Metodi Numerici Prova di Laboratorio - · Metodi Numerici Prova di Laboratorio Esami del 2018...

Metodi NumericiProva di Laboratorio

Esami del 2018

Stefano Gualandi

October 11, 2018

Metodi Numerici, Prova di Laboratorio - Esami del 2018

ii

Premessa

Questo documento presenta la raccolta dei testi di esame degli appelli del corso di Metodi Numerici,Prova di Laboratorio, tenuto nel 2018 agli studenti del secondo anno del corso di laurea triennale inbioingegneria, presso l’Università di Pavia.

IMPORTANTE: I testi di questi esami possono essere utilizzati per svolgere degli esercizi sup-plementari in preparazione all’esame. In nessun modo si deve intendere che questi temi di esamesono indicativi di quanto verrà chiesto negli appelli futuri. Quanto verrà richiesto in futuro, rifletteràdirettamente il programma svolto a lezione nell’anno accademico di riferimento.

1


2

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 22 gennaio 2018 - FILA A

Cognome: Nome: Matricola: Postazione:

Parte A: Ottimizzazione1. (Punti 13) Si consideri la funzione:

φ(x, y) = a(x+ p)2 + by2 + d.

Definiamo la seguente funzione obiettivo:

f(x, y) = φ(x, y)− c log φ(x, y),

con i seguenti valori dei parametri: a = 4, b = 1, c = 4, d = 0.5, p =√

3.Si completi lo script Matlab chiamato script_ott.m implementando i seguenti punti:

(a) Riportare di seguito il gradiente e l’hessiana della funzione obiettivo f(x, y):

(b) Completare il file F.m in modo che la function calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare diseguito i valori di f(x0), ∇f(x0) e ∇2f(x0) per x0 = (10, 30)T :

(c) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati i punti stazionari della funzione obiettivo data.

(d) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc utilizzando come punto iniziale x0 = (10, 30)T ,applicando il metodo di quasi Newton BFGS e utilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 12 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 12 come massimo numero

di iterazioni. Si assegnino le seguenti tolleranze: TolFun=1.e-15 e TolX=1.e-15

i. Si riporti il valore dell’ultimo punto trovato dall’algoritmo, utilizzando 6 cifre dellamantissa: è un punto stazionario? è un punto di minimo? Giustificare la risposta.

ii. Riportare gli autovalori della matrice Hessiana valutata nel punto stazionario trovato(usare la funzione Matlab eig(A)):


iii. Per la prima, la penultima e l’ultima iterata si riportino i seguenti dati:

iteration Func-Count f(x) first-order condition

(e) Fornire una qualsiasi soluzione per poter trovare un punto di massimo della funzione obi-ettivo data, specificando il punto di partenza x0 utilizzato (suggerimento: definire unafunzione obiettivo opportuna). Riportare nel riquadro sotto il punto trovato, e il valoredella funzione obiettivo in tale punto.

2. (Punti 3) Sia f ∈ C2(Rn) e sia(xk,∆k) l’iterata corrente e il raggio della regione per un metododi Trust Region.

(a) Scrivere il modello quadratico mk(p) di f(x) in xk.

(b) Scrivere quale sotto problema deve essere risolto per trovare il nuovo punto xk+1.

(c) Scrivere la cifra di merito utilizzata per l’update dell’iterata e del raggio di trust ed indicarele sue proprietà.

3. (Punti 2) Si fornisca la definizione formale di (i) minimo locale e di (ii) minimo globale.

5


4. (Punti 5) Si consideri la funzione f(x, y) = x2 + y6

6 .

(a) Trovare i punti stazionari di f(x, y) e classificarli.

(b) Definire il passo di Newton dNk e calcolarlo relativamente all’iterata generica (xk, yk)T .

(c) Verificare se dNk risulta essere una direzione di discesa.

(d) Si scriva la regola di Armijo per l’ammissibilità di α > 0.

(e) Data l’iterata (xk, 0)T , trovare i valori della percentuale 0 < ρ < 1 per cui lo step α = 1risulta ammissibile per la regola di Armijo.

6


Parte B: Serie e Trasformate di Fourier

5. (Punti 6) Si ponga N = 28 e si consideri la funzione f : [0, 2π)→ R:

f(t) = 1− 2 sin(t)(

sin(t) + 2 cos(t)− 12 cos(3t)− 1

2 cos(4t))

+ cos(t) sin(4t) + cos(t) sin(3t).

(a) Calcolare i coefficienti c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6

(b) Calcolare 12π∫ 2π

0 f(t)2dt

(c) Scrivere esplicitamente la serie di Fourier di f

(d) Tracciare un grafico qualitativo di f(e) Detta Sk(t) :=

∑kn=−k cne

int la serie di Fourier troncata a livello k di f , si tracci un graficoqualitativo di f e di Sk per k = 2, 3, 4. Indicare nel riquadro cosa si osserva per tali valori.Cosa succede per k > 4?

6. (Punti 5) Dati α, β, γ ∈ R, si consideri la funzione

f(t) = α sin2(t) + β cos(2t) + γ sin(3t), t ∈ [0, 2π]

(a) Si calcolino i coefficienti di Fourier di f .(b) Si calcoli

∫ 2π0 f2(t)dt

7

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 7 febbraio 2018 - FILA ACognome: Nome: Matricola: Postazione:

Parte A: Ottimizzazione1. (Punti 13) Si consideri la funzione obiettivo:

f(x, y) = cφ(x, y) + d expφ(x, y), in cui φ(x, y) = (a(x+ 1)2 + by2)2,

con i seguenti valori dei parametri: a = 0.5, b = 2, c = −0.5, d = 0.4. Si completi lo script Matlabchiamato script_ott.m implementando i seguenti punti:


(b) Completare il file F.m in modo che la function calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare diseguito i valori di f(x0), ∇f(x0) e ∇2f(x0) per x0 = (−1.2,−0.1)T :

(c) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per trovare un eventuale punto di massimolocale a partire dal punto iniziale x0 = (−1.2,−0.1)T , applicando il metodo di quasiNewton BFGS e utilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 50 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 50 come massimo numerodi iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1.e-18 e TolX=1.e-18

i. Si riporti il valore dell’ultimo punto trovato dall’algoritmo, utilizzando 6 cifre dellamantissa: è un punto stazionario? È un punto di massimo? Giustificare la risposta.

ii. Riportare gli autovalori della matrice Hessiana valutata nel punto stazionario trovato:




(d) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati i punti stazionari trovati nel punto precedente.

(e) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x0, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzando lafunzione SolveWithHistory prima con il metodo BFGS e poi con il metodo di Trust Regiondi Newton partendo dal punto x0 = (−1.2,−0.1)T , si memorizzino i valori di ||∇f(xk)|| inopportuni vettori e si calcoli il fattore di convergenza quadratico ||∇f(xk+1)||

||∇f(xk)||2 di tale cifra dimerito.Si mostri il grafico qualitativo del fattore di convergenza quadratico della norma del gra-diente rispetto alle iterate, in scala logaritmica sull’asse delle y (suggerimento: usaresemilogy). Quale velocità di convergenza si osserva per i due metodi? Giustificare la risposta

2. (Punti 4) Sia f ∈ C2(Rn), xk l’iterata k-esima e sia Bk una matrice di dimensione n simmetricae definita positiva. Si consideri la funzione quadratica: qk(δ) = f(xk) +∇f(xk)T δ + 1

2δTBkδ.

(a) Si mostri che la funzione qk(δ) ammette un unico minimo pk = arg min{qk(δ), ∀δ ∈ Rn}.(b) Verificare che pk risulta essere una direzione di discesa per f in xk.(c) Descrivere i passi di un algoritmo di tipo Quasi-Newton in forma diretta a partire da (x0, B0)

con B0 matrice simmetrica definita positiva.

3. (Punti 4) Si consideri la funzione f(x, y) = axy(1 + y)2 + x4 con a ∈ R.

(a) Trovare tutti i punti stazionari e classificarli al variare del parametro a.(b) Sia uk = (xk, yk)T l’iterata k-esima. Definire in generale lo step di Newton dNk .(c) Calcolare per la funzione f lo step di Newton dNk relativamente al punto uk = (1

2 , 0).(d) Per quali valori di a lo step di Newton dNk è una direzione di discesa per f in uk = (1

2 , 0)?

9


4. (Punti 2) Si fornisca la definizione di (i) convergenza Q-quadratica e (ii) convergenza Q-lineare.



f(t) = cos(3t) sin(5t).

(a) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli

10


(b) Scrivere esplicitamente la serie di Fourier di f

(c) Tracciare un grafico qualitativo di f .(d) Detta Sk(t) :=

∑kn=−k cne


(e) Calcolare 12π∫ 2π

0 (1−f(t))2dt

6. (Punti 5) Si consideri una funzione f definita su [0, 2π] i cui coefficienti di Fourier sono

c0 = 1, c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 = 0, c7 = 2− i, c8 = 4 + i

2 , ck = 0 ∀k ≥ 9.

(a) Scrivere esplicitamente la funzione f a partire dai coefficienti dati.(b) Si consideri poi la funzione g(t) = f̃(t− π

2 ) (f̃ indica l’estensione periodica di f). Calcolarei coefficienti di Fourier di g.

11

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 27 febbraio 2018 - FILA A


Parte A: Ottimizzazione

1. (Punti 14) Si consideri la funzione obiettivo:

f(x, y) = ax2 + by2 − c log(x+ y), con a, b, c ∈ R+

(a) Trovare, e riportare sotto, i punti stazionari di f(x, y) al variare dei tre parametri a, b, c.

(b) Classificare i punti stazionari trovati al punto precedente.

Si completi lo script Matlab chiamato script_ott.m implementando i seguenti punti:(c) Completare il file F.m in modo che la function calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare

di seguito i valori di f(x0), ∇f(x0) e ∇2f(x0), ottenuti per a = 1, b = 2, c = 2 nel puntox0 = (0.8, 0.8)T :

(d) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati i punti stazionari trovati nel punto precedente.

(e) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per trovare un eventuale punto di minimolocale a partire dal punto iniziale x0 = (0.8, 0.8)T , applicando il metodo del gradiente eutilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 50 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 50 come massimo numerodi iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1.e-12 e TolX=1.e-12

i. Si riporti il valore dell’ultimo punto trovato dall’algoritmo: è un punto stazionario? Èun punto di minimo? GIUSTIFICARE LA RISPOSTA.





(f) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x0, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzando lafunzione SolveWithHistory prima con il metodo BFGS e poi con il metodo del gradientepartendo dal punto x0 = (0.8, 0.8)T , si memorizzino i valori di ||∇f(xk)|| in opportunivettori e si calcoli il fattore di convergenza ||∇f(xk+1)||

||∇f(xk)|| di tale cifra di merito.Si mostri il grafico qualitativo del fattore di convergenza della norma del gradiente rispettoalle iterate, in scala logaritmica sull’asse delle y (suggerimento: usare semilogy). Qualevelocità di convergenza si osserva per i due metodi? GIUSTIFICARE LA RISPOSTA

2. (Punti 3) Data la direzione di discesa dk, si scrivano i passi della struttura di un algoritmo perla ricerca lineare del passo basato sulla strategia di backtracking e sulla regola di Armijo.

3. (Punti 3) Si consideri la funzione f(x, y) = x2 + (y + 1)4.

(a) Determinare la direzione di Newton al punto (xk, yk) e calcolare l’iterata successiva (xk+1, yk+1).(b) Verificare se la direzione di Newton trovata è una direzione di discesa.(c) Determinare gli α > 0 ammissibili per la regola di Armijo se si impone una riduzione

percentuale per unità di passo 0 < ρ < 0.25.

13


4. (Punti 2) Nell’ambito dei metodi di ricerca lineare, si fornisca la definizione della condizioned’angolo e si dia un’interpretazione geometrica della definizione stessa.



f(t) = 32 + 2 sin(2t) cos(2t) + cos2(8t).

(a) Tracciare un grafico qualitativo di f .

14


(b) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli


(d) Detta Sk(t) :=∑kn=−k cne



0 (1−f(t))2dt

6. (Punti 6) Si consideri la funzione f definita su [0, 2π] seguente

f(t) = 4 cos2(t) + sin(2t)− 1.

(a) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli.(b) Utilizzando i coefficienti di Fourier di g(t) = f̃(t+ π

4 ), calcolare 12π∫ 2π

0 g(t)2dt.

15

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 23 marzo 2018 - FILA A




f(x, y) = xe−x2−y2 + x2 + y2

20

Si completi lo script Matlab chiamato script_ott.m implementando i seguenti punti:

(a) Completare il file F.m in modo che la function calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare diseguito i valori di f(x0), ∇f(x0) e ∇2f(x0) nel punto x0 = (−2, 0)T :

(b) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati i punti stazionari trovati nel punto precedente.

(c) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per trovare un eventuale punto di minimo localea partire dal punto iniziale x0 = (−2, 0)T , applicando il metodo del gradiente e utilizzandole opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 50 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 50 come massimo numero

di iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1.e-18 e TolX=1.e-18






(d) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x0, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzando lafunzione SolveWithHistory prima con il metodo BFGS e poi con il metodo del gradientepartendo dal punto x0 = (−2, 0)T , si memorizzino i valori di ||∇f(xk)|| in opportuni vettorie si calcoli il fattore di convergenza ||∇f(xk+1)||


2. (Punti 3) Sia f ∈ C2(Rn,R) e {Sk, k = 1, 2, ....} una successione di direzioni di discesa. De-scrivere i passi della struttura ricorsiva dell’algoritmo di minimizzazione lungo le direzioni {Sk}mediante ricerca lineare del passo basata (1) sulla strategia di backtracking con dimezzamentodello step e (2) sulla regola di Armijo.


f(x, y) = ax2 + by2 − c log(x+ y), con a, b, c ∈ R+

(a) Trovare, e riportare sotto, i punti stazionari di f(x, y) al variare dei tre parametri a, b, c.

(b) Classificare i punti stazionari trovati al punto precedente.

17


4. (Punti 2) Scrivere la definizione di (i) convergenza locale e (ii) convergenza globale per unmetodo iterativo di ottimizzazione.



f(t) = 52 + 2 sin(3t) cos(3t) + cos2(7t).

(a) Tracciare un grafico qualitativo di f .

18


(b) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli





0 (2−f(t))2dt


f(t) = 12 cos2(t) + 2 sin(2t) + 1

4 .

(a) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli.(b) Utilizzando i coefficienti di Fourier di g(t) = f̃(t− π


0 g(t)2dt.

19

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 28 giugno 2018 - FILA A




f(x, y) = x4 + x y (1 + y)2



(b) Completare il file F.m in modo che la function calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportaredi seguito i valori di f(xi), ∇f(xi) e ∇2f(xi) nei punti x1 = (−1,−1)T , x2 = (1, 1)T ex3 = (1, 0)T :

(c) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati i punti x1, x2, x3 definiti nel punto precedente.

(d) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per trovare un eventuale punto di minimostazionario a partire dal punto iniziale x0 = (1, 0)T , applicando il metodo di quasi NewtonBFGS e utilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 22 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 18 come massimo numero

di iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1.e-14 e TolX=1.e-14



ii. Riportare gli autovalori della matrice Hessiana valutata nell’ultimo punto trovato:

iii. Per la prima, la penultima e l’ultima iterata si riportino i seguenti dati:iteration Func-Count f(x) first-order condition

(e) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x0, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzando lafunzione SolveWithHistory prima con il metodo BFGS e poi con il metodo del gradientepartendo dal punto x0 = (1, 0)T , si memorizzino i valori di ||∇f(xk)|| in opportuni vettorie si calcoli il fattore di convergenza ||∇f(xk+1)||


2. (Punti 2) Nell’ambito dei metodi di ricerca lineare, si fornisca la definizione della condizioned’angolo e si dia un’interpretazione geometrica della definizione stessa.





21


4. (Punti 3) Si consideri la funzione obiettivo:f(x, y) = ax2 + by2 − c log(x+ y), con a, b, c ∈ R+

(a) Trovare, e riportare sotto, i punti stazionari di f(x, y) al variare dei tre parametri a, b, c.(b) Classificare i punti stazionari trovati al punto precedente.


5. (Punti 6) Si ponga N = 28 e si consideri la funzione f : [0, 2π)→ R:f(t) = sin(7t) cos(7t)

22


(a) Tracciare un grafico qualitativo di f .(b) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli



int la serie di Fourier troncata a livello k di f , si tracci un graficoqualitativo di f e di Sk per k = 1, 6, 9. Indicare nel riquadro cosa si osserva per tali valori.Esiste un valore di k > 9 per cui cambia qualcosa? Perchè?


0 (2−f(t))2dt


f(t) = 12 cos2(t) + 2 sin(2t) + 1

4 .

(a) Calcolare i coefficienti di Fourier non nulli.(b) Utilizzando i coefficienti di Fourier di g(t) = f̃(t− π


0 g(t)2dt.

23

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 9 luglio 2018 - FILA A




f(x, y) = c exp(−(x−a)2−(y−b)2) +x2 + y2



(b) Usando i parametri a = 0.5, b = 1, and c = 10, completare il file F.m in modo che lafunction calcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare di seguito i valori di f(xi), ∇f(xi) e∇2f(xi) nei punti x1 = (−2,−1)T e x2 = (0, 2)T :

(c) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello, in modo che venganoevidenziati almeno i punti x1 e x2 definiti nel punto precedente.

(d) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per cercare un eventuale punto di massimoa partire dal punto iniziale x2 = (0, 2)T , applicando il metodo di quasi Newton BFGS eutilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 14 come massimo numero di valutazioni di f(x) e 11 come massimo numero

di iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1e-12 e TolX=1e-14

i. Si riporti il valore dell’ultimo punto trovato dall’algoritmo: è un punto stazionario? Èun punto di massimo? GIUSTIFICARE LA RISPOSTA.




(e) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x2, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzandola funzione SolveWithHistory con il metodo BFGS partendo dal punto x2 = (0, 2)T , simemorizzino i valori di ||∇f(xk)|| in opportuni vettori e si calcoli il fattore di convergenza||∇f(xk+1)||||∇f(xk)|| di tale cifra di merito.

Si mostri il grafico qualitativo del fattore di convergenza della norma del gradiente rispettoalle iterate, in scala logaritmica sull’asse delle y (suggerimento: usare semilogy). Quale ve-locità di convergenza si osserva per il metodo BFGS?GIUSTIFICARE LA RISPOSTA

2. (Punti 3) Sia f ∈ C2(Rn,R) e {Sk, k = 1, 2, ....} una successione di direzioni di discesa. De-scrivere i passi della struttura ricorsiva dell’algoritmo di minimizzazione lungo le direzioni {Sk}mediante ricerca lineare del passo basata (1) sulla strategia di backtracking con dimezzamentodello step e (2) sulla regola di Armijo.

3. (Punti 2) Scrivere la definizione di (i) convergenza locale e (ii) convergenza globale.

25


4. (Punti 5) Si consideri la funzione f(x) = x41 + x1x2 + (1 + x2

2)2:

(a) Verificare che il punto x = (0, 0)T risulta stazionario e classificarlo in base all’hessiana.

(b) Si definisca lo step di Newton dNk all’iterata xk.

(c) Calcolare lo step di Newton relativamente alla seguente iterata xk = (0, 1)T .

(d) Verificare se lo step di Newton risulta essere una direzione di discesa per f(x) in xk.

(e) Condizione sufficiente affinchè dNk risulti di discesa è che la matrice ∇2f(xk) sia definitapositiva. Per xk = (a, 0), trovare per quali valori di a l’hessiana ∇2f(a, 0) risulti definitapositiva.

26




f(t) = 12 sin(2t) + 2 cos(t) + sin(8t).

(a) Tracciare un grafico qualitativo di f(b) Calcolare i coefficienti c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9, c10



int la serie di Fourier troncata a livello k di f , si tracci un graficoqualitativo di f e di Sk per i valori di k che si ritengono più opportuni. Indicare nel riquadroquali sono tali valori e giustificare velocemente la scelta fatta.

(e) Calcolare∫ 2π

0 (2 + f(t)2)dt

6. (Punti 5) Si determini esplicitamente la funzione f definita su [0, 2π] i cui coefficienti di Fouriersono

c0 = 1, c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 = 0, c7 = 2− i, c8 = 4 + i

2 , ck = 0 ∀k ≥ 9.

Si consideri poi la funzione g(t) = f̃(t − π2 ) (f̃ indica l’estensione periodica di f). Calcolare i

coefficienti di Fourier di g.

27

Metodi Matematici per l’Ingegneria - 3 settembre 2018 - FILA A




f(x, y) = x4 + bxy +√

(a+ cy2)3



(b) Usando i parametri a = 5, b = 7, and c = 4, completare il file F.m in modo che la functioncalcoli f(x), ∇f(x) e ∇2f(x). Riportare di seguito i valori di f(xi), ∇f(xi) e ∇2f(xi) neipunti x1 = (−1,−1)T e x2 = (1, 1)T :

(c) Tracciare un grafico qualitativo di f(x, y) e delle sue curve di livello, scegliendo in manieraopportuno l’intervallo di valori in cui visualizzare le curve di livello. Quanti punti stazionariosservate? Quali?

(d) Si utilizzi la funzione di Matlab fminunc per cercare un eventuale punto di stazionarioa partire dal punto iniziale x2 = (1, 1)T , applicando il metodo di quasi Newton BFGS eutilizzando le opzioni seguenti:• si utilizzi il gradiente implementato in F.m, ovvero si attivi l’opzione GradObj• si assegni 13 come numero massimo di valutazioni di f(x) e 11 come numero massimo

di iterazioni. Si dichiari il problema di tipo non LargeScale. Si assegnino le seguentitolleranze: TolFun=1e-18 e TolX=1e-17

i. Si riporti il valore dell’ultimo punto trovato dall’algoritmo: è un punto stazionario? Èun punto di minimo o di massimo? GIUSTIFICARE LA RISPOSTA.




(e) Si consideri la funzione data chiamata SolveWithHistory che prende in input una funzioneda minimizzare F, il punto iniziale x2, e un insieme di opzioni (allo stesso modo della funzionefminunc), e trova il minimo di F memorizzando ad ogni iterazione in opportuni vettori ivalori di xk, di f(xk), e di ||∇f(xk)||. Sempre nello script script_ott.m, utilizzandola funzione SolveWithHistory con il metodo BFGS partendo dal punto x2 = (1, 1)T , simemorizzino i valori di ||∇f(xk)|| in opportuni vettori e si calcoli il fattore di convergenza||∇f(xk+1)||||∇f(xk)|| di tale cifra di merito.

Si mostri il grafico qualitativo del fattore di convergenza della norma del gradiente rispettoalle iterate, in scala logaritmica sull’asse delle y (suggerimento: usare semilogy). Quale ve-locità di convergenza si osserva per il metodo BFGS?GIUSTIFICARE LA RISPOSTA

2. (Punti 2) Riportare sotto l’enunciato del teorema di Taylor.





.

29


4. (Punti 5) Si consideri la funzione f(x) = x41 + x1x2 + (1 + x2

2)2:

(a) Verificare che il punto x = (0, 0)T risulta stazionario e classificarlo in base all’hessiana.

(b) Si definisca lo step di Newton dNk all’iterata xk.

(c) Calcolare lo step di Newton relativamente alla seguente iterata xk = (0, 1)T .

(d) Verificare se lo step di Newton risulta essere una direzione di discesa per f(x) in xk.

(e) Condizione sufficiente affinchè dNk risulti di discesa è che la matrice ∇2f(xk) sia definitapositiva. Per xk = (a, 0), trovare per quali valori di a l’hessiana ∇2f(a, 0) risulti definitapositiva.

30




f(t) = 12 sin(4t) + 2 cos(t) + sin(8t) cos(2t).

(a) Tracciare un grafico qualitativo di f(b) Riportare sotto i coefficienti ci diversi da zero



int la serie di Fourier troncata a livello k di f , si tracci un graficoqualitativo di f e di Sk per i valori di k che si ritengono più opportuni. Indicare nel riquadroquali sono tali valori e giustificare velocemente la scelta fatta.

(e) Calcolare∫ 2π

0 (2− f(t)2)dt

6. (Punti 5) Si determini esplicitamente la funzione f definita su [0, 2π] i cui coefficienti di Fouriersono

c1 = 1, c4 = c6 = c10 = − i4 , c0 = c2 = c3 = c5 = c7 = c8 = c9 = 0, ck = 0 ∀k ≥ 11.

Si consideri poi la funzione g(t) = f̃(t − π2 ) (f̃ indica l’estensione periodica di f). Calcolare i

coefficienti di Fourier di g.

31

Metodi Numerici Prova di Laboratorio - · Metodi Numerici Prova di Laboratorio Esami del 2018...

Documents

Transcript of Metodi Numerici Prova di Laboratorio - · Metodi Numerici Prova di Laboratorio Esami del 2018...