltas
y el resto de la estructura.
Normalmente en puentes con fustes únicos y de gran esbeltez en la dirección transversal, como fustes
únicos circulares por ejemplo, la combinación condicionante es la que incluye como sobrecarga principal la
del viento transversal.
Para puentes pilas rectangulares, con esbeltez mayor en la dirección longitudinal, la combinación más
condicionante es la que produce esfuerzos en la dirección longitudinal como frenado, viento longitudinal,
etc.
El estudio de los esfuerzos de las hipótesis individuales es muy útil para comprender el comportamiento
del puente para cada tipo de carga. Es también útil para poder identificar la contribución de cada carga a las
combinaciones de acciones consideradas.
Aunque este tipo de cálculo es el que se hace normalmente para el proyecto de un puente
lamentablemente normalmente no se miran los resultados y no existe la costumbre de entender el
comportamiento.
Por otra parte, los efectos debidos a las no linealidades geométricas y mecánicas, no cambian el
comportamiento solo lo aumentan.
Este análisis es fundamental para poder mejorar las condiciones de proyecto inicialmente adoptadas.
A partir de los esfuerzos obtenidos se pueden dimensionar las pilas en Estado Límite Último, de acuerdo
con los criterios clásicos establecidos por la normativa vigente [3], [7].
Este dimensionamiento, que está hecho sin tener en cuenta las no linealidades involucradas en los procesos
derivados de la esbeltez, da una cuantía que se modifica al alza al final de este proceso.
Con esta primera estimación de la cuantía se procede a estimar una rigidez equivalente para tener en cuenta
la no linealidad mecánica debida al comportamiento no lineal de los materiales, hormigón y acero, y la
fisuración del hormigón.
En el apartado 5.3 se explica detalladamente la determinación de la rigidez equivalente.
Posteriormente se procede a realizar un cálculo lineal con una rigidez en las pilas equivalente y utilizando la
matriz geométrica, para tener en cuenta la no linealidad geométrica. La rigidez del tablero, en general,
puede considerarse lineal.
Con estos resultados de esfuerzos se procede al dimensionamiento final de las pilas. Los esfuerzos de
dimensionamiento tienen en cuenta los efectos de segundo orden y la no linealidad geométrica.
No es necesario estudiar simplificaciones que permitan transformar una pila esbelta real en una ideal
biarticulada. Las pilas tienen sus condiciones reales.
21
No es necesario establecer criterios adicionales de interacción entre las pilas esbeltas y el resto de la
estructura, pilas cortas, estribos y tablero.
No es necesario estudiar límites de esbeltez. El método tiene en cuenta los efectos de segundo orden en
régimen no lineal automáticamente.
5.1 DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROCEDIMIENTO PROPUESTO
Figura 5-1 Diagrama de Flujo del procedimiento propuesto
1
Análisis elástico del puente completo. Estudio de los esfuerzos debidosa las hipótesis individuales. Estudio de los esfuerzos debidos a las distintascombinaciones de acciones. Entendimiento del comportamiento delpuente. Comprensión del comportamiento del puente frente a lasdistintas cargas y comprobaciones. Mejora, si es posible, de lapropuesta de proyecto para optimizar el comportamiento de las pilasesbeltas.
2
Identificación de las combinaciones más desfavorables para laspilas esbeltas.
3
Dimensionamiento preliminar de las pilas del puente.
4
Determinación de rigidez equivalente para representar,simplificadamente, el comportamiento no lineal mecánico.
5
Análisis elástico con rigidez equivalente para las pilas y matrizgeométrica.
6
Dimensionamiento definitivo de las pilas con los esfuerzos obtenidosen el cálculo anterior.
22
5.2 PRINCIPIOS GENERALES DEL ANÁLISIS NO LINEAL GEOMÉTRICO Y MECÁNICO
PROPUESTO
El estudio de los problemas de inestabilidad supone tener en cuenta la no linealidad geométrica, el efecto
de las deformaciones en el equilibrio, y los efectos de la no linealidad mecánica, que consideran la pérdida
de rigidez por el comportamiento no lineal de los materiales que constituyen la sección transversal del
tablero y de las pilas.
Este tipo de comportamiento no lineal impide la utilización del principio de superposición, tan útil, que solo
es aplicable cuando se supone un comportamiento lineal.
Para el análisis de los efectos de la deformación, los efectos de segundo orden, en los esfuerzos de la
estructura es necesario plantear el equilibrio teniendo en cuenta la estructura deformada.
Una posibilidad es plantear un cálculo con actualización de coordenadas, según el cual, se realizan distintos
cálculos y para cada uno de ellos se tiene en cuenta el estado de deformación de la etapa anterior. Este
proceso se realiza con distintas estrategias numéricas.
Otra posibilidad es utilizar la matriz geométrica. En este caso, tal como se explica en el apartado 4.4.1, se
acopla la matriz de rigidez geométrica a la elástica modificando la rigidez global del elemento esta vez
incluyendo los efectos en la pieza deformada, tomando en cuenta de esta forma los efectos de segundo
orden.
Si las deformaciones son pequeñas este método da resultados adecuados.
Por otra parte, muchos de los programas de elementos finitos de barras disponibles en el mercado tienen
la posibilidad de hacer un cálculo de este tipo. Este tipo de cálculos son además muy rápidos.
En relación con la no linealidad mecánica normalmente se puede tener en cuenta la variación de las
condiciones de rigidez de las barras de acuerdo con unas ecuaciones constitutivas dadas.
Un cálculo no lineal mecánico general, tal como se indica en el apartado 4.4.2, supone la definición de un
modelo suficientemente discretizado, para tener en cuenta las variaciones de rigidez a lo largo de los
distintos elementos estructurales. Cuanto mayor es la discretización mejor se representaran las
condiciones de equilibrio en más secciones. Contrariamente cuanto mayor es la discretización mayor es el
tiempo de cálculo.
Además es necesario definir las ecuaciones constitutivas para cada uno de los materiales existentes en las
distintas secciones.
Se opera con distintas estrategias numéricas para encontrar una solución equilibrada y compatible, de
acuerdo con las condiciones de comportamiento no lineal de las secciones de los elementos estructurales.
Una simplificación posible es suponer una rigidez equivalente para los distintos elementos estructurales.
De esta forma, se puede hacer un cálculo lineal con una rigidez de los elementos estructurales que tenga en
cuenta, del lado de la seguridad, la rigidez que se produciría en las condiciones de equilibrio para el estado
de cargas estudiado.
Como se pueden identificar cuáles son las combinaciones más desfavorables para las pilas esbeltas es
necesario, a partir de este estudio, identificar cuáles son rigideces que hay que utilizar.
23
En este trabajo se propone que se utilicen para las pilas la rigidez equivalente que se propone en el apartado
anterior. Si la pila es rectangular pueden utilizarse las rigideces equivalente en ambas direcciones.
Normalmente esto no es necesario porque las combinaciones más importantes para el dimensionamiento
de las pilas esbeltas son en flexo compresión recta, en una de las dos direcciones.
Si el tablero es pretensado normalmente no es necesario utilizar otra rigidez distinta de la bruta. En general
las combinaciones que condicionan el dimensionamiento de las pilas no son las que son pésimas para el
tablero y por lo tanto el tablero esta poco afectado por el comportamiento no lineal.
Cuando el tablero contribuye con su capacidad resistente a torsión, tal como se expone en algunos
ejemplos en el próximo capítulo, es necesario controlar la integridad de la rigidez a torsión.
En la propuesta de dimensionamiento que se propone para las pilas esbeltas se plantea tener en cuenta la
no linealidad mecánica y geométrica de forma simplificada y del lado de la seguridad, teniendo en cuenta
los medios normalmente disponibles para el proyecto, es decir, programas de calculo que se disponen de
forma general en las oficinas de proyecto.
5.3 DEFINICIÓN DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE
En un cálculo no lineal mecánico de una estructura se varía la rigidez de las distintas secciones de las distintas
barras hasta conseguir que las rigideces utilizadas sean compatibles y equilibradas con los esfuerzos finales.
Si se pudiera saber a priori el valor de las rigideces finales, para la solución equilibrada y compatible,
haciendo un análisis elástico de rigidez variable se obtendría el resultado de un cálculo no lineal mecánico.
Conceptualmente el uso de una rigidez equivalente responde al principio anteriormente explicado.
Encontrar una rigidez que sea representativa de la rigidez de equilibrio que se produce en la situación de
equilibrio.
En pilas esbeltas que fallan por instabilidad, normalmente la sección crítica, con mayores efectos de
segundo orden, falla cuando se alcanza una pérdida de rigidez importante en la sección, que ocurre cuando
plastifica el acero traccionado, si el axial de la pila es moderado, o el acero comprimido, para axil mayores.
Esta situación es más frecuente en pilas de puentes.
Esta rigidez, normalmente supone una rigidez menor que la que realmente se obtendría para las pilas en un
cálculo no lineal mecánico, es una rigidez del lado de la seguridad, por distintas razones.
En primer lugar, se obtiene a partir de la armadura de las pilas que resulta de un dimensionamiento inicial,
preliminar, a partir de un cálculo elástico lineal. Esta armadura, normalmente, será inferior a la definitiva que
se obtiene al final del proceso, en el que se tienen en cuenta los efectos de segundo orden y la no linealidad
mecánica con este sistema.
En segundo lugar, porque la rigidez que se propone se obtiene con unas ecuaciones constitutivas, para el
hormigón y para el acero, que son las utilizadas normalmente en el cálculo de la capacidad resistente en
Estado Límite Último, que son desfavorables desde el punto de vista de un cálculo de segundo orden
porque suponen menor rigidez y conducen a estimaciones con mayor flexibilidad y mayores efectos de
segundo orden.
Por último, en un cálculo no lineal mecánico, las barras que discretizan una pila son muchas para aumentar
la precisión. En el caso de un análisis como el que se propone en este procedimiento, normalmente se asigna
a toda la pila la misma rigidez equivalente lo que asimismo está del lado de la seguridad.
24
En un diagrama momento curvatura la rigidez varia de la máxima, para valores pequeños de la curvatura
cuando la sección aún no está descomprimida o fisurada, a valores cada vez más pequeños que se producen
debido a la activación de las no linealidades de los materiales que constituyen la sección transversal. Primero
se pierde rigidez debido a la fisuración, luego al comportamiento no lineal del hormigón comprimido y
luego a la plastificación de las armaduras.
En la figura 5-1 se muestra el diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más
débil, con distintos axiles. En la figura 5-2 se muestra el diagrama momento curvatura de una sección circular
con distintos axiles.
Figura 5-2 Diagrama momento curvatura de una sección rectangular en la dirección más débil, con distintos axiles
1
11
1
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
e (m
)
1/r (km-1)
Pilar Rectangular
0.2 0.4 0.6 0.8 1
25
Figura 5-3 Diagrama momento curvatura de una sección circular con distintos axiles
Como puede verse, los diagramas momentos curvaturas muestran distintos momentos, dependiendo del
axil, en los que se pierde rigidez.
El punto indicado con 1 representa la descompresión de la sección cuando empieza a traccionarse y si se
desprecia la resistencia a compresión del hormigón en este caso coincide con la descompresión del
hormigón.
Los puntos indicados con 2 y 3 indican la plastificación de las armaduras, mas traccionada o más comprimida.
El punto 4 representa la rotura de la sección. La rotura se produce cuando el hormigón o el acero alcanzan
las deformaciones máximas correspondientes, definidas en el diagrama de pivotes.
11 1
1
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e (m
)
1/r (km-1)
Pilar Circular
0.2 0.4 0.6 0.8 1
26
Figura 5-4 Definición de las deformaciones máximas de rotura de los materiales constitutivos de una sección de hormigón armado. Diagrama de pivote[3].
Las ecuaciones constitutivas para la elaboración de los diagramas momentos curvaturas son las que se
indican en las figuras 5-5 y 5-6.
Figura 5-5 Ecuación constitutiva del hormigón en compresión
Figura 5-6 Ecuación constitutiva del acero.
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-4-3-2-10
HA-30
-600
-400
-200
0
200
400
600
-20 -10 0 10 20
B 500 S
27
Ambas ecuaciones constitutivas son las que propone el Eurocódigo [7]. Las ecuaciones constitutivas son las
de proyecto y, por lo tanto menos rígidas que las reales de los materiales correspondientes.
En general las pilas de puentes dejan apoyar el tablero con apoyos de neopreno o teflón. Esta circunstancia
hace que para cargas permanentes las pilas estén esencialmente sometidas a esfuerzos axiles, no
momentos. Por esta razón, las cargas permanentes solo producen efectos de deformaciones longitudinales,
no curvaturas, y esto hace que los efectos de segundo orden no se vean afectados por los efectos diferidos.
Hay distintas propuestas de expresiones para definir la rigidez equivalente en elementos esbeltos [12], [1].
En este trabajo se propone como rigidez equivalente la que corresponde al punto 2 o 3 de los diagramas
momento curvatura, indicados en las figuras 5-7 y 5-8. Es decir, para axiles moderados, la relación entre el
momento y la curvatura para la que se produce la plastificación del acero traccionado. Para axiles mayores,
que probablemente sean más frecuente en pilas de puentes, la relación entre el momento y la curvatura
para la que se produce la plastificación del acero comprimido. El en la referencia [5] se pone de manifiesto
como estos puntos representan situaciones en las que se produce la mayor pérdida de rigidez y que
representa un estado de esfuerzos y rigidez para el que se produce el equilibrio en situaciones de
inestabilidad.
El diagrama momento curvatura es una información que producen muchos programas. Las decisiones de
proyecto, en cuanto a dimensiones y calidades de los materiales, y el predimensionamiento que se obtiene
con el cálculo lineal inicial, permiten fácilmente determinar la rigidez definida, sin necesidad de
formulaciones simplificadas.
En las figuras siguientes se muestran los diagramas momentos curvaturas de las mismas secciones antes
estudiadas, en donde se representan las rigideces equivalentes propuestas, las rigideces brutas y las
rigideces equivalentes propuestas por el Eurocódigo [7].
28
Figura 5-7 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Circular
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e (m
)
1/r (km-1)
Pilar Circular
EI P EI b EI EC2
29
Figura 5-8 Momento Curvatura con Rigidez Bruta, Rigidez Propuesta y Rigidez del Eurocódigo. Pilar Rectangular
Como se puede ver la rigidez propuesta es normalmente intermedia entre la bruta y la propuesta por el
Eurocódigo [7].
6 APLICACIÓN DEL MÉTODO
En este capítulo se muestran una serie de ejemplos en los que se aplica el método propuesto , se discute el
comportamiento de distintas tipologías de puentes frecuentes, se valora, comparándolo con otros
procedimientos, el grado de optimización al que conduce y, finamente, se comprueba con un análisis global
no lineal geométrico y mecánico.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
e (m
)
1/r (km-1)
Pilar Rectangular
EI P EI b EI EC2
30
Se pone de manifiesto como el conocimiento del comportamiento estructural podría conducir a grandes
optimizaciones en el comportamiento de los puentes, si al nivel más conceptual, cuando se define la
propuesta, se tienen en cuenta adecuadamente los fenómenos que se ponen en juego.
Se han estudiado los ejemplos que se indican en la tabla 6-1. Para cada ejemplo se describe el puente,
tipológicamente.
Ejemplo 1 Tres Vanos 28,00-35,00-28,00 m
Pilas 11,00-8,00 m Tablero continuo
Dos neoprenos en cabeza de pila
Pilas de sección circular
Ejemplo 2 Tres Vanos 28,00-35,00-28,00 m
Pilas 11,00-8,00 m Tablero continuo
Un neopreno en cabeza de pila
Pilas de sección circular
Ejemplo 3
Cuatro Vanos 30,00-40,00-40,00-30,00 m Pilas 10,00-12,00-8,00 m
Tablero continuo
Dos neoprenos en cabeza de pila
Pilas de sección
rectangular
Ejemplo 4
Diez Vanos 28,00-35,00…35,00-28,00 m Pilas 11,00 m
Tablero continuo
Dos neoprenos en cabeza de pila
Pilas de sección circular
Ejemplo 5 Diez Vanos 28,00-35,00…35,00-28,00 m
Pilas 11,00 m Tablero con juntas
Dos neoprenos en cabeza de pila
Pilas de sección circular
Tabla 6-1 Ejemplos Estudiados
Seguidamente se describen y discuten los resultados de un primer cálculo elástico lineal de primer orden,
que es el punto de partida.
Para entender bien los resultados y la contribución de cada una de las cargas se presentan los resultados,
primero, de las hipótesis individuales. Estos resultados permiten identificar la contribución de cada una de
las cargas a la combinación pésima.
Después se presentan los resultados de las combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último. Estos
resultados permiten conocer las combinaciones que serán más importantes, en relación con los efectos
31
debidos a la esbeltez de las pilas. Como el método propuesto es un análisis no lineal donde no es posible
utilizar el principio de superposición, es imprescindible identificar la combinación más desfavorable.
Se dimensionan las pilas para poder estimar las rigideces fisuradas. Para el dimensionamiento de las
secciones se utilizan las típicas hipótesis establecidas en la normativa vigente [3], [7].
Seguidamente se determinan los esfuerzos realizando un análisis no lineal simplificado geométrico,
utilizando la matriz geométrica, y considerando la no linealidad mecánica de las pilas, con una rigidez media
fisurada.
Con estos resultados se realiza el dimensionamiento definitivo de las pilas. También en este caso se utilizan
las hipótesis clásicas de dimensionamiento en Estado Limite Ultimo indicadas en la normativa [3], [13].
Se discuten los resultados y la influencia de las no linealidades del fenómeno. En cada ejemplo, también, se
ha hecho una comparación entre los resultados obtenidos, a nivel de cuantía, y los que se obtendrían
teniendo en cuenta los criterios simplificados de la EHE-08 [3] y del método propuesto por García [10].
Finalmente con el resultado de cuantías obtenidas se realiza una comprobación haciendo un cálculo global,
teniendo en cuenta la no linealidad geométrica y mecánica, lo que permite estimar el grado seguridad al
que conduce el método propuesto.
Para la realización de este análisis se han seguido los siguientes criterios:
El cálculo se ha realizado con el programa sofistik, que permite tener en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica de las secciones de hormigón armado. Este programa se ha comprobado
con los ejemplos que se muestran en el apartado 4.4.2.
A los efectos de representar el comportamiento no lineal mecánico se han considerado las
siguientes ecuaciones constitutivas, para el hormigón y el acero. Se ha despreciado el efecto del
tensión-stiffening. El comportamiento no lineal de los materiales se ha considerado solo para las
pilas. El tablero se ha considerado, en general, para este estudio con un comportamiento lineal no
fisurado.
Figura 6-1 Ecuación constitutiva del hormigón empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico.
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-4-3-2-10
HA-30
32
Figura 6-2 Ecuación constitutiva del acero empleada para representar el comportamiento no lineal mecánico.
Estas ecuaciones constitutivas son conservadoras porque en un análisis no lineal mecánico sería posible
incluso utilizar resistencias medias.
Se ha hecho un cálculo incremental en el que se han incrementado las cargas proporcionalmente a
sus coeficientes de mayoración, para mantener la relación de cargas en todas las etapas de cálculo.
El puente se considera que ha llegado a la máxima capacidad resistente cuando alguno de los
elementos estructurales que lo constituyen llega a la rotura de alguna de las secciones de sus pilas.
6.1 EJEMPLO 1
Paso superior con tablero continuo pretensado de tres vanos y pilas de 11,00 y 8,00 m de altura. En este caso
las pilas tienen un travesaño transversal en la parte superior en donde el tablero apoya en dos neoprenos
con cierta capacidad de empotramiento transversal mientras que longitudinalmente el giro de la parte
superior de la pila es libre.
En este primer ejemplo se estudia un paso superior con pilas esbeltas. Las pilas están constituidas por fustes
cilíndricos de gran esbeltez. Tienen un diámetro de 1,00 m y una altura de 11,00 y 8,00 m respectivamente.
En la dirección transversal los fustes tienen sendas ménsulas donde se apoya el tablero.
El tablero tiene tres vanos de 28,00 + 35,00 + 28,00 m. El tablero es pretensado con armadura postesa. La
sección transversal es aligerada.
El tablero está apoyado sobre dos neoprenos por pila de dimensiones de 600x600x70 mm3, separados a
3,00 m. En los estribos el tablero se apoya sobre dos neoprenos de 450x450x90 mm3, separados 3,6 m. Esta
configuración de apoyos en pilas permite una rotación según el eje transversal y un empotramiento elástico
según el eje longitudinal, fuertemente dependiente de la rigidez a torsión y de la vinculación del tablero al
estribo.
En la figura6-3 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.
En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.
-600
-400
-200
0
200
400
600
-20 -10 0 10 20
B 500 S
33
Figura 6-3 Planta y Alzado del puente del ejemplo 1
El hormigón que se ha escogido para el dimensionamiento de los fustes es un HA-30.
34
Figura 6-4 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 1
Para la armadura pasiva se ha considerado un acero B-500-S. La ecuación constitutiva empleada es bilineal
sin considerar la pendiente positiva de la segunda rama, y tomando como módulo de deformación
longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.
Figura 6-5 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 1
Se han utilizado las cargas y combinaciones establecidas en la Instrucción sobre Acciones a Considerar en
el Proyecto de Puentes de Carretera (1998). Se utiliza esta versión ya que este trabajo parte del trabajo de
García[10] y se consideró utilizar las mismas condiciones en los ejemplos para comparar con sus resultados,
pero los resultados presentados en este trabajo son extrapolables a las cargas propuestas por las versiones
más recientes de la normativa.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
𝜎
ε
HA-30 FS 0.85/1.5
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-15 -10 -5 0 5 10 15
𝜎
Título del eje
B 500 S FS 1/1.15
35
ACCIONES
PERMANENTES (G)
Peso Propio del Tablero 158 kN/m
Peso Propio de las pilas 19.6 kN/m
Pavimento, imposta y barreras de seguridad 48.8 kN/m
ACCIONES VARIABLES (Q)
Tráfico (Q1)
Vertical
Carga Uniforme 4 kN/m2
Carro 600 kN
Horizontal
Frenado 1.9 kN/m
ACCIONES AMBIENTALES
Viento Transversal Tablero (Q2) 10.5 kN/m
Viento Transversal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Viento Longitudinal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Temperatura del Tablero (Q3) 35 ºC
Tabla 6-2 Acciones consideradas Ejemplo 1
Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3
Tabla 6-3 Combinación de acciones
En la tabla6-4 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas consideradas
en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y temperatura
longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el dimensionamiento de
las pilas.
36
Tabla 6-4 Hipótesis de Carga Ejemplo 1
Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.
El viento transversal, tanto en el tablero como localmente en las pilas, produce momentos de eje
longitudinal en las pilas. Es importante ver que estos momentos son prácticamente de la misma magnitud
y distinto signo en cabeza y empotramiento. Esto es debido a que la pila tiene un sistema de apoyo del
tablero que le produce una coacción. La capacidad resistente a torsión del tablero, empotrado a torsión en
los estribos, produce un grado importante de empotramiento de la parte superior de las pilas.
La variación longitudinal de temperatura produce en las pilas momentos de eje transversal. Estos
momentos son nulos en cabeza y máximos en el empotramiento de las pilas. Estos momentos son
asimismo, opuestos en ambas pilas y ligeramente mayores en la pila más corta, más rígida.
De este análisis se puede ver que las pilas tienen esfuerzos de flexión debidos a las hipótesis de viento
transversal y de temperatura longitudinal. Por lo tanto las combinaciones condicionantes para el proyecto
de las pilas esbeltas son las que incluyan estas hipótesis.
Otro aspecto muy importante de este análisis es la importancia que tiene el empotramiento que produce
el tablero en la pilas, en la dirección transversal. Este efecto, importante para las pilas en este caso, permite
mejorar de forma fundamental el comportamiento de las pilas esbeltas.
En la tabla 6-5 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite
Último, obtenidas a partir del análisis lineal.
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
0.00.00.0-7442.5
N
0.0
0.00.0
0.00.0
0.00.0
0.00.0
N
-1419.31227.5
-1467.31304.4
0.0
Tem
per
atu
ra (
Q3)
Pila 1
231.30.0
-220.30.0
Pila 2
My Mz
0.0
0.00.0
0.0
0.00.0
My Mz
0.0
-982.5-982.5
-978.6-978.6
0.00.0
-7413.5-7256.7Pila 2
N
-7226.9Pila 1 0.0
SCU
(Q
1)
Pila 1
Pila 2 0.0
0.00.0
N My Mz
My Mz
Car
ga P
erm
anen
te (
G)
0.00.00.00.0
Vie
nto
(Q
2)
Pila 1
Pila 2
0.0
0.0
37
Tabla 6-5 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.
En la figura 6-6, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de
hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. La armadura se
dispone uniforme a lo largo de toda la longitud. Como puede verse la combinación III es la que resulta
condicionante y corresponde a la situación con máxima carga transversal de viento y temperatura
longitudinal concomitante.
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
0.0
0.0 227.8 1675.0 2282.4 40.2 96.5
-224.5 1853.0 2344.8 56.3 104.6
1005.0 1414.8 32.2 32.2
CO
MB
VI
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
Pila 2 7256.0 7413.0 1675.0 -2271.0
As (cm2)
Pila 1 7228.0 7444.0 1853.0 -2334.0
-1363.0 0.0
Pila 1 8109.0 8325.0 1112.0 -1401.0 0.0 -374.0
379.5
502.5 -681.3 0.0 227.9 502.5 32.2 32.2
CO
MB
V
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
CO
MB
IV
1112.0 1450.1 32.2 32.2
Pila 2 8141.0 8297.0 1005.0
As (cm2)
Pila 1 8696.0 8912.0 556.0 -700.3 0.0
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
-224.6 556.0 735.4
718.4
32.2 32.2
Pila 2 8730.0 8887.0
0.0
0.0 227.8 1675.0 2282.4 72.4 129.0
-224.5 1853.0 2344.8 88.5 137.0
1005.0 1414.8 32.2 64.4
CO
MB
III
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0
As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0
1005.0 -1363.0 0.0
379.5
Pila 1 10641.0 10932.0 1112.0 -1401.0 0.0 -374.0
379.5
11484.0 502.5 -681.3 0.0 227.9 502.5 32.2 32.2
CO
MB
II
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
CO
MB
I
1112.0 1450.1 32.2 64.4
Pila 2 10683.0 10895.0
As (cm2)
Pila 1 11230.0 11520.0 556.0 -700.3 0.0
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
-224.6 556.0 735.4
718.4
32.2 32.2
Pila 2 11273.0
38
Figura 6-6 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.
En las figura6-7 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la
combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez
bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del
hormigón (Ec 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el
apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)a)
Dimensionamiento Lineal Pila 1 (17 Φ 32)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)b)
Dimensionamiento Lineal Pila 2 (16 Φ 32)
39
Figura 6-7 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de
11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.
En la tabla 6-6 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo
no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica.
13
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)a)
Pila 1
EI Pseudo No Lineal EI EC2 EI bruta
13
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)b)
Pila 2
EI Pseudo No Lineal EI EC2 EI bruta
40
Tabla 6-6 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas.
De los resultados que se muestran en la tabla se pueden deducir distintas cuestiones:
i. Las pilas tienen menores esfuerzos. Esto es debido a la redistribución de esfuerzos que se
produce debido al comportamiento no lineal y al efecto de la esbeltez, que supone
esencialmente una mayor flexibilidad del sistema. Como puede verse en los resultados que se
muestran en la tabla 6-7, donde se muestra el reparto de las cargas horizontales entre los
estribos y pilas, al perder rigidez las pilas los esfuerzos se transfieren hacia los estribos. Este
efecto debe tenerse en cuenta para el dimensionamiento de apoyos en los estribos y de los
estribos propiamente dichos. También puede tenerse en cuenta este efecto para mejorar el
diseño del puente, respecto comportamiento de las pilas, imponiendo una coacción mayor en
los estribos y rigidizando, de esta forma, más el tablero.
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
LIN
EAL
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
-2344.77 88.50Pila 1 9760.00 10051.00 1853.00 -2334.00 0.00 224.50 1853.00 137.00
227.80 1675.00 -2282.40 72.40 129.00
-1905.97 72.40 96.50
Md (kNm) As (cm2)
PSEU
DO
NO
LIN
EAL
PRO
PUES
TO N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 9799.00 10010.00 1675.00 -2271.00 0.00
Pila 1 9760.00 10051.00 1712.00 -1903.00
Pila 2 9799.00 10010.00 1889.00 -2131.00 0.00
0.00 106.40 1712.00
131.00 1889.00 -2135.02 88.50 121.00
α
V (kN)
Estribo 1
Pila 1
Pila 2
Estribo 2 1.00268.1
1.00484.3
1.00368.3
1.00312.6
LIN
EAL
Relación de Fuerzas
α
Pila 1
Pila 2
Estribo 2 1.23
0.92
0.70
1.28
PSEU
DO
NO
LIN
EAL
PRO
PUES
TO Relación de Fuerzas
328.7
445.1
259.2
400.2
V (kN)
Estribo 1
41
Tabla 6-7 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación de hipótesis III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
ii. Se puede ver también, que los esfuerzos debidos a la variación uniforme de temperatura del
tablero disminuyen. Esto es lógico también, porque al disminuir las rigideces disminuye la
coacción debida a las pilas y disminuyen los esfuerzos debidos a las deformaciones impuestas,
como es la temperatura en el tablero.
iii. Los momentos en el tablero aumentan, tal como se muestra en la figura 6-8. Esto también es
lógico porque al flexibilizarse las pilas su coacción disminuye y el flector del tablero aumenta.
Este es otro aspecto que hay que tener en cuenta en el proyecto, para comprobar si la hipótesis
de comportamiento con rigidez bruta del tablero es adecuada y si es necesario algún refuerzo
adicional para esta situación. Esta última comprobación no es normal pero necesaria, sobre
todo en la línea de que no se estudia toda la información que se tiene disponible de todos los
cálculos que realizan.
α
NO
LIN
EAL
G+
M
V (kN)
Estribo 1 401.7 1.29
Pila 1 252.9 0.69
Pila 2 454.2 0.94
Estribo 2 324.5 1.21
Relación de Fuerzas
-8000
-6000
-4000
-2000
0
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L (m)a)
Ley de Momentos en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
42
Figura 6-8 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
iv. Los esfuerzos torsores en el tablero no sufren grandes cambios porque el tablero se conserva
con una rigidez lineal en todos los cálculos realizados, solo cambia la capacidad de
empotramiento debido a la disminución de la rigidez de las pilas. Este aspecto también debe
ser comprobado para ver la idoneidad de las hipótesis adoptadas en el cálculo pseudo no lineal.
Hay que comprobar si los esfuerzos de torsión son suficientes para disminuir la rigidez
torsional del tablero, de forma notable, para reconsiderar las hipótesis de rigidez no fisurada
adoptada.
v. En la figura 6-9 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos
cálculos realizados. En estas figuras se puede ver que para las cargas finales las excentricidades
están prácticamente en la dirección transversal. Además se puede ver que están contenidas en
un plano. En general cuando hay esfuerzos de flexión biaxial puede que las excentricidades no
estén en el mismo plano. Este comportamiento en pilas de puente es debido a que las
combinaciones pésimas para las pilas son normalmente, fundamentalmente en una dirección.
-2000
-1000
0
1000
2000
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (
kNm
)
L (m)b)
Ley de Momentos Torsores en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 1
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
43
Figura 6-9 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no líneal y no lineal mecánico y geométrico.
Con los esfuerzos obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final
de las pilas. En la figura 6-10 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas según el comportamiento
pseudo no lineal propuesto y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura final obtenida.
Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido, según los
esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, aun cuando los esfuerzos utilizados para el
dimensionamiento final tienen en cuenta el comportamiento no lineal geométrico y mecánico, aunque de
forma simplificada, debido a redistribuciones de esfuerzos y activación de mecanismos que normalmente
se desprecian, efecto de la rigidez a flexión horizontal del tablero o del empotramiento de las pilas por la
rigidez y empotramiento a torsión del tablero, el dimensionamiento puede ser menor que el determinado
inicialmente con un cálculo elástico, sin tener en cuenta el segundo orden. En estos casos, se propone
mantener el dimensionamiento obtenido inicialmente con los esfuerzos elásticos, porque es el que es
compatible con la estimación de rigidez realizada para el pseudo cálculo no lineal propuesto.
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 2
No Lineal G+M lineal Pseudo No Lineal
44
Figura 6-10 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.
Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en
cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.
En las figura 6-11 se muestran los diagramas de interacción de la pila P1, de 11,00 m de altura. En ella se
muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite Último utilizado para el
dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de interacción correspondiente a la
sección de esta pila y con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón y del acero que para el diagrama
de interacción anterior pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se
representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado esta
evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y
geométrico.
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Pseudo No Lineal Lineal
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Pseudo No Lineal Lineal
45
Figura 6-11 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no
lineal y no lineal mecánico y geométrico.
En la figura 6-12 se muestran los mismos diagramas y esfuerzos para la pila P2 de 8,00 m de altura.
Figura 6-12 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no
lineal y no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse en la figura 6-12, la estructura falla porque se alcanza la rotura definida por el diagrama
de interacción sin coeficientes de minoración del material para la sección inferior de la pila P2. Para esta
situación el coeficiente global de seguridad es de 2,27, y por lo tanto se puede decir que confirma la validez
del método.
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1Inf No Lineal Inf Lineal Sup No Lineal
Sup Lineal Pseudo No lineal inf
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal
Inf No Lineal Psedo No Lineal Sup
46
Puede verse que los esfuerzos de la sección inferior de la pila P1 evolucionan más lentamente que los
previstos en el análisis lineal, por todas las razones antes expuestas. Por el contrario los esfuerzos en la
sección superior son mayores que los previstos según el cálculo lineal. Esto mismo ocurre en la pila P2.
Debido a la pérdida de rigidez de las pilas, por el comportamiento no lineal y por los efectos de segundo
orden, y a que la rigidez a torsión se mantiene aumenta la capacidad de coacción del tablero en el extremo
superior de la pila respecto al comportamiento elástico. Por otra parte los esfuerzos debidos a las cargas de
viento se redistribuyen y disminuyen respecto a los elásticos. Por último, y aun cuando aparecen esfuerzos
de segundo orden debido a la no linealidad geométrica, los esfuerzos finales son menores que los elásticos.
En las figuras 6-13 y 6-14 se muestran los momentos, debidos a distintos efectos, que componen los
momentos finales de las pilas P1 y P2, respectivamente, para el estado la combinación III y para los tres
métodos utilizados.
1853.00 kNm -4048.00 kNm -136.13 kNm -2331.13 kNm 33.61 mm
a) b) c) f)
Lineal Comb III Pila 1
+ + =
1953.00 kNm -136.00 kNm -3729.00 kNm -413.40 kNm -2325.40 kNm 41.13 mm
a) b) c) d) f)
No Lineal G+M Comb III Pila 1
+ + + =
47
Figura 6-13 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1711.00 kNm -136.00 kNm -2849.00 kNm -639.24 kNm -1913.24 kNm 63.60 mm
a) b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 1
+ + + =
1675.00 kNm -3872.00 kNm -72.00 kNm -2269.00 kNm 18.31 mm
a) b) c) f)
+ + =
Lineal Comb III Pila 2
1825.00 kNm -72.00 kNm -3824.00 kNm -228.03 kNm -2299.03 kNm 22.78 mm
a) b) c) d) f)
No Lineal G+M Comb III Pila 2
+ + + =
48
Figura 6-14 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse los momentos según el cálculo lineal no tienen en cuenta los efectos de segundo orden.
Como puede verse el efecto de la coacción del tablero a torsión, produce un momento constante (a) en las
pilas que es de distinto signo que todos los demás momentos que se generan: debidos al cortante actuando
en el extremo de la pila producido por el viento transversal actuando sobre el tablero (b), debido al viento
transversal actuando directamente en la pila (c).
Los momentos según el pseudo cálculo no lineal si tiene en cuenta los efectos de segundo orden (d), de
acuerdo con las deformaciones de las pilas (f), pero los efectos de primer orden son menores que los
estimados con el cálculo lineal. Para el mismo estado de cargas el cálculo no lineal mecánico y geométrico,
da resultados similares, lo que pone de manifiesto que la simplificación propuesta resulta adecuada.
Esta misma situación se produce en relación al reparto de cortantes entre las pilas y los estribos, que se
muestran en la figura 6-7.
En las figuras 6-15 y 6-16 se muestra para las dos pilas los momentos y su composición, para el estado de
carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, se mantiene el
comportamiento explicado solo que las cargas y, lógicamente, las deformaciones de las pilas crecen, no
linealmente.
1889.00 kNm -72.00 kNm -3560.00 kNm -390.39 kNm -2133.39 kNm 39.00 mm
a) b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 2
+ + + =
2595.00 kNm -205.55 kNm -5671.60 kNm -3282.15 kNm 50.75 mm
a) b) c) f)
Lineal Rotura Pila 1
+ + =
49
Figura 6-15 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método no lineal mecánico y geométrico.
3002.00 kNm -205.55 kNm -5039.10 kNm -1166.88 kNm -3409.53 kNm 76.90 mm
a) b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 1
+ + + =
2733.00 kNm -205.00 kNm -4015.00 kNm -1558.37 kNm -3045.37 kNm 102.70 mm
a) b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Rotura Pila 1
+ + + =
2345.00 kNm -108.72 kNm -5423.20 kNm -3186.92 kNm 27.60 mm
a) b) c) d) f)
Lineal Rotura Pila 2
+ + =
50
Figura 6-16 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método no lineal mecánico y geométrico.
Finalmente se han dimensionado las pilas con otros métodos, para compararlos con el método propuesto.
Los métodos utilizados son los que se describen sucintamente a continuación:
i. Método propuesto por la EHE-08 [3]. En este caso se han supuesto que las pilas tiene una
longitud de pandeo igual al doble de la altura. Es lo mismo que suponer que se trata de una pila
empotrada en la cimentación y libre en el extremo superior. Se han utilizado los momentos
máximos obtenidos en un cálculo lineal y se han supuesto actuando con valor constante en
toda la longitud. El dimensionamiento se hace con el momento de primer orden obtenido y el
de segundo orden que se obtiene con la formulación simplificada de la EHE-08 [3].
ii. Método de la Rigidez nominal propuesto por el Eurocódigo [7]. Se dimensiona la sección con
los mismos momentos obtenidos que en el caso anterior y con la formulación simplificada
propuesta por el Eurocódigo [7].
iii. Método propuesto por el Model Code [8].Se dimensiona la sección con los mismos
momentos obtenidos en el caso anterior y con la formulación simplificada propuesta por el
Model Code [8]
iv. Método propuesto por García [10]. En este caso se determina la longitud de pandeo, con un
método simplificado, teniendo en cuenta el efecto la interacción del resto de las pilas.
Determinada la longitud de pandeo se puede dimensionar la pila utilizando el método de la
columna modelo, iterativamente.
2961.00 kNm -108.72 kNm -5635.20 kNm -671.43 kNm -3454.35 kNm 44.43 mm
a) b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 2
+ + + =
3012.00 kNm -108.72 kNm -5344.00 kNm -946.01 kNm -3386.73 kNm 62.60 mm
a) b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Rotura Pila 2
+ + + =
51
En la figura 6-17 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para las
dos pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.
La razón es porque se tiene en cuenta el efecto de la interacción de la estructura y las pilas esbeltas en todas
sus manifestaciones.
Figura 6-17 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.
Debido a la importancia que tiene la rigidez a torsión del tablero se ha hecho un estudio de sensibilidad para
ver su influencia. Se ha estudiado el mismo ejemplo anterior con una rigidez a torsión del tablero que es el
50 % y el 10 % de la rigidez bruta que se ha considerado inicialmente. Se ha aplicado el procedimiento
propuesto.
Las hipótesis independientes según un cálculo elástico da los mismos resultados que para el caso anterior
excepto para el viento transversal, tal como se muestra en la figura6-18 para la hipótesis del viento
transversal, que es la única afectada por la variación de rigidez a torsión. A medida que disminuye la rigidez
a torsión disminuye la capacidad de empotramiento del tablero y, por lo tanto, disminuye también el
momento superior de los soportes. Esta situación es poco importante para una disminución del 50 % de la
rigidez mientras que puede ser importante para una disminución de la rigidez a torsión de hasta el 10 %.
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
Pila 11m Pila 8m
ρ(%
)
Dimensionamiento con los Distintos Métodos
M. Code EC-2 (R.N.) EHE-08 JG M.P.
52
Figura 6-18 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.
La combinación condicionante es la III. En la tabla 6-8 se muestran los esfuerzos de la combinación III de las
pilas para los tres casos estudiados. Como puede verse los momentos disminuyen en la parte superior de
las pilas y aumentan en la parte inferior con la disminución de la rigidez y, consecuentemente, también
aumentan las cuantías.
Tabla 6-8 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.
En la figura 6-19 se muestran los esfuerzos de la combinación III para las distintas situaciones de rigidez
estudiadas y los diagramas de interacción correspondientes a las cuantías de dimensionamiento preliminar.
0
2
4
6
8
10
-4000 -2000 0 2000
L (m
)
M (kNm)
Pila 1
G=100% G=50% G=10%
0
2
4
6
8
10
-3000 -1000 1000 3000L
(m)
M (kNm)
Pila 2
G=100% G=50% G=10%
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
874.7 2859.1 32.2 185.0
1525.0 2389.9 56.3 144.8
Md (kNm) As (cm2)
Md (kNm) As (cm2)
1853.0 2344.8 88.5 137.0
1675.0 2282.4 72.4 129.0
Md (kNm) As (cm2)
1701.0 2389.6 72.4 144.8
1023.0 2590.7 32.2 160.9
Co
mb
III G
=10
%
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 10051.0 1023.0 -2581.0 0.0 224.5
227.8Pila 2 9799.0 10010.0 874.7 -2850.0 0.0
9760.0
227.8
0.0
Pila 2 9799.0 10010.0 1525.0 -2379.0 0.0
9760.0 10051.0 1701.0 -2379.0 0.0 224.5
227.8
Co
mb
III G
=50
%
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1
Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0Co
mb
III G
=10
0%
N My Mz
Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0 0.0 224.5
53
Figura 6-19 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía preliminar de dimensionamiento, para las distintas rigideces a torsión consideradas.
En la figura 6-20 se muestran las rigideces equivalentes calculadas, según el procedimiento descrito en 5.3.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 1
0.1G 0.5G 1G
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 2
0.1G 0.5G 1G
54
Figura 6-20 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para las distintas rigideces a torsión consideradas.
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)a)
Pila 1 G=100%
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)b)
Pila 2 G=100%
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)c)
Pila 1 G=50%
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)d)
Pila 2 G=50%
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)e)
Pila 1 G=10%
1
3
4
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 2 4 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)f)
Pila 2 G=10%
55
En la tabla 6-9 se muestran los distintos resultados obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto, para
las distintas rigideces a torsión consideradas.
Tabla 6-9 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y P2, con distintas rigideces a torsión del tablero consideradas.
En la figura 6-21 se muestran los esfuerzos elásticos y los obtenidos según el comportamiento pseudo no
lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las
distintas rigideces a torsión consideradas.
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
1161.0 -2274.0 0.0 143.0 1161.0 2278.5 32.2 128.7
107.0 1640.0 1923.0 64.3 96.5
80.4 121.0
1889.0
As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1033.0 -1791.0 0.0 113.0 1033.0 1794.6 32.2 88.5
Pila 2 9799.0 10010.0
9799.0 10010.0 1816.0 -2198.0 0.0 140.0 1816.0 2202.5
Pseu
do
No
Lin
eal G
=10
% N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
0.0 131.0 1889.0 2135.0 88.5 121.0
Pseu
do
No
Lin
eal G
=50
% N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1640.0 -1920.0 0.0
Pseu
do
No
Lin
eal G
=10
0%
Pila 2
N My Mz Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1712.0 -1903.0 0.0 106.4 1712.0 1906.0 72.4 96.5
Pila 2 9799.0 10010.0 -2131.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
0.1G 1G y 0.5G
56
Figura 6-21 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión consideradas.
Como puede verse con la disminución de rigidez las cuantías aumentan pero se mantiene el
comportamiento que se evidenció en el caso anteriormente estudiado, las redistribuciones debidas al
comportamiento no lineal y las desrigidización que comporta el efecto de la no linealidad geométrica
transfiere los esfuerzos a los estribos y disminuye los esfuerzos en las pilas.
Tabla 6-10 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y para las distintas rigideces a torsión utilizadas.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
0.1G 1G y 0.5G
R. a Tor. 1.0 0.5 0.1
Estribo 1
Pila 1
Pila 2
Estribo 2
Lin
eal
V (kN)
303.6
456.6
315.2
357.8
274.8
478.9
358.6
320.9
268.1
484.3
368.3
312.6
R. a Tor. 1.0 0.5 0.1
Estribo 1
Pila 1
Pila 2
Estribo 2
Pseu
do
No
Lin
eal
350.7332.8328.7
420.1442.5445.1
244.3252.4259.2
418.1405.6400.2
V (kN)
R. a Tor. 1.0 0.5 0.1
V (kN)
Estribo 2
Pila 2
Pila 1
Estribo 1
No
Lin
eal G
+M 465.700410.9401.7
380.900333.5324.5
403.900445.4454.2
182.800243.5252.9
57
En la figura 6-22 se muestran los momentos horizontales y los torsores, en el tablero, para los distintos tipos
de cálculos realizados y para los distintos tipos de rigidez a torsión estudiados.
-6000
-4000
-2000
0
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L(m)
Ley Lineal de Momentos en Tablero
1G 0.5G 0.1G
-3000
2000
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L (m)a)
Ley Lineal de Momentos Torsores en Tablero
1G 0.1G 0.5G
-8000.000
-3000.000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L (m)
Ley Pseudo No Lineal de Momentos en Tablero
1G 0.5G 0.1G
-2000
3000
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (
kNm
)
L (m)b)
Ley Pseudo No Lineal de Momentos Torsores en Tablero
1G 0.1G 0.5G
58
Figura 6-22 Momentos horizontales y torsores en el tablero para los distintos tipos de cálculos realizados y rigideces a torsión estudiadas. a) calculo lineal. b) pseudo no lineal. c) no lineal mecánico y geométrico.
Como se puede ver los momentos horizontales aumentan a medida que disminuye la rigidez a torsión
porque la eficiencia de las pilas disminuye. También aumenta con el tipo de cálculo. Cuanto mas no
linealidades se tienen en cuenta menos rígido es el sistema.
También se confirma que el método pseudo no lineal propuesto da resultados similares al no lineal
mecánico y geométrico.
En todos los casos se ha realizado asimismo un cálculo no lineal mecánico y geométrico para comprobar el
método propuesto. En la figura 6-23 se muestran los resultados para el pilar que condiciona el
comportamiento del puente. En ella se muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite
Último utilizado para el dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de
interacción correspondiente a la sección de esta pila obtenido con las mismas ecuaciones constitutivas del
hormigón y del acero con coeficiente y sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura
se representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado
esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y
geométrico y las distintas rigideces a torsión estudiadas.
-9000.000
-4000.000
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L (m)
Ley No Lineal de Momentos en Tablero
1G 0.5G 0.1G
-2000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M
(kN
m)
L (m)c)
Ley No Lineal de Momentos Torsores en Tablero
1G 0.1G 0.5G
59
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2 G=100%
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal
Inf No Lineal Pseudo No Lineal Inf
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2 G=50%
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
60
Figura 6-23 Diagrama de interacción de la sección de la pila 2 de 8,00 m con las ecuaciones constitutivas con y sin coeficientes de minoración. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no
lineal y no lineal mecánico y geométrico y para las distintas rigideces a torsión estudiadas.
Como puede verse los cálculos realizados confirman que la seguridad de las pilas, dimensionadas con el
método propuesto es adecuada. En la tabla 6-11 se muestran los valores de los coeficientes de seguridad
global obtenidos.
CASO C.S.
G=100% 2.27
G=50% 2.21
G=10% 2.01
Tabla 6-11 Coeficientes de seguridad globales para los distintos casos estudiados.
En la figura 6-24 se muestra una comparación de las cuantías obtenidas con el procedimiento propuesto,
para las distintas rigideces estudiadas. Como puede verse para que la pérdida de rigidez a torsión tenga una
influencia significativa en las cuantías esta debe ser muy importante.
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2 G=10%
Inf. (No Lineal) Inf. (Lineal) Sup. (No Lineal) Sup. (Lineal) Pseudo NL sup
61
Figura 6-24 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para las distintas rigideces a torsión estudiadas.
También se ha dicho que la información generada por el método propuesto, desde el propio análisis lineal,
permite tomar medidas para mejorar el proyecto propuesto.
En este sentido se ve claro que una posibilidad de mejorar conceptualmente la propuesta es fijar el tablero
horizontalmente en los estribos. Esta coacción del tablero en los estribos y la capacidad del mismo a trabajar
eficientemente como viga horizontal, puede mejorar comportamiento de las pilas esbeltas,
sustancialmente.
Normalmente los estribos tienen una capacidad resistente superabundante, por su configuración, a fuerzas
horizontales. No obstante, si se apoya el tablero en los estribos debe comprobarse para los momentos de
eje vertical que se generan.
El tablero para ser eficiente en esta función tiene que tener una rigidez y resistencia horizontal adecuada.
La rigidez dependerá de la longitud entre estribos y anchura. También hay que tener en cuenta la rigidez
real en estado límite último. Debe pensarse que puede fisurarse y puede perder rigidez. Para tableros con
esbelteces horizontales, relación entre la longitud total del tablero dividido por su ancho, del orden de 20 o
menores la coacción en las pilas puede ser muy eficiente.
Normalmente los tableros tienen una capacidad resístete a esfuerzos horizontales importante,
especialmente si se tiene en cuenta que cuando actúan fuerzas horizontales como preponderantes no hay
concomitancia, al 100 %, de otro tipo de fuerzas. Estas capacidades deben ser valoradas y utilizadas
adecuadamente.
Para mostrar esta posibilidad se ha realizado el ejemplo primero pero, esta vez, fijando horizontalmente el
tablero en los estribos. Esta hipótesis es muy fácil de materializar en el estribo. En este caso la esbeltez
horizontal del tablero es de 9,1, es decir, el tablero tiene una rigidez horizontal importante. Además es un
tablero pretensado y por lo tanto con una capacidad resistente horizontal muy importante y con una rigidez
para en Estado Límite Último, también importante.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Pila 1 Pila 2
ρ (
%)
Comparación de Cuantías
G=100% G=50% G=10%
62
Se ha aplicado el procedimiento propuesto.
Las hipótesis independientes dan los mismos resultados excepto para el viento transversal, tal como se ha
nuestra en la figura 6-25 y la tabla 6-12.
Figura 6-25 Distribución de momentos elásticos de la hipótesis de viento transversal para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En este caso se mantiene el empotramiento a torsión dado por el tablero pero mejora el reparto de las
fuerzas horizontales entre pilas y estribo por lo que los esfuerzos son menores en las pilas.
La combinación condicionante es la III. En la tabla 6-12 se muestran los esfuerzos de las pilas para los dos
casos estudiados.
Tabla 6-12 Distribución de momentos elásticos de la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En la figura 6-26 se muestran los esfuerzos de la combinación III para las los dos casos estudiados y los
diagramas de interacción correspondientes a las cuantías de dimensionamiento preliminar.
0
2
4
6
8
10
-2000 -1000 0 1000 2000
L (m
)
M (kNm)a)
Pila 1
Sin Coacción Con Coacción
0
2
4
6
8
10
-2000 -1000 0 1000 2000L
(m)
M (kNm)b)
Pila 2
Sin Coacción Con Coacción
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
0.0
0.0 227.8 1675.0 2282.4 72.4 129.0
-224.5 1853.0 2344.8 88.5 137.0
CO
MB
III
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
Pila 2 9799.0 10010.0 1675.0 -2271.0
As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1853.0 -2334.0
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
281.8 -413.3 0.0 227.8 281.8 471.9 32.2 32.2
CO
MB
III C
on
Co
acci
ón N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 293.8 -418.8 0.0 224.5 293.8 475.2 32.2 32.2
Pila 2 9799.0 10010.0
63
Figura 6-26 Esfuerzos de dimensionamientos elásticos para las pilas P1 y P2 y diagrama de interacción de la cuantía preliminar de dimensionamiento, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En la figura 6-27 se muestran las rigideces equivalentes calculadas, según el procedimiento descrito en 5.3.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Con Coacción Sin Coacción
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Sin Coacción Con Coacción
64
Figura 6-27 Diagramas momentos curvaturas y rigidez equivalente propuesta para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En la tabla 6-13 se muestran los distintos resultados obtenidos del cálculo pseudo no lineal propuesto, para
los distintos casos considerados.
1 34
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 1
EI Pseudo No Lineal Con Coacción EI Pseudo No Lineal Sin Coacción
1 34
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 2
EI Pseudo No Lineal Con Coacción EI Pseudo No lineal Sin Coacción
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
1889.0 2131.0 0.0 131.0 1889.0 2135.0 88.5 121.0Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 1712.0 1903.0 0.0 106.4 1712.0 1906.0 72.4 96.5
Pila 2 9799.0 10010.0
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
-65.2 169.5 232.6 32.2 32.2
Pila 2 9799.0 10010.0 237.6 -274.7 0.0 96.8 237.6 291.3 32.2 32.2Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 9760.0 10051.0 169.5 -223.3 0.0
65
Tabla 6-13 Distribución de momentos según el cálculo pseudo no lineal propuesto, para la combinación III para las pilas P1 y P2, para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En la figura 6-28 se muestran los esfuerzos obtenidos según el cálculo pseudo no lineal y los diagramas de
interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre
neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
Figura 6-28 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el cálculo elástico y pesudo no lineal y los diagramas de interacción de dimensionamiento correspondientes, para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el
estribo
Como puede verse fijar el tablero horizontalmente en el estribo tiene un efecto muy favorable para el
comportamiento de las pilas.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Con Coacción Sin Coacción
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Con Coacción
66
Tabla 6-14 Distribución de la carga horizontal del viento entre las pilas y los estribos para los distintos cálculos realizados y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
En la figura 6-29 se muestran los momentos horizontales, cortantes y los torsores, en el tablero, para los
distintos tipos de cálculos realizados, para los dos caos estudiados. Todos los cálculos muestran la misma
tendencia.
Tipo Sin C. Con C.
LIN
EAL
V (kN)
Estribo 1 312.6 656.40
Pila 1 368.3 52.40
Pila 2 484.3 77.89
Estribo 2 268.1 646.58
Tipo Sin C. Con C.
PSEU
DO
NO
LIN
EAL
PRO
PUES
TO
V (kN)
Estribo 1 400.2 692.74
Pila 1 259.2 14.19
Pila 2 445.1 46.28
Estribo 2 328.7 680.04
Tipo Sin C. Con C.
NO
LIN
EAL
G+
M
V (kN)
Estribo 1 401.7 665.86
Pila 1 252.9 41.58
Pila 2 454.2 71.43
Estribo 2 324.5 654.38
-20000
0
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M (
kNm
)
L (m)
Ley Lineal de Momentos en Tablero
Sin Coaccion Con Coacción
67
Figura 6-29 Momentos horizontales, cortantes y torsores en el tablero para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
Como se puede ver los momentos horizontales aumentan cuando se fija el tablero en los estribos. A pesar
de todo, estos momentos son perfectamente resistidos por el tablero, posiblemente sin tener que
aumentar la armadura que existe por otras razones.
De la ley de cortante y de los datos de la tabla 6-14, se deduce que la fuerza horizontal el paramento superior
del estribo aumenta considerablemente. No obstante son también esfuerzos gestionables para el estribo y
su cimentación.
En todos los casos se ha realizado asimismo un cálculo no lineal mecánico y geométrico para comprobar el
método propuesto. En la figura 6-30 se muestran los resultados para el pilar que condiciona el
comportamiento del puente. En ella se muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite
Último utilizado para el dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de
interacción correspondiente a la sección de esta pila con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón
y del acero pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se representa la
evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se han representado esta evolución para
los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico y los
distintos casos de apoyo del tablero en el estribo estudiados.
-2000-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M
(kN
m)
L (m)
Ley Lineal de Momentos Torsores en Tablero
sin Coacción Con Coacción
-700
-200
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90V (
kN)
L (m)
Cortante Lineal en Tablero
Cortante scon Coacción Cortante sin Coaccion
68
Figura 6-30 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último con y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en las secciones superior e inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no
lineal y no lineal mecánico y geométrico y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
El coeficiente de seguridad en este caso es mayor de 3,45, para el cual se ha detenido el cálculo. Esto
confirma la mejora de comportamiento que tienen las pilas con esta disposición.
Como puede verse el comportamiento de las pilas mejora muy considerablemente pero los esfuerzos en
el tablero, frente al momento horizontal, y en los estribos, para la carga horizontal que se produce,
aumentan considerablemente y tienen que ser adecuadamente comprobados.
En la figura 6-31 se muestra una comparación de las cuantías obtenidas con el procedimiento propuesto,
para los dos casos estudiados. Como puede verse cuando se fija el estribo las pilas funcionan mejor y por lo
tanto requieren menor cuantía.
Figura 6-31 Cuantías obtenidas con el método propuesto para las pilas P1 y P2 y para el tablero apoyado sobre neoprenos con y sin coacción horizontal en el estribo.
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
Pila 11m Pila 8m
ρ(%
)
Dimensionamiento con los distintas configuraciones
Con Coacción Sin Coacción
69
En cualquier caso es muy importante que para que sea efectivo de la sujeción del tablero en el estribo sea
efectivo que se compruebe el comportamiento del tablero, a flexión horizontal, y del estribo, que tendrá
que resistir unas reacciones horizontales mayores.
6.2 EJEMPLO 2 Paso superior de tres vanos con tablero continuo pretensado y pilas de 11,00 y 8,00 m de altura. Las pilas
son circulares con un diámetro de 1m.
Se trata de un paso superior de tres vanos de 28,00 + 35,00 + 28,00. El tablero es pretensado de sección tipo
losa aligerada de 10,00 m de anchura y 1,60 m de canto.
El tablero está apoyado sobre cada pila a través de un solo neopreno, lo que permite en giro en cualquier
dirección en cabeza de pilas no transmitiendo ningún tipo de coacción del tablero hacia las pilas. En los
estribos se han dispuesto dos neoprenos de 450x450x90 mm3 y separados a 3,60 m.
En la figura 6-32 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.
En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.
70
Figura 6-32 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 2.
El hormigón que se ha escogido para el dimensionamiento de los fustes es un HA-30.
Figura 6-33 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 2
Para la armadura pasiva se ha considerado un acero B-500-S. La ecuación constitutiva empleada es bilineal
sin considerar la pendiente positiva de la segunda rama, y tomando como módulo de deformación
longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.
Figura 6-34 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 2
Se han utilizado las cargas y combinaciones establecidas en la Instrucción sobre Acciones a Considerar en
el Proyecto de Puentes de Carretera (1998).
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4
𝜎
𝜀
HA-30 FS 0.85/1.5
-600
-400
-200
0
200
400
600
-15 -10 -5 0 5 10 15
𝜎
𝜀
B 500 S FS 1/1.15
71
ACCIONES
PERMANENTES (G)
Peso Propio del Tablero 158 kN/m
Peso Propio de las pilas 19.6 kN/m
Pavimento, imposta y barreras de seguridad 48.8 kN/m
ACCIONES VARIABLES (Q)
Tráfico (Q1)
Vertical
Carga Uniforme 4 kN/m2
Carro 600 kN
Horizontal
Frenado 1.9 kN/m
ACCIONES AMBIENTALES
Viento Transversal Tablero (Q2) 10.5 kN/m
Viento Transversal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Viento Longitudinal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Temperatura del Tablero (Q3) 35 ºC
Tabla 6-15 Acciones consideradas Ejemplo 2
Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3
II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3
VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3
Tabla 6-16 Combinación de acciones Ejemplo 2
72
En la tabla 6-17 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas
consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y
temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el
dimensionamiento de las pilas.
Tabla 6-17 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal.
Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.
El viento transversal, tanto en el tablero como localmente en las pilas, produce momentos de eje
longitudinal en las pilas. Los momentos en las pilas, en este caso, son los que corresponden a una ménsula
empotrada en la cimentación.
La variación longitudinal de temperatura produce en las pilas momentos de eje transversal. Estos
momentos son nulos en cabeza y máximos en el empotramiento de las pilas. Estos momentos son
asimismo, opuestos en ambas pilas y ligeramente mayores en la pila más corta, más rígidas.
Como en el caso anterior, las pilas tienen esfuerzos de flexión solo debidos a las hipótesis de viento
transversal y de temperatura longitudinal. Por lo tanto las combinaciones condicionantes para el proyecto
de las pilas esbeltas son las que incluyan estas hipótesis.
En la tabla 6-18 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite
Último, obtenidas a partir del análisis lineal.
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf
Sob
reca
rga
de
Uso
(Q
1) N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 977.7 977.7 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 981.4 981.4 0.0 0.0 0.0 0.0
Tem
per
atu
ra (
Q3)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -249.1
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 252.7
Vie
nto
(Q
2)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 0.0 0.0 0.0 1799.0 0.0 0.0
Pila 2 0.0 0.0 0.0 2317.0 0.0 0.0
Sob
reca
rga
Perm
anen
te
(G)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 7221.0 7437.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 7249.0 7405.0 0.0 0.0 0.0 0.0
73
Tabla 6-18 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.
En la figura 6-35, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de
hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. La armadura se
dispone uniforme a lo largo de toda la longitud. Como puede verse la combinación III es la que resulta
condicionante y corresponde a la situación con máxima carga transversal de viento y temperatura
longitudinal concomitante.
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
0.0 2845.9 32.2 137.0
Md (kNm) As (cm2)
228.0 0.0 3492.5 32.2 209.10.0 3485.0 0.0
CO
MB
VI
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 8141.0 8297.0 0.0 2085.0 0.0
Pila 1 7228.0 7444.0 0.0 2837.0
380.0
0.0 -225.0
Pila 2 7256.0 7413.0
0.0 -374.0 0.0 1661.6 32.2 48.3
Md (kNm) As (cm2)
104.50.0 2119.3 32.2
32.2
CO
MB
V
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 8730.0 8887.0 0.0 1042.0 0.0
Pila 1 8109.0 8325.0 0.0 1619.0
228.0 0.0 1066.7 32.2
0.0 3492.5 32.2
0.0 -225.0 0.0 840.1 32.2 32.2
Md (kNm) As (cm2)
185.0
As (cm2)
241.3
CO
MB
IV
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 9799.0 #### 0.0 3485.0 0.0
Pila 1 8696.0 8912.0 0.0 809.4
228.0
10051.0 0.0 2837.0 0.0
0.0 2119.3 32.2
-225.0 0.0 2845.9 32.2
CO
MB
III
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
0.0 1661.6 32.2
Pila 2 10683.0 10895.0 0.0 2085.0 0.0
379.5
Pila 1 10641.0 10932.0 0.0 1619.0
Pila 1 9760.0
CO
MB
II
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
CO
MB
I
128.7
88.5
0.0 1042.0 0.0 228.0 0.0
0.0 -374.0
380.0
32.2
As (cm2)Md (kNm)
-225.0 0.0 840.1
1066.7
32.2 32.2
Pila 2 11273.0 11484.0
Pila 1 11230.0 11520.0 0.0 809.4 0.0
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
48.3
74
Figura 6-35 Esfuerzos solicitantes en Estado Límite Último y diagrama de interacción para la armadura adoptada. a) Pila 1 de 11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.
En las figura 6-36 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la
combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez
bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del
hormigón (Ec = 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el
apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)a)
Pila 1 (21 Φ32)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)b)
Pila 2 (30Φ32)
75
Figura 6-36 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila 1 de
11,00 m de altura. b) Pila 2 de 8,00 m de altura.
1
34
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)a)
Pila 1 (ν=0.64) 23Φ32
EI Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
34
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)b)
Pila 2 (ν=0.64) 30Φ32
EI Pseudo No Lineal EI b EI EC2
76
En la tabla 6-19 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo
no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica.
Tabla 6-19 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas.
De los resultados que se muestran en la tabla se pueden deducir distintas cuestiones:
i. Las pilas tienen menores esfuerzos. Esto es debido a la redistribución de esfuerzos que se
produce debido al comportamiento no lineal y al efecto de la esbeltez, que supone
esencialmente una mayor flexibilidad del sistema. Como puede verse en los resultados que se
muestran en la tabla 6-20, donde se muestra el reparto de las cargas horizontales entre los
estribos y pilas, al perder rigidez las pilas los esfuerzos se transfieren hacia los estribos. Este
efecto debe tenerse en cuenta para el dimensionamiento de apoyos en los estribos. También,
como en el caso anterior, se podría mejorar el comportamiento de las pilas si se coacciona más
el tablero en los estribos.
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
sup inf sup inf sup inf sup inf sup inf
As (cm2)
0.0 2837.0 0.0 224.5
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
9760.0 10051.0 0.0 2845.9 32.2 185.0
Md (kNm) As (cm2)
0.0 2231.9
227.8 0.0 3492.4 32.2 241.3
32.2 128.7
Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 9799.0 10010.0 0.0 3485.0 0.0
Lin
eal
Pila 1
Pila 2 9799.0 10010.0 0.0 3469.0 0.0 150.0 0.0
Pila 1 9760.0 10051.0 0.0 2229.0 0.0 113.0
3472.2 32.2 241.3
1.0
1.0
1.0
1.0382.0
423.5
232.2
395.6
Lin
eal
V (kN)
Estribo 1
Pila 1
Pila 2
Estribo 2
1.37
0.25
0.72
1.38525.7
305.2
59.2
543.2
Pseu
do
No
Lin
eal
V (kN)
Estribo 1
Pila 1
Pila 2
Estribo 2
77
Tabla 6-20 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
ii. Se puede ver también, que los esfuerzos debidos a la variación uniforme de temperatura del
tablero disminuyen. Esto es lógico también, como en el caso anterior, porque al disminuir las
rigideces disminuye la coacción debida a las pilas y disminuyen los esfuerzos debidos a las
deformaciones impuestas, como es la temperatura en el tablero.
iii. Los momentos en el tablero aumentan, tal como se muestra en la figura 6-37. Esto también es
lógico porque al flexibilizarse las pilas su coacción disminuye y el flector aumenta. Este es otro
aspecto que hay que tener en cuenta en el proyecto. Hay que comprobar si la hipótesis de
comportamiento con rigidez bruta del tablero es adecuada y si es necesario algún refuerzo
adicional para esta situación. Esta última comprobación no es práctica habitual pero necesaria,
sobre todo en la actualidad que existe la tendencia a no estudiar toda la información que se
tiene dispone de todos los cálculos que realizan.
Figura 6-37 Momentos flectores y torsores en el tablero para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
α
No
Lin
eal G
+M
V (kN)
Relación de Fuerzas
Estribo 1 548.0 1.39
Pila 1 38.2 0.16
Pila 2 319.8 0.76
Estribo 2 527.2 1.38
-20000
-10000
0
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
M K
Nm
)
L (m)
Ley de Momentos en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-150
50
-9 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
78
iv. Los esfuerzos torsores en el tablero no sufren grandes cambios porque el tablero, al que se
supone una rigidez lineal en todos estos cálculos, no ve prácticamente afectado su
comportamiento a torsión en este caso.
v. En la figura 6-38 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos
cálculos realizados. En estas figuras se puede ver que para las cargas finales las excentricidades
son prácticamente en la dirección transversal. Además se puede ver que están contenidas en
un plano. En general cuando hay esfuerzos de flexión biaxial puede que las excentricidades no
estén en el mismo plano. Este comportamiento en pilas de puente es debido a que las
combinaciones pésimas para las pilas son normalmente, fundamentalmente en una dirección.
79
Figura 6-38 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no línea y no lineal mecánico y geométrico.
Con los esfuerzos obtenidos del cálculo psuedo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final
de las pilas. En la figura 6-39 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas, según el
comportamiento pseudo no lineal propuesto, y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura
final obtenida. Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido,
según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, aun cuando los esfuerzos utilizados para el
dimensionamiento final tienen en cuenta el comportamiento no lineal geométrico y mecánico, aunque de
forma simplificada, debido a redistribuciones de esfuerzos el dimensionamiento puede ser menor que el
determinado inicialmente con un cálculo elástico sin tener en cuenta el segundo orden. En estos casos, se
propone mantener el dimensionamiento obtenido inicialmente, porque es el que es compatible con la
estimación de rigidez realizada para el pseudo cálculo no lineal propuesto.
80
Figura 6-39 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.
Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en
cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.
En las figura 6-40 se muestran los diagramas de interacción de la pila P1, de 11,00 m de altura. En ella se
muestra el diagrama de interacción correspondiente al Estado Límite Último utilizado para el
dimensionamiento. En la misma figura se muestra también el diagrama de interacción correspondiente a la
sección de esta pila, con las mismas ecuaciones constitutivas del hormigón y del acero que para el diagrama
de interacción anterior pero sin coeficientes de minoración de los materiales. En la misma figura se
representa la evolución de esfuerzos de las pilas en la sección superior e inferior. Se ha representado esta
evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y
geométrico.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Pesudo No Lineal Lineal
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Lineal Pseudo No Lineal
81
Figura 6-40 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 11,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico.
En la figura 6-41 se muestran los mismos diagramas y esfuerzos para la pila P2 de 8,00 m de altura.
Figura 6-41 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no
lineal mecánico y geométrico.
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
No Lineal g+M Lineal Pseudo No Lineal
82
Como puede verse en la figura6-41, la estructura falla porque se alcanza la rotura definida por el diagrama
de interacción sin coeficientes de minoración del material para la sección inferior de la pila P2. El coeficiente
de seguridad global de la estructura obtenido en este caso es de 1.84
Puede verse los esfuerzos de la sección inferior de la pila P2 son mayores que los elásticos, debido al
comportamiento no lineal geométrico y mecánico. A pesar de la redistribución de esfuerzos que existe
entre pilas y estribos, y que se trata de una pila menos esbelta que la P1, hay efecto de segundo orden. La
pila más esbelta no rompe porque, aun teniendo efectos de segundo orden los esfuerzos de primer orden
son mucho menores que los previstos en el cálculo elástico.
En las figuras 6-42 y 6-43 se muestran los momentos, debidos a distintos efectos, que componen la
distribución de momentos finales de las pilas P1 y P2, respectivamente, para el estado de cargas de la
combinación III. Se representan los mismos esquemas para el cálculo lineal, en el que no hay efecto de
segundo orden, para el pseudo cálculo no lineal propuesto y para el cálculo no lineal mecánico y geométrico.
2692.8 kNm 136.1 kNm 2828.9 kNm 68.7 mm
a) b) c) f)
Lineal Comb III Pila 1
+ =
1594.0 kNm 136.1 kNm 954.8 kNm 2685.0 kNm 96.8 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Comb III Pila 1
+ =+
83
Figura 6-42 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1048.5 kNm 136.1 kNm 1051.7 kNm 2236.3 kNm 113.0 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 1
+ + =
3398.4 kNm 72.0 kNm 3470.4 kNm 45.0 mm
a) b) c) f)
Lineal Comb III Pila 2
+ =
3082.4 kNm 72.0 kNm 650.7 kNm 3805.050 kNm 65.1 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Comb III Pila 2
=+ +
84
Figura 6-43 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse los momentos según el cálculo lineal no tienen en cuenta los efectos de segundo orden.
No existe en este caso el efecto de coacción por torsión del tablero. Los momentos se generan debido al
cortante actuando en el extremo de la pila, producido por el viento transversal actuando sobre el tablero
(b), debido al viento transversal actuando directamente en la pila (c).
Los momentos según el pseudo cálculo no lineal si tiene en cuenta los efectos de segundo orden (d), de
acuerdo con las deformaciones de las pilas (f), pero los efectos de primer orden son menores que los
estimados con el cálculo lineal. Para el mismo estado de cargas el cálculo no lineal mecánico y geométrico,
da resultados similares, lo que pone de manifiesto que la simplificación propuesta resulta adecuada.
Esta misma situación se produce en relación reparto de cortantes entre las pilas y los estribos, que se
muestran en la figura 6-20.
En las figuras 6-44 y 6-45 se muestra el para las dos pilas los momentos su composición, para el estado de
carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, se mantiene el
comportamiento explicado solo que las cargas y, lógicamente, las deformaciones de las pilas crecen, no
linealmente.
2712.2 kNm 72.0 kNm 686.0 kNm 3470.110 kNm 80.7 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 2
+ + =
168.8 kNm 3338.5 kNm 3507.3 kNm 85.2 mm
a) b) c) f)
Lineal Rotura Pila 1
+ =
85
Figura 6-44 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1391.5 kNm 168.8 kNm 1686.4 kNm 3246.7 kNm 136.0 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 1
+ + =
1540.0 kNm 168.8 kNm 1417.2 kNm 3126.0 kNm 141.0 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Rotura Pila 1
+ + =
89.3 kNm 4213.6 kNm 4302.9 kNm 55.8 mm
a) b) c) f)
Lineal Rotura Pila 2
+ =
86
Figura 6-45 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
Finalmente tal como se ha hecho en el ejemplo anterior se han dimensionado las pilas con otros métodos,
para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos del ejemplo anterior.
En la figura 6-46 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para las
dos pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.
La razón es porque se tiene en cuenta el efecto de la interacción de la estructura y las pilas esbeltas en todas
sus dimensiones.
3567.0 kNm 89.3 kNm 1171.7 kNm 4827.976 kNm 93.8 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 2
+ + =
3610.1 kNm 89.3 kNm 1001.0 kNm 4700.360 kNm 99.5 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Rotura Pila 2
+ + =
87
Figura 6-46 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.
6.3 EJEMPLO 3
Ejemplo de un paso superior con tablero continuo pretensado y con tres pilas rectangulares de 10,00, 12,00
y 8,00 m de altura. En este caso la pila está vinculada al tablero con dos neoprenos por pila y por lo tanto
con un cierto grado de empotramiento transversal.
En este ejemplo se estudia un paso superior con pilas rectangulares, una solución muy frecuente. Este tipo
de pilas tiene de rigidez y capacidad resistente diferente en las dos direcciones. Además en este caso la
altura de las pilas es diferente, no simétrica, y esto condiciona también los esfuerzos a los que están
expuestos, el dimensionamiento que resultara y el comportamiento debido a los efectos de la esbeltez.
El tablero tiene cuatro vanos de 30,00 + 40,00 + 40,00 + 30,00 m de luz. El tablero es también pretensado
de sección similar a la de los ejemplos anteriores.
El tablero está apoyado sobre cada pila a través de dos neoprenos de dimensiones de 700x800x70 mm3 y
separados 3,75 m en la dirección transversal. Debido a la longitud, se han previsto apoyos de teflón en los
estribos, que no suponen prácticamente impedimento al movimiento longitudinal.
Con esta configuración de apoyos transversalmente el tablero queda empotrado a torsión en los estribos y
parcialmente en las pilas intermedias. Longitudinalmente el tablero esta coaccionado longitudinalmente
solo por las pilas.
En la figura6-47 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.
En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
Pila 11m Pila 8m
ρ(%
)
Dimensionamiento con los Distintos Métodos
M. Code EC2 EHE-08 M.P.
88
Figura 6-47 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 3.
El hormigón que se ha escogido para el dimensionamiento de los fustes es un HA-25.
89
Figura 6-48 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 3
Para la armadura pasiva se ha considerado un acero B-500-S. La ecuación constitutiva empleada es bilineal
sin considerar la pendiente positiva de la segunda rama, y tomando como módulo de deformación
longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.
Figura 6-49 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 3
Se han utilizado las cargas y combinaciones establecidas en la Instrucción sobre Acciones a Considerar en
el Proyecto de Puentes de Carretera.
0
5
10
15
0 1 2 3 4
𝜎
𝜀
HA-25 FS 0.85/1.5
-600
-400
-200
0
200
400
600
-15 -10 -5 0 5 10 15
𝜎
𝜀
B 500 S FS 1/1.15
90
ACCIONES
PERMANENTES (G)
Peso Propio del Tablero 228 kN/m
Peso Propio de las pilas 50 kN/m
Pavimento, imposta y barreras de seguridad 59.5 kN/m
ACCIONES VARIABLES (Q)
Tráfico (Q1)
Vertical
Carga Uniforme 4 kN/m2
Carro 600 kN
Horizontal
Frenado 2.2 kN/m
ACCIONES AMBIENTALES
Viento Transversal Tablero (Q2) 10.9 kN/m
Viento Transversal Pilas (Q2) 1.3 kN/m
Viento Longitudinal Pilas (Q2) 7 kN/m
Temperatura del Tablero (Q3) 35 C
Tabla 6-21 Acciones consideradas ejemplo 3
Combinación Descripción I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3
II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3
VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3
Tabla 6-22 Combinación de acciones ejemplo 3
En la tabla 6-23 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas
consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico y frenado, viento
longitudinal y temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para
el dimensionamiento de las pilas. En este caso la esbeltez principal está en la dirección longitudinal y el
viento transversal pierde protagonismo.
91
Tabla 6-23 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal.
Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.
El frenado, viento longitudinal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en
la dirección longitudinal.
Los momentos generados por la temperatura son de signo contrario en las pilas extremas y pequeño en la
pila central.
F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2
11505.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1124.0 -1124.0
1082.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1056.0 1056.0
0.0 0.0 0.0 324.0 -324.0
Sob
re C
arga
s Pe
rman
ente
s (G
)N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 11599.0 11599.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 12348.0 12348.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 11505.0
Sob
re C
arga
de
Uso
(Q
1)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 1081.0 1081.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 1144.0 1144.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 1082.0
Fren
ado
(Q
1)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 994.0 -994.0
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 830.4 -830.4
Pila 3 0.0
Vie
nto
Lo
ngi
tud
inal
(Q
2)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 345.6 -345.6
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 359.5 -359.5
Pila 3 0.0
Tem
per
atu
ra (
Q3)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 -1219.0 -1219.0
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 -119.4 -119.4
Pila 3 0.0
92
Los momentos generados por el frenado y el viento longitudinal, que actúan en la misma dirección, tienen
siempre el mismo signo. Normalmente las pilas más rígidas se llevan mayor carga horizontal y las menos
rígidas, más esbeltas, menos.
En la tabla 6-24 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite
Último, obtenidas a partir del análisis lineal. En este caso, dependiendo de la dirección de las distintas cargas
las pilas pueden tener esfuerzos pésimos en distintas combinaciones. Por esta razón en la tabla se indican
los valores de momentos para las dos direcciones, F1 y F2.
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
As (cm2)
Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0 548.3
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
-2745.0 548.3 2745.0
CO
MB
II
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
80.4 80.4
CO
MB
I
1300.00.00.018368.018368.0Pila 2 80.480.41515.01300.0-1515.0
17171.0Pila 3
As (cm2)
Pila 1 15675.0 15675.0 0.0 0.0 579.7
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
80.4 80.4
1437.0 465.2 80.4 80.4
13220.0 0.0 0.0
CO
MB
IV
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
431.6
1437.0
CO
MB
III
Pila 3 15548.0 15548.0 0.0 0.0 -465.2
Pila 2 14064.0 14064.0 0.0 0.0 1300.0
548.3
891.7
2888.0
624.0 -3035.0Pila 1 12572.0 12572.0 0.0 0.0
CO
MB
V
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 2 13377.0
Pila 2 17681.0 17681.0 0.0 0.0
80.480.4881.32784.0-881.32784.0
624.0 3035.0 80.4 80.4Pila 1 16648.0 16648.0 0.0 0.0
891.7 -1250.0 891.7 1250.0 80.4 80.4
0.00.017171.0
624.0 -3035.0
-281.0 2888.0 281.0 80.4 80.4
Pila 2 16653.0 16653.0 0.0 0.0
Pila 3 16522.0 16522.0 0.0 0.0 2888.0
-1617.0 579.7 1617.0 80.4 80.4
-646.7 431.6 646.7
-2745.0 548.3 2745.0 80.4 80.4
Md (kNm) As (cm2)
624.0 3035.0 80.4 80.4
Md (kNm) As (cm2)
Pila 1 13220.0
-1515.0 1300.0 1515.0 80.4 80.4
Pila 3 13027.0 13027.0 0.0 0.0 2784.0 -881.3 2784.0 881.3 80.4 80.4
-1250.0 891.7 1250.0 80.4 80.4
Pila 3 12478.0 12478.0 0.0 0.0
13377.0 0.0 0.0
-281.0 2888.0 281.0 80.4 80.4
93
Tabla 6-24 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.
En la figura 6-50, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de
hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada. Como puede verse la
armadura resultante, para las tres pilas, es la armadura mínima. Los esfuerzos solicitantes no agotan la
sección. La armadura se dispone uniforme a lo largo de toda la longitud.
Figura 6-50 Esfuerzos solicitantes, para las tres pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada, armadura mínima.
Del estudio de la tabla 6-24, se puede ver que las combinaciones I y II tienen esfuerzos muy parecidos en
magnitud pero no en signo. En la combinación I los esfuerzos predominantes son los de frenado. Debido a
esta acción todos los momentos actúan en la misma dirección y, por lo tanto, respecto al segundo orden
no hay posibilidad de compensación con lo hay en la combinación II. En la combinación II la carga
predominante es la temperatura. La temperatura produce momentos de signo contrario y deformaciones
opuestas en las pilas opuestas. De esta forma cuando se producen efectos de segundo orden, se activa una
interacción longitudinal del tablero por la que el tablero comprimido coarta la deformación de segundo
orden de las pilas esbeltas. Por esta razón se ha elegido la combinación I, como combinación condicionante
del dimensionamiento de las pilas.
Esta situación pone de manifiesto como la información del cálculo lineal y la interpretación cualitativa de
los fenómenos tiene una gran importancia.
En las figura 6-51 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la
combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez
bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
CO
MB
VI
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Pila 1 11599.0 11599.0 0.0 0.0
-465.2 1437.0 465.2 80.4
Pila 2 12348.0 12348.0 0.0 0.0 431.6
579.7 -1617.0 579.7 1617.0 80.4
1437.0Pila 3 11505.0 11505.0
As (cm2)
80.4
80.4
Md (kNm)
-646.7 431.6 646.7 80.4 80.4
0.0 0.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Dimensionamiento Lineal Pila 1,2 y 3
(10Φ32)
94
hormigón (Ec = 28500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el
apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].
Como la cuantía es la misma para todas las pilas y la única variación en los diagramas momento-curvatura
es el axil, que varía muy poco, todas la rigideces medias son muy parecidas.
13 4
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 1 2 3 4 5 6 7
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 1
EI Pseudo No Lineal EI b EI EC2
13 4
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 1 2 3 4 5 6 7
M (
kNm
)
1/r (km-1)b)
Pila 2
95
Figura 6-51 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].a) Pila1 de
10,00 m de altura. b) Pila 2 de 12,00 m de altura. c) Pila 3 de 8,00 m de altura.
En la tabla 6-25 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo
no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica, para la
combinación I y II.
Comparando estos resultados se confirma que la combinación I es más desfavorable que la combinación II,
tal como se puede imaginar de los datos del cálculo no lineal y la predicción cualitativa del fenómeno.
a)
13 4
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 1 2 3 4 5 6 7
M (
kNm
)
1/r (km-1)c)
Pila 3
EI Pseudo No Lineal EI b EI EC2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
Mz (kNm) Md (kNm)
548.3 2745.0 548.3 -2745.0 80.4 80.4
As (cm2)
2784.0 -881.3 80.4 80.4
1515.0 1300.0 -1515.0 80.4 80.4
80.4 80.4
As (cm2)Md (kNm)
17171.0 17171.0 0.0 0.0 4453.0 -5031.0 160.8 193.0
2586.0 -2315.0
4037.0 -2848.0 128.7 80.4
17171.0 17171.0 0.0 0.0 2784.0 881.3
Lin
eal
Pila 3
Pila 2 18368.0 18368.0 0.0 0.0 1300.0
Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0
N (kN) My (kNm)
Pila 2 18368.0 18368.0 0.0 0.0 2586.0
Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
2315.0
Pila 3
2848.0Pila 1 17297.0 17297.0 0.0 0.0 4037.0
4453.0 5031.0
96
b)
Tabla 6-25 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas. a) Combinación I. b) Combinación II.
De los resultados del cálculo pseudo no lineal de la combinación I se pueden deducir distintas cuestiones:
i. Las pilas, en la dirección longitudinal, tiene esfuerzos mucho mayores que los deducidos en el
cálculo elástico. La pérdida de rigidez debida al comportamiento no lineal mecánico y
geométrico, aumenta los esfuerzos de segundo orden significativamente. A diferencia de los
ejemplos anteriores las pilas no pueden transferir acciones a los estribos, por el tipo de apoyos
que se han dispuesto.
Lógicamente los esfuerzos cortantes en las cabezas de las pilas varían porque hay un reparto
entre pilas. Se lleva más las que más rigidez tienen. Ver en la tabla 6-26.
Esto pone de manifiesto que es muy negativo perder el efecto positivo de la coacción del
estribo. Si es necesario tener neoprenos en los apoyos, puede darse al tablero una capacidad
de movimiento longitudinal compatible con los movimientos reologicos y térmicos pero luego
impedir que este movimiento aumente. Es como delimitar de antemano, en el proyecto, el
máximo desplazamiento de la cabeza de las pilas, el máximo efecto de segundo orden. Este es
el concepto del diseño del viaducto sobre el rio Sil y el viaducto de Alberche [6].
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
624.0 3035.0
16505.0 16505.0 0.0 0.0
Pila 2 17699.0 17699.0 0.0 0.0
2888.0 281.0 2888.0 -281.0 80.4
Pila 1 16631.0 16631.0 0.0 0.0 624.0 -3035.0 80.4 80.4
Pila 3 80.4
1250.0 891.7 -1250.0 80.4 80.4891.7
Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
3258.0 1356.0 -3258.0
-1909.0
As (cm2)
Pila 1 16631.0 16631.0 0.0 0.0 1356.0 80.4 80.4
Pila 2 17699.0 17699.0 0.0 0.0 1495.0 1909.0 1495.0
Pila 3 16505.0 16505.0 0.0 0.0 3656.0 2634.0
80.4 80.4
3656.0 -2634.0 80.4 80.4
97
Tabla 6-26 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación I para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
ii. En la figura 6-52 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos
cálculos realizados. En estas figuras se puede ver las excentricidades solo están en la dirección
longitudinal y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.
Pila 3Li
nea
l
V (kN)
Pila 1
Pila 2
97.2
107.0
257.8
334.0
89.2
39.0
V (kN)
Pseu
do
No
Lin
eal
Pila 1
Pila 2
Pila 3
92.2
76.5
293.3 338.6
7.9
145.1
V (kN)
No
Lin
eal G
+M
Pila 1 103.0 161.8
Pila 2 31.0 34.6
Pila 3 328.2 265.6
98
Figura 6-52 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no línea y no lineal mecánico y geométrico.
Con los esfuerzos obtenidos del cálculo psuedo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final
de las pilas. En la figura 6-53 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas, según el
comportamiento pseudo no lineal propuesto, y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura
final obtenida. Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido,
según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, en este caso el dimensionamiento elástico es
menor que el finalmente adoptado. Además puede verse que debido al efecto de las cargas, los esfuerzos
pésimos de las distintas pilas corresponden a distintas situaciones de la carga, que puede actuar en las dos
direcciones. Esto supone una hiper resistencia que mejora el comportamiento global del puente.
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Pila 1
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Pila 2
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Pila 3
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
99
Figura 6-53 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Pseudo No Lineal Lineal
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Pseudo No Lineal y Lineal
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
Pseudo No Lineal Lineal
100
Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en
cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.
En las figura 6-54 se muestran los diagramas de interacción de la pila P1, de 10,00 m de altura. En ella se
representa el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción
obtenido con ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de
materiales. En la misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior. La
sección superior no tiene momentos. Se ha representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo
realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal mecánico y geométrico.
Se han realizado dos análisis, uno en cada dirección. Se han representado las dos situaciones en las mismas
figuras.
En las figuras 6-55 y 6-56 se muestran los mismos diagramas para las pilas P2 y P3.
Figura 6-54 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 de 10,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no
lineal mecánico y geométrico.
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
F1 No Lineal G+M F1 Lineal F2 No Lineal G+M
F2 Lineal Pseudo No Lineal
101
Figura 6-55 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 de 12,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no
lineal mecánico y geométrico.
Figura 6-56 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 de 8,00 m en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no
lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse en la figura 6-56, la estructura falla porque se alcanza la rotura, definida por el diagrama
de interacción sin coeficientes de minoración del material, en la sección inferior de la pila P3, la pila más
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
F2 No Lineal G+M F2 Lineal F1 Lineal
F1 No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
F2 No Lineal G+M F1 No Lineal G+M F2 Lineal
F1 Lineal Pseudo No Lineal
102
rígida. La rotura se produce por inestabilidad de esta pila. En las dos direcciones la rotura se produce de la
misma forma. Los coeficientes de seguridad global que se obtienen son de 2,42, para la dirección F1, y 2,4,
para la dirección F2.
Figura 6-57 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
2578.4 kNm 157.5 kNm 2735.9 kNm 25.220 mm
b) c) f)
Lineal Comb III Pila 1 f1
+ =
2240.6 kNm 157.5 kNm 622.4 kNm 3020.455 kNm 37.5 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Comb III Pila 1 f1
+ + =
2067.0 kNm 157.5 kNm 840.5 kNm 3065.045 kNm 50.6 mm
a) b) c) d) e)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 1 f1
+ + =
103
Figura 6-58 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1287.6 kNm 226.8 kNm 1514.4 kNm 19.570 mm
b) c) f)
+ =
Lineal Comb III Pila 2 f1
920.9 kNm 226.8 kNm 555.1 kNm 1702.730 kNm 31.6 mm
b) c) d) f)
+ + =
No Lineal G+M Comb III Pila 2 f1
676.9 kNm 226.8 kNm 808.5 kNm 1712.216 kNm 45.0 mm
b) c) d) f)
+ + =
Pseudo No Lineal Comb III Pila 2 f1
104
Figura 6-59 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica. En este caso aunque
la redistribución por cambio de rigidez de las pilas existe, haciendo participar la pila baja más, lo más
importante es que no hay mecanismo que contenga el segundo orden. Véase por ejemplo la magnitud de
las deformaciones y, consecuentemente, la magnitud de los efectos de segundo orden.
En las figuras 6-57, 6-58 y 6-59 se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de
carga máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. Para este estado, es válida la
explicación para el estado anterior solo que los esfuerzos de segundo orden aquí son mayores, lógicamente,
las deformaciones de las pilas crecen, no linealmente.
2671.3 kNm 100.8 kNm 2772.1 kNm 16.470 mm
b) c) f)
Lineal Comb III Pila 3 f2
+ =
2711.0 kNm 100.8 kNm 667.0 kNm 3478.800 kNm 24.0 mm
b) c) d) f)
No LinealG+M Comb III Pila 3 f2
+ + =
2807.7 kNm 100.8 kNm 498.0 kNm 3406.439 kNm 29.6 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Comb III Pila 3 f2
+ + =
105
A la luz de estos resultados puede concluirse que es muy importante, desde el punto de vista del proyecto
tomar medidas para garantizar reservas y contención de los efectos de segundo orden, como coartar el
movimiento longitudinal del tablero [6].
Figura 6-60 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
4125.4 kNm 252.0 kNm 4377.4 kNm 40.350 mm
b) c) f)
Lineal Rotura Pila 1 f1
+ =
2039.1 kNm 252.0 kNm 3947.2 kNm 6238.254 kNm 141.2 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 1 f1
+ + =
3388.0 kNm 252.0 kNm 2024.5 kNm 5664.526 kNm 72.3 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Lineal Rotura Pila 1 f1
+ + =
106
Figura 6-61 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
2055.0 kNm 362.9 kNm 2417.9 kNm 31.300 mm
b) c) f)
Lineal Rotura Pila 2 f1
+ =
256.1 kNm 362.9 kNm 3825.9 kNm 4444.843 kNm 128.5 mm
b) c) d) f)
No Lineal G+M Rotura Pila 2 f1
+ + =
1021.6 kNm 362.9 kNm 1906.2 kNm 3290.680 kNm 64.0 mm
b) c) d) f)
Pseudo No Linea Rotura Pila 2 f1
+ + =
107
Figura 6-62 . Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
Finalmente tal como se ha hecho en el ejemplo anterior se han dimensionado las pilas con otros métodos,
para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos del ejemplo anterior.
En la figura 6-63 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para todas
pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los métodos.
En este caso podría pensarse que las cuantías deberían ser similares, si se piensa que la longitud de pandeo
que utilizan los métodos simplificados, empotrado en un extremo y libre en el otro, son más similares al
comportamiento real. Sin embargo esto no es así porque los métodos simplificados, excepto el de García
[10], no tienen en cuenta la redistribución de esfuerzos, que es muy importante.
4274.0 kNm 161.3 kNm 4435.3 kNm 26.340 mm
b) c) f)
Lineal rotura Pila 3 f2
+ =
4271.7 kNm 161.3 kNm 2417.7 kNm 6850.690 kNm 87.0 mm
b) c) d) f)
=
No LinealG+M Rotura Pila 3 f2
+ +
4597.7 kNm 161.3 kNm 1222.8 kNm 5981.720 kNm 44.0 mm
b) c) d) f)
=
Pseudo No Linea Rotura Pila 3 f2
+ +
108
Para los métodos simplificados la cuantía de la pila más esbelta la central es mayor porque es la que tiene
más esbeltez y estos métodos penalizan los elementos más esbeltos. Sin embargo no estiman
adecuadamente los menores esfuerzos en la pila esbelta debido a la redistribución.
En las pilas cortas, subestiman las cuantías porque no tienen en cuenta la redistribución y por lo tanto no
tienen en cuenta el aumento de esfuerzos.
Figura 6-63 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.
6.4 EJEMPLO 4
Viaducto con tablero continuo pretensado de 10 vanos y con pilas de fuste circular con ménsula de 11,00 m
de altura.
En este ejemplo se estudia un viaducto de 10 vanos con tablero continuo de hormigón pretensado. El
tablero es similar al del ejemplo 1. Las pilas son asimismo similares a las del ejemplo 1. Aunque en este caso
las pilas son muy esbeltas, y quizás de este punto de vista un poco exagerado para un puente real, se han
mantenido las mismas del ejemplo 1, para poder compararlas.
El tablero se apoya en las pilas con sendos neoprenos de 600x600x70 mm3, separados 3,00 m. en los apoyos
también se prevén neoprenos. Debido a la longitud del puente los neoprenos de los vanos finales y de los
estribos son altos. Hay otras soluciones de proyecto que pueden mejorar esta decisión. En cualquier caso
se ha mantenido este criterio por motivos de comparación.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Pila 10m Pila 12m Pila 8m
ρ(%
)
Dimensionamiento con los Distintos Métodos
M. Code EC-2 (R.N.) EHE-08 JG M.P.
109
En la figura 6-64 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y
pilas. En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.
Figura 6-64 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 4.
El hormigón que se ha escogido para el dimensionamiento de los fustes es un HA-30.
Figura 6-65 E. Constitutiva del Hormigón Ejemplo 4
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4
𝜎
Título del eje
HA-30 FS 0.85/1.5
110
Para la armadura pasiva se ha considerado un acero B-500-S. La ecuación constitutiva empleada es bilineal
sin considerar la pendiente positiva de la segunda rama, y tomando como módulo de deformación
longitudinal el valor 𝐸𝑠 = 200000 MPa.ε
Figura 6-66 E. Constitutiva del Acero Ejemplo 4
Se han utilizado las cargas y combinaciones establecidas en la Instrucción sobre Acciones a Considerar en
el Proyecto de Puentes de Carretera (1998).
ACCIONES
PERMANENTES (G)
Peso Propio del Tablero 158 kN/m
Peso Propio de las pilas 19.6 kN/m
Pavimento, imposta y barreras de seguridad 48.8 kN/m
ACCIONES VARIABLES (Q)
Tráfico (Q1)
Vertical
Carga Uniforme 4 kN/m2
Carro 600 kN
Horizontal
Frenado 1.9 kN/m
ACCIONES AMBIENTALES
Viento Transversal Tablero (Q2) 10.5 kN/m
Viento Transversal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Viento Longitudinal Pilas (Q2) 1.5 kN/m
Temperatura del Tablero (Q3) 35 ºC
Tabla 6-27 Acciones Utilizadas en Ejemplo 5
-600
-400
-200
0
200
400
600
-15 -10 -5 0 5 10 15
𝜎
ε
B 500 S FS 1/1.15
111
Combinación Descripción
I 1.35(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 II 1.35(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 III 1.35(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3 IV 1.00(𝐺) + 1.50𝑄1 + 0.45𝑄2 + 0.90𝑄3 V 1.00(𝐺) + 0.90𝑄1 + 0.90𝑄2 + 1.50𝑄3 VI 1.00(𝐺) + 1.50𝑄2 + 0.90𝑄3
Tabla 6-28 Combinación de acciones del ejemplo 4
En la tabla 6-29 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas
consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y
temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el
dimensionamiento de las pilas.
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 7175.0 7391.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 7296.0 7511.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 7224.0 7440.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 4 7241.5 7457.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 5 7236.4 7452.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 7241.5 7457.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 7 7224.0 7440.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 8 7296.0 7511.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 9 7175.0 7391.0 0.0 0.0 0.0 0.0
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0
Pila 2 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0
Pila 3 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0
Pila 4 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0
Pila 5 0.0 0.0 975.6 -3336.5 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0
Pila 7 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0
Pila 8 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0
Pila 9 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1386.0
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1038.7
Pila 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -692.3
Pila 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -346.1
Pila 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 346.1
Pila 7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 692.3
Pila 8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1038.7
Pila 9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1386.0
Vie
nto
(Q
2)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Sob
reca
rga
Perm
anen
te (
G)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Tem
per
atu
ra (
Q3)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
112
Tabla 6-29 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal.
Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.
El viento transversal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en la las pilas.
Los momentos generados por la temperatura son de signo contrario, pequeños las pilas extremas y
mayores en la pila central.
Los momentos generados por el viento trasversal, tienen siempre el mismo signo. Aquí se ve como, debido
a la longitud del tablero, el efecto de empotramiento a torsión sobre la pila disminuye respecto a lo que
ocurría en el ejemplo 1.
En la tabla 6-67 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite
Último, obtenidas a partir del análisis lineal.
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 971.6 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 987.8 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 978.1 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 4 980.5 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 5 979.8 979.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 980.5 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 7 978.1 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 8 987.8 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 9 971.6 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0
Sob
reca
rga
de
Uso
(Q
1)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 11143.3 11434.4 436.5 -874.7 0.0 -1247.2 436.5 1523.3
Pila 2 11331.1 11622.2 441.4 -1153.6 0.0 -934.8 441.4 1484.8
Pila 3 11219.3 11510.4 443.1 -1350.5 0.0 -623.1 443.1 1487.3
Pila 4 11246.7 11537.8 440.7 -1464.5 0.0 -311.5 440.7 1497.3
Pila 5 11238.8 11529.9 439.0 -1501.4 0.0 0.0 439.0 1501.4
Pila 6 11246.7 11537.8 440.7 -1464.5 0.0 311.5 440.7 1497.3
Pila 7 11219.3 11510.4 443.1 -1350.5 0.0 623.1 443.1 1487.3
Pila 8 11331.1 11622.2 441.4 -1153.6 0.0 934.8 441.4 1484.8
Pila 9 11143.3 11434.4 436.5 -874.7 0.0 1247.2 436.5 1523.3
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 10560.0 10851.1 873.0 -1749.3 0.0 -2078.4 873.0 2716.6
Pila 2 10738.5 11029.5 882.7 -2307.1 0.0 -1558.0 882.7 2783.9
Pila 3 10632.4 10923.5 886.1 -2701.0 0.0 -1038.5 886.1 2893.8
Pila 4 10658.4 10949.5 881.3 -2928.9 0.0 -519.2 881.3 2974.6
Pila 5 10650.9 10942.0 878.0 -3002.9 0.0 0.0 878.0 3002.9
Pila 6 10658.4 10949.5 881.3 -2928.9 0.0 519.2 881.3 2974.6
Pila 7 10632.4 10923.5 886.1 -2701.0 0.0 1038.5 886.1 2893.8
Pila 8 10738.5 11029.5 882.7 -2307.1 0.0 1558.0 882.7 2783.9
Pila 9 10560.0 10851.1 873.0 -1749.3 0.0 2078.4 873.0 2716.6
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1
Pila 2 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2
Pila 3 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6
Pila 4 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4
Pila 5 9769.2 10060.2 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8
Pila 6 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4
Pila 7 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6
Pila 8 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2
Pila 9 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1
193.0
209.0
176.9
As (cm2)N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
185.0
193.0
201.0
209.0
209.0
0.0
Dim
88.5
80.5
80.5
80.5
80.5
80.5
80.5
CO
MB
IC
OM
B II
217.2
217.2
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
As (cm2)
CO
MB
III
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
Dim
289.6
88.5
185.0
337.8
370.0
402.0
370.0
337.8
289.6
113
Figura 6-67 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.
En la figura 6-68, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de
hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada, para cada pila. Las
armaduras varían de 217,2 cm2 a 402,0 cm2. La armadura se dispone uniforme a lo largo de toda la longitud
del soporte.
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 8632.0 8847.0 436.5 -874.7 0.0 -1247.2 436.5 1523.3
Pila 2 8777.6 8993.2 441.4 -1153.6 0.0 -934.8 441.4 1484.8
Pila 3 8691.0 8906.6 443.1 -1350.5 0.0 -623.1 443.1 1487.3
Pila 4 8712.2 8927.8 440.7 -1464.5 0.0 -311.5 440.7 1497.3
Pila 5 8706.0 8921.7 439.0 -1501.4 0.0 0.0 439.0 1501.4
Pila 6 8712.2 8927.8 440.7 -1464.5 0.0 311.5 440.7 1497.3
Pila 7 8691.0 8906.6 443.1 -1350.5 0.0 623.1 443.1 1487.3
Pila 8 8777.6 8993.2 441.4 -1153.6 0.0 934.8 441.4 1484.8
Pila 9 8632.0 8847.0 436.5 -874.7 0.0 1247.2 436.5 1523.3
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 8047.8 8264.0 873.0 -1749.3 0.0 -2078.4 873.0 2716.6
Pila 2 8185.0 8400.5 882.7 -2307.1 0.0 -1558.0 882.7 2783.9
Pila 3 8104.0 8320.0 886.1 -2701.0 0.0 -1038.5 886.1 2893.8
Pila 4 8124.0 8339.5 881.3 -2928.9 0.0 -519.2 881.3 2974.6
Pila 5 8118.2 8333.8 878.0 -3002.9 0.0 0.0 878.0 3002.9
Pila 6 8124.0 8339.5 881.3 -2928.9 0.0 519.2 881.3 2974.6
Pila 7 8104.0 8320.0 886.1 -2701.0 0.0 1038.5 886.1 2893.8
Pila 8 8185.0 8400.5 882.7 -2307.1 0.0 1558.0 882.7 2783.9
Pila 9 8047.8 8264.0 873.0 -1749.3 0.0 2078.4 873.0 2716.6
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 7174.7 7390.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1
Pila 2 7296.0 7511.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2
Pila 3 7223.8 7439.4 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6
Pila 4 7241.5 7457.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4
Pila 5 7236.4 7452.0 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8
Pila 6 7241.5 7457.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4
Pila 7 7223.8 7439.4 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6
Pila 8 7296.0 7511.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2
Pila 9 7174.7 7390.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1
As (cm2)
40.2
CO
MB
V
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
CO
MB
IVN (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
Md (kNm) As (cm2)
40.2
40.2
40.2
40.2
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
As (cm2)
249.3
305.6
329.7
345.8
329.7
305.6
Dim
145.0
152.8
160.9
168.9
176.9
Dim
40.2
40.2
40.2
40.2
168.9
160.9
152.8
145.0
Dim
176.9
249.3
176.9
CO
MB
VI
114
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
Dimensionamiento Lineal Pila 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 3
115
Figura 6-68 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada.
En las figura 6-69 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la
combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez
bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del
hormigón (Ec = 28.500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el
apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
DimensionamientoLineal Pila 5
116
1
34
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 1 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 2 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 3 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
117
Figura 6-69 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].
En la tabla 6-70 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo
no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica, para la
combinación III.
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 4 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 5 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
118
Figura 6-70 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.
De los resultados del cálculo pseudo no lineal de la combinación I se pueden deducir distintas cuestiones:
i. Debido a la gran longitud del tablero, su esbeltez horizontal, 33, y, en menor medida las
condiciones de conexión al estribo, la influencia de la coacción del tablero es muy moderada
y, consecuentemente, las pilas tienen un efecto de segundo orden más fuerte, similar al que se
podría esperar de una pila empotrada libre.
Al ser en este caso todas las pilas de igual altura, por lo tanto igual esbeltez y rigidez, no se
puede sacar partido de la ayuda de las pilas menos solicitadas para ayudar a las más solicitadas.
En la figura 6-71 se muestran los momentos del tablero según el cálculo elástico y pseudo no
lineal, donde se ve que las diferencias son pequeñas y que las deformaciones son grandes por
lo que no es de esperar grandes contribuciones debidas al tablero. Este efecto también se
puede ver en la tabla de cortantes obtenidas con los dos métodos, que tienen pocas
diferencias.
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 -1247.2 1455.0 3171.1
Pila 2 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 -934.8 1471.2 3957.2
Pila 3 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 -623.1 1476.9 4544.6
Pila 4 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 -311.5 1469.0 4891.4
Pila 5 9769.2 10060.2 1463.4 -5004.8 0.0 0.0 1463.4 5004.8
Pila 6 9776.0 10067.1 1469.0 -4881.5 0.0 311.5 1469.0 4891.4
Pila 7 9752.2 10043.2 1476.9 -4501.7 0.0 623.1 1476.9 4544.6
Pila 8 9849.0 10140.5 1471.2 -3845.2 0.0 934.8 1471.2 3957.2
Pila 9 9686.0 9977.0 1455.0 -2915.5 0.0 1247.2 1455.0 3171.1
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 9686.0 9977.0 1900.3 -2850.0 0.0 -838.0 1900.3 2970.6
Pila 2 9849.0 10140.5 2222.3 -4069.0 0.0 -705.0 2222.3 4129.6
Pila 3 9752.2 10043.2 2377.0 -5010.4 0.0 -502.0 2377.0 5035.5
Pila 4 9776.0 10067.1 2434.3 -5618.0 0.0 -261.5 2434.3 5624.1
Pila 5 9769.2 10060.2 2436.4 -5865.0 0.0 0.0 2436.4 5865.0
Pila 6 9776.0 10067.1 2434.3 -5618.0 0.0 261.5 2434.3 5624.1
Pila 7 9752.2 10043.2 2377.0 -5010.4 0.0 502.0 2377.0 5035.5
Pila 8 9849.0 10140.5 2222.3 -4069.0 0.0 705.0 2222.3 4129.6
Pila 9 9686.0 9977.0 1900.3 -2850.0 0.0 838.0 1900.3 2970.6 193.0
442.4
386.0
297.6
442.4
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
289.6
217.2
297.6
My (kNm) Mz (kNm)
386.0
466.5
370.0
402.0
370.0
Md (kNm) As (cm2)
Dim
217.2
289.6
337.8
337.8
Dim
193.0
Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN)
Lin
eal
-15000
-10000
-5000
0
-14 36 86 136 186 236 286 336
M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
119
Figura 6-71 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
Tabla 6-30 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
Este efecto, con el que aquí no se puede contar, es seguramente un efecto muy importante cuando las pilas
tienen distintas alturas y, sobre todo, hay pilas muy cortas y por lo tanto, más rígidas con las que se puede
contar.
-15000
-5000
5000
15000
-14 36 86 136 186 236 286 336M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos Torsores en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-1000
-500
0
500
1000
-14 36 86 136 186 236 286 336V (
kN)
L (m)
Cortantes en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
Estribo 1 406.2
Pila 1 384.9
Pila 2 471.6
Pila 3 531.1
Pila 4 564.9
Pila 5 575.6
Pila 6 564.9
Pila 7 531.1
Pila 8 471.6
Pila 9 384.9
Estribo 2 406.2
LIN
EAL
V (kN)
αEstribo 1 442.1 1.09
Pila 1 363.3 0.94
Pila 2 454.5 0.96
Pila 3 525.8 0.99
Pila 4 568.4 1.01
Pila 5 583.7 1.01
Pila 6 568.4 1.01
Pila 7 525.8 0.99
Pila 8 454.5 0.96
Pila 9 363.3 0.94
Estribo 2 442.1 1.09
V (kN)
No
Lin
eal G
+M
Coef. Redistribución
αEstribo 1 504.9 1.24
Pila 1 337.3 0.88
Pila 2 437.8 0.93
Pila 3 515.4 0.97
Pila 4 560.8 0.99
Pila 5 579.3 1.01
Pila 6 560.8 0.99
Pila 7 515.4 0.97
Pila 8 437.8 0.93
Pila 9 337.3 0.88
Estribo 2 504.9 1.24
Pseu
do
No
Lin
eal
V (kN)
Coef. Redistribución
120
En la tabla 6-31 se muestra una comparación de los momentos en las pilas debido a la hipótesis de viento
transversal, obtenida con un cálculo elástico, para el mismo viaducto del ejemplo y otro con pilas cortas en
la zona central, la pila P5 de 5,00 m y las pilas P6 y P7, con 8,00 m. como se puede ver los esfuerzos de primer
orden disminuyen de forma importante y consecuentemente el comportamiento será más eficiente.
En la figura 6-72 se muestra una comparación entre los momentos de eje vertical que se producen en el
tablero, siempre para la hipótesis de viento transversal, con un cálculo elástico y para los dos viaductos de
la figura anterior. La ley de momento en el tablero es completamente distinta. En el viaducto con pilas cortas
el tablero prácticamente esta fijo en el centro de la longitud y eso disminuye las deformaciones en los
cuartos de longitud coaccionando mejor las cabezas de las pilas.
Tabla 6-31 Momentos en las pilas de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud.
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0
Pila 2 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0
Pila 3 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0
Pila 4 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0
Pila 5 0.0 0.0 975.6 -3336.5 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 979.2 -3254.4 0.0 0.0
Pila 7 0.0 0.0 984.6 -3001.1 0.0 0.0
Pila 8 0.0 0.0 980.8 -2563.5 0.0 0.0
Pila 9 0.0 0.0 969.9 -1944.0 0.0 0.0
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 1008.0 -1822.0 0.0 0.0
Pila 2 0.0 0.0 979.1 -2236.0 0.0 0.0
Pila 3 0.0 0.0 945.5 -2466.0 0.0 0.0
Pila 4 0.0 0.0 572.2 -2713.0 0.0 0.0
Pila 5 0.0 0.0 -346.0 -2813.0 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 572.2 -2713.0 0.0 0.0
Pila 7 0.0 0.0 945.5 -2466.0 0.0 0.0
Pila 8 0.0 0.0 979.1 -2236.0 0.0 0.0
Pila 9 0.0 0.0 1008.0 -1822.0 0.0 0.0
Vie
nto
Tra
nsv
ersa
l Pila
s d
e 11
.00
m
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Vie
nto
Tra
nsv
ersa
l co
n P
ilas
Dis
t. N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
-10000
-5000
0
5000
-14 36 86 136 186 236 286 336
M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos en Tablero
Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas
121
Figura 6-72 Momentos, cortantes y torsores en el tablero de debidos a la hipótesis de viento transversal, obtenidos con cálculo lineal y para el viaducto del ejemplo y el mismo viaducto con pilas cortas en el centro de la longitud.
ii. En la figura 6-73 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos
cálculos realizados y para la combinación III. En estas figuras se puede ver las excentricidades
solo están en una dirección y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.
-5000
0
5000
-14 36 86 136 186 236 286 336M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos Torsores en Tablero
Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas
-500
0
500
-14 36 86 136 186 236 286 336V (
kN)
L (m)
Cortantes en Tablero
Con Pilas de Igual Longitud Con Pilas Cortas
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 1
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
122
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 2
No Lineal G+M lineal Pseudo No Lineal
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 3
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
123
Figura 6-73 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no línea y no lineal mecánico y geométrico.
Con los esfuerzos obtenidos del cálculo psuedo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final
de las pilas. En la figura 6-74 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas, según el
comportamiento pseudo no lineal propuesto, y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura
final obtenida. Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido,
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 4
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 5
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
124
según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, en este caso el dimensionamiento elástico es
menor que el finalmente adoptado.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
Lineal Pseudo No Lineal
125
Figura 6-74 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.
Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en
cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.
En las figura 6-75 a x6-79 se muestran los diagramas de interacción de las pilas P1 a P5. En ella se representa
el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción obtenido con
ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de materiales. En la
misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior y superior. Se ha
representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 4
Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 5
Lineal Pseudo No Lineal
126
Figura 6-75 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Figura 6-76 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
Inf No Lineal Inf Lineal Sup No Lineal
Sup Lineal Pseudo No Lineal
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
127
Figura 6-77 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Figura 6-78 Diagrama de interacción de la sección de la pila P4 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 4
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
128
Figura 6-79 Diagrama de interacción de la sección de la pila P5 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Como puede verse prácticamente todas las pilas fallan, prácticamente a la vez, con una gran influencia de la
no linealidad geométrica que produce un fuerte aumento de los momentos. La rotura se produce con un
coeficiente de seguridad global de 1,9.
En las figuras siguientes se muestra la forma en la que se descomponen los esfuerzos en las cinco primeras
pilas para la combinación III con los tres métodos estudiados.
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 5
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
1443.0 kNm -166.1 kNm -4235.0 kNm -2958.1 kNm 53.3 mm
Lineal Comb III Pila 1
+ + =
129
Figura 6-80 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1796.0 kNm -166.1 kNm -3993.0 kNm -708.1 kNm -3071.2 kNm 70.97 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 1
+ + + =
1900.0 kNm -166.1 kNm -3656.4 kNm -979.0 kNm -2901.5 kNm 98.13 mm
Pseudo No Lineal Comb III Rotura Pila 1
+ + + =
1447.0 kNm -166.1 kNm -5170.0 kNm -3889.1 kNm 76.2 mm
+ + =
Lineal Comb III Pila 2
130
Figura 6-81 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1908.0 kNm -166.1 kNm -4994.0 kNm -1002.8 kNm -4254.9 kNm 98.90 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 2
+ + + =
2222.0 kNm -166.1 kNm -4829.0 kNm -1348.6 kNm -4121.7 kNm 133.00 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 2
+ + + =
1442.0 kNm -166.1 kNm -5838.8 kNm -4562.9 kNm 92.4 mm
Lineal Comb III Pila 3
+ + =
131
Figura 6-82 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1906.0 kNm -166.1 kNm -5786.0 kNm -1177.0 kNm -5223.1 kNm 117.20 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 3
+ + + =
2377.0 kNm -166.1 kNm -5709.0 kNm -1576.8 kNm -5074.9 kNm 157.00 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 3
+ + + =
1425.0 kNm -166.1 kNm -6204.0 kNm -4945.1 kNm 102.0 mm
Lineal Comb III Pila 4
+ + =
132
Figura 6-83 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1860.0 kNm -166.1 kNm -6248.0 kNm -1281.5 kNm -5835.6 kNm 127.30 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 4
+ + + =
2434.0 kNm -166.1 kNm -6237.0 kNm -1711.4 kNm -5680.5 kNm 170.50 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 4
+ + + =
1418.0 kNm -166.1 kNm -6325.0 kNm -5073.1 kNm 105.0 mm
+ + =
Lineal Comb III Pila 5
133
Figura 6-84 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica.
En las figuras siguientes se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de carga
máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. En esta situación se producen,
amplificados, los mismos fenómenos que para el estado de carga anterior.
A la luz de estos resultados, también en este ejemplo, puede concluirse que es muy importante, desde el
punto de vista del proyecto tomar medidas para garantizar reservas y contención de los efectos de segundo
orden, como aprovechar, si existen, las pilas cortas que se cargaran más y disminuirán de forma importante
las condiciones de solicitación y el efecto de segundo orden en las pilas más esbeltas.
1826.0 kNm -166.1 kNm -6420.7 kNm -1307.8 kNm -6068.6 kNm 130.30 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 5
+ + + =
2436.0 kNm -166.1 kNm -6446.0 kNm -1750.4 kNm -5926.5 kNm 174.00 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 5
+ + + =
134
Figura 6-85 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1761.0 kNm -166.1 kNm -5172.0 kNm -3577.1 kNm 65.0 mm
=
Lineal Rotura Pila 1
+ +
2338.3 kNm -166.1 kNm -4764.0 kNm -1151.4 kNm -3743.2 kNm 97.44 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 1
=+ + +
2442.0 kNm -166.1 kNm -4405.5 kNm -1543.4 kNm -3673.0 kNm 126.80 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 1
+ + + =
135
Figura 6-86 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1765.3 kNm -166.1 kNm -6320.7 kNm -4721.5 kNm 92.9 mm
+ + =
Lineal Rotura Pila 2
2547.1 kNm -166.1 kNm -6016.1 kNm -1629.4 kNm -5264.5 kNm 135.60 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 2
+ + + =
2884.0 kNm -166.1 kNm -5842.1 kNm -2137.7 kNm -5261.9 kNm 172.80 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 2
+ + + =
136
Figura 6-87 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1759.4 kNm -166.1 kNm -7122.8 kNm -5529.5 kNm 112.7 mm
Lineal Rotura Pila 3
+ + =
2579.6 kNm -166.1 kNm -7022.1 kNm -1903.6 kNm -6512.2 kNm 160.43 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 3
+ + + =
3100.0 kNm -166.1 kNm -6935.5 kNm -2499.6 kNm -6501.2 kNm 204.00 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 3
+ + + =
137
Figura 6-88 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1738.8 kNm -166.1 kNm -7567.8 kNm -5995.1 kNm 124.4 mm
Lineal Rotura Pila 4
+ + =
2540.5 kNm -166.1 kNm -7622.8 kNm -2078.8 kNm -7327.2 kNm 174.40 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 4
+ + + =
3185.0 kNm -166.1 kNm -7595.5 kNm -2728.3 kNm -7304.9 kNm 222.30 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 4
+ + + =
138
Figura 6-89 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
Finalmente tal como se ha hecho en los ejemplos anteriores se han dimensionado las pilas con otros
métodos, para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos de los
ejemplos anteriores.
En la figura 6-90 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para
todas pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los
métodos.
En este caso las cuantías son más parecidas a la de los métodos simplificados porque el comportamiento es
más próximo al de una pila con una longitud de pandeo similar a la que proponen los métodos simplificados.
1730.5 kNm -166.1 kNm -7712.3 kNm -6147.9 kNm 128.5 mm
Lineal Rotura Pila 5
+ + =
2501.3 kNm -166.1 kNm -7844.2 kNm -2126.2 kNm -7635.3 kNm 178.40 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 5
+ + + =
3191.0 kNm -166.1 kNm -7865.0 kNm -2786.0 kNm -7626.1 kNm 227.00 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 5
+ + + =
139
Figura 6-90 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.
6.5 EJEMPLO 5
Viaducto con tablero discontinuo, con juntas en cada vano, de 10 vanos y con pilas de fuste circular con
ménsula de 11,00 m de altura.
En este ejemplo se estudia el mismo viaducto de 10 vanos del ejemplo anterior solo que en este caso se
prevé una junta de dilatación en cada vano.
En la figura6-91 se muestra el alzado y la planta del puente así como la sección transversal de tablero y pilas.
En la figura también se muestra una vista tridimensional del puente.
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Pila 1 Pila 2 Pila 3 Pila 4 Pila 5 Pila 6 Pila 7 Pila 8 Pila 9
ρ(%
)
Dimensionamiento con los Distintos Métodos
M. Code EC2 EHE-08 MP
140
Figura 6-91 Alzado y planta del paso superior del ejemplo 5
Las ecuaciones constitutivas, acciones y combinación de cargas son las mismas que para el ejemplo anterior.
En la tabla 6-32 se muestran los esfuerzos de las hipótesis correspondientes a las distintas cargas
consideradas en el dimensionamiento: carga permanente, sobrecarga de tráfico, viento transversal y
temperatura longitudinal. Estas son las hipótesis de carga más importantes, en este caso, para el
dimensionamiento de las pilas.
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 6514.0 6730.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 4 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 5 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 7 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 8 7238.0 7454.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 9 6514.0 6730.0 0.0 0.0 0.0 0.0
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 1284.5 -2436.8 0.0 0.0
Pila 2 0.0 0.0 1005.8 -3125.9 0.0 0.0
Pila 3 0.0 0.0 712.9 -3419.5 0.0 0.0
Pila 4 0.0 0.0 556.2 -3576.3 0.0 0.0
Pila 5 0.0 0.0 507.0 -3625.6 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 556.2 -3576.3 0.0 0.0
Pila 7 0.0 0.0 712.9 -3419.5 0.0 0.0
Pila 8 0.0 0.0 1005.8 -3125.9 0.0 0.0
Pila 9 0.0 0.0 1284.5 -2436.8 0.0 0.0
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -49.7
Pila 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -16.0
Pila 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -5.9
Pila 4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.5
Pila 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.5
Pila 7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 5.9
Pila 8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 16.0
Pila 9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 49.7
sup inf sup inf sup inf
Pila 1 882.0 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 2 980.0 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 3 980.0 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 4 980.0 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 5 980.0 979.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 6 980.0 980.5 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 7 980.0 978.1 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 8 980.0 987.8 0.0 0.0 0.0 0.0
Pila 9 882.0 971.6 0.0 0.0 0.0 0.0
Sob
reca
rga
de
Uso
(Q
1)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Tem
per
atu
ra (
Q3)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Sob
reca
rga
Perm
anen
te (
G)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
Vie
nto
(Q
2)
N (kN) My (kNm) Mz (kNm)
141
Tabla 6-32 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las hipótesis simples, de cada tipo de carga principal.
Estos resultados corresponden a un análisis elástico lineal como rigideces brutas para todas las secciones.
El viento transversal y la temperatura longitudinal son las cargas que generan más momentos en la las pilas.
Los momentos generados la temperatura son despreciables.
Los momentos generados por el viento trasversal, tienen siempre el mismo signo. Son mayores que en el
caso anterior porque aquí no hay ninguna influencia en la coacción del tablero, porque no tiene continuidad.
En la tabla 6-33 se muestran los resultados de las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite
Último, obtenidas a partir del análisis lineal.
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 10117.2 10408.2 578.0 -1096.5 0.0 -48.7 578.0 1097.6
Pila 2 11241.3 11532.4 452.6 -1406.7 0.0 -15.6 452.6 1406.7
Pila 3 11241.3 11532.4 320.8 -1538.8 0.0 -5.0 320.8 1538.8
Pila 4 11241.3 11532.4 250.3 -1609.4 0.0 -1.5 250.3 1609.4
Pila 5 11241.3 11532.4 228.2 -1631.5 0.0 0.0 228.2 1631.5
Pila 6 11241.3 11532.4 250.3 -1609.4 0.0 1.5 250.3 1609.4
Pila 7 11241.3 11532.4 320.8 -1538.8 0.0 5.0 320.8 1538.8
Pila 8 11241.3 11532.4 452.6 -1406.7 0.0 15.6 452.6 1406.7
Pila 9 10117.2 10408.2 578.0 -1096.5 0.0 48.7 578.0 1097.6
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 9588.0 9879.0 1156.0 -2193.0 0.0 -78.4 1156.0 2194.4
Pila 2 10653.3 10944.4 905.3 -2813.3 0.0 -25.2 905.3 2813.4
Pila 3 10653.3 10944.4 641.6 -3077.5 0.0 -8.0 641.6 3077.5
Pila 4 10653.3 10944.4 500.6 -3218.7 0.0 -2.3 500.6 3218.7
Pila 5 10653.3 10944.4 456.3 3263.0 0.0 0.0 456.3 3263.0
Pila 6 10653.3 10944.4 500.6 -3218.7 0.0 2.3 500.6 3218.7
Pila 7 10653.3 10944.4 641.6 -3077.5 0.0 8.0 641.6 3077.5
Pila 8 10653.3 10944.4 905.3 -2813.3 0.0 25.2 905.3 2813.4
Pila 9 9588.0 9879.0 1156.0 -2193.0 0.0 78.4 1156.0 2194.4
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3
Pila 2 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8
Pila 3 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3
Pila 4 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5
Pila 5 9771.3 10062.4 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4
Pila 6 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5
Pila 7 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3
Pila 8 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8
Pila 9 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 7837.2 8052.8 578.0 -1096.5 0.0 -48.7 578.0 1097.6
Pila 2 8708.0 8923.6 452.6 -1406.7 0.0 -15.6 452.6 1406.7
Pila 3 8708.0 8923.6 320.8 -1538.8 0.0 -5.0 320.8 1538.8
Pila 4 8708.0 8923.6 250.3 -1609.4 0.0 -1.5 250.3 1609.4
Pila 5 8708.0 8923.6 228.2 -1631.5 0.0 0.0 228.2 1631.5
Pila 6 8708.0 8923.6 250.3 -1609.4 0.0 1.5 250.3 1609.4
Pila 7 8708.0 8923.6 320.8 -1538.8 0.0 5.0 320.8 1538.8
Pila 8 8708.0 8923.6 452.6 -1406.7 0.0 15.6 452.6 1406.7
Pila 9 7837.2 8052.8 578.0 -1096.5 0.0 48.7 578.0 1097.6
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 7308.0 7523.6 1156.0 -2193.0 0.0 -78.4 1156.0 2194.4
Pila 2 8120.0 8335.6 905.3 -2813.3 0.0 -25.2 905.3 2813.4
Pila 3 8120.0 8335.6 641.6 -3077.5 0.0 -8.0 641.6 3077.5
Pila 4 8120.0 8335.6 500.6 -3218.7 0.0 -2.3 500.6 3218.7
Pila 5 8120.0 8335.6 456.3 3263.0 0.0 0.0 456.3 3263.0
Pila 6 8120.0 8335.6 500.6 -3218.7 0.0 2.3 500.6 3218.7
Pila 7 8120.0 8335.6 641.6 -3077.5 0.0 8.0 641.6 3077.5
Pila 8 8120.0 8335.6 905.3 -2813.3 0.0 25.2 905.3 2813.4
Pila 9 7308.0 7523.6 1156.0 -2193.0 0.0 78.4 1156.0 2194.4
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
72.4
225.2
48.2
32.2
32.2
48.2
64.3
72.4
72.4CO
MB
I
As (cm2)
Dim
136.7
193.0
217.2
233.2
233.2
233.2
0.0
As (cm2)
Dim
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm)
193.0
136.7
CO
MB
III
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
241.3
353.9
394.1
410.2
418.2
410.2
394.1
353.9
241.3
CO
MB
IIC
OM
B IV
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
32.2
32.2
40.2
48.3
56.3
48.3
0.0
32.2
32.2
CO
MB
V
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
104.5
16.9
185.0
193.0
201.0
193.0
185.0
16.9
104.5
142
Tabla 6-33 Esfuerzos de las pilas correspondientes a las distintas combinaciones de hipótesis en Estado Límite Último.
En la figura 6-92, se muestran los esfuerzos en Estado Límite Último de las distintas combinaciones de
hipótesis y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura dimensionada, para cada pila. Las
armaduras son similares a las del ejemplo anterior, un poco mayores, lo que pone de manifiesto que el
tablero del ejemplo anterior coacciona muy poco, casi tan poco como el del tablero con juntas que
realmente no coacciona al movimiento horizontal.
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 6514.2 6730.0 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3
Pila 2 7238.0 7454.0 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8
Pila 3 7238.0 7454.0 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3
Pila 4 7238.0 7454.0 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5
Pila 5 7238.0 7454.0 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4
Pila 6 7238.0 7454.0 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5
Pila 7 7238.0 7454.0 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3
Pila 8 7238.0 7454.0 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8
Pila 9 6514.2 6730.0 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3
CO
MB
VI
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
225.2
313.7
353.8
378.0
386.0
378.0
0.0
313.7
225.2
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 5000 10000 15000 20000 25000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
143
Figura 6-92 Esfuerzos solicitantes, para las cinco primeras pilas, en Estado Límite Último, y diagrama de interacción para la armadura adoptada.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 5
144
En las figura 6-93 se muestran los diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la
combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas. Adicionalmente se muestra la rigidez
bruta, que corresponde a la sección bruta multiplicada por el módulo de deformación longitudinal del
hormigón (Ec = 28.500 MPa). Además se muestra la rigidez equivalente obtenida según se define en el
apartado 5.3 y la rigidez equivalente que define el Eurocódigo [7].
1
34
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 1 (υ=0.58)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 2 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
145
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 3 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
EI Pila 4 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
146
Figura 6-93 Diagramas momento curvatura para los axiles correspondientes a la combinación condicionante para el dimensionamiento de las pilas y distintas rigideces: bruta, equivalente propuesta en el apartado 5.3 y equivalente propuesta por el Eurocódigo [7].
En la tabla 6-34 se muestra una comparación de los resultados obtenidos con el método lineal y el pseudo
no lineal mecánico, con la rigidez equivalente propuesta, y geométrico, con la matriz geométrica, para la
combinación III.
Tabla 6-34 Esfuerzos correspondientes al análisis lineal y pseudo no lineal propuesto para las pilas para la Combinación III.
De los resultados del cálculo pseudo no lineal de la combinación I se pueden deducir distintas cuestiones:
i. En este caso el tablero no coacciona nada por la presencia de las juntas. En el caso anterior,
como se ve, el comportamiento es parecido por la poca coacción que ejerce el tablero, a pesar
de su continuidad.
1
3
4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1 2 3 4 5 6
M (
kNm
)
1/r (km-1)
Pila 5 (υ=0.64)
Pseudo No Lineal EI b EI EC2
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 -48.7 1926.8 3655.3
Pila 2 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 -15.6 1508.8 4688.8
Pila 3 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 -5.0 1069.4 5129.3
Pila 4 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 -1.5 834.3 5364.5
Pila 5 9771.3 10062.4 760.5 -5438.4 0.0 0.0 760.5 5438.4
Pila 6 9771.3 10062.4 834.3 -5364.5 0.0 1.5 834.3 5364.5
Pila 7 9771.3 10062.4 1069.4 -5129.3 0.0 5.0 1069.4 5129.3
Pila 8 9771.3 10062.4 1508.8 -4688.8 0.0 15.6 1508.8 4688.8
Pila 9 8794.2 9085.2 1926.8 -3655.0 0.0 48.7 1926.8 3655.3
sup inf sup inf sup inf sup inf
Pila 1 8794.2 9085.2 2769.0 -3971.0 0.0 -37.4 2769.0 3971.2
Pila 2 9771.3 10062.4 2457.0 -5381.0 0.0 -23.8 2457.0 5381.1
Pila 3 9771.3 10062.4 2012.2 -6042.0 0.0 -11.6 2012.2 6042.0
Pila 4 9771.3 10062.4 1156.2 -6864.0 0.0 -5.2 1156.2 6864.0
Pila 5 9771.3 10062.4 1005.2 -7034.0 0.0 0.0 1005.2 7034.0
Pila 6 9771.3 10062.4 1156.2 -6864.0 0.0 5.2 1156.2 6864.0
Pila 7 9771.3 10062.4 2012.2 -6042.0 0.0 11.6 2012.2 6042.0
Pila 8 9771.3 10062.4 2457.0 -5381.0 0.0 23.8 2457.0 5381.1
Pila 9 8794.2 9085.2 2769.0 -3971.0 0.0 37.4 2769.0 3971.2
410.2
555.0
475.0
547.0
Pseu
do
No
Lin
eal
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
273.5
410.2
547.0
273.5
475.0
241.3
353.9
LIN
EAL
N (kN) My (kNm) Mz (kNm) Md (kNm) As (cm2)
Dim
394.1
410.2
418.2
410.2
394.1
353.9
241.3
147
Figura 6-94 Momentos, cortantes y torsores de eje vertical en el tablero para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
050000
-14 36 86 136 186 236 286 336
M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-10000
10000
-14 36 86 136 186 236 286 336
M (
kNm
)
L (m)
Ley de Momentos Torsores en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
-500
500
-14 36 86 136 186 236 286 336V (
kN)
L (m)
Cortantes en Tablero
Lineal No Lineal G+M Pseudo No Lineal
Estribo 1 222.0
Pila 1 495.1
Pila 2 551.1
Pila 3 551.1
Pila 4 551.1
Pila 5 551.2
Pila 6 551.1
Pila 7 551.1
Pila 8 551.1
Pila 9 495.1
Estribo 2 222.0
Lin
eal
V (kN)
148
Tabla 6-35 Esfuerzos cortantes en cabeza de pilas y en estribos para la combinación III para distintos tipos de análisis: lineal, pseudo no lineal propuesto, y no lineal mecánico y geométrico.
iii. En la figura 6-95 se muestra la evolución de las excentricidades para cada pila para los distintos
cálculos realizados y para la combinación III. En estas figuras se puede ver las excentricidades
solo están en una dirección y no hay distorsiones a lo largo de la longitud.
αEstribo 1 222.0 1.00
Pila 1 495.1 1.00
Pila 2 551.1 1.00
Pila 3 551.1 1.00
Pila 4 551.1 1.00
Pila 5 551.2 1.00
Pila 6 551.1 1.00
Pila 7 551.1 1.00
Pila 8 551.1 1.00
Pila 9 495.1 1.00
Estribo 2 222.0 1.00N
o L
inea
l G+
M y
Pse
ud
o N
o L
inea
l
V (kN)
Coef. Redistribución
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 1
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
149
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
-0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600
Pila 2
No Lineal G+M lineal
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
-0.800 -0.300 0.200 0.700
Pila 3
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
150
Figura 6-95 Evolución de las excentricidades a lo largo de las pilas para distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no línea y no lineal mecánico y geométrico.
Con los esfuerzos obtenidos del cálculo psuedo no lineal propuesto se procede al dimensionamiento final
de las pilas. En la figura 6-96 se muestran los esfuerzos correspondientes a las pilas, según el
comportamiento pseudo no lineal propuesto, y el diagrama de interacción correspondiente a la armadura
final obtenida. Además se representa el diagrama de interacción del dimensionamiento inicial definido,
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
-0.800 -0.300 0.200 0.700
Pila 4
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
-0.800 -0.300 0.200 0.700
Pila 5
No Lineal G+M Lineal Pseudo No Lineal
151
según los esfuerzos del cálculo lineal. Como puede verse, en este caso el dimensionamiento elástico es
menor que el finalmente adoptado.
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
Lineal Pseudo No Lineal
152
Figura 6-96 Esfuerzos de dimensionamiento obtenidos con el pseudo cálculo no lineal propuesto y el cálculo lineal y diagramas de interacción de dimensionamiento para ambos casos.
Tal como se ha explicado, se ha realizado un análisis no lineal global, teniendo en cuenta la no linealidad
geométrica y mecánica. El tablero se considera con un comportamiento lineal. Para las pilas se tiene en
cuenta el comportamiento no lineal mecánico, a partir del dimensionamiento propuesto.
En las figura 6-97 a 6-101 se muestran los diagramas de interacción de las pilas P1 a P5. En ella se representa
el diagrama de interacción utilizado para el dimensionamiento y el diagrama de interacción obtenido con
ecuaciones constitutivas de Estado Límite Último pero sin coeficientes de minoración de materiales. En la
misma figura se representa la evolución de esfuerzos de la pila en la sección inferior y superior. Se ha
representado esta evolución para los distintos tipos de cálculo realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 4
Lineal Pseudo No Lineal
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
M (
kNm
)
N (kN)
Pila 5
Lineal Pseudo No Lineal
153
Figura 6-97 Diagrama de interacción de la sección de la pila P1 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Figura 6-98 Diagrama de interacción de la sección de la pila P2 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 1Inf No Lineal Inf Lineal Sup No LinealSup Lineal Pseudo No Lineal
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 2
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
154
Figura 6-99 Diagrama de interacción de la sección de la pila P3 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Figura 6-100 Diagrama de interacción de la sección de la pila P4 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 3
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 4
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
155
Figura 6-101 Diagrama de interacción de la sección de la pila P5 en Estado Límite Último y sin coeficientes de minoración de materiales. Evolución de los esfuerzos en la sección inferior y superior para los distintos tipos de cálculos realizados: lineal, pseudo no lineal y no lineal
mecánico y geométrico.
Como puede verse prácticamente todas las pilas fallan, prácticamente a la vez, con una gran influencia de la
no linealidad geométrica que produce un fuerte aumento de los momentos. La rotura se produce con un
coeficiente de seguridad global de 1,8.
En las figuras siguientes se muestra la forma en la que se descomponen los esfuerzos en las cinco primeras
pilas para la combinación III con los tres métodos estudiados.
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000M (
kNm
)
N (kN)
Pila 5
Sup No Lineal Sup Lineal Inf Lineal Inf No Lineal Pseudo No Lineal
1919.0 kNm -164.7 kNm -5445.0 kNm -3690.7 kNm 65.30 mm
Lineal Comb III Pila 1
+ + =
156
Figura 6-102 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
2388.0 kNm -164.7 kNm -5445.0 kNm -772.2 kNm -3993.93 kNm 85.00 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 1
+ + + =
2766.0 kNm -164.7 kNm -5445.0 kNm -1201.9 kNm -4045.65 kNm 132.30 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 1
+ + + =
1493.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -4732.7 kNm 96.00 mm
+ + =
Lineal Comb III Pila 2
157
Figura 6-103 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1945.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1214.5 kNm -5495.18 kNm 120.70 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 2
+ + + =
2449.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1675.3 kNm -5452.02 kNm 166.50 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 2
+ + + =
1049.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5176.7 kNm 112.30 mm
Lineal Comb III Pila 3
+ + =
158
Figura 6-104 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
1390.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1408.7 kNm -6244.38 kNm 140.20 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 3
+ + + =
2000.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1903.7 kNm -6129.43 kNm 189.20 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 3
+ + + =
811.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5414.7 kNm 121.00 mm
Lineal Comb III Pila 4
+ + =
159
Figura 6-105 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
927.7 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1482.6 kNm -6780.64 kNm 147.35 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 4
+ + + =
1136.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1864.5 kNm -6954.19 kNm 185.30 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 4
+ + + =
736.6 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -5489.1 kNm 123.80 mm
+ + =
Lineal Comb III Pila 5
160
Figura 6-106 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga correspondiente a la combinación III, para los distintos tipos de modelos empleados: lineal, pseudo no lineal, no lineal mecánico y geométrico.
Como puede verse los momentos crecen mucho debido a la no linealidad geométrica.
En las figuras siguientes se muestra el para las pilas composición de los momentos, para el estado de carga
máximo obtenido con el cálculo no lineal mecánico y geométrico. En esta situación se producen,
amplificados, los mismos fenómenos que para el estado de carga anterior.
A la luz de estos resultados, también en este ejemplo, se puede ver como la continuidad del tablero puede
jugar un papel en el comportamiento de las pilas que las juntas no permiten que se produzca.
837.3 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1514.0 kNm -6902.43 kNm 150.47 mm
No Lineal G+M Comb III Pila 5
+ + + =
983.0 kNm -164.7 kNm -6061.0 kNm -1886.6 kNm -7129.33 kNm 187.50 mm
Pseudo No Lineal Comb III Pila 5
+ + + =
2322.5 kNm -164.7 kNm -6600.0 kNm -4442.2 kNm 79.10 mm
Lineal Rotura Pila 1
+ + =
161
Figura 6-107 Composición de la distribución de momentos de la pila P1, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
3067.0 kNm -164.7 kNm -6600.0 kNm -1231.2 kNm -4928.86 kNm 115.70 mm
+ + =
No Lineal G+M Rotura Pila 1
+
3519.0 kNm -164.7 kNm -6567.0 kNm -1805.8 kNm -5018.48 kNm 169.70 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 1
+ + + =
1806.9 kNm -164.7 kNm -7334.3 kNm -5692.1 kNm 116.17 mm
Lineal Rotura Pila 2
+ + =
162
Figura 6-108 Composición de la distribución de momentos de la pila P2, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
2594.7 kNm -164.7 kNm -7334.3 kNm -1954.4 kNm -6858.65 kNm 165.26 mm
+ + =
No Lineal G+M Rotura Pila 2
+
3169.0 kNm -164.7 kNm -7337.0 kNm -2549.0 kNm -6881.74 kNm 215.60 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 2
+ + + =
1269.2 kNm -164.7 kNm -7335.4 kNm -6230.9 kNm 135.90 mm
Lineal Rotura Pila 3
+ + =
163
Figura 6-109 Composición de la distribución de momentos de la pila P3, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1931.3 kNm -164.7 kNm -7335.4 kNm -2289.0 kNm -7857.72 kNm 193.60 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 3
+ + + =
2628.0 kNm -164.7 kNm -7331.5 kNm -2908.5 kNm -7776.66 kNm 246.14 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 3
+ + + =
981.6 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -6519.0 kNm 146.50 mm
Lineal Rotura Pila 4
+ + =
164
16
Figura 6-110 Composición de la distribución de momentos de la pila P4, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
1305.2 kNm -164.7 kNm -7336.5 kNm -2402.5 kNm -8598.46 kNm 203.00 mm
No Lineal G+M Rotura Pila 4
+ + + =
1500.0 kNm -164.7 kNm -7339.2 kNm -2849.3 kNm -8853.24 kNm 241.14 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 4
+ + + =
891.3 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -6609.4 kNm 149.80 mm
Lineal Rotura Pila 5
+ + =
165
Figura 6-111 Composición de la distribución de momentos de la pila P5, para la situación de carga máxima obtenida con el método elástico y el no lineal mecánico y geométrico.
Finalmente tal como se ha hecho en los ejemplos anteriores se han dimensionado las pilas con otros
métodos, para compararlos con el método propuesto. Los métodos utilizados son los mismos de los
ejemplos anteriores.
En la figura 6-112 se muestra una comparación de los resultados obtenidos en término de cuantías, para
todas pilas. Como se ve el método propuesto da unas cuantías siempre menores que el resto de los
métodos. En este caso las cuantías son más parecidas a la de los métodos simplificados porque el
comportamiento es más próximo al de una pila con una longitud de pandeo similar a la que proponen los
métodos simplificados.
1196.3 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -2456.9 kNm -8761.18 kNm 207.80 mm
+ + + =
No Lineal G+M Rotura Pila 5
1305.0 kNm -164.7 kNm -7335.9 kNm -2884.8 kNm -9080.41 kNm 244.00 mm
Pseudo No Lineal Rotura Pila 5
+ + + =
166
Figura 6-112 Cuantías de armadura obtenidas para las pilas esbeltas por distintos métodos.
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Pila 1 Pila 2 Pila 3 Pila 4 Pila 5 Pila 6 Pila 7 Pila 8 Pila 9
ρ(%
)Dimensionamiento con los Distintos Métodos
M. Code Ec2 EHE-08 MP
167
7 CONCLUSIONES
En este trabajo se han conseguido las siguientes aportaciones:
Mayor entendimiento del comportamiento de los puentes con pilas esbeltas.
Se ha podido demostrar que la interacción entre las pilas y el resto de los elementos del puente es
importante, en general. Se ha podido demostrar que es difícil representar simplificadamente la
complejidad de esta interacción.
Se ha podido demostrar que el análisis lineal da mucha información que debe ser usada en el diseño
conceptual [16] para decidir la propuesta elegida y se han podido explicar algunos
comportamientos no evidentes en cierto tipo de puentes, en relación a las pilas esbeltas de
puentes.
Se aporta un método de análisis y dimensionamiento de pilas esbeltas de puentes que da
resultados muy adecuados, contrastados numéricamente con métodos globales no lineales
mecánicos y geométricos.
El método propuesto permite tener en cuenta la no linealidad geométrica y mecánica de los
elementos esbeltos, permite representar completamente la complejidad de la interacción entre
pilas esbeltas y estructuras y da un dimensionamiento óptimo mucho más ajustado que el que
predicen los métodos normalmente utilizados.
No requiere determinar una incierta representación del comportamiento real a través de un
soporte biarticulado equivalente. Esta metodología era la única simplificación posible hace años
pero ahora puede hacerse fácilmente con métodos como el propuesto.
No requiere tener en cuenta el concepto de esbeltez límite, porque automáticamente se tiene en
cuenta el fenómeno de la esbeltez con el procedimiento propuesto.
Es un procedimiento ingenieril que requiere sobre todo el entendimiento de un modelo elástico
lineal, para ver el comportamiento y proyectar en consecuencia. A un segundo nivel, para el
dimensionamiento, momento en el que se tiene en cuenta la no linealidad mecánica y geométrica,
requiere el uso de programas comerciales normales, que tengan en cuenta la matriz geométrica, ya
que el comportamiento no lineal geométrico se considera con un análisis con matriz geométrica, y
el comportamiento no lineal mecánico se considera con un análisis lineal con una rigidez
suficientemente ajustada.
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8 PROPUESTAS DE TRABAJO FUTUROS
Como trabajos futuros se plantean los siguientes:
Estudio de la influencia de los efectos diferidos en aquellos en donde sea necesaria su
consideración.
Como se ha dicho, en muchos puentes el efecto del segundo orden en pilas de esbeltas no es
trascendente porque las pilas están cargadas de forma centrada para cargas permanentes, y solo se
producen deformaciones diferidas axiales, que no aumentan la excentricidad.
En otros casos, pasos superiores integrales o puentes de grandes luces construidos por voladizos
en donde la pila esta empotrada al tablero, etc, los momentos en las pilas pueden aumentar las
deformaciones de primer orden y, lógicamente, tener influencia en el comportamiento de las pilas
esbeltas.
Efecto de las imperfecciones.
En este trabajo no se han tenido en cuenta las imperfecciones. Este es un aspecto que tiene que ser
valorado adecuadamente porque empeora el comportamiento de los soportes esbeltos.
Las tolerancias de construcción no siempre están adaptadas al proceso de construcción de acuerdo
con la tecnología actual. Las tolerancias genéricas son muy altas. Las tolerancias no se definen en
los pliegos de acuerdo con las tecnologías constructivas previstas en el proyecto.
Por otro lado, el efecto de las imperfecciones no siempre genera efectos de segundo orden. Puede
generar solo fuerzas horizontales.
Es necesario abordar este tema de forma detallada y profunda.
Con el uso de este procedimiento deben estudiarse y definirse las acciones proyectuales que
optimizan el comportamiento de los puentes.
Este trabajo, más conceptual y de criterios de diseño, debe ser abordado puesto que es
imprescindible crear criterios para utilizar el conocimiento del comportamiento de puentes con
pilas esbeltas para mejora su diseño.
Uno de los criterios que han sido discutidos en este trabajo, por ejemplo, es la eficiencia del tablero
en la coacción del movimiento de las pilas. Es necesario identificar las proporciones que hacen que
este efecto positivo es eficiente.
Es necesario estudiar cual es las condiciones de seguridad global adecuadas para la validación de
un método de este tipo. Este es un aspecto importante para poder definir adecuadamente la
idoneidad del procedimiento que se propone.
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