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MÉTODO ALGEBRAICO

Introducción

El método algebraico es muy dispendioso, en razón a que trabaja con todos los datos de las ecuaciones, para mejorar éste aspecto se creó el método simplex cuya gran virtud es su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero previamente mostraremos las reglas de decisión para determinar la variable que entra, la que sale, la gran M, y cómo determinar que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de decisión fueron deducidas del método algebraico, solamente que aquí se han acomodado para ser usadas en el tipo de tablero simplex que se usará.

Criterio de decisión Maximizar Minimizar

Gran M en la función objetivo - MXj +MXj

Variable que entra La más negativa de los Zj - Cj La más positiva de los Zj - Cj

Variable que sale

La menos positiva de los b/a , Siendo a > 0 , de lo contrario no restringe

La menos positiva de los b/a , Siendo a > 0 , de lo contrario no restringe a la variable que entra

Solución óptima Cuando todos los Zj – Cj > 0 Cuando todos los Zj – Cj < 0

Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuanta: • Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de Súper avit

o artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0, el problema no tiene solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución, en éste caso se debe revisar la formulación del problema.

• Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se tuvo en cuenta en la formulación inicial.

• Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene múltiples soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.

Ejemplo 1 Maximizar Z = X1 + X

2

C.S.R. 5X

1 + 3X

2 < 15

3X1 + 5X2 < 15 Xj > 0 ; j = 1, 2

Todo problema de programación lineal que se formule de la forma Maximice, con todas sus restricciones < y con la condición de no negatividad, se le llama Forma Estándar ó Forma Normal

Aquí, al igual que en el método algebraico, debemos conseguir una solución básica factible, empleando las variables de holgura y/o artificiales, quedando el sistema de ecuaciones así:

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Maximizar Z = X1 + X2 C.S.R. 5X1 + 3X2 + X3 = 15 3X1 + 5X2 + X4 = 15 Xj > 0 ; j = 1,2,3,4

Las variables básicas son X3 y X4 y por su puesto en la función objetivo Z. .

A continuación construimos la siguiente tabla:

C

j →

1 1 0 0 b/

a

↓

V.

B. b X1 X2 X3 X4

0 X3 15 5 3 1 0

0 X4 15 3 5 0 1

Zj - Cj 0 -1 -1 0 0

El valor de la función objetiva Z, se encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste caso vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en la tabla es la columna inmediatamente anterior a la de las variables básica V.B.) que contiene los coeficientes de las variables básicas en la función objetiva original por el vector columna de los términos independientes b CXB = Vector fila de los coeficientes en la función objetivo original de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran en la primera columna del tablero. b = Vector columna de los términos independientes de las restricciones, que al mismo tiempo son los valores de las variables básicas actuales, sus valores se encuentran bajo la columna denominada

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El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el vector fila CxB por el vector apuntador aj de la columna de la variable j-ésima, menos el Cj, esto es:

Recuerde que la columna de b/a se calcula, siempre y cuando el denominador sea a > 0 ;

de lo contrario la variable básica respectiva no restringe el valor de la variable escogida

para entrar, los valores de a, están en el respectivo vector apuntador de la variable j-

ésima escogida para entrar, en ésta iteración son 5 y 3 y el cálculo respectivo 15/5 = 3 y

15/3 = 5; Lo que significa que la variable básica X3 restringe el crecimiento de la variable

que entra X1 hasta 3 (no la deja tomar valores superiores a 3) y la variable básica X4

restringe el crecimiento de la variable que entra X1 hasta 5 (no la deja tomar valores

superiores a 5). Por supuesto la variable básica que restringe más el crecimiento de la

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variable que entra X1 es X3 por lo tanto es la variable básica escogida para salir.

La fila de la variable básica escogida para salir se divide por el elemento que se encuentra en la intersección de dicha fila con la columna de la variable que entra, la fila resultante es la fila pivote y se coloca en un nuevo tablero, desde el que se suman múltiplos de la fila pivote a las demás filas del tablero anterior de tal forma que se eliminen de cada una de ellas la variable escogida para entrar, en nuestro caso X1 , este procedimiento se denomina, hacer un uno (1) en la intersección y el resto de la columna ceros (0), por lo tanto en dicha columna aparecerá un vector unitario, el procedimiento se repite en cada iteración, hasta que todos los Zj – Cj sean mayores o iguales a cero en el caso de maximizar o menores o iguales a cero en el caso de minimizar. A continuación se muestran todas las iteraciones y en cada fila los valores por los cuales fueron multiplicadas para ser sumadas a otras filas, ello se expresa como sumar múltiplos de una fila a otra. Fíjese que se suman múltiplos de las restricciones a la función objetivo para eliminar las variables básicas de ella.

Conclusiones:

• La solución es única: X1*

= 15/8 ; X2*

= 15/8 ; Z* = 14/4 • El método simplex es más práctico que el método algebraico Ejemplo 2

Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3

C.S.R.

6X1 + 2X2 + 6X3 > 6

6X1 + 4X2 = 12

2X1 - 2X2 < 2

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Ejemplo 3 Aquí, se muestra el método simplex aplicado al ejemplo 3 del capítulo de método algebraico. Minimizar Z = 10X2 + 30X3 + 40X4 + 10X5 + 20X7 C.S.R. = Con las siguientes restricciones:

3X1 + 2X2 + X6 + X7 = 5.000 2X4 + X5 + X6 = 15.000 X2 +3X3 + 2X5 + X6 + 2X7 = 5.000 Xj > 0 ; j = 1,2,3,4,5,6,7

Adicionando las variables artificiales necesarias para obtener una solución básica factible, el problema queda expresado de la siguiente forma: Min Z = 10X2 + 30X3 + 40X4 + 10X5 + 20X7 + MX8 + MX9 + MX10 C.S.R.

3X1 + 2X2 + X6 + X7 + X8 = 5.000 2X4 + X5 + X6 + X9 = 15.000 X2 + 3X3 + 2X5 + X6 + 2X7 + X10 = 5.000 Xj > 0 ; j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Variables básicas X8, X9 y X10

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Solución:

Variables de Decisión: X1* = X2* = X3* = X5* = X7* = 0 ; X4* = X6* = 5.000 ; Z* =

200.000

Variables Artificiales: X8* = X9* = X10* = 0

Interpretación: Para que haya un mínimo de desperdicio de 200.000 cm de lámina y cumplir exactamente con los pedidos, hay que cortar 5.000 láminas de la forma 4 y 5.000 láminas de la forma 6

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Ejemplo 4

En este ejemplo se muestra cómo resolver un problema en donde no todas las variables deben cumplir la condición de no negatividad, dicho de otra manera, con variables irrestrictas. Aquí el secreto consiste en reemplazar cada una de las variables irrestrictas por la diferencia de dos variables que si deban cumplir la condición de no negatividad. Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2X3 – X4 C.S.R.

X1 + X2 + 2X3 – X4 > 1 2X1 + 2X2 - 3X3 + X4 < 3 X1 + 4X2 + 3X3 + 2X4 < 5 Xj > 0 ; j = 1, 2, 4

Aquí X3 tiene libertad en el signo, esto es puede tomar valores positivos o negativos. Hacemos X3 = K – W, en donde K y W deben ser positivas, K > 0 y W > 0 Fíjese que si K > W => X3 será positiva, si K = W => X3 será igual a cero (0) y si K < W => X3 será negativa. Lo que hemos conseguido es convertir un problema que es irrestricto en su variable X3 en uno que es restringido en todas sus variables, el problema queda así:

Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2K – 2W – X4 C.S.R.

X1 + X2 + 2K –2W – X4 > 1 2X1 + 2X2 - 3K + 3W + X4 < 3 X1 + 4X2 + 3K – 3W + 2X4 < 5 Xj > 0 ; j = 1, 2, 4 ; K > 0 ; W > 0

Fíjese que este problema, es uno clásico de programación lineal y procedemos a resolverlo empleando el método simplex, para lo que adicionamos las variables de holgura y artificiales que sean necesarias para conseguir la solución básica factible.

Maximizar Z = 4X1 + 5X2 + 2K – 2W – X4 – MX6 C.S.R.

X1 + X2 + 2K – 2W – X4 – X5 + X6 = 1 2X1 + 2X2 - 3K + 3W + X4 X7 = 3

X1 + 4X2 + 3K – 3W + 2X4 +X8 < 5 Xj > 0 ; j = 1, 2, 4 ; K > 0 ; W > 0

Aquí las variables básicas son: X6, X7, y X8

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Aquí todos los Zj – Cj son > 0 , entonces estamos en la solución óptima. La solución, mostrando las variables clasificadas es:

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Ejemplo 6

Solución al problema número 4) El problema de los paquetes de tuercas, del capítulo 2,

formulación.

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Conclusión

El método simplex es más práctico que el método algebraico, pero para problemas de un gran número de variables y restricciones, fácilmente se vuelve dispendioso por el número de iteraciones y por supuesto demorado para obtener la solución óptima, es aquí donde el uso del computador se hace indispensable y útil en términos de eficiencia, para ello existe el software adecuado, los más conocidos son:

• Winqsb de Yih-Long Chang, distribuido por John Wiley & Sons. Inc N.Y.

• Solver de Frontline Systems Inc., que viene integrado con el Excel de Microsoft.

• Lindo de Lindo Systems Inc. Que viene integrado con Visicalc.

• El AD, Ayuda a la decisión de la Universidad Cienfuegos de Cubai.

i Tomado de

http://ganimides.ucm.cl/haraya/doc/m_simplex.pdf