método alternativo escalonamento SMED

Um Mtodo para Escalonar Sistemas de EquaesLineares Usando Somente Determinante de Ordem 2

A Method to Assign Systems of Linear Equations UsingOnly Determinant of Order Two

Adilandri Mrcio Lobeiro

Coordenao de Informtica - COINF

Universidade Tecnolgica Federal do Paran UTFPR, Campo Mouro, PR

[email protected]

Liliana Madalena Gramani

Departamento de Matemtica

Universidade Federal do Paran UFPR, Curitiba, PR

[email protected]

Resumo: Este artigo prope um mtodo para simplificao do modelo tradicional

do escalonamento de sistemas de m equaes e n incgnitas, usando somente de-

terminante de ordem dois. O mtodo proposto aplicado e desenvolvido em uma

sequncia de sistemas de equaes lineares destacando a sua simplicidade de utiliza-

o.

Palavras-chave: determinante de ordem dois; escalonamento; sistemas de equaes

lineares.

Abstract: This paper proposes a method for simplification of the traditional model

of scheduling systems of m equations in n unknowns, using only determinant of

order two. The proposed method is applied and developed in a sequence of systems

of linear equations emphasizing its simplicity of use.

Key words: determinant of order two; scheduling; systems of linear equations.

Recebido em 16/08/2010 - Aceito em 15/12/2010.

RECEN Guarapuava, Paran v. 12 n 2 p. 339-356 jul/dez 2010

Revista Cincias Exatas e Naturais, Vol.12 , no 2, Jul/Dez 2010

1 Introduo

O presente artigo descreve um mtodo para simplificao do modelo tradicional

do escalonamento para sistemas de equaes lineares de qualquer ordem.

O referido mtodo denominado SMED, acrnimo para Simplificao do M-

todo do Escalonamento usando Determinante de ordem dois, fornece a soluo de

um sistema de m equaes lineares a n incgnitas com duas caractersticas relevantes

em relao ao mtodo tradicional do escalonamento: (i) aspectos pedaggicos, que

representam a facilidade com que os alunos aplicam o SMED; (ii) aspectos temporais,

que representam o tempo necessrio para operar o SMED em um cenrio de sala de

aula.

Alm dessas caractersticas o SMED possui outra exclusivamente associada ao

seu modo de operao, que opera utilizando somente determinante de ordem dois

independentemente do nmero de equaes e incgnitas que um sistema venha a

possuir. Isso significa que sua utilizao se torna acessvel a qualquer estudante que

tenha tido contato com lgebra Linear bsica.

Para propor o SMED apresentou-se uma sequncia de sistemas de equaes linea-

res. Cada um desses sistemas, incluindo um sistema genrico, foi resolvido tanto pelo

mtodo tradicional do escalonamento como pelo SMED. Afinal, obteve-se a mesma

soluo, justificada pelas operaes elementares. Desta forma, buscou-se salientar as

vantagens do uso do mtodo proposto.

Um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um conjunto

de equaes da forma:8>>>>>>>>>>>>>:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ + a1n xn = b1a21x1+ a22x2+ a23x3+ + a2n xn = b2a31x1+ a32x2+ a33x3+ + a3n xn = b3

......

am1x1+ am2x2+ am3x3+ + amnxn = bm

(1)

com bi e ai j nmeros reais e 1 i m e 1 j n, nmeros naturais.Uma soluo do sistema (1) uma n-upla de nmeros (1,2, ,n) 2 IRn que

340

LOBEIRO A.M.; GRAMANI, L.M.

satisfaa simultaneamente estas m equaes.

O mtodo mais simples e eficiente para resolver sistemas lineares o do escalo-

namento, conforme os trabalhos [15] . Embora este mtodo esteja consagrado por

seu uso secular e, ao mesmo tempo, atual, este trabalho prope uma nova forma de

escalonamento utilizando somente determinantes de ordem dois. Esta proposta visa

simplificar o mtodo do escalonamento.

O mtodo tradicional do escalonamento opera sobre as matrizes abaixo, que so

a matriz dos coeficientes do sistema (1) e a respectiva matriz ampliada:26666666664

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n...

...... ...

am1 am2 am3 amn

37777777775

26666666664

a11 a12 a13 a1n b1a21 a22 a23 a2n b2a31 a32 a33 a3n b3...

...... ... ...

am1 am2 am3 amn bm

37777777775(2)

Diz-se que uma matriz escalonada quando o primeiro elemento no-nulo de

cada uma de suas linhas est esquerda do primeiro elemento no-nulo de cada uma

das linhas subsequentes e, alm disso, as linhas nulas (se houver), ou seja, as linhas

que tm todos elementos iguais a zero, esto abaixo das demais [5].

Um sistema escalonado (cuja matriz escalonada) pode ser facilmente resolvido

de baixo para cima, obtendo-se, primeiro, o valor da ltima incgnita, substituindo-a

por esse valor na equao anterior, e assim por diante [4].

O mtodo do escalonamento se baseia no fato de que todo sistema equivalente

a um sistema escalonado. Partindo do sistema (1), chega-se a um sistema escalonadoequivalente por meio de uma sequncia de operaes elementares, que so as seguin-

tes [2]:

E1) Permuta das i-sima e k-sima equaes do sistema. Notao: Li $ Lk , com1 i m e 1 k m;

E2) Substituio da i-sima equao pela i-sima equao multiplicada por um esca-

lar no nulo . Notao: Li Li , 1 i m;

341


E3) Substituio da i-sima equao pela i-sima equaomais vezes a k-sima equa-

o. Notao: Li Li +Lk , com 1 i m e 1 k m.

Aps obter um sistema escalonado equivalente ao sistema (1) por meio de ope-raes elementares, possvel classific-lo quanto ao conjunto solues. Se o sistema

(1) admite:

infinitas solues, diz-se que o Sistema Possvel Indeterminado (SPI);

uma nica soluo, diz-se que o Sistema Possvel Determinado (SPD);

nenhuma soluo, diz-se que o Sistema Impossvel (SI).

Com base no sistema tradicional de escalonamento, resumidamente desenvolvido

acima, proposto, nas demais sees, um mtodo de escalonamento para um sistema

de m equaes lineares e n incgnitas utilizando somente determinante de ordem

dois.

importante salientar que se apresentou o SMED a uma turma de alunos, du-

rante uma aula de lgebra Linear na Universidade Tecnolgica Federal do Paran

(Campus Campo Mouro), e percebeu-se um grande avano em relao aprendi-

zagem quando esse foi comparado com o mtodo tradicional do escalomento. O

SMED tanto colaborou para obter a soluo do sistema de equaes de uma forma

mais rpida quanto ajudou o aluno a entender melhor o processo de escalonamento.

Foi observada, neste momento, a facilidade de aprendizagem do SMED e o pequeno

espao de tempo para solucionar o sistema.

2 Simplificao do mtodo do escalonamento usando deter-minante de ordem dois (SMED)

2.1 Sistema de uma equao e uma incgnita

Considera-se um sistema de uma equao e uma incgnita, dado por

ax = b ,

342


em que a, x e b so nmeros reais [2]. Inicialmente pode-se pensar que a soluo

desta equao x = ba , entretanto, necessrio avaliar as trs possibilidades abaixo:

1. Se a 6= 0, ento x = ba , que a nica soluo da equao, qualquer que seja ovalor de b , SPD.

2. Se a = 0, h duas possibilidades, dependendo do valor de b :

(a) Se b 6= 0, tem-se 0 x = b e no existe soluo para esta equao, SI;(b) Se b = 0, tem-se 0 x = 0 e qualquer nmero real ser soluo da equao,

SPI.

As mesmas possibilidades ocorrem no caso geral de m equaes a n incgnitas,

como ser desenvolvido adiante.

2.2 Sistema de duas equaes e uma incgnita

Um sistema linear de duas equaes e uma incgnita dado por8


Para obter a soluo do sistema (4) aplica-se o mtodo do escalonamento tradici-onal com o objetivo de visualizar o SMED. Para isso, avaliam-se dois casos:

2.3.1 ai1 = 0 para todo i = 1,2.

Se os coeficientes a11 e a21 forem iguais a zero, pode-se escolher x1 como igual

a uma constante arbitrria, no afetando o valor de x2. Para encontrar x2,

resolve-se o sistema 8


8


no sistema (9), tem-se:8:a11x1+ a12x2 = b1a21x1+ a22x2 = b2a31x1+ a32x2 = b3

(11)

Como foi feito anteriormente, a princpio, resolve-se o sistema (11) pelo mtododo escalonamento tradicional buscando a equivalncia com o SMED. Analisam-se

dois casos:

2.4.1 ai1 = 0 para todo i = 1,2,3.

346


Se ai1 = 0 para todo i = 1,2,3, pode-se escolher x1 como igual a uma cons-tante arbitrria, isso no afetar o valor de x2. Para encontrar x2, obtm-se os

conjuntos solues de cada uma das trs equaes8>:a12x2 = b1a22x2 = b2a32x2 = b3

(12)

separadamente, como foi feito na seo (2.1). A soluo do sistema (11) :

Uma reta, SPI , se as equaes em x2 no trouxerem nenhuma nova infor-mao para o sistema, ou seja, a12 = b1 = a22 = b2 = a32 = b3 = 0;

Um ponto, SPD, se um s valor de x2 determinado por essas trs equa-es;

O conjunto vazio, SI, se as trs equaes so incompatveis.

2.4.2 ai1 6= 0 para algum i = 1,2,3.Consideram-se dois casos:

2.4.2.1 a11 6= 0Se a11 6= 0 em (11), efetua-se o escalonamento aplicando as operaeselementares 8>:

a11x1+ a12x2 = b1a21x1+ a22x2 = b2 L2 a11L2a31x1+ a32x2 = b3 L3 a11L3

(13)

e ainda, 8>:a11x1+ a12x2 = b1

a11a21x1+ a11a22x2 = a11b2 L2 L2 a21L1a11a31x1+ a11a32x2 = a11b3 L3 L3 a31L1

347


logo 8>:a11x1+ a12x2 = b1

(a11a22 a21a12)x2 = a11b2 a21b1(a11a32 a31a12)x2 = a11b3 a31b1

(14)

Observando os sistemas (11) e (14) conclui-se que a passagem de um parao outro pode ser interpretada simplesmente com o clculo do determi-

nante de ordem 2, isto , usando o SMED:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

a11x1+ a12x2 = b1 a11 a12a21 a22 x2 =

a11 b1a21 b2

a11 a12a31 a32 x3 =

a11 b1a31 b3 .

Denotando-se

a22 =

a11 a12a21 a22 , b 2 =

a11 b1a21 b2

a32 =

a11 a12a31 a32 , b 3 =

a11 b1a31 b3

tem-se 8>:a11x1+ a12x2 = b1

a22x2 = b 2a32x2 = b 3

(15)

Para determinar a soluo do sistema (11), equivalente ao sistema (15),analisam-se a segunda e a terceira equaes, separadamente, da mesma

348


maneira como foi desenvolvido na seo (2.1). Se:

as equaes em x2 no trazem nenhuma nova informao para o sis-tema, ou seja, a22 = b2 = a32 = b3 = 0, ento resta a primeira equa-o, que define uma reta, SPI;

um s valor de x2 determinado por essas duas ltimas equaes,ento a soluo do sistema um ponto, SPD;

as duas equaes finais so incompatveis, ento o sistema no temsoluo, SI.

2.4.2.2 a11 = 0.

Se a11 = 0 no sistema (11), tem-se por hiptese que, pelo menos ap1 6= 0para p = 2,3. Considera-se, sem perda de generalidade, a21 6= 0. Troca-se a posio relativa da primeira e da segunda equaes e procede-se (a

menos de uma troca de coeficientes) como foi feito em (2.4.2.1).

2.5 Sistema de trs equaes e trs incgnitas

Considere o sistema de trs equaes e trs incgnitas8>:a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2a31x1+ a32x2+ a33x3 = b3

(16)

Para solucion-lo, inicialmente, aplica-se o mtodo do escalonamento tradicional

para depois visualizar o SMED. Tem-se dois casos:

2.5.1 ai1 = 0 para todo i = 1,2,3.

Se ai1 = 0 para todo i = 1,2,3, recai-se em um sistema de trs equaes e duasincgnitas conforme foi analisado na seo (2.4).

2.5.2 ai1 6= 0 para algum i = 1,2,3.Temos dois casos a considerar:

349


2.5.2.1 a11 6= 0. Se a11 6= 0 em (16), aplica-se o escalonamento procedendocom as operaes elementares8>:

a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2 L2 a11L2a31x1+ a32x2+ a33x3 = b3 L3 a11L3

(17)

segue8>:a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1

a11a21x1+ a11a22x2+ a11a23x3 = a11b2 L2 L2 a21L1a11a31x1+ a11a32x2+ a11a33x3 = a11b3 L3 L3 a31L1

logo8>:a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1

(a11a22 a21a12)x2+ (a11a23 a21a13)x3 = a11b2 a21b1(a11a32 a31a12)x2+ (a11a33 a31a13)x3 = a11b3 a31b1

(18)

Note que a passagem de (16) para (18) pode ser interpretada simplesmentecalculando determinante de ordem 2. A representao do sistema usando

o SMED est ilustrada abaixo:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1 a11 a12a21 a22 x2+

a11 a13a21 a23 x3 =

a11 b1a21 b2

a11 a12a31 a32 x2+

a11 a13a31 a33 x3 =

a11 b1a31 b3 .

(19)

350


Denotando-se

a22 =

a11 a12a21 a22 , a23 =

a11 a13a21 a23 , b 2 =

a11 b1a21 b2

a32 =

a11 a12a31 a32 , a33 =

a11 a13a31 a33 , b 3 =

a11 b1a31 b3

escreve-se o sistema (19) como:8>:a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1

a22x2+ a23x3 = b 2a32x2+ a33x3 = b 3

(20)

onde avaliam-se dois casos:

2.5.2.1.1 ai2 6= 0 para algum i = 2,3;Pode-se admitir (trocando a ordem das duas ltimas equaes, se ne-

cessrio) que a22 6= 0. Da mesma forma da passagem de (4) para (10),tem-se que (20) implica em8>:

a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1a22x2+ a23x3 = b 2

a33 x3 = b 3 ,(21)

em que

a33 =

a22 a

23

a32 a33

e b 3 = a22 b

1

a32 b 3

.so coeficientes representados por determinantes de ordem dois con-

forme proposto pelo SMED.

A soluo do sistema (21), que equivalente ao sistema (16), de-pende da soluo da equao a33 x3 = b 3 . Consideram-se trs casos:

351


se a33 = 0 e b 3 6= 0, o sistema ser impossvel, SI; se a33 = 0 e b 3 = 0, restam a primeira e a segunda equaes, quedefinem uma reta, SPI, visto que x3 um real qualquer;

se a33 6= 0, um s valor de x3 determinado por esta equao,isto mostra que a soluo um ponto, SPD.

2.5.2.1.2 ai2 = 0 para todo i = 2,3.Se ai2 = 0 para todo i = 2,3 o sistema (20), reduz-se8>:

a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1a23x3 = b 2a33x3 = b 3 .

(22)

Para determinar a soluo do sistema (22), que equivalente ao sis-tema (16), analisam-se a segunda e terceira equaes como foi feitona seo (2.1). Se:

a23 = b2 = a33 = b3 = 0, as equaes em x3 (duas ltimas) podemser desconsideradas, pois no trazem nenhuma nova informao

para o sistema. Ento, resta a primeira, que define um plano,

SPI;

se um s valor de x3 determinado por essas duas ltimas equa-es ento a soluo do sistema uma reta, SPI;

se as duas equaes finais so incompatveis ento o sistema notem soluo, SI.

2.5.2.2 a11 = 0.

Se a11 = 0 tem-se, por hiptese, que pelo menos ap1 6= 0 para p = 2,3.Considera-se, sem perda de generalidade, a21 6= 0. Troca-se a posio re-lativa da primeira e da segunda equaes e procede-se (a menos de uma

troca de coeficientes) como foi feito em (2.5.2.1).

352


2.6 Sistema de m equaes a n incgnitas

Nas sees anteriores foram abordados sistemas de trs equaes e trs incgnitas

e alguns casos de menor ordem nos quais utilizou-se o SMED. A equivalncia do

escalonamento tradicional e do SMED foi ilustrada em todos os casos abordados. A

representao da soluo dos sistemas atravs do determinante de ordem dois ficou

evidenciada nas respectivas sees anteriores.

Nesta seo ser desenvolvido o SMED para um sistema qualquer de m equaes

e n incgnitas justificando-se a equivalncia dos sistemas atravs das operaes ele-

mentares E1,E2 e E3 fundamentadas no mtodo do escalonamento tradicional, para

isto considere o sistema (1), o qual, mediante aplicaes sucessivas de determinantesde ordem 2, produz um sistema equivalente escalonado. Tem-se dois casos a conside-

rar referentes ao sistema (1):

2.6.1 ai1 = 0, para todo 1 i m.

Pode acontecer que todos os coeficientes ai1 na primeira coluna referentes

primeira incgnita sejam nulos. Se isso acontecer, pode-se escolher x1 como igual

a uma constante arbitrria. Isso no afetar os valores de x2, , xn e passa a con-siderar x2 ou, mais geralmente, a coluna mais prxima, direita da primeira, onde

haja algum elemento no-nulo e opera-se (como sero descritos em 2.6.2) de modo a

obter uma matriz cuja primeira coluna no-nula comea com um elemento diferente

de zero mas todos os demais sejam iguais a zero. A partir da, fixa-se a primeira linha.

2.6.2 ai1 6= 0, para algum 1 i m.

Se pelo menos um dos ai1 no-nulo, pode-se escolher qualquer um destes

coeficientes no-nulos, por exemplo, ap1, trocar a posio relativa da primeira e da

p-sima equao, e usar esta equao para eliminar x1 das m 1 equaes restantespor meio do uso de determinantes de ordem 2. O resultado final um conjunto de

353


equaes da seguinte forma:8>>>>>>>>>>>>>:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ + a1n xn = b1a22x2+ a23x3+ + a2n xn = b 2a32x2+ a33x3+ + a3n xn = b 3

... =...

am2x2+ am3x3+ + amnxn = b m

(23)

em que

ai j =

a11 a1 jai1 ai j , b i =

a11 b1ai1 bi

com 2 i m e 2 j n. Observa-se que a passagem de (1) para (23) justificadaaplicando as seguintes operaes elementares:

1. Li a11Li com 2 i m e a11 6= 0;2. Li Li ai1Li com 2 i m,

que so fundamentadas no mtodo do escalonamento tradicional [2, 5]. Note que o

SMED eliminou a primeira incgnita das m 1 equaes usando somente determi-nante de ordem 2. importante salientar se ai1 = 0 para algum i , no interfere noSMED, visto que, pode-se somar a uma linha um mltiplo de outra linha [5], neste

caso, estar somando a linha nula linha i (Li Li 0Li ), que resultar na prprialinha i.

Para simplificar (23), temos duas possibilidades:

2.6.2.1 ai2 = 0 com 2 i m.Se todos os elementos ai2 com i = 2, ,m so nulos, passa-se imediatamente

a considerar a terceira coluna, a partir da terceira equao, ou seja, os coeficientes ai3com i = 3, ,m ou, mais geralmente, a coluna mais prxima, direita da segunda,onde haja algum elemento abaixo de a33 no-nulo e opera-se (como ser descrito em2.6.2.2) de modo a obter uma matriz cuja terceira coluna no-nula possui elementos

354


abaixo de a33 iguais a zero. A partir de ento fixa-se a segunda linha.

2.6.2.2 ai2 6= 0 com 2 i mSe pelo menos um dos elementos ai2 no-nulo, pode-se escolher qualquer

um deles, por exemplo, aq2. Depois trocam-se as posies relativas da segunda e q -sima equaes usando esta equao para eliminar x2 das m 2 equaes restantes,utilizando determinantes de ordem 2. O resultado final um conjunto de equaes

da seguinte forma:

8>>>>>>>>>>>>>:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ + a1n xn = b1a22x2+ a23x3+ + a2n xn = b 2

a33 x3+ + a3n xn = b 3... =

...

am3x3+ + amnxn = b m

(24)

em que

ai j =

a22 a

2 j

ai2 ai j

, b i = a22 b

2

ai2 b i

com 3 i m e 3 j n.

Esse processo , ento, repetido at se tenha tratado de todas as colunas do sis-

tema.

3 Concluso e perspectivas

Neste artigo, foi desenvolvido um mtodo para resolver sistemas de equaes

lineares de m equaes a n incgnitas. Para isso, apresentou-se uma sequncia de

sistemas de equaes lineares que foram resolvidas pelo mtodo tradicional do esca-

lonamento e pelo SMED. Aplicou-se o SMED a uma turma de alunos da disciplina

de lgebra Linear da Universidade Tecnolgica Federal do Paran (Campus Campo

Mouro) e observou-se um grande avano em relao aprendizagem quando este foi

355


comparado com o mtodo tradicional do escalonamento. Foram ento observados

os aspectos pedaggicos, que representam a facilidade de aprendizagem do SMED e

os aspectos temporais visando ao tempo necessrio para operar com este mtodo.

Conclui-se que a principal contribuio do mesmo a sua simplicidade de utilizao,

pois facilita o processo para obter a soluo de um sistema de equaes lineares de

qualquer ordem utilizando somente o determinante de ordem dois, que representa

uma ferramenta bsica da lgebra Linear.

4 Referncias

[1] KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introduo lgebra Linear com Aplicaes. Edi-

tora LTC, Rio de Janeiro, 1a ed., 2006.

[2] BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G.

lgebra Linear. Editora Harbra Ltda, So Paulo, 3a ed., 1986.

[3] GONALVES, A.; SOUZA, R. M. L. Introduo lgebra Linear. Editora

Edgard Blucher Ltda, So Paulo, 1a ed., 1977.

[4] LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A

Matemtica do Ensino Mdio v. 3. SMB - Sociedade Brasileira de Matemtica,

Rio de Janeiro, 1a ed., 2001.

[5] LIMA, E. L. lgebra Linear. IMPA Instituto de Matemtica Pura e Aplicada,

CNPq, Rio de Janeiro, 3a ed., 1998.

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