Metodo Crooss

M todo de anlisis del desplazam iento: distribucin de momentos

0 m t o d o d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s e s u n m to d o d e a n lis is d e l d e s p la z a m ie n to q u e e s fcil d e a p lic a r u n a v e z d e te r m in a d a s c ie r ta s c o n s ta n te s e l s tic a s . E n e s t e c a p tu lo s e e s ta b le c e r n e n p r im e r lu g a r

la s d e f in ic io n e s y c o n c e p to s m s im p o r ta n te s p a r a la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s , y d e s p u s s e a p lic a r e l m t o d o p a r a re s o lv e r p ro b le m a s d e v ig a s y m a rc o s e s t t i c a m e n te in d e te r m in a d o s . En la ltim a p a r te d e l c a p tu lo s e e s tu d ia la a p lic a c i n d e l m t o d o e n m a r c o s c o n v a rio s n iv e le s .

1 2 .1 P rin c ip io s g e n e ra le s y d e fin ic io n e s

E l m to d o p a r a a n a liz a r v igas y m a rc o s m e d ia n te la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s fue d e s a r ro lla d o p o r H a rd y C ro s s e n 1930. C u a n d o e s te m to d o s e p u b lic p o r p r im e ra v e z a tr a jo la a te n c i n d e in m e d ia to , y h a s id o r e c o n o c id o c o m o u n o d e lo s a v a n c e s m s n o ta b le s e n e l an lis is e s t ru c tu ra l d u ra n te e l s ig lo x x .

C o m o s e e x p lic a r e n d e ta l le m s a d e la n te , la d is tr ib u c i n d e m o m e n tos e s u n m to d o d e a p ro x im a c io n e s su ces iv as q u e p u e d e n re a liz a rse c o n c u a lq u ie r g ra d o d e p re c is i n d e se a d o . E n e se n c ia , e l m to d o c o m ie n z a a l s u p o n e r q u e c a d a ju n ta d e u n a e s t ru c tu r a e s t fija. D e sp u s , a l l ib e ra r y b lo q u e a r c a d a ju n ta d e m a n e ra su ce s iv a , lo s m o m e n to s in te rn o s e n la s ju n ta s s e d is tr ib u y e n y e q u il ib ra n h a s ta q u e la s ju n ta s g iran h a d a su s p o s ic io n e s f in a le s o cas i f ina les . Se e n c o n tr q u e e s te p ro c e so d e c lc u lo e s a la vez re p e t i t iv o y fc il d e ap lica r. S in e m b a rg o , a n te s d e e x p lic a r la s t cn ica s p a ra la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s , d e b e n p re s e n ta r s e a lg u n a s d e fin ic io n e s y c o n c e p to s .

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4 8 8 C a p i t u l o 1 2 M t o d o d e a n l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s

i ?P

, 1 w 8 0 0 Ni.

mtri m j 1 " IA B *

BA

F ig u r a 1 2 - 1

- u|------------ 5 m -------------

1 8------------ 5 m ----------- -

F ig u r a 1 2 - 2

C o n v e n c i n d e s ig n o s . Se e s ta b le c e r la m ism a c o n v e n c i n d e s ig n o s q u e p a ra la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e f le x i n : lx>s m o m e n to s q u e a c t a n s o b re e l e le m e n to con se n tid o h o ra r io s e c o n s id e ra n p o s itiv o s .y lo s m o m e n to s c o n se n tid o a n tih o ra r io s e r n n eg a tivo s , f ig u ra 12-1.

M o m e n t o s e n e x t r e m o s f i jo s (FEM). l o s m o m e n to s e n las " p a r e d e s " o e n la s ju n ta s fijas d e u n e le m e n to c a rg a d o s e d e n o m in a n m o m e n to s e n e x tr e m o s f i jo s . E s to s m o m e n to s p u e d e n d e te rm in a rs e c o n b ase e n la ta b la q u e s e e n c u e n tra e n e l in te r io r d e la c o n tr a p o r ta d a , d e p e n d ie n d o d e l tip o d e c a rg a s o b r e e l e le m e n to . P r e je m p lo , l a v iga c a r g a d a c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-2 tie n e m o m e n to s e n lo s e x tre m o s fijos d e F E M = P L / 8 = 8 0 0 (1 0 ) /8 = 1000 N m. Si s e to m a e n c u e n ta la a c d n d e e s to s m o m e n to s so b re a v iga y s e a p lic a la c o n v e n c i n d e s ig n o s a d o p ta d a , s e v e q u e M a b = - 1000 N m = y M ba = + 1000 N m .

F a c to r d e r ig id e z d e l e l e m e n t o . C o n s id e re l a v iga d e la fig u ra12-3. q u e e s t a r t ic u la d a e n u n e x tr e m o y fija e n e l o tro . L a a p lic a c i n d e l m o m e n to M h ace q u e e l e x tr e m o A g ire a tr a v s d e u n n g u lo 0A . E n el c a p tu lo 11 s e re la c io n M c o n dA u s a n d o e l m to d o d e la v ig a c o n ju g a d a . D e e s to re s u lt la e c u a c i n 11-1. e s d e c ir . M = (4E I / L ) 0 A. E l t r m in o e n t r e p a r n te s is

(1 2 - 1 )

s e c o n o c e c o m o e l fa c to r d e r ig id e z e n A y p u e d e d e f in irs e c o m o la c a n t id a d d e m o m e n to M n e c e sa r ia p a ra h a c e r g ira r e l e x tr e m o A cfc la v iga e n dA = 1 ra d .

H g u r a 1 2 - 3

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1 2 . 1 PsiNJCIPlOS GENERALES Y DEFINICIONES 4 8 9

F a c to r d e r ig id e z e n la j u n ta . Si v a rio s e le m e n to s e s t n c o n e c ta d o s f i ja m e n te a u n a ju n ta y c a d a u n o d e su s e x tre m o s le jan o s e s t fijo , e n to n c e s p o r e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic i n , e l f a c t o r d e r ig id e z to ta l e n la ju n ta e s la su m a d e los fa c to re s d e r ig id e z d e los e le m e n to s u n id o s a la ju n ta , e s d e c ir , K j = 2 K . P o r e je m p lo , c o n s id e re la ju n ta A d e u n m a rc o q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-4a. E l v a lo r n u m ric o del f a c to r d e rig idez d e c a d a e le m e n to s e d e te rm in a a p a r t ir d e la e c u a c i n 12-1 y se p re s e n ta e n la f ig u ra . C o n e s to s v a lo res , e l fa c to r d e rig idez to ta l d e la ju n ta A e s K r - 2 K = 4000 + 5 0 0 0 + 1000 - 10 000 . E s te v a lo r re p re s e n ta la c a n tid a d d e m o m e n to n e c e sa r io p a ra g i r a r la ju n ta a tra v s d e u n n g u lo d e 1 r a d .

F a c to r d e d i s t r ib u c i n (DF). Si s e a p lic a u n m o m e n to M a u n a ju n ta c o n e c ta d a f i ja m e n te , c a d a e le m e n to c o n e c ta d o p ro p o rc io n a r u n a p a r te d e l m o m e n to d e re s is te n c ia n e c e sa r io p a r a s a t is fa c e r e l e q u il i b rio d e m o m e n to s e n la ju n ta . E s a fracc i n d e l m o m e n to d e re s is te n c ia to ta l s u m in is tr a d a p o r e l e le m e n to s e lla m a fa c to r d e d is tr ib u c i n (D F ) . P a ra o b te n e r su v a lo r , im a g in e q u e la ju n ta e s t f i ja m e n te c o n e c ta d a a n e le m e n to s . S i u n m o m e n to M a p lic a d o h a c e q u e la j u n t a g ire u n a c a n tid a d 0 . e n to n c e s c a d a e le m e n to / g ir a e s ta m ism a c a n tid a d . S i e l f a c to r d e rig idez d e l /- s im o e le m e n to e s /C en to n ces e l m o m e n to a p o r ta d o p o r el d e m e n t o e s = K f l . D a d o q u e e l e q u ilib r io re q u ie re q u e M = M x + M n = K x9 + K 0 = 0 /C e n to n c e s e l fa c to r d e d is tr ib u c i n p a ra e l /-sim o e le m e n to e s

d f , = ^ = _ M ' M 8 2 K ,

A l c a n c e la r el t rm in o c o m n 0 ,s e v e q u e e l f a c to r d e d is tr ib u c i n d e un e le m e n to e s ig u a l a l f a c to r d e r ig id e z d e l e le m e n to d iv id id o e n tr e e l fa c to r d e r ig id ez to ta l d e la ju n ta ; e s d e c ir , e n g e n e ra l .

D FK

2 K( 12 - 2 )

K a d - 1000 . K m - 4 0 0 0

/> K . . - 5000

C

()

M = 2 0 0 0 N m

r e je m p lo , lo s fa c to re s d e d is tr ib u c i n p a r a lo s e le m e n to s A R , A C y A D e n la ju n ta A d e la f ig u ra 12-4a s o n

D F ^fl = 4 0 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.4

D F a c = 50 0 0 /1 0 0 0 0 = 0.5

D F x o = 1000/10 0 0 0 = 0.1

C o m o re s u lta d o , s i M = 2 0 0 0 N m a c t a e n la ju n ta A , f ig u ra 12-4/>.Ios m o m e n to s d e e q u il ib r io e je r c id o s p o r lo s e le m e n to s s o b re la ju n ta , fig u ra 1 2 -4 c ,so n

M a b = 0 .4 (2 0 0 0 ) = 8 0 0 N -m

M ac = 0 .5 (2 0 0 0 ) = 1000 N m

M a d = 0 .1 (2 0 0 0 ) = 200 N -m

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12

L as c a r g a s e s t t ic a m e n te in d e te r m in a d a s e n la s t r a b e s d e l p u e n te , la s c u a le s s o n c o n t in u a s s o b r e s u s p i lo te s , p u e d e n d e te r m in a r s e u s a n d o e l m to d o d e l a d is t r ib u c i n d e m o m e n to s .

Factor de rig idez relativa del e lem ento. G >n b a s ta n te f r e c u en c ia u n a v iga o u n m a rc o c o n tin u o s s e h a r n d e l m ism o m a te r ia l , p o r k> q u e s u m d u lo d e e la s tic id a d E s e r ig u a l p a ra to d o s lo s e le m e n to s . Si es a s , e l f a c to r c o m n 4 e n la e c u a c i n 12-1 s e cancelar d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m in a d o r d e la e c u a c i n 12-2, a l d e te r m in a r e l f a c to r d e d is tr i b u c i n p a r a u n a ju n ta . P o r lo ta n to , re s u lta m s f c i l s lo d e te r m in a r el fa c to r d e r ig id e z re la tiv a del e le m e n to

(1 2 -3 )

y u s a r e s to p a r a lo s c lc u lo s d e l DF.

Factor de traslado. C n sid e re d e n u e v o la v iga d e la f ig u ra 12-3. E n e l c a p tu lo 11 s e d e m o s tr q u e M AB = (4 / /Z .) 0 ^ (e c u a c i n 11-1) y M r a = ( 2 E I /L )Q a (e c u a c i n 11-2). S i s e re s u e lv e p a r a 0 A y s e ig u a la n e s ta s e c u a c io n e s r e s u l ta M b a = M A B 2 . E n o t r a s p a la b ra s ,e l m o m e n to M e n e l p a s a d o r in d u c e u n m o m e n to d e M ' = \ M e n la p a re d . E l f a c to r d e tra s la d o r e p r e s e n ta la fra cc i n d e M q u e es tr a s la d a d a d e l p a s a d o r a la p a re d . P o r lo ta n to , e n e l c a so d e u n a v ig a el e x tr e m o le ja n o f i j o . e I fa c to r d e tr a s la d o e s + E l s ig n o m s in d ic a q u e a m b o s m o m e n to s a c t a n e n la m ism a d ire c c i n .

1 2 . 2 D is trib u c i n de m o m e n to s para vigas

1.a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s e b a sa e n e l p r in c ip io d e l su ce s iv o b lo q u e o y lib e ra c i n d e la s ju n ta s d e u n a e s t ru c tu r a a fin d e p e rm it ir q u e los m o m e n to s e n ju n t a s se d is tr ib u y a n y e q u il ib re n . L a m e jo r m a n e ra d e e x p lic a r e l m to d o e s p o r m e d io d e e jem p lo s .

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1 2 . 2 D is t r ib u c i n d e m o m e n t o s p a r a v ig a s 4 9 1

U l l l 11 i 111| / A8 - 3 0 0 p u lg 4^ l a c - 6 0 0 p u lg 4 C l

|--------- 15 p ie s p 2 0 p ie s 1

(a)

Figura 12-5

C o n s id e re u n a v iga q u e t i e n e u n m d u lo d e e la s tic id a d E c o n s ta n te y las d im e n s io n e s y l a c a rg a q u e s e m u e s tra n e n l a fig u ra 12-5a. A n te s d e c o m e n z a r , lo p r im e ro e s d e te r m in a r lo s fa c to re s d e d is tr ib u c i n e n lo s d o s e x tr e m o s d e c a d a c la ro . C o n b a se e n la e c u a c i n 12-1 . K = 4 E I / L , los fa c to re s d e rig id ez a a m b o s la d o s d e B so n

4 ( 3 0 0 ) 4 4 (6 0 0 )K m = = 4 ( 2 0 ) p u l g / p i e K e c = = 4 ( 3 0 ) p u lg '/ p ie

l \ ) r lo ta n to ,s i se u sa la e c u a c i n 1 2 -2 , D F = K I S K , p a ra los e x tre m o s c o n e c ta d o s a la ju n ta B , s e t ie n e

4 E 2 0 )

D l' BA ~ 4 ( 2 0 ) + 4 E (3 0 ) ' 4

4 { 3 0 )

DFflC " 4 E (2 0 ) + 4 E (3 0 ) = 6

E n la s p a re d e s , ju n t a s A y C .e l f a c to r d e d is tr ib u c i n d e p e n d e d e l fa c to r d e rig id ez d e l e le m e n to y d e l f a c to r d e r ig id e z " d e la p a re d . C o m o e n te o r a s e n e c e s ita r a u n m o m e n to d e ta m a o " in f in ito " p a ra h a c e r q u e la p a re d g ir a ra u n ra d i n , e l f a c to r d e rig id ez d e l a p a re d e s in f in i ta P o r ta n to , p a ra las ju n t a s A y C se t ie n e

4 E (2 0 )

D F b ~ oo + 4 E (2 0 ) ~

4 E (3 0 )

D F = oo + 4 E (3 0 ) =

O b se rv e q u e lo s re s u lta d o s a n te r io r e s ta m b i n p o d r a n h a b e rs e o b te n id o s i e n lo s c lcu lo s s e h u b ie r a u sa d o e l fa c to r d e rig idez re la tiv a K R =1/1 . (e c u a c i n 12-3). A d e m s ,s ie m p re q u e s e u se u n c o n ju n to consisten te d e u n id a d e s p a ra e l f a c to r d e r ig id e z , e l D F n o te n d r u n id a d e s , y e n u n a ju n ta , e x c e p to c u a n d o s e e n c u e n t r e e n u n a p a r e d fija , la s u m a d e lo s D F s e r s ie m p re ig u a l a 1.

D e sp u s d e h a b e r c a lc u la d o lo s DF. a h o r a se d e te r m in a r n lo s F E M .S lo e l c la ro B C e s t c a rg a d o y. c o n b a se e n la ta b la u b ic a d a e n la p a r te in te r io r d e la c o n tr a p o r ta d a , p a r a u n a c a rg a u n ifo rm e s e t ie n e

WL 2 2 4 0 (2 0 )2(FEM)bc -J2- ~ = " 00,b 'Pie

w L z 2 4 0 (2 0 )2 (F E M )c a = = Kn = 8000 I b - p ie

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240 Ib/picu i r m i n 1 1 |'8000 Ib-pie8000 Ib-pie

la junta B se mantiene fija ! V B = OHI ID- r

C Ir 1VA - 320 Ib!------ 5 pies 1 3200 I b -pie | - 2 0 p i e s 1 f1 0 4 0 0 I b - p i e

(0

H g u ra 12-5

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L os o tro s fa c to re s d e d is tr ib u c i n y lo s F E M s o n ig u a le s a lo s ca lc u la d o s c o n a n te r io r id a d . S e e n u n c ia n e n la s f i la s 1 y 2 d e la ta b la e n la f ig u ra12-66. E n un in ic io s e s u p o n d r q u e las ju n t a s B y C e s t n b lo q u e a d a s . Se c o m ie n z a p o r l ib e ra r la ju n ta C y c o lo c a r u n m o m e n to e q u il ib r a n te d e - 8000 Ib p ie e n la ju n ta . T o d o e l m o m e n to s e d is tr ib u y e e n e l e le m e n to C B p u e s to q u e ( 1 ) ( - 8 0 0 0 ) Ib p ie = - 8000 Ib p ie. L a fle c h a e n la fila 3 in d ica q u e $ ( - 8 0 0 0 ) Ib p ie = - 4000 Ib p ie s e tr a s la d a a la ju n ta B p u e s to q u e la ju n ta C a h o ra p u e d e g ira r l ib re m e n te . L a j u n t a C se b lo q u e a d e n u e v o . C o m o e l m o m e n to to ta l e n C e s t e q u ilib r a d o ,s e co lo c a u n a f i la d e b a jo d e l m o m e n to d e - 8000 Ib p ie. A h o ra s e c o n s id e ra r e l m o m e n to d e s e q u i l ib ra d o d e - 12 000 Ib p ie e n la ju n ta B. A q u , p a ra lo g ra r e l e q u il ib r io .s e ap lica u n m o m e n to d e + 12 0 0 0 Ib p ie a B y e s ta ju n ta se d e s b lo q u e a d e m o d o q u e la s p a r te s d e l m o m e n to s e d is tr ib u y a n e n B A y B C .e s d e c ir . (0 .4 )( 12 0 0 0 ) = 4800 Ib p e y (0 .6 )(1 2 0 0 0 ) = 7200 Ib p e , c o m o s e m u e s tra e n la fila 4 .T a m b i n te n g a e n c u e n ta q u e + $ de e s to s m o m e n to s d e b e tra s la d a rse a l a p a r e d fija A y a l ro d illo C p u e s to q u e l a ju n ta B h a g ira d o . L a ju n ta B a h o r a s e b lo q u ea d e n u e v o . U n a vez m s. la ju n ta C x l ib e ra y e l m o m e n to d e s e q u i l ib ra d o e n e l ro d i l lo s e d is tr ib u y e c o m o se h iz o a n te r io rm e n te . L os re su lta d o s s e m u e s tra n e n la fila 5. Si la s ju n ta s B y C se b lo q u e a n y d e s b lo q u e a n d e m a n e r a su c e s iv a , e n e se n c ia s e d ism in u y e e l ta m a o d e l m o m e n to q u e d e b e e q u il ib ra rs e h a s ta q u e s e v u e lv e in s ig n ific a n te e n c o m p a ra c i n c o n lo s m o m e n to s o r i g ina les, fila 14. C a d a u n o d e lo s p aso s e n la s f i la s 3 y 14 d e b e n e n te n d e rs e p le n a m e n te . Si s e s u m a n lo s m o m e n to s , lo s r e s u lta d o s fin a le s so n lo s q u e s e m u e s tra n e n la fila 15. d o n d e s e v e q u e los m o m e n to s f in a le s y a s a tis facen e l e q u il ib r io d e la ju n ta .

______ 740 lb/pie

i H t t l I l U J i .IAB = 300 pu lg4 bc ~ 600 pulg*

15 pies 1------------- 20 pies----------- 1

(>

Figura 12-6

Junta A B C

Elemento A B BA BC CB

DF 0 0.4 0.6 1 1

FEM -8000 8000 -4000 ------ 8000

23

2400 4800 7200 - 3600 -1800 ------ 3600

45

360 720 1080 - 540 -2 7 0 -540

67

54 108 162 81 -4 0 .5 -81

89

8.1 16.2 24.3 12.2 - 6 . 1 - -12 .2

1011

u 4 - Z4 3.6 4 * 1.8 -0 .9 -1 .8

1213

0.4 0.5 14

1M 2823.3 5647.0 -5647.0 0 15

(b)

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E n lu g a r d e a p lic a r e l p ro c e s o d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s d e m a n e ra s u c e s iv a a c a d a ju n ta ,c o m o s e m u e s tra a q u , ta m b i n e s p o s ib le ap lic a rlo e n to d a s la s ju n ta s al m ism o tie m p o . E s te e sq u e m a s e m u e s tra e n la ta b la de la f ig u ra 12-6c. E n e s te caso , s e c o m ie n z a p o r f ija r to d a s la s ju n ta s p a ra d e sp u s e q u il ib r a r y d is tr ib u ir lo s m o m e n to s d e l e x tr e m o f i jo e n la s j u n ta s H y C .f i la 3 . S i s e lib e ra n la s ju n t a s R y C a l m ism o tie m p o (la j u n t a A s ie m p re e s t f ija ) , e n to n c e s los m o m e n to s s e tr a s la d a n a l e x tr e m o d e cad a c la ro , fila 4. U n a vez m s , la s ju n ta s s e b lo q u e a n , y lo s m o m e n to s se e q u il ib ra n y d is tr ib u y e n , fila 5. A l l ib e ra r la s ju n ta s u n a v ez m s s e p e r m ite q u e lo s m o m e n to s se tr a s la d e n , c o m o s e m u e s tra e n la fila 6 . C o n t i n u a n d o d e e s ta m a n e ra s e o b tie n e e l m ism o re s u l ta d o fin a l q u e a n te s , el cual a p a re c e e n la ln e a 2 4 . E n c o m p a ra c i n , e s te m to d o d a u n a c o n v e r g e n c ia m s le n ta q u e la re s p u e s ta d e l m to d o a n te r io r , s in e m b a rg o , e n m u c h o s c a so s , la a p lic a c i n d e e s te m to d o e s m s e f ic ie n te y p o r e l lo se u ti liz a r e n lo s e je m p lo s q u e s ig u en . ft>r lt im o , c o n b a se e n lo s r e s u l ta dos. y a s e a d e la f ig u ra 12-6b o 12-6c, lo s d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re d e c a d a c la ro d e la v ig a s o n c o m o s e p r e s e n ta n e n la f ig u ra 12-6 d .

A p e s a r d e q u e e n e s te c a so la o b te n c i n d e los r e s u lta d o s f in a le s im p lic v a rio s p a so s , e l t r a b a jo q u e se n e c e s ita es b a s ta n te m e t d ic o , p u e s to q u e re q u ie re la ap lic ac i n d e u n a s e r ie d e p a so s a r i tm tic o s .e n vez d e r e s o lv e r u n c o n ju n to d e e c u a c io n e s c o m o e n e l m to d o d e la p e n d ie n te -d e -

Junta A B C

Hcmcnto A B BA BC CB

DF 0 0.4 06 1 1

FEM -8000 8000 2D isi / , 3200 4800 1 -8000 3TR 1600 -4000 2400 4

D isi , 1600 2400 f -2400 5TR 800 -1200 1200 6

D isi . 480 720 -1200 7TR 240 -600 360 8

D isi , 240 360 -360 9TR 120 j -180 9; 180 10

D isi . 72 108 -180 IITR 36 ' -9 0 , ' 54 12

D isi 3654 /

-5 4 13TR 18 " -2 7 27 14

D isi j 10.8F. 162 -27 15TR 5.4 -13.5 8.1 16

D isi 5.4 M J -8.1 17TR 2.7 ' -4.05 4.05 18

D isi 162 243, 405 19TR 0.81 -2.02 122 20

D isi 060P.%i V^

1 2 . 2 D is t r ib u c i n d e m o m e n t o s r a r a v ig a s

flex in . S in e m b a rg o , c a b e s e a la r q u e e l p ro c e s o fu n d a m e n ta l d e la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s ig u e e l m ism o p ro c e d im ie n to q u e c u a lq u ie r m to d o d e d e sp la z a m ie n to . A h e l p ro c e s o c o n s is te e n e s ta b le c e r re la c io n e s d e c a rg a -d e sp la z a m ie n to e n c a d a ju n ta y s a tis fa c e r la s n e c e s id a d e s d e e q u il ib r io e n la s ju n t a s a fin d e d e te r m in a r e l d e sp la z a m ie n to a n g u la r c o r re c to d e la ju n ta (c o m p a tib il id a d ) . A q u , s in e m b a rg o , e l e q u il ib r io y la c o m p a tib ilid a d d e la ro ta c i n e n la ju n ta s e s a tis fa c e n d irec ta m en te ap lic a n d o u n b a lan c e d e m o m e n to s , p ro c e s o q u e in c o rp o ra la s re la c io n e s d e c a rg a -d e fle x i n ( f a c to r e s d e r ig id e z ) . T a m b i n e s p o s ib le s im p lific a r a n m s e l u s o d e la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s , y e s to s e e s tu d ia r e n la p r x im a se c c i n .

P r o c e d im ie n to d e a n lis is

E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to p ro p o rc io n a u n m to d o g e n e ra l p a ra d e te r m in a r lo s m o m e n to s e n lo s e x tre m o s d e c la ro s d e v iga m e d ia n te la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s .

F a c to r e s d e d is tr ib u c i n y m o m e n to s d e e x t r e m o fijo

E s n e c e s a r io id e n tif ic a r la s ju n ta s e n la v ig a y c a lc u la r los fa c to re s d e rig id ez p a ra c a d a c la ro e n las ju n ta s . C o n e s to s v a lo re s e s p o s ib le d e te r m in a r lo s fa c to re s d e d is tr ib u c i n a p a r t i r d e D F - K /7 .K , R e c u e rd e q u e D F 0 p a r a u n e x tr e m o f i jo , y D F 1 p a r a u n s o p o r te d e p a s a d o r o ro d illo e n e l ex trem o .

L os m o m e n to s d e e x tr e m o fijo p a ra c a d a c la ro c a rg a d o s e d e te rm in a n u ti l iz a n d o la ta b la q u e s e e n c u e n t r a e n e l in te r io r d e la c o n tr a p o r ta d a . Los F E M p o s i tiv o s a c t a n e n s e n t id o h o ra r io s o b re e l c la ro y los F E M n e g a tiv o s a c t a n e n s e n t id o c o n tra r io . P a ra m a y o r c o m o d id a d , e s to s v a lo re s p u e d e n re g is tr a rs e e n fo rm a ta b u la r , c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-6c.

P r o c e s o d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s

S u p o n g a q u e to d a s la s ju n t a s e n la s q u e d e b e n d e te r m in a rs e lo s m o m e n to s s o b re lo s c la ro s c o n e c ta d o s e s t n in ic ia lm en te b lo q u e a d a s . E n to n c e s :

1 . D e te rm in e e l m o m e n to n e c e s a r io p a ra p o n e r cad a ju n ta e n e q u ilib r io .

2 . L ib e re o d e s b lo q u e e " la s ju n ta s y d is tr ib u y a lo s m o m e n to s d e e q u il ib r io e n e l c la ro c o n e c ta d o a c a d a ju n ta .

3 . lh ts la d e e s to s m o m e n to s e n c a d a c la ro h a c ia s u o t r o e x tr e m o m u ltip lic a n d o c a d a m o m e n to p o r e l fa c to r d e tr a s la d o +$.

A l r e p e t i r e s te c ic lo d e b lo q u e o y d e s b lo q u e o d e la s ju n ta s s e e n c o n t r a r c o n q u e las c o rre c c io n e s d e lo s m o m e n to s d is m in u ir n p u e s to q u e la v iga t ie n d e a a lc a n z a r s u fo rm a f in a l a lte ra d a . C u a n d o s e o b t ie n e un v a lo r su f ic ie n te m e n te p e q u e o p a ra la s c o r re c c io n e s , e l p ro c e s o c c lic o d e b e d e te n e r s e s in tr a s la d a r " los lt im o s m o m e n to s . D e sp u s d e b e s u m a rs e c a d a c o lu m n a d e F E M , m o m e n to s d is tr ib u id o s y m o m e n to s d e tra s la d o . Si e s to s e h a c e c o rre c ta m e n te , s e lo g ra r e l e q u il ib r io d e m o m e n to s e n la s ju n ta s .

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EJEM PLO 12.1

D e te rm in e lo s m o m e n to s in te rn o s e n c a d a s o p o r te d e la v iga q u e se m u e s tra e n la f ig u ra !2 -7 a . E l es c o n s ta n te .

7 0 k N /m2 5 0 kN

4 m 4 m

H g u r a 1 2 - 7

S O L U C I NP rim e ro d e b e n c a lc u la rs e lo s f a c to re s d e d is tr ib u c i n e n c a d a ju n t a * L o s fa c to re s d e rig id ez p a ra lo s e le m e n to s s o n

4 / 4 7 4 E l^ A f - ~ n r * 8 c - T T e n12 12

P or lo ta n to .

D F AB = D F o c = 0 D F a x = D F Bc

4 E 7 /1 2

8

4 E 7 /1 2

D F CB 4 / / 1 2 + 4 7 /80 .4 D F c o

4 E 7 /1 2 + 4 / / 1 2

- 4 / / 8" 4 / / 1 2 + 4 / / 8

0 . 5

0.6

Ix>s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo s o n

(F F .M )fl

(F E M )CD

12 12w l 2 - 2 0 ( 1 2 f w L 2 2 0 ( 12)2

= - 2 4 0 k N m (F E M )Cfl = 4 4 = - 4 4 - = 240 k N m

P L = - 2 5 0 ( 8 )

8

P L 2 5 0 (8 )= - 2 5 0 k N m (F E M ) * * = = = 250 k N m

o o o

E m p e z a n d o c o n lo s F E M . fila 4 d e la f ig u ra 12 -76 . lo s m o m e n to s e n la s ju n ta s H y C se d is tr ib u y e n e n fo r m a s im u lt n e a , f ila 5. D esp u s , e s to s m o m e n to s s e tr a s la d a n s im u lt n e a m e n te a los re s p e c tiv o s e x t r e m os d e c a d a c la ro , fila 6 . D e n u e v o , los m o m e n to s re s u lta n te s se d is tr i b u y e n y s e tra s la d a n s im u l t n e a m e n te , f i la s 7 y 8 . E l p ro c e s o c o n tin a h a s ta q u e lo s m o m e n to s re s u l ta n te s d ism in u y a n a la c a n t id a d a d e c u a d a , fila 13. Los m o m e n to s re s u lta n te s s e d e te rm in a n m e d ia n te u n a s u m a to r ia . fila 14.

Si s e c o lo c a n lo s m o m e n to s s o b r e c a d a c la ro d e la v iga y s e a p lic a n la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io , se o b t ie n e n las fu e rz a s c o r ta n te s e n lo s e x tre m o s q u e s e m u e s tra n e n la f ig u ra 12-7c y e l d ia g ra m a d e m o m e n to f le x io n a n te p a r a to d a la v iga , f ig u ra 12-7d .

'A q u se til i / e l ta c to r d e rig id ez 4 E t / L \ n e m b a rg o , ta m b i n p u d o h a b e r s e e m p le a d o e l ta c to r d e r ig id e z r e la tiv a l / L .

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1 2 . 2 D lSTR iBU C l N DE M O M E N T O S RARA VIGAS 4 9 7

Jun ta A B C

Elemento A B B A BC CB CD

DF 0 0.5 0.5 0.4 0.6FF.M -2 4 0 240 -2 5 0 250 4Dist. / 120 120 X

4 6 . 5T R 60 2 X 60 3 6

Dist. / - 1 1 X-2 4 -3 6 7

T R -0 .5 - 1 2 X -0 .5N

-1 8 8Dist. ------------------ j e . 6 6 X 0.2 0 3 . 9T R 3 X a i x 3 0.2 10

Dist. ___/ -0 .0 5 - 0 .0 5 1 -1 .2 _ - M . J 11T R -0 .0 2 - 0 .6 -0 .0 2 -0 .9 12

Dist. 0.3 0 3 0.01 0.01 1362.5 125.2 -1 2 5 .2 281.5 -2 8 1 .5 234.3 14

" 7 j i

1 5 A k N

1 5 .6 k N12 1

107 .0 kN

125.2 kN* t2 0 k N /m

UliiiLLL250 kN

133 .0 k N 130 .9 k N 119.1 k N

12:1) ( t t )281 .5 k N - m \ r n i

2 3 4 3 kN*

(c)

12

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EJEM PLO 12 .2

D e te rm in e e l m o m e n to in te rn o e n c a d a s o p o r te d e la v iga q u e s e m uestr a e n la f ig u ra 12-8a. Se in d ica e l m o m e n to d e in e rc ia d e c a d a claro .

4 0 0 Ib 6 0 Ib

S O L U C I NE n e s te p ro b le m a n o h a y u n m o m e n to q u e s e d is tr ib u y a e n e l c la ro s a l ie n te z l ; p o r lo ta n to , e l f a c to r d e d is tr ib u c i n ( D F ) * , - 0 . L a rig id ez d e l c la r o B C se b a sa e n 4 E l / L p u e s to q u e e l o s c i la d o r n o e s t e n e l e x tr e m o le ja n o d e la v ig a . L os fa c to re s d e r ig id e z , lo s fa c to re s d e d is tr ib u c i n y lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo s e c a lc u la n d e la s ig u ie n te m a n e ra :

4 (7 5 0 )'RC 150 E K c n

4 (6 0 0 )

2 0 15

D F flc = 1 - (D F )f l^ = 1 - 0 = 1 1 5 0

a 160E

D F C

D F C D

1 5 0 + 1 6 0 1 6 0

1 5 0 + 1 6 0 1 6 0

= 0.484

= 0.516

oo + 160= 0

D e b id o a la s a l ie n te .

(F E M )fl^ = 4(K) lb ( 10 p ie s ) = 4 0 0 0 Ib - p ie

(F E M )f lc =

( F E M ) c ,

12

w _ 12

6 0 (2 0 )2

12

6 0 (2 0 )2

12 =

= - 2 0 0 0 I b - p ie

2000 Ib - p ie

E s to s v a lo re s s e m u e s tra n e n la c u a r ta fila d e la ta b la , f ig u ra 12-86. E l c la ro sa lie n te r e q u ie r e q u e e l m o m e n to in te rn o a l a iz q u ie rd a d e B s e a + 4 0 0 0 Ib p ie. E l e q u il ib r io e n l a ju n ta B ex ig e u n m o m e n to in te r n o d e - 4000 Ib p ie a la d e re c h a d e B . C o m o s e m u e s tra e n la q u in ta f i la d e la ta b la , s e a g re g a n - 2000 Ib p ie a B C con e l fin d e s a tis fa c e r e s ta c o n d ic i n . L a s o p e ra c io n e s d e d is tr ib u c i n y tr a s la d o se re a liz a n d e la m a n e ra u su a l, c o m o s e in d ic a e n la ta b la .

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D a d o q u e s e c o n o c e n lo s m o m e n to s in te rn o s .e s p o s ib le c o n s tru ir e l d ia g ra m a d e m o m e n to p a r a l a v iga ( f ig u ra 12-8c).

J u n ta B f D

E lem e n to B C C B C D D C

D F 0 I 0.484 0 3 1 6 0

F E M 4 0 0 0 - 2000 2000D ist. - 2 0 0 0 w - 9 6 8 - 1 0 3 2 vT R - 4 8 4 X -1 0 0 0 - 5 1 6

D ist. 484 v 484 5 1 6 vT R 242 A 242 258

D ist. _________I - 2 0 v -1 1 7 .1 -1 2 4 ,9 vTR - 5 8 .6 _ \121 -6 2 .4

D is t. __________l 3 & 6 v v 58.6 62.4vT R 29.3 2 9 J 3 1 2

D ist. - 2 9 .3 v - 1 4 2 - 1 5 . l vT R - 7 . 1 X -1 4 .6 \ - 7 6

D is t. 7 ,1 V 7.1 7-6vT R 3.5 3.5 \ 3.8

Dist. - 3 . 5 x - 1.7 - 1 . 8 vT R - 0 . 8 1.8 \ - 0 .9

D is t. 0 .8 x 0.9 * 9 \T R 0 .4 0.4 0.4

D is t. - 0 . 4 x - 0 2 - 0 .2T R -0 .1 x - 0 2 -0 .1

D ist. 0.1 0.1 0.1

XA/ 0 0 - 4000 587.1 -5 8 7 .1 7 9 3 6


M = 4 E l

ju n talib e ra d a ju n ta

b lo q u e a d a

Figura 12-9

Ma a

ju n ta lib e ra d a viga real

( a )

e x tre m oa rtic u la d o

M l DTr, /

A v iga c o n ju g a d a (b)

Figura 12-10

1 2 .3 M o d ific a c io n e s a l fa c to r d e r ig id e z

E n lo s e je m p lo s a n te r io r e s d e la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s , a l d is tr ib u ir y tr a s la d a r los m o m e n to s s e h a c o n s id e ra d o q u e c a d a c la ro d e la v iga e s t re s tr in g id o p o r u n s o p o r te fijo ( ju n ta b lo q u e a d a ) e n su e x tr e m o le jan o . ft> r e s ta r a z n s e h a n c a lc u la d o los fa c to re s d e rig id ez , lo s fa c to re s d e d is tr ib u c i n y lo s fa c to re s d e tra s la d o a p a r t i r d e l c a so d e la f ig u ra 12-9. P o r s u p u e s to , a q u K = 4 E I / L es e l f a c to r d e rig id ez (e c u a c i n 12-1) y e l fa c to r d e tr a s la d o e s + } .

E n a lg u n o s caso s e s p o s ib le m o d if ic a r e l f a c to r d e rig id ez d e u n c la ro p a r tic u la r d e l a v iga y p o r lo ta n to s im p lif ic a r e l p ro c e so d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s . A c o n tin u a c i n s e e s tu d ia r n tre s caso s p r c tic o s e n los q u e e s to o c u r r e c o n frecu en c ia .

E l e m e n t o a r t i c u l a d o s o p o r t a d o e n s u e x t r e m o l e j a n o . M u ch as v igas in d e te rm in a d a s t ie n e n e l e x tr e m o le ja n o d e s u c la ro s o p o r ta d o p o r u n p a sa d o r ( o u n ro d illo ) c o m o e n e l c a so d e la ju n ta B d e l a f ig u ra 12-10a. A q u , e l m o m e n to M a p lic a d o g ira e l e x t r e m o A e n u n a c a n tid a d 0. P a ra d e te r m in a r f l .d c b e d e te rm in a rs e la fu e r z a c o r ta n te e n e l p u n to A d e la viga c o n ju g a d a , f ig u ra 12-10>.Se tie n e

= 0;

o b ie n

V a = 0M L

3 E l

ft>r lo ta n to , e l f a c to r d e rig id ez p a r a e s ta v iga es

E x tre m o le ja n o a r t ic u la d o

o c o n s o p o r te d e ro d illo

(1 2 -4 )

A d e m s , o b se rv e q u e e l fa c to r d e tra s la d o es c e ro , p u e s to q u e e l p a s a d o r e n B n o s o p o r ta u n m o m e n to . E n to n c e s , p o r c o m p a ra c i n , s i e l e x tr e m o le jano e s tu v ie ra fi ja m e n te a p o y a o ,e l fa c to r d e r ig id e z K = 4 E I / L ten d r a q u e m o d ific a rse en 3 a f i n d e m o d e la r e l c a so d e l e x tr e m o le ja n o a r tic u la d o . Si s e to m a e n c u e n ta e s ta m o d ific a c i n , e l p ro c e s o d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s e s im p lif ic a p u e s to q u e e l e x tr e m o a r t ic u la d o n o t ie n e q u e b lo q u c a re e y d e s b lo q u e a rs e su c e s iv a m e n te p a r a d is tr ib u ir lo s m o m e n to s . A d e m s , c o m o e l e x tr e m o d e l c la ro e s t fijo , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo p a ra e l c la ro s e c a lc u la n e m p le a n d o lo s v a lo re s e n la c o lu m n a d e re c h a d e la ta b la q u e s e e n c u e n t r a e n e l in te r io r d e la c o n tr a p o r ta d a . En el e je m p lo 12-4 s e ilu s tra la fo rm a d e a p lic a r e s ta s s im p lificac io n es .

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1 2 . 3 M o d i f i c a c i o n e s a i f a c t o r d e r i g i d e z 5 0 1

V' t ^ z\ *

T v ig a re a l v ig a c o n ju g a d a

(a) . P o r lo ta n to , la p e n d ie n te Q e n c a d a e x tr e m o e s .

l+ S M c . = 0; - V r { L ) + = 0

o b ie n

M LV p- = 6 = ------

H 2 E I

2 E lM = = j - 0

E n to n c e s ,e l fa c to r d e rig id ez p a ra e l c la ro c e n tr a l es

(1 2 -5 )

E n c o n se c u e n c ia , s lo s e p u e d e n d is tr ib u ir lo s m o m e n to s d e la m itad d e la v iga d a d o q u e e l f a c to r d e rig id ez p a ra e l c la ro c e n tr a l s e c a lc u la e m p le a n d o la e c u a c i n 12-5 . E n co m p a ra c i n , d fa c to r d e r ig id e z d e l c laro c e n tra l ser la m ita d d e l q u e g en era lm en te s e d e te rm in a e m p le a n d o K = 4 E I / L

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M > < f >

v ig a real

(a )

v ig a c o n ju g a d a (b )

Figura 12-12

Viga simtrica con carga antisim trica. Si u n a v iga s im tr ic a s e s o m e te a u n a c a rg a a n tis im tr ic a , e l d ia g ra m a d e m o m e n to re s u lta n te s e r a n tis im tr ic o . A l ig u a l q u e e n e l c a so a n te r io r , e l fa c to r d e rig idez d e l c la ro c e n tr a l s e p u e d e m o d ific a r d e m a n e ra q u e s lo d e b a c o n s id e ra rse la m itad d e la v iga p a r a e l an lis is d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s . C o n s id e re la v iga d e la f ig u ra 12-12a. 1.a v iga c o n ju g a d a p a r a su c la ro c e n tr a l B C se m u e s tra e n la f ig u ra 12-12/. D e b id o a la c a rg a a n tis im tr ic a . e l m o m e n to in te rn o e n B e s ig u a l p e ro o p u e s to al q u e o c u r r e e n C. Si se s u p o n e q u e e s te v a lo r e s M , la p e n d ie n te Q e n c a d a e x tr e m o s e d e te rm in a d e la m a n e ra s ig u ie n te :

o b ie n

ft r lo ta n to , e l f a c to r d e rig id ez p a r a e l c la ro c e n tr a l es

K =6 E l

LV iga s im tr ic a c o n carg a a n tis im tr ic a

(1 2 -6 )

E n c o n se c u e n c ia , c u a n d o e l fa c to r d e rig id ez p a ra e l c la ro c e n tr a l d e la viga s e c a lc u la m e d ia n te la e c u a c i n 12-6 ,s lo d e b e n d is tr ib u ir se lo s m o m e n to s e n la m ita d d e la v ig a . A q u , e l fa c to r d e r ig id e z e s u n a y m e d ia veces m s g ra n d e q u e e l q u e se d e te r m in a u s a n d o K = A E I / L

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E JE M P LO 1 2 .3

D e te rm in e los m o m e n to s in te rn o s e n los s o p o r te s d e la v iga q u e sem u e s tra e n la f ig u ra 12-13a. E l e s c o n s ta n te .

-t-tTTTT4 k /p ie

TUTTTtt .-n

15 pie 20 p ie s 15 p ie s

(a)

Figura 12-13

SO L U C I Nft>r in sp ecc i n , la v iga y la c a rg a s o n sim tricas . P o r lo ta n to , s e a p lic a r K - 2 E l / L p a ra c a lc u la r e l f a c to r d e rig id ez d e l c la ro c e n t r a l B C y, p o r lo ta n to , e n e l a n lis is s e e m p le a r s lo la m ita d iz q u ie rd a d e la v iga . E l an lis is p u e d e re d u c ir s e a n m s u s a n d o K - 3 E l / L p a ra c a lc u la r e l f a c to r d e r ig id e z d e l se g m e n to A B p u e s to q u e e l e x tr e m o A e s t fijo . A d e m s , la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s e n A p u e d e o m itirse i s a n d o e l F E M p a ra u n a c a rg a tr ia n g u la r s o b r e u n p la n o c o n u n e x tr e m o fijo y e l o t r o a r t ic u la d o . P o r lo ta n to ,

* a b =

BC

D F b a =

D F flC =

3E 7

15

2 E l 20

3 E 7 /1 5

(u s a n d o la e c u a c i n 1 2 - 4 )

(u s a n d o la e c u a c i n 1 2 - 5 )

= 1

(F E M ) W

3 E / /1 5

3 E / /1 5

3 E / / 1 5 + 2 E / / 2 0

2 E //2 0

3 7 /1 5 + 2 E 7 /2 0

w L 1 4 (1 5 )2

= 0.667

0.333

15 156 0 k p ie

( F E M ) s c = -w l

12

4 (2 0 )2

12- 1 3 3 3 k - p i e

E s to s d a to s s e e n c u e n tra n e n la ta b la d e la fig u ra 12-13>. AI ca lc u la r los fac to res d e rig id ez c o m o s e m o s tr a n te s , s e re d u c e c o n s id e rab lem en te d an lis is , p u e s to q u e s lo d e b e e q u ilib ra rse la ju n ta B, y lo s tra s la d o s h a d a la s a r t ic u la d o n e s A y C no s o n necesario s . P o r su p u es to , la ju n ta C e s t s o m e tid a a l m ism o m o m e n to in te rn o d e 108.9 k . p ie.

Ju n ta A B

E lem en to A B B A B C

D F 1 0.667 0.333

FE M 60 -1 3 3 .3D ist. 48.9 24.4

2A# 0 108.9 -1 0 8 .9

5 0 4 C a p i t u l o 12 M t o d o d e a n l i s i s d e l d e s p l a z a m i e n t o : d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s

EJEM PLO 1 2 .4

D e te rm in e los m o m e n to s in te rn o s e n los s o p o r te s d e la v iga q u e se m u e s tra e n l a fig u ra \2 - \A a . E l m o m e n to d e in e rc ia d e lo s d o s c la ro s s e m u e s tra e n la figu ra .

240 Ib/pie

S O L U C I NC o m o la v iga e s t s o p o r ta d a p o r ro d illo s e n su e x tr e m o le ja n o C .la r i g id ez d e l c la r o R C s e c a lc u la r c o n b a se e n K = 3 E I /L . S e t ie n e

4 E l 4 (3 0 0 )K a b

K b c =

L

3 E IL

15 3 (6 0 0 )

20

8 0

9 0

R jr lo ta n to .

D F a b

D F b a =

D F flC

D F Cfl =

8 0 oo + 8 0

8 0 8 0 + 9 0

9 0 8 0 + 9 0

9 0

= 0.4706

0.5294

9 0 1

E n e s te p ro b le m a e s p o s ib le o b te n e r u n a m a y o r s im p lific ac i n d e l m to d o d e d is tr ib u c i n ,s i s e to m a e n c u e n ta q u e p u e d e u sarse u n m o m e n to so lo d e e x tr e m o f i jo p a ra e l c la ro f in a l B C . S i se e m p le a la c o lu m n a d e re c h a d e la ta b la u b ic a d a e n e l in te r io r d e la c o n tr a p o r ta d a , p a ra un c la ro c a rg a d o u n ifo rm e m e n te q u e t i e n e u n la d o fijo y e l o t r o a r t ic u la d o , s e tie n e

w / 2(F E M ) BC = - =

2 4 0 (2 0 ) 2- 1 2 0 0 0 Ib - p ie

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L os d a to s a n te r io r e s s e in t ro d u c e n e n la ta b la d e la fig u ra 12-14b y se re a l iz a la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s . E n c o m p a ra c i n c o n l a f ig u ra12-6>,este m to d o s im p lifica c o n s id e ra b le m e n te la d is tr ib u c i n .

C o n b a se e n los re s u lta d o s , las fu e rz a s c o r ta n te s e n lo s e x tre m o s d e la v iga y los d ia g ra m a s d e m o m e n to so n c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra12-14c.

Junta A B C

Elem ento A B BA BC CB

DF 0 Q4706 0.5294 1

FEMDist. / , 5647.2

-1 2 0 0 052.8

CO 2823.6

1 M 2823.6 5647.2 -5647.2 0

(b)

2 4 0 Ib /p ie5 6 4 .7 1 b 564 .71b 2 6 8 2 1 b f [ [ V 1 I T " 1 2 1 1 8 Ib7 S 6 4 7 ! b p ie I I 5 6 4 7 Ib* p e W U H J I H L

M l b p i e , 5 Ple s t 2 0 pieSI 3 2 4 7 Ib

(c)

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PR O B LEM A S

1 2 -1 . D e te rm in e lo s m o m e n to s e n t y C . E l e s c o n s ta n te . S u p o n g a q u e t y C so n ro d illo s y q u e A y D e s t n a r tic u la d o s .

* 1 2 -4 . D e te rm in e las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y d e s p u s d ib u je e l d ia g ra m a d e m o m e n to s . S u p o n g a q u e A e s t fijo. E l e s c o n s ta n te .

5001b800 lb /p ienfrm

3 ? i ?i

20 p i e s 1------ 15 p ie s -

P ro b . 1 2 -1 P r o b . 1 2 -4

1 2 -2 . D e te r m in e lo s m o m e n to s e n A , t y C . S u p o n g a q u e e l s o p o r te e n t e s u n ro d i l lo y q u e A y C e s t n fijos. E l e s c o n s ta n te .

1 2 -5 . D e te r m in e lo s m o m e n to s e n t y C ,y d e s p u s d ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . S u p o n g a q u e C e s u n s o p o r te fijo . E l e s c o n s ta n te .

12 kN

1 2 -3 . D e te r m in e lo s m o m e n to s e n A , t y C , y d e s p u s d i b u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s . S u p o n g a q u e e l s o p o r te e n t e s u n ro d i l lo y q u e A y C e s t n fijos. E l e s c o n s ta n te .

1 2 -6 . E x te r m in e lo s m o m e n to s e n t y C .y d e s p u s d ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a T o d a s la s c o n e x io n e s e s t n a r t ic u la d a s . S u p o n g a q u e las r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s s o n ig u a le s a c e ro . E l e s c o n s ta n te .

9001b 9001b

A

6 6 6-p ie s - ) - 10 p ie s

C

- 1 0 p i e s -

12 k N /m

- - 1


1 2 -7 . D e te rm in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . S u p o n g a q u e A e s t fijo y q u e B y C s o n r o d i l lo s q u e p u e d e n e m p u ja r o j a l a r la v ig a . E l e s c o n s ta n te .

*12-41. D e te rm in e io s m o m e n to s e n B y C , y d e s p u s d i b u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . S u p o n g a q u e lo s s o p o r te s e n B y C so n r o d i l lo s y q u e A y D e s t n a r t i c u lad o s . E l e s c o n s ta n te .

1 2 -9 . D e te rm in e lo s m o m e n to s e n B y C , y d e s p u s d ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . S u p o n g a q u e lo s s o p o r te s e n B y C so n ro d illo s y q u e A e s t a r t ic u la d o . E l e s c o n s ta n te .

3 001b2 0 0 Ib /p ie

rn;-? vi*7? -

I 10 p i e s 1--------10 p ie s -j 8 p ie s

1 2 -1 0 . D e te rm in e e l m o m e n to e n B . y d e s p u s d ib u je e l d ia g ra m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . S u p o n g a q u e lo s so p o r te s e n A y C s o n ro d illo s y q u e B e s t a r t ic u la d o . E l e s c o n s ta n te .

P r o b . 1 2 -1 0

1 2 -1 1 . D e te rm in e lo s m o m e n to s e n B . C y D , y d e s p u s d ib u je e l d ia g ra m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . E l e s c o n s ta n te .

P ro b . 1 2 -1 1

*121 2 . D e te rm in e e l m o m e n to e n B y d e s p u s d ib u je el d ia g ra m a d e m o m e n to s p a r a la v ig a . S u p o n g a q u e e l s o p o r te e n A e s t a r t ic u la d o , q u e B es u n ro d illo y q u e C e s t fijo . E l e s c o n s ta n te .

4 k /p ie

1*

------------ 15 p ie s --------------1--------1 1 p ie s -|

Proh . 12-9 Proh . 12-12

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1 2 .4 D istribucin de m om entos para marcos: Sin ladeo

L a a p lic a c i n d e l m to d o d e d is tr ib u c i n d e m o m e n to s p a ra m a rc o s sin la d e o s ig u e e l m ism o p ro c e d im ie n to q u e e l d e sc r ito p a r a la s v igas. P a ra r e d u c ir a l m n im o la p o s ib il id a d d e e r r o re s s e su g ie re q u e e l a n lis is se o rg a n ic e e n fo rm a ta b u la r , c o m o e n los e je m p lo s a n te r io re s . A d e m s , la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s p u e d e s im p lific a rse si e l fa c to r d e rig idez d e u n c la ro p u e d e m o d ific a rse c o m o s e in d ic e n la secc i n a n te r io r .

D e te rm in e lo s m o m e n to s in te rn o s e n las ju n ta s d e l m a rc o q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 1 2 -15a. F. y D e s t n a r t ic u la d o s y e n e l p u n to A h a y u n s o p o r te fijo . E l e s c o n s ta n te .

Jun ta A R C D EE lem en to A R R A R C C R C D CE D C EC

D F 0 0.545 0.455 0.330 0.298 0.372 1 1

FEMDist. 73.6

-135 135 61.4 -4 4 .6 -4 0 .2 -5 0 .2

T RDist.

36.8 '12.2

-2 2 .3 X 30.7 10.1 -1 0 .1 -9 .1 -1 1 .5

T RD ist.

6.1 X2.8

- 5 .1 5.1 2 3 -1 .7 -1 .5 - 1 .9

T RD is t

w r, 0.4

- 0 .8 1.2 0.4 -0 .4 - .4 -0 .4

T RD ist.

0.20.1

- 0 .2 0.2 0.1 -0 .1 0.0 -0 .1

' m 44.5 89.1 -8 9 .1 115 -5 1 .2 -6 4 .1

(b)

Figura 12-15

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1 2 . 4 D S T R BU CI N DE M O M E N T O S PARA M A R C O S : S iN LADEO 5 0 9

SO L U C I NR>r in sp ecc i n , e l p a s a d o r e n E im p e d ir q u e e l m a rc o s e la d e e . L os fac to re s d e r ig id e z d e C D y C E p u e d e n c a lc u la rs e u s a n d o K = 3 E I / L p u e s to q u e los e x tr e m o s e s t n fijo s . A d e m s , la c a rg a d e 2 0 k n o c o n tr ib u y e c o n u n F E M p o rq u e e s t ap lic a d a e n la ju n ta R . P o r lo ta n to .

r - 4EI K - AEI r - 3EI r - 3EIK a b ~ - j j - K B C ~ ~ Y f K C D - - f * C "

d p a b = 0

4 7 /1 5

D F /m 4 E / / 1 5 4- 4 E / / 1 8 " 0 545

D F = 1 - 0 .5 4 5 = 0.455

4 / / 1 8|)F r i> = ---------------------------------------------- = 0 330

CB 4 E / / 1 8 + 3 E / / 1 5 + 3 E / / 1 2

3 E / / 1 5

D F c o " 4 E / / 1 8 + 3 E / / 1 5 + 3 E / / 1 2 0 2 9 8

D F c e = 1 - 0 .3 3 0 - 0 .2 9 8 = 0 .372

D F o c = 1 D F C = 1

- w L 2 ~ 5 ( 18 )2 ( F E M ) a c = = = -1 3 5 k - p ie

w L 2 5 (1 8 )2 ( F E M )CB = - j - " 7 ^ = 135 k P ie

L o s d a to s s e m u e s tra n e n la ta b la d e la fig u ra 12-15/. A q u s e re a liz a s u c e s iv a m e n te la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s e n la s ju n t a s B y C . I>os m o m en to s fin a le s s e m u e s tra n e n la lt im a fila .

FJ d ia g ra m a d e m o m e n to s p a r a e l m a rc o d e la f ig u ra 12-15c se c o n s tru y e u ti l iz a n d o e s to s d a to s .

1 0 1 k - p ie

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1 2 .5 D is tr ib u c i n d e m o m e n to s para m arcos: C on la d e o

E n la secc i n 11-5 s e m o s tr q u e lo s m a rc o s q u e n o so n s im tr ic o s o q u e e s t n su je to s a c a rg a s n o s im tr ic a s t ie n e n u n a te n d e n c ia a la d e a rse . U n e je m p lo d e e s to s c a s o s s e m u e s tra e n la f ig u ra 12- 16a. A q u , l a c a rg a a p l i c a d a P g e n e ra r m o m e n to s d e s ig u a le s e n la s ju n ta s f l y C d e m o d o q u e el m a rc o se d e s v ia r u n a c a n tid a d A h acia la d e re c h a . P a ra d e te r m in a r e s ta d e fle x i n y lo s m o m e n to s in te rn o s e n la s ju n ta s m e d ia n te la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s e u sa r e l p r in c ip io d e s u p e ip o s ic i n . E n e s te s e n t id o se c o a s id e ra p r im e ro q u e e l m a rco d e la f ig u ra 12 -1 6 6 no e x p e r im e n ta la d e o a l a p lic a r u n s o p o r te a r t if ic ia l e n la ju n ta C . Se a p lic a la d is t r ib u c in d e m o m e n to s y d e sp u s , p o r la e s t tic a , s e d e te rm in a la fu e rz a r e s tr ic tiv a R . L u eg o s e a p lic a a la e s t ru c tu r a u n a fu e rz a d e re s tr ic c i n ig u a l p e ro o p u e s ta , f ig u ra 12- 16c, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s e n e l m a rc o . U n m to d o p a ra re a liz a r e s te ltim o p a s o re q u ie re , e n p r im e r lu g a r , su p o n e r u n v a lo r n u m r ic o d e u n o d e los m o m e n to s in te rn o s , p o r e je m p lo M 'a , . Si s e u s a la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s y la e s t t ic a , e s p o s ib le d e te r m in a r la d e f le x i n A ' y la fu e rz a e x te r n a R ' c o r r e s p o n d ie n te s a l v a lo r su p u e s to p a ra M a* . D a d o q u e s e p ro d u c e n d e fo rm a c io n e s c l s tic a s lin e a le s , la fu e rz a R d e s a r ro lla m o m e n to s e n e l m a rco q u e s o n p ro p o rc io n a le s a los d e sa r ro lla d o s p o r R . P o r e je m p lo , s i se c o n o c e n y R ' . e l m o m e n to e n H d e sa r ro lla d o p o r R s e r M = M ' b a ( R /R ') . A l s u m a r lo s m o m e n to s e n las ju n ta s p a ra a m b o s ca so s , fig u ra s 12-166 y c . s e o b te n d r n los m o m e n to s re a le s e n e l m arco , f ig u ra 12-16o. L a a p lic a c i n d e e s ta t c n ic a s e ilu s tra e n lo s e je m p lo s 12-6 a 12-8.

M arcos de varios niveles. C o n m u c h a fre c u e n c ia , lo s m a rc o s d e v a rio s n iv e le s p u e d e n te n e r a lg u n o s d e sp la z a m ie n to s in d ep en d ien te s e n su s ju n ta s y. p o r c o n s ig u ie n te , e l an lis is d e la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s e m p le a n d o las t c n ic a s d e s c r ita s a n te r io r m e n te im p lic a r u n m a y o r n m e ro d e c lcu lo s. P o r e je m p lo , c o n s id e re e l m a rc o d e d o s n iv e le s q u e se m u e s tra e n la f ig u ra 12-17 a . E s ta e s t ru c tu ra p u e d e te n e r d o s d e sp la z a -

(a)

ap lic ac i n d e u n a ju n la a rtif ic ia l (s in la d e o )

(b )

Figura 12-16

ju n ta a r t if ic ia l re t ira d a (c o n la d e o )

( c )

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1 2 . 5 D S T S fIB U G N DE M O M E N T O S PARA M AR C O S : C O N LADEO

m ie n to s in d e p e n d e n le s e n su s ju n ta s , p u e s to q u e e l d e sp la z a m ie n to la te ra l A , d e l p r im e r n iv e l e s in d e p e n d ie n te d e c u a lq u ie r d e s p la z a m ie n to A2 e n e l s e g u n d o nivel. P o r d e sg ra c ia , e s to s d e sp la z a m ie n to s n o s e co n o c e n in ic ia lm en te , p o r lo q u e e l an lis is d e b e p ro c e d e r c o n b ase e n la s u p e rp o s ic i n , d e la m ism a m a n e r a q u e se a n a liz a n te s . E n e s te c a so s e a p lic a n d o s fu e rz a s d e re s tr ic c i n : R i y R 2, f ig u ra 12-17/, y s e d e te rm in a n y d is tr ib u y e n lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo . I-os v a lo re s n u m rico s d e R | y R 2 s e d e te r m in a n c o n b ase e n las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . D e sp u s se re t ira la re s tr ic c i n e n e l p is o d e l p r im e r n iv e l y e l p iso e x p e r im e n ta un d e s p la z a m ie n to A '. E s te d e s p la z a m ie n to p ro v o c a m o m e n to s d e e x tre m o fijo (F E M ) e n e l m a rc o , a los q u e p u e d e n a s ig n rse le s v a lo re s n u m r ic o s e sp ec fico s. A l d is tr ib u ir e s to s m o m e n to s y a l e m p le a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e s p o s ib le d e te r m in a r lo s v a lo re s n u m r ic o s a so c ia d o s d e R J y R 2. D e m a n e ra s im ila r , e l p iso d e l s e g u n d o n iv e l e x p e r im e n ta u n d e s p la z a m ie n to A*, f ig u ra 12-I7/. S i s e su p o n e n v a lo re s n u m r ic o s d e lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo , l a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s y e l an lis is d e l e q u il ib r io g e n e ra r n v a lo re s e sp e c f ic o s d e R ] y R 2. C o m o lo s ltim o s d o s p a s o s a so c ia d o s c o n la s f ig u ra s 12-17c y d c tep e n d en d e v a lo re s s u p u e s to s p a ra lo s F E M , e s n e c e sa r io a p lic a r fa c to re s d e c o rre c c i n C y C a los m o m e n to s d is tr ib u id o s . C o n re fe re n c ia a la s fu e rz a s d e re s tr ic c i n d e la s f ig u ra s 12-17c y 12 -17d , s e re q u ie re la a p lic a c i n ig u a l p e ro o p u e s ta d e R | y R 2 s o b re la e s t ru c tu r a , d e t a l m a n e ra q u e

A l re s o lv e r e n fo r m a s im u lt n e a e s ta s e c u a c io n e s se o b t ie n e e l v a lo r d e C y C . E s to s fa c to re s d e c o rre c c i n s e m u ltip lic a n p o r lo s m o m e n to s in te rn o s e n la s ju n ta s q u e s e e n c o n tr a ro n c o n b a se e n la d is tr ib u c i n d e m o m e n to s , f ig u ra s 1 2 -1 7 cy I2 - I7 d . D e sp u s , los m o m e n to s re s u lta n te s s e d e te rm in a n a l s u m a r e s to s m o m e n to s c o rre g id o s c o n lo s o b te n id o s e n el m a rco d e la f ig u ra 12-1 Ib .

H ay o t r o s tip o s d e m a rc o s c o n d e sp la z a m ie n to s in d e p e n d ie n te s e n su s ju n ta s q u e p u e d e n a n a liz a rs e m e d ia n te e l m ism o p ro c e d im ie n to ; sin e m b a rg o , d e b e re c o n o c e rs e q u e e l m to d o a n te r io r re q u ie re b a s ta n te s c lc u lo s n u m ric o s . A u n q u e s e h a n d e s a r ro lla d o a lg u n a s t c n ic a s p a ra re d u c ir los c lc u lo s , l o m e jo r e s r e s o lv e r e s te tip o d e p ro b le m a s e n u n a c o m p u ta d o ra , d e p re fe re n c ia q u e re a lic e an lis is m a tr ic ia le s . L as t c n i cas p a r a lle v a r a c a b o e s to s e e s tu d ia r n e n e l c a p tu lo 16.

r 2 = - C R '2 + C " R \

K, = +C'R\ - C R \

(a) (c) (d)

Figura 12-17

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EJEM PLO 1 2 .6

! 6 k N

1 m | 4 m

()

II

16 kN

D e te rm in e lo s m o m e n to s e n c a d a ju n ta d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-18a. E l es c o n s ta n te .

S O L U C I NE n p r im e r lu g a r s e c o n s id e ra r q u e e l m a rc o n o su f re d e s p la z a m ie n to la te ra l c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-186. S e t ie n e

16 (4 )2(1 )(F E M )f lc = --------- r - - = - 1 0 .2 4 k N - m

( F E M ) c a

( 5 ) 21 6 (1 )2(4 )

(5 )22.56 k N m

E l fa c to r d e r ig id e z d e c a d a c la ro s e c a lc u la c o n b a se e n 4 E I / L o e m p le a n d o e l f a c to r d e r ig id e z re la t iv a / / / . . L o s D F y l a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s e m u e s tra n e n la ta b la d e la f ig u ra 12-18d . C o n b a s e e n e s to s re s u lta d o s s e a p lic a n la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a lo s d ia g ra m as d e c u e rp o lib re d e la s c o lu m n a s a fin d e d e te r m in a r A , y D,. fig u ra 12-18e. A p a r t i r d e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e to d o e l m a rc o (n o s e m u e s tra ) , la re s tr ic c i n R d e la ju n ta e n l a f ig u ra 12-186 tiene u n a m a g n itu d d e

1 F X = 0 . R = 1.73 k N - 0.81 k N = 0 .92 kN

A h o ra d e b e a p lic a rse u n v a lo r ig u a l p e ro o p u e s to d e R = 0 .92 kN s o b re e l p u n to C d e l m a rc o y es n e c e sa r io c a lc u la r lo s m o m e n to s in te rn o s . f ig u ra 12-18c. P a ra re s o lv e r e l p ro b le m a d e l c lc u lo d e e s to s m o m e n to s , s e s u p o n d r q u e se a p lic a u n a fu e rz a R s o b re C . lo q u e o c a s io n a q u e e l m a rc o s e d e s v e A '. c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u ra 1 2 -1 8 / A q u la s ju n ta s e n R y C s e e n c u e n t ra n te m p o ra lm e n te res tr in g id a s a la ro ta c i n , y c o m o re s u l ta d o se d e te rm in a n lo s m o m e n to s d e e x tr e m o fijo e n lo s e x tre m o s d e la s c o lu m n a s c o n b a se e n l a f rm u la d e l a d e f le x i n q u e s e e n c u e n t r a e n e l in te r io r d e la c o n t r a p o r ta d a , e s d e c ir .

Ju n ta A B C DE lem en to A B B A B C C B C D D C

D F 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0F E MD ist.T R

5.122.56

-1 0 .2 4 2.56 5 .12 -1 .2 8

- 0 .6 4 2.56-1 .2 8

0.64D ist.T R

y 0 .320.16

0 .32 y -1 .2 8 - 0 .6 4 0.16

- 1 .2 80.64

D ist. 0.320.16

0.32 x -0 .0 8 -0 .0 8T R - 0 .0 4 A 0.16 -0 .0 4

D ist. 0.02 0 .02 -0 .0 8 -0 .0 8

2.88 5.78 - 5 .7 8 2.72 -2 .7 2 -1 .3 2

1 2 . 5 D S T S fIB U G N DE M O M E N T O S PARA M AR C O S : C O N LADEO 5 1 3

(0

Junta A B C nElem ento A B B A B C CB CD D C

D F 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0FEM -100 - 100 -1 0 0 - 100Dist. / 50 50 x 50 50 \TR 25 X 25 X 25 25Dist. T 12.5 -1 2 .5 v -12.5 -1 2 .5 vTR -6 .2 5 -6 ,25 --6.25 -6 2 5

Dist. ____ j L 3.125 3.125w 3.125 3.125T R 1.56 1 .5 6 A 1.56 \ 1.56Dist. _ -0.78 -0 .78 -0.78 -0 .7 8TR -0 .3 9 ^ -0 .3 9 ^ 0 . 3 9 -0.39

Dist. 0.195 0.195 0.195 0.195SAZ -8 0 .0 0 - 60.00 60.00 60.00 -6 0 .0 0 - 80.00

( 8 )

M =6E/A

E n v is ta d e q u e la n o B c o m o C x d e s p la z a n la m ism a c a n tid a d A ', y A B y D C t ie n e n lo s m is m o s v a lo re s d e E , / y L .e l F E M e n A B se r d m ism o q u e e n D C . C o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12 -18 /, s e su p o n d r a rb i tra r ia m e n te q u e e s te m o m e n to d e e x tr e m o fijo s e a

( F E M ) x s = ( F E M ) flx = ( F E M ) c d = ( F E M ) : = - 1 0 0 k N - m

Se re q u ie r e u n s igno n e g a tiv o p o rq u e e l m o m e n to d e b e a c tu a r en s e n tid o a n tih o ra r io s a b r la c o lu m n a p a r a o b te n e r u n a d e f le x i n A h a c ia b d e re c h a . A h o ra p u e d e d e te r m in a rs e e l v a lo r d e R a so c ia d o c o n e s te m o m e n to d e - 100 k N m . L a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s d e lo s F E M s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-I8g . C o n b ase e n e l e q u ilib r io , se c a lc u lan las re a c c io n e s h o r iz o n ta le s e n A y D , f ig u ra 12-18/j. A s, p a ra to d o e l m a r c s e re q u ie r e

2 F X = 0; R ' = 28 + 2 8 = 56 .0 kN

ft>r lo ta n to , R ' = 56 .0 k N c re a lo s m o m e n to s ta b u la d o s e n la f ig u ra12-18g. L os m o m e n to s c o r r e s p o n d ie n te s c a u sa d o s p o r R = 0 .92 k N p u e d e n d e te rm in a rs e p o r p ro p o rc i n . P o r lo ta n to , e l m o m e n to re s u lta n te e n e l m a rc o , f ig u ra 12- 18a , e s ig u a l a la su m a d e lo s c a lc u la d o s p a ra e l m a rc o e n la f ig u ra 12- 186 , m s la c a n t id a d p ro p o rc io n a l d e lo s q u e se c a lc u la ro n e n la f ig u ra 1 2 -18c. S e t ie n e

M a b = 1 8 8 + - 8 0 ) = 1.57 k N - m R esp.

M b a = 5 .78 + j g ( - 6 0 ) = 4 .79 k N - m R esp.

M bc = " 5 .7 8 + $ 8 ( 6 0 ) = - 4 .7 9 k N - m R esp.

m c b = 1 7 2 + $ 8 ( 6 0 ) = 3.71 k N - m R esp.

m cd = - 2 .7 2 + $ 8 ( ~ 6 0 ) = -3 .7 1 k N - m Resp.

M DC = - 1 .3 2 + $ 8 ( - 8 0 ) = - 2 .6 3 k N - m Resp.

0 '60 k N - m 6 0 k N -

5 m

8 0 k N - m 8 0 k N -mj f

, - 2 8 k N 4 D , - 2 8 k N

0 0

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EJEM PLO 1 2 .7

D e te rm in e los m o m e n to s e n c a d a ju n ta d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 1 2 -19a. E l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a e le m e n to s e in d ic a e n la figu ra .

Figura 12-19

S O L U C I NE n p r im e r lu g a r s e e v ita u n la d e o e n e l m arco , c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-19b. L os m o m e n to s in te rn o s e n la s ju n ta s s e c a lc u la n c o m o s e in d ic a e n l a f ig u ra \2 - \9 d . A q u ,e l fa c to r d e rig id ez d e l C D s e ca lcu l e m p le a n d o 3 E I / L , p u e s to q u e h a y un p a s a d o r e n D . E l c lc u lo d e la s re a c c io n e s h o r iz o n ta le s e n A y D s e m u e s tra e n la f ig u ra 12 19e. E n to n ces , p a r a to d o e l m arco ,

1 F , = O, K = 2 .8 9 - 1 .0 0 = 1.89 k

Ju n ta A B C D

E lem en to A B B A B C C B C D D C

D F 0 0.615 0.385 0.5 0.5 1FE MDist. . 14.76

-2 4 24 9 .2 4 - 1 2 -12

T RDist.

7 .38 ', 3.69

- 6 4.62 2.31 -2 .3 1 -2 .3 1

T RDist.

1.84 '0.713

- 1 .1 6 1.16 0 4 4 7 -0 .5 8 -0 .5 8

T RDist.

0.3570.18

- 0 .2 9 0.224 0.11 -0 .1 1 -0 .1 1

9.58 19.34 - 1 9 .3 4 15.00 --15.00 0

1 19.34 k-pie 115.00 k-rpie 1 15.00k-pie

10 pies

95$ k pie

2.89 k

15 pies

r D, = 1.00 k(d) (e)

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Junta A B C DE lem ento A B BA B C C B CD D C

D F 0 0.615 0.385 0.5 0.5 1FEMDist.

- 1 0 0 -1 0 0 615

-27.7838.5 13.89 13.89

T RD ist.

30.75-4 .2 7

6.94 19.25 -2 .6 7 ^ -9 .6 2 5 - 9.625

T RD ist.

2.14. 2 .%

- 4 .8 1 - 1 .3 4 1.85 0.67 0.67

T R 1.48 0.33 0.92D ist. 0.20 -0 .1 3 -0 .4 6 -0 .4 6I M -6 9 .9 1 -4 0 .0 1 40.01 23.31 -2 3 .3 1 0

L a fu e rz a o p u e s ta s e a p lic a a h o r a s o b re e l m a rc o c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 1 2 -19c. A l ig u a l q u e e n e l e je m p lo a n te r io r , s e c o n s id e ra r u n a fu e rz a R ' q u e a c t a e n la fo rm a m o s tra d a e n la f ig u ra 12-19/. C o m o re s u lta d o , la s ju n t a s B y C se d e s p la z a n la m ism a c a n tid a d A '. L os m o m e n to s d e e x tr e m o fijo p a r a B A se c a lc u la n a p a r t i r d e

6 E /A 6 (2 0 0 0 )A ' ( F E M ) , , - ( F E M ) * . - - 2 ^ ----------------

Sin e m b a rg o , c o n b a se e n la ta b la q u e s e e n c u e n t r a e n e l in te r io r d e lac o n tr a p o r ta d a , p a r a C D

(F E M )Cn = ~

t ie n e

3 / A 3 *(2500) A'

(1 5 )2

Si se su p o n e q u e e l F E M p a ra A B es d e - 100 k p ie c o m o s e m u es tra en la f ig u ra 1 2 -1 9 /.e l F E M co rre sp o n d ien te e n C .q u e c a u sa e l m is m o A ', se e n c u e n tra p o r c o m p a r a c i n .e s to es.

A = -100)( 1 0 )2 (F E M )c o (1 5 )2

6 E (2 0 0 0 ) 3 (2 5 0 0 )

(F E M )c o = - 2 7 .7 8 k - p i e40.01 k -p ie

L a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s p a r a e s to s F E M s e ta b u la e n la f ig u ra 12-19g. L os c lc u lo s d e la s re a c c io n e s h o r iz o n ta le s e n A y D se m u e s tra n e n la f ig u ra 12 19/i. E n to n c e s , p a ra to d o e l m a rc o ,

2 E , = 0 ; R ' = 11 .0 + 1.55 = 12.55 k A'f - l l i k

R>r lo ta n to , los m o m e n to s re s u lta n te s e n e l m a rc o s o n

M AR = 9 .58 + (& & )( -6 9 .9 1 ) = - 0 .9 4 8 k - p i e Resp.

M RA = 19 .34 + ( A R ) ( 4 0 .0 1 ) = 13.3 k p ie Resp.

M b c = - 1 9 .3 4 + ( f f i ) ( 4 0 .0 1 ) = - 1 3 .3 k p ie Resp.

M CR = 15.00 + ( i ) ( 2 3 .3 1 ) * 18.5 k - p i e Resp.

M c d = - 1 5 .0 0 + ( i ) ( - 2 3 .3 1 ) = - 1 8 .5 k - p i e Resp.

2 3 J l k -p ic

1 0 p ie s

69 .91 k - p ie

15 p ie s

r/ X , - 1 3 5 k

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EJEM PLO 12 .8

s F E M p a r a e l e le m e n to B C so n

8 ( 10) 8 ( 10)( F E M ) * ; ------ = - 1 0 k - p i e ( F E M ) o , = = 10 k - p i e

C o m o los c la ro s A B y D C e s t n a r t ic u la d o s e n su s e x tre m o s , e l fa c to r d e rig id ez s e c a lc u la e m p le a n d o 3 E l / L . L a d is tr ib u c i n d e m o m e n to s s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-20d .

L as reacciones h o r izo n ta le s e n A y D d e b e n d e te r m in a rs e a p a r t i r d e e s to s re s u lta d o s , lo c u a l se h a c e m e d ia n te u n an lis is d e l e q u il ib r io p a ra cada e le m e n to , f ig u ra 12-20e. A l s u m a r lo s m o m e n to s re s p e c to d e b s p u n to s B y C e n c a d a p ie r n a , s e t ie n e

J,+ 2 M b = 0; - 5 .9 7 + -4 ,( 8 ) - 4 (6 ) = 0 A , = 3.75 k[ ,+ l M c = O, 5 .97 - D x{8 ) + 4 (6 ) = 0 D , = 3 .7 5 k

I b r lo ta n to , p a ra to d o e l m arco .

Ju n ta A B C D

Ele m e n t A B B A B C C B C D D C

DF 1 0.429 0571 0571 0.429 1

FEMDist. 4 2 9

- 1 05.71

10 . -5 .7 1 - 4 2 9

IRDist. 123

- 2 8 61.03.

' 2 8 6 , -1 .6 3 - 1 2 3

IRD ist. 0 3 5

- 0 8 2

t t4 7 >

0 8 2 . - 0 4 7 - 0 3 5

I RD ist. a t o

- 0 2 40.13

' 0 2 4 -Q 1 3 - a i o

0 5.97 -5 .9 7 5.97 -5 .9 7 0

K = 3 .75 - 3 .75 + 20 = 2 0 k

4 p ie s a * 4 p ies

5 .9 7 k -pie | 2 0 k S p i e s j s p i e s r 1 * 9 7 k -p ie

I f 5 .9 7 k p i e v rl 5 .97 k p ie 1 \ S p i e8 p ie s / ,

A ,Y -4 k | ,

(d) ( c )

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L a fu e rz a o p u e s ta R se a p lic a a h o ra a l m a rc o c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 12-2c. C o n e l fin d e d e te r m in a r lo s m o m e n to s in te rn o s d e sa - iT o lla d o sp o r R se c o n s id e ra r p r im e ro q u e la fu e rz a R ' a c t a c o m o se m u e s tra e n la f ig u ra 12-20/. A q u la s ln ea s d is c o n tin u a s n o r e p re s e n tan la d is to rs i n d e los e le m e n to s d e l m arco , s in o q u e s e c o n s tru y e n c o m o ln e a s re c ta s e x te n d id a s h a s ta las p o s ic io n e s f in a le s R ' y C d e sd e los p u n to s R y C , re s p e c tiv a m e n te . D e b id o a la s im e tr a d e l m arco , e l d e s p la z a m ie n to R R ' - C C ' - A. A d em s, e s to s d e s p la z a m ien to s h acen q u e R C g ire . L a d is ta n c ia v e rtic a l e n tr e R ' y C ' es 1.2A ', co m o s e m u e s tra e n e l d ia g ra m a d e d e sp la z a m ie n to , fig u ra 12-20g. D a d o q u e c a d a c la ro e x p e r im e n ta d e sp la z a m ie n to s h a s ta u n p u n to e x tre m o q u e o c a s io n a n u n g i r o e n s te , s e in d u c e n m o m e n to s d e e x tr e m o fijo e n lo s d a ro s . D ic h o s m o m e n to s son :(F E M ) /m = ( F E M ) c o = - 3 E / A '/ ( 1 0 ) 2. ( F E M ) SC = ( F E M ) Cfl = 6 7 ( 1 .2 A ') / ( 1 0 ) 2.

O b se rv e q u e p a r a B A y C D los m o m e n to s so n n eg a tivo s p u e s to q u e u n a ro ta c i n e n s e n t id o h o ra r io d e l c la ro o c a s io n a u n F E M c o n se n tid o a n tih o ra rio .

Si s e a s ig n a a r b i t r a r ia m e n te u n v a lo r d e ( F E M ) ^ = (F E M )C 0 = 100 k p ie , e n to n c e s a l ig u a la r A ' e n las f rm u la s a n te r io r e s s e o b tiene ( F E M ) flC - ( F E M ) ^ - 240 k p ie . E s to s m o m e n to s s e a p lic a n al m a rc o y s e d is tr ib u y e n , f ig u ra 12-206. C o n lo s re s u lta d o s a n te r io re s , d an lis is d e e q u il ib r io es c o m o s e m u e s tra e n la f ig u ra 12-20/. P a ra c ad a p ie r n a s e t ie n e

{,+ I M b = 0 ; - A 'x {8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 146.80 = 0 A't = 40 .37 k

{,+ 2 M c = 0 ; - ; ( 8 ) + 2 9 .3 6 (6 ) + 146.80 = 0 D'x = 40 .37 k

E n to n c e s , p a ra to d o e l m arco .

2 F , = 0 ; R ' = 4 0 .3 7 + 40 .37 = 80.74 k

ft>r lo ta n to , los m o m e n to s re s u lta n te s e n e l m a rc o so n

M r a = 5 .97 + ( A ) ( ~ >46-80) = - 3 0 .4 k - p i e

M r c = - 5 - 9 7 + ( * ) ( 146.80) = 30 .4 k - p ie

M c b = 5 .97 + (g $ h ) (1 4 6 .8 0 ) = 42 .3 k - p i e

M c d = - 5 .9 7 + ( n $ a ) ( -1 4 6 .8 0 ) = - 4 2 3 k - p i e

Resp.

Resp.

R esp .

Resp.

2 9 3 6 k

2 9 3 6 k

10 p ie s

T"~i46itt)k- p , 7

2 9 3 6 k

- i V e lU 46- k ' PC1 4 6 3 0 k p ie i 1 4 6 3 0 k -p ie

2 9 3 6 k 2 9 3 6 k

(i)

8 p ie s

29 .36 k

Junta A B C DElemento AH B A BC CB CD DC

DF 1 0429 0.571 0.571 0.429 1FEM -100 240 240 -100Dio. -1.06 -79.94 -79.94 -60.06TR -3J.97 -39.97Dio. 17.15 2232 22.82 17.15TR 11.41 11.41D a -4 8 9 -6 5 2 -6 .52 - 4 3 9TR -3.26 -3 .26D ia 1.40 1.86 1.40TR 093 0.93Da. - 0 4 0 -Q 53 -0 .53 - 0 4 0

0 -146.60 14630 14680 -14680 0

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P R O B L E M A S

1 2 -1 3 . D e te rm in e e l m o m e n to e n B % y d e s p u s d ib u je e l d ia g ra m a d e m o m e n to s p a r a c a d a e le m e n to d e l m a rc o . S u p o n g a q u e lo s s o p o r te s e n A y C e s t n a r t ic u la d o s . E l e s c o n s ta n te .

1 2 -1 5 . D e te rm in e la s r e a c c io n e s e n A y D . S u p o n g a q u e lo s s o p o r te s e n A y D e s t n f i jo s y q u e B y C e s t n c o n e c ta d o s f ija m e n te . E l e s c o n s ta n te .

m i m i u n ,

15 p ie s

2 4 p ie s

P roh . 1 2 -1 3 Prob. 1 2 -1 5

1 2 -1 4 . D e te rm in e lo s m o m e n to s e n lo s e x tre m o s d e c a d a e le m e n to d e l m a rc o . S u p o n g a q u e la ju n ta e n t e s t f ija , q u e C e s t a r t ic u la d a y q u e A e s t fijo . E l m o m e n to d e in erc ia d e c a d a e le m e n to s e m u e s tr a e n la f ig u ra . E - 2 9 (1 0 ) ksi.

* 1 2 -1 6 . E x te r m in e lo s m o m e n to s e n D y C , y d e s p u s d i bu je e l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a c a d a e l e m e n to d e l m arco . S u p o n g a q u e lo s s o p o r te s e n A y t e s t n a r t ic u la d o s y q u e la s ju n t a s D y C e s t n fija s . E l e s c o n s ta n te .

2k/pie

8 p i t TTTTTTT

4 k-

8 p i e s

l i e - 8 0 0 p u lg 4 C

12 p i e s -----------

I a b = 5 5 0 p u lg 4

Prob. 1 2 - 1 4 Prob. 1 2 - 1 6

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1 2 . 5 D S T R IB U C I N DE M O M E N T O S PARA M AR C O S : C O N LADEO 5 1 9

12-17. D eterm ine los m om entos e n e l soporte fijo A y en la ju n ta D. y despus d ibu je el d iagram a d e m om entos para el marco. Suponga q u e B est articulado.

12-18. D eterm ine los m om entos e n cada ju n ta d e l marco, y despus dibuje e l d iagram a d e m om entos p a ra el elem ento A CE,Suponga q u e B ,C y E estn fijam ente conectados y q u e A y D estn articulados. = 29105) ksi.

12-19. El m arco est hecho de tubos que se conectan fijam ente. Si soporta las cargas que se m uestran , de term ine los m om entos desarrollados e n cada una d e las juntas. / es constante.

1 8 k N 18 kN

12-20. D eterm ine los m om entos e n B y C , y despus d ibuje el diagram a d e m om entos p ara cada e lem en to del marco. Suponga que los soportes e n A . E y D estn fijos. F.l es constante.

1 0 k

P r o h . 1 2 - 1 8 P r o h . 1 2 - 2 0

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12-21. D eterm ine k s m om entos e n D y C .y despus d ibuje e l d iagram a d e m om entos p ara cada e lem en to del marco. Suponga q u e los soportes e n A y II estn articulados. E l es constante.

12-23. D eterm ine los m om entos que actan e n los ex tre mos d e cada e lem en to del marco. E l es constante.

Prob. 12-21 Proh. 12-23

12-22. D eterm ine los m om entos que actan e n los ex tre m os d e cada elem ento. Suponga q u e los soportes e n A y D estn fijos. El m om ento d e inercia d e cada e lem ento se m uestra e n la figura. E = 29(10*) ksi.

12-24. !>termine los m om entos que ac tan en los ex tre mos d e cada elem ento. Suponga q u e las juntas e s tn fijamente conectadas y q u e A y R son soportes fijos. E l es constante.

15 p ie s

6k/pie

t t t t t t t t t ;

!bc= 1200 pulg4 C

!cn = 600 pulg4

a b - 800 pulg4

A

10 pies0.2 k/pie

24 pies -

D ~

, 181>ies

*

* A

- ^ 7------------ 20 p ie s ---------------------

12 pies

Proh. 12-22 Prob. 12-24

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R e p a s o d e l c a p i t u l o 5 2 1

12-25. D eterm ine los m om entos e n las ju n tas B y C .y despus dibuje e l d iagram a d e m om entos p ara cada e lem ento del marco. Los so p o rte s e n A y D estn articulados. E l es constante.

12-26. D eterm ine los m om entos e n las ju n tas C y D , y despus d ibu je el d iagram a d e m om entos para cada elemento d e l m arco. Suponga q u e los soportes e n A y B estn articulados. E ! es constante.

P roh . 12-26

R E P A S O D E L C A P I T U L O

La distribucin d e m om entos es un m todo d e aproxim aciones sucesivas que pu ed e realizarse con cualquier grado d e p re cisin deseado. Inicialm ente se requiere b loquear todas las ju n tas d e la estructura . Luego se determ ina e l m om ento de equilibrio p a ra cada junta; las ju n tas se desbloquean y e ste m om ento se distribuye a cada e lem ento conectado, y despus la m itad de su valo r se traslada al o tro lado del claro. E ste ciclo de b loquear y liberar las ju n tas se rep ite hasta q u e e l traslado de m om entos se vuelva acep tab lem ente pequeflo. E n tonces se detiene e l proceso y e l m om ento e n cada ju n ta es la sum a de los m om entos e n cada ciclo d e b loqueo y desbloqueo.

E l proceso d e distribucin de m om entos se realiza d e m anera cm oda e n la form a tabular. A n tes de com enzar debe calcularse e l m om ento d e ex trem o fijo p ara cada claro em pleando la tab la que aparece e n e l in terio r d e la contraportada de este libro. Los factores d e distribucin se ob tienen a l dividir la rigidez d e un e lem en to en tre la rigidez to tal d e la junta. P ara los e lem entos que cuen tan con un ex trem o lejano fijo, use K = 4 F / / / . ;p a r a un e lem ento con su ex trem o lejano articu lado o soportado p o r rodillos, use K = 3 //L ;p a ra un claro y una carga simtricos, K = 2 E I /L ,y p a ra una carga antisim trica K = 6F.I/L . R ecuerde que el fac to r d e distribucin p a ra un ex trem o fijo e s D F = 0, y p ara un ex trem o articulado o soportado p o r rodillos, D F = 1.

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0 u so d e trab es con m o m en to s d e inercia variables redu jo e n form a co n sid erable e l p e s o m u erto d e cad a uno d e e s to s claros.

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6 7 6 R e s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s

10-18 .

1 0 -1 9 .

10 - 2 1 .

10- 22 .

1 0 -2 3 .

1 0 -2 5 .

1 0 -2 6 .

1 0 -2 7 .

1 0 -2 9 .

1 0 -3 0 .

1 0 - 3 1 .

A y = -1 5 .0 k 1 0 -3 3 . F 0b = 19.2 kN

D , = 2 1c FCB = 53.4 kN

Dy = 15.0 k 1 0 -3 4 . F o = 22.8 k (C )

M = 19.5 k -p ie F a b = 18.4 k (T)D , = - 2 2 7 k F ac = 16.3 k (T )Dy = 22.5 k 1 0 -3 5 . F bc = 28.1 k (T )A y = 22.5 k 1 0 -3 7 . C , = 0A , = 227 k c m tD , = 5.41 k C ' " 3A , = 259 k 1 0 -3 8 . FCo = 7.48 k ip

Dy = 4.65 k 1 0 -3 9 . F ac = 28.0 k

A y = 4.65 k 10-15. C y = 0241 k

f , = 2.65 kN A , = 265 kN

Captulo 111 1 -1 . M a = - 4.62 k -p ie

f l , = 0 M b = -& 7 6 k - pieAy = 0 Mc = - 10.6 k - pief , = 1.53 kN 1 1 - 2 M a B = -1 0 2 k -p ieA , = 1.53 kN M ba = 84 k pieBy = 750 kN M bc = - 8 4 k - pieA y = 15.0 kN Mc a = 48 k -p ieF a b = 0.667 k (C) 1 1 -3 . M a b = -1 8 .5 k N -m

Fb d = 0.667 k (T) Mc b = 20.4 k N -m

Fbc = 0 M ba = 1925 kN mFc b = 3.06 k (C ) M ac = -19 .25 k N -m

F 4 C = & 2 3 k (C ) 1 1 -5 . M a b = 4.09 k N -mF o c = 6 5 8 k ( T ) Mb a = 8.18 k N -mF Ofl = 5 .1 0 k (T ) M ac = -8 .1 8 k N -mF ^ = 10.1 k (C) Mc b = 8.18 k N -mFD = 4 9 4 k ( T ) Mc o = - 8 1 8 k N -mF a c = 7.91 kN (C ) M I)C = - 4 0 9 kN m

= 8.54 kN (C) 1 1 -6 . M ab = -4 9 .5 k -pie

= 6-0* ^ N (T) M ba = 13.5 k - pie

F a b = 6.04 kN (T) M ac = -1 3 .5 k - pie

Fea = >4.1 kN (T) M ea = 9 k - p i cFc o = 10.0 kN (C) M e o = - 9 k pieF BE = 5.61 kN (T) M o c = 40.5 k -pieF bd = 14.0 kN (C) 1 1 -7 . M Ba = 4125 k N -mF o e = 3.96 kN (C) M ac = -41 .25 k N -mF a c = 1.41 k (T) 1 1 -9 . M ab = -1 6 7 k - pieF'd c = F c b = 0.414 k (T) M Ba = 66.0 k - pie

= 0.414 k (T ) M ae = -6 6 .0 k -p ie

F oa = 0 5 8 6 k (C) Mc h = 261 k - pieFc o = 4.63 kN (T) MCo = -2 6 1 k - pie

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R e s p u e s t a s a p r o b l e m a s s e l e c c i o n a d o s 6 7 7

11-10. M a B = - 10.5 k -p ie

M b a = 24 k -p ie 11-11. M a b = -2 4 .5 k pie

M Ba = -Q 923 k - pie M ac = 0.923 k -p ie

Mc b = 77.2 k - pie

MCd = -2 7 .2 k -p ie 11-13. M AB = -1 2 6 k pie

M ^ = 7 2 k -p ie M ac = - 7 2 k pie

Mc b = - 3 6 k pie

11-14. M a b = - 42.9 k -p ie

MCb = 16.7 k - pie11-15. M a b = - 1.98 k N -m

M b a = 0.540 kN m

M ac = -0 .5 4 0 k N -m

11-17. M a B = - Z l l k - p i e

M b a = 40.8 k -pie

M bc = -4 0 .8 k pie

11-18. M BA =

Metodo Crooss

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