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Contenido
Introducción
Operadores integrales
Función de Green
Ecuaciones integrales
Método de los Momentos –MoM–
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 2 / 11
Introducción
Introducción2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:
"rˆ |!—
`(|!" + ff) rˆ
#| {z }
L
EH
!| {z }
u
=
`M i
J i
!| {z }
v
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 3 / 11
Introducción
Introducción2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:
"rˆ |!—
`(|!" + ff) rˆ
#| {z }
L
EH
!| {z }
u
=
`M i
J i
!| {z }
v
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Introducción
Introducción2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:
"rˆ |!—
`(|!" + ff) rˆ
#| {z }
L
EH
!| {z }
u
=
`M i
J i
!| {z }
v
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Introducción
Introducción2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .
2Otros ejemplos:
"rˆ |!—
`(|!" + ff) rˆ
#| {z }
L
EH
!| {z }
u
=
`M i
J i
!| {z }
v
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espaciosvectoriales de funciones, se define L : U ! V, talque:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente unoperador, en caso contrario, L se denomina mapeo.2 En palabras llanas: L transforma u en v .2Otros ejemplos:
"rˆ |!—
`(|!" + ff) rˆ
#| {z }
L
EH
!| {z }
u
=
`M i
J i
!| {z }
v
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Operadores integrales
Operadores integrales2 Para nosotros especial atención merecen los ope-radores integrales.
2 Un operador integral tiene en general la formasiguiente:
v (r ) = L [u(r 0)] =ZV 0K(r ; r 0)| {z }Kernel
u(r 0) d� 0
2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r ; r 0) = K(r` r 0), entoncesel operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K(r ; r 0) = G(r ; r 0)
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 4 / 11
Operadores integrales
Operadores integrales2 Para nosotros especial atención merecen los ope-radores integrales.2 Un operador integral tiene en general la formasiguiente:
v (r ) = L [u(r 0)] =ZV 0K(r ; r 0)| {z }Kernel
u(r 0) d� 0
2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r ; r 0) = K(r` r 0), entoncesel operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K(r ; r 0) = G(r ; r 0)
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Operadores integrales
Operadores integrales2 Para nosotros especial atención merecen los ope-radores integrales.2 Un operador integral tiene en general la formasiguiente:
v (r ) = L [u(r 0)] =ZV 0K(r ; r 0)| {z }Kernel
u(r 0) d� 0
2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r ; r 0) = K(r` r 0), entoncesel operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K(r ; r 0) = G(r ; r 0)
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.
2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que se ma-nifiestan los efectos (los campos) delas fuentes, generalmente designadaspor u(r 0).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 5 / 11
Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que se ma-nifiestan los efectos (los campos) delas fuentes, generalmente designadaspor u(r 0).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 5 / 11
Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que se ma-nifiestan los efectos (los campos) delas fuentes, generalmente designadaspor u(r 0).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).
2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede in-terpretar como la respuesta impulsivadel sistema descrito por el operadorinverso de L.2 En electromagnetismo tal sistemaconsiste en el medio en el que se ma-nifiestan los efectos (los campos) delas fuentes, generalmente designadaspor u(r 0).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0) y loscampos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes comode los medios que participan y de la constitución de éstos.
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Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuaciónintegral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, yla ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es delsegundo tipo.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 6 / 11
Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuaciónintegral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, yla ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es delsegundo tipo.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 6 / 11
Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuaciónintegral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, yla ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es delsegundo tipo.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 6 / 11
Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuaciónintegral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, yla ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es delsegundo tipo.
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 6 / 11
Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–La solución numérica de la Ecuación (1) –quesignifica calcular o estimar la función u– se pue-de obtener [Har68]:
2 Dada una base vectorial de funciones com-pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamosla función u sobre dicha base vectorial de fun-ciones:
u =Pn ¸nfn
donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,las coordenadas de u respecto de ffng.
2 Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, apro-ximamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementosde ffng –primera aproximación–:
u =PNn=1 ¸nfn
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–La solución numérica de la Ecuación (1) –quesignifica calcular o estimar la función u– se pue-de obtener [Har68]:2 Dada una base vectorial de funciones com-pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamosla función u sobre dicha base vectorial de fun-ciones:
u =Pn ¸nfn
donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,las coordenadas de u respecto de ffng.
2 Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, apro-ximamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementosde ffng –primera aproximación–:
u =PNn=1 ¸nfn
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–La solución numérica de la Ecuación (1) –quesignifica calcular o estimar la función u– se pue-de obtener [Har68]:2 Dada una base vectorial de funciones com-pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamosla función u sobre dicha base vectorial de fun-ciones:
u =Pn ¸nfn
donde los coeficientes f¸ng son, precisamente,las coordenadas de u respecto de ffng.
2 Como el conjunto ffng contiene, en general, infinitos elementos, apro-ximamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementosde ffng –primera aproximación–:
u =PNn=1 ¸nfn
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.
2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones delsubespacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab
˜dt (segunda aproximación):
hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
2 Intercambiamos los operadores L $P:
hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.
2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones delsubespacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab
˜dt (segunda aproximación):
hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
2 Intercambiamos los operadores L $P:
hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones delsubespacio V.
2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab
˜dt (segunda aproximación):
hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
2 Intercambiamos los operadores L $P:
hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones delsubespacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab
˜dt (segunda aproximación):
hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
2 Intercambiamos los operadores L $P:
hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Se dice que u ha sido expandida en una sumaponderada de funciones bases fn.2 Definimos un conjunto de funciones de pesofwmg, con m = 1; 2; : : : ;N.2 Tales funciones podrían constituir, o no[Sar85], una base vectorial de funciones delsubespacio V.2 Realizando N productos internos: ha; bi =R T0 ab
˜dt (segunda aproximación):
hwm;Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
2 Intercambiamos los operadores L $P:
hwm;LPNn=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
hwm;PNn=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Intercambiamos los operadores h i $P:
NXn=1
¸nhwm;Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N (2)
2 Expandimos la Ecuación (2) en la forma:
¸1 hw1;Lf1i + ¸2 hw1;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw1;LfNi = hw1; vi¸1 hw2;Lf1i + ¸2 hw2;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw2;LfNi = hw2; vi
... =...
¸1 hwN;Lf1i + ¸2 hwN;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hwN;LfNi = hwN; vi
(3)
a.z. @ ‘abema (iee) MoM Quito, nov/2014 9 / 11
Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Intercambiamos los operadores h i $P:
NXn=1
¸nhwm;Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : :N (2)
2 Expandimos la Ecuación (2) en la forma:
¸1 hw1;Lf1i + ¸2 hw1;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw1;LfNi = hw1; vi¸1 hw2;Lf1i + ¸2 hw2;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw2;LfNi = hw2; vi
... =...
¸1 hwN;Lf1i + ¸2 hwN;Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hwN;LfNi = hwN; vi
(3)
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0BBBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi
......
......
hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi
1CCCCA0BBBB@¸1
¸2...¸N
1CCCCA =
0BBBB@hw1; vihw2; vi
...hwN; vi
1CCCCA (4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1[V ]
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0BBBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi
......
......
hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi
1CCCCA0BBBB@¸1
¸2...¸N
1CCCCA =
0BBBB@hw1; vihw2; vi
...hwN; vi
1CCCCA (4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,
2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1[V ]
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0BBBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi
......
......
hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi
1CCCCA0BBBB@¸1
¸2...¸N
1CCCCA =
0BBBB@hw1; vihw2; vi
...hwN; vi
1CCCCA (4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y
2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1[V ]
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0BBBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi
......
......
hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi
1CCCCA0BBBB@¸1
¸2...¸N
1CCCCA =
0BBBB@hw1; vihw2; vi
...hwN; vi
1CCCCA (4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.
2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1[V ]
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0BBBB@hw1;Lf1i hw1;Lf2i ´ ´ ´ hw1;LfNihw2;Lf1i hw2;Lf2i ´ ´ ´ hw2;LfNi
......
......
hwN;Lf1i hwN;Lf2i ´ ´ ´ hwN;LfNi
1CCCCA0BBBB@¸1
¸2...¸N
1CCCCA =
0BBBB@hw1; vihw2; vi
...hwN; vi
1CCCCA (4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientementedenominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm;Lfni,2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), conVm = hwm; vi.2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1[V ]
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Método de los Momentos –MoM–
Referencias I
R. F. Harrington.Field Computation by Moment Methods.MacMillan, U.S.A., New York, 1968.
T. K. Sarkar.A note on the choice weighting functions in the method of moments.Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 33(4):436–441,April 1985.
F. G. Tricomi.Integral Equations.Interscience Publishers, Inc., 1957.
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