Mtodo matricial de la rigidezElmtodo matricial de la rigidezes un mtodo de clculo aplicable aestructuras hiperestticasde barras que se comportan de formaelsticaylineal. En ingls se le denominadirect stiffness method(DSM,mtodo directo de la rigidez), aunque tambin se le denomina el mtodo de los desplazamientos. Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente indeterminadas. El mtodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El mtodo de rigidez directa es la implementacin ms comn delmtodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una nica ecuacin matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuacin. El mtodo directo de la rigidez es el ms comn en los programas de clculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).El mtodo directo de la rigidez se origin en el campo de laaeronutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avin mediante ecuaciones simples pero que requeran grandes tiempos de clculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rpida y sencilla.ndice[ocultar] 1Introduccin 2Fundamento terico 3Descripcin del mtodo 3.1Matrices de rigidez elementales 3.1.1Barra recta bidimensional de nudos rgidos 3.1.2Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rgido 3.1.3Barra recta bidimensional con dos nudos articulados 3.1.4Arco circular bidimensional de nudos rgidos 3.1.5Barra recta tridimensional de nudos rgidos 3.2Fuerzas nodales 3.2.1Ejemplo 3.3Clculo de desplazamientos 3.4Clculo de reacciones 3.5Clculo de esfuerzos 3.6Anlisis dinmico 4Referencia 4.1Bibliografa 4.2Enlaces externos 4.3ProgramasIntroduccin[editar]El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemtico, llamadomatriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuacin:(1)Donde:son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura;son las reacciones hiperestticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;los desplazamientos nodales incgnita de la estructura yel nmero degrados de libertadde la estructura.Laenerga de deformacinelstica tambin puede expresarse en trminos de la matriz de rigidez mediante la relacin:

Delteorema de Maxwell-Bettise deduce que la matriz de rigidez debe ser simtrica y por tanto:

Fundamento terico[editar]En general, unslido deformablereal, como cualquiermedio continuoes un sistema fsico con un nmero infinito degrados de libertad. As sucede que en general para describir la deformacin de un slido necesitndose explicitar uncampo vectorialde desplazamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un nmero finito de parmetros, y por tanto un slido deformable de forma totalmente general no tiene un nmero finito de grados de libertad.Sin embargo, para barras largas elsticas oprismas mecnicosde longitud grande comparada con el rea de su seccin transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamadacurva elsticacuya deformacin siempre es reductible a un conjunto finito de parmetros. En concreto, fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elstica, queda completamente determinada su forma. As, para una estructura formada por barras largas elsticas, fijados los desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente mediante un nmero finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un nmero finito de ecuaciones algebricas. El mtodo matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de las fuerzas exteriores.Esto contrasta con la situacin general de los slidos elsticos, donde el clculo de sus tensiones internas y deformaciones involucra la resolucin de complejos sistemas deecuaciones diferencialesenderivadas parciales.Descripcin del mtodo[editar]El mtodo matricial requiere asignar a cada barra elstica de la estructura una matriz de rigidez, llamadamatriz de rigidez elementalque depender de sus condiciones de enlace extremo (articulacin, nudo rgido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elsticas del material de la barra (mdulo de elasticidad longitudinal y mdulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene unamatriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamadovector de fuerzas nodales equivalentesque dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incgnitas).Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incgnitas. El nmero de reacciones incgnita y desplazamientos incgnita depende del nmero de nodos: es igual a 3Npara problemas bidimensionales, e igual a 6Npara un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen: Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que slo contienen desplazamientos incgnita. Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incgnita.Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran losesfuerzosen los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones mximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.

Matrices de rigidez elementales[editar]Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).2. Las caractersticas de la seccin transversal de la barra:rea,momentos de rea(momentos de inercia de la seccin) y las caractersticas geomtricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc.3. El nmero de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales.La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).Barra recta bidimensional de nudos rgidos[editar]Un nudo donde se unen dos barras se llama rgido o empotrado si el ngulo formado por las dos barras despus de la deformacin no cambia respecto al ngulo que formaban antes de la deformacin. An estando imposibilitado para cambiar el ngulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ngulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rgidas soldadas o atornilladas rgidamente se pueden tratar como nudos rgidos. Para barra unida rgidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Donde:son las magnitudes geomtricas (longitud, rea y momento de inercia).la constante de elasticidad longitudinal (mdulo de Young).Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse ms abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecnica caracterstica:

Donde:es laesbeltez mecnicacaracterstica.Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rgido[editar]En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por:

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habra que permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:

Barra recta bidimensional con dos nudos articulados[editar]Puesto que una barra recta de nudos articulados slo puede transmitir esfuerzos a lo largo de su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra slo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notacin que en la seccin anterior, viene dada por:

Arco circular bidimensional de nudos rgidos[editar]Barra recta tridimensional de nudos rgidos[editar]Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslacin y 3 deorientacin), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12. Adems una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y tambin flexin y esfuerzo cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de comportamiento estructural es lo que hace que una barra tridimensional requiera ms grados de libertad y un matriz de rigidez ms compleja para describir su comportamiento, esta matriz est compuesta de 3 submatrices:

Donde las submatrices son: