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Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Método dos trabalhos virtuais
Jacob Bernoulli (também James ou Jacques)
(Suiça, 27 December 1654 – 16 August 1705)
Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Escalar
Unidade = N.m = J (Joule)
F
rd
0
z
yx
A
Ar
rdr
Trabalho mecânico de uma força num deslocamento infinitesimal
(trabalho elementar)
Vector de posiçãor
cos
cos cos
d F dr F dr
F dr dr F
-partícula A (ponto de aplicação), ou ponto A pertence a um corpo
-deslocamento infinitesimal considera-se recto
0F dr d
projecção do
deslocamento na linha
de acção da força
projecção da força na
direcção do
deslocamento
0 0dr d
Trabalho mecânico
Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Regra da mão direitad M d
Trabalho mecânico de um momento numa rotação infinitesimal
A BM F AB F AB
AB A B A B
//AB A B
*A A B B A A B B B B B
B B B
A A
d F dr F dr F dr F dr dr F dr
F d A B F A B d F A B d
F A B d F AB d M d Md
para simplificar: 2D
positivo quando os
sentidos são iguais
AFA
BBF
A
B
B
Adr
*Bdr
Bdr
d
Bdr
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Propagação de deslocamentos elementares
caso geral em 2D
B Adr dr d AB
A
B
A
B
B
Adr
*BdrBdr
d
Bdr
Bdr d AB
*B Adr dr
A B
AB ABdr dr
AB AB
projecções na linha AB tem que ser iguais
a prova no slide anterior usa o conceito de
Ou seja, sabendo a posição do A’ e da direcção BB’
a intensidade BB’ já é dependente.
Isso verifica-se no caso 2D, mas não em 3D.
translação
rotação
versor da direcção AB
Regra da mão direita
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Princípio dos trabalhos virtuais
Deslocamento virtual (não real): qualquer cinematicamente possível
Trabalho virtual (não real): trabalho no deslocamento virtual
r
1 2 1 2... ... 0n nF r F r F r F F F r R r
Partícula
1F
2FnF
r não está provocado pelas forças aplicadas
representa um deslocamento fictício
É condição necessária e suficiente para que uma partícula esteja em
equilíbrio que seja nulo o trabalho virtual de todas as forças que nela
actuam para qualquer deslocamento virtual da partícula.
r
ou seja compatível com os apoios e ligações internas
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Os trabalhos virtuais das forças interiores anulam-se,
seja o sistema em equilíbrio ou não
forças exteriores (externas, interacção entre o sistema e o exterior)
forças interiores (internas, interacção entre partes constituintes, reacções das
ligações não flexíveis) sempre duas opostas de igual intensidade
forças de ligações flexíveis (molas lineares ou rotacionais)
0k k kF r uma partícula k,
Fk é resultante das forças
Sistema de partículas
em equilíbrio
0k k
k
F r
,int ,ext ,ext 0k k k k k
k k
F F r F r
Num sistema de partículas em equilíbrio é nulo o trabalho virtual das
forças externas e forças das ligações flexíveis para qualquer
deslocamento virtual compatível com as ligações.
todas as partículas do sistema
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cada corpo rígido é composto pelas partículas, por isso o PTV pode ser
alargado para sistemas de corpos rígidos
deslocamento virtual tem que ser compatível com as ligações
estrutura isostática: não existe qualquer deslocamento virtual excepto
dos casos de reacções mal distribuídas
estrutura hipostática do 1º grau: qualquer campo do deslocamento
virtual é plenamente caracterizável via 1 parâmetro: mecanismo com 1
grau de liberdade cinemática, 1GDL
estrutura hipostática de grau n: qualquer campo do deslocamento
virtual é possível plenamente caracterizar via n parâmetros: mecanismo
com n graus de liberdade cinemática, nGDL
Conjunto de corpos rígidos (não deformáveis)
Ligações “fixas” (não flexíveis) ou pelas molas (deformáveis, flexíveis)
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Utilização do PTV em problemas de equilíbrio dos sistemas de corpos
cálculos das reacções externas
Pode-se resolver apenas
1 incógnita em cada cálculocálculo dos esforços internos
cálculos das reacções internas
Estruturas hipostáticas do 1º grau
todos os deslocamentos virtuais são proporcionais
e descrevem-se usando 1 parâmetro
determinar uma relação entre as forças actuantes, que assegura o equilíbrio
determinar a posição do mecanismo que assegura o equilíbrio
Estruturas isostáticasé necessário introduzir 1 libertação para obter
um mecanismo que pode sofrer deslocamento virtual
Estruturas hipostáticas do 2º ou maior grau
2 ou mais parâmetros para descrever a posição deformada
casos excepcionais, habitualmente com uma condição adicional
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Propagação de deslocamentos elementares
B Adr dr d AB
L
dud
cos
LL L
d
dudu d
L
d du Ld
caso simples
A, B tem que pertencer ao mesmo corpo rígido
o deslocamento elementar do ponto B é igual ao:
deslocamento do A (translação em que todos os pontos sofrem o mesmo
deslocamento tal como o ponto A)
+parcela que corresponde à rotação do segmento AB em torno do ponto A
pelo ângulo dθ
ângulos infinitesimais
cos 1d
sin d d
tan d d
L
A B
F
d Fdu FLd Md
forças podem ser consideradas na estrutura não-deformada
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Justificação da existência
C
A B
B
AB
D
D
movimento finito
CIR
AB
B
AB
D D
D
Centro instantâneo de rotação
d
movimento infinitesimal
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CIR
Rotação
CIR
A
A
u
xuxu
yu
yu
b
h
u CIR A
u CIR A
0 0
0 0
i j k h
u b
b h
cos cosxu u CIR A h
sin sinyu u CIR A b
Simplificação b h
h b
F
x x y y
x y F
F u F u
F h F b M
do segundo
deslocamento
apenas sabemos
a direcçãopq. são
ortogonais
Com sinais correctos
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Deslocamentos e rotações consideram-se infinitesimais.
CIR
d
,CIR Bdu D d
O trabalho virtual da força equivale ao produto da
intensidade da força e do valor da projecção do
deslocamento na linha de acção da força (com sinal)
O trabalho virtual
da força equivale
ao produto do
“momento” da
força em torno do
CIR (na posição
não-deformada) e
do ângulo de
rotação
infinitesimal
,
,
cos
cos
cos
CIR B
CIR B
d Fdu
F D d
F D d
FPd
d
,CIR BD
Produto de braço da
força e do ângulo
infinitesimal equivale
ao deslocamento
infinitesimal
projectado na linha
de acção da força
CIR
BB
F
BB
,CIR Bdu D d
, cosCIR BP D
d
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Exprimir o trabalho virtual
soma dos trabalhos dos momentos actuantes
em cada corpo em relação ao seu CIR
Determinação do CIR
Absoluto
Relativo
2121 CIRCIRCIR 231312 CIRCIRCIR
CIRapoios externos
CIR
u d
Teoremas
ligações internas
Mecanismos em 2D
=CIR(CIR)
d
F
=CIR12
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Dois corpos ligados pela rotula interna
Dois corpos ligados pelo encastramento deslizante
CIR2
CIR1
CIR12
CIR2
CIR1
CIR12
1L
2L
1
2
u
1 1 2 2u L L
21 2
1
L
L
2
11 2
deslocamento igual
(deslocamento relativo nulo)
ângulos diferentes
(ângulo relativo não nulo)
deslocamentos diferentes
(deslocamento relativo não nulo)
ângulos iguais
(ângulo relativo nulo)1L
2L
1 2
1 2
u u
L L
1u
2u
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O ângulo da rotação é igual para o corpo todo
Translação
O trabalho virtual do momento equivale ao produto da intensidade do
momento e do ângulo da rotação infinitesimal, independentemente do
ponto da aplicação do momento no corpo (com sinal)
O trabalho virtual da força equivale ao produto da
intensidade da força e do valor da projecção do
deslocamento na linha de acção da força (com sinal)
O trabalho virtual do momento é nulo
Translação com rotação ou apenas rotação
O trabalho virtual da força equivale ao produto do “momento” da
força em torno do CIR (na posição não-deformada) e do ângulo de
rotação infinitesimal
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Trabalho mecânico da força interna de uma mola num deslocamento infinitesimal
u
F
F
eF ku
ku
ku
ku
R F
k: Rigidez (linear) da mola [N/m]
u
eF
Ktg
F: trabalho positivo
Fe: trabalho negativo
d Fdu
du
d kudu
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Momento interno de uma mola rotacional numa rotação infinitesimal
Trabalho negativo
Retirando a força externa a mola volta à sua posição não deformada
d k d
Rigidez rotacional da mola [Nm/rad]
k
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Trabalho mecânico de uma força num deslocamento finito
2
1
A
A
21 rdF
Trabalho mecânico de um momento numa rotação finita
2
1
dM21
Propriedade aditiva
“soma” dos trabalhos elementares
Trabalho mecânico
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Forças conservativas ou com potencial
Existe uma função escalar V, que satisfaz:
F V x
VF
x
ou seja y
VF
y
z
VF
z
0F V isso implica (vectores colineares)
isso define condição necessária e suficiente
y yx x z zF FF F F F
y x z x y z
em consequência
0F dr ou seja
O trabalho mecânico num deslocamento finito não depende do caminho
(trajectória) que a força percorre entre as posições inicial e final
A
B 0A A
1 2
0A B B A
1trajectória
2trajectória
1 2
A B A B
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Todas as forças que não alteram o a sua intensidade, direcção e sentido são
conservativas no sentido matemático descrito acima
Todas as forças que fazem perder a energia total do sistema não são
conservativas: forças de amortecimento, atrito, etc. (sentido físico)
Estas forças transformam a energia mecânica para térmica, acústica ou outras
O trabalho mecânico de uma força conservativa depende apenas das posições
inicial e final do seu ponto de aplicação
A B B AV V
B B B
A B
A A A
V V VF dr dx dy dz dV
x y z
Introduzindo um nível zero, o potencial representa a energia potencial
O trabalho mecânico de uma força corresponde ao negativo da sua energia
potencial, assumindo que o nível zero corresponde à posição inicial da força
Todas as afirmações acima podem servir como definição das forças conservativas
Forças não-conservativas
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2
1
2 2
1 2 2 1
1
2
u
u
ku du k u u
Trabalho mecânico da força interna de uma mola num deslocamento finito
u
eF
1u 2u
2ku
1ku
Trabalho = - área
2
1
2 2
1 2 2 1
1
2k d k
Mola rotacional
A força elástica de uma mola é uma força conservativa21
2V ku C
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Energia potencial
= - trabalho mecânico das forças conservativas
A trajectória mais simples possível
A trajectória começa no nível zero
Neste caso trata-se de energia de deformação interna (energia elástica),
que é sempre positiva, porque corresponde à energia acumulada, que se
pode libertar voltando a mola para a sua posição não-deformada
assim o nível zero é obrigatoriamente a posição não deformada da mola,
no entanto não é obrigatório ter o mesmo nível zero para definir a energia
potencial do sistema
O nível zero é completamente arbitrário
Forças externas aplicadas incluindo o peso
Molas
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Energia potencial e equilíbrio
É possível resolver mais incógnitas
Mas é mais difícil fazer deformada de um mecanismo com 2 ou
mais graus de liberdade
0V
incógnita
Na posição de equilíbrio todas as derivadas parciais segundo os
parâmetros das incógnitas cinemáticas são nulas
Isso é consequência dos princípio variacionais, que estipulam
que na posição do equilíbrio estável a energia potencial total do
sistema atinge o seu mínimo
em alternativa
0 0 0V V
V
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Além da determinação da posição de equilíbrio, a função da energia
potencial usa-se para a determinação da carga crítica e da qualidade
de equilíbrio
A qualidade do equilíbrio
Equilíbrio
Estável
Energia potencial
do peso da esfera
aumenta
Equilíbrio
Indiferente
Energia potencial
do peso da esfera
é igual
Equilíbrio
Instável
Energia potencial
do peso da esfera
diminui
Deslocar e libertar a esfera
Forma da cavidade está em analogia com o gráfico da função de energia potencial
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1º de liberdade cinemática = 1 parâmetro que descreve a posição deformada
0 eq
V
1 equação para 1 incógnita
Função V tem extremo ou ponto de inflexão em eq
2
2
eq
V
>0 indica equilíbrio estável
segunda derivada =0 e todas as derivadas de ordem maior =0
indica equilíbrio indiferente (V localmente constante)
<0 indica equilíbrio instável
=0, mas a terceira derivada diferente de zero indica equilíbrio estável (inflexão)
=0, terceira derivada =0, quarta derivada positiva (negativa)
indica equilíbrio estável (instável)
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Quando a posição de equilíbrio não depende do valor da força
0
eq
VP
2
2
eq
VP
Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é estável
=0 para P=Pcrítica
Pode se deixar P como parâmetro
Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é instável
P0
critPhabitualmente
Carga crítica: o valor da carga que faz a separação entre o equilíbrio estável e o
instável, corresponde ao equilíbrio indiferente
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2º de liberdade cinemática = 2 parâmetros que descrevem a posição deformada
1
1, 2,
2
0
,
0eq eq
V
V
2 equações para 1 incógnitas
1 1, 2 2,
2
2
1 1 2
2
2
1 2 2 ,eq eq
V V
KV V
1 2
Tensor das curvaturas Neste caso o equilíbrio estável está
assegurado quando a curvatura em
qualquer direcção é positiva, para
isso basta que a curvatura mínima
seja positiva
min
max
k0
0k
Valores próprios
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2. invariante
maxmin
2
1222112 kkkkkKdetI
Quando det(K)>0 ambas curvaturas principais são positivas ou ambas negativas
Basta assegurar para o equilíbrio estável:
Quando ambas curvaturas principais são positivas, também ambas k11 e k22
são positivas
0k0Kdet min
0kou0k&0Kdet 2211
Justificação 0k0k max11
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Quando a posição de equilíbrio não depende do valor da força
1 1, 2 2, 1 1, 2 2,1 2, ,
0 & 0
eq eq eq eq
V VP
0Kdet
Existe um intervalo de forças para as quais o equilíbrio é estável
Resolvem-se raízes
Pode se deixar P como parâmetro
P0
raíz.1P raíz.2P
0Kdet 0Kdet 0Kdet
Basta verificar o sinal do k11 ou k22 para um
único valor da força, por exemplo P=0
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nº de liberdade cinemática = n parâmetros que descrevem a posição deformada
n equações para n incógnitas
n1,...,
0i
Vi
2 2
20 & 0
i j i
V Vi
Tensor das curvaturas
,
2
i i eqi j i
VK
Equilíbrio estável
E todos os sub-determinantes diagonais