Inversión de matrices n n Método: similar al método de Gauss-Jordan
Método de Gauss Jordan
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Método de Gauss - JordanSOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MATRICES
Sistema de Ecuaciones Lineales Un sistema de ecuaciones lineales puede describirse de la siguiente manera:
donde todos los se denominan coeficientes, los se denominan incógnitas o variables y los se llaman términos independientes
m ecuaciones
n incógnitas
Método de Gauss - Jordan Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en determinar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.
El método de eliminación de Gauss – Jordan da cuenta del uso de las matrices para hallar estos valores. Para esto, se siguen estos pasos
1. Organizar las ecuaciones y construir la matriz ampliada A | B
2. Convertir esta matriz en su forma escalonada reducida, usando operaciones elementales entre filas
3. De la matriz resultante, obtener la solución.
Vamos con un ejemplo … Sistema de ecuaciones Sistema a
resolver
Paso 1. Sistema de ecuaciones Ordenar el
sistema y construir la matriz
ampliada A|B
Matriz ampliadaLa matriz ampliada está formada por los coeficientes y
los términos independientes
Paso 2.Convertir esta matriz en su
forma escalonada reducida
Matriz ampliada
Pero, ¿cómo? ¿usando operaciones elementales entre filas?
Operaciones Elementales entre Filas
Son 3 Intercambiar filas
Multiplicar todos los elementos de una fila por una
constante diferente de cero
Sumar a los elementos de una fila los elementos
de otra multiplicados por
una constante
Paso 2. Manos a la obra !!!
[2 −2 22 1 −11 2 −1|
8−1−3 ]𝐹 1→𝐹1/2
→ [1 −1 12 1 −11 2 −1|
4−1−3 ]
Buscamos que el primer elemento de la matriz sea un 1.A la fila 1 la multiplicamos por ½
Paso 2. Manos a la obra !!!
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1 y a la fila 3 le restamos la fila 1
[1 −1 12 1 −11 2 −1|
4−1−3 ]𝐹 2→𝐹2−2𝐹 1
→𝐹 3→𝐹 3−𝐹1→
[1 −1 10 3 −30 3 −2|
4−9−7 ]
Paso 2. Manos a la obra !!!
𝐹 2→1/3𝐹 2→[1 −1 1
0 3 −30 3 −2|
4−9−7 ] [1 −1 1
0 1 −10 3 −2|
4−3−7 ]
Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.A la fila 2 la multiplicamos por 1/3
Paso 2. Manos a la obra !!!
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 1 le sumamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos 3 veces la fila 2
𝐹 1→𝐹1+𝐹 2→𝐹 3→𝐹 3−3𝐹2→
[1 −1 10 1 −10 3 −2|
4−3−7 ] [1 0 0
0 1 −10 0 1 | 1−32 ]
Paso 2. Manos a la obra !!!
𝐹 3→𝐹 3→
Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.Como en este caso ya lo es, no se realiza operación.
[1 0 00 1 −10 0 1 | 1−32 ] [1 0 0
0 1 −10 0 1 | 1−32 ]
Paso 2. Manos a la obra !!!
[1 0 00 1 −10 0 1 | 1−32 ] [1 0 0
0 1 00 0 1|
1−12 ]𝐹 2→𝐹2+𝐹 3
→
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.A la fila 2 le sumamos la fila 3.
Paso 2.De la matriz resultante, obtener la solución
Reconstruyendo las ecuaciones, obtenemos
[1 0 00 1 00 0 1|
1−12 ]
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 { 𝑥=1𝑦=−1𝑧=2
Fácil, cierto?