Metodo de Resolucion de Ecuaciones Lineales de Gauss-Jordan

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Índice Introducción ............................................................................................ pág. 3 Método de Eliminación de Gauss-Jordan – Descripción .......................... pág. 4 Métodos numéricos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales ................................................................................. pág. 4 Teorema Fundamental de Equivalencia................................................... pág. 5 Algoritmo de eliminación gaussiana ........................................................ pág. 5 Algoritmo de Gauss-Jordan ..................................................................... pág. 6 Algoritmo de Gauss-Seidel ...................................................................... pág. 7 La tortuosa Historia del Método de Eliminación de Gauss para resolver Sistemas Lineales ............................................................... pág. 9 (Biografías) Carl Friedrich Gauss ................................................................................. pág. 12 Wilhelm Jordan ....................................................................................... pág. 15 Aplicación Práctica .................................................................................. pág. 17 Conclusiones ........................................................................................... pág. 21 Bibliografía .............................................................................................. pág. 22

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ÍÍnnddiiccee

Introducción ............................................................................................ pág. 3

Método de Eliminación de Gauss-Jordan – Descripción .......................... pág. 4

Métodos numéricos para la solución de Sistemas de

Ecuaciones Lineales ................................................................................. pág. 4

Teorema Fundamental de Equivalencia................................................... pág. 5

Algoritmo de eliminación gaussiana ........................................................ pág. 5

Algoritmo de Gauss-Jordan ..................................................................... pág. 6

Algoritmo de Gauss-Seidel ...................................................................... pág. 7

La tortuosa Historia del Método de Eliminación de Gauss

para resolver Sistemas Lineales ............................................................... pág. 9

(Biografías)

Carl Friedrich Gauss ................................................................................. pág. 12

Wilhelm Jordan ....................................................................................... pág. 15

Aplicación Práctica .................................................................................. pág. 17

Conclusiones ........................................................................................... pág. 21

Bibliografía .............................................................................................. pág. 22

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IInnttrroodduucccciióónn

En muchas ramas de la ciencia aplicada, como por ejemplo en

física, química, medicina, muchas veces se plantean sistemas

lineales de ecuaciones como problemática de cálculos. En

algunos casos esto surge de la necesidad de plantear un modelo

continuo para poder realizar los cálculos.

Como es un planteamiento de un modelo continuo, cuantos

más datos se tomen mejor es la aproximación del resultado. Es

por este motivo que se genera la necesidad de estudiar métodos

que resuelvan estos sistemas de una manera sencilla y rápida,

como objetivo primario.

Existen numerosas formas de resolver los sistemas lineales de

ecuaciones. Muchas de ellas son variaciones de otras por lo que

su entendimiento no resulta tan difícil. Explicamos a

continuación el método de Gauss-Jordan como uno de los tantos

métodos utilizados en este tipo de problemas, exponemos su

descripción y así también como una pequeña biografía de sus

autores inmediatos y originales.

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MMééttooddoo ddee EElliimmiinnaacciióónn ddee GGaauussss--JJoorrddaann –– DDeessccrriippcciióónn En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss-

Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".

El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía

anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático.

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de

Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida. Por consiguiente, no es necesario emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución.

MMééttooddooss nnuumméérriiccooss ppaarraa llaa ssoolluucciióónn ddee SSiisstteemmaass ddee EEccuuaacciioonneess LLiinneeaalleess Los métodos numéricos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales se dividen

en dos categorías generales: Métodos exactos Métodos aproximados

Se usan comúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gauss-

Jordan. Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan los problemas como división entre cero. Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gausiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos.

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Aunque los métodos de eliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.

El método de Gauss-Seidel es diferente a los métodos exactos, en cuanto que éste,

emplea un esquema iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cercanas a la solución. Por lo tanto, el efecto de redondeo es un punto discutible dentro del método, ya que las iteraciones se pueden prolongar tanto como sea posible para obtener la precisión deseada.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución

exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Además, de que muchos sistemas algebraicos lineales originados de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss-Seidel tiene gran utilidad en la solución de problemas de ingeniería.

TTeeoorreemmaa FFuunnddaammeennttaall ddee EEqquuiivvaalleenncciiaa:: Puede aceptarse que las siguientes 3 operaciones sobre una matriz ampliada producen

otras correspondientes a un sistema equivalente: 1. Intercambiar dos renglones. (Ya que corresponde a reordenar las ecuaciones del

sistema). 2. Multiplicar todos los elementos de un renglón por una misma constante. 3. Sumar a los elementos de un renglón los correspondientes elementos de otro

multiplicados por una constante. AAllggoorriittmmoo ddee eelliimmiinnaacciióónn ggaauussssiiaannaa::

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que

no tenga cero. 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a

los renglones debajo de él.

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4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz deberá tener forma de escalón.

5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello deberá sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes.

Es importante observar que en el método de eliminación Gaussiana: Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5

aplicado repetidamente reduce la matriz. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero son sólo los inferiores al pivote

AAllggoorriittmmoo ddee GGaauussss--JJoorrddaann::

Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para transformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella.

Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz.

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que

no tenga cero. Multiplicando apropiadamente el renglón, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.

3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.

4. Cubra la columna y el renglón de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

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Es importante observar que en el método de Gauss-Jordan:

En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez. En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio. En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote

(Eliminación Gaussiana) sino también los superiores.

AAllggoorriittmmoo ddee GGaauussss--SSeeiiddeell::

Es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar a otro método, Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas para obtener raíces. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a partir del cual, mediante una técnica sistemática se obtiene una mejor aproximación a la raíz. La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada.

Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente. Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.

Se debe despejar da cada ecuación despejar la variable sobre la diagonal

principal. Dar un valor inicial a las incógnitas (X generalmente se establecen ceros). Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor

para la primera incógnita.

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Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.

Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el

método.

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LLaa ttoorrttuuoossaa HHiissttoorriiaa ddeell MMééttooddoo ddee EElliimmiinnaacciióónn ddee GGaauussss ppaarraa rreessoollvveerr SSiisstteemmaass LLiinneeaalleess

Ya usado por los chinos tres siglos antes de Cristo en casos particulares, el inventor del método general fue Isaac Newton, que no lo quiso publicar, Euler no lo recomendaba, Legendre lo consideraba un método “ordinario” y Gauss lo calificaba como “común.” Hoy en día lo llamamos Método de Eliminación de Gauss. ¿Por qué se asoció el nombre de Gauss a este método? Cosas de los primeros informáticos que la usaron en los primeros ordenadores digitales. Nos cuenta muy detalladamente en 41 páginas la historia de este método Joseph F. Grcar, “How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination,” ArXiv, Submitted on 14 Jul 2009.

Siglos antes de Cristo ya se resolvían ciertos problemas que hoy formularíamos como un

sistema lineal de 2 por 2, o 3 por 3, aunque se utilizaban procedimientos propios para cada problema. Según Grcar, el primer uso demostrado del método de eliminación de Gauss aparece el s. III a.C. en China, desde donde se transfirió a Babilonia y Grecia. Por ejemplo, se usa en la solución del problema 19 en el libro I de la Aritmética de Diofanto. Desde entonces ha aparecido en varios fuentes, como en el libro Aryabhata que escribió el hindú Aryabhatiya en el s. V d.C.

Isaac Newton fue quien presentó por primera vez el método en su formulación

moderna, aunque no lo quiso publicar. Entre 1650 y 1750 hay 35 fuentes sólo en Inglaterra en las que aparece descrito el método. La mayoría de los libros de álgebra del s. XVIII apuntaban que el método fue inventado por Newton (el método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo, Hammond en su “The elements of algebra,” en 1752, nos presenta “El método para resolver problemas que contienen cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas” de Newton (The Method of resolving Questions, which contain four Equations, and four unknown Quantities).

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¿Por qué el método de eliminación de incógnitas se popularizó con Gauss? Para Grcar, todo nuevo método necesita un problema que resolver. Gauss lo utilizó en el marco del método de mínimos cuadrados, de gran utilidad en la resolución de múltiples problemas prácticos, como por ejemplo la determinación de la órbitas astronómicas, Gauss lo aplicó al asteroide Ceres, o en geodesia y cartografía. La “zorra” de Gauss (que como la zorra borra sus huellas con el rabo) utilizó el método de eliminación para la resolución de muchísimos problemas, sin indicar los detalles. ¿Por qué? Para qué indicar los detalles si era un método “común” (ampliamente conocido, según Gauss, claro).

Desde Gauss hasta la llegada de los ordenadores, el método se publicó una docena de

veces, según Grcar. Destaca Myrick Hascall Doolittle, calculista manual que llegó a resolver sistemas de 41 ecuaciones con 41 incógnitas, a mano, con el método de eliminación entre 1873 y 1911. Los cálculos a mano son largos, por ejemplo, Alan Turing en 1946 necesitó dos semanas para resolver un sistema de 18 ecuaciones y 18 incógnitas. Doolittle ya indica en 1878 que es necesario mecanizar el procedimiento de eliminación y a partir de 1890 empezó a usar una máquina para calcular sumas. El primer algoritmo pensado para una máquina lo desarrolló André-Louis Cholesky, geodésico militar, durante la I Guerra Mundial, para resolver problemas de mínimos cuadrados (cuyas matrices de coeficientes son simétricas y definidas positivas). Prescott Crout, profesor de matemáticas en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) aplicó el método de eliminación a problemas de ingeniería eléctrica en 1941. Su algoritmo fue el último publicado pensado sólo para hacer cálculos a mano.

El uso de matrices en la resolución de sistemas lineales es muy moderno. Las matrices

se inventaron en matemáticas (álgebra abstracta, entonces) por Einstein (1852), Cayley (1858), Laguerre (1867), Frobenius (1878) y Sylvester (1881), con objeto de entender la teoría de determinantes, formas cuadráticas, y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Fuera de la matemática abstracta, las matrices no fueron usadas hasta que Heisenberg las utilizó para su mecánica cuántica matricial en 1925. Prácticamente todas las presentaciones de métodos de resolución de sistemas lineales obviaban el uso de matrices. Salvo contadísimas excepciones, como Otto Toeplitz, que usó matrices triangulares de dimensión infinita, o Tadeusz Banachiewicz, que calculó la órbita de Plutón antes de su descubrimiento.

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Quizás la primera presentación de la eliminación de Gauss utilizando matrices es del genial John Von Neumann y su colaborador Herman Goldstine en 1947. Más aún, su presentación incluía la estimación de los errores en el cálculo de la inversa de matrices, el concepto de número de condición (ratio entre los valores singulares de mayor y menos módulo). Este trabajo marca el nacimiento del álgebra lineal numérica como actualmente.

El método de eliminación recibió el apelativo de “método de eliminación de Gauss” a

partir de la II Guerra Mundial, quizás en referencia a unas citas de Chauvenet (1868) “elimination of unknown quantities from the normal equations . . . according to Gauss,” y Liagre (1879) “élimination des inconnues entre les équations du minimum (équations normales)” mediante “les coefficients auxiliaires de Gauss.” Von Neumann (1947) aparentemente es el último gran matemático que habló del método de eliminación (como harían Lacroix o el propio Gauss) sin hacer una referencia al método como “eliminación de Gauss.”

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CCaarrll FFrriieeddrriicchh GGaauussss

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la

Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa

precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Johann Carl Friedrich Gauss nació en la ciudad de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de

1777, en una familia muy pobre: Su abuelo era allí un humilde jardinero y repartidor. Nunca pudo superar la espantosa miseria con la que siempre convivió. De pequeño, Gauss fue respetuoso y obediente y, en su edad adulta, nunca criticó a su padre por haber sido tan rudo y violento, que murió poco después de que Gauss cumpliera 30 años.

Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje.

Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el profesor propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética. Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» ('ya está').

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Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

El matemático Martin Bartels era asistente de Büttner en la escuela de Brunswick y

desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en Matemáticas. Ambos estudiaban juntos, se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental. En estos años se empezaron a gestar algunas de las ideas y formas de ver las matemáticas, que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que le precedieron, como Newton, Euler, Lagrange y otros más.

A los 12 años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría, y a los 16

tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría. A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que, a su juicio, habían dejado a medias sus predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que para él «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas». Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick Ferdinand. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, y por su modestia y timidez, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para asegurar que su educación llegara a buen fin.

Al año siguiente de conocer al duque, Gauss ingresó al Collegium Carolinum para continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Estuvo tres años en el Collegium y, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las matemáticas o a la filología. En esta época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss por la teoría de errores de observación y su distribución.

En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás.

Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra

(disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.

En 1801 publicó el libro Disquisitiones Arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la

Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.

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En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año publicó

Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.

Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

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WWiillhheellmm JJoorrddaann

Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de topografía en Alemania y África.

Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo

de Eliminación de Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta técnica algebráica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó

el método de mínimos cuadrados de forma habitual. Como en astronomía, cuando se realizan observaciones geodésicas existe una redundancia en medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan las medidas, y se pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas) al cual se le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en Alemania como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana Journal of Geodesy y ese mismo año publicó la primera edición de su famoso Handbuch.

Como los métodos de mínimos cuadrados eran tan importantes en topografía, Jordan

dedicó la primera sección de su Handbuch a este asunto. Como parte de la discusión, dio una detallada presentación del método de eliminación de Gauss para convertir el sistema dado en triangular. Entonces mostró cómo la técnica de sustitución hacia atrás permitía encontrar la solución cuando se conocían los coeficientes. Sin embargo, anota que si se realiza esta sustitución, no numérica sino algebraicamente, se pueden obtener las soluciones de las incógnitas con fórmulas que involucran los coeficientes del sistema.

En la primera y segunda edición (1879) de su libro simplemente dio estas fórmulas pero en la cuarta edición (1895) dio un algoritmo explícito para resolver un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes simétrica, que son las que aparecen en los problemas de mínimos cuadrados. Este algoritmo es, en efecto, el método de Gauss-Jordan.

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Aunque Jordan no usó matrices como lo hacemos actualmente, realizaba el trabajo sobre tablas de coeficientes y explicaba cómo pasar de una fila a la siguiente, como muchos textos hacen hoy en día. La mayor diferencia entre su método y el actual es que Jordan no hacía el pivote de cada fila igual a 1 durante el proceso de solución. En el paso final, simplemente expresaba cada incógnita como un cociente con el pivote como denominador.

El Handbuch se convirtió en un trabajo estándar en el campo de la geodesia, llegando

hasta diez ediciones en alemán y traducciones a otras lenguas. Incluso la octava edición de 1935 contenía la primera sección con la descripción del método de Gauss-Jordan. En la edición más reciente, publicada en 1961, ya no aparece. Por supuesto, en esa edición gran parte de lo que Jordan había escrito originalmente había sido modificado más allá de lo reconocible por los editores.

A mediados de la década de 1950 la mayoría de las referencias al método de Gauss-

Jordan se encontraban en libros y artículos de métodos numéricos. En las décadas más recientes ya aparece en los libros elementales de álgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuando se menciona el método, no se referencia al inventor.

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales – Método Gauss Jordan Página 16

AApplliiccaacciióónn PPrrááccttiiccaa

En esta sección se describe un método para encontrar todas las soluciones (si existen) de un sistema de n ecuaciones con m incógnitas.

Imagine que está en consejo de curso y ocurre la siguiente problemática. Se decide

comprar 2 destacadores, 5 lápices y 3 cuadernos. Para determinar el costo de los útiles, se sabe que el año pasado se gastó en 1 destacador más 4 cuadernos más 3 lápices $ 2600; 2 destacadores más 5 cuadernos más 4 lápices se gastaron $ 3500 y 1 destacador más 3 cuadernos más 2 lápices se gastaron $ 2000. ¿Cuál es el costo total de los útiles?

Para resolver este problema, vamos a determinar el costo por unidad de cada uno de los

útiles: destacador, cuaderno y lápiz. De acuerdo a los datos proporcionados, podemos construir el siguiente sistema de

ecuaciones:

Donde:

x1 = Precio de un destacador x2 = Precio de un cuaderno x3 = Precio de un lápiz

Para comenzar, vamos a enumerar las ecuaciones del sistema de 1 a 3 y vamos a asociar

el sistema anterior a la matriz de coeficientes como sigue:

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales – Método Gauss Jordan Página 17

Primer paso: Eliminemos x1 de las ecuaciones (2) y (3). Para esto, multipliquemos la ecuación (1) por –2 y sumemos la ecuación obtenida a la ecuación (2), obteniendo una nueva ecuación (2’).

Multipliquemos la ecuación (1) por –1 y sumémosla a la ecuación (3), obteniendo la

ecuación (3’). Esto nos da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones:

Segundo paso: Eliminemos x2 de la ecuación (1’). Para esto, multipliquemos la ecuación (3’) por 4 y luego sumémosla a la ecuación (1’), obteniendo la ecuación (1’’)

Tercer paso: Multipliquemos la ecuación (3’’) por –3. El sistema queda así

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales – Método Gauss Jordan Página 18

Cuarto paso: Eliminemos x2 de la ecuación (3’’’). Sumemos la ecuación (2’’’) a la ecuación (3’’’), obteniendo la ecuación (3iv).

El sistema quedaría así:

Quinto paso: Eliminemos x3 de la ecuación (1iv) y (2iv). Para esto, sumemos la ecuación

(3iv) a la ecuación (1iv), obteniendo la nueva ecuación (1v). Multipliquemos la ecuación (3iv) por 2 y luego sumémosla a la ecuación (2iv),

obteniendo la nueva ecuación (2v).

Sexto paso: Multipliquemos la ecuación (2v) por –1/3, obteniendo la ecuación (2vi).

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales – Método Gauss Jordan Página 19

O sea:

Del sistema anterior, podemos desprender que: x1 = 300; x2 = 500; x3 = 100 Esto quiere decir que el precio de un destacador, un cuaderno y un lápiz es

respectivamente: $100, $500 y $100. Resolviendo el problema que teníamos en un comienzo, tenemos que el costo total de

los útiles es $2600. Pues: 2 (300) + 5 (100) + 3 (500) = 600 + 500 + 1500 = 2600

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CCoonncclluussiioonneess

Independientemente del problema y de qué área de la ciencia

sea, los métodos para resolverlos serán de acuerdo a las

necesidades y cantidad de datos presentados, el método de

Gauss ha sido modificado por varios matemáticos que lo

adaptados de acuerdo a sus necesidades individuales, como

Wilhelm Jordan con sus trabajos de topografía.

Tanto Philipp Ludwig von Seidel como Wilhelm Jordan

realizaron modificaciones al método original de Carl Gauss,

pero según varias versiones el mismo Gauss tomo la formula

de un libro antiguo chino (Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos

del arte matemático) escrito por el siglo III de cuyo autor se

desconoce, aun atribuyéndole a Newton como el primero que

la utilizo, pero no publico.

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BBiibblliiooggrraaffííaa

https://www.facebook.com/pages/Eliminación-de-Gauss-Jordan/112453025436693

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminación_de_Gauss-Jordan

http://palillo.usach.cl/Pamela/gauss.htm

http://mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/intro_matlab/index.htm

http://proton.ucting.udg.mx/~jnorato/materias/metodos/matrix/gj/Gaussjor.htm

http://irlenys.tripod.com/calculo/eliminacion.htm